ANÁLISIS VARIANZA MULTIFACTORIAL ANOVA II CON … · 2016. 5. 5. · ANÁLISIS DE LA VARIANZA CON...

Estadística Ciencias AmbientalesFacultad de CienciasDepartamento de MatemáticasProfesor: Santiago de la Fuente Fernández

ANÁLISIS VARIANZA MULTIFACTORIALANOVA II CON INTERACCIÓN

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ANÁLISIS DE LA VARIANZA CON DOS FACTORES E INTERACCIÓN

Modelo: ( ) Uy ijjiij +βα+β+α+μ= J,,2,1jI,,2,1i LL ==

ijy ≡ representa la respuesta de la variable en el i-ésimo nivel del FACTOR 1 ( )α y en el jésimo nivel del FACTOR 2 ( )β

( ) ( ) ijjiijij yE βα+β+α+μ==μ es el valor medio de ijy

iα ≡ representa el efecto que sobre la media global μ tiene en el NIVEL i el FACTOR 1 ( )α

jβ ≡ representa el efecto que sobre la media global μ tiene en el NIVEL j el FACTOR 2 ( )β

( )ijβα ≡ representa el efecto de la interacción entre el NIVEL i del FACTOR 1 ( )α y el NIVEL j del FACTOR 2 ( )β

U ≡ es la variación aleatoria de las ijy (igual para todas).

Supondremos que U sigue una distribución ( )σ,0N , lo que implica que ijy sigue una distribución ( )σμ ,N ij

( ) ( ) 0J

1jij

I

1iij

J

1jj

I

1ii =βα=βα=β=α ∑∑∑∑

====

FACTOR 2 ( )βNiveles 1 2 J MediasFilas

1

11n11

112

111

y..................yy

12n12

122

121

y..................yy

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

J1nJ1

2J1

1J1

y..................yy

••1y

2

21n21

212

211

y..................yy

22n22

222

221

y..................yy

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

J2nJ2

2J2

1J2

y..................yy

••2y

.........

...........................

.........

...........................

.........

...........................

.........

.........

FACT

OR

1

(α)

I

1In1I

12I

11I

y..................yy

2In2I

22I

21I

y..................yy

.........

...........................

IJnIJ

2IJ

1IJ

y..................yy

••Iy

Mue

stra

ale

ator

ia

n ij o

bser

vaci

ones

cas

illa

(i, j)

Mediascolumnas ••1

y ••2y ••Jy •••y

( )( )2ijjiijk ;Ny σβα+β+α+μ∈ independientesEl origen de la descomposición de la varianza total, donde ijnk =

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )448447644844764444 84444 76 jiij

ˆ

j

ˆ

ijiijijijkijk yyyyyyyyyyyy

β

•••••

α

•••••

βα

•••••••••••• −+−++−−+−=−

( ) ( )

( )

( )

( )( )( )

( )

( )

( )

( )4444 34444 214444 34444 214444444 34444444 21

4444 34444 21

4444 84444 76

1JSCE

I

1i

J

1j

K

1k

2j

1ISCE

I

1i

J

1j

K

1k

2i

1J1ISCE

I

1i

J

1j

2K

1kjiij

1KJISCR

I

1i

J

1j

K

1k

2ijijk

1KJISCT

I

1i

J

1j

K

1k

2ijk

yyyyyyyy

yyyy

−β

= = =•••••

−α

= = =•••••

−−αβ

= = =••••••••

−

= = =•

−

= = =•••

∑∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑

−+−++−−+

+−=−

operando, resulta:

( )

( )

( )

( )

( )( )( )

( )

( )

( )

( )444 3444 21444 3444 21444444 3444444 214444 34444 21

4444 84444 76

1JSCE

J

1j

2j

1ISCE

I

1i

2i

1J1ISCE

I

1i

J

1j

2jiij

1KJISCR

I

1i

J

1j

K

1k

2ijijk

1KJISCT

I

1i

J

1j

K

1k

2ijk

yyKIyyKJyyyykyy

yy

−β

=•••••

−α

=•••••

−−αβ

= =••••••••

−

= = =•

−

= = =•••

∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑

−+−++−−+−

=−

( ) ( ) ( )β+α+βα+= SCESCESCESCRSCT

SCT ≡ Variabilidad total de todos los datosSCR ≡ Variabilidad debida a los factores

( )βαSCE ≡ Variabilidad debida a las interacciones( )αSCE ≡ Variabilidad debida a los distintos niveles del Factor 1( )βSCE ≡ Variabilidad debida a los distintos niveles del Factor 2

TABLA ANOVA: ANÁLISIS ESTADÍSTICOFuente

variación Suma cuadrados grados libertad Varianza Test F

Factor ( )α ( ) ( )∑=

••••• −=αI

1i

2i yyKJSCE ( )1I −

( )( )1I

SCEŜ2−α

=α 2r

2

ŜŜF αα =

Factor ( )β ( ) ( )∑=

••••• −=βJ

1j

2j yyKISCE ( )1J −

( )( )1JSCEŜ2

−β

=β 2r

2

Ŝ

ŜF ββ =

Interacción

( )

( )∑∑= =

•••••••• +−−=

=βαI

1i

J

1j

2jiij yyyyK

SCE

( ) ( )1J1I −− ( )( )( )1J1ISCEŜ2

−−βα

=βα 2r

2

Ŝ

ŜF αββα =

Residual ( )∑∑∑= = =

•−=I

1i

J

1j

K

1k

2ijijk yySCR ( )1KJI − ( )1kJI

SCRŜ2r −=

Total ( )∑∑∑= = =

•••−=I

1i

J

1j

K

1k

2ijk yySCT 1KJI −

ANÁLISIS ESTADÍSTICO: Contraste del Efecto de cada factor

0únlgA:H0:H

i1

I21o

≠α=α==α=α L

0únlgA:H0:H

j1

J21o

≠β=β==β=β L ( )

( ) 0únlgA:Hj,i0:H

ji1

jio

≠βα

∀=βα

EL FACTOR 1 ( )α NO INFLUYE EL FACTOR 2 ( )β NO INFLUYE NO HAY INTERACCIONES

ESTADÍSTICOS DE CONTRASTE:

0únlgA:H0:H

i1

I21o

≠α=α==α=α L

0únlgA:H0:H

j1

J21o

≠β=β==β=β L ( )

( ) 0únlgA:Hj,i0:H

ji1

jio

≠βα

∀=βα


Se acepta la hipótesis nula cuando:

( ) ( )1KJI,1I,2r

2F

ŜŜF −−ααα ≤=


( ) ( )1KJI,1J,2r

2

FŜ

ŜF −−α

ββ ≤=


( )( ) ( )1KJI,1J1I,2r

2

FŜ

ŜF −−−α

βαβα ≤=

Cuando se rechaza la hipótesis nula Ho se pueden hacer pruebas simultáneas entre todas las posibles parejas de niveles en cadafactor. Uno de los tests más empleados en las Pruebas Post hoc es el Test de Bonferroni.

CONDICIONES DEL ANÁLISIS ESTADÍSTICO ANOVA

• NORMALIDAD .- Los datos obtenidos en cada nivel de los factores se ajustan razonablemente a una distribución normal. - ijy sigue una distribución normal ( )σμ ,N ij j,i∀ -• HOMOCEDASTICIDAD.- La variabilidad de los datos en cada nivel de los factores es similar (contraste de igualdad de

varianzas) - ( ) j,iyVar ij2 ∀=σ• LINEALIDAD.- Los residuos (diferencia de los datos a su media, en cada nivel de los factores) se distribuyen alrededor del cero.

( ) 0UE =

• INDEPENDENCIA.- Las observaciones se realizan de forma independiente unas de otras (diseño de la obtención de datos).

En caso de existir desviaciones significativas sobre estos requisitos, los resultados posteriores pueden ser incorrectos.

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EYSENCK (1974).- En un estudio sobre memoria verbal se seleccionaron al azar 50 personas mayores y 50 jóvenes (Factor 1: Edad).Dentro de cada uno de estos grupos se asignaron, al azar, 10 personas a 5 distintos grupos a los que se les presentó una misma listade 27 palabras. A cada uno de los 5 grupos se les dieron las siguientes instrucciones (Factor 2: Método).Grupo 1 (Contar): Se les pidió que contasen el número de letras de cada palabra. Grupo 2 (Rimar): Se les pidió que rimasen cadapalabra con otra. Grupo 3 (Adjetivar). Se les pidió que a cada palabra le asignasen un adjetivo. Grupo 4 (Imaginar): Se les pidió que acada palabra le asignasen una imagen. Grupo 5 (Recordar):Se les pidió que memorizasen las palabras.

FACTOR 2 (Método) J = 5I = 2 J = 5 K = 10Contar Rimar Adjetivar Imaginar Recordar

MayoresI = 2

98681046577

79666116387

111386141113131011

121116119

2312101911

1019145101114151111

Fact

or 1

(Ed

ad)

Jóvenes

8646765797

1078104710677

14111814132217161211

20161615181620221419

21191715221622221821

K = 10

A los 4 primeros grupos no se les dijo que deberían recordar las palabras. Finalmente, tras revisar la lista 3 veces, se recogió elnúmero de palabras recordadas por cada grupo (variable respuesta).

FACTOR 2 (Método) J = 5I = 2 J = 5 K = 10

Contar Rimar Adjetivar Imaginar Recordar medias por filas

MayoresI = 1

7y11 =• 9,6y12 =• 11y13 =• 4,13y14 =• 12y15 =•06,10y1 =••

JóvenesI = 2

5,6y21 =• 6,7y22 =• 8,14y23 =• 6,17y24 =• 3,19y25 =•16,13y2 =••

Fact

or 1

(Ed

ad)

medias porcolumnas

75,6y 1 =•• 25,7y 2 =•• 9,12y 3 =•• 5,15y 4 =•• 65,15y 5 =•• 6,11y =•••

74,2694SCT74,2694s79,266761,11y 22 ===σ= •••••••••

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( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 25,24061,1116,1361,1106,1050yy10.5yyKJSCE 222

1i

2i

I

1i

2i =−+−=−=−=α ∑∑

=•••••

=•••••

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){

( ) ( ) ( ) } 94,151461,1165,1561,115,1561,119,12

61,1125,761,1175,620yy10.2SCEyyKISCE

222

225

1j

2j

J

1j

2j

=−+−+−+

+−+−=−=β=−=β ∑∑=

•••••=

•••••

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ){( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) } 3,19003,19.1061,1165,1516,133,19

61,1165,1506,101261,115,1516,136,1761,115,1506,104,13

61,119,1216,138,1461,119,1206,101161,1125,716,136,7

61,1125,76,109,661,1175,616,135,661,1175,606,10710

yyyy10yyyyKSCE

2

222

222

222

2

1i

5

1j

2jiij

I

1i

J

1j

2jiij

==+−−+

++−−++−−++−−+

++−−++−−++−−+

++−−++−−++−−=

=+−−=+−−=βα ∑∑∑∑= =

••••••••= =

••••••••

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )β−α−βα−=β+α+βα+= SCESCESCESCTSCRSCESCESCESCRSCT a

( ) ( ) ( ) 25,7853,19094,151425,20474,2694SCRSCESCESCESCTSCR =−−−=⇒β−α−βα−=

TABLA ANOVA: ANÁLISIS ESTADÍSTICOFuente

variación Suma cuadrados grados libertad Varianza Test F

Factor ( )α ( ) 25,204SCE =α 11I =− ( ) 25,2401I25,240Ŝ2 =

−=α 54,27725,8

25,240F ==α

Factor ( )β ( ) 94,1514SCE =β 41J =− 74,3784

94,1514Ŝ2 ==β 41,43725,874,378F ==β

Interacción ( ) 3.190SCE =βα ( ) ( ) 41J1I =−− 58,474

3,190Ŝ2 ==βα 45,5725,858,47F ==βα

Residual 25,785SCR = ( ) 901KJI =− 725,890

25,785Ŝ2r ==

Total 74,2694SCT = 991KJI =−

SCT ≡ 2694,74 (Variabilidad total de todos los datos)SCR ≡ 785,25 (Variabilidad debida a los factores)

( )βαSCE ≡ 190,3 (Variabilidad debida a las interacciones)( )αSCE ≡ 204,25 (Variabilidad debida a los distintos niveles del Factor 1)( )βSCE ≡ 1514,94 (Variabilidad debida a los distintos niveles del Factor 2)

ANÁLISIS ESTADÍSTICO: Contraste del Efecto de cada factor

0únlgA:H0:H

i1

I21o

≠α=α==α=α L

0únlgA:H0:H

j1

J21o

≠β=β==β=β L ( )

( ) 0únlgA:Hj,i0:H

ji1

jio

≠βα

∀=βα


ESTADÍSTICOS DE CONTRASTE:

0únlgA:H0:H

i1

I21o

≠α=α==α=α L

0únlgA:H0:H

j1

J21o

≠β=β==β=β L ( )

( ) 0únlgA:Hj,i0:H

ji1

jio

≠βα

∀=βα



( ) ( )1KJI,1I,2r

2F

ŜŜF −−ααα ≤=


( ) ( )1KJI,1J,2r

2

FŜ

ŜF −−α

ββ ≤=


( )( ) ( )1KJI,1J1I,2r

2

FŜ

ŜF −−−α

βαβα ≤=

90,1,05,02r

2F96,354,27

ŜŜF =>== αα 90,4,05,02

r

2

F49,241,43Ŝ

ŜF =>== ββ 90,4,05,02

r

2

F49,245,5Ŝ

ŜF =>== αβαβ

Se rechazan todas las hipótesis nulas. En consecuencia, influyen los factores.

Se verifica que la diferencia de medias es significativa, con una significación de 0,05


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