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ORACIN SIMPLE Y ORACIN COMPUESTA

LENGUAJECENTRO PREUNIVERSITARIOASOCIACIN EDUCATIVA ANTARES NUEVE AOS DE TRAYECTORIA IMPECABLELGEBRA

TEORA DE EXPONENTES

LEYES DE EXPONENTES:Son aquellas definiciones y teoremas que estudian a los exponentes a travs de las operaciones de potenciacin y radicacin.

POTENCIACIN:Es una operacin matemtica que consiste en hallar una expresin llamada potencia, partiendo de otras expresiones llamadas base y exponente.

Notacin:a : basean = Pn: exponenteP: potencia

Definiciones:

Exponente natural

an =

Exponente ceroSi a 0 se define:a0 = 1Nota:* 00 no est definido

Exponente negativoSi a 0 n N se define:

a-n =

Nota:* 0 n no existe

Teoremas:Sean a y b nmeros reales y m, n enteros positivos, entonces se cumple:

1. Multiplicacin de bases iguales.

an . am = am+n

2. Divisin de bases iguales.

3. Potencia de potencia.

Nota:

* 4. Potencia de una multiplicacin.

5. Potencia de una divisin.

;b 0

Nota:* Si b es un nmero real y m, n, p son enteros, entonces:

Se efecta las potencias de arriba hacia abajo

RADICACIN EN :Es una operacin matemtica que consiste en hacer corresponder dos nmeros llamados ndice y radicando con un tercer nmero llamado raz, el cual es nico, segn:

= r rn = b

n: ndice (n 2 ; n N)b: radicandor: raz n-sima principal de b

Teoremas:

Si y existen, entonces se cumple:

1. Raz de una multiplicacin:

=

2. Raz de una divisin:

si b 0

3. Raz de una radicacin:

Exponente fraccionario:

Si existe en se define:

PRCTICA DIRIGIDA 11. Si:

Hallar:a) 55c) 5125e) N.A.b) 575d) 53

2. Reducir:

a) 2c) 2ne) 10b) 5d) 5n

3. Efectuar: a) 5c) 2e) 1b) 3d) 4

4. Sealar el exponente de x luego de simplificar:

a)

c) e) N.A.b)

d) 5. Hallar el exponente de x en: a) 7c) 7/2e) 5/2b) 14d) 11/15

6. Cul(es) de las siguientes enunciados son verdaderos?I. (a+b)mn = an + bmII. (am)n = III. ;a) Slo Ic) Slo IIIe) N.Ab) Slo IId) Slo I y III

7. Indicar cuales son las siguientes proposiciones son correctas:I. Six = 4II. xx-1 = Six = III. xx = Six = -2a) Slo Ic) Slo IIIe) Todosb) Slo IId) I y III

8. Siendo m y n dos nmeros enteros las afirmaciones sern:I. Para m impar: am + (-a)m = 0II. Para n par: (ab)n = (-a)nbnIII. (am)1/n = (a1/n)ma) Slo Ic) Slo IIIe) Ningunab) Slo IId) Todos

9. Si:aImpar negativobPar positivo

Entonces:ser siemprea) par positivod) positivo no enterob) impar positivoe) no es posible c) negativo entero determinar10. Efectuar: a) c) 9e) 27b) 3d) 81

11. Resolver:

a) 2c) 1/3e) N.A.b) 1/2d) 3

12. Reducir: a) 8c) 2e) 4b) 1/2d) 16

13. Resolver: a) 1/3c) 1e) 2b) 1/2d) 3

14. Resolver: a) 1/4c) 1/2e) N.A.b) 1/4d) 1/2

15. Resolver: a) 1/3c) 16/9e) 4/9b) 3/8d) 4/3

16. El producto de tres potencias consecutivas de dos es igual a 512. Hallar la mayor potencia.a) 8c) 4e) 64b) 16d) 32

17. El producto de dos potencias consecutivas de cinco es igual a 125. Hallar la menor potenciaa) 5c) 125e) N.A.b) 25d) 15

PROBLEMAS PROPUESTOS1. Resolver:

Indicar a) 2c) 4e) N.A.b) 32d) 8

2.

Indicar a) 2c) 8e) 32b) 4d) 1/2

3.

Si:

El valor de es:a) 20c) e) N.A.b) 10d)

4.

Resolver: =

Indicar: a) 4c) 44e) 46b) 43d) 45

5.

Sealar el valor de si: = a) 3c) 34e) N.A.b) 33d) 32

6.

Hallar: (x.y)6 si: = 108a) 30c) 36e) 42b) 72d) 84

7. Si: = 2

Hallar: a) 2c) 8e) 2128b) 2512d) 1664

8. Hallar x en:

=

a) 3c) e) N.A.b)

d)

EXPRESIONES ALGEBRAICASPOLINOMIOS ESPECIALES

TRMINO ALGEBRAICOEs una expresin algebraica donde no estn presentes las operaciones de adicin y sustraccin.

ExponentesVariablesCoeficienteEjemplo:

M(x,y) = 4 x5 y3

TRMINOS SEMEJANTESDos o ms trminos sern semejantes si a los exponentes de las respectivas variables son iguales.

Ejemplos:P(x;y) = 4x2y7 y Q(x;y) = 2x2y7

P(x;y) = 5x2y3 y S(x;y) = 2xy7

M(x;y) = y N(x) = POLINOMIOSon expresiones algebraicas racionales enteras en las cuales las variables estn afectadas solo de exponentes enteros positivos.

Ejemplos:P(x;y) = 5x3y7(monomio)R(x;z) = 2x2z + 5z5(binomio)

F(x) = 3 5x + x2(trinomio)

GRADO DE UN MONOMIO

A. Grado Relativo:Es el grado respecto de una de sus variables y el valor es el exponente que afecta a dicha variable.Ejemplo:

Sea P(x;y;z) = x5y3zGR(x) =GR(y) =GR(z) =

B. Grado Absoluto:Es la suma de los grados relativos.Ejemplo:Sea R(x;y;z) = 2x4y5z3GA =

GRADO DE UN POLINOMIOA. Grado Relativo:Es el grado del polinomio respecto de una de sus variables y el valor es el mayor de los grados relativos de la variable en cada trmino.Ejemplo:Sea P(x,y) = 3x3y5 7x2y9 + 5x7GR(x) =GR(y) =

B. Grado Absoluto: (Grado del polinomio)Es el mayor de los grados absolutos de cada trmino.Ejemplo:Si F(x;y) = 2x2y3 7x6y + 4x4Polinomios Especiales

POLINOMIO MNICO:Un polinomio de una variable que tiene coeficiente principal 1 se le denomina mnico.Ejemplos:A(x) = 1 + x2 + 3xB(x) = 7 2x2+x3C(x) = x

POLINOMIO ORDENADO:

Con respecto a una variable es aquel que presenta a los exponentes de dicha variable colocados en forma ascendente o descendente.

Ejemplos:P(x) = 4x4 + 12x2 3x + 7Es un polinomio ordenado descendentemente respecto a x.P(x,y,z) = 21xz4 34x5y2z + 41x7y4Es un polinomio ordenado ascendentemente respecto a x e y, adems es ordenado descendentemente respecto a z.

POLINOMIO COMPLETO:Es aquel polinomio que presenta todos sus exponentes desde el mayor hasta el de grado cero.

Ejemplos:A(x) = 4x3 + 12x 7x2 + 16B(x,y) = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

Nota:Si un polinomio tiene una sola variable y adems es completo, entonces el nmero de trminos ser igual a su grado aumentado en una unidad.

POLINOMIO HOMOGNEO:Es aquel en el cual todos sus trminos tienen el mismo grado absoluto, al cual se le llama grado de homogeneidad.

Ejemplo:

15151515P(x,y) = 3x3y12 + 23x8y7 15x15 13y15

44R(x) = 7xy3 + 8x2y2

POLINOMIO IDNTICAMENTE NULO:Es aquel polinomio cuyos coeficientes son todos ceros.

Ejemplo:P(x) = (n m) x2 + (p q) x, si es idnticamente nulo:n m = 0m = np q = 0p = q

POLINOMIOS IDNTICOS:Dos polinomios son idnticos si sus trminos semejantes tienen coeficientes iguales.Ejemplo:

p(x) = ax2 + bx + cq(x) = dx2 + ex + fp(x) = q(x)

Si se cumple a = d; b = e; c = f

PRCTICA DIRIGIDA 21. Hallar el valor que debe darse a m para que la expresin.

sea de 6to. Grado

2. Hallar el valor de a para que el monomio sea el 9no. Grado.

Rpta....

3. Si el monomio ; es de cuarto grado entonces el valor de a es:Rpta....

4. Dado el monomio:M(x,y) = 4abx2a+3by5b-a , se tiene GA (m) = 10GR(x) = 7 hallar su coeficienteRpta....

5. Dado el monomio:M(x,y) = 42 (-2)-b x2b+3a y3a-bSe tiene: GA(M) = 8GR(x) = 7Hallar su coeficienteRpta....

6. Dado el monomio:M(x,y) = (a+b)x2a-2y3bDonde: Coef. (M) = GR(x) GA (M) = 27Determinar: a.bRpta....

7. En el siguiente polinomio:P(x,y) = xayb-1 + xa+1yb xa-2yb+2 +xa+3yb+1Donde:GR(x) = 10GA(p) = 13Calcular: a-bRpta....

8. En el siguiente polinomio:P(x,y) = 7xa+3yb-2z6-a + 5xa+3yb-3za+b

Donde:GR(x) GR(y) = 3GA(p) = 13Calcular: a+bRpta....

9. Si el siguiente polinomio:P(x,y) = axa+3 abxa-1yb+2+2byb+8 es homogneo, la suma de sus coeficientes es:Rpta....

10. Calcular m.n sabiendo que el siguiente polinomio es homogneoP(x,y) = 5xmy4 + 3x6y2 2x3yn+4Rpta....

11. Cual es el valor de a para que el polinomio P(x,y) sea homogneo:P(x,y) = 8x3y12 + 2x15 3x2aya+3Rpta....

12. Hallar (a+b)(ab) sabiendo que:P(x,y) = xa-2bya+b 15xby2b+a + 2xa-by8Es un polinomio homogneo Rpta....

13. Indicar el valor de m si el polinomio es ordenado decrecientemente:P(x) = 5x2m-2 + 4x3-m + 5xm-2Rpta....14. Si el polinomio:P(x) = 18xa-18 + 32xa-b+15 + 18xc-b+16Es completo y ordenado en forma ascendentemente. Calcular a+b+cRpta....

15. Si el siguiente polinomio de 14 trminos es completo y ordenado:P(x) = xn+4 + .......... xa-1 + xa-2 + xa-3

Calcular:a+nRpta....

16. Hallar a si el polinomio es completo y ordenado y tiene 27 trminos.P(x) = 3xa+5 + 2xa+4 11xa+3 + ........... -5

Rpta....

17. Si los polinomios:P(x) = px2 + (q-1)x + m + 5M(x) = 5x2 + 3x + 13Son semejantes:

Hallar: m-p-qRpta....

18. Si el polinomio:P(x) = (a-b)x5 + (b-a)x2 + (c-a)xEs idnticamente nulo,

Hallar:Rpta....

19. Encontrar una funcin lineal tal que:F(5) = 5:F(4) 3F(3)

Rpta....

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Dado el monomio:M(x,y) = 4mnx2m+3ny5n-mSe tiene: GA(M) = 10 GR(x) = 7Sealar su coeficientea) 2c) 8e) 16b) 4d) 64

2. Hallar el coeficiente de:

M(x,y) = Cuyo grado absoluto es 20 y el grado relativo a x es 14.

a) 4/625c) 2/25e) N.A.b) 16/125d) 8/625

3. Calcular el grado absoluto de:M(x,y) = 9x7y12 3x9y12 + 2x11y13

a) 24c) 19e) 23b) 18d) 21

4. Hallar el grado absoluto de:

M(x,y) = a) 16c) 24e) 20b) 14d) 18

5. Dados los polinomios P(x) y Q(x) en el cual:GA(P) = 6; GA(Q) = 4

Indicar cuntas de las siguientes proposiciones son falsas:

GA(P+Q) = 6GA() = 2GA(P-Q) = 4GA(P2+Q3) = 12GA(P.Q) = 10GA(P2.Q) = 16GA(PQ) = 2 GA(P5Q7) = 2GA(P5) = 30

a) 1c) 7e) 5b) 2d) 36. Dados los polinomios P(x) y Q(x) de los que se conoce:

GA() = 4GA(P2 Q2) = 8Cul es el grado de Q(x)a) 4c) 8e) 10b) 12d) 6

7. Dados los polinomios P(x) y Q(x) en el cual:GA(P2.Q3) = 22GA(P.Q2) = 13Calcular GA(P3 + Q2)

a) 5c) 15e) 25b) 10d) 20

8. Dados los polinomios P(x) y Q(x) de los que se conoceGA(P2.Q) = 27 GA(P3Q) = 23Cul es el grado de P(x)a) 15c) 10e) 12b) 20d) 18

9. Dados los polinomios P(x) y Q(x) se sabe que los grados de los polinomios:

P(x). Q2(x) y Son 17 y 2 respectivamente hallar el grado de P(x). Q(x)a) 7c) 10e) 13b) 8d) 11

10. Sabiendo que los grados de los polinomios A, B, C son 10, 20, 40 respectivamente hallar el grado del polinomio:

a) 40c) 60e) NAb) 80d) 20

11. Dado el polinomio homogneo:P(x,y) = 5x3m+2ny4 +6x2myn+7 + xm-1ym-3nCalcular: GA(P) + aba) 5c) 10e) -15b) 5d) -10

12. Calcular: a+b+c si el polinomio es homogneoP(x,y) = xa+3y2 + 7xb-5y + 16x8yc+4 + x10y9

a) 44c) 84e) 42b) 64d) 4013. Si los polinomios P(x) y Q(x) son idnticos:P(x) = a(x+1)2 + b(x-2) + 2Q(x) = (x-2)(x+1) + (x+3) (x+2)Calcular a.ba) 0c) 2e) -1b) 6d) 2

14. Dados los polinomios:A(x) = ax5 bx3 + cB(x) = x5 + 2x3 (x2 + 1) 1Adems A(x) B(x) 0Determinar: a+b+c

a) 2c) 3e) 0b) 1d) 2

15. De la siguiente identidad:(ab + ac 3)x2 + (ac + bc 4) + (ab + bc 5) 0Sealar el valor de:abc (a+b)(a+c)(b+c)a) 3c) 60e) 120b) 12d) 2016. Si: ax2 + bx + c (mx + n)2

Calcular:

a) 1c) 4e) 2b) 5d) 3

17. El siguiente polinomio:P(x,y) = xa-byb+6 + xa-2byb+4 + xa-3byb+2Posee un trmino independiente de x y otro independiente de y. Calcular entonces la suma de los grados relativos de ambas variables ser:a) 8c) 4e) 0b) 6d) 2

18. Sealar el nmero de variables que debe tener el monomio:M(a,b,c, .......) = a.b2.c3 ....................De manera que GA(M) = 210a) 19c) 23e) 23b) 20d) 22

19. Hallar la suma de los grados relativos respecto a x e y en la siguiente expresin

a) c) n(n+1)e) n-1b) n(n-1)d) n+1

PRODUCTOS NOTABLES

Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa, sin necesidad de efectuar la operacin de multiplicacin.

PRINCIPALES IDENTIDADES:

Trinomio cuadrado perfecto:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2(a b)2 = a2 2ab + b2

Identidades de Legendre:

(a + b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2)(a + b)2 (a b)2 = 4ab

Diferencia de cuadrados:

(a + b) (a b) = a2 b2

Desarrollo de un binomio al cubo:

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)(a b)3 = a3 b3 3ab(a b)

Suma y diferencia de cubos:

(a + b) (a2 ab + b2) = a3 + b3(a b) (a2 + ab + b2) = a3 b3

Multiplicacin de binomios con trmino comn:

(x + a) (x + b) = x2 + (a+b)x + ab

Desarrollo de un trinomio al cuadrado:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)

Desarrollo de un trinomio al cubo:

(a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+b) (b+c)(a+c) (a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b+c)(ab+bc+ac) - 3abc

Identidad trinmica

x2 + x + 1) (x2 x + 1) = x4 + x2 + 1

IGUALDADES CONDICIONALES:

Si: a + b + c = 0 , se cumple:a3 + b3 + c3 = 3abca2 + b2 + c2 = 2(ab + ac + bc)(ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2

PRCTICA DIRIGIDA 3

1. Si:a+b = 6; ab = 5Calcular el valor de : a2+b2Rpta....

2. Hallar: a3+b3; si: a+b = 5 ab = 3Rpta....

3. Si:m+n = 4m.n = 2Hallar : m3+n3Rpta....

4. Desarrollar:

(4-12)2 + (4+12)2Rpta....

5. (am+3bn)2 + (am-3bn)2Rpta....

6. Efectuar:

Rpta....

7. Simplificar:(a+b-c+d) (a+b+c-d) + (a-b+c+d) (a-b-c-d)Rpta....

8. Simplificar:

Rpta....

9. Calcular:

Rpta....

10. Si:

Calcular el valor de: Rpta....

11. Se dan 3 nmeros, si sabemos que el doble de la suma de los productos de dichos nmeros tomados de 2 en 2 es igual a 40 y adems que la suma de sus cuadrados es 24. calcule a que ser, igual la suma de estos 3 nmeros.Rpta....

12. Si:

Calcular: Rpta....

13. Sabiendo que:

Hallar el valor de:

Rpta....

14. Si se cumple que:(a+1) + (b+a) + (c-1) = 1

Calcular el valor de:

Rpta....

15. Si:

Calcular el valor de:E = (abc)-2 (a2+bc)(b2+ac)(c2+ab)Rpta....

16. Calcular el valor de:

Rpta....

17. Simplificar:

Rpta....PROBLEMAS PROPUESTOS

1. La suma de dos nmeros es 8 y su producto es 3. Hallar la suma de sus cuadrados.a) 58c) 64e) 48b) 60d) 502. La suma de dos nmeros es 20 y la diferencia de sus cuadrados es 100. Hallar la diferencia de dichos nmerosa) 1c) 3e) 5b) 2d) 4

3. Efectuar:E = (2x+3)2 (2x+1)2 23

a) 8xc) 4xe) 6xb) 2xd) 10x

4. Reducir:

a) 12c) 14e) 13b) 16d) 18

5. Reducir:

a) 2c) 8e) 6

b) 4d) 6. Simplificar:

a) y2c) x2e) N.A.b) y2d) x

7. Hallar:

a) 3c) 9e) 18b) 27d) 1/3

8. Calcular el valor de:

a) 16c) 128e) N.A.b) 8d) 256

9.

Si:;

Calcular :

a) 5c) 25e) 15b) 20d) 10

10. Si:J+I+V = 0J = (a+b+4c) (a+b-2c)I = (a+4b+c) (a+c-2b)V = (4a+b+c) (b+c-2a)

Calcular el valor de: a) 3c) 2e) 1b) 3d) -2

DIVISIN ALGEBRAICA

IDENTIDAD FUNDAMENTAL DE DIVISIN ENTERA:Dados los polinomios dividendo (D(x)), divisor (d(x)), cociente (q(x)) y residuo (R(x)) condicionados por la definicin, se cumple:D(x) d(x) . q(x) + R(x)

TEOREMA:Dado el dividendo D(x) y el divisor d(x), los polinomios cociente q(x) y residuo R(x) son nicos.

Clases de Divisin

De acuerdo a su resto o residuo podemos clasificar en:1. Divisin Exacta (R(x) 0)D(x) d(x) . q(x)

2. Divisin Inexacta (R(x) 0)D(x) d(x) . q(x) + R(x)Como d(x) 0, se tendr la equivalencia siguiente:

PROPIEDADES DE GRADOS1. El grado del cociente: Grad(q) = Grad(D) Grad(d)2. El grado mximo que puede tomar el residuo ser uno menos al divisor. Grad. Max.R = Grad(d) 1

TEOREMA:De la identidad fundamental de divisin entera:P(x) d(x) q(x) + R(x) Si x = 1 P(1) = d(1) q(1) + R(1)Se obtiene la suma de coeficientes Si x = 0 P(0) = d(0)q(0) + R(0)Se obtiene el trmino independiente.

Criterios para dividir polinomiosDados los polinomios en una sola variable estos deben ser completos y ordenados en forma descendente. Si faltase algn trmino, en su lugar se reemplazar un trmino con coeficiente cero.

Mtodos para dividir algebraicamente polinomiosLos procedimientos a seguir derivan de la divisin entera de nmeros enteros.

1. Mtodo clsico o divisin normal: Seguiremos los mismos pasos de la divisin de enteros.

2. Por coeficientes separados: En un caso similar a la divisin normal con la diferencia que en ste caso slo se trabajan con los coeficientes.

3. Mtodo de Guillermo Horner: Diremos que ste es un caso sintetizado de coeficientes separados y exigen las mismas condiciones.En forma general:Dividir a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + anEntre b0xm + b1xm-1 + b2xm-2 + bmDonde n m a0b0 0

4. Regla de Paolo Ruffini: Se considera como un caso particular del mtodo de Horner, se utilizar el divisor es de primer grado o transformable a esta forma. Veamos un ejemplo inicialmente efectuado por Horner para ver una comparacin con la regla de Ruffini.En generalAl dividir a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + + an entre ax+b; ab 0 se presentarn dos casos:

CASO I

Cuando a = 1; se tendr:

CASO II

Cuando a 1; se tendr:

De la identidad fundamental

D(x) (ax + b)q(x) + R(x) (aq(x)) + R(x)

TEOREMA DE RENATUS DESCARTES

(TEOREMA DEL RESTO)Finalidad: Se utiliza para hallar el resto en una divisin de polinomios sin la necesidad de efectuar dicha operacin, es decir, de una manera directa.

TEOREMA: En toda divisin de la forma P(x) entre (ax+b), el resto se halla mediante el valor numrico del polinomio P(x) cuando x toma el valor de .

PRCTICA DIRIGIDA 41. Hallar el residuo de la divisin:A) x2+1B) 4x-6C) -2D) -6E) 4x

2. Al efectuar la siguiente divisin:indicar su cociente.A) x2+2x+3B) x2-2x+3C) x2-2x-3D) x2+2x-3E) x2+3x+2

3. Luego de efectuar:Indicar el cociente:A) 3x3+2x2+4x+1B) 3x2+2x-1C) 3x2+4x-1D) x3+2x2+1E) x3-3x-1

4. En la siguiente divisin por Horner:

1245c7

-1

b-4

a

-2-4

12

22d39

Hallar la suma de a+b+c+dA) 1B) 2C) 3D) 4E) 125. El valor de m+n+p si la divisin:es exacta.A) 22B) 18C) 17D) 25E) 28

6. Si la siguiente divisin es exacta. Calcular el valor de m+n:A) 2B) 13C) 9D) 8E) 19

7. Al dividir:indique el cociente.A) x2 + 7x + 6B) x2 - 6x + 7C) x2 + 7x + 6D) x2 + 6x + 7E) x2 + x + 7

8. Calcula el resto en:A) 2B) 4C) 6D) 8E) 10

9. Al dividir:Indique el trmino independiente de q(x)A) 6B) -6C) 2D) 4E) -3

10. Si la siguiente divisin:es exacta. Calcular a+b.A) 50B) -2C) -1D) 49E) 18

11. Al dividir:obtiene como resto: bx+c.Indicar el valor de: a+b+cA) 3B) -4C) -2D) -1E) 2

12. Calcular m si la divisin es exacta.A) -2B) -1C) 0D) 1E) 213. El resto en:A) 11B) 9C) 8D) 10E) 7

14. Hallar el resto en:A) 1B) 2C) 3D) 4E) 5

15. Si la divisin es exacta:Hallar m+nA) 1B) 2C) 3D) 4E) 5

16. Calcular el residuo de:A) 1B) -1C) 2D) 3E) 4

17. Calcular el resto en:A) x2+5xB) 5xC) x2-5xD) x2-6x E) 0

18. Hallar el resto en:A) 3B) 5C) 2D) 6E) 19

19. Hallar el resto en:A) 9B) -6C) -13D) 13E) 620. Hallar el resto en:A) 3B) 5C) 2D) 6E) 19

21. Hallar el resto en:A) 9B) -6C) -13D) 13E) 6

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. En la siguiente divisin exacta:Calcular: A) 2B) 1/2C) 3D) 1/3 E) 1

2. Para qu valor de m la divisin:es exacta.A) 5B) 6C) 7D) 8E) 9

3. Efectuar la divisin:el residuo es (-6x-7). Hallar abA) 2B) 6C) -8D) 12 E) -9

4. Hallar el residuo de la divisin indicada:

A) 4x2 - 7x + 2B) -3x2 + 8x - 1C) -4x2 + x - 1D) 3x2 + 7x + 1E) N. A.

5. Calcular el resto de la divisin:

A) 1B) -6C) -3D) 12E) N. A6. Hallar el resto que resulta de dividir:

A) 4x2 + 5x - 8B) 3x2 - 6x + 1C) 5x2 + x - 6D) 6x2 + 4E) N. A.

7. Al dividir:

se obtuvo de residuo: ax + 218. Hallar a+mA) 2B) 5C) 8D) 10E) 11

8. Proporcionar el resto de:

A) x+5B) x-5C) 2x-5D) 2x+5E) x-39. Hallar el cociente, si la siguiente divisin:

es exacta.A) x+1B) x-1C) x2+1D) 2x+3E) x-2

10. En la divisin:el residuo es un trmino independiente. Calcular dicho resto.

A) 13B) 20C) 22D) 32 E) 24

11. Determinar el valor de k para que el coeficiente del trmino lineal del cociente entero valga (-45) en la divisin:

A) 81B) -81C) 72D) -72 E) 0

COCIENTES NOTABLES

CONCEPTO

Son aquellos cocientes que se pueden obtener en forma directa sin necesidad de efectuar la operacin de divisin.Condiciones que debe cumplir:

Donde: x; y bases igualesm Z+; m 2

DEDUCCIN DE LOS COCIENTES

CASO I: (para n=par o impar)

=

CASOII:(para n=impar)

=

CASOIII:(para n=par)

=

CONDICIN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA OBTENER UN C.N.

De: se debe cumplir:

; r Z+

FORMULA DEL TRMINO GENERAL DE UN C.N.Es una frmula que nos permite encontrar un trmino cualquiera en el desarrollo de los C.N., sin necesidad de conocer los dems.

De la divisin:

Tenemos:

. .

Donde:tk trmino del lugar kx 1er. trmino del divisor.y 2do. trmino del divisor.n nmero de trminos de q(x)NOTA:.

PRCTICA DIRIGIDA 51. Calcular a+b si el cociente notable:tiene 9 trminos.

A) 30B) 35C) 32D) 48E) 51

2. Halle el nmero de trminos del desarrollo del cociente notable:

A) 6B) 16C) 12D) 18E) 8

3. Calcular n del cociente notable:

A) 15B) 19C) 25D) 13E) 3

4. Indique el noveno trmino del desarrollo del cociente notable:

A) x4y8B) x24y36C) x30y32D) x24y32E) x30y36

5. En el cociente notable:el dcimo trmino es x10x+9, halle n

A) 5B) 10C) 20D) 15E) 25

6. Qu lugar ocupa el trmino independiente del desarrollo del C.N.

A) 2B) 3C) 4D) 5E) 1

7. Halle el valor numrico del trmino central del desarrollo del C.N.

para x = 1A) 34B) 26C) 36D) 46E) 458. Calcular n, si en el cociente notable:el penltimo trmino es (x+2y)y5

A) 2B) 5C) 6D) 7E) 8

9. Reducir:

A) x4+1B) x4-1C) x2+1D) x2-1E) 1

10. Simplificar:

A) x50+1B) x50-1C) x2-1D) x2+1E) x4+1

11. En el cociente notable:determine el lugar del trmino que contiene a x32

A) 5B) 6C) 7D) 8E) 9

12. Calcular el valor de n para que la siguiente divisin:sea un cociente notable.

A) 6B) 12C) 16D) 18E) 20

13. En el desarrollo de:existe un trmino cuyo grado absoluto es 122. La diferencia de los exponentes de x e y en ese trmino esA) 42.B) 40.C) 38.D) 36.E) 34.

14. Calcular el valor de n, si en el cociente notable:el antepenltimo trmino de su desarrollo es:

(x+2y)2 y5A) 2B) 5C) 6D) 7 E) 8

15. Encontrar el tercer trmino del siguiente cociente notable:A) (x-y)2B) (x+y)2 C) 1D) (x2 - y2)2 E) (x2 + y2)2

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Sabiendo que el quinto trmino del siguiente cociente notable:es x176 y64. Calcular el nmero de trminos de su desarrollo.

A) 8B) 9C) 15D) 16E) 32

2. Si la expresin:es transformable a un cociente notable. Cul es el valor numrico del trmino doce para x = 1?

A) 32B) 64C) 128D) 256E) 512

3. Al efectuar el desarrollo de:el nmero de trminos con exponentes de x negativo es:

A) 5B) 6C) 7D) 8E) 9

4. Efectuar:

A) x24+1B) x36+1C) x24-1D) x36-1E) x72-1

5. Calcular el valor de b, si el desarrollo del cociente notable:tiene un trmino de la forma: xa-b yb+3

A) 2B) 4C) 8D) 6E) 96. Determinar n para que la divisin:proporcione un cociente notable. Indique n+1A) 12B) 3C) 4D) 5E) 15

7. Expresar el polinomio:P(x) = x8 + x6 + x4 + x2 + 1como una divisin notable.A) B) C) D) E)

8. Dada la divisin:determine el octavo trmino del desarrollo. Indique el valor numrico para x = 2, y = 1/2.A) -64B) 64C) -128D) 256E) -256

9. Determine el trmino de lugar 35 del desarrollo del cociente notable:A) x90y34B) x90y35C) -x90y34D) -x90y35E) x35y90

10. Dado los cocientes notables:Q1(x) = xa+30 + xa+28 + ..... + 1Q2(x) = xa-10 + xa-13 + ..... + 1si el nmero de trminos de Q1 = 2Q2, calcule la suma de cifras de a.

A) 6B) 8C) 7D) 17E) 14

FACTORIZACIN

Es el proceso de transformacin de un polinomio en una multiplicacin indicada de sus factores primos o sus potencias. Multiplicacin

P(x) = x2 + 3x + 2 (x + 1) (x + 2)

Factorizacin

FACTOR PRIMOUn polinomio F ser primo de otro polinomio P si F es factor algebraico de P y primo a la vez.Nota .Ejemplos: P(x) = (x + 2)3 (x + 1)2 (x + 5)6Son factores primos de P(x): P(x) = (x) (x + 2)6 (x 1)2Son factores primos de P(x):

CRITERIOS PARA FACTORIZAR POLINOMIOS1. Factor ComnConsiste en buscar factores comunes a todos los trminos de un polinomio para luego extraerlos a su menor exponente.Ejemplos:1. Factorizar:P(x,y) = 2x2y + 3xy2 + xy

2. Factorizar:A(x,y) = (x + 2) y + (x + 2) x + (x + 2)

2. AGRUPACINConsiste en agrupar trminos convenientemente tratando que aparezca algn factor comn.Ejemplos:1. Factorizar:x2 + x + xy + y xz z

2. Factorizar:x2 + ax + x + xy + ay + y

3. ASPA SIMPLEForma general de polinomio a factorizar: m, n N

P(x,y) = Ax2n + Bxn ym + Cy2m

P(x) = Ax2n + Bxn + C

Ejemplos:1. Factorizar:2x2 + 7xy + 6y2

2. Factorizar:(x + y)2 2 (x + y) + 1

3. Factorizar:(x + y)2 2 (x + y) + 1

TEOREMASean f(x) y g(x) polinomios primos y primos entre s, tal que:

P(x) =

I. Nmeros factores primos = 2II. Nmeros factores algebraicos = (n + 1) (p + 1) 1

Ejemplo:Sea P(x) = (x + 2)3 (x + 4)

I. Nmeros factores primos = II. Nmeros factores algebraicos =

4. ASPA DOBLE:Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + FEjemplos:

..

* 20x2 + 22xy + 6y2 33x 17y + 7

.

.

...

5. ASPA DOBLE ESPECIALSe utiliza para factorizar polinomios de la forma:Ax4 + Bx3 + Cx2 Dx + E.Ejemplos: Factorizar

..

6. Mtodo De Los Divisores Binmicos.Con ste mtodo se busca uno o ms factores binomios primosConsideraciones: Si P(x0) = 0; entonces: (x- x0) es un factor primo de P(x).

Los dems factores se encuentran al efectuar: Los valores que anulan a P(x); se pueden encontrar:

Ejemplo:Factorizar:P(x) = x3 + 6x2 + 11x 6

EJERCICIOS RESUELTOS1. Factorizar: 2x2 +2xc 3bx 3bcSolucin:Agrupando el primero con el segundo, y los dos ltimos:

= (2x2+2xc) (3bx+3bc)= 2x(x+c) 3b(x+c)= (x+c)(2x-3b) . Rpta.

2. Factorizar:

Solucin:

Factorizando el 5: Por diferencia de cuadrados:

5. []

5. .. Rpta.

3. factorizar: 2x + 5x + 2

Finalmente: 2x + 5x + 2 = ( 2x+1 ) ( x+ 2 )

PRCTICA DIRIGIDA 6

1. Hallar EL nmero de factores primos lineales del polinomio.A(x,y) = 5x4y2 + 10x3y3 + 5x2y4a) 1c) 3e) 5b) 2d) 42. Indique un factor primo lineal del polinomio.C(x,y) = x5 + x4 2x3 2x2 + x + 1a) (x+2)c) x-2e) 2x-1b) (x-1)d) 2x+13. Factorizar:f(x,y) = x4 + 10x2 + 49 - y4Indique la suma de coeficientes de un factor primoa) 9c) 11e) 41b) 6d) 44. Factorizar:P(x,y,z) = -x2 - y2 + z2 + 2x 2y 2z + 2xyIndique un factor primoa) z+x-yc) x+y-ze) x+y+z-2b) x+y+zd) x+y+z+25. Factorizar:f(x,y) = x3y2 + x2y + x2y3 + xy2a) xy+1c) x2 + xye) x2 + y2b) x2+y2d) xy + x26. Factorizar:f(x,y) = x4y + 2x3y2 + xy4 + 2x2y3Sealar un factor primo:a) x2-xy+y2c) x+xy+y2e) x-yb) x2-xy+yd) 4x2+xy+y27. Calcular el nmero de factores primos lineales del polinomio:

M(x) = x12 - 2x10 + x8a) 12c) 2e) 10b) 3d) 88. Indique el factor primo de mayor grado absoluto, del polinomio:P(x,y) = x12 - y2 a) x2+y2d) x2+xy+y2b) x8-x4y4+y8e) x2-xy+y2c) x4-x2y2+y49. Indique el factor primo lineal:C(x) = x5 + x4 -2x3 2x2 +x +1a) x+2c) x-1e) 2x+1b) x-2d) 2x-110. Factorize el polinomio:D(x) = x5 - 4x4 + 4x3 + x2 - 4x + 4e indique la suma de factores primos lineales:a) x+3c) 3x+5e) 3b) 2x-1d) 2x+111. Hallar el nmero de factores primos del polinomio:

E(x,y) = x4 + 2x3 x2y2 - 2xy2 +(x+y)(xy)a) 0c) 3e) 4b) 2d) 512. Indique un factor primo del polinomio:f(x,y) = x5 + 3x4 + 3x3 - x3y2 - 3x2y2 +x2-3xy2 y2a) x2+x+1d) x2+xy+y2b) x2-x+1e) x+1c) x2-xy+y213. Indique un factor primo al factorizar:

f(x) = x4 x2 - 2x 1 a) x+1c) x2+x+2e) x2+x+1b) x-1d) x2-x+1

14. Factorizar:z4 z3 6z2 + 4z + 8e indicar un factor primo.A) z + 1C) z 1E) Ms de unaB) z + 2D) z 2

15. Al factorizar indicar el factor primo trinomio de:2n4 + 5n3 + 2n2 n 2A) 2n3 + n2 1D) n3 + n 1B) 2n3 n2 + 1E) 2n3 + 2n 1C) n3 n + 1

16. Al factorizar el nmero de factores binomios:x3 + 2x2 5x 6A) 2B) 3C) 4D) 5E) 1

17. Factorizar: x3 + 6x2 + 3x 10A) (x + 10) (x + 1) (x 2)B) (x 1) (x + 2) (x + 5)C) (x 1) (x 2) (x + 5)D) (x + 1) (x + 5) (x + 1)E) N.A.

18. Factorizar: x3 + 6x2 + 15x + 14F) (x + 1) (x + 2) (x + 3)G) (x + 2) (x + 3) (x + 4)H) (x 2) (x2 4x + 7)I) (x + 2) (x2 + 4x + 7)J) N.A.PROBLEMAS PROPUESTOS

2. Factorizar: 22m+5 3.2m+2 35 e indicar un factor primo.A) 2m+2 + 7C) 2m+2 5E) N.A.B) 2m+2 + 5D) 2m+2 7

3. Factorizar x5 + x4 + 1 e indicar un factor.A) x2 + x + 1C) x2 x + 1E) N.A.B) x2 x 1D) x2 + x 1

4. Factorizar x5 + x 1 e indicar un factor.A) x2 + x + 1C) x2 x + 1E) N.A.B) x2 x 1D) x2 + x 1

5. Factorizar:f(x,y) = x2 (x+2y)2 - 11xy2 (x+2y) + 24y4determine el nmero de factores linealesa) 0c) 2e) 6b) 1d) 46. Indicar uno de los factores primos de:ab(a-b) ac(a-c) + bc(b-c)a) b-cc) a+be) b+c+db) c+ad) a7. Hallar el nmero de factores primos de:X3(y-z) y3 (x-z) + z3 (x-y)a) 4c) 15e) 7b) 5d) 68. Factorizar:(x+4)(x+1)(x-2)(x-5) + 81a) (x2-x-11)2d) 2x-3b) x2-2x-11e) N.Ac) x2-x9. Factorizar:(x+2)2(x+1)(x+3) 5x(x+4) 27e indicar un factor primoa) x2+4x+5d) x2-4x+9b) x2-4x+3e) N.A.c) x2-4x-310. Hallar k para que:9x6+7kx3y4+2x3y4+25y8 sea un trinomio cuadrado perfectoa) 2c) 2e) 6b) 4d) 411. Factorizar:

(a+b+c) (ab+ac+bc) abcindicar un factor primoa) a+bc) a-2ce) a-bb) b+2cd) a+b+c

12. Factorizar:

a2(b-c) + b2(c-a) + c2(a-b)dar como respuesta un factor primoa) a-cc) 2a-be) N.A.b) b+cd) 2c-a

13. Factorizar:x5+x-1e indicar un factor primo:a) x3-2x+1d) x3+2x-1b) x3+x2-1e) N.A.c) x3+2x2+1

14. Sealar un factor primo de:

x6+2x5+3x4+4x3+3x2+2x+1a) x2+1c) x2+x+1e) x2-x+1b) x3+1d) x2+6

22.

19.

20.

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