Análisis de Imágenes Digitales - CINVESTAVwgomez/diapositivas/AID/Clase01.pdfEl análisis de...

Análisis de Imágenes Digitales

Conceptos básicos

Dr. Wilfrido Gómez Flores

Introducción

Análisis de imágenes digitales � Una computadora o dispositivo

electrónico obtiene automáticamente información útil a partir de una

imagen digital para una aplicación especí�ca

Problemas comúnmente abordados:

Reconocimiento de objetos

Segmentación de imágenes

Detección de movimiento

Seguimiento de objetos

Estimación de la pose

1/39 Conceptos básicos AID-01

Introducción


Introducción

Etapas básicas para el reconocimiento de objetos.


Introducción

Di�cultades

El análisis de imágenes es un problema inverso � recuperar informa-

ción desconocida a partir de datos incompletos o contaminados:

Pérdida de información al pasar de 3D a 2D

Ruido inherente en cada medición del mundo real

Iluminación del ambiente

Gran variabilidad de los objetos

Visión local versus visión global

Cantidad masiva de datos para procesar


Formación de imágenes

Ejemplo de adquisición de una imagen digital (Gonzalez and Woods, 2018).



Una imagen f(x, y) se puede modelar como el producto de dos com-

ponentes:

f(x, y) = i(x, y) · r(x, y) (1)

donde 0 < i(x, y) < ∞ es la componente de iluminación (cantidad

de luz incidente) y 0 < r(x, y) < 1 es la componente de re�ectancia

(cantidad de luz re�ejada).



Fuentes de energía: (a) tomografía por emisión de positrones (Rayos-γ), (b) ra-diografía (Rayos-x), (c) ultrasonido (ondas sonoras), y (d) resonancia magnética(radiofrecuencia).


Muestreo y cuanti�cación(a) (b)

Muestreo140

160

180

200

220

240

260(c)

Cuantificacio

n

1

2

3

4

5

6

7

8(d)

(a) Imagen continua. (b) Una línea de escaneo muestra las variaciones de inten-sidad a lo largo de la línea AB en la imagen continua. (c) Muestreo y cuanti�-cación. (d) Línea escaneada digitalizada.


Muestreo y cuanti�cación

(a) (b)

La resolución es el grado de detalle discernible en una imagen: (a) imagen con-tinua proyectada sobre un arreglo de sensores y (b) resultado del muestreo ycuanti�cación.


Imagen digital

Imagen digital � función de intensidad denotada como f(x, y),

donde x e y son coordenadas espaciales:

f(x, y) =

f(0, 0) f(0, 2) · · · f(0,M − 1)

f(1, 0) f(1, 1) · · · f(1,M − 1)...

.... . .

...

f(N − 1, 0) f(N − 1, 1) · · · f(N − 1,M − 1)

(2)

donde M y N son el ancho y alto de la imagen, respectivamente.

El valor de f(x, y) se denomina nivel de intensidad o nivel de gris:

fmın ≤ f(x, y) ≤ fmax (3)

donde el intervalo [fmın, fmax] se denomina rango dinámico.


Imagen digital

0 64 128 191 255

0

64

128

191

255

0 64 128 191 255

Una imagen digital es una matriz de tamaño M ×N donde a cada punto (x, y)le corresponde un valor en el rango [fmın, fmax]. Cada elemento de la imagen sedenomina píxel (picture element).


Operaciones entre píxeles

Operaciones aritméticas entre píxeles. Las imágenes f(x, y) y g(x, y), así comolas imágenes resultantes s, d, p y v son del mismo tamaño.

Operación Expresión Aplicación

Adición s(x, y) = f(x, y) + g(x, y) Reducir ruido

Sustracción d(x, y) = f(x, y)− g(x, y) Detectar cambios

Producto p(x, y) = f(x, y)× g(x, y) Enmascaramiento

División v(x, y) = f(x, y)÷ g(x, y) Corregir sombreado



(a) (b)

(c) (d)

Adición de imágenes (promediado) para reducción de ruido. (a) Imagen ruidosade la Galaxia Sombrero. (b)�(d) Resultado del promediado de 10, 100 y 1000imágenes ruidosas.



(a) (b) (c)

Sustracción de imágenes para detección de cambios. (a) Imagen de angiografíamáscara. (b) Imagen de un frame de video. (c) Diferencia entre (a) y (b) dondedetectan vasos sanguíneos.



(a) (b) (c)

Multiplicación de imágenes para enmascaramiento. (a) Imagen de ultrasonido demama. (b) Región de interés para aislar el tumor. (c) Producto de (a) y (b).



División de imágenes para corrección de sombreado. (a) Imagen con sombreado.(b) Patrón de sombreado estimado. (c) División de (a) y (b).



(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Operaciones lógicas: (a) conjunto A, (b) conjunto B, (c) complemento de A(Ac), (d) intersección de A y B (A ∩ B), (e) unión de A y B (A ∪ B), y(f) or-exclusiva de A y B.



Imagen original

0 64 128 191 255

Intensidad de entrada

0

64

128

191

255

Inte

nsid

ad

de

sa

lid

a

Función de transformacion Imagen negativo

Operación de un solo píxel: el valor de salida del píxel p con coordenadas (x, y)dependerá únicamente de su valor de entrada en la misma coordenada.



Imagen ruidosa Imagen suavizada Deteccion de bordes

Operación de vecinos: el valor de salida del píxel p con coordenadas (x, y) de-penderá de los valores de entrada de sus n vecinos circundantes.


Relaciones entre píxeles

Vecindario de un píxel p con coordenadas (x, y):

Vecinos horizontales y verticales:

N4(p) = {(x− 1, y), (x, y − 1), (x + 1, y), (x, y + 1)}

Vecinos diagonales:

ND(p) = {(x− 1, y − 1), (x + 1, y − 1), (x + 1, y + 1), (x− 1, y + 1)}

Ocho vecinos:

N8(p) = {N4(p), N8(p)}



Vecindario del píxel p con coordenadas (x, y).



Sea V un conjunto de valores de intensidad usado para de�nir tres

tipos de adyacencia:

4-adyacencia � Dos píxeles p y q tienen valores en V y

q ∈ N4(p)

8-adyacencia � Dos píxeles p y q tienen valores en V y

q ∈ N8(p)

m-adyacencia � Dos píxeles p y q tienen valores en V y

(a) q ∈ N4(p), ó

(b) q ∈ ND(p) y el conjunto N4(p) ∩N4(q) = ∅



(a) Un arreglo de píxeles con valores en V = {1}. (b) Píxeles que son 8-adyacentes (líneas punteadas). (c) La m-adyacencia elimina ambigüedades deque surgen en 8-adyacencia.



Un camino desde p con coordenadas (x0, y0) hasta q con coorde-

nadas (xn, yn) es una secuencia de píxeles con coordenadas

(x0, y0), (x1, y1), . . . , (xn, yn)

donde (xi, yi) y (xi−1, yi−1) son adyacentes para 1 ≤ i ≤ n.

Dos píxeles p y q de un subconjunto S están conectados si existe

un camino entre ellos que consista totalmente de píxeles de S.

Para cualquier píxel p ∈ S, el conjunto de píxeles de S conectados

a p se denomina componente conexa de S.

Dos regiones Ri y Rj son adyacentes si Ri ∪ Rj es un conjunto

conexo. Regiones no adyacentes son disjuntas.



(a) (b)

Supónga una imagen con K regiones disjuntas, Rk, k = 1, 2, . . . ,K. Sea Ru launión de las K regiones y (Ru)

c su complemento. Entonces, los puntos en Ru

representan el (a) primer plano y los puntos de (Ru)c representan el (b) fondo.


Contorno de una región

(a) (b)

El contorno de una región conexa es el conjunto de píxeles que tienen al menosun píxel vecino que corresponde al fondo en en 4- ó 8-adyacencia.



Algoritmo para el seguimiento del contorno en N4:

1. De�nir código de posiciones en N4: ↑= 0,→= 1, ↓= 2,←= 3.

2. Buscar el primer píxel (p0 = pi) de la región conexa a partir de

la esquina superior izquierda de la imagen.

3. Inicializar una variable d = 0.

4. Determinar en N4(pi) el inicio de la búsqueda en la posición del

vecino q = (d + 3) mod 4.

5. A partir del vecino q buscar en sentido horario el primer píxel con

valor 1, el cual es el nuevo elemento pi del contorno y actualizar

el valor de d con el código de su posición.

6. Si el píxel actual pi es igual al punto inicial del borde p0 entonces

terminar el algoritmo; en caso contrario, regresar al Paso 4.


Relaciones de equivalencia

Sea aRb la notación para indicar una relación binaria entre un par

de puntos a y b que pertenecen a un conjunto A.

Una relación de equivalencia sobre un conjunto A debe ser:

1. re�exiva, si para a ∈ A, aRa;2. simétrica, si para (a, b) ∈ A, aRb implica bRa; y3. transitiva, si para (a, b, c) ∈ A, aRb y bRc implica aRc.

Un conjunto A = {p1, p2, p3, p4}, cu-

ya relación binaria en 4-conectividad es

p1Rp2, p2Rp1, p1Rp3, p3Rp1, y p4 no

está relacionado con ningún punto.



Sea S = {(a, a), (a, b), (b, d), (c, e), (d, b)} un conjunto de relaciónde símbolos expresado en la matriz binaria

B =

a b c d e

a 1 1 0 0 0

b 0 0 0 1 0

c 0 0 0 0 1

d 0 1 0 0 0

e 0 0 0 0 0

De acuerdo con la propiedad transitiva aRb ∈ S y bRd ∈ S, pero

aRd /∈ S, de modo que al conjunto de relaciones implícitas se

denomina clausura transitiva.



Input: matriz B, número de símbolos n

Output: matriz de clausura transitiva B+

1 B+ ← B2 for (k = 1; k ≤ n; k + +) do3 for (i = 1; i ≤ n; i + +) do4 for (j = 1; j ≤ n; j + +) do5 B+[i, j]← B+[i, j] ∪ (B+[i, k] ∩B+[k, j])

Algoritmo de Warshall para encontrar clausura transitiva.a

aA theorem on boolean matrices. Journal of the ACM (1962) 9(1): 11�12.



Aplicando el algoritmo de Warshall a la relación de símbolos en S se

obtiene la matriz de clausura transitiva B+

B =

a b c d e

a 1 1 0 0 0

b 0 0 0 1 0

c 0 0 0 0 1

d 0 1 0 0 0

e 0 0 0 0 0

→ B+ =

a b c d e

a 1 1 0 1 0

b 0 1 0 1 0

c 0 0 0 0 1

d 0 1 0 1 0

e 0 0 0 0 0

y el conjunto de clausura transitiva es

S+ = {(a, a), (a, b), (a, d), (b, b), (b, d), (c, e), (d, b), (d, d)}


Etiquetado de regiones conexas

El etiquetado asigna una etiqueta única a cada componente conexa

en una imagen basado en relaciones de equivalencia.

El algoritmo de Rosenfeld y Pfaltza realiza tres pasos:

1. Propagación de etiquetas

2. Encontrar clases de equivalencias

3. Asignar etiquetas usando clases de equivalencias

La propagación de etiquetas se de�ne para N4(x):

aSequential operations in digital picture processing. Journal of the ACM (1966) 13(4): 471�494.



1 for (i = 1; i ≤ N− 1; i + +) do

2 for (j = 1; j ≤ M− 1; j + +) do

3 if I[i, j] == 1 then

4 lp← I[i− 1, j]5 lq← I[i, j− 1]6 if lp == 0 ∧ lq == 0 then

7 Etiqueta + +8 lx← Etiqueta

9 else if (lp != lq) ∧ (lp != 0) ∧ (lq != 0) then

10 Registrar equivalencia (lp, lq)11 lx← lq

12 else if lq != 0 then lx← lq

13 else if lp != 0 then lx← lp

14 I[i, j]← lx

Propagación de etiquetas para una imagen I de tamaño M× N. lp, lq y lx sonetiquetas asignadas a p, q y x, respectivamente. Al inicio, Etiqueta← 0.



(a) (b)

(a) Imagen binaria y (b) etiquetas propagadas. Cada color representa una etiquetadiferente. Nótese que una región conexa contiene varias etiquetas.



Generar la matriz binaria B de relaciones de equivalencia, asegu-

rando las propiedades de simetría y re�exividad:

B = B0 ∪BT0 ∪ In (4)

donde B0 es la matriz de equivalencias original, T denota trans-

puesta, e In es una matriz identidad de tamaño n× n.

Obtener la matriz B+ con algoritmo de Warshall.

De�nir clases de equivalencia: si B+(i, j) = 1, entonces el símbolo

asociado en j se le asigna el símbolo asociado en i.

Dar una segunda pasada a la imagen con etiquetas propagadas

reemplazando cada etiqueta por aquella asignada a su clase de

equivalencia.



(a) (b)

(a) Imagen binaria y (b) etiquetado con algoritmo de Rosenfeld y Pfaltz. Cadacolor representa una etiqueta diferente para cada componente conexa.


Medidas de distancia

Sean p, q y s píxeles con coordenadas (x, y), (u, v) y (w, z), res-

pectivamente; D es una función de distancia o métrica si

1. D(p, q) ≥ 0 (D(p, q) = 0 si y solo si p = q)

2. D(p, q) = D(q, p)

3. D(p, s) ≤ D(p, q) + D(q, s)

Medidas de distancias entre píxeles:

1. Distancia Euclidiana: De(p, q) =[(x− u)2 + (y − v)2

]1/2

2. Distancia city-block : D4(p, q) = |x− u|+ |y − v|3. Distancia chessboard : D8(p, q) = max (|x− u| , |y − v|)


Medidas de distancia

12

11

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(a)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

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(b)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0

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4

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3

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3

3

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6

6

6

6

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(c)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0

1

2

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Patrones de distancia: (a) city-block (rombo), (b) Euclidiana (circular), y(c) chessboard (cuadrado).


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