Análisis y Diseño de Algoritmos


Propiedades :

1.1.- f ( n ) O ( f ( n ) )

2. 2.- a ) O ( f ( n ) ) O ( g ( n ) ) f ( n ) g ( n )

b ) O ( f ( n ) ) = O ( g ( n ) ) f ( n ) g ( n ) y g ( n ) f ( n )

3.- Si t ( n ) O ( f ( n ) ) y t’ ( n ) O ( g ( n ) )

a ) c * t ( n ) O ( f ( n ) )

b ) t ( n ) + t ‘ ( n ) O ( f ( n ) + g ( n ) ) = O [ max ( f ( n ) , g ( n ) ) ]

si f ( n ) es comparable asintóticamente con g ( n )

c ) t ( n ) * t’ ( n ) O ( f ( n ) g (n ) )

Ej. : t ( n ) = 3n² + 6n = ( 3n² + 6n ) = { 1º prioridad }

= O [ max ( 3n² , 6n ) ] = { 3º } = O ( 3n² ) ;

; 3n² O ( n² ) = { 3º a }

Ej. : t ( n ) = 4 log n + 6n = O ( log n + n ) = O [ max ( log n , n ) ] = O ( n )

4 log n O ( log n )

6n O ( n )


Operaciones Conjuntísticas :

1. O ( f ( n ) ) + O ( g ( n ) ) = O ( f ( n ) + g ( n ) ) = 0 [ max ( f ( n ) , g ( n ) ) ]

si f y g son comparables

El conjunto suma esta formada por funciones se la forma t ( n ) + t’ ( n ) que pertenece respectivamente al 1º y 2º sumando.

2. O ( f ( n ) ) * O ( g ( n ) ) = O ( f ( n ) g ( n ) )

Producto conjustístico esta formado por funciones del tipo t ( n ) * t‘ ( n ) que pertenecen respectivamente al primer factor y al segundo factor.

Ej. : t ( n ) = ( n² + n ) + log n (1ª) O [ ( n² + n ) log n ] = O [ ( n² + n ) O ( log n )] =

max ( n² , n )

= O ( n² ) O ( log n ) = O ( n² log n )


Notación Asintótica con varios Parámetros

Si el tiempo de un algoritmo depende de dos parámetros de tiempo :

Sea f : N x N R*

( m , n ) f ( m , n )

O ( f ( m , n ) ) = { t : N x N R* | ( c > 0 ) ( m0 , n0 N )

( m m0 ) ( n n0 )

t ( m , n ) c f ( m , n ) }

Ej. : la multiplicación normal se números de longitudes m y n es un tiempo :

T ( m , n ) ( m n )

Del mismo modo se definen :

( f ( m , n ) ) y ( f ( m , n ) )

f ( n , m ) = O ( g ( n , m ) ) si c R c > 0 n0 N

| f ( n , m ) | c | g ( n , m ) |


Notación Asintótica Condicional

Definición :

F ( n ) = O ( g (n ) / P ( n ) ) si c > 0 c R n0 N

P ( n ) : N B | f ( n ) | c | g ( n ) | P ( n ) n 1

T ( n ) = O ( n² | n es par )

T ( n ) = O ( log n | n = ( 2 exp k ) )


1.1. Análisis de Algoritmos Iterativos

1 La complejidad de toda asignación , lectura o escritura de variables simples es constante es decir O ( 1 ).

2 El tiempo de ejecución de una secuencia de proposiciones se determina por la regla de la suma.

3. El tiempo de ejecución de una proposición if, es el costo de las proposiciones que se ejecutan condicionalmente, Proposiciones verdaderas+ proposiciones falsas, más el tiempo para evaluar la condición

4. El tiempo para ejecutar un ciclo, corresponde a la suma de las proposiciones que contiene dicho ciclo.

5. Si existen ciclos anidados, el tiempo de ejecución del ciclo mas externo corresponde a la multiplicación de todos los ciclos.

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