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Análise Combinatória Parte 1 Prof. Leandro Israel Pinto
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Análise Combinatória Parte 1
Prof. Leandro Israel Pinto
LEANDRO ISRAEL PINTO – UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA 2
Cronograma
O princípio da multiplicação;
O princípio da adição;
Usando os dois princípios juntos;
Princípio de inclusão e exclusão;
Princípio das casas de pombo;
Permutações;
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Introdução
A combinatória é o ramo da matemática que trata a contagem;
Problemas de contagem são importantes sempre que temos recursos finitos;
Quanto espaço de armazenamento um banco de dados
usa?
Problemas de contagem se resumem, muitas vezes, em determinar o número de elementos em algum conjunto finito;
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O Princípio da Multiplicação
Considerando o problema como uma árvore;
Você pode escolher entre duas balas, uma rosa e outra preta, e um entre três chicletes, um amarelo, outro verde e outro branco. Quantos conjuntos diferentes você pode ter?
Primeiro evento X segundo evento => 2 x 3 = 6
Se trocar a sequência de
eventos?
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O Princípio da Multiplicação
Princípio da Multiplicação
Se existem 𝑛1 resultados possíveis para um primeiro evento e 𝑛2 para um segundo evento, então existem
𝑛1. 𝑛2 resultados possíveis para a sequência dos dois
eventos.
O princípio pode ser estendido, por indução, a uma sequência com qualquer número finito de eventos.
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Exemplos
Quantos números de 4 algarismos podemos formar?
Vemos como uma sequência de tarefas (árvore)
Escolhe-se o primeiro, depois o segundo...
Se os dígitos não podem se repetir?
Vemos novamente como uma sequência de tarefas. Mas, a cada tarefa o número de escolhas se reduz em 1
Se uma pessoa tem quatro ternos, oito camisas e cinco brincos, de quantas maneiras diferentes ela pode se vestir?
𝐴 × 𝐵 = 𝐴 ∙ |𝐵|
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Princípio da Adição
Selecione uma sobremesa entre três tortas e quatro bolos. De quantas maneiras isso pode ser feito;
Tem-se dois eventos, um com 3 resultados e outro com 4;
No entanto, não temos uma sequência de eventos;
Já que só vai comer uma sobremesa
Portanto: 3+4=7 maneiras.
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Princípio da Adição
Se 𝐴 e 𝐵 são eventos disjuntos com 𝑛1 e 𝑛2 resultados possíveis, então o número total de possibilidades para o evento “A ou B” é 𝑛1 + 𝑛2.
Útil sempre que queremos contar o número total de possibilidades para uma tarefa que pode ser dividida em casos disjuntos.
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Usando os Dois Princípios Juntos
Quantos números de quatro dígitos começam com 4 ou 5?
Se uma pessoa tem sete blusas, cinco saias e nove vestidos, de quantas maneiras diferentes ela pode se vestir
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Árvores de Decisão
Resolve problemas de contagem onde o princípio da multiplicação não se aplica;
James T. Kirk está jogando moedas. Quantos resultados possíveis ele pode obter se jogar cinco vezes sem cair duas caras (C) consecutivas.
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Princípio de Inclusão e Exclusão
Sendo 𝐴 e 𝐵 subconjuntos de um conjunto universo 𝑆, então: 𝐴 − 𝐵, 𝐵 − 𝐴 e 𝐴 ∩ 𝐵 são disjuntos dois a dois; Se 𝑥 ∈ 𝐴 − 𝐵, então 𝑥 ∉ 𝐵, logo 𝑥 ∉ 𝐵 − 𝐴 e 𝑥 ∉ 𝐴 ∩ 𝐵;
Qual outro nome para:
𝐴 − 𝐵 ∪ 𝐵 − 𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)
𝐴 𝐵
𝐴 − 𝐵 𝐴 ∩ 𝐵 𝐵 − 𝐴
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Princípio de Inclusão e Exclusão
Versão do princípio para 2 conjuntos;
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 + 𝐵 − |𝐴 ∩ 𝐵|
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Exemplo
Um pesquisador de opinião pública entrevistou 35 eleitores. Descobriu que 14 apoiam o candidato 1 e 26 apoiam o candidato 2. Quantos apoiam ambos?
Sabemos que:
𝐴 ∪ 𝐵 = 35, 𝐴 = 14 e 𝐵 = 26
Usando a equação do princípio: 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 + 𝐵 − |𝐴 ∩ 𝐵| 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 + 𝐵 − |𝐴 ∪ 𝐵| 𝐴 ∩ 𝐵 = 14 + 26 − 35 = 5
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Princípio de Inclusão e Exclusão
Para 3 conjuntos:
𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶
= 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 − 𝐴 ∩ 𝐵 − 𝐴 ∩ 𝐶− 𝐵 ∩ 𝐶 + |𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶|
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Princípio de Inclusão e Exclusão - Definição
Dados conjuntos finitos 𝐴1, … , 𝐴𝑛 ≥ 2, temos:
𝐴1 ∪⋯∪ 𝐴𝑛
= 𝐴𝑖1≤𝑖≤𝑛
− 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗1≤𝑖<𝑗≤𝑛
+ 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 ∩ 𝐴𝑘1≤𝑖<𝑗<𝑘≤𝑛
− 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 ∩ 𝐴𝑘 ∩ 𝐴𝑞1≤𝑖<𝑗<𝑘<𝑞≤𝑛
+⋯
+ −1 𝑛+1|𝐴1 ∩⋯∩ 𝐴𝑛|
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O Princípio das Casas de Pombo
Analogia:
Se mais de 𝑘 pombos entram em 𝑘 casas de pombos,
então pelo menos uma casa vai ter mais de um pombo;
Definição:
Se mais de 𝑘 itens entram em 𝑘 caixas, então pelo
menos uma caixa contem mais de 1 item.
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Exemplo
Quantas pessoas precisam estar presentes em uma sala para garantir que duas delas tenham o último nome começando com a mesma letra?
O alfabeto tem 26 letras (caixas) (com K, Y e W);
Se a sala tiver 27 pessoas, então existem 27 iniciais
(itens) para se colocar nas 26 caixas;
De modo que pelo menos uma caixa vai conter mais de uma inicial.
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Permutações
Contar todas as possibilidades de ordenação de n elementos em r posições.
A ordem importa: 123 é diferente de 321
O número de permutações de r objetos distintos escolhidos entre n objetos distintos é denotado por:
𝑃 𝑛, 𝑟 =𝑛!
𝑛−𝑟 ! para 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑛
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Permutações.
Calcule
𝑃(𝑛, 0)
𝑃(𝑛, 1)
𝑃(𝑛, 𝑛)
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Permutações.
Calcule - Resultado
𝑃 𝑛, 0 = 1
Como solução existe apenas 1 arranjo ordenado de zero elementos como solução – o conjunto vazio
𝑃 𝑛, 1 = 𝑛
Podemos ordenar os n objetos de n maneiras diferentes quando temos apenas uma posição para preencher.
𝑃 𝑛, 𝑛 = 𝑛!
Reflete o princípio da multiplicação
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Combinação
Contar quantos objetos podemos selecionar em r posições entre n objetos distintos sem se importar com a ordem;
Contamos o número de combinações de r objetos distintos escolhidos entre n objetos distintos;
Denotamos por:
𝐶 𝑛, 𝑟 =𝑃(𝑛, 𝑟)
𝑟!=
𝑛!
𝑟! 𝑛 − 𝑟 !
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Calcule:
𝐶(𝑛, 0)
𝐶(𝑛, 1)
𝐶(𝑛, 𝑛)
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Calcule:
𝐶 𝑛, 0 = 1
Reflete que existe 1 única maneira de escolher 0 elementos: escolher o conjunto vazio;
𝐶 𝑛, 1 = 𝑛
Existem n maneiras de selecionar 1 objeto entre n objetos;
𝐶 𝑛, 𝑛 = 1
Existe 1 única maneira de selecionar n objetos entre n objetos: escolher todos os objetos.
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Eliminação de Duplicatas
Quantas permutações distintas podem ser feitas com os caracteres que formam a palavra MISSISSIPI?
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Eliminação de Duplicatas
Quantas permutações distintas podem ser feitas com os caracteres que formam a palavra MISSISSIPI?
A princípio 10!
Mas os Ss trocam de posição sem alterar a palavra.
Como são 4, então 4! Cadeias são contadas a mais.
O mesmo para o Is.
10!
4! 4!
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Eliminação de Duplicatas
Em geral,
𝑛!
𝑛1! 𝑛2! … 𝑛𝑘!
Onde 𝑛 é a quantidade de objetos distintos;
E 𝑛𝑘 é a quantidade de objetos indistinguíveis
entre sí de um mesmo tipo.
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Permutações e Combinações com Repetições
As formulas 𝑃(𝑛, 𝑟) e 𝐶(𝑛, 𝑟) supõem que
selecionamos r objetos entre os n disponíveis usando cada objeto apenas uma vez;
𝑟 ≤ 𝑛
Suponha que os n objetos podem ser usados quantas vezes quisermos.
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Exemplo
Carminha Frufru mandou fazer um broche e pode usar cinco pedras preciosas entre diamantes, rubis e esmeraldas. De quantas maneiras diferentes podem ser escolhidas as pedras?
A ordem não interessa então é combinação
■|■■■|■ → 1 diamante, 4 rubis e 1 esmeralda
■■■■■|| → 5 Diamantes
Consideramos 7 posições → C 7,5 =7!
5!2!
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Permutações e Combinações com Repetições
De forma geral:
𝐶 𝑟 + 𝑛 − 1, 𝑟 =𝑟 + 𝑛 − 1 !
𝑟! 𝑛 − 1 !
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Referências
GERSTING, Judith L. Fundamentos matemáticos para a ciência da computação: um tratamento moderno de matemática discreta. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2004. 597 p. ISBN 9788521614227 (broch.).
