ANÁLISIS DE CONVERSIÓN Y TRATAMIENTO PARA LA RESOLUCIÓN DE...

ANÁLISIS DE CONVERSIÓN Y TRATAMIENTO PARA LA RESOLUCIÓN DE

ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA.

FRAN HEYDERMAN ESTUPIÑAN SINISTERRA

Cód: 1249909-3469

MILADY OROBIO VALLECILLA

Cód: 1252796-3469

UNIVERSIDAD DEL VALLE

INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA

ÁREA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA

LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS

2017

ANÁLISIS DE CONVERSIÓN Y TRATAMIENTO PARA LA RESOLUCIÓN DE

ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

TRABAJO DE GRADO COMO REQUISITO PARA OPTAR TÍTULO DE:

LICENCIADO EN EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS

FRAN HEYDERMAN ESTUPIÑAN SINISTERRA

Cód. 1249909-3469

MILADY OROBIO VALLECILLA

Cód. 1252796-3469

DIRECTORES:

DIANA MARCELA LOURIDO GUERRERO

ANDREA QUIÑONEZ RODRIGUEZ

UNIVERSIDAD DEL VALLE

INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA

ÁREA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA

LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS

2017

AGRADECIMIENTOS

Primero, gracias a Dios por darme la vida y por haber permitido tener la oportunidad de vivir esta

experiencia.

A mi madre Carmen Tulia Sinisterra Murillo y mi padre Robinson Estupiñán Riascos por toda la

confianza y esfuerzo que han depositado en mí, por hacerme crecer cada día como persona, estoy seguro

que no me alcanzaría la vida para agradecerles todo lo que han hecho.

A mis hermanos y familiares por su apoyo incondicional.

A mi novia por la confianza que tiene en mí y por las incesantes noches en que me acompañó para el

desarrollo de este trabajo.

Al profesor José Francisco Vallecilla por su entrega, porque desde los primeros cursos me enseñó para

la vida, es mi segundo padre.

A las profesoras Diana Marcela Lourido y Andrea Quiñonez Rodríguez mi maestra, mi sensei por creer

en este trabajo y hacer de él un trabajo completo.

A los miembros de la institución educativa Francisco José de Caldas por su colaboración en el

desarrollo de este trabajo.

A mis amigos y compañeros que han creído en mí y que estuvieron siempre ahí cuando sentía alguna

adversidad

Fran Heyderman Estupiñan Sinisterra.

AGRADECIMIENTOS

Ante todo quiero agradecerle a Dios, por darme el maravilloso don de la vida.

En segundo lugar a mis padres Hubermán Orobio y Cenovia Vallecilla, por su apoyo incondicional, por

creer en mi desde los inicios de mis estudios.

A mis hijos Loidy Valeria y Maicol Efrén, por ser el motor de mi vida y por darme las fuerzas necesarias

que me impulsan a superarme cada día.

A mis hermanos por estar siempre en mi vida cuando más los he necesitado y darme ánimos para seguir

a delante y no mirar hacia atrás.

A mis compañeros, porque pude compartir con cada uno de ellos y aprender algo diferente y

experimentar el amplio mundo de las matemáticas, en especial a Fran Heyderman Estupiñan por siempre

recordarme que podía ser mejor.

A todos los profesores que nos acompañaron a lo largo de toda nuestra formación académica, a la

profesora Diana Lourido, a nuestra tutora Andrea Quiñones por haberse comprometido con nuestro

trabajo y tener un producto terminado.

Por último quiero agradecerles a todas esas personas que me acompañaron de forma presente y ausente

y que se sintieron alagadas cuando les decía que, estaba estudiando para ser docente de matemáticas.

Milady Orobio Vallecilla

FICHA GENERAL DEL TRABAJO

Título del trabajo de grado Análisis de conversión y tratamiento para la resolución de

ecuaciones lineales con una incógnita.

Nombres y apellidos de los

autores

1. Fran Heyderman Estupiñán Sinisterra.

2. Milady Orobio Vallecilla.

Correo electrónico 1. [email protected]

2. [email protected]

Linea de investigación Lenguaje, comunicación y razonamiento del conocimiento

matemático.

Director de trabajo de

grado

Andrea Rodríguez Quiñonez.

Diana Marcela Lourido Guerrero.

Resumen analítico

El presente trabajo presenta un análisis de las estrategias que

utilizan los estudiantes para resolver ecuaciones lineales con una

incógnita. Para dicho análisis se toman los trabajos

desarrollados por Duval (2004) donde enuncia que la

“adquisición” de conocimiento a través de registro de

representación semiótica. El trabajo se centra de forma

específica en las conversiones y los tratamientos teniendo en

cuenta los criterios de congruencia y cada una de las unidades

significantes de los registros: lengua natural, algebraico y

geométrico.

El trabajo se realizó con estudiantes de grado noveno de la

institución educativa Francisco José de Caldas a los cuales se les

aplicó dos pruebas que fueron seleccionadas de secuencias

didácticas diseñadas por Azañero (2013) y de los libros de texto

escolar símbolos (2006) y Espiral (2005). Los resultados

encontrados permitieron identificar que en el cambio de registro

se presentan algunas dificultades en la compresión de las

ecuaciones lineales debido a la no discriminación de las

unidades elementales de cada registro.

Palabras claves: Ecuación lineal, tratamiento, conversión,

unidades apofánticas y elementales, criterios de congruencia y

coordinación.

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

CONTENIDO

RESUMEN..................................................................................................................................... 1

CAPÍTULO 1. ASPECTOS GENERALES DEL TRABAJO .................................................. 5

1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA .......................................................................... 5

1.2 ANTECEDENTES ............................................................................................................ 10

1.3 JUSTIFICACIÓN ............................................................................................................. 15

1.4. OBJETIVOS ..................................................................................................................... 27

1.4.1 OBJETIVO GENERAL ................................................................................................ 27

1.4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ....................................................................................... 27

CAPÍTULO 2. MARCO DE REFERENCIA CONCEPTUAL .............................................. 28

2.1. ASPECTOS DISCIPLINARES ...................................................................................... 28

2.2 REGISTROS DE REPRESENTACIÓN SEMIÓTICA ................................................ 33

CAPÍTULO 3. ASPECTOS METODOLÓGICOS ................................................................. 58

3.4 CRONOGRAMA .............................................................................................................. 62

CAPÍTULO 4.ANÁLISIS DE LAS ACTIVIDADES .............................................................. 63

4.1 ACTIVIDAD 1 ................................................................................................................... 63

4.2 ACTIVIDAD 2 ................................................................................................................... 99

CAPÍTULO 5. CONSIDERACIONES FINALES ................................................................. 146

5.1. CONCLUSIONES .......................................................................................................... 146

5.2. RECOMENDACIONES: .............................................................................................. 149

6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................ 151

ANEXOS .................................................................................................................................... 154

INDICE DE TABLAS

Tabla 1. Distribución porcentual de estudiantes según niveles de desempeño en la francisco josé de caldas b/tura.

Matemáticas - noveno grado............................................................................................................................... 21

Tabla 2. Comparación entre la distribución porcentual de estudiantes según niveles de desempeño en el

establecimiento educativo, la entidad territorial certificada a la que pertenece y el país. Matemáticas - noveno

grado. .................................................................................................................................................................. 22

Tabla 3. Fortalezas y debilidades en las competencias evaluadas en matemáticas en la ie francisco josé de caldas,

noveno grado. ..................................................................................................................................................... 23

Tabla 4. Puntaje promedio y desviación estándar del establecimiento educativo, la entidad territorial certificada a

la que pertenece, el país y los tipos de establecimientos de dicha entidad territorial. Matemáticas - noveno

grado. .................................................................................................................................................................. 24

Tabla 5. Fortalezas y debilidades de los componentes evaluados en matemáticas en la ie francisco josé de caldas,

noveno grado. ..................................................................................................................................................... 24

Tabla 6. Ejemplo de las transformaciones de las presentaciones semióticas que se pueden realizar en matemáticas.

............................................................................................................................................................................ 48

Tabla 7.clasificación de los diferentes tipos de registros movilizados en matemáticas. (duval, 2004b, p.52) ............ 49

Tabla 8. Operaciones de la función referencial y sus formas asociadas (duval, 2004, p. 100). ................................. 52

Tabla 9. Formas asociadas a la función de expansión discursiva (duval, 2004, p.119) ............................................. 56

Tabla 10. Formato de rejilla para el análisis de los enunciados. Pontón (2012). ...................................................... 60

Tabla 11. Formato de rejilla para el análisis de los aspectos semiótico y disciplinares. ........................................... 61

Tabla 12. Rejilla para el análisis de las producciones creada por los estudiantes. .................................................... 61

Tabla 13. Cronograma de actividades ........................................................................................................................ 62

Tabla 14. Segmentación del enunciado 1. ................................................................................................................... 64

Tabla 15. Segmentación de la pregunta 1.a. ............................................................................................................... 65

Tabla 16.segmentación de la pregunta 1.b. ................................................................................................................. 66

Tabla 17. Operaciones cognitivas desarrolladas en las preguntas 1.a y 1.b. ............................................................. 67

Tabla 18. Actividades cognitivas desarrolladas por los estudiantes a la actividad. 1, preguntas 1.a, 1.b. ................ 69

Tabla 19. Segmentación de la pregunta 1.c actividad 1. ............................................................................................. 72

Tabla 20. Segmentación de la pregunta 1.d. Actividad 1. ........................................................................................... 73

Tabla 21. Segmentación de la pregunta 1.e. Actividad 1. ........................................................................................... 74

Tabla 22. Segmentación de la pregunta 1.f. Actividad 1. ............................................................................................ 75

Tabla 23. Operaciones cognitivas desarrolladas en las preguntas 1.c, 1.d, 1.e y 1.f. ................................................. 77

Tabla 24. Operaciones cognitivas desarrolladas a los preguntas 1.c, 1.d, 1.f y 1.e actividad 1. ............................... 80

Tabla 25. Segmentación del enunciado 2. ................................................................................................................... 83

Tabla 26. Segmentación de la pregunta 2.a. Actividad 1. ........................................................................................... 84

Tabla 27. Operaciones cognitivas desarrolladas en la pregunta 2.a .......................................................................... 86

Tabla 28. Operaciones cognitivas desarrolladas por los estudiantes a la pregunta 2.a. Actividad 2. ........................ 88

Tabla 29. Segmentación del enunciado 3. Actividad 1. ............................................................................................... 90

Tabla 30. Segmentación de la pregunta 3.a. Actividad 1. ........................................................................................... 91

Tabla 31. Segmentación de la pregunta 3.b. Actividad 1. ........................................................................................... 91

Tabla 32.segmentación de la pregunta 3.b. Actividad 1. ............................................................................................. 92

Tabla 33. Operaciones cognitivas desarrolladas a las preguntas 3.a, 3.b, 3.c. Actividad 1. ...................................... 93

Tabla 34.operaciones cognitivas de las preguntas 3.a, 3.b y 3.c desarrollada por los estudiantes. Actividad 1. ....... 97

Tabla 35. Segmentación del enunciado 1. Actividad 2. ............................................................................................. 100

Tabla 36. Segmentación de la pregunta 1.a. Actividad 2. ......................................................................................... 101

Tabla 37. Segmentación de la pregunta 1.b. Actividad 2. ......................................................................................... 102

Tabla 38. Segmentación de la pregunta 1.c. Actividad 2. ......................................................................................... 103

Tabla 39. Operaciones cognitivas desarrolladas a las preguntas 1.a, 1.b, 1.c. Actividad 2. .................................... 104

Tabla 40. Actividades cognitivas desarrolladas por los estudiantes a la pregunta 1.a. Actividad 2. ....................... 107

Tabla 41.actividades cognitivas desarrolladas por los estudiantes a la pregunta 1.b. Actividad 2. ......................... 109

Tabla 42. Operaciones cognitivas desarrolladas por los estudiantes a la pregunta 1.c. Actividad 2. ...................... 112


Tabla 44. Operaciones cognitivas desarrolladas en las preguntas 2.a, 2.b, 2.c. Actividad 2. .................................. 114

Tabla 45. Operaciones cognitivas desarrolladas por los estudiantes al problema 2.a. Actividad 2. ........................ 118

Tabla 46. Operaciones cognitivas desarrolladas por los estudiantes a la pregunta 2.b. Actividad 2. ...................... 121

Tabla 47. Operaciones cognitivas desarrolladas por los estudiantes a la pregunta 2.c. Actividad 2. ...................... 123


Tabla 49.operaciones cognitivas desarrolladas a los problemas 3.a, 3.b. Actividad 2. ............................................ 128

Tabla 50. Operaciones cognitivas desarrolladas por los estudiantes al problema 3.a. Actividad 2. ........................ 131

Tabla 51. Operaciones cognitivas desarrollada por los estudiantes a la pregunta 3.b. Actividad 2. ....................... 133


Tabla 53. Segmentación del problema 4.a. Actividad 2. ........................................................................................... 135

Tabla 54. Operaciones cognitivas desarrolladas a la pregunta 4.a. Actividad 2. ..................................................... 137

Tabla 55. Operaciones cognitivas desarrolladas por los estudiantes a la pregunta 4.a. Actividad 2. ..................... 140

Tabla 56. Segmentación del problema 4.b. Actividad 2. ........................................................................................... 141

Tabla 57. Operaciones cognitivas desarrolladas a la pregunta 4.b. Actividad 2. ..................................................... 142

Tabla 58. Operaciones cognitivas desarrolla por los estudiantes al problema 4.b. Actividad 2. ............................. 144

ÍNDICE DE ILUSTRACIONES

Ilustración 1. Diagrama conceptual de las expresiones algebraicas, los polinomios y las ecuaciones. ..................... 32

Ilustración 2. Esquema general de los tratamientos en matemáticas. ......................................................................... 41

Ilustración 3.diferentes tipos de actividad cognitiva en las matemáticas. Duval (2002b, p.54) ................................. 48

Ilustración 4. Pregunta 1. Actividad 1 ......................................................................................................................... 63

Ilustración 5. Respuesta de estudiante que responde la pregunta 1.b según azañero (2013). .................................... 72

Ilustración 6. Conversión de la pregunta 1.c. ............................................................................................................. 77

Ilustración 7. Problema 2, actividad 1. ....................................................................................................................... 82

Ilustración 8. Pregunta 3. Actividad 1 ......................................................................................................................... 89

Ilustración 9.no congruencia por el orden de unidades significantes. ........................................................................ 94

Ilustración 10. Pregunta 1. Actividad 2. ...................................................................................................................... 99

Ilustración 11. Orden de arreglo entre las unidades elementales del problema 1.a. Actividad 2. ............................ 105

Ilustración 12. Orden de arreglo de las unidades elementales de la pregunta 1.b. Actividad 2. .............................. 105

Ilustración 13. Orden de arreglo de las unidades elementales de la pregunta 1.c. Actividad 2. .............................. 105

Ilustración 14. Orden de arreglo de las unidades elementales del problema 2.a. Actividad 2. ................................ 115

Ilustración 15. Orden de arreglo de las unidades elementales del problema 2.b. Actividad 2. ................................ 115

Ilustración 16. Orden de arreglo de las unidades elementales del problema 2.c. Actividad 2. ................................ 115

Ilustración 17. Orden de arreglo de las unidades elementales del problema 2.d. Actividad 2. ................................ 116

Ilustración 18. Posible solución a la pregunta 2. B. Actividad 2. ............................................................................. 121

Ilustración 19.orden de arreglo de las unidades elementales en la pregunta 3.a. Actividad 2. ................................ 129

Ilustración 20. Orden de arreglo de las unidades elementales de la pregunta 3.b. Actividad 2. .............................. 129

Ilustración 21. Orden de arreglo de las unidades elementales del problema 4.a. Actividad 2. ................................ 137

Ilustración 22. Orden de arreglo de las unidades elementales del problema 4.b. Actividad 2. ................................ 143

Ilustración 23. Estudiante resolviendo la actividad 1 .............................................................................................. 157

Ilustración 24. Estudiante resolviendo la actividad 1. .............................................................................................. 157



1

RESUMEN

El presente trabajo presenta un análisis de las estrategias que utilizan los estudiantes para

resolver ecuaciones lineales con una incógnita. Para dicho análisis se toman los trabajos

desarrollados por Duval (2004) donde enuncia que la “adquisición” de conocimiento a través de

registro de representación semiótica. El trabajo se centra de forma específica en las conversiones

y los tratamientos teniendo en cuenta los criterios de congruencia y cada una de las unidades

significantes de los registros: lengua natural, algebraico y geométrico.

El trabajo se realizó con estudiantes de grado noveno de la institución educativa

Francisco José de Caldas a los cuales se les aplicó dos pruebas que fueron seleccionadas de

secuencias didácticas diseñadas por Azañero (2013) y de los libros de texto escolar símbolos

(2006) y Espiral (2005). Los resultados encontrados permitieron identificar que en el cambio de

registro se presentan algunas dificultades en la compresión de las ecuaciones lineales debido a la

no discriminación de las unidades elementales de cada registro.

Palabras claves: Ecuación lineal, tratamiento, conversión, unidades apofánticas y elementales,

criterios de congruencia y coordinación.

2

INTRODUCCIÓN

A partir de diferentes investigaciones diseñadas a luz de la comprensión de los objetos

matemáticos se enmarca la teoría semiótica-cognitiva, donde se manifiesta que no es posible

acceder a la comprensión de un objeto matemático sin el uso ineludible de una representación.

En muchos contextos de enseñanza es muy común ver que cuando se inician procesos

algebraicos, se utilizan métodos que provienen del pensamiento aritmético y dichas expresiones

genera no comprensión de nuevos objetos matemáticos como por ejemplo las ecuaciones lineales

con una incógnita como menciona Castellanos y Obando (2009), por ello, se presenta la siguiente

investigación la cual indaga sobre los procesos que utilizan los estudiantes para resolver

ecuaciones lineales desde la perspectiva semiótica cognitiva. Ante ello, se hace una investigación

cuyo producto se presenta en cinco capítulos los cuales se presentan a continuación:

El capítulo 1 muestra una descripción de los aspectos generales de la investigación, las

características del funcionamiento cognitivo en el aprendizaje de las matemáticas y puntualmente

del aprendizaje del álgebra, particularmente se puntualiza la dificultad evidenciada en cuanto al

signo y el sentido del aprendizaje de las ecuaciones lineales donde la teoría semiótica-cognitiva

contribuye como mediadora para identificar los elementos que permiten la compresión del objeto

matemático en cuestión. Por otra parte, se presentan algunos estudios en relación al concepto de

estudio y los errores de la perspectiva semiótica-cognitiva por Azañero (2013), las propuestas

por Castellanos y Obando (2009) muestran un reconocimiento a las dificultades cuando se

resuelven ecuaciones lineales. Además, se aborda una reflexión teniendo en cuenta los

lineamientos curriculares propuestos por el MEN (1998) y los estándares básicos de

competencias por el MEN (2006) en torno a la actividad matemática donde se muestra la

importancia de los registros de representación semiótica en el aprendizaje de las matemáticas.

3

Luego de ello, se presentan algunos resultados de las pruebas Saber que presentan los estudiantes

de grado noveno de la Institución Educativa Francisco José de Caldas ubicada en el distrito de

Buenaventura.

En el capítulo 2 se desarrollan aspectos propios del álgebra como disciplina teniendo en

cuenta aportes de teóricos de Fraleigh (1967) donde se define las propiedades de las ecuaciones

polinómicas, en cuanto a la reflexión disciplinaria de la matemática y puntualmente de las

ecuaciones lineales, se hace un análisis de la teoría de las representaciones semióticas en el

aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas, teoría desarrollada por Duval (2002,

2004,2004b). En la descripción de este constructo teórico, se comenzó haciendo hincapié en el

concepto de representación en la historia de la Educación Matemática. Luego de ello, se esbozan

los tipos representación en el aprendizaje, seguido esto, se aborda una reflexión sobre los

registros de representación las representaciones semióticas que se desarrollan en el marco de la

actividad matemática. Seguido esto, se presentan algunas características de los registros de

representación semiótica y sus actividades cognitivas en matemáticas y específicamente en el

álgebra y algunos problemas para cambiar de registro. Por último, se definen las funciones

propias de la lengua natural y la descripción de cada una de éstas.

El desarrollo del capítulo 3 corresponde a la descripción de la metodología desarrollada

en el transcurso de la investigación. En ella, se caracterizó la población, se especificaron los

criterios para la selección de las actividades y las categorías que se desarrollaron para tener un

compendio de elementos que fueron estudiados en el análisis.

En el desarrollo del capítulo 4 concierne al análisis de las actividades se tomó en consideración

la rejilla de Pontón (2012) para segmentar las unidades apofánticas que componen un enunciado.

4

Luego de ello, se desarrolla un análisis semiótico teniendo en cuanta las operaciones cognitivas

posibles para el desarrollo de las preguntas seleccionadas, posterior a esto, se presenta los

criterios de congruencia entre los dos registro que permitieron la conversión y por último se

describe la solución que proponen los estudiante a cada uno de los ítems planteados donde se

analizaron cada una de las unidades elementales a la hora de realizar conversiones o tratamientos

bien sea el caso que proponen los estudiantes y una interpretación de las transformaciones que se

obtuvieron teniendo en cuenta los discursos de las actividades. El capítulo 5 corresponde al

planteamiento de algunas consideraciones finales en las que se abordan conclusiones

concernientes al trabajo realizado y varias recomendaciones para nuevas investigaciones

referentes a este campo de estudio.

5

CAPÍTULO 1. ASPECTOS GENERALES DEL TRABAJO

1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

La Educación Matemática como campo de investigación indaga sobre los fenómenos de

enseñanza y aprendizaje en diversos contextos educativos, describiendo como caso particular,

existe una línea de investigación que se preocupa por el aprendizaje del sujeto cuando este se

enfrenta a situaciones que involucran el uso de las matemáticas, la cual corresponde a la línea de

lenguaje y razonamiento matemático del instituto de Educación y Pedagogía de la Universidad

del Valle. Uno de los investigadores relacionados con el aprendizaje de las matemáticas tomando

en consideración el funcionamiento cognitivo es Raymond Duval el cual manifiesta que:

El funcionamiento cognitivo implicado en la adquisición de los conocimientos

matemáticos es diferente al funcionamiento implicado en el aprendizaje de las otras

ciencias por dos razones: por el uso de representaciones semiótica donde se permiten

realizar algunos tratamientos matemáticos y por otro lado que los objetos matemáticos no

son adquiridos por la percepción como lo son la mayoría de las otras disciplinas. (Duval,

1996, p.1).

De acuerdo a lo anterior, se considera que el funcionamiento cognitivo en matemáticas

puede definirse como el accionar de la mente humana cuando identifica o comprende un objeto

matemático, requiriendo para dicha identificación el uso e interpretación de diversas

representaciones semióticas propias del objeto, la diferenciación significado, significante y la

coordinación entre las representaciones. Ahora bien, estas consideraciones permiten establecer

que, los procesos de aprendizaje en las matemáticas se presentan de forma individual y son

diferentes a otras áreas del conocimiento. Por ello, es pertinente centrarse en la idea que los

6

objetos matemáticos son aprehendidos1 mediante el uso de diversas representaciones semióticas

y es particular en cada sujeto. Se trata entonces de encontrar elementos que permitan avanzar en

la hipótesis: para comprender un concepto matemático se debe identificar el objeto en varios

registros semióticos de representación (lengua natural, tipos de figuras geométricas, íconos,

algebraico, sistemas numéricos, etc.).

En consecuencia, cuando se estudia el aprendizaje del álgebra es indispensable considerar

que en el aprendizaje de ésta se presentan dificultades debido a una oposición entre las

demarches2 algebraicas las cuales conduce a desarrollar dos tipos de problemas en la enseñanza

de las matemáticas relacionadas con los signos y el sentido. Duval (2002, pp 1-2). Tal como

ilustra Davis (como citado en Socas & Palarea, 1994) no hay una diferenciación entre el

significado y el significante.

“se plantean situaciones a los estudiantes en las que se les hace difícil dar respuestas

legítimas, estas dificultades está relacionada con la distinción entre la adición aritmética,

donde “+” es una pregunta o un problema (3 + 7) y la adición algebraica, como en 𝑥 +

7, donde la expresión describe, a la vez, la operación de sumar y el resultado” (p.94).

Al mismo tiempo, en el funcionamiento cognitivo implicado en la resolución problemas

se evidencian métodos algebraicos donde es necesario introducir operaciones cognitivas para el

aprendizaje de las matemáticas, estas operaciones son: de formación la cual permite mostrar en

1 Este término está estrechamente relacionado con el significado de noesis el cual se refiere a conocimiento. En otras

palabras, el término “aprehensión” significa la toma de un conocimiento.

2El término “demarche” es un término del francés que significa procedimiento, pasos que se utilizan para llegar a

algo, pero en este caso no es elección de un proceso metódico ni algorítmico, el término demarche alude a la forma

como el sujeto intenta hacer o realizar sin fijarse en procesos secuenciales.

7

qué registro inicial se representa un objeto matemático, la operación substitutiva de tratamiento,

esta se considera como un cambio de representación por medio de un mismo registro, es decir,

una transformación de la representación interna a un registro de representación o un sistema.

(Duval, 2004, p.44) y la actividad cognitiva de referenciación llamada conversión definida como

“una transformación externa relativa al registro de la representación de partida”. (Duval, 2004,

p.46). Ahora bien, cabe introducir un cuestionamiento: ¿De qué forma se presentan los signos3

relacionados con el uso de las demarches algebraicas? ¿Qué papel juega el primer registro de

representación (actividad de formación) para resolver ecuaciones lineales? ¿Qué actividades son

las que se proponen para ello? ¿Qué tan relevantes resulta ser para los estudiantes hacer estás

transformaciones?

Además, la perspectiva cognitiva que presenta Duval (2004, p. 62) describe que se debe

tener consciencia del objeto matemático más que la representación del objeto. Es decir, el sujeto

debe ser consciente4 de que la representación de un concepto matemático no es siempre la misma

y que esta es sólo una de las formas de conocer el objeto matemático. Así, por ejemplo, cuando

se presenta una ecuación lineal mediante un registro algebraico, el hecho de concluir que la

notación algebraica de este concepto es la única manera en que se puede representar este objeto

es un error, porque los objetos matemáticos se pueden expresar a través de diversos registros de

representación semiótica.

En el caso del álgebra y puntualmente de las ecuaciones lineales con una incógnita más

que proponer la formación del objeto, se necesita que haya una comprensión y discriminación de

3 El concepto que se presenta como signo en este caso concierne a la definición que utiliza Peirce “cualquier cosa

que se tenga, para cualquiera, en lugar de otra cosa”( Duval, 2004b, p.33) 4 Cuando se habla de ser “consciente” se refiere a la acción sujeto cuando identifica, resuelve y comprende el

objeto matemático en más de una representación, en otras palabras corresponde a la función de objetivación que

propone Duval (2004).

8

éste en cuanto a su carácter conceptual. De esto, se infiere que el uso de diversas

representaciones semióticas sea el medio para la comprensión de los objetos. Así, la designación

que se tiene sobre los signos matemáticos influye enormemente en la comprensión de un objeto.

En otras palabras, no basta con la representación única de un concepto matemático para

determinar la comprensión de éste, “se necesitan de varios o al menos dos registros de

representación semiótica para la comprensión de un objeto”. (Duval, 2004, p.27)

Duval (2004) manifiesta que la actividad cognitiva de conversión es la que permite que se

efectúen cambios de registros y como consecuencia, es la actividad cognitiva para la

comprensión de los objetos matemáticos; aunque no se debe dejar de lado que la actividad

cognitiva de tratamiento permite el aprendizaje de los objetos matemáticos porque en ésta se

pueden realizar operaciones de tipo matemático para la solucionar problemas y/o ejercicios.

Seguido a lo anterior, la conversión resulta ser compleja debido al nivel de congruencia que

existe entre los dos registro.

Por último, Duval (2004) manifiesta que el fenómeno de la coordinación entre los

registros de representación semiótica implica toda comprensión conceptual de los objetos. Dicho

en otros términos, la comprensión de los conceptos matemáticos se hace solamente mediante el

vínculo de la coordinación entre diferentes registros de representación semiótica. Esto, conduce

al sujeto cognoscente, ser identificador y diferenciador entre las diferentes representaciones que

un objeto matemático representa; ello arrastra una serie de consecuencias como: caracterizar

cada una de las unidades significantes de un registro y las relaciones entre los registros a realizar

actividades de conversión, discernir entre lo representante y lo representado, ser agente

fundamental de una comprensión integrativa en la que se vinculen varios registros de

representación. En este sentido, la conversión permite que haya un cambio de registro haciendo

9

alusión al mismo objeto matemático, en este caso particular el interés se centra las ecuaciones

lineales con una incógnita.

Del mismo modo, al hacer énfasis en el estudio del álgebra, Kieran & Filloy (1989)

realizan un estudio relacionado con las expresiones algebraicas donde se muestra una transición

entre la aritmética y el álgebra, el cual describe algunos resultados fundamentales que se deben

tener en cuenta en la enseñanza del álgebra. Desde esta perspectiva, ellos plantean que:

El álgebra incide directamente en el pensamiento del estudiantes donde se generan

dificultades debido a los métodos que se utilizaban en aritmética, esta dificultades se

reflejan directamente con: a) su forma de ver el signo igual, b) sus dificultades con la

concatenación y con algunas de las convenciones de notación del álgebra, y c) su falta de

habilidad para expresar formalmente los métodos y los procedimientos que usan para

resolver problemas. También da cuenta, en gran medida, de su interpretación (pp. 229-

230).

En síntesis, en el proceso de aprendizaje se presentan dificultades a raíz de la carencia de

aprehensión conceptual de la ecuación, esto, permite indicar que los errores que presentan los

estudiantes cuando resuelven ecuaciones pueden ser producto de la no discriminación de las

unidades significantes en un registro particular, mucho menos una relación con las unidades

significantes en otros registros de representación semiótica; en el caso de notación algebraica

existe la posibilidad que haya una no comprensión de las categorías de signos que se presentan

en este tipo de representación, por la forma de ver el signo igual y la formalización para llegar a

la solución de una ecuación puede que sus orígenes radiquen en la no identificación de los

10

signos, tipos de signos que subyacen en la representación algebraica referenciando la ecuación

lineal

Por ello, si solo se efectúan procesos aritméticos para la resolución de problemas

algebraicos, se logra un encapsulamiento en un registro semiótico en la resolución de problemas

bajo expresiones aritméticas, que en otras palabras se podría determinar como una comprensión

mono-registro. De ahí, se evidenciarán errores los cuales se consideran de manera general como

procesos equívocos en la resolución de problemas de tipo algebraicos y una posible no

comprensión conceptual de los objetos matemáticos. Por razón de todo lo anterior y las

preguntas mencionadas en el presente escrito, este trabajo aborda el siguiente interrogante:

¿De qué forma los estudiantes de grado noveno de la Institución Educativa Francisco

José de Caldas realizan procesos cognitivos (tratamiento y conversión) para resolver

ecuaciones lineales con una incógnita desde la coordinación de los registros de

representación semiótica?

1.2 ANTECEDENTES

A continuación se presentan algunos trabajos relacionados con el concepto de ecuación

lineal con una incógnita en el marco de la enseñanza y aprendizaje de éstas, en primer lugar se

muestra el trabajo propuesto por Filloy (1993), se evidencian algunas dificultades que presentan

los estudiantes mediante una prueba donde se involucran los sistemas matemáticos de signos. En

segundo lugar, otro estudio a nivel nacional hecho por Castellanos y Obando (2009) muestra las

dificultades que presentan los estudiantes para dar una generalización o una ecuación que surge

producto del análisis desde diferentes situaciones y por último, un trabajo de maestría realizado

11

por Azañero (2013) donde se aborda el concepto de ecuación lineal a partir de una perspectiva

semiótica con el objetivo de identificar los errores y las categorías de éstos.

Algunos estudios abordados en relación con el álgebra muestran diversas estrategias

relacionada con la enseñanza las ecuaciones lineales de primer grado, una de ellas propuesta por

Filloy (1993) el cual indaga sobre las resolución de ecuaciones, la variación proporcional con el

Teorema de Tales y las tendencias cognitivas teniendo en cuenta el uso competente de Sistemas

Matemáticos de Signos (SMS) más abstractos (álgebra). El objetivo general que tiene este

documento es explorar los procesos de abstracción en los estudiantes y su relación con las

nociones teóricas de significado y sentido para los SMS tales como signos geométricos,

algebraicos, aritmético y el lenguaje natural y las posibles relaciones entre éstas a la hora de

resolver ecuaciones lineales con una incógnita para concluir sobre algunos problemas que son

objeto de estudio de acuerdo a la perspectiva de este trabajo. La anterior investigación, es un

estudio de casos, como objeto de estudio se toman a los estudiantes de secundaria de 12-14

1993s de edad en la ciudad de México DC. En el documento se presenta una serie de cuestiones

que pueden ser objeto de estudio sobre los siguientes tópicos: El análisis de la traducción de una

situación problemática de un SMS a otro, manifiestan que las dificultades que se presentan son

de tipo representativo, el desarrollo de la noción de transferencia de los procesos de

descodificación de una situación problemática a otra.5 En síntesis, al aplicar la prueba se tenían

algunas dificultades con el registro algebraico y sus cambios desde los grado inferiores, se podría

decir que los grados que son de algebra inicial, en este caso el grado octavo y los posteriores a

este. De acuerdo al análisis que se realizó sobre el trabajo de Filloy (1993) se puede decir que se

5 Extraído del documento El estudio teórico local del desarrollo de competencias algebraicas, documento elaborado

por Filloy, E., Puig, L., & Rojano, T. (2008). De la página

http://ddd.uab.cat/pub/edlc/02124521v26n3/02124521v26n3p327.pdf el día 18 de Septiembre de 2016.

http://ddd.uab.cat/pub/edlc/02124521v26n3/02124521v26n3p327.pdf

12

evidencian algunas dificultades para cambiar de registros. Sin embargo, el presente trabajo de

grado que se desarrolló tiene una intención desde una perspectiva semiótica-cognitiva en el

aprendizaje de las ecuaciones lineales más que la producción de signos matemáticos. Es decir, se

desea que los estudiantes describan características pertinentes para identificar el concepto de

ecuación lineal con una incógnita mediante diferentes sistemas semióticos, a saber esto, se desea

que el estudiante describa las propiedades que presentan las ecuaciones lineales en su proceso de

resolución, las operaciones pertinentes entre los signos que representan cantidades conocidas y

desconocidas, identificación de la igualdad, etc.; todo esto, a la luz de diversos registros de

representación semiótica, en cual se pueda hacer un análisis de los enunciados, las operaciones

cognitivas desarrolladas, el nivel de congruencia para solucionar el problema.

Otro estudio como es el caso de Castellanos y Obando (2009), tiene como objetivo

brindar una reflexión de las prácticas didácticas mediante la visualización de dificultades y

errores que se presentan en el álgebra con el fin de construir un cambio en el diseño de las

propuestas curriculares de las instituciones de educación básica y media a nivel nacional. A

partir de este documento se evidencian algunas dificultades en la resolución de ecuaciones

lineales tanto de tipo estructural como operativo evidenciados de la siguiente forma:

Los cambios conceptuales entre la aritmética y el álgebra tienen una importante

incidencia en la consecución de errores. El mayor cambio conceptual en el aprendizaje

del álgebra se centra alrededor de su diferencia con la aritmética especialmente en el

significado de los símbolos e interpretaciones de las letras. (Castellano & Obando, 2009,

p. 11)

13

De acuerdo a lo anterior, se conciben errores en cuanto a la identificación de las unidades

significantes de las ecuaciones lineales y de la significación de la variable. Es decir, no se hace

una discriminación del significado que tienen las letras en la expresión algebraica que se presenta

y las operaciones que se pueden realizar entre las cantidades conocidas y desconocidas. Por

ejemplo, al resolver una expresión algebraica y combinar las operaciones entre las cantidades

conocidas y desconocidas tal como: 20x-2= 18x. Por otro lado, se presentan errores que hacen

hincapié en comprender el significado del signo igual en el pensamiento algebraico, tal como se

puede observar en el siguiente apartado:

En lo que se refiere a la maduración del concepto de igualdad, se presenta un cambio

conceptual aún más crítico… un error bastante frecuente en la resolución de ecuaciones,

es efectuar operaciones en el primer miembro de la misma sin modificar el segundo

(Castellano & Obando, 2009, p. 11-12)

Esta intervención permite identificar algunos errores que son producto de la no

comprensión del concepto de ecuación lineal referente a la no-consciencia de la igualdad entre

dos expresiones que están separadas del signo igual. En este sentido, se aborda el aprendizaje de

la representación algebraica teniendo en consideración recursos académicos que son similares al

trabajo de investigación como la teoría de las representaciones semióticas, algunos errores

pueden ser sustentados desde la perspectiva semiótica-cognitiva ya que están directamente

identificados en la no aprehensión conceptual del objeto, de esta forma se puede decir que desde

la coordinación se puede abordar estas dificultades.

Por último, se presenta un trabajo de maestría “Errores que presentan los estudiantes de

primer grado de secundaria en la resolución de problemas con ecuaciones lineales” Elaborado

14

por Azañero (2013) donde se identifican los errores que cometen los estudiantes de primer grado

de secundaria, en el contexto colombiano “grado octavo” al resolver problemas con ecuaciones

lineales, la autora diseña secuencia de problemas que se resuelven usando ecuaciones lineales

partiendo del tratamiento y de la conversión en los registros algebraico, geométrico y verbal, se

construye una prueba de diagnóstico con la información obtenida y los criterios recogidos del

enfoque cognitivo y didáctico dado por Duval (2004), y se elaboran situaciones-problemas donde

a partir del avance de dichas situaciones, los problemas poseían mayor grado de complejidad,

que se considera deberían resolver los estudiantes. Una parte inicial fue considerar ítems sobre la

conversión específica de registros verbales a algebraicos y viceversa.

De ahí se presentan algunas conclusiones respecto al trabajo, entre ellas se enmarcan que

con la ayuda de la prueba diagnóstica se observó que las estudiantes al resolver las ecuaciones

lineales tenían dificultades al trasponer términos en la adición, sustracción, multiplicación y

división y al sumar expresiones algebraicas racionales, de esto, se puede decir que se observan

dificultades al realizar tratamientos en el registro algebraico. Las estudiantes, en su mayoría, son

capaces de realizar conversiones del registro verbal al algebraico, pero se evidenciaron

dificultades para realizar conversiones del registro algebraico al verbal, entre las dificultades

encontradas se especifican las siguientes:

Se hace uso inadecuado de la variable.

No se logra usar el concepto de perímetro en términos de la variable “x”.

No se pasa del cálculo aritmético al uso de una ecuación.

La representación verbal no corresponde a la representación algebraica.

La representación algebraica no corresponde a la representación verbal.

15

La autora menciona que se deben hacer investigaciones relacionadas con los registros de

representaciones semióticas teniendo como eje central la conversión del registro gráfico al

verbal. Además, construir investigaciones futuras que relacionen la conversión de los registros

algebraicos al verbal, con la creación de enunciados problemas; diseñar investigaciones

integradas con el área de comunicación integral que permitan identificar los tratamientos en el

registro verbal y complementar el análisis de los resultados de las pruebas escritas, con

entrevistas personales que permitan conocer mejor las razones de los errores y aciertos de los

estudiantes.

En resumen, la preocupación por la enseñanza y el aprendizaje de las ecuaciones lineales

con una incógnita ha sido objeto de estudio a nivel nacional e internacional y muestra que se

presentan diversas dificultades que deben ser objeto de estudio ante las propuestas curriculares y

pedagógicas que se proyectan a lo largo del presente siglo. Si bien, los autores mencionaron

varias dificultades concernientes a la crisis del aprendizaje del álgebra puntualmente al

aprendizaje de las ecuaciones lineales, desde la perspectiva semiótica-cognitiva se pueden hacer

grandes avances en el análisis del funcionamiento cognitivo para el aprendizaje de las ecuaciones

lineales.

1.3 JUSTIFICACIÓN

El Ministerio de Educación Nacional, presenta en los Estándares Básicos de

Competencias Matemáticas “EBC” propuestos por el MEN (2006) y los lineamientos

curriculares para la enseñanza de las Matemáticas “LCM” MEN (1998) algunas apreciaciones

referentes al objeto en cuestión. En este sentido, de acuerdo a los LCM se intenta mostrar una

16

perspectiva de acuerdo a las exigencias que debe presentar la educación a nivel nacional e

internacional, específicamente en relación con la Educación Matemática propone:

Las matemáticas, lo mismo que otras áreas del conocimiento, están presentes en el

proceso educativo para contribuir al desarrollo integral de los estudiantes con la

perspectiva de que puedan asumir los retos del siglo XXI. Se propone pues una educación

matemática que propicie aprendizajes de mayor alcance y más duraderos que los

tradicionales, que no sólo haga énfasis en el aprendizaje de conceptos y procedimientos

sino en procesos de pensamiento ampliamente aplicables y útiles para aprender cómo

aprender. (MEN, 1998, p. 18).

En este sentido, para que haya una formación ideal en los estudiantes es necesario que

ellos puedan comprender los conceptos de las matemáticas mediante un aprendizaje fundado en

el contexto. Ello, implicará que los educandos tengan una plena consciencia de la funcionalidad

de los objetos matemáticos que se están enseñando en el aula de clase, paralelo a esto, la

operatividad de los procedimientos que se hacen para darle respuesta a una situación

problemática particular. En consecuencia de lo anterior, es de vital importancia tener en cuenta la

existencia de dos tipos de saberes que son fundamentales para describir los procesos de

aprendizaje en Educación Matemática, el saber conceptual el cual está enfocado hacia la

comprensión de los objetos matemáticos y su funcionalidad al emplearlo en tres tipos de

contextos; el de las matemáticas, el de las demás ciencias y la vida cotidiana. Por otro lado, está

el saber procedimental el cual describe pasos necesarios los cuales pueden ser de tipo algorítmico

para comprobar resultados matemáticos; todo ello en función de cómo aprende el sujeto.

17

Para que haya una discriminación de los saberes mencionados anteriormente, es necesario

que los agentes del proceso educativo (estudiante-docente) evoquen ideas matemáticas por

medio de representaciones semióticas a partir de los registros que brinda la disciplina de las

matemáticas, estos registros pueden ser: el registro numérico, las expresiones algebraicas, los

gráficos cartesianos, etc. Y otros como la lengua natural, expresiones simbólicas donde se

requiere el uso de iconos para representar ideas matemáticas. Del mismo modo, el MEN (2006)

muestra una relación de los pensamientos a través de una reflexión que está enfocada hacia el

estudio de la complejidad de los símbolos lo cual corresponde al estudio del álgebra, los patrones

de variación y la casualidad determinística donde se enfoca el estudio del cálculo, los fenómeno

producto de la incertidumbre donde está enfocado la estadística y la probabilidad, la complejidad

de estructura y la organización formal del pensamiento; todas estas variables en función de

componentes de la disciplina matemática. En este sentido, para la comprensión de estas

variables, se toma como referencia los EBC donde muestran particularmente los tipos de

pensamiento matemáticos mediante la siguiente reflexión:

… Aquí se puede ver una clara relación con los cinco tipos de pensamiento matemático

enunciados en los Lineamientos Curriculares: en la aritmética, el pensamiento numérico;

en la geometría, el pensamiento espacial y el métrico; en el álgebra y el cálculo, el

pensamiento métrico y el variacional, y en la probabilidad y estadística, el pensamiento

aleatorio; finalmente, puede verse la alusión al pensamiento lógico, llamado también

hipotético-deductivo o pensamiento formal. (MEN, 2006, p.58)

De acuerdo a lo anterior, es pertinente mostrar una relación entre varios pensamientos

para la comprensión de los conceptos matemáticos en la educación escolar y esta comprensión

puede adquirirse a través del uso varios registros de representación semiótica propias a cada

18

pensamiento matemático, pero no basta solo con el uso de los diferentes pensamientos

matemáticos para representar ideas matemáticas de un mismo objeto, debe existir una

coordinación entre los registros. Por lo cual, para la coordinación de dos registros semióticos

debe conservarse una discriminación entre las unidades significantes de cada registro semiótico,

para que haya una plena consciencia de los conceptos matemáticos se necesita de una

coordinación entre los diversos registros de representación semiótica y a su vez una relación

entre los pensamientos matemáticos tal como plantea (Duval, 2004), “La actividad conceptual

implica la coordinación de los registros de representación” (p.63).

En efecto, El problema de comprensión y resolución de problemas que involucran las

ecuaciones lineales puede ser evidente en múltiples aspectos de la Educación Matemática. Así,

desde un aspecto cognitivo se evidencian algunas conclusiones en el trabajo de Arroyo (2014)

quien describe algunas dificultades relacionadas con la resolución de ecuaciones lineales a través

de la siguiente reflexión:

Mediante algunos problemas presentados a los participantes y observaciones realizadas

en las clases de matemática, se logró apreciar que varios de los estudiantes no

interrelacionan los contenidos matemáticos aprendidos y tienen vacíos conceptuales sobre

contenidos que tuvieron que ser aprendidos en la escuela y sétimo nivel. Se puede

concluir que aprendieron de memoria determinados procesos, pero sin analizar realmente

el razonamiento que cada problema conllevaba para su resolución. (p. 29).

Además, el estudio realizados por Castellano & Obando (2009) muestran la preocupación

de la enseñanza del pensamiento algebraico específicamente en el dominio de las ecuaciones

19

lineales, se evidencian dificultades de tipo cognitivo en la comprensión de los elementos que

subyacen en las ecuaciones lineales. Por lo cual, mediante su trabajo manifiestan que:

Los errores que estudiantes cometen al producir la generalización de expresiones

algebraicas o de ecuaciones producto del análisis de determinadas situaciones, son una de

las preocupaciones más constantes de los profesores de matemáticas en la educación

básica y media de nuestro sistema educativo Colombiano. (p.1)

De esto se infiere que, la reflexión en la enseñanza del álgebra es objeto de estudio a nivel

nacional puesto que los estudiantes no tienen plena consciencia de las expresiones algebraicas y

puntualmente de las ecuaciones lineales. Además, cometen errores de tipo representativo al hacer

conversiones de una situación en lenguaje natural al registro algebraico. De ahí, que no se

comprenda el concepto de ecuación y sus posibles representaciones. Ahora bien, la resolución de

las ecuaciones lineales es fundamental para la comprensión de la misma pues ésta permite

concluir de forma lógica e inequívoca una resolución y su interpretación con base en una

generalización ya comprendida. Por consiguiente, surgen algunas estrategias de tipo cognitivas

para el aprendizaje de éstas teniendo en cuenta algunos elementos semióticos como son las tareas

de conversión y tratamiento entre otras. En este sentido, los acercamientos que ha realizado el

MEN (2006) sobre las representaciones dentro de los lenguajes matemáticos son muy notables y

se presentan a lo largo de los estándares básicos de competencia teniendo como noción la idea de

ser matemáticamente competente, donde se establece que:

(…) Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para

crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar dichas

representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista. Es decir dominar con

20

fluidez distintos recursos y registros del lenguaje cotidiano y de los distintos lenguajes

matemáticos (…) (MEN, 2006, p. 50).

Este pasaje permite mostrar que las formas de comunicar o evocar una idea son mediante

el uso de representaciones, estas representaciones pueden ser expresadas mediante un discurso

del lenguaje matemático, el lenguaje natural o el sistema de representación icónico y lo principal

en matemáticas es el dominio de los objetos y/o conceptos propios de las matemáticas y el

estudiante de estar en la capacidad de utilizar diferentes registros de representación y

coordinarlos entre sí.

En este orden de ideas, haciendo énfasis en el pensamiento variacional especialmente en

el álgebra el uso de los métodos algebraicos basado en la teoría de Duval (2002) muestra una

gran viabilidad para la comprensión entre los objetos matemáticos relacionados con este

pensamiento; por ejemplo para representar una idea que se encuentra en un lenguaje natural y

convertirlo en un lenguaje algebraico, este concepto necesita ser movilizado mediante

actividades las cognitivas mencionadas anteriormente. Así, el uso de los registros algebraicos,

geométricos, de la lengua natural y de los íconos para mostrar el concepto de las ecuaciones

lineales con una incógnita. Sin embargo, la toma de consciencia para la comprensión de los

objetos matemáticos no basta con el reconocimiento o manipulación de un registro de

representación en particular, esto puede evidenciarse en el siguiente apartado:

Podría decirse con Raymond Duval que si no se dispone al menos de dos formas distintas

de expresar y representar un contenido matemático, formas que él llama “registros de

representación” o “registros semióticos”, no parece posible aprender y comprender dicho

contenido.(MEN,2006, p.57)

21

Por lo anterior, este trabajo de investigación puede contribuir a una problemática que se

presenta a nivel nacional sobre las el planteamiento, resolución e interpretación de las ecuaciones

lineales con una incógnita.

Haciendo énfasis puntual en el plantel educativo en el cual se desarrollará el proyecto, se

presentan algunos resultados en el marco de las pruebas saber 9°en el año 20156 donde se

evalúan los desempeños de la institución internamente, los desempeños de la institución en

comparación con Buenaventura y el desempeño a nivel nacional, los promedios y las

desviaciones; además, se presenta un diagrama donde se obtiene resultados referentes a las

competencia y los pensamientos evaluados en matemáticas donde se evidencias fuertes

dificultades en relación con sus competencias en Matemáticas y se compara con las diferentes

entidades que circundan el establecimiento educativo, como se presenta a continuación:

Tabla 1. Distribución porcentual de estudiantes según niveles de desempeño en la Francisco José de Caldas

B/tura. Matemáticas - Noveno grado.

6 Estas pruebas fueron recuperadas de la página:

http://www2.icfesinteractivo.gov.co/ReportesSaber359/consultaReporteEstablecimiento.jspx el día 5 de Junio de

2016.

http://www2.icfesinteractivo.gov.co/ReportesSaber359/consultaReporteEstablecimiento.jspx

22

Tabla 2. Comparación entre la distribución porcentual de estudiantes según niveles de desempeño en el

establecimiento educativo, la entidad territorial certificada a la que pertenece y el país. Matemáticas - noveno

grado.

De acuerdo a lo anterior, los datos estadísticos brindan información relevante para

atender a la emergencia de hacer una profunda reflexión sobre el aprendizaje de los estudiantes

con las matemáticas. En primera instancia, las estadísticas muestran que la institución educativa

posee serias dificultades mostrando que sólo el 1% de los estudiantes alcanza un nivel

satisfactorio de los desempeños en matemáticas. En este mismo sentido, este trabajo intenta

mostrar que es de vital importancia la pertinencia del proyecto en la Institución Educativa por los

resultados evidenciados en el distrito de Buenaventura que de cierta forma son más lisonjeros en

relación con la Institución Educativa mencionada no son los más satisfactorios para el estudio y

avance de la calidad educativa en la Educación Matemáticas del distrito.

23

Tabla 3. Fortalezas y debilidades en las competencias evaluadas en Matemáticas en la IE francisco José de

Caldas, noveno grado.

Así, al describir otras características de tipo curricular y pedagógica se evidencian una

compleja situación de competencias matemáticas en el plantel educativo y los componentes

evaluados describen desde una perspectiva más puntal del problema. De manera más puntual, de

los datos estadísticos evidencian en primer lugar dificultades para resolver problemas en este

caso podrían ser problemas para resolver problemas vinculados al uso de expresiones algebraicas

teniendo en cuenta el grado de complejidad que se presenta en este grado. Por otro lado, se

presentan ideas para poder expresar ideas matemáticas por medio de la competencia de

comunicación, hipotéticamente esto puede tener sus raíces debido a la dificultad que despliega al

representar expresiones matemáticas y realizar los tratamiento y conversión tal como mencionan

los autores en apartados anteriores.

24

Tabla 4. Puntaje promedio y desviación estándar del establecimiento educativo, la entidad territorial certificada a

la que pertenece, el país y los tipos de establecimientos de dicha entidad territorial. Matemáticas - noveno grado.

Tabla 5. Fortalezas y debilidades de los componentes evaluados en Matemáticas en la IE francisco José de

Caldas, noveno grado.

Es decir, teniendo en cuenta las representaciones gráficas se evidencia que aunque el

componente con más fortaleza es componente variacional, posee resultados no satisfactorios para

desarrollar competencias matemáticas. De esta forma, se intenta hacer una intervención que

fortalezca la reflexión sobre los procesos de aprendizajes del álgebra en los estudiantes mediados

en el aula de clase.

25

El desarrollo de este trabajo es viable desde los aspectos disciplinares porque es un objeto

matemático vinculado con los principales conceptos que se estudian en el pensamiento

algebraico, por ello, es fundamental que el estudiante se apropie de los saberes procedimentales y

conceptuales que involucran este objeto matemático porque son indispensables para el

aprendizaje de una red conceptual que tiene mayor complejidad en las clases escolares.

Por otro lado, desde los aspectos curriculares y los estándares básicos de competencia se

hace evidente la necesidad de enseñar este concepto para fortalecer las competencias desde el

pensamiento algebraico. De modo que, es prioritario que el estudiante disponga de diferentes

herramientas para resolver problemas que se le presenten y los inicios del pensamiento

algebraico contribuyen al fortalecimiento de las competencias en matemáticas.

Así mismo, en los aspectos didácticos propuestos para abordar este trabajo se hace énfasis

en la teoría semiótica-cognitiva porque brinda características que contribuyen en la comprensión

y las posibles dificultades para resolver ecuaciones, características tales como los procesos

cognitivos (formación, tratamiento y conversión), los niveles de congruencia entre los registros

cuando se desarrolla conversión y lo fundamental que corresponde a la coordinación entre los

registros abordados para aprehensión conceptual de este objeto que son indispensables en el

funcionamiento cognitivo de las matemáticas.

Ante las consideraciones que presenta Arroyo (2009), las dificultades que precisa Filloy

(1993), Azañero (2013), los planteamientos que sostiene el MEN (1998) y MEN (2006) el

trabajo se hizo para que el docente reflexione sobre los procesos de enseñanza que se desarrollan

en el aula de clase, dentro de sus consideraciones tenga que en cuenta que el proceso de

comprensión de un concepto es una tarea compleja que como mediador entre el saber y el

26

estudiante debe saber sobrellevar. De esta forma, plantear situaciones problemáticas requiere de

un análisis y discriminación de elementos que subyacen previos al desarrollo del trabajo

propuesto. Por eso, es necesario que se tengan en cuenta cada una de las secciones que se

encuentran en este trabajo.

En consecuencia de lo anterior, es pertinente el uso de diversas representaciones

semióticas teniendo en cuenta las actividades cognitivas de tratamiento y conversión para la

resolución de problemas donde se involucre el uso de las ecuaciones lineales. No obstante, no se

debe extrapolar que el uso de las diferentes representaciones es lo esencial en la comprensión de

los objetos matemáticos, de hecho para que haya una comprensión de las ecuaciones lineales

relacionadas con la resolución de problemas se necesita una plena coordinación de los registros

de representación semiótica.

27

1.4. OBJETIVOS

1.4.1 OBJETIVO GENERAL

Analizar los procesos cognitivos (tratamiento y conversión) que realizan los estudiantes

de grado noveno de la Institución educativa Francisco José de Caldas del distrito de

Buenaventura para resolver ecuaciones lineales con una incógnita en actividades

planteadas desde registros de representación semiótica: lenguaje natural, algebraico,

geométrico.

1.4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Seleccionar algunos problemas de las secuencias de Azañero (2013) de ecuaciones con

una incógnita y los propuestos por libros de textos Espiral (2005) y símbolos (2006) que

se resuelven usando ecuaciones lineales.

Identificar procesos cognitivos (tratamiento y conversión) desarrollados por los

estudiantes de grado noveno para resolver ecuaciones lineales.

Ejemplificar el desarrollo de los diferentes procesos cognitivos (tratamiento y

conversión) en los diversos registros de representación.

28

CAPÍTULO 2. MARCO DE REFERENCIA CONCEPTUAL

2.1. ASPECTOS DISCIPLINARES

Expresiones algebraicas:

Las expresiones algebraicas son representaciones que surgen de las operaciones (adición,

sustracción, producto, cociente, potenciación, y radicación) que se realizan entre números reales

y variables, donde se necesitan algunas restricciones teniendo en cuenta el dominio de la

expresión en el conjunto de los números reales. Algunos ejemplos concernientes a las

expresiones algebraicas son los siguientes:

√𝑎 3𝑥−2𝑦

3𝑥−𝑦 2𝑥2 − 4𝑥 + 5

1

2𝑧 + 𝑧3 2𝑥

La primera expresión algebraica tiene dominio exclusivamente ℝ+ ∪ 0, es decir que la

variable debe tomar números reales positivos y el número 0, este tipo de expresiones se conocen

como radicales. Para el segundo caso, el dominio de las variables 𝑥 e 𝑦 corresponde a los ℝ si y

sólo si 𝑥 ≠1

3𝑦, este tipo de expresiones reciben el nombre de racionales. En los demás casos, el

dominio de la variable puede ser cualquier número en ℝ, éstas son conocidas como expresiones

polinómicas.

En este orden de ideas, se aborda matemáticamente el concepto de polinomio que de

acuerdo a Fraleigh (1967, p.266), es definido de la siguiente forma:

Sea ℝ un anillo7. Un polinomio 𝑓(𝑥) con coeficientes en ℝ es una suma formal infinita

∑ 𝑎𝑖𝑥𝑖∞

𝑖=0 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + ⋅⋅⋅ +𝑎𝑛𝑥𝑛 + ⋯,

7 Un anillo < ℝ, +,∙> es un conjunto ℝ junto con dos operaciones binarias + y ∗ llamadas suma y

multiplicación, que cumple con los siguientes axiomas:

29

Donde 𝑎𝑖 ∈ ℝ y 𝑎𝑖 = 0 excepto un número finito de valores de 𝑖.

En este sentido, se denomina coeficientes a todos los 𝑎𝑖 ∈ ℝ y cada uno de los monomios

que subyacen en el polinomio se les conoce como término polinómico. El término n corresponde

al grado del polinomio, este es un número entero positivo (ℤ+), en este sentido, el valor de n

determina el grado del polinomio; en los ejemplos anteriores se puede decir que el grado del

polinomio es de grado 2, es decir 𝑓(𝑛) = 2 de igual forma, el de los demás polinomios son

𝑓(𝑛) = 3 y 𝑓(𝑛) = 1 siendo estos denominados, cuadráticos, cúbicos y lineal respectivamente.

Además, se dice que cuando dos polinomios tienen el mismo grado son llamados polinomios

idénticos en la variable estudiada.

En este sentido, dos polinomios pueden ser iguales si su variable, su grado y sus

coeficientes son iguales, por ejemplo:

𝑧(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + ⋅⋅⋅ +𝑎𝑛𝑥𝑛 + ⋯ ,

𝑤(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1𝑥 + ⋅⋅⋅ +𝑏𝑚𝑥𝑚 + ⋯,

De ello, se obtiene que 𝑧(𝑥) = 𝑤(𝑥) si y sólo si 𝑎𝑖 = 𝑏𝑖.

De acuerdo a las leyes y la teoría de las ecuaciones, para establecer un orden entre dos

polinomios se debe establecer la tricotomía la cual se conceptualiza de la siguiente forma:

<ℝ, +> es un grupo abeliano

Un grupo abeliano es un grupo <G,*> que cumple con la operación binaria * las siguientes

reglas:

Asociativa.

Si existe un elemento 𝑒 en G tal que 𝑒 ∗ 𝑥 = 𝑥 ∗ 𝑒 = 𝑥 para todas las 𝑥 ∈ 𝐺 (a 𝑒 se le conoce

como elemento identidad, o elemento neutro).

Para cada 𝑎 ∈ 𝐺 existe otro elemento 𝑎´ ∈ 𝐺 tal que 𝑎´ ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑎´ = 𝑒 a 𝑎´se le conoce como

elemento inverso de la multiplicación.

La multiplicación es asociativa.

Para todas las 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, se cumple la ley distributiva izquierda 𝑎(𝑏 + 𝑐) = (𝑎𝑏) + (𝑎𝑐) y la

ley distributiva derecha (𝑎 + 𝑏)𝑐 = (𝑎𝑐) + (𝑏𝑐).

30

Sean dos polinomios 𝑧(𝑥) y 𝑤(𝑥) se presentan las siguientes relaciones:

𝑧(𝑥) > 𝑤(𝑥) 𝑧(𝑥) < 𝑤(𝑥) 𝑧(𝑥) = 𝑤(𝑥)

Para el caso de este trabajo se utilizó la tercera relación “igualdad”. En consecuencia, se

tiene que:

𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + ⋅⋅⋅ +𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏0 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑥2 + ⋅⋅⋅ +𝑏𝑚𝑥𝑚

La anterior relación se define el concepto expresión general de las ecuaciones

polinómicas, donde se siguen cumpliendo las mismas propiedades de las expresiones

algebraicas. Si la ecuación es de grado 1 se le conoce como ecuación lineal, de grado 2

cuadrática, para el caso de la ecuación de grado 3 será cúbica, para el caso de una ecuación de

grado n se denomina ecuación de enésimo grado.

Para el caso de las ecuaciones polinómicas es necesario introducir el concepto de raíz de

polinomio, definido como el conjunto de los valores reales que toma la variable tal que al

reemplazarlos en la expresión cumple con la identidad de la ecuación. Así mismo, el grado del

polinomio determina el número de raíces o ceros que tiene una ecuación tal como lo define

Fraleigh (1967), “un polinomio de grado n puede tener a lo más n ceros en un campo F” (p.279).

De acuerdo a los tipos de ecuaciones, estas se pueden clasificar en tres tipos las cuales son:

Ecuaciones condicionales: Este tipo de ecuaciones se caracterizan porque el conjunto

solución, raíces o ceros tiene algunas restricciones, dicho de otra forma el conjunto solución se

cumple para algunos casos. Por ejemplo: 2𝑥 + 2 = 4, para este tipo de ecuaciones el conjunto

solución corresponde al número 1. En el caso de la ecuación 𝑥2 + 2𝑥 = 𝑥 + 2 tiene raíces 𝑥 = 1

31

y 𝑥 = −2. En este sentido, se puede constatar lo que mencionó Fraleigh (1967) sobre las raíces

de las ecuaciones y el grado del polinomio.

Identidades: En este tipo de ecuaciones las variables pueden tomas cualquier valor real y

los polinomios serán equivalentes. Por ejemplo: (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2. En la sustitución de

las variables puede observarse que el valor que tomen las variables, forma una equivalencia entre

los dos polinomios.

Inconsistentes: no presentan una consistencia en su resolución. Por ejemplo: 𝑥 = 𝑥 + 1,

como se puede observar, no existe ningún valor que satisfaga la igualdad entre las dos

expresiones.

En síntesis, es fundamental conocer la relación que existe entre los conceptos abordados

en este apartado porque permite comprender el concepto de ecuación a partir de las nociones

matemáticas como son las expresiones algebraicas y los polinomios. La igualdad entre

polinomios es fundamental en la construcción del concepto de ecuación ya que da la entrada al

concepto, así mismo las propiedades para la relación de equivalencia en el estudio de las

ecuaciones lineales. Por ello, es necesario mencionar las relaciones en cualquier conjunto, estas

son las siguientes8:

Sean A y B dos conjuntos, y todo elemento de A es un elemento de B, y todo elemento de B

es un elemento de A, entonces A es igual a B. La simbología formal corresponde de la siguiente

forma: 𝐴 = 𝐵 ↔ (∀𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (∀𝑥: 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴). De esta forma, sean a, b, c

números reales, la relación de equivalencia debe cumplir con las siguientes propiedades:

8 Estas relaciones se tomaron del trabajo de grado “una propuesta didáctica para la resolución de ecuaciones de

primer grado como relación de equivalencia utilizando el modelo virtual de la balanza” por Galeano, O & Váquiro,

L. (2015) del instituto de educación y pedagogía de la universidad del Valle (Colombia).

32

Reflexividad: 𝑎 = 𝑎

Simétrica: 𝑠𝑖 𝑎 = 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑏 = 𝑎

Transitiva: 𝑠𝑖 𝑎 = 𝑏, 𝑦 𝑏 = 𝑐, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 = 𝑐

Ley uniforme: 𝑠𝑖 𝑎 = 𝑏 𝑦 𝑐 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑒 𝑎 𝑙𝑜𝑠 ℝ 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒:

𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐 𝑎 + (−𝑐) = 𝑏 + (−𝑐)

𝑎 ∗ 𝑐 = 𝑏 ∗ 𝑐

𝑎

𝑐=

𝑏

𝑐

Para sintetizar el constructo teórico- disciplinar de este apartado sobre la construcción de las

ecuaciones, se construye un esquema que abarca todos los elementos conceptuales que se han

desarrollado hasta el momento:

Ilustración 1. Diagrama conceptual de las expresiones algebraicas, los polinomios y las ecuaciones. De esta forma, se muestra la importancia de las propiedades que cumple con el objeto

matemático y la relevancia de ser consiente de estas propiedades para resolver ecuaciones

lineales con una incógnita, propiedades que serán de gran interés en el análisis de las actividades.

33

En el campo del álgebra escolar se tienen diversas conceptualizaciones sobre los

elementos que conforman las expresiones algebraicas en este caso se tomó la definición que

proponen Trigueros, Quintero, Reyes & Ursini (1996, p. 352) quienes consideran que existen tres

formas distintas que la variable suele usarse en el álgebra escolar y tienen las siguientes

características:

La variable como incógnita, cuyo valor se puede determinar con exactitud

tomando en consideración las restricciones del problema; la variable como número

general, es decir, aquélla que aparece en generalizaciones y en métodos generales; y la

variable en una relación de variación conjunta con otras variables que denominaremos

variable en relación funcional.

2.2 REGISTROS DE REPRESENTACIÓN SEMIÓTICA

A partir de la década de los 80´s se comienza a estudiar la noción de representación desde

el punto de vista cognitivo. En este sentido, se propone hacer un estudio sobre las

representaciones y a lo largo de la historia se observa que en los 1924 – 1926 se presenta el

primer estudio sobre representación propuesto por Piaget con su obra la representación del niño

sobre el mundo, en dicha investigación se muestran las representaciones mentales concerniente a

la noción que tiene el niño sobre los fenómenos físicos que rodea al niño a través de la

percepción, al mismo tiempo, mediante esta teoría se tiene la idea del concepto de representación

evocación de objetos ausentes.(Duval, 2004).

Luego, a partir de los años 1955 se hace hincapié en otro tipo de investigación el cual

sostiene el concepto de representación computacional como “la codificación de la

información”; este tipo de investigación es abordada por autores como Posner, Clark, Chomsky,

Newel, Simons entre otros (Duval, 2004, pp.25-27).

34

Para los años posteriores al 80, se describe el concepto de representación en el marco de

la adquisición de conocimiento y es Radford (citado en Puig 2009) quien describe los diferentes

estudios sobre el concepto de representación en el campo de la Educación Matemática, en esta

investigación se puede observar que el concepto de representación hace alusión a

representaciones externas en las cuales la mente humana es fundamental para su desarrollo, así la

los referentes principales sobre este tópico de estudio tratan de mostrar un análisis sobre el

concepto de representación en diferentes teorías: Skemp con la teoría de los símbolos abordada

en (1980), Kieran y Filloy (1989) donde se hace énfasis de la representación como un sistema

matemático de signos y se abarcan todas las expresiones matemáticas como signos que propone

Peirce (citado en Duval, 2004b)“cualquier cosa que se tenga, para cualquiera, en lugar de otra

cosa”, los sistemas de notación bajo el escrutinio de Kaput (1992) y por último, la teoría de las

representaciones semióticas abordas por Duval en 1993.

Como resultado de estas minuciosas investigaciones sobre un concepto particular desde

diferentes posturas, la comunidad investigativa comienza a contemplar la necesidad de dar un

espacio al concepto de representación en el campo de la Educación matemática. En este sentido,

las representaciones en el área de las matemáticas en cuestión han sido concebidas como una

herramienta para evocar conceptos y procedimientos que preexisten en el desarrollo de la

matemática y permite describir el funcionamiento cognitivo de la mente humana.

Ante el estudio y el amplio campo que se ha investigado sobre el concepto de

representación es pertinente mostrar la reducibilidad de este concepto. Por ello, Duval (2002,

p.31) muestra tres oposiciones en la cual puede ser utilizado el concepto de representación:

35

“la variedad es tan grande que puede producir riegos equívocos en el interlocutor, esta

variedad se puede reducir a la utilización de tres grandes oposiciones: lenguaje/imagen,

mental/material, subjetivo/objetivo”

En este sentido, se muestran el significado de cada una de las oposiciones ligadas a las

representaciones desde la perspectiva cognitiva de Duval:

Oposición lenguaje/imagen: Esta oposición corresponde al campo de la psicología

cognitiva ligada al uso de una imagen y el pasaje a una frase. “no basta con tener una

imagen frente a los ojos para ver lo que hace falta” En otras palabras, uso de imágenes

no da cuenta de las características que tiene una situación, se necesita de un enunciado

que contextualice dicha imagen. En el caso de las matemáticas no se considera como

suficiente la aprehensión de los conceptos que esta disciplina demanda. (Duval, 2004b,

p.31). Por ejemplo, cuando se tiene al lado un cuadro frente a la pared y manifestar que la

figura representada es un rectángulo. Se necesitan de fundamentos teóricos para llegar a

la conclusión.

Oposición subjetivo/objetivo: Esta oposición es concerniente a los aspectos ligados a la

ciencia y opinión. Esta oposición sostiene que la verdad es relativa desde el sentido que

se observe. En ella, se subrayan el conocimiento formal que demanda la ciencia y la

opinión que sostiene un sujeto frente al mismo objeto. Esta concepción está enmarcada

desde la postura de Peirce sobre el signo (Duval, 2004b, p.32). Para ilustrar lo anterior, el

significado que se obtiene sobre expresiones algebraicas en los estudiantes de inicios al

álgebra con respecto a la variable 𝑥 puede mostrar la opinión que la variable es un signo

de multiplicación.

36

Oposición mental/material: Esta oposición establece una relación entre la naturaleza del

conocimiento y la comprensión de éste, en la que se cumple el fenómeno de

diferenciación entre significado y significante, es en esta oposición donde se fundamenta

la teoría de las representaciones semióticas para el aprendizaje de las matemáticas. Un

ejemplo sobre esta oposición corresponde al hecho de representar una ecuación lineal

mediante una representación en el marco de un sistema de representación geométrico o en

el de la lengua natural. (Duval, 2004b, p.33)

Primero, el objeto matemático se puede representar de diferentes formas debido a las

representaciones semióticas que tienen los sistemas. En otras palabras, “las representaciones

semióticas son representaciones en las cuales el modo de producción no puede hacerse sin la

movilización de un sistema semiótico”. (Duval, 1999, p.3) y en cuanto a su producción, presenta

tres tipos de fenómenos:

Aspecto estructural: Este aspecto trata sobre el significado del objeto en determinada

representación. Por ejemplo, una ecuación lineal comporta ciertas reglas ligadas con el

signo, cada uno de estos signos está ligado a una significancia de los registros. Así, en la

escritura algebraica, los signos presentados en la expresión permiten identificar que las

letras son variables o cantidades desconocidas, los signos operativos cumplen una función

y el signo igual cumple también una función diferente a los demás signos que constituyen

la expresión. (Duval, 1999)

Aspecto fenomenológico: Este fenómeno trata sobre la forma en la que se presenta la

representación para su aprehensión; estas formas en las cuales se puede mostrar una

37

representación pueden ser de tipo discursivas como la lengua natural, pueden ser de tipo

visual, sensorial, etc. (Duval, 1999)

Aspecto funcional: Este tipo de aspecto estás orientado hacia la pregunta del

aprendizaje: ¿para qué sirve la representación? De esta forma, permite mostrar las tres

funciones cognitivas9 que son primordiales para el aprendizaje de las matemáticas. Estas

funciones cognitivas son: la función de comunicación, la cual enfatiza en mostrar el

objeto matemático en cuestión mediante el registro. La segunda función relativa a las

transformaciones que se pueden hacer dentro y fuera de la representación en que se

presenta el objeto matemático. Por último, la función de objetivación la cual hace al

sujeto consciente de la representación, del objeto en diferentes registros de representación

semiótica permitiendo identificar características del objeto matemático en cada registro

de representación. (Duval, 1999)

Segundo, la adquisición de conocimientos en matemáticas requiere de la discriminación

de varios registros de representación semiótica. Es decir, para que se pueda comprender un

objeto matemático se necesita identificación del objeto en varios registros de representación. De

esta forma, el análisis del desarrollo del conocimiento y obstáculos donde se fundamenta el

aprendizaje con relación al razonamiento, la comprensión de textos, y comprensión de

tratamientos lógicos y matemáticos se ve afectada por tres fenómenos los cuales están

intrínsecamente relacionados un al otro. (Duval. 2004, p. 30-31)

9 No todos los sistemas semióticos constituyen registros de representación semiótica. Los registros de representación

son aquellos que permiten el cambio de representación de un sistema a otro, haciendo uso de las funciones

cognitivas mencionadas. Sólo los registros de representación son los que permiten el aprendizaje de las matemáticas.

Por ello, de ahora se establecerá la atención en los registros de representación semiótica y no en los sistemas

semióticos.

38

Diversificación de los registros de representación semiótica: En términos generales se

sostiene bajo la premisa de que un objeto matemático puede ser representado en

diferentes registros de representación teniendo en cuenta los tratamientos de tipo

matemático que se pueden realizar a lo largo de la solución de un problema. En este

sentido, el sujeto tendrá a disposición múltiples registros de presentación para representar

el objeto matemático.(Duval, 2004, p.30)

Sin embargo, no basta con los múltiples registros los cuales tiene a disposición un sujeto

para poder ser consciente de un objeto matemático, es importante la diferencia que presenta cada

registro, por ello se presenta el siguiente fenómeno:

Diferenciación entre representante y representado: este fenómeno está vinculado a lo

que “representa” una representación. Es decir, que se haga una identificación de un objeto

mediante un registro. Así mismo, permite que se haga una distinción entre el objeto

matemático y el registro en el cual se representa el objeto matemático. En línea con el

aprendizaje, este fenómeno permite que se haga consciencia en el sujeto de que un objeto

matemático no es el registro en que se presenta a un objeto, el registro es el medio para la

comprensión del objeto. (Duval, 2004, p.65)

Ante la complejidad conceptual que acarrean los registros de representación semiótica,

los diferentes registros vinculados a un mismo objeto, la diferenciación y las tensiones cognitivas

que son producto de los fenómenos anteriores el en términos de dificultad representativa,

algorítmica etc. Se presenta como fenómeno la coordinación entre los registros de representación

semiótica:

39

Coordinación de diferentes registros de representación semiótica: este fenómeno

sostiene que la coordinación entre registros permite una aprehensión conceptual de un

objeto matemático gracias a la discriminación de las unidades significantes10

que posee

cada registro de representación semiótica. Así, la comprensión de los objetos

matemáticos no se presenta de forma inmediata, este fenómeno es la condición esencial a

una comprensión integrativa, una comprensión que permita desarrollar conversiones

teniendo en cuenta las unidades significantes de cada registro. Duval (2004, p.75). La

coordinación puede denominarse como una transformación trans-registro donde se tienen

en cuenta una identificación y manipulación en simultáneo de las unidades significativas

de los dos registros.

Para tener una comprensión integrativa, una comprensión que involucre varios registros

de representación es necesario que se hagan procesos de transformación de los registros dentro y

fuera de éste. Sin embargo, para hacer estos tipos de transformaciones es necesario que se tenga

en consideración los tratamientos11

que son indispensables en cualquier sujeto que está

aprehendiendo.

De acuerdo con Duval (2004, p.40) “las representaciones semióticas son

representaciones que permite hacer tratamientos”. Tratamientos en otros términos son las

posibles manipulaciones que se pueden hacer a un registro de representación. Los tratamientos

que se describen a continuación hacer parte de todo aprendizaje, estos tratamientos son:

10

Este término consiste en mostrar las características del registro semiótico. Por ejemplo, las unidades significantes

de una ecuación en un registro algebraico consta de los signos (cantidades conocidas, cantidades desconocidas, el

signo igual) las unidades permiten identificar que es una ecuación. En los casos de las figuras geométricas se tienen

en cuenta los tipos de línea si es recta, curvas, cerrada, abierta, etcétera; y cada registro tiene unidades significantes

diferentes. 11

El concepto tratamiento es una función meta-discursiva la cual se basa en la transformación de todo los que se

puede comunicar, permitiendo ser más explícito o implícito lo que se está evocando. (Duval, 2004)

40

Los tratamientos cuasi-instantáneos son los tratamientos que se efectúan antes de haber sido

observados y producen las informaciones y las significaciones de las cuales un sujeto toma

consciencia de inmediato (Duval, 2004, p. 40).

Dicho en otras palabras, es un tipo de aprehensión que se efectúa incluso antes de haber

sido observadas, en este tipo de tratamientos, el sujeto toma de ipso-facto el objeto matemático.

Por ejemplo, evocar los términos: polinomio, ecuación en un estudiante de grado décimo, estos

términos pueden ser tan familiares para el sujeto que sin necesidad de una observación, ellos lo

pueden identificar. Por otro lado, se presenta los tratamientos intencionales los cuales se

definen como:

Aquellos que para ser efectuados toman al menos el tiempo de un control consciente y

que se dirigen exclusivamente a los datos previamente observados, en una visión incluso furtiva

del objeto. (Duval, p.41)

Estos son los tratamientos que requieren de un tiempo, de una descripción detallada de la

información que se le presenta al sujeto para que él tome consciencia del objeto en cuestión y a

su vez, depende intrínsecamente de los tratamientos cuasi-instantáneos para poder objetivar y así

construya nuevo conocimiento. En síntesis, toda actividad cognitiva de la mente humana

depende de la complementariedad de estos tipos de tratamientos. Al hacer tratamientos

intencionales necesitan de los tratamientos cuasi-instantáneos para poder comprender los objetos,

en efecto, mientras más tratamientos cuasi-instantáneos estimule el sujeto, será mayor su

aprehensión cognitiva. Ese fenómeno puede observarse en el siguiente esquema:

41

Ilustración 2. Esquema general de los tratamientos en Matemáticas.

Como se puede observar, los tratamientos que requieren un nivel de consciencia son de

carácter intencional y necesitan de los tratamientos cuasi-instantáneos para la aprehensión de

nuevo conocimiento, estos tratamientos que en un tiempo dejan de ser intencionales, permiten la

objetivación de nuevos conocimientos. En otras palabras, la adquisición de nuevos tratamientos

intencionales aparece pues como la condición de todo progreso cualitativo en el aprendizaje que

puede partir de situaciones cotidianas de los estudiantes y estos pueden resolver sin conocer el

objeto matemático a estudiar, luego de ello, se necesita una premeditación y un tiempo en la

aprehensión de los objetos.

Ahora bien, en el proceso de la semiosis se presentan tres tipos de actividades cognitivas

las cuales son fundamentales para el desarrollo del pensamiento. Estas actividades son las que

fundamentan el aprendizaje de los objetos matemático, éstas son: formación, tratamiento y

conversión.

La formación: es el recurso que presenta unos signos para actualizar la mirada de

un objeto para sustituir la visión de ese objeto. Los actos elementales de formación son,

según los registros, la designación nominal de objetos, la reproducción de su contorno

percibido, la codificación de relaciones o de algunas propiedades de un movimiento.

Estos actos son interesantes sólo en la medida en que las representaciones así formadas

42

están, implícitamente o explícitamente, articuladas en representaciones de orden superior:

frases, imágenes, esquemas, tablas… esta articulación de representaciones de orden

superior depende de las posibilidades de estructuración propia a cada sistema semiótico

que se utiliza. Por ello, es de vital importancia que la actividad cognitiva de formación

respete las reglas de conformidad para que se pueda comunicar un registro sino, además

tener la habilidad de hacer tratamientos mediante el sistema semiótico. (Duval, 2004,

p.43).

Así, las reglas de conformidad en palabras de Duval (2004) “Son aquellas que definen a

un sistema de representación y en consecuencia, los tipos de unidades por las cuales están

constituidas todas las representaciones en un registro”. En otras palabras, estas reglas permiten

que se pueda reconocer una representación como representación de un registro. Estas reglas de

conformidad son:

La determinación de unidades elementales: esta regla es encargada de mostrar la

identificación de los signos que son referentes al registro. Por ejemplo, en la expresión 𝑥,

se sobreentiende que bajo una representación algebraica tiene una designación que en

otros casos puede plantearse desde como una letras sin sentido, y en este caso, designa

algo desconocido en una expresión algebraica. (Duval, 2004, p. 43)

Las combinaciones admisibles de unidades elementales para formar unidades

de nivel superior: ley que se encarga de hacer la unión de varias unidades para construir

una unidad de nivel superior. Por ejemplo, en las ecuaciones lineales basado en el registro

algebraico la combinación de unidades como 3𝑥 + 1 = 0 conforman una unidad de nivel

superior y está constituida por unidades principiantes o primarias. (Duval, 2004, p.43)

43

Las condiciones para que una representación de orden superior sea una producción

pertinente y completa: reglas canónicas propias a un género literario o a un tipo de

producción en un registro. La consideración de las unidades debe tener términos y

significado de las unidades en el registro que se representa. En otras palabras, cada signo

de las unidades de orden superior debe tener un significado en la representación. Por

ejemplo, la representación 3𝑥 + 1 = 0 se pone en consideración que la variable

corresponde a las letras, el significado del signo igual y los coeficientes que se presentan

junto con la variable. (Duval, 2004, p.43).

La actividad cognitiva de formación y en particular las reglas de conformidad desde un

punto de vista epistémico y didáctico sirven para tener un control de aceptar una representación

producida en relación al registro en que está formada. Por otro lado, existen otras actividades

cognitivas relativas a la transformación dentro y fuera de los registros. Estas actividades

cognitivas son:

Tratamiento: Es la transformación de una representación a otra representación de

un mismo registro. Esta transformación se considera como una transformación intra

registro. Es un tipo de expansión discursiva del objeto dentro de un registro representado.

En el caso del álgebra, estos tipos de transformaciones permiten que se haga uso de

propiedades de la actividad matemática. Duval (2004, p.42).

La operación de tratamiento dentro del planteamiento de ecuaciones lineales presenta dos

tipos de operaciones sustitutivas, estas son:

1- Operaciones de cálculo y literal: Este tipo de reglas alude al hecho de que se debe

establecer una distinción y diferenciación entre las cantidades conocidas las cuales se

44

determinan con los signos numéricos y las cantidades desconocidas las cuales se designan

con los literales. El tipo de operación no se presenta de forma lineal, se deben establecer

reglas de tipo sintácticas para establecer la operacionalidad entre estos tipos de signos.

(Duval, 2002, pp. 9-10)

2- Desplazamiento de ciertos términos de un miembro a otro de la ecuación: Es un tipo

de operación que se presenta en el aprendizaje del álgebra que corresponde establecer

siempre la igualdad entre las dos expresiones que están separadas del signo igual, que

otras palabras siempre se debe tener en cuenta el salva aequalitate.12

. Este tipo de

operación es un tipo de operación de tipo semántico más que sintáctico porque se hace

alusión al sentido de la igualdad en la expresión en cuestión. (Duval, 2002, p. 10)

En síntesis, estas dos operaciones de tratamiento permiten una algoritmización de un

registro. Es importante tener en cuenta que aunque se efectúen tratamientos dentro de un registro

de representación semiótica, lo importante es la comprensión del objeto y para la compresión de

se necesita que haya una habilidad para cambiar de registro. Por esta razón, se presenta el tipo de

operación cognitiva relacionada con el trans-registro:

Conversión: Se considera como una transformación externa relativa al registro de

representación de partida (Duval, 2004, p.46). En otras palabras, corresponde a un

cambio de registro de representación sobre un objeto matemático a otro registro

conservando la esencia del objeto matemático. Para esta transformación, se requiere que

se ponga en correspondencia una organización de unidades del registro de partida con el

registro de llegada. La puesta en acto de una conversión hace que el sujeto tenga una

12

salva aequalitate corresponde al término en italiano que significa salvar la igualdad, en otros términos, conservar

la igualdad de la ecuación.

45

diferenciación entre el sentido y la referencia de los signos que subyacen en cada registro

de representación, ser consciente del contenido de la representación y lo ésta representa

en el sistema semiótico utilizado. En el aprendizaje del álgebra, la operación de

conversión tiene dos tipos de transformaciones relacionadas el registro de la lengua

natural y el registro algebraico las cuales se les conoce como designación funcional y

planteamiento de la ecuación:

1- Designación funcional: Como bien se mencionó anteriormente, los “signos”

concernientes al álgebra son las cantidades conocidas, las desconocidas y el signo igual.

Este tipo de designación se denota para establecer la incógnita como un símbolo para

designar un objeto en el enunciado porque este tipo de designación permite que se

reduzca el léxico en la lengua ordinaria. En este sentido, este tipo de operación permite

que gracias a la reducción de léxico se pueda hacer redesignación en función de la

incógnita. Dicho en otras palabras, el hecho de vincular una letra no solo se hace con el

objetivo de designar un objeto, más bien, para designar al menos dos objetos que sean

diferentes dentro del enunciado (Duval, 2002, p. 6)

2- Planteamiento de la ecuación: El segundo tipo de conversión corresponde a saber

establecer la ecuación, para este proceso, es muy importante que el sujeto haya

discriminado con anterioridad las unidades significantes y la designación que permite una

relación de igualdad, esta designación puede verse identificada mediante un verbo, por

ejemplo “es, se obtiene, hay” etc. Este tipo de conversión se presenta con mayor

frecuencia en los sistemas de ecuaciones donde se provee el uso de varias incógnitas.

(Duval, 2002, p. 8)

46

La actividad de conversión es la actividad cognitiva más compleja de adquirir para la

mayoría de los estudiantes y a su vez la menos natural de efectuar, pero es la actividad cognitiva

por excelencia para el aprendizaje puesto que permite el dominio de al menos dos registros de

representación semiótica. Sin embargo, pese a las dificultades que acarrea el efectuar

conversiones, se presentan dificultades que son producto de la congruencia y no congruencia

entre dos registros. De esta forma, la congruencia se presenta cuando hay una relación término a

término entre las unidades significantes respectivas a las dos representaciones. En otras palabras,

cuando se presenta una congruencia entre dos registros implica que las unidades significantes del

registro A sean coherentes al registro B y al hacer una conversión de B hacia A (Conversión

inversa) se mantengan las mismas unidades significantes entre los registros. Por esto, para

identificar la congruencia entre dos registro de registros de representación semiótica, es

considerable hacer hincapié sobre los criterios de congruencia entre las representaciones. Estas

reglas son:

1- Correspondencia semántica de los elementos significantes: “a cada unidad

significante simple de una de las representaciones, se puede asociar una unidad

significante elemental” (Duval, 2004, p.53). Esta regla permite identificar que un registro

al formar una unidad lexical de dicho registro se puede relacionar con una unidad lexical

del otro registro.

2-Univocidad semántica terminal: Esta regla define que a cada unidad significante

elemental de la representación de partida, le corresponde una sola unidad significante en

la de llegada. Es decir, un registro que enuncia un significado teniendo en cuenta las

unidades significantes, cada unidad significante representada de inicio le corresponde una

sola unidad representante de llegada. Una ilustración de esta regla podría ser el uso de la

47

lengua natural y el registro algebraico, la enunciación de la situación problema

relacionada con el objeto matemático ecuación lineal remite a que se desarrolle una

expresión algebraica donde cada unidad significante del registro en lengua natural le

corresponde una unidad significante en el registro algebraico. (Duval, 2004, p.53)

3- Orden de arreglo de las unidades que componen cada una de las dos

representaciones: Esta regla manifiesta que en el mismo orden en que se presentan las

unidades significantes en el registro de llegada, en ese mismo orden se presentará las

unidades significantes en el registro de salida teniendo en cuenta el mismo número de

dimensiones. (Duval, 2004, p.53)

La congruencia entre dos registros debe constar de los tres criterios mencionados, de lo

contrario, se presentará no-congruencia entre los registros de representación semiótica; esto

genera problemas en la conversión y entre mayor sea el grado de no-congruencia, mayor serán

las dificultades para cambiar de registro. Como consecuencia, se presenta encapsulamiento para

desarrollar trans-registro y encapsulamiento en los sistemas de representación.

En síntesis, el vínculo de las actividades cognitivas en la actividad matemática se puede

resumir en registros que pueden ser de tipo algorítmico o no y pueden cumplir una o muchas

funciones en las actividades cognitivas mencionadas tal como se puede observar en la siguiente

ilustración:

48

Ilustración 3.Diferentes tipos de actividad cognitiva en las matemáticas. Duval (2002b, p.54)

Como caso particular de este trabajo se propone un ejemplo de los conceptos

desarrollados en la ilustración anterior:

Tabla 6. Ejemplo de las transformaciones de las presentaciones semióticas que se pueden realizar en

Matemáticas.

49

En esta misma línea de ideas, Duval (2004b) presenta los tipos de registros que puede ser

de tipo algorítmico o no de acuerdo a su multifuncionalidad o monofuncionalidad y dependiendo

de la representación en que se proponga el objeto matemático:

Tabla 7.Clasificación de los diferentes tipos de registros movilizados en Matemáticas. (Duval, 2004b,

p.52)

Como puede observarse, los tipos de registros más utilizados para las ecuaciones lineales

son los registros en su mayoría registros de representación discursiva tomando registros multi y

monofuncionales. Por esta razón, es necesario hacer énfasis en el discurso particularmente en la

lengua natural como registro que cumple ciertas funciones.

2.3 LA LENGUA NATURAL Y LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA

Todos los registros de representación semiótica deben cumplir las funciones cognitivas:

comunicación, tratamiento y objetivación; estas funciones son independientes de cada sistema

50

semiótico, llamadas funciones meta-discursivas, es decir que todo registro debe cumplir con

dichas funciones. Sin embargo, cada registro tiene funciones que son propias de un sistema

particular y los registros de representación discursivos no son la excepción. De ahí, que la lengua

natural cumpla con ciertas funciones que permiten construir un discurso. En primer lugar, la

lengua debe nombrar objetos, enunciar características del objeto, realizar vínculos entre

proposiciones enunciadas y establecer valores de verdad sobre éstos (Duval, 2004). En otras

palabras, la lengua natural debe cumplir con las funciones de designación de objetos, función

apofántica de expresión de enunciados completos, función de expansión discursiva y función de

reflexividad, las cuales se explican a continuación:

La primera función de la lengua es permitir designar objetos (Duval, 2004, p. 94). A su

vez, de esta función se clasifican ciertas operaciones las cuales son:

Operación de designación pura: Esta operación consiste en identificar un objeto

mediante algún tipo de gesto, marca o alguna simbología particular (Duval, 2004, p.94).

Por ejemplo:

La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°. Si el

primero mide 30° más que el segundo y el tercero 60° menos que el

primero ¿Cuál es la medida de cada ángulo?

La designación pura corresponde al sujeto “ángulos”

Operación de categorización simple: consiste en identificar un objeto con base en sus

cualidades (Duval, 2004, p.95). Respecto al ejemplo anterior, las operaciones de

categorización simple corresponden a los términos “suma”, “180°”, “primero”, “mide”,

“30°”, “segundo”, “60°”, “tercero”.

51

Operación de determinación: Consiste en precisar el campo en que se presentan esas

cualidades (Duval, 2004, p. 95). Considerando el ejemplo anterior, el campo

La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°. Si el primero mide 30° más que

el segundo y el tercero 60° menos que el primero ¿Cuál es la medida de cada ángulo?

Operación de descripción: permite identificar un objeto mediante el cruce de varias

operaciones de categorización (Duval, 2004, p.95). Nuevamente se menciona el ejemplo

anterior:

La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°. Si el primero mide 30° más que

el segundo y el tercero 60° menos que el primero ¿Cuál es la medida de cada ángulo?

En este orden de ideas, al designar un objeto, se debe tener un “léxico” para poder

nombrar algo sin importar qué sea. El léxico corresponde a “Un conjunto de elementos (signos,

símbolos, o palabras) que permiten marcar explícitamente el cumplimiento de una de las cuatro

operaciones que contribuyen a cumplir la función referencial” (Duval, 2004, p.94). No todos los

léxicos tienen el mismo modo de organización ni los mismos modos de extensión, por ello es

importante hacer una gran distinción entre los tipos de léxicos:

Un léxico es sistemático cuando se forma de la siguiente manera: “un conjunto de

objetos elementales y sus designaciones por medio de símbolos arbitrarios, los objetos se

designan por composición de símbolos arbitrarios” Granger (citado Duval, 2004, p. 97). De la

misma forma, se afirma que el léxico inicial corresponde a los símbolos que designan objetos

elementales. Por ejemplo, las escrituras algebraicas, los símbolos numéricos etc.; a su vez los

léxicos sistemáticos presentan una gran restricción y esta sólo permite designar únicamente un

objeto que pertenece a un dominio particular.

52

Un léxico es asociativo cuando su léxico de partida no remite a un conjunto de objetos

teóricamente elementales, sino a la diversidad de objetos y de fenómenos del medio físico y del

entorno sociocultural (Duval, 2004, p.98). De esta forma, los objetos y los fenómenos que se

designan en muchas ocasiones giran en función de características que los tipifican sin definirlo,

mostrando que la palabra que los designa refleja la imagen en la retina.

En la siguiente tabla se presenta las operaciones de la función referencial y las formas

asociadas en el registro de lengua natural y la lengua formal:

Tabla 8. Operaciones de la función referencial y sus formas asociadas (Duval, 2004, p. 100).

Ante la emergencia sobre de evocar objetos, no basta con la designación simple de éste.

Una lengua debe permitir que se pueda decir cualquier cosa sobre los objetos que se designan.

Esta característica que tiene la lengua natural recibe el nombre de función apofántica la cual

presenta un valor13

asociado. Además de ello, presenta dos operaciones:

13

En palabras de Ducrot, 1972 (como se cita en Duval, 2004, p.105) los enunciados completos pueden tener un

valor lógico de verdad o falsedad, un valor epistémico de certeza, de necesidad o verosimilitud, de posibilidad o de

absurdidad, un valor social de pregunta que obliga a una respuesta, de orden para ejecutarse, de deseo, de promesa.

53

Predicación: consiste en establecer la relación y un atributo de éste teniendo en cuenta

atributos como una propiedad, una acción o relación, con una expresión que designe los objetos.

En otras palabras, la predicación permite que se puedan dar características al sujeto, un

significado dentro de un contexto (Duval, 2004).

Acto ilocutorio: Se conoce como el acto que emite una acción cuando se dice algo, un

acto que compromete al locutor con el juicio emitido (Duval, 2004).

Para que una proposición sea un enunciado completo en lenguas naturales, no basta que

provenga de una operación de designación, también es necesario que se efectúe una fuerza

ilocutoria sobre la proposición emitida. Por ejemplo, ¡Cómprame un chocolate¡ ¿Puedes

comprarme un chocolate? Los actos ilocutorios pueden presentar teniendo en cuenta la

entonación con que se presente la proposición.

Ahora bien, las proposiciones que tienen su origen en la variación de las formas de

predicación presentan estructuras internas muy diferentes las cuales se denominan estructura

remática y estructura funcional. La primera, se identifica “por la combinación de un verbo, con

o sin expansión, y de una función que cumpla con la función referencial”(Duval, 2004, p.108);

este tipo de estructura se presenta en la lengua natural. Por otro lado, la segunda estructura

corresponde a las combinaciones que realizan en lengua formal14

.

Centrándose en las unidades apofánticas, es indispensable conocer la forma en que varía

la redacción de los textos, estas transformaciones que se realizan están directamente relacionadas

con el modo en que se explicita le contenido cognitivo en la comprensión de una unidad

apofántica (Duval, 2004, p.286), estas redacciones generalmente pueden ser explícitas o

14

No se profundiza debido que no se estudian las lenguas formales en este trabajo.

54

implícitas, he aquí donde los elementos explícitos son objeto de estudio en la tematización. Pero

lo que solamente es el objeto de una mención no puede considerarse como implícito, ni

redaccionalmente explícito. Lo que se puede considerar es denotarlo como redaccionalmente

mencionado. De ello, que se presenten variaciones en la redacción de un enunciado:

Primero, esta variación concierne a escoger elementos (objetos, relaciones, estados de

hecho...) subyacen bajo la función referencial, o tomados bajo una expresión que cumple

una función apofántica (frase). Segundo, Está relacionado con la escogencia de las

expresiones apofánticas para tematizar elementos que se quieren explicitar. El tercero

concierne el orden de presentación de los elementos explicitados. Es decir el orden de

sucesión de las frases. Pero también los elementos que, en cada frase, son explicitados a

través de una expresión referencial y que por tanto están en una posición de sujeto

gramatical del verbo principal. Estos tres factores de variación determinan lo que se llama

organización redaccional de un texto (Duval, 2004, pp.287-288).

Para ilustrar la variación redaccional, se presenta el siguiente ejemplo:

La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°. Si el primero mide 30° más

que el segundo y el tercero 60° menos que el primero ¿Cuál es la medida de cada

ángulo?

Claramente se explicita que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°, las

escogencia de las expresiones para determinar las medidas de cada ángulo, el primero mide 30°

más que el segundo… el tercero 60° menos que el primero. Finalmente, el orden en que se

presenta el enunciado, se evidencia que se comienza indicando el valor total de los ángulos sin

conocerlos, luego, presentan una relación entre el primer ángulo y el segundo indicando que el

primero excede al segundo en 30°, después se establece relación entre el tercero y el primero con

la condición de que el primero es mayor que el tercero por 60° dejando como implícito que el

tercero es inferior al primero en 60°, por último se plantea la pregunta que abarca todas las

55

unidades apofánticas. De hecho, los elementos nombrados hacen parte de la organización

redaccional.

Así mismo, reducir el uso de la lengua a evocación de enunciados completos sino que

estos deben vincularse y relacionarse en la unidad de un demarche discursiva que tenga

continuidad y se presente de forma no tautológica (Duval, 2004). Este tipo de función

corresponde con la función de expansión discursiva, en efecto, uno de los principales problemas

que surgen en la comprensión de un discurso está relacionado como lo que el discurso deja

explícito y lo que no. El modo de producción de un discurso puede determinar las operaciones de

un discurso, este modo de producción puede realizarse de forma lógica, o descrito como lo hace

la “lengua natural”, estas expansiones pueden hacerse por acumulación o por sustitución:

Cuando la expansión discursiva se realiza por sustitución, el paso de un enunciado a otro

no depende de sus contenidos respectivos, sino del estatus15

respectivo de cada enunciado:

hipótesis dadas, premisas, conclusión intermedia o conclusión buscada, regla de sustitución

(Duval, 2004, p.115).

De otro lado, cuando la expansión discursiva se construye por acumulación, el paso de un

enunciado a otro depende del contenido16

respectivo: expresiones referenciales, expresiones

predictivas, estas deben provenir del mismo dominio de objetos o de la misma red semántica

(Duval, 2004, p.115).

15

Corresponde al papel que cumple una unidad apofántica con respecto a otra en la organización de un discurso. 16

Este corresponde a los diferentes aspectos bajo los cuales puede ser identificada, bien sea por la materialidad de

los signos que permite distinguirla de otras, y por tanto, repetirla, la significación de sus expresiones referenciales y

predicativas así como las asociaciones permitidas por la red semántica de la cual provienen, o su eventual valor de

verdad. (Duval, 2004, p. 115)

56

Ante los posibles tipos de expansión discursiva, se presentan cuatro formas en la

siguiente tabla:

Tabla 9. Formas asociadas a la función de expansión discursiva (Duval, 2004, p.119)

La similitud semiótica corresponde a la repetición de los mismos significantes de un

enunciado a otro. (Duval, 2004, p.117)

La similitud semántica permite que una invarianza referencial entre dos expresiones

diferentes permita una continuidad temática entre las frases que las contienen,

permitiendo que la segunda frase constituya un avance discursivo de la primera. (Duval,

2004, p. 117)

La similitud interna consiste en el paso directo de un enunciado a otro sin que se requiera

un tercer enunciado, sólo con estas dos asociaciones es posible determinar la similitud

semántica o semiótica entre los dos enunciados. (Duval, 2004, p.118)

57

La similitud externa permite el uso de un tercer enunciado bien sea directo, indirecto,

explícito o implícito para que haya una continuidad en el discurso formando así similitud

semiótica o semántica. (Duval, 2004, p.119)

Otro aspecto a considerar es que una lengua debe permitir también situar un enunciado en

relación con otros enunciados, según el empeño que el locutor ponga en lo que enuncia o incluso

en la relación que quiere establecer con el interlocutor. Esto quiere decir que una lengua debe

permitir explicitar en el enunciado mismo la manera como el locutor emplea la lengua para decir

lo que quiere decir y que según sea el valor de verdad de una función este dependerá únicamente

del valor de sus argumentos y de un conjunto que no cambie por el cambio de designación de

uno de sus elementos lo cual corresponde a la función de reflexividad. (Duval, 2004b. pp.121-

122).

58

CAPÍTULO 3. ASPECTOS METODOLÓGICOS

El tipo de investigación en el presente trabajo de grado sigue la modalidad descriptiva

documental, dado que esta modalidad logra caracterizar, describir y plantear un panorama con relación a

una cuestión o problemática como se plantea en este proyecto.

Ahora bien, para cumplir los objetivos propuestos, la presente investigación se elaboró en la

Institución Educativa Francisco José de Caldas la cual está ubicada en el distrito de

Buenaventura (Valle del Cauca-Colombia) el trabajo se realizó con estudiantes de grado noveno

con una selección de 2 estudiantes por cada grado de manera aleatoria para un total de ocho

estudiantes. Esta selección de hace debido que el análisis de los resultados pretende ser

cualitativo y al tener una mayor muestra, los resultados del estudio tendrían mayor extensión.

En esta investigación se propuso realizar dos actividades, así mismo, en su elección se

tuvo en cuenta aspectos semióticos-cognitivos de los registros de representación semiótica y en

particular las actividades cognitivas de tratamiento y conversión.

Las actividades son una selección de algunos problemas de la secuencia didáctica que

construye Azañero (2013) en la cual diseñó secuencias de problemas que se resolvieran usando

ecuaciones lineales, que estimularon tratamientos en los registros algebraico, numérico y verbal con

el fin de identificar errores al estimular operaciones cognitivas (tratamiento y conversión) en el

marco de la teoría semiótica cognitiva.

La segunda actividad que se propuso a los estudiantes es una selección de problemas que

se presentan en los libros de textos Espiral 8 y Símbolos 8 diseñado por Moreno (2008) &

Caraballo (2006) de la editorial Norma y Voluntad respectivamente. Se escogieron estos libros

porque son los recursos principales que poseen el docente y los estudiantes en el aula para el

59

desarrollo de sus clases. Al igual que la actividad anterior, los problemas seleccionados se

observaron desde la perspectiva semiótica apuntando a los procesos cognitivos, la congruencia y

la coordinación entre los registros.

Se pretende trabajar con estas actividades porque por medio del trabajo de Azañero

(2013) se desea identificar dificultades y la incidencia de algunos elementos semióticos en el

proceso de su resolución tales como la congruencia y el cambio de registro. Por otro lado, se

pretende desarrollar actividades desde la selección de los libro de textos porque es viable indagar

desde lo semiótico sobre las actividades ahí se proponen.

Teniendo en cuenta el tiempo para la resolución de las actividades, el desarrollo de éstas

tuvo un tiempo mínimo de dos horas por prueba. Así, los registros de representación semiótica

que se abordan en las actividades son el registro geométrico, algebraico, lengua natural.

De acuerdo a lo anterior, para obtener un análisis detallado de la información que brindan

las dos actividades desarrolladas en el aula, se construyen rejillas de análisis que en primera

instancia, aborda un análisis cualitativo de las preguntas que se proponen en lengua natural

mediante enunciados completos. Es decir, en la rejilla de análisis se tiene la intención de

establecer un estudio de los enunciados completos a través de unidades segmentadas, la rejilla es

tomada de Pontón (2012) la cual hace referencia a las unidades elementales que componen cada

uno de los enunciados que se presentan en lengua natural. Como puede observarse a

continuación:

60

Tabla 10. Formato de rejilla para el análisis de los enunciados. Pontón (2012).

La primera casilla corresponde a la pregunta en lengua natural que se va a analizar, las

abreviaturas U1, U2, Un son las unidades apofánticas que tiene el enunciado completo, la

categoría designada unidad de la unidad concierne a la unidad objeto de estudio, los elementos

explicitados hacen alusión a términos que son clarificados en el enunciado con relación a la

unidad de la unidad. Se estudia la forma de nombrar, los sujetos, los adjetivos, y los tiempos

verbales, luego se describe el orden en que se presentan los elementos que son explicitados en el

enunciado, los objetos matemáticos involucrados y la magnitud objeto de la unidad.

Para las categorías de análisis referente a los aspectos semióticos, se construyó otra rejilla

la cual cuenta con los conceptos de la semiótica- cognitiva que cuenta con los tres fenómenos

diferenciación, diversificación y coordinación, las operaciones cognitivas y los criterios de

congruencia, tal como puede observarse en la siguiente tabla:

61

ANÁLISIS DE LOS REGISTROS DE REPRESENACIÓN SEMIÓTICA

ACTIVIDAD

ACTIVIDADES COGNITIVAS

CONVERSIÓN

DESIGNACIÓN FUNCIONAL

AS

PE

CT

OS

DIS

CIP

LIN

AR

ES

PLANTEAMIENTO DE LA

ECUACIÓN

TRATAMIENTO

DESPLAZAMIENTO DE UN

TÉRMINO A OTRO

OPERACIONES DEL CÁLCULO

LITERAL

Tabla 11. Formato de rejilla para el análisis de los aspectos semiótico y disciplinares.

Los elementos que fueron objeto de estudio para la recolección de información están

ligados a las actividades cognitivas de tratamiento y conversión, las operaciones substitutivas y

referenciales respectivamente vinculadas al aprendizaje del álgebra. Se realizó un análisis de las

operaciones cognitivas donde se describió cómo pueden ser los posibles procesos de tratamientos

para poder identificar la génesis de diferentes problemas para realizar operaciones algorítmicas,

identificar la variable, operar y utilizar las propiedades en el campo de los números reales de

forma correcta, la designación de la variable cuando se plantean ecuaciones lineales. En síntesis,

se realizó un contraste entre las posibles respuestas que puede tener un problema teniendo en

cuenta las operaciones cognitivas tratamiento y conversión y los procesos que pueden desarrollar

los estudiantes. El análisis de estas producciones se diseñó en otra rejilla que se presenta de la

siguiente forma:

Tabla 12. Rejilla para el análisis de las producciones creada por los estudiantes.

62

La primer fila alude a la pregunta que se va a analizar, la columna Est corresponde a la

cantidad de estudiantes que presentaron la prueba, en las respuestas realizadas se presentan las

producciones que realizan los estudiantes para ello se presenta una imagen de la solución a la

pregunta, para las columnas conversión y tratamiento se realiza un análisis teniendo en cuenta las

operaciones que presenta cada uno de los dos registros de representación semiótica.

Luego de ello, las variables para el análisis de las producciones que desarrollaron los

estudiantes teniendo en cuenta los aspectos disciplinares fueron: el grado de la variable, el

planteamiento de la ecuación, el uso correcto de las propiedades y la solución de la ecuación. Por

otro lado, las variables referentes a los aspectos semióticos que se abordaron en la investigación

estaban ligadas a los procesos cognitivos (tratamiento y conversión) y la incidencia de los

criterios de congruencia para plantear resolver el problema. También, la rejilla de Pontón (2012)

permitió identificar la unidad y sobre quién se hace alusión, (Función referencia), darle un

contexto completo a dicha unidad (apofántica), la estructura como se desarrollan de manera

progresiva los enunciados.

3.4 CRONOGRAMA

El trabajo de investigación se realizó el siguiente cronograma el cual corresponde a todo

el recorrido y las actividades a lo largo de éste.

Tabla 13. Cronograma de actividades

Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre

RESUMEN X

INTRODUCCIÓN X

ANTECEDENTES X

PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA XX

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA X

1.1.OBJETIVOS XX

JUSTIFICACIÓN X

METODOLOGÍA XX

MARCO TEÓRICO XX XXXX

TRABAJO DE CAMPO XXXX XXX

ANÁLISIS DE LAS SECUENCIAS X XX

CONCLUSIONES XX

63

CAPÍTULO 4.ANÁLISIS DE LAS ACTIVIDADES

4.1 ACTIVIDAD 1

A continuación se realizará la segmentación de la información a partir de las rejillas

teniendo en cuenta los elementos teóricos que en capítulos anteriores se han explicado.

Este primer problema, hace parte de un conjunto de problemas que Azañero (2013)

diseñó con varios ítems para estimular la conversión de un registro semiótico a otro. Para

efectos del trabajo se segmentó ítem por ítem a su vez, el enunciado principal.

Ilustración 4. Pregunta 1. Actividad 1

64

Se ha denominado enunciado 1 al principal del problema.

Tabla 14. Segmentación del enunciado 1.

Como se puede evidenciar, la información que se explicita es la que el estudiante

deberá tener en cuenta al momento de realizar el problema. Dicha información alude a las

dimensiones de la cancha de Vóley y explicita una condición importante que es “Ser el doble

de” es decir que una de las dimensiones debe cumplir con esta condición. Es importante tener

en cuenta que la presentación de los elementos explicitados tiene como objetivo que el

estudiante pueda responder los ítems que se encontrará de acuerdo a la información que ha

sido suministrada.

A continuación se abordará el primer ítem del problema desde la rejilla para observar

qué elementos complementan la información para que los estudiantes puedan concatenar lo

65

explicitado más sus conocimientos les permitan coordinar las conversiones entre registros que

se puedan suscitar.

Tabla 15. Segmentación de la pregunta 1.a.

Existe una congruencia entre las unidades significantes del enunciado principal y este

primer ítem, puesto que aluden a la cancha de vóley, se explicita una de las dimensiones que

ya son distintas a la anterior pues en este ítem “Camila va a construir” hay un faltante de

información que es el ancho de la cancha de Vóley que debe ser hallado según la condición

dada información que se pide de manera clara en el enunciado. Por otro lado, se pide que se

dibuje un rectángulo y se pongan las dimensiones correspondientes, a diferencia del

enunciado principal en este se explicita que las dimensiones pertenecen a un rectángulo,

mientras que en la información inicial se encuentra de manera explícita quizás considerando

que los conocimientos previos de los estudiantes les lleven a concluir que según la

66

información cuando las medidas son diferentes más que la cancha tiene cuatro lados se habla

de un rectángulo, es notorio que se espera que la condición inicial sea suficiente para que el

estudiante pueda realizar las operaciones cognitivas correspondientes.

Tabla 16.Segmentación de la pregunta 1.b.

De la anterior segmentación nótese que no hay congruencia entre las unidades que

componen el enunciado principal y este ítem debido a que aunque se haya encontrado el

ancho del rectángulo que diseña Camila en el enunciado 1.a y se establezca explícitamente la

condición dada en el enunciado 1.b, la univocidad semántica deja de existir ya que se

introduce otra unidad la cual no había sido desarrollada en ninguno de los ítem anteriores la

cual corresponde al concepto “perímetro”. Así mismo, se pide que se calcule el perímetro del

rectángulo que “diseña Camila” el cual no había sido desarrollado hasta el momento.

Sin embargo, en cuanto a los fenómenos relacionados con los aspectos semióticos que se

expuso en el marco teórico, las preguntas 1.a y 1.b cumplen con la diversificación puesto que

se puede representar el enunciado en un registro geométrico construyendo una figura

rectangular que cumpla con la condición dada y por otro lado se evidencia el fenómeno

67

diferenciación porque permite mostrar una característica del enunciado, como es el caso del

registro geométrico el cual permite una visualización concreta de la situación que se presenta

en lengua natural, el registro numérico y algebraico va permitir calcular el perímetro del

rectángulo. Tal como se observa en la siguiente tabla:

Tabla 17. Operaciones cognitivas desarrolladas en las preguntas 1.a y 1.b.

De acuerdo a las transformaciones desarrolladas en la anterior tabla se puede observar

que el objetivo de las preguntas 1.a y 1.b apuntan específicamente a realizar un cambio de

registro desde lengua natural al registro numérico, cuyo cambio de registro se hará teniendo

en cuenta la condición dada. Azañero (2013) presenta una dificultad que pueden tener los

estudiantes al resolver el problema, dicha dificultad radica en la no comprensión del concepto

perímetro la cual presenta no-congruencia con el enunciado 1. Ante esta, con el fin de

contrastar lo que se esperaba y lo que sucedió se presentan la resolución de las preguntas por

parte del estudiantado:

68

1. Las dimensiones oficiales de las canchas de vóley son 18m de largo y 9m de ancho.

Todas las canchas de vóley deben cumplir la condición de ser rectangulares, con la longitud del

largo el doble de la longitud del ancho.

a) Si la arquitecta Camila diseña una cancha de vóley cuyo largo mida 14 m ¿Cuánto debe medir el ancho

según la condición dada? Dibuja un rectángulo y pon las dimensiones correspondientes.

b) Calcula el perímetro de la cancha de vóley que diseña la arquitecta Camila.

EST RESPUESTAS REALIZADAS CONVERSIÓN TRATAMIENTO

1

17

18

Se realiza una

transformación de la

lengua natural al registro

geométrico.

Desarrolla conversión del

registro geométrico al

algebraico y por último

estimula la conversión del

registro algebraico al

numérico.

Se realiza adición entre las

cantidades numéricas

concerniente a los lados del

rectángulo.

2

El estudiante desarrolla

conversión de lengua

natural al registro

geométrico y luego al

sistema numérico.

Se efectúa el producto por

separado del largo y el ancho

multiplicándolo por dos,

luego se realiza la suma

correspondiente teniendo en

cuenta las cantidades

resultantes del producto.

17 Todos los estudiantes a excepción de un estudiante construyeron el rectángulo con las mismas dimensiones.

18 Dos estudiantes realizaron el mismo procedimiento para calcular el perímetro.

69

3

Desarrolla conversión de

la lengua natural al registro

numérico y posterior a

ello, estimula conversión

al registro numérico.

Se realiza la suma de las

longitudes que se presentan en

la imagen.

4

El estudiante realiza

conversión de lengua

natural al sistema

geométrico.

Responde en lengua natural

que el perímetro es 27.

5

Estimula trans- registro

desde la lengua natural al

registro geométrico y

numérico.

Respondió en lengua natural

que el ancho de la cancha de

vóley era 7m.

Tabla 18. Actividades cognitivas desarrolladas por los estudiantes a la actividad. 1, preguntas 1.a, 1.b.

De lo anterior, se puede decir que la mayoría de los estudiantes desarrollaron el problema

correctamente, tuvieron en cuenta cada una de las unidades apofánticas de la pregunta 1.a para la

resolución del problema y el objetivo que se propuso anteriormente se cumplió puesto que la

conversión fue desarrollada de forma correcta. De acuerdo, a la pregunta 1.a teniendo en cuenta

la segmentación de las unidades que componen el enunciado y el desarrollo del problema

propuesto por los estudiantes se nota que todos tuvieron en cuenta los elementos de la unidad 1,

“si la arquitecta Camila diseña una cancha de vóley cuyo largo mide 14 metros” es decir que

70

los estudiantes comprendieron que el largo de la cancha medía 14metros el cual fue explícito en

el enunciado de la pregunta.

La unidad 2 “cuánto debe medir el largo según la condición dada” fue comprendida

excepto un estudiante “5”quien ubicó la magnitud equivocadamente y presentó dificultades en la

resolución del problema porque no identificó con claridad la condición estipulada en el

enunciado 1 “condición dada”, para el caso de la unidad 3 “dibuja un rectángulo”, se

presentaron dificultades respecto a la unidad de la unidad “rectángulo” puesto que algunos de los

estudiantes aunque realizaron el dibujo tal como lo menciona el verbo de dicha unidad, no

colocaron las unidades correspondientes y se dejaron llevar por la imagen que tenía el enunciado

1, dichos estudiantes son 3 y 4, de esto se puede decir que existe una dificultad en identificar la

longitud de los lados opuesto de un rectángulo. La unidad relativa a la ubicación de las

dimensiones catalogada como unidad 4 no tuvo dificultad para la resolución del problema porque

los estudiantes realizaron el proceso tal cual como lo exigía el enunciado.

De lo anterior, se observó que la mayor dificultad que tuvieron los estudiantes para

resolver el problema fue porque la unidad 3 no fue comprendida en su totalidad, dicha unidad

presenta un concepto cuyo léxico es sistemático el cual general procesos erróneos en su

resolución, cabe la posibilidad de que si se hubiera nombrado la unidad de la unidad 3 bajo el

término “cancha de vóley” posiblemente los estudiantes podrían haber resuelto el problema.

Para el análisis de la pregunta 1.b, se observó que el verbo calcular fue comprendido de

forma satisfactoria puesto que todos los estudiantes realizaron el proceso relativo a encontrar un

valor correspondiente. Sin embargo, se observa que uno los estudiantes aludió al término de

perímetro sumando tres lados, dejó de lado de que un rectángulo tiene 4 lados y debía sumar,

71

podría pensarse que hay dificultad en la comprensión del rectángulo como figura que tiene cuatro

lados. El estudiante 5 presentó dificultades para resolver la pregunta 1.b ya que no se evidencia

transformaciones que den cuenta del objeto matemático relacionado con el concepto de

perímetro.

De lo anterior, se puede decir que la mayoría de los estudiantes desarrollaron el problema

correctamente, tuvieron en cuenta cada uno de las unidades apofánticas “calcula el perímetro de

la cancha de vóley que diseña la arquitecta Camila” para la resolución del problema. Sin

embargo, hubo una no-congruencia en la situación y el cambio de registro porque había una

unidad que relacionaba dos unidades que se mencionaron y un nuevo concepto en el análisis

semiótico y esto puede que haya influido de forma incorrecta en la solución del problema por

parte de algunos estudiantes.

Comparando las soluciones que encontró Azañero (2013, p.78) respecto a la pregunta 1.a,

el 90% de los estudiantes dibujaron el rectángulo tal como lo propone el enunciado, en el caso

relativo al cálculo numérico del ancho un poco menos de la mitad logró hacerlo porque no tienen

claridad sobre algunos elementos que son explícitos en el planteamiento de la pregunta tales

como la condición dada, el largo, el ancho. Por otro lado, el caso de los estudiantes que se

abordaron en este trabajo de grado, se obtuvo elementos similares a la investigación de Azañero

(2012) los errores y aciertos distan en el sentido de que el concepto rectángulo no es claro para la

mayoría de los estudiantes de la institución educativa.

De acuerdo a los resultados propuestos por Azañero (2013) respecto a la pregunta 1.b. se

observó que un alto índice de estudiantes “90%” calculó el perímetro del rectángulo

correctamente salvo un caso que la autora menciona relativo a la no identificación de la unidad

72

apofántica 1 que correspondía a la pregunta 1.a decir que “si la arquitecta Camila diseña una

cancha de Vóley cuyo largo mide 14 metros”, la estudiante cuyo representación geométrica

construyó fue la siguientes:

Ilustración 5. Respuesta de estudiante que responde la pregunta 1.b según Azañero (2013).

Se desarrolla un análisis en conjunto sobre las preguntas 1.c, 1.d, 1.e y 1.f que

corresponden al compilado de preguntas concernientes a las expresiones algebraicas:

Tabla 19. Segmentación de la pregunta 1.c actividad 1.

73

Como se observa, la pregunta refleja la unidad apofántica 1 que se debe utilizar una

representación gráfica que tenga las cualidades de un rectángulo que representa una cancha de

vóley sin olvidar la condición principal “el largo, el doble del ancho”. Sin embargo, se

agrega una nueva expresión “usa la variable x para indicar sus dimensiones”. En este

sentido, el término x tendrá la función de expresar algebraicamente el largo y el ancho de la

cancha, matemáticamente se destaca que la variable permitirá establecer un tipo de expresión

algebraica (polinómica, racional o radical), pero no especifica cuál de las dos dimensiones

debe ser designada con principalmente con la variable. En este sentido, se observa no-

congruencia porque se establece otra unidad correspondiente a la variable cuya determinación

no había sido desarrollada en este momento, de ello, se puede decir que se pierde la

correspondencia semántica se pierde al introducir un nuevo concepto tal como se apreció en el

ítem 1.b.

Tabla 20. Segmentación de la pregunta 1.d. Actividad 1.

En esta pregunta, es claro que la unidad apofántica 1 permite un hilo conductor entre

la pregunta 1.c, cuando se utiliza el verbo “usa”, además de ello, se observa que se introduce

74

la unidad apofántica 2 “escribe la ecuación que exprese que el perímetro de la cancha de

vóley es 48” para establecer una relación de equivalencia y resolver el problema. De ahí que

se observe la no-congruencia porque se introduce un nuevo concepto que desde los disciplinar

se desarrolla desde otro campo de conocimiento en las matemáticas el cual corresponde al

álgebra el cual se referencia en el ítem “una ecuación”.

Tabla 21. Segmentación de la pregunta 1.e. Actividad 1.

Está claro lo que se propone en cada una de las unidades de la pregunta 1.e. Por un

lado, la unidad apofántica 1 “resuelve la ecuación planteada en d” permite relacionar las

unidades elementales del enunciado anterior y la unidad apofántica 2 permite la univocidad y

la correspondencia semántica con los ítems anteriores a este problema. Por tanto, se puede

decir que hay una congruencia entre el enunciado presentado y los relacionados

anteriormente. La unidad 2 “dibuja el rectángulo que representa la cancha de vóley con las

dimensiones halladas”, aquí se deja explícito el rectángulo que se desea construir teniendo en

cuenta la unidad anterior a esta unidad.

75

Tabla 22. Segmentación de la pregunta 1.f. Actividad 1.

Se puede observar que la unidad apofántica deja explícito que se debe constatar los

valores que de obtuvieron en la resolución. Sin embargo, no se especifica sobre qué resultados

se realizará la prueba de los resultados. Por no ser explícito en el planteamiento del problema

esto puede generar algunas dificultades en su resolución. Por tal razón, el enunciado presenta

no-congruencia en el desarrollo de la conversión porque se deja de lado la univocidad

semántica terminal.

Los tres enunciados anteriores presentan diferentes apreciaciones para resolver el

problema que conciernen a una cualidad de nombrar a la variable x como las dimensiones de

un rectángulo. La primera, establece que la dimensiones del rectángulo pueden ser nombradas

por la variable 𝑥, la dificultad en este caso es que no se tiene diferenciada cuál dimensión

tiene se le asigna la variable x teniendo en cuenta la condición establecida. Es decir, no se

presenta quién es 𝑥, 2𝑥 𝑜 𝑥

2 dependiendo de la designación presentada en el desarrollo de la

76

pregunta. En el segundo caso, se realiza planteamiento de la ecuación, este elemento explícito

en el enunciado presenta una condición esencial para encontrar el valor de la incógnita x que

bien puede ser el largo o el ancho dependiendo de la designación que se desarrolle para la

variable. Por último, la pregunta 1f la cual va a constatar los valores encontrados teniendo en

cuenta la solución de la ecuación de se preguntó en 1.e.

Las preguntas desarrolladas en la primera sección tienen la característica de tener un

léxico asociativo porque se evidencia diferentes objetos ligados a un mismo entorno, además,

se presentan más de dos enunciados teniendo una similitud externa y diferentes significantes

para un mismo objeto, pudo verse el caso de las dimensiones (largo, ancho, x), cancha de

vóley (rectángulo), en el cual se exige un amplio dominio de leyes, conceptos para el objeto

matemático (rectángulo).

De acuerdo a los fenómenos implicados en los aspectos semióticos desarrollados en el

análisis de las preguntas, se evidencia diversificación de los registros de representación

cuando además de las preguntas donde se alude la lengua natural, se proponen las preguntas

1.c y 1.d y 1.e las cuales permiten el desarrollo de la conversión atribuyendo los sistemas

geométricos y algebraicos, en el caso del registro numérico cuando se desarrolla la conversión

en la pregunta 1.f.

Teniendo en cuenta las exigencias en relación con la diversificación del os registros

mencionados, se evidencian algunas características relativas a dicho fenómeno, por ejemplo,

la lengua natural permite la relación entre las dimensiones del rectángulo “el largo el doble del

ancho” el sistema semiótico geométrico contribuye en la visualización del rectángulo (cancha de

vóley, rectángulo) y establecer la condición de las dimensiones de los lados, el registro algebraico

permite encontrar una relación entre las cantidades desconocidas que se encuentran en los registros

anteriormente mencionados en relación con el perímetro del rectángulo para plantear la relación de

77

equivalencia entre dos polinomios y por último, el registro de representación numérico establece una

relación numérica entre los lados del rectángulo y su perímetro.

Tabla 23. Operaciones cognitivas desarrolladas en las preguntas 1.c, 1.d, 1.e y 1.f.

De acuerdo con las actividades que selecciona Azañero (2013), el objetivo de la

pregunta 1.c está encaminada a la conversión de lengua natural al registro algebraico. De la

siguiente forma:

Ilustración 6. Conversión de la pregunta 1.c.

78

De esta forma, se espera que se presenten dificultades en los estudiantes para designar

la variable x y utilicen expresiones numéricas 1cm y 2cm para el ancho y el largo

respectivamente.

Además de ello, bajo su escrutinio el objetivo de la pregunta 1.d consistía en el trans-

registro de la lengua natural al sistema algebraico donde posiblemente se presentan

dificultades para el planteamiento de la ecuación. Además, para los casos 1.e el objetivo se

destaca en el tratamiento del registro algebraico que de forma hipotética se espera que los

estudiantes no resuelvan la ecuación porque la ecuación no fue planteada de forma correcta.

Por último, para el caso 1.d se pretende que el estudiante desarrolle conversión del registro

algebraico al numérico y posterior a ello, se evidencie intra-registro para verificar los

resultados obtenidos. Conforme a ello, con el fin de establecer un contraste de lo que se

esperaba y la resolución de los estudiantes a los problemas planteados se desarrolla la

siguiente rejilla de análisis:

c) Dibuja un rectángulo que represente una cancha de vóley que cumple con la condición exigida y

usa la variable “x” para indicar sus dimensiones.

d) Usa lo hecho en la parte (c) y escribe una ecuación que exprese que el perímetro de la cancha de

vóley es 48 metros.

e) Resuelve la ecuación planteada en (d) y dibuja el rectángulo que representa la cancha de vóleibol,

con las dimensiones halladas.

f) Verifica mediante una prueba si los resultados que has obtenido son los correspondientes a cada

longitud. EST RESPUESTAS REALIZADAS CONVERSIÓN TRATAMIENTO

1

Se realiza conversión

del registro verbal al


numérico.

Suma y su resultado

es 48.

2

La conversión efectuada

corresponde a un

cambio de la lengua

natural al registro

geométrico, algebraico y

numérico.

Se desarrolla

tratamiento en el

registro numérico.

79

3

Al igual que la

estudiante anterior, se

realiza conversión del

registro verbal

El estudiante

multiplica por dos

cada una de las

dimensiones, luego

suma los resultados.

4

El cambio de registro

efectuado corresponde a

una transformación de

un sistema en la lengua

natural al geométrico

utilizando cantidades

numéricas.

El desplazamiento

de los términos no se

efectúa de forma

concreta porque no

hay una igualdad

entre dos cantidades.

Sin embargo, las

operaciones de

cálculo literal son

realizadas de forma

satisfactoria.

5

Se evidencia un cambio

de registro entre la

lengua natural al


luego se convierten a

expresiones algebraicas.

Si se evidencian las

unidades significantes

relacionadas con el

enunciado principal el

cual corresponde con el

largo es el doble del

ancho.

No se efectúan

desplazamiento de

términos. Sin

embargo, las

operaciones de


realizadas en su

totalidad correcta

para las preguntas d,

e y f.

80

6

La conversión realizada

por este estudiante tiene

similitud a la de otro

(est2).

Llega a la respuesta el

estudiante indicando

que el largo es 16m y al

ancho 8m.

Las operaciones de


realizadas en su

totalidad cual

responde la pregunta

1f.

7

Hay conversión del

registro inicial lengua

natural al registro

geométrico.

El desplazamiento

de los términos no se

efectúa de forma

concreta porque no

hay una igualdad

entre dos cantidades.

No obstante, las

operaciones de


realizadas de buena

manera.

Tabla 24. Operaciones cognitivas desarrolladas a los preguntas 1.c, 1.d, 1.f y 1.e Actividad 1.

De acuerdo a la anterior rejilla y teniendo en cuenta la pregunta la pregunta 1c, se

observó que los estudiantes desarrollaron la conversión trasformando del lenguaje natural al

geométrico, pero no se tuvo en cuenta lo que exigía la unidad apofántica 2 la cual

correspondía a “usar la variable x para indicar su dimensiones”, los estudiantes no

designaron ninguno de los lados correspondientes a la cancha de vóley que representaba el

rectángulo. De ahí, que se pueda decir que el elemento explícito indició de forma negativa en

la resolución del problema porque se utilizaron cantidades numéricas para la solución del

problema.

81

Para el caso de la pregunta 1d “Usa lo hecho en la parte (c) y escribe una ecuación

que exprese que el perímetro de la cancha de vóley es 48 metros”, se observa que además de

utilizar todas las condiciones del caso 1c esto incluye que se tomen las condiciones anteriores

tal como lo establece la unidad apofántica 1. Así mismo, en la unidad apofántica 2 se

menciona que se debe “establecer una ecuación que exprese el perímetro sea 48 metros” lo

cual implicó el desarrollo de esta pregunta puesto que no se diferenciaron los lados del

rectángulo cuya condición estaba dada en unidad anterior, en ese sentido 4 de los 8

estudiantes desarrollaron la pregunta pero no hicieron la respectiva distinción de los lados,

porque no tuvieron en cuenta la unidad de la unidad la cual consistía en “determinar en

términos de la variable x las dimensiones” quien se designó para encontrar el perímetro del

rectángulo, los demás utilizaron entre expresiones numéricas y otras que con la expresión de

polinomio.

Seguido esto, los estudiantes no resuelven la ecuación que proponen, pero encuentran

desarrollan las operaciones de suma y producto, utilizan el tanteo para llegar a la solución que

en algunos casos fue correcta. Dicha afirmación toma fuerza cuando se observa que cuando se

le pide a los estudiantes que “resuelvan la ecuación propuesta en d” el cual corresponde a la

unidad apofántica 1 de la pregunta 1.e, los estudiantes no desarrollan lo que propone el ítem,

pero sí desarrollan lo propuesto en la unidad 2 la cual establece que “dibuja el rectángulo que

representa la cancha, con las dimensiones correspondientes”. De igual forma, se observa que

el objetivo planteado por Azañero (2013) respecto a esta pregunta no fue desarrollado porque

no plantearon la ecuación y no se presentó la posible dificultad que presenta la autora en su

trabajo.

82

Con lo anterior, se evidencia que la no-congruencia jugó un papel fundamental en la

resolución del ítem porque se aluden a otro concepto el cual generó dificultades a lo

establecido en problemas desarrollados hasta el momentos, como son el cado de plantear en

términos de la variable x y plantear la ecuación.

EL segundo problema, fue seleccionado de las actividades que igualmente propone

Azañero (2013) el fin de desarrollar procesos de conversión de sistemas semiótico en los

estudiantes, el problema se presenta a continuación:

Ilustración 7. Problema 2, Actividad 1.

De acuerdo a esto, se denominó enunciado 2 del problema y se desarrolló la

segmentación correspondiente a este enunciado.

83

Tabla 25. Segmentación del enunciado 2.

Respecto a lo que se evidencia, en el enunciado se explicita que el estudiante debe

tener en cuenta el concepto de proporcionalidad, condición que es importante para el

desarrollo de las preguntas que depende de dicho enunciado, todo ello en la unidad apofántica

1 “la profesora luz enseña el concepto de proporcionalidad”. Además de lo anterior, la

segunda unidad apofántica referencia que “la foto tiene dimensiones 3cm y 3.5cm”, condición

que es explícita en el enunciado.

Seguido esto, se aborda la primera pregunta teniendo en cuenta el ítem anterior

mediante la rejilla se segmentación para observar qué elementos brindan información para el

desarrollo de la pregunta y así enlazar con el enunciado 2 y desarrollar las respectivas

operaciones cognitivas de forma coordinada.

84

Tabla 26. Segmentación de la pregunta 2.a. Actividad 1.

De acuerdo a la segmentación de la pregunta 2.a, nótese que la primer unidad

establece que “la maestra quiere hacer un cuadro de la foto ampliada de los perritos” de

acuerdo con esto, se establece que hay una relación entre el enunciado 2 y la pregunta

abordada en este ítem puesto que ambas tratan de la foto, a su vez, es clara la intención que se

evidencia entre el tema proporcionalidad y el elemento explicitado “foto ampliada” para el

desarrollo de la pregunta. Luego de ello, la unidad 2 plantea una relación conforme al

enunciado principal porque enlaza tanto a la unidad de la unidad “altura” de la foto ampliada

y la foto original. Además, se observa que se concatena la unidad 3 y el enunciado mediante

el elemento explícito “no se conoce la base del cuadro que se va a ampliar”. Sin embargo, se

observa una nueva unidad relacionada con conceptos de tipo algebraicos, donde se establece

que “plantea y resuelve una ecuación” elemento que aún no ha sido tomado en el enunciado

principal. En este sentido, no hay congruencia porque no hay correspondencia semántica entre

el enunciado y el ítem que referencia la pregunta a desarrollar.

85

Respecto al análisis semiótico se puede decir que de acuerdo a la diversificación es un

enunciado-problema que se presenta en primera instancia en lengua natural, en esa misma

forma, presenta una visualización del problema mediante una imagen (ícono), en la cual se

puede evidenciar un rectángulo, lo que conlleva a establecer una conversión entre el registro

geométrico y la lengua natural. A su vez con la pregunta 2a, se propone hacer una conversión

al registro algebraico.

Por otro lado, en ineludible reconocer la diferenciación del objeto matemático

trabajado cuando se realiza una proporción entre las dimensiones de la figura inicial y el

registro geométrico. La lengua natural muestra una identificación correspondiente a la

proporción entre el cuadro de la imagen y la figura que se va construir, la imagen muestra una

visualización de las dimensiones utilizadas para el problema y el registro algebraico permitirá

concatenar todas las unidades y los elementos explícitos para formar la ecuación lineal. Las

operaciones cognitivas desarrolladas en el problema son:

86

Tabla 27. Operaciones cognitivas desarrolladas en la pregunta 2.a

De acuerdo a las transformaciones desarrolladas en el ítem anterior, se observa que no

hay un orden en el arreglo de las unidades porque la unidad significante relativa a la ecuación se

presenta después de las unidades significantes concernientes a imagen ampliada. Esto posiblemente

puede contraer dificultades en la resolución del problema, desde esta perspectiva, Azañero (2013)

presenta dicho problema con el fin de estimular la conversión de la lengua natural al registro

algebraico principalmente. Nótese que la conversión debe ser mediada por la identificación de una

87

figura que presenta el enunciado. A partir de lo anterior, el desarrollo que proponen los estudiantes

relativos a la solución de problema se evidencia en la siguiente tabla:

2. La profesora Luz enseña a sus alumnas el tema de Proporcionalidad y les comenta a sus

alumnas que esta foto de sus mascotas tienen ciertas dimensiones mide 3cm x 3.5 cm.

a) La maestra quiere hacer un cuadro de la foto ampliada de sus perritos. Si la altura debe ser de

60cm. Plantea y resuelve una ecuación para encontrar la longitud de la base.

ES

T

RESPUESTAS REALIZADAS CONVERSIÓN TRATAMIENTO

1

Se realiza conversión de

registro de la lengua natural

al algebraico temiendo

como apoyo una

representación geométrica

la cual es intermedia para la

identificación del objeto.

Dividió entre dos

el número 60.

2

Se usa el registro numérico

para resolver el problema.

La operación

efectuada se realiza

de forma equívoca

y se confunde con

la operación

aditiva.

3

El cambio de registro

corresponde a una

transformación de la lengua

natural y luego al registro

algebraico.

Los

desplazamientos

realizados a los

términos no son

desarrollados

correctamente en

su totalidad.

4

Se evidencia conversión al

registro numérico pero no

se observa un

planteamiento de ecuación

donde se identifiquen todas

las unidades elementales

del enunciado.

Desarrolla intra-

registro, divide el

número 60 entre 2.

88

5

Se desarrolla conversión al

registro algebraico y el

planteamiento de la

ecuación es completo.

No hay

transformaciones

intra-registro.

6 Otros estudiantes no resolvieron la pregunta.

Tabla 28. Operaciones cognitivas desarrolladas por los estudiantes a la pregunta 2.a. Actividad 2.

De acuerdo a las producciones desarrolladas, nótese que un gran porcentaje de los

estudiantes identificaron la intención de la pregunta puesto que en el desarrollo del problema

se observa que las unidades apofánticas 1 y 2 “la maestra quiere hacer un cuadro de la foto

ampliada” y “si la altura debe ser de 60cm” respectivamente si se consideraron en el

planteamiento de la solución. No obstante, se observa que la unidad apofántica 3 relativa al

planteamiento de la ecuación se abordó hasta cierto punto porque Un estudiante plantea una

relación entre dos polinomios pero no efectúa tratamiento para resolver el problema, en otros

casos no son tenidas en cuenta todas las unidades elementales del enunciado para el

planteamiento de la ecuación y mucho menos para encontrar el valor de la incógnita se realiza

por yuxtaposición de la cantidad numérica, algunos estudiantes siguen utilizando la condición

dada que se presentó en la pregunta 1, otros estudiantes por el contrario no pudieron realizar

el problema porque no entendían cómo encontrar la base de la foto ampliada. Ante los

procesos cognitivos relacionados con el intra-registro los estudiantes no tienen en cuenta las

propiedades para la resolución del problema; algunos cálculos no son desarrollados

correctamente.

Esto quiere decir que la no-congruencia incidió en la resolución del problema

particularmente en la tercera unidad “plantea y resuelve una ecuación para encontrar la

longitud de la base” la cual no había sido establecida en el enunciado principal.

89

El conjunto de problemas seleccionados del trabajo de Távara (2013) termina con el

problema número 3 el cual se realiza en un contexto de la lengua natural mediado por el

diagrama de Venn y las expresiones algebraicas puntualmente las ecuaciones, de igual forma

se propende a plantear un análisis teniendo en cuenta la segmentación de las unidades

apofánticas del enunciado:

Ilustración 8. Pregunta 3. Actividad 1

Se denominó enunciado 3 a lo planteado como elemento principal del problema.

90

Tabla 29. Segmentación del enunciado 3. Actividad 1.

La información explicitada brinda información de cada uno de los procesos y los

elementos que tendrá que realizar el estudiante en el desarrollo del problema. El estudiante

debe identificar cada una de las unidades las cuales les permiten identificar por un lado, que

en el problema “se realizó una encuesta a 40 alumnos” la cual corresponde a la unidad

apofántica 1, por otro lado está en la obligación de detallar el “gráfico” el cual es un

diagrama de Venn que se realizó después de haber hecho desarrollado la unidad 1.

91


Existe congruencia entre lo que propone el enunciado 3 y la pregunta 3.a porque

dentro de la una unidad de la pregunta se toman todas las unidades elementales del enunciado

1, unidades como “problema que inventó Juan” además, el estudiante debe ser muy enfático

en discriminar las unidades que se despliegan del gráfico que presenta la encuesta.

Tabla 31. Segmentación de la pregunta 3.b. Actividad 1.

De acuerdo a la anterior segmentación nuevamente existe no congruencia entre las dos

preguntas porque se omite la univocidad semántica terminal y el orden de arreglo que

componen las unidades elementales porque se establece nuevamente el concepto de

92

“ecuación” el cual hasta el momento no se ha abordado. En este sentido, el estudiante debe

ser consciente de concatenar la información que presenta el enunciado 3, el diagrama de Venn

y las unidades apofánticas 1 para poder entender sobre qué le exige la unidad dos.

Tabla 32.Segmentación de la pregunta 3.b. Actividad 1.

Como puede observarse la unidad apofántica de la pregunta 3.c tiene como propósito

la resolución de la ecuación propuesta en la unidad 2. En este caso, el enunciado deja de

forma explícita que debe resolverse la ecuación, dicha resolución debe ser acorde con la

magnitud prepuesta que se presenta, es decir va tomar números naturales.

De acuerdo a los fenómenos evidenciados desde la perspectiva semiótica cognitiva se

observa el caso de la diversificación en la medida que como puede observarse, problema puede

expresarse en un registro discursivo (lengua natural) luego uno no discursivo como la representación

algebraica y la mediación del diagrama. Por otro lado, es indispensable la diferenciación porque se

utilizan diagramas de Venn para la visualización de la cantidad de personas, pero se hace un

planteamiento de ecuación teniendo en cuenta el enunciado que se presenta en el enunciado de la

pregunta, de ahí que se diferencie el significado y el significante.

Para efecto de dichas apreciaciones desarrolladas con los estudiantes se presentan las

siguientes producciones:

93

Tabla 33. Operaciones cognitivas desarrolladas a las preguntas 3.a, 3.b, 3.c. Actividad 1.

De acuerdo a los objetivos planteados por Azañero (2013) el objetivo de las preguntas

3.a, se pueden son desarrollar conversión del registro algebraico a la lengua natural, en cuanto

a ello la autora espera que los estudiantes identifiquen cuántas personas practican sólo futbol

y cuántas sólo básquet. Las dificultades que se esperan es que redacten el problema de

acuerdo a los propósitos estipulados. Así mismo, se espera que para la pregunta 3.b cuyo

propósito es que se estimule el trans-registro de la lengua natural al registro algebraico se

pueden presentar dificultades respecto al planteamiento correcto de la ecuación y por último

la pregunta 3.c tiene como objetivo el intra-registro del sistema semiótico algebraico. Por otro

94

lado, se evidencia algunos elementos incidentes en la no-congruencia en el proceso de

conversión para la resolución del problema:

No hay univocidad semántica terminal cuando se utiliza la intersección para completar

la cantidad de estudiantes que practican fútbol y por otro lado los que practican

básquet se utiliza para los dos conjuntos y además se debe restar con la intersección tal

como muestra la propiedad:

Fútbol: 𝑥 + 10, Básquet: 2𝑥 + 10,

Total alumnos: 40 Fútbol y Básquet: 10

(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐴 + 𝐵 − (𝐴 ∩ 𝐵)

No se evidencia un orden de unidades significantes, como se observará en el siguiente análisis:

Ilustración 9.No congruencia por el orden de unidades significantes.

Las unidades significantes del primer registro son identificables, es clara la magnitud

abordada en el planteamiento y es acorde a la solución del problema (magnitud discreta al

tratarse de alumnos). Del mismo modo, se evidencia que en el registro algebraico existe plena

identificación del registro y tiene características muy similares al registro de partida. La

solución de las preguntas que desarrollaron los estudiantes fueron:

95

3. Juan preguntó a 40 alumnos si practican básquet o fútbol. Al terminar de preguntar, Juan se

inventó un problema e hizo el siguiente gráfico.

Observando el gráfico,

a) Escribe el problema que tú piensas que inventó Juan.

b) Plantea una ecuación para resolver el problema que inventaste.

c) Resuelve el problema usando la ecuación.

ES

T

RESPUESTAS REALIZADAS CONVERSIÓN TRATAMIENTO

1

Desarrolló conversión del

registro algebraico a la

lengua natural, no hay una

interpretación correcta

referente al enunciado. No

tuvo el en cuenta las 40

personas.

El estudiante sumó

y colocó el

resultado

encontrado.

2

El planteamiento de la

ecuación no es completo

teniendo en cuenta que las

unidades elementales que

presenta el problema son

en su totalidad 40

alumnos.

Desarrolla

tratamiento cuando

plantea el problema

que él considera

que inventó Juan.

3 Plantea una situación

donde se evidencia la

cantidad de jugadores de

fútbol y básquet las cuales

son 𝑥 + 10 y 2𝑥

respectivamente.

No hay

desplazamiento de

términos y las

operaciones de

cálculo literal no

son correctas.

96

4

El argumento presentado

por el estudiante

corresponde a una parte

de enunciado al decir que

la una cantidad menor

practica futbol en relación

a los que practica básquet.

El estudiante planteó dos

polinomios

No hay

desplazamiento de

términos y las

operaciones se

realizan de forma

correcta.

5

No se presentan

elementos significativos

donde se evidencie

aspectos propios del

problema.

Designa las unidades

elementales concernientes

al registro algebraico las

cuales son 𝑥 + 10 y

2𝑥 + 10 de futbol y

básquet respectivamente.

No hay

desplazamiento de

términos, solo se

evidencian

operaciones de

cálculo literal las

cuales no se

realizan de forma

correcta.

97

6

Desarrolla conversión del

registro algebraico a la

lengua natural.

Responde parcialmente de

forma correcta a la

pregunta establecida la

cual consiste en

identificar cuántos

estudiantes practican

fútbol y cuántos

estudiantes practican

básquet; sin embargo, no

se presentan la cantidad

que practica fútbol y

básquet.

No hay

operaciones de

cálculo literal que

se evidencien de

forma correcta.

7

El planteamiento de la de

la situación corresponde a

las exigidas teniendo en

cuenta el diagrama y el

enunciado en lengua

natural.

Se establece una

designación funcional

donde se evidencia que

los alumnos que practican

futbol corresponde a

𝑥 + 10 y los que

practican básquet son

2𝑥 + 10. Sin embargo, no

se realiza una ecuación

que dé cuenta de las

condiciones que exige el

problema.

No hay

transformaciones

en el registro

algebraico.

Tabla 34.Operaciones cognitivas de las preguntas 3.a, 3.b y 3.c desarrollada por los estudiantes. Actividad

1.

Respecto a las operaciones cognitivas desarrolladas por los estudiantes comprenden de

forma general el problema, es decir que identifican claramente sobre qué se les pregunta.

Puede verse en la argumentación que sustentan en la unidad 1 de le pregunta 3.a. Por otro

lado, se observa que no hay un planteamiento de ecuación donde se reflejen aspecto ligados a

98

las unidades elementales del problema. Los estudiantes sólo proponen expresiones

polinómicas y no tienen en cuenta el enunciado principal para resolver el problema, de ahí

que se utilicen yuxtaposiciones para solucionar el problema.

La intersección de los dos conjunto generó dificultades en la solución del problema ya

que ninguno tuvo en cuenta dicha unidad que aportaba el diagrama de Venn. En este sentido,

la unidad 3.b tenía explícito que se debía plantear una ecuación. Paralelo a esto, se hace

evidente la no-congruencia en el desarrollo del problema puesto que no se fue claro algunas

unidades elementales que de cierta forma se omiten como es el caso de la intersección o la

diferencias entre los dos conjuntos. Para terminar, la unidad 3 no es concatenada porque no se

utilizaron los elementos que eran necesarios de las unidades apofánticas 3.a y 3.b porque en

primer caso no se planteó la ecuación, es por esto que utilizan cantidades numéricas.

99

4.2 ACTIVIDAD 2

La segunda parte de este análisis corresponde al estudio de la segunda actividad de la cual

se seleccionaron los libros de textos símbolos 8 de Caraballo (2006) y espiral 8 de Moreno

(2005), el objetivo de la selección de estos problemas fue evidenciar si existe un estímulo de las

operaciones cognitivas tratamiento y conversión entre registros semióticos de representación

como en el de Azañero (2013). El análisis se presenta de la misma forma en que se presentó el

anterior, comenzando por la rejilla que segmenta las unidades apofánticas de cada enunciado.

La primera actividad de este apartado se presenta a continuación:

Ilustración 10. Pregunta 1. Actividad 2.

Se ha denominado enunciado 1 al elemento principal del problema.

100


En este enunciado se puede evidenciar que el objetivo principal que tiene corresponde a

desarrollar conversión de la lengua natural al registro algebraico y luego desarrollar

transformaciones intra-registro para resolver la ecuación. Sin embargo, en el enunciado se

utilizan los términos “situación” el cual es confuso en tanto es como si se hablara de un contexto

particular y no de los tres tipos que se estudian en matemáticas tales como las matemáticas, otras

ciencias y el contexto. A su vez, se evidencia el uso de la expresión “forma escrita” el cual puede

aludir al registro en lengua natural o algebraico. Para ilustrar el caso anterior, se presenta el

siguiente ejemplo: sea 34𝑧 + 3 = 2𝑧 − 1. De ello, se puede decir que es un problema que

presenta una situación de tipo matemática y de forma escrita. Para efectos de la coherencia entre

la temática abordada se estudiará el primer problema teniendo en cuenta su segmentación:

101


La información que brinda el enunciado permite al estudiante tener en cuanta algunos

elementos que son indispensables en cuanto su reconocimiento. Por un lado, se observa que la

identificación del sujeto es claro y además de ello la condición explícita “el triple de un número

es 45” tiene claridad. Sin embrago, hay un grado menor de no-congruencia entre el enunciado 1

y la unidad apofántica perteneciente a la pregunta 1.a porque las unidades elementales no son

específicas del primer apartado no contempla específicamente las condiciones del problema 1.a y

de ser así, tampoco tendrá congruencia con los problemas que pertenezcan a este mismo ítem.

Posterior a ello, de muestra la segmentación del problema 1.b:

102

Tabla 37. Segmentación de la pregunta 1.b. Actividad 2.

Este segundo problema se presenta en lengua natural y tiene la particularidad de tener un

número natural del cual el estudiantado debe ser consciente, además de ello ,debe discriminar las

unidades que presenta el ítem tales como “adicionado”, “consecutivo” sin olvidar el enunciado

principal del problema que corresponde al enunciado 1 de la actividad 2. Así mismo, se

segmentará la unidad apofántica correspondiente al ítem 1.c.

103

Tabla 38. Segmentación de la pregunta 1.c. Actividad 2.

El tercer problema tiene como registro inicial la lengua natural donde el estudiante tendrá

que identificar la unidad de la unidad que cual corresponde a un “número” sobre el cual debe

reflexionar discriminando la cantidad puesto que el ítem sostiene que es un solo número. Luego

de ello, el estudiante debe considerar los elementos que se encuentran explícitos tales como “el

doble, el triple” que permitirán desarrollar procesos cognitivos relativos a la conversión.

De acuerdo a los análisis semióticos, los problemas cumplen con los fenómenos de

diversificación porque el objeto matemáticos puede ser representado además de la lengua natural

en los registros algebraicos, icónico. A su vez, se evidencia el fenómeno de diversificación

debido que se puede observar que el objeto matemático es implícito en la representación, se trata

de encontrar un valor desde el registro de la lengua natural pero no es la única vía de acceso para

104

la solución del problema. Para efectos de lo anterior, se presenta la posible respuesta que los

estudiantes realizarán de cada uno de los ítems propuestos:

Tabla 39. Operaciones cognitivas desarrolladas a las preguntas 1.a, 1.b, 1.c. Actividad 2.

Nótese que la congruencia entre los dos registros de representación es correcta porque se

presenta los criterios de correspondencia y univocidad semántica porque a cada una de las

105

unidades elementales de la lengua natural se le atribuye única unidad elemental en el registro

algebraico y de acuerdo al orden de arreglo entre las unidades se observa lo siguiente:

Ilustración 11. Orden de arreglo entre las unidades elementales del problema 1.a. Actividad 2.

Ilustración 12. Orden de arreglo de las unidades elementales de la pregunta 1.b. Actividad 2.

Ilustración 13. Orden de arreglo de las unidades elementales de la pregunta 1.c. Actividad 2.

Como se pudo observar, existe una identificación clara de las unidades significantes de

cada registro en simultáneo. Las unidades significantes del enunciado del registro de partida

tienen con claridad una y única unidad en el registro de llegada y se puede trabajar en paralelo

entre las dos representaciones. Ante ello, las respuestas que presentaron los estudiantes respecto

a dicho problemas fueron las siguientes:

106

1. Para cada situación escriba una ecuación que le corresponde tanto de forma escrita como

algebraica, luego resuelve dicha ecuación:

1a. El triple de un número es 45.


1

19

El estudiante usa el registro

numérico para resolver el problema.

Sin embargo, presenta una

conversión que no es acorde con el

planteamiento de la ecuación. Así

mismo, se evidencian problemas

relativos a la conversión del

registro en cuanto a la designación

funcional y mucho más en el

planteamiento de una ecuación.

Cuando realizan el

tratamiento y todo

el desarrollo

operatorio, se

observa que

confunden la

operación

potenciación con la

multiplicación.

2

Se estimula la conversión de la

lengua natural al registro numérico

y dan por hecho que el número

correspondiente a la solución del

problema es el número 15 sin

plantear una ecuación.

El tratamiento que

se realiza concierne

a la propiedad. Se

propone

tratamiento.

3

Se evidencia conversión de la

lengua natural al registro simbólico,

partiendo de que ya se conoce el

valor de la incógnita. Por

consiguiente, no se hace una

designación funcional de la variable

y no se plantea la ecuación.

Suma el número 15

tres veces para

tener como

resultado el

número 45.

4

Se utiliza el registro algebraico para

resolver el problema, pero, no

efectúa un planteamiento

coordinado entre los dos registros,

la conversión que se evidencia no

tiene un sentido completo con la

expresión general de una ecuación

lineal.

Se desarrolla el

tratamiento a través

del cálculo literal.

5

Se plantea una ecuación pero no

hay relación con las unidades

elementales correspondiente al

primer registro, se utiliza el número

15 el cual no se evidencia de forma

explícita en ninguna de las unidades

significantes de la lengua natural.

No se desarrolla de

forma correcta

tratamientos para

encontrar el valor

de la incógnita

relativo a la

transposición de

términos.

19

Esta respuesta es igual a la que propone otro estudiante. Por ello, no es necesaria incluir la otra

imagen.

107

6

Se evidencia la conversión al

registro algebraico, se plantea una

ecuación teniendo en cuenta las

exigencias establecidas pero no la

resuelve.

No se observan

operaciones intra-

registro a la

ecuación planteada

luego de efectuar

conversión, no se

efectúan

tratamientos.

7

Se realiza la conversión de la

lengua natural al registro algebraico

dejando como implícito la

designación funcional del número a

encontrar y lo simboliza con la letra

𝑥.

Resuelve la

ecuación y

encuentra el valor

de la incógnita

además utiliza

implícitamente las

propiedades de los

números reales y

los tratamientos

respectivos

(desplazamiento de

términos y cálculo

literal) para darle

solución al

problema.

Tabla 40. Actividades cognitivas desarrolladas por los estudiantes a la pregunta 1.a. Actividad 2.

Las interpretaciones que surgen a partir de la pregunta 1.a son fundamentales y divergen

unas de otras. El sujeto en este caso, resulta ser la expresión “un número” el cual es un número

desconocido, pero los estudiantes en muchos casos representan como un número dado, puede

observarse que se utiliza el número 15 para representar dicho número que no se conoce hasta el

momento. En cuanto a la operación de categorización el triple, se tienen también varias

representaciones y una de ella concerniente a la confusión entre el triple y el cubo de un número,

además de ello, la potencia cúbica se resuelve como una suma repetitiva, a partir de la

representación se puede apreciar cierta confusión entre la operación de potenciación, el producto

y la adición; otras representaciones corresponden a establecer el triple como tres objetos, en el

primer caso se toma como un número específico el cual corresponde al número 15 en que se

puede denominar como “tres números quince”, otra estudiante utiliza dos números quince y un

número arbitrario “𝑥” para resolver problema. Otra operación de categorización corresponde al

108

verbo “es” quien establece la relación de igualdad en los dos miembros de la ecuación, en ello

hubo una estudiante que no tuvo en cuenta este verbo para establecer la ecuación, por ello no la

pudo resolver. Otros estudiantes tomaron en cuenta ciertos los elementos del enunciado y no

tuvieron dificultad alguna en interpretar de forma algebraica.

Se observa que en muchos casos a los estudiantes se les dificultó plantear una ecuación

teniendo en cuenta todas las unidades elementales de la unidad apofántica. En este sentido, los

estudiantes conocen el número que cumple con la condición dada pero les cuesta un gran proceso

desarrollar una conversión al registro algebraico de forma coordinada para resolver el problema.



1.b) Un número natural adicionado a su consecutivo equivale a 27.


1

Se usa el registro numérico sólo

numérico

No hay una designación

funcional de las cantidades

desconocidas ni conocidas.

No hay discriminación de

unidades significantes entre los

dos registros.

Se evidencia un

cálculo literal

consecutivo

independiente de la

ecuación establecida

para llegar al número

27.

2

Resultado basado en el registro

numérico donde se yuxtaponen

dos términos independientes de

las unidades elementales de

enunciado- problema.

Se hacen

operaciones de

cálculo literal.

3

20

Uso de representación numérica

que resolver el problema. Los

números encontrados para la

resolución se encuentran por

tanteo.

Se efectúan las

operaciones de

cálculo literal luego

de haber encontrado

los números

consecutivos.

20

Se presentan dos estrategias más similares a ésta.

109

4

Se utiliza el registro numérico y

las unidades elementales del

nuevo registro no tienen ninguna

relación con las unidades

elementales del registro anterior.

Se realiza

operaciones de

cálculo literal luego

de encontrar los dos

números.

7

Se usa el registro algebraico y se

establece una ecuación

correspondiente al enunciado en

lengua natural, sin embargo no

se establece una correspondiente

transformación de las unidades

elementales entre los dos

registros. Da por hecho que el

número natural que satisface la

condición es el número 13 y el

número consecutivo lo establece

como una cantidad desconocida.

Establece

transformaciones

intra-registro y

efectúa

desplazamiento de

términos dejando

implícita la

propiedad del

inverso aditivo y las

operaciones de

cálculo literal se

realizan de forma

correcta.

8

Se hace transformación de


numérico, las unidades

elementales del nuevo registro

no corresponden a las del primer

registro, por ello, no se establece

una coordinación entre los dos

registros.

Las operaciones de

cálculo literal que se

evidencia en esta

producción no son

correctas.

Tabla 41.Actividades cognitivas desarrolladas por los estudiantes a la pregunta 1.b. Actividad 2.

En torno a la pregunta 1b se evidencian diferentes producciones generadas a partir de la

determinación del sujeto “número”, se establece que es un solo número que va poseer los

siguientes atributos se “adiciona” con su “consecutivo” y esa adicción “equivale” a “27”. En

efecto, hubo un estudiante el cual utilizó el elementos explícito consecutivo para resolverla

haciendo una sucesión de números hasta llegar al número 27, de ahí que no se tenga en cuenta

todos los elementos de la unidad apofántica tales como un número, adicionado, equivale a.

Varios estudiantes encontraron los números sumando números consecutivos pero no se utiliza la

variable “x” para designar un número desconocido que a su vez será la variable del polinomio

para construir la equivalencia entre ellos. Hubo un estudiante que realizó una adición entre el

número 26 y el 1 donde se toma en consideración que sumó el número 1 atribuyendo el sentido

110

de que el número consecutivo se le agrega la unidad y esto le da como resultado el número 27, de

los cual se constata que no se utilizó el sistema algebraico por parte de dicho estudiante. La

elaboración más cercana a la planteada por los estudiantes corresponde a la desarrollada bajo la

expresión 13 + 𝑥 = 27 donde se tomó el sujeto como número pero no se le atribuye la operación

de categorización “consecutivo de” involucrando al número trece cuyo objeto no se encuentra en

el enunciado. Hubo dos casos en que los estudiantes realizaron una suma sin tener en cuenta el

elemento explícito “consecutivo” tales que su resultado fuera el número 27. En general, un gran

porcentaje de los estudiantes no son conscientes del uso del registro algebraico, porque la unidad

no es tomada como un número desconocido y es por eso que para resolver el problema acuden al

tanteo.

Para el análisis de la pregunta 1.c se desarrolló la segmentación correspondiente teniendo

en cuenta dicho enunciado.



1.c) El doble de un número, aumentado en su triple es 85.


1

Se realiza conversión lengua

natural- registro numérico,

además se identifica el número

que satisface las condiciones

dadas en el enunciado. No

obstante, no se establece una

designación funcional y mucho

menos un planteamiento de

una ecuación. No se reconocen


relativas a la simbolización de

un número desconocido.

Se utiliza cálculo literal

efectuando las

operaciones de

multiplicación y de

suma para dar con el

resultado establecido en

el enunciado.

2

Se establece una conversión

lengua natural- numérico

donde no se evidencia ninguna

relación entre las unidades

significantes de los dos

registros. En este sentido, no

se hace una discriminación de

Se realizan operaciones

de cálculo literal y se

procede a encontrar el

resultado que presenta

el enunciado.

111

las unidades el doble de un

número, el triple de un

número.

3

Conversión lengua natural-

registro geométrico. No se

establecen unidades

elementales relativas el

enunciado, en consecuencia,

no se designan las cantidades

conocidas y menos se plantea

la ecuación.

Se realizan operaciones

de cálculo literal pero

no se efectúa de forma

correcta, se añade el

número 3 creando un

error de tipo

procedimental.

4

Se presentan conversión de la


numérico, identifica algunas

unidades elementales del

enunciado, pero no presenta

una representación que tenga

todas las unidades en el

registro numérico de forma

completa. Además, al no

realizar una conversión al

registro algebraico, no se

designa y mucho menos se

plantea la ecuación.

Las operaciones de

cálculo literal no se

evidencian en ninguna

de las dos

representaciones que se

propone el estudiante.

5

Se realiza conversión de la


numérico, las unidades

elementales del nuevo registro

no están de forma coordinada.

Si se realiza una designación

pero no es acorde con las

unidades significativas del

primer registro.

No se evidencia ningún

tipo de tratamiento para

resolver el problema.

6

Se realiza conversión lengua

natural- registro algebraico se

designa como 𝑥 al número

además de ello, se realiza un

excelente planteamiento de la

ecuación de acuerdo con la

unidades elementales que se

tienen en el primer registro.

En el tratamiento

efectuado a la ecuación

el estudiante realiza

implícitamente la

operación de cálculo

literal. Es decir, la

segunda fila tiene como

denominador el número

5 pero en el

planteamiento anterior

no tiene una expresión

igual a 5𝑥, luego,

desplaza términos

omitiendo la propiedad

del inverso

multiplicativo. Para

112

corroborar el conjunto

solución encontrado, el

estudiante realiza una

prueba con el valor

numérico encontrado y

llega al mismo

resultado.

7

Se estimula conversión de la


numérico.

Se efectúan cálculo de

operación literal (Sólo

números) para llegar a

la solución.

8

Uso del registro numérico para

llegar a la solución. En primer

instancia, las unidades

elementales que se presentan

en lengua natural no son

acordes en el cambio de

registro realizado por el

estudiante. Se hace énfasis en

el tanteo para llegar a la

solución sin tener en cuenta las

condiciones del primer

registro.

Se efectúan operaciones

de cálculo literal donde

solo se involucran

expresiones numéricas.

Tabla 42. Operaciones cognitivas desarrolladas por los estudiantes a la pregunta 1.c. Actividad 2.

Así mismo, se presenta el problema 2 referente a la actividad 2 que tiene como objetivo

estimular la conversión del registro algebraico a la lengua natural y tratamiento en el registro

algebraico. Para el desarrollo de este problema se tuvo en cuenta la segmentación en enunciado

principal del problema llamado enunciado 2.

113


Al igual que el enunciado principal 1 de la actividad 2, la primera unidad apofántica

plantea que se debe “establecer una situación” dada la ecuación. El estudiante puede tener

algunas dificultades respecto a la unidad de la unidad “situación” porque como se presentó en el

enunciado anterior la expresión algebraica y pertenece a una situación la cual está vinculada al

contexto matemático. Desde esta perspectiva, respecto al ítem el objetivo de éste es que el

estudiante dé un significado en lengua natural a la expresión algebraica que se le propuso.

Ante ello, se presentan las posibles operaciones cognitivas desarrolladas a la luz de la

resolución de dichos numerales.

114

Tabla 44. Operaciones cognitivas desarrolladas en las preguntas 2.a, 2.b, 2.c. Actividad 2.

115

De acuerdo al análisis desarrollado se evidencian los fenómenos de diversificación dado

que el objeto puede representarse en la lengua natural, en este sentido el objeto matemático

cuenta con más de un registro para representar. Por otro lado, se observa el fenómeno de la

diferenciación porque el objeto matemático tiene una representación algebraica pero no es la

única, puede hacerse una conversión, la representación algebraica no significa que sea la

ecuación lineal.

Los problemas anteriores cuentan con los criterios de congruencia, primero se presenta una

correspondencia con los elementos significantes del registro algebraico y la lengua natural. Segundo, en

cada uno de los problemas mencionados se puede observar una correspondencia única del registro

algebraico a la lengua natural a excepción del ejercicio número 2. Por último, se presenta un orden de las

unidades elementales de los dos registros.

Obsérvese el arreglo en cada una de las dos transformaciones en las siguientes ilustraciones:

Ilustración 14. Orden de arreglo de las unidades elementales del problema 2.a. Actividad 2.

Ilustración 15. Orden de arreglo de las unidades elementales del problema 2.b. Actividad 2.

Ilustración 16. Orden de arreglo de las unidades elementales del problema 2.c. Actividad 2.

116

Ilustración 17. Orden de arreglo de las unidades elementales del problema 2.d. Actividad 2.

Las unidades son fácilmente identificables en cada una de las conversiones que se desarrollaron.

Se puede observar un trabajo en simultáneo con las dos representaciones, por tanto se puede establecer la

respectiva coordinación entre los registros desarrollados en esta sección de la actividad. Ante ello, las

respuestas que presentaron los estudiantes respecto a dicho problemas fueron las siguientes:

2. Establezca una situación en cada una de las ecuaciones que se presentan a continuación, de solución a

la situación: 2. 𝑎) 𝑥 + 9 = 15


1

No se establece una

situación donde se efectúe

un cambio de registro de

la lengua natural.

Se evidencia las

operaciones

“desplazamiento de

términos y cálculo

literal” para encontrar el

valor de la incógnita

aunque implícitamente

se utiliza la propiedad

del inverso aditivo.

Se encuentra el

conjunto solución de la

ecuación planteada.

2

No propone una situación

relativa a la ecuación

planteada.

El estudiante plantea

una ecuación que no es

acorde con las unidades

significantes del registro

utilizado.

Cambia los valores que

son necesarios para

resolver la ecuación.

3

No propone una situación

para la ecuación

planteada.

No se evidencia un

tratamiento relativo a la

operación de


términos”, da valor a la

variable 𝑥 por simple

yuxtaposición con un

117

valor numérico.

4

Se evidencia mono-

registro para plantear la

situación concerniente a

la pregunta establecida.

No da sentido a las

unidades elementales en

otro registro.

Se observa que efectúa

la transposición de

términos donde se

evidencia

implícitamente el

inverso aditivo del

número 9 y utiliza de

buena forma el cálculo

literal.

5

21

Usa la lengua natural para

establecer una situación al

problema relacionado.


del registro algebraico son

coordinadas de manera

simultánea con la lengua

natural.

Desarrolla intra-registro

para llegar a la solución

concluyendo que la

incógnita es 6.

6

22

Se evidencia el uso de la

lengua natural para

establecer la situación.

La conversión que se

evidencia en el

planteamiento que

propone el estudiante

implícitamente deja ver

que la designación

funcional como la

cantidad de uvas que

tiene Yendy, unidad que

hasta el momento es

válida. Sin embargo, al

introducir la unidad

significante concerniente

a signo más, éste no es

tenida en cuenta en la

lengua natural y la

cantidad conocida (9) es

designada como una

unidad desconocida “la

cantidad de uvas que

El tratamiento que se

observa para resolver la

ecuación no cuenta

opera con la operación

substituva


términos” pero llega a

la respuesta por tanteo.

21

El estudiante en su planteamiento sostiene lo siguiente: En un salón de clases hay 30estudiantes y la

la mitad quiere participar en los juegos supérate pero sólo pueden entrar x mujeres y nueve hombres ¿cuántas

mujeres pueden entrar? R/ 6 y 7 hombres porque la (x = 6). 22

El estudiante dice: la cantidad de uvas que tiene Yendy son tres veces más que la cantidad de uvas que tiene Karen

dándose que su resultado es 15.

118

tiene Karen”.

7

El cambio de registro que

se evidencia en la

producción que tiene este

estudiante fue correcta

salvo que deja implícita la

designación funcional,

por lo cual se sobre

entiende que la cantidad

desconocida corresponde

al número de estudiantes.

Las transformaciones de


que se efectúa entre los

registros se presentan de

forma coordinada.

No se evidencia

transformaciones intra-

registro en ninguna de

las dos

representaciones.

8

Aunque se presenta una

conversión de un sistema

semiótico a otro (lengua

natural- algebraico), la

transformación trans-

registro no es de forma

coordinada porque las

unidades elementales del

segundo registro no se

presentan de una forma

sintáctica bien

estructurada. Además de

ello, la designación

funcional se establece

pero la designación que se

obtiene sobre el número

nueve no tiene una

correspondencia con la

unidad de la lengua

natural.

No se evidencia intra-

registro.

Tabla 45. Operaciones cognitivas desarrolladas por los estudiantes al problema 2.a. Actividad 2.

El enunciado que se presenta en la pregunta 2 corresponde en términos generales a

establecer una situación “en lengua natural” a partir de una expresión algebraica. Ante ello, cinco

de los estudiantes que realizaron la prueba no plantearon una situación en lengua natural frente a

la expresión algebraica dada, de lo que se evidencia una interpretación diferente frente a las

expresiones algebraicas presentadas, cabe preguntarse si tenían claro el término “situación”

como un cambio de la expresión simbólica a partir de un ejemplo cotidiano. Por otro, lado, un

119

estudiante presenta una situación acorde a la ecuación lineal presentada pero no resuelve la

ecuación. Algo pudo haber sido que los estudiantes se confundieran por el la unidad de la unidad

que plantea el enunciado 2 “situación” y por ello no plantearan la solución.

La situación que presenta un estudiante donde el sujeto designado corresponde a “uvas”,

se utiliza el elementos explícito “son tres veces más” el cual no hace referencia a ninguna de las

unidades propuestas en la expresión algebraica confundiéndose con 9 uvas teniendo en cuenta el

caso que ella propone; las demás unidades son desarrolladas correctamente.

En cuanto al desarrollo de la unidad apofántica 2 relacionada con “dé solución a la

ecuación” los estudiantes en su mayoría no resolvieron la ecuación ni la situación que proponen

en lengua natural salvo el estudiante 1. Por otro lado, se observa el planteamiento de un

estudiante que desarrolla 𝑥 + 14 = 15, se observa que el estudiante desde casos anteriores no

discrimina el significado de la variable, tiene la concepción de decir que la variable vale 1

porque su coeficiente lo es, estudiante desde casos anteriores sostiene que el valor de la variable

es 1 porque no tiene coeficiente, confundiendo el valor del coeficiente con el de la variable. En

otros casos, algunos estudiantes desarrollan yuxtaposición para el desarrollo del problema.


la situación:

2. 𝑏) 2(𝑡 + 3) = 5 ES

T RESPUESTAS REALIZADAS CONVERSIÓN TRATAMIENTO

1

No se establece una

situación en otro

registro.

El tratamiento

empleado sin tener en

cuenta los paréntesis

que representa

producto entre 𝑡 + 3 y

el número2.

120

2

23

Se emplea la lengua

natural para

establecer la

situación problema.

No se evidencia

tratamiento en

ninguno de los dos

registros.

3

Presenta un cambio

de registro del

registro algebraico a

la lengua natural,

donde designa a la

variable t como

cantidad de

ancianos.

No se desarrolla intra-

registro.

4


del registro

algebraico a la

lengua natural. Pero,

las unidades

significantes que

produce el estudiante

no corresponden a

las unidades que se

presentan en el

registro inicial.

No se utiliza la

propiedad distributiva

y no se tiene en

cuenta el valor de la

incógnita.

5

No se presenta trans-

registro.

No se efectúan

operaciones de

cálculo literal de

forma correcta.

6

24

Se desarrolla

conversión del

registro algebraico al

numérico.

La propiedad

distributiva no es

tenida en cuenta para

la encontrar la

incógnita.

23

El estudiante dice: En un jardín tenemos 5 manzanas y un conejo sembró 2𝑡 y esto dio 5 manzanas ¿cuántas

manzanas sembró el concejo? 24

El estudiante menciona que: 1(𝑡 + 4) = 5, 1 + 4 = 5 porque t es 1 pero no se cuenta.

121

7

No se realiza

transformación en

otro registro.

No se utilizan los

valores establecidos

en la ecuación que se

le presenta.

Tabla 46. Operaciones cognitivas desarrolladas por los estudiantes a la pregunta 2.b. Actividad 2.

De acuerdo a la actividad, se evidencian algunas dificultades respecto a aspectos

semióticos tales como el tipo de variable que se le atribuye y su designación. Por ejemplo, la

“cantidad de manzanas” dada que la variable se caracteriza por ser continua, los estudiantes la

desarrollan de forma discreta. Esto deja ver no existe una diferenciación entre significado y

significante. Otras dificultades se evidencian en la discriminación de todas las unidades

elementales de los dos registros de lo que se evidencia no- coordinación entre ambos registro.

Además, se observa que no se desarrolla el proceso de resolución de la ecuación de forma

correcta porque los estudiantes no tuvieron en cuenta los paréntesis donde debía aplicar la

propiedad distributiva o utilizar el inverso multiplicativo y aditivo junto con la ley uniforme para

resolver el problema el desarrollo del estudiante fue 2(𝑡) + 3 = 5. La posible resolución era las

siguientes:

Ilustración 18. Posible solución a la pregunta 2. b. Actividad 2.

Todas las posibles dificultades se presentan a continuación:

La situación que construye otro estudiante donde se nomina el sujeto “estudiante” donde

usa la expresión “se le aumenta dos de otro salón” y da como resultado 5. En ello, se evidencia

que no hay coherencia entre las unidades establecidas al sujeto no se le puede aumentar otro, si

122

no están dentro de un conjunto. En otras palabras la confusión alude a mencionar la expresión

“en un salón de clase hay ciertos estudiante y se le aumentan dos de otro salón”. Sin embargo,

no es posible que se establezca una como un enunciado coordinado teniendo en cuenta las

características del sujeto y la solución de la pregunta.

Además de las observaciones mencionadas, se nota la construcción de un enunciado

hecho por un estudiante donde se establece como sujeto “anciano”, donde enuncia dos veces el

sujeto bajo la característica de multiplicarlos no evidencia un sentido respecto a la expresión

algebraica “el doble de ancianos de un ancianato multiplicado a un número de ancianos”.

Además, no se observa relación entre la magnitud con respecto a la expresión algebraica cuya

solución es −1

2.

La solución propuesta por los estudiantes a la pregunta 2.c se presenta en la siguiente

tabla.


la situación:

2. 𝑐) 15 − 2𝑛 = 𝑛 EST RESPUESTAS REALIZADAS CONVERSIÓN TRATAMIENTO

1

No se efectúa cambio

de registro.

Se hace desplazamiento de

términos sin tener en cuenta

las propiedades de los

números reales, la tercera

línea corresponde a primera

línea y se realiza cálculo

literal luego de haber

realizado el desplazamiento

de términos.

2

Se evidencia mono-

registro.

No se realiza un correcto

desplazamiento términos en

el que no se efectúa respecto

a las propiedades de los

números reales.

123

3

Realiza trans-registro

donde se evidencia

álgebra-lengua natural.

No se realiza transformación

interna en ninguno de los dos

registros.

4

25

Se evidencia

designación funcional,

𝑛: 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎𝑠. Y

cambio de registro a la

lengua natural.

.

En el intra- registro

efectuado no se evidencia

transformaciones teniendo

en cuenta las operaciones

substitutivas de tratamiento.

En este sentido, no se realiza

desplazamiento de términos

y el cálculo literal

correspondiente al

planteamiento efectuado.

5

26

Se desarrolla cambio

de registro teniendo en

cuenta la lengua

natural.

Realiza una prueba en la cual

llega a una equivalencia

15 − 2 ∗ 5 = 5 que

evidentemente tiene

solución.

6

No se establece un

cambio ningún

registro.

Las transformaciones intra-

registro que el estudiante

construye puede

evidenciarse no

interpretación de la ley

simétrica respecto a la

equivalencia entre las dos

expresiones de la segunda

línea que ella construye

7

No se construye una

representación trans-

registro.

Las operaciones relativas al

tratamiento no se efectúan y

la solución concerniente al

intra-registro no corresponde

a la solución.

8

27


sin tener en cuenta las

unidades elementales

del primer registro.

Se presenta intra-registro

donde no se evidencia

relación con la ecuación

presentada.

Tabla 47. Operaciones cognitivas desarrolladas por los estudiantes a la pregunta 2.c. Actividad 2.

25

El estudiante dice: Hay 15 manzanas en cada uno de los canastos, en uno de sus canastos se dañaron 2 dándose

que su resultado es 13. 26

El estudiante dice: Mariana tiene 15 peras y le quiere dar a sus dos hermanos una cantidad igual entre ellos,

entonces Mariana plantea esta ecuación en donde la n= hermanos y 15 peras. ¿Cuántas manzanas le toca a cada

hermano? R/5 porque n es igual a cinco ya que 15- 2*5=5. 27

El estudiante dice: 2-8n=n 2-8n=n porque n es el que vale

124

De la misma forma que en las preguntas 2a y 2b los cinco estudiantes no presentan

situaciones concretas con base en las ecuaciones lineales propuestas. De otra forma se observa

que los estudiantes que proponen una situación referente a la expresión algebraica dada, entre

ellas se destacan:

Un estudiante propone una situación donde el sujeto es “peras” y añade que tiene 15, usa

la expresión “quiere darle a sus hermanos” para referenciar el signo menos (-) y referencia de

forma correcta la variable a emitir “una cantidad”. Hasta ese momento el estudiante presenta un

orden de las unidades, designa un objeto y añade atributos sobre éste. En las unidad apofántica

“una cantidad entre ellos y ella entonces ella plantea esta ecuación donde n: hermano y 15:

peras” se desliga de lo mencionado anteriormente porque al principio hablaba de peras la cual

utiliza dos tipos de magnitudes diferentes las cuales desea operar de forma simultánea. Luego, la

pregunta que añade como “Cuántas manzanas le toca a cada hermano” por lo que deja ver que

el estudiante no diferencia los dos tipos de magnitudes, además de eso el sujeto en la pregunta

corresponde a otro muy diferente de las unidades anteriores.

Otro estudiante propone una situación donde se designa el objeto “manzana” donde

correctamente se le atribuye la operación de categorización mencionando 15 de éstas, utiliza la

expresión “se dañaron 2” que alude a la expresión matemática (-2) y no se toma en cuenta el

significado de la variable n porque que responde asertivamente 13 y lo observa como una

expresión aritmética.

Se observa por último que un estudiante utiliza la expresión persona como sujeto en la

expresión algebraica donde especifica un atributo concerniente a “15”, utiliza la categorización

“restada” para referirse a la sustracción en la expresión algebraica y asertivamente usa el

atributo “el doble de otras personas” donde se evidencia una generalización de la cantidad de

125

personas usa la expresión es para establecer la igualdad y finalmente usa la expresión “un

número de personas”. Del ejemplo anterior puede observarse la discriminación de las unidades

teniendo en cuenta también la cantidad de personas la cual corresponde a una magnitud discreta

tal como la presenta la solución de la ecuación que corresponde a 5. Sin embargo, se observa que

hay dificultad para designar la variable porque utiliza el estudiante utiliza un elementos explícito

“otras” el cual no debe ser designado con la misma variable porque son incógnitas distintas.

El enunciado de la pregunta 4 se enmarca en el contexto de un sistema geométrico en el

cual debe hallarse el perímetro.

126


El enunciado muestra tres unidades apofánticas de las cuales el estudiante debe tener

presente lo siguiente: para el caso de la unidad 1, él va conocer el perímetro de la figura, en este

caso el término “figura” es denominado como “terreno” del cual se puede decir que existe un

grado menor de congruencia entre las figuras y el término que las designa en cuanto su

correspondencia semántica. Así mismo, la unidad apofántica 2 describe que debe plantear una

127

ecuación donde enmarca dos unidades elementales de la unidad apofántica anterior, y para el

caso de la unidad 3 el estudiante debe encontrar el valor de la incógnita. Se puede observar que

no hay congruencia entre la unidad 1 y 2 por el uso del término ecuación dado que en la primera

unidad no se evidencia, en ese mismo orden se evidencia no congruencia entre las unidades

elementales de la unidad 3 porque no tiene las unidades elementales tales como perímetro sino el

valor de incógnita.

Desde los elementos semióticos estudiados, se puede decir que los problemas pueden

plantearse desde la lengua natural, registro algebraico y geométrico, por tanto, existen varios

registros que pueden dar cuenta para llegar a la solución del problema, es decir que se desarrolla

el fenómeno de diversificación del os registro para proponer el problema. Por otro lado, los

problemas planteados donde el significante es el registro geométrico utilizando símbolos

matemáticos y el significado concerniente al planteamiento de una ecuación lineal para hallar el

valor de la incógnita, en este caso se puede decir que presenta el fenómeno de la diferenciación.

Así mismo, una de las posibles operaciones cognitivas que se espera de los estudiantes es la

siguiente:

128

Tabla 49.Operaciones cognitivas desarrolladas a los problemas 3.a, 3.b. Actividad 2.

Como se pudo ver, las unidades elementales del registro inicial le corresponden una unidad del

registro el cual se desarrolla la conversión, por ello se puede decir que existe correspondencia

semántica entre los dos registros, pero no existe univocidad semántica dado que el elementos

explícito “perímetro” no tiene única unidad de referencia porque se le atribuye la suma en el

caso de registro geométrico la suma de los lados y en el algebraico, la suma de los términos del

129

polinomio. Así mismo, se desarrolla el grado de congruencia teniendo en cuenta el orden de las

unidades elementales en ambos registros.

Ilustración 19.Orden de arreglo de las unidades elementales en la pregunta 3.a. Actividad 2.

Ilustración 20. Orden de arreglo de las unidades elementales de la pregunta 3.b. Actividad 2.

Se observa que las unidades significantes de cada una de las dos representaciones son

discriminadas en simultáneo y este proceso que se realiza genera la coordinación entre los dos

registros. En este sentido, se presenta las producciones de los estudiantes con el fin de analizar

sus estrategias para resolver los problemas.

130

. En cada uno de los terrenos se conoce el perímetro. Construya una ecuación para el perímetro de

los terrenos y calcula el valor de la incógnita.


1

28

Se realiza un cambio de

registro geométrico-

algebraico.

Las unidades

significantes del

segundo registro no

corresponden al del

primero.

El tratamiento

realizado no

contiene sus

operaciones

substitutivas. En este

sentido, se realiza

por tanteo el cálculo.

2

29


del registro geométrico

al registro numérico.

El valor de la incógnita

se encuentra por tanteo,

por ello no hay un

planteamiento de

ecuación.

Se efectúan cálculos

literales con los

valores que se

representan cada uno

de los lados y llega a

una equivalencia.

3


presenta, corresponde a

los registros geométrico

y numérico y el valor de

la incógnita se efectúa

por tanteo.

Se efectúan

operaciones de

cálculo literal de

forma correcta,

llegando a la

solución de

problema.

4

Se efectúa conversión al

registro geométrico y se


No hay cambio intra-

registro.

28

Igual representación de otro estudiante. 29

Otro estudiante presenta la misma solución.

131

5

Se establece un cambio

de registro al álgebra,

donde se plantea la

ecuación de forma

correcta.

Las operaciones de


realizadas de forma

correcta y el

desplazamiento de

los términos se

desarrolla de igual

forma sin tener en

cuenta la propiedad

del inverso

multiplicativo.

6

Se cambia de

representación al

registro algebraico y se


Se calcula por tanteo el

valor de la incógnita.

Se realizan

operaciones de

cálculo literal para

llegar a la

equivalencia.

Tabla 50. Operaciones cognitivas desarrolladas por los estudiantes al problema 3.a. Actividad 2.

De dichas producciones se observa que a los estudiantes se les dificulta plantear la

ecuación teniendo como referencia el registro algebraico y el objeto matemático perímetro. Un

estudiante plantea la ecuación de la forma 4𝑥4 + 5𝑥5 = 260𝑥del cual se observa que hay

dificultades para sumar términos semejantes relativos a las expresiones que componen el

polinomio. Se evidencia que el estudiante posiblemente confunda la propiedad relativa a

𝑎𝑛 ∗ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑚+𝑛 por el caso de la suma 𝑎𝑛 + 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚. Además, se evidencia que el

132

estudiante 2 presenta la dificulta de cambiar de registro porque suma solo los coeficientes del

polinomio, otros estudiantes utilizan procesos numéricos para la solución de dichos problemas.

Para el caso de la pregunta 3.b se presentan las apreciaciones que desarrollaron los estudiantes.

3. En cada uno de los terrenos se conoce el perímetro. Construya una ecuación para el perímetro de

los terrenos y calcula el valor de la incógnita.

3.b)


1


realiza al registro

algebraico no corresponde

a la situación planteada

puesto que las unidades

del segundo registro son

magnitudes cuadráticas.

No se efectúa intra-

registro para llegar a

la solución.

2

Se construye una

representación numérica

donde no se tiene en

cuenta el valor de la

variable.

Las operaciones de

tratamiento no se

realizan de forma

correcta.

3

Se usa el registro

numérico para llegar a la

solución del problema. De

esta forma, no se efectúa

una designación funcional

para la variable.

Las operaciones de


realizan de forma

correcta porque

establecen que

2 ∗ 8 + 1 = 17.

133

4

Se plantea la ecuación de

forma correcta.

No se efectúan

tratamiento en

ninguno de los dos

registros.

5

Se usa el registro

algebraico para solucionar

el problema donde se

efectúa de forma correcta

el planteamiento de la

ecuación.

En cuanto a las

operaciones de

cálculo literal, estas

no se efectúan de

forma correcta

porque los

coeficientes de la

variable debían dar

como resultado el

número 11, el

estudiante tiene

como resultado el

número 13.

6

No plantea una ecuación

acorde con la situación

planteada.

Los valores de la variable

tienen diferentes

cantidades numéricas.

Las operaciones de

cálculo literal se

presentan de forma

correcta.

7

De desarrolla trans-

registro del sistema

geométrico al sistema

numérico.

No se desarrollan las

operaciones.

Tabla 51. Operaciones cognitivas desarrollada por los estudiantes a la pregunta 3.b. Actividad 2.

134

Las representaciones que se observan a la luz de las producciones de los estudiantes en

torno a la pregunta 3a* y 3b* se enmarcan de diversas formas; se parte del hecho que hay dos

terrenos quienes son los objetos que se designan en el enunciados cuya otra forma de nombrar

corresponde también al término “figura geométrica”, tiene un elemento explícito el cual se

denomina perímetro y éste se conoce. Se presenta una unidad apofántica la cual va permitir

plantear una ecuación teniendo en cuenta el atributo “perímetro” del objeto designado “terreno”

cuya característica tiene una incógnita.

De acuerdo a las respuestas que se tiene de los estudiantes se puede observar que el estudiante 1

presenta las mismas características para desarrollar el problema, en este caso se evidencia que el

estudiante confunde propiedad de la potenciación con la agrupación de términos semejantes de

un polinomio. Además, se evidencia que los estudiantes no son conscientes de las soluciones que

presenta la variable respecto a su grado porque en el desarrollo del problema le asignan dos

valores a la variable “x”. De acuerdo a lo anterior, el grado de congruencia influyó en la

resolución de las preguntas porque se evidenció que el elemento explícito “perímetro” el cual no

tenía univocidad semántica fue el factor determinante en el planteamiento de la ecuación que los

estudiantes no pudieron establecer.

Para finalizar el análisis, se presenta la última actividad que se desarrolla en lengua natural.

135


Tabla 53. Segmentación del problema 4.a. Actividad 2.

136

Como puede observarse, el sujeto hace referencia a un triángulo del cual el estudiantes

debe ser consciente de que tiene elementos explícitos tales como, tener tres lados con ciertas

condiciones un lado excede al otro en 2 metros y al mismo tiempo en 5 metros al otro y tener un

perímetro el cual corresponde a 38 metros. El enunciado presenta una coherencia en la magnitud

de las medidas, sin embargo, estas condiciones que se presentan puede presentar problemas en la

elaboración de la conversión.

De acuerdo a los elementos semióticos se puede observar que cumple con los fenómenos

de diversificación porque puede representarse desde la lengua natural y en el registro algebraico

y por otro lado, cuenta con el fenómeno de diferenciación debido que es un enunciado en el que

puede identificarse la idea de ecuación lineal desde un principio. Sin embargo, mediante este

registro no es el único medio para llegar a la solución del problema. De esta forma, el enunciado

no es la ecuación lineal, sino una representación donde se necesita el planteamiento de la

ecuación. De esta forma, se desarrollaron las respectivas operaciones cognitivas.

137

Tabla 54. Operaciones cognitivas desarrolladas a la pregunta 4.a. Actividad 2.

No se evidencia una correspondencia semántica dado que las unidades elementales de la lengua

natural (más) cuando se realiza la conversión al registro algebraico, el término más pasa a ser el signo

menos. Por otro lado, no hay correspondencia semántica en cada una de las unidades elementales de los

dos registros y en cuanto al orden en que se presentan las unidades en ambos registro, se nota que no hay

un orden de arreglo.

Ilustración 21. Orden de arreglo de las unidades elementales del problema 4.a. Actividad 2.

138

Después de haber identificado la no-congruencia entre las dos representaciones, se

identifica que las unidades significantes que tiene cada una de las dos representaciones son

identificables y se pueden operar de manera simultánea. Es decir, hay una identificación ñas

unidades significantes y tienen la misma característica en ambos registros. Además de lo

anterior, se presentan las respuestas que desarrollaron los estudiantes al problema:

4.a) Halla las longitudes de un triángulo cuyo perímetro es 38 metros. Además se sabe que uno

de los lados del triángulo mide 2 metros más que el segundo y 5 metros más que el tercero.


1

30

Se hace cambio de registro

de la lengua natural, al

registro geométrico

teniendo en cuenta

cantidades que requieren

de expresiones algebraicas.

No se efectúa

transformaciones intra-

registro.

2


trans-registro hacia el

sistema geométrico. Sin

embargo, las unidades

elementales no

corresponden a las

establecidas en el

enunciado en lengua

natural.

La transformación que

se evidencia

corresponde a la lengua

natural, donde se alude

a explicar lo que

presenta el problema.

30

Otro estudiante presenta la misma solución.

139

3

Se utiliza un sistema

geométrico para resolver el

problema. Sin embargo,


no corresponden a las

unidades que presenta el

enunciado.

Las cantidades numérica

son encontradas por

tanteo.

No hay tratamiento.

4

Se utiliza un sistema

geométrico para resolver el

problema. Sin embargo,


no corresponden a las

unidades que presenta el

enunciado.

Las cantidades numérica

son encontradas por

tanteo.

No hay intra-registro.

5

Se cambia de registro.

Se acude al registro

algebraico para resolver el

problema, en el cual se

plantea la ecuación de

manera correcta.

No se efectúan

operaciones de cálculo

literal y no se realiza un

pleno desarrollo del

desplazamiento de los

términos.

Utiliza una

yuxtaposición del valor

numérico encontrado

para llegar a la

equivalencia

correspondiente al

perímetro que tiene una

magnitud de 38 metros.

6

EL trans-registro realizado

por estudiante corresponde

al cambio de

representación del registro

de la lengua natural a un

sistema geométrico.

Se evidencia tanteo para

llegar a la solución aunque

se presenta de forma

Se presenta una

argumentación en

lengua natural para

explicar el por qué la

longitud de los lados.

140

correcta.

7

EL planteamiento de la

ecuación que propone no

es acorde con la situación

planteada. Sin embargo,

usa una representación

geométrica para darle

solución al problema

teniendo en cuenta que se

utiliza el tanteo para llegar

a la solución.

No se evidencian

transformaciones

internas en ningún

registro.

Tabla 55. Operaciones cognitivas desarrolladas por los estudiantes a la pregunta 4.a. Actividad 2.

De acuerdo a la producción que desarrollaron los estudiantes, se observa que cuatro de los ocho

estudiantes que presentaron la prueba respondieron de forma satisfactoria la pregunta salvo que

sólo uno de los cuatro utilizó el registro algebraico para desarrollar el problema. Por otro lado, de

los estudiantes que realizaron de forma equívoca el problema, tres de ellos utilizaron expresiones

algebraicas las cuales no son coordinadas respecto a la imagen anterior, de estos tres se tiene el

caso de un estudiante que tomas las expresiones 2metros más… 5 metros más como si fueran

lados del triángulo por lo que utilizan las expresiones 2𝑥, 5𝑥, lo cual se identifica una no

comprensión de las expresiones lingüísticas que se enmarcan en el desarrollo del enunciado.

Los demás estudiantes utilizaron expresiones equivalentes a las figuras que se

encontraban en los enunciados de las figuras geométricas anteriores 3a* y 3b*, de lo que se

infiere que las expresiones del enunciado no fueron tomadas en cuenta a la hora de resolver el

problema.

141

Para terminar, a los estudiantes les resultó difícil ser conscientes del tipo de triángulo que se

estaba trabajando, puesto que en la imagen que ellos produjeron el tipo de triángulo correspondía

a un triángulo equilátero o isósceles pero no el escaleno puesto que sus lados son desiguales.

Para terminar el análisis se presenta la segmentación del problema 4.b.

Tabla 56. Segmentación del problema 4.b. Actividad 2.

El sujeto designado en este enunciado corresponde a “los miembros de un club de tenis”,

tiene los elementos explícitos “las tres cuartas partes”. Se presentan dos unidades apofánticas

para tener un enunciado completo, se menciona que otras personas las cuales no se sabe si son

diferentes a las que pertenecen al club, van a participar en el torneo que tuvo un total de 84

142

miembros. La pregunta es saber cuántos miembros tiene el club. Esta pregunta puede tener

algunas dificultades al no diferenciar la cantidad de personas inscritas al torneo que se

encuentran en el club y la cantidad total de los miembros del club, otra dificultad que se puede

identificar podría ser que los nueve sean del mismo club y los designen con la variable x.

La posible solución al problema se desarrolla a continuación:

Tabla 57. Operaciones cognitivas desarrolladas a la pregunta 4.b. Actividad 2.

De lo anterior, se evidencia diversificación dado que el enunciado-problema cuenta se presenta

en lengua natural, además de este registro, el objeto involucrado puede representarse mediante el

registro algebraico. Por otro lado, se presenta la diferenciación en la medida que el significado

alude al planteamiento de la ecuación en cambio el significante se enmarca en el registro de la

lengua natural. En el estudio de la congruencia se nota que a las unidades elementales del primer

143

registro le corresponde una unidad en el registro de llegada. Además a univocidad semántica

semántica terminal se evidencia de forma correcta y el orden en que se presentan las unidades se

presenta a continuación:

Ilustración 22. Orden de arreglo de las unidades elementales del problema 4.b. Actividad 2.

La solución de la pregunta tiene una coordinación entre registros porque se mantiene una

relación directa de las unidades significantes en cada registro, conservando las mismas

magnitudes discretas en cada registro (personas) y la solución es acorde con la magnitud que

presenta la representación lengua natural. En este sentido, se presenta las respuestas que

proponen los estudiantes con base a dicho problema:

4.b) Las tres cuartas partes de los miembros de un club de tenis se inscribieron en el torneo. El

día del torneo entraron 9 personas más, lo que hizo un total de 84 inscritos. ¿Cuántos miembros

tiene el club?

ES

T RESPUESTAS REALIZADAS CONVERSIÓN TRATAMIENTO

1

Se utiliza las operaciones

básicas de la aritmética para

llegar a la solución del

problema. Las unidades

significantes del problema no

son coordinadas para resolver

el problema.

Las operaciones son

realizadas de forma

correcta.

2

No hay trans-registro. No se evidencian

trasformaciones

internas para llegar a

la solución.

144

3

Usa expresiones numéricas

llegar a la solución del

problema.

Se plantea una expresión

donde se evidencia el valor de

la incógnita.

Las operaciones de

cálculo literal se

presentan de forma

correcta.

4


trasformaciones


la solución.

5

Se usan términos numéricos

para llegar a la respuesta las

cuales no están correctamente

coordinadas.

Las operaciones de


efectúan de forma

correcta en su

totalidad.

6


trasformaciones


la solución.

7

8 Tabla 58. Operaciones cognitivas desarrolla por los estudiantes al problema 4.b. Actividad 2.

Bajo las representaciones que se desglosan producto de las repuestas desarrolladas por los

estudiantes se observa que el objeto “miembros de un club” no es denominado como una

expresión general y las características concernientes a ese objeto tales como tres cuartos, 9 más,

total, 84 inscritos no son tomadas del todo, además, puede observarse que un estudiante presenta

que el club tiene 4 miembros, estrategia la cual no se observa en ninguna de las unidades. Un

estudiante plantea una expresión numérica para desarrollar el problema dejando de lado la

expresión que está referenciada como incógnita. Otros estudiantes utilizan tratamientos

numéricos para llegar a la solución donde se establece un producto entre el 84 y 3 luego, el

cociente entre el número encontrado y el cuatro, después de esto, se observa una adición entre el

número encontrado y el inicial para un resultado de 147 miembros. De ello, no se identifican las

145

unidades que pertenecen al sentido completo del enunciado. Dos estudiantes más realizan una

suma entre el total de inscritos y las 9 personas más que se inscribieron para un total de 96

miembros, esto deja ver que no es usó la expresión racional 3

4 para resolver el problema.

146

CAPÍTULO 5. CONSIDERACIONES FINALES

A partir del desarrollo de este trabajo se pudo evidenciar la manera como los estudiantes de

grado noveno de la institución educativa Francisco José de Caldas en la ciudad de Buenaventura,

resuelven ecuaciones lineales con una incógnita mediante el desarrollo de operaciones

cognitivas. Teniendo como herramienta, la selección de los problemas de Azañero (2013) y de

los libros de textos escolares permitió identificar algunos aspectos en los procesos cognitivos que

llevan a cabo los estudiantes para resolver ecuaciones. Ejemplificándolos a partir del desarrollo

de las actividades planteadas mediante la lengua natural, el registro geométrico y algebraico. En

este sentido, es viable emitir algunas apreciaciones evidenciadas para que pueden tenerse en

cuenta en el proceso de enseñanza.

5.1. CONCLUSIONES

Con respecto a la primera prueba en la cual se seleccionaron secuencias de problemas

diseñada por Azañero (2013) a los estudiantes se les dificultó desarrollar procesos de conversión

de los registros geométricos y lengua natural al registro algebraico evidenciando que:

En el planteamiento de la ecuación lineal con una incógnita en lengua natural, las

unidades elementales deben ser discriminadas de forma correcta en los estudiantes para

que el proceso de conversión en otros registros permita una aprehensión conceptual del

objeto matemático.

Algunos conceptos utilizados en las unidades apofánticas de un enunciado deben ser

mediados en el proceso de enseñanza y aprendizaje, porque posiblemente se presenta un

alto grado de no-congruencia y esto permite que hayan dificultades en el proceso de la

solución de una ecuación lineal.

147

Los estudiantes presentan dificultad en desarrollar una proporción si se empleaban

expresiones algebraicas, se notó de forma repetitiva que por tratar de resolver el problema

utilizaban procesos aritméticos, debido a que las unidades elementales en lengua natural

y en el registro algebraico no eran suficientemente claras generando la no resolución del

problema.

En la resolución del problema perteneciente a los diagramas de Venn el cual sirve como

mediación entre la lengua natural y el registro algebraico, la dificultad al plantear la

ecuación, es la no claridad de la intersección entre los dos conjuntos, elemento que

semióticamente no era congruente porque no cumplía con la univocidad semántica

terminal y el orden en el arreglo entre las unidades elementales.

Con relación a las actividades que fueron propuestas de los libros de textos Espiral 8 (2005) y

símbolos 8 (2006) de evidenciaron algunas dificultades como:

En el desarrollo de la conversión de la ecuación lineal representada en lengua natural al

registro algebraico, se observó que los estudiantes conocían el número que cumplía con

condición de la ecuación y caracterizaban las unidades apofánticas que componían el

enunciado. Sin embargo, los estudiantes tuvieron dificultad en expresar algebraicamente

algunos elementos explícitos como: el doble de, el triple de, el consecutivo, equivale,

aumentado y trataban de resolver el problema desde el registro numérico.

Algunos enunciados que especifican lo que debe resolverse presentan ambigüedad porque

no muestran de forma específica la intención de los problemas. Tales casos se pudieron

evidenciar en los enunciados 1 y 2 donde se utilizaban términos como “situación” y

“forma escrita”.

148

Se presenta dificultad para plantear un enunciado a partir de las unidades elementales del

registro algebraico. Por ello, es importante se haga consciente al estudiante de los

elementos que constituyen la ecuación: identificación de la variable, el grado de la

ecuación, términos semejantes, equivalencia entre dos polinomios, etc.

Hay dificultades para desarrollar conversión de la lengua natural al registro algebraico

específicamente en el planteamiento de la ecuación con coeficientes racionales, puesto

que las operaciones desarrolladas con los coeficientes se establecen de forma lineal.

Las preguntas que presentaban menor grado de congruencia fueron las presentaron mayor

grado de dificultad Según Damm (citado en Duval, 2004, p. 55) “Cuando la no-

congruencia aumente, la tasa de éxito raramente alcanza a un cuarto de la población de

final de 5°, y hasta clase de 8° se puede observar un porcentaje no despreciable de

fracaso”. Esto deja ver que el nivel de congruencia influye en el desarrollo de un

problema y el grado de congruencia dependerá de los criterios que se presenten. En este

caso particular tenían dificultad en identificar que la unidad de un enunciado aludía a un

mismo objeto, por lo que había disociación de unidades. De igual manera, en casos donde

no se evidencia correspondencia semántica de la lengua natural al registro algebraico se

observa que signo de la operación influye en el proceso de la solución del problema y

esto puede generar errores en la resolución del problema.

Los problemas que tenían mayor grado de no-congruencia los estudiantes presentaban la

solución en el mismo registro o el registro aritmético para resolver el problema. Según

Duval (2004, p. 61) “los fracasos debido a la no-congruencia revelan un encapsulamiento

de los registros de representación semiótica”, a pesar del grado en que se encuentran los

149

estudiantes dicho encapsulamiento en el registro numérico aún sigue latente aunque se

propendan otros sistemas semióticos.

Los estudiantes, se desarrollan tratamientos de forma correcta pero el trans-registro no.

Ello implica que aunque se realicen cambios intra-registro la conversión predomina sobre el

tratamiento porque si no se efectúa un trabajo en simultáneo entre las unidades significantes de

cada registro no puede generar aprendizajes. En este sentido, se puede decir que la conversión

de la actividad cognitiva por excelencia y ella es la que permite mayores elementos para la

compresión en matemáticas.

Finalmente, se puede decir que, la conversión y el tratamiento son indispensables en el

desarrollo de la actividad matemática, pero generalmente se presentan dificultades producto de la

no-congruencia, por ello debe hacerse una discriminación de las unidades significantes de cada

uno de los registros. Puesto que antes de proponer una situación en cualquier registro semiótico

de representación es necesario que se haga un análisis de dichas unidades que componen el

sistema y en ese momento se encontrará la génesis de algunas dificultades y las posibles

mediaciones de ellas que como educador matemático se deben mediar.

5.2. RECOMENDACIONES:

1. Para próximas investigaciones se sugiere que se diseñen secuencias didácticas

relacionadas con ecuaciones lineales que permitan el estímulo de la conversión de la lengua

natural al registro algebraico.

2. Proponer investigaciones donde se evidencie la conversión del registro algebraico a la

lengua natural y que en el trans-registro desarrollado se tenga en cuenta la discriminación de las

unidades elementales de los dos registros.

150

3. Diseñar secuencias didácticas donde se estimule el cambio de registro algebraico al

registro geométrico en la cual se integren conceptos como la proporcionalidad, el estudio de

figuras geométricas, su perímetro.

4- Investigar sobre los procesos de resolución de problemas cuando se realizan

tratamientos en el conjunto de los números reales especialmente los números fraccionarios.

151

6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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ecuaciones lineales: El caso de estudiantes de octavo nivel de un colegio de

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caos de la generalización y el razonamiento algebraico. Asociación Colombiana de

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1995. Primera edición en español: Universidad del Valle, 1999].

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Matemáticas).

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diagnóstico acerca del manejo del concepto de variable en el álgebra. Enseñanza de las

ciencias, 14(3), 351-363.

154

ANEXOS

PROBLEMAS CON ECUACIONES LINEALES

Nombre: _________________________________________________________________

Colegio: _________________________________________________________________

Grado: _______ Nivel: Secundaria Fecha: _____/___________/_______

Lee detenidamente cada una de las siguientes situaciones y responde.

1. Las dimensiones oficiales de las canchas de vóley son 18m de largo y 9m de ancho.

Todas las canchas de vóley deben cumplir la condición de ser rectangulares, con la longitud del largo el

doble de la longitud del ancho.

a) Si la arquitecta Camila diseña una cancha de vóley cuyo largo mida 14 m ¿Cuánto debe medir el

ancho según la condición dada? Dibuja un rectángulo y pon las dimensiones correspondientes.

b) Calcula el perímetro de la cancha de vóley que diseña la arquitecta Camila.

c) Dibuja un rectángulo que represente una cancha de vóley que cumple con la condición exigida y

usa la variable “x” para indicar sus dimensiones.

d) Usa lo hecho en la parte (c) y escribe una ecuación que exprese que el perímetro de la cancha de

vóley es 48 metros.

e) Resuelve la ecuación planteada en (d) y dibuja el rectángulo que representa la cancha de vóleibol,

con las dimensiones halladas.

f) Verifica mediante una prueba si los resultados que has obtenido son los correspondientes a cada

longitud.

155

2. La profesora Luz enseña a sus alumnas el tema de Proporcionalidad y les comenta a sus alumnas

que esta foto de sus mascotas tienen ciertas dimensiones mide 3cm x 3.5 cm.

a) La maestra quiere hacer un cuadro de la foto ampliada de sus perritos. Si la altura debe ser de

60cm. Plantea y resuelve una ecuación para encontrar la longitud de la base.

3. Juan preguntó a 40 alumnos si practican básquet o fútbol. Al terminar de preguntar, Juan se

inventó un problema e hizo el siguiente gráfico.

Observando el gráfico,

a) Escribe el problema que tú piensas que inventó Juan.

b) Plantea una ecuación para resolver el problema que inventaste.

c) Resuelve el problema usando la ecuación.

156

Nombre: _________________________________________________________________

Colegio: _________________________________________________________________

Grado: _______ Nivel: Secundaria Fecha: _____/___________/_______

ACTIVIDAD 2

Para cada situación escriba una ecuación que le corresponde tanto de forma escrita como

algebraica.

1. 𝑎. 𝐸𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑝𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑠 45.

1. 𝑏. 𝑈𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑎 𝑠𝑢 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒 𝑎 27.

1. 𝑐. 𝐸𝑙 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜, 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑠𝑢 𝑡𝑟𝑖𝑝𝑙𝑒 𝑒𝑠 85.


la situación:

2. 𝑎) 𝑥 + 9 = 15

2. 𝑏).2(𝑡 + 3) = 5

2. 𝑐)15 − 2𝑛 = 𝑛

2. 𝑑) .2𝑟 − 3 = 7

TOMADO DE: Serie de matemáticas para básica secundaria y media (espiral 8 página 86).

3. En cada uno de los terrenos se informa el perímetro. Calcula el valor de la incógnita.

4.a) Halla las longitudes de un triángulo cuyo perímetro es 38 metros. Además se sabe que uno

de los lados del triángulo mide 2 metros más que el segundo y 5 metros más que el tercero.

4.b) Las tres cuartas pates de los miembros de un club de tenis se inscribieron en el torneo. El

día del torneo entraron 9 personas más, lo que hizo un total de 84 inscritos. ¿Cuántos miembros

tiene el club?.

157

Ilustración 24. Estudiante resolviendo la actividad 1.

Ilustración 23. Estudiante resolviendo la actividad 1

Ilustración 25. Estudiante resolviendo la actividad 2. Ilustración 26. Estudiante resolviendo la actividad 2.

ANÁLISIS DE CONVERSIÓN Y TRATAMIENTO PARA LA RESOLUCIÓN DE...

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