Análisis Vectorial

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Análisis V ectorial  ESCALARES Y VECTORES La definición de una cantidad escalar es verdaderamente simple, el termino escalar se refiere a una cantidad que se representa con un simple numero real ya sea positivo o negativo. La definición de vector es un tanto mas compleja comparada a la definición del escalar. Una cantidad vectorial tiene magnitud y dirección en el espacio (el espacio se refiere a las dimensiones del sistema que para el caso de los campos eléctricos y magnéticos el estudio se reduce a dos y tres dimensiones), como ejemplo de una cantidad vectorial están la fuerza, la velocidad, la aceleración entre otros. Cada cantidad tiene una magnitud y una dirección. Para entender mejor el concepto de vector se hace una analogía con el desplazamiento de un punto ya que tienen las mismas propiedades matemáticas: para empezar se toma un punto de partida P1 y se mueve en una trayectoria arbitraria hasta el punto P2, el efecto neto de este movimiento es igual que si moviera en linea recta (en la figura representada por D). esta recta D recibe el nombre de desplazamiento y se caracteriza por tener una magnitud (su longitud) y una dirección (de P1 a P2) como lo indica la flecha.  representacion de un vectorr la representación geométrica de un vector se describe a continuación en un espacio vectorial de tres dimensiones, para otra dimensiones la abstracción es sencilla. Esto denota la magnitud del vector y su dirección va de el origen al punto final.  OPERACIONES CON VECTORES SUMA VECTORIAL dados los siguientes vectores A y B 

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Analisis de VEctores

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Análisis Vectorial 

ESCALARES Y VECTORES

La definición de una cantidad escalar es verdaderamente simple, el termino escalar serefiere a una cantidad que se representa con un simple numero real ya sea positivo o

negativo.

La definición de vector es un tanto mas compleja comparada a la definición del

escalar. Una cantidad vectorial tiene magnitud y dirección en el espacio (el espacio se

refiere a las dimensiones del sistema que para el caso de los campos eléctricos y

magnéticos el estudio se reduce a dos y tres dimensiones), como ejemplo de una

cantidad vectorial están la fuerza, la velocidad, la aceleración entre otros. Cada

cantidad tiene una magnitud y una dirección. Para entender mejor el concepto de

vector se hace una analogía con el desplazamiento de un punto ya que tienen las

mismas propiedades matemáticas: para empezar se toma un punto de partida P1 y se

mueve en una trayectoria arbitraria hasta el punto P2, el efecto neto de estemovimiento es igual que si moviera en linea recta (en la figura representada por D).

esta recta D recibe el nombre de desplazamiento y se caracteriza por tener una

magnitud (su longitud) y una dirección (de P1 a P2) como lo indica la flecha.  

representacion de un vectorr

la representación geométrica de un vector se describe a continuación en un espacio

vectorial de tres dimensiones, para otra dimensiones la abstracción es sencilla. Esto

denota la magnitud del vector y su dirección va de el origen al punto final. 

OPERACIONES CON VECTORES 

SUMA VECTORIAL 

dados los siguientes vectores A y B 

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la suma vectorial se define componente a componente como se muestra a

continuación 

la resta de vectores es un proceso análogo a la suma definido según los signos de

forma similar al álgebra escalar.

PRODUCTO PUNTO 

Dados dos vectores A y B, el producto punto se define como la suma de los productos

componente a componente. 

para el producto punto hay que considerar la siguiente convención 

En principio podemos observar que bajo esta definición el producto escalar entre dos

vectores se realiza como si estuviéramos multiplicando dos polinomios 

PRODUCTO CRUZ 

para las aplicaciones físicas y en nuestro caso para los campos eléctricos y

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magnéticos el producto vectorial o cruz es de de vital importancia. El producto vectorial

permite encontrar un vector normal a los dos vectores objeto del estudio (A y B).  

como en el producto punto esta operación entre vectores tiene las siguientes

restricciones: 

aplicando las restricciones se tiene, 

esta expresión se hace mas clara mediante el uso del determinante  

VECTORES UNITARIOS 

un vector unitario es aquel cuya magnitud es la unidad y generalmente se toma como

una cantidad sin dimensiones un ejemplo bastante común de vectores unitarios son

los que se toman en dirección de los ejes coordenados x,y,z. Un vector unitario en unadirección dada esta definido por por un vector en esa dirección divido entre su

magnitud. 

SISTEMA DE COORDENADAS CILINDRICAS 

en las coordenadas cilíndricas la localización de un punto P se especifica por medio de

tres cantidades, r , θ, z. Las definiciones de estas cantidades se especifican claramente

en la gráfica, donde también se ilustran los vectores unitarios y el vector de posicióndel punto. Se puede observar que cuando el vector de posición se proyecta sobre el

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plano xy, r es la longitud de esta proyección, mientras que θ es el ángulo que dicha

proyección forma con el eje x positivo, z es la misma que en el sistema de

coordenadas rectangulares.

Las relaciones entre coordenadas cartesianas y cilíndricas se describen a

continuación: 

ahora se pueden definir tres vectores unitarios ortogonales entre si: z es el mismo que

en coordenadas rectangulares, el vector unitario para r se elige de manera que este en

la dirección en que r aumenta y sea perpendicular a z, entonces es paralelo al plano

xy. Θ se define perpendicular a los dos anteriores y en la dirección indicada.  

COORDENADAS ESFERICAS

la figura muestra las coordenadas esféricas (ρ, φ, θ) del punto P en el espacio. La

primera coordenada esférica ρ es simplemente la distancia del origen a P . la segunda

coordenada es φ y es el ángulo 0P y el eje z positivo, φ siempre puede ser elegido

entre el intervalo [0, π]. por ultimo, θ es el ángulo familiar de las coordenadas

cilíndricas y siempre vamos a poder elegirlo en el intervalo [0, 2π].

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la relación de las coordenadas esféricas con las cartesianas se ilustra a continuación: 

GRADIENTE 

El gradiente de un campo escalar es un vector  que representa la magnitud y

dirección de la razón de incremento espacial máximo de un escalar. 

Por ejemplo, la temperatura de un salón, la altitud de un terreno o el potencial

eléctrico de una región. El gradiente de dicha función escalar es la herramienta

que nos va a permitir saber cual es el incremento máximo de esta medida.

 A continuación podemos observar el gradiente de campos escalares

representado por las flechas azules. 

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El campo eléctrico, es un campo vectorial que se puede representar matemáticamente en

función

del gradiente así:

Existen muchos campos vectoriales que pueden escribirse como el gradiente de un

potencial escalar, uno de ellos es el campo electrostático, que deriva del potencial

eléctrico. 

Todo campo que pueda escribirse como el gradiente de un campo

escalar se denomina potencial , consevativo o irrotacional.  Así, una fuerza conservativa deriva de la energía potencial como 

 E ⃗  =−∇V  

Ejemplo:Dada la función f ( x ,y ,z ) = 2 xy  + 5y 2 − sin(z). su vector gradiente es:

∇ f  =(∂ f  ∂ x,∂ f  ∂ y,∂ f  ∂ z )=(2 y,2 x+10 y,−cos( z )) 

DIVERGENCIA 

Divergencia de una función:Es una función escalar que resulta de realizar el producto

punto del operador nabla con una función vectorial. Tiene como argumento una

función vectorial y produce como resultado una función escalar. 

∇⋅ E ⃗  

Divergencia

Y se puede definir utilizando el concepto de flujo, de esta manera: 

∇⋅ E ⃗  =limτ →0∫ s E ⃗  ⋅\vectdaτ  

La explicación de la anterior ecuación es:

En un determinado punto, la función divergencia de E , es igual al límite del flujo que

atraviesa a la superficie S de adentro hacia afuera, dividido por el volumen encerradopor la superficie y que contiene al punto tiende a cero.

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La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo

saliente de un campo vectorial sobre la superficie que rodea un volumen.  

La divergencia en un punto se puede clasificar en: 

  DIVERGENCIA POSITIVA: Cuando los vectores salen del punto.   DIVERGENCIA NEGATIVA: Cuando los vectores entran al punto.

  DIVERGENCIA CERO: Cuando la cantidad de vectores que salen yentran al punto es la misma. 

ROTACIONAL:El rotacional tiene como argumento una función vectorial yproduce como resultado otra función vectorial. 

Vector rotacional

∇×\vect E  

Utilizando el concepto de integral de línea, podemos definir a la

componente en la dirección û del rotacional,de esta manera: 

[∇×\vect E ]u=limS u→ 0∮c\vect E ⋅\vectdlS u 

La explicación de la anterior ecuación es:

En un determinado punto, la componente en la dirección û de la funciónrotacional de E, es igual al límite de la circuitación de E a lo largo del

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contorno cerrado C (C está en un plano perpendicular a û) dividido por el

área S_u (S_u es una superficie encerrada por el contorno C y que pasa

por el punto ), cuando S_u tiende a cero.

Un campo vectorial que posee un rotacional cero se dice que es un

campo vectorial con rotacional nulo (también, campo vectorial irrotacionalo conservativo). Un campo vectorial con divergencia cero se conoce

como campo vectorial con divergencia nula (o solenoidal).

Si por ejemplo, un campo vectorial F(r) puede escribirse como como el gradiene

de un campo escalar g(r), entonces F(r) es inevitablemente un campo vectorial

con rotacional nulo, como resultado de la identidad vectorial: 

∇× [∇  g (r )]=0 

En forma semejante, si el campo vectorial F(r) puede expresarse como el

rotacional de otro campo vectoria G(r), entonces es posible demostrar que F(r)

es un campo vectorial con divergencia nula gracias a la identidad vectorial:  

∇ . [∇× G(r )]=0 

Las definiciones de los campos vectoriales con rotacional y divergencia nulos no

son ni mutuamente excluyentes ni mutuamente inclusivas. Es posible que un

campo vectorial tenga, al mismo tiempo, rotacional nulo y divergencia nula (p.e.F(r)=2x). También es posible que un campo vectorial tenga, al mismo tiempo un

rotacional no nulo y una divergencia no nula (p.e. F(r)=yx + zz) 

CAMPO 

Es una región del espacio,o todo el espacio, el cual tiene asociado a cada uno de

sus puntos, propiedades físicas determinadas por funciones escalares y

vectoriales. 

Por otro lado, Campo en física es la región en la que se ejerce sobre un

objeto una fuerza gravitatoria, magnética, electrostática o de otro tipo. Se

supone que estas regiones están recorridas por líneas de fuerza (líneas

de flujo) imaginarias, muy juntas, donde el campo es más intenso, y más

espaciadas, donde es más débil. A continuación se mostrara la gráfica de un campo eléctrico. 

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Campo electrico

Para una mejor explicacion podemos ver el siguiente video.

El concepto de campo fue desarrollado por James Clerk Maxwell en su

teoría electromagnética. 

o  Campo: Asignación de un conjunto de números (usualmente 3) a cadapunto del espacio.

o  Campo Gravitatorio: Campo de fuerzas que representa lainteracción gravitatoria. 

o  Campo Electrostático: Describe la influencia que una omás cargas ejercen sobre el espacio que les rodea.

o  Campo Electromagnético: Campo físico, de tipo tensorial,que afecta a partículas con carga eléctrica. 

o  Campo Tensorial: Asignación de una aplicación multilineala cada punto de un dominio del espacio.

o  Campo Espinorial: Tipo de campo físico que generaliza losconceptos de campos vectoriales y tensoriales.

o  Campo Vectorial: Construcción del cálculo vectorial queasocia un vector a cada punto en el espacio euclídeo.

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TEOREMA FUNDAMENTAL DEL GRADIENTE 

El teorema del gradiente establece que si existe una función escalar, y de ella obtenemos dos puntos y los unimos por

medio de una curva C, la integral de línea que describe el incremento entre dichos puntos es siempre el mismo. sin importar

la trayectoria que se escoja entre los puntos. 

El teorema del gradiente aplica tanto para funciones F(x,y,z) como parafunciones F(x,y) y viene representado matemáticamente por la siguiente

expresión: 

\int_{(L)}{\nabla{f}}.(ds)}=f(b)-f(a)

En donde

∇ f  .(ds) 

es el incremento infinitesimal. Además, cuando hacemos la integral

estamos sumando todos los incrementos de la función en todas las

direcciones.

 A continuación se muestra una gráfica que ilustra mejor el concepto.

Ilustracion del teorema del gradiente

veamos un ejemplo.

sea:

t = xy2 

En donde a=(0,0,0) y b=(2,1,0)Verificar que se cumple el teorema del gradiente

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En la grafica se muestra una linea recta que une los puntos a y b. y podemos observar en ella,

tres diferentes recorridos por los cuales se pueden unir los dos puntos.

comencemos por el camino I

sabemos que:

d ℓ=dxi+dyj+dzk  

la variacion de x es entre cero y dos, mientras que Y y Z no tienen ningun cambio.

por lo tanto

d ℓ=dxi 

por el camino II

d ℓ=dyjx=2 

puesto que el incremento en z es cero y el valor de x es 2.

Podemos obtener entonces el gradiente de la funcion. y se tiene como resultado.

∇(t )= y2i+2 xyj+ok  

reemplazando estos valores en el gradiente de la funcion se produce la expresion

∇(t )= y2+4 y 

∇(t )dl =4 ydy 

entonces como no hubo incremento en la direccion i tenemos que:

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Y por el camino III

X varia entre 0 y 2, Y varia entre 0 y 1, y Z=0

dl =dxi+dyj 

∇(t )(ds)= y2dx+2 xydy 

y al integrar nos queda como resultado:

=14 x2dx+ x22dx 

=34 x2dx 

entonces:

∫2034 x2dx=2 

Referencias: 

Serway Física. Editorial McGraw-Hill (1992) 

Michael valero, Física Fundamental segunda edición [1982-1986]

http://es.wikipedia.org/wiki/Analisis_vectorial [ visitado: 15/10/09]

http://www.youtube.com/watch?v=FH2PU2wgx6M [video]

HAYT, William H., Buck, Teoria electromagnetica 7a edicion, Mc Graw Hill.

WANGSNESS Ronald k, Campos electromagneticos, editorial LIMUSA mexico.