Ángulos y Triángulos · formada por 2 semirrectas que parten de un mismo ... Se divide la...

Ángulos y Triángulos

Integrantes: Felipe Lara

Cristopher Oyarzún

Mauricio Vásquez

Asignatura: Álgebra

Profesor: Orlando Torres

mmm... ojalá

te sirva este

módulo

ÁngulosPara aprender sobre los ángulos primero tenemos que tener claros estos conceptos, esperemos que este cuadro te ayude

Nombre del

Conjunto

Punto Recta Segmento Rayo Plano

Representación

P

M N M N M N

Símbolo

P MN MN MN P

Se lee Punto P Recta MN

Recta NM

Segmento MN

Segmento NM

Rayo MN Plano P

Dimensión No tiene Una: Largo

(Longitud)

Una: Largo

(Longitud)

Una: Largo

(Longitud)

Dos: Largo y

Ancho

Ahora si podemos comenzar. Un ángulo es la figura formada por 2 semirrectas que parten de un mismo punto. Las semirectas se llaman lados y el punto común vértice. Así como muestra la figura

Ángulos

Este es el que se conoce como Sistema sexagesimal

Se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de

estas partes constituyen un grado sexagesimal.

Uno de estos grados se divide en 60 partes iguales (60’)

que corresponden, cada una de ellas, a un minuto.

Un minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales

(60") correspondiendo cada una de estas partes a un

segundo.

ÁngulosSistema de Medición de ángulos

“Con esfuerzo y

constancia lograras

aprender los contenidos”

Tipos de Ángulos

Ángulos

Tipo de ángulo Rango

Ángulo Agudo

0º 90º

Ángulo Recto

90º =

Ángulos

Ángulo Extendido

180º =

Ángulo Obtuso

0º 90º

Ángulo Convexo

180º 360º

Ángulos

Ángulo Completo

360º =

Haber muchachos,

después de esto nos

vamos a meter en la

materia de la

clasificación de

ángulos así que

prepárense

Ángulos

Ángulos Adyacentes

Clasificación de ángulos

• Son ángulos que tienen un lado común y el mismo

vértice. BAC es adyacente con DAC

Ángulos

Ángulos Opuestos por el vértice


• Dos líneas que se interceptan generan ángulos

opuestos por el vértice. - Son ángulos no

adyacentes. 1, 2, 3 y 4

• Son ángulos congruentes:

1 = 2 y 3 = 4

Ángulos

Ángulos Complementarios


• Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya

particularidad es que suman 90°. +=90º

• El BAC es adyacente al DAC y viceversa

Ángulos

Ángulos Suplementarios


• Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya

particularidad es que suman 180°. +=180º

• El BAC es adyacente al DAC y viceversa

Ángulos

Llegó la hora de hacer el primer quiz, esperemos que estés

listo después de todo lo aprendido

Va a ser un quiz de 3 preguntas simples con alternativas

BUENA SUERTE!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

1) ¿Qué tipo de ángulo sería este?

a) Obtuso

b) Convexo

c) Agudo

d) Extendido

QUIZ 1

ÁngulosQUIZ 1

Muy bien

acertaste

Sigue así!!!!!!!!!

Pasa a la siguiente preguntaVuelve si quieres

ÁngulosQUIZ 1

Estudia más e

inténtalo de nuevo

La tarde es larga !!!!!

Vuelve a la pregunta anterior

Ángulos

2) ¿Cuál es el complemento de un ángulo de 21º ?

a) 159º

b) 69º

c) 339º

d) 29º

QUIZ 1

ÁngulosQUIZ 1

Muy bien

acertaste

Sigue así!!!!!!!!!

Pasa a la siguiente preguntaVuelve si quieres

ÁngulosQUIZ 1

Estudia más e

inténtalo de nuevo



Ángulos

3) En los siguientes pares de ángulos cuales son

opuestos por el vértice

a) 1 y 2

b) 1 y 3

c) 2 y 3

d) 4 y 1

QUIZ 1

ÁngulosQUIZ 1

Muy bien

acertaste

Sigue así!!!!!!!!!

Vuelve si quieres Pasa a ver como te fue

ÁngulosQUIZ 1

Estudia más e

inténtalo de nuevo



ÁngulosQUIZ 1

Calificaciones

3/3=Aprendiste MUY BIEN!!!!!!!!

2/3=Estas bien pero falta repasar

1/3=Necesitas más estudio

0/3= ESTUDIA!!!!!!!!!!!!!


¿Qué pasa si se intersectan paralelascon una recta llamada transversal?

Si quieres saber mira la siguiente

página

Ángulos

Ángulos entre paralelas

• Dos rectas cualesquiera cortadas por una tercera

determinan ocho ángulos.

Ángulos

Ángulos entre paralelas

• Al intersectar una paralela por una recta llamada transversal o secante, se forman los siguientes tipos de ángulos:

Ángulos interiores y exteriores

Ángulos correspondientes

Ángulos alternos

Ángulos conjugados

Ángulos

• Los ángulos ubicados en la zona comprendida entre

las rectas paralelas se llaman ángulos interiores.

Ángulos interiores

Ángulos

Los ángulos que no son interiores se denominan

ángulos exteriores.

Ángulos exteriores

Ángulos

• Son los que están al mismo lado de las paralelas y al

mismo lado de la transversal

Ángulos correspondientes

Ángulos

• Son los que están entre las paralelas a distinto lado de

ellas y a distinto lado de la transversal.

Ángulos alternos internos

Ángulos

• Son los que "fuera" de las paralelas a distinto lado de

ellas y a distinto lado de la transversal.

Ángulos alternos externos

Los ángulos

correspondientes son

iguales entre sí.

Los ángulos alternos

internos son iguales entre

sí.

Los ángulos alternos

externos son iguales entre

sí.

Y los ya estudiados

opuestos por el vértice,

también

Ángulos

• Si dos ángulos están situados en un mismo semiplano con respecto a la transversal y ambos son internos, se los llama ángulos conjugados internos.

Ángulos conjugados internos

Ángulos

• Si dos ángulos están situados en un mismo semiplano con respecto a la transversal y ambos son externos, se los llama ángulos conjugados externos.

Ángulos conjugados externos

A ver A ver A ver..., que

crees tú que pasa con los

conjugados internos y

externos.

1) Suman 90°

2) Son rectos

3) Suman 180°

4) Son agudos

NO NO NO NO NO!!!

DEBES DEDUCIR MEJOR,

ASI ESTARÁS MEJOR

PREPARADO PARA LOS

QUIZESITOS


Los ángulos

conjugados internos

entre paralelas son

suplementariosy

también los ángulos

conjugados internos

entre paralelas

BIEN!!!!!sigue avazando

Vuelve a la pregunta anterior Pasa a ver como te fue

QUIZ 2


Interiores:

a) 1 y 2

b) 3 y 4

c) 1 y 8

d) 7 y 2

Ángulos

Llegó la hora de hacer el segundo Quiz. Como ya

estas familiarizado no hay mucho que decir, solo:

BUENA SUERTE!!!!!!

ÁngulosQUIZ 2

Estudia más e

inténtalo de nuevo



ÁngulosQUIZ 2

Muy bien

acertaste

Sigue así!!!!!!!!!

Vuelve si quieres Pasa a ver como te fue

ÁngulosQUIZ 2


Correspondientes:

a) 5 y 6

b) 3 y 4

c) 5 y 8

d) 2 y 6

ÁngulosQUIZ 2

Estudia más e

inténtalo de nuevo



ÁngulosQUIZ 2

Muy bien

acertaste

Sigue así!!!!!!!!!

Vuelve si quieres Pasa a a la siguiente

ÁngulosQUIZ 2


Conjugados externos:

a) 1 y 7

b) 5 y 6

c) 4 y 8

d) 2 y 5

ÁngulosQUIZ 2

Estudia más e

inténtalo de nuevo



ÁngulosQUIZ 2

Muy bien

acertaste

Sigue así!!!!!!!!!

Vuelve si quieres Pasa a a la siguiente

ÁngulosVamos a hacer varios ejercicio simples en el que tendrás que

descubrir los diferentes ángulos de las sig. figuras

3 2 1

5

4

1 = 67 º

2 =

3 =

4 =

5 =

Ángulos

3 1

2

4

1 = 80 º

2 =

3 =

4 =

Ángulos

3 1

4 2

6

5

1 = 55 º

2 = 120º

3 =

4 =

5 = 125º

6 =

Ángulos

3 1 2

4 6 5

1 =

2 =

3 =

4 = 63º

5 =

6 = 69º

Ángulos

5 1

2

4

3

1 = 111º

2 =

3 =

4 =

5 =

6 =

Ángulos

Muy Bien

¡¡¡¡¡¡¡¡Se Acabó!!!!!!!!

Espero que te hayan servido

esos ejercicios para practicar.

Ahora se viene la unidad de

TRIÁNGULOS

Esperemos que estés listo

SUERTE ; )

Triángulos

Comenzaremos con el tema de

los triángulos.

Aquí estudiaremos a como

clasificarlos, sus elementos

primarios y secundarios, también

haremos algunos quizes.

TriángulosLo primero que veremos será que son los triángulos y sus

partes, para esto nos ayudará la siguiente imagen.

Este triángulo nos dice las siguientes

cosas:

Triángulo ABC:

Lados: BC=a; AC=b; AB=c

Ángulos: CAB ; ABC ; BCA

Según sus lados:

1) Equilátero AB BC AC

TriángulosClasificación de los triángulos

2) Isósceles AB AC

Según sus lados:


3) Escaleno AB ≠ BC ≠ AC

Según sus lados:


Según sus ángulos:

4) Acutángulo: Todos sus ángulos interiores son agudos

(miden menos de 90º)


5) Rectángulo: 1 ángulo recto y dos agudos suplementarios



Clasificación de los triángulos


6) Obtusángulo: 1 ángulo obtuso y dos agudos

Triángulos

Triángulos

Propiedades de todo Triángulo

II. Los tres ángulos exteriores suman en conjunto 360º.

’ + ’ + ’ = 360º


Triángulos

Propiedades de todo Triángulo

I. Los tres ángulos interiores suman en conjunto 180º.

+ + = 180º


En un triángulo es posible construir

diversos segmentos de gran importancia para su

estudio, los que son llamados comúnmente

“elementos secundarios”.

Si , si ,si si,si si........ Pero también cabe mencionar que cada uno de estos

elementos posee propiedades especiales y generan a su vez nuevos elementos.

Elementos secundarios de un triángulo

Segmento perpendicular que une un

vértice del triángulo con el lado

opuesto.

En un triángulo existen tres alturas y

la intersección entre ellas recibe el

nombre de Ortocentro.

Según el tipo de triángulo, el

ortocentro esta fuera, dentro o sobre

un lado del triángulo.

Altura

¿Cómo se dibuja

una altura?. Házme

click

Una altura, cuyo símbolo es

h, es el trazo perpendicular

que une un lado del triángulo

con el vértice opuesto.

La altura se traza con una

escuadra, para lograr una

mayor precisión. Ponemos un

cateto de ella sobre el lado y

el otro cateto debe pasar por

el vértice opuesto.

El punto donde se intersectan las alturas se llama ortocentro.

En un triángulo

rectángulo cada

cateto es altura del

otro, y el ortocentro

es el vértice del

ángulo recto.


Rectas perpendiculares a cada lado

lado del triángulo en su punto

medio.

Su intersección, llamado

circuncentro, es un punto que

equidista de los vértices del triángulo

y es el centro de la circunferencia

circunscrita.

Mediatrices o Simetrales

¿Cómo se dibuja

una simetral?.

Házme click

La simetral es una recta

perpendicular que dimidia a

un trazo. Se obtiene colocando la

punta metálica del compás en

ambos extremos del trazo ( P y Q

) y, con la misma medida,

formamos un punto arriba y otro

abajo de él. La recta que une los

puntos formados (R y S) es la

simetral.

El símbolo de simetral es una s y

el nombre del lado.


Segmentos que dividen al ángulo del

vértice en dos partes iguales. Las

bisectrices del triángulo se

intersectan en un punto del triángulo

llamado Incentro, y que es el centro

de la circunferencia inscrita.

Bisectrices

¿Cómo se dibuja

una bizectriz?.

Házme click

Utilizaremos el compás. Apoyamos la punta de metal en el vértice ( I ) y hacemos un arco con una medida cualquiera. Obtenemos 2 puntos R y T. Aplicamos la medida anterior -u otra mayor que la mitad del arco- desde T y desde R para formar un punto ( S ). Unimos el vértice con ese punto y obtenemos IS = bisectriz. Así:

Las 3 bisectrices de un triángulo se

intersectan en un punto llamado

incentro. El incentro es el centro de la

circunferencia inscrita al triángulo.


Las medianas son las rectas que unen

los vértices del triángulo con los

puntos medios de los lados opuestos.

Se cortan en el Baricentro o Centro

de Gravedad, que es el centro

geométrico del triángulo. El

Baricentro se encuentra a 2/3 del

vértice y 1/3 del punto medio del

lado opuesto.

Transversales de gravedad y Medianas

¿Cómo se dibuja

una mediana?.

Házme click

Para dibujar esto no hay mucha

dificultad.

El punto donde se intersectan las tres transversales se llama

Centro de Gravedad del triángulo.

Tranversal de

Gravedad

Las medianas

quedan paralelas a

los lados.

Son los segmentos

que unen los

puntos medios del

triángulo.

Medianas

TriángulosQUIZ “Larguito”

Llegó la hora de hacer el Primer Quiz Larguito.

Como ya estas familiarizado con los Quiz anteriores

no hay mucho que decir, solo: BUENA

SUERTE!!!!!!

1) ¿Según sus lados qué Triángulo es este si: AB AC?

a) Equilátero

b) Escaleno

c) Isósceles