Angulo trigonometrico
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24/12/2015 1 R A M I R O D O M I N G U E Z G O N Z A L E S TRIGONOMETRÍA Prof. Ramiro Domínguez Gonzales CARACTERISTICAS CONCEPTO OBSERVACIÓN EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS PROPUESTOS R A M I R O D O M I N G U E Z G O N Z A L E S CONCEPTO Es una figura generada por la rotación de un rayo, alrededor de un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial hasta una posición final. O: vértice A’ : Lado inicial A: lado final α: medida del ∠ AOA’ A’ A α ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO MENU R A M I R O D O M I N G U E Z G O N Z A L E S Los ángulos trigonométricos pueden ser positivos o negativos dependiendo esto del sentido de rotación que pueda tener. Ángulos Positivos: Si el rayo gira en sentido Antihorario. Ángulos Negativos: Si el rayo gira en sentido horario. α B A O α B A O CARACTERISTICAS ANTIHORARIO HORARIO R A M I R O D O M I N G U E Z G O N Z A L E S Ejemplo α B A O x Nótese en la figura: • “ α ” es un ángulo trigonométrico de medida positiva. • “x” es un ángulo trigonométrico de medida negativa. ⇒ α = -x CARACTERÍSTICAS MENU R A M I R O D O M I N G U E Z G O N Z A L E S a) Angulo nulo.- Si el rayo no gira, la medida del ángulo será cero. b) Angulo de una vuelta.- Se genera por la rotación completa del rayo, es decir su lado final coincide con su lado inicial por primera vez. 0º 0 -1V 0 1V 0 OBSERVACIÓN SIGUIENTE R A M I R O D O M I N G U E Z G O N Z A L E S c) Magnitud de un ángulo Los ángulos trigonométricos pueden ser de cualquier magnitud, ya que su rayo puede girar infinitas vueltas, en cualquiera de los sentidos. Como se muestra en el ejemplo. 3V -2V El ángulo mide 3 vueltas El ángulo mide -2 vueltas OBSERVACIÓN MENU
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24/12/2015
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RAMIRO
DOMINGUEZ
GONZALES
TRIGONOMETRÍA
Prof. Ramiro Domínguez Gonzales
CARACTERISTICAS
CONCEPTO
OBSERVACIÓN
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIOS PROPUESTOS
RAMIRO
DOMINGUEZ
GONZALES
CONCEPTO
Es una figura generada por la rotaciónde un rayo, alrededor de un punto fijollamado vértice, desde una posicióninicial hasta una posición final.
O: vérticeA’ : Lado inicialA: lado finalα: medida del ∠ AOA’
A’
A
α
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
MENU
RAMIRO
DOMINGUEZ
GONZALES
Los ángulos trigonométricos pueden serpositivos o negativos dependiendo estodel sentido de rotación que pueda tener.
Ángulos Positivos:Si el rayo gira ensentido Antihorario.
Ángulos Negativos:Si el rayo gira ensentido horario.
α
B
AOα
B
AO
CARACTERISTICAS
ANTIHORARIO HORARIO
RAMIRO
DOMINGUEZ
GONZALES
Ejemplo
α
B
AO
x
Nótese en la figura:• “ α ” es un ángulo trigonométrico
de medida positiva.
• “x” es un ángulo trigonométrico de medida negativa.
⇒ α = -x
CARACTERÍSTICAS
MENU
RAMIRO
DOMINGUEZ
GONZALES
a) Angulo nulo.- Si el rayo no gira, la medida delángulo será cero.
b) Angulo de una vuelta.- Se genera por la rotacióncompleta del rayo, es decir su lado final coincidecon su lado inicial por primera vez.
0º0
-1V
0
1V
0
OBSERVACIÓN
SIGUIENTE
RAMIRO
DOMINGUEZ
GONZALES
c) Magnitud de un ánguloLos ángulos trigonométricos pueden serde cualquier magnitud, ya que su rayopuede girar infinitas vueltas, encualquiera de los sentidos. Como semuestra en el ejemplo.
3V
-2V
El ángulo mide 3 vueltas El ángulo mide -2 vueltas
OBSERVACIÓN
MENU
24/12/2015
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RAMIRO
DOMINGUEZ
GONZALES
1) A partir del gráfico hallar “ x ”; OB es bisectriz
C
O A
B
De la figura se observaque el ∠COB es negativo( giro horario), entoncescambiamos el sentido degiro y obtenemos:
Resolución
C
O A
B
6x -17 = – 2x + 15
6x + 2x= 15 + 17
8x = 32
x = 4
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
RAMIRO
DOMINGUEZ
GONZALES
2) De la figura; hallar “ x ”
Resolución 3x+20+90º–(10–x)=180º
4x+100º = 180º
4x = 80º
(3x + 20)º(10 – x)º
4x = 180º–100
De la figura se observa que elángulo (10–x) esta en sentidohorario , entonces cambiamosel sentido de giro yobtenemos: –( 10 – x)
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
(3x + 20)º–(10 – x)º
3x+20+90º–10+x =180º
x = 20º
RAMIRO
DOMINGUEZ
GONZALES
3) De la figura; hallar “ x ”
Resolución
2x2 +5x + 8 - x 2 + 12x +28 + 60 = 180º
x = 4
( x+ 21 )( x – 4 ) = 0
De la figura se observa que elnegativo x2 – 12x – 28 , entoncescambiamos el sentido de giro yobtenemos: -x2 + 12x +28
x2 +17x +96=180º
8x5x2 2 ++ 28x12x2 −−60º x2 +17x – 84 =0
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
RAMIRO
DOMINGUEZ
GONZALES
4) Del grafico mostrado, señalar la relacióncorrecta la figura; hallar “ x ”
Resolución
a) α + β + θ =720º
b) α + β - θ =720º
c) α - β + θ =720º
d) α - β - θ =720º
e) α + β + θ =360º
β
α
θ
De la figura se observa que los ángulos α y θson positivos, mientras que β es negativo,entonces cambiamos el sentido de giro de β ytenemos
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
RAMIRO
DOMINGUEZ
GONZALES
–β
α
θ
De la figura se observa que losángulos α + θ - β es igual ados vueltas
α + θ - β = 720º
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
RAMIRO
DOMINGUEZ
GONZALES
5) Del grafico se cumple que: 4 θ + 5x = 21ºCalcular θ + x
ResoluciónDe la figura seobserva que el ángulosCOB es negativo,entonces cambiamossu sentido de giro
4x
A
B
C O
5θ 4x
B
AC O
5θ
4θ + 5x = 21º (I)5θ - 4x = 180º (II)
Entonces obtenemosun sistema deecuaciones con dosvariables
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
24/12/2015
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RAMIRO
DOMINGUEZ
GONZALES
16θ + 20x = 84º25θ - 20x = 900º
41θ + 0 = 984º
41θ = 984º
Remplazamos en laprimera ecuaciónpara hallar x
4θ + 5x = 21º (I)4(24) + 5x = 2196 + 5x = 215x = -75 ⇒ x = -15
Finalmente “θ + x”θ + x = 24 – 15
= 9
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
984
41θ =
24θ = MENU
M.A.M. I I y I∑
4θ + 5x = 21º
5θ - 4x = 18
(I)
(II0º )
4
5
θ + x
RAMIRO
DOMINGUEZ
GONZALES
C
O A
B
1) Hallar “x”; OB esbisectriz
Rpta: x = 8
2) Hallar “x”;si ∠ DOA = 90º
C
O A
B
D
Rpta: x = 5
EJERCICIOS PROPUESTOS
RAMIRO
DOMINGUEZ
GONZALES
Ejercicios propuestos3) Hallar x/y
Rpta: 4/3
4) Hallar “x”
Rpta: x = 30
(3x + 40)º(4y – 50)º 5y – 2x
A
B
C O
4x + 5y
EJERCICIOS PROPUESTOS
MENU
