Angulo trigonométrico y Sistemas de Medidas Angulares
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TRIGONOMETRIA
La Trigonometría constituye el quinto y último nivel de Matemáticas en losestudios secundarios; su objeto es la medición de los ángulos y lados de untriángulo rectángulo inscrito o circunscrito en una circunferencia en cuyocentro se ha construido un sistema de coordenadas cartesianas, con elpropósito de establecer las funciones trigonométricas en base a las relacionesentre lados y ángulos del triángulo rectángulo en c/u de los cuadrantes, cuyaaplicación representa uno de los avances más notables del pensamientomatemático.
A continuación veremos: - EL ANGULO TRIGONOMÉTRICO- SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES- PRACTICA CALIFICADA
Prof. LUIS ROLANDO PACHECO HUAROTTOAREA MATEMÁTICA
INTRODUCCIONSe aplica para medir los desniveles de los terrenos y con la ayuda de laTOPOGRAFIA se encuentran los ángulos, para hacer planos horizontales para laConstrucción civil. Asimismo, los aviones, cohetes, balas tienen un ángulo desalida para llegar al destino, los ingenieros hacen los cálculos necesarios paraencontrar el ángulo adecuado. También se usa en la recreación, en el deportecomo el Windsurfing, etc.
Prof. Luis R. Pacheco Huarotto
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
• EL ÁNGULO
TRIGONOMÉTRICO
SE OBTIENE
GIRANDO UN RAYO
ALREDEDOR DE SU
ORIGEN.
SENTIDO DE GIRO HORARIO
SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO
OA : LADO INICIAL
)O
A
B
) POSITIVO
) NEGATIVO
OB : LADO FINAL
O: VÉRTICE
MEDICION DE ANGULOSLos ángulos pueden sermedidos con uninstrumento llamadoTRANSPORTADOR.
ANGULO DE UNA VUELTASe genera por la rotación completa de un rayo; es decir que el Lado Inicial coincide con el Lado Final.Así: < AOB = 360º
Lado Final B
EjerciciosGraficar ángulos utilizando el transportador:a) < PQR = 65º b) < A = - 125º c) < M = 400º d) < T = ½ vueltad) < D = - 1 130 e) < C = ¾ vuelta f) < S = 155º g) < B = 105º
Los sistemas de medición fueron inventados para medir con exactitud y precisiónlos ángulos, recogiendo los datos, para calcular y procesar la información tomadade los hechos. Los sistemas más conocidos son tres:1.- SISTEMA SEXAGESIMAL (INGLES): S2.- SISTEMA CENTESIMAL ( FRANCES). C3.- SISTEMA RADIAL O CIRCULAR (INTERNACIONAL): RSiendo el primer sistema mas utilizado, por su aplicación en la Ingeniería,topografía y navegación.
Prof. Luis R. Pacheco Huarotto
SISTEMAS DE MEDICIÓN
ANGULAR
1.- SISTEMA SEXAGESIMAL (SISTEMA INGLÉS)
o
1GRADO : MINUTO : '
1 SEGUNDO : "
1
'o
601 "'
601 "o
36001
1vuelta=o
360
EQUIVALENCIAS
Prof. Luis R. Pacheco Huarotto
En el sistema sexagesimal los ángulos se pueden expresar en grados, minutos y segundos
o
A B' C''o
A B' C''
Los números B y C deben ser menores de 60
RELACIONES DE CONVERSIÓN
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
x 60 x 60
x 3600
: 60 : 60
: 3600
Para convertir de grados a minutos se multiplica por 60
Para convertir de minutos a grados se divide entre 60
Para convertir de minutos a segundos se multiplica por 60
Para convertir de segundos a minutos se divide entre 60
Para convertir de grados a segundos se multiplica por 3600
Para convertir de segundos a grados se divide entre 3600
EJEMPLO :o
20 36'45''
EXPRESAR EN GRADOS SEXAGESIMALESo ' ''
20 36 45 o o
o36 45
20
60 3600
o o
o3 1
20
5 80
o
1649
80
CONCLUSIÓN:
RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS, MINUTOS y
SEGUNDOS
NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES = S
NÚMERO DE MINUTOS SEXAGESIMALES ( m ) = 60S
NÚMERO DE SEGUNDOS SEXAGESIMALES ( p ) = 3600S
Al número 36 se le divide entre 60 y Al número 45 se le divide entre 3600
EJEMPLO
Calcular la medida de un ángulo en el sistema sexagesimal ,sabiendo que su número de minutos sexagesimales más el doble de su número de grados sexagesimales es igual a 155.
SOLUCIÓN
Sea S = número de grados sexagesimales
Entonces el número de minutos sexagesimales = 60S
Dato :
155 5(31)
S
62 2(31)
60S 2S 155 62S 155
5
S
2
El ángulo mide :5º 4º60'
2
2 2
º 30'
¿ESTAN
ENTENDIENDO ?
NO REPITE POR
FAVOR
SISTEMAS DE MEDICIÓN
ANGULAR
2.- SISTEMA CENTESIMAL (SISTEMA FRANCÉS)
g
1GRADO : MINUTO :
m
1 SEGUNDO :
s
1
g m
1 100m s
1 100 g s
1 10000
1vuelta=g
400
EQUIVALENCIAS
Prof. Luis R. Pacheco Huarotto
En el sistema centesimal los ángulos se pueden expresar en grados, minutos y segundos
g m s
A B Cg m s
A B C
Los números B y C deben ser menores de 100
RELACIONES DE CONVERSIÓN
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
x 100 x 100
x 10 000
: 100 : 100
: 10 000
Para convertir de grados a minutos se multiplica por 100
Para convertir de minutos a grados se divide entre 100
Para convertir de minutos a segundos se multiplica por 100
Para convertir de segundos a minutos se divide entre 100
Para convertir de grados a segundos se multiplica por 10000
Para convertir de segundos a grados se divide entre 10000
RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS, MINUTOS
y SEGUNDOS
NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES = C
NÚMERO DE MINUTOS CENTESIMALES ( n ) = 100C
NÚMERO DE SEGUNDOS CENTESIMALES ( q ) = 10 000C
RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS SEXAGESIMAL Y
CENTESIMAL
gO
109 m'
5027 s"
25081
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
109
CS
5027
nm
25081
qp
SABEMOS QUE SIMPLIFICANDO SE OBTIENE
g
180º 200
g
9º 10
SABES QUE :
g
9(1º ) 10(1 )' m
9(60 ) 10(100 )
g
9º 10
' m
27 50
SABES QUE :g
9º 10g
9(1º ) 10(1 )'' S
9(3600 ) 10(10000 )'' s
81 250
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
3.- SISTEMA RADIAL (SISTEMA CIRCULAR)
UN RADIÁN ES LA
MEDIDA DEL
ÁNGULO CENTRAL
QUE SUBTIENDE
EN CUALQUIER
CIRCUNFERENCIA
UN ARCO DE
LONGITUD IGUAL
AL RADIO.
.. 1rad
1vuelta 2 rad
o ' ''
1rad 57 17 45
R
R
R)
EN ESTE SISTEMA
LA UNIDAD DE
MEDIDA ES EL
RADIÁN.
RELACIÓN ENTRE LOS TRES SISTEMAS
0 g
180 200 rad
ESTA RELACIÓN SE USA PARA CONVERTIR DE UN
SISTEMA A OTRO.
EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR A RADIANES
0
A) 54 O
54o
rad
180
3
rad
10
g
B) 125
g
rad
200
5
rad
8
g
125
EJEMPLOS
SABES QUE EL ÁNGULO DE UNA VUELTA MIDE :
SIMPLIFICANDO SE OBTIENE :
g
360º 400 2 rad
EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA SEXAGESIMAL
A)
2
rad
3
...........
o
2(180 )
3
o
120
g
B)70 ................. g
70
o
g
9
10
o
63
EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA CENTESIMAL
A)
3
rad
4
...........
g
3(200 )
4
g
150
o
B)27 ................ o
27
g
o
10
9
g
30
FACTORES DE CONVERSIÓN
DE GRADOS SEXAGESIMALES
A RADIANES
DE GRADOS SEXAGESIMALES
A CENTESIMALES
DE GRADOS CENTESIMALES
A RADIANES
DE GRADOS CENTESIMALES
A SEXAGESIMALES
DE RADIANES A GRADOS
SEXAGESIMALES
DE RADIANES A GRADOS
CENTESIMALES
o
rad
180
g
o
10
9
g
rad
200
o
g
9
10
o
rad 180
g
rad 200
ESTAN
ENTENDIENDO ?
NO REPITE POR
FAVOR
FÓRMULA DE CONVERSIÓN
S
180
C
200
R
S : NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES
C : NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES
R : NÚMERO DE RADIANES
EJEMPLO
CALCULAR EL NÚMERO DE RADIANES DE UN ÁNGULO ,SI SE CUMPLE:
8R
3S 2C 37
EN ESTE TIPO DE PROBLEMA SE DEBE USAR LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN
SOLUCIÓN
S C R
180 200
K
S k180
C k200R k
SE REEMPLAZA EN EL DATO DEL PROBLEMA
8( k)
3(180k) 2(200k) 37
,SIMPLIFICANDO SE OBTIENE
148k 371
k
4
FINALMENTE EL NÚMERO DE RADIANES ES : R 1
4
4
S k9
C k10
R
0
k
2
NOTA : LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN EN ALGUNOS CASOS CONVIENE EXPRESARLA DE LA SIGUIENTE MANERA
S
9
C
10
20R
OTRAS RELACIONES IMPORTANTES
* ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS SUMAN :o g
90 100 rad
2
* ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS SUMAN :O g
180 200 rad
* EQUIVALENCIAS USUALES:
o
rad 60
3
o
rad 30
6
o
rad 45
4
SISTEMA
SEXAGESIMAL
CENTESIMAL
RADIAL
COMPLEMENTO SUPLEMENTO
S
C
R
90 - S 180 - S
100 - C 200 - C
R
2
R
EJERCICIOS
1. CALCULAR :
g
45º rad
12E
50 33º
SOLUCIÓN
Para resolver este ejercicio la idea es convertir cada uno de los valores dados a un solo sistema ,elegimos el SISTEMA SEXAGESIMAL
rad
12
180º
12
15ºg
50; 45º
Reemplazamos en E
45º 15º
E
45º 33º
60º
12º
5
g
9º
( )
10
2. El número de grados sexagesimales de un ángulo más el triple de su número de grados centesimales es 78,calcular su número de radianes
SOLUCIÓN
Sea S = número de grados sexagesimalesC = número de grados centesimales
Sabes que : S C
9 10
= K y
Dato : S + 3C = 78
S = 9K C = 10K
9K + 3( 10K ) = 78 39K = 78 K = 2
El número de radianes es :
k
R
20
2
R
20
10
3. Determinar si es verdadero o falso
A ) rad 180
B ) El complemento de esg
30g
70
C )g g
24º 2º
36 3
D )rad
Los ángulos interiores de un triángulo suman
E ) 180º
F ) g
1º 1
G ) El número de grados sexagesimales de un ángulo es igual al 90% de su número de grados centesimales
PRACTICA CALIFICADA Nº 01
http://www.slideshare.net/leninlewis/sistema-de-medidas-angulares
1.- Convertir agrados centesimales: a) 225° b) 549° c) 3 π rad d) ¾ π rad
2.- Convertir a radianes: a) 15° b) 120° c) 756° d) 210g e) 1200g
3.- Convertir a grados sexagesimales: a) 200g b) 40g c) 5/7 πrad d) 3/5 πrad
4.- Convertir 82° 240’ 1800” a grados sexagesimales5.- Convertir 305, 81° a grados, minutos y segundos sexagesimales6.- Convertir 12g 43m 12s solo en minutos Centesimales.7.- Los ángulos A y B de un triángulo ABC mide π/6 rad y 80°, respectivamente.
¿Cuánto mide el ángulo C?8.- El radio de una circunferencia mide 23 cm. ¿Cuál es la longitud del arco L, si el
ángulo central mide 60° ?
9.- Hallar el valor de R en:
10.- Simplificar la expresión
Prof. Luis R. Pacheco Huarotto.
TRIGONOMETRIA
¡ MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCION !
PROF. LUIS ROLANDO PACHECO HUAROTTO