Análisis de series temporales como métodos de predicción · LECCIÓN 2 . COMPONENTES DE UNA...

UNIDAD VIII

Anaacutelisis de series temporales como meacutetodos de prediccioacuten

UNIDAD VIII

ldquoLa estadiacutestica demuestra que cuanto maacutes se sabe maacutes suerte se tienerdquo Allen L Webster 1998

bull iquestA queacute se denominan series temporales y Procesos Estadiacutesticos bull iquestCuaacuteles son los componentes de una serie temporal bull iquestCoacutemo se representa una serie temporal bull iquestQueacute son Modelos Autoregresivos y de rezagos distribuidos bull iquestCoacutemo es la metodologiacutea de Koyc

ANALISIS DE SERIES TEMPORALES COMO METODOS DE PREDICCION

ESQUEMA CONCEPTUAL

Definiciones baacutesicas

Proceso Estocaacutestico

Series de tiempo

Estacionariedad

Componente irregular

Componente estacional

Componente ciacuteclico

Componente tendencial

Componentes de una serie temporal

ANALISIS DE SERIES TEMPORALES

COMPETENCIAS A LOGRAR

CONCEPTUAL PROCEDIMENTAL ACTITUDINAL Explica los modos de utilizar los datos de la serie temporales para hacer predicciones

Aplica la teacutecnica del anaacutelisis de series de tiempo para predecir y prever sucesos futuros

Analiza el empleo de las series temporales para una buena toma de decisiones

CONCEPTOS ndashCLAVE

Series temporales estocaacutestico estacionariedad tendencia ciacuteclico

349

LECCIOacuteN 1

SERIES TEMPORALES Y PROCESOS ESTADIacuteSTICOS

Toda institucioacuten ya sea la familia la empresa o el gobierno tiene que hacer planes para el futuro si ha de sobrevivir y progresar Hoy en diacutea diversas instituciones requieren conocer el comportamiento futuro de ciertos fenoacutemenos con el fin de planificar prever o prevenir La planificacioacuten racional exige prever los sucesos del futuro que probablemente vayan a ocurrir La previsioacuten a su vez se suele basar en lo que ha ocurrido en el pasado Se tiene pues un nuevo tipo de inferencia estadiacutestica que se hace acerca del futuro de alguna variable basaacutendose en sucesos pasados De todas las teacutecnicas conocidas la maacutes importante para hacer inferencias sobre el futuro con base a lo ocurrido en el pasado es el anaacutelisis de series de tiempo Dentro de las muacuteltiples aplicaciones podemos destacar los ejemplos siguientes

Series De Tiempo Ejemplos 1 Series econoacutemicas

- Precios o produccioacuten de un artiacuteculo - ventas o existencias - inflacioacuten - Producto Bruto Interno etc

2 Series Fiacutesicas

- Meteorologiacutea - Cantidad de agua caiacuteda - Temperatura maacutexima diaria - Velocidad del viento (energiacutea eoacutelica) - Energiacutea solar etc

3 Geofiacutesica

- Series sismologiacuteas

4 Series sociodemograacuteficas

- Poblacioacuten nacimientos defunciones - migraciones empleo - Alumnos matriculados consultas meacutedicas

5 Series de marketing

- Series de demanda gastos ofertas

- Gastos de publicidad

6 Series de telecomunicacioacuten

- Liacuteneas telefoacutenicas fijas moacuteviles llamadas telefoacutenicas

7 Series de transporte

- Series de traacutefico aeacutereo transporte de pasajeros terrestre aeacutereo terrestre

En conclusioacuten se puede decir que son innumerables las aplicaciones que se pueden citar en distintas aacutereas del conocimiento tales como en economiacutea fiacutesica geofiacutesica quiacutemica electricidad en demografiacutea en marketing en telecomunicaciones en transporte etc

350

1 DEFINICIONES BAacuteSICAS - Proceso estocaacutestico Es la secuencia ordenada de variables aleatorias Y(t) es

decir la sucesioacuten de variables aleatorias ordenadas Y1 Y2hellipYT las cuales constituyen en su conjunto lo que se conoce como una serie temporal

- Series de tiempo Es un conjunto de mediciones (datos o nuacutemeros) relativos a

un fenoacutemeno (pej precios de la bolsa) tomados a intervalos regulares de tiempo (cada mes cada semana cada antildeo etc) La necesidad de estudiar series de tiempo radica a que en muchas aacutereas del conocimiento las observaciones de intereacutes son obtenidas en instantes sucesivos del tiempo por ejemplo a cada hora durante 24 horas mensuales trimestrales semestrales o bien registradas por alguacuten equipo en forma continua

Notaciones

bull Serie de tiempo Yt1 Yt2 Ytn = Yt t isin T sube R con Yti el valor de la variable Y en el instante ti

bull Cuando ti+1 - ti = k para todo i = 1n-1 se dice que la serie es equiespaciada en caso contrario seraacute no equiespaciada

En adelante se trabajaraacute con series de tiempo discreta equiespaciadas en cuyo caso asumiremos y sin peacuterdida de generalidad que

Yt1 Yt2 Ytn = Y1 Y2 Yn

- Estacionariedad Cuando analizamos una serie de tiempo nos referimos a una variable medida en diferentes momentos Yt1 Yt2 Ytn por lo cual es de suponer que cada Yti pueda tener diferente distribucioacuten por ello la condicioacuten de estacionariedad plantea que las variables aleatorias que componen una serie temporal esteacuten ideacutenticamente distribuidas

Debido a que la condicioacuten de estacionariedad es muy estricta para nuestras necesidades praacutecticas se define un concepto menos exigente como es el de estacionariedad en sentido deacutebil o de segundo orden que plantea la estacionariedad en media y varianza que se definen a continuacioacuten - Proceso estacionario en media es aquel proceso estocaacutestico YT que tiene

media constante es decir no depende del tiempo

E[Yt] = μ para toda t

- Proceso estacionario en varianza es el proceso estocaacutestico YT que tiene media constante varianza constante ademaacutes la covarianza no depende del tiempo sino de la distancia a la que se toman las observaciones


V ar(Yt) = σ2 para toda t

351

Cov( Yt Yt-k ) = empty (k) no depende de t

- Ruido Blanco es un tipo especial de proceso estocaacutestico el cual cumple ciertas condiciones tales como

E[μt] = 0 media cero Var(μt) = σ2 varianza constante Cov(μt μs) = 0 para valores de ldquotrdquo diferente de ldquosrdquo

Es decir se trata de un proceso estocaacutestico que tiene de media cero varianza constante donde los diferentes teacuterminos no presentan covariacioacuten entre siacute Si ademaacutes cada variable aleatoria esta distribuida bajo la normal se le llama un proceso de ruido blanco gaussiano

352

LECCIOacuteN 2

COMPONENTES DE UNA SERIE TEMPORAL

En primer lugar cuando observamos las series temporales eacutestas van a tener en general una caracteriacutestica comuacuten no permanecen fluctuando de una manera aleatoria alrededor de un valor medio constante a lo largo del tiempo es decir no son series estacionarias Maacutes bien las series se caracterizan por seguir uno de los comportamientos siguientes

a No mantienen un valor medio constante sino que siguen un comportamiento creciente a lo largo del tiempo es decir presentan una tendencia creciente (por ejemplo las series macroeconoacutemicas de Consumo Privado de Producto Interior Bruto de IPC etc)

b Aunque no crezcan de manera definida mantienen valores sistemaacuteticos por

encima del valor medio y a continuacioacuten valores sistemaacuteticos por debajo del valor medio (por ejemplo valores de bolsa tipos de intereacutes etc)

Por tanto las series mantienen una pauta de comportamiento a medio y largo plazo que no va a poder ser olvidado y que habraacute que tener en cuenta Ahora bien iquestqueacute otras caracteriacutesticas podriacutean tener las series temporales Muchas de estas series suelen tener un comportamiento claro dentro de cada antildeo a lo largo del tiempo Asiacute estas series no se comportan de igual manera todos los meses del antildeo Un ejemplo podriacutea ser la produccioacuten industrial es mayor entre setiembre y octubre respecto a los restantes meses del antildeo el consumo de refrescos aumenta en los meses de verano etc Por uacuteltimo todas las series temporales al reflejar un comportamiento humano muestran un componente puramente aleatorio no determinista que no sigue ninguna pauta clara y que hace que cada observacioacuten sea diferente a las demaacutes Resumiendo en toda serie temporal existen varios componentes que van a mostrar su evolucioacuten a largo medio corto y muy corto plazo De esta manera podemos dividir una serie temporal en cuatro componentes

A Componente tendencial Movimiento general a largo plazo de la serie se observa en una serie con un comportamiento determinado ya sea creciente o decreciente

353

Venta de Leche Fresca por toneladas meacutetricas en el Peruacute

(1990 - 2000)

300

400

500

600

700

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

Lecha Fresca (Miles de Toneladas meacutetricas)

FuenteInstituto Nacional de Estadiacutestica e Informaacutetica (INEI)

B Componente ciacuteclico Oscilaciones que se producen en la serie en periacuteodos superiores a un antildeo en muchas ocasiones la serie muestra maacutes de un ciclo superponieacutendose eacutestos entre siacute lo que hace difiacutecil determinar este componente

Fuente INEI Ciclos Econoacutemicos

C Componente estacional Oscilaciones que se producen en la serie en periacuteodos iguales o inferiores a un antildeo y que reproducen de manera sistemaacutetica y reconocible en los diferentes antildeos

354

Serie mensual de la Produccioacuten Agropecuaria del Peruacute (Indice Base 1994=1000)

1994 - 2004

0

50

100

150

200

250

ENE 94 ENE 95 ENE 96 ENE 97 ENE 98 ENE 99 ENE 00 ENE 01 ENE 02 ENE 03 ENE 04

Iacutendice mensual de produccioacuten agropecuaria


D Componente irregular Movimientos con caraacutecter aperioacutedico puramente aleatorio que no se rigen por ninguacuten patroacuten determinado

Produccioacuten Nacional de Maiacutez en el Peruacute(1973-1999)

000

1000

2000

3000

4000

5000

1973 1976 1979 1982 1985 1988 1991 1994 1997

Produccioacuten Nacional de Maiacutez (millones de toneladas)

Todos estos componentes son no observables por lo que habraacute que estimarlos en base a una serie de teacutecnicas especiacuteficas En muchas ocasiones no es faacutecil determinar cuaacutel es el componente tendencial y cuaacutel es el componente ciacuteclico por lo que algunos autores estudian estos dos componentes de forma conjunta

355

LECCION 3

REPRESENTACIOacuteN DE UNA SERIE TEMPORAL En primer lugar se tiene que advertir por lo anteriormente sentildealado que es necesario descomponer una serie temporal por una sencilla razoacuten queremos extraer la informacioacuten que contiene la serie para utilizar posteriormente esta informacioacuten (generalmente para anaacutelisis estructural o prediccioacuten) Asiacute si queremos conocer el comportamiento a muy largo plazo de una serie nos interesa eliminar extraer los componentes de maacutes corto plazo y quedarnos con el componente tendencial En cambio si estamos interesados en conocer la evolucioacuten a maacutes corto plazo de la serie lo que haremos seraacute eliminar el componente tendencial para observar maacutes claramente los componentes ciacuteclico y estacional Modelos de descomposicioacuten Un modelo claacutesico para una serie de tiempo supone que una serie Y(1) Y(n) puede ser expresada como suma o producto de cuatro componentes tendencia ciclo estacionalidad y un teacutermino de error aleatorio Existen tres modelos de series de tiempos que generalmente se aceptan como buenas aproximaciones a las verdaderas relaciones entre los componentes de los datos observados estos son 1 Aditivo Y(t) = T(t) + E(t) + C(t) + A(t) 2 Multiplicativo Y(t) = T(t) x E(t) x C(t) x A(t) 3 Mixto Y(t) = T(t) x E(t) x C(t)+ A(t) Donde

Y(t) serie observada en instante t

T(t) componente de tendencia E(t) componente estacional C(t) componente ciacuteclico A(t) componente aleatoria (irregular)

Una suposicioacuten usual es que A(t) sea una componente aleatoria o ruido blanco con media cero y varianza constante Un modelo aditivo (1) es adecuado por ejemplo cuando E(t) no depende de otras componentes como T(t) siacute por el contrario la estacionalidad variacutea con la tendencia el modelo maacutes adecuado es un modelo multiplicativo (2) Es claro que el modelo 2 puede ser transformado en aditivo tomando logaritmos El problema que se presenta es modelar adecuadamente las componentes de la serie

356

La figura 21 ilustra posibles patrones que podriacutean seguir series representadas por los modelos (1) (2) y (3)

Figura 21

Modelo de tendencia determinista se presenta cuando la variable crece linealmente respecto del tiempo a una tasa constante

TttY tt 2110 =++= μββ

Donde βo es una constante β1 representa la tasa de crecimiento de Yt a lo largo del tiempo y tμ es una variable aleatoria que engloba a los demaacutes componentes de la serie temporal En este modelo los paraacutemetros βo y β1 son paraacutemetros desconocidos y los estimamos en base a las teacutecnicas de regresioacuten lineal Una vez obtenidas las estimaciones de βo y β1 calculamos las estimaciones de los componentes tendencial y no tendencial de la serie Componente tendencial tTt 10

ˆˆˆ ββ += Componente no tendencial ttt TY μˆ =minus Ejemplos de modelos usuales con tendencia determinista son

tn

nt

tt

tatataaZ

aaZ

μ

μ

++++=

++=

2210

10

En el caso de un polinomio de grado n los estadiacutesticos ldquot-Studentrdquo y la ldquoprueba Frdquo son instrumentos para determinar el grado del polinomio con la prueba ldquotrdquo se analiza si ldquoanrdquo es cero en cuyo caso se estima el polinomio de grado n-1 y se vuelve a hacer la prueba sobre la significacioacuten del paraacutemetro ldquoan-1rdquo La prueba termina con el primer coeficiente significativo el cual es el grado del polinomio No es correcto pensar que toda serie evolutiva con ajustarle un polinomio y quedarse con los residuos ya se logra una adecuada serie estacionaria en varianza esto se logra solo con las series estacionarias en tendencia (trend stationary) hay otra familia muy importante la cual se hace estacionaria utilizando diferencias (difference stationary) Modelo de tendencia cuadraacutetica se supone que la variable Yt no crece a una tasa constante a lo largo del tiempo

357

t2

210t ttY μ+β+β+β= t =12hellipT

En este caso el componente tendencial ya no es una liacutenea recta sino una curva coacutencava o convexa dependiendo del signo de los paraacutemetros Cuando β2 gt0 este modelo impone una tendencia convexa con una tasa de crecimiento para la variable que aumenta seguacuten pasa el tiempo (es decir seguacuten pasa el tiempo la variable crece en mayor magnitud) En cambio cuando β2 lt0 este modelo impone una tendencia coacutencava con una tasa de crecimiento para la variable que disminuye seguacuten pasa el tiempo Un componente tendencial de este tipo es maacutes realista que un comportamiento tendencial lineal Asiacute en muchas ocasiones observamos que la tendencia de una serie temporal no crece siempre a la misma tasa (como seriacutea el caso de una tendencia lineal) sino que al principio su tasa de crecimiento es mayor que en los uacuteltimos antildeos lo que se representa mejor con una tendencia cuadraacutetica coacutencava ejemplos de este comportamiento son series como el PIB Consumo Privado etc Ejemplo Ilustrativo Iacutendice de Volumen Fiacutesico mensual de la produccioacuten Industria de Bebidas en el Peruacute entre diciembre de 1993 y junio de 1997 ANtildeO MES ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC

1993 1766 1994 1901 1623 1842 1654 1416 1302 1487 1507 1547 1659 1650 1971 1995 1879 1810 1998 1615 1580 1492 1577 1504 1602 1512 1614 2095 1996 1926 1727 1779 1608 1674 1243 1417 1486 1514 1576 1595 1954 1997 1948 1750 1840 1804 1855 1846

INDICE DE VOLUMEN FIacuteSICO MENSUAL PARA LA PRODUCCIOacuteN DE LA INDUSTRIA DE BEBIDAS EN EL PERUacute

(DIC 93 - JUN 97)

100

120

140

160

180

200

220

DIC 93 JUN 94 DIC 94 JUN 95 DIC 95 JUN 96 DIC 96 JUN 97

358

Pronoacutesticos Proviene del griego prognocircstikon Conjetura acerca de lo que puede suceder Denominamos pronoacutesticos a las estimaciones de valores futuros de la variable en funcioacuten del comportamiento pasado de la serie Este proceso se emplea ampliamente en el campo de la ingenieriacutea y de la economiacutea incluyendo en esta uacuteltima rama tambieacuten la sanidad puacuteblica y la vigilancia de la salud Asiacute por ejemplo los pronoacutesticos provenientes de modelos basados en la teoriacutea de series temporales puede servir para una buena planificacioacuten de recursos sanitarios en funcioacuten de la demanda que se espera en el futuro prevista por el modelo Otro de los campos en los que se aplica la prediccioacuten mediante series temporales es el de la meteorologiacutea o en la prediccioacuten de otros fenoacutemenos naturales Los pronoacutesticos son una de las herramientas fundamentales para la toma de dediciones dentro de las organizaciones tanto productivas como sin fines de lucro Algunas de las aacutereas de la industria en donde se utilizan pronoacutesticos son la planeacioacuten y control de inventarios produccioacuten finanzas ventas comercializacioacuten entre muchas otras Objetivo de un Pronoacutestico Reducir la incertidumbre acerca de lo que puede acontecer en el futuro proporcionando informacioacuten cercana a la realidad que permita tomar decisiones sobre los cursos de accioacuten a tomar tanto en el presente como en el futuro

359

LECCIOacuteN 4

MODELOS AUTORREGRESIVOS

Los modelos autorregresivos son aquellos en los cuales el Yt depende de sus valores pasados hasta un cierto periodo y de un error aleatorio el cual es un ruido blanco Un proceso auotorregresivo de orden ldquoprdquo esta representado por

t2t21t1t YYY = β +β +μminusminus

El cual es representado por las siglas AR(p) Si en los modelos autorregresivos se incluyen a las variables dependientes rezagadas como explicativas la serie tendriacutea la forma siguiente

tttt YXY μβββ +++= minus1321 Los modelos de rezagos distribuidos soacutelo trabajan con los rezagos de las variables independientes con lo cual seraacuten de la forma

ttttt XXXX μββββ ++++++ minusminusminus L3322110 tY α=

1 SIGNIFICADO DE LOS PARAMETROS Sea el siguiente modelo de rezagos distribuidos

tktkttt XXXY μβββα +++++= minusminus L110 Se tendraacute que

0β

K10

K

0ii β++β+β=β=β sum

=

L

Es el multiplicador de corto plazo

K21 βββ L Miden el impacto en el valor medio de Y debido a un cambio unitario en X en varios periodos anteriores de tiempo

Es el multiplicador de largo plazo o total con rezagos

distribuidos tal que la suma exista β La mediana de rezagos Es el tiempo transcurrido para que se sienta la primera mitad del cambio total en la variable dependiente Retardo promedio Es el promedio ponderado de todos los rezagos involucrados actuando los coeficientes β como ponderaciones

360

2 METODOLOGIacuteA DE KOYC

Se tiene

Yt = α + β0Xt + β1Xt-1 + β2Xt-2 + + μt (4)

Asumiendo que las β tienen igual signo Koyck supone que eacutestas disminuyen geomeacutetricamente asiacute

βk = βoλk k = 01 y 0ltλlt1 (5)

Donde λ Tasa de disminucioacuten o decaimiento del rezago distribuido 1- λ Velocidad del ajuste Por lo dicho anteriormente considerar (5) implica afirmar que a medida que se retrocede hacia el pasado el efecto de ese rezago sobre Yt se hace progresivamente maacutes pequentildeo lo cual es un supuesto bastante factible Por lo tanto λ = 1 indica una lenta disminucioacuten de βk λ = 0 indica que raacutepidamente declinaraacute βk Caracteriacutesticas bull Asumiendo que no existen valores negativos para λ Koych elimina el cambio de

signo para valores de β bull Al suponer λ lt 1 Koych le asigna menos importancia a los β lejanos que a los

actuales

bull Asegura que el multiplicador a largo plazo es ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

= 11

00k

k

Para la estimacioacuten del modelo Koyc propone lo siguiente Reemplazando (5) en (4) resulta

Yt = α + β0Xt + β0λXt-1 + β0λ2Xt-2 + + μt (6) Yt-1 = α + β0Xt-1 + β0λXt-2 + β0λ2Xt-3 + + μt-1 (7)

λYt-1 = λα + λβ0Xt-1 + β0λ2Xt-2 + β0λ3Xt-3 + + λμt-1 (8) Restando (6) - (8) Yt - λYt-1 = α(1-λ) + β0Xt + νt (9) Reordenando Yt = α(1-λ) + β0Xt + λYt-1 + νt (10) Donde νt = (μt - λμt-1) Con lo cual en este modelo no existe razoacuten alguna para la presencia de multicolinealidad

361

Ejemplo Ilustrativo 1 Un empresario desea estimar el costo final de elaboracioacuten del producto (Yt) en funcioacuten del precio de la materia prima utilizada (Xt) aplicar el meacutetodo de Koych para la estimacioacuten del modelo apropiado

VARIABLE COEFFICIENT STD ERROR T-STAT 2-TAIL SIG

C -34256310 18380160 -18637656 00808 X 11724286 01577726 74311299 00000

Y(-1) 04113484 01046733 39298327 00012

R-squared 0993959 Mean of dependent var 7864663 Adjusted R-squared 0993203 SD of dependent var 2810132 SE of regression 2316718 Sum of squared resid 8587489

Log likelihood -4129013 F-statistic 1316189 Durbin-Watson stat 1470146 Prob(F-statistic) 0000000

Solucioacuten Haciendo uso de los resultados obtenidos mediante E-Views De la tabla anterior tenemos que el modelo seriacutea

1tt Y4110X17214263Y minus++minus=

( )

Ajustando al Modelo de Koych que tiene la forma

( )1tt1tt0t YX1Y minusminus λ + β + λ + μminusα=

)

( )

minus λμ Por lo tanto tendremos que es -3426 el multiplicador de impacto de Corto Plazo es 1172 y la tasa de crecimiento de los valores de los paraacutemetros es 0411 luego

( λminusα ˆ1

0β λ

87541101

4263minus=

minusminus =α

) Ademaacutes la velocidad del ajuste ( λminus1 es 0589 El multiplicador (de largo Plazo) es

915890

117241101

111721

10

0kk ==

minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

=

El modelo original seraacute

)4110(1721)4110(17211721875ˆ2

21

1 ++++minus= minusminus tttt XXXY

362

Ejemplo Ilustrativo 2 Se piensa que el nivel de inversioacuten de una empresa de calzado (It) estaacute en relacioacuten con el volumen de ventas y la inversioacuten realizada el antildeo anterior (It-1) utilice el meacutetodo de Koych para estimar el modelo

VARIABLE COEFFICIENT STD ERROR T-STAT 2-TAIL SIGC -42531978 15038641 -28281797 00095 V 08163127 00217806 37478804 00000

I(-1) 07425750 00024349 30496817 00000



Solucioacuten Por lo dicho en el ejercicio anterior tenemos

1tt I7420V816053242I minus++minus= Ademaacutes tendremos que es -42532 el multiplicador de impacto de Corto Plazo

es 0816 y la tasa de crecimiento de los valores de los paraacutemetros es 0742 luego ( λminusα ˆ1 )

0β λ

( ) 8531647420153242

minus=minus

minus=α

Ademaacutes la velocidad del ajuste ( )λminus1 es 0258 El multiplicador (de largo Plazo) es

16332580

081674201

181601

10

0kk ==

minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

=

Finalmente el modelo original seraacute

V)8160(8160V816042532I 1t2

tt +minus+minus= minus

363

LECCIOacuteN 5

MODELOS CON REZAGOS DISTRIBUIDOS Siguiendo el teorema de Weierstrass Almon supone que iβ pude ser aproximado mediante un polinomio en i la longitud del rezago1 de un grado apropiado Por ejemplo si el esquema de rezagos es de orden 1 (lineal) el puede ser aproximado mediante (figura 1 a) iaa 10i +=β Suponiendo una Ley Paraboacutelica los iβ puede definirse mediante el siguiente polinomio

2210i iaiaa ++=β (1)

que es un polinomio cuadraacutetico o de segundo grado en i (veacutease figura 1b) Sin embargo si los β sigue el patroacuten de la figura 1c se puede escribir como sigue

3

32

210i iaiaiaa +++=β

Figura 1a Figura 1b Figura 1c Suponiendo un polinomio de grado indasheacutesimo es decir una ecuacioacuten de grado i -eacutesimo cada βi tendriacutea la siguiente estructura

++++=β iaiaiaa 33

2210i

γγ+ ia

a Supongamos que se acepta que los iβ siguen una Ley de segundo grado

2210i iaiaa ++=β

002

2100 a)0(a)0(aa =βrArr++=β

Cuando i = 0 Cuando i = 1 2101

22101 aaa)1(a)1(aa ++=βrArr++=β

1 En teacuterminos generales el teorema plantea que en un intervalo cerrado finito cualquier funcioacuten continua

puede ser aproximada uniformemente mediante un polinomio de un grado apropiado

364

Cuando i = 2 2102

22102 a4a2a)2(a)2(aa ++=βrArr++=β

Cuando i = 3 2103

22103 a9a3a)3(a)3(aa ++=βrArr++=β

Cuando i = 4

2

210K

21042

2104

akkaaa16a4a)4(a)4(aa

++=β++=βrArr++=β

Reemplazando en la foacutermula general

( )titititt

titt

XiaiXaXaY

XiaiaaY

μα

μα

++++=

++++=

sumsumsumsum

minusminusminus

minus

2210

2210

b Si fuera Lineal iaai 10 +=β Entonces 00 a=β 101 aa +=β 102102 a2a)2(aa +=βrArr+=β

M 10n10n naa)n(aa +=βrArr+=β Reemplazando en la foacutermula general

( )tit1it0t

tit10t

iXaXaYXiaaY

μ+++α=μ+++α=

sumsumsum

minusminus

minus

c Si fuera de grado ldquo γ rdquo se tendriacutea γ+ ++=β iaiaiaai r

2210

Reemplazando en la foacutermula general titit XY μ+β+α= sum minus

( ) t

k

0iit

2210t XiaiaiaaY μ++++++α= sum

=minus

γγK

t

k

0iitr

k

0iit

22

k

0iit1

k

0iit0t XiaXiaiXaXaY μ++++++α= sumsumsumsum

=minus

γ

=minus

=minus

=minus

ttt11t00t ZaZaZaY μ+++++α= γγ

Donde

365

sum

sum

sum

sum

=minus

γγ

=minus

=minus

=minus

=

=

=

=

k

0iitt

k

0iit

2t2

k

0iitt1

k

0iitt0

XiZ

XiZ

iXZ

XZ

M

La aplicacioacuten directa en esta uacuteltima expresioacuten de MCO sobre las variables transformadas permite el caacutelculo de ai y a partir de las relaciones establecidas de iβ Ejercicio Ilustrativo 1 Con informacioacuten del Consumo Privado (CP) y del Producto Bruto Interno (PBI) ambos en valores constantes de 1994 del periodo 1970-2001 se plantea la construccioacuten de un modelo donde ldquoZrdquo a Supongamos que fuese una ecuacioacuten polinoacutemica de segundo grado con 2 rezagos

t2t21t1t0t PBIPBIPBICP + β + ββ+α= minusminus + μ

1 Modelo

t2t21t1t0t PBIPBIPBICP μ+β+β+β+α= minusminus

tit

2

0iit PBICP μ+β+α= minus

=sum

2210i iaiaa ++=β

t

2

0iit

22

2

0iit1

2

0iit0t PBIiaiPBIaPBIaCP μ++++α= sumsumsum

=minus

=minus

=minus

2 Supuesto Los iβ pueden ser aproximados mediante un polinomio cuadraacutetico

tit

2

0i

2210t PBI)iaiaa(CP μ++++α= minus

=sum

tt22t11t00t ZaZaZaCP μ++++α=

366

3 Datos Transformados

210 minusminus ++= tttt PBIPBIPBIZ

2t1t2t1t0tt1 PBI2PBIPBI2PBI1PBI0Z minusminusminusminusminus +=++=

2t1t2t2

1t2

0tt2 PBI4PBIPBI2PBI1PBI0Z minusminusminusminusminus +=++=

4 Paraacutemetros estimados

00 aˆ )=β 2101 aaaˆ ))) ++=β

2102 a4a2aˆ ))) ++=β 2

210i iaiaa ++=β

Calculando el modelo en E-views tenemos las siguientes salidas

Dependent Variable CP Method Least Squares Date 090602 Time 1812 Sample(adjusted) 1972 2001 Included observations 30 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std Error t-Statistic Prob C 7227737 1909824 3784505 00008Z0t 0588144 0060757 9680230 00000Z1t -0456263 0297715 -1532551 01375Z2t 0052527 0148043 0354808 07256

R-squared 0978526 Mean dependent var 6876383Adjusted R-squared 0976048 SD dependent var 1033193SE of regression 1599017 Akaike info criterion 1771573Sum squared resid 66478265 Schwarz criterion 1790256Log likelihood -2617360 F-statistic 3949164Durbin-Watson stat 0900879 Prob(F-statistic) 0000000

El R2 es alto pero los Z1t y CZ2t no son relevantes por que sus paraacutemetros no son significativos Sus probabilidades asociadas son mayores al nivel de significancia (5) por lo tanto se acepta la Ho de no significancia de sus paraacutemetros

t2t1t0t Z0052527ACZ0456263AC-Z0588144AC7227737CP ++=and

b Trabajando con una ecuacioacuten polinoacutemica de tercer grado con 3 rezagos titit XY μ+β+α= sum minus

Reemplazando en el ejemplo

367

sumsumsumsum=

minus=

minus=

minus=

minus ++++α=3

0iit

33

3

0iit

22

3

0iit1

3

0iit0t PBIiaPBIiaiPBIaPBIaCP

3t2t1ttt0 PBIPBIPBIPBI minusminusminus +++=Ζ sum minus=Ζ3

itt0 PBI=0i

3t2t1tt1 PBI3PBI2PBI minusminusminus ++=Ζ it

3

0it1 PBIi minus

=sum=Ζ


3

0i

2t2 PBIi minus

=sum=Ζ


3

0i

2t3 PBIi minus

=sum=Ζ

Donde

33

2210i iaiaiaa +++=β

A continuacioacuten se tiene las series del PBI y Consumo privado y la serie transformada del PBI

obs CP PBI Z0t Z1t Z2t Z3t

1970 4890400 6202200 NA NA NA NA 1971 5037200 6462700 NA NA NA NA 1972 5117800 6650100 NA NA NA NA 1973 5327800 7009200 2632420 3818210 8832070 2258111 1974 5843500 7661100 2778310 3969750 9177390 2347029 1975 5924400 7921500 2924190 4162980 9554880 2432874 1976 6063300 8080000 3067180 4427130 1016487 2584587 1977 6076800 8112300 3177490 4690630 1087159 2783017 1978 5913100 8136600 3225040 4803680 1117258 2866328 1979 6176000 8608600 3293750 4860120 1133058 2911950 1980 6482200 9056200 3391370 4921870 1141657 2927335 1981 6828300 9518100 3531950 5068320 1167200 2976132 1982 6888000 9461000 3664390 5345630 1232203 3143999 1983 6281400 8344600 3637990 5566580 1290392 3301232 1984 6402900 8778500 3610220 5582090 1318515 3410213 1985 6538200 9024300 3560840 5385070 1273059 3309823 1986 7514800 9926700 3607410 5161510 1192397 3045565 1987 8252600 1072080 3845030 5431080 1250304 3191406 1988 7641800 9788100 3945990 5764710 1316463 3337905 1989 6335800 8642900 3907850 6100980 1420116 3635754 1990 6181400 8198300 3735010 6038150 1442825 3764093 1991 6299000 8376000 3500530 5484840 1308628 3416202 1992 6278800 8340100 3355730 5070130 1189553 3073207 1993 6493500 8737500 3365190 4968700 1156288 2967022 1994 7130600 9857700 3531130 5054570 1174819 3016103 1995 7819800 1070390 3763920 5235300 1198686 3049404 1996 8058400 1097090 4027000 5663180 1287722 3254780 1997 8408100 1171100 4324350 6195180 1425058 3627600 1998 8337600 1164850 4503430 6576450 1519297 3884835 1999 8305600 1175900 4608940 6798320 1572306 4015508 2000 8628900 1212670 4724520 7018900 1637520 4211440 2001 8741100 1214900 4768320 7059020 1639992 4207082

368

El modelo planteado seriacutea el siguiente t33t22t11t00t ZaZaZaZaCP ++++α= Los resultados son


Variable Coefficient Std Error t-Statistic ProbZ0t 0589702 0064874 9089887 00000Z1t -0390550 0572711 -0681933 05018Z2t -0061712 0532320 -0115931 09087Z3t 0041838 0117976 0354633 07260C 7268342 2180323 3333607 00028

R-squared 0976065 Mean dependent var 6937024Adjusted R-squared 0972076 SD dependent var 9956667SE of regression 1663821 Akaike info criterion 1782721Sum squared resid 66439231 Schwarz criterion 1806295Log likelihood -2534945 F-statistic 2446760Durban-Watson stat 0885465 Prob(F-statistic) 0000000

Aunque R2 es bueno Z1t Z2t y Z3t no son relevantes sus paraacutemetros no son significativos ya que sus probabilidades asociadas son mayores al nivel de significancia (5) por lo tanto se acepta la Ho de no significancia de sus paraacutemetros

t3t2t1t0t ZZZZCP 0041838 0061712-0390550-05897027268342 ++=and

00 a=β 05897020 =β

32101 aaaa +++=β 01792781 =β

33

22

102 a2a2a2a +++=β -01035422 =β 3

32

2103 a3a3a3a +++=β -0007733 =β

3t2t1ttt XXXX minusminusminus++=Υ 000773-0103542-017927805897027268342

c Modelo Lineal y con 2 Rezagos

sumsumsum=

minus=

minus=

minus ++α=β+α=2

1iit1

2

1iit0

2

1iitit iPBIaPBIaPBICP

2t1ttt0 PBIPBIPBI minusminus ++=Ζ sum=

minus=Ζ2

0iitt0 PBI

2t1tt1 PBI2PBI minusminus +=Ζ it

2

0it1 PBIi minus

=sum=Ζ

369

iaa 10i +=β

Calculando el modelo en el e-views tenemos


Variable Coefficient Std Error t-Statistic Prob C 7358531 1843326 3991985 00005Z0t 0570238 0033282 1713362 00000Z1t -0351296 0032803 -1070932 00000


La bondad de ajuste es alta (R2 =978) y los Z0t y Z1t son relevantes en el modelo Evaluando sus probabilidades asociadas estas son inferiores al nivel de significancia del 5 por lo tanto se rechaza la Ho de no significancia de los paraacutemetros Ello aunado a una probabilidad conjunta del modelo (F-statistic) menor a su nivel de significancia nos indica que el modelo es bueno

t1t0t Z0351296AL-Z0570238AL7358531CP +=and

Despejando tenemos

2t1tt X1323510X2189420X57023805317358Y minusminus minus++=

370

Ejercicios de Autoconocimiento

iquestPor queacute debo usar de las series temporales como meacutetodos de prediccioacuten

CRITERIOS SI

NO NO SEacute

1 Porque considero que es una teacutecnica importante que ayuda a una buena toma de decisiones empresariales

2 Porque me permite detectar un comportamiento particular del caso estudiado

3 Por la presencia de un gran nuacutemero de datos volaacutetiles

4 Para hacer estimaciones a largo plazo de la variable

5 Para eliminar las fluctuaciones de la serie que no permiten observar su verdadero comportamiento

6 Porque poseo una gran cantidad de informacioacuten acerca de la serie (informacioacuten de largo plazo)

7 Para poseer una idea clara acerca del comportamiento general de la variable

8 Porque hace uso de todos los elementos que constituyen a la serie

9 Porque son un medio efectivo de para realizar predicciones

10 Para eliminar los picos pronunciados en la graacutefica de la serie (aplanar las variaciones considerables en la serie)

CALIFICACION Puntuar con un punto cada respuesta ldquoSIrdquo Si obtienes de de 1 - 3 puntos tienes pocas expectativas de hacer una buena prediccioacuten empresaria usando las series temporales Si tienes entre 4 ndash 7 tienes buenas expectativas de hacer una buena prediccioacuten empresarial usando las series temporales Y si tienes entre 8 ndash 10 denotas excelentes expectativas de hacer una buena prediccioacuten empresarial usando las series temporales

371

RESUMEN

Series de tiempo es un conjunto de mediciones (datos o nuacutemeros) relativos a un fenoacutemeno (pej precios de la bolsa) tomados a intervalos regulares de tiempo (cada mes cada semana cada antildeo etc) Proceso estocaacutestico es la secuencia ordenada de variables aleatorias Y(t) es decir la sucesioacuten de variables aleatorias ordenadas Y1 Y2hellipYT las cuales constituyen en su conjunto lo que se conoce como una serie temporal Estacionariedad es cuando analizamos una serie de tiempo nos referimos a una variable medida en diferentes momentos Yt1 Yt2 Ytn por lo cual es de suponer que cada Yti pueda tener diferente distribucioacuten por ello la condicioacuten de estacionariedad plantea que las variables aleatorias que componen una serie temporal esteacuten ideacutenticamente distribuidas Los componentes de una serie temporal se pueden dividir Componente tendencial Movimiento general a largo plazo de la serie se observa en una serie con un comportamiento determinado ya sea creciente o decreciente

Componente ciacuteclico Oscilaciones que se producen en la serie en periacuteodos superiores a un antildeo en muchas ocasiones la serie muestra maacutes de un ciclo superponieacutendose eacutestos entre siacute lo que hace difiacutecil determinar este componente Componente estacional Oscilaciones que se producen en la serie en periacuteodos iguales o inferiores a un antildeo y que reproducen de manera sistemaacutetica y reconocible en los diferentes antildeos

Componente irregular Movimientos con caraacutecter aperioacutedico puramente aleatorio que no se rigen por ninguacuten patroacuten determinado El primer paso para analizar una serie de tiempo es graficarla esto permite identificar la tendencia la estacionalidad las variaciones irregulares (componente aleatoria) Un modelo claacutesico para una serie de tiempo puede ser expresada como suma o producto de tres componentes tendencia estacional y un teacutermino de error aleatorio Existen tres modelos de series de tiempos estos son Aditivo Multiplicativo y Mixto De los modelos maacutes conocidos se ha tratado con los autoregresivos y lo de rezagos distribuidos en donde el primero la variable dependiente esta en funcioacuten de sus valores pasados mientras que el segundo de los rezagos de las variables independientes

372

Resumen de foacutermulas

bull Proceso Estacionario en media E[Yt] = μ

bull Proceso estacionario en varianza


r(Yt) = σ2 para toda t


bull Ruido Blanco

E[μt] = 0 media cero Var(μt) = σ2 varianza constante

Cov(μt μs) = 0 para t diferente de s

bull Modelos de descomposicioacuten Aditivo Y(t) = T(t) + E(t) + C(t) + A(t)

Multiplicativo Y(t) = T(t) x E(t) x C(t) x A(t)

Mixto Y(t) = T(t) x E(t) x C(t)+ A(t) bull Modelo de tendencia determinista

T21ttY t10t =μ+β+β= Componente tendencial tˆˆT 10t β+β= Componente no tendencial ttt ˆTY ε=minus bull Modelo de tendencia cuadraacutetica

t2

210t ttY μ+β+β+β= bull Los modelos autorregresivos

t1t3t21t YXY μ+β+β+β= minus bull Modelos de Rezagos Distribuidos

tttttt XXXXY μ++β+β+β+β+α= minusminusminus L3322110

373

bull Multiplicador de Largo Plazo

K

K

ii β++β+β=β=β sum

=

L100

= β0(1 1- β)

bull Tasa de disminucioacuten o decaimiento del rezago distribuido β bull Velocidad del ajuste 1- β EXPLORACION ON LINE 1 Anaacutelisis Claacutesico de Series Temporales

httpwwweinsteinnetcomeconometriaseriestempacseriestemphtm

2 ldquoIntroduccioacuten al anaacutelisis claacutesico de series de tiempordquo

httpcibercontaunizaresLECCIONseriest000F2HTM

374

LECTURA

MEacuteTODOS DE PREDICCIOacuteN

Debido a que siempre ha sido cambiante el mundo en el que operan las organizaciones siempre ha existido la necesidad de hacer pronoacutesticos Una nueva tecnologiacutea y nuevas disciplinas aparecieron de la noche a la mantildeana la actividad gubernamental se intensifico la competencia se hizo mas cerrada en casi todas las industrias se implanto el comercio internacional crecieron y se crearon nuevas agencias de ayuda y servicios Con el desarrollo de teacutecnicas de pronoacutestico maacutes complejas junto con el advenimiento de las computadoras los pronoacutesticos recibieron maacutes atencioacuten durante los antildeos recientes Este desarrollo es en especial cierto desde la proliferacioacuten de la pequentildea computadora personal Ahora todos los administradores posen la capacidad de utilizar teacutecnicas de anaacutelisis de datos muy complejas para fines de pronoacutestico y una comprensioacuten de dichas teacutecnicas es esencial hoy en diacutea para los administradores de empresas Hoy en diacutea al crecer la preocupacioacuten de los Administradores por el proceso de pronoacutestico se continuacutean desarrollando nuevas teacutecnicas de pronoacutestico Esta atencioacuten se enfoca de manera particular en los errores que son parte inherente de cualquier procedimiento de pronoacutestico quienes pronostican solo pueden intentar que los inevitables errores sean tan pequentildeos

Los meacutetodos de elaboracioacuten de pronoacutestico baacutesicamente se agrupan en meacutetodos cualitativos y meacutetodos cuantitativos Los meacutetodos cualitativos son altamente subjetivos y de criterio son importantes cuando no se cuenta con informacioacuten histoacuterica como por ejemplo en el caso en que se quiere predecir las ventas de un producto nuevo Los meacutetodos cuantitativos por su parte se pueden subdividir en series de tiempo y causales Los causales incluyen la determinacioacuten de factores que se relacionan con la variable a predecir En tanto los meacutetodos de series de tiempo incluyen las proyecciones de valores futuros de una variable basada completamente en observaciones pasadas La suposicioacuten baacutesica que en el anaacutelisis de series de tiempo se fundamenta en el principio de que los factores que han ocasionado patrones de actividad en el pasado y en el presente continuaraacuten hacieacutendolo maacutes o menos de la misma forma en el futuro Por consiguiente los principales objetivos del anaacutelisis de series de tiempo consisten en identificar y aislar tales factores de influencia con propoacutesitos de hacer predicciones (pronoacutesticos) asiacute como para efectuar una planeacioacuten y un control administrativo Las teacutecnicas de pronoacutestico son pues elementos de juicio en el proceso de pronoacutestico que deben emplearse por quienes toman las decisiones iquestQuieacuten requiere hacer pronoacutesticos Casi cualquier organizacioacuten grande y pequentildea publica y privada De los meacutetodos maacutes utilizados y maacutes conocidos para tratar a una serie de tiempo en la actualidad son aquellos que permiten hacer un anaacutelisis detallado de los patrones de demanda en el pasado a lo largo del tiempo y para proyectar estos patrones hacia el futuro (proyeccioacuten de la demanda) La necesidad de hacer pronoacutesticos cruza todas las liacuteneas funcionales lo mismo que todo tipo de organizaciones Se requiere hacer pronoacutesticos en las aacutereas de finanzas actividades ligadas al comercio y la produccioacuten tanto en organizaciones gubernamentales como privadas

Anoacutenimo

375

ACTIVIDADES

1 iquestQueacute movimiento caracteriacutestico se pude asociar a cada una de las situaciones siguientes

a Un retroceso b Un incremento de empleo durante los meses de verano c La demanda continuamente creciente de automoacuteviles pequentildeos d Huelga en el sector industrial

Resp (a) ciacuteclico (b)estacional (c)tendencia largo plazo (d) irregular

2 La tabla mostrada representa el iacutendice bursaacutetil del sector financiero

a Haga el graacutefico de la serie iquestes estacionaria b iquestQue comportamiento particular ha notado

1996 1997 1998 1999 Enero 21146 21146 10000 22890

Febrero 21146 12218 10000 23600 Marzo 21146 13760 10000 23600 Abril 21146 13798 10000 23600 Mayo 21146 13798 13914 23601 Junio 21146 13798 13914 20400 Julio 21146 10000 13914 20400

Agosto 21146 10000 13848 20402 Septiembre 21146 10002 13410 20402

Octubre 21146 10000 13410 20402 Noviembre 21146 10000 22592 20402 Diciembre 21146 10000 22592 20400

3 Emplear el esquema de retardos infinitos distribuidos geomeacutetricamente (Koyck) para expresar una ecuacioacuten de consumo para lo cual debe considerar un tasa de decaimiento del retardo geomeacutetrico de 04 y un multiplicador de impacto de 058

4 La tabla siguiente nos representa el consumo de energiacutea eleacutectrica promedio por hogar (Kwh) en Lima Metropolitana en los uacuteltimos 27 meses Identificar su comportamiento

a iquestQueacute tipo de tendencia posee b Una vez reconocida su tendencia hallar la ecuacioacuten estimada que la

representa (usando MCO)

376

CONSUMO DE ENERGIacuteA846 1076 1343 899 1204 1347 819 1096 1448 954 1103 1444 912 1181 1592 898 1165 1682 897 1103 1752 979 1181 1745 1034 1165 1737

AUTOEVALUACIOacuteN

1 Cuaacutel de los cuatro componentes de una serie de tiempo se usaraacute para describir cada una de las situaciones siguientes

a El aumento de las ventas de helados en los meses de verano b Un aumento de la produccioacuten de papas en el periodo marzo abril c El efecto que las ventas navidentildeas ejercen sobre una tienda al menudeo d El crecimiento y deterioro general de la industria pesquera en el Peruacute

durante los uacuteltimos 50 antildeos I Componente tendencial II Componente ciacuteclico III Componente estacional IV Componente irregular

2 Establezca la verdad o falsedad de cada una de las siguientes proposiciones

a Para detectar las estacionalidades necesariamente seraacute necesario considerar periodos inferiores al antildeo en la serie

b Para que se pueda decir que se esta ante la presencia de un ciclo primero debemos percatarnos que la serie esta dada por valores superiores al antildeo

c Para modelos con rezagos distribuidos necesariamente deberaacute identificarse a la variable dependiente e independiente

d Para determinar una tendencia particular en una serie soacutelo bastaraacute con graficarla

3 Identificar cada una de los siguientes modelos para series temporales

a t2t21t1t YYY μ+β+β= minusminus b t

22 10t ttY μ+β+β+β=

c t1t3t21t YXY μ+β+β+β= minus d t10t tY μ+β+β=

377

378

I Modelo de tendencia determinista II Modelo de tendencia cuadraacutetica III Modelo autorregresivo IV Modelo de rezagos distribuidos

4 Cuando se dice que existe un ruido blanco

a Cuando la media del error aleatorio es cero E[μt] b Cuando la media y la varianza del error aleatorio son cero E[μt] =0 Var(μt) =0 c En el caso que un proceso sea estacionario d Cuando la media la varianza y la covarianza para instantes de tiempo

diferentes del error aleatorio son cero E[μt] =0 Var(μt) =0 Cov(μt μs) =0

RESPUESTAS DE CONTROL 1 aIII bI cIV dII 2 VVVF 3 aIV bII cIII dI 4 d




UNIDAD VIII

ldquoLa estadiacutestica demuestra que cuanto maacutes se sabe maacutes suerte se tienerdquo Allen L Webster 1998

bull iquestA queacute se denominan series temporales y Procesos Estadiacutesticos bull iquestCuaacuteles son los componentes de una serie temporal bull iquestCoacutemo se representa una serie temporal bull iquestQueacute son Modelos Autoregresivos y de rezagos distribuidos bull iquestCoacutemo es la metodologiacutea de Koyc


ESQUEMA CONCEPTUAL



Series de tiempo

Estacionariedad













349

LECCIOacuteN 1







3 Geofiacutesica












350





Notaciones












351





352

LECCIOacuteN 2








353


(1990 - 2000)

300

400

500

600

700

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000






354


1994 - 2004

0

50

100

150

200

250






000

1000

2000

3000

4000

5000

1973 1976 1979 1982 1985 1988 1991 1994 1997



355

LECCION 3





356


Figura 21





tn

nt

tt

tatataaZ

aaZ

μ

μ

++++=

++=

2210

10


357

t2



1993 1766 1994 1901 1623 1842 1654 1416 1302 1487 1507 1547 1659 1650 1971 1995 1879 1810 1998 1615 1580 1492 1577 1504 1602 1512 1614 2095 1996 1926 1727 1779 1608 1674 1243 1417 1486 1514 1576 1595 1954 1997 1948 1750 1840 1804 1855 1846


(DIC 93 - JUN 97)

100

120

140

160

180

200

220


358


359

LECCIOacuteN 4









0β

K10

K


=

L





360


Se tiene

Yt = α + β0Xt + β1Xt-1 + β2Xt-2 + + μt (4)





actuales


⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

= 11

00k

k




361



C -34256310 18380160 -18637656 00808 X 11724286 01577726 74311299 00000

Y(-1) 04113484 01046733 39298327 00012





( )



)

( )


( λminusα ˆ1

0β λ

87541101

4263minus=

minusminus =α


915890

117241101

111721

10

0kk ==

minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

=


)4110(1721)4110(17211721875ˆ2

21


362



I(-1) 07425750 00024349 30496817 00000






0β λ

( ) 8531647420153242

minus=minus

minus=α


16332580

081674201

181601

10

0kk ==

minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

=


V)8160(8160V816042532I 1t2


363

LECCIOacuteN 5


2210i iaiaa ++=β (1)


3

32

210i iaiaiaa +++=β


++++=β iaiaiaa 33

2210i

γγ+ ia


2210i iaiaa ++=β

002

2100 a)0(a)0(aa =βrArr++=β


22101 aaa)1(a)1(aa ++=βrArr++=β



364

Cuando i = 2 2102

22102 a4a2a)2(a)2(aa ++=βrArr++=β

Cuando i = 3 2103

22103 a9a3a)3(a)3(aa ++=βrArr++=β

Cuando i = 4

2

210K

21042

2104


++=β++=βrArr++=β


( )titititt

titt

XiaiXaXaY

XiaiaaY

μα

μα

++++=

++++=

sumsumsumsum

minusminusminus

minus

2210

2210



( )tit1it0t

tit10t

iXaXaYXiaaY

μ+++α=μ+++α=

sumsumsum

minusminus

minus


2210


( ) t

k

0iit


=minus

γγK

t

k

0iitr

k

0iit

22

k

0iit1

k


=minus

γ

=minus

=minus

=minus


Donde

365

sum

sum

sum

sum

=minus

γγ

=minus

=minus

=minus

=

=

=

=

k

0iitt

k

0iit

2t2

k

0iitt1

k

0iitt0

XiZ

XiZ

iXZ

XZ

M



1 Modelo


tit

2


=sum

2210i iaiaa ++=β

t

2

0iit

22

2

0iit1

2


=minus

=minus

=minus


tit

2

0i


=sum


366




2t1t2t2

1t2



00 aˆ )=β 2101 aaaˆ ))) ++=β

2102 a4a2aˆ ))) ++=β 2

210i iaiaa ++=β









367

sumsumsumsum=

minus=

minus=

minus=

minus ++++α=3

0iit

33

3

0iit

22

3

0iit1

3



itt0 PBI=0i


3

0it1 PBIi minus

=sum=Ζ


3

0i

2t2 PBIi minus

=sum=Ζ


3

0i

2t3 PBIi minus

=sum=Ζ

Donde

33





368






t3t2t1t0t ZZZZCP 0041838 0061712-0390550-05897027268342 ++=and

00 a=β 05897020 =β

32101 aaaa +++=β 01792781 =β

33

22

102 a2a2a2a +++=β -01035422 =β 3

32

2103 a3a3a3a +++=β -0007733 =β



sumsumsum=

minus=

minus=

minus ++α=β+α=2

1iit1

2

1iit0

2



minus=Ζ2

0iitt0 PBI


2

0it1 PBIi minus

=sum=Ζ

369

iaa 10i +=β






t1t0t Z0351296AL-Z0570238AL7358531CP +=and

Despejando tenemos


370



CRITERIOS SI

NO NO SEacute












371

RESUMEN




372







bull Ruido Blanco







t2




373


K

K


=

L100

= β0(1 1- β)





374

LECTURA




Anoacutenimo

375

ACTIVIDADES






1996 1997 1998 1999 Enero 21146 21146 10000 22890








376


AUTOEVALUACIOacuteN













377

378










ESQUEMA CONCEPTUAL



Series de tiempo

Estacionariedad













349

LECCIOacuteN 1







3 Geofiacutesica












350





Notaciones












351





352

LECCIOacuteN 2








353


(1990 - 2000)

300

400

500

600

700

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000






354


1994 - 2004

0

50

100

150

200

250






000

1000

2000

3000

4000

5000

1973 1976 1979 1982 1985 1988 1991 1994 1997



355

LECCION 3





356


Figura 21





tn

nt

tt

tatataaZ

aaZ

μ

μ

++++=

++=

2210

10


357

t2



1993 1766 1994 1901 1623 1842 1654 1416 1302 1487 1507 1547 1659 1650 1971 1995 1879 1810 1998 1615 1580 1492 1577 1504 1602 1512 1614 2095 1996 1926 1727 1779 1608 1674 1243 1417 1486 1514 1576 1595 1954 1997 1948 1750 1840 1804 1855 1846


(DIC 93 - JUN 97)

100

120

140

160

180

200

220


358


359

LECCIOacuteN 4









0β

K10

K


=

L





360


Se tiene

Yt = α + β0Xt + β1Xt-1 + β2Xt-2 + + μt (4)





actuales


⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

= 11

00k

k




361



C -34256310 18380160 -18637656 00808 X 11724286 01577726 74311299 00000

Y(-1) 04113484 01046733 39298327 00012





( )



)

( )


( λminusα ˆ1

0β λ

87541101

4263minus=

minusminus =α


915890

117241101

111721

10

0kk ==

minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

=


)4110(1721)4110(17211721875ˆ2

21


362



I(-1) 07425750 00024349 30496817 00000






0β λ

( ) 8531647420153242

minus=minus

minus=α


16332580

081674201

181601

10

0kk ==

minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

=


V)8160(8160V816042532I 1t2


363

LECCIOacuteN 5


2210i iaiaa ++=β (1)


3

32

210i iaiaiaa +++=β


++++=β iaiaiaa 33

2210i

γγ+ ia


2210i iaiaa ++=β

002

2100 a)0(a)0(aa =βrArr++=β


22101 aaa)1(a)1(aa ++=βrArr++=β



364

Cuando i = 2 2102

22102 a4a2a)2(a)2(aa ++=βrArr++=β

Cuando i = 3 2103

22103 a9a3a)3(a)3(aa ++=βrArr++=β

Cuando i = 4

2

210K

21042

2104


++=β++=βrArr++=β


( )titititt

titt

XiaiXaXaY

XiaiaaY

μα

μα

++++=

++++=

sumsumsumsum

minusminusminus

minus

2210

2210



( )tit1it0t

tit10t

iXaXaYXiaaY

μ+++α=μ+++α=

sumsumsum

minusminus

minus


2210


( ) t

k

0iit


=minus

γγK

t

k

0iitr

k

0iit

22

k

0iit1

k


=minus

γ

=minus

=minus

=minus


Donde

365

sum

sum

sum

sum

=minus

γγ

=minus

=minus

=minus

=

=

=

=

k

0iitt

k

0iit

2t2

k

0iitt1

k

0iitt0

XiZ

XiZ

iXZ

XZ

M



1 Modelo


tit

2


=sum

2210i iaiaa ++=β

t

2

0iit

22

2

0iit1

2


=minus

=minus

=minus


tit

2

0i


=sum


366




2t1t2t2

1t2



00 aˆ )=β 2101 aaaˆ ))) ++=β

2102 a4a2aˆ ))) ++=β 2

210i iaiaa ++=β









367

sumsumsumsum=

minus=

minus=

minus=

minus ++++α=3

0iit

33

3

0iit

22

3

0iit1

3



itt0 PBI=0i


3

0it1 PBIi minus

=sum=Ζ


3

0i

2t2 PBIi minus

=sum=Ζ


3

0i

2t3 PBIi minus

=sum=Ζ

Donde

33





368






t3t2t1t0t ZZZZCP 0041838 0061712-0390550-05897027268342 ++=and

00 a=β 05897020 =β

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33

22

102 a2a2a2a +++=β -01035422 =β 3

32

2103 a3a3a3a +++=β -0007733 =β



sumsumsum=

minus=

minus=

minus ++α=β+α=2

1iit1

2

1iit0

2



minus=Ζ2

0iitt0 PBI


2

0it1 PBIi minus

=sum=Ζ

369

iaa 10i +=β






t1t0t Z0351296AL-Z0570238AL7358531CP +=and

Despejando tenemos


370



CRITERIOS SI

NO NO SEacute












371

RESUMEN




372







bull Ruido Blanco







t2




373


K

K


=

L100

= β0(1 1- β)





374

LECTURA




Anoacutenimo

375

ACTIVIDADES






1996 1997 1998 1999 Enero 21146 21146 10000 22890








376


AUTOEVALUACIOacuteN













377

378









LECCIOacuteN 1







3 Geofiacutesica












350





Notaciones












351





352

LECCIOacuteN 2








353


(1990 - 2000)

300

400

500

600

700

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000






354


1994 - 2004

0

50

100

150

200

250






000

1000

2000

3000

4000

5000

1973 1976 1979 1982 1985 1988 1991 1994 1997



355

LECCION 3





356


Figura 21





tn

nt

tt

tatataaZ

aaZ

μ

μ

++++=

++=

2210

10


357

t2



1993 1766 1994 1901 1623 1842 1654 1416 1302 1487 1507 1547 1659 1650 1971 1995 1879 1810 1998 1615 1580 1492 1577 1504 1602 1512 1614 2095 1996 1926 1727 1779 1608 1674 1243 1417 1486 1514 1576 1595 1954 1997 1948 1750 1840 1804 1855 1846


(DIC 93 - JUN 97)

100

120

140

160

180

200

220


358


359

LECCIOacuteN 4









0β

K10

K


=

L





360


Se tiene

Yt = α + β0Xt + β1Xt-1 + β2Xt-2 + + μt (4)





actuales


⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

= 11

00k

k




361



C -34256310 18380160 -18637656 00808 X 11724286 01577726 74311299 00000

Y(-1) 04113484 01046733 39298327 00012





( )



)

( )


( λminusα ˆ1

0β λ

87541101

4263minus=

minusminus =α


915890

117241101

111721

10

0kk ==

minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

=


)4110(1721)4110(17211721875ˆ2

21


362



I(-1) 07425750 00024349 30496817 00000






0β λ

( ) 8531647420153242

minus=minus

minus=α


16332580

081674201

181601

10

0kk ==

minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

=


V)8160(8160V816042532I 1t2


363

LECCIOacuteN 5


2210i iaiaa ++=β (1)


3

32

210i iaiaiaa +++=β


++++=β iaiaiaa 33

2210i

γγ+ ia


2210i iaiaa ++=β

002

2100 a)0(a)0(aa =βrArr++=β


22101 aaa)1(a)1(aa ++=βrArr++=β



364

Cuando i = 2 2102

22102 a4a2a)2(a)2(aa ++=βrArr++=β

Cuando i = 3 2103

22103 a9a3a)3(a)3(aa ++=βrArr++=β

Cuando i = 4

2

210K

21042

2104


++=β++=βrArr++=β


( )titititt

titt

XiaiXaXaY

XiaiaaY

μα

μα

++++=

++++=

sumsumsumsum

minusminusminus

minus

2210

2210



( )tit1it0t

tit10t

iXaXaYXiaaY

μ+++α=μ+++α=

sumsumsum

minusminus

minus


2210


( ) t

k

0iit


=minus

γγK

t

k

0iitr

k

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k

0iit1

k


=minus

γ

=minus

=minus

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Donde

365

sum

sum

sum

sum

=minus

γγ

=minus

=minus

=minus

=

=

=

=

k

0iitt

k

0iit

2t2

k

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k

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XiZ

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iXZ

XZ

M



1 Modelo


tit

2


=sum

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t

2

0iit

22

2

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2


=minus

=minus

=minus


tit

2

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366




2t1t2t2

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00 aˆ )=β 2101 aaaˆ ))) ++=β

2102 a4a2aˆ ))) ++=β 2

210i iaiaa ++=β









367

sumsumsumsum=

minus=

minus=

minus=

minus ++++α=3

0iit

33

3

0iit

22

3

0iit1

3



itt0 PBI=0i


3

0it1 PBIi minus

=sum=Ζ


3

0i

2t2 PBIi minus

=sum=Ζ


3

0i

2t3 PBIi minus

=sum=Ζ

Donde

33





368






t3t2t1t0t ZZZZCP 0041838 0061712-0390550-05897027268342 ++=and

00 a=β 05897020 =β

32101 aaaa +++=β 01792781 =β

33

22

102 a2a2a2a +++=β -01035422 =β 3

32

2103 a3a3a3a +++=β -0007733 =β



sumsumsum=

minus=

minus=

minus ++α=β+α=2

1iit1

2

1iit0

2



minus=Ζ2

0iitt0 PBI


2

0it1 PBIi minus

=sum=Ζ

369

iaa 10i +=β






t1t0t Z0351296AL-Z0570238AL7358531CP +=and

Despejando tenemos


370



CRITERIOS SI

NO NO SEacute












371

RESUMEN




372







bull Ruido Blanco







t2




373


K

K


=

L100

= β0(1 1- β)





374

LECTURA




Anoacutenimo

375

ACTIVIDADES






1996 1997 1998 1999 Enero 21146 21146 10000 22890








376


AUTOEVALUACIOacuteN













377

378













Notaciones












351





352

LECCIOacuteN 2








353


(1990 - 2000)

300

400

500

600

700

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000






354


1994 - 2004

0

50

100

150

200

250






000

1000

2000

3000

4000

5000

1973 1976 1979 1982 1985 1988 1991 1994 1997



355

LECCION 3





356


Figura 21





tn

nt

tt

tatataaZ

aaZ

μ

μ

++++=

++=

2210

10


357

t2



1993 1766 1994 1901 1623 1842 1654 1416 1302 1487 1507 1547 1659 1650 1971 1995 1879 1810 1998 1615 1580 1492 1577 1504 1602 1512 1614 2095 1996 1926 1727 1779 1608 1674 1243 1417 1486 1514 1576 1595 1954 1997 1948 1750 1840 1804 1855 1846


(DIC 93 - JUN 97)

100

120

140

160

180

200

220


358


359

LECCIOacuteN 4









0β

K10

K


=

L





360


Se tiene

Yt = α + β0Xt + β1Xt-1 + β2Xt-2 + + μt (4)





actuales


⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

= 11

00k

k




361



C -34256310 18380160 -18637656 00808 X 11724286 01577726 74311299 00000

Y(-1) 04113484 01046733 39298327 00012





( )



)

( )


( λminusα ˆ1

0β λ

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4263minus=

minusminus =α


915890

117241101

111721

10

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minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

=


)4110(1721)4110(17211721875ˆ2

21


362



I(-1) 07425750 00024349 30496817 00000






0β λ

( ) 8531647420153242

minus=minus

minus=α


16332580

081674201

181601

10

0kk ==

minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

=


V)8160(8160V816042532I 1t2


363

LECCIOacuteN 5


2210i iaiaa ++=β (1)


3

32

210i iaiaiaa +++=β


++++=β iaiaiaa 33

2210i

γγ+ ia


2210i iaiaa ++=β

002

2100 a)0(a)0(aa =βrArr++=β


22101 aaa)1(a)1(aa ++=βrArr++=β



364

Cuando i = 2 2102

22102 a4a2a)2(a)2(aa ++=βrArr++=β

Cuando i = 3 2103

22103 a9a3a)3(a)3(aa ++=βrArr++=β

Cuando i = 4

2

210K

21042

2104


++=β++=βrArr++=β


( )titititt

titt

XiaiXaXaY

XiaiaaY

μα

μα

++++=

++++=

sumsumsumsum

minusminusminus

minus

2210

2210



( )tit1it0t

tit10t

iXaXaYXiaaY

μ+++α=μ+++α=

sumsumsum

minusminus

minus


2210


( ) t

k

0iit


=minus

γγK

t

k

0iitr

k

0iit

22

k

0iit1

k


=minus

γ

=minus

=minus

=minus


Donde

365

sum

sum

sum

sum

=minus

γγ

=minus

=minus

=minus

=

=

=

=

k

0iitt

k

0iit

2t2

k

0iitt1

k

0iitt0

XiZ

XiZ

iXZ

XZ

M



1 Modelo


tit

2


=sum

2210i iaiaa ++=β

t

2

0iit

22

2

0iit1

2


=minus

=minus

=minus


tit

2

0i


=sum


366




2t1t2t2

1t2



00 aˆ )=β 2101 aaaˆ ))) ++=β

2102 a4a2aˆ ))) ++=β 2

210i iaiaa ++=β









367

sumsumsumsum=

minus=

minus=

minus=

minus ++++α=3

0iit

33

3

0iit

22

3

0iit1

3



itt0 PBI=0i


3

0it1 PBIi minus

=sum=Ζ


3

0i

2t2 PBIi minus

=sum=Ζ


3

0i

2t3 PBIi minus

=sum=Ζ

Donde

33





368






t3t2t1t0t ZZZZCP 0041838 0061712-0390550-05897027268342 ++=and

00 a=β 05897020 =β

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33

22

102 a2a2a2a +++=β -01035422 =β 3

32

2103 a3a3a3a +++=β -0007733 =β



sumsumsum=

minus=

minus=

minus ++α=β+α=2

1iit1

2

1iit0

2



minus=Ζ2

0iitt0 PBI


2

0it1 PBIi minus

=sum=Ζ

369

iaa 10i +=β






t1t0t Z0351296AL-Z0570238AL7358531CP +=and

Despejando tenemos


370



CRITERIOS SI

NO NO SEacute












371

RESUMEN




372







bull Ruido Blanco







t2




373


K

K


=

L100

= β0(1 1- β)





374

LECTURA




Anoacutenimo

375

ACTIVIDADES






1996 1997 1998 1999 Enero 21146 21146 10000 22890








376


AUTOEVALUACIOacuteN













377

378













352

LECCIOacuteN 2








353


(1990 - 2000)

300

400

500

600

700

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000






354


1994 - 2004

0

50

100

150

200

250






000

1000

2000

3000

4000

5000

1973 1976 1979 1982 1985 1988 1991 1994 1997



355

LECCION 3





356


Figura 21





tn

nt

tt

tatataaZ

aaZ

μ

μ

++++=

++=

2210

10


357

t2



1993 1766 1994 1901 1623 1842 1654 1416 1302 1487 1507 1547 1659 1650 1971 1995 1879 1810 1998 1615 1580 1492 1577 1504 1602 1512 1614 2095 1996 1926 1727 1779 1608 1674 1243 1417 1486 1514 1576 1595 1954 1997 1948 1750 1840 1804 1855 1846


(DIC 93 - JUN 97)

100

120

140

160

180

200

220


358


359

LECCIOacuteN 4









0β

K10

K


=

L





360


Se tiene

Yt = α + β0Xt + β1Xt-1 + β2Xt-2 + + μt (4)





actuales


⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

= 11

00k

k




361



C -34256310 18380160 -18637656 00808 X 11724286 01577726 74311299 00000

Y(-1) 04113484 01046733 39298327 00012





( )



)

( )


( λminusα ˆ1

0β λ

87541101

4263minus=

minusminus =α


915890

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111721

10

0kk ==

minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

=


)4110(1721)4110(17211721875ˆ2

21


362



I(-1) 07425750 00024349 30496817 00000






0β λ

( ) 8531647420153242

minus=minus

minus=α


16332580

081674201

181601

10

0kk ==

minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

=


V)8160(8160V816042532I 1t2


363

LECCIOacuteN 5


2210i iaiaa ++=β (1)


3

32

210i iaiaiaa +++=β


++++=β iaiaiaa 33

2210i

γγ+ ia


2210i iaiaa ++=β

002

2100 a)0(a)0(aa =βrArr++=β


22101 aaa)1(a)1(aa ++=βrArr++=β



364

Cuando i = 2 2102

22102 a4a2a)2(a)2(aa ++=βrArr++=β

Cuando i = 3 2103

22103 a9a3a)3(a)3(aa ++=βrArr++=β

Cuando i = 4

2

210K

21042

2104


++=β++=βrArr++=β


( )titititt

titt

XiaiXaXaY

XiaiaaY

μα

μα

++++=

++++=

sumsumsumsum

minusminusminus

minus

2210

2210



( )tit1it0t

tit10t

iXaXaYXiaaY

μ+++α=μ+++α=

sumsumsum

minusminus

minus


2210


( ) t

k

0iit


=minus

γγK

t

k

0iitr

k

0iit

22

k

0iit1

k


=minus

γ

=minus

=minus

=minus


Donde

365

sum

sum

sum

sum

=minus

γγ

=minus

=minus

=minus

=

=

=

=

k

0iitt

k

0iit

2t2

k

0iitt1

k

0iitt0

XiZ

XiZ

iXZ

XZ

M



1 Modelo


tit

2


=sum

2210i iaiaa ++=β

t

2

0iit

22

2

0iit1

2


=minus

=minus

=minus


tit

2

0i


=sum


366




2t1t2t2

1t2



00 aˆ )=β 2101 aaaˆ ))) ++=β

2102 a4a2aˆ ))) ++=β 2

210i iaiaa ++=β









367

sumsumsumsum=

minus=

minus=

minus=

minus ++++α=3

0iit

33

3

0iit

22

3

0iit1

3



itt0 PBI=0i


3

0it1 PBIi minus

=sum=Ζ


3

0i

2t2 PBIi minus

=sum=Ζ


3

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2t3 PBIi minus

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Donde

33





368






t3t2t1t0t ZZZZCP 0041838 0061712-0390550-05897027268342 ++=and

00 a=β 05897020 =β

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33

22

102 a2a2a2a +++=β -01035422 =β 3

32

2103 a3a3a3a +++=β -0007733 =β



sumsumsum=

minus=

minus=

minus ++α=β+α=2

1iit1

2

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2



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0iitt0 PBI


2

0it1 PBIi minus

=sum=Ζ

369

iaa 10i +=β






t1t0t Z0351296AL-Z0570238AL7358531CP +=and

Despejando tenemos


370



CRITERIOS SI

NO NO SEacute












371

RESUMEN




372







bull Ruido Blanco







t2




373


K

K


=

L100

= β0(1 1- β)





374

LECTURA




Anoacutenimo

375

ACTIVIDADES






1996 1997 1998 1999 Enero 21146 21146 10000 22890








376


AUTOEVALUACIOacuteN













377

378









LECCIOacuteN 2








353


(1990 - 2000)

300

400

500

600

700

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000






354


1994 - 2004

0

50

100

150

200

250






000

1000

2000

3000

4000

5000

1973 1976 1979 1982 1985 1988 1991 1994 1997



355

LECCION 3





356


Figura 21





tn

nt

tt

tatataaZ

aaZ

μ

μ

++++=

++=

2210

10


357

t2



1993 1766 1994 1901 1623 1842 1654 1416 1302 1487 1507 1547 1659 1650 1971 1995 1879 1810 1998 1615 1580 1492 1577 1504 1602 1512 1614 2095 1996 1926 1727 1779 1608 1674 1243 1417 1486 1514 1576 1595 1954 1997 1948 1750 1840 1804 1855 1846


(DIC 93 - JUN 97)

100

120

140

160

180

200

220


358


359

LECCIOacuteN 4









0β

K10

K


=

L





360


Se tiene

Yt = α + β0Xt + β1Xt-1 + β2Xt-2 + + μt (4)





actuales


⎜⎝⎛

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00k

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361



C -34256310 18380160 -18637656 00808 X 11724286 01577726 74311299 00000

Y(-1) 04113484 01046733 39298327 00012





( )



)

( )


( λminusα ˆ1

0β λ

87541101

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915890

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111721

10

0kk ==

minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

=


)4110(1721)4110(17211721875ˆ2

21


362



I(-1) 07425750 00024349 30496817 00000






0β λ

( ) 8531647420153242

minus=minus

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16332580

081674201

181601

10

0kk ==

minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

=


V)8160(8160V816042532I 1t2


363

LECCIOacuteN 5


2210i iaiaa ++=β (1)


3

32

210i iaiaiaa +++=β


++++=β iaiaiaa 33

2210i

γγ+ ia


2210i iaiaa ++=β

002

2100 a)0(a)0(aa =βrArr++=β


22101 aaa)1(a)1(aa ++=βrArr++=β



364

Cuando i = 2 2102

22102 a4a2a)2(a)2(aa ++=βrArr++=β

Cuando i = 3 2103

22103 a9a3a)3(a)3(aa ++=βrArr++=β

Cuando i = 4

2

210K

21042

2104


++=β++=βrArr++=β


( )titititt

titt

XiaiXaXaY

XiaiaaY

μα

μα

++++=

++++=

sumsumsumsum

minusminusminus

minus

2210

2210



( )tit1it0t

tit10t

iXaXaYXiaaY

μ+++α=μ+++α=

sumsumsum

minusminus

minus


2210


( ) t

k

0iit


=minus

γγK

t

k

0iitr

k

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22

k

0iit1

k


=minus

γ

=minus

=minus

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Donde

365

sum

sum

sum

sum

=minus

γγ

=minus

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=

=

=

=

k

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k

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k

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M



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2


=sum

2210i iaiaa ++=β

t

2

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22

2

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2


=minus

=minus

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tit

2

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366




2t1t2t2

1t2



00 aˆ )=β 2101 aaaˆ ))) ++=β

2102 a4a2aˆ ))) ++=β 2

210i iaiaa ++=β









367

sumsumsumsum=

minus=

minus=

minus=

minus ++++α=3

0iit

33

3

0iit

22

3

0iit1

3



itt0 PBI=0i


3

0it1 PBIi minus

=sum=Ζ


3

0i

2t2 PBIi minus

=sum=Ζ


3

0i

2t3 PBIi minus

=sum=Ζ

Donde

33





368






t3t2t1t0t ZZZZCP 0041838 0061712-0390550-05897027268342 ++=and

00 a=β 05897020 =β

32101 aaaa +++=β 01792781 =β

33

22

102 a2a2a2a +++=β -01035422 =β 3

32

2103 a3a3a3a +++=β -0007733 =β



sumsumsum=

minus=

minus=

minus ++α=β+α=2

1iit1

2

1iit0

2



minus=Ζ2

0iitt0 PBI


2

0it1 PBIi minus

=sum=Ζ

369

iaa 10i +=β






t1t0t Z0351296AL-Z0570238AL7358531CP +=and

Despejando tenemos


370



CRITERIOS SI

NO NO SEacute












371

RESUMEN




372







bull Ruido Blanco







t2




373


K

K


=

L100

= β0(1 1- β)





374

LECTURA




Anoacutenimo

375

ACTIVIDADES






1996 1997 1998 1999 Enero 21146 21146 10000 22890








376


AUTOEVALUACIOacuteN













377

378










(1990 - 2000)

300

400

500

600

700

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000






354


1994 - 2004

0

50

100

150

200

250






000

1000

2000

3000

4000

5000

1973 1976 1979 1982 1985 1988 1991 1994 1997



355

LECCION 3





356


Figura 21





tn

nt

tt

tatataaZ

aaZ

μ

μ

++++=

++=

2210

10


357

t2



1993 1766 1994 1901 1623 1842 1654 1416 1302 1487 1507 1547 1659 1650 1971 1995 1879 1810 1998 1615 1580 1492 1577 1504 1602 1512 1614 2095 1996 1926 1727 1779 1608 1674 1243 1417 1486 1514 1576 1595 1954 1997 1948 1750 1840 1804 1855 1846


(DIC 93 - JUN 97)

100

120

140

160

180

200

220


358


359

LECCIOacuteN 4









0β

K10

K


=

L





360


Se tiene

Yt = α + β0Xt + β1Xt-1 + β2Xt-2 + + μt (4)





actuales


⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

= 11

00k

k




361



C -34256310 18380160 -18637656 00808 X 11724286 01577726 74311299 00000

Y(-1) 04113484 01046733 39298327 00012





( )



)

( )


( λminusα ˆ1

0β λ

87541101

4263minus=

minusminus =α


915890

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111721

10

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minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

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=


)4110(1721)4110(17211721875ˆ2

21


362



I(-1) 07425750 00024349 30496817 00000






0β λ

( ) 8531647420153242

minus=minus

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16332580

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10

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⎠⎞

⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

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=


V)8160(8160V816042532I 1t2


363

LECCIOacuteN 5


2210i iaiaa ++=β (1)


3

32

210i iaiaiaa +++=β


++++=β iaiaiaa 33

2210i

γγ+ ia


2210i iaiaa ++=β

002

2100 a)0(a)0(aa =βrArr++=β


22101 aaa)1(a)1(aa ++=βrArr++=β



364

Cuando i = 2 2102

22102 a4a2a)2(a)2(aa ++=βrArr++=β

Cuando i = 3 2103

22103 a9a3a)3(a)3(aa ++=βrArr++=β

Cuando i = 4

2

210K

21042

2104


++=β++=βrArr++=β


( )titititt

titt

XiaiXaXaY

XiaiaaY

μα

μα

++++=

++++=

sumsumsumsum

minusminusminus

minus

2210

2210



( )tit1it0t

tit10t

iXaXaYXiaaY

μ+++α=μ+++α=

sumsumsum

minusminus

minus


2210


( ) t

k

0iit


=minus

γγK

t

k

0iitr

k

0iit

22

k

0iit1

k


=minus

γ

=minus

=minus

=minus


Donde

365

sum

sum

sum

sum

=minus

γγ

=minus

=minus

=minus

=

=

=

=

k

0iitt

k

0iit

2t2

k

0iitt1

k

0iitt0

XiZ

XiZ

iXZ

XZ

M



1 Modelo


tit

2


=sum

2210i iaiaa ++=β

t

2

0iit

22

2

0iit1

2


=minus

=minus

=minus


tit

2

0i


=sum


366




2t1t2t2

1t2



00 aˆ )=β 2101 aaaˆ ))) ++=β

2102 a4a2aˆ ))) ++=β 2

210i iaiaa ++=β









367

sumsumsumsum=

minus=

minus=

minus=

minus ++++α=3

0iit

33

3

0iit

22

3

0iit1

3



itt0 PBI=0i


3

0it1 PBIi minus

=sum=Ζ


3

0i

2t2 PBIi minus

=sum=Ζ


3

0i

2t3 PBIi minus

=sum=Ζ

Donde

33





368






t3t2t1t0t ZZZZCP 0041838 0061712-0390550-05897027268342 ++=and

00 a=β 05897020 =β

32101 aaaa +++=β 01792781 =β

33

22

102 a2a2a2a +++=β -01035422 =β 3

32

2103 a3a3a3a +++=β -0007733 =β



sumsumsum=

minus=

minus=

minus ++α=β+α=2

1iit1

2

1iit0

2



minus=Ζ2

0iitt0 PBI


2

0it1 PBIi minus

=sum=Ζ

369

iaa 10i +=β






t1t0t Z0351296AL-Z0570238AL7358531CP +=and

Despejando tenemos


370



CRITERIOS SI

NO NO SEacute












371

RESUMEN




372







bull Ruido Blanco







t2




373


K

K


=

L100

= β0(1 1- β)





374

LECTURA




Anoacutenimo

375

ACTIVIDADES






1996 1997 1998 1999 Enero 21146 21146 10000 22890








376


AUTOEVALUACIOacuteN













377

378










1994 - 2004

0

50

100

150

200

250






000

1000

2000

3000

4000

5000

1973 1976 1979 1982 1985 1988 1991 1994 1997



355

LECCION 3





356


Figura 21





tn

nt

tt

tatataaZ

aaZ

μ

μ

++++=

++=

2210

10


357

t2



1993 1766 1994 1901 1623 1842 1654 1416 1302 1487 1507 1547 1659 1650 1971 1995 1879 1810 1998 1615 1580 1492 1577 1504 1602 1512 1614 2095 1996 1926 1727 1779 1608 1674 1243 1417 1486 1514 1576 1595 1954 1997 1948 1750 1840 1804 1855 1846


(DIC 93 - JUN 97)

100

120

140

160

180

200

220


358


359

LECCIOacuteN 4









0β

K10

K


=

L





360


Se tiene

Yt = α + β0Xt + β1Xt-1 + β2Xt-2 + + μt (4)





actuales


⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

= 11

00k

k




361



C -34256310 18380160 -18637656 00808 X 11724286 01577726 74311299 00000

Y(-1) 04113484 01046733 39298327 00012





( )



)

( )


( λminusα ˆ1

0β λ

87541101

4263minus=

minusminus =α


915890

117241101

111721

10

0kk ==

minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

=


)4110(1721)4110(17211721875ˆ2

21


362



I(-1) 07425750 00024349 30496817 00000






0β λ

( ) 8531647420153242

minus=minus

minus=α


16332580

081674201

181601

10

0kk ==

minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

=


V)8160(8160V816042532I 1t2


363

LECCIOacuteN 5


2210i iaiaa ++=β (1)


3

32

210i iaiaiaa +++=β


++++=β iaiaiaa 33

2210i

γγ+ ia


2210i iaiaa ++=β

002

2100 a)0(a)0(aa =βrArr++=β


22101 aaa)1(a)1(aa ++=βrArr++=β



364

Cuando i = 2 2102

22102 a4a2a)2(a)2(aa ++=βrArr++=β

Cuando i = 3 2103

22103 a9a3a)3(a)3(aa ++=βrArr++=β

Cuando i = 4

2

210K

21042

2104


++=β++=βrArr++=β


( )titititt

titt

XiaiXaXaY

XiaiaaY

μα

μα

++++=

++++=

sumsumsumsum

minusminusminus

minus

2210

2210



( )tit1it0t

tit10t

iXaXaYXiaaY

μ+++α=μ+++α=

sumsumsum

minusminus

minus


2210


( ) t

k

0iit


=minus

γγK

t

k

0iitr

k

0iit

22

k

0iit1

k


=minus

γ

=minus

=minus

=minus


Donde

365

sum

sum

sum

sum

=minus

γγ

=minus

=minus

=minus

=

=

=

=

k

0iitt

k

0iit

2t2

k

0iitt1

k

0iitt0

XiZ

XiZ

iXZ

XZ

M



1 Modelo


tit

2


=sum

2210i iaiaa ++=β

t

2

0iit

22

2

0iit1

2


=minus

=minus

=minus


tit

2

0i


=sum


366




2t1t2t2

1t2



00 aˆ )=β 2101 aaaˆ ))) ++=β

2102 a4a2aˆ ))) ++=β 2

210i iaiaa ++=β









367

sumsumsumsum=

minus=

minus=

minus=

minus ++++α=3

0iit

33

3

0iit

22

3

0iit1

3



itt0 PBI=0i


3

0it1 PBIi minus

=sum=Ζ


3

0i

2t2 PBIi minus

=sum=Ζ


3

0i

2t3 PBIi minus

=sum=Ζ

Donde

33





368






t3t2t1t0t ZZZZCP 0041838 0061712-0390550-05897027268342 ++=and

00 a=β 05897020 =β

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33

22

102 a2a2a2a +++=β -01035422 =β 3

32

2103 a3a3a3a +++=β -0007733 =β



sumsumsum=

minus=

minus=

minus ++α=β+α=2

1iit1

2

1iit0

2



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0iitt0 PBI


2

0it1 PBIi minus

=sum=Ζ

369

iaa 10i +=β






t1t0t Z0351296AL-Z0570238AL7358531CP +=and

Despejando tenemos


370



CRITERIOS SI

NO NO SEacute












371

RESUMEN




372







bull Ruido Blanco







t2




373


K

K


=

L100

= β0(1 1- β)





374

LECTURA




Anoacutenimo

375

ACTIVIDADES






1996 1997 1998 1999 Enero 21146 21146 10000 22890








376


AUTOEVALUACIOacuteN













377

378









LECCION 3





356


Figura 21





tn

nt

tt

tatataaZ

aaZ

μ

μ

++++=

++=

2210

10


357

t2



1993 1766 1994 1901 1623 1842 1654 1416 1302 1487 1507 1547 1659 1650 1971 1995 1879 1810 1998 1615 1580 1492 1577 1504 1602 1512 1614 2095 1996 1926 1727 1779 1608 1674 1243 1417 1486 1514 1576 1595 1954 1997 1948 1750 1840 1804 1855 1846


(DIC 93 - JUN 97)

100

120

140

160

180

200

220


358


359

LECCIOacuteN 4









0β

K10

K


=

L





360


Se tiene

Yt = α + β0Xt + β1Xt-1 + β2Xt-2 + + μt (4)





actuales


⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

= 11

00k

k




361



C -34256310 18380160 -18637656 00808 X 11724286 01577726 74311299 00000

Y(-1) 04113484 01046733 39298327 00012





( )



)

( )


( λminusα ˆ1

0β λ

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minusminus =α


915890

117241101

111721

10

0kk ==

minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

=


)4110(1721)4110(17211721875ˆ2

21


362



I(-1) 07425750 00024349 30496817 00000






0β λ

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16332580

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10

0kk ==

minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

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=


V)8160(8160V816042532I 1t2


363

LECCIOacuteN 5


2210i iaiaa ++=β (1)


3

32

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364

Cuando i = 2 2102

22102 a4a2a)2(a)2(aa ++=βrArr++=β

Cuando i = 3 2103

22103 a9a3a)3(a)3(aa ++=βrArr++=β

Cuando i = 4

2

210K

21042

2104


++=β++=βrArr++=β


( )titititt

titt

XiaiXaXaY

XiaiaaY

μα

μα

++++=

++++=

sumsumsumsum

minusminusminus

minus

2210

2210



( )tit1it0t

tit10t

iXaXaYXiaaY

μ+++α=μ+++α=

sumsumsum

minusminus

minus


2210


( ) t

k

0iit


=minus

γγK

t

k

0iitr

k

0iit

22

k

0iit1

k


=minus

γ

=minus

=minus

=minus


Donde

365

sum

sum

sum

sum

=minus

γγ

=minus

=minus

=minus

=

=

=

=

k

0iitt

k

0iit

2t2

k

0iitt1

k

0iitt0

XiZ

XiZ

iXZ

XZ

M



1 Modelo


tit

2


=sum

2210i iaiaa ++=β

t

2

0iit

22

2

0iit1

2


=minus

=minus

=minus


tit

2

0i


=sum


366




2t1t2t2

1t2



00 aˆ )=β 2101 aaaˆ ))) ++=β

2102 a4a2aˆ ))) ++=β 2

210i iaiaa ++=β









367

sumsumsumsum=

minus=

minus=

minus=

minus ++++α=3

0iit

33

3

0iit

22

3

0iit1

3



itt0 PBI=0i


3

0it1 PBIi minus

=sum=Ζ


3

0i

2t2 PBIi minus

=sum=Ζ


3

0i

2t3 PBIi minus

=sum=Ζ

Donde

33





368






t3t2t1t0t ZZZZCP 0041838 0061712-0390550-05897027268342 ++=and

00 a=β 05897020 =β

32101 aaaa +++=β 01792781 =β

33

22

102 a2a2a2a +++=β -01035422 =β 3

32

2103 a3a3a3a +++=β -0007733 =β



sumsumsum=

minus=

minus=

minus ++α=β+α=2

1iit1

2

1iit0

2



minus=Ζ2

0iitt0 PBI


2

0it1 PBIi minus

=sum=Ζ

369

iaa 10i +=β






t1t0t Z0351296AL-Z0570238AL7358531CP +=and

Despejando tenemos


370



CRITERIOS SI

NO NO SEacute












371

RESUMEN




372







bull Ruido Blanco







t2




373


K

K


=

L100

= β0(1 1- β)





374

LECTURA




Anoacutenimo

375

ACTIVIDADES






1996 1997 1998 1999 Enero 21146 21146 10000 22890








376


AUTOEVALUACIOacuteN













377

378










Figura 21





tn

nt

tt

tatataaZ

aaZ

μ

μ

++++=

++=

2210

10


357

t2



1993 1766 1994 1901 1623 1842 1654 1416 1302 1487 1507 1547 1659 1650 1971 1995 1879 1810 1998 1615 1580 1492 1577 1504 1602 1512 1614 2095 1996 1926 1727 1779 1608 1674 1243 1417 1486 1514 1576 1595 1954 1997 1948 1750 1840 1804 1855 1846


(DIC 93 - JUN 97)

100

120

140

160

180

200

220


358


359

LECCIOacuteN 4









0β

K10

K


=

L





360


Se tiene

Yt = α + β0Xt + β1Xt-1 + β2Xt-2 + + μt (4)





actuales


⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

= 11

00k

k




361



C -34256310 18380160 -18637656 00808 X 11724286 01577726 74311299 00000

Y(-1) 04113484 01046733 39298327 00012





( )



)

( )


( λminusα ˆ1

0β λ

87541101

4263minus=

minusminus =α


915890

117241101

111721

10

0kk ==

minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

=


)4110(1721)4110(17211721875ˆ2

21


362



I(-1) 07425750 00024349 30496817 00000






0β λ

( ) 8531647420153242

minus=minus

minus=α


16332580

081674201

181601

10

0kk ==

minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

=


V)8160(8160V816042532I 1t2


363

LECCIOacuteN 5


2210i iaiaa ++=β (1)


3

32

210i iaiaiaa +++=β


++++=β iaiaiaa 33

2210i

γγ+ ia


2210i iaiaa ++=β

002

2100 a)0(a)0(aa =βrArr++=β


22101 aaa)1(a)1(aa ++=βrArr++=β



364

Cuando i = 2 2102

22102 a4a2a)2(a)2(aa ++=βrArr++=β

Cuando i = 3 2103

22103 a9a3a)3(a)3(aa ++=βrArr++=β

Cuando i = 4

2

210K

21042

2104


++=β++=βrArr++=β


( )titititt

titt

XiaiXaXaY

XiaiaaY

μα

μα

++++=

++++=

sumsumsumsum

minusminusminus

minus

2210

2210



( )tit1it0t

tit10t

iXaXaYXiaaY

μ+++α=μ+++α=

sumsumsum

minusminus

minus


2210


( ) t

k

0iit


=minus

γγK

t

k

0iitr

k

0iit

22

k

0iit1

k


=minus

γ

=minus

=minus

=minus


Donde

365

sum

sum

sum

sum

=minus

γγ

=minus

=minus

=minus

=

=

=

=

k

0iitt

k

0iit

2t2

k

0iitt1

k

0iitt0

XiZ

XiZ

iXZ

XZ

M



1 Modelo


tit

2


=sum

2210i iaiaa ++=β

t

2

0iit

22

2

0iit1

2


=minus

=minus

=minus


tit

2

0i


=sum


366




2t1t2t2

1t2



00 aˆ )=β 2101 aaaˆ ))) ++=β

2102 a4a2aˆ ))) ++=β 2

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367

sumsumsumsum=

minus=

minus=

minus=

minus ++++α=3

0iit

33

3

0iit

22

3

0iit1

3



itt0 PBI=0i


3

0it1 PBIi minus

=sum=Ζ


3

0i

2t2 PBIi minus

=sum=Ζ


3

0i

2t3 PBIi minus

=sum=Ζ

Donde

33





368






t3t2t1t0t ZZZZCP 0041838 0061712-0390550-05897027268342 ++=and

00 a=β 05897020 =β

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33

22

102 a2a2a2a +++=β -01035422 =β 3

32

2103 a3a3a3a +++=β -0007733 =β



sumsumsum=

minus=

minus=

minus ++α=β+α=2

1iit1

2

1iit0

2



minus=Ζ2

0iitt0 PBI


2

0it1 PBIi minus

=sum=Ζ

369

iaa 10i +=β






t1t0t Z0351296AL-Z0570238AL7358531CP +=and

Despejando tenemos


370



CRITERIOS SI

NO NO SEacute












371

RESUMEN




372







bull Ruido Blanco







t2




373


K

K


=

L100

= β0(1 1- β)





374

LECTURA




Anoacutenimo

375

ACTIVIDADES






1996 1997 1998 1999 Enero 21146 21146 10000 22890








376


AUTOEVALUACIOacuteN













377

378









t2



1993 1766 1994 1901 1623 1842 1654 1416 1302 1487 1507 1547 1659 1650 1971 1995 1879 1810 1998 1615 1580 1492 1577 1504 1602 1512 1614 2095 1996 1926 1727 1779 1608 1674 1243 1417 1486 1514 1576 1595 1954 1997 1948 1750 1840 1804 1855 1846


(DIC 93 - JUN 97)

100

120

140

160

180

200

220


358


359

LECCIOacuteN 4









0β

K10

K


=

L





360


Se tiene

Yt = α + β0Xt + β1Xt-1 + β2Xt-2 + + μt (4)





actuales


⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

= 11

00k

k




361



C -34256310 18380160 -18637656 00808 X 11724286 01577726 74311299 00000

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( )



)

( )


( λminusα ˆ1

0β λ

87541101

4263minus=

minusminus =α


915890

117241101

111721

10

0kk ==

minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

=


)4110(1721)4110(17211721875ˆ2

21


362



I(-1) 07425750 00024349 30496817 00000






0β λ

( ) 8531647420153242

minus=minus

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16332580

081674201

181601

10

0kk ==

minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

=


V)8160(8160V816042532I 1t2


363

LECCIOacuteN 5


2210i iaiaa ++=β (1)


3

32

210i iaiaiaa +++=β


++++=β iaiaiaa 33

2210i

γγ+ ia


2210i iaiaa ++=β

002

2100 a)0(a)0(aa =βrArr++=β


22101 aaa)1(a)1(aa ++=βrArr++=β



364

Cuando i = 2 2102

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Cuando i = 3 2103

22103 a9a3a)3(a)3(aa ++=βrArr++=β

Cuando i = 4

2

210K

21042

2104


++=β++=βrArr++=β


( )titititt

titt

XiaiXaXaY

XiaiaaY

μα

μα

++++=

++++=

sumsumsumsum

minusminusminus

minus

2210

2210



( )tit1it0t

tit10t

iXaXaYXiaaY

μ+++α=μ+++α=

sumsumsum

minusminus

minus


2210


( ) t

k

0iit


=minus

γγK

t

k

0iitr

k

0iit

22

k

0iit1

k


=minus

γ

=minus

=minus

=minus


Donde

365

sum

sum

sum

sum

=minus

γγ

=minus

=minus

=minus

=

=

=

=

k

0iitt

k

0iit

2t2

k

0iitt1

k

0iitt0

XiZ

XiZ

iXZ

XZ

M



1 Modelo


tit

2


=sum

2210i iaiaa ++=β

t

2

0iit

22

2

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2


=minus

=minus

=minus


tit

2

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366




2t1t2t2

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210i iaiaa ++=β









367

sumsumsumsum=

minus=

minus=

minus=

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0iit

33

3

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22

3

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3



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3

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=sum=Ζ


3

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3

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33





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sumsumsum=

minus=

minus=

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1iit1

2

1iit0

2



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0iitt0 PBI


2

0it1 PBIi minus

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369

iaa 10i +=β






t1t0t Z0351296AL-Z0570238AL7358531CP +=and

Despejando tenemos


370



CRITERIOS SI

NO NO SEacute












371

RESUMEN




372







bull Ruido Blanco







t2




373


K

K


=

L100

= β0(1 1- β)





374

LECTURA




Anoacutenimo

375

ACTIVIDADES






1996 1997 1998 1999 Enero 21146 21146 10000 22890








376


AUTOEVALUACIOacuteN













377

378










359

LECCIOacuteN 4









0β

K10

K


=

L





360


Se tiene

Yt = α + β0Xt + β1Xt-1 + β2Xt-2 + + μt (4)





actuales


⎜⎝⎛

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infin

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00k

k




361



C -34256310 18380160 -18637656 00808 X 11724286 01577726 74311299 00000

Y(-1) 04113484 01046733 39298327 00012





( )



)

( )


( λminusα ˆ1

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111721

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0kk ==

minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

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infin

=


)4110(1721)4110(17211721875ˆ2

21


362



I(-1) 07425750 00024349 30496817 00000






0β λ

( ) 8531647420153242

minus=minus

minus=α


16332580

081674201

181601

10

0kk ==

minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

=


V)8160(8160V816042532I 1t2


363

LECCIOacuteN 5


2210i iaiaa ++=β (1)


3

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002

2100 a)0(a)0(aa =βrArr++=β


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364

Cuando i = 2 2102

22102 a4a2a)2(a)2(aa ++=βrArr++=β

Cuando i = 3 2103

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2

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21042

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( )titititt

titt

XiaiXaXaY

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μα

μα

++++=

++++=

sumsumsumsum

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minus

2210

2210



( )tit1it0t

tit10t

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sumsumsum

minusminus

minus


2210


( ) t

k

0iit


=minus

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t

k

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k

0iit

22

k

0iit1

k


=minus

γ

=minus

=minus

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Donde

365

sum

sum

sum

sum

=minus

γγ

=minus

=minus

=minus

=

=

=

=

k

0iitt

k

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2t2

k

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k

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XiZ

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iXZ

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M



1 Modelo


tit

2


=sum

2210i iaiaa ++=β

t

2

0iit

22

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2


=minus

=minus

=minus


tit

2

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366




2t1t2t2

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367

sumsumsumsum=

minus=

minus=

minus=

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33

3

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3

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=sum=Ζ


3

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3

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33





368






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1iit1

2

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2



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0iitt0 PBI


2

0it1 PBIi minus

=sum=Ζ

369

iaa 10i +=β






t1t0t Z0351296AL-Z0570238AL7358531CP +=and

Despejando tenemos


370



CRITERIOS SI

NO NO SEacute












371

RESUMEN




372







bull Ruido Blanco







t2




373


K

K


=

L100

= β0(1 1- β)





374

LECTURA




Anoacutenimo

375

ACTIVIDADES






1996 1997 1998 1999 Enero 21146 21146 10000 22890








376


AUTOEVALUACIOacuteN













377

378









LECCIOacuteN 4









0β

K10

K


=

L





360


Se tiene

Yt = α + β0Xt + β1Xt-1 + β2Xt-2 + + μt (4)





actuales


⎜⎝⎛

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00k

k




361



C -34256310 18380160 -18637656 00808 X 11724286 01577726 74311299 00000

Y(-1) 04113484 01046733 39298327 00012





( )



)

( )


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⎠⎞

⎜⎝⎛

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21


362



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minus=⎟

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LECCIOacuteN 5


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2100 a)0(a)0(aa =βrArr++=β


22101 aaa)1(a)1(aa ++=βrArr++=β



364

Cuando i = 2 2102

22102 a4a2a)2(a)2(aa ++=βrArr++=β

Cuando i = 3 2103

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Cuando i = 4

2

210K

21042

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Donde

365

sum

sum

sum

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k

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M



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tit

2


=sum

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2

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tit

2

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366




2t1t2t2

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00 aˆ )=β 2101 aaaˆ ))) ++=β

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210i iaiaa ++=β









367

sumsumsumsum=

minus=

minus=

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0iit

33

3

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22

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3



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3

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3

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2t2 PBIi minus

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3

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33





368






t3t2t1t0t ZZZZCP 0041838 0061712-0390550-05897027268342 ++=and

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33

22

102 a2a2a2a +++=β -01035422 =β 3

32

2103 a3a3a3a +++=β -0007733 =β



sumsumsum=

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1iit1

2

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2

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369

iaa 10i +=β






t1t0t Z0351296AL-Z0570238AL7358531CP +=and

Despejando tenemos


370



CRITERIOS SI

NO NO SEacute












371

RESUMEN




372







bull Ruido Blanco







t2




373


K

K


=

L100

= β0(1 1- β)





374

LECTURA




Anoacutenimo

375

ACTIVIDADES






1996 1997 1998 1999 Enero 21146 21146 10000 22890








376


AUTOEVALUACIOacuteN













377

378










Se tiene

Yt = α + β0Xt + β1Xt-1 + β2Xt-2 + + μt (4)





actuales


⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

= 11

00k

k




361



C -34256310 18380160 -18637656 00808 X 11724286 01577726 74311299 00000

Y(-1) 04113484 01046733 39298327 00012





( )



)

( )


( λminusα ˆ1

0β λ

87541101

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915890

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10

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minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

=


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21


362



I(-1) 07425750 00024349 30496817 00000






0β λ

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minus=minus

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16332580

081674201

181601

10

0kk ==

minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

=


V)8160(8160V816042532I 1t2


363

LECCIOacuteN 5


2210i iaiaa ++=β (1)


3

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210i iaiaiaa +++=β


++++=β iaiaiaa 33

2210i

γγ+ ia


2210i iaiaa ++=β

002

2100 a)0(a)0(aa =βrArr++=β


22101 aaa)1(a)1(aa ++=βrArr++=β



364

Cuando i = 2 2102

22102 a4a2a)2(a)2(aa ++=βrArr++=β

Cuando i = 3 2103

22103 a9a3a)3(a)3(aa ++=βrArr++=β

Cuando i = 4

2

210K

21042

2104


++=β++=βrArr++=β


( )titititt

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XiaiXaXaY

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μα

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365

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sum

sum

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2


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2

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tit

2

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366




2t1t2t2

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00 aˆ )=β 2101 aaaˆ ))) ++=β

2102 a4a2aˆ ))) ++=β 2

210i iaiaa ++=β









367

sumsumsumsum=

minus=

minus=

minus=

minus ++++α=3

0iit

33

3

0iit

22

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0iit1

3



itt0 PBI=0i


3

0it1 PBIi minus

=sum=Ζ


3

0i

2t2 PBIi minus

=sum=Ζ


3

0i

2t3 PBIi minus

=sum=Ζ

Donde

33





368






t3t2t1t0t ZZZZCP 0041838 0061712-0390550-05897027268342 ++=and

00 a=β 05897020 =β

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33

22

102 a2a2a2a +++=β -01035422 =β 3

32

2103 a3a3a3a +++=β -0007733 =β



sumsumsum=

minus=

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2

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2



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2

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369

iaa 10i +=β






t1t0t Z0351296AL-Z0570238AL7358531CP +=and

Despejando tenemos


370



CRITERIOS SI

NO NO SEacute












371

RESUMEN




372







bull Ruido Blanco







t2




373


K

K


=

L100

= β0(1 1- β)





374

LECTURA




Anoacutenimo

375

ACTIVIDADES






1996 1997 1998 1999 Enero 21146 21146 10000 22890








376


AUTOEVALUACIOacuteN













377

378











C -34256310 18380160 -18637656 00808 X 11724286 01577726 74311299 00000

Y(-1) 04113484 01046733 39298327 00012





( )



)

( )


( λminusα ˆ1

0β λ

87541101

4263minus=

minusminus =α


915890

117241101

111721

10

0kk ==

minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

=


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21


362



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0β λ

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minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λminusβ=βsum

infin

=


V)8160(8160V816042532I 1t2


363

LECCIOacuteN 5


2210i iaiaa ++=β (1)


3

32

210i iaiaiaa +++=β


++++=β iaiaiaa 33

2210i

γγ+ ia


2210i iaiaa ++=β

002

2100 a)0(a)0(aa =βrArr++=β


22101 aaa)1(a)1(aa ++=βrArr++=β



364

Cuando i = 2 2102

22102 a4a2a)2(a)2(aa ++=βrArr++=β

Cuando i = 3 2103

22103 a9a3a)3(a)3(aa ++=βrArr++=β

Cuando i = 4

2

210K

21042

2104


++=β++=βrArr++=β


( )titititt

titt

XiaiXaXaY

XiaiaaY

μα

μα

++++=

++++=

sumsumsumsum

minusminusminus

minus

2210

2210



( )tit1it0t

tit10t

iXaXaYXiaaY

μ+++α=μ+++α=

sumsumsum

minusminus

minus


2210


( ) t

k

0iit


=minus

γγK

t

k

0iitr

k

0iit

22

k

0iit1

k


=minus

γ

=minus

=minus

=minus


Donde

365

sum

sum

sum

sum

=minus

γγ

=minus

=minus

=minus

=

=

=

=

k

0iitt

k

0iit

2t2

k

0iitt1

k

0iitt0

XiZ

XiZ

iXZ

XZ

M



1 Modelo


tit

2


=sum

2210i iaiaa ++=β

t

2

0iit

22

2

0iit1

2


=minus

=minus

=minus


tit

2

0i


=sum


366




2t1t2t2

1t2



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2102 a4a2aˆ ))) ++=β 2

210i iaiaa ++=β









367

sumsumsumsum=

minus=

minus=

minus=

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0iit

33

3

0iit

22

3

0iit1

3



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3

0it1 PBIi minus

=sum=Ζ


3

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3

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Donde

33





368






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33

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sumsumsum=

minus=

minus=

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1iit1

2

1iit0

2



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2

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369

iaa 10i +=β






t1t0t Z0351296AL-Z0570238AL7358531CP +=and

Despejando tenemos


370



CRITERIOS SI

NO NO SEacute












371

RESUMEN




372







bull Ruido Blanco







t2




373


K

K


=

L100

= β0(1 1- β)





374

LECTURA




Anoacutenimo

375

ACTIVIDADES






1996 1997 1998 1999 Enero 21146 21146 10000 22890








376


AUTOEVALUACIOacuteN













377

378











I(-1) 07425750 00024349 30496817 00000






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181601

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⎜⎝⎛

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V)8160(8160V816042532I 1t2


363

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3

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Cuando i = 2 2102

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Cuando i = 3 2103

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2

210K

21042

2104


++=β++=βrArr++=β


( )titititt

titt

XiaiXaXaY

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μα

μα

++++=

++++=

sumsumsumsum

minusminusminus

minus

2210

2210



( )tit1it0t

tit10t

iXaXaYXiaaY

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sumsumsum

minusminus

minus


2210


( ) t

k

0iit


=minus

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k

0iit

22

k

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k


=minus

γ

=minus

=minus

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Donde

365

sum

sum

sum

sum

=minus

γγ

=minus

=minus

=minus

=

=

=

=

k

0iitt

k

0iit

2t2

k

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0iitt0

XiZ

XiZ

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M



1 Modelo


tit

2


=sum

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t

2

0iit

22

2

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2


=minus

=minus

=minus


tit

2

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366




2t1t2t2

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367

sumsumsumsum=

minus=

minus=

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0iit

33

3

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22

3

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3



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3

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3

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3

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33





368






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32

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minus=

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2

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369

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t1t0t Z0351296AL-Z0570238AL7358531CP +=and

Despejando tenemos


370



CRITERIOS SI

NO NO SEacute












371

RESUMEN




372







bull Ruido Blanco







t2




373


K

K


=

L100

= β0(1 1- β)





374

LECTURA




Anoacutenimo

375

ACTIVIDADES






1996 1997 1998 1999 Enero 21146 21146 10000 22890








376


AUTOEVALUACIOacuteN













377

378









LECCIOacuteN 5


2210i iaiaa ++=β (1)


3

32

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++++=β iaiaiaa 33

2210i

γγ+ ia


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002

2100 a)0(a)0(aa =βrArr++=β


22101 aaa)1(a)1(aa ++=βrArr++=β



364

Cuando i = 2 2102

22102 a4a2a)2(a)2(aa ++=βrArr++=β

Cuando i = 3 2103

22103 a9a3a)3(a)3(aa ++=βrArr++=β

Cuando i = 4

2

210K

21042

2104


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XiaiXaXaY

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22

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365

sum

sum

sum

sum

=minus

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=minus

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=

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k

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M



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tit

2


=sum

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2

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22

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tit

2

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366




2t1t2t2

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367

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0iit

33

3

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22

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33





368






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22

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iaa 10i +=β






t1t0t Z0351296AL-Z0570238AL7358531CP +=and

Despejando tenemos


370



CRITERIOS SI

NO NO SEacute












371

RESUMEN




372







bull Ruido Blanco







t2




373


K

K


=

L100

= β0(1 1- β)





374

LECTURA




Anoacutenimo

375

ACTIVIDADES






1996 1997 1998 1999 Enero 21146 21146 10000 22890








376


AUTOEVALUACIOacuteN













377

378









Cuando i = 2 2102

22102 a4a2a)2(a)2(aa ++=βrArr++=β

Cuando i = 3 2103

22103 a9a3a)3(a)3(aa ++=βrArr++=β

Cuando i = 4

2

210K

21042

2104


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( )titititt

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XiaiXaXaY

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μα

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365

sum

sum

sum

sum

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k

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M



1 Modelo


tit

2


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t

2

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22

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2


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tit

2

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366




2t1t2t2

1t2



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210i iaiaa ++=β









367

sumsumsumsum=

minus=

minus=

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0iit

33

3

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22

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3



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3

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3

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3

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Donde

33





368






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2

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0it1 PBIi minus

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369

iaa 10i +=β






t1t0t Z0351296AL-Z0570238AL7358531CP +=and

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370



CRITERIOS SI

NO NO SEacute












371

RESUMEN




372







bull Ruido Blanco







t2




373


K

K


=

L100

= β0(1 1- β)





374

LECTURA




Anoacutenimo

375

ACTIVIDADES






1996 1997 1998 1999 Enero 21146 21146 10000 22890








376


AUTOEVALUACIOacuteN













377

378









sum

sum

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γγ

=minus

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k

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22

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366




2t1t2t2

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00 aˆ )=β 2101 aaaˆ ))) ++=β

2102 a4a2aˆ ))) ++=β 2

210i iaiaa ++=β









367

sumsumsumsum=

minus=

minus=

minus=

minus ++++α=3

0iit

33

3

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22

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3



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3

0it1 PBIi minus

=sum=Ζ


3

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2t2 PBIi minus

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3

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Donde

33





368






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33

22

102 a2a2a2a +++=β -01035422 =β 3

32

2103 a3a3a3a +++=β -0007733 =β



sumsumsum=

minus=

minus=

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1iit1

2

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2



minus=Ζ2

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0it1 PBIi minus

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iaa 10i +=β






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370



CRITERIOS SI

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371

RESUMEN




372







bull Ruido Blanco







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373


K

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=

L100

= β0(1 1- β)





374

LECTURA




Anoacutenimo

375

ACTIVIDADES






1996 1997 1998 1999 Enero 21146 21146 10000 22890








376


AUTOEVALUACIOacuteN













377

378












2t1t2t2

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00 aˆ )=β 2101 aaaˆ ))) ++=β

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210i iaiaa ++=β









367

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33

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3

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3

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2t2 PBIi minus

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3

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Donde

33





368






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22

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32

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2

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2

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369

iaa 10i +=β






t1t0t Z0351296AL-Z0570238AL7358531CP +=and

Despejando tenemos


370



CRITERIOS SI

NO NO SEacute












371

RESUMEN




372







bull Ruido Blanco







t2




373


K

K


=

L100

= β0(1 1- β)





374

LECTURA




Anoacutenimo

375

ACTIVIDADES






1996 1997 1998 1999 Enero 21146 21146 10000 22890








376


AUTOEVALUACIOacuteN













377

378









sumsumsumsum=

minus=

minus=

minus=

minus ++++α=3

0iit

33

3

0iit

22

3

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3



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3

0it1 PBIi minus

=sum=Ζ


3

0i

2t2 PBIi minus

=sum=Ζ


3

0i

2t3 PBIi minus

=sum=Ζ

Donde

33





368






t3t2t1t0t ZZZZCP 0041838 0061712-0390550-05897027268342 ++=and

00 a=β 05897020 =β

32101 aaaa +++=β 01792781 =β

33

22

102 a2a2a2a +++=β -01035422 =β 3

32

2103 a3a3a3a +++=β -0007733 =β



sumsumsum=

minus=

minus=

minus ++α=β+α=2

1iit1

2

1iit0

2



minus=Ζ2

0iitt0 PBI


2

0it1 PBIi minus

=sum=Ζ

369

iaa 10i +=β






t1t0t Z0351296AL-Z0570238AL7358531CP +=and

Despejando tenemos


370



CRITERIOS SI

NO NO SEacute












371

RESUMEN




372







bull Ruido Blanco







t2




373


K

K


=

L100

= β0(1 1- β)





374

LECTURA




Anoacutenimo

375

ACTIVIDADES






1996 1997 1998 1999 Enero 21146 21146 10000 22890








376


AUTOEVALUACIOacuteN













377

378














t3t2t1t0t ZZZZCP 0041838 0061712-0390550-05897027268342 ++=and

00 a=β 05897020 =β

32101 aaaa +++=β 01792781 =β

33

22

102 a2a2a2a +++=β -01035422 =β 3

32

2103 a3a3a3a +++=β -0007733 =β



sumsumsum=

minus=

minus=

minus ++α=β+α=2

1iit1

2

1iit0

2



minus=Ζ2

0iitt0 PBI


2

0it1 PBIi minus

=sum=Ζ

369

iaa 10i +=β






t1t0t Z0351296AL-Z0570238AL7358531CP +=and

Despejando tenemos


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CRITERIOS SI

NO NO SEacute












371

RESUMEN




372







bull Ruido Blanco







t2




373


K

K


=

L100

= β0(1 1- β)





374

LECTURA




Anoacutenimo

375

ACTIVIDADES






1996 1997 1998 1999 Enero 21146 21146 10000 22890








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AUTOEVALUACIOacuteN













377

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iaa 10i +=β






t1t0t Z0351296AL-Z0570238AL7358531CP +=and

Despejando tenemos


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CRITERIOS SI

NO NO SEacute












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RESUMEN




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bull Ruido Blanco







t2




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K

K


=

L100

= β0(1 1- β)





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Anoacutenimo

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ACTIVIDADES






1996 1997 1998 1999 Enero 21146 21146 10000 22890








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AUTOEVALUACIOacuteN













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CRITERIOS SI

NO NO SEacute












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RESUMEN




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bull Ruido Blanco







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K

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=

L100

= β0(1 1- β)





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Anoacutenimo

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ACTIVIDADES






1996 1997 1998 1999 Enero 21146 21146 10000 22890








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AUTOEVALUACIOacuteN













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RESUMEN




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bull Ruido Blanco







t2




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K

K


=

L100

= β0(1 1- β)





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LECTURA




Anoacutenimo

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ACTIVIDADES






1996 1997 1998 1999 Enero 21146 21146 10000 22890








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AUTOEVALUACIOacuteN













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bull Ruido Blanco







t2




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K

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= β0(1 1- β)





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ACTIVIDADES






1996 1997 1998 1999 Enero 21146 21146 10000 22890








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AUTOEVALUACIOacuteN













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K

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=

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= β0(1 1- β)





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ACTIVIDADES






1996 1997 1998 1999 Enero 21146 21146 10000 22890








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AUTOEVALUACIOacuteN













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Anoacutenimo

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ACTIVIDADES






1996 1997 1998 1999 Enero 21146 21146 10000 22890








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AUTOEVALUACIOacuteN













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ACTIVIDADES






1996 1997 1998 1999 Enero 21146 21146 10000 22890








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AUTOEVALUACIOacuteN













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Análisis de series temporales como métodos de predicción · LECCIÓN 2 . COMPONENTES DE UNA...

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