Anclajes en roca

Claudio OLALLA MARAÑÓNDr. INGENIERO DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOSLABORATORIO DE GEOTECNIA.CEDEX

1. IntroducciónEste texto está enfocado casi ex c l u s i vamente al cálculo de anclajes en roca; es decir, a la va l o ración dela carga de arrancamiento en distintos tipos de estados del macizo rocoso.

En el cálculo de estru c t u ras ancladas (anclajes, cimentaciones a tracción, etc.) en roca, en general, nose dispone de expresiones específicas que tengan en cuenta cri t e rios de rotura del macizo y que intro-duzcan las peculiaridades geométricas del sistema. En la práctica habitual se utilizan valores empíri c o ssancionados por la ex p e riencia o bien se considera, también de fo rma empírica, que la carga última at racción es un porcentaje de la resistencia a compresión simple de la roca intacta.

Estos trabajos han sido desarrollados en colaboración con el Prof. S e r rano de la U. P. M .

2 . Planteamiento: Método variacional y cota mínimaEn el presente apartado se desarrolla un modelo nu m é rico que va l o ra la carga última que puede sopor-tar una estru c t u ra anclada en roca, utilizando el cri t e rio de rotura, no lineal, definido por Hoek y Brow n(1980, 1992)1 y 2. Se analizan los resultados obtenidos para cualquier tipo de superficie posibl e, minimi-zando la solución en base al cálculo va riacional de Euler. Se comparan con los valores más usualesrecogidos de la bibl i o grafía técnica. Se presentan unos ábacos para su aplicación.

Se define la esbeltez (n) de una estru c t u ra anclada como la relación L/D = n, siendo L la longitud delanclaje y D el diámetro de la perfo ra c i ó n . Es un parámetro geométrico muy importante que condicionala respuesta del anclaje.

2 . 1 . HIPÓTESIS BÁSICAS

Pa ra simplificar el problema y hacer el cálculo abordable de manera rigurosa, se hacen las siguienteshipótesis (Serrano y Olalla, 1999)3:

1 º El medio rocoso se comporta de acuerdo con el cri t e rio de rotura definido originalmente por Hoek y Brown (1980) y modificado posteri o rmente para macizos rocosos fra c t u rados por Hoek et al.( 1 9 9 2 ) .

2 º La rotura se produce según aquella superficie que da la resistencia mínima.

3 º En una pri m e ra aproximación no se considera el efecto de la dilatancia. Se trata, por tanto, de unahipótesis conserva d o ra . Po s t e ri o rmente sí se incorp o ra (apartados 3 y 4), mostrándose el notabl ee fecto de la misma.

2 . 2 . P ROCESO GENERAL DE CÁLCULO

Se analizan las posibilidades de uso más generales (Fig. 2 . 1 b ) .

Se plantea la resistencia al anclaje como una integral, a lo largo de una superficie tal que haga ese va l o rm í n i m o. Pa ra ello se utiliza el método va riacional de Euler, junto con una ecuación de enlace, definida porla necesidad de que las tensiones en la rotura (τ, σ) ve rifiquen el cri t e rio de rotura, con dilatancia nu l a .

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La solución de tracción mínima dada por Euler presenta dos soluciones (Fig. 2 . 1 c ) . Este procedimientop e rmite también conocer la fo rma que tiene la superficie de rotura :

Fi g u r a 2 . 1 . A P L I C A B I L I DAD DEL MÉTO D O. ANCLAJES CORTOS Y LARGOS

A ) A n clajes largos donde la superficie de rotura consta de dos tramos (C1) .B ) A n clajes cort o s . Sólo existe el tramo final de ro t u r a , c u ya superficie parte con una pendiente de salida no nula (C2) .

Ello permite distinguir los anclajes calificados como «largos» de los anclajes calificados como «cort o s » .

2 . 3 . RESISTENCIA AL CORTE EN LA SUPERFICIE DE ROT U R A

El cri t e rio de Hoek y Brown (1980) expresado como envo l vente de Mohr por Serrano y Olalla (1994)4,utiliza los parámetros:

mσc m0σc RMR – 100β = ––– = –––– . exp ––––––––– [ 2 . 1 ]

8 8 a8s 8 RMR – 100

ζ = –– = ––– . exp ––––––––– [ 2 . 2 ]m2 m0

2 c

siendo m y s los parámetros de Hoek y Brown y σc la resistencia a compresión simple de la roca intac-ta (RCS). Cuando el medio rocoso no está afectado por la acción del nombre (vgr. vo l a d u ra s ) ; a = 28 y c = 25,2.

Pa ra el caso σ = 0, el valor exacto de la tensión de corte correspondiente (τf 0), se puede encontrar dem a n e ra rigurosa determinando el ángulo de rozamiento instantáneo (ρ0) y calculando posteri o rm e n t eτf 0. Se puede utilizar la expresión general (Serrano y Olalla4, 1994), que da el ángulo de rozamiento ins-tantáneo en función de σ0* (σ0* = σ/β + ζ) . En este caso, por tanto, σ0* = ζ.

2 sen3 ρ0 – (2 σ0* + 3) sen2 ρ0 + 1 = 0 [2.3]

Pa ra σ = 0 es más sencillo y tiene aproximación suficiente hacer uso de la ecuación aproximada obtenidapor Serrano y Olalla (1999): τ*f 0 ≡ τf 0 / β = ζ0 , 7 5 [ 2 . 4 ]

Si el cri t e rio de rotura es el de Hoek y Brown modificado (1992), esta expresión pasa a ser:a + 1– –

τ*f0 ≡ ζ 2 (En el Anejo I se justifica esta ex p r e s i ó n ) [ 2 . 5 ]

2 . 4 . SUPERFICIE DE ROT U R A

La solución obtenida con el método va riacional permite obtener la solución general de la superficie der o t u ra . Es una combinación que hace mínima la tracción total de arra n q u e. Dependiendo de la esbeltezdel anclaje n (n = L/D) y del parámetro de Hoek y Brown ζ, la figura 2.2 permite discernir el tipo de super-ficie de rotura –y, por tanto, el tipo de anclaje– que resulta. En la mayor parte de los casos, se trata deanclajes largos e incluso muy largos.

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Figura 2.2. D I F E R E N C I ACIÓN DE ANCLAJES LARGOS Y CORTO S

En las figuras 2.3 se presenta en fo rma adimensional el aspecto que tienen las superficies de roturap a ra anclajes «largos y «cortos», respectiva m e n t e.

Figura 2.3a. SUPERFICIES DE ROTURA DE ANCLAJES LARGOS (TRAMO HIPERBÓLICO)

Figura 2.3b. SUPERFICIE DE ROTURA DE ANCLAJES CORTO S

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2 . 5 . TENSIONES ÚLTIMAS DE ARRANCAMIENTO

La tensión última del anclaje al arrancamiento (Tult) se obtiene mediante la ex p r e s i ó n :

Tult = πDL τf0* β C (n, ζ) [ 2 . 6 ]

en donde el valor de C se obtiene de la figura 2.4, en función de la esbeltez (n) y del parámetro ζ.

Figura 2.4. VALORES DEL COEFICIENTE C

A título de ejemplo, en la figura 2.5 se mu e s t ra el aspecto que presenta la superficie de rotura de dos a n c l a-j e s, de esbeltez n = 3 y n = 25, alojados en un medio rocoso de ζ = 0,001 y ζ = 0,05, respectiva m e n t e.

Figura 2.5. EJEMPLOS DE FORMAS DE ROT U R A

2 . 6 . CONTRASTE DE RESULTA D O S

a ) Distinción entre anclajes cortos y larg o s

N o rm a l m e n t e, en ingeniería civil, los anclajes son lo suficientemente largos y estrechos; es decir, sufi-cientemente esbeltos como para que la rotura se produzca en gran medida a través del cilindro. Pe r otambién puede darse el caso que no sean tan largos como para superar la longitud crítica que definesu comportamiento y, lo que es más interesante, pueden darse estru c t u ras enterradas que trabajen at racción y se comporten como «cort a s » .

A s i m i s m o, son múltiples las referencias que existen, distinguiendo más o menos ex p l í c i t a m e n t e, entreun tipo de comportamiento y otro (Hanna, 1982; X a n t h a ko s ; 1 9 8 6 ; Alonso et al., 1 9 9 6 )5, 6, 7. Así mismo,el documento de «Recomendaciones para anclajes», fra n c é s, del año (1986)8, implícitamente está reco-nociendo un comportamiento del anclaje del tipo «corto» en longitudes de 3 m y un comportamiento deltipo «largo» en longitudes de 12 m.

b ) Valores en uso

No son muy abundantes los va l o r e s, que estén detalladamente documentados, relativos a la resisten-cia al corte máxima movilizada por la roca en contacto con el anclaje en función de los aspectos más

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r e l eva n t e s, tales como tipo y estado del macizo rocoso, tipo de inyección, mecanismo de rotura, etc.Éste es el concepto de «resistencia última unitaria», que en litera t u ra anglosajona recibe las siglas «ubr».

La recopilación más extensa es la efectuada por Littlejohn y Bruce (1975)9 y posteri o rmente recogidapor diferentes autores. X a n t h a kos (1991)6 ofrece un conjunto de valores del «ubr» en función del tipo deroca, sin diferenciar el estado en que se encuentren (Ta bla 1).

TABLA 1

TIPO DE RO C A RANGO DE VALORES (MPa)

G ranito y basalto 1 , 7 2 - 3 , 1 0Caliza dolomítica 1 , 3 8 - 2 , 0 7Calizas bl a n d a s 1 , 0 3 - 1 , 3 8P i z a r ras y lutitas dura s 0 , 8 3 - 1 , 3 8Lutitas bl a n d a s 0 , 2 1 - 0 , 8 3A r e n i s c a s 0 , 8 3 - 1 , 0 3Margas altera d a s 0 , 1 7 - 0 , 2 5

Existen otras fuentes documentadas en donde se publican resultados de ensayos de arranque y sepueden consultar en las referencias citadas al final de este documento si se desean conocer con mayo rp r o f u n d i d a d .

c ) Valores de diseño

N o rmalmente se aconsejan valores específicos o que la resistencia última unitaria no sea superior a unporcentaje de la resistencia a compresión simple de la roca madre. Este porcentaje suele va riar entre 5 y 10%.

En las figuras 2.6a y 2.6b se mu e s t ra gráficamente el porcentaje f (%) a considerar por el procedimientod e s c rito anteri o rm e n t e, dependiendo del grado de alteración y fra c t u ración del medio rocoso; en estec a s o, el índice RMR básico. El cri t e rio de rotura adoptado es el de H&B de 1980, pues RMR > 25.

Figura 2.6a. VALORES DEL PA R Á M E T RO f (%) (RMR GSI > 25)

En el caso de suponer el cri t e rio de rotura de H&B modificado (1992), la figura a utilizar que resulta es la 2.6b.

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RMR

RMR

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Figura 2.6b. VALORES DEL PA R Á M E T RO f(%) (RMR GSI < 25) HOEK Y BROWN MODIFICADO

d ) Ejemplos de contraste

En Serrano y Olalla (1999) se mu e s t ran los datos supuestos para poder efectuar el contraste entre losresultados que se obtienen de aplicar esta teoría y los reflejados en la litera t u ra técnica específica.

Se han elaborado las figuras 2.7 adjuntas para mostrar en el primer caso el contraste de resultadosobtenidos respecto de la tabla recomendada por Xanthakos (1991), y en el segundo caso, con la tota-lidad de datos manejados por Littlejohnlin y Bruce (1975).

El contraste general se puede considerar «ra zo n a blemente» bu e n o, si bien las amplias va riaciones quese pueden suponer en los datos de partida (mo; R C S ; RMR) hubieran posibilitado tanto un ajuste mu c h omejor (modificando estos parámetros para conseguir el resultado apetecido) como un ajuste peor, conresultados más dispares.

Figura 2.7. CONTRASTE ENTRE ESTA TEORÍA Y VALORES REALES O TOMADOS DE LA LITERAT U R A

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RMR (GSI)

Suponer que es válida la ley generalmente aceptada de que el valor de «ubr» es un 10% de la resis-tencia a compresión simple resulta válido, en general, con esta teoría basada en el equilibrio límite, paratodo tipo de rocas (mo va riando de 3 a 33), pero sólo cuando se encuentran en un estado sano o mu ys a n o ; es decir, con RMR va riando entre 80 y 100%.

No obstante, téngase en cuenta que este cálculo aquí desarrollado se puede considerar que propor-ciona, en general, valores conserva d o r e s.

3 . Aplicación de métodos energéticos y ley de fluencia asociadaLa aplicación del teorema de la cota superior de Dru cke r, Greenberg y Prager (1952)1 0 a una familia deesquemas de rotura posibilita la determinación de un valor extremo de la resistencia a la tra c c i ó n .

Los valores que resultan según esta teoría para la carga última a tracción en el caso de ley de fluenciaasociada representan una cota superi o r. Son mayores en anclajes «cortos» y muy superiores en ancla-jes «largos» a los obtenidos por el método del equilibrio límite; sobre todo en los casos (habituales) deesbeltez elevada, como se mu e s t ra en la figura 3.1 (Serrano y Olalla, 2000)1 1.

Figura 3.1. CONTRASTE ENTRE LOS CRITERIOS ENERGÉTICOS Y EL CRITERIO DE PLASTICIDAD ASOCIADA

Estos resultados indican que la ley de fluencia asociada (hipótesis, por otro lado, habitual en Mecánicade Rocas) no representa satisfa c t o riamente el comportamiento de la roca en la rotura .

La ley de fluencia asociada proporciona una hipótesis ex c e s i vamente optimista.

4 . Aplicación de criterios de fluencia no asociadaLas fuertes diferencias encontradas entre el uso de las teorías de equilibrio límite con dilatancia nu l a ,( a p a rtado 2), frente a la aplicación de teorías energéticas y fluencia asociada (apartado 3), llevó alL a b o ra t o rio de Geotecnia, en colaboración con la E.T. S. I . C. C. P. ( U. P.M.), a desarrollar una línea dei nvestigación para acotar recomendaciones y prospectar el comportamiento real de las rocas en la rotu-ra . Con ella se ha completado una tesis doctoral, llevada a cabo por la Ing. Silvia García Wo l f ru m1 2, quese presentará próximamente.

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4 . 1 . E QUIPO DE T R ACCIÓN PARA EL ENSAYO DE ANCLAJES

En primer lugar se diseñó y constituyó un equipo para efectuar ensayos de tracción en roca, simu l a n d oa escala la respuesta de anclajes reales en medios rocosos sanos, intactos.

En las fotos y esquemas adjuntos se presenta este equipo (Fotos 4.1 y 4.2; F i g s. 4 . 1 ) .

Fotos 4.1 y 4.2. E QUIPO DE T R ACCIÓN DE ANCLAJES

Figura 4.1. E S QUEMAS DEL EQUIPO DE ENSAYO A T R ACCIÓN DE ANCLAJES

El equipo, coloquialmente denominado como «tractómetro», está diseñado para ser portátil y posibilitarde esta manera la realización de ensayos en campo sobre pequeños anclajes, aunque inicialmente seha empleado para realizar ensayos en el labora t o ri o. Consta de:

– Una estru c t u ra resistente realizada con perfiles de alta ri g i d e z .

– Un actuador hidráulico capaz de producir hasta 210 bares de presión y una carga hasta 100 kN.

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– Medios de auscultación (precisión de movimientos hasta 0,25 mm) y de transmisión de datos.

– Un sistema info rmático de control automático.

4 . 2 . E N S AYOS REALIZADOS

A ) P r ev i a m e n t e, y con objeto de conocer la curva de resistencia intrínseca de los materiales emplea-d o s, se efectuaron determinaciones de Resistencia a Tracción Simple (RTS) para precisar su res-puesta en el campo de tra c c i o n e s. Es decir, se efectuaron ensayos uniaxiales (no indirectos, del tipoconocido como «bra s i l e ñ o » ) . Aspecto difícil y problemático de ensaya r.

En las fotos 4.3 adjuntas se mu e s t ran los aspectos de va rias probetas rotas.

También se realizaron ensayos tri a x i a l e s, con distintas presiones de confinamiento, para definir laresistencia intrínseca – en general, no lineal– de estos materi a l e s.

Fotos 4.3. PRENSA DE T R ACCIÓN Y PRO B E TAS ROTAS TRAS EL ENSAYO DE T R ACCIÓN DIRECTA

B ) Con este equipo, el «tractómetro», se han efe c t u a d o :

– 15 ensayos previos con un mortero específicamente preparado para simular comport a m i e n t o stípicos de roca.

– 10 ensayos en un bloque de gra n i t o.

– 10 ensayos en un bloque de arenisca.

– 7 ensayos en un bloque de caliza.

4 . 3 . R E S U LTADOS OBTENIDOS

Las fo rmas de rotura han presentado tanto el aspecto típico de anclajes «cortos» (Fotos 4.4) como deanclajes «largos» (Fotos 4.4).

Pa ra cada ensayo, estas curvas se han identificado digitalmente y de manera individualizada. En lasf i g u ras 4.2 y 4.3 se mu e s t ran los aspectos que presentan; el primero es un caso de un anclaje «cort o »y el segundo es un caso típico de anclaje «largo».

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Los primeros resultados, a expensas del análisis en profundidad del comportamiento dilatante no aso-c i a t i vo en la rotura de las rocas, mu e s t ran la relación directa entre la Tensión de arrancamiento (T) y lasdimensiones del anclaje (L; D = 19 mm) (Fig. 4 . 4 ) .

Fotos 4.4. A S P E C TOS QUE PRESENTA LA SUPERFICIE DE ROT U R A

Figura 4.2. FORMAS DE LA SUPERFICIE DE ROTURA DE ANCLAJES «CORTO S »

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Figura 4.3. FORMAS DE LA SUPERFICIE DE ROTURA DE ANCLAJES «LARGOS»

Figura 4.4. R E L ACIÓN ENTRE LA TENSIÓN DE ARRANCAMIENTO Y LAS DIMENSIONES DEL ANCLAJE (D = 19 mm)

5 . Resumen y conclusionesTeorías de equilibrio límite y dilatancia nu l a

1 . Se ha desarrollado un procedimiento para va l o rar la resistencia a la tracción de estru c t u ras ancladassuponiendo que el macizo rocoso resiste según el cri t e rio de rotura de Hoek y Brown (1980) y deHoek et al. ( 1 9 9 2 ) . Se ha supuesto una superficie de rotura axialsimétri c a .

2 . El procedimiento se basa en suponer que la rotura se produce a través del macizo rocoso y en dedu-cir aquella superficie de rotura que produce un mínimo de la resistencia al arrancamiento (Serrano y Olalla, 1999). Se ha utilizado el método va riacional de Euler para alcanzar la superficie de rotura .

3 . Se obtiene que la rotura en los anclajes se puede producir a través de dos tipos de rotura : una corres-pondiente a anclajes largos, y otra, a anclajes cort o s. En el caso de anclajes largos, la rotura se pro-duce prácticamente en su totalidad a través de la superficie cilíndrica teórica definida por el diáme-tro y la longitud. En el caso de anclajes cortos se producen superficies de arrancamiento muy abier-t a s. Te ó ricamente dan lugar a que en la superficie del terreno el círculo de rotura sea de radio ele-vado (hipótesis axialsimétri c a ) .

4 . La superficie de rotura se puede obtener en el caso de anclajes largos y cortos por medio de las figu-ras 2.2 y 2.3, respectiva m e n t e.

5 . En ambos casos (anclajes cortos o largos) se propone una fo rmulación (2.6) de la resistencia ala r rancamiento en donde el parámetro, C(n, ζ) se deduce del gráfico 2.4. En anclajes largos C(n, ζ)es prácticamente la unidad.

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6 . De manera simplificada, para anclajes largos se propone que la resistencia última a tracción (Tú l t) seaigual a Tu lt = f . RCS . πDL/100, en donde el valor de f(%) se puede deducir de las figuras 5.1 y 5.2,dependiendo del tipo de roca (m0) y del Índice Geomecánico de Bieniawski (RMR).

7 . Estos resultados se contrastan con valores reales, considerando el ajuste obtenido como ra zo n a bl e( F i g . 2 . 7 ) .

Métodos energéticos y dilatancia asociada

8 . Utilizando el teorema de la cota superior e hipótesis de dilatancia asociada se obtiene un valor máxi-m o. Los resultados que se alcanzan son muy superiores al procedimiento anterior y resultan ex c e s i-vamente optimistas.

Equilibrio límite y leyes de fluencia no asociada

9 . Basándose en ensayos a escala en rocas sanas, se ha desarrollado un procedimiento para va l o rar lasl eyes de fluencia (no asociativas) y para determinar la resistencia al arrancamiento utilizando de nu evoel procedimiento va riacional de Euler. Se ha construido un equipo para efectuar ensayos a escalareducida y se han determinado las leyes de fluencia en la rotura que mejor reproducen los resultadoso b t e n i d o s, con objeto de asignar la respuesta plástica bajo hipótesis de no asociatividad.

6 . B i b l i o g r a f í a( 1 ) Hoek, E. y Brown, E.T. ( 1 9 8 0 ) . « E m p i rical strength cri t e rion for rock masses». J. G e o t e c h . E n g i n g .

D i v i s i o n , A m e rican Society of Civil Engineers, Vo l . 106, GT9, pp. 1 0 1 3 - 1 0 3 5 .

( 2 ) Hoek, E., Wood, D. y Shah, S. ( 1 9 9 2 ) . «A modified Hoek-Brown cri t e rion for jointed rock masses». I n :Hudson J.A., editor. Proc., Rock Chara c t e rization Symp. of ISRM: E u r o ck 92. L o n d o n : B ri t i s hGeotechnical Society, 1 9 9 2 . p 209-14.

( 3 ) S e r ra n o, A. and Olalla, C. ( 1 9 9 9 ) . « Tensile Resistance of Rock Anchors». I n t . J. R o ck Mech. M i n . S c i . &G e o m e c h . A b s t r. 36, pp. 4 4 9 - 4 7 4 .

( 4 ) S e r ra n o, A. y Olalla, C. ( 1 9 9 4 ) . «Ultimate bearing capacity of rock masses». I n t . J. R o ck Mech. M i n . S c i .& Geomech. A b s t r. 31, 93-106.

( 5 ) Hanna (1982). « Foundations in tension. Ground anchors». Tra n s Te c h . P u bl i c a t i o n s, p p. 1 - 5 7 3 .

( 6 ) X a n t h a ko s, P. P. ( 1 9 9 1 ) . «Ground Anchors and Anchored Stru c t u r e s » . John W i l ey & Sons, Inc.

( 7 ) A l o n s o, E., Casanova s, J. y Alcove r r o, J. ( 1 9 9 6 ) .« A n c l a j e s » . Simposio sobre Estru c t u ras de Contenciónde Te r r e n o s. Ponencia 4.1. S a n t a n d e r. S e p t i e m b r e.

( 8 ) N o rm a t i ve Française (1986). «Recommandations concernant la conception, le calcul, l’exécution et lecontrôle des tirants d’ancra g e » . ( É t a blies par le Bureau Securi t a s. Eyrolles), pp. 1 - 5 9 .

( 9 ) Littlejohn, G.S. y Bru c e, D. A . ( 1 9 7 5 ) . « R o ck Anchors: State of the art . Pa rts 1, 2 and 3. G r o u n dE n g i n e e ri n g , Vo l s. 8 and 9. Pa rts 3, 4 and 6. L o n d o n .

( 1 0 ) D ru cke r, D. C., Greenberg, H.J. y Pra g e r. W. ( 1 9 5 2 ) . «Extended limit design theorems for continu o u sm e d i a » . Q u a rt . J o u r. Applied Maths, 1 8 . 3 7 1 .

( 1 1 ) S e r ra n o, A. y Olalla, C. ( 2 0 0 0 ) . «Libro homenaje a José Antonio Jiménez Salas. Geotecnia en el año2 0 0 0 » . C E D E X . M i n i s t e rio de Fo m e n t o. M a d ri d .

( 1 2 ) García Wo l f rum, S. ( 2 0 0 5 ) . «Anclajes en roca». Tesis doctoral (en elabora c i ó n ) .

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ANEJO I

F ó r mulas de aplicación práctica: resumen para anclajes larg o s

En una masa rocosa extremadamente fra c t u rada (RMR < 25), Hoek et al. (1992) propusieron un ligerocambio del cri t e rio original, generalizando el exponente «a». Puede alcanzar valores comprendidosdesde 0,5 hasta 0,65, de la siguiente manera :

σ1 – σ3 σ3 a

––––– = (m –––– + s) [ 5 . 1 ]RCS RCS

Los parámetros β y ζ a h o ra generalizados son:m1/k

βa = ––– RCS [ 5 . 2 ]Aa

Aaζa = –––––– s [ 5 . 3 ]m1 + (1 / k)

d o n d e :2 1/k 1 – a

Aa = 2 (– – ––) ; K = –––– [ 5 . 4 ]1 – a a

y la tensión de corte en el origen resulta:1+ a ––––

τ*0 ≡ τ0 / β = ζ 2 [ 5 . 5 ]

La ecuación que resulta es:Tu l t = πD Lτ*f0β C (n, ζ) ≅ πD Lβ ζ0,75 [ 5 . 6 ]

que para anclajes «largos» pasa a ser:a + 1 ––––

Tu l t = πD Lβ ζ 2 [ 5 . 7 ]

si el cri t e rio de rotura es el de Hoek y Brown modificado.

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