1Animaciones tomadas de: Wikipedia y http://zonalandeducation.com/mstm/physics/waves/partsOfAWave/waveParts.htm#pictureOfAWave

PROBLEMAS DE ONDAS

Antonio J. Barbero, Mariano Hernández, Alfonso Calera, Pablo Muñiz, José A. de Toro and Peter Normile

Departamento Física Apolicada. UCLM

2

PROBLEMA 1. Un muelle de 12 cm de longitud, de masa despreciable, tiene uno de sus extremos fijo en la pared vertical mientras que el otro está unido a una masa que descansa sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Se aplica una fuerza de 30 N para mantenerlo estirado hasta una longitud de 18 cm. En esta posición se suelta para que oscile libremente con una frecuencia angular de 3.14 rad/s. Calcular:

a) La constante recuperadora del resorte.

b) ¿Cuál es la masa que oscila?

c) La ecuación del MAS resultante

d) Las energías cinética y potencial cuando x = 3 cm

cm 120 x

cm 60max xxA

0 xxkF

0xx

x

cm 18max x

M

k

M

M

M

N/m 500N/cm 56

30

0

A

F

xx

Fk

kg 7.5014.3

50022

k

M

a)

b)

c) La ecuación del MAS resultante tAx sin

Cuando t = 0 el resorte está completamente estirado, por tanto Axt 0

sin 0 AAxt

1sin 2

2 .143sin 6

tx (x en cm, t en s) tc .143os 6

d) Las energías cinética y potencial cuando x = 3 cm J 225.003.00052

1

2

1 22 xkEp

Energía mecánica del oscilador: J 9.006.00052

1

2

1 22 AkE

Energía cinética J 675.0225.09.0 pc EEE

3

Calcular:a) La frecuencia, el periodo, la longitud de la onda y la velocidad de propagación.b) El estado de vibración, velocidad y aceleración de una partícula situada en x = 0,2 m en el instante t = 0,3 s.c) Diferencia de fase entre dos puntos separados 0,3 m.

4/ 6sin2.0 xtyPROBLEMA 2. Una onda se propaga por una cuerda según la ecuación (en unidades S.I.)

a) Ecuación de la forma xktAtxy sin ,Se propaga en sentido

negativo del eje X

m 2 m 2

s .33301 Hz 3 rad/s 6 21-

k

f Tffm/s 6

6

kc

b) Para x = 0.2 m, t = 0.3 s.

4/.20.306sin2.0 y m 1414.0069.7sin2.0

Velocidad 4/ 6cos62.0 xtdt

dy

4/ 6sin362.0 22

2

xtdt

ydAceleración

m/s 666.2069.7cos62.0

22 m/s 25.50069.7cos362.0

c) Diferencia de fase entre dos puntos separados x = 0.3 m

4/ 61 xt

4/3.0 62 xtrad 3.012

4

PROBLEMA 3. La ecuación de una onda transversal que viaja por una cuerda tensa está dada por

segundosen cm;en están , donde 4 02.0sin6 tyxtxy a) Poner esta ecuación en forma coseno. Determinar su longitud de onda y su frecuencia.

b) ¿Cuál es su amplitud? ¿En qué sentido se propaga, y cuál es la velocidad de propagación?

c) ¿Cuál es la velocidad máxima de vibración de un punto de la cuerda? ¿Y la aceleración máxima?

a) Para ponerla en forma coseno tendremos en cuenta la relación

2/ 4 02.0cos6 4 02.0sin6 txtxy

sin2/sinsin2/coscos2/cos

(El seno de un ángulo está atrasado /2 rad respecto al coseno)

Frecuencia angular

Número de ondas k

1-cm 02.02

k rad/s 4 22 fT

Hz 2f

s 5.0Tcm 100

b) Amplitud: directamente de la ecuación A = 6 cm. Velocidad propagación

cm/s 200cm .020

rad/s 41-

kv

c) Velocidad de vibración

Se propaga en el sentido negativo del eje X.

txdt

txydy 4 02.0cos 46

,

Valor máximo: cuando el término coseno es igual a 1, así la velocidad máxima de vibración es 24 cm/s.

tx 4 02.0cos 24

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PROBLEMA 4. La ecuación de una onda transversal que se propaga por una cuerda viene dada por:

Calcular:

a) La frecuencia, el periodo, la longitud de onda y la velocidad de propagación.

b) La velocidad transversal en un punto cualquiera de la cuerda

c) Admitiendo que esta onda se propaga a lo largo de una cuerda fija por ambos extremos, ¿cuál será la ecuación de la onda estacionaria resultante de la interferencia de la onda dada con la onda reflejada en el otro extremo y que se propaga en sentido contrario?.

S.I.) (Unidades 50 40.0sin06.0 txy

2

cos2

sin2sinsinBABA

BA

Ayuda

a) Se trata de una onda viajera en el sentido negativo del eje X 1-m 40.0

rad/s 50

k

m 5 40.02 m 40.02

s 04.01 Hz 252 rad/s 50 21-

k

f Tff

Velocidad de propagación m/s 12540.0

50

kc

b) La velocidad transversal en un punto cualquiera de la cuerda.

txdt

txyd 50 40.0cos 5005.0

, tx 50 40.0cos 5.2 (m/s)

d) La distancia entre dos vientres consecutivos de la onda estacionaria

6

c) La onda que se propaga en sentido contrario es txktxy sin 05.0,2

txktxy sin 05.0,2

txktxy sin 05.0,1 txktxk sin cos05.0 cos sin 05.0

La superposición de las dos, llamando y1(x,t) a la primera, es: rad/s 50-1m 40.0

Se invierte la fase de la onda reflejada

txktxk sin cos05.0 cos sin 05.0

txktxytxy sin cos 10.0,, 21

Onda estacionaria txtxytxy 50sin 40.0cos 10.0,, 21

Suma:

Procedimiento alternativo: usando la relación trigonométrica

2

cos2

sin 2sinsinBABA

BA

tBA 2

xkBA 2

txkA

txkB

PROBLEMA 4 (Continuación)

txktxy sin 05.0,2

txktxy sin 05.0,1

txktxktxktxytxy sin cos 10.0 sin05.0 sin05.0,, 21

txtxytxy 50sin 40.0cos 10.0,, 21

d) La distancia entre dos vientres consecutivos de la onda estacionaria es igual que la distancia entre dos nodos consecutivos (puntos donde la amplitud es nula)

Cuando n = 1 →

2

12 40.0 nx 0 40.0cos x

Cuando n = 0 →

Hay un nodo si (n entero)

80.0

12

nxn

Posiciones de los nodos

m 25.10 x

m 75.31 x

Distancia entre vientres = distancia entre nodos = m 5.201 xx(Véase que es la mitad de la

longitud de onda de las ondas que interfieren)

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En una cuerda tensa de 2 m de longitud sujeta por ambos extremos se tiene una onda estacionaria dada por la ecuación:

sen cm,en 80sin sin 4, tx,ytxktxy

a) ¿De qué armónico se trata? ¿Cuál es el valor de k?

c) ¿Cuál es la amplitud de la vibración de un punto situado a 50 cm de uno de los extremos de la cuerda?

d) ¿Cuál es la velocidad máxima de vibración de un punto situado a 50 cm de uno de los extremos de la cuerda?

El perfil de la onda estacionaria aparece en la figura adjunta.

b) Calcular la frecuencia de este armónico y la velocidad con que se propagan a lo largo de la cuerda las ondas que se superponen para producirlo.

4 cm

200 cm

4 cm

txkstxy sin in 4, 222

1-2

22 cm 10

200

22 k

-12 srad 80

Hz 402

80

22

2

f

a) La onda estacionaria es el resultado de la superposición de dos ondas viajeras de igual frecuencia que se propagan en sentidos contrarios a lo largo de la cuerda. Además, aparecen ondas estacionarias sólo para aquellas frecuencias en que la semilongitud de onda es múltiplo entero de longitud de la cuerda

Segundo armónico

Velocidad de propagación cm/s 800010

802

2

22

k

c

2

nL

De la inspección de la gráfica resulta que la onda estacionaria representada es el segundo armónico, pues presenta dos antinodos (o un solo nodo, aparte de los extremos fijos). En gráfíca vemos que L = 2000 cm

Ln

nL2

2

Como n = 2 (número de antinodos) cm 2002 L Longitud de onda

Por inspección de la ecuación se tiene que

Cálculo de k2 sen cm,en 80sin 10sin 4, 2 tx,ytxtxy

b) Frecuencia

PROBLEMA 5

8

PROBLEMA 5 (Continuación)c) ¿Cuál es la amplitud de la vibración de un punto situado a 50 cm de uno de los extremos de la cuerda?

4 cm

200 cm

4 cm

cm 50x En la onda estacionaria cada punto de la cuerda describe un M.A.S. vibrando transversalmente con una amplitud que depende de su posición, la cual viene dada por xkxA sin 4 22

cm 44

2

sin 850 2

22

xAComo x = 50 cm es igual a x = 2/4

Antinodo

d) ¿Cuál es la velocidad máxima de vibración de un punto situado a 50 cm de uno de los extremos de la cuerda?

En las posiciones indicadas o bien x = 2/4 o bien x = 32/4. El valor máximo del término coseno es 1, por tanto

cm/s 3204

2

sin 4 2

222

v

A partir de la ecuación de la onda estacionaria txktxydt

dtxv cos sin 4,, 2222

cm/s 3204

3

2sin 4 2

222

v

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El nivel de referencia para la presión sonora es pref = 210-6 Pa, y la definición del nivel de presión es

PROBLEMA 6

refref p

p

p

pLP

010

2

010 log20log10

Teniendo en cuenta la relación entre presión sonora e intensidad, dada por 2

1 20

v

pI

Calcular los niveles de presión e intensidad en un receptor donde la máxima sobrepresión p0 = 510-2 Pa.

Suponemos que el sonido se propaga a 344 m/s y la densidad del aire es 1.20 kg/m3

Nivel de presión

refp

pLP

010log20

6

2

10 102

105log20 dB 88

2

1 20

v

pI

Intensidad

26

22

W/m1003.3 443 .201

105

2

1

dB 6510

1003.3log10

12

6

10

IL

El nivel de referencia para la intensidad es I0 = 10-12 W/m2