Analisis de los ceros de las sumas parciales de lafuncion zeta de Riemann

Oswaldo Velasquez Castanon

IMCA y FC - UNI

2019

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La funcion zeta

Sea

ζ(s) =∞∑k=1

1

ns, σ > 1,

esta funcion se extiende a todo el plano complejo como una funcionmeromorfa con un unico polo en s = 1 con residuo 1.Escribimos s = σ + iτ con σ, τ reales.

El numero de ceros de parte imaginaria 0 < τ < T es

N(T ) =T

2πlog( T

2π

)− T

2π+ O(logT )

(formula de Riemann-von Mangoldt).

Hipotesis de Riemann (H.R.)

Si ζ(s) = 0 y 0 < σ < 1, entonces σ = 1/2.

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La funcion zeta

Sea

ζ(s) =∞∑k=1

1

ns, σ > 1,

esta funcion se extiende a todo el plano complejo como una funcionmeromorfa con un unico polo en s = 1 con residuo 1.Escribimos s = σ + iτ con σ, τ reales.El numero de ceros de parte imaginaria 0 < τ < T es

N(T ) =T

2πlog( T

2π

)− T

2π+ O(logT )

(formula de Riemann-von Mangoldt).

Hipotesis de Riemann (H.R.)

Si ζ(s) = 0 y 0 < σ < 1, entonces σ = 1/2.

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La funcion zeta

Sea

ζ(s) =∞∑k=1

1

ns, σ > 1,

esta funcion se extiende a todo el plano complejo como una funcionmeromorfa con un unico polo en s = 1 con residuo 1.Escribimos s = σ + iτ con σ, τ reales.El numero de ceros de parte imaginaria 0 < τ < T es

N(T ) =T

2πlog( T

2π

)− T

2π+ O(logT )

(formula de Riemann-von Mangoldt).

Hipotesis de Riemann (H.R.)

Si ζ(s) = 0 y 0 < σ < 1, entonces σ = 1/2.

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Formula de Euler y Maclaurin

Para σ > −2ν

ζ(s) = 1 + 2−s + · · ·+ n−s − n1−s

1− s− 1

2n−s

+ν∑

k=1

B2k

(2k)!s(s + 1) · · · (s + 2k − 2)n−s−2k+1 + R2ν(s),

donde

R2ν(s) = − s(s + 1) · · · (s + 2ν − 1)

(2ν)!

∫ ∞ν

B2ν(x)x−s−2νdx

= − s(s + 1) · · · (s + 2ν)

(2ν + 1)!

∫ ∞ν

B2ν+1(x)x−s−2ν−1dx .

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Formula de Euler y Maclaurin

Para σ > −2ν

ζ(s) = 1 + 2−s + · · ·+ n−s − n1−s

1− s− 1

2n−s

+ν∑

k=1

B2k

(2k)!s(s + 1) · · · (s + 2k − 2)n−s−2k+1 + R2ν(s),

donde

R2ν(s) = − s(s + 1) · · · (s + 2ν − 1)

(2ν)!

∫ ∞ν

B2ν(x)x−s−2νdx

= − s(s + 1) · · · (s + 2ν)

(2ν + 1)!

∫ ∞ν

B2ν+1(x)x−s−2ν−1dx .

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Las aproximaciones

ζ1,n(s) = 1 + 2−s + · · ·+ n−s (σ > 1) ¡claro!

ζ0,n(s) = ζ1,n(s)− n1−s

1−s (σ > 0)

ζ−1,n(s) = ζ0,n(s)− 12n−s (σ > −1)

ζ−2ν,n(s) = ζ−1,k(s) +ν∑

k=1

B2k

(2k)!s(s + 1) · · · (s + 2k − 2)n−s−2k+1

(σ > −2ν, ν ≥ 1)

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Las aproximaciones

ζ1,n(s) = 1 + 2−s + · · ·+ n−s (σ > 1)

ζ0,n(s) = ζ1,n(s)− n1−s

1−s (σ > 0)

ζ−1,n(s) = ζ0,n(s)− 12n−s (σ > −1)

ζ−2ν,n(s) = ζ−1,k(s) +ν∑

k=1

B2k

(2k)!s(s + 1) · · · (s + 2k − 2)n−s−2k+1

(σ > −2ν, ν ≥ 1)

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Las aproximaciones

ζ1,n(s) = 1 + 2−s + · · ·+ n−s (σ > 1)

ζ0,n(s) = ζ1,n(s)− n1−s

1−s (σ > 0)

ζ−1,n(s) = ζ0,n(s)− 12n−s (σ > −1)

ζ−2ν,n(s) = ζ−1,k(s) +ν∑

k=1

B2k

(2k)!s(s + 1) · · · (s + 2k − 2)n−s−2k+1

(σ > −2ν, ν ≥ 1)

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Las aproximaciones

ζ1,n(s) = 1 + 2−s + · · ·+ n−s (σ > 1)

ζ0,n(s) = ζ1,n(s)− n1−s

1−s (σ > 0)

ζ−1,n(s) = ζ0,n(s)− 12n−s (σ > −1)

ζ−2ν,n(s) = ζ−1,k(s) +ν∑

k=1

B2k

(2k)!s(s + 1) · · · (s + 2k − 2)n−s−2k+1

(σ > −2ν, ν ≥ 1)

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¿Porque?

Turan: estudio de ζ1,n(s), sucesion de funciones casi-periodicas.

Turan, 1948

Si existen K > 0, 0 ≤ ε < 1/2, n0 tales que ζ1,n(s) no tiene cero para

σ ≥ 1 + Kn−12+ε, n > n0

entonces la H.R. es cierta.

Turan, 1948

Para n ≥ 8, ζ1,n(s) no tiene cero para

σ ≥ 1 + 2log log n

log n.

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¿Porque?

Turan: estudio de ζ1,n(s), sucesion de funciones casi-periodicas.

Turan, 1948

Si existen K > 0, 0 ≤ ε < 1/2, n0 tales que ζ1,n(s) no tiene cero para

σ ≥ 1 + Kn−12+ε, n > n0

entonces la H.R. es cierta.

Turan, 1948

Para n ≥ 8, ζ1,n(s) no tiene cero para

σ ≥ 1 + 2log log n

log n.

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Pero...

Montgomery, 1983

Para cada 0 < c < 4/π − 1, ζ1,n(s) tiene ceros en el semiplano

σ > 1 + clog log n

log n, n > n0(c).

Los ceros de ζ1,n(s) en el semiplano σ > 1 se denominan ceros especiales.van de Lune y te Riele (1982) realizaron el calculo intensivo de estosceros (difıcules de encontrar).Una herramienta esencial para los resultados de Turan y Montgomery: elteorema de equivalencia de Bohr.

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Pero...

Montgomery, 1983

Para cada 0 < c < 4/π − 1, ζ1,n(s) tiene ceros en el semiplano

σ > 1 + clog log n

log n, n > n0(c).

Los ceros de ζ1,n(s) en el semiplano σ > 1 se denominan ceros especiales.van de Lune y te Riele (1982) realizaron el calculo intensivo de estosceros (difıcules de encontrar).

Una herramienta esencial para los resultados de Turan y Montgomery: elteorema de equivalencia de Bohr.

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Pero...

Montgomery, 1983

Para cada 0 < c < 4/π − 1, ζ1,n(s) tiene ceros en el semiplano

σ > 1 + clog log n

log n, n > n0(c).

Los ceros de ζ1,n(s) en el semiplano σ > 1 se denominan ceros especiales.van de Lune y te Riele (1982) realizaron el calculo intensivo de estosceros (difıcules de encontrar).Una herramienta esencial para los resultados de Turan y Montgomery: elteorema de equivalencia de Bohr.

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El movimiento de los ceros

Proposicion

El numero de ceros de ζσ,n(s) en la banda T1 < τ < T2 es∣∣∣Nσ,n(T1,T2)− T2 − T1

2πlog n

∣∣∣ ≤ cσ,n.

1 c1,n ≤ n − 1;

2 c0,n ≤ 2n − 1, c−1,n ≤ 2n − 1.

La multiplicidad de un cero de ζσ,n(s) es ≤ cσ,n.

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El movimiento de los ceros

Seaϕσ,n = ınf

{σ ∈ R | ζσ,n(s) = 0

},

θσ,n = sup{σ ∈ R | ζσ,n(s) = 0

}.

Estas cantidades estan definidas para σ ∈ {−1, 0, 1}.

Las funcionesζ1,n(s), (1− s)ζ0,n(s) et (1− s)ζ−1,s(s) son polinomios exponencialescon ceros neutros.Las funciones (1− s)ζ−2ν(s), ν ≥ 1 son polinomios exponenciales conceros avanzados, y por lo tanto poseen ceros de parte realarbitrariamente grande.La funcion de comparacion de (1− s)ζ0,s(s) es ζ1,s(s), de donde loscerosde estas dos funciones son asintoticos.

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El movimiento de los ceros

Seaϕσ,n = ınf

{σ ∈ R | ζσ,n(s) = 0

},

θσ,n = sup{σ ∈ R | ζσ,n(s) = 0

}.

Estas cantidades estan definidas para σ ∈ {−1, 0, 1}. Las funcionesζ1,n(s), (1− s)ζ0,n(s) et (1− s)ζ−1,s(s) son polinomios exponencialescon ceros neutros.

Las funciones (1− s)ζ−2ν(s), ν ≥ 1 son polinomios exponenciales conceros avanzados, y por lo tanto poseen ceros de parte realarbitrariamente grande.La funcion de comparacion de (1− s)ζ0,s(s) es ζ1,s(s), de donde loscerosde estas dos funciones son asintoticos.

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El movimiento de los ceros

Seaϕσ,n = ınf

{σ ∈ R | ζσ,n(s) = 0

},

θσ,n = sup{σ ∈ R | ζσ,n(s) = 0

}.

Estas cantidades estan definidas para σ ∈ {−1, 0, 1}. Las funcionesζ1,n(s), (1− s)ζ0,n(s) et (1− s)ζ−1,s(s) son polinomios exponencialescon ceros neutros.Las funciones (1− s)ζ−2ν(s), ν ≥ 1 son polinomios exponenciales conceros avanzados, y por lo tanto poseen ceros de parte realarbitrariamente grande.

La funcion de comparacion de (1− s)ζ0,s(s) es ζ1,s(s), de donde loscerosde estas dos funciones son asintoticos.

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El movimiento de los ceros

Seaϕσ,n = ınf

{σ ∈ R | ζσ,n(s) = 0

},

θσ,n = sup{σ ∈ R | ζσ,n(s) = 0

}.

Estas cantidades estan definidas para σ ∈ {−1, 0, 1}. Las funcionesζ1,n(s), (1− s)ζ0,n(s) et (1− s)ζ−1,s(s) son polinomios exponencialescon ceros neutros.Las funciones (1− s)ζ−2ν(s), ν ≥ 1 son polinomios exponenciales conceros avanzados, y por lo tanto poseen ceros de parte realarbitrariamente grande.La funcion de comparacion de (1− s)ζ0,s(s) es ζ1,s(s), de donde loscerosde estas dos funciones son asintoticos.

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1 1− n ≤ βn ≤ ϕ1,n ≤ θ1,n ≤ αn < α, donde βn es la unica raız realde n−σ = ζ1,n−1(σ), αn la unica raız real de ζ1,n(σ) = 2, y α es laraız real > 1 de ζ(σ) = 2. En particular α < 1,73.

2 1− 2n ≤ β0,n ≤ ϕ0,n ≤ 0 ≤ θ0,n ≤ 2, para n ≥ 2, donde β0,n es launica raız real de n−σ(1− n

1−σ ) = ζ1,n−1(σ).

Ademas

ϕ0,n ≤ ϕ1,n ≤ θ1,n ≤ θ0,n.

3 1− 4n ≤ β−1,n ≤ ϕ−1,n ≤ −1 ≤ θ−1,n ≤ 2, para n ≥ 2, donde β−1,nes la unica raız real de n−σ( 1

2 −n

1−σ ) = ζ1,n−1(σ).

(Turan) θσ,n ≤ 1 + 2 log log nlog n para n ≥ n0.

(Montgomery) θσ,n > 1 + c log log nlog n para n ≥ n0(c).

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1 1− n ≤ βn ≤ ϕ1,n ≤ θ1,n ≤ αn < α, donde βn es la unica raız realde n−σ = ζ1,n−1(σ), αn la unica raız real de ζ1,n(σ) = 2, y α es laraız real > 1 de ζ(σ) = 2. En particular α < 1,73.

2 1− 2n ≤ β0,n ≤ ϕ0,n ≤ 0 ≤ θ0,n ≤ 2, para n ≥ 2, donde β0,n es launica raız real de n−σ(1− n

1−σ ) = ζ1,n−1(σ).

Ademas

ϕ0,n ≤ ϕ1,n ≤ θ1,n ≤ θ0,n.

3 1− 4n ≤ β−1,n ≤ ϕ−1,n ≤ −1 ≤ θ−1,n ≤ 2, para n ≥ 2, donde β−1,nes la unica raız real de n−σ( 1

2 −n

1−σ ) = ζ1,n−1(σ).

(Turan) θσ,n ≤ 1 + 2 log log nlog n para n ≥ n0.

(Montgomery) θσ,n > 1 + c log log nlog n para n ≥ n0(c).

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1 1− n ≤ βn ≤ ϕ1,n ≤ θ1,n ≤ αn < α, donde βn es la unica raız realde n−σ = ζ1,n−1(σ), αn la unica raız real de ζ1,n(σ) = 2, y α es laraız real > 1 de ζ(σ) = 2. En particular α < 1,73.

2 1− 2n ≤ β0,n ≤ ϕ0,n ≤ 0 ≤ θ0,n ≤ 2, para n ≥ 2, donde β0,n es launica raız real de n−σ(1− n

1−σ ) = ζ1,n−1(σ). Ademas

ϕ0,n ≤ ϕ1,n ≤ θ1,n ≤ θ0,n.

3 1− 4n ≤ β−1,n ≤ ϕ−1,n ≤ −1 ≤ θ−1,n ≤ 2, para n ≥ 2, donde β−1,nes la unica raız real de n−σ( 1

2 −n

1−σ ) = ζ1,n−1(σ).

(Turan) θσ,n ≤ 1 + 2 log log nlog n para n ≥ n0.

(Montgomery) θσ,n > 1 + c log log nlog n para n ≥ n0(c).

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1 1− n ≤ βn ≤ ϕ1,n ≤ θ1,n ≤ αn < α, donde βn es la unica raız realde n−σ = ζ1,n−1(σ), αn la unica raız real de ζ1,n(σ) = 2, y α es laraız real > 1 de ζ(σ) = 2. En particular α < 1,73.

2 1− 2n ≤ β0,n ≤ ϕ0,n ≤ 0 ≤ θ0,n ≤ 2, para n ≥ 2, donde β0,n es launica raız real de n−σ(1− n

1−σ ) = ζ1,n−1(σ). Ademas

ϕ0,n ≤ ϕ1,n ≤ θ1,n ≤ θ0,n.

3 1− 4n ≤ β−1,n ≤ ϕ−1,n ≤ −1 ≤ θ−1,n ≤ 2, para n ≥ 2, donde β−1,nes la unica raız real de n−σ( 1

2 −n

1−σ ) = ζ1,n−1(σ).

(Turan) θσ,n ≤ 1 + 2 log log nlog n para n ≥ n0.

(Montgomery) θσ,n > 1 + c log log nlog n para n ≥ n0(c).

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1 1− n ≤ βn ≤ ϕ1,n ≤ θ1,n ≤ αn < α, donde βn es la unica raız realde n−σ = ζ1,n−1(σ), αn la unica raız real de ζ1,n(σ) = 2, y α es laraız real > 1 de ζ(σ) = 2. En particular α < 1,73.

2 1− 2n ≤ β0,n ≤ ϕ0,n ≤ 0 ≤ θ0,n ≤ 2, para n ≥ 2, donde β0,n es launica raız real de n−σ(1− n

1−σ ) = ζ1,n−1(σ). Ademas

ϕ0,n ≤ ϕ1,n ≤ θ1,n ≤ θ0,n.

3 1− 4n ≤ β−1,n ≤ ϕ−1,n ≤ −1 ≤ θ−1,n ≤ 2, para n ≥ 2, donde β−1,nes la unica raız real de n−σ( 1

2 −n

1−σ ) = ζ1,n−1(σ).

(Turan) θσ,n ≤ 1 + 2 log log nlog n para n ≥ n0.

(Montgomery) θσ,n > 1 + c log log nlog n para n ≥ n0(c).

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n T N1,n(T ) T2π

log n ϕ1,n(T ) θ1,n(T )

3 40000 6994 6993,98 −0,99999894373 0,787884362684 40000 8826 8825,42 −1,21428389926 0,626287744045 40000 10246 10245,99 −2,42489861369 0,890831519786 40000 11407 11406,69 −2,88622263013 0,840976741767 40000 12388 12388,04 −3,79844274163 0,975378251688 40000 13238 13238,13 −4,37886060949 0,919274641359 40000 13988 13987,96 −5,00816148190 0,89136705260

10 40000 14659 14658,71 −5,67556828918 0,8993395291111 40000 15266 15265,47 −6,55310090485 0,9580869253412 40000 15820 15819,40 −7,09336930621 0,9305317830413 40000 16329 16328,97 −7,86184656894 0,9669514279714 40000 16801 16800,76 −8,49802685151 0,9880743812815 40000 17240 17239,98 −9,10360216941 0,9767615605316 40000 17651 17650,84 −9,81194644419 0,9576085124717 40000 18037 18036,79 −10,41475609487 0,9794184976118 40000 18401 18400,67 −11,22879418259 0,9629785831719 40000 18745 18744,88 −11,85128799161 0,9897603649420 40000 19072 19071,42 −12,36635989891 0,9727283169821 40000 19382 19382,03 −13,24835161246 0,9789273789922 40000 19678 19678,18 −13,51550680381 0,9878172239623 40000 19961 19961,17 −14,43751957121 1,0084969259024 40000 20232 20232,11 −15,05808995476 0,9894829373125 40000 20492 20491,99 −15,59014298558 0,9864570317926 40000 20742 20741,68 −16,54396912874 0,9812045973027 40000 20982 20981,94 −17,03971453260 0,9700646726428 40000 21214 21213,47 −17,83551068470 0,9645300958029 40000 21437 21436,87 −18,38334806559 0,98150852974

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n T1 T2 N0,n(T1,T2)T2−T1

2πlog n ϕ0,n(T1,T2) θ0,n(T1,T2)

3 −0,01 40000 6995 6993,98 −0,99999996215 0,787884402344 −0,01 40000 8827 8825,42 −1,22129845606 0,635170286935 −0,1 150000 38424 38422,52 −2,42597711135 0,890897018206 −0,01 40000 11408 11406,69 −2,88622120768 0,850980527317 −0,01 40000 12389 12388,05 −3,79841597605 0,975379280818 −0,01 40000 13239 13238,13 −4,37886657324 0,919306586579 −0,01 40000 13989 13987,96 −5,00812850740 0,89139551657

10 −0,01 40000 14660 14658,71 −5,67547525978 0,8993602280911 −0,01 40000 15267 15265,47 −6,55220173178 0,9581177197312 −0,1 40000 15821 15819,44 −7,09313972665 0,9306065073213 −0,05 40000 16330 16328,99 −7,86194910077 0,9669540736814 −0,05 40000 16802 16800,78 −8,49819507932 0,9881182786215 −0,05 40000 17241 17240,00 −9,10385365455 0,9768256738316 −0,05 40000 17652 17650,87 −9,81294697040 0,9575623507517 −0,01 40000 18038 18036,80 −10,41394816433 0,9794164593718 −0,01 40000 18402 18400,68 −11,22888307676 0,9630365732519 −0,01 40000 18746 18744,88 −11,85140277410 0,9897397034820 −0,01 40000 19073 19071,42 −12,36594894041 0,9727792030621 −0,01 40000 19383 19382,03 −13,24843625816 0,9789856459522 −0,01 40000 19679 19678,19 −13,51375394593 0,9878696844623 −0,01 40000 19962 19961,18 −14,43516278467 1,0085031199524 −0,01 40000 20233 20232,12 −15,05617275419 0,9895001239225 −0,01 40000 20493 20492,00 −15,59002408923 0,9865133561126 −0,01 40000 20743 20741,69 −16,54419066747 0,9812598728127 −0,01 40000 20983 20981,95 −17,03815006667 0,9701128930828 −0,01 40000 21215 21213,47 −17,83417929973 0,9645870407929 −0,01 40000 21438 21436,87 −18,38189178706 0,98151195453

12 / 29

n T1 T2 N−1,n(T1,T2)T2−T1

2πlog n ϕ−1,n(T1,T2) θ−1,n(T1,T2)

3 −0,01 40000 6995 6993,98 −2,19629295171 0,510148556044 −0,01 40000 8826 8825,42 −3,17284991925 0,676162096255 −0,01 40000 10247 10246,00 −4,39174550402 0,775089680566 −0,01 40000 11408 11406,69 −5,45278379666 0,851670983147 −0,01 40000 12389 12388,05 −6,58109380024 0,913056653138 −0,01 40000 13239 13238,13 −7,67270334258 0,932915400739 −0,01 40000 13989 13987,96 −8,76350338841 0,88942512612

10 −0,01 40000 14660 14658,71 −9,83028672945 0,8898881605211 −0,01 40000 15267 15265,47 −10,96409177386 0,9290805949712 −0,01 40000 15821 15819,41 −12,00765983385 0,9434663562413 −0,01 40000 16330 16328,97 −13,15485429125 0,9434429334514 −0,01 40000 16802 16800,76 −14,21740321531 0,9772804965415 −0,01 40000 17241 17239,98 −15,28451276389 0,9768176852016 −0,01 40000 17652 17650,85 −16,42494479050 0,9655194836817 −0,01 40000 18038 18036,80 −17,45171835030 0,9627829316418 −0,01 40000 18402 18400,68 −18,63461088719 0,9709711862619 −0,01 40000 18746 18744,88 −19,63399478083 0,9765652955820 −0,01 40000 19073 19071,42 −20,76485049165 0,9811546239621 −0,01 40000 19383 19382,03 −21,90393314725 0,9756452584422 −0,01 40000 19679 19678,19 −22,82413155146 0,9832846928523 −0,01 40000 19962 19961,18 −23,86328440456 0,9983792307824 −0,01 40000 20233 20232,12 −25,01165341728 0,9991457839225 −0,01 40000 20493 20492,00 −26,08188446072 0,9878261166226 −0,01 40000 20743 20741,69 −27,15003920503 0,9837077646027 −0,01 40000 20983 20981,95 −28,24298008993 0,9755892288628 −0,01 40000 21215 21213,47 −29,34492423095 0,9671863489029 −0,01 40000 21438 21436,87 −30,45576098347 0,97317805949

13 / 29

Grados pequenos

Sin contar el caso trivial de ζ1,2(s):

Proposicion

La funcion ζ0,2(s) tiene ceros simples, alineados en σ = 0.

Proposicion

La funcion ζ−1,2(s) tiene ceros simples, alineados en σ = −1.

14 / 29

6995 primeros ceros de ζ1,3(s):

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

-1 -0.5 0 0.5

15 / 29

Ceros modulo 2πi/log(3) et 2πi/log(2):

1 + 2 · 3−σ cos(log(3)τ

)+ 9−σ = 4−σ 1 + 2 · 2−σ cos

(log(2)τ

)+ 4−σ = 9−σ

0

1

2

3

4

5

-1 -0.5 0 0.5 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1 -0.5 0 0.5

periodo 2πi/ log(3) periodo 2πi/ log(2)

16 / 29

Borwein et al., 2007

Los ceros de ζ1,3(s) son simples, y son los puntos de interseccion de lascurvas

1 + 2 · 3−σ cos(log(3)τ

)+ 9−σ = 4−σ, (1)

1 + 2 · 2−σ cos(log(2)τ

)+ 4−σ = 9−σ, (2)

tales que sin(log(3)τ

)sin(log(2)τ

)< 0.

Los ceros de ζ1,3(s) modulo 2π/ log(3) son densos en la curva (1),[0, 2π/ log(3)

], y los ceros de ζ1,3(s) modulo 2π/ log(2) son densos en la

curva (2),[0, 2π/ log(2)

].

En particular, las partes reales de los ceros de ζ1,3(s) son densas en enintervalo [−1, α3], donde α3 es la raız real de 1− 2−σ − 3−σ = 0.

17 / 29

Borwein et al., 2007

Los ceros de ζ1,3(s) son simples, y son los puntos de interseccion de lascurvas

1 + 2 · 3−σ cos(log(3)τ

)+ 9−σ = 4−σ, (1)

1 + 2 · 2−σ cos(log(2)τ

)+ 4−σ = 9−σ, (2)

tales que sin(log(3)τ

)sin(log(2)τ

)< 0.

Los ceros de ζ1,3(s) modulo 2π/ log(3) son densos en la curva (1),[0, 2π/ log(3)

], y los ceros de ζ1,3(s) modulo 2π/ log(2) son densos en la

curva (2),[0, 2π/ log(2)

].

En particular, las partes reales de los ceros de ζ1,3(s) son densas en enintervalo [−1, α3], donde α3 es la raız real de 1− 2−σ − 3−σ = 0.

17 / 29

Borwein et al., 2007

Los ceros de ζ1,3(s) son simples, y son los puntos de interseccion de lascurvas

1 + 2 · 3−σ cos(log(3)τ

)+ 9−σ = 4−σ, (1)

1 + 2 · 2−σ cos(log(2)τ

)+ 4−σ = 9−σ, (2)

tales que sin(log(3)τ

)sin(log(2)τ

)< 0.

Los ceros de ζ1,3(s) modulo 2π/ log(3) son densos en la curva (1),[0, 2π/ log(3)

], y los ceros de ζ1,3(s) modulo 2π/ log(2) son densos en la

curva (2),[0, 2π/ log(2)

].

En particular, las partes reales de los ceros de ζ1,3(s) son densas en enintervalo [−1, α3], donde α3 es la raız real de 1− 2−σ − 3−σ = 0.

17 / 29

Borwein et al., 2007

Fijados primos distintos p, q, los ceros de una funcion

ζN,p,q(s) =N∑

n=1

cnqs,

tal que cn 6= 0⇒ n = paqb, modulo

2πi/ log(peqf ),

e, f enteros, (e, f ) = 1, se encuentran sobre el periodo de una curva.

18 / 29

8826 primeros ceros de ζ1,4(s) modulo 2πi/ log(18):

0

0.5

1

1.5

2

-1 -0.5 0 0.5

19 / 29

8827 primeros ceros de ζ0,4(s)

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

-1 -0.5 0 0.5

20 / 29

38424 primeros ceros de ζ0,5(s)

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

21 / 29

38424 primeros ceros de ζ5(s) modulo 2πi/ log(5)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

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El ınfumo de las partes reales de los ceros

Proposicion (Borwein et al.)

Para p primo, ϕ1,p = βp.

Sea

β±n = ınf{σ ∈ R |

n∑k=1

χ(k)k−σ = 0, χ(n) = ±1,

χ completement multiplicative}

Entoncesβn ≤ ϕ1,n ≤ β±n ,

obteniendo la igualdad cuando n es primo.

23 / 29

n βn β±n

3 −1,00000000000 −1,000000000004 −1,73050735785 −1,000000000005 −2,42601276437 −2,426012764376 −3,11889573370 −2,886512992827 −3,81199945847 −3,811999458478 −4,50517303923 −4,382833325659 −5,19834674857 −5,01591930200

10 −5,89151571832 −5,7076010879011 −6,58468129611 −6,5846812961112 −7,27784427970 −7,1971229756213 −7,97100516989 −7,9710051698914 −8,66416434483 −8,6292286129015 −9,35732210038 −9,2986374257916 −10,05047866998 −9,9951175751617 −10,74363423961 −10,7436342396118 −11,43678895896 −11,4128566160519 −12,12994294967 −12,1299429496720 −12,82309631154 −12,7914708105421 −13,51624912709 −13,4265490221022 −14,20940146517 −14,2082453000623 −14,90255338361 −14,9025533836124 −15,59570493131 −15,5740243411025 −16,28885614993 −16,2691918813126 −16,98200707514 −16,9818070777427 −17,67515773765 −17,6533214094128 −18,36830816406 −18,2218858819829 −19,06145837751 −19,06145837751

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El ınfumo de las partes reales de los ceros

Proposicion (Balazard y Velasquez, 2009)

lımn→∞

ϕ1,n

n= − ln(2).

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3575 Zeros de ζ1,277(s): σ > −20 , 0 < τ < 4000

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

-20 -15 -10 -5 0

26 / 29

2580 zeros de ζ0,250(s): σ > −6 , 0 ≤ τ < 3000

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0

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Perspectiva de calculos

Calculo intensivo de todos ceros para n pequeno

Estudio de distribucion de los ceros en curvas (bases de Grobner).

Calculo de ceros especiales (algoritmo LLL)

Revision de metodos de calculo de ceros y aplicacion a otros tipos defunciones (series de potencias en general).

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Gracias

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