Analisis-Sismico-De-Edificios - J. PIQUE DEL POZO

VIBRACIN DE SISTEMAS DE VARIOS

GRADOS DE LIBERTAD

8.1 INTRODUCCIN

Cuando se trata con sistemas estructurales reales es necesario, en general, considerar varios grados de libertad, cada uno correspondiente a una coordenada independiente. En general podra pensarse que una estructura real tiene infinitos grados de libertad, sin embargo es posible reducir su nmero a uno finito considerando el hecho que los desplazamientos intermedios de los elementos pueden ser expresados en funcin de los desplazamientos de los nudos extremos.

El nmero de grados de libertad debera ser igual al nmero de componentes de desplazamiento necesario para definir adecuadamente la deformada del sistema bajo el tipo de excitacin de inters, y como consecuencia poder determinar las fuerzas internas de manera suficientemente aproximada.

En el caso de los edificios sometidos a cargas ssmicas, la excitacin principal son aceleraciones horizontales (y una vertical que es poco importante en general o que en caso de serlo puede ser tratada independientemente). Esto se traduce en fuerzas de inercia horizontales que imprimen a la estructura una deformacin lateral y cuyos grados de libertad independientes importantes son los desplazamientos horizontales de los nudos.

Existen otras consideraciones aplicables a este caso, como el hecho que la masa est principalmente concentrada en el nivel de cada entrepiso y por consiguiente las fuerzas de inercia son fuerzas horizontales aplicadas al nivel de cada entrepiso. Esto sugiere que los grados de libertad dinmicos independientes son aquellos asociados con la direccin de las fuerzas. Lo cierto es que un edificio sometido a la accin de un sismo es un sistema de varios grados de libertad por lo que es importante analizar tericamente el tratamiento de dichos sistemas.

2 CAP. 8: VIBRACIN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

En las secciones iniciales del presente captulo se fundamentar, basados en los conceptos bsicos del anlisis dinmico de edificios, las simplificaciones hechas a ciertos sistemas. Dichas simplificaciones son aceptadas por muchos reglamentos modernos de construccin cuando hacen uso de mtodos dinmicos de diseo. En la Secc. 8.2 se ver la diferencia entre un modelo de acoplamiento cercano y lejano, usando para esto un prtico de 3 niveles. Despus en la Secc. 8.3 y 8.4 con la finalidad de que los conceptos fundamentales y procedimientos numricos sean asimilados con facilidad haremos uso de una estructura sencilla ( prtico de 2 niveles mostrado en la Fig. 8.3 ). Ello significa que para sistemas ms complejos los conceptos tambin son vlidos, tal como se ver en la Secc 8.4., con la nica diferencia de que en la mayora de los casos se tendr que recurrir a programas de computo avanzados para realizar el anlisis, sin embargo, la ltima palabra la tiene el Ingeniero a cargo del anlisis y no la computadora que no es mas que una herramienta [ Ref. 11 ]. Finalmente, en la Secc. 8.5 se tocar el tema acerca de los sistemas continuos que son los que en realidad nos permiten representar a los sistemas estructurales con su masa y rigidez a lo largo de los elementos que los componen.

8.2 MODELOS

El modelo ms simple de un sistema de varios grados de libertad corresponde a una serie de masas interconectadas por resortes sin peso, como se muestra en la Fig. 8.1. Este modelo se denomina un sistema de acoplamiento cercano. Estrictamente slo es aplicable a las vibraciones laterales de un prtico con vigas infinitamente rgidas y despreciando la deformacin axial de las columnas, o tambin a algn sistema vibratorio cuyas deformaciones sean principalmente desplazamientos laterales. Por esa razn tambin se lo denomina modelo tipo cortante.

Fig. 8.1 Modelo de acoplamiento cercano

En una estructura real, sin embargo, las masas estn conectadas por elementos flexibles y el modelo anterior no es aplicable. El modelo real sera uno en que las

1m

2m

3m

2m

1P

2P

3P

1k

2k

3k

2P

)( 233 uuk

)( 122 uuk

22um &&

SECC. 8.3: GRADOS DE LIBERTAD DINMICOS 3

Dr. JAVIER PIQU DEL POZO

masas se encuentran todas interconectadas dando origen a lo que se denomina modelo de acoplamiento lejano. Este modelo se representa en la Fig. 8.2.

Fig. 8.2 Modelo de acoplamiento lejano

8.3 GRADOS DE LIBERTAD DINMICOS

Los grados de libertad dinmicos son aquellos en los cuales se generan las fuerzas inerciales ( masa por aceleracin o momento de inercia por aceleracin angular). Por ende, dichos grados son los que interesarn para realizar el anlisis.

En la Fig. 8.3.a se muestra se muestra el modelo de una edificacin de 2 niveles, conformada por vigas y columnas. Su planta esta esquematizado en la Fig. 8.3.b, en ella se resalta las columnas cuyos ejes fuertes son paralelos al eje y . En la Fig. 8.3.c se muestra un prtico secundario tpico. Finalmente en la Fig. 8.3.d se puede apreciar un prtico principal tpico, el cual ser usado, de aqu en adelante, para poder explicar los conceptos.

1m

2m

3m

1P

2P

3P


Fig. 8.3 Edificacin de 2 niveles: ( a ) Modelo. ( b ) Planta. ( c ) Prtico Secundario.

( d ) Prtico Principal.

1L 1L 1L

2L

2L

x

y

( a ) Modelo de una edificacin de 2 niveles.

( b ) Planta de la edificacin.

x

( c ) Prtico secundario tpico. Elevacin y .

( d ) Prtico Principal Tpico. Elevacin x .

z

2L2L

1L 1L 1L

zy

x

y

z

[Figura obtenida del programa SAP 2000 versin educacional]

SECC. 8.3: GRADOS DE LIBERTAD DINMICOS 5


Si se quisiera analizar el prtico plano principal ( ver la Fig. 8.3.d ) considerando todos sus grados de libertad (GDL) , vemos que este tendra 24 GDL estticos tal como se muestra en la Fig. 8.4.

Fig. 8.4 Prtico plano principal con sus 24 GDL estticos.

Sin embargo, al ocurrir movimiento lateral, solo seran importantes las fuerzas de inercias generadas por el peso de cada piso (ver Fig. 8.5 ) en los que adems las deformaciones en su plano son despreciables. Lo cual indicara que ahora tenemos un sistema de 2 GDL dinmicos, que son precisamente los desplazamientos laterales 1 y 2.

Fig. 8.5 Prtico plano principal con 2 GDL dinmicos.

Lo dicho en el prrafo anterior no implica que los restantes giros y desplazamientos se anulen, sino que, aunque asuman valores distintos a cero, las fuerzas de inercia son tan pequeas que pueden despreciarse.

1 2

3

4 5

6

7 8

9

10 11

12

13 14

15

16 17

18

19 20

21

22 23

24

1m1

2m2


Es comn que cuando se analicen edificaciones se suponga que los pisos son diafragmas rgidos en su plano ( Fig. 8.5 ), lo que permitira expresar el movimiento de cualquier punto del piso en trminos de tres grados de libertad: un giro alrededor de un eje vertical y dos desplazamientos horizontales. Cuando un prtico, en este caso el de la Fig. 8.5, esta ligado a un piso rgido, los valores que tomen los tres GDL mencionados son los que definirn el desplazamiento lateral en cada nivel. Por otro lado, debido a que mayor parte de las masas estn directamente soportada por los pisos, es aceptable suponer que las masas estn concentradas en los mismos, de manera que las fuerzas de inercia generadas por desplazamientos laterales se pueda expresar como productos de la masa en cada piso por sus aceleraciones lineales ( en dos direcciones horizontales perpendiculares, para nuestro caso ejes x e y ) y del momento de inercia de dicha masa por la aceleracin angular alrededor del eje vertical que pasa por el centro de masas.

Segn lo anterior, realizar el anlisis dinmico de un edificio con modelos que tiene tres grados de libertad por piso(un giro en planta y un desplazamiento en x e y) es aceptable. Pero se debe tener presente que la hiptesis de que los pisos se comportan como diafragmas rgidos implica que las vigas no tienen deformaciones axiales.

Cuando por simetra los pisos no rotan alrededor de ejes verticales, el edificio o sus componentes se puede modelar como un sistema de 1 GDL (desplazamiento lateral ) por piso ( u1 y u2 ) como se puede ver en la Fig. 8.6, que es una simplificacin del prtico plano principal con 2 GDL dinmicos mostrado en la Fig. 8.3. En la Fig. 8.4 se puede observar adems que k1 y k2 son las rigideces laterales de cada piso (el clculo aproximado de dichas rigideces fue enseado en el Cap. 7).

Fig. 8.6 Simplificacin del prtico plano principal con 2 GDL dinmicos

Se ha podido apreciar como se redujo un sistema de 24 GDL, lo cual implicaba una matriz de rigidez de 24x24, a uno de 2 GDL que implica el trabajar con una matriz de rigidez de 2x2. En resumen lo hecho fue una condensacin esttica , quedando as matrices de rigideces y de masas que corresponden a los mismos grados de libertad.

1m

2u

1u2k

1k

2m

SECC. 8.4: VIBRACIN FORZADA Y LIBRE DE SISTEMAS DE VARIOS GDL. AMORTIGUAMIENTO 7


8.4 VIBRACIN FORZADA Y LIBRE DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD (GDL). AMORTIGUAMIENTO

En esta seccin nuestro estudio estar basado en el sistema simplificado de 2 GDL Dinmicos visto en la Fig. 8.6, en el que adems de las fuerzas inerciales tambin se considerarn fuerzas actuantes en cada GDL tal como se puede observar en la Fig..8.7. Primeramente obtendremos una expresin general para la vibracin forzada del sistema no amortiguado. Luego haremos algunas simplificaciones para poder obtener la vibracin libre (en la Secc. 8.4.2 presentaremos la expresin general que considera el amortiguamiento). Para poder estudiar las propiedades bsicas de un sistema como el que se muestra en la Fig. 8.7 se har uso del modelo tipo cortante (ver Secc. 8.2).

Fig.8.7 Sistema no amortiguado simplificado mas fuerzas actuantes.

El desplazamiento relativo es esquematizado en la Fig. 8.8 debido a su importancia mencionada en el Cap..5. Puesto que para poder obtener las fuerzas del resorte, en el diagrama de cuerpo libre del sistema que se muestra en la Fig. 8.9 se emplea el desplazamiento relativo.

Fig.8.8 Desplazamiento relativo generado en un sistema de 1 GDL

V

k

kV =

1m

)(2 tfP

)(1 tfP

2k

2m

1k


Fig.8.9 Diagrama de cuerpo libre ( DCL ) del Sistema Simplificado.

De la Fig.8.9 aplicando equilibrio dinmico para el primer y segundo nivel, resulta:

)()()()( 1221211111221111 tfPukukkumtfPuukukum =++=+ &&&& (8.1) )()()( 2221222212222 tfPukukumtfPuukum =+=+ &&&& (8.2)

Ordenando matricialmente las Ecs. (8.1) y (8.2) se tiene:

)(0

0

2

1

2

1

22

221

2

1

2

1 tfPP

uu

kkkkk

uu

mm

=

++

&&&&

O lo que es lo mismo escribir:

)(tfFKUUM =+&& (8.3) donde:

=

=

=

2

1

2

1

2

1 ,PP

Fyuu

Uuu

U &&&&&&

son el vector aceleracin, desplazamiento y fuerza (P1 y P2 son constantes) en

ese orden; y

2u

2

1m

2m

1k

2k

11um &&

)(2 tfP

)(1 tfP

1u

1

1111 ukk =

)( 12222 uukk =)( 12222 uukk =

22um &&



+=

=22

221

2

1

00

kkkkk

Kym

mM

son la matriz masa y de rigidez respectivamente.

Antes de proseguir con la simplificacin de la Ec. (8.3) es necesario enfatizar que de manera anloga, a lo que hemos hecho con 2 GDL, se procede cuando se tiene un sistema de n GDL (ver Fig. 8.10), el cual tendr por consiguiente n frecuencias naturales y n formas modales o modos asociados.

Fig. 8.10 Modelo de acoplamiento cercano para un sistema forzado de n GDL sin

amortiguamiento

Haciendo el diagrama de cuerpo libre de cada masa (solo se muestra para m2), la correspondiente ecuacin de equilibrio dinmico puede escribirse como:

)()( 111 tfP = )u u( k u u k u m iiiii iiii + ++&& ordenando: nipara)t(fP = u k - u )k + k( + u k - u m iiiiiiiiii



0

0)(

=+==+

KUUMtfFKUUM

&&&&

(8.8)

SECC. 8.4.1.1: ECUACIN CARACTERSTICA 11


donde 0 representa un vector con n componentes, todas ellas cero. Las condiciones iniciales son:

00 )0()0( UUyUU && ==

Recordemos que en el Cap. 5 se observ que un sistema de 1 GDL sometido a una perturbacin inicial desde su posicin de equilibrio estara forzado a vibrar con un movimiento peridico de perodo T o frecuencia circular /T = 2 , que es una caracterstica del sistema = k/M)( 2 . Por analoga es interesante averiguar si un sistema de varios grados de libertad, al que se le imponen un juego inicial de desplazamientos (o velocidades) vibrar armnicamente, manteniendo la forma relativa de estos desplazamientos y variando solamente sus amplitudes por un factor de proporcionalidad. Basado en esto, para nuestro sistema de 2 GDL el vector de desplazamientos vendra a ser:

)t(SenXU)t(Senxx

)t(Senx)t(Senx

uu

U +=+

=

++=

=

2

1

2

1

2

1

donde x1 y x2 son los mximos desplazamientos de los pisos 1 y 2 respectivamente (los cuales obviamente no son funcin del tiempo).

Derivando la Ec. (8.9) dos veces, obtenemos:

)t(SenXU += 2&& (8.10) Reemplazando las Ecs. (8.9) y (8.10) en la Ec. (8.8) se tiene:

( ) ( ) 02 =+++ )t(SenXK)t(SenXM Al simplificar la ltima expresin se obtiene:

02 = XMXK (8.11)

8.4.1.1 Ecuacin Caracterstica

El problema, en la Ec. (8.11), es determinar si es que hay valores de 2 y

vectores correspondientes X que satisfacen esta ecuacin matricial, adems de la solucin trivial 00 , X = = . Este es un problema matemtico llamado de valores caractersticos o de valores propios [ Ref. 9 ].

Al factorizar el vector de mximos desplazamientos en la Ec. (8.11), el problema a considerar resulta de la forma:

0)(2 = XMK (8.12)

(8.9)


La Ec. (8.12) tambin es vlida para sistemas de n GDL. Observndose que dicha ecuacin representa un sistema de n ecuaciones algebraicas lineales con n incgnitas (las componentes del vector X ). Como el segundo miembro es igual a cero, ste es un sistema homogneo. No tendr una solucin nica (la solucin trivial 0 = X ) si el determinante de la matriz de coeficientes ( )MK 2 se hace cero (matriz singular). La expansin del determinante:

02 = MK (8.13) resultar en una ecuacin algebraica de grado n en 2 , llamada la ecuacin

caracterstica. Las races de esta ecuacin sern los valores deseados de 2 que hacen cero el determinante.

Si 2i es la raz isima de la ecuacin caracterstica, y es una raz simple, el rango de la matriz )( 2MK i ser 1-n , indicando que el sistema de ecuaciones: 0)( 2 = XMK i (8.14) tiene una ecuacin que es una combinacin lineal de las otras. Esto implica que uno puede eliminar esta ecuacin, dar un valor arbitrario a una de las componentes del vector X y resolver un sistema de 1-n ecuaciones con 1-n inggnitas (las componentes restantes de X ) cuyo segundo miembro ya no es cero. Este se obtiene pasando al segundo miembro los trminos que contienen las componentes seleccionadas de X . As es posible encontrar las otras 1-n componentes y definir un vector iX tal que:

iii XMXK2= (8.15)

Es importante resaltar que si a la componente de X escogida arbitrariamente (el desplazamiento de la ltima o la primera masa, por ejemplo) se le hubiera dado un valor doble que el supuesto, todas las otras componentes del vector hubieran sido multiplicadas por dos. Por consiguiente el vector X i se define en funcin de un factor multiplicador constante y todas sus componentes pueden ser escaladas arbitrariamente para arriba o para abajo (Es claro que para cualquier vector Xa = Y ii ,

iiiiii YMXMaXKaYK22 === , y entonces iY tambin es una solucin).

Para nuestro sistema de 2 GDL, al hallar la solucin de la Ecuacin Caracterstica , Ec. (8.13), obtendramos los siguientes valores caractersticos:

.

los cuales son valores positivos (por ser trminos cuadrticos) cuyos subndices se designan luego de haberlos ordenado de menor a mayor, adquiriendo de esta

222

211 == y

SECC. 8.4.1.2: FRECUENCIAS Y PERIODOS NATURALES 13


manera dichas frecuencias un significado fsico. En general para un sistema de n GDL se tiene:

nidondeii ,...,12 ==

adems:

nn

nn

TTTTy

>>>>


Debido a que el sistema presenta un grado de dependencia slo se puede usar una ecuacin. En general para un sistema de n GDL se despejan (n-1) valores de x en funcin del restante. Para nuestro caso en particular, usando la primera fila tenemos:

( ) ( ) 02211221 =+ iii xkxmkk (8.17) Despejando la Ec. (8.17) para:

( )

( )

=

+===

=

+===

22

122

122

12

22122

2212

21

111

112

12

12121

2111

/2

/1

xx

X

xk

mkkx

ctexxi

xx

X

xk

mkkx

ctexxi

se ve adems de la Ec. (8.17) que constante para cualquier valor de la frecuencia.

Finalmente, basados en la la Ec. (8.9), los modos ( ver Fig. 8.11 ) vendran a ser:

Fig. 8.11 Modos de vibracin de la sistema.

=ii xx 21 /

=

21

111 x

xX

=

22

122 x

xX

11x

21x

12x

22x

)( 111 += tSenXU )( 222 += tSenXU( a ) Modo 1 ( b ) Modo 2

SECC. 8.4.1.4: NORMALIZACIN DE LAS FORMAS DE MODO 15


Se debe resaltar que los modos se dan nicamente en el rango elstico, ya que desaparecern cuando se entre al rango inelstico ( para sismos severos ).

8.4.1.4 Normalizacin de las Formas de Modo

Debido a que las formas modales estn siempre definidas en trminos de un factor constante, es posible escalarlas arbitrariamente. Se pueden usar diferentes criterios para lograr ello.

1.-) A veces los vectores se escalan de manera que la mxima componente en trminos absolutos se iguala a la unidad.

2.-) En otros casos una componente dada (por ejemplo el desplazamiento de la masa del ltimo piso) es seleccionada arbitrariamente e igualada a la unidad en todos los modos. En general, esto se logra haciendo las componentes de los respectivos modos , siendo dicha componente r arbitraria. Luego los componentes restantes de cada modo i sern calculados en funcin de dicha componente r .

3.-) Desde el punto de vista del clculo sin embargo, se prefiere escalar o normalizar los vectores con respecto a la matriz de masas M de manera que

1=iTi M (8.18) para todos los i , en vista de que este producto se repite constantemente en el denominador de muchas expresiones. Donde i se obtiene al dividir las componentes de X i obtenidas de la solucin del problema de valores caractersticos entre la raz cuadrada de i

Ti XMX . Cuando las formas modales se escalan de esta ltima forma

se dice que estn normalizadas. Entonces:

( )=

=

=

n

jjijj

ii

iT

i

ii

)x(m

X

XMX

X

1

2

(8.19)

Por ejemplo la Ec. (8.15) al premultiplicarla por X Ti sta queda reducida a:

i2iTi = XKX Asimismo, cabe mencionar que las formas modales normalizadas pueden

ensamblarse como las columnas de una matriz Q que es llamada la matriz modal.

iX1=rix


...

...

...

...

...

21 nXXX = Q

(8.20)

Usando la propiedad de la ortogonalidad de los modos, el producto QMQT es una matriz identidad (matriz diagonal con todos los trminos de la diagonal iguales a la unidad) y el producto QKQT es una matriz diagonal cuyo trmino diagonal isimo es

igual a 2i . 8.4.1.5 Propiedades Matemticas de los Modos de Vibracin. Condicin de Ortogonalidad

Cuando las matrices K y M son simtricas, como en este caso, y una de ellas es positivamente definida (K lo es cuando la estructura es estable) varias propiedades del problemas de valores caractersticos pueden ser automticamente garantizadas:

1.-) Si el sistema tiene n grados de libertad, la ecuacin caracterstica tendr n races reales 1

2 a n2 . (Ntese que una raz puede tener un orden de multiplicidad -es decir repetirse- mayor que uno. Si el orden de multiplicidad es r, deberan contarse como r races. Este es el caso de un edificio simtrico con la misma rigidez en ambas direcciones principales). De los n periodos el mayor es el fundamental.

2.-) Para cada valor propio o caracterstico (frecuencia natural) i de multiplicidad 1 hay una forma modal iX definida en funcin de un factor. Lo que implica que imponiendo al sistema un juego de desplazamientos con la forma del vector X i , ste vibrar con la frecuencia i .

Para recordar con facilidad la relacin entre las frecuencias y los modos, se hace la siguiente analoga:

Dada(o) un(a): Se define su correspondiente:

BailedelForma

Modo

Baile

frecuencia

SECC. 8.4.1.5: PROPIEDADES MATEMTICAS DE LOS MODOS. CONDICIN DE ORTOGONALIDAD 17


3.-) Condicin de Ortogonalidad; esta propiedad nos indica que las formas

modales X ,X ji correspondientes a dos frecuencias naturales ji , , son tales que:

jiparaxmxXMXk

kjkkijT

i == 0 (8.21) Se dice que los vectores X y X ji son ortogonales con respecto a la matriz de

masas M (La sumatoria slo es vlida cuando la matriz de masas es diagonal). Debe notarse que las formas modales tambin son ortogonales con respecto a la matriz de rigidez K , de manera que:

jiparaxxkXKXl n

njlilnjT

i == 0 (8.22) en resumen la condicin de ortogonalidad establece:

(8.23)

siendo C la matriz de constantes de amortiguamiento. La construccin de dicha matriz es anloga a la de K como se ver en la Secc. 8.4.2, claro esta, en su forma mas simple.

Nota: Se dice que dos vectores son perpendiculares y no ortogonales para un sistema de 1, 2 3 GDL.

4.-) Una raz de la ecuacin caracterstica de multiplicidad r tiene asociada con ella r formas modales independientes que siempre pueden ser escogidas de modo que satisfagan la condicin de ortogonalidad entre ellas. Tambin satisfarn esta condicin con respecto a las formas modales correspondientes a otras frecuencias.

5.-) El conjunto de n formas modales de X a X n1 constituye un juego completo de vectores que definen un espacio vectorial de orden n . Esto implica que cualquier vector V con n componentes puede ser expresado como una combinacin lineal de las formas modales:

jiparaXKX

jiparaXCX

jiparaXMX

jT

i

jT

i

jT

i

===

0

0

0


IERA SISMORRESISTENTE

Xa = V i1

n

1=i

(8.24)

Los coeficientes ai se obtienen usando las condiciones de ortogonalidad. Siendo ai(t) una variable dependiente del tiempo que expresa la contribucin participacin dinmica (ello se ver en el Cap. 9).

Pre-multiplicando ambos lados de la ecuacin por la matriz M y el vector X Tj :

iTjn

ii

Tj XMXaVMX

==

1 (8.25)

pero como 0=jTi XMX para i diferente de j :

i

Ti

Ti

i XMXVMXa = (8.26)

Esta propiedad es extremadamente importante porque permite expresar la solucin de cualquier problema dinmico como una sumatoria donde cada trmino representa la contribucin de un modo. Permite reducir la solucin de un sistema de n grados de libertad a la solucin de n sistemas independientes de 1 GDL, desacoplando as las ecuaciones de movimiento.

8.4.1.6 Aplicacin y Verificacin de las Propiedades de las Formas de Modo de Vibracin Libre

Para el sistema mostrado calcule:

a ) La ecuacin caracterstica.

b ) Las frecuencias y los periodos.

c ) Formas de modo.

d ) Normalizar las formas de modo.

e ) Verificar las propiedades.

Datos:

1m

2u

1u2k

1k

2m

mtky

mtk

mstgpesomm

88,279387,6893

437,11/

21

2

21

==

===

SECC. 8.4.1.6: APLICACIN Y VERIFICACIN DE LAS PROPIEDADES DE LAS FORMAS DE MODO 19


Solucin: a) Sabemos que para este tipo de sistema la ecuacin caracterstica, por ser de vibracin libre (ver Secc 8.4.1.1, Ec.(8.13)), viene dada por:

02 = MK

000

0

22

22

212

21

2

12

22

221 =+=

+mkk

kmkkm

mkkkkk

Siendo las matrices K (de rigidez) y M (de masas) al reemplazar los datos:

=

+=

=

=

9,27939,27939,279375,9696

437,1100437,11

00

22

221

2

1

Kkkkkk

K

Mm

mM

Luego el determinante de la ecuacin caracterstica vendra dado por:

0437,119,27939,27939,2793437,1175,9696

2

2

=

b) Es la solucin del determinante la que nos permitir la obtencin de las frecuencias y los periodos. Luego, operando el determinante:

0)9,2793()437,119,2793).(437,1175,9696( 222 = Resolviendo esta ltima ecuacin, sabiendo que es el valor

caracterstico, se tiene:

0988,51692133,8962 =+

Esta ltima ecuacin es llamada el polinomio caracterstico. Polinomio cuyas

races nos proporcionarn las frecuencias y periodos, para ello es necesario que las frecuencias angulares se ordenen de menor a mayor:

2 =

077,777059,119:

21 == ypordadasvienenracesCuyas


Frecuencias angulares:

21

21

:/876,27/91,10

Frecuencias naturales:

21

21

:44,474,1

ffqueObserveHzfyHzf

T2 )



Recordar que en la Secc 8.4.1.3 se despej en funcin de . En este problema optaremos por despejar en funcin de , que es equivalente a lo hecho en la seccin antes mencionada puesto que la nica finalidad es obtener de manera cualitativa las formas de modo correspondientes a . Luego para:

( )( )

)(1

5848,0

5848,091,10437,1175,9696

9,2793

1/91,10:1

1111

1

21

111

11

211

2121121

211

211

+=

=

=

==+=

====

tSenXU

X

xx

Xluego

xx

x

xmkk

kx

xysradi i

( )( )

)(17104,1

7104,1876,27437,1175,9696

9,2793

1/876,27:2

2222

2

22

122

12

212

2222121

212

222

+=

=

=

==

+=====

tSenXU

X

xx

Xluego

xx

x

xmkk

kx

xysradi i

iX iix1ix2

)876,27(17104,1

2]2[

22 +

=

=tSenU

Modoi

)91,10(1

5848,01]1[

11 +

=

=tSenU

Modoi

121 =x

5848,011 =x

122 =x

7104,112 =x


d) La Normalizacin de las formas de modo ser hecha basada en la Secc 8.4.1.4 :

d.1 ) Se deja como ejercicio para el lector.

d.2 ) Haciendo las componentes de los correspondientes modos , siendo dicha componente r arbitraria. Luego los componentes restantes de cada modo i sern calculados en funcin de dicha componente r .

En la parte ( c ) se ha visto cuando . A continuacin veremos el caso cuando , para lo cual es necesario dividir su valor actual (positivo o negativo) al modo correspondiente, obteniendo modos equivalentes e . Esto se ver a continuacin:

=

=

=

==

=

=

=

=

==

=

5848,01

)7104,1(11

2]2[

7097,11

5848,011

1]1[

)(22

)(12)(

2

1222

1212

12

2)(2

)(21

)(11)(

1

1121

1111

11

1)(1

e

ee

eeequivalent

e

ee

eeequivalent

xxX

xxxx

xXX

Modoi

xxX

xxxx

xXX

Modoi

d.3 ) Normalizando con respecto a la matriz de masas M :

1=iTi M

de donde:

- ( )=

==n

jjij

ii

iT

i

ii

xm

XXMX

X

1

2)(

iX1=rix

12 =ix11 =ix



Observar que son los modos normalizados con respecto a la matriz de masas. Trabajando con los vectores normalizados de la parte ( c ) del problema tenemos para:

i


INGENIERA SISMORRESISTENTE

[ ]

[ ]

)!(1

)1493,0(437,11)2553,0(437,11)(

1

1493,02553,0

17104,1

8956,441

8956,44

)1(437,11)7104,1(437,11

17104,1

437,1100437,11

17104,1

17104,1

:2]2[

)!(1

)2553,0(437,11)1493,0(437,11)(

1

2553,01493,0

15848,0

3484,151

3484,15

)1(437,11)5848,0(437,11

15848,0

437,1100437,11

15848,0

15848,0

:1]1[

222

1

2222

22

22

122

22

22

22

2222

22

22

122

11

222

1

2111

11

21

111

11

11

11

2211

11

21

111

OkM

xxmMcomo

Moverificand

MXXXluego

MXX

xxMXX

MXX

xx

XconModoi

OkM

xxmMcomo

Moverificand

MXXXluego

MXX

xxMXX

MXX

xx

XconModoi

T

jjjj

T

T

T

T

T

T

T

jjjj

T

T

T

T

T

T

+===

=

=

==

=+=

=

=

==

+===

=

=

==

=+=

=

=

==

=

=



e) La Verificacin de las propiedades de las formas de modo ser hecha basada en la Secc 8.4.1.5. Luego, siendo las matrices de masas ( M ) y rigidez ( K ) simtricas y K corresponde a una estructura estable, podemos garantizar que:

e.1 ) Existen tantas frecuencias angulares como grados de libertad se han considerado. Es decir, si existen n = 2 GDL, entonces, existirn 2 frecuencias naturales y por ende 2 periodos siendo el mayor el fundamental.

e.2 ) Para cada frecuencia existe una nica forma de modo. Esto se ha podido observar durante la solucin del problema.

e.3 ) Condicin de Ortogonalidad; las formas de modo que corresponden a dos frecuencias naturales son ortogonales (perpendiculares para un sistema uno, dos e tres grados de libertad ).

Cumplindose:

Siendo C la matriz de constantes de amortiguamiento. La construccin de dicha matriz es anloga a la de K como se ver en la siguiente seccin. Verificando la condicin de ortogonalidad por ejemplo para:

[ ]

0

)11(437,11)7104,1()5848,0(437,11

17104,1

437,1100437,11

15848,0

21

21

21

=+=

=

MXX

xxxxMXX

MXX

T

T

T

Los dems productos con M, C, K y combinaciones de formas modales, de 2 en 2, son anlogos.

e.4 ) Para nuestro caso, no se tienen multiplicidad en la races por tratarse de un sistema sencillo de 2 GDL.

ijparaXKX

ijparaXCX

ijparaXMX

jT

i

jT

i

jT

i

===

0

0

0

SECC. 8.4.2: VIBRACIN FORZADA DE SISTEMAS DE VARIOS GDL CON AMORTIGUAMIENTO 25


e.5 ) El conjunto de formas modales constituye un sistema de referencia (espacio vectorial) con respecto al cual puede expresarse cualquier vector V . Siendo a i (t) una variable dependiente del tiempo que expresa la contribucin participacin dinmica (ello se ver en el siguiente captulo). Es decir:

Permitindonos sta ltima propiedad expresar la solucin de cualquier problema dinmico como una sumatoria ( o combinacin lineal ) donde cada trmino representa la contribucin de cada modo. 8.4.2 Vibracin Forzada de Sistemas de Varios GDL Considerando

Amortiguamiento

En toda la presentacin anterior se supuso por simplicidad que el sistema no estaba amortiguado. Sin embargo, las edificaciones en realidad tienen diferentes mecanismos de disipacin de energa mientras vibran bajo la accin de un sismo. Las prdidas de energa (y por consiguiente el amortiguamiento) ocurrir debido a la friccin interna en las uniones, o entre los muros y los prticos y si las deformaciones son grandes debido a deformaciones plsticas.

Las ecuaciones de movimiento del sistema considerando el amortiguamiento bajo una matriz C sern:

)t(fFKUUCUM =++ &&& (8.27) )t(fFX)t(a)t(a)t(a Tiiiiii =++ 22 &&& (8.28)

Si se va a usar anlisis modal no es necesario contar con una matriz de amortiguamiento. Todo lo que se requiere es introducir la fraccin de amortiguamiento crtico o porcentaje de amortiguamiento en la isima ecuacin modal.La determinacin de la matriz C slo es necesaria si no se va a usar anlisis modal y se va a integrar numricamente todo el conjunto completo de ecuaciones. Este es el caso si se va a realizar un anlisis dinmico nolineal (inelstico) y se desea agregar a la estructura una cantidad adicional de amortiguamiento adems del que resultar del comportamiento inelstico (lazos histerticos).

Hay varias tcnicas para determinar esta matriz C . Si se conocen todas las formas de modo y frecuencias naturales la forma ms simple es definir:

MQBQMCT= (8.29)

i

n

ii XtaV

==

1)(


donde M es la matriz de masas, Q la matriz modal (conteniendo todas las formas modales como columnas, ver Secc. 8.4.1.4) y B es una matriz diagonal cuyo trmino

isimo es igual a ii2 (recordar que para 1 GDL se tiene mc

cc

crtico 2== ).

Otra forma de determinar C es considerar:

Ka + Ma = C 10 (8.30)

donde los parmetros oa y 1a se seleccionan de manera que la variacin de sobre el rango de frecuencias de inters sea pequeo (segn la Norma Peruana de de Diseo Sismorresistente ).

Considerando amortiguamiento para nuestro sistema simplificado de 2 GDL Dinmicos visto en la Secc. 8.3, en el que adems de las fuerzas inerciales tambin posee fuerzas actuando en cada GDL (Fig. 8.12).

Fig.8.12 Sistema forzado con amortiguamiento.

la ecuacin para este sistema amortiguado forzado vendra a estar dado por la Ec..(8.27). Si en este sistema el amortiguamiento a considerar es en su forma ms simple entonces la construccin de la matriz de amortiguamiento ser anloga a la construccin de la matriz de rigidez, o sea:

1m

)(2 tfP

2k

1k

2m

1c

2c

)(1 tfP

%5=

SECC. 8.5: SISTEMAS CONTINUOS O DE MASA DISTRIBUIDA: VIGA DE CORTE, VIGA DE FLEXIN 27


+=

+=

22

221

22

221

ccccc

C

kkkkk

KSi

8.5 SISTEMAS CONTINUOS O DE MASA DISTRIBUIDA: VIGA DE CORTE Y VIGA DE FLEXIN

Los sistemas estructurales reales son en realidad sistemas continuos con su masa y rigidez distribuida a lo largo de los elementos. Algunas estructuras, como los prticos, poseen caractersticas de comportamiento ante las cargas ssmicas que justifican la reduccin del nmero de grados de libertad. Hay otras que por estar constituidas por un nmero pequeo de elementos, como un emparrillado o una chimenea, pueden representarse adecuadamente por un sistema lineal de masa distribuida como los que se presentan a continuacin. Por ltimo es posible usar los resultados calculados usando estos modelos para predecir aproximadamente el comportamiento de estructuras ms complejas.

La viga de corte es un elemento ideal que se utiliza para representar sistemas fsicos que se caracterizan por comportarse presentando una deformacin lateral similar a la deformacin por corte, o sea nicamente una distorsin lateral. Por ejemplo, los edificios de altura mediana aporticados a base de elementos de rigidez similar, cuando son sometidos a cargas laterales experimentan desplazamientos laterales al nivel de sus entrepisos, mantenindose stos prcticamente horizontales. Esta deformacin de todo el prtico es similar a la de una viga de corte. Los estratos de suelos sometidos a sismos que experimentan solamente deformaciones laterales son a veces representados por vigas de corte. De hecho la teora simplificada de amplificacin de ondas hace uso de estas hiptesis.

8.5.1 Viga de Corte. Ecuacin Diferencial

Cuando en un elemento prismtico la deformacin por corte transversal al eje del elemento es la nica que se supone actuando se tiene una viga de corte.



Fig. 8.13 Viga de Corte

En la Fig. 8.13 se observa una viga que presenta una distribucin uniforme del esfuerzo cortante en su seccin transversal. El desplazamiento lateral (en este caso horizontal) est representado por la letra v . De la Resistencia de Materiales se conocen las siguientes relaciones que nos permiten establecer la ecuacin diferencial que gobierna el comportamiento de la viga de corte:

q- =

xdvdGA 2

2

(8.31)

Si se considera la fuerza distribuida, q , aplicada a la viga como compuesta por una fuerza de inercia ms una porcin "excitadora":

tv A - t)q(x, 2

2

(8.32)

obtenemos la ecuacin diferencial de movimiento para la viga de corte.

t)q(x, - =

tv A -

xvGA 2

2

2

2

(8.33)

8.5.1.1 Vibracin Libre: Viga en Voladizo

Cuando no existe fuerza pulsante o excitadora, el sistema vibrar libremente. La ecuacin de movimiento se transforma en la siguiente (ecuacin homognea cuyo segundo miembro igual a cero)

0 =

tv A -

xvGA 2

2

2

2

(8.34)

Para determinar las condiciones bajo las cuales esta ecuacin tiene solucin, se supondr la existencia de una vibracin que sigue una amplitud o curva determinada

SECC. 8.5: SISTEMAS CONTINUOS O DE MASA DISTRIBUIDA: VIGA DE CORTE, VIGA DE FLEXIN 29


con una frecuencia .Resolviendo el problema resultante para esas incgnitas obtendremos que la solucin corresponder a las caractersticas de la vibracin libre.

Fig. 8.14 Viga de Corte en Voladizo

Supngase que la viga vibrar siguiendo una funcin t)v(x, dependiente de la altura de la viga y del tiempo, que es a su vez funcin de una "forma" (x)v0 independiente del tiempo y de una funcin armnica de frecuencia ,

) + tsen( . ) + tsen().x(v)t,x(v o = (8.35)

Sustituyendo esta funcin y sus derivadas en la ecuacin diferencial anterior se tiene:

0 = vp +

xdvd

02

2

2

(8.36) donde:

G = p

22

(8.37)

Obsrvese que la solucin de esta ecuacin diferencial proveer la forma de la funcin (x)v0 que ser la que adoptar la viga al vibrar libremente con la frecuencia incluida en el parmetro p . En buena cuenta representa la forma modal y la frecuencia modal asociada.

La solucin general de la ecuacin diferencial Ec. (8.36) es:

Bsenpx + pxA = v0 cos (8.38)

Para el caso de la viga en voladizo las condiciones de borde son (Fig. 8.14):

SECC. 8.5.1.1: VIGA LIBRE: VIGA EN VOLADIZO 29


- desplazamiento en la base cero v(0) = 0

- giro en la parte superior cero, porque el cortante en el extremo es cero y por consiguiente en este caso eso requiere que la primera derivada del desplazamiento en ese punto sea cero, o sea 0= (H)v . Se obtiene como solucin no trivial:

/(2H)1) - (2n = p (8.39) o expresado en trminos de la frecuencia :

G//(2H)]1) - [(2n = n (8.40) Las frecuencias naturales correspondern a valores sucesivos de 3;2;1:n

El trmino G/ corresponde a la velocidad de propagacin de las ondas de corte, V s , en un estrato de suelo que se modela elsticamente como si fuera una viga de este tipo para las ondas transversales que causan esa deformacin.

Los perodos se expresan como:

/2 = T n (8.41) V1)-4H/(2n = T sn (8.42)

El perodo fundamental, cuando 1 = n viene dado por la expresin:

V4H/ = T s1 (8.43)

Las formas modales vienen expresadas por (Fig. 8.15)

x/2LBsenn = (x)von (8.44)


Fig. 8.15 Viga de Corte en Voladizo: Modos

8.5.2 Viga de Flexin. Ecuacin Diferencial

El elemento bsico en flexin es una viga prismtica de seccin constante sometida a deformaciones flexionantes. Las relaciones constitutivas son ampliamente conocidas. Aqu nos limitaremos s listar las ecuaciones aplicables para el comportamiento dinmico de una viga simple.

La ecuacin diferencial de movimiento para la viga de flexin es:

p =

tv m + )

xv (EI

x 22

2

2

2

2

(8.45) 8.5.2.1 Vibracin libre: Viga en voladizo

Para el caso de la viga en voladizo se obtienen las siguientes expresiones para las frecuencias y las formas de modo:

Frecuencias:

mEI

L) (0.597 =

2

2

1

(8.46)

1> n

mEI

L4 )1- (2n = 2

22

n

(8.47) Formas de modo:

)xphsenxphcosxsenpxp(cosB)x(v nnnnon += (8.48)

donde: EImp

24 =

8.5.3 Estimacin de Perodos para Edificios

Una aplicacin muy til de estos sistemas continuos es la estimacin aproximada de los perodos de los modos altos. La Ec. (8.42) indica que los perodos en la viga de corte varan inversamente a los nmeros impares. Es decir que siguen una serie inversa a 1; 3; 5; 7.... De esta manera si se considera el perodo fundamental de un edificio aquel calculado por mtodos rigurosos (vase Ref. 12, Cap. 5), entonces los perodos de los modos superiores pueden estimarse directamente dividiendo ste del modo fundamental por los factores mencionados.

En el estudio de la Ref. 9, se demuestra que para prticos sin muros de concreto o placas, la correlacin entre los perodos exactos y los que predice la

SECC. 8.5.3: ESTIMACIN DE PERIODOS PARA EDIFICIOS 31


viga de corte es sorprendentemente buena. En el Cuadro 8.1 se muestra la comparacin para un prtico de 12 pisos, sin muros o placas.

Ti

Prtico de 12 pisos sin placas

Perodos (s)

Viga de corte en voladizo (V.C.)

Perodos (s)

T1 0,993 0,993 T2 0,346 0,331 T3 0,197 0,199 T4 0,132 0,142 T5 0,099 0,110 T6 0,076 0,090

Cuadro 8.1 Comparacin entre perodos de una viga de corte con los de un prtico de 12 pisos sin placas o muros de corte [ Ref. 9 ]

Cuando el prtico tiene muros de corte o placas la correlacin con la viga de corte ya no se mantiene. En este caso es necesario usar como referencia tambin la viga de flexin o de Timoshenko. Que no es otra cosa que una viga en voladizo cuya deformacin proviene primariamente de la flexin. En este caso de edificios con placas, la deformacin lateral tiene una forma ms cercana a la de una viga en volado a flexin. Estos perodos varan inversamente proporcional a (2n-1) al cuadrado del nmero del modo, o sea como 9; 25; 49; etc. considerando que el primero es como 1.426. Luego los perodos de los modos 2 al 6 varan inversamente proporcional a 6,31; 17,36; 34,37; 56,82; 84,87. Tambin en la [ Ref. 9 ] se comprob que los perodos calculados para un edificio con muros o placas y aquellos que se obtenan promediando los obtenidos usando la viga de corte y la de flexin eran suficientemente cercanos como para ser considerados como una buena referencia. En el Cuadro 8.2 se muestra la comparacin mencionada para un edificio de 12 pisos, pero esta vez con placas o muros de corte.

Ti

Prtico de 12 pisos con placas

Perodo (s)

Viga de flexin en voladizo

(V.F.) Perodo (s)

Viga de corte en voladizo

(V.C.) Perodo (s)

Promedio de V.F. y V.C. Perodo (s)

T1 0,733 0,733 0,733 0,733 T2 0,212 0,117 0,244 0,181 T3 0,103 0,042 0,147 0,095 T4 0,064 0,021 0,105 0,063 T5 0,045 0,013 0,081 0,047


Cuadro 8.2 Comparacin de perodos promedio entre una viga de corte y una de flexin con los de un prtico de 12 pisos con placas o muros de corte [ Ref. 9 ]

REFERENCIAS 33


REFERENCIAS

1. Biggs, J.M., "Dynamic Analysis of One-Degree Systems", en Notas del curso Fundamentals of Earthquake Engineering for Buildings . Massachusetts Institute of Technology. Cambridge, Massachusetts. 1972

2. Resset, J.M. "Structural Dynamics". Notas de clase. Massachusetts Institute of Technology. Cambridge, Mass. 1974.

3. Biggs, J.M., Introduction to Structural Dynamics. McGraw-Hill. New York. 1964

4. Craig Jr., R.R., Structural Dynamics. John Wiley & Sons. New York. 1981

5. Clough, R.W. & Penzien, J. Dynamics of Structures. McGraw-Hill. New York. 1975

6. Okamoto, S. Introduction to Earthquake Engineering. Halsted Press. John Wiley & Sons. New York. 1973

7. Hurty, W.C. & Rubinstein, M.F. Dynamics of Structures. Prentice Hall. New Jersey 1964.

8. Bathe, K.J., Wilson, E.L. Numerical Methods in Finite Element Analysis, Prentice-Hall. Englewood Cliffs, New Jersey. 1976

9. Wilkinson, J.H., The Algebraic Eigenvalue Problem, Clarendon Press. Oxford. . 1965

10. Piqu, J., Echarry, A. "A Modal Combination for Dynamic Analysis of Reinforced Concrete Frames". 9a. Conferencia Mundial de Ingeniera Antissmica. Tokyo-Kyoto. Japn. 1988

11. Bazn, E., Meli, R. Diseo Ssmico de Edificios, Editorial Limusa. Balderas, Mxico. 2002

12. Piqu, J., Scaletti, H., Anlisis Ssmico de Edificios, Ediciones Captulo de Ingeniera Civil. Lima, Per. 1991


ANEXO - CAP. 8: COCIENTE DE RAYLEIGH 35


ANEXO COCIENTE DE RAYLEIGH

Factorizando el vector de mximos desplazamientos en la ecuacin caracterstica, Ec. (8.11), el problema a considerar resulta de la forma:

0)(2 = XMK (8.49)

reordenando esta ltima ecuacin se tiene:

XMXK 2= (8.50) Suponiendo que se conoce la solucin Xi de la Ec. (8.50), entonces se cumple que:

iii XMXK2= (8.51)

y haciendo ii =2 la Ec. (8.51) queda: iii XMXK = (8.52)

multiplicando la Ec. (8.52) por TiX :

iTiii

Ti XMXXKX = (8.53)

despejando la Ec. (8.53) :

i

Ti

iTi

ii XMXXKX== 2 (8.54)

El cociente de Rayleigh nos permite calcular el valor de i conocido su correspondiente vector caracterstico iX . Esto se puede apreciar en la Ec. (8.54).

Debido a que la Ec. (8.54) puede ser usada con aproximaciones a los vectores propios [ Ref. 12 ], entonces, suponiendo que se conoce una forma de modo de manera aproximada:

VX i (8.55)

Reemplazando la Ec. (8.55) en la Ec. (8.54) se tiene:


VMVVKV

T

T

ii == 2 (8.56)

Las fuerzas aplicadas seran:

FVK = (8.57)

Al reemplazadas deichas fuerzas en la Ec. (8.56) tenemos:

VMV

FVT

T

i = (8.58)

La Ec. (8.58) escritas en forma de sumatorias es:

( )21

1

j

n

jj

j

n

jj

i

vM

vF

=

== (8.59)

donde jj vyF son elementos de los vectores columnas VyF , y jM es un elemento que pertenece a la diagonal principal de la matriz de masas M.

Como 2ii = , entonces la Ec. (8.59) quedara:

( ) ( )21

1

2

1

12

j

n

jj

j

n

jj

i

j

n

jj

j

n

jj

ii

vM

vF

vM

vF

=

=

=

= === (8.60)

Si en la Ec. (8.60) se trabaja con pesos en vez de masas, entonces:

( )21

1.

j

n

jj

j

n

jj

i

VP

VFg

=

== (8.61)

Y como se conoce que i

iT 2= , entonces el periodo correspondiente a la forma

de modo Xi segn la Ec. (8.61) sera:

ANEXO - CAP. 8: COCIENTE DE RAYLEIGH 37


( ) ( )

j

n

jj

j

n

jj

j

n

jj

j

n

jj

i

vFg

vP

vF

vMT

=

=

=

= ==1

2

1

1

2

1

..2.2 (8.62)

EJEMPLO:

Para el siguiente sistema que se muestra calcule de manera aproximada el periodo:

Solucin: Suponiendo de manera aproximada las fuerzas aplicadas, se tiene:

1m

2m

3m

mtk 000101 =

mtk 00082 =

mtk 00083 =

mst

m2

1 10=

mstm

2

2 9=

mstm

2

3 8=

1m

2m

3m

tF 000101 =

tF 000202 =

tF 000303 =


Resumiendo todos los clculos en tablas se tiene:

Nivel j

kj (t/m)

Fj supuestas

(t) Vj = Fj acumuladas

(t) jj

j kV '=

v j= j acumuladas

3 8 000 30 000 30 000 3,75 16,00

2 8 000 20 000 50 000 6,25 12,25

1 10 000 10 000 60 000 6,00 6,00

Nivel

Mj (t-s2/m)

Mj .vj2 Fj .vj

3 8 2 048,00 480 000

2 9 1 350,56 245 000

1 10 360,00 60 000

= 3 758,56 = 785 000 Usando la Ec. (8.60): sTT 435,0

00078556,75832 ==

1v

2v

3v

3

2

1

ANLISIS SSMICO POR

SUPERPOSICIN MODAL ESPECTRAL

9.1 ANLISIS SSMICO Para lograr el objetivo del diseo estructural assmico o antissmico es indispensable atravesar la etapa del anlisis. Esta es, a su vez, posterior a la de estructuracin y determinacin de las caractersticas elsticas y geomtricas de la estructura, incluyendo la distribucin de sus masas. En general el anlisis estructural consiste en la determinacin de los efectos que la solicitacin aplicada demande de la estructura. En el caso de los sismos hablamos del anlisis ssmico. En este caso la solicitacin o carga ssmica est caracterizada por la norma local correspondiente y viene expresada en trminos de un espectro de diseo. Los efectos que se desean determinar consisten las en fuerzas y deformaciones resultantes de la carga ssmica. Por fuerzas se entiende de modo general, tanto fuerzas de distinto tipo: axiales, cortantes, como tambin momentos flectores. Por deformaciones se entiende principalmente desplazamientos y rotaciones de los entrepisos as como distorsiones relativas entre piso y piso.

La prctica actual mundialmente aceptada del diseo antissmico considera que las solicitaciones ssmicas sobre la estructura se determinan por medio de un anlisis elstico. Si bien la tendencia moderna incorpora criterios de comportamiento inelstico como herramientas de disipacin de energa, el anlisis se hace sobre la base de que la estructura y sus elementos no exceden su resistencia y mantienen su forma inicial, hiptesis implcitas en el anlisis estructural en el rango elstico. Desde este punto de vista entonces, se cuenta con dos caminos contemplados en los cdigos de diseo: anlisis esttico o anlisis dinmico.

2 CAP. 9:ANLISIS SSMICO POR SUPERPOSICIN MODAL ESPECTRAL El anlisis esttico reduce las acciones ssmicas a fuerzas estticas equivalentes y

todo el anlisis se hace considerando un slo juego de fuerzas aplicado a la estructura estticamente. El edificio puede analizarse tri- o bi- dimensionalmente pero el anlisis sigue siendo esttico y nico. Por otro lado el anlisis dinmico, tambin contemplado en los cdigos modernos de diseo ssmico, considera las caractersticas o propiedades dinmicas de la estructura en la determinacin de las fuerzas ssmicas y en cada efecto particular que desee calcularse. Su aplicacin, sin embargo, no ha estado tan difundida hasta la dcada de los 80s en vista de la complejidad del cmputo involucrado y en la necesidad de disponer de mquinas para el cmputo y procedimientos para la determinacin de las propiedades dinmicas de la estructura misma, sin mencionar el trabajo posterior para determinar y combinar los efectos modales.

Con la disponibilidad y potencia de las computadoras modernas, principalmente las personales, el anlisis dinmico de edificios es la herramienta apropiada para la determinacin de las fuerzas ssmicas, v.g.: el anlisis dinmico.

En edificaciones particularmente elevadas el anlisis dinmico viene a ser la nica herramienta racional de anlisis pues los mtodos estticos equivalentes se tornan demasiado conservadores. La distribucin de fuerzas mximas resultante a lo alto del edificio es bastante diferente de la triangular supuesta en los cdigos ( ver la Fig. 9.1.b).

Fig. 9.1 Resultados de un anlisis dinmico para un edificio de 10 pisos

SECC. 9.2: SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD: VIBRACIN FORZADA 3


En la Fig. 9.1.a se puede apreciar tambin, que los desplazamientos mximos de cada piso tienen configuraciones que no responden a la de la hiptesis simplificatorias del anlisis esttico equivalente. Asimismo cuando las caractersticas de la estructura estimulan la contribucin de modos adicionales al fundamental en la respuesta, se puede estar subestimando peligrosamente efectos locales en los pisos bajos y en los ms altos. En realidad con la facilidad para realizar este tipo de anlisis, tan difundidos actualmente, tiene poco asidero el seguir utilizando procedimientos estticos equivalentes.

9.2 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD: VIBRACIN FORZADA Un edificio real es un sistema de varios grados de libertad (esto se vio en el

Cap..8). El establecimiento de las ecuaciones de equilibrio se desarrollar mas adelante [ Podra consultar tambin Ref. 11-Cp.3 y 4 ]. Estas ecuaciones de movimiento para el sistema de varios grados de libertad, como se vio en el captulo anterior, tienen la siguiente forma:

)(tFKUUCUM =++ &&& (9.1) El vector de fuerzas ( )tF puede tener distintas variaciones en el tiempo, pero para

sistemas lineales elsticos siempre es posible expresar estas variaciones como una superposicin de trminos de la forma )(tfF . Por lo tanto la Ec. (9.1) puede reemplazarse por una ms simple:

)(tf F = U K + U C + U M &&& (9.2) Donde F representa un vector independiente del tiempo que contiene las

magnitudes de las fuerzas aplicadas en correspondencia con cada grado de libertad (o en cada piso si se trata de un prtico plano)

9.3 MTODOS DE ANLISIS DINMICO La respuesta dinmica de una estructura a una excitacin ssmica (caracterizada usualmente por un movimiento de la base) puede ser obtenida por cualquiera de los tres mtodos generales usados en la solucin de sistemas de varios grados de libertad.

1) Integracin directa en el tiempo de las ecuaciones de movimiento, resolviendo simultneamente las n ecuaciones diferenciales a travs de un procedimiento de integracin paso a paso.

2) Solucin directa en el campo de frecuencias, resolviendo nuevamente n ecuaciones simultneas.

3) Anlisis Modal.

4 CAP. 9:ANLISIS SSMICO POR SUPERPOSICIN MODAL ESPECTRAL De todos estos procedimientos el primero es el nico medio riguroso para tomar en

cuenta comportamiento nolineal. Sin embargo, si se efecta un anlisis lineal ser necesario, definir una matriz C de amortiguamiento (ver Cp.8). Si el anlisis es estrictamente nolineal, entonces la mayor parte de la disipacin de energa ser automticamente incorporada y la matriz C se hace innecesaria, ya que slo representar una pequea cantidad de amortiguamiento a pequeas amplitudes debida a otras causas.

En el tercer procedimiento la solucin en cada modo puede nuevamente llevarse a cabo en el dominio del tiempo o en el de las frecuencias. Las soluciones en el campo de frecuencias estn siempre limitadas a sistemas lineales pero tienen la ventaja que permiten considerar propiedades dependientes de la frecuencia (una condicin deseable en el caso de los suelos). El comportamiento nolineal puede ser simulado a travs de un procedimiento iterativo en que los valores de la rigidez y el amortiguamiento son recalculados al final de cada anlisis para igualar el nivel de deformaciones obtenido. [ Ref. 2 ]

El anlisis modal es de lejos el procedimiento ms usado en dinmica estructural. Permite desacoplar las n3 ecuaciones diferenciales de movimiento, reduciendo el problema a la solucin de n ecuaciones independientes de 1 grado de libertad. En la mayora de los casos slo algunos modos contribuyen significativamente a la respuesta y por lo tanto ni siquiera tienen que resolverse los n sistemas simples.

9.4 DESCOMPOSICIN MODAL DE LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO

La existencia de los modos como un espacio vectorial es extremadamente importante ya que permite reducir la solucin de un sistema de n grados de libertad a la solucin de n sistemas independientes de 1 GDL, desacoplando de esa manera las ecuaciones de movimiento.

Suponiendo que al inicio se ha resuelto el problema de valores propios o caractersticos para determinar las frecuencias naturales i y las correspondientes formas de modo . Asimismo se supondr que las formas de modo iX han sido normalizadas con respecto a la matriz de masas de manera que el producto

1=iTi XMX (vase Cap. 8).

9.4.1 Descomposicin Modal sin considerar Amortiguamiento Al no considerar el amortiguamiento la Ec. (9.2) quedara reducida de la siguiente manera:

)(tf F = U K + U M && (9.3)

SECC. 9.4.1: DESCOMPOSICIN MODAL SIN CONSIDERAR AMORTIGUAMIENTO 5


Usando la propiedad de los modos, que permite expresar cualquier vector del espacio vectorial, por ellos definido, como una combinacin lineal de las formas modales y ciertos coeficientes, se supondr que la solucin de las ecuaciones de movimiento viene dada por:

X ta = U iin

1i)(

= (9.4)

derivndola dos veces obtendramos:

X ta = U iin

1i=)(&&&& (9.5)

Al sustituir las Ecs. (9.4) y (9.5) en (9.3) se tendra:

)()()(

)()()(

tfF =] taXK + taX[M

tfF = XtaK + XtaM

iiii

n

1i=

ii

n

1iii

n

1i

&&

&&

==

Al premultiplicar esta ltima ecuacin por TjX ( para nj ,,2,1 K= ), el cual es independiente de i , obtendramos:

)()()(

)()()(

tfFX =] taXKX + taXM[X

tfFX =] taXK + taX[MX

Tjii

Tjii

Tj

n

1i=

Tjiiii

n

1i=

Tj

&&

&&

Al aplicar las condiciones de ortogonalidad:

10 = MX Xi jsiperoi j para = XMX iTii

Tj = (9.7)

= XKX i jsiperoij para = XKX iiTii

Tj

20 = (9.8)

en la Ec. (9.6), para j = i y teniendo adems en cuenta las condiciones de ortogonalidad, quedara reducida as:

)()()( tfFX = taXKX + taXMX TiiiTiiiTi && (9.9)

(9.6)

6 CAP. 9:ANLISIS SSMICO POR SUPERPOSICIN MODAL ESPECTRAL

Al dividir la Ec. (9.9) entre iTi XMX :

)()()( tfXMX

FX = ta

XMXXKX

+ tai

Ti

Ti

ii

Ti

iTi

i&& (9.10)

Como podr notarse la Ec. (9.10) an no esta simplificada del todo. Sin embargo al observar que hay un trmino que involucra los modos y las matrices K y M, podramos pensar en hacer uso de una expresin ya demostrada en el captulo anterior, dada por:

iii XMXK2= la cual al ser premultiplicada por TjX , con j = i, queda de la

siguiente forma:

iTiii

Ti XMXXKX

2= realizando el despeje de la frecuencia se tendra:

i

Ti

iTi

i XMXXKX=2 (9.11)

Adems, definiendo como factor de participacin esttica i , al trmino que relaciona los modos y las matrices F y M, segn la Ec. (9.10) ste sera:

( )

=

=== nj

jij

n

jjij

iTi

Ti

i

xm

xF

XMXFX

1

2

1 (9.12)

Cabe sealar que las Ecs. (9.10) ,(9.11) y (9.12) podran reducirse an ms puesto que se normalizaron los modos respecto a la matriz de masas, es decir 1=iTi XMX , segn esto se tendra:

)()()( tfFX = taXKX + ta TiiiTii&& . (9.13)

iTii XKX=2 (9.14) FX Tii = (9.15) Finalmente de las Ecs. (9.14) y (9.15) en (9.13) se obtiene:

SECC. 9.4.: DESCOMPOSICIN MODAL CONSIDERANDO AMORTIGUAMIENTO 7


)()()( 2 tf = ta + ta iiii && (9.16) que representa las n ecuaciones modales de movimiento para un sistema forzado sin amortiguamiento. Es conveniente sealar que con frecuencia tambin se suele expresar U como sigue:

iiin

1i=XtdU )(= (9.17)

entonces, si la relacionamos con la Ec. (9.4), podremos apreciar con claridad que iii tdta )()( = . Donde )(td i es el factor de participacin dinmica (dependiente

del tiempo) y i es el factor de participacin esttica (independiente del tiempo). Luego la Ec. (9.16) en funcin de )(td i quedara expresada como:

)()()( 2 tf = td + td iii && (9.18) 9.4.2 Descomposicin Modal considerando Amortiguamiento

Considerando amortiguamiento la Ec. (9.19) sera la misma que la Ec. (9.2), es decir:

f(t) F = U K + U C + U M &&& (9.19)

De manera similar a la seccin anterior, en sta, se har uso de la propiedad de los modos, que permite expresar cualquier vector del espacio vectorial, por ellos definido, como una combinacin lineal de las formas modales y ciertos coeficientes, se supondr para ello que la solucin de las ecuaciones de movimiento viene dada por:

X ta = U iin

1i)(

= (9.20)

derivando una vez obtendramos:

X ta = U iin

1i=)(&& (9.21)

derivando dos veces obtendramos:

X ta = U iin

1i)(&&&&

= (9.22)

8 CAP. 9:ANLISIS SSMICO POR SUPERPOSICIN MODAL ESPECTRAL Al sustituir las Ecs. (9.20), (9.21) y (9.22) en (9.19), es decir, sustituyendo este

vector U y sus derivadas U& y U&& , expresadas en funcin de las formas modales iX , las ecuaciones de movimiento que obtendramos seran:

)()()()(

)()()()(

tfF =] taXK +taXC + taX[M

tfF = XtaK XtaC + XtaM

iiiiii

n

1i=

ii

n

1iii

n

1iii

n

1i

&&&

&&&

+

===

Luego al premultiplicar esta ltima ecuacin por el vector TjX ( para n,,,j K21= ), el cual es independiente de i , obtendramos:

)()()()(

)()()()(

tfFX =] taXKX +taXC X+ taXM[X

tfFX =] taXK +taXC + taX[MX

Tjii

Tjii

Tjii

Tj

n

1i=

Tjiiiiii

n

1i=

Tj

&&&

&&&

Aplicando las condiciones de ortogonalidad:

10 = MX Xi jsiperoi j para = XMX iTii

Tj = (9.24)

iiiTii

Tj = XCX i jsii peroj para = CXX 20 = (9.25)

( Si C tiene una forma especial )

= XKXi pero j para = XKX iiTii

Tj

20 (9.26) en la Ec. (9.23), para j = i , sta quedara reducida as:

)()()()( tfFX = taXKX + taXCX + taXMX TiiiTiiiTiiiTi &&& (9.27)

Escribiendo de otra manera la Ec. (9.27) se tiene:

)()()()( tfF = taK + taC + taM eiieiieiiei &&& (9.28)

siendo eiei

ei

ei FyKCM ,, escalares, correspondientes a cada modo de vibracin

i . Luego, al dividir la Ec. (9.28) entre eiM resulta :

(9.23)

SECC. 9.4.2: DESCOMPOSICIN MODAL CONSIDERANDO AMORTIGUAMIENTO 9


)()()()( tfMF

= taMK

+ taMC

+ ta ei

ei

iei

ei

iei

ei

i &&& (9.29)

Como podr observarse, a la Ec. (9.29), que representa las n ecuaciones modales del movimiento, se le puede hacer una analoga para el caso en el que solo se tiene 1 GDL. Entonces tendramos lo siguiente:

iTi

iTi

iiiii

Ti

iTi

e

e

crticoiei

ei

crticoei

ei

i

XMXXCX

XMXXCX

MC

mc

ccaeequivalentes

MC

CC

===

====

22

2(%)

2(%)

)(

Tambin, recordando que se demostr en la seccin anterior:

i

Ti

iTi

i XMXXKX=2 (9.31)

y que adems, el trmino que involucra a los modos y a las matrices F y M, llamado factor de participacin esttica i , estaba dado por:

i

Ti

Ti

i XMXFX = (9.32)

Y debido a que se normalizaron los modos respecto a la matriz de masas, o sea 1=iTi XMX , las Ecs. (9.27), (9.30), (9.31) y (9.32) podran reducirse, segn ello

estas quedaran as:

)()()()( tfFX = taXKX +taXCX + ta TiiiTiiiTii &&& . (9.33)

iTiii XCX=2 (9.34) iTii XKX=2 (9.35) FX Tii = (9.36) Entonces, finalmente de las Ecs. (9.34), (9.35) y (9.36) en (9.33) se obtiene:

(t)f = (t)a (t)a + (t)a iiiiiii 22 +&&& (9.37)

(9.30)


que representa las n ecuaciones modales de movimiento para un sistema forzado considerando amortiguamiento.

Anlogamente a la seccin anterior, U se suele expresar como:

iiin

1i=X(t)dU = (9.38)

se puede apreciar con claridad que iii (t)d(t)a = al relacionar la Ec. (9.38) con la Ec. (9.20). Donde (t)d i , como ya se indico, es el factor de participacin dinmica (dependiente del tiempo) y i el factor de participacin esttica (independiente del tiempo). Entonces la Ec. (9.37) quedara expresada en funcin de (t)d i como sigue:

(t)f = (t)d (t)d+ (t)d iiiiii 22 +&&& (9.39)

De las Ecs. (9.38) y (9.39) observamos que la contribucin de cada modo iX a la respuesta est afectada por el factor de participacin esttica i y un factor de participacin dinmica (t)d i que resulta de la solucin de una ecuacin de un sistema de un grado de libertad con la frecuencia natural i sometida a la funcin del tiempo ( )tf . Si la distribucin de fuerzas dinmicas F (o para fuerzas estticas) es proporcional en cada masa al producto de la masa por su desplazamiento en el modo j , es decir jXMF , nicamente FX Tjj = no ser igual a cero y por

consiguiente slo el modo j ser excitado. El sistema vibrar manteniendo constante la forma del modo j , o sea jX , variando solamente su amplitud, que depender de la funcin ( )tf . En la mayora de los casos prcticos el factor de participacin esttica

i tiende a decrecer para los modos ms altos, es decir aquellos con valores altos de frecuencias.

La importancia relativa del factor de participacin dinmica )(td i para cada modo ser una funcin de la variacin de ( )tf con el tiempo en relacin con la frecuencia natural i . Nuevamente, en general, las frecuencias ms altas tendrn menor amplificacin y como resultado, la contribucin de los modos altos en la respuesta no ser tan significativa. En la mayora de casos prcticos solamente algunos modos (3 a 5 a lo ms) sern suficiente para obtener una respuesta apropiada. (ello considerando el problema plano; sin embargo si el problema se modela tridimensionalmente habr que triplicar este nmero).

SECC. 9.5: ANLISIS MODAL PARA EXCITACIONES SSIMICAS 11


La determinacin de )t(d i requiere la solucin de la ecuacin de movimiento para un sistema de 1 GDL. Esta puede efectuarse tanto en el campo del tiempo como en el campo de frecuencias.

Debe tenerse en cuenta que la aplicacin del anlisis modal requiere no solamente que el problema sea lineal (ya que est basado en la superposicin) sino tambin la existencia de una matriz de amortiguamiento C apropiada que satisfaga la condicin de ortogonalidad. Si se usa un modelo de acoplamiento cercano (ver Cp. 8) cada masa estar conectada a la superior e inferior por un amortiguador y la matriz de amortiguamiento tendra una forma similar a la de la matriz de rigidez:

+

++

+

=

nn

nnnn

cccccc

cccccccc

ccc

C

00000

:::::0..00..00..00

11

4433

3322

221

(9.40)

Otra forma de hacerlo es calcular una matriz de amortiguamiento con la siguiente expresin

MQ B Q M= C T (9.41)

donde M es la matriz de masas, Q la matriz modal (conteniendo todas las formas modales como columnas) y B es una matriz diagonal cuyo trmino isimo es igual a

ii2 (ver Cp. 8). En la mayora de los casos, cuando se usa anlisis modal, la matriz de

amortiguamiento ni siquiera se ensambla, sino que se comienza definiendo los porcentajes modales de amortiguamiento i y se los incorpora directamente en las ecuaciones modales, Ec. (9.39).

9.5 ANLISIS MODAL PARA EXCITACIONES SSMICAS En esta seccin veremos cuando un sistema de varios grados de libertad est sometido a una excitacin ssmica, la que es representada usualmente como una aceleracin horizontal en la base.

Por simplicidad, para un mejor entendimiento de la expresin general, demostraremos la expresin general basndonos en un sistema de vibracin libre de


2 GDL dinmicos en el que no se considerar el amortiguamiento. Adems, en dicho sistema se indicarn los desplazamientos absolutos u y relativos y (Fig. 9.2.a).

De la Fig. 9.2.b aplicando equilibrio dinmico para el primer y segundo nivel, en ese orden, resulta:

0)(0)( 22121111221111 =++=+ ykykkumyykykum &&&& (9.42) 00)( 22122212222 =+=+ ykykumyykum &&&& (9.43)

Como se pude observar las Ecs. (9.42) y (9.43) estn en funcin de desplazamientos absolutos u y desplazamientos relativos a la base y . Entre lo absoluto y relativo podra optarse por escoger cualquiera de los dos. Sin embargo

Fig.9.2 (a) Sistema simplificado no forzado de 2 GDL dinmicos (b) Movimiento de la base debido a una exitacin sismica.

2y

2

1m

2m

1k

2k

11um &&

1y

1

1111 ykk =

)( 12222 yykk =22um &&

2u

1u

1m1m

1k

2k

2m2m

)( 12222 yykk =

Fig.9.2.a Sistema simplificado

Fig.9.2.b Movimiento de la Base

)(tuG

SECC. 9.5: ANLISIS MODAL PARA EXCITACIONES SSMICAS 13


optaremos por trabajar con los desplazamientos relativos a la base, lo cual es conveniente, puesto que las Ecs. (9.42) y (9.43) quedarn expresadas de una forma ya tratada en el Cap. 8. El fundamento de lo dicho nuevamente ser dado en breve una vez que se obtengan las ecuaciones de movimiento en funcin de y .

Observando la Fig. 9.2.b, vemos que los desplazamientos absolutos y lo relativos a la base estn relacionados mediante:

iGi ytuu += )( (9.44)

donde, para nuestro caso, i va de 1 a 2, puesto que estamos analizando un sistema de 2 GDL dinmicos. Derivando dos veces la Ec. (9.44) tenemos:

iGi ytuu &&&&&& += )( (9.45)

Al reemplazar las Ecs. (9.44) y (9.45) en (9.42) y tambin en (9.43) se tiene:

0)())(( 1221111 =++ yykykytum G &&&& 0)())(( 12222 =++ yykytum G &&&&

luego, al reordenar estas ecuaciones se tiene:

)()( 12212111 tumykykkym G&&&& =++ (9.46) )(2221222 tumykykym G&&&& =+ (9.47)

Ya reordenadas es fcil darse cuenta ahora que, como ya se dijo, fue conveniente colocar las ecuaciones en funcin de los desplazamientos relativos a la base ya que ecuaciones similares fueron tratadas en el Cap. 8, solo que en este caso la fuerza, es decir el trmino )(tum Gi && , depende de la masa im y de la aceleracin del suelo o de la base )(tuG&& . Expresado de otra manera, podemos decir que las Ecs. (9.46) y (9.47) tienen por vector fuerza a F(t) dado por:

=

=

)()(

)()(

)(2

1

2

1

tumtum

tfPtfP

tFG

G

&&&&

Entonces, un sistema equivalente al sistema libre de la Fig. 9.2 vendra a estar dado por el sistema forzado que se muestra en la Fig. 9.3:


Ordenando matricialmente las Ecs. ( 6.46) y ( 6.47 ) se tiene:

=

++

)()(

00

2

1

2

1

22

221

2

1

2

1

tumtum

yy

kkkkk

yy

mm

G

G

&&&&

&&&&

La ecuacin anterior se suele escribir de la siguiente manera:

)(11

00

00

2

1

2

1

22

221

2

1

2

1 tum

myy

kkkkk

yy

mm

G&&&&&&

=

++

(9.48)

su notacin matricial de una manera mas concisa sera:

)(tuIMYKYM G&&&& =+ (9.49)

donde:

Fig. 9.3 Diagrama de cuerpo libre ( DCL ) del sistema simplificado forzado sin amortiguamiento, expresado en desplazamientos relativos a la base y

2y

2

1m

2m

1k

2k

11 ym &&

)()( 22 tumtfP G&&=

)()( 11 tumtfP G&&=

1y

1

1111 ykk =

)( 12222 yykk =)( 12222 yykk =

22 ym &&



=

=

=

11

2

1

2

1 Ieyy

Y,yy

Y &&&&&&

Son los vectores aceleracin y desplazamiento relativos a la base, y el vector columna 1 , en ese orden; adems:

+=

=22

221

2

1

00

kkkkk

Kym

mM

son la matriz masa y de rigidez respectivamente.

Una expresin ms general, para el sistema forzado con amortiguamiento de 2 GDL dinmicos que se muestra a continuacin:

1 Se debe de tener bien claro, para lo concerniente al tema, que I es un vector columna cuyos elementos son todos unos. No debemos confundirlo con la matriz identidad.

1m

)()( 22 tumtfP G&&=

)()( 11 tumtfP G&&=2k

1k

2m

1c

2c

Fig. 9.4 Sistema forzado con amortiguamiento de 2 GDL dinmico (con fuerzas que dependen de las masas y de la acleracin de la base), el cual es la equivalencia del problema original mostrado en la Fig. 9.2 (un sistema de vibracin Libre de n GDL con amortiguamiento cuando est sometida a una aceleracin en el suelo o la base).

16 CAP. 9:ANLISIS SSMICO POR SUPERPOSICIN MODAL ESPECTRAL es la siguiente expresin:

)t(uIM = Y K Y C Y M G&&&&& ++ (9.50)

Se debe enfatizar que la Ec. (9.50), expresada en desplazamientos relativos, representa la ecuacin para cuando se tiene un sistema de vibracin libre de n GDL con amortiguamiento cuando est sometido a una aceleracin en la base (ver Fig. 9.2 , 9.3 y 9.4).

Adems, se debe recordar al lector que en el Cap. 8 se explic como es que se forma la matriz de amortiguamiento C . Adems se muestran las condiciones que debe cumplir dicha matriz para poder ser incluida en la Ec. (9.49) para finalmente tomar la forma de la Ec. (9.50).

De la Ec. (9.50) con Y , Y& e Y&& los vectores de desplazamiento, velocidad y aceleracin relativos a la base )uIU Y( G= e I vector cuyos elementos son todos iguales a la unidad, y (t)uG&& la aceleracin del suelo, procederemos a aplicar descomposicin modal presentada en la seccin anterior.

Basados en la forma que tiene la Ec. (9.50), de forma anloga que en secciones anteriores, se har uso de la propiedad de los modos, puesto que, como ya se sabe, nos permite expresar cualquier vector del espacio vectorial, por ellos definido, como una combinacin lineal de las formas modales y ciertos coeficientes. Para tal propsito se supondr que la solucin de las ecuaciones de movimiento viene dada por:

X ta = Y ii

n

1i)(

= (9.51)

derivando una vez obtendramos:

X ta = Y ii

n

1i=)(&&

(9.52)

derivando dos veces obtendramos:

X ta = Y ii

n

1i)(&&&&

= (9.53)

al ser sustituidas las Ecs. (9.51), (9.52) y (9.53) en la Ec. (9.50), es decir, sustituyendo este vector Y y sus derivadas Y&& y Y&& , expresadas en funcin de las formas modales iX , las ecuaciones de movimiento que obtendramos seran:



)t(uIM =] (t)aXK +(t)aXC + (t)aX[M

)t(uIM = X(t)aK X(t)aC + X(t)aM

Giiiiii

n

1i=

Gii

n

1iii

n

1iii

n

1i

&&&&&

&&&&&

+

===

Luego al premultiplicar esta ltima ecuacin por el vector TjX ( para nj ,,2,1 K= ), el cual es independiente de i , obtendramos:

)t(uIMX =] )t(aXKX +)t(aXC X+ )t(aXM[X

)t(uIMX =] )t(aXK +)t(aXC + )t(aX[MX

GTjii

Tjii

Tjii

Tj

n

1=i

GTjiiiiii

n

1=i

Tj

&&&&&

&&&&&

Al aplicar las condiciones de ortogonalidad:

10 = XM Xi jsii peroj para = XMX iTii

Tj = (9.55)

iiiTii

Tj = XCX i jsii peroj para = CXX 20 = (9.56)

( Si C tiene una forma especial )

= XKXi pero j para = XKX iiTii

Tj

20 (9.57)

en la Ec. (9.54), para j = i , ahora, esta sera:

)t(uIMX = (t)aXKX + (t)aXCX + (t)aXMX GTiiiTiiiTiiiTi &&&&& (9.58)

De manera similar a lo hecho en secciones anteriores, al escribir la Ec. (9.58) de otra manera se tiene:

)(tuF = (t)aK + (t)aC + (t)aM Geiieiieiiei &&&&& (9.59)

siendo eiei

ei

ei FyKCM ,, escalares, correspondientes a cada modo de vibracin

i . Luego, dividiendo la Ec. (9.59) entre eiM resulta :

)(tuMF

= (t)aMK

+ (t)aMC

+ (t)a Gei

ei

iei

ei

iei

ei

i &&&&& (9.60)

(9.54)


Siendo la Ec. (9.60) la que representa las n ecuaciones modales del movimiento. Al observarla, vemos que posible realizar una analoga de sta con el caso cuando solo se tena 1 GDL, o sea:

iTi

iTi

iiiii

Ti

iTi

e

e

crticoiei

ei

crticoei

ei

i

XMXXCX

XMXXCX

MC

mc

ccaeequivalentes

MC

CC

(%)

===

====

22

22 (%))(

Se demostr tambin en la Secc. 9.4.1 que:

i

Ti

iTi

i XMXXKX=2 (9.62)

y que adems, segn la Secc. 9.4.2 , el factor de participacin esttica i , trmino que relaciona los modos y las matrices F y M, estaba dado por:

i

Ti

Ti

i XMXFX = solo que en este caso F = M I

quedando entonces, expresado como:

( )=

=== nj

jij

n

jjij

iTi

Ti

i

xm

xm

XMXIMX

1

2

1 (9.63)

Teniendo en cuenta que las Ecs. (9.58), (9.59), (9.60) y (9.61) podran reducirse debido a que los modos fueron normalizados respecto a la matriz de masas, o sea

1=iTi XMX , segn esto, dichas ecuaciones se escribirn as:

)(tuMIX = (t)aXKX +(t)aXCX + (t)a GTiiiTiiiTii &&&&& . (9.64) iTiii XCX=2 (9.65) iTii XKX=2 (9.66) IMX Tii = (9.67)

Entonces en la Ec. (9.64) al reemplazar las Ecs. (9.65), (9.66) y (9.67), se tiene:

(9.61)



)(2 2 tu = (t)a (t)a + (t)a Giiiiiii &&&&& + (9.68) que representa las n ecuaciones modales de movimiento para un sistema forzado considerando amortiguamiento.

Y se suele expresar, al igual que en las secciones anteriores , como:

iiin

1=iXtdY )(= (9.69)

Al relacionar la Ec. (9.69) con la Ec. (9.51), vemos que iii )t(d)t(a = . Donde )(td i , es el factor de participacin dinmica (dependiente del tiempo) y i el factor de participacin esttica (independiente del tiempo). Luego la Ec. (9.68) en funcin de )(td i quedara expresada como:

)()()(2)( 2 tu = td td+ td Giiiiii &&&&& + (9.70) En resumen la respuesta estar dada por:

X(t)d = Y iiin

1=i (9.71)

n1,2,...,=i para (t)u-=(t)d + (t)d2 + (t)d Gii2

iiii &&&&&& (9.72) MJX MIX = TiTii (9.73)

(si el modelaje es tridimensional 1 )

Hay dos formas de realizar el anlisis modal:

a) Se puede resolver cada ecuacin modal tanto en el dominio del tiempo como en el de frecuencias es decir integrada directamente o haciendo un cambio de variables de t a y resuelta en ese campo mediante el uso de las transformadas de Fourier.

Es ms usual lo primero en que la solucin de la ecuacin modal o sea toda la historia en el tiempo de (t)d i es almacenada. Luego los modos se superponen apropiadamente en cada intervalo de tiempo y el tiempo-historia para cada efecto se revisa para encontrar su mximo valor. Esta superposicin tiene que ser repetida independientemente para cada efecto ya que los coeficientes que afectan las respuestas modales (o sea las contribuciones de cada modo a cada respuesta en particular) variarn de un efecto al otro. Por ejemplo los desplazamientos de un piso relativo al terreno, la aceleracin absoluta de una masa o la fuerza cortante en una columna. Por consiguiente

1 Esto se ver mas adelante en la Secc. 9.7.1.



este proceso es tedioso si se desea determinar muchas respuestas, como por ejemplo todas las fuerzas en los elementos de un edificio. Ntese, sin embargo, que la determinacin de todas las fuerzas, momentos, cortes en una estructura es un problema esttico una vez que se aplica a cada prtico un juego de desplazamientos iguales a la forma modal X i . Estos valores modales despus sern multiplicados por (t)d i y i .

b) El anlisis modal puede tambin llevarse a cabo manteniendo para cada modo slo la mxima respuesta d mxi, . Esto es particularmente conveniente cuando se usa un espectro de respuesta para representar el movimiento, en vez de un registro -que es precisamente el caso de los anlisis ssmicos especificados en los cdigos de diseo- ya que el valor d mxi, se lee directamente del espectro para el amortiguamiento deseado,

),( S = d iidmxi, ; vase Cap. 5. Este procedimiento es el que se conoce precisamente como anlisis modal espectral.

Para ilustrar el primer procedimiento supongamos que el edificio de la Fig. 9.11 est siendo sometido a una aceleracin de la base de 1.0 m/s que acta durante medio segundo.

Para simplificar el anlisis supongamos que no hay amortiguamiento. La solucin

de la Ec. (9.72) para el caso sin amortiguamiento y en que 1 = uG&& est dada por:

t t para t) - (1 1 = (t)d di

i2i cos (9.74)

t > t parat] - )t-(t[ 1 = (t)d didi

i2i coscos (9.75)

Luego el desplazamiento para cada modo est dado por las siguientes expresiones, aplicando la Ec. (9.71):

)84.65cos1(000017.0

5.0)05.33cos1(000600.0)074.9cos1(017000.0

ttparat

t

0.5 las expresiones se modifican de acuerdo a la Ec. (9.75).

La respuesta del desplazamiento del piso superior debido a los dos primeros modos puede observarse en la Fig. 9.5. El modo 3 no tiene significacin prctica.

SECC. 9.6: ANLISIS DINMICO MODAL ESPECTRAL 21


Fig. 9.5 Desplazamiento del piso superior. 1er y 2do modo Pulso de 1m/s2 y td = 0.55 s en la base

9.6 ANLISIS DINMICO MODAL ESPECTRALEn este caso particular del anlisis modal la respuesta mxima correspondiente al modo i estar expresada como sigue:

XS=Y iidimxi , (9.77) donde Sdi es el valor ledo del espectro de respuesta que se est usando y que

puede ser el valor mximo de la solucin de la ecuacin modal:

n1,2,...,=i con (t)u-= (t)d + (t)d2 + (t)d Gii2

iiii &&&&& (9.78)

el valor ledo de un espectro terico suavizado como los que se consignan en las normas de diseo. Lo cierto es que en ambos casos del espectro se obtienen los valores mximos de la aceleracin, desplazamiento o velocidad para una frecuencia determinada y un amortiguamiento fijo que son el dato de entrada para la expresin (9.77)

El factor de participacin esttica tiene la expresin presentada anteriormente para el caso de una excitacin ssmica:

MJX MIX = TiTii (9.79) (si el modelaje es tridimensional)


Ntese que los mximos para otros efectos como fuerzas en los elementos se determinan para cada modo de un anlisis esttico, obteniendo los valores del j

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