TRABAJO COLABORATIVO 1

Ángulos, perpendicularidad y paralelismo, rectas

cortadas por una secante y ángulos que se forman

INTEGRANTES:

-

MARITZA ANDREA VILLARRAGA

DEINER FERNANDO ADRANDE

MANUEL RICARDO GARCIA

ANA BEATRIZ RUBIO

-

GRUPO: 551121-4

-

TUTORA: YENNY PAOLA SIERRA

14/09/2014

INTRODUCCION

Esta unidad comprende el reconocimiento e identificación de conceptos que contribuyen al

desarrollo de habilidades y destrezas a los futuros licenciados en matemáticas para orientar sus

procesos de enseñanza – aprendizaje, propio de ese ejercicio desarrollamos en esta actividad

colaborativa, los conceptos de ángulo, perpendicularidad y paralelismo, rectas cortadas por

una secante y ángulos que se forman, presentando con ellos sus respectivos ejemplos.

El desarrollo de estos conceptos, como cualquier otro de Geometría Plana, infiere el

planteamiento y solución de problemas, que contribuyen a la apropiación de la importancia de

la geometría en la vida cotidiana y su influencia en otras ciencias aplicadas.

El desarrollo de ejemplos y solución de problemas fueron complementados con la aplicación

del software didáctico Geógebra, que gracias a sus facilidades e importantes usos geométricos,

nos permitió la implementación de sus herramientas para explicar gráficamente los conceptos

y soluciones de esta actividad.

OBJETIVOS

Objetivo general

Trabajar conceptos y sus aplicaciones dentro la geometría plana que contribuyan a la

formación personal y profesional de los fututos docentes, contribuyendo a generar diferentes

estrategias de enseñanza de esta área.

Objetivos específicos

o Trabajar los diferentes tipos de conceptos de ángulo, perpendicularidad y paralelismo,

rectas cortadas por una secante y ángulos que se forman, para comprender su

importancia y utilidad en la vida cotidiana y otros campos.

o Desarrollar estrategias de enseñanza-aprendizaje a través de ejemplos y solución de

problemas relacionados al tema aquí tratado, en los estudiantes, contribuyendo a

mejorar su proceso formativo.

o Implementar Geogebra como herramienta informática computacional para la

ilustración de ejemplos y solución de problemas sobre ángulo, perpendicularidad y

paralelismo, rectas cortadas por una secante y ángulos que se forman.

a. Consultar y explicar las siguientes definiciones

Ángulo: es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el

mismo punto de origen o vértice. Suelen medirse en unidades tales como el

radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

Vértice: es el punto de origen de las semirrectas que permiten la formación de

un ángulo.

Lados del ángulo: también conocidas como semirrectas son las líneas

que salen del vértice y permiten la formación del ángulo.

b. ¿En qué consiste el sistema sexagesimal?

El sistema sexagesimal consiste en la división de la circunferencia en 360 partes iguales,

trazando segmentos de rectas que pasen por el centro de la circunferencia, tomando el centro

como origen de las semirrectas se le atribuye la medida de 1° (un grado) la separación de cada

semirrecta, dándole así un total de 360° a la circunferencia completa.

Ahora “sexa” es un prefijo de origen latino que indica 60, y este sistema lo utiliza en la

división de cada gado (1°) en 60 partes iguales, a las cuales se les denomina minutos (’),donde

estos también se les divide en 60 partes iguales a los que se les denomina segundos (”).

c. ¿En qué consiste el sistema circular?

De la definición de circunferencia sabemos que la longitud de una circunferencia es

proporcional a su diámetro, es decir: S = π D, donde la letra griega pi (π) es la constante de

proporcionalidad es la longitud de la circunferencia y D es el diámetro, como D = 2r, dos

veces el radio, podríamos escribir la ecuación anterior como S = 2π r.

De esto deriva el hecho que si la longitud del arco es una circunferencia completa entonces S

= 2π r, y sustituyendo en la formula nos quedara que para una circunferencia completa, la

revolución completa será de θ = S/r = 2π r/r = 2π. Es decir en una revolución, o ciclo, o vuelta

completa en una circunferencia el ángulo es igual a 2π radianes.

d. Explicar la relación del grado sexagesimal y radián circular.

Se parte de la base de que una circunferencia completa tiene radianes, y que una

circunferencia tiene 360° sexagesimales, luego tenemos:

Haciendo una regla de tres simple se llega a que el factor de conversión de grados

sexagesimales a radianes es:

Luego tenemos que, para un ángulo x dado en grados, su equivalente X en radianes es:

Y viceversa (si tenemos que, para un ángulo X dado en radianes, su equivalente x en

grados es):

e. (En Geogebra) Trazar dos rectas que formen un ángulo de: 53.13°

f. ¿Cuál ángulo es mayor: 0,72 radianes o 45 grados? Explica

Teniendo las expresiones 0,72 radianes y 45 grados, se puede concluir que es mayor

45º ya que al pasar 0,72 radianes a grados solo obtenemos 41,27º, tal como se muestra

en la siguiente demostración

Según esta operación rad72,0 equivalen 41 lo que sería menor a 45 .

g. ¿Cuántos segundos tiene un minuto? ¿Cuántos minutos tiene un grado? ¿Cuántos

segundos tiene 𝟑𝟐𝟎°𝟒𝟎′?

h. Definir y explicar con un ejemplo (En Geogebra): ángulos adyacentes, ángulo

recto, ángulo llano, ángulos complementarios, complemento de un ángulo,

ángulos suplementarios y suplemento de un ángulo.

.

Ángulos adyacentes: son aquellos ángulos que están formados de manera tal que uno

de sus lados es común y los otros dos pertenecen a la misma recta. Por ejemplo AC y

BC están en la misma recta y CD es el lado común para ambos ángulos.

Angulo recto: es aquel ángulo que mide 90º exactamente

Angulo llano: es aquel ángulo que mide 180º exactamente y sus lados son la

prolongación del otro

Ángulos complementarios: son aquellos ángulos que al ser sumados nos permiten

obtener un ángulo recto de 90º. Teniendo en cuenta lo anterior si tenemos y otro al sumar los dos ángulos obtenemos 90º de un ángulo recto.

Complemento de un ángulo: es aquella parte que le falta a un ángulo para ser un

ángulo recto es decir 90º. Por lo cual el complemento de es

Ángulos suplementarios: son aquellos ángulos que sumados valen dos ángulos rectos,

es decir 180º. Teniendo = 45º y = 135º, al sumarlos se obtiene un ángulo

de 180º

Suplemento de un ángulo: es aquel valor que le falta al ángulo recto para valer 180º

exactos. Dado lo anterior teniendo = 40º el suplemento es = 140º que al

ser sumados nos da como resultado 180º.

i. (En Geogebra) Los ángulos y son adyacentes. Si

Obtener el valor de .

Expresaremos el ángulo todo en grados para mejor manejo en Geogebra.

Representamos en Geogebra.

Medimos

j. (En Geogebra) Los ángulos y son complementarios. Si

=40°15′45′′, obtener el valor de .

Expresaremos el ángulo todo en grados para mejor manejo en Geogebra.

Representamos en Geogebra.

Medimos

k. (En Geogebra) ¿Cuál es el suplemento de cada

uno de los siguientes ángulos?

10°15′18′′

Luego el suplemento es 169.74°

85°45′33′′

Luego el suplemento es 94.24°

105°30′02′′

Luego El suplemento es 74.5°

l. ¿Cuándo se dice que los ángulos son complementarios y cuándo suplementarios?

Se dice que los ángulos son complementarios entre sí, cuando la suma resultante entre

ellos es un ángulo recto es decir 90º y si el resultado de la suma es 180° se dice que son

ángulos suplementarios.

m. (En Geogebra) Obtener tres ángulos tales que su suma sea igual a un ángulo

llano, el primero sea el quíntuplo del tercero, y el segundo sea el cuádruplo del

tercero.

el ejercicio nos pide un ángulo, mas 4 veces ese ángulo, mas 5 veces ese ángulo de

como resultado 180°, analizando, nos está pidiendo 10 veces un ángulo, por lo que

dividimos el ángulo llano en 10 partes iguales. Teniendo:

Ahora, el tercer ángulo son 5 partes, contando en sentido contrario a las manecillas del

reloj, el ángulo es el marcado por el segmento f, es decir 90°.

El segundo ángulo son 4 partes, es decir, el marcado por el segmento e, que tiene 72°.

El tercero es una parte, y es el marcado por el segmento b, es decir 18°

Luego los ángulos son 90, 72 y 18°

n. ¿En qué consiste ángulos opuestos por el vértice? Realiza un ejemplo (en

Geogebra).

Los ángulos opuestos por el vértice son aquellos cuyos los lados de uno son las

prolongaciones del otro.

o. (En Geogebra) De un ejemplo de ángulos consecutivos.

El ángulo es consecutivo con el ángulo .

p. En la imagen: Si el ángulo 1 es igual al

doble del ángulo 2. Y el ángulo 2 es el

triple del ángulo 3, ¿Cuánto mide cada

ángulo?

Solución:

Ec.1 (Principio sistema Sexagesimal)

(Enunciado) Ec.2

Ec.3 (Enunciado), despejando,

Remplazando Ec.2 y Ec.3 en la Ec.1

Remplazamos en la Ec.2

De la Ec.1

Ec.1 (Principio sistema Sexagesimal)

(Enunciado) Ec.2

Ec.3 (Enunciado), despejando,

Remplazando Ec.2 y Ec.3 en la Ec.1

Remplazamos en la Ec.2

De la Ec.1

q. Explicar el concepto de perpendicularidad y paralelismo.

Perpendicularidad: se denomina a dos rectas que al cortarse o cruzarse forman

exactamente 4 ángulos iguales rectos de 90º.

Paralelismo: se denomina a dos rectas que al ser trazadas en el plano no tienen ningún

punto en común y por lo cual nunca se cruzan.

r. (En Geogebra) ¿Cuántas perpendiculares a una recta podemos trazar que tenga

la propiedad de pasar por un punto exterior a dicha recta?

Solo se puede trazar una recta perpendicular que tenga un punto exterior a dicha recta.

s. ¿Cuándo decimos que dos rectas son paralelas?

Dos rectas son paralelas cuando al ser trazadas en el plano no tienen ningún punto de

encuentro por lo cual no cruzan en ningún momento.

t. Explicar el método de reducción al absurdo.

El método de reducción al absurdo es un postulado que consiste en suponer lo

contrario a lo que se quiere demostrar, llegando a conclusiones falsas o contradictorias

a partir de postulados o teoremas ya demostrados.

u. (En Geogebra) Trazar una perpendicular a una recta dada, que pase por uno de

los puntos (por ejemplo, por un extremo, por el centro y por cualquier punto).

v. (En Geogebra) Trazar paralelas a una recta dada, que pasen por un punto exterior a

dicha recta.

Por un punto exterior a la recta solo puede pasar una línea recta paralela a ella

w. (En Geogebra) Trazar la bisectriz de un ángulo cualquiera.

x. (En Geogebra) Trazar: ángulos internos, ángulos externos, ángulos alternos, ángulos

correspondientes, ángulos conjugados y paralelas cortadas por una secante

ángulos internos: 4, 3, 5 y 6

ángulos externos: 1, 2, 7 y 8

ángulos alternos: 4 y 6, 3 y 5, 1 y 7, 2 y 8

ángulos correspondientes: 1 y 5, 4 y 8, 2 y 6, 3 y 7

ángulos conjugados:

o conjugados internos: 4 y 5, 3 y 6

o conjugados externos: 1 y 8, 2 y 7

paralelas cortadas por una secante:

Este mismo ejemplo anterior, es ejemplo de paralelas cortadas por una secante:

CONCLUSIONES

La investigación ha logrado el afianzamiento en los futuros docentes, los conceptos de

ángulo, perpendicularidad y paralelismo, rectas cortadas por una secante y ángulos

que se forman.

Esta actividad permitió la identificación y relación de los conceptos trabajados en las

aplicaciones que tienen en la vida cotidiana y otros campos de la ciencia.

Se promovió la búsqueda activa de diversas estrategias para el desarrollo y solución de

los ejercicios propuestos.

Se logró que los futuros licenciados en matemáticas trabajaran emplearan y

familiarizaran el uso del software Geogebra en temáticas muy importantes relacionadas

con geometría plana, tales como ángulos, perpendiculares, paralelas, entre otros

conceptos básicos para el desarrollo de esta área.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

BALDOR, J. A. (2004), Geometría Plana y Del Espacio con una Introducción a la

trigonometría. Compañía Cultural y Distribuidora de Textos Americanos, S.A. México.

BALDOR, J. A. (2004), Geometría Plana y Del Espacio con una Introducción a la

trigonometría. Compañía Cultural y Distribuidora de Textos Americanos, S.A. México.

Ángulos. (s.f.). En Wikipedia. Recuperado el 3 de septiembre de 2014 de

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo

Grado sexagesimal, Relación entre radianes y grados sexagesimales. (s.f). En Wikipedia.

Recuperado el 5 de septiembre de 2014 de http://es.wikipedia.org/wiki/Grado_sexagesimal