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Anexo A

Introduccion a las Matrices

A.1. Definiciones y teorıa basicas

Los elementos de las matrices que aparecen en este curso son numeros o funciones. Losdesignaremos con el apelativo comun de escalares.

Definicion A.1 (Matrices) Una matriz A es un ordenamiento regular de escalares (recor-demos, numeros o funciones):

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

...am1 am2 . . . amn

Si una matriz tiene m filas y n columnas, se dice que su tamano es m por n (se escribem× n). Una matriz n× n se llama matriz cuadrada de orden n.

El termino aij representa el elemento de la i-esima fila y la j-esima columna de una matrizA de tamano m×n; con ello, una matriz A, m×n, se escribe en la forma A = (aij) m×n, osimplemente A = (aij). Una matriz A, 1× 1, es solo un escalar (un numero o una funcion).

193

194 Introduccion a las Matrices

Definicion A.2 (Igualdad de matrices) Dos matrices m × n, A y B, son iguales siaij = bij para toda i y j.

Definicion A.3 (Matriz columna) Una matriz columna X es cualquier matriz con n filasy una columna:

X =

x11

x21...

xn1

= (xi1) n× 1

Una matriz columna se llama tambien vector columna o simplemente vector.

Definicion A.4 (Producto de matrices por escalares) Si k es un escalar y A una ma-triz m×n, el producto de k por A es una nueva matriz que se define de la siguiente manera:

kA =

ka11 ka12 . . . ka1n

ka21 ka22 . . . ak2n...

...kam1 kam2 . . . akmn

= (kaij) m× n,

en donde k es un escalar; es decir, un numero o una funcion.

Ejemplo 1. Productos de matrices por escalares

a) 5

2 −34 −116

6

=

10 −1520 −51 30

b) et

1−24

=

et

−2et

4et

Es de notar que para toda matriz A, el producto kA es igual al producto Ak, por ejemplo,

e−3t

(25

)=

(2e−3t

5e−3t

)=

(25

)e−3t

Definicion A.5 (Suma de matrices) La suma de dos matrices m× n, A y B, se definecomo la matriz

A + B = (aij + bij) m× n

En otras palabras, para sumar dos matrices del mismo tamano, se suman los elementoscorrespondientes.

A.1 Definiciones y teorıa basicas 195

Ejemplo 2. Suma de matrices

La suma de A =

2 −1 30 4 6−6 10 −5

y B =

4 7 −89 3 51 −1 2

es

A + B =

2 + 4 −1 + 7 3 + (−8)0 + 9 4 + 3 6 + 5−6 + 1 10 + (−1) −5 + 2

=

6 6 −59 7 11−5 9 −3

Ejemplo 3. Matriz expresada en forma de suma de matrices columna

La matriz

3t2 − 2et

t2 + 7t5t

se puede expresar como la suma de tres vectores columna:

3t2 − 2et

t2 + 7t5t

=

3t2

t2

0

+

07t5t

+

−2et

00

=

310

t2 +

075

t +

−200

et

La diferencia de dos matrices m×n se define en la forma acostumbrada: A−B = A+(−B),en donde −B = (−1)B.

Definicion A.6 (Multiplicacion de matrices) Sea A una matriz con m filas y n colum-nas, y B otra con n filas y p columnas. El producto AB se define como la siguiente matriz

m× p cuyo elemento en la posicion (i, j) esn∑

k=1

aikbkj. Es decir,

AB =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

...am1 am2 . . . amn

b11 b12 . . . b1p

b21 b22 . . . b2p...

...bn1 bn2 . . . bnp

=

=

a11b11 + a12b21 + . . . + a1nb1n . . . a11b1p + a12b2p + . . . + a1nbnp

a21b11 + a22b21 + . . . + a2nbn1 . . . a21b1p + a22b2p + . . . + a2nbnp

am1b11 + am2b21 + . . . + amnbn1 . . . am1b1p + am2b2p + . . . + amnbnp

=

(n∑

k=1

aikbkj

)(m× p)


Observese con detenimiento la Definicion A.6. El producto AB = C solo esta definidocuando el numero de columnas en la matriz A es igual al numero de filas en B. El tamanodel producto se puede determinar con

Am×nBn×p = Cm×p.

Se debe observar tambien que los elementos de la i-esima fila de la matriz producto ABse forman aplicando la definicion del producto escalar de la i-esima fila de A por cada unade las columnas de B. En efecto, recordemos que dado dos vectores de n componentes:a = (a1, a2, . . . , an) y b = (b1, b2, . . . , bn), el producto escalar de a por b se define como

a · b = a1b1 + a2b2 + · · ·+ anbn.

Ası, el elemento de la posicion (i, j) de AB es ai · bj, siendo ai la i-esima fila de A y bj laj-esima columna de B.

Ejemplo 4. Multiplicacion de matrices

a) Si A =

(4 73 5

)y B =

(9 −26 8

),

AB =

(4 · 9 + 7 · 6 4 · (−2) + 7 · 83 · 9 + 5 · 6 3 · (−2) + 5 · 8

)=

(78 4857 34

)

b) Si A =

5 81 02 7

y B =

( −4 −32 0

),

AB =

5 · (−4) + 8 · 2 5 · (−3) + 8 · 01 · (−4) + 0 · 2 1 · (−3) + 0 · 02 · (−4) + 7 · 2 2 · (−3) + 7 · 0

=

−4 −15−4 −36 −6

En general, la multiplicacion de matrices no es conmutativa; esto es, AB 6= BA. En la

parte a) del Ejemplo 4 observese que BA =

(30 5348 82

), mientras que en la parte b) el

producto BA no esta definido porque en la Definicion A.6 se pide que el numero de filas dela primera matriz, en este caso B, sea el mismo numero que el numero de columnas de lasegunda, en este caso A. Cosa que no sucede en el el caso b) del Ejemplo 4.

Nos interesa mucho el producto de una matriz cuadrada por un vector columna.

Ejemplo 5. Multiplicacion de matrices y vectores El producto de una matriz A,m× n, y un vector columna b, n× 1, es un vector ciolumna Ab de tamano m× 1. Ası, porejemplo


a)

2 −1 30 4 51 −7 9

−364

=

2 · (−3) + (−1) · 6 + 3 · 40 · (−3) + 4 · 6 + 5 · 4

1 · (−3) + (−7) · 6 + 9 · 4

=

044−9

b)

( −4 23 8

)(xy

)=

( −4x + 2y3x + 8y

)

La matriz Identidad. Para un entero positivo n, la matriz n× n

In =

1 0 0 . . . 00 1 0 . . . 0...

...0 0 0 . . . 1

es la matriz identidad. Segun la Definicion A.6, para toda matriz A,n× n,

AIn = InA = A

Tambien se comprueba con facilidad que si X es una matriz columna n× 1, entonces InX =X.

La matriz Cero. Una matriz,m×n, formada cuyos elementos son todos el numero cerose llama matriz cero y se representa con 0m×n; por ejemplo,

02×1 =

(00

), 02×2 =

(0 00 0

), 03×2 =

0 00 00 0

y ası sucesivamente. Cuando el tamano de la matriz cero se puede deducir por el contexto,o cuando se ha dado explıictamente con anterioridad, se suele prescrindir del subındice queindica el tamano y se ecribe simplemente 0. Por ejemplo, si A y 0 son matrices de m × n,entonces

A + 0 = 0 + A = A

Propiedad asociativa. Aunque no lo demostraremos, la multiplicacion matricial esasociativa. Si A es una matriz m× p, B una matriz p× r y C una matriz r × n, entonces

A(BC) = (AB)C

es una matriz de m×n. El parentesis indica la prioridad en la operacion. Ası, A(BC) significaque multiplicamos primero B y C y entonces hacemos el producto de A por el resultadoobtenido al multiplicar B y C. Notese que la asociatividad indica que independeinetmentede la prioridad en las operaciones, el resultado es el mismo.


Propiedad distributiva. Si todos los productos estan definidos, la multiplicacion esdistributiva respecto la suma:

A(B + C) = AB + AC y (B + C)A = BA + CA

Determinante de una matriz. Con toda matriz cuadrada A, hay un numero asociadollamado determinante de la matriz que se representa mediante det A. La formula generalpara calcular el determinate de la matriz cuadrada A de orden n es

∑σ

a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n

donde el sumatorio esta extendido a las n! permutaciones σ de los numeros (1, 2, . . . , n). Ası,si n = 3, las 3! = 6 permutaciones posibles de (1, 2, 3) son: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1),(3, 1, 2) y (3, 2, 1). Por lo tanto, si A es 3× 3 entonces

det A = a11a22a23 + a11a23a32 + a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 + a13a22a31.

Por lo general para matrices cuadradas de tamano grande el calculo del determinantees una labor costosa cuando se hace a mano y el uso de ordenadores es aconsejable. Losmetodos ideados para el calculo de determinantes mediante ordenadores (metodos numericos)no se basan en la definicion, sino en ciertas propiedades de las matrices. En este curso solohabra que calcular determinantes de matrices de tamano 3 a lo mas. Para ello la formulade mas arriba es suficiente. No obstante, hay una formula que permite reducir el calculo deldeterminante de una matriz n × n a la suma de n determinantes de matrices de tamano(n−1)× (n−1). Es la formula conocida como desarrollo del determinante por los elementosde una fila y que se debe, aunque con una formulacion mucho mas general, a Laplace:

det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin

en donde Aij = (−1)i+j det Aij y Aij es la matriz que se obtiene de A al quitar la i-esima filay la j-esima columna.

Ejemplo 6. Determinante de una matriz cuadrada.

Ası, si A =

3 6 22 5 1−1 2 4

, y desarrollamos det A por los elementos de la primera fila:

det A = det

3 6 22 5 1−1 2 4

= 3 det

(5 12 4

)− 6 det

(2 1−1 4

)+ 2 det

(2 5−1 2

)

= 3(20− 2)− 6(8 + 1) + 2(4 + 5) = 18

Si A tiene uns fila (o columna) con muchos elementos cero, por nuestra comodidad debemosdesarrollar ese determinante por los elementos de esa fila (o columna).


Definicion A.7 (Rango de una matriz) .- Se define el rango de una matriz A, m × n,como el tamano de la mayor submatriz cuadrada de A con determinante distinto de cero

El calculo del rango de una matriz es una tarea muy costosa cuando se quiere utilizar estadefinicion. De hecho, casi nunca se utiliza. Veremos que mediante operaciones elementalespor filas se obtiene el rango de una matriz de una manera mucho mas sencilla. Hay quedecir, no obstante, que para matrices muy grandes el calculo del rango de una matriz es unproblema muy complicado, en general.

Definicion A.8 (Transpuesta de una matriz) La transpuesta de la matriz A = (aij),m× n, es la matriz AT n×m representada por

AT =

a11 a21 . . . am1

a12 a22 . . . am2...

...a1n a2n . . . amn

En otras palabras, las filas de A se convierten en las columnas de su traspuesta, AT .

Ejemplo 7. Transpuesta de una matriz

a) La transpuesta de A =

3 6 26 5 22 1 4

es AT =

3 2 −16 5 22 1 4

.

b) Si X =

503

, entonces XT = (5 0 3).

Definicion A.9 (Inversa de una matriz) Sea A una matriz n× n. Si existe una matrizB n× n tal que

AB = BA = In,

en donde In es la matriz identidad, entonces B es la inversa de A y se representa conB = A−1.

Definicion A.10 (Matrices no singulares y singulares) Sea A una matriz n × n. Sidet A 6= 0, se dice que A es no singular. Si det A = 0, entonces A es singular.


El siguiente teorema especifica una condicion necesaria y suficiente para que una matrizcuadrada de numeros reales o complejos tenga inversa.

Teorema A.11 (La no singularidad implica que A tiene una inversa) Una matriz denumeros reales o complejos A n× n tiene inversa A−1 si y solo si A es no singular.

El teorema que sigue describe un metodo para hallar la inversa de una matriz no singular.

Teorema A.12 (Formula de la inversa de una matriz) Sea A una matriz no singularn×n, y sea, como mas arriba, Aij = (−1)i+jMij, donde Mij es el determinante de la matrizde (n− 1)× (n− 1) obtenido al eliminar la i-esima fila y la j-esima columna de A. Entonces

A−1 =1

det A(Aij)

T (A.1)

Cada Aij en el Teorema A.12 es tan solo el cofactor (o menor con signo) del elementoaij correspondiente a A. Observese que en la formula (A.1) se utilizan las transpuesta.

Para una matriz 2× 2

A =

(a11 a12

a21 a22

)

se tiene A11 = a22, A12 = −a21, A21 = −a21 y A22 = a11. Entonces

A−1 =1

det A

(a22 −a21

−a12 a11

)T

=1

det A

(a22 −a12

−a21 a11

).

Para una matriz no singular 3× 3

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

,

A11 = det

(a22 a23

a32 a33

), A12 = − det

(a21 a23

a31 a33

), A13 = det

(a21 a22

a31 a32

),

etcetera. Para calcuar la inversa, trasponemos y llegamos a

A−1 =1

det A

A11 A21 A31

A12 A22 A32

A13 A23 A33

Ejemplo 8. Inversa de una matriz 2× 2


Vamos a calcular la inversa de A =

(1 42 10

)

En primer lugar det A = 10− 8 = 2 6= 0, de modo que A es no singular y por el TeoremaA.12, A−1 existe. De acuerdo con (A.1),

A−1 =1

2

(10 −4−2 1

)=

(5 −2−1 1

2

).

No toda matriz cuadrada tiene inversa. La matriz A =

(2 23 3

)es singular porque det A =

0; por consiguiente, A−1 no existe.

Ejemplo 9. Inversa de una matriz 3× 3

Calculemos la inversa de A =

2 2 0−2 1 13 0 1

.

Puesto que det A = 12 6= 0, la matriz dada es no singular. Los cofactores correspondientesa los elementos de cada fila de A son

A11 = det

(1 10 1

)= 1 A12 = det

( −2 13 1

)= 5 A13 = det

( −2 13 0

)= −3

A21 = det

(2 00 1

)= −2 A22 = det

(2 03 1

)= 2 A23 = det

(2 23 0

)= 6

A31 = det

(2 00 1

)= 2 A32 = det

(2 0−2 1

)= −2 A13 = det

(2 2−2 1

)= 6

De acuerdo con (A.1)

A−1 =1

12

1 −2 25 2 −2−3 6 6

=

112

−16

16

512

16

−16

−14

12

12

.

Se puede, y conviene, comprobar que, en efecto, A−1A = AA−1 = I3.

Dado que la formula (A.1) para hallar la inversa de una matriz se basa en el calculode determinantes, para hallar la inversa de matrices no singulares de tamanos grandes nose emplea, en la practica este metodo. Hay otros metodos mucho mas eficaces, desde elpunto de vista del calculo, que tienen que ver con la factorizacion de matrices yq eu pueden


encontrarse en cualquier libro de Algebra Lineal Numerica. No los discutiremos aquı porqueel tamano de nuestras matrices no sera, en la practica, nunca mayor que 3.

Como nuestra meta es utilizar las matrices para la resolucion de sistemas de ecuacionesdiferenciales lineales de primer orden, necesitaremos otras definiciones adicionales:

Definicion A.13 (Derivada de una matriz de funciones) Si A(t) = (aij(t)) es unamatriz m × n cuyos elementos son funciones diferenciables en un intervalo comun, enton-ces se define la derivada de A(t) como la matriz cuyos elementos son las derivadas de loselementos de A(t). Es decir:

dA

dt(t) =

(daij

dt(t)

)(m× n).

Definicion A.14 (Integral de una matriz de funciones) Si A(t) = (aij(t)) es una ma-triz m× n cuyos elementos son funciones continuas en un intervalo que contiene a t y a t0,entonces la integral de A(t) es una matriz cuyos elementos son las integrales de los elementosde A(t). Es decir: ∫ t

t0

A(s)ds =

(∫ t

t0

aij(s)ds

)(m× n)

En otras palabras, para derivar o integrar una matriz de funciones, tan solo hay quederivar o integrar cada uno de sus elementos. La derivada de una matriz tambien se representacon A′(t).

Ejemplo 10. Derivada o integral de una matriz

Si

X(t) =

sen 2te3t

8t− 1

entonces

X ′(t) =

ddt

(sen 2t)ddt

(e3t)ddt

(8t− 1)

=

2 cos 2t3e3t

8

.

Y∫ t

0

X(x)ds =

∫ t

0sen 2sds∫ t

0e3sds∫ t

0(8s− 1)ds

=

−1

2cos 2t + 1

213e3t − 1

3

4t2 − t

.

A.2 Eliminacion de Gauss-Jordan 203

A.2. Eliminacion de Gauss-Jordan

Las matrices son una ayuda insustituible para resolver sistemas algebraicos de ecuacioneslineales. Recordemos que estos son de la forma:

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2...

am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

(A.2)

donde m es el numero de ecuaciones y n el de incognitas.

Si A representa la matriz de los coeficientes en (A.2), sabemos que se puede usar la reglade Cramer para resolver el sistema, siempre que m = n y det A 6= 0. Sin embargo, seguiresta regla es practicamente imposible si el tamano de A es mayor que 3. El procedimientoque describiremos tiene la ventaja de ser no solo un metodo eficiente para manejar sistemasgrandes, sino tambien un metodo para saber si el sistema (A.2) es consistente (es decir,admite alguna solucion), y, en su caso, hallar todas las soluciones.

Definicion A.15 (Matriz aumentada) La matriz aumentada del sistema (A.2) es la ma-triz de m× (n + 1)

a11 a12 . . . a1n b1

a21 a22 . . . a2n b2...

...an1 an2 . . . ann bn

Si B =

b1

b2...

bm

, la matriz aumentada de (A.2) se expresa como (A/B).

Operaciones elementales por filas.

Si multiplicamos una de las ecuaciones de un sistema algebraico por un numero (distintode cero), o si sumamos a una ecuacion otra multiplicada por un numero o si intercambiamos elorden en el que aparecen las ecuaciones, las soluciones del sistema obtenido y del original sonlas mismas. Es decir, los sistemas son equivalentes. Las matrices aumentadas de los sistemasobtenidos al realizar estos tres tipos de operaciones se dice que han sido obtenidas al realizaroperaciones elementales por filas sobre la matriz aumentada del sistema original. Ası,las operaciones elementales por filas son las siguientes:


i) Multiplicacion de una fila por una constante distinta de cero.

ii) Intercambio de dos filas cualesquiera.

iii) Suma de un multiplo constante, distinto de cero, de una fila a cualquier otra fila.

Metodos de eliminacion.

Uno de los metodos que mas utlizamos para resolver sistemas es el llamado metodo deeliminacion (tambien es famoso el metodo de sustitucion que a veces es util para sistemaspequenos).

El metodo de eliminacion consiste, precisamente, en realizar operaciones elementales porfilas eligiendo las constantes con buen tino. Cuando es aplicado directamente sobre la matrizaumentada del sistema se conoce con el nombre de metodo de eliminacion de Gauss-Jordan. Este metodo consiste en efectuar una sucesion de operaciones elementales por filashasta llegar a una matriz aumentada que tenga la forma reducida de escalera por filas.Esta es una matriz que tiene la siguiente forma:

i) El primer elemento distinto de cero en cada fila es 1.

ii) En las filas consecutivas distintas de cero, el primer elemento 1 en la fila inferior aparecea la derecha del primer 1 en la fila superior.

iii) Las filas formadas unicamente por ceros estan en la parte inferior de la matriz.

iv) Una columna que contiene un primer elemento 1 tiene ceros en todos los demas lugares.

Es decir, la forma de una matriz en forma reducida de escalera por filas serıa como sigue:

0 · · · 0 1 ∗ · · · ∗ 0 ∗ · · · ∗ 0 ∗ · · · ∗ 0 ∗ · · · ∗0 · · · 0 0 0 · · · 0 1 ∗ · · · ∗ 0 ∗ · · · ∗ 0 ∗ · · · ∗0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 1 ∗ · · · ∗ 0 ∗ · · · ∗...

......

......

...0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 1 ∗ · · · ∗0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0...

......

......

...0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0

donde los elementos indicados con ∗ pueden ser cero o distintos de cero. El numero de filasque son distintas de cero es, precisamente, el rango de la matriz.

Ejemplo 11. Forma de escalera por filas

A.2 Eliminacion de Gauss-Jordan 205

Las matrices aumentadas

1 0 0 20 1 0 −10 0 0 0

y

(0 0 1 −6 0 20 0 0 0 1 4

)

estan en la forma escalera por filas.

En la eliminacion de Gauss-Jordan nos detenemos una vez obtenida una matriz aumen-tada en su forma de escalera reducida por filas. Cualesquiera que sean las operaciones querealicemos para llegar a la forma de escalera reducida produce siempre la misma formareducida. Una vez obtenida esta matriz la solucion del sistema se obtiene de forma muy sen-cilla. Los 1’s significativos nos aislan unas cuantas incognitas (tantas como filas distintas decero haya en la forma reducida) que pueden despejarse en funcion de las demas. Enseguidaveremos un ejemplo. Para facilitar el trabajo introducimos la siguiente notaciuon: :

Sımbolo SignificadoRij Intercambio de las filas i y jcRi Multiplicaion de la i-esima fila por la constante c, distinta de cerocRi + Rj Multiplicaion de la i-esima fila por c y suma del resultado a la j-esima fila

Ejemplo 12. Solucion por eliminacion

Resolvamos el sistema2x1 + 6x2 + x3 = 7x1 + 2x2 − x3 = −15x1 + 7x2 − 4x3 = 9

eliminacion de Gauss-Jordan.

SOLUCION

Efectuamos operaciones elementales por filas en la matriz aumentada del sistema paraobtener

2 6 1 71 2 −1 −15 7 −4 9

R12−→

1 2 −1 −12 6 1 75 7 −4 9

−2R1 + R2

−5R1 + R3−→

1 2 −1 −10 2 3 90 −3 1 14

12R2−→

1 2 −1 −10 1 3

292

0 −3 1 14

3R2+R3−→

1 2 −1 −10 1 3

292

0 0 112

552

2

11R3−→

1 2 −1 −10 1 3

292

0 0 1 5


−2R2+R1−→

1 0 −4 −100 1 3

292

0 0 1 5

4R3 + R1

−32R3 + R2−→

1 0 0 100 1 0 −30 0 1 5

Esta matriz ya se encuentra en su forma reducida de escalera por filas. El sistema corres-pondiente es

x1 = 10x2 = −3x3 = 5

,

de forma que la solcuion del sistema es x1 = 10, x2 = −3 y x3 = 5.

Ejemplo 13. Eliminacion de Gauss-Jordan

Resuelvasex + 3y − 2z = −74x + y + 3z = 52x− 5y + 7z = 19

SOLUCION

Resolveremos este sistema con la eliminacion de Gauss-Jordan:

1 3 −2 −74 1 3 52 −5 7 19

−4R1 + R2

−2R1 + R3−→

1 3 −2 −70 −11 11 330 −11 11 33

− 111

R2

− 111

R3−→

1 3 −2 −70 1 −1 −30 1 −1 −3

−3R2 + R1

−R2 + R3−→

1 0 1 20 1 −1 −30 0 0 0

.

Esta es la forma reducida. El sistema correspondiente es

x + z = 2y − z = −3

Por lo tanto el sistema dado de tres ecuaciones y tres incognitas equivale a otro de dosecuaciones y tres incognitas. La solucion general del sistema sera

x = 2− zy = −3 + z

Es decir, el sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones y todas las solu-ciones se obtienen dando a z valores arbitrarios.

A.3 El problema de los valores propios 207

Si el sistema original fuerax + 3y − 2z = −74x + y + 3z = 52x− 5y + 7z = 20

entonces la forma reducida de escalera por filas de la matriz ampliada serıa:

1 0 1 20 1 −1 −30 0 0 − 1

11

y el sistema correspondientex + z = 2y − z = −30 = − 1

11

Debido a la tercera ecuacion este sistema no tiene solucion. Es decir el sistema es incompa-tible.

En conclusion, el metodo de eliminacion de Gauss-Jordan nos proporciona una formade conocer si un sistema algebraico de ecuaciones lineales tiene o no solucion y, en su caso,todas las soluciones del sistema.

A.3. El problema de los valores propios

La resolucion analıtica de sistemas lineales de ecuaciones diferenciales con coeficientesconstantes se basa en la busqueda de vectores y valores propios de la matriz del sistema.Para sistemas de dimension pequena (a lo mas 3) la forma mas sencilla y rapida de calcularlos valores propios es obteniendo las raıces del polinomio caracterıstico de la matriz. Parasistemas de dimension mayor que 3 (y muy especialmente, por motivos que serıa largo ycomplicado de explicar, para sistemas de dimension 5 o mas) el uso de programas apropiadosde ordenador puede ser el unico modo de calcular los valores propios de una matriz. Una vezobtenidos estos por el metodo que sea, la eliminacion de Gauss-Jordan sirve para hallar losvectores propios.

Definicion A.16 (Valores propios y vectores propios) Sea A una matriz n×n. Se diceque un numero λ es un valor propio de A si existe un vector solucion v, no cero, delsistema lineal

Av = λv (A.3)

El vector solucion v se dice que es un vector propio de A correspondiente al valor propioλ.


El termino hıbrıdo eigenvalor se usa como traduccion de la palabra alemana eigenwertque significa ”valor propio”. A los valores propios y vectores propios se les llama tambienvalores caracterısticos y vectores caracterısticos, respectivamente.

Ejemplo 14. Vector propio de una matriz

Compruebese que v =

1−11

es un vector propio de la matriz

A =

0 −1 −32 3 3−2 1 1

En efecto, al multiplicar Av obtenemos

Av =

0 −1 −32 3 3−2 1 1

1−11

=

−22−2

= (−2)

1−11

= (−2)v.

Por lo tanto Av = (−2)v con lo que−2 es valor propio de A y v vector propio correspondienteal valor propio −2.

Si aplicamos las propiedades del algebra de matrices, podemos expresar la ecuacion (A.3)en la forma alternativa

λv − Av = 0

y tambien

(λIn − A)v = 0 (A.4)

en donde In es la matriz identidad. Si escribimos v en funcion de sus componentes:

v =

v1

v2...

vn

,

la ecuacion (A.4) equivale a

(λ− a11) v1 − a12v2 − · · · − a1nvn = 0−a21v1 + (λ− a22) v2 − · · · − a2nvn = 0

......

......

−an1v1 − an2v2 − · · · + (λ− amn) vn = 0

(A.5)


Una vez conocido el valor propio λ, el sistema (A.5) es un sistema algebraico lineal homogeneode n ecuaciones con n incognitas. Es homogeneo porque los terminos independientes son todosiguales a cero (es decir, bi = 0, i = 1, 2, . . . , n en (A.2)), y las incognitas son las componentesde un vector propio correspondiente al valor propio λ.

Por ser un sistema homogeneo hay siempre un solucion obvia (o trivial): v1 = v2 = · · · =vn = 0. Pero para que v sea un vector propio, por definicion, debe ser distinto de cero.Ası pues, la solucion trivial no nos sirve.

Ahora bien, se sabe que un sistema homogeneo de n ecuaciones lineales con n incognitastiene una solucion no trivial si y solo si, el determinante de la matriz de coeficientes es iguala cero. Ası, para hallar una solucion v distinta de cero de la ecuacion (A.5) se debe cumplir

det (λIn − A) = 0 (A.6)

Al examinar (A.6) se ve que el desarrollo del det (λIn − A) por cofactores da un polinomiode grado n en λ. La ecuacion (A.6) se llama ecuacion caracterıstica de A. Ası los valorespropios de A son las raıces de la ecuacion caracterıstica. Para hallar un vector propio quecorresponda al valor propio λ, se resuelve el sistema de ecuaciones (λIn − A) v = 0, aplicandola eliminacion de Gauss-Jordan a la matriz aumentada (λIn − A|0n×1).

Unos ejemplos pueden servir para clarificar estos conceptos.

Ejemplo 15. Valores propios y vectores propios

Determınense los valores y hallese un vector propio para cada valor propio de

A =

1 2 16 −1 0−1 −2 −1

.

SOLUCION.

Calculamos el determinante para encontrar la ecuacion caracterıstica (podemos hacerlo,por ejemplo, usamos los cofacotres de la segunda fila):

det (λI3 − A) = det

λ− 1 −2 −1−6 λ + 1 01 2 λ + 1

= λ3 + λ2 − 12λ = 0

Puesto que λ3 + λ2 − 12λ = λ (λ + 4) (λ− 3) = 0, los valores propios son λ1 = 0, λ2 = −4y λ3 = 3. Para hallar los vectores propios debemos aplicar el algoritmo de Gauss-Jordan a(λI3 − A|0) con cada uno de los tres valores propios calculados.


Para λ1 = 0,

(0I3 − A|0) =

−1 −2 −1 0−6 1 0 01 2 1 0

−1R1−→

1 2 1 0−6 1 0 01 2 1 0

6R1 + R2

−R1 + R3−→

1 2 1 00 13 6 00 0 0 0

− 113

R2−→

1 2 1 00 1 6

130

0 0 0 0

−2R2+R1−→

1 0 113

00 1 6

130

0 0 0 0

Ası, el sistema es compatible (debıa serlo porque ya hemos visto que det(0I3 − A) = 0) ytiene infinitas soluciones. El metodo de Gauss-Jordan nos indica que se pueden despejar lasincognitas v1 y v2 en funcion de v3. Es decir, las soluciones son:

v1 = − 1

13v3 y v2 = − 6

13v3.

La infinitas soluciones del sistema se obtienen dando valores distintos a v3. Como se nos pideencontrar un vector propio damos a v3 un valor cualquiera. En efecto, cualquier valor de v3

valdrıa para obtener un vector propio, pero si queremos que las componentes de este vectorsean numeros enteros podemos escoger v3 = −13. Ası un vector porpio serıa:

v1 =

16−13

.

Procedemos de la misma forma con λ2 = −4,

(−4I3 − A|0) =

−5 −2 −1 0−6 −3 0 01 2 −3 0

R31−→

1 2 −3 0−6 −3 0 0−5 −2 −1 0

−6R1 + R2

−5R1 + R2−→

1 2 −3 00 9 −18 00 8 −16 0

1

9R2−→

1 2 −3 00 1 −2 00 8 −16 0

−2R2 + R1

−8R2 + R3−→

1 0 1 00 1 −2 00 0 0 0

La solucion general del sistema sera:

v1 = −v3 y v2 = 2v3.

Eligiendo v3 = 1 se obtiene un vector propio correspondiente al valor propio λ2 = −4:

v2 =

−121


Por ultimo, cuando λ3 = 3, la eliminacion de Gauss-Jordan da

(3I − A|0) =

2 −2 −1 0−6 4 0 01 2 4 0

operacionespor filas−→

1 0 1 00 1 3

20

0 0 0 0

Ası

v1 = −v3 y v2 = −3

2v3.

Escogiendo v3 = −2 obtenemos un vector propio asociado al valor propio λ = 3:

v3 =

23−2

.

Cuando una matriz A de tamano n × n tiene n valores propios distintos, λ1, λ2, . . . ,λn, se puede demostrar que se puede obtener un conjunto de n vectores propios linealmenteindependientes v1, v2, . . . , vn; cada uno correspondiente a un valor propio. (Que n vectoresv1, v2, . . . , vn sean linealmente independientes significa que la unica forma de que la sumaα1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn sea el vector cero es cuando α1 = α2 = · · · = αn = 0. Por ejemplo,

los vectores v1 =

(11

)y v2 =

(22

)no son linealmente indepencientes porque ademas de

0v1 + 0v2 =

(00

)tambien −2v1 + v2 =

(00

). Sin embargo,v1 =

(10

)y v2 =

(01

)si

son linealmente independientes porque la unica forma en que α1v1 + α2v2 =

(00

)es que

α1 = α2 = 0.)

Cuando la ecuacion caracterıstica tiene raıces repetidas, quiza no sea posible hallar n vec-tores propios de A linealmente independientes. El siguiente ejemplo muestra esta situacion.

Ejemplo 16. Valores propios y vectores propios repetidos

Determınense los valores propios y vectores propios de

A =

(3 4−1 7

).

SOLUCION


Partimos de la ecuacion caracterıstica


(λ− 3 −4

1 λ− 7

)= λ2 − 10λ + 25 = (λ− 5)2 = 0

y vemos que λ1 = λ2 = 5 es un valor propio de multiplicidad dos. En el caso de una matriz2 × 2, no es necesario la eliminacion de Gauss-Jordan, se pueden obtener las solucionesmediante inspeccion directa. En este caso, para determinar un vector propio correspondientea λ1 = 5, recurriremos al sistema (5I2 − A|0), en su forma equivalente

−2v1 + 4v2 = 0−v1 + 2v2 = 0

De aquı se deduce que v1 = 2v2. De modo que todos los vectores propios correspondientes alvalor propio λ = 5 tienen la siguiente forma

v =

(2v2

v2

)

con v2 6= 0. Y no podemos encontrar dos vectores propios linealmente independientes. Enefecto, si

v =

(2v2

v2

)y v′ =

(2v′2v′2

)

con v2 6= v′2 y ambos distintos de cero, entonces v′2v − v2v′ = 0. Es decir, hay numeros α1 y

α2 distintos de cero tales que α1v + α2v′ = 0, lo que significa que v y v′ no son linealmente

independientes.

En particular, si escogemos v2 = 1, obtenemos un vector propio:

v =

(21

)

El siguiente y ultimo ejemplo nos muestra que tambien puede suceder que haya dosvectores propios linealmente independientes correspondientes a un valor propio repetido.

Ejemplo 17. Valores propios y vectores propios repetidos

Hallense los valores propios y vectores propios de

A =

9 1 11 9 11 1 9

.


SOLUCION

La ecuacion caracterıstica


λ− 9 −1 −1−1 λ− 9 −1−1 −1 λ− 9

= (λ− 11) (λ− 8)2 = 0

indica que λ1 = 11 es un valor propio simple (de multiplicidad 1) y λ2 = λ3 = 8 es un valorpropio de multiplicidad dos.

Para λ1 = 11, la eliminacion de Gauss-Jordan da

(11I3 − A|0) =

2 −1 −1 0−1 2 −1 0−1 −1 −2 0


1 0 −1 00 1 −1 00 0 0 0

.

Por consiguiente, v1 = v3 y v2 = v3. Si v3 = 1,

v1 =

111

es un vector propio correspondiente al valor propio λ1 = 11.

Cuando λ2 = 8,

(8I3 − A|0) =

−1 −1 −1 0−1 −1 −1 0−1 −1 −1 0


1 1 1 00 0 0 00 0 0 0

.

En la ecuacion v1 + v2 + v3 = 0 podemos despejar una de las incognitas en funcion de lasotras dos. Ası, por ejemplo

v1 = −v2 − v3.

Podrıamos decir que tenemos 2 grados de libertad: dando valores a v2 y v3 podemos conseguirdos vectores solucion que sean linealmente independientes. Por ejemplo, si por una parteoptamos por v2 = 1 y v3 = 0 y, por otra v2 = 0 y v3 = 1, tenemos que

v2 =

−110

y v3 =

−101

son vectores linealmente independientes.

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