1. Introducción

Bajo el concepto de durabilidad de las estructuras dehormigón armado, se entiende, la capacidad de las mismasde soportar las agresiones físicas y/o químicas a que puedanestar sometidas durante su vida útil.

Los mecanismos de deterioro más frecuentes en lasestructuras de hormigón armado, vienen acompañados porun alto contenido de humedad. Entre los mecanismos máscomunes deben destacarse dos grupos, los que afectandirectamente a la masa de hormigón, y los que posibilitanla corrosión del acero de refuerzo. En el primero podemosnombrar el ya conocido efecto de los sulfatos, mientras quelos dominantes del segundo son la presencia de cloruros yel proceso de carbonatación. Por tratarse de procesosquímicos, dependen estrechamente de las condiciones detemperatura y humedad en la que se encuentre la estructura,ya sea para su ingreso y transporte dentro de la masa delhormigón como para la velocidad de sus reacciones. Poreste motivo, es necesario contar con un modelo que permitala descripción del problema acoplado de almacenaje ytransporte de calor y humedad dentro del hormigón.

Muchos modelos han sido desarrollados para intentardescribir este fenómeno. En el presente trabajo se analizaráun modelo basado en el propuesto por Oberbeck [16]. Elprincipal objetivo es comparar la dependencia de losresultados, en función de distintas "funciones de

almacenamiento de humedad". Especialmente con la metade destacar la "función de almacenamiento de humedad"(FAH) que mejor comportamiento demuestre respecto aexactitud de los resultados, tiempo de cálculo, generalidadde los resultados en los intervalos habituales de temperaturay humedad relativa (HR), así como también su posterioradaptación a un modelo extendido que incluya a su vez elingreso, almacenaje y transporte de sustancias nocivas enla estructura de hormigón.

2. Descripción del Problema

El hormigón como medio poroso, posibilita el transportey almacenamiento de humedad en su interior. Este fenómenoesta fuertemente ligado tanto a las condiciones detemperatura y humedad del medio que lo rodea, como a suestructura de poros. Es decir que cambios en las condicionesexteriores, ocasionan variaciones de temperatura en la masade hormigón, como así también movimiento de humedaddentro de la misma, dichas variaciones tendrán lugar hastaque se consiga una situación de equilibrio entre la estructuray el medio. Tanto el estado higrotérmico del hormigóncomo su estructura de poros, dan lugar a distintosmecanismos de transporte y almacenamiento. La descripciónexacta de estos fenómenos se vuelve dificultosa, debido aque los factores que los influencian poseen una grandependencia tanto geométrica como temporal. A pesar deesto, se puede realizar un análisis fenomenológico consuficiente exactitud desde el punto de vista macroscópico.

Resumen

Palabras Claves: higrotérmico, hormigón, humedad, temperatura, Oberbeck, Hundt.

24

Análisis del Modelo Higrotérmicode Oberbeck para Hormigón.

Cicchellero, V.1; Fleming, W.; Kuhl, D. & Meschke, G .21vcicchel@frsf.utn.edu.ar, 2guenther.meschke@sd.rub.de Ruhr Universität Bochum, Germany.

Este trabajo, tiene como principal objetivo, realizar un análisis del modelo higrotérmico propuesto por Oberbeck [16], enfocándoseprincipalmente en a la dependencia del mismo respecto a la función de almacenamiento de humedad, de modo de hallar la másconveniente en lo que refiere a la generalidad de los resultados en los rangos normales de temperatura y humedad relativa. Paraello se exponen los resultados de los ensayos realizados por Hundt [7,8]. Además se estudia un modelo simplificado, propuesto en[19], que permite resolver algunos problemas numéricos que se presentan en ciertos rangos de temperatura y humedad.

Teniendo en cuenta las leyes de transporte es posible generarecuaciones diferenciales de equilibrio, capaces de describiren manera acertada los mecanismos de transporte yalmacenamiento dominantes.

2.1. Temperatura

Los mecanismos físicos que provocan el transporte de calorse distinguen entre: radiación, conducción y convección.La conducción propiamente dicha, solo tiene lugar en losmedios continuos, mientras que en los medios porosos seefectúa a su vez un intercambio de calor por radiación, enel espacio de poros ocupado por aire.

La ecuación de equilibrio que permite la descripción delfenómeno se basa en el principio de conservación de laenergía, y plantea, que la suma de todos los cambios deenergía dentro de un elemento diferencial en forma de caloro trabajo, deben ser intercambiadas con el medio [11].Despreciando los términos termomecánicos acoplados [6],tenemos:

(1)

Lo que se traduce en que la tasa de cambio de la energíacalorífica específica es provocada, por un lado por lavariación espacial de la densidad de flujo calórico ypor otro por una fuente de calor interna ( de aporte ode retención).

2.2. Contenido de Humedad

Los tres procesos hígricos de interacción entre un cuerpo(medio poroso) y su entorno, pueden dividirse en: adsorción(entrada de moléculas de agua del entorno que se acumulanen el cuerpo), desorción (salida de moléculas de agua haciael entorno) y permeación (migración de moléculas de aguaa través del medio poroso).

El proceso de transporte, acontece siempre que exista undesequilibrio hígrico dentro del cuerpo, o entre el cuerpoy el entorno. El espacio dentro del cual se dará el mismo,es el contenido dentro de los vacíos formados por los poros.Los distintos mecanismos que pueden producirse dependenbásicamente de la cantidad, tipo, forma y distribución delos poros, y del estado del agua (líquido o gaseoso), lograndoque se forme un flujo másico dentro del cuerpo. El espacio

de vacíos sirve además como lugar de almacenamiento deagua. Para alcanzarse el equilibrio térmico e hígrico, sealmacenarán o bien entregarán moléculas de agua en odesde la superficie de los poros, según las condiciones detemperatura y humedad relativa. Por lo tanto el flujo dehumedad a través del medio poroso es el resultado de lainteracción entre el transporte y el almacenamiento dehumedad.

Para la descripción numérica del problema, se formula unaecuación diferencial de equilibrio basada en el principio deconservación de la masa, según la cual, la variación delcontenido de humedad es producto de la variaciónespacial del flujo y del aporte o retención de una fuente . Específicamente

(2)

3. Ecuaciones de Equilibrio

Tomando como base las ecuaciones (1) y (2), y teniendoen cuenta, relaciones de transporte y almacenamientodescritas en [16, 17]. Se obtiene finalmente un sistema deecuaciones diferenciales no lineales acopladas, en términosde la temperatura T y la humedad relativa del aire en losporos H, que tiene la siguiente forma:

(3)

Las ecuaciones anteriores no son suficientes para describircompletamente el problema, es necesario a su vez definirlas condiciones iniciales y las condiciones de borde.

Denotando el interior del medio poroso como y elborde de este como , las condiciones iniciales definenlos campos de temperatura y humedad en cada punto parael tiempo inicial t0:

(4)

En cuanto a las condiciones de borde, estas se dividencomúnmente en tres clases: Dirichlet, Neumann y Neumann-

Obras y Proyectos, Edición Nº2, Primavera 2006

25

Robin. En las primeras, la condición es impuestadirectamente. Las segundas imponen un flujo normal a lasuperficie, mientras que las terceras representan el transportepor convección y radiación, teniendo en cuenta los valoresde las variables independientes en el entorno. Dichascondiciones de borde se pueden resumir en:

! Dirichlet:

(5)

! Neumann/Neumann-Robin:

Las ecuaciones (3) a (6) permiten la descripción completadel problema, donde las incógnitas son la temperatura T yla humedad relativa en los poros H. La fuerte no linealidaddel problema viene dada por la condición de borde Neumann-Robin, según la ley de Radiación de Stefan-Boltzmann ypor la dependencia funcional de los términos (para i,j=T,H), respecto a las propias variablesindependientes. Cabe hace notar que, para el análisisposterior, las fuentes Q se consideran independientes de Ty H.

Debido a la complejidad del problema, no se conoce unasolución analítica para el caso general, por lo que en adelantese planteará la solución del problema para el casounidimensional utilizando el método de los elementosfinitos, para ello se comenzará con la forma débil delproblema.

3.1. Forma débil

Para hallar la forma débil del sistema de ecuaciones, setoman individualmente cada una de las ecuaciones deequilibrio (3), con sus correspondientes condiciones deborde (5) y (6), se realiza la sumatoria de las mismas, yseguidamente se las premultiplica por ciertas funciones depeso y correspondientemente. Las ecuaciones asíobtenidas se integran en el dominio y finalmente,mediante la aplicación del teorema de Gauss se obtiene laforma débil del problema.

3.2. Forma semidiscreta

Teniendo el problema en su forma débil, se realizaposteriormente la discretización espacial de este medianteelementos finitos. Con esto se aproximan las variablesprincipales en función de sus valores nodales y utilizandolas clásicas funciones de forma dadas por polinomios linealesde Lagrange, se tiene entonces que para un determinadoelemento e, conectado a los nodos e1 y e2, la temperaturay humedad, reunidas en el vector , se aproximancomo:

(7)

donde se define en (13), es la matriz de las funcionesde forma y es la matriz de las derivadas de las funcionesde forma.

Ensamblando finalmente el aporte de todos los elementosa la forma débil se obtiene la forma general de un problemano lineal, semidiscreto, de primer orden, con valores iniciales,que escribimos a continuación:

(8)

Donde viene dado por:

(9)

mientras que para se tiene:

(10)

(11)

sobre (6)

26

Donde NE es el número de elementos, NN el número denodos y A el área transversal del elemento, la cual se asumeconstante.

3.3. Desarrollo en serie de Taylor

Para la resolver la ecuación (8), se utiliza el método deNewton-Raphson. Mediante el desarrollo en serie de Taylorde dicha ecuación y considerando solo el término linealobtenemos:

Donde !"W, se obtiene por medio de la regla de la cadenacomo:

Realizando las derivadas, llegamos a la siguiente ecuaciónsemidiscreta:

(16)

A partir de la cual se definen, la matriz tangencial dealmacenamiento DT y la matriz tangencial de transporte KT,dadas por:

(17)

Donde:

3.4. Discretización temporal

La ecuación (16) es resuelta según el esquema de integraciónde Jansen et al. [9]. El método general de integraciónnumérica de este tipo de problema, puede ser descrito,mediante la división del intervalo de tiempo analizado , en subintervalos de tiempo ....................

(19)

Así suponiendo conocidos los valores de y ( esconocido y se calcula a partir de (8)), el problemaconsiste en calcular y Para ello la ecuación (8)es analizada en un punto intermedio, siendo su expresiónla siguiente:

(20)

Utilizando la aproximación de Newmark en función delparámetro , es posible escribir en función de en la forma:

(21)

Teniendo en cuenta además aproximaciones lineales parael punto intermedio, según [9]:

(13)

(12)

(14)

(15)

(18)

Obras y Proyectos, Edición Nº2, Primavera 2006

27

(22)

y linealizando la ecuación (20), análogamente a lo realizadoen el apartado 3.3, se obtiene la siguiente ecuación efectivalinealizada, que permite resolver el problema de maneraiterativa:

(23)

Donde el vector efectivo y la matriz tangencial efectiva se definen como:

(24)

3.5. Adaptividad temporal

Se ha utilizado una discretización temporal adaptiva. Elindicador de error utilizado se define como:

Para obtener el segundo término de la derecha se realiza eldesarrollo por serie de Taylor de .

(26)

De este modo si truncamos la expresión anterior en eltérmino lineal y consideramos la expresión de laaproximación de Newmark, para , resulta que elindicador de error es:

(27)

De todas formas es posible utilizar indicadores de error de

mayor orden de exactitud, considerando términos de mayororden en la ecuación (26). La tabla 1 [13], expone algunosde los más comunes.

De esta forma conseguimos determinar el indicador de error . Para normalizar este indicador, se define el error relativo como:

(28)

En nuestro caso, se dividirá el error relativo en dos partes,dado que se trabaja con campos de magnitudes muy distintas,de esta forma, se define:

(29)

Donde:

(30)

Siendo Tx y Hx los vectores que corresponden a lastemperaturas y humedades calculadas para el tiempo Tn.

(31)

Análogamente se definen los vectores y , para .

Con esto se define la banda de error:

(32)

El intervalo de tiempo se corrige de la siguiente manera:Si es menor que el límite inferior, se almacenan los datosde la iteración realizada y se procede a realizar la siguienteiteración con un intervalo de tiempo correguido (másgrande). Si esta dentro de la banda de error, se almacenanlos datos y se realizada la siguiente iteración con el mismointervalo de tiempo. Finalmente si es mayor que el límite

(25)

28

superior, se repite la iteración (se desechan los valores detemperatura y humedad calculados), con un intervalo detiempo corregido (más pequeño). La corrección del intervalode tiempo utilizada fue:

4. Función de almacenamiento

Como ya se ha dicho, el almacenamiento de humedad enel interior de un medio poroso, depende principalmente delas condiciones de temperatura y humedad relativa delentorno, de modo que para determinadas condicionesexternas de humedad y temperatura, se establece uncontenido de humedad de equilibrio, a partir del cual no seproducirá ningún intercambio más de humedad entre elmedio poroso y el entorno. La función de almacenamientode humedad se divide en dos zonas, en las cuales actúandistintos mecanismos físicos de almacenamiento. La primerarecibe el nombre de zona de adsorción, es válida hasta unahumedad relativa de aproximadamente 50%, y estarepresentada, para una cierta temperatura, directamentepor la isoterma de adsorción, la cual expresa el contenidode humedad de un material en función de la humedadrelativa en los poros, puede ser determinada teóricamentemediante la teoría de BET [2], o bien experimentalmentemediante gravimetría [3]. La segunda zona se define comozona de condensación capilar, es válida estrictamente hastaaproximadamente un 95 % de HR, aunque a fines prácticospuede considerarse su validez hasta el punto de saturaciónlibre (valor máximo de contenido de humedad del materialalcanzado por succión, sin aplicar presión externa), y esrepresentada por la curva de retención de humedad, la cual

expresa el contenido de humedad de un material en funciónde la presión capilar, puede ser medida experimentalmentemediante ensayos de succión [3]. Mediante la ecuación deKelvin, es posible relacionar ambas curvas, para obtener laFAH de un material, en el rango completo de HR.

La función de almacenamiento de humedad caracterizacompletamente las propiedades de almacenamiento de unmedio poroso, por esta razón es decisiva para la descripcióndel transporte y almacenamiento de humedad en los mismos.En el modelo estudiado, existe una clara dependenciamatemática de los términos con respecto a laFAH y su derivada. Por esta razón se halló convenienteanalizar la diferencia de resultados, utilizando diferentesFAH, propuestas por distintos autores. Vale destacar quese desprecia en todas estas la influencia de la temperatura[10], como así también la influencia del fenómeno dehistéresis [12]. A continuación se hace una lista de lasfunciones analizadas, presentándose en el gráfico 1 todaslas curvas analizadas.

Tabla 1: Estimadores de error habituales. Estimador de Rickelt , Zienkiewicz y Xie, Ricciusy Schweizerhof y Li et al. , ver referencias en [13].

Gráfico 1. Funciones de Almacenamiento de Humedad.

(33)

Obras y Proyectos, Edición Nº2, Primavera 2006

29

4.1. FAH según Baroghel

Baroghel et al. [1] propone una curva empírica, basada enresultados experimentales y en la ley de Kelvin-Thompson,la cual depende de dos parámetros a y b, tabulados en [1]para distintos hormigones y pastas de cemento. En elpresente estudio se consideró razonable, adaptar la funciónal hormigón utilizado, hallando los parámetros de modoque la curva satisfaga valores medidos experimentalmentede contenido de humedad para humedades relativas igualesa 30% y 80%. En rigor, no se esta utilizando la funciónpropuesta por Baroghel, sino una adaptación de esta al tipohormigón considerado. La expresión para la FAH dada porBaroghel es:

(34)

donde ws es el contenido de humedad para la condición desaturación libre.

4.2. FAH según Holm

En [5], se propone una función empírica, que con ayuda dela ley de Kelvin-Thompson representa la FAH. Se determinandos parámetros libres a y b, considerando que la curva debesatisfacer valores de contenido de humedadexperimentalmente medidos para humedades relativasiguales a 80% y 95%. La expresión es la siguiente:

(35)

donde y R son la densidad del agua y constante de losgases respectivamente.

4.3. FAH según Künzel

En [15], se propone una función de almacenamiento, basadasolamente en un parámetro a, a determinar según los valoresexperimentales, para una humedad relativa de 80%, laexpresión de Künzel es:

4.4. FAH según Kumaran

Kumaran [14], propone una función empírica cuya expresiónse da a continuación. Que posee tres constantes, las cualestoman distintos valores, según el proceso sea de adsorcióno desorción. No obstante en este trabajo, se calculan solodos parámetros libres, que se determinaron con valoresexperimentales de contenido de humedad, para humedadesrelativas iguales a 30 y 80%.

4.5. FAH según Steffens

Steffens [17] propone una función de almacenamiento dehumedad, basada en los fenómenos físicos que se producenen los distintos rangos de humedades relativas. En el rangocomprendido entre 0 y 50% HR se produce una adherenciade moléculas de agua a la superficie de los poros a travésde fuerzas de adsorción (fuerzas de Van-der-Waals), mediantela teoría de BET [2] se obtiene el contenido de agua enfunción de la humedad relativa en este intervalo. A partirde 50% HR toma importancia la ley termodinámica deKelvin-Thompson de condensación capilar (válidaestrictamente hasta 95% HR, pero con una buenaaproximación en el intervalo entre 95 y 100% HR).Finalmente considera para este rango la relación propuestapor von Breugel [18]. De esta forma queda definida lafunción en todo el rango de HR (38). En las expresionesencontramos cuatro constantes, que se calculan con losvalores experimentales de contenido de humedadcorrespondientes a HR 30%, 50% y 80%. En nuestro trabajose ha modificado levemente la función de Steffens, debidoa que cuando H tiende a 1, wf tiende a infinito, lo cualacarreaba problemas numéricos, al producirse unadiscontinuidad para HR igual a 100%. Se plantearon, parasolucionar estos problemas, dos alternativas, la primeraconsiste en considerar la expresión de Steffens hasta un

(37)

(36)

30

valor de humedad relativa Hm tal que wf(Hm)= ws, a partirdel cual se considera wf constante e igual a ws. Esta FAHse denomina Steffens 1.

La segunda FAH basada en la propuesta por Steffens, seconsigue utilizando una función de tercer grado comoempalme entre los valores correspondientes a 95 y 100%HR, Esta se determina, imponiendo continuidad C1 paraH=0.95, que la función de empalme para H=1, sea igual alvalor de saturación libre ws y que su derivada en dichopunto sea nula. Se denomina Steffens 2.

5. Comparación de Resultados

Para el análisis de los resultados con las diferentes funcionesde almacenamiento de humedad, se calculó el ensayorealizado por Hundt [7, 8]. El mismo se trata de una vigade hormigón, cuyos lados longitudinales se encuentranaislados térmica e hidrófugamente. En el extremo izquierdode la viga se halla una placa de acero que se mantiene auna temperatura constante de 80ºC, mientras que el extremoderecho se encuentra expuesto a una temperatura ambienteigual a 20ºC. En el gráfico (2) se muestran las dimensionesde la viga de hormigón, junto con las condiciones de bordee iniciales. Las características del hormigón utilizado parael ensayo, pueden ser extraídas de [7, 8]. Mientras quetodos los parámetros del modelo se remiten a [17].

Para la malla de elementos finitos se utilizaron un total de124 elementos. En el extremo izquierdo, 20 elementos delongitud 1 [cm], en el centro 16 elementos de longitud 5[cm] y en el extremo derecho 50 elementos de longitud 0.5[cm], realizando un empalme entre los extremos y el centrode manera gradual, en cuanto a la longitud de los elementos

se refiere. En relación a la integración temporal, se utilizaron =0 y =0.5, mientras que para la adaptividad temporalse definió la banda de error mediante =0.8, =1.2 y =10-4.

Gráfico 2. Viga de hormigón analizada.

En las tablas 2 y 3, se presentan los parámetros libresdeterminados para cada FAH.

Tabla 2. Parámetros de FAH.

Tabla 3. Parámetros de FAH.

(38)

Obras y Proyectos, Edición Nº2, Primavera 2006

31

Gráfico 7. Distribución del Contenido de Humedada 1029 días.

Se han calculado con las distintas FAH los campos detemperatura y contenido de humedad dentro de la viga, enfunción de la posición y del tiempo. Para comparar losresultados con los resultados experimentales, se exponenlas temperaturas obtenidas para tiempos iguales a: 7 y 339días. Y los contenidos de humedad para tiempos iguales a:550, 800 y 1029 días. En los gráficos se exponen igualmentelos valores registrados por Hundt [7, 8] en sus ensayos.

32

Gráfico 11: Distribución del Contenido de Humedad a800 días.

Gráfico 8. Distribución de Temperaturas a 7 días.

Gráfico 9. Distribución de Temperaturas a 339 días.

Gráfico 10. Distribución del Contenido de Humedad a550 días.

Obras y Proyectos, Edición Nº2, Primavera 2006

33

Gráfico 12: Distribución del Contenido de Humedad a1029 días.

[1] Baroghel-Bouny, V.; Mainguy, M.; Lassabetere, T.;Coussy, O.: Characterization and identification of equilibrium andtransfer moisture properties for ordinary and high-performancecementicious materials. Cement and concrete Research 29 (1999) 1225-1238.

[2] Brunauer, S; Emmett, P. H.; Teller, E.: Adsorption ofgases in multimolecular layers. Journal American chemical Society 60(1938) 309-319.

[3] Cern!, R.; RovnaníkovÁ, P.: Transport Processes inConcrete. (2002).

[4] Grasberger, S.: Gekoppelte hygro-mechanische Materialmodellierungund numerische Simulationlangzeitiger Degradation von Betonstrukturen.Dissertation, Lehrstuhl für Statik und Dynamik, Ruhr-Universität Bochum (2002).

[5] Holm, A.: Ermittlung der Genauigkeit von instationärenhygrothermischen Baute i lberechnungen mi t te ls e inesstochastischen Konzeptes. Dissertation, Stuttgart (2001).

[6] Huckfeld, J.: Zur Thermomechanik hidratisierendenBetons, Dissertation. Bericht Nr. 93-77 aus dem Institutfür Statik der TU Braunschweig (1993).

[7] Hundt, J: Wärme- und Feuchtigkeitsleitung im Betonunter Einwirkung eines Temperaturgefälles. DeutscherAusschuß für Stahlbeton, Hef t 256 (1975).

[8] Hundt, J: Zur Wärme- und Feuchtigkeitsleitung in Beton.Deutscher Ausschuß für Stahlbeton, Heft 280 (1977),22-41.

[9] Jansen, K. E.; Whiting, C.H.; Hulbert, G.M.: A generalized- methodfor integrating the filtered Navier-Stokes equations with a stabilizedfinite element method.Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 190 (2000)305-319.

[10] Kiessl, K.: Kapillarer und dampfförmiger Feuchtetransport inmehrschichtigen Bauteilen–'96Rechnerische Erfassung undbauphzsikalische Anwendung. Di s ser tat ion, Es sen (1983).

[11] Krischer, O.: Die wissenschaftlichen Grundlagen derTrocknungtechnik. Springen-Verlag, Berl in-Gött ingen-Heidelberg, (1963).

[12] Krus, M.; Kiessl, K.: Ist der Diffusionswiderstand vonBaustoffen wirkl ich feuchteabhängig? IBP-Mit te i lung208, 18. Neue Forschungsergebnisse, kurz gefasst. Fraunhofer-Institutfür Bauphysik, Holzkirchen, (1991).

[13] Kuhl, D.: Modellierung und Simulation von Mehr feldproblemender St rukturmechanik. Schriftenreihe des Instituts für KonstruktivenIngenieurbau, Heft 2005-9.

[14] Kumaran, M.K.: Heat and moisture Transfer in InsulatedEnvelope Parts, Volume 3, Material Properties. (Leuven:International Energy Agency) (1996)

34

[15] Künzel, H. M.: Verfahren zur ein- und zweidimensionalenBerechnung des gekoppelten Wärme- und Feuchtetransports in Bauteilenmit einfachen Kennwerten. Dissertation, Stuttgart (1994).

[16] Oberbeck, N.: Instationärer Wärme-Feuchte-Schadstofftransport inBeton. Theorie und Berechnung. Bericht Nr. 95-79 aus dem Institut fürStatik der TU Braunschweig (1995).

[17] Steffens, A.: Modellierung von Karbonatisierung undChloridbindung zur Korrosionsgefährdung derBetonbewehrung. Bericht Nr. 2000-90 aus dem Institutfür Statik der TU Braunschweig (2000).

[18] von Breugel, K.: Simulation of hydration and formationof structure in hardening cement-based materials.Dissertation, TU Delft (1991).

[19] Wörmann, R.: Zur Erfassung hygrothermischerEinf lusse auf das nicht l ineare Trag- undSchädigungsverhal ten von Stahlbetonflächentragwerke.Dissertation, Wuppertal (2004).

Obras y Proyectos, Edición Nº2, Primavera 2006

35

Publique sus Artículos enObras y ProyectosLe invitamos a enviarnos sus resúmenes

w w w . o y p . u c s c . c l o y p @ u c s c . c l

Próxima edición Otoño 2007

Ruhr-Universität BochumInstitute for Structural Mechanics

Universitätsstr. 150, IA 6/125D-44780 Bochum

GermanyTel.: +(49) 234 32-29051Fax : +(49) 234 32-14149

guenther.meschke@sd.rub.de