ANEXO B. LÓGICA - Universidad Nacional de...

{PRIVADO }

ANEXO B. LÓGICA1

"En el estudio de la verdad se pueden establecer tres objetivos:uno, descubrirla cuando se le busca;otro, demostrarla cuando se le posee,

y el último, separarla de lo falso cuando se le examina"Pascal.

Preguntas como ¿qué es patria?, ¿qué es significado?, ¿qué es número?, ¿qué esinteligencia?, ¿qué es carro?, ¿por qué la carne es roja?, ¿qué es silla?,...; producen ennosotros un espasmo mental, en general, se contestan con facilidad, pero, la respuestano satisface todas las espectativas y se encuentran muchos ejemplos en que no esválida. Quizás es por falta de conocimiento, quizás no, pero lo cierto es que sólo seseñala algo que no completa el interés.

"Su razonamiento es falso", se acostumbra a decir. "¡NO... estoy seguro!, mirazonamiento es verdadero por...". Pues bien, no es así. Un razonamiento no es falso nies verdadero. Son Verdaderas o Falsas las premisas que lo componen.

Habría que remplazar la afirmación anterior por: su razonamiento no es correcto o noes válido. Es posible que para el lector signifique lo mismo... pero de seguro se sabeque no es igual; que es necesario hablar con mayor precisión. Por supuesto que existealguna conexión entre la validez de un razonamiento y la verdad de sus premisas; perono es una conexión simple como podría verse más adelante. Un razonamiento2 puedecontener premisas falsas y, a pesar de ello (contrariando el sentido común), resultarperfectamente válido. Por ejemplo:

Todas las arañas tienen seis patas.Todos los seres de seis patas tienen alas.Por tanto, todas las arañas tienen alas.

Ningún atleta es vegetariano.Todos los jugadores de fútbol son atletas.Luego, ningún jugador de fútbol es vegetariano.

El razonamiento es válido porque si sus premisas fueran verdaderas, su conclusióntambién tendría que ser verdadera. Pero el que sean verdaderas o no es otra cuestión.

1 Adaptación del curso de Lógica desarrollado por el Profesor Carlos Salinas (Universidad J.F.Kennedy, Buenos Aires). 2 Sólo de proposiciones puede predicarse la verdad y la falsedad, nunca de razonamientos. Estaprecisión técnica puede entrar en colisión con el uso habitual de la palabra razonamiento.

Inteligencia artificial

Luis Carlos Torres Soler248

Eso depende de nuestro conocimiento y de si son realmente fiables en tanto describenuna realidad que existe.

SI yo poseyera todo el oro del Banco de la República sería muy rico.No poseo todo el oro del Banco de la República.POR TANTO, no soy muy rico.

Aquí se observa un razonamiento no válido. Sus premisas son verdaderas y laconclusión es falsa.

Resulta evidente que se puede ser muy rico sin poseer todo el dinero del Banco de laRepública ni el de Granahorrar. La clave está en que al trazar (probarlo en un papel) uncírculo para incluir todos los que son muy ricos, se vera que los propietarios del Bancode la República están adentro, pero no tienen por qué ser los únicos; hay otra gente quetambién esté dentro... aunque no tenga vinculación con el Banco de la República. Estopodría graficarse como un círculo más pequeño dentro del más grande. Los que estándentro del círculo son los del Banco de la República y los que están fuera del pequeño(pero dentro del más grande) son los muy ricos que no pertenecen al Banco de laRepública.

Otra variedad del mismo razonamiento incorrecto podría ser:

SI Ardila Lulle poseyera todo el oro del Banco de la República, Ardila Lulle sería muyrico.Ardila Lulle no posee todo el oro del Banco de la República.POR TANTO, Ardila Lulle no es muy rico.

Con esta conclusión (a pesar de su debilidad lógica) estaría muy de acuerdo el propioArdila Lulle... sobre todo si tuviera una entrevista con el fisco.

Hay, entonces, razonamientos perfectamente válidos que tienen conclusiones falsas(cuando tienen, al menos, una premisa falsa). Lo imposible, lógicamente imposible, esque las premisas sean verdaderas, el razonamiento correcto y el resultado (laconclusión) no lo sea. Aquí no hay ninguna duda. Determinar la corrección oincorrección de los razonamientos cae enteramente dentro del dominio de la lógica.Esto es un buen punto de partida para entender la tarea de los estudiosos de estadisciplina. En razonamientos sencillos, como los expuestos, casi no se necesita lalógica, ya que intuitivamente puede concluirse que algo no funciona en losrazonamientos incorrectos; pero esta sencillez se diluye rápidamente cuando se abordadiscursos más complejos. ¡Aquí hasta el más pintado puede perderse!

De lo anterior no debe deducirse que sólo resulta útil e interesante circunscribir elpensamiento a razonamientos con premisas verdaderas. Esto sería equivalente a tragarun anzuelo muy gordo. Existen muchas situaciones en la vida donde no puede

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asegurarse que las premisas de partida sean verdaderas; incluso hasta se podría dudarseriamente de su verdad3. Sin embargo, ellas pueden ser necesarias para elaborar uncurso de acción que resuelva algún problema urgente. En todos estos casos interesarárazonar correctamente, aunque no se pueda asegurar ni la verdad de todas las premisasni, por ende, la verdad segura de la conclusión. La vida está hecha de incertidumbres ydebe aceptarse como tal. Pero sería tonto (y a veces trágico) tener que agregarle a laincertidumbre implícita en el conocimiento de la realidad los errores de unrazonamiento ilógico. No es lo mismo la pobreza que la miseria.

Dado que las proposiciones se expresan en algún lenguaje natural (español, inglés,alemán, chino, ...), a los problemas específicos de la "verdad" se agregan los queresultan del lenguaje: del uso de símbolos o palabras que permiten pensar. Ellocomplica mucho el oficio del lógico; necesita ir con cautela al tratar los múltiplesmatices expresados en el lenguaje. Hasta el símbolo lingüístico más sencillo (como unacoma) puede variar el significado de una oración4.

Reconocer un razonamiento es fácil

La frase anterior (subrayada) es una proposición... falsa.Reconocer un razonamiento puede ser algo más complicado de lo que se cree a simplevista.

"...no toda combinación de proposiciones constituye un razonamiento. Los periódicos,las revistas y los libros de historia abundan en afirmaciones, pero tienden a contenerrelativamente pocos razonamientos".

Tampoco abundan los razonamientos en el sistema educativo; ni en la primaria... ni enla universidad. Aunque lo último resulte algo depresivo reconocerlo5.

Pero ¿acaso los razonamientos no se construyen con afirmaciones (o negaciones)? Sí,contener varias afirmaciones es una condición necesaria para que el discurso expreseun razonamiento, pero no es una condición suficiente. En otras palabras, tiene quehaber afirmaciones en un razonamiento... pero además éstas tienen que relacionarse decierta manera. Si no, no hay razonamiento, por ejemplo:

Si los objetos de arte son expresivos, constituyen un lenguaje. 3 La incertidumbre que ronda el conocimiento que se posee, que existe, que hay aquí, es una de lascausas para definir el valor de verdad de una premisa; pero, también, lo más preocupante son lasfalencias en la gestión del conocimiento. La mayor certidumbre que ha dado el conocimiento en el sigloXX es la imposibilidad de eliminar lo incierto, no sólo en la acción sino en el conocimiento. 4 Es necesario entender y comprender aspectos sintácticos, semánticos, pragmáticos y simbióticos paraaprender, con mayor detalle, de las sutilezas del lenguaje. 5 Estructurar "muy bien" el pensamiento lógico o el razonamiento inductivo, sin detenernos a unanálisis o a un cuestionamiento del mismo, es cohibir el proceso de razonamiento.



Son dos proposiciones (En adelante se empleara, para abreviar: V para verdadero y Fpara falso o falsedad). Pero no un razonamiento pues no hay composición de unapremisa y una conclusión.

¡Por favor! release bien lo anterior y deténgase un instante en pensar qué se afirma ycómo se afirma.

Es una proposición condicional. Es decir la clase de proposición donde no se afirmaninguna conclusión que se pretenda verdadera, sólo está afirmándose una relación. Sise da p... entonces se dará q. No se dice en ningún momento que realmente se estédando p, ni que tenga obligación de darse q. Lo único que se afirma, es una relaciónentre dos proposiciones: si se afirma p, entonces debe darse q. Claro que seríadiferente al cambiar las palabras. Se tendría un razonamiento al haber dicho: "Losobjetos de arte son expresivos, todo lo que se expresa puede ser interpretado como unlenguaje, por tanto (o luego) los objetos de arte son un lenguaje". Pero al cambiar laspalabras, también cambia su sentido. No es lo mismo decir "digo" que decir "Diego".No es lo mismo decir "ni día" que decir "Nidia". Es decir, se está aquí frente a unfenómeno muy conocido. Lo que resulta extraño es ver cómo se manifiesta en el planode las proposiciones y los razonamientos.

Otro ejemplo de no razonamiento (que contiene proposiciones):

Los sinónimos son buenos sirvientes, pero malos amos; por tanto, elijámosloscon cuidado.

A pesar que una lectura superficial podría inducirnos a pensar que se está leyendo unrazonamiento por la presencia del indicador de conclusión (por tanto), no lo es. Nohay razonamiento. Hay una indicación, es decir una orden, y "por tanto" funcionacomo mandato (equivalente a "yo digo que lo haga..."). Las órdenes no son niverdaderas ni falsas, luego no hay ni proposición, ni razonamiento.

"Diríase que existe un abismo entre lo que los demás necesitan oír de nosotros,a fin de confiar en que los apreciamos, y los pensamientos negativos que,

de sobra sabemos, podemos albergar hacia ellos, y, pese a todo, apreciarlos"Alain de Botton.

¿Cómo distinguir un razonamiento?

Para que esté presente un razonamiento, de una de las proposiciones afirmadas debesostenerse que se desprende de otras proposiciones que se afirman como verdaderas,las cuales son presentadas como fundamentos o razones para creer en la conclusión.Esta afirmación puede ser explícita o implícita. Se la puede hacer explícita mediante eluso de indicadores de premisas o indicadores de conclusiones, o por la presencia de

Lógica


palabras tales como debe, debería o necesariamente en la conclusión. Pero la presenciade esos indicadores de razonamiento no siempre es decisiva6. Esto (que no hayapalabras cuyo uso sea unívoco -con un sólo sentido-) es lo que convierte en tandificultoso un programa de traducción. Captar el sentido de una oración requiere unasensibilidad o inteligencia, que se resiste, por ahora, al análisis minucioso (no olvidarque análisis viene de separar, dividir).

¿Cómo explicarle a una máquina que estos dos fragmentos son lógicamente diferentes?1. Desde que Enrique se graduó de ingeniero, es probable que sus ingresos futuros

sean muy elevados.2. Desde que Enrique se graduó de ingeniero, ha habido muchos cambios en las

técnicas médicas.

El 1) es un razonamiento y "desde que" indica la premisa. El 2) no lo es y "desde que"tiene una significación temporal, no lógica. Indica un tiempo pasado, no el fundamentode una conclusión. Esta polisemia (varios significados) aparece también en otraspalabras comunes, lo cual complica la cuestión y convierte el análisis en un hechopuramente maquinal, realizado con poca inteligencia.

Al decir: "no puede existir sistema alguno que sea mitad materia y mitad antimateria,porque las dos formas de materia se aniquilan mutuamente", se está frente a unrazonamiento porque el término "porque" indica la existencia de premisa. Pero aldecir: "el Imperio romano se derrumbó porque carecía del espíritu del liberalismo y dela libre empresa" no se está frente a un razonamiento. No se infiere que el Imperioromano se derrumbó. La afirmación: "el Imperio romano carecía del espíritu deliberalismo y de la libre empresa" no se ofrece como fundamento o razón para creerque el "Imperio romano se derrumbó". Se está ante una explicación que propone unacausa de la caída del Imperio romano; una explicación que dice, que q es la causa de p,o lo que es lo mismo, que hay una conexión causal entre ambas proposiciones, nadamás.

Igualmente podría decirse:El Imperio romano se derrumbó porque sus ciudadanos no le pegaban a sus mujeres.El Imperio romano se derrumbó porque triunfó el cristianismo.El Imperio romano se derrumbó porque no descubrió la lógica simbólica.El Imperio romano se derrumbó porque ....( ). 6 Un sistema de razonamiento puede ser comparado con un huevo. Éste posee con una cáscara queprotege el contenido. Si se desea enviar un huevo a alguna parte; sin embargo, no se puede confiar sóloen la cáscara: se lo empaca de alguna manera, elegida con arreglo a las dificultades y características delviaje. Se puede ser especialmente cuidadoso, y ubicar el huevo en el interior de varias cajas, contenidasunas en otras. Con todo, por más niveles de cajas que estén rodeando al huevo, es posible imaginar uncataclismo que pueda romperlo. Pero esto no significa que haya que desistir, por tal causa, de intentar eltransporte. De modo similar, no puede aportarse una demostración absoluta y definitiva que otrademostración, correspondiente a determinado sistema, es legítima.



Aquí no hay razonamiento, hay explicación; y aunque se parezcan como dos gotas deagua, no lo son7.

Para que exista un razonamiento hay que observar la relación como problemática, yver a la premisa (o a las premisas) como aportando pruebas para fundar la conclusión.En las explicaciones (como las anteriores) no se da nada problemático, se afirma p, seafirma q y se afirma que ambas están conectadas. ¡Podrían no estarlo! pero, en muchoscasos, el propio contexto ayuda a comprender si se está frente a un razonamiento o aotra clase de afirmaciones. Si el propósito es establecer la verdad de una de lasproposiciones (la conclusión), se está frente a un razonamiento; pero si el propósito esexplicar, predicar, mandar, sugerir, impulsar, promover, obstaculizar, etcétera, esposible que tenga sólo la apariencia superficial de un razonamiento (usando algunapalabrita clave como "luego" o "por tanto..." u otra conocida), pero en realidad se estáexpresando algo bien diferente.

Quizás estás notas, a pesar de sus complicaciones aparentes, ayuden a captar el procesode razonar por qué el aprendizaje de la lógica no es una tarea anodina. Dado quehacemos lo que hacemos, porque la mayoría de las veces creemos que somosrazonables... es importante saber si se está frente a un razonamiento o a unaexhortación encubierta (¡Hazlo porque te lo digo! ¡Si me quieres, entonces no loharás!).

Varios prefieren utilizar, en lugar de razonamiento, el término argumento. En estesentido, algo que puede ayudar es: en inglés, "argument" tiene tanto el sentido de undiscurso construido para apoyar una posición, como el de un proceso de razonar,debatir o discutir. Por tanto, cuando se alude a la metáfora "argument is war" (unadiscusión es una guerra) hay que considerar el doble sentido. Generalmente en españolse diría discusión.

En un razonamiento hay una o varias proposiciones y apoyándose en ella (o ellas) seinfiere una conclusión. Entiéndase que hay razonamiento si la conclusión se apoya enlas premisas, de cualquier otra manera puede haber pensamiento (en sentido general),reflexión, cavilación, especulación, discusión, descripción, explicación o cualquier otraforma. Pero no se estaría ante un razonamiento. Lo antes mencionado puede incluiralgún tipo de razonamiento (algo que sería de desear, por ejemplo, en toda discusión),pero no son categorías idénticas. Es obvio que puede haber discusión sin razonar (unmodelo de ello podrían ser las típicas rencillas de pareja).

¿Cómo se localiza un razonamiento? ¿Cómo decirle a una máquina para que seainteligente, por ejemplo, que está escuchando o leyendo un razonamiento?Existen indicadores de conclusión; entre los más comunes se cuentan: 7 Si es difícil entender lo anterior ¿cómo demonios explicarle a una máquina (computador)?

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"por tanto","por ende","así","luego","por consiguiente","se sigue que","podemos inferir" y"podemos concluir".

Otras palabras o frases sirven para destacar las premisas de un razonamiento8. Entre lasmás comunes de estos indicadores de premisas figuran:

"puesto que""porque","pues","en tanto que" y"por la razón que".

Pero el lenguaje es una herramienta más complicada de lo que parece. Cualquiera deesas palabras pueden ofrecer pistas falsas, según las circunstancias. Si una personaextrae una pistola de su bolsillo y le dice a su interlocutor "le ruego que mire mi manoderecha, y luego siga atentamente las instrucciones...", obviamente no está razonando,sino mandando; y es común que muchas peticiones se hagan cortésmente en forma talque podrían aparentar ser un razonamiento (para quien no esté al tanto del contexto enque se expresan).

Sin embargo, antes de plantear las excepciones y los problemas es más productivoconocer las reglas básicas. Cómo localizar en los posibles razonamientosproposiciones (afirmaciones o negaciones) que funcionan como premisas o comoconclusiones.

¡No olvidar nunca! que para crear un razonamiento hay que tratar con"proposiciones"; solo éstas pueden servir como premisas o conclusiones en unrazonamiento.

1. Razonamiento:Pero, sostienen, el hombre desea vivir en sociedad; por tanto, debe renunciar a unaparte de su bien privado en pro del bien público.Al desglosarlo se encuentra:Premisa: "El hombre desea vivir en sociedad".

8 Una vez que se ha reconocido un razonamiento, las palabras y frases ayudan a identificar suspremisas y su conclusión. No se ha hablado de razonamiento inductivo o deductivo. ¿Qué es unadeducción? Pues el razonamiento en la cual de unas premisas que se exponen se pretende obtenerpruebas concluyentes para afirmar, sin ninguna duda, la verdad de la conclusión.



Conclusión: "El hombre debe renunciar a una parte su bien privado en pro del bienpúblico".En este razonamiento la conclusión sigue a la premisa.

La inteligencia artificial es una disciplina; por tanto, posee sus propios axiomas ydefiniciones.P. La inteligencia artificial es una disciplina.C. La inteligencia artificial posee sus propios axiomas y definiciones.

2. Razonamiento:Se piensa que todo arte y toda indagación, así como toda acción y prosecución,tienden a algún bien, y por esta razón se ha declarado correctamente que el bien esaquello a lo cual tienden todas las cosas.P: Se piensa que todo arte... tiende a algún bien.C: El bien es aquello a lo cual tienden todas las cosas.

Algunas palabras pueden eliminarse del análisis sin que lo altere. Téngase en cuentaque no todo lo que hay en un razonamiento es "premisa" o "conclusión"; puede,también, contener referencias que dan información de fondo o simplemente retóricas(propias de una época y un estilo de hablar).

Los ejemplos dados indican que todo frame o guión, así como la representación enlógica de predicados, tiende a ser resultado de las redes semánticas, y por esta razónse declara que las redes semánticas es lo fundamental en la representación delconocimiento.

3. Razonamiento:El impugnador de conciencia ... no tiene cabida en una República como la nuestra ydebe ser expulsado de ella, pues quien no hace su parte en el bote, no tiene derechosen él.P. Quien no hace su parte en el bote no tiene derechos en él.C. El impugnador de conciencia no tiene cabida en una República como la nuestra ydebe ser expulsado de ella.

Aquí se ve cómo la conclusión puede ir al principio (o en cualquier otro lugar delrazonamiento). Colocarla al principio le da más fuerza retórica. Ideal, por supuesto,para el discurso de un político.

Hasta ahora se han visto razonamientos sencillos del tipo premisa+conclusión.Naturalmente que la mayoría de ellos suele tener más de una premisa.

4. Razonamiento:Durante el período escolar, el estudiante ha estado mentalmente inclinado sobre suescritorio; en la universidad debe ponerse de pie y mirar a su alrededor. Por esa

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razón, sería fatal que el primer año en la universidad se desperdiciara volviendo a lavieja tarea en el viejo espíritu.P. Durante ... el estudiante ha estado mentalmente inclinado...P. En la universidad debe ponerse de pie...C. Es fatal que el primer año en la universidad se desperdicie volviendo a la vieja tareaen el viejo espíritu.

Distinguir las diferentes premisas es materia de habilidad (y entrenamiento) personal.Lamentablemente es una clase de ejercicio que no se practica de manera suficiente, portanto no queda más remedio que adquirir esta habilidad para suplir deficiencias. ¿Hanobservado cómo en el razonamiento anterior el punto y la coma está señalando lasegunda premisa?

Además de un razonamiento de varias premisas es habitual encontrarse en la vidacotidiana con varios razonamientos enlazados formando una unidad. En este caso serequiere desglosar cada parte cuidadosamente. Como puede observarse en el siguienterazonamiento.

5. Razonamiento:La materia es actividad, y por tanto un cuerpo está allí donde actúa; y puesto que todapartícula de materia actúa sobre todo el universo, todo cuerpo está en todas partes.

1) razonamiento:Premisa. "La materia es actividad".Conclusión. "Un cuerpo está donde actúa".

2) razonamiento:P. "Toda partícula de materia actúa sobre todo el universo.C. "Todo cuerpo está en todas partes".

Del ejemplo anterior se deduce que no necesariamente varios razonamientosencadenados ocupan mayor lugar que uno solo. Que el párrafo sea grande o pequeñodepende más del estilo del escritor que de las ideas que contiene. Unas pocas líneaspueden ser tremendamente densas y varias páginas, al contrario, apenas conteneralguna idea suelta.

La inteligencia es intangible, pero un razonamiento requiere de ella; y dado que todainquietud promueve un razonamiento, la inteligencia está en generar inquietudes pararazonar.

6. Razonamiento:Se nos dice que este Dios, que prescribe la indulgencia y el perdón para toda falta, nolos ejerce él mismo, sino que hace exactamente lo opuesto; pues un castigo que llegaal final de todas las cosas, cuando el mundo ha terminado y desaparecido, no puedetener por objeto mejorar o disuadir y es, por tanto, pura venganza.1) razonamiento:



P. Un castigo que llega al final de todas las cosas, cuando el mundo ha terminado ydesaparecido, no puede tener por objeto mejorar o disuadir.C. Un castigo que llega al final de todas la cosas, cuando el mundo ha terminado ydesaparecido, es pura venganza.2) razonamiento:P. Un castigo que llega al final de todas la cosas, cuando el mundo ha terminado ydesaparecido, es pura venganza.C. Dios, que prescribe la indulgencia y el perdón para toda falta, no los ejerce élmismo, sino que hace exactamente lo opuesto.En el encadenamiento resulta necesario que la conclusión de un razonamiento sea, a suvez, premisa en el próximo.

Un parcial que ha perdido todo estudiante, no indica la falta de estudio, sinoexactamente lo opuesto; pues la incertidumbre de la información que raya con lo quese sabía, no puede ser punto de desilución y es, por tanto, puro inicio decuestionamientos.

7. Razonamiento:El aprendizaje largo no tiende a la formación de jóvenes para la industria. Esprobable que un jornalero que trabaja a destajo sea laborioso, porque obtiene unbeneficio con toda aplicación de su laboriosidad. Pero es probable que el aprendizsea perezoso, y casi siempre lo es, porque no tiene ningún interés inmediato en ser deotra manera.1) razonamiento:P. Un jornalero que trabaja a destajo, obtiene un beneficio con toda la aplicación de sulaboriosidad.C. Un jornalero (así)... probablemente será laborioso.2) Razonamiento:P. Un aprendiz no tiene más interés inmediato que ser ocioso.C. Es probable que un aprendiz sea ocioso y casi siempre lo es.3) Razonamiento.P. Es probable que un aprendiz sea ocioso y casi siempre lo es.C. La institución de los aprendizajes largos no tiende a la formación de jóvenes para laindustria.

Plantear un problema es una habilidad mental. De seguro hay capacidad parasolucionar muchos problemas, porque así ha sido el proceso educativo. Pero esprobable que no interese plantear problemas, dado que no hay necesidad alguna parahacer investigación.

8. Razonamiento:Un maestro que formula una pregunta está sintonizado con la respuesta correcta,dispuesto a oírla, ansioso de oírla, puesto que ella le dirá que su enseñanza es buena yque puede pasar al tema siguiente. Supondrá que todo lo que suena similar a la

Lógica


respuesta correcta es la respuesta correcta. Así, para un estudiante que no está segurode la respuesta, un murmullo será lo mejor que pueda hacer.1) razonamiento:P. La respuesta correcta dada a la pregunta de un maestro le dirá que su enseñanza esbuena y que puede pasar al tema siguiente.C. Un maestro que formula una pregunta está sintonizado con la respuesta correcta,dispuesto a oírla, ansioso de oírla.2) razonamiento:P. Un maestro que formula una pregunta está sintonizado con la respuesta correcta,dispuesto a oírla, ansioso de oírla.C. Supondrá que todo lo que le suena familiar a la respuesta correcta es la respuestacorrecta.3) razonamiento:P. (El maestro) supondrá que todo lo que le suena similar a la respuesta correcta, es larespuesta correcta.C. Para un estudiante que no está seguro de la respuesta, un murmullo será lo mejorque puede hacer.

"Es más glorioso ser derrotado por la fuerza que por cualquier otra razón"Maquiavelo.

Un estudiante que no formula preguntas, indica que ha oído información correcta,dispuesto a recibir más, pues ella le dice que su aprendizaje está de formasatisfactoria. Supondrá que todo lo que suena similar a la información es tambiéncorrecto. Así, para un profesor que no recibe preguntas, el silencio indica que debecontinuar.

Nadie debe deprimirse si le cuesta entender parte de lo antes escrito. Aprender lógicano es equivalente a leer el periódico, aprender sociales o matemática; supone unesfuerzo de concentración y un aprendizaje gradual. La familiaridad viene delejercicio, de la práctica, de frecuentar razonamientos, al igual que se hace con unidioma extranjero. Lo que en un momento parece chino básico, al cabo de un cortoperíodo de trabajo resulta tan comprensible que ya se ha olvidado de la emociónnegativa inicial. Lo importante es ir trabajando gradualmente. Por tanto, se aconsejaanalizar y repasar. Cualquier tema complicado resulta mucho más simple si se intentacomprender. El escribir es maravilloso, el papel es mucho más amigable.

Por supuesto, es posible aportar una demostración de una demostración, o unademostración de una demostración de una demostración... pero la validez del sistemaubicado en un contexto seguirá siendo siempre una suposición indemostrada, admitidacomo artículo de fe. Uno puede imaginar, en todo momento, que alguna sutilezainsospechada ha de invalidar los fundamentos de todos los niveles particulares dedemostración, y que, por ende, lo demostrado resultará carente de validez, al final.Esto no quiere decir, que los matemáticos y los lógicos sufran la preocupación



constante que el edificio entero de la matemática puede estar basado en el error. Porotra parte, cuando se proponen demostraciones poco ortodoxas, o sumamente extensas,o surgidas de computadores, es cuando la gente se detiene a pensar un poco en elsignificado que realmente se le otorga a la casi sagrada palabra demostración.

Un buen ejemplo de la clase de expresión que nuestro criterio condena, no por serfalsa, sino absurda, sería la afirmación que el mundo de la experiencia sensorial estotalmente irreal; naturalmente, debe admitirse que nuestros sentidos, a veces, nosengañan. Pero como resultado de tener ciertas sensaciones, puede esperarse que seanalcanzables otras sensaciones que, en realidad, no son alcanzables. Pero, en todos estoscasos, es la ulterior experiencia sensorial la que nos informa de los errores que surgende la experiencia sensorial9.

Los sentidos, a veces, nos engañan, precisamente porque las expectaciones (deberíadecir "porque las expectativas...", pero no es el propósito) que da origen la experienciasensorial no siempre concuerdan con lo que luego se experimenta. Esto es, se confia enlos sentidos para comprobar o refutar los juicios que se basan en sensaciones. Y, portanto, el hecho que los juicios perceptuales resulten, a veces, erróneos no tiene ni lamás leve tendencia a demostrar que el mundo de la experiencia sensorial es irreal. Y,verdaderamente, está claro que ninguna observación o serie de observacionesconcebibles podrían tener tendencia alguna a demostrar que fuese irreal el mundo quela experiencia sensorial nos ha revelado.

Por consiguiente, quien condene el mundo sensible como un mundo de simpleapariencia, como opuesto a la realidad, está diciendo algo que, de acuerdo con nuestrocriterio de significación, es literalmente absurdo.

Unos pocos ejercicios para entretenernos, ya que el que no encuentra alguna diversión(o acicate) en estas cuestiones... se le recomendaría que emplee su tiempo encuestiones más afines a su personalidad. Se trata de clasificar los discursos (o mejor,"fragmentos" de discursos) que siguen, en dos grandes clases: razonamientos y "otracosa". Y si son razonamientos tratar de localizar su premisa (o premisas) y conclusión:

Caso 1.Y los amigos tienen todas las cosas en común, de modo que uno de ustedes no puedeser más rico que el otro, si decís verdaderamente que sois amigos.¿Qué les parece?, ¿es una exhortación, una expresión de deseos, un mandato, unasugerencia... o un razonamiento?Es un razonamiento, y aquí están desglosadas su premisa y conclusión:P. Los amigos tienen todas las cosas en común.

9 Es muy corriente escuchar "del error se aprende", pero por ello no es que a toda hora busquemoscometer errores, más bien los evitamos, porque en muchos casos las sensaciones que recibimos por unerror son catastróficas.

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C. Uno de vosotros no puede ser más rico que el otro, si decís verdaderamente que soisamigos.

Claro que podría haberse expresado de otra manera; entonces, quizá, perdería su formade razonamiento.

Caso 2.Si quiere usted descubrir su opinión verdadera acerca de alguien, observe laimpresión que le causa la primera visión de una carta de él.P. ... ¿conclusión? No, no es un razonamiento. ... primero, porque su forma es sólo lade un condicional, y segundo, porque el consecuente es una orden, no un enunciado ouna proposición afirmada.

Caso 3.Aquí hay una reflexión irónica, quizá cruel, sobre un fenómeno de las universidadesactuales:Las universidades están rebosantes de conocimiento. Los estudiantes de primer añoaportan un poquito, los del último año no se llevan nada y el conocimiento seacumula.¿Es una afirmación? ¿Es un razonamiento? Por favor, no siga adelante leyendo ypiense un momento en ello.Sí, son dos razonamientos encadenados:Primero:P1. Los estudiantes de primer año aportan un poco de conocimiento a la universidad.P2. Los de último año no se llevan conocimiento de la universidad.C. El conocimiento se acumula en la universidad.Segundo:P. El conocimiento se acumula en la universidad.C. Las universidades están rebosantes de conocimiento.El razonamiento es correcto, pero ello no quiere decir que sea verdadero... aunque, talvez, tampoco sea totalmente falso.

Caso 4.Si soy movilizado en una guerra, esta guerra es mi guerra; está en mi imagen y lamerezco. La merezco primero porque siempre puedo eludirla por el suicidio o por ladeserción; estas últimas posibilidades son las que siempre debemos tener presentecuando se trata de considerar una situación. Por no salir de ella, la he elegido.Tiene todas las apariencias de un razonamiento, luego... puede serlo.Analicemos:P. Siempre puedo eludir el ser movilizado en una guerra por el suicidio o la deserción.C. Si soy movilizado en una guerra, esa guerra es mi guerra; está en mi imagen y lamerezco. Puesto que no la eludo, la he elegido.

Caso 5.



Y por último ejemplos sin resolver (para discutir). Lo que sigue ¿es un razonamiento?En caso de estar de acuerdo, desglosar las premisa y conclusión. Y si se rechaza esaposibilidad ¿por qué?

Si tu enemigo tiene hambre, dale de comer; si tiene sed, dale de beber; pues haciendoasí amontonarás ascuas de fuego sobre su cabeza.

Si pierdo el parcial, estudiaré más; si gano el parcial estudiaré mucho más; puesestudiar me da capacidad de razonamiento.

Para aprender se requiere entender y comprender. Memorizar no es aprender si no seha comprendido el porqué.

Convalidación lógicaConvalidar es comprobar la validez lógica de un argumento cualquiera [premisa(s) (P);luego conclusión (Q)], sea cual fuere su complejidad, mediante un criterio expreso quenos permita identificar o reconocer metódicamente la relación R (P, Q)correspondiente.Si convalidación (C), entonces R (P,Q).Debe distinguirse dos tipos de criterios de convalidación: sistemáticos y asistemáticos.

La convalidación sistemática de un argumento A responde en principio al patróngeneral siguiente:A es un argumento válido si: 1) A tiene una formulación correlativa A* en el lenguajeL de un sistema lógico S; y 2) A* es una secuencia deductiva que pertenece a S.

A estas dos condiciones, así como al criterio sistemático de la convalidación, se lespuede llamar absorción sistemática. Puedo probar que un argumento es válido en unsistema si puede ser absorbido por los principios (axiomas, teoremas) o las reglas yaexplícitas en el lenguaje de ese sistema.

El criterio asistemático de convalidación de un argumento consiste en elreconocimiento en él de una pauta o de un rasgo sintomático de una relación R (P, Q),que no dependen en principio de una explicación o reconstrucción sistemática de talrelación. Por ejemplo: A es un argumento válido si la negación de su conclusiónresulta incompatible con la afirmación conjunta de sus premisas. El carácterasistemático de una pauta o de síntomas determinados es relativo, pues tal o cualcriterio puede ser incorporado convencionalmente a un determinado sistema lógico.Por ejemplo, el síntoma indicado más arriba como criterio asistemático deconvalidación puede leerse como rasgo definitorio de la implicación estricta, y servir,pues, como criterio sistemático de convalidación dentro de tal sistema.

Lógica


El lenguaje formal de la lógicaLa lógica se organiza como un sistema axiomático formal (SAF). Un SAF tieneprincipalmente dos partes: morfológica y axiomática.

A. Parte morfológicaLa parte morfológica se compone de componentes primitivos, operadores y reglas deformación.

♦ Componentes primitivos. Signos que carecen de todo contenido material, detodo significado semántico (los signos del SAF no son "semantemas"). Son los"átomos" del lenguaje formal. Ejemplo: p, q, r, s, etcétera.

♦ Operadores. Un conjunto de signos aislados no constituyen un lenguajelógicamente articulado. Tienen que poder enlazarse, relacionarse, componerseentre sí, mediante operaciones, que conectan unos signos con otros. Su númeropuede ser variable. Dentro de los operadores se distinguen entre operadoresprimitivos y derivados. La elección de unos y otros es arbitraria. Por ejemplo, alelegir como primitivos el negador (¬) y el conjuntor (&), entonces el disyuntor(v) y el condicionador (->) resultan derivados. En lógica proposicional, elnúmero mínimo de operadores primitivos es uno. Toda el SAF de la lógica deproposiciones puede construirse utilizando como operador primitivo el deSheffer (/) y siendo los demás derivados. También puede utilizarse como únicooperador primitivo el operador de Peirce, aunque el uso de un solo operadorprimitivo hace muy engorrosas las expresiones proposicionales, por lo quesuelen utilizarse como mínimo tres: negador, conjuntor y disyuntor inclusivo(v).

♦ Reglas de formación. Nos indican cómo a partir de los componentes primitivosse generan nuevos componentes, o componentes derivados del lenguaje formal.

Al conjunto de las reglas de formación se llama sintaxis del lenguaje formal. Una reglade formación del SAF de la lógica de proposiciones sería, por ejemplo, la siguienteregla de sustitución:

Cualquier proposición atómica o molecular puede ser sustituida por otra proposicióncualquiera --ya sea atómica, ya sea molecular--, dando lugar a una nueva proposición(p & q) -> q => [p & (s v t)] -> s v tLa implicación anterior no es más que una aplicación de la regla, en la que se hasustituido la fórmula atómica "q" por la fórmula molecular "s v t".

B. Parte axiomáticaLa parte axiomática se compone de: axiomas, conjunto de definiciones y criterios dededucción.

i) Un conjunto de axiomas. Se han formulado de hecho diferentes grupos de axiomaspara la lógica proposicional, como los de Lukasiewicz, los de Frege-Lukasiewicz, los



de Nicod, y los de Hilbert-Ackermann, que son:A1: (p v q) -> pA2: p -> (p v q)A3: (p v q) -> (q v p)A4: (p -> q) -> [(r v p) -> (r v q)]

ii) Un conjunto de definiciones que tienen por objeto establecer el significado de losoperadores derivados:

Df 1: p -> q ≡ ¬ p v qDf 2: p & q ≡ ¬ (¬ p v ¬ q)Df 3: p v q (exc.) ≡ ¬ (p -> q) v ¬ (q -> p)Df 4: p <-> q ≡ (p -> q) & (q -> p)

iii) Criterios de deducción. Se establecen los siguientes:• D1: A1, A2, A3, A4 son tesis.• D2: Si "p" es una tesis y si "p -> q" es una tesis, entonces "q" es una tesis (o sea,

el Modus ponendo ponens de la lógica clásica).• D3: Si una expresión lógica es una tesis y se sustituye en ella una proposición

atómica por otra cualquiera, el resultado es una tesis.• D4: Si "p -> q" es una tesis y si "q -> r" es una tesis, entonces "p -> r" es una

tesis (este criterio puede ser tomado como "esquema deductivo", es dedir, puedeser inferido a partir de A3, D1, D2, D3, Df1. Sin embargo, algunos tratadistas lotoman como criterio de deducción por motivos pedagógicos).

• D5: Nada es tesis si no es mediante los criterios D1, D2, D3, D4.

A partir de estos axiomas, de estas definiciones y de estos criterios de deducción sepueden ir demostrando los teoremas de la lógica proposicional; ejemplos:

De A2, D1, D3: p -> (p v p). Teorema 1.De A1, T1, D1, D4: p -> p. T2.De T2, Df1: ¬ p v p. T3.De A3, D1, D3: (¬p v p) -> (p v ¬ p). T4.De T3, T4, D2: p v ¬p. T5.

Cada lenguaje lógico --así como cada parte de la matemática-- tiene un sistemaaxiomático propio. La lógica de clases utiliza, por ejemplo, los axiomas de Huntingtono los de Birkhoff y MacLane, la aritmética utiliza los axiomas de Peano, la geometríaeuclidiana y los axiomas de Hilbert.

Requisitos de un sistema axiomático formalIndependencia.

Ninguno de los axiomas puede ser deducido, demostrado a partir de losdemás, cada axioma debe ser independiente de los otros.

Consistencia.Partiendo de los axiomas no debe ser posible deducir o demostrar un teorema

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y su negación (A & ¬A). Es decir, el sistema no debe suponercontradicciones.

Completitud.Todo enunciado que no sea deducible de sus axiomas tiene que estar encontradicción con una tesis del sistema. Es decir: Sea L un SAF cualquiera, esdecidible si y sólo si dada una fórmula f cualquiera de dicho lenguaje L, hayun medio para averiguar con seguridad deductiva si f es verdadero o falso enL. Así, por ejemplo, decir que el SAF del juego de las siete y media escompleto, ya que con él se puede decidir si cualquier proposición relativa adicho juego es verdadera o falsa; por ejemplo: "El seis gana al cinco" esverdadera. "En caso de empate a siete y media, pierde la banca" es falsa.

Respecto al requisito de completitud surgen unos de los más interesantes problemas dela filosofía de la lógica y de la metalógica contemporánea: las limitaciones internas delos sistemas axiomáticos formales, derivadas de su propia naturaleza. Esta limitaciónfue descubierta por Gödel en 1931: "En todo sistema axiomático formal losuficientemente rico para contener la aritmética usual existen proposicionesindecidibles desde el interior del sistema", esto es, proposiciones de las que no sepuede decidir si son verdaderas o falsas manteniéndose dentro de los límites del propiosistema. Para demostrarlas habría que salirse del sistema y formular otros axiomas,pero ello llevaría a un proceso indefinido... Los matemáticos han especulado con laposibilidad que algunas proposiciones aritméticas muy sencillas, de las que todavía noha podido ser demostrada su verdad o falsedad, sean proposiciones indecibibles, esdecir, proposiciones de las que, en virtud del teorema de Gödel, no se pueda llegar adecidir con una demostración si son verdaderas o falsas. Por ejemplo, "la conjetura deGolbach": "Parece que cualquier número par puede expresarse como la suma de dosnúmeros primos": (2 = 1 + 1; 4 = 3 + 1; 6 = 5 + 1; 22=19+3, 106=5+101, etc.).

¿Es esto válido para todo número par? Ningún matemático hasta ahora ha encontradouna demostración para esta conjetura.

Hoy, la lógica de primer orden (la que sólo cuantifica variables de individuos uobjetos, no variables de clases o predicados) es consistente y completa, pero nodecidible, o al menos sólo parcialmente. La lógica de primer orden o elemental incluyela lógica de enunciados (o proposiciones) y la lógica de cuantores (o cuantificacional ode predicados, etc.). La lógica cuantificacional no se puede formalizar como un SAFcompleto. Todos los cálculos de segundo orden (o sea aquellos cuyos argumentos sonpredicados de primer orden o monarios) son incompletos.

"Los grandes hombres, aun cuando sigan caminos poco frecuentados,serán siempre objeto de curiosidad para la gente ilustrada"

Thomas de Quincey.

¿Verdad que es bonita la lógica?



En la vida real, las proposiciones suelen ser un poco más retorcidas, ambiguas, vagas,y los sujetos y predicados no tan fáciles de percibir; pero esto no es razón para desistir,hay que realizar un poco de trabajo mental. Es importante para el conocimiento einterés de la lógica, conocer la vida, obra y características de algunos investigadores eneste campo.

RussellBertrand Arthur William Russell nació el 18 de mayo de 1872, y murió a la insólita edad de 97años el 2 de febrero de 1970. Durante casi un siglo vivió una vida asombrosamente rica yturbulenta, alcanzó fama como filólogo y crítico social, como escritor y educador, comomiembro de la Cámara de los Lores y como interno de la cárcel de Brixton. Enseñó en muchosde los más prestigiosos centros del mundo, desde Cambridge hasta Harvard y Berkeley. Ganóun premio Nobel, se casó cuatro veces y tuvo numerosas aventuras sentimentales. Fuevilipendiado por su agnosticismo ateo y por su defensa del sexo extramatrimonial.Una de las cosas sorprendentes de Russell era su extraña mezcla de inconformidad yconformidad, de valores tradicionales y chocante radicalismo. En algunos aspectos parecía engran manera un producto de la clase alta británica; en otros, parecía un eterno enemigo de lasociedad establecida. Hay fotografías en las que aparece a la cabeza de manifestacionesantibélicas vistiendo un traje con chaleco y reloj de bolsillo. Aunque su promesa de "norespetar a las personas respetables" lo marcó como traidor a su clase social; Bertrand Russelltenía unos antecedentes inigualablemente respetables.Su abuelo John Russell había sido primer ministro de la reina Victoria de 1846 a 1852 y denuevo de 1865 a 1866. Bertrand, que viviría lo suficiente para ver a los humanos paseando porla Luna, recordaba cuando se sentaba en las rodillas de la reina Victoria durante las visitas deésta a la mansión de su abuelo. Claramente, el joven Bertie nació en los más altos escalafonesde la sociedad británica decimonónica.Sin embargo, la vida puede resultar cruel incluso para los poderosos. Russell perdió a suspadres a la edad de cuatro años. Como consecuencia, fue criado por su abuela, quién decidióeducarlo no en la escuela, sino en casa con preceptores. El brillante y sensible joven pasó asígran parte de su juventud entre viejos en la taciturna mansión ancestral de Pembroke Lodge,privado de las alegrías despreocupadas de la infancia10. Llegado el tiempo, Bertie dejóPembroke Lodge y marchó al Trinity College, en Cambridge, la misma institución que acogióal joven Isaac Newton, más de dos siglos antes. Con su pobre preparación y su intensidadintelectual, pasó por Cambridge como un bicho algo raro, aunque cuajó bien en la vidaacadémica y sobre todo la matemática cautivó su atención.Fue un flechazo. Russell se vio tremendamente inepto para las ciencias físicas oexperimentales, pero la matemática -algo impersonal que, en sus propias palabras, podía amarsin ser amado en reciprocidad- se convirtió en una obsesión. Para Russell, la matemática ofrecíauna única vía para la certeza y perfección. "Me desagradaba el mundo real -confesaba-, ybusqué refugio en el mundo ucrónico, sin cambio ni corrupción ni el fuego fatuo del progreso".Con este espíritu, escribió un ditirambo a la matemática, un tributo cuyo exceso está 10 Según su propio relato, fue un joven solitario y reprimido que pasó demasiado tiempo cavilando.Caviló sobre el bien y el mal, y en más de una ocasión contempló la posibilidad del suicidio. Pero de estainfancia solitaria Russell comprendió una lección que le acompañaría hasta el final de su vida. Se tratabadel pasaje bíblico favorito de su abuela "no seguirás la multitud de los que obran mal", palabras queservirían para caracterizar la vida de Russell.

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atemperado sólo por la elocuencia. «La vida real, para la mayoría de los hombres, es unperpetuo compromiso, en gran manera secundario, entre lo ideal y lo posible; pero el mundo dela razón pura no conoce compromisos, ni limitaciones prácticas, ni barreras para la actividadcreativa que engloba en espléndidos edificios la apasionada aspiración por lo perfecto de la quebrotan todas las grandes obras. Lejos de las personas buenas, lejos incluso de los lastimososhechos de la naturaleza, las generaciones han creado poco a poco un cosmos ordenado, dondepuede morar el pensamiento puro como en su natural casa, y donde uno, al menos, de nuestrosimpulsos más nobles puede escapar del triste exilio del mundo de los hechos».Como se puede vislumbrar de las palabras, los aspectos utilitarios de la matemática tenían paraRussell poco atractivo. Su pasión era por una suerte más pura, más ascética, de razonamientomatemático. En su Introducción a la filosofía matemática, Russell describía las dos grandes ycontrarias direcciones del pensamiento matemático: "La más familiar... es constructiva, y vahacia una complejidad gradualmente creciente: de los números enteros a las fracciones,números reales y números complejos, de la suma y multiplicación a la diferenciación eintegración y a la matemática superior. La otra dirección, menos familiar, avanza... hasta unaabstracción y simplicidad lógica cada vez mayor". Esta otra dirección, el movimiento que sealeja de las aplicaciones y complejidad y va hacia los fundamentos y la simplicidad,caracterizaba para Russell a la filosofía matemática. Y aquí es donde se encontrabaintelectualmente en su casa.Su trabajo sobre los fundamentos de la matemática fue realizado en Cambridge, primero comoestudiante y luego como un miembro de Trinity College. En su empresa se le unió Alfred NorthWhitehead, un reputado profesor de lógica cuya colaboración con Russell se prolongaríadurante décadas de disensiones académicas y personales. Durante al verano de 1900, una épocade "intoxicación intelectual", Russell realizó importantes avances en lógica matemática. Fue unperíodo intenso y apasionante para el intelectual de 28 años, quien más tarde recordaría:"Empecé a mí mismo que por fin ahora había hecho algo que valía la pena y era consciente quedebía procurar no tirarme a la calle sin haberlo puesto por escrito".En 1903, Russell publicó un libro de 500 páginas, Los principios de las matemáticas, y mástarde él y Whitehead escribieron los enormes tres volúmenes de los Principia Mathematica queaparecieron en 1910, 1912 y 1913. Éste fue su intento definitivo de reducir toda la matemáticaa las ideas básicas e irrefutables de la lógica. Los Principia estaban tan llenos de símboloslógicos con exclusión de palabras inglesas que el historiador de la matemática, Ivor Grattan-Guinness describió acertadamente una página típica como si fuera semejante a "papel pintado".La implacable exactitud de estos volúmenes agotó las reservas de Russell, Whitehead y,posiblemente, de cualquiera con la paciencia de leerlos. También arruinó sus bolsillo, puespoquísimos lectores decidieron comprar una publicación tan horrorosa. "Ganamos cada unomenos de 50 libras en 10 años", confesó Russell. Pero lo peor es que no está claro que Russell yWhitehead hubieran logrado su misión de reducir toda la matemática a la lógica. Lo que estabaclaro era que habían producido una obra que sondeó los fundamentos de la matemática hastaprofundidades inigualadas.En vísperas de la primera guerra mundial, el cuarentón Bertrand Russell había establecido unamarca en la filosofía matemática. Cualquier coetáneo podía haber sospechado que Russellpasaría sus restantes años explorando más a fondo arcanos teoremas de la lógica. Pero esasospecha había sido infundada, ya que la vida de Russell estaba a punto de desplazarse ennotables e inesperadas direcciones.Muchas fuerzas, internas y externas, le impulsaron, pero la más importante de ellas fue lainsensatez de la primera guerra mundial. Russell, al igual que muchos intelectuales británicos,



observó cómo una generación entera de jóvenes fue barrida en la carnicería bélica.Repentinamente, el estudio de los símbolos lógicos perdió su importancia. Confesó que, frentea la guerra, "el trabajo que he realizado es muy pequeño e irrelevante para este mundo en el quenos encontramos viviendo".Bertrand Russell se zambulló en la refriega. Su activismo antibélico le llevó a ser detenido en1916 y despedido de Cambridge con pérdida de su pasaporte. Esto último le costó perder unpuesto es Harvard que andaba esperando. Pero nada de esto silenció sus denuncias mordacescontra la guerra que cada día era más trágico, por lo que resultaba inevitable que sobrevinieraun conflicto posterior que estaba latente. Esto ocurrió en 1918, cuando Russell fue detenido denuevo y encarcelado durante seis meses en la prisión de Brixton. El vástago de la nobleza seconvirtió así en un preso de conciencia11.Sus puntos de vista se pueden resumir en sus respuestas a la pregunta de qué es lo que a élparticularmente le gustaba de este mundo: "La matemática y el mar, y la teología y la heráldica,las dos primeras cosas porque son humanas, las dos últimas porque son absurdas". Quizá esposible que, cuando se anunció que había muerto en un viaje a China, una revista religiosapublicara en un editorial poco caritativo que "a los misioneros se les podía perdonar el quehayan suspirado aliviados al oír las noticias de la muerte del señor Russell".Pero si sus opiniones religiosas fueron controvertidas, también lo fueron sus opiniones sobre elsexo y el matrimonio. Había poco fundamento en estricta educación para predecir tamañaheterodoxia. A los 22 años se casó con Alys Pearsall Smith, una cuáquera americana que vivíaen Inglaterra. Alys insistió en contraer un matrimonio según el rito cuáquero, a lo que accedióBertie con su tacto característico: "No te vayas a creer que realmente me importa una ceremoniareligiosa... Cualquier ceremonia religiosa me fastidia".Al principio, su matrimonio prometía ser eterno, pero en cuestiones del corazón BertrandRussell tenía poca estabilidad. Un día a comienzos de 1902, mientras paseaba en bicicleta cercade Cambridge, Russell se dio cuenta que no amaba a su esposa.Al constatar esto, inició una serie de aventuras románticas que abarcarían medio siglo y queenredaría a este hombre lógico en un comportamiento que pareció a todo el mundoabiertamente irrazonable. Al parecer se encaprichó de Evelyn Whitehead, la esposa de lapersona con la que estaba escribiendo los Principia Mathematica. Tuvo una larga y duraderaaventura con Lady Ottoline Morrell, una dama muy conocida de la alta sociedad inglesa yesposa de un político prominente. Tuvieron numerosos encuentros clandestinos en habitacionesde oscuros hoteles12. Todo ello resultaba totalmente indecoroso para una persona de talla

11 Pero no fue sólo su postura antibélica la que le acarreó dificultades con la clase dirigente británica.Al menos tuvo otros dos posicionamientos en contra de valores tradicionales. Uno fue su agnosticismopúblico. Russell criticó no sólo ciertas religiones, sino la religión en general. Era una persona que creíade todo en la supremacía de la razón y consideraba que la teología conducía a la humanidad endirecciones contradictorias e infortunadas. Sus denuncias eran cortantes, poderosas y violentas. Escribió,por ejemplo, que "cuanto más intensa había sido la religión en un período cualquiera y más profundohabía sido el pensamiento dogmático, tanto mayor había sido la crueldad". Atacaba a la Iglesia católicaregularmente por su prohibición del control de natalidad, y fue poco más amable con las otrasdenominaciones cristianas. A los que veían la mano de Dios en el diseño de nuestro universo, preguntabaRussell: "¿Pensáis que si se os concediera la omnipotencia y la omnisciencia y millones de años paraperfeccionar vuestro mundo, no habríais producido algo mejor que el Ku Klux Klan o los fascistas?". 12 Mientras todo esto ocurría, se divorció de Alys y se casó con Dora Black en 1912. Sobre el papel, sumatrimonio duró hasta 1935, pero en 1929 Russell escribía de su segunda mujer: "Ni ella ni yo hacíamosningún fingimiento de fidelidad conyugal". En estas circunstancias, apenas pudo resultar sorprendente

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internacional. Tal conducta dentro y fuera del matrimonio reportó a Bertrand Russellnumerosas situaciones comprometidas, especialmente porque siempre estaba dispuesto adiscutir sus puntos de vista sobre el sexo, la castidad, la contracepción y temas semejantes13.Pero también pasó trabajando un tiempo considerable. Durante estos años de controversiassiguió siendo un escritor prolífico, que produjo volúmenes de crítica social, tratados deeducación e incluso artículos periodísticos de divulgación. Parece un poco incongruente, y sinembargo este activista social se encontró escribiendo de vez en cuando para la revista Glamoury apareciendo como un famoso invitado en un programa de radio de la BBC. Parte de suaceptación popular se debió al hecho que, a pesar de sus puntos de vista, Bertrand Russell fueuna personalidad genuinamente fascinante. En parte fue debido indudablemente al hecho quesobrevivió a sus enemigos.Un rasgo sorprendente de Russell fue sus dotes como escritor. Como se ha anotado, escribiósobre muy diversos temas. Pero bien fueran temas filosóficos (por ejemplo, "Nuestroconocimiento del mundo externo como un campo para el método científico en filosofía") otratados críticos (por ejemplo, "Un esbozo de las tonterías intelectuales") o livianos relatospopulares (por ejemplo, "Si te enamoras de un hombre casado"), su escritura era fresca,provocadora y comprometedora. Y su estilo tenía un instinto innegable, aunque particularmenteteñido con un toque de su mordaz sarcasmo. Cuando escribía sobre la clasificación de la gulacomo pecado, Russell reflexionaba: "Es un cierto pecado vago, pues es difícil decir dónde elinterés legítimo por el alimento cesa y se empieza a incurrir en culpa. ¿Es malo comer algonutritivo? En ese caso, caeríamos en un riesgo de condenarnos cada vez que comemos unaalmendra salada". Ridiculizaba a los defensores de los derechos de los animales cuandoescribía: "Un igualitario decidido... se verá forzado a considerar a los monos iguales a los sereshumanos. ¿Y por qué pararse en los monos? No sé cómo va a oponerse a una razón a favor delvoto de las ostras".Y una vez difirió la escritura de una autobiografía porque: "Tengo una cierta vacilación aempezar... demasiado pronto... por miedo que algo importante no haya sucedido todavía.Supongamos que terminara mis días como presidente de México; la biografía pareceríaincompleta si no mencionara este hecho".Su talento para la escritura fue reconocido de la manera más pública imaginable cuandoBertrand Russell recibió el premio Nobel de literatura en 1950. Pero, al describir su fórmulapara escribir con éxito, Russell dejaba desazonados a los profesores de redacción: mi profesorme dio varias reglas sencillas, de las que sólo recuerdo dos: "Pon una coma cada dos palabras ynunca uses 'y' excepto al principio de una sentencia". Su consejo más enfático era que siemprehabía que reescribir. "Lo intenté a conciencia, pero me encontré con que mi primer borrador eracasi siempre mejor que el segundo. Este descubrimiento me ha ahorrado una enorme cantidad

que Dora tuviera un hijo de otro en 1930, pero cuando tuvo un segundo niño con el mismo hombre,aquello fue bastante para Russell, quien pidió el divorcio. Esto preparó el camino para su tercermatrimonio con Helen Patricia Spence, que duró de 1936 hasta 1952. Entonces, a la edad de 80 años secasó con Edith Finch, una profesora de inglés en Bryn Mawr, y así encontró una compañera con la quepudo pasar felizmente sus últimos años. 13 En 1940, en un célebre caso se le excluyó de un puesto de profesor en el City College de Nueva Yorkpor orden de la comunidad religiosa y el alcalde Fiorello LaGuardia. Se dijo que Russell no era aptopara enseñar, ya que sus puntos de vista se oponían a la religión y aprobaba la promiscuidad. Con claroespíritu de clase, observó en cierta ocasión que los matemáticos enamorados eran iguales que cualquierotro enamorado "excepto, quizá, en que el ocio de la razón los hace ser apasionados hasta el exceso".Bertrand Russell claramente pasó ocioso un tiempo considerable.



de tiempo."Otros dos aspectos de su vida merecen mencionarse. Uno fue su permanente disgusto por elsistema político comunista. En un tiempo en el que muchos intelectuales aplaudieron el ascensodel comunismo como la salvación de la humanidad, Russell, como de costumbre, nadó contra lacorriente. Sobre unoa bases puramente intelectuales, dio dos sucintas razones para oponerse a lafilosofía de Karl Marx: "Una, que era confuso, y la otra, que su pensamiento estaba casienteramente inspirado en el odio"14.A lo largo de su vida, desde sus investigaciones matemáticas hasta su encarcelamiento, desdesus numerosas aventuras amorosas hasta su premio Nobel, Russell se codeó con una notableserie de personas interesantes e influyentes. Su padrino fue Jhon Stuart Mill. Hemos dicho queen una ocasión se sentó en las rodillas de la reina Victoria. Más tarde gozó de la amistad deJhon Maynard Keynes, William James y H. G. Wells. Conoció a los escritores Beatrix Potter,D. H. Lawrence, George Bernad Shaw, Joseph Conrad, Aldous Huxley y Rabindranath Tagore.Discípulos suyos fueron Ludwing Wittgenstein y T. S. Eliot. En Rusia entrevistó a Lenin yTrotsky. Y cuenta que a sus clases de 1920 en Pekín asistieron dos jóvenes notablementeradicales, Mao Tse-Tung y Cho En-lai. Tuvo numerosos amigos, desde Albert Einstein hastaPeter Sellers y Winston Churchill. Respecto a este último, contaba Russell que una nochecenando en una fiesta "Winston me pidió que explicara el cálculo diferencial en dos palabras, loque hice a su satisfacción".Y por si estas relaciones con los grandes no fueran adecuadas, Russell ocupó en el TrinityCollege las habitaciones en las que en otro tiempo residió Isaac Newton. Aunquetemperamentalmente Russell y Newton no podían ser más diferentes, estos dos inglesestuvieron cada uno una inteligencia enormemente poderosa y los dos hicieron avanzar lasmatemáticas de su tiempo hasta nuevas fronteras.

GödelGödel, Kurt (1906-1978), matemático y lógico americano, nacido en Brünn, ciudad cercana aViena (Brno, de la actual República Checa), estudió matemáticas en Viena, donde fue profesorde 1933 a 1938, y donde entabló contactos con el Círculo de Viena. En 1938, ante el peligronazi, marchó a EE.UU, y trabajó en el Institute for Advanced Studies de Princeton (NuevaJersey). Sus estudios sobre lógica y metamatemática (filosofía de las matemáticas explicitada enlenguaje matemático) han sido los de mayor importancia del siglo XX. A partir de 1943 sededicó también a otros temas filosóficos, preferentemente cosmológicos; en 1951 recibió elpremio Einstein y en 1975 la Medalla nacional de la Ciencia; fue miembro de la AcademiaNacional de Ciencias de Estados Unidos y de la Royal Society, de Londres. Entre sus aportes ala lógica matemática destaca, como la más conocida, el teorema que lleva su nombre, llamadotambién teorema de la incompletud, que afirma la existencia de proposiciones indecidibles enun sistema formal de la aritmética."...Gödel tenía un interesante axioma a través del cual contemplaba el mundo, a saber, que nadade lo que sucede en él se debe a accidente o a estupidez. (...) Un día se le pidió que diera una

14 El desdén de Russell por el comunismo iba derecho a sus fuentes, ya que había conocido a Leninpersonalmente durante una visita a Moscú en 1920 y había regresado decepcionado. Su juicio fue tansevero como el del más duro político occidental cuando describía el estado soviético como "un asilo delunáticos homicidas donde los celadores son los peores". Durante la segunda guerra mundial, quepersonalmente apoyó, se preguntaba si el enemigo de Inglaterra Hitler era realmente peor que su aliadoStalin.

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interpretación general de su filosofía en forma particular. En respuesta, dijo que sólo habíadesarrollado su filosofía hasta el extremo de ser capaz de aplicarla, pero que no había llegado alestadio de darle una formulación directa. La distinción entre formulación y aplicación de sufilosofía sugiere una conexión con el último Wittgenstein.Comparados con los libros normales de filosofía, los últimos escritos de Wittgenstein parecen alo sumo aplicaciones de una filosofía que requiere una formulación más sencilla. Por otro lado,si uno está de acuerdo con Wittgenstein, se podría decir que Gödel debiera haberse conformadocon exponer su filosofía ofreciendo simplemente aplicaciones típicas de la misma. Me pareceque, según Wittgenstein, esta es la forma apropiada de exponer una filosofía".

AyerAlfred Julius Ayer, filósofo británico, típico representante del positivismo lógico e introductordel mismo en el mundo de habla inglesa, nació en Londres y estudió en Eton y Oxford.Después de graduarse, pasó un tiempo en Viena, interesándose por las teorías del Círculo deViena. Sirvió, durante la segunda guerra mundial como agregado en la embajada británica enParís y, al acabar la guerra, en 1945, se reincorporó como profesor a la Universidad de Oxford,para pasar luego, de 1946 a 1959, a la de Londres y, de nuevo, de 1959-1978, a Oxford comoprofesor de lógica. Su primera obra, publicada a su vuelta de Viena, en 1935, a los 26 años deedad, Lenguaje, verdad y lógica, es una obra clásica de análisis filosófico a la vez quemanifiesto del positivismo lógico anglosajón. Reafirmando los puntos doctrinales del Círculode Viena, y manteniéndose fiel al empirismo de Berkeley y Hume y al análisis filosófico deRussell y Wittgenstein, defiende en ella el principio de verificación neopositivista, primero enun sentido riguroso y, luego, en una segunda edición del libro, en un sentido más elaborado yamplio; la distinción de los enunciados en lógicos y empíricos y el rechazo, por tanto, deenunciados sintéticos a priori; la eliminación de la metafísica; el valor emotivo de losenunciados éticos, y el sentido global de la filosofía como actividad de análisis o como lógicade la ciencia. En otras obras posteriores, reelabora algunos de los temas planteados en susprimeras obras y muestra una cierta tendencia hacia temas de historia de la filosofía:Fundamentos del conocimiento empírico (1940), El problema del conocimiento (1956), lasegunda en importancia; El concepto de persona (1963); La filosofía del siglo XX (1982).

BottonAlain de Botton (1969), filósofo y novelista, nació en Suiza, pero reside en Inglaterra(Cambridge; actualmente es investigador de la Universidad de Londres) ha escrito varios librosque, por su éxito, se han traducido a más de 16 idiomas. Algunos de ellos son Del amor (1993),El Placer de sufrir (1994), Beso a ciegas (1995), Cómo cambiar de vida con Proust (1997) yLas consolaciones de la filosofía. En todos se desarrollan temas filosóficos ligados a cuestionesde la vida cotidiana clasificados como hechos triviales o pertenecientes a gente anónima. Es unautor que ha logrado la difícil síntesis entre profundidad y humor, a la vez que toca temassiempre cercanos y vitales para cualquier contemporáneo.Muchos son los hechos en que la gente los interpreta, cada cual a su manera, para no ponerse agritar ante la situación en vez de cuestionar su interpretación. De ahí que Botton se toma lamolestia de analizar ciertas cuestiones, tómese por ejemplo la palabra "racional". En eldiccionario de Laura significaba una cosa, y en el mío otra, de modo que cuando le hice uncumplido y le dije cuán "racional" era ella, se lo tomó como si fuese un insulto, ya que sudiccionario recogía la siguiente definición:



"Adjetivo. 1) que denota la capacidad de ser aburrido y pedante; 2) opuesto a la emoción". Encambio, lo que yo había procurado sugerir era la entrada recogida en mi diccionario: "adjetivo1) halago que se hace a quien tiene un intelecto superior; 2) compatible con el sentimiento y, dehecho, capaz de realzarlo". El pequeño conflicto que resulta de la discrepancia pone demanifiesto el modo en que un sólo suceso puede dar pie a versiones divergentes.

ReferenciasAYER Alfred Julius (1972). Lenguaje, verdad y lógica. Martínez Roca, Barcelona.BOTTON Alain de (1999). Las consolaciones de la filosofía. Taurus, Madrid.BOTTON Alain de (1998). Cómo cambiar tu vida con Proust. Tiempos Modernos,Barcelona.CAZENAVE Michel (2000). Diccionario de la ignorancia. Seix Barral. Manuales dela Cultura. Barcelona.DEAÑO Alfredo (1980). Las concepciones de la lógica. Taurus, Madrid.ECHEVERÍA Javier (1981). Leibniz. El autor y su obra. Barcanova, Barcelona.GUEDJ Denis (1998). El teorema del Loro. Novela para aprender matemáticas.Anagrama, Madrid.HOFSTADTER Douglas R. (1979). Gödel, Escher, Bach. Un eterno y grácil bucle.Tusquets Editores, Barcelona.HAO Wang (1991). Reflexiones sobre Kurt Gödel. Alianza Universidad, Madrid.LAKOFF George, JOHNSON Mark (1998). Metáforas de la vida cotidiana. Cátedra,Colección Teorema, Madrid.NAGEL Ernest (1961). La lógica sin metafísica. Tecnos, Madrid.PEANO O. (1901). Formulaire des mathématiques. Tomo III, Prefacio, Turín.QUINE (1973). Filosofía de la lógica. Madrid.SAJONIA Alberto de (1988). Perutilis Logica o lógica muy útil (o utilísima).Universidad Nacional Autónoma de México, Instituto de Investigaciones Filosóficas,México.WESTON Anthony (1999). Las claves de la argumentación. 2a ed., Ariel, Barcelona.WITTGENSTEIN L. (1973). Los cuadernos azul y marrón. 2a ed., ColecciónEstructura y Función, Tecnos, Madrid.

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