Ángulos de Un Tríangulo

C u r s o : Matemtica

Material N 11 PRCTICA GUA TERICO N 9

UNIDAD: GEOMETRA

NGULOS Y TRINGULOS

CLASIFICACIN DE LOS NGULOS DE ACUERDO A SU MEDIDA ngulo nulo : Es aquel que mide 0.

ngulo agudo : Es aquel que mide ms de 0 y menos de 90.

ngulo recto : Es aquel que mide 90.

ngulo obtuso : Es aquel que mide ms de 90 y menos de 180.

ngulo extendido : Es aquel que mide 180.

ngulo completo : Es aquel que mide 360.

EJEMPLOS 1. Si es un ngulo agudo, entonces el ngulo COB de la figura 1 es

A) agudo B) recto C) obtuso D) extendido E) completo

2. Cul de las siguientes opciones es siempre verdadera?

A) La suma de un ngulo agudo con un ngulo obtuso resulta un ngulo extendido B) La mitad de un ngulo obtuso es un ngulo recto C) La suma de un ngulo obtuso con un ngulo extendido resulta un ngulo completo D) La suma de dos ngulos rectos con un ngulo extendido resulta un ngulo completo E) La suma de dos ngulos agudos resulta un ngulo recto

3. En la figura 2, = 3 y = 2, entonces 2 =

A) 120 B) 60 C) 45 D) 30 E) 15

3

6

2 0

C

B

A

D

fig. 1

fig. 2

2

4. En la figura 3, a = 4x + 10. Cul es la medida del ngulo a?

A) 50 B) 60 C) 100 D) 120 E) 210

5. En la figura 4, cul es la medida del ngulo COB?

A) 32 B) 64 C) 96 D) 128 E) 160

6. En la figura 5, cul es el complemento del ngulo COB?

A) 18 B) 32 C) 36 D) 54 E) 58

2x a

C

B

A x

fig. 3

O

O

2x 3x

C

B

A

fig. 5

200 O

3 2

C B

A

fig. 4

3

CLASIFICACIN DE LOS NGULOS SEGN SU POSICIN ngulos consecutivos : Son aquellos que tienen el vrtice y un lado en comn.

ngulos adyacentes o : Son aquellos que tienen el vrtice y un lado en comn y los par lineal otros dos lados sobre una misma recta. ngulos opuestos por el : Son aquellos que tienen el vrtice en comn y que los vrtice lados de uno son las prolongaciones de los lados del otro. OBSERVACIONES

Bisectriz de un ngulo : Es el rayo que divide al ngulo, en dos ngulos de igual medida (congruentes).

Rectas perpendiculares: Son dos rectas que al cortarse forman un ngulo recto.

EJEMPLOS 1. En la figura 1, si + = 250 y + = 270, entonces =

A) 110 B) 90 C) 70 D) 50 E) 30

fig. 1

y consecutivos

A

B

C

O

y adyacentes A

B

C O

y opuestos por el vrtice,

L1

L2

L1 L2

4

2. En la figura 2, se cumple que = y = . Si las rectas L1 y L2 no son perpendiculares, entonces + 4 + 2 + 5 =

A) 180 B) 360 C) 720 D) 1.080 E) ninguna de los valores anteriores

3. En la figura 3, cul es el valor del ngulo x6

?

A) 48 B) 72 C) 96 D) 144 E) 288

4. En la figura 4, los puntos B, O y A son colineales, el BOD = 12

COA y OC OD.

Cul es el valor del ngulo AOC?

A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75

5. En la figura 5, si OA OD, BOA = 13

COB = 12

DOC, entonces el ngulo COA mide

A) 9 B) 15 C) 30 D) 45 E) 60

x2

fig. 3 x

6

x3

x4

A B

D

C fig. 4

O

D

O

B

A

fig. 5 C

fig. 2

L1 L2

5

CLASIFICACIN DE LOS NGULOS DE ACUERDO A LA SUMA DE SUS MEDIDAS ngulos complementarios : Son dos ngulos cuyas medidas suman 90. Si y son

complementarios, es el complemento de y es el complemento de . El complemento de un ngulo x es 90 x.

ngulos suplementarios : Son dos ngulos cuyas medidas suman 180. Si y son

suplementarios, es el suplemento de y es el suplemento de . El suplemento de un ngulo x es 180 x

EJEMPLOS 1. El complemento de un ngulo es igual al doble de dicho ngulo. Cunto mide ?

A) 60 B) 45 C) 30 D) 20 E) 15

2. El suplemento de un ngulo 3 es 60. Cunto mide ?

A) 120 B) 90 C) 60 D) 40 E) 20

3. Si y 5 son ngulos suplementarios, entonces en funcin de 5 es

A) 90 5 B) 5 90 C) 180 5 D) 5 180 E) 180 + 5

6

4. El complemento de 2 30 ms el suplemento de 10 es igual a

A) 310 3 B) 290 3 C) 250 3 D) 230 3 E) 200 3

5. El complemento del complemento de 20 es

A) 0 B) 70 C) 70 D) 110 E) 20

6. El suplemento del complemento de 30 2 es

A) 30 2 B) 60 2 C) 90 2 D) 120 2 E) 150 2

7. La semidiferencia entre el complemento de 2 50 y el suplemento de 10 es

A) 2 20

B) 2 + 25

C) -2 25

D) -2 + 25

E) - 32 15

7

PARES DE NGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL NGULOS ALTERNOS:

Los ngulos alternos entre paralelas tienen la misma medida. NGULOS CORRESPONDIENTES

Los ngulos correspondientes entre paralelas tienen la misma medida. NGULOS COLATERALES

Los ngulos colaterales entre paralelas suman 180. EJEMPLOS 1. En la figura 1, AB // CD. Entonces, la clasificacin del ngulo corresponde a un ngulo

A) agudo B) recto C) obtuso D) extendido E) completo

6 280

A B

D C fig. 1

1

3

2 4

6

7 8

5

L1

L2

L1 // L2 T

ALTERNOS EXTERNOS ALTERNOS INTERNOS

1 con 7

2 con 8

3 con 5

4 con 6

1 con 5 2 con 6 3 con 7 4 con 8

COLATERALES EXTERNOS COLATERALES INTERNOS

1 con 8

2 con 7

4 con 5

3 con 6

8

2. Si en la figura 2, AB // CD , entonces cunto mide ?

A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35

3. En la figura 3, sean L1 // L2 // L3 y L4 // L5 // L6. Cul es el valor de x + y + z?

A) 240 B) 260 C) 280 D) 290 E) 300

4. Si en la figura 4, L1 // L2 y L3 es transversal, entonces cul es el valor del ngulo x?

A) 30 B) 60 C) 120 D) 130 E) 150

5. Si en la figura 5, L1 // L2, y AC EB , entonces el valor de x es

A) 40 B) 70 C) 90 D) 100 E) 110

5 70

3

A B

D

C

fig. 2

x L1

L2

6

fig. 4

2 + 20

L3

x + 40

20

A B

C

E L1

L2

fig. 5

x L1

L2

L3 y

z

80 fig. 3

L4 L5 L6

9

NGULOS EN TRINGULOS

TEOREMAS

La suma de las medidas de los ngulos interiores es igual a 180.

La suma de las medidas de los ngulos exteriores es igual a 360.

La medida de cada ngulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ngulos interiores no adyacentes a l.

EJEMPLOS 1. En el tringulo BED de la figura 1, el valor del ngulo x es

A) 19 B) 23 C) 29 D) 58 E) 116

2. En el GHI de la figura 2, la medida del x es

A) 45 B) 75 C) 135 D) 150 E) 210

+ + = 360

= + = + = +

A B

C

+ + = 180

fig. 2

x

150

2x 15

G H

I

fig. 1 C

A B D 46

18

35

x

E

10

3. El valor de en el DEF de la figura 3, con G perteneciente a DE, es

A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70

4. Si en la figura 4, CAB = CBA y + = 250, el valor del ngulo x es

A) 70 B) 100 C) 110 D) 140 E) 150

5. Si en la figura 5, AB BC , entonces cul es valor de x?

A) 9 B) 11 C) 17 D) 36 E) 53

6. En la figura 6, el ABC = 90, entonces cul es el valor del ngulo x?

A) 18 B) 54 C) 72 D) 108 E) 162

4

D E G

F fig. 3

x

D

C

E B

A

fig. 4

3x + 2

2x + 3

A B

C

fig. 5

2

3

A B

C

fig. 6

x

11

CLASIFICACIN DE LOS TRINGULOS OBSERVACIN: En un tringulo issceles, que solamente tiene dos lados de igual medida, al lado distinto se le llama base. EJEMPLOS 1. Segn sus lados y segn sus ngulos el tringulo ABC de la figura 1, es

A) escaleno y acutngulo B) escaleno y rectngulo C) issceles y acutngulo D) issceles y obtusngulo E) issceles y rectngulo

2. En la figura 2, ABC equiltero y BDC rectngulo issceles, cul es la medida del x?

A) 45 B) 60 C) 75 D) 105 E) 135

3. En la figura 3, el DEF es equiltero y el ABC es issceles de base AB . Si el

ACB = 40 y DE // AB , entonces la medida del ngulo x es

A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80

Segn sus lados Segn sus ngulos

Escaleno: Tiene sus tres lados de distinta medida.

Issceles: Tiene dos lados de igual medida.

Equiltero: Tiene sus tres lados de igual medida.

Acutngulo: Tiene sus tres ngulos agudos.

Rectngulo: Tiene un ngulo recto. Obtusngulo: Tiene un ngulo obtuso.

4x

30

x

A

B

C fig. 1

x C D

B A

fig. 2

x D E

C

A F B

fig. 3

12

4. En la figura 4, el ABC es issceles de base AC y el BDC es rectngulo issceles. Si ABC : CBD = 2 : 3, entonces el ACD mide

A) 30 B) 45 C) 75 D) 120 E) 160

5. En la figura 5, el ABC es issceles de base BC , el ABD es issceles no equiltero de

base AD y AD es bisectriz del CAB, entonces cul(es) de las siguientes

aseveraciones es (son) verdadera(s)?

I) CA = BD II) BE es bisectriz del ABD.

III) AE es altura del CAB.

A) Slo I B) Slo II C) Slo I y III D) Slo I y II E) I, II y III

6. En la figura 6, el ABC es equiltero, CE es altura y DB AC , entonces el ngulo x

mide

A) 60 B) 75 C) 90 D) 100 E) 120

D B

A

C

E

fig. 6 x

A B

D C fig. 5

E

D C

A B

fig. 4

13

EJERCICIOS 1. Sea un ngulo. Si el triple de es un ngulo agudo, entonces puede tomar el(los)

valor(es):

I) = 28 II) = 14 III) = 31

Es (son) verdadera(s): A) Slo I B) Slo II C) Slo I y III D) Slo I y II E) I, II y III

2. Cul es la medida del x en la figura 1?

A) 110 B) 75 C) 65 D) 60 E) 55

3. En la figura 2, L1 // L2. Luego, el valor del x es

A) 60 B) 70 C) 80 D) 100 E) 120

4. En el ABC de la figura 3, AC = BC . Cul es la medida del x?

A) 30 B) 60 C) 75 D) 80 E) 150

x x 100 150

fig. 1

x

100 L1

L2 fig. 2

fig. 3

150

x

A C

B

14

5. Si es la mitad de en la figura 4, entonces =

A) 30 B) 45 C) 60 D) 75 E) 85

6. En la figura 5, L es una recta, x + y = 120, z + v = 90 y x = v. Cul es el

valor del x?

A) 15 B) 75 C) 100 D) 105 E) 150

7. En la figura 6, L1 // L2 , L3 // L4 y + = 50. Entonces, el suplemento de es

A) 25 B) 50 C) 90 D) 130 E) 155

8. En la figura 7, si + = y = 2, cunto mide ?

A) 30 B) 45 C) 60 D) 90 E) 120

fig. 6

L1

L2

L3

L4

x y

z

fig. 5 w

v

L

fig. 7

A B

C

fig. 4

15

9. En la figura 8, si el tringulo ABC es rectngulo en A y + = 120, entonces + =

A) 90 B) 120 C) 140 D) 150 E) 160

10. En la figura 9, AB // L. Cul es el valor de + ?

A) 105 B) 120 C) 130 D) 150 E) 175

11. Si el tringulo ABC de la figura 10, es rectngulo en C, entonces el complemento del

x mide

A) 22 B) 34 C) 36 D) 44 E) 46

12. El valor de en el DEF de la figura 11, con G perteneciente a DE, es

A) 20 B) 30 C) 80 D) 100 E) 120

46

x A B

C fig. 10

fig. 8

A B

C

C

L

A

B

50

fig. 9

D

F

E G 80

5

fig. 11

16

13. En el tringulo ABC de la figura 12, se traza la transversal DE. Cunto mide el ngulo x?

A) 63 B) 70 C) 103 D) 117 E) Ninguna de los valores anteriores

14. En la figura 13, DAB = ABC. Entonces, el x mide

A) 80 B) 100 C) 110 D) 120 E) 140

15. En la figura 14, L es recta y = 54. Entonces, cul(es) de las expresiones siguientes

es (son) igual(es) al triple de ?

I) + II) 2 III) 180 2

A) Slo I B) Slo II C) Slo III D) Slo II y III E) I, II y III

16. Cunto mide el x en el MNL de la figura 15?

A) 60 B) 40 C) 30 D) 20 E) 10

47

54

16

x

A B E

D

C

fig. 12

110

x

A

E

B

C D

fig. 13

fig. 14

L

fig. 15

2 M

x

120

O N

L

17

17. De acuerdo a la informacin suministrada en la figura 16, cul es la medida del x?

A) 110 B) 120 C) 150 D) 160 E) 170

18. En el tringulo ABC de la figura 17, = 2, = 2, = 40 y = 70. Cunto mide el

x?

A) 40 B) 60 C) 70 D) 130 E) 140

19. En el tringulo ABC de la figura 18, AE y CD son bisectrices de los ngulos CAB y BCA, respectivamente. Entonces, el ngulo x mide

A) 168 B) 158 C) 146 D) 68 E) 36

20. En el ABC de la figura 19, si M es punto medio de AB y BCM = MBC = 30,

entonces el BCA mide

A) 120 B) 100 C) 90 D) 80 E) 60

68

x E

C

A D B

fig. 18

x

40

P Q S

T

R fig. 16

x

C

A B

fig. 17

C

A B

fig. 19

M

18

21. En el tringulo ABC de la figura 20, rectngulo en C, CD AB y AE es bisectriz del A. Si DFA = 57, entonces la medida del ABC es

A) 24 B) 26 C) 28 D) 34 E) 57

22. Si el triple del complemento de ( 30) es igual al suplemento de ( 40),

entonces mide

A) 25 B) 70 C) 80 D) 100 E) 155

23. En la figura 21, L1, L2, L3 y L4 son rectas tales que L3 // L4 y L3 es bisectriz del ngulo obtuso formado por L1 y L2. La medida de x es

A) 20 B) 30 C) 50 D) 60 E) 70

24. En un tringulo ABC, uno de sus ngulos interiores mide 20 ms que el otro, pero 35

menos que el tercero. Cul es el complemento del menor?

A) 25 B) 35 C) 55 D) 65 E) 75

A D B

F

C

E

fig. 20

2x x + 30

L3

L4

L2 L1

fig. 21

19

25. En el tringulo ABC de la figura 22, el ngulo es igual a

A) 2 + B) 2 C) + D) 2 E)

26. En la figura 23, AD // CB. Se puede determinar que AB es bisectriz del DAC si:

(1) ACB rectngulo en C.

(2) DAB = 45

A) (1) por s sola B) (2) por s sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por s sola, (1) (2) E) Se requiere informacin adicional

27. En el PQR de la figura 24, se puede determinar que el PQR es, a lo menos, issceles

si:

(1) PS = QT

(2) QRP = 12

PQR = 36


28. En la figura 25, L1 // L2 si:

(1) + = 180

(2) + = +


fig. 22

D A B

E

C

L

L1

L2

fig. 25

A

D

fig. 23 B

C

fig. 24 R

Q P

S T

20

29. En la figura 26, se puede determinar el valor de si:

(1) AC // BD

(2) 7 = 2


30. El ABC de la figura 27 es rectngulo si:

(1) CAB = ABC

(2) BFA = 135 ; AD y BE son bisectrices de los ngulos A y B, respectivamente.


DMNMA11

A B

E D

C

F

fig. 27

fig. 26

B

A

D

C

Puedes complementar los contenidos de esta gua visitando nuestra web http://pedrodevaldivia.cl/

Ángulos de Un Tríangulo

Documents

Transcript of Ángulos de Un Tríangulo