Antena Fractal
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Transcript of Antena Fractal
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
UNIDAD PROFESIONAL “ADOLFO LÓPEZ MATEOS”
“ANTENA FRACTAL PARA SISTEMAS
DE COMUNICACIONES EN LA BANDA DE 2.4 GHz”
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
INGENIERO EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA
P R E S E N T A:
VICTOR FELIPE ROMERO ROMERO
ASESOR: DR. JOSÉ ALFREDO TIRADO MÉNDEZ
MÉXICO, D.F. JUNIO 2013
II
III
Dedicatoria
A mis padres Norma Romero Alvarado y Arturo Romero Carmona,
porque siempre me han brindado su apoyo y cariño de manera
incondicional. También por sus valiosas enseñanzas que día a día me
hacen una mejor persona.
A mis hermanos Johanna y Edgar, por su compañía y apoyo. Porque a
pesar de nuestras diferencias siempre estaremos para apoyarnos y
querernos.
Gracias a ustedes he realizado una más de mis metas, culminando así una
etapa más en mi vida. Este es el principio de un nuevo camino que tendré
que recorrer y les aseguro que siempre estarán orgullosos de mí.
IV
Agradecimientos
Al CONACYT por su apoyo financiero para desarrollar prototipos de
antenas a través del proyecto 127856.
A la SIP-IPN por su apoyo a través del proyecto SIP-IPN 20130564.
Al Laboratorio de Radiocomunicación del CINVESTAV por las facilidades
brindadas para el desarrollo de antenas.
Al Dr. José Alfredo Tirado Méndez por compartir su conocimiento y
guiarme en el desarrollo de este trabajo y principalmente por brindarme
su amistad.
Al M. en C. Rubén Flores Leal por su apoyo en el proceso de
caracterización de las antenas.
V
Índice general
Dedicatoria ......................................................................................................................... III
Agradecimientos .............................................................................................................. IV
Lista de figuras ............................................................................................................... VIII
Lista de tablas .................................................................................................................... XI
Lista de abreviaturas .....................................................................................................XII
Objetivo general ............................................................................................................ XIII
Justificación ..................................................................................................................... XIV
Introducción ........................................................................................................................ 1
CAPÍTULO 1. TEORÍA FRACTAL ..................................................................................... 3
1.1. Historia de la geometría fractal ................................................................................ 3
1.2. Definición de fractal ...................................................................................................... 5
1.2.1. Características de un fractal .............................................................................. 5
1.2.2. Dimensión fractal .................................................................................................. 6
1.3. Conjuntos fractales clásicos ....................................................................................... 8
1.3.1. Conjunto de Cantor ............................................................................................... 9
1.3.2. Curva de Koch ...................................................................................................... 10
1.3.3. Triángulo de Sierpinski .................................................................................... 11
1.4. Aplicaciones de los fractales ................................................................................... 11
1.5. Métodos para construcción de fractales ............................................................ 14
1.5.1. Sistema Lindenmayer ....................................................................................... 14
1.5.2. Sistema de funciones iteradas ....................................................................... 15
Conclusiones .............................................................................................................................. 16
Referencias ................................................................................................................................. 18
CAPÍTULO 2. ESTADO DEL ARTE DE ANTENAS FRACTALES ............................. 20
2.1. Monopolo fractal ......................................................................................................... 21
VI
2.1.1. Monopolo de Koch ............................................................................................. 21
2.1.2. Monopolo de Sierpinski ................................................................................... 23
2.2. Dipolo Fractal ............................................................................................................... 24
2.2.1. Dipolo de Koch ..................................................................................................... 24
2.2.2. Dipolo de árbol .................................................................................................... 26
2.3. Antena fractal de alta directividad ....................................................................... 27
2.4. Antena fractal con metamateriales ...................................................................... 29
2.5. Antena fractal sobre sustrato piezoeléctrico ................................................... 30
2.6. Antena fractal planar F-Invertida ......................................................................... 31
2.7. Antena fractal de Ultra Banda Ancha .................................................................. 32
Conclusiones .............................................................................................................................. 34
Referencias ................................................................................................................................. 35
CAPÍTULO 3. ANTENA FRACTAL DE ALAMBRE Y ANTENA FRACTAL
PLANARIZADA .................................................................................................................. 38
3.1. Antena dipolo ............................................................................................................... 38
3.1.1. Dipolo de media onda ....................................................................................... 39
3.2. Antena dipolo de Koch .............................................................................................. 42
3.3. Especificaciones de diseño ...................................................................................... 44
3.3.1. Especificaciones para la antena planar ...................................................... 45
3.3.2. Especificaciones para la antena de alambre ............................................ 45
3.4. Diseño por computadora del dipolo fractal planar ........................................ 46
3.4.1. Generación de la curva de Koch .................................................................... 46
3.4.2. Longitud de los brazos para el dipolo planar .......................................... 49
3.4.3. Longitud de los brazos para el dipolo de alambre ................................. 53
3.5. Simulación del dipolo fractal planar con HFSS ................................................ 54
3.5.1. Parámetro S11 del dipolo de Koch planar .................................................. 54
3.5.2. Impedancia del dipolo de Koch planar ....................................................... 55
3.5.3. Ganancia del dipolo de Koch planar ............................................................ 55
3.6. Simulación del dipolo fractal de alambre con HFSS ...................................... 56
VII
3.6.1. Parámetro S11 del dipolo de Koch de alambre ........................................ 56
3.6.2. Impedancia del dipolo de Koch de alambre ............................................. 57
3.6.4. Ganancia del dipolo de Koch de alambre .................................................. 58
3.7. Resumen de resultados de la simulación ........................................................... 58
Conclusiones .............................................................................................................................. 60
Referencias ................................................................................................................................. 61
CAPÍTULO 4. CONSTRUCCIÓN Y CARACTERIZACIÓN DE LA ANTENA
FRACTAL ............................................................................................................................. 62
4.1. Construcción del prototipo ..................................................................................... 62
4.2. Acoplador híbrido en anillo .................................................................................... 65
4.2.1. Diseño del acoplador híbrido......................................................................... 67
4.2.2. Simulación del acoplador híbrido ................................................................ 69
4.2.3. Construcción y caracterización del acoplador híbrido de 180° ....... 72
4.3. Caracterización del dipolo fractal planar ........................................................... 75
4.3.1. Medición del parámetro S11 ............................................................................ 75
4.3.2. Medición de la ganancia ................................................................................... 78
4.3.3. Obtención del patrón de radiación .............................................................. 79
4.4. Resumen de resultados de las mediciones ........................................................ 82
Conclusiones .............................................................................................................................. 83
Referencias ................................................................................................................................. 84
CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES Y TRABAJO A FUTURO .......................................... 85
5.1. Conclusiones ................................................................................................................. 85
5.2. Trabajo a futuro ........................................................................................................... 86
Apéndice A. Sistema de funciones iteradas para la construcción de la curva
de Koch. .............................................................................................................................. 88
VIII
Lista de figuras
Figura 1.1. a) Conjunto de Cantor, b) Curva de Koch y c) Triángulo de
Sierpinski…………………………………………………………………………. 4
Figura 1.2. Fractales en la naturaleza……………………………………………......... 4
Figura 1.3. Conjunto de cantor……………………………………………………………. 9
Figura 1.4. Construcción parcial de la curva de Koch…………………………... 10
Figura 1.5. a) Triángulo de Sierpinski y b) carpeta de Sierpinski………….. 11
Figura 1.6. Aplicación de los fractales a) alveolos pulmonares, b)
antena fractal……………………………………………………………………. 13
Figura 2.1. Simulación y medición del parámetro S11 de un monopolo
planar y un monopolo de Koch…………………………………………... 22
Figura 2.2. Antena monopolo basada en el triángulo de Sierpinski……….. 24
Figura 2.3. Comparación entre dipolos a) Koch, b) microcinta,
c) alambre………………………………………………………………………… 25
Figura 2.4. Parámetro S11 y ROE…………………………………………………………. 27
Figura 2.5. Patrón de radiación de la antena parche basada el copo de
nieve de Koch ranurada…………………………………………………….. 28
Figura 2.6. Parámetro S11 de la antena fractal basada en la curva de
Hilbert construida con técnicas de metamateriales…………….. 29
Figura 2.7. Antena fractal construida sobre un sustrato piezoeléctrico… 30
Figura 2.8. (a) Antena F-invertida construida a partir de la carpeta de
Sierpinski, (b) antena montada en un teléfono móvil………….. 29
Figura 2.9. Antena fractal de Ultra Banda Ancha………………………………….. 33
IX
Figura 3.1. Distribución de corriente sinusoidal ideal para un dipolo
con longitudes distintas…………………………………………………….. 40
Figura 3.2. Dipolo de media onda……………………………………………………….. 40
Figura 3.3. Patrón de radiación de un dipolo de media onda y corte
transversal del mismo………………………………………………………. 42
Figura 3.4. Antena dipolo de Koch de tercer orden……………………………… 43
Figura 3.5. Curva de Koch de a) primer orden, b) segundo orden,
c) tercer orden………………………………………………………………….. 49
Figura 3.6. Diseño del dipolo de Koch planar de tercer orden………………. 52
Figura 3.7. Diseño del dipolo de Koch de alambre de segundo orden……. 53
Figura 3.8. Parámetro S11 perteneciente al dipolo de Koch planar………... 54
Figura 3.9. Magnitud de la impedancia del dipolo fractal planar…………... 55
Figura 3.10. Patrón de radiación referido a la ganancia del dipolo planar. 56
Figura 3.11. Parámetro S11 perteneciente al dipolo de Koch de alambre… 57
Figura 3.12. Magnitud de la impedancia del dipolo fractal de alambre……. 57
Figura 3.13. Patrón de radiación referida a la ganancia del dipolo de
alambre……………………………………………………………………………. 58
Figura 4.1. Diseño del dipolo fractal creado en Microwave Office…………. 63
Figura 4.2. Conector SMA para montaje en circuito impreso………………… 64
Figura 4.3. Antena dipolo de Koch planar construida, a) vista frontal,
c) vista posterior………………………………………………………………. 64
Figura 4.4. Tipos de líneas de transmisión, a) línea de balanceada,
b) línea no balanceada………………………………………………………. 65
Figura 4.5. Acoplador híbrido 180° de microcinta……………………………….. 66
X
Figura 4.6. Diseño del acoplador híbrido de microcinta……………………….. 69
Figura 4.7. Modelo del acoplador híbrido creado en HFSS……………………. 70
Figura 4.8. Parámetros S42 y S43 simulados del acoplador híbrido………… 71
Figura 4.9. Ángulo de fase de los parámetros S42 y S43 del acoplador
hibrido……………………………………………………………………………... 71
Figura 4.10. Acoplador híbrido de 180° de microcinta construido,
a) vista frontal, b) vista posterior………………………………………. 72
Figura 4.11. Mediciones de los parámetros S42 y S43 del acoplador
híbrido de 180°…………………………………………………………………. 73
Figura 4.12. Medición de las fases de los parámetros S42 y S43………………... 74
Figura 4.13. Parámetro S11 medido correspondiente al dipolo de Koch….. 77
Figura 4.14. Scanner de la marca EMSCAM utilizado en el proceso de
caracterización de antenas………………………………………………… 80
Figura 4.15. Patrón de radiación tridimensional medido mediante un
scanner de campo cercano………………………………………………… 81
Figura 4.16. Cortes transversales del patrón de radiación medido,
a) corte a 0°, b) corte a 90°………………………………………………… 82
XI
Lista de tablas
Tabla 3.1. Comparativa entre el número de iteraciones de la curva de
Koch y el número de transformaciones afines necesarias para
su construcción……………………………………………………………….… 47
Tabla 3.2. Resultados de la simulación del dipolo planar………………........... 59
Tabla 3.3. Resultados de la simulación del dipolo de alambre…………….... 59
Tabla 4.1. Comparación de resultados de simulación y medidos……........... 82
XII
Lista de abreviaturas
CAD Diseño asistido por computadora.
CPW Guía de onda coplanar.
dB Decibel.
dBi Decibel referido a una antena isotrópica.
FEM Método de elementos finitos.
FR4 Flamibility Rate.
GHz Gigahertz.
HFSS High Frequency Structure Simulator.
IEEE Institute Engineering Electric and Electronics.
IFS Sistema de funciones iteradas.
ISM Industrial, científica y médica.
ITU International Telecommunication Union
MATLAB Laboratorio de matrices.
MHz Megahertz.
PCB Tarjeta de circuito impreso.
PIFA Antena planar F invertida.
RF Radiofrecuencia.
ROE Relación de onda estacionaria.
SAR Tasa de absorción especifica.
SMA Conector Sub-Miniatura Versión A.
UWB Ultra Banda Ancha.
VNA Analizador vectorial de redes.
XIII
Objetivo general
Desarrollo de una antena dipolo fractal de tamaño pequeño y sin
reducción de eficiencia basada en el método de Koch para aplicaciones en
comunicaciones personales en la banda ISM de 2.4 GHz.
Con la finalidad de llegar al objetivo general, este se ha dividido en tres
objetivos particulares, los cuales se mencionan a continuación:
1. Diseñar una antena dipolo fractal basada en la curva de Koch.
2. Optimizar el diseño de la antena dipolo fractal basada en la curva de
Koch.
3. Construir una antena dipolo basada en la curva de Koch.
4. Caracterizar la antena dipolo fractal.
XIV
Justificación
Se propone el desarrollo de una antena basada en teoría de fractales con
el fin de tener un dispositivo compacto, pero de alta eficiencia. Con lo cual, se
puede aplicar a sistemas de comunicaciones personales, como telefonía celular,
GPS, WiFi, entre otras. Con aplicaciones de fractales se puede obtener una
antena de banda ancha y de ganancia media.
1
Introducción
El desarrollo actual de los sistemas de radiocomunicación en el área
comercial y militar se ha encaminado al diseño de sistemas compactos, de bajo
perfil, de banda ancha o multibanda. Por esta razón se han desarrollado técnicas de
diseño que permitan obtener antenas que cubran en su totalidad o parcialmente
estos requerimientos de diseño. Dentro de estas técnicas, podemos encontrar el
uso de la geometría fractal en el desarrollo de antenas, el cual se ha visto
beneficiado por el incremento de la capacidad de procesamiento de los sistemas
computacionales los cuales facilitan el análisis de este tipo de estructuras. A partir
del desarrollo formal del concepto de fractal por el matemático Benoit Mandelbrot
se ha intentado modelar varios fenómenos de naturaleza mediante la aplicación de
esta teoría relativamente moderna.
Por esta razón este trabajo de tesis propone el diseño de dos antenas con
características diferentes pero implementando el uso de una estructura fractal en el
diseño de las mismas. Con esta propuesta se espera obtener dos antenas de tamaño
compacto, bajo perfil y de banda ancha; pero diseñadas para sistemas con
necesidades diferentes: antena de alambre y una antena planar.
Este trabajo de tesis se ha organizado a través de cinco capítulos de la
siguiente manera: Capítulo 1 se abordan los conceptos más relevantes de la teoría
fractal como: definición de fractal, propiedades de los fractales, principales
conjuntos fractales, generación de fractales y aplicaciones de la geometría fractal;
para sustentar el desarrollo de este trabajo. En el Capítulo 2 se describe el estado
del arte en la ingeniería de antenas fractales, donde se explican las aplicaciones de
2
este tipo de antenas como: monopolos y dipolos fractales, antenas fractales con
técnicas de metamateriales, antenas fractales de alta directividad, antenas fractales
sobre sustratos piezoeléctricos y antenas fractales de ultra banda ancha. En el
Capítulo 3 se presenta el diseño del dipolo de Koch (dipolo de alambre y dipolo
planar), se presentan los cálculos para la obtención de la longitud de los brazos del
dipolo en sus dos versiones, de igual forma se presentan los resultados obtenidos
mediante el software de simulación electromagnética y se hace la comparación con
dos dipolos diseñados con los mismos materiales pero diseñados de manera
convencional. En el Capítulo 4 se describe el proceso de construcción y
caracterización del dipolo de Koch planar, además se documenta el diseño de un
acoplador híbrido de 180° cuya finalidad es el acoplamiento entre el cable coaxial y
el dipolo, finalmente se presentan los resultados del proceso de caracterización
con ayuda de un scanner de campo cercano; también se realiza la comparación
entre los resultados obtenidos a través del simulador y los obtenidos con los
equipos de medición. Finalmente en el Capítulo 5 se presentan las conclusiones
generales del trabajo de tesis y las posibles líneas de investigación generadas por
esta tesis.
3
CAPÍTULO 1. TEORÍA FRACTAL
La geometría fractal es una teoría relativamente moderna de las
matemáticas, la cual ha venido a revolucionar la forma de ver los objetos presentes
en la naturaleza. Esta teoría permite describir objetos y fenómenos de la naturaleza
con mayor exactitud [1].
Su aplicación en ciencias e ingeniería ha conseguido un avance importante
en dichas áreas al momento de obtener modelos matemáticos que se adecuen a los
fenómenos de estudio de estas áreas [2]. Debido al gran número de aplicaciones en
diferentes disciplinas, esta teoría promete un gran desarrollo conforme se realizan
investigaciones, en las diferentes disciplinas de la ciencia e ingeniería.
1.1. Historia de la geometría fractal
Los fractales surgieron por la necesidad que se produjo a comienzos del
siglo XX, al estudiar los conjuntos de puntos que se distribuían sobre la recta real y
que poseían medida de Lebesgue nula. Estos conjuntos poseían características
geométricas, aritméticas o analíticas muy especiales, pasando a ser considerados
como monstruos matemáticos [3, 16].
Fue en el año 1883 que el matemático Georg Cantor dio a conocer un
conjunto con propiedades inusuales, este conjunto fue llamado conjunto de Cantor
en honor a su creador [1]. Años más tarde en 1904 el matemático Helge Von Koch
publicó un artículo acerca de una curva, que no podía diferenciarse en ningún
punto. Hoy en día se le conoce con el nombre de curva de Koch. Para el año de 1915
4
el matemático Waclaw Sierpinski presentó una figura con el nombre de triángulo
de Sierpinski, la cual se caracteriza por presentar autosimilitud. Se puede observar
en la figura 1.1 los tres fractales más conocidos y denominados como monstruos
matemáticos [4].
Figura 1.1. Fractales clásicos a) Conjunto de Cantor, b) Curva de Koch y c) Triángulo de Sierpinski.
Tiempo después el matemático Felix Hausdorff en el año 1919 desarrolló
una teoría que permitía estudiar a estos conjuntos, medirlos en un espacio de
dimensión no nula, actualmente se conoce como métrica Hausdorff [3].
En 1982 Benoit Mandelbrot, tras años de investigación y apoyándose en
toda esta teoría concibió el concepto de fractal, en el cual, le atribuía a ciertos
conjuntos propiedades como autosimilitud, que los caracterizaba como fractales.
Con esta teoría que se conoce como geometría fractal se pueden modelar muchos
objetos y fenómenos de la naturaleza como: nubes, montañas, galaxias, costas,
redes fluviales, rayos entre otros [1].
Figura 1.2. Fractales en la naturaleza.
5
1.2. Definición de fractal
El concepto fractal proviene de la palabra en latín fractus que significa
“roto”, fue inventada por Benoit Mandelbrot para reunir en un solo grupo una
amplia clase de objetos que jugaban un papel histórico en el desarrollo de las
matemáticas puras. Una gran revolución de ideas separó las matemáticas clásicas
del siglo XIX para formar las matemáticas modernas del siglo XX. La matemática
clásica tuvo sus raíces en las estructuras geométricas regulares de Euclides y la
dinámica de Newton [1].
La pronunciación correcta es “frac'tal”, en un sentido más amplio, son
objetos que poseen alguna propiedad de escala, es decir, objetos que tienen alguna
propiedad de autosimilitud después de un cambio de escala. En un sentido más
restrictivo, es un conjunto de objetos que tienen una dimensión fractal fraccionaria
[4].
“Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-
Besicovitch estrictamente excede la dimensión topológica” [1]. Debido a que la
geometría fractal es una rama de las matemáticas relativamente nueva, el concepto
de fractal no está completamente definido por lo cual no todos los matemáticos
aceptan en su totalidad esta definición.
1.2.1. Características de un fractal
Se pueden considerar las siguientes características para la mayoría de
fractales.
6
Autosimilitud. Es la característica más común y evidente en una
estructura fractal. Se observa que una sección del fractal es una copia a
escala del fractal completo, considerándose geométricamente similares.
Esta similitud puede ser aproximada o estadística.
Estructura fina. La estructura fractal posee muchos detalles en escalas
pequeñas. A medida, que se amplía la imagen del fractal se hacen más
evidentes estos detalles.
Recursivo. La estructura fractal se obtiene mediante un procedimiento
recursivo. El número de iteraciones mejora el detalle de la estructura.
La geometría de la estructura fractal no puede representarse en
términos de la geometría euclidiana.
Es difícil describir geométricamente a nivel local como global a la
estructura fractal.
A pesar de que la estructura es de alguna manera un buen conjunto de
gran tamaño, su tamaño no se puede cuantificar mediante las medidas
habituales.
Aunque no todos los fractales presentan en su totalidad estas características,
si pueden presentarse de manera parcial estas características [5].
1.2.2. Dimensión fractal
Hay varios números asociados con objetos fractales, que pueden ser
utilizados para compararlos, los cuales se conocen generalmente como
dimensiones fractales. Ellas son el intento de cuantificar la sensación subjetiva que
se tiene acerca del espacio métrico en el que se encuentra el fractal [6].
7
Los fractales básicos son dimensionalmente discordantes, esto puede servir
para transformar el concepto de fractal de una forma intuitiva a una matemática. Se
puede centrar en dos definiciones, cada una de las que asigna a cada conjunto del
espacio euclídeo n-dimensional, un número real que, por razones formales merece
ser llamado su dimensión. El más intuitivo de los dos es la dimensión topológica de
acuerdo a Brouwer, Lebesgue, Menger, y Urysohn; se denota por DT. La segunda
dimensión se formuló en 1919 por Felix Hausdorff y puesto en forma definitiva por
Abraham Besicovitch, se conoce, como dimensión Hausdorff-Besitcovich y se
denota por D.
En el espacio de RE euclídeo, donde R denota el espacio geométrico y E la
dimensión del espacio. Ambas dimensiones DT y D son mayores a 0 y menores a E,
esta semejanza termina aquí. La dimensión topológica DT es siempre un número
entero, pero la dimensión Hausdorff-Besicovitch D no necesariamente será un
número entero. Ambas dimensiones no coinciden, sino que sólo satisfacen la
desigualdad de Szpilrajn, la cual se presenta a continuación.
𝐷 ≥ 𝐷𝑇 (1.1)
Para todos los objetos euclídeos, D = DT. Sin embargo, casi todos los
conjuntos fractales, aunque no todos, cumplen la condición D > DT [1].
El hecho de que la dimensión Hausdorff-Besicovitch (D) no tiene por qué ser
un número entero, incluso varios de los valores indicados por esta dimensión
Hausdorff-Besicovitch son fraccionarios, y de hecho esta dimensión se llama a
menudo dimensión fraccional. Aunque D puede ser un número entero (no superior
a E, pero estrictamente mayor que DT). Puede denominarse dimensión fractal D [1].
La existencia de esta dimensión fractal no es única, sino que existen otras
8
definiciones de dimensión que pueden considerarse como dimensiones fractales
[2].
El concepto de dimensión usado por Benoit Mandelbrot es una
simplificación de la dimensión Hausdorff-Besitcovich determinada por el
matemático ruso Andrey Kolmogorov. La dimensión de un conjunto se define
como:
𝐷 =𝑙𝑜𝑔𝑁
𝑙𝑜𝑔(1𝑟)
(1.2)
Donde N es el número de partes idénticas en que puede ser dividida la
figura, cada una de estas está relacionada de la forma r =1/N [7].
1.3. Conjuntos fractales clásicos
La aparición de las primeras formas fractales se remonta a finales del siglo
XIX. Dichas formas podían construirse a partir de una figura inicial (iniciador), a la
que se aplicaban una serie de construcciones geométricas sencillas. La serie de
figuras obtenidas se aproximaba a una figura que correspondía al que hoy se
conoce como conjunto fractal. Estos conjuntos no podían ser analizados con la
geometría clásica, pero eran vistos como objetos artificiales, a estos objetos se les
denomino "galería de monstruos". Dentro de este grupo de objetos, los más
conocidos son:
Conjunto de Cantor.
Curva de Koch.
Triángulo y carpeta de Sierpinski.
9
En los siguientes apartados se explicarán con más detalle estos tres
conjuntos fractales [7].
1.3.1. Conjunto de Cantor
El conjunto de Cantor se le atribuye al matemático Georg Cantor, que lo
descubrió en 1883. Este conjunto posee gran importancia en la dinámica no lineal
de la actualidad. Mientras se considera a la curva de Koch como un proceso en el
cual se adiciona una estructura más fina con una longitud más fina a un segmento
de línea inicial, entonces el conjunto de Cantor se construye con un proceso inverso
en el cual se extraen segmentos pequeños de un conjunto de puntos, inicialmente
una línea [2].
El conjunto de Cantor se genera a partir de un conjunto cerrado [0, 1], el
término “cerrado” indica que son considerados los puntos extremos. La primera
etapa de la construcción consiste en dividir el conjunto [0, 1] en tres partes, a
continuación se remueve el conjunto central considerado como (1/3, 2/3). Note
que el conjunto es abierto. Ahora, los conjuntos restantes se vuelven a dividir en
tres partes y se elimina el conjunto central. Este proceso se sigue de manera
indefinida [1]. El conjunto de Cantor se muestra en la figura 1.3.
Figura 1.3. Conjunto de Cantor.
10
De una manera general el número de veces que es dividido se conoce como
base y se denota como b. La relación entre cada N-ésima parte del conjunto y el
todo es r = 1 / b [2].
1.3.2. Curva de Koch
El matemático sueco Helge Von Koch quien, en 1904, introdujo lo que se
conoce como curva de Koch. Para su construcción geométrica se comienza con un
segmento de recta de longitud unitaria. Después se divide la línea en tres
segmentos, se reemplaza el segmento central por dos líneas de longitud de 1/3
como se muestra en la figura 1.4. Por lo tanto, queda con cuatro lados, cada uno de
longitud 1/3, de modo que la longitud total es 4/3. Para obtener una curva fractal,
se repite este proceso para cada uno de los cuatro nuevos segmentos y así
sucesivamente. En cada paso, la longitud se aumentó por 4/3 de modo que la
longitud total se aproxima a infinito. Después de repetir este proceso varias veces,
se puede ver que la curva se vuelve borrosa. De hecho, se tiene una curva continua
que no es diferenciable. En cierto sentido, esta nueva curva está tratando de cubrir
un área. Por lo tanto, tenemos la paradoja aparente de una curva continua que tiene
algunas propiedades de un área. No es de extrañar que se pueda definir una
dimensión de esta curva fractal que resulta en un valor entre 1 y 2 [2].
Figura 1.4. Construcción parcial de la curva de Koch.
11
1.3.3. Triángulo de Sierpinski
En 1916, el matemático polaco Waclaw Sierpinski introdujo otro fractal
clásico, el triángulo de Sierpinski. La construcción puede realizarse de la siguiente
manera. Considere un triángulo equilátero, se divide el triángulo en cuatro
triángulos equiláteros. Se elimina el triángulo central, esto proporciona el objeto
generador, el proceso se sigue para los triángulos restantes de manera indefinida.
El fractal resultante se puede observar en la figura 1.5. Además del triángulo de
Sierpinski también se tiene otros fractales como lo son la carpeta de Sierpinski [7].
Figura 1.5. a) Triángulo de Sierpinski y b) carpeta de Sierpinski.
1.4. Aplicaciones de los fractales
Aunque en los primeros años pudo parecer que los fractales eran meras
curiosidades matemáticas sin ninguna utilidad práctica, su uso se restringía sólo a
unos pocos matemáticos teóricos, con el paso del tiempo se encontraron
12
innumerables aplicaciones en ciencias tan diversas como: física, química,
economía, biología, geografía, informática, entre otras [4].
La geometría fractal está permitiendo describir matemáticamente y en
forma más o menos sencilla, objetos y fenómenos que se habían considerado muy
complejos como la geometría de algunos helechos y de superficies materiales, o
simplemente caóticos como el movimiento Browniano, auxiliando además a escalar
geometrías y propiedades tanto desde niveles atómicos o de dimensiones
espaciales, hasta las escalas macroscópicas en que nuestros sentidos son capaces
de captar [8]. A continuación, se mencionan algunas aplicaciones en distintas áreas
de la ciencia.
En geografía: Se utilizan los fractales para calcular distancias con mayor
precisión. En la elaboración de mapas en tres dimensiones los fractales permiten
entregar una imagen 99.9% real en comparación con la forma de nuestro planeta y
su geomorfología, también permite describir el comportamiento de crecidas de un
río. Este efecto es conocido como “efecto Josué” [4].
En medicina: Se utilizan los fractales para predecir la enfermedad de la
Osteoporosis, el proceso implica un estudio fractal de la textura de los huesos para
predecir como evolucionaría la enfermedad [4]. El cerebro, los conductos
sanguíneos y los alveolos pulmonares poseen una estructura fractal, con lo cual, el
uso de esta geometría en su estudio es de gran ayuda [9].
En economía: El uso de la geometría fractal permite realizar un análisis del
mercado bursátil más realista. Además permite explicar de manera más consistente
las observaciones empíricas [10].
En ingeniería electrónica: Los diseños de antenas en un inicio se obtenían a
partir del uso de geometría euclidiana, la cual permite toda su eficiencia en una
frecuencia central. Hoy en día el uso de teoría fractal, permite el diseño y
construcción de antenas, así como arreglos con características multibanda, tamaño
13
compacto, mayor ancho de banda, etc. Esta área de investigación se conoce como
Ingeniería de Antenas Fractales (Fractal Antenna Engineering), y aunque su
desarrollo no es tan amplio, se espera un mayor crecimiento en los próximos años
[11].
En ingeniería en computación: En aplicaciones que permiten la compresión
de imágenes las cuales se dividen en dos métodos: con pérdida de datos y sin
pérdida de datos. El uso de algoritmos basados en transformaciones fractales (con
pérdida), ha conseguido mejorar la compresión y descompresión de imágenes
mediante la aplicación de este tipo de algoritmos [6, 12].
En telecomunicaciones: El análisis de tráfico en redes de telecomunicaciones
es una parte importante en el diseño, ya que esto permite optimizar el uso de las
mismas. Los métodos de análisis se realizan generalmente, basados en un
comportamiento de acuerdo a la distribución de Poisson. Actualmente debido al
crecimiento exponencial que tiene Internet, se ha visto un comportamiento en el
tráfico con naturaleza fractal, por lo cual el uso de geometría fractal permite
obtener mejores resultados en análisis de tráfico [13].
Figura 1.6. Aplicación de los fractales a) alveolos pulmonares, b) antena fractal.
14
En la figura 1.6 se puede observar en la parte izquierda los alveolos
pulmonares, mientras en la parte derecha el patrón de radiación obtenido en una
antena fractal basada en el triángulo de Sierpinski.
Actualmente el uso de la teoría fractal en diferentes áreas de la ciencia e
ingeniería ha aumentado, sin embargo al ser una teoría relativamente nueva su
desarrollo teórico y práctico no es tan amplio. Aunque al ser utilizado por un gran
número de disciplinas su desarrollo promete ser bastante grande.
1.5. Métodos para construcción de fractales
El desarrollo de computadoras con mayores capacidades de procesamiento,
ha sido un factor importante en el desarrollo de la teoría fractal. Este adelanto
tecnológico ha conseguido la creación de algoritmos que permiten la construcción
de objetos fractales de manera práctica, aprovechando la característica de
recursividad de los mismos. Dentro de estos algoritmos o técnicas más comunes
podemos encontrar los siguientes [6, 14].
Sistemas Lindenmayer.
Sistemas de funciones iteradas (Iterated Function Systems).
1.5.1. Sistema Lindenmayer
En 1968, el biomatemático de origen holandés Aristid Lindenmayer
desarrolló un sistema autómata celular para modelar el crecimiento y ramificación
de las plantas, el desarrollo embrionario, construcción de fractales autosimilares,
entre otras aplicaciones en biología. Este sistema es conocido como sistema
Lindenmayer o sistema L. Se trata de un procedimiento de reescritura de cadenas
15
de símbolos seguido de una interpretación geométrica, empleando de manera
recursiva reglas de transformación dependiendo del nivel de iteración.
Los sistemas L, constan de un conjunto de reglas para generar cadenas de
símbolos y otras denominadas reglas de producción. Las reglas de producción
forman nuevas cadenas de símbolos como resultado de su aplicación a cada uno de
los símbolos de una cadena preexistente [15].
1.5.2. Sistema de funciones iteradas
El sistema de funciones iteradas (Iterated Function Systems, IFS), fue
desarrollado por el matemático británico Michael Barnsley. Esta técnica es de las
más usadas para la generación de fractales. Consiste en una serie de
transformaciones afines. Esta transformación afín se aplica al conjunto inicial y se
representa como la matriz w. Una transformación afín consiste de una rotación, una
translación y un escalamiento que modifica a cada uno de los puntos que componen
la figura o la curva fractal. La ecuación 1.3 muestra dicha transformación [3, 6].
𝑥′𝑦′ = 𝑤
𝑥𝑦 =
𝑎 𝑏𝑐 𝑑
𝑥𝑦 +
𝑒𝑓 1.3
Donde x, y son los puntos del objeto inicial, w es la transformación afín y x’, y’
son los puntos obtenidos al aplicar la transformación. Los parámetros a, b, c y d se
encargan de realizar la rotación de cada punto, mientras que sus magnitudes
corresponden al factor de escalamiento. Los parámetros e y f realizan la translación
lineal del punto sobre el que se aplican.
16
Una única transformación no genera un objeto fractal, pero una serie de
transformaciones si lo hace. Considere el siguiente conjunto de transformaciones
afines w1, w2, w3,…, wn, las cuales se aplican al objeto A, este resultado puede
expresarse de la manera siguiente:
𝑊 = 𝑤𝑛𝐴
𝑁
𝑛=1
(1.4)
Donde W es el resultado de la unión de todas las transformaciones aplicadas,
y es conocido como el operador de Hutchinson [3, 6]. Un sistema IFS genera una
imagen que converge a la imagen fractal. Esta imagen se denomina atractor [3].
Conclusiones
La teoría fractal es capaz de describir de una manera más adecuada objetos
irregulares presentes en la naturaleza como montañas, nubes, caudales de ríos,
galaxias, así como fenómenos físicos, dentro los que se encuentran la trayectoria de
rayos, el movimiento Browniano, sistemas dinámicos caóticos, etc. Las
características presentes en los fractales los hacen más adecuadas para modelar a
la naturaleza.
Del mismo modo, las aplicaciones en las diversas áreas de la ciencia e
ingeniería son debidas al gran parecido entre ellos y la naturaleza.
Debido al hecho de que la geometría fractal es una teoría relativamente
moderna, el desarrollo que ésta presenta no es tan extenso, como la geometría
euclidiana, pero su aplicación en el mundo actual promete un gran desarrollo.
17
Además con el avance de la computación se pueden crear fractales con relativa
facilidad, mediante el uso de sistemas de funciones iteradas (IFS) o sistemas L.
En el ámbito de la ingeniería de antenas, el uso de teoría fractal permite diseñar
antenas con mejores características, a las antenas diseñadas con base en la
geometría euclidiana. Estas características permiten que las antenas diseñadas
sean más compactas y posean un mayor ancho de banda, entre otras
características.
18
Referencias
[1] Mandelbrot, Benoit B. The Fractal Geometry Of Nature. W. H. Freeman And
Company. Estados Unidos, 1982.
[2] Moom, Francis C. Chaotic And Fractal Dynamics: An Introduction For Applied
Scientists And Engineers. Wiley-VCH. Alemania, 1992. Pág. 1 – 9, 325 – 334.
[3] Hardy, H., Beir, Richard A. Fractals In Reservoir Engineering. Word Scientific
Publishing. Estados Unidos, 1994.
[4] María Oviedo, Lina Mónica, Kanashiro, Ana María. Fractales Un Universo
Poco Frecuentado. Universidad Nacional del Litoral. Santa Fe, 2005.
[5] Falconer, Kenneth. Fractal Geometry: Mathematical Foundation and
Applications. Wiley & Sons. New York, 1990.
[6] Barnsley, Michael F. Fractal Everywhere. Morgan Kaufmann. San Diego,
1993.
[7] Perera, Jorge G., Spinadel, Vera. Geometría Fractal. Nueva Librería.
Argentina, 1993.
[8] González, Virgilio A., “Fractales: fundamentos y aplicaciones”, Facultad de
ingeniería mecánica y eléctrica UANL. Nuevo León, 2010.
[9] S. Havlin, S.V. Bulyrev, A.L. Goldberger, R.N. Mantegna, S.M. Ossadnik, C.
Peng, M. Simmons, H.E. Stanley. “Fractals In Biology And Medicine”,
Pergamom Press. Gran Bretaña, 1995.
[10] Gasparri, María Teresa, Moreno, Alejandro, “Geometría Fractal y Mercados
Financieros”, CMA. Universidad de Buenos Aires.
[11] Werner, Douglas H., Ganguly, Suman. “An Overview of Fractal Antenna
Engineering Research”, IEEE Antennas and Propagation Magazine. IEEE
Antennas and Propagation Society. Vol. 45, 2003.
[12] Curtis, Sharon, Martin, Clare. “Functional Fractal Image Compression”,
Deparment of Computing Oxford University. Reino Unido, 2005.
19
[13] Liu, Jian. Fractal Network Traffic Analisys with Applications. Georgia Institute
of Technology. School of Electrical and Computer Engineering. Estados
Unidos, 2006.
[14] Olivares Monroy, Cesar. Curvas Fractales. Alfaomega. México, 2002.
[15] Lahoz-Beltrá, Rafael. Bioinformática: Simulación, vida artificial e inteligencia
artificial. Diaz de Santos. España, 2004.
[16] Ayala Carcedo, Francisco, Olcina Cantos, Jorge. Riesgos naturales. Ariel
Ciencias. Barcelona, 2002.
20
CAPÍTULO 2. ESTADO DEL ARTE DE ANTENAS
FRACTALES
El desarrollo actual de los sistemas de radiocomunicación en los sectores
militar y comercial ha dado pie al diseño de antenas de bajo perfil, tamaño
compacto, banda ancha y/o comportamiento multibanda. En el caso de antenas
fractales el mayor ancho de banda y comportamiento multibanda se debe a la
propiedad de autosimilitud presente en la estructura fractal [1, 2].
Existen diversas técnicas de diseño que permiten la obtención de las
características antes mencionadas, pero con sus limitaciones. Por otra parte, la
aplicación de la geometría fractal en el diseño de antenas también permite el
alcance de estos objetivos. Esta combinación de la teoría electromagnética y teoría
fractal ha traído como resultado la electrodinámica fractal, la cual investiga la
radiación, propagación y dispersión electromagnética en objetos fractales.
Debido a que la geometría fractal se deriva de la geometría clásica, ésta
proporciona a ingenieros la posibilidad de estudiar configuraciones para el diseño
de antenas que la geometría euclidiana no permitía. La ingeniería de antenas
fractales tiene como objetivo el diseño de antenas con forma fractal y el uso de
formas fractales para el diseño de arreglos de antenas [1].
21
2.1. Monopolo fractal
Ciertos monopolos basados en curvas fractales pueden ser diseñados para
tener una longitud física arbitrariamente grande en un espacio reducido, debido a
que, en cada iteración aumenta la longitud de la antena. Esto puede limitar el
espacio en el momento de adaptarlos a un volumen determinado. El “monopolo
fractal” se obtiene reemplazando la estructura convencional del monopolo por la
estructura fractal [3].
2.1.1. Monopolo de Koch
Uno de los primeros fractales utilizados para el diseño de antenas es la curva
de Koch, por lo que es común encontrar diferentes tipos de antenas fractales con
esta geometría [1]. Una antena con esta geometría es el monopolo de Koch, el cual
es un ejemplo eficaz de como los fractales pueden mejorar algunas de las
características comunes de las formas euclidianas. Su longitud aumenta en un
factor (4/3)n, donde n es el orden de iteración de la curva. Esta curva no es
diferenciable, lo que significa que su forma es muy angulosa y desigual. Por lo tanto,
aparece como un buen candidato para convertirse en un radiador eficiente.
Investigaciones recientes han revelado que antenas tipo monopolo y los derivados
de este fractal presentan una función directa entre el aumento del volumen efectivo
de la antena y la frecuencia de resonancia. Como resultado de esta característica se
han reportado antenas de banda ancha, tamaño compacto y/o múltiples
frecuencias de resonancia [3].
En la figura 2.1 se muestra la gráfica del parámetro S11 de un monopolo
planar y un monopolo basado en la curva de Koch. Se muestran los valores
obtenidos mediante un software de simulación y obtenidos a través de mediciones
22
en ambas antenas. Se puede observar que el monopolo de Koch presenta tres
frecuencias de resonancia en comparación con una única frecuencia de resonancia
presente en el monopolo planar clásico [4].
Figura 2.1 Simulación y medición del parámetro S11 de un monopolo planar y un monopolo de Koch.
La impedancia de entrada aumenta cada vez que la longitud aumenta, esto
sin aumentar el tamaño. De igual manera la resistencia óhmica y de radiación
crecen, sobre un amplio intervalo de frecuencias menores al límite de la frecuencia
de la antena eléctricamente pequeña. También la frecuencia de resonancia cambia
hacia mayores longitudes de onda, con lo cual se obtienen antenas eléctricamente
pequeñas [5].
23
2.1.2. Monopolo de Sierpinski
El triángulo y la carpeta de Sierpinski son parte de las formas clásicas dentro
de la geometría fractal, por tal motivo su uso dentro del diseño de antenas no podía
faltar. La primer antena fractal tipo monopolo basada en el triángulo de Sierpinski,
poseía características multibanda y fue construída por Carles Puente [1].
Las antenas construidas con la topología del triángulo de Sierpinski se
caracterizan por tener un comportamiento multibanda debido a su forma
autosimilar, donde una antena monopolo ha demostrado ser un candidato
excelente para aplicaciones multibanda. La geometría de la antena construida a
partir del triángulo de Sierpinski está totalmente determinada por cuatro
parámetros, a conocer, la altura del triángulo, el ángulo de elevación, el número de
iteraciones y el factor de escala. El monopolo de Sierpinski presenta un
comportamiento log-periódico, de igual manera el patrón de radiación es
invariante ante el cambio de la frecuencia de resonancia, de acuerdo al número de
iteraciones es el número de frecuencias a la que es resonante. Sin embargo, la
restricción para la impresión tradicional del monopolo en un PCB (Printed Circuit
Board) es su gran tamaño físico, impuesto por el hecho de que el espacio entre sus
dos primeras bandas, es independiente del factor de autosimilitud. Se han
estudiado modificaciones de la junta de Sierpinski con la finalidad de reducir el
tamaño de la antena, por ejemplo, la modificación del ángulo de elevación o el
factor de escala.
24
Figura 2.2. Antena monopolo basada en el triángulo de Sierpinski.
La figura 2.2 muestra un monopolo basado en el triángulo de Sierpinski en el
cual se ha modificado el factor de escala para reducir su tamaño [6].
2.2. Dipolo Fractal
El dipolo clásico es un radiador compuesto por dos conductores lineales
rectos alimentados simétricamente. En los “dipolos fractales” se emplea una curva
fractal para cada brazo. Se han reportado ampliamente las curvas de Koch y los
árboles fractales 2D como brazos del dipolo, en implementaciones de alambre e
impresas. Otras figuras fractales como los árboles tridimensionales y las curvas de
Peano y de Hilbert, también han sido empleadas en la configuración del dipolo [7].
2.2.1. Dipolo de Koch
El desarrollo de nuevas técnicas para miniaturizar antenas tipo dipolo
construido de manera convencional, ha llevado la aplicación de formas fractales
para el diseño y construcción de antenas de esta clase [1, 8]. Para la construcción
25
de una antena dipolo a través del uso de la curva de Koch, se realiza un reemplazo
de los brazos de un dipolo clásico por la estructura fractal. El uso de la curva de
Koch para la construcción de dipolos ha permitido realizar reducciones en tamaño
de hasta un 60%, en comparación con un dipolo construido de forma tradicional.
Figura 2.3. Comparación entre dipolos a) Koch, b) microcinta, c) alambre.
La figura 2.3 muestra la comparación entre tres diferentes antenas dipolo.
Utilizando el método fractal se puede observar la disminución del tamaño en
relación a las otras dos antenas. Las tres antenas se diseñaron para trabajar a una
frecuencia de 900 MHz, donde el dipolo de Koch presenta una tercera iteración en
su construcción. La longitud del dipolo de microcinta posee una longitud de 10 cm,
mientras el dipolo de Koch tiene una longitud de 6 cm, esto demuestra una
reducción del 40 % de la longitud en comparación con el dipolo de microcinta
construido de manera convencional [8].
Investigaciones recientes proponen la combinación de formas fractales para
crear antenas dipolo híbridas con la finalidad de obtener radiadores de doble
banda y de tamaño compacto [9].
26
2.2.2. Dipolo de árbol
Investigaciones acerca del uso del fractal de árbol en el diseño de dipolos,
han proporcionado resultados similares a los del dipolo de Koch, demostrando
como disminuye la frecuencia de resonancia a medida que aumenta el número de
iteraciones, e igualmente como ésta se aproxima a un límite en el cual agregar una
iteración al fractal no contribuye significativamente a reducir la frecuencia de
resonancia. En cuanto al patrón de radiación los resultados también son muy
similares a los del dipolo de Koch [8]. Una variación interesante es el árbol 3D
activado por interruptores RF (Radiofrecuencia) en el cual se puede tener un
comportamiento de banda ancha relativamente grande activando o desactivando
ciertas porciones del fractal. Un switch RF es un dispositivo mecánico utilizado en
sistemas de radiofrecuencia, el cual es el encargado de conmutar entre diversos
dispositivos como antenas, acopladores, dispositivos de medición, etc; con la
finalidad de tener una mínima pérdida de inserción y un aumento de los canales de
transmisión. Esto hace posible un comportamiento multibanda reconfigurable.
También se observó una reducción del 57% de la frecuencia central para obtener
una frecuencia más baja, el ancho de banda puede ser sintonizado hasta un 70%
[10].
La figura 2.4 muestra la gráfica del parámetro S11 así como la ROE (Relación
de Onda Estacionaria) de la antena dipolo reconfigurable basada en el fractal de
árbol. Donde se puede modificar el número de ramificaciones de la antena
mediante los switch RF [10].
27
Figura 2.4. Parámetro S11 y ROE.
2.3. Antena fractal de alta directividad
Una variante de la curva de Koch es el copo de nieve de Koch o también
llamado isla de Koch. Este fractal se construye con la unión de tres curvas de Koch.
A partir de esta forma fractal se pueden obtener diseños de antenas que cumplen
con características de banda ancha y bajo perfil. Dentro de este tipo de diseños se
pueden encontrar modificaciones a la estructura fractal para mejorar las
características de la antena [1, 11]. Una modificación en particular, es la efectuada
en una antena de parche construida a partir de la estructura de la isla de Koch en
una tercera iteración. El aumento de la directividad se logra mediante la
28
introducción de una ranura con forma idéntica a la del parche, esta ranura tiene un
tamaño menor dado por un determinado factor de escala.
La introducción de la ranura modifica la distribución de corriente en los
límites de la estructura fractal y en consecuencia la directividad del radiador.
Figura 2.5. Patrón de radiación de la antena de parche basada el copo de nieve de Koch con una ranura.
La figura 2.5 muestra el patrón de radiación de la antena de parche con una
ranura en forma fractal construida en un sustrato de FR4. Durante el momento de
operación de la antena, la densidad de corriente superficial en la antena de parche
se distribuye en la periferia del parche, esto permite la introducción de la ranura en
el centro del parche. Esta modificación de la estructura consigue un aumento en la
directividad de la antena sin modificar el ancho de banda [11].
29
2.4. Antena fractal con metamateriales
Investigaciones recientes sobre diseño de antenas de microcinta con
metamateriales han sido de gran interés con el objeto de mejorar el rendimiento de
las antenas. El uso de metamateriales se ha limitado al diseño de antenas
eléctricamente pequeñas y el uso en diseño de antenas fractales con
metamateriales ha sido poco desarrollado [12].
En principio, un metamaterial es un elemento fabricado de manera artificial
a partir de sustancias naturales. Estos nuevos materiales poseen propiedades que
no se encuentran en la naturaleza. Los metamateriales presentan valores de
permeabilidad (µ) y permitividad (ϵ) negativos. Las propiedades que presentan
dependen más de su estructura que de su composición [13]. Por ejemplo, el uso de
estructuras fabricadas con metamateriales en el plano de tierra de la antena
permite el aumento del número de frecuencias de resonancia de la antena, así como
una mayor directividad.
Figura 2.6. Parámetro S11 de la antena fractal basada en la curva de Hilbert construida con técnicas de metamateriales.
30
La figura 2.6 muestra la gráfica del parámetro de dispersión S11 de la antena
fractal diseñada a partir de la curva de Hilbert, la cual fue construida con técnicas
de metamateriales. En ella se puede observar múltiples frecuencias de resonancia.
2.5. Antena fractal sobre sustrato piezoeléctrico
La construcción de antenas con sustratos que poseen un elevado valor de la
permitividad permite la reducción del tamaño de la antena. Los dispositivos SAW
por sus siglas en inglés Surface Acoustic Wave, utilizan un material piezoeléctrico.
El material piezoeléctrico transforma la energía de una onda electromagnética
variante en el tiempo a energía mecánica o viceversa. Debido a la naturaleza
cristalina del material piezoeléctrico presenta de manera anisotrópica una alta
permitividad.
Para el diseño de este tipo de antenas, se coloca el plano de tierra entre el
material piezoeléctrico y el material FR4. La ampliación del tamaño del plano de
tierra aumenta la frecuencia de resonancia de la antena.
La figura 2.7 muestra el orden en el cual se coloca el material piezoeléctrico.
Si el plano de tierra se coloca bajo el PCB y el material piezoeléctrico arriba de éste,
se consigue que la permitividad sea igual a la del PCB, lo que hace ineficiente el uso
del material piezoeléctrico [14].
Figura 2.7. Antena fractal construida sobre un sustrato piezoeléctrico.
31
2.6. Antena fractal planar F-Invertida
La antena PIFA (Planar Inverted-F Antenna) es una antena de microcinta de
bajo perfil y tamaño compacto, por esta razón se utiliza en equipos portátiles.
Posee una gran sensibilidad a las ondas de radio con polarización vertical y
horizontal, lo cual la hace una opción perfecta para aplicaciones en comunicaciones
móviles. También es capaz de reducir la absorción de energía electromagnética en
la cabeza del usuario producida por el teléfono. Debido a que la emisión
electromagnética por la parte trasera de la antena es menor, por lo cual posee un
valor SAR (Specific Absorption Rate) bajo. Sin embargo, las antenas PIFA no tienen
un comportamiento multibanda y su ancho de banda es estrecho. Por esta razón, el
diseño de antenas PIFA a partir de una estructura fractal es capaz de brindar a este
tipo de antenas características multibanda [9].
Figura 2.8. (a) Antena F-invertida construida a partir de la carpeta de Sierpinski, (b) antena montada en un
teléfono móvil.
La figura 2.8 muestra (a) el diseño de una antena planar F-invertida basada
en el fractal conocido como la carpeta de Sierpinski y (b) antena montada en un
teléfono celular.
32
2.7. Antena fractal de Ultra Banda Ancha
Las antenas de ultra banda ancha (Ultra Wideband) se han convertido en un
tema de investigación bastante importante. Esto se debe a su gran capacidad de
transmisión y/o recepción de ondas electromagnéticas de menor duración. Por otra
parte, también evitan la dispersión de la frecuencia. La gran mayoría de antenas
monopolo de ultra banda ancha no son planas. El uso de formas fractales en el
diseño de antenas UWB (Ultra Wide Band) permite la creación de antenas planas. El
artículo titulado “On the Design of CPW- Fed Ultra Wideband Triangular Wheel
Shape Fractal Antenna” propone una antena de ultra banda ancha basada en un
fractal en forma de rueda triangular [8].
Para la construcción de este fractal se toma un parche en forma de círculo de
radio r, ésta representa al iniciador. Al iniciador se le resta la porción de superficie
formada por la superposición de cuatro triángulos equiláteros a 0°, 90°, 180° y
270°.
Posteriormente, al círculo de radio menor a r formado por el interior de la
estructura anterior se vuelve a extraer cuatro triángulos equiláteros de acuerdo a
su tamaño, este proceso se repite de manera infinita, en este caso se efectúa hasta
tener cuatro iteraciones. Las cuatro iteraciones deben estar conectadas, el parche
se encuentra sobre una capa de FR4 y es alimentada a través de una guía de onda
coplanar (Coplanar Wave Guide, CPW) de 50 Ω.
33
Figura 2.9. Antena fractal de Ultra Banda Ancha.
En la figura 2.9 se observa el diseño de la antena de ultra banda ancha
alimentado por una guía de onda coplanar (CPW) con lo cual se elimina el plano de
tierra y se mejora el ancho de banda. La antena posee un ancho de banda de 0.86
GHz a 11.49 GHz [8].
34
Conclusiones
La implementación de la geometría fractal en el diseño de antenas ha
permitido la construcción de antenas con características de bajo perfil, mayor
ancho de banda y respuesta multibanda. Características que hoy en día son de suma
importancia debido a la evolución de los sistemas de radiocomunicaciones.
La combinación entre diversas técnicas de diseño y las propiedades que
brindan las formas fractales, permiten potencializar estas características o dotar de
nuevas a las antenas. También, la modificación de las geometrías clásicas ha traído
como resultados mejoras en el rendimiento, disminución de tamaño, etc. Estas
modificaciones permiten la implementación de las antenas en sistemas que así lo
requieran.
De igual manera, el uso de materiales en la construcción de antenas
diferentes a los usados de manera convencional, por ejemplo, los metamateriales
cuyas propiedades no se encuentran en la naturaleza. La construcción de antenas
con geometría fractal y metamateriales permiten el aumento de frecuencias de
resonancia sin modificar considerablemente las propiedades inherentes del
radiador primario.
35
Referencias
[1] Werner, Douglas H., Ganguly, Suman. “An Overview of Fractal Antenna
Engineering Research”, IEEE Antennas and Propagation Magazine. IEEE
Antennas and Propagation Society. Vol. 45 2003.
[2] Tiehong, Tian., Zheng, Zhou. “A Novel Multiband Antenna: Fractal Antenna”.
2003 Internacional Conference on Communication Technology Procedings.
Institute of Electrical and Electronics Engineers. China, Beijing. 9 – 11 Abril
2003.
[3] Puente Baliarda, Carles., Romeu, Jordi. “The Koch Monopole: A Small Fractal
Antenna”. IEEE Antennas and Propagation Magazine. IEEE Antennas and
Propagation Society. Vol. 48, 2000.
[4] Ismahayati, A., “Design and Analysis of a Multiband Koch Fractal Monopole
Antenna”. 2011 IEEE Internacional RF and Microwave Conference. Institute
of Electrical and Electronics Engineers. Malasia, Seremban. 12 – 14
Diciembre 2011.
[5] Suarez, Carlos., Rincon, Diego. “Antenas Fractales”. Ingeniería. Facultad de
Ingeniería Universidad Distrital Francisco José de las Caldas. Vol. 6, 2001.
[6] Krzysztofik, Wojciech J. “Modified Sierpinski Fractal Monopole for ISM-
Bands Hanset Applications”. IEEE Transactions On Antennas and
Propagation Magazine. IEEE Antennas and Propagation Society. Vol. 57,
2009.
[7] Ramirez Arroyave, Germán. Diseño de una antena multibanda basada en
fractales para redes móviles inalámbricas de banda ancha en las frecuencias
de 0.9, 2.4 y 3.5 GHz. Universidad Nacional de Colombia. Departamento de
Ingeniería de Sistemas e Industrial. Colombia, 2009.
[8] Hamzah, S. A., Raimi, M. K. “Design, Simulation, Fabrication and
Measurement of a 900 MHz Koch Fractal Dipole Antenna”. 4th Student
36
Conference on Research and Development. Institute of Electrical and
Electronics Engineers. Malasia, Selangor. 27 – 28 Junio 2006.
[9] Mondan, Arpal., Chakraborty, Sandeep. “Miniaturized and Dual Band Hybrid
Koch Fractal Dipole Antenna Design”. 2011 Internacional Conference on
Computer, Communication and Electrical Technology. Institute of Electrical
and Electronics Engineers. India, Tamil Nadu. 18 – 19 Marzo, 2011.
[10] Petko, J. S. “Miniature reconfigurable three-dimensional fractal tree
antennas”. IEEE Transactions On Antennas and Propagation Magazine. IEEE
Antennas and Propagation Society. Vol. 52, 2004.
[11] Younas, Abbas., Ahmed, Zubair. “A New High-Directivity Fractal Antenna
Based on the Modified Koch Snowflake Geometry”. 2012 Asia-Pacific
Microwave Conference Procedings. Institute of Electrical and Electronics
Engineers. Japon, Yokohama. 7 – 10 Diciembre 2010.
[12] Suganthi, S., Raghavan, S. “A Compact Hilbert Curve Fractal Antenna on
Metamaterial Using CSRR”. 31st Progress In Electromagnetics Research
Symposium. The Electromagnetics Academy. Malasia, Kuala Lumpur. 27 -30
Marzo 2012.
[13] Stekolschik, Gabriel. “Luz Obediente”. EXACTAmente, Facultad de Ciencias
Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires. 1 Novienbre de 2011
[14] Tang, Tzu-Chun., Tsai, Cheng-Han. “Fractal GPS Antenna Design on
Piezoelectric Substrate”. 2012 Asia-Pacific Microwave Conference
Procedings. Institute of Electrical and Electronics Engineers. Japon,
Yokohama. 7 – 10 Diciembre 2010.
[15] Saidatul, N. A., Azremi, A. A. H. “Multiband Fractal Planar Inverted F Antenna
(F-PIFA) For Mobile Phone Application”. The Electromagnetics Academy.
Progress In Electromagnetics Research B. Vol. 14, 127 – 128. 2009.
37
[16] Raj Kumar, P. Malathi. “On the Design of CPW-Fed Ultra Wideband
Triangular Wheel Shape Fractal Antenna”. International Journal Of
Microwave And Optical Technology. International Symposium on Recent
Advances in Microwave Technology. Vol. 5, Marzo 2010.
38
CAPÍTULO 3. ANTENA FRACTAL DE ALAMBRE
Y ANTENA FRACTAL PLANARIZADA
En este capítulo se presenta una breve explicación de las características de
la antena dipolo, con la finalidad de sustentar el diseño de la antena fractal planar y
la antena fractal de alambre, ambas basadas en la curva de Koch. Se describe el
proceso para el diseño de las antenas, comenzando por el cálculo de la longitud de
cada dipolo. De igual manera se presentan los resultados de los diseños obtenidos a
través del software de simulación electromagnética HFSS y finalmente se muestra
la comparación entre los dipolos fractales diseñados y los dipolos convencionales
operando con las mismas características de diseño.
3.1. Antena dipolo
Un dipolo es un radiador comúnmente construido con un alambre o varilla
metálica recta con un punto de alimentación en el centro mediante una línea de
transmisión balanceada la cual lleva corrientes iguales pero de flujo opuesto. Muy a
menudo, una antena dipolo tiene dos brazos simétricos radiantes, pero esto no
siempre ocurre ya que la energía puede ser suministrada electromagnéticamente
en él o puede ser alimentado mediante una derivación. Las posibles distribuciones
de corriente a través del dipolo están determinadas por la longitud del mismo [1].
39
Las antenas monopolos, dipolos y antenas de bucle, así como los arreglos
asociados a las mismas son utilizadas comúnmente en sistemas de
radiocomunicación y en la medición de energía electromagnética [2].
3.1.1. Dipolo de media onda
El dipolo elemental posee teóricamente, una longitud igual a la longitud de
onda de la señal a radiar. Para el caso del dipolo de media longitud de onda, la
longitud eléctrica se determina a través de la expresión siguiente.
𝑙 =𝑐
2𝑓𝑟 (3.1)
Donde l representa la longitud del dipolo, c es la velocidad de la luz en el
vacío y fr es la frecuencia de resonancia de la antena. Este dipolo de media onda
también es conocido como antena de Hertz, en honor a Heinrich Hertz, como su
nombre lo indica la longitud de la antena es igual a λ/2. Este dipolo es bastante
usado en aplicaciones cuya frecuencia de operación es mayor a 2 MHz. El dipolo de
media onda es una antena resonante y se encuentra en circuito abierto en los
extremos lejanos, esto produce ondas estacionarias a lo largo de la antena. La figura
3.1 muestra la longitud eléctrica de cinco dipolos de diferente longitud así como la
distribución de corriente a través de la estructura [1, 4].
40
Figura 3.1. Distribución de corriente sinusoidal ideal para un dipolo con longitudes distintas.
Como la longitud del dipolo de media onda equivale a λ/2, la longitud de
cada brazo del dipolo es igual a λ/4, por lo tanto, podemos expresar la longitud de
cada brazo del dipolo en términos de la frecuencia de resonancia mediante la
siguiente expresión.
=𝑐
4𝑓𝑟 (3.2)
Donde h es la longitud de un solo brazo del dipolo. En la figura 3.2 se
muestra un dipolo de media onda especificando la longitud eléctrica de cada brazo
[1].
Figura 3.2. Dipolo de media onda.
41
Se ha visto que la distribución de corriente en este tipo de antenas es
aproximadamente una sinusoide, con un valor nulo de corriente en la parte central
del radiador, por lo tanto, se puede expresar esta distribución mediante la ecuación
siguiente.
𝐼 𝑧 = 𝐼𝑚 𝑆𝑒𝑛 𝑘 − 𝑧 (3.3)
Donde I es la corriente en función de z y representa la distribución de
corriente a través de la antena, z representa la posición a lo largo del eje z, Im es la
amplitud máxima de la distribución de corriente, k representa el número de onda y
equivale a 2π/λ; h representa la longitud del brazo del dipolo.
A partir de la expresión de la distribución de corriente se obtiene el vector
de campo. Para la expresión del campo eléctrico radiado por el dipolo de media
onda, se tiene la expresión siguiente [3].
𝐸𝜃 = 𝑗𝐼𝑚60
𝑟𝑒−𝑗𝑘𝑟
cos(𝜋2 cos 𝜃)
𝑠𝑒𝑛 𝜃 (3.4)
Donde Eθ es la componente en θ del vector de campo eléctrico, r es la
distancia a la que se requiere obtener el valor del campo eléctrico, θ es el ángulo
formado entre el eje z y el plano xy. El patrón de radiación que se obtiene con la
expresión de campo eléctrico se muestra en la figura 3.3. Se puede observar que
posee forma de toroide con simetría respecto al eje z, también se aprecia la
radiación omnidireccional en el plano xy [3].
42
Figura 3.3. Patrón de radiación de un dipolo de media onda y corte transversal del mismo.
3.2. Antena dipolo de Koch
En los dipolos fractales se sustituye el conductor lineal mediante una
estructura basada en una curva fractal para obtener cada brazo del dipolo. En el
caso del dipolo de Koch consiste en construir sucesivamente cada rama del dipolo
según el proceso descrito en el apartado 1.2.3 del Capítulo 1 para la creación de la
curva. Al replegar así la antena se consigue no sólo obtener la misma longitud
eléctrica en un espacio menor, sino que su forma “rugosa” genera capacitancia e
inductancia adicional, evitando la necesidad de elementos externos para su
sintonización o para aumentar su ancho de banda. La frecuencia de resonancia es
menor a medida que el número de iteraciones del fractal crece [5].
Por otra parte, el patrón de radiación y la directividad, permanecen
constantes, independientemente del número de iteraciones. Se ha demostrado
matemáticamente que para que una antena ofrezca un comportamiento uniforme
en todas las frecuencias ha de satisfacer dos criterios: primero, debe presentar
simetría respecto a un punto, y segundo, debe ser autosimilar [5].
43
Figura 3.4. Antena dipolo de Koch de tercer orden.
En la figura 3.4 se puede observar el dipolo de Koch de tercer orden de
iteración, el cual es alimentado en la parte central. La diferencia de esta antena con
respecto al dipolo normal se encuentra en la variación de la frecuencia de
resonancia al aumentar el número de iteraciones de la curva. Como referencia se
utiliza la Iteración cero, un dipolo ordinario de altura 2h, manteniendo este
parámetro constante, se van añadiendo iteraciones considerando que con cada
iteración se aumenta la longitud efectiva de la antena en un factor (4/3)n [6].
Mediante la expresión siguiente se obtiene la longitud real del brazo de un dipolo
de Koch.
𝑙𝑘 = 4
3 𝑛
(3.5)
Donde 𝑙𝑘 es la longitud efectiva del brazo del dipolo fractal de Koch, es la longitud
del brazo de un dipolo convencional y 𝑛 el número de iteraciones de la curva. Por
lo tanto, la frecuencia de resonancia resulta afectada. Combinando la expresión
(3.2) y la expresión (3.5) se obtiene la ecuación para la frecuencia de resonancia de
un dipolo de Koch de media onda y se expresa a través de la ecuación siguiente.
𝑓𝑘 =𝑐
4𝑙𝑘 (3.6)
44
Al haber puntas y discontinuidades en la geometría, estas permitirán la
radiación antes de llegar al extremo del brazo y el resultado será un camino
efectivo para la corriente, que no está ligado directamente a la longitud total del
alambre [6, 7].
3.3. Especificaciones de diseño
Este trabajo de tesis propone el diseño y construcción de una antena dipolo
fractal. La propuesta incluye un dipolo fractal y un dipolo de alambre ambos
basados en la curva de Koch, requeridos en diferentes aplicaciones de acuerdo a las
características físicas como son: tamaño compacto, bajo perfil, material, tipo de
montaje, etc. El dipolo se ha elegido por sus características de radiación
omnidireccional y relativa facilidad de construcción, la frecuencia de operación de
2.4 GHz se ha elegido por pertenecer al grupo de frecuencias para uso industrial,
científico y médico (Industrial, Scientific and Medical; ISM) de acuerdo a la
recomendación ITU-R SM.1056-1 de la Unión Internacional de Telecomunicaciones
(International Telecommunication Union) [10].
La elección del fractal de Koch se ha basado en bibliografía referente a
aplicaciones de fractales y resultados publicados en diversos artículos de antenas
fractales, siendo utilizado para la miniaturización de antenas [6, 7, 8].
45
3.3.1. Especificaciones para la antena planar
La antena planar a diseñar cumplirá con las siguientes características.
La antena planar se basa en la curva de Koch de tercer orden de iteración.
El sustrato es un Rogers RT/Duroid 5880 de una sola cara, con un valor de
permitividad relativa (ϵr) igual a 2.2, tangente de pérdidas equivalente a
0.009 y un espesor de sustrato de 1.27 mm.
Frecuencia de operación igual a 2.4 GHz.
3.3.2. Especificaciones para la antena de alambre
La antena de alambre se basará en la curva de Koch con un orden de
iteración de dos. En esta antena se consideró un orden menor de iteración en la
construcción de la curva, esto se debe al tamaño de los segmentos que estarían
presentes en una curva de orden tres, lo cual implica una mayor dificultad en la
realización de los dobleces en el alambre si se pretendiera fabricar. La antena de
alambre diseñada cumplirá con las siguientes características.
Un alambre con diámetro de 1.5 mm.
Frecuencia de operación igual a 2.4 GHz.
46
3.4. Diseño por computadora del dipolo fractal planar
Para el diseño y simulación de ambas antenas se utiliza el programa de
simulación electromagnética HFSS (High Frequency Structure Simulator)
perteneciente a la empresa Ansoft Corporation. Este software es bastante útil en el
diseño de circuitos pasivos de RF, antenas, líneas de transmisión, guías de onda,
entre otros. La solución de estas estructuras se efectúa mediante el “Método de
Elementos Finitos”, el uso de este software permite obtener el diseño de manera
relativamente más simple. También es posible realizar modificaciones al diseño;
dentro de los resultados que ofrece el software, tenemos los siguientes: patrón de
radiación, parámetros S (Scattering), parámetros Z, parámetros Y, impedancia de
entrada, ganancia, directividad, etc.
3.4.1. Generación de la curva de Koch
La curva de Koch de tercer orden necesaria para el diseño de la antena
planar, se construye mediante un sistema de funciones iteradas, este método ha
sido explicado en el Capítulo 1. El sistema “IFS” implementado para construir la
curva de Koch de tercer orden lo constituyen 64 transformaciones afines, las
mismas se han introducido como superficies independientes en el programa HFSS.
El número de transformaciones afines necesarias se incrementa al aumentar el
orden de la curva, en la tabla 3.1 se muestran el número de transformaciones
necesarias para la construcción de la curva de Koch de orden cero a un orden cinco.
47
Tabla 3.1. Comparativa entre el número de iteraciones de la curva de Koch y el número de transformaciones afines necesarias para su construcción.
Iteración de la curva Número de transformaciones afines
0 1
1 4
2 16
3 64
4 256
5 1024
La curva de orden uno se considera el generador del fractal, debido a que la
figura total está formada por varias copias del generador a diversas escalas. Las
transformaciones que se utilizan para obtener el generador se expresan a
continuación.
𝑊1 𝑥´
𝑦′ =
1
𝑠0
01
𝑠
𝑥
𝑦 3.7𝑎
𝑊2 𝑥´
𝑦′ =
𝐶𝑜𝑠 𝜃
𝑠−𝑆𝑒𝑛 𝜃
𝑠𝑆𝑒𝑛 𝜃
𝑠
𝐶𝑜𝑠 𝜃
𝑠
𝑥
𝑦 +
1𝑠0 (3.7𝑏)
𝑊3 𝑥´
𝑦′ =
𝐶𝑜𝑠 𝜃
𝑠
𝑆𝑒𝑛 𝜃
𝑠
−𝑆𝑒𝑛 𝜃
𝑠
𝐶𝑜𝑠 𝜃
𝑠
𝑥
𝑦 +
12
𝑆𝑒𝑛 𝜃𝑠
(3.7𝑐)
𝑊4 𝑥´
𝑦′ =
1
𝑠0
01
𝑠
𝑥
𝑦 +
𝑠 − 1𝑠0
(3.7𝑑)
48
Donde (x, y) representan la posición de la figura inicial, (x´, y´) son los puntos
resultantes de la transformación y están contenidos en W que a su vez representa
la transformación afín; θ es el ángulo de inclinación de los segmentos centrales y s
representa el factor de escala de la figura inicial. El factor de escala s está en función
del ángulo de inclinación de los segmentos centrales, la ecuación siguiente muestra
esta dependencia [7, 8].
𝑠 = 2 1 + 𝐶𝑜𝑠 𝜃 (3.8)
La expresión anterior indica la dependencia del factor de escala en función
del ángulo de inclinación de los segmentos centrales [8]. De manera particular, el
ángulo que se uso en la construcción de la curva de Koch es de 60°, por lo tanto el
factor de escala es igual a 3. En la figura 3.5 se muestran tres curvas de Koch de
primer a tercer orden de iteración. Se han construido en el software computacional
Mathematica introduciendo las respectivas transformaciones. De manera visual se
puede percibir el aumento de la longitud total de la curva conforme las iteraciones
se incrementan.
49
Figura 3.5. Curva de Koch de a) primer orden, b) segundo orden y c) tercer orden.
3.4.2. Longitud de los brazos para el dipolo planar
La longitud de la antena está en función de la frecuencia de resonancia de la
antena, por lo tanto se debe calcular la longitud de onda. Para obtener la longitud
de onda de la frecuencia requerida utilizamos la ecuación siguiente.
50
𝜆 =𝑐
𝑓𝑟 (3.9)
Donde λ es la longitud de onda, c representa la velocidad de la luz en el vacío
y es igual a 3x108 m/s y fr es la frecuencia de resonancia (Hz) de la antena. De
acuerdo a la expresión (3.9), la longitud de onda de la frecuencia de la antena es
igual a 12.5 cm. Considerando el resultado anterior y la elección de un dipolo de
media onda se calcula la longitud del dipolo y la longitud de cada brazo de éste con
la ecuación (3.2) y (3.1) respectivamente. Por lo tanto, la longitud del dipolo es
igual a 6.25 cm y para cada brazo se tiene una longitud de 3.125 cm. Las longitudes
anteriores son válidas para un dipolo convencional, para el dipolo fractal planar
debemos considerar los efectos del sustrato y el aumento de la longitud debido al
orden de iteración del fractal que reducirán las dimensiones del dipolo.
Para obtener la longitud de los brazos del dipolo de Koch se considera la
ecuación siguiente.
𝑓𝑘 = 𝑓𝑟 1 − 𝑒𝑛−1𝑛
ln𝐷
𝐷 (3.10)
Donde fk es la frecuencia de resonancia del dipolo fractal, fr es la frecuencia
de resonancia del dipolo convencional, D representa la dimensión fraccional de la
curva y n es el orden de iteración de la curva. La ecuación (3.10) es una
aproximación de la frecuencia de resonancia para dipolos basados en la curva de
Koch [8]. Considerando la expresión anterior calculamos la frecuencia de
resonancia del dipolo de Koch de tercer orden, la frecuencia obtenida es igual a
2.0258 GHz. El resultado anterior indica que se debe reducir el tamaño del dipolo,
aunque también se debe considerar el efecto del sustrato para aproximar aun más
el tamaño real del dipolo.
51
Se debe tener en cuenta que la constante dieléctrica suministrada por el
fabricante no es un valor efectivo, por tal motivo, se debe calcular el valor de la
constante dieléctrica efectiva mediante la ecuación siguiente.
𝜖𝑒𝑓𝑓 =𝜖𝑟 + 1
2+𝜖𝑟 − 1
2 1 +
12𝐻
𝑊 −0.5
+ 0.04 1−𝑊
𝐻
2
(3.11)
Donde 𝜖𝑒𝑓𝑓 es la permitividad relativa efectiva, 𝜖𝑟 es la permitividad relativa
proporcionada por el fabricante, H es el espesor del sustrato y W el ancho de la
pista [2, 9]. En el caso del ancho de la pista se propuso un ancho de 0.04 mm,
porque un valor mayor de W implicaría unir segmentos del fractal. Utilizando la
expresión anterior y los valores del sustrato se calcula la permitividad efectiva, el
valor que se obtiene es igual a 1.70722.
El uso de la ecuación (3.11) sirve para dar sólo una aproximación de la
permitividad efectiva requerida, ya que ésta es útil siempre cuando el sustrato
posea un plano de tierra. Sin embargo, el resultado presenta un punto de inicio
para la obtención de la dimensión requerida, tomando en cuenta que la resonancia
de la antena se puede modificar mediante una parametrización utilizando el
software de simulación HFSS.
De acuerdo al resultado de la frecuencia de resonancia del dipolo de Koch es
necesario reducir el tamaño del radiador considerando el efecto del sustrato en la
frecuencia de resonancia y el aumento de la longitud de cada brazo a causa de la
curva fractal, mediante la ecuación mostrada a continuación se calcula el valor de la
longitud de la antena incluyendo los efectos del sustrato y el aumento de la longitud
del fractal
𝐿 =c
2𝑓𝑘 ϵeff
(3.12)
52
Donde L es la longitud del dipolo, c la velocidad de la luz en el vacío, fk es la
frecuencia de resonancia del dipolo fractal y ϵeff es la constante dieléctrica efectiva
del sustrato [1, 7]. El primer paso para obtener la longitud del dipolo de Koch es
calcular la frecuencia de resonancia fr de un dipolo convencional a partir de la
frecuencia de 2.4 GHz como frecuencia de operación para el dipolo fractal fk, por lo
tanto, se utiliza la ecuación (3.10) con lo cual se obtiene una frecuencia fr igual a
2.84331 GHz. Utilizando la ecuación (3.12) se calcula la longitud del dipolo, y se
obtiene una longitud total igual a 2.01799 cm.
Los cálculos anteriores sirven como valor inicial de referencia, ya que esta
longitud no satisface la frecuencia de resonancia en la simulación y se tuvo que
parametrizar el valor de la longitud. Con el ajuste realizado, la longitud para cada
brazo del dipolo es igual a 1.8218 cm, por lo tanto, la longitud total del dipolo es de
3.643 cm.
Figura 3.6. Diseño del dipolo de Koch planar de tercer orden.
La figura 3.6 muestra las dimensiones finales del prototipo del dipolo fractal
planar. Las medidas anteriores permiten determinar cuál es la reducción que se ha
conseguido mediante el uso de la curva fractal. En la sección final de este capítulo
se reportaran todos los resultados obtenidos por simulación del prototipo.
53
3.4.3. Longitud de los brazos para el dipolo de alambre
Para el diseño del dipolo de alambre, la longitud que se considera como
aproximación para cada brazo de la antena, se obtiene de manera similar a la del
dipolo planar. Utilizando la ecuación (3.10) se calcula la frecuencia de resonancia
del dipolo convencional, a partir de la frecuencia de resonancia del dipolo fractal de
2.4 GHz con una curva de Koch de orden dos. El valor de la frecuencia del dipolo
convencional es igual a 2.76491 GHz. Utilizando el valor de la frecuencia anterior y
la expresión (3.6) se calcula la longitud de cada brazo, esto da como resultado una
longitud de 2.713 cm de longitud y una longitud total de 5.425 cm.
De igual manera, el resultado anterior sólo es una aproximación inicial. La
longitud total del diseño para la antena que resuena en la frecuencia de 2.42 GHz
posee una longitud igual a 4.758 cm y para cada brazo una longitud igual a 2.379
cm, resultado que se obtuvo a través de una parametrización por medio del
software de simulación electromagnética.
Figura 3.7 Diseño del dipolo de Koch de alambre de segundo orden.
La figura 3.7 muestra el diseño del dipolo fractal de alambre. Como se puede
ver, el orden de iteración es menor (segundo orden) al de la antena planar. Esta
implementación ha resultado en una reducción de la longitud del dipolo
convencional.
54
3.5. Simulación del dipolo fractal planar con HFSS
Con base en el prototipo anterior para el dipolo fractal planar, se realizó la
simulación de la estructura con ayuda del programa HFSS. Los resultados
obtenidos se compararán al final con los resultados logrados en un dipolo de media
onda de microcinta pero diseñado de manera convencional, esto con la finalidad de
obtener un punto de comparación.
3.5.1. Parámetro S11 del dipolo de Koch planar
En la figura 3.8 se muestra el resultado del parámetro S11 de la antena
planar, se observa que el dipolo es resonante en la frecuencia de 2.46 GHz y
proporciona un valor del parámetro S11 igual a -13.21 dB. En cuanto al ancho de
banda presente en el diseño, se encuentra en el intervalo de frecuencias de 2.4 GHz
y 2.54 GHz. El estar acoplado con valores máximos de -10 dB del parámetro S11
implica que se refleja menos del 10% de la potencia suministrada.
Figura 3.8 Parámetro S11 perteneciente al dipolo de Koch planar.
1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00Freq [GHz]
-14.00
-12.00
-10.00
-8.00
-6.00
-4.00
-2.00
0.00
dB
(S(L
um
pP
ort
1,L
um
pP
ort
1))
Ansoft Corporation HFSSDesign1Parametro S11
Fr
BW1BW2
Curve Info
dB(S(LumpPort1,LumpPort1))
Setup1 : Sw eep1
Name X Y
Fr 2.4600 -13.2133
BW1 2.4000 -10.1187
BW2 2.5400 -10.4311
55
3.5.2. Impedancia del dipolo de Koch planar
La figura 3.9 muestra el resultado de la magnitud de la impedancia del
dipolo planar lograda en la simulación, la impedancia en la frecuencia de
resonancia posee un valor de 32.80 Ω, esto representa una impedancia baja a pesar
de tener un ancho de microcinta de 0.04 cm. Debido al bajo valor de la impedancia,
es necesario hacer un acoplamiento adecuado entre la antena y el equipo, para
obtener la mayor eficiencia posible.
Figura 3.9. Magnitud de la impedancia del dipolo planar.
3.5.3. Ganancia del dipolo de Koch planar
La figura 3.10 muestra el patrón de radiación generado por el dipolo planar,
así como la ganancia total del radiador. Se debe hacer notar, que el patrón de
radiación no es afectado por la inserción de la estructura fractal, por lo tanto, la
forma toroidal del patrón de radiación no cambia. Esto asegura la
omnidireccionalidad de la antena ante el plano perpendicular al que se encuentra
1.50 2.00 2.50 3.00 3.50Freq [GHz]
200.00
400.00
600.00
800.00
1000.00
1200.00
1400.00
ma
g(Z
(Lu
mp
Po
rt1
,Lu
mp
Po
rt1
))
Ansoft Corporation HFSSDesign1Impedancia
Z
Curve Info
mag(Z(LumpPort1,LumpPort1))
Setup1 : Sw eep1
Name X Y
Z 2.4000 32.8021
56
ésta. La ganancia total que se logra obtener con este diseño, posee un valor igual a
2.18 dB.
Figura 3.10. Patrón de radiación referido a la ganancia del dipolo planar.
3.6. Simulación del dipolo fractal de alambre con HFSS
De la misma manera que se ha simulado el dipolo planar a través del
programa HFSS, se realizó un proceso semejante con el dipolo fractal de alambre.
3.6.1. Parámetro S11 del dipolo de Koch de alambre
La figura 3.10 muestra el resultado del parámetro S11 del diseño de la antena
fractal de alambre. El valor obtenido de este parámetro posee un valor de -37.03 dB
en la frecuencia de 2.42 GHz, el ancho de banda de la antena esta dentro del
intervalo de frecuencias de 2.29 a 2.59 GHz.
57
Figura 3.11. Parámetro S11 perteneciente al dipolo de Koch de alambre.
3.6.2. Impedancia del dipolo de Koch de alambre
La figura 3.12 muestra la magnitud de la impedancia de la antena fractal de
alambre. Se puede observar que el valor de la magnitud de la impedancia toma un
valor igual a 47.44 Ω, este valor es muy cercano a los 50 Ohms, por lo tanto, no
requerirá de un acoplamiento.
Figura 3.12. Magnitud de la impedancia del dipolo fractal de alambre.
1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00Freq [GHz]
-40.00
-35.00
-30.00
-25.00
-20.00
-15.00
-10.00
-5.00
0.00
dB
(S(L
um
pP
ort
1,L
um
pP
ort
1))
Ansoft Corporation HFSSDesign1Parametro S11
Fr
BW2BW1
Curve Info
dB(S(LumpPort1,LumpPort1))
Setup1 : Sw eep1
Name X Y
Fr 2.4200 -37.0300
BW1 2.2900 -10.5762
BW2 2.5900 -10.2942
1.50 2.00 2.50 3.00 3.50Freq [GHz]
100.00
200.00
300.00
400.00
500.00
600.00
ma
g(Z
(Lu
mp
Po
rt1
,Lu
mp
Po
rt1
))
Ansoft Corporation HFSSDesign1Impedancia
Z
Curve Info
mag(Z(LumpPort1,LumpPort1))
Setup1 : Sw eep1
Name X Y
Z 2.4000 47.4397
58
3.6.4. Ganancia del dipolo de Koch de alambre
La figura 3.13 muestra la ganancia total presente en el dipolo de alambre, así
como el patrón de radiación generado. De manera similar al dipolo fractal planar, el
patrón de radiación no es modificado a causa del uso de la curva fractal. La
ganancia total que presenta el radiador tiene un valor máximo igual a 2.36 dB, el
valor está dentro de las características del dipolo convencional.
Figura 3.13 Patrón de radiación referida a la ganancia del dipolo de alambre.
3.7. Resumen de resultados de la simulación
Los resultados de la simulación del dipolo planar y del dipolo de alambre se
presentan en las tablas 3.2 y 3.3 respectivamente, además de los resultados
obtenidos se añaden los resultados logrados en los dipolos diseñados de manera
convencional con la finalidad de obtener un punto de referencia.
59
Tabla 3.2. Resultados de la simulación del dipolo planar.
Dipolo fractal planar Dipolo planar convencional
Frecuencia de
resonancia
2.46 GHz Frecuencia de
resonancia
2.4 GHz
Parámetro S11 -13.21 dB Parámetro S11 -28.65 dB
Ancho de banda 2.4 – 2.54
GHz
Ancho de banda 2.3 – 2.52
GHz
Impedancia 32.80 Ω Impedancia 53.26 Ω
Ganancia 2.19 dB Ganancia 2.41 dB
*Porcentaje de
reducción
41.7 % *Porcentaje de
reducción
21 %
Tabla 3.3. Resultados de la simulación del dipolo de alambre.
Dipolo fractal de alambre Dipolo de alambre convencional
Frecuencia de
resonancia
2.42 GHz Frecuencia de
resonancia
2.38 GHz
Parámetro S11 -37.03 dB Parámetro S11 -17.81 dB
Ancho de banda 2.29 – 2.59
GHz
Ancho de banda 2.25 – 2.55
GHz
Impedancia 47.44 Ω Impedancia 62.55 Ω
Ganancia 2.36 dB Ganancia 2.56 dB
*Porcentaje de
reducción
26.9 % *Porcentaje de
reducción
11.6 %
*La reducción se basa en un dipolo de longitud λ/2 equivalente a 6.25 cm.
De acuerdo a los resultados presentados en las tablas 3.2 y 3.3, los dipolos
diseñados a partir de la curva de Koch han reducido el tamaño de la antena un
41.7% y un 26.9 % en cada caso, pero de un orden de iteración 3 y 2,
respectivamente.
60
Conclusiones
La inserción de la estructura fractal en el diseño de ambos dipolos no ha
modificado las características esenciales del dipolo como son: el patrón de
radiación y ganancia. La implementación de la curva de Koch ha conseguido
disminuir el tamaño de la antena en comparación con los dipolos diseñados de
manera convencional, por tal motivo, el uso de estas formas en el diseño de antenas
permitirá reducir el tamaño de la antena, sin interferir con las características de
inherentes de la antena base. La frecuencia de resonancia no está relacionada
directamente con la longitud efectiva del fractal.
En el caso de la antena planar se debe considerar el uso de un acoplador,
para poder aumentar la eficiencia de la antena, debido a la baja impedancia que
presenta. Esta reducción de tamaño sin disminución de eficiencia es una
característica importante en sistemas que requieren antenas de tamaño compacto
y bajo perfil.
61
Referencias
[1] Milligan A. Thomas. Modern Antenna Design. IEEE Press, Estados Unidos,
2005.
[2] Balanis, Constantine A. Modern Antenna Handbook. John Wiley & Sons.
Estados Unidos, 2008.
[3] Cardama Aznar, Ángel., Romeu, Jordi. Antenas. Universidad Politécnica de
Cataluña. España. 1998.
[4] Tomasi, Wayne. Sistemas de comunicaciones electrónicas. Pearson Education.
México, 2003.
[5] García Domínguez, Armando. Cálculo de antenas. Marcombo. España, 2004.
[6] Ramírez Arroyave, Germán Augusto. Diseño de una antena multibanda
basada en fractales para redes móviles inalámbricas de banda ancha en las
frecuencias de 0.9, 2.4 y 3.5 GHz. Universidad Nacional de Colombia, Facultad
de Ingeniería. Colombia, 2009.
[7] Hamzah, S. A., Raimi, M. K. “Design, Simulation, Fabrication and
Measurement of a 900 MHz Koch Fractal Dipole Antenna”. 4th Student
Conference on Research and Development. Institute of Electrical and
Electronics Engineers. Malasia, Selangor.
[8] Vinoy, K. J., Abraham, Jose K., Varadan, Vijay K. “On the Relationship Between
Fractal Dimension and the Performance of Multi-Resonant Dipole Antennas
Using Koch Curves”. IEEE Transactions on Antennas and Propagation. IEEE
Antennas and Propagation Society . Vol. 51, Septiembre 2003.
[9] Volakis, John L. Antenna Engeneering Handbook. McGraw-Hill. 2007.
[10] http://www.itu.int/rec/R-REC-SM.1056-1-200704-I/es.
62
CAPÍTULO 4. CONSTRUCCIÓN Y
CARACTERIZACIÓN DE LA ANTENA FRACTAL
En el presente capítulo se describe el proceso efectuado en la construcción
del dipolo fractal planar diseñado en el Capítulo 3, de igual forma se explica el
proceso realizado para la caracterización del radiador. También se presenta el
diseño de un anillo híbrido de 180° requerido en la adaptación del dipolo al cable
coaxial, este circuito permite la conexión de la línea de transmisión no balanceada a
un elemento balanceado, en este caso el dipolo.
4.1. Construcción del prototipo
Para la construcción del dipolo fractal planar se usaron los mismos
materiales utilizados en el proceso de diseño. En consecuencia, el sustrato
empleado es un Rogers RT/Duroid 5880 de una sola cara con un espesor de 1.27
mm y una permitividad relativa (ϵr) igual a 2.2. El proceso de construcción de la
antena se realizó mediante el uso de una máquina de fresado y que ha sido
proporcionada por el laboratorio de Radiocomunicación del CINVESTAV. A
continuación se explica el proceso de construcción de la antena fractal planar.
1. El primer paso para la construcción consiste en la creación del diseño en un
software de tipo CAD (Computer Aided Design) con la finalidad de lograr
manipular el archivo a través de la máquina de fresado. En nuestro caso se
utilizó el software Microwave Office 2003 propiedad de AWR Corporation.
La figura 4.1 muestra el diseño creado en el software Microwave Office, así
como las dimensiones que presenta el dipolo.
63
Figura 4.1. Diseño del dipolo fractal creado en Microwave Office.
2. Para que el equipo de impresión de circuitos pueda construir el diseño, el
archivo debe ser compatible con el sistema. En este caso el archivo se ha
guardado con la extensión “.ger”, por ejemplo, fractal.ger.
3. Una vez que el archivo ha sido reconocido por el sistema de impresión, la
tarjeta se coloca en la parte central del área de trabajo de la máquina de
fresado. Ya colocado el sustrato de manera correcta, el equipo comienza a
remover el cobre que no forma parte del diseño y esto se realiza mediante el
uso de brocas de diferentes espesores.
4. Una vez terminado el trabajo del equipo de impresión, se debe examinar que
éste haya removido completamente el cobre que no pertenece al diseño.
Aunque puede ser que existan pequeñas áreas que no removió en su
totalidad. En este caso se debe de eliminar mediante la aplicación de cloruro
férrico y se debe cubrir completamente el cobre perteneciente al diseño
para no afectarlo.
38.0 mm
16.0 mm
64
Una vez concluido el proceso de impresión, se debe colocar el conector SMA
(SubMiniature version A) en la antena para poder ser excitada. En la figura 4.2 se
muestra un conector SMA hembra similar al utilizado en la construcción del dipolo
de Koch.
Figura 4.2. Conector SMA para montaje en circuito impreso.
Este tipo de conector desarrollado en la década de 1960 es muy utilizado en
aplicaciones de radiofrecuencia para uso en cable coaxial. El conector SMA posee
una impedancia igual a 50 Ω y ofrece un excelente rendimiento hasta el intervalo
de frecuencias de 18, incluso hasta 25 GHz. Existen variantes de este conector que
permiten utilizarlo en frecuencias superiores [1].
La unión entre las terminales del conector y la antena se realiza mediante
soldadura, se debe cuidar el no exceder la temperatura, porque el conector no
soporta temperaturas arriba de los 165° C. La figura 4.3 muestra el dipolo de Koch
planar construido con su respectivo conector SMA.
Figura 4.3. Antena dipolo de Koch planar construida, a) vista frontal, c) vista posterior.
65
4.2. Acoplador híbrido en anillo
La antena dipolo de brazos simétricos se caracteriza por ser un sistema
balanceado, esto significa que a través de los brazos del radiador circulan
corrientes de igual magnitud respecto a tierra, pero con sentido opuesto. Mientras
en un sistema no balanceado sólo circula una corriente y tiene su respectiva
conexión a tierra. El ejemplo más común de estos dos tipos de conexiones se
encuentra en las líneas de transmisión, donde se tienen dos conductores y una
referencia a tierra para las líneas balanceadas, en las líneas no balanceadas se tiene
un conductor y una referencia a tierra [2]. La figura 4.4 muestra las dos
clasificaciones de líneas de transmisión que se puede encontrar.
Figura 4.4. Tipos de líneas de transmisión, a) línea de balanceada, b) línea no balanceada.
Considerando la idea anterior, al conectar la antena (carga balanceada) a un
cable coaxial (línea de transmisión no balanceada) se hace circular una primera
corriente a través del conductor central del cable, mientras circula una segunda
corriente a través de la malla del cable coaxial, la cual está conectada a tierra. Esto
ocasionaría que la línea de transmisión actué como radiador, por tal motivo, es
necesario utilizar un acoplador para realizar una adecuada conexión entre la línea
de transmisión y el dipolo; y así evitar efectos indeseados [2].
66
Este acoplador también conocido como Balún (Balanced to Unbalanced) es
una red de tres puertos, el cual permite realizar la conexión entre un circuito
balanceado (antena) y un circuito no balanceado (cable coaxial). Podemos
clasificarlos en dos categorías: balún de corriente y balún de tensión, en ambos
casos las corrientes o voltajes de salida son iguales y de sentido opuesto [2, 3].
El acoplador que se diseñó es un acoplador híbrido de 180°, este acoplador
es un circuito de cuatro puertos y presenta una diferencia de fase igual a 180° entre
los puertos de salida, de ahí el nombre. En la figura 4.5 se muestra el acoplador
híbrido de manera detallada.
Figura 4.5. Acoplador híbrido 180° de microcinta.
En el acoplador la señal de entrada puede ser aplicada a la terminal 1 y la
señal de salida se obtiene a través de las terminales 2 y 3, la diferencia de fase entre
las terminales de salida es igual a 0°. Ahora si se utiliza la terminal 4 como entrada
para la señal, la salida es obtenida a través de las terminales 2 y 3, aquí la diferencia
de fase entre las terminales de salida es igual a 180°. En ambos casos la señal de
entrada se divide, por lo tanto, se obtiene la mitad de la potencia (-3 dB) en las
terminales de salida. La terminal no utilizada siempre debe aislarse.
67
Para utilizar el acoplador como combinador de señales, se debe utilizar las
terminales 2 y 3 como entradas, la suma de ambas señales se obtiene a través de la
terminal 1 y en la terminal 4 se obtiene la diferencia de ambas señales de entrada
[1].
4.2.1. Diseño del acoplador híbrido
Como se puede apreciar en la figura 4.5 el acoplador de microcinta está
formado por anillo con una impedancia representada por la expresión siguiente [1].
𝑍𝑎 = 2𝑍0 (4.1)
Donde Z0 es la impedancia de la microcinta correspondiente a los puertos y
Za representa la impedancia de la microcinta que forma el anillo del acoplador [1].
La impedancia 𝑍0 en este caso es igual a 50 Ω; el sustrato utilizado es el mismo que
se empleo en el diseño del dipolo RT/Duroid 5880 con una permitividad relativa
igual a 2.2 y un espesor de 1.27 mm.
Utilizando la ecuación (4.1), se calcula la impedancia correspondiente al
anillo y con el cálculo anterior se obtiene una impedancia igual a 70.71 Ω. Para
calcular la permitividad relativa efectiva del sustrato se debe considerar la relación
entre el ancho de la microcinta y el grosor del sustrato (W/H), mediante la ecuación
siguiente podemos obtener este valor [1].
𝑊
𝐻=
8𝑒𝐴
𝑒2𝐴 − 2 ,𝑊 𝐻 < 2
2
𝜋 𝐵 − 1− ln 2𝐵 − 1 +
𝜖𝑟 − 1
2𝜖𝑟 ln 𝐵 + 1 + 0.39−
0.61
𝜖𝑟 ,𝑊 𝐻 > 2
(4.2)
68
Donde W representa el ancho de la microcinta, H representa el espesor del
sustrato, el valor de A y B se calculan a partir de la ecuación (4.3) y (4.4)
respectivamente.
𝐴 =𝑍0
60 𝜖𝑟 + 1
2+𝜖𝑟 − 1
𝜖𝑟 + 1 0.23 +
0.11
𝜖𝑟 (4.3)
𝐵 =377𝜋
2𝑍0 𝜖𝑟 (4.4)
Donde ϵr representa la permitividad relativa del sustrato [1]. Suponiendo
que la relación W/H es menor a 2, se utiliza la ecuación (4.2) para dicho caso y se
sustituye el valor de A. Con los cálculos anteriores obtenemos un ancho para la
microcinta (W) del anillo igual a 0.22759 cm. El valor del perímetro de este anillo
es igual a 6λ/4 como se observa en la figura 4.5 y para obtener la longitud
utilizamos la ecuación siguiente.
𝜃 = 𝜖𝑟𝑘𝑙 (4.5)
Donde θ representa la fase de la onda, k representa el número de onda y es
igual a 50.26 rad/m (2π/λ), l es la longitud de la microcinta [1]. El valor de θ es
igual a 540° y equivale a 6λ/4, despejando l de la ecuación y sustituyendo los
valores correspondientes, obtenemos la longitud o perímetro de la microcinta,
siendo igual a 13.793 cm. Para el cálculo de las microcintas que alimentan al
acoplador se utilizan las mismas ecuaciones, pero con una impedancia de 50 Ω, por
lo tanto, el ancho de la microcinta (W) es igual a 0.39734 cm. La longitud
correspondiente a cada microcinta que alimenta al anillo no posee restricción
alguna en cuanto a longitud, aunque dichas longitudes deberán ser iguales para
evitar algún desfasamiento innecesario en la señal y así afectar el acoplamiento.
69
En este caso se consideró una longitud igual a 1.88 cm para cada microcinta
que alimenta al anillo, esta longitud se determinó en relación a las dimensiones del
conector SMA. Finalmente considerando el diámetro del anillo y las respectivas
longitudes físicas de las microcintas que lo alimentan, el tamaño del sustrato es
igual a 6 cm x 8.2 cm. La figura 4.6 muestra las dimensiones del acoplador híbrido
diseñado en el sustrato RT/Duroid 5880.
Figura 4.6. Diseño del acoplador híbrido de microcinta.
De acuerdo a las dimensiones obtenidas con los cálculos teóricos, se debe
crear el modelo en el software de simulación electromagnética para optimizar el
diseño si es necesario.
4.2.2. Simulación del acoplador híbrido
Utilizando el software de simulación electromagnética HFSS se implementa
el modelo del acoplador híbrido para poder obtener los resultados de los
parámetros de dispersión S43 y S42 en intensidad, también se deben obtener los
70
parámetros anteriores pero respecto a la fase. Todos estos resultados se obtendrán
a través del software. La figura 4.7 muestra el modelo implementado en el software
HFSS, los materiales que se utilizaron en el diseño deben conservarse en la
simulación para no obtener resultados diferentes.
Figura 4.7. Modelo del acoplador híbrido creado en HFSS.
Los resultados de la simulación del modelo se muestran a continuación, los
parámetros de dispersión de nuestro interés son: S43, S42 en intensidad y fase.
Parámetros S42 y S43
Los resultados de los parámetros S42 y S43 obtenidos en la simulación
muestran valores de -3.09 dB y -3.02 dB respectivamente a la frecuencia de 2.4
GHz, estos valores indican que la potencia de entrada a través del puerto 4 se divide
entre los puertos de salida 2 y 3. Por lo tanto, la potencia de salida en ambos
puertos es la mitad de la potencia de entrada. La figura 4.8 muestra la gráfica de los
parámetros S42 y S43 en intensidad.
71
Figura 4.8. Parámetros S42 y S43 simulados del acoplador híbrido.
Fase de los parámetros S42 y S43
La diferencia de fase entre los parámetros S42 y S43 obtenida a través de la
simulación posee un valor igual a 182.09° en la frecuencia de 2.4 GHz, este valor es
bastante cercano a los 180° que se esperaría de manera teórica, con estos
resultados el acoplador sería capaz de adaptar la línea de transmisión del tipo
coaxial al dipolo fractal planar.
Figura 4.9. Ángulo de fase de los parámetros S42 y S43 del acoplador híbrido.
1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50Freq [GHz]
-14.00
-12.00
-10.00
-8.00
-6.00
-4.00
-2.00
0.00
Y1
Ansoft Corporation HFSSDesign1Parametros S42 y S43
Mag S42Mag S43
Curve Info
dB(S(WavePort4,WavePort2))
Setup1 : Sw eep1
dB(S(WavePort4,WavePort3))
Setup1 : Sw eep1
Name X Y
Mag S42 2.4000 -3.0866
Mag S43 2.4000 -3.0229
1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50Freq [GHz]
-200.00
-150.00
-100.00
-50.00
0.00
50.00
100.00
150.00
200.00
Y1
[d
eg
]
Ansoft Corporation HFSSDesign1Diferencia de fase entre S42 y S43
Ang S42
Ang S43
Curve Info
ang_deg(S(WavePort4,WavePort2))
Setup1 : Sw eep1
ang_deg(S(WavePort4,WavePort3))
Setup1 : Sw eep1
Name Delta(X) Delta(Y) Slope(Y) InvSlope(Y)
d(Ang S43,Ang S42) 0.0000 -182.0950 -inf -0.0000
Name X Y
Ang S42 2.4000 -38.5671
Ang S43 2.4000 143.5279
72
La figura 4.9 muestra la diferencia de fase entre los parámetros S42 y S43
resultado de la simulación en el software HFSS. Los valores obtenidos son bastante
aceptables, por lo tanto se puede construir y caracterizar el acoplador híbrido.
4.2.3. Construcción y caracterización del acoplador híbrido de 180°
La construcción del acoplador se realizó a través de la máquina de fresado,
aunque a diferencia de la construcción del dipolo, solamente se retira las partes
más importantes relacionadas con el diseño mientras las partes no removidas se
eliminan con cloruro férrico; lo anterior se debe al tamaño del acoplador y al
desgaste del equipo. Los conectores utilizados al igual que en el dipolo de Koch son
del tipo SMA.
Figura 4.10. Acoplador híbrido de 180° de microcinta construido, a) vista frontal, b) vista posterior.
La figura 4.10 muestra el acoplador construido en el sustrato RT/Duroid
5880 con sus respectivos conectores SMA.
73
Parámetros S42 y S43
Para caracterizar el acoplador se empleó un analizador de redes vectorial
(Vectorial Network Analyzer) de dos puertos. Este equipo es capaz medir los
parámetros de una red eléctrica, dentro de estos parámetros medibles tenemos a
los parámetros S, parámetros Z, parámetros Y y parámetros H. Los resultados del
parámetro S42 y S43 del acoplador híbrido se muestran en la figura 4.11.
Figura 4.11. Mediciones de los parámetros S42 y S43 del acoplador híbrido de 180°.
Las mediciones de ambos parámetros se acercan a los -3 dB, el parámetro
S42 toma un valor igual a -3.14 dB y el parámetro S43 tiene un valor igual a -3.38 dB
para la frecuencia de 2.4 GHz. En comparación con los resultados de la simulación,
estos valores difieren en 0.12 dB y 0.29 dB respectivamente.
0.01 2.01 4.01 6
Frequency (GHz)
Parametros S42 y S43
-16
-12
-8
-4
02.4004 GHz -3.3875 dB
2.4015 GHz -3.1474 dB
DB(|S[2,1]|)
victor hibrid p42
DB(|S[2,1]|)
victor hibrid p43
74
Fase de los parámetros S42 y S43
En cuanto a las mediciones de fase, el parámetro S42 tiene un valor igual a
112.67° y el parámetro S43 tiene un valor igual a -66.89°. La figura 4.12 muestra las
mediciones obtenidas a través del analizador de redes vectorial (VNA). Utilizando
los valores anteriores se obtiene una diferencia de fase igual a 179.565° y
comparando el resultado de la simulación con el resultado medido, el resultado
medido se aproxima aún más al valor teórico de 180° de diferencia.
Figura 4.12. Medición de las fases de los parámetros S42 y S43.
0.01 2.01 4.01 6
Frequency (GHz)
Diferencia de fase entre S42 y S43
-200
-100
0
100
200
2.4003 GHz -66.895 Deg
2.4003 GHz 112.67 Deg
Ang(S[2,1]) (Deg)
victor hibrid p42
Ang(S[2,1]) (Deg)
victor hibrid p43
75
4.3. Caracterización del dipolo fractal planar
El proceso de caracterización se refiere a la obtención de los parámetros que
describen el comportamiento de la antena. Las mediciones son un método práctico
para obtener las características reales de las antenas. Estas mediciones
experimentales son necesarias para sustentar los modelos teóricos o para verificar
la construcción de la antena y deben realizarse en recintos adecuados donde se
pueda controlar los efectos de dispersión del entorno. Los parámetros más útiles en
el proceso de caracterización de antenas son: patrón de radiación, ganancia,
directividad, impedancia, eficiencia y polarización [2]. En los siguientes apartados
se describen los parámetros que se obtienen y los métodos que se efectúan para
obtenerlos. Los parámetros que se obtienen son los siguientes:
Parámetro S11.
Ganancia.
Patrón de radiación.
4.3.1. Medición del parámetro S11
Los parámetros de dispersión o parámetros S (Scattering) representan la
onda incidente y reflejada en los puertos de una red. Las mediciones siempre se
realizan bajo condiciones de acoplamiento en los puertos, esto quiere decir que las
impedancias son iguales. Generalmente los parámetros S son utilizados en redes de
alta frecuencia, aunque pueden ser utilizados para redes de bajas frecuencias y
para redes de más de dos puertos. Las relaciones entre las ondas incidentes y
reflejadas de la red se representan mediante un sistema de ecuaciones de la forma
siguiente.
76
𝑒𝑟1 = 𝑆11𝑒𝑖1 + 𝑆12𝑒𝑖2𝑒𝑟2 = 𝑆21𝑒𝑖1 + 𝑆22𝑒𝑖2
(4.6)
Donde er1 y er2 representan la onda reflejada en los puertos 1 y 2,
respectivamente, los términos ei1 y ei2 representa la onda incidente en el puerto 1 y
la onda incidente en el puerto 2, los términos S11, S12, S21 y S22 representan los
parámetros de dispersión en ambos puertos. Por lo tanto, cada parámetro puede
expresarse en términos de la onda incidente y reflejada, considerando lo anterior
se tiene lo siguiente [4].
Parámetro S11 representa el coeficiente de reflexión en el puerto de entrada.
Parámetro S12 representa el coeficiente de transmisión inverso.
Parámetro S21 representa el coeficiente de transmisión directo.
Parámetro S22 representa el coeficiente de reflexión en el puerto de salida.
Para fines de medición, sólo se obtendrá el parámetro S11 a través del
analizador de redes, el uso de este equipo vuelve más fácil la medición de este
parámetro. Para poder realizar la medición se debe calibrar el analizador, existen
tres métodos de calibración para el analizador de redes, estos tres métodos son:
SOLT (Short, Open, Load, Through).
TRL (Throug, Reflect, Line).
Calibración automática mediante un modulo externo.
El uso de cada uno de estos métodos depende de los requerimientos de la
medición a realizar, aunque el método más utilizado y el que se utiliza para la
medición de los parámetros de dispersión es el método SOLT. En este método se
conecta a un circuito abierto, un circuito en corto y un circuito con carga (acoplado)
a los puertos del analizador de redes, todos los resultados de las conexiones se
77
almacenan en la memoria del analizador y sirven de referencia en las mediciones.
Una vez guardadas estas tres configuraciones se debe ajustar el ancho de banda de
la medición, en este caso es de 1 a 4 GHz con 400 puntos de precisión.
Una vez calibrado el equipo se debe conectar la antena y colocar en una
posición vertical y alejada de cualquier objeto para evitar reflexiones que alteren la
medición del parámetro S11. La figura 4.13 muestra la gráfica del parámetro S11 del
dipolo de Koch, se observa que el dipolo resuena a una frecuencia igual a 2.665 GHz
con un valor del parámetro S11 igual a -15.453 dB, mientras el ancho de banda
presente se encuentra entre 2.48 GHz y 2.82 GHz.
Figura 4.13. Parámetro S11 medido correspondiente al dipolo de Koch.
De acuerdo con la medición, la antena resuena a una frecuencia mayor
aproximadamente 205 MHz mayor a la obtenida mediante la simulación, esto se
debe a errores de construcción.
1 2 3 4
Frequency (GHz)
Parametro S11
-20
-15
-10
-5
0
2.8225 GHz -10.002 dB
2.4807 GHz -10.003 dB
2.665 GHz -15.453 dB
DB(|S[2,2]|)
Dipolo fractal s11
78
4.3.2. Medición de la ganancia
La ganancia es un parámetro bastante importante en la caracterización de
antenas, existen dos métodos para realizar la medición de la ganancia, estos dos
métodos son:
Ganancia absoluta.
Ganancia por comparación.
El método de la ganancia absoluta se utiliza para calibrar antenas que luego
podrán ser utilizadas como patrones para realizar mediciones de ganancia en otras
antenas, y que no requiere información previa de las ganancias de las antenas. En el
método de ganancia por comparación se compara la potencia recibida en una
antena patrón con la potencia emitida por la antena a medir, lo único que interesa
es la diferencia de potencia recibida en uno y otro caso. La ganancia de la antena
será la de la de referencia más la diferencia entre las señales, por tal motivo se
requiere que la antena este bien calibrada [2, 5].
En nuestro caso se utiliza el método de la ganancia absoluta, para ello
utilizaremos una antena tipo aleta y el dipolo de Koch construido. La antena tipo
aleta se utiliza como antena transmisora y el dipolo de Koch como antena
receptora, la ganancia que presenta la antena tipo aleta a 2.4 GHz es igual a 5 dB.
Esta medición se basa en el modelo de transmisión de Friis, el cual utiliza dos
antenas con una separación R y que satisface la condición de campo lejano y se
encuentran en la dirección de máxima radiación. Mediante el empleo de la siguiente
ecuación se realiza el cálculo de la ganancia a partir de los valores medidos.
𝐺𝑟 𝑑𝐵 + 𝐺𝑡 𝑑𝐵 = 20 𝑙𝑜𝑔10 4𝜋𝑅
𝜆 + 10 𝑙𝑜𝑔10
𝑃𝑟𝑃𝑡 (4.7)
79
Donde R es la distancia entre las dos antenas (m), Pr representa la potencia
de recepción (W), Pt representa la potencia de transmisión (W), Gr representa la
ganancia de la antena receptora (dB) y Gt representa la ganancia de la antena
transmisora (dB) [2]. Las antenas se han colocado a una distancia de separación
igual a 1 m, la potencia de transmisión es igual a 0 dBm, las pérdidas en los cables
son igual a -14.77 dBm y la potencia recibida es igual a -52.7dBm. Sustituyendo los
datos y haciendo las conversiones necesarias se obtiene una ganancia para el
dipolo de Koch igual a 2.88 dB.
4.3.3. Obtención del patrón de radiación
El diagrama o patrón de radiación de una antena consiste en la
representación de la amplitud de los campos radiados por la antena en función de
la dirección del espacio. Generalmente se representa el diagrama de radiación de la
antena en coordenadas esféricas, manteniendo la distancia de medida constante
mientras se hace variar los ángulos θ y φ, por tal motivo es necesario posicionar a
la antena a medir en el centro del sistema coordenado. Este tipo de medición
requiere de una antena a la que se le conoce como sonda, la medición puede
realizarse como antena receptora o transmisora con ello una antena se mantiene
fija mientras la segunda antena se gira. La medición logra conseguir los cortes
transversales del patrón de radiación (Plano E y Plano H), si se requiere crear un
patrón de radiación tridimensional se pueden utilizar técnicas de interpolación
para obtener esta información. Actualmente se han desarrollado equipos que
permiten la medición de los parámetros de radiación mediante mediciones del
campo cercano, esta determinación del campo lejano de una antena mediante
mediciones del campo cercano requiere de una transformación matemática, a la
cual se le denomina transformación de campo cercano a campo lejano. Esta
transformación matemática puede conseguir resultados eficientes sólo para tres
80
geometrías de escaneo: planas, esféricas y cilíndricas. Todas estas geometrías
requieren de datos bastante complejos de amplitud y fase [2, 5].
De manera particular se empleó en la medición del patrón de radiación un
scanner modelo RFX de la marca EMSCAN, este equipo fue proporcionado por el
Laboratorio de Radiocomunicación del CINVESTAV. El uso de este equipo es
relativamente sencillo, para realizar la medición sólo se requiere colocar el
radiador sobre la superficie de medición del scanner y el software del equipo
efectúa todos los cálculos necesarios que la obtención del campo lejano. El equipo
está limitado por las dimensiones del mismo, por esta razón, sólo puede realizar
mediciones de antenas con un área de 16x10 cm y con una frecuencia de operación
dentro del intervalo de 0.3 a 6 GHz. La figura 4.14 muestra el scanner empleado
para la medición del patrón de radiación [6].
Figura 4.14. Scanner de la marca EMSCAM utilizado en el proceso de caracterización de antenas.
Los resultados obtenidos a través de la medición de campo cercano se
muestran a continuación.
81
Patrón de radiación
El patrón de radiación obtenido mediante el scanner muestra una ganancia
realizada igual a 1.8 dBi, el concepto de ganancia realizada considera las pérdidas
en la línea de transmisión o guía de onda que alimenta a la antena a diferencia de la
ganancia absoluta. Se debe aclarar que el equipo solamente permite medir la mitad
del patrón de radiación, esto se debe a la localización de los sensores en el scanner.
La figura 4.15 muestra el patrón de radiación en 3D obtenido mediante el scanner,
la imagen no permite apreciar con gran precisión la forma del patrón de radiación,
es por esto que se deben obtener los cortes del patrón de radiación. Al obtener los
cortes transversales del patrón se podrá apreciar mejor la forma del mismo.
Figura 4.15. Patrón de radiación tridimensional medido mediante un scanner de campo cercano.
La figura 4.16 muestra los cortes del patrón de radiación a 0° y 90°. De
acuerdo a la figura se puede apreciar que el patrón de radiación si es el
característico al de un dipolo, el cual posee la forma de toroide.
82
Figura 4.16. Cortes transversales del patrón de radiación medido, a) corte a 0°, b) corte a 90°.
4.4. Resumen de resultados de las mediciones
La tabla 4.1 se muestra los resultados que se obtuvieron con las respectivas
mediciones, así como la comparación respecto a los valores obtenidos mediante la
simulación con el software de simulación electromagnética.
Tabla 4.1 Comparación de resultados de simulación y medidos.
Parámetro Simulación Medición
Parámetro S11
-13.21 dB -15.463 dB
Frecuencia de resonancia
2.46 GHz 2.665 GHz
Ancho de banda
2.4 – 2.54 GHz 2.48 – 2.82 GHz
Ganancia
2.19 dB 2.88 dB
Como se puede apreciar la frecuencia de resonancia para la antena
construida no es exacta, esta variación se debe principalmente a errores de
83
construcción, los cuales se pueden mejorar considerando los efectos del conector y
la alimentación del dipolo.
Conclusiones
De acuerdo a los resultados obtenidos, la frecuencia de resonancia no es la
establecida en el diseño, esto podrá resolverse haciendo ciertas consideraciones
relacionadas a la alimentación del dipolo. Por otra parte, la frecuencia de operación
al ser del orden de los Gigahertz posee una longitud de onda del orden de unos
cuantos centímetros, por tal motivo, cualquier variación en la longitud de los
brazos del dipolo modifica de manera significativa la frecuencia de resonancia.
En relación a las mediciones de ganancia del dipolo, el valor medido a través
del scanner de campo cercano se acerca bastante al valor brindado por el software
de simulación electromagnética. Aunque se nos informó que el scanner requiere de
una calibración y los datos medidos no son del todo certeros. Por esta razón, se
realizó la medición de la ganancia en una cámara anecoica, este valor es mayor y
más preciso al obtenido en la simulación y a través del scanner.
La forma del patrón de radiación obtenido es propia del dipolo, cuya forma
es un toroide. Esto comprueba que las características originales del dipolo se
conservan a pesar de la introducción de la estructura fractal.
84
Referencias
[1] Pozar, David M. Microwave Engineering. John Wiley & Sons, Inc. Estados
Unidos, 2005
[2] Milligan A. Thomas. Modern Antenna Design. IEEE Press, Estados Unidos,
2005.
[3] Volakis, John L. Antenna Engeneering Handbook. McGraw-Hill. 2007
[4] Hernandez Rueda, José Abel. Teoría de líneas de trasmisión e ingeniería de
microondas. UABC. México, 1999.
[5] Cardama Aznar, Ángel., Romeu, Jordi. Antenas. Universidad Politécnica de
Cataluña. España. 1998.
[6] http://www.emscan.com/downloads/RFxpert/Brochure_Datasheet/RF-DS-
V1%2008.10.pdf
85
CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES Y TRABAJO A
FUTURO
5.1. Conclusiones
El empleo de formas fractales en el diseño de antenas permite desarrollar
radiadores de tamaño compacto, bajo perfil, banda ancha y/o comportamiento
multibanda. La antena propuesta en este trabajo de tesis ha conseguido la
obtención de un dipolo de media onda planar mediante la inserción de una
estructura fractal (curva de Koch) permitiendo una reducción en tamaño de un
40% tomando como referencia un dipolo diseñado de manera convencional.
En relación al proceso de caracterización del dipolo, la frecuencia de
resonancia del dipolo de Koch se ha desplazado aproximadamente 200 MHz arriba
de la frecuencia de diseño, esto es causado por errores de construcción. El ancho de
banda medido en el dipolo es casi el doble al obtenido mediante el software de
simulación. El patrón de radiación no difiere al obtenido por un dipolo
convencional y el valor de la ganancia obtenida es mayor a la lograda a través de la
simulación.
Con toda esta información que se obtuvo a través de la realización del dipolo
fractal, se demuestra que el uso de estas estructuras fractales en el diseño de
antenas permite obtener radiadores compactos, de bajo perfil y con un ancho de
banda grande. Estas características no comprometieron las propiedades inherentes
de la antena base (dipolo) con lo cual se mejoró relativamente las características
del radiador original. Y de manera particular se ha demostrado que la frecuencia de
86
resonancia del dipolo de Koch no se encuentra ligada de manera directa a la
longitud efectiva de la curva de Koch.
Los resultados obtenidos del radiador mejorarían al considerar totalmente
los efectos ocasionados por la unión entre el dipolo y el conector SMA.
En relación con las mediciones efectuadas mediante el scanner de campo
cercano, se han comprobado las ventajas y desventajas que este tipo de equipos
presentan. Por una parte los resultados son obtenidos de manera rápida en
comparación con la medición directa del campo lejano, de igual manera, este
equipo sólo puede efectuar mediciones de antenas que se adecuen con la superficie
de medición del equipo. Por lo tanto este equipo facilita el proceso de
caracterización de antenas pero el costo de estos equipos es bastante elevado.
5.2. Trabajo a futuro
Como trabajo a futuro se podrían desarrollar las siguientes ideas:
Realizar un programa que permita la construcción de la curva de Koch de
manera automatizada en el software de simulación electromagnética
mediante el uso del paquete matemático MATLAB (Matrix Laboratory) o
algún otro, esto se plantea debido al tiempo que se requirió para realizar el
modelo del radiador basado en la curva de Koch. Además este programa
permitiría la construcción de curvas de un orden mayor, disminuyendo el
tiempo de elaboración de los modelos.
También se podría llevar a cabo el diseño de arreglos fractales con antenas
de parche.
87
Se considera el desarrollo de antenas planares con otro tipo de fractales que
permitan obtener radiadores con comportamiento multibanda.
88
Apéndice A. Sistema de funciones iteradas
para la construcción de la curva de Koch.
La construcción de la curva de Koch en el software de simulación
electromagnética se construyó a partir de un sistema de funciones iteradas (IFS).
Este sistema está formado por 64 transformaciones en el caso de la curva de tercer
orden y en el caso de la curva de segundo orden, sólo se utilizan 16
transformaciones. El sistema se introdujo en el software computacional
Mathematica, dicho programa pertenece a la empresa Wolfram Research.
(∗ Programa para la construcción de curvas fractales de segundo y tercer orden ∗)
ϵ0 =1 ∗ 10−9
36𝜋; (∗ Permitividad del vacío ∗)
μ0 = 4𝜋 ∗ 10−7; (∗ Permeabilidad del vacío ∗)
c0 =1
ϵ0 ∗ μ0; (∗ Velocidad de la luz en el vacío ∗)
fr = 2.4 ∗ 109; ∗ Frecuencia de operación de la antena ∗
𝜆 =c0
fr; (∗ Longitud de onda ∗)
=𝜆
4∗ 100; (∗ Longitud del brazo del dipolo de media onda en centimetros ∗)
𝜃 =𝜋
3; (∗ Ángulo de elevación de la curva de Koch ∗)
𝑛 = 3; (∗ Orden de iteracion de la curva ∗)
𝑠 = 2 1 + Cos 𝜃 𝑛
; (∗ Factor de escala de la curva de Koch ∗)
𝑎 =𝜆
2; (∗ Distancia de separación entre los brazos del dipolo ∗)
w1 = 𝑠 0
0 𝑠 .
𝑥𝑦 +
𝑎0 ; w1 = Flatten w1 ; (∗ Sistema de funciones iteradas ∗)
89
w2 = ( ∗ Cos[𝜃] 𝑠 − ∗ Sin[𝜃] 𝑠
∗ Sin[𝜃] 𝑠 ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
𝑠 + 𝑎0
); w2 = Flatten[w2];
w3 = ( ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ∗ Sin[𝜃] 𝑠
− ∗ Sin[𝜃] 𝑠 ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
3 ∗ 2𝑠 + 𝑎
∗ 3 2𝑠 ); w3 = Flatten[w3];
w4 = ( 𝑠 0
0 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
2 𝑠 + 𝑎0
); w4 = Flatten[w4];
w5 = ( ∗ Cos[𝜃] 𝑠 − ∗ Sin[𝜃] 𝑠
∗ Sin[𝜃] 𝑠 ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
3 𝑠 + 𝑎0
); w5 = Flatten[w5];
w6 = ( ∗ Cos[2𝜃] 𝑠 − ∗ Sin[2𝜃] 𝑠
∗ Sin[2𝜃] 𝑠 ∗ Cos[2𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
3 𝑠 + 2𝑠 + 𝑎
3 2𝑠 ); w6 = Flatten[w6];
w7 = ( 𝑠 0
0 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
3 𝑠 + 𝑎
3 𝑠 ); w7 = Flatten[w7];
w8 = ( ∗ Cos[𝜃] 𝑠 − ∗ Sin[𝜃] 𝑠
∗ Sin[𝜃] 𝑠 ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
3 𝑠 + 1 𝑠 + 𝑎
3 𝑠 ); w8 = Flatten[w8];
w9 = ( ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ∗ Sin[𝜃] 𝑠
− ∗ Sin[𝜃] 𝑠 ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
3 ∗ 3 2𝑠 + 𝑎
3 3 2𝑠 ); w9 = Flatten[w9];
w10 = ( 𝑠 0
0 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
2 ∗ 3 𝑠 − 𝑠 + 𝑎
3 𝑠 ); w10 = Flatten[w10];
w11 = ( ∗ Cos[2𝜃] 𝑠 ∗ Sin[2𝜃] 𝑠
− ∗ Sin[2𝜃] 𝑠 ∗ Cos[2𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
6 𝑠 + 𝑎
3 𝑠 ); w11 = Flatten[w11];
w12 = ( ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ∗ Sin[𝜃] 𝑠
− ∗ Sin[𝜃] 𝑠 ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
2 ∗ 3 𝑠 − 2𝑠 + 𝑎
3 2𝑠 ); w12 = Flatten[w12];
w13 = ( 𝑠 0
0 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
2 ∗ 3 𝑠 + 𝑎0
); w13 = Flatten[w13];
w14 = ( ∗ Cos[𝜃] 𝑠 − ∗ Sin[𝜃] 𝑠
∗ Sin[𝜃] 𝑠 ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
2 ∗ 3 𝑠 + 1 𝑠 + 𝑎0
); w14 = Flatten[w14];
w15 = ( ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ∗ Sin[𝜃] 𝑠
− ∗ Sin[𝜃] 𝑠 ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
3 ∗ 3 𝑠 − 3 2𝑠 + 𝑎
3 2𝑠 ); w15 = Flatten[w15];
w16 = ( 𝑠 0
0 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
3 ∗ 3 𝑠 − 𝑠 + 𝑎0
); w16 = Flatten[w16];
w17 = ( ∗ Cos[𝜃] 𝑠 − ∗ Sin[𝜃] 𝑠
∗ Sin[𝜃] 𝑠 ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
3 ∗ 3 𝑠 + 𝑎0
); w17 = Flatten[w17];
w18 = ( ∗ Cos[2𝜃] 𝑠 − ∗ Sin[2𝜃] 𝑠
∗ Sin[2𝜃] 𝑠 ∗ Cos[2𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
3 ∗ 3 𝑠 + 2𝑠 + 𝑎
3 2𝑠 ); w18 = Flatten[w18];
w19 = ( ∗ Cos[0𝜃] 𝑠 ∗ Sin[0𝜃] 𝑠
− ∗ Sin[0𝜃] 𝑠 ∗ Cos[0𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
3 ∗ 3 𝑠 + 𝑎
3 𝑠 ); w19 = Flatten[w19];
w20 = ( ∗ Cos[𝜃] 𝑠 − ∗ Sin[𝜃] 𝑠
∗ Sin[𝜃] 𝑠 ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
3 ∗ 3 𝑠 + 𝑠 + 𝑎
3 𝑠 ); w20 = Flatten[w20];
90
w21 = ( ∗ Cos[2𝜃] 𝑠 − ∗ Sin[2𝜃] 𝑠
∗ Sin[2𝜃] 𝑠 ∗ Cos[2𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
3 ∗ 3 𝑠 + 3 2𝑠 + 𝑎
3 3 2𝑠 ); w21 = Flatten[w21];
w22 = ( ∗ Cos[3𝜃] 𝑠 − ∗ Sin[3𝜃] 𝑠
∗ Sin[3𝜃] 𝑠 ∗ Cos[3𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
3 ∗ 3 𝑠 + 𝑠 + 𝑎
3 3 2𝑠 + 3 2𝑠 ); w22 = Flatten[w22];
w23 = ( ∗ Cos[𝜃] 𝑠 − ∗ Sin[𝜃] 𝑠
∗ Sin[𝜃] 𝑠 ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
3 ∗ 3 𝑠 + 𝑎
3 3 2𝑠 + 3 2𝑠 ); w23 = Flatten[w23];
w24 = ( ∗ Cos[2𝜃] 𝑠 − ∗ Sin[2𝜃] 𝑠
∗ Sin[2𝜃] 𝑠 ∗ Cos[2𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
3 ∗ 3 𝑠 + 2𝑠 + 𝑎
2 ∗ 3 3 2𝑠 − 3 2𝑠 ); w24 = Flatten[w24];
w25 = ( 𝑠 0
0 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
3 ∗ 3 𝑠 + 𝑎
3 3 𝑠 ); w25 = Flatten[w25];
w26 = ( ∗ Cos[𝜃] 𝑠 − ∗ Sin[𝜃] 𝑠
∗ Sin[𝜃] 𝑠 ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
3 ∗ 3 𝑠 + 𝑠 + 𝑎
3 3 𝑠 ); w26 = Flatten[w26];
w27 = ( ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ∗ Sin[𝜃] 𝑠
− ∗ Sin[𝜃] 𝑠 ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
3 ∗ 3 𝑠 + 3 2𝑠 + 𝑎
3 3 𝑠 + 3 2𝑠 ); w27 = Flatten[w27];
w28 = ( 𝑠 0
0 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
3 ∗ 3 𝑠 + 2 𝑠 + 𝑎
3 3 𝑠 ); w28 = Flatten[w28];
w29 = ( ∗ Cos[𝜃] 𝑠 − ∗ Sin[𝜃] 𝑠
∗ Sin[𝜃] 𝑠 ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
3 ∗ 3 𝑠 + 3 𝑠 + 𝑎
3 3 𝑠 ); w29 = Flatten[w29];
w30 = ( ∗ Cos[2𝜃] 𝑠 − ∗ Sin[2𝜃] 𝑠
∗ Sin[2𝜃] 𝑠 ∗ Cos[2𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
4 ∗ 3 𝑠 + 2𝑠 + 𝑎
3 3 𝑠 + 3 2𝑠 ); w30 = Flatten[w30];
w31 = ( ∗ Cos[0𝜃] 𝑠 ∗ Sin[0𝜃] 𝑠
− ∗ Sin[0𝜃] 𝑠 ∗ Cos[0𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
3 ∗ 3 𝑠 + 3 𝑠 + 𝑎
3 3 𝑠 + 2 3 2𝑠 ); w31 = Flatten[w31];
w32 = ( ∗ Cos[𝜃] 𝑠 − ∗ Sin[𝜃] 𝑠
∗ Sin[𝜃] 𝑠 ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
2 − 2𝑠 + 𝑎
3 ∗ 3 3 2𝑠 − 3 2𝑠 ); w32 = Flatten[w32];
w33 = ( ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ∗ Sin[𝜃] 𝑠
− ∗ Sin[𝜃] 𝑠 ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
𝑠 ∗ 2𝑠 + 𝑎
3 ∗ 3 3 2𝑠 ); w33 = Flatten[w33];
w34 = ( ∗ Cos[0𝜃] 𝑠 − ∗ Sin[0𝜃] 𝑠
∗ Sin[0𝜃] 𝑠 ∗ Cos[0𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
2 + 2𝑠 + 𝑎
3 ∗ 3 3 2𝑠 − 3 2𝑠 ); w34 = Flatten[w34];
w35 = ( ∗ Cos[2𝜃] 𝑠 ∗ Sin[2𝜃] 𝑠
− ∗ Sin[2𝜃] 𝑠 ∗ Cos[2𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
2 + 3 2𝑠 + 𝑎
3 ∗ 3 3 2𝑠 − 3 2𝑠 ); w35 = Flatten[w35];
w36 = ( ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ∗ Sin[𝜃] 𝑠
− ∗ Sin[𝜃] 𝑠 ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
𝑠 ∗ 2𝑠 + 𝑠 + 𝑎
3 3 𝑠 + 3 2𝑠 ); w36 = Flatten[w36];
w37 = ( 𝑠 0
0 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
𝑠 ∗ 2𝑠 + 3 2𝑠 + 𝑎
2 ∗ 3 3 2𝑠 ); w37 = Flatten[w37];
w38 = ( ∗ Cos[𝜃] 𝑠 − ∗ Sin[𝜃] 𝑠
∗ Sin[𝜃] 𝑠 ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
5 ∗ 3 𝑠 + 𝑠 + 𝑎
2 ∗ 3 3 2𝑠 ); w38 = Flatten[w38];
w39 = ( ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ∗ Sin[𝜃] 𝑠
− ∗ Sin[𝜃] 𝑠 ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
6 ∗ 3 𝑠 − 3 2𝑠 + 𝑎
2 ∗ 3 3 2𝑠 + 3 2𝑠 ); w39 = Flatten[w39];
w40 = ( 𝑠 0
0 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
6 ∗ 3 𝑠 − 𝑠 + 𝑎
2 ∗ 3 3 2𝑠 ); w40 = Flatten[w40];
91
w41 = ( ∗ Cos[2𝜃] 𝑠 ∗ Sin[2𝜃] 𝑠
− ∗ Sin[2𝜃] 𝑠 ∗ Cos[2𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
2 + 3 ∗ 3 2𝑠 + 𝑎
2 ∗ 3 3 2𝑠 ); w41 = Flatten[w41];
w42 = ( ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ∗ Sin[𝜃] 𝑠
− ∗ Sin[𝜃] 𝑠 ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
6 ∗ 3 𝑠 − 2𝑠 + 𝑎
2 ∗ 3 3 2𝑠 − 3 2𝑠 ); w42 = Flatten[w42];
w43 = ( ∗ Cos[3𝜃] 𝑠 ∗ Sin[3𝜃] 𝑠
− ∗ Sin[3𝜃] 𝑠 ∗ Cos[3𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
2 ∗ 3 ∗ 3 𝑠 + 𝑎
4 3 2𝑠 ); w43 = Flatten[w43];
w44 = ( ∗ Cos[2𝜃] 𝑠 ∗ Sin[2𝜃] 𝑠
− ∗ Sin[2𝜃] 𝑠 ∗ Cos[2𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
2 ∗ 3 ∗ 3 𝑠 − 𝑠 + 𝑎
3 3 2𝑠 + 3 2𝑠 ); w44 = Flatten[w44];
w45 = ( ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ∗ Sin[𝜃] 𝑠
− ∗ Sin[𝜃] 𝑠 ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
2 ∗ 3 ∗ 3 𝑠 − 3 2𝑠 + 𝑎
3 3 2𝑠 ); w45 = Flatten[w45];
w46 = ( ∗ Cos[0𝜃] 𝑠 − ∗ Sin[0𝜃] 𝑠
∗ Sin[0𝜃] 𝑠 ∗ Cos[0𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
2 ∗ 3 ∗ 3 𝑠 − 𝑠 + 𝑎
2 3 2𝑠 ); w46 = Flatten[w46];
w47 = ( ∗ Cos[2𝜃] 𝑠 ∗ Sin[2𝜃] 𝑠
− ∗ Sin[2𝜃] 𝑠 ∗ Cos[2𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
2 ∗ 3 ∗ 3 𝑠 + 𝑎
2 3 2𝑠 ); w47 = Flatten[w47];
w48 = ( ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ∗ Sin[𝜃] 𝑠
− ∗ Sin[𝜃] 𝑠 ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
2 ∗ 3 ∗ 3 𝑠 − 2𝑠 + 𝑎
3 2𝑠 ); w48 = Flatten[w48];
w49 = ( 𝑠 0
0 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
2 ∗ 3 ∗ 3 𝑠 + 𝑎0
); w49 = Flatten[w49];
w50 = ( ∗ Cos[𝜃] 𝑠 − ∗ Sin[𝜃] 𝑠
∗ Sin[𝜃] 𝑠 ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
2 ∗ 3 ∗ 3 𝑠 + 𝑠 + 𝑎0
); w50 = Flatten[w50];
w51 = ( ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ∗ Sin[𝜃] 𝑠
− ∗ Sin[𝜃] 𝑠 ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
2 ∗ 3 ∗ 3 𝑠 + 3 2𝑠 + 𝑎
3 2𝑠 ); w51 = Flatten[w51];
w52 = ( 𝑠 0
0 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
2 ∗ 3 ∗ 3 𝑠 + 2 𝑠 + 𝑎0
); w52 = Flatten[w52];
w53 = ( ∗ Cos[𝜃] 𝑠 − ∗ Sin[𝜃] 𝑠
∗ Sin[𝜃] 𝑠 ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
2 ∗ 3 ∗ 3 𝑠 + 3 𝑠 + 𝑎0
); w53 = Flatten[w53];
w54 = ( ∗ Cos[2𝜃] 𝑠 − ∗ Sin[2𝜃] 𝑠
∗ Sin[2𝜃] 𝑠 ∗ Cos[2𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
7 ∗ 3 𝑠 + 2𝑠 + 𝑎
3 2𝑠 ); w54 = Flatten[w54];
w55 = ( ∗ Cos[0𝜃] 𝑠 ∗ Sin[0𝜃] 𝑠
− ∗ Sin[0𝜃] 𝑠 ∗ Cos[0𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
2 ∗ 3 ∗ 3 𝑠 + 3 𝑠 + 𝑎
3 𝑠 ); w55 = Flatten[w55];
w56 = ( ∗ Cos[𝜃] 𝑠 − ∗ Sin[𝜃] 𝑠
∗ Sin[𝜃] 𝑠 ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
7 ∗ 3 𝑠 + 𝑠 + 𝑎
3 𝑠 ); w56 = Flatten[w56];
w57 = ( ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ∗ Sin[𝜃] 𝑠
− ∗ Sin[𝜃] 𝑠 ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
2 ∗ 3 ∗ 3 𝑠 + 3 ∗ 3 2𝑠 + 𝑎
3 3 2𝑠 ); w57 = Flatten[w57];
w58 = ( ∗ Cos[0𝜃] 𝑠 − ∗ Sin[0𝜃] 𝑠
∗ Sin[0𝜃] 𝑠 ∗ Cos[0𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
− 4 𝑠 + 𝑎
3 𝑠 ); w58 = Flatten[w58];
w59 = ( ∗ Cos[2𝜃] 𝑠 ∗ Sin[2𝜃] 𝑠
− ∗ Sin[2𝜃] 𝑠 ∗ Cos[2𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
− 3 𝑠 + 𝑎
3 𝑠 ); w59 = Flatten[w59];
w60 = ( ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ∗ Sin[𝜃] 𝑠
− ∗ Sin[𝜃] 𝑠 ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
8 ∗ 3 𝑠 − 2𝑠 + 𝑎
3 2𝑠 ); w60 = Flatten[w60];
92
w61 = ( 𝑠 0
0 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
8 ∗ 3 𝑠 + 𝑎0
); w61 = Flatten[w61];
w62 = ( ∗ Cos[𝜃] 𝑠 − ∗ Sin[𝜃] 𝑠
∗ Sin[𝜃] 𝑠 ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
8 ∗ 3 𝑠 + 𝑠 + 𝑎0
); w62 = Flatten[w62];
w63 = ( ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ∗ Sin[𝜃] 𝑠
− ∗ Sin[𝜃] 𝑠 ∗ Cos[𝜃] 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
8 ∗ 3 𝑠 + 3 2𝑠 + 𝑎
3 2𝑠 ); w63 = Flatten[w63];
w64 = ( 𝑠 0
0 𝑠 ). (𝑥𝑦) + (
− 𝑠 + 𝑎0
); w64 = Flatten[w64];
ParametricPlot[{w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8, w9, w10, w11, w12, w13, w14, w15, w16,
w17, w18, w19, w20, w21, w22, w23, w24, w25, w26, w27, w28, w29, w30, w32, w31, w33,
w34, w35, w36, w37, w38, w39, w40, w41, w42, w43, w44, w45, w46, w47, w48, w49, w50,
w51, w52, w53, w54, w55, w56, w57, w58, w59, w60, w61, w62, w63, w64}, {𝑥, 0,1},
{𝑦, 0,0.4}, PlotRange → All] (*Crea la gráfica de la unión de todas la transformaciones
afines*)
Como se menciona, el código anterior construye la curva de Koch de
segundo y tercer orden, para la construcción de la curva de Koch de segundo orden
sólo se utilizan 16 transformaciones del código. Estas 16 transformaciones, se
encuentran al principio del código (w1 – w16), para tal propósito se debe modificar
el orden de iteración (n).
