Análisis Probabilístico

Análisis

Probabilístico

2

CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC

A N Á L I S I S P R O B A B I L Í S T I C O

A N Á L I S I S P R O B A B I L Í S T I C O 3

CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES

Índice

Presentación .................................................................................................................... 5

Red de Contenidos .......................................................................................................... 7

Unidad de Aprendizaje 1

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA .......................................................................................... 9

1.1 Tema 1 : Conceptos básicos sobre Estadística ................................................ 11 1.1.1 : Población y Muestra ............................................................................... 12 1.1.2 : Variable .................................................................................................. 13 1.1.3 : Técnicas e instrumentos de recolección de datos ................................... 14 1.1.4 : Interpretación y elaboración de tablas o cuadros de distribución de

frecuencias para datos cualitativos, cuantitativos discretos y continuos .. 16 1.1.5 : Interpretación y elaboración de gráficos estadísticos: Histograma,

Polígono de Frecuencia y Diagrama Circular .......................................... 23

1.2 Tema 2 : Medidas de tendencia central ............................................................. 33 1.2.1 : Tipos y aplicaciones de las medidas de tendencia central ...................... 33 1.2.2 : Cálculo e interpretación de medidas de tendencia central ...................... 35

1.3 Tema 3 : Medidas de dispersión ......................................................................... 45 1.3.1 : Tipos y aplicaciones de las medidas de dispersión: Varianza,

Desviación Estándar y Coeficiente de Variación ..................................... 45 1.3.2 : Cálculo e interpretación de medidas de dispersión ................................. 46

Unidad de Aprendizaje 2

PROBABILIDADES .......................................................................................................... 55

2.1 Tema 4: Probabilidad clásica ................................................................................ 57 2.1.1 : Técnicas de conteo: Permutaciones y Combinaciones ............................... 57 2.1.2 : Principio de adición y multiplicación ............................................................ 58 2.1.3 : Definición de Probabilidad Clásica .............................................................. 58

2.2 Tema 5: Probabilidad condicional ......................................................................... 61

Bibliografía ......................................................................................................................... 71

4





Presentación

Hoy en día, la toma de decisiones es muy importante en cualquier área de trabajo. En esta oportunidad, el manual está orientado al área de negocios. En la actualidad, todo profesional debe estar en constante contacto con información de naturaleza estadística. Es más, muchas veces es necesario que un profesional de cualquier área tenga que realizar alguna medición estadística para poder tener una idea acerca de la marcha de una empresa, para tomar una decisión organizacional o, finalmente, para proyectar datos a futuro. El presente curso ofrece, al futuro profesional, las herramientas estadísticas necesarias para organizar, calcular, evaluar e interpretar información estadística, haciendo énfasis en los fundamentos para realizar dichos procesos.

Así, se estudian los fundamentos teóricos y prácticos de la Estadística Descriptiva e Inferencial, haciendo énfasis en la lógica de sus diferentes métodos y técnicas de trabajo y los recursos de los que disponen para calcular y obtener las soluciones a los problemas planteados. Además, se adquiere destreza en la interpretación y manejo de las definiciones, teoremas y fórmulas estadísticas.

En la primera parte del curso, se exponen las herramientas metodológicas para el análisis de cuadros estadísticos en donde se analizará las medidas de tendencia central y medidas de dispersión. La segunda parte comprende la aplicación de la teoría de probabilidades clásica y condicional y así contar con una herramienta, estadísticamente confiable, para la toma de decisiones.

En las sesiones de clase, el curso se desarrolla en forma teórico – práctica; por lo que las mismas tendrán exposiciones dialogadas sobre los fundamentos de los temas que se tratarán y la resolución de ejercicios, dándole mayor énfasis a esta última parte y al análisis e interpretación de resultados.

6





Red de Contenidos

ANÁLISIS

PROBABILÍSTICO

Conceptos Básicos

Estadística

Descriptiva

Medidas Estadísticas

De Dispersión De Tendencia

Central

Probabilidad

Variables

Distribución de Frecuencias

Población Muestra

Condicional Clásica

Técnicas Instrumentos de Recolección

Gráficos

8



La Estadística como ciencia nos ofrece un conjunto de métodos y técnicas para

recolectar, organizar y procesar, presentar, analizar e interpretar un conjunto de datos,

con la finalidad de conocer el problema, obtener algunas conclusiones y finalmente

tomar decisiones.

1. RECOPILAR 2. ORGANIZAR

´

3. PRESENTAR 4. ANALIZAR

TOMA DE DECISIONES



UNIDAD

1

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE

Al término de la unidad, el alumno, trabajando de manera individual, calcula e interpreta estadísticas de tendencia central, de posición y de dispersión, sobre la base de un conjunto de datos no agrupados o agrupados en una Tabla de Distribución de Frecuencias.

TEMARIO

1.1 Tema 1 : Conceptos básicos sobre Estadística 1.1.1 : Población y Muestra 1.1.2 : Variables estadísticas y su clasificación 1.1.3 : Técnicas e instrumentos de recolección de datos –

Validez y Confiabilidad 1.1.4 : Interpretación y elaboración de cuadros de distribución de frecuencias

para datos cualitativos, cuantitativos discretos y continuos 1.1.5 : Interpretación y elaboración de gráficos estadísticos: Histograma,

Polígono de Frecuencia y Diagrama Circular

1.2 Tema 2 : Medidas de tendencia central 1.2.1 : Tipos y aplicaciones de las medidas de tendencia central 1.2.2 : Cálculo e interpretación de medidas de tendencia central.

1.3 Tema 3 : Medidas de dispersión

1.3.1 : Tipos y aplicaciones de las medidas de dispersión: Varianza, Desviación Estándar y Coeficiente de Variación

1.3.2 : Cálculo e interpretación de medidas de dispersión para datos no agrupados

10



ACTIVIDADES PROPUESTAS

Los estudiantes, trabajando de manera individual, construyen, calculan e interpretan tablas de distribuciones de frecuencias, para datos cualitativos, cuantitativos discretos y continuos; calculan medidas de tendencia central, medidas de posición y medidas de dispersión, tanto para datos discretos como para datos continuos.



1.1. TEMA 1: CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA

ESTADÍSTICA: Es una ciencia, parte de la matemática aplicada, que trata acerca de

la recolección, organización, presentación, análisis e interpretación de datos obtenidos en un estudio con la finalidad de facilitar la toma de decisiones. La Estadística se aplica a cualquier campo de la ciencia y constituye uno de los idiomas esenciales para comunicarse en el mundo universal de la ciencia y la tecnología.

Es una herramienta fundamental para realizar investigación científica. Se divide en dos grandes ramas de trabajo:

Estadística Descriptiva

Estadística Inferencial

Estadística descriptiva

Son métodos y técnicas de recolección, caracterización, resumen y presentación que

permiten describir apropiadamente las características de un conjunto de datos. Comprende

el uso de gráficos, tablas, diagramas y criterios para el análisis.

Estadística Inferencial

Son métodos y técnicas que hacen posible estimar una o más características de una

población o tomar decisiones sobre población basadas en el resultado de muestras. Estas

conclusiones no son totalmente válidas y tienen cierto margen de error.

También, la estadística inferencial se ocupa de los procesos de estimación, análisis y

prueba de hipótesis, con el propósito de llegar a conclusiones que brinden una adecuada

base científica para la toma de decisiones tomando como base la información captada por

la muestra.

Proceso

Muestra

Producto

Medición

Resultados

numéricos

12



1.1.1 Población y Muestra

Definimos la POBLACIÓN o UNIVERSO de un proceso estadístico a la totalidad de elementos entre los cuales se presenta determinada característica susceptible de ser estudiada. Estos elementos pueden ser personas, objetos, etc.

Definimos la MUESTRA como una parte o un subconjunto de la población que se está estudiando. Esta muestra se selecciona con el propósito de obtener información, acerca de toda la población, utilizando técnicas de inferencia estadística.

En el recuadro adjunto, proporcione tres ejemplos de población con su respectiva muestra:

POBLACIÓN MUESTRA

La producción de celulares, marca HH, durante el mes pasado.

Tres celulares marca HH, seleccionados al azar de la producción de mes pasado

Indique si las siguientes afirmaciones corresponden a una población o a una muestra

Afirmación Población Muestra

Ocupaciones actuales del 30% de profesionales Licenciados en Matemática, egresados hace 6 años

Niños nacidos vivos en la Clínica “W” desde su apertura hasta la actualidad

Ventas de productos de primera necesidad en tres mercados de tu ciudad

Antecedentes fisiológicos de 15 mujeres de 30 a 49 años de edad atendidas en el hospital “Y” durante los meses de Enero – Abril del año pasado

Tipo de dieta en el 60% de las raciones servidas a pacientes en el Hospital “Z”.

Precios de todos los productos químico farmacéuticos importados por el Perú el año pasado

Reclusos egresados de un Centro Penitenciario hace dos años

Enfermos con cáncer, observados desde que se creó la Clínica Oncológica “X”



1.1.2 Variable

Es todo valor o característica (magnitud, número, vector, etc.) de un elemento que forma parte

de la muestra y/o población, que es susceptible de ser medido, utilizando algún

instrumento de medición. La determinación de la(s) variables(s) contesta a la pregunta:

¿QUÉ ESTOY ESTUDIANDO?

Variable cuantitativa

Es susceptible de ser representada numéricamente (indica cantidad).

Las variables cuantitativas se denominan DISCRETAS cuando la cantidad de valores

posibles que puede tomar la variable es finita; es decir, cuando están formadas

solamente por una parte entera.

Las siguientes son ejemplos de variables discretas: número de autos vendidos por una

tienda en un día, número de alumnos asistentes a las clases de un curso de estadística.

Las variables cuantitativas se denominan CONTINUAS cuando la cantidad de valores

posibles que puede tomar la variable es infinita; es decir, cuando están formadas

por una parte entera y una parte decimal.

Las siguientes son ejemplos de variables continuas: tiempo que demora un estudiante

en realizar un examen, peso de un estudiante.

Variable cualitativa

Indica alguna cualidad, atributo o categoría del elemento estudiado. Se caracterizan porque

por sí misma no proporciona valor numérico.

Las variables cualitativas se denominan ORDINALES cuando los datos

proporcionados por la variable son susceptibles de ser ordenados a través de una

jerarquía.

Las variables cualitativas se denominan NOMINALES cuando no es posible ordenar los datos bajo una determinada regla.

CLASIFICACIÓN

VARIABLES CUANTITATIVAS

DISCRETA

Ejemplo: Número de articulos vendidos,

número de estudiantes

CONTINUIDAD

Ejamplo: Edad, talla, peso, precio, etc

VARIABLES CUALITATIVAS

NOMINAL

Ejemplo: Género, estado civil, marca de

computador, etc

ORDINAL

Ejemplo: Grado de instrucción, jerarquía

en una empresa, clase social, etc.

14



A continuación, se muestra una relación de variables, las que debes clasificar, de acuerdo a lo indicado en la tabla:

Variable Cualitativa Cuantitativa

Nominal Ordinal Discreta Continua

Preferencias políticas (Izquierda, centro, derecha)

Marcas de gaseosa

Peso en Kg

Velocidad en Km/hr

Número de empleados de una empresa

Ubicación según cuadro de méritos

Nacionalidad

Nivel de instrucción

Número de ancianos abandonados en los hospitales

Grado de desnutrición

Categoría docente (Principal, asociado, auxiliar)

Consumo per cápita

Nivel de inflación mensual

Número telefónico de los estudiantes

1.1.3 Técnicas e instrumentos de recolección de datos – Validez y Confiabilidad

Una Técnica de Recolección de Datos es un procedimiento y/o actividad que le permite al investigador obtener la información necesaria para dar respuesta a su pregunta de investigación. Cada técnica de recolección de datos tiene su propio instrumento.

Algunas técnicas de recolección de datos se muestran en las siguientes imágenes:



Proponga las técnicas e instrumentos que se podrían utilizar en la recolección de datos para responder las preguntas que se presentan a continuación y explique la razón de su elección:

PREGUNTA TÉCNICA INSTRUMENTO

Opinión de los estudiantes universitarios de tu ciudad sobre la acreditación de las universidades

Niveles de autoestima de los trabajadores de una empresa

Comportamiento de los estudiantes durante la prueba final de un curso.

Pronóstico del número de productos vendidos de cierta empresa privada, para el próximo año, teniendo en cuenta las ventas durante los últimos diez años

Proceso productivo más confiable para producir harina de pescado en alta mar.

Estimación de los ingresos en el rubro de servicios de telefonía fija, basado en registros de años anteriores

Experiencias de las personas sometidas a terapia sicológica por violencia familiar

Propuesta de los decanos de las Escuelas de Medicina sobre el logro de las competencias profesionales de sus estudiantes

16



1.1.4 Interpretación y elaboración de tablas o cuadros de distribución de frecuencias para datos cualitativos, cuantitativos discretos y continuos

Cuando los datos son recolectados, estos se deben ordenar y clasificar. Para realizar esta

tarea, los datos se pueden clasificar utilizando cuadros estadísticos y gráficos estadísticos.

Las Tablas de Distribución de Frecuencias permiten la organización y presentación de un

conjunto de datos de acuerdo con la variable estudiada. En estas tablas, el ordenamiento

de los datos se realiza en función a algunos elementos básicos que forman parte del

contenido:

Frecuencias Absolutas (fi);

Frecuencias Absolutas Acumuladas (Fi);

Frecuencias Relativas (hi)

Frecuencias Relativas Acumuladas (Hi).

a) Frecuencias absolutas, relativas y porcentuales

Frecuencia Fórmula

La frecuencia absoluta (fi) de una clase es la cantidad de elementos que pertenecen a esa clase. ∑

La frecuencia relativa (hi) de una clase es la proporción de elementos que pertenecen a esa clase.

La frecuencia porcentual (hi%) de una clase es la frecuencia relativa multiplicada por 100%.

b) Frecuencias acumuladas

Frecuencia Fórmula

La frecuencia acumulada absoluta (Fi) de una clase es la cantidad de elementos que pertenecen hasta esa clase

∑

La frecuencia acumulada relativa (Hi) de una clase es la proporción de elementos que pertenecen hasta esa clase

La frecuencia acumulada porcentual (Hi%) de una clase es la frecuencia acumulada relativa multiplicada por 100%.

Notas

Conteo

Frec. Abs.

Frec. Abs.

Acumuladas Frec. Relat.

Frec. Relat.

Acumuladas

Xi fi Fi hi Hi

10 5 5 0.17 0.17

13 2 7 0.07 0.23

15 12 19 0.40 0.63

16 7 26 0.23 0.87

7 4 30 0.13 1.00

Suma 30 1



CLASIFICACIÓN DE LOS CUADROS DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

1.1.4.1 Tabla de Distribución de Frecuencias para datos cualitativos Se encuestaron a 36 personas y entre las preguntas realizadas, se les solicitó indicaran su grado de instrucción, las respuestas que proporcionaron fueron registradas:

Sup Prim Post Post Sup Sec Sec Sup Post Sec Sup Sup

Sup Sup Sec Sup Sup Sup Sup Sup Sup Sup Prim Sup

Sup Sec Sup Sup Sec Sup Sup Sec Prim Sup Sup Sec

CUADRO N° 1: GRADO DE INSTRUCCIÓN DE LOS ENCUESTADOS

G° INSTRUCCIÓN N° ENCUEST. %

PRIMARIA 3 8.3%

SECUNDARIA 8 22.2%

SUPERIOR 22 61.1%

POST GRADO 3 8.3%

TOTAL 36 100% FUENTE: ENCUESTA REALIZADA EN EL MES DE MAYO DEL 2015

9%

22%

61%

8%

GRÁFICO N° 1: Grado Instrucción de los encuestados

PRIMARIA

SECUNDARIA

SUPERIOR

POST GRADO

Fuente: Cuadro N° 1

DISTRIBUCIÓN DE

FRECUENCIAS

18



1.1.4.2 Tabla de Distribución de Frecuencias para Datos Discretos

Se utilizan cuando la variable es cuantitativa discreta. Se caracteriza porque no hay

que formar intervalos (no es necesario agrupar los datos)

EJEMPLO:

A continuación, se muestra el número de hijos de 36 familias de Lima:

2 3 4 5 1 2 3 2 1

0 2 1 5 3 1 2 3 2

2 4 3 5 2 0 2 1 3

1 1 4 2 3 4 5 1 0

SOLUCIÓN:

La variable de estudio (X) es el número de hijos de 36 familias. Luego, construyendo la Tabla de Distribución de Frecuencias, se tiene lo siguiente:

X fi

N° Hijos N° Familias Fi hi Hi

0 3 3 0,0833 0,0833

1 8 11 0,2222 0,3055

2 10 21 0,2778 0,5833

3 7 28 0,1944 0,7777

4 4 32 0,1111 0,8888

5 4 36 0,1111 0,9999

36 ≈ 1

1.1.4.3 Tabla de Distribución de Frecuencias para Datos Continuos

Son aquellas que se utilizan para agrupar datos cuantitativos continuos mediante

intervalos de frecuencias llamados intervalos de clase. Para construir la tabla con

intervalos de clase, se debe de tener en cuenta los siguientes cálculos:

a) Rango (R). Llamado también recorrido de datos, es la diferencia entre el valor

máximo y mínimo de la variable.

b) Número de intervalos de clase (m). El número de intervalos depende

principalmente del número de observaciones; sin embargo, es recomendable que

no sea menor que 5 ni mayor de 15 intervalos. Para determinar el número de

intervalos, usaremos la fórmula de Sturges:

.k L n 1 3 32 og

c) Amplitud de Clase (A). Es el tamaño o longitud que deben tener los intervalos; se

recomienda tener intervalos del mismo tamaño. Como regla general para

determinar esta amplitud se dividirá el rango entre el número de intervalos de

clase. El valor de c se redondeara por exceso según la cantidad de decimales que

tenga la base de datos.

RA=

k



d) Marca de Clase (mi): La marca de clase es el valor representativo del intervalo

(Valor medio).

e) Construir los intervalos: Li - Ls

1er. Intervalo: Li : Xmin Ls : Xmin + A

2do. Intervalo:

Li :

Xmin + A

Ls :

Xmin + 2A

3er. Intervalo:

Li :

Xmin + 2A

Ls :

Xmin + 3A

4to. Intervalo:

Li :

Xmin + 3A

Ls :

Xmin + 4A

Y así, sucesivamente, hasta llegar al último intervalo.

f) Hallar las frecuencias absolutas (fi) de cada intervalo, contabilizando el número de

datos de la muestra que pertenecen a cada intervalo.

g) Las frecuencias absolutas acumuladas (Fi), así como las frecuencias relativas (hi

y Hi) se hallan de la misma forma que para una distribución de frecuencias de variables cuantitativas discretas.

EJEMPLO 1:

El jefe de la Oficina de Rentas de la Municipalidad de Miraflores ha realizado un estudio

sobre los impuestos que pagan los vecinos del distrito. La tabla muestra los pagos de

impuestos, en nuevos soles, en el 2014 de 48 viviendas elegidas al azar.

145,1 216,3 252,5 303,6 196,9 234,8 265,2 317,2 206,5 242,9 289,1 331,7

151,0 225,9 257,1 305,8 202,6 238,4 271,0 320,2 208,0 244,0 291,0 344,6

159,0 227,1 259,2 315,4 204,9 239,9 286,7 324,8 208,0 247,7 291,9 346,7

195,6 231,2 262,5 315,5 206,1 241,1 288,1 331,1 209,3 249,5 294,5 351,1

Elabore la tabla de frecuencias para el variable pago por impuestos municipales año 2014

Solución

El rango “R” se calcula con:

R =xmax - xmin = 351,1 – 145,1 = 206

Siguiendo la regla de Sturges, el número de intervalos es:

K=1+ 3,322 log n = 1+3,322 log (48)= 6,585= 7

El ancho del intervalo es: A=206/ 7 =29,5

2i

Ls Lim

20



Distribución de frecuencias del pago de impuestos municipales del

año 2014

Pago de impuestos

Marca de clase

mi

N° Viviendas

fi

Fi hi Hi

[145,1 - 174,6> 159,85 3 3 0,0625 0,0625

[174,6 - 204,1> 189,35 3 6 0,0625 0,1250

[204,1 - 233,6> 218,85 10 16 0,2084 0,3334

[233,6 - 263,1> 248,35 12 28 0,2500 0,5834

[263,1 - 292,6> 277,85 7 35 0,1458 0,7292

[292,6 - 322,1> 307,35 7 42 0,1458 0,8750

[322,1 - 351,6] 336,85 6 48 0,1250 1,0000

Total 48 1.0000

Fuente: Registro de Rentas de la Municipalidad de Miraflores

EJEMPLO 2:

Los siguientes datos son los puntajes obtenidos por 50 estudiantes en un examen:

33 50 61 69 80 35 52 64 71 81

35 53 65 73 84 39 54 65 73 85

41 55 65 74 85 41 55 66 74 88

42 57 66 76 90 45 59 66 77 91

47 48 60 68 78 97 60 67 77 94

En el ejercicio, construye la tabla de frecuencias.

SOLUCIÓN:

Aplicando la Regla de Sturges, encontramos que K ≥ 6,64 → K = 7

El rango de los datos está dado por R = 97 – 33 = 64

Luego, la amplitud de los intervalos está dado por A = (64/7) = 9,143

Finalmente, construyendo la Tabla de Distribución de Frecuencias, se tiene lo

siguiente:

Intervalos mi fi Fi hi Hi

[ 33 – 42,143 > 37,5715 7 7 0,14 0,14

[ 42,143 – 51,286 > 46,7145 4 11 0,08 0,22

[ 51,286 – 60,429 > 55,8575 9 20 0,18 0,40

[ 60,429 – 69,572 > 65,0005 11 31 0,22 0,62

[ 69,572 – 78,715 > 74,1435 9 40 0,18 0,80

[ 78,715 – 87,858 > 83,2865 5 45 0,10 0,90

[ 87,858 – 97 ] 92,4295 5 50 0,10 1

Total 50 1



1.1.4.4 ¿Cómo Interpretar los Datos de una Tabla?

Cada uno de los datos de la tabla permite obtener cierta información, dependiendo de su ubicación.

Intervalos mi fi Fi hi Hi [26 – 34> 30 1 1 0,022 0,022 [34 – 42> 38 2 3 0,044 0,066 [42 – 50> 46 4 7 0,089 0,154 [50 – 58> 54 10 17 0,222 0,376 [58 – 66> 62 16 33 0,356 0,732 [66 – 74> 70 8 41 0,178 0,910 [74 – 82> 78 3 44 0,067 0,977 [82 – 90] 86 1 45 0,022 1

45

De acuerdo a la tabla mostrada, extraemos algunos datos que se pueden interpretar como ejemplo:

f5: Existen 16 trabajadores cuyo sueldo está entre los 58 y 66 soles diarios

m5: Existen 16 trabajadores cuyo sueldo promedio es de 62 soles diarios

F3: Hay 7 trabajadores que tienen un sueldo promedio menor o igual a 46 soles

h2: El 4,4% de los trabajadores tiene un sueldo promedio de 38 soles diarios

h4: El 22,2% de los trabajadores tiene un sueldo que oscila entre 50 y 58 soles

H6: El 91% de los trabajadores tiene un sueldo menor a 74 soles diarios

22



Logro: Al finalizar la sesión, el alumno será capaz de determinar los porcentajes de poblaciones y

muestras resolviendo casos de la vida cotidiana.

ACTIVIDAD DE LABORATORIO



1.1.5 Interpretación y Elaboración de Gráficos Estadísticos: Histograma, Polígono de Frecuencia y Diagrama Circular

1.1.5.1 Histogramas

El histograma es aquella representación gráfica de estadísticas de diferentes tipos. La

utilidad del histograma tiene que ver con la posibilidad de establecer de manera visual,

ordenada y fácilmente comprensible todos los datos numéricos estadísticos que pueden

tornarse difíciles de entender. Hay muchos tipos de histogramas y cada uno se ajusta a

diferentes necesidades como también a diferentes tipos de información.

Los histogramas son utilizados siempre por la ciencia estadística. Su función es exponer

gráficamente números, variables y cifras de modo que los resultados se visualicen más

clara y ordenadamente. El histograma es siempre una representación en barras.

Ver gráfica de un histograma

1.1.5.2 Diagrama Circular

Son utilizados en aquellos casos donde nos interesa no solo mostrar el número de veces que se da una característica o atributo de manera tabular, sino más bien de manera gráfica, de tal manera que se pueda visualizar mejor la proporción en que aparece esa característica respecto del total.

Ver gráfica de un diagrama circular.

http://www.definicionabc.com/general/representacion.php

24



1.1.5.3 Polígono de Frecuencia

Un polígono de frecuencia es aquel que se forma a partir de la unión de los distintos

puntos medios de las cimas de las columnas que configuran lo que es un histograma de

frecuencia. Este se caracteriza, porque utiliza siempre lo que son columnas de tipo

vertical y porque nunca debe haber espacios entre lo que son unas y otras.

Ver gráfica de un polígono de frecuencia



1. Ud. es el encargado de realizar un estudio de mercado para la empresa de

comercialización de zapatos para bebé “PUJLLAY SAC” en la ciudad de TOWN CENTER

para conocer las preferencias en el calzado de bebé de la población, así como el precio

que estarían dispuestos a pagar por el producto. Para el efecto, usted tomó una muestra

aleatoria de 800 mujeres con hijos menores de 3 años en diferentes distritos de la ciudad y

aplicó una encuesta de opinión. Algunos de los resultados que se obtuvieron son los

siguientes:

a) El 75% de los encuestados prefiere adquirir zapatillas para bebé.

b) Los encuestados, en promedio, pueden pagar 47 soles por un calzado para bebé.

c) El color que más prefieren los encuestados para el calzado de bebé es el blanco.

d) Al menos un tercio de las encuestadas compra zapatos de bebé dos veces al año.

De acuerdo al enunciado, identifique la población, la muestra, las variables y sus

respectivos tipos.

2. Una popular cadena de comida peruana “Pacha Mama” ubicada en 10 estados del sur de

Estados Unidos, con un total de 356 establecimientos; recientemente ha experimentado un

marcado cambio en sus ventas, como consecuencia de una campaña publicitaria bastante

exitosa. Para saber con certeza cuál de los cambios realizados influyen en los incrementos

de sus ventas, contrata los servicios de una empresa de estudios de mercado que toma

una muestra de 60 establecimientos y encuentra los siguientes resultados:

- El 98.5% asegura que la sazón del puka picante ha mejorado.

- El 60% afirma que la atención es más rápida en el pedido de los juanes.

- El 95% cambió la entrada por ceviche.

- Al 5% no le agrada los picantes mexicanos.

- El 100% consume picantes peruanos.

- El 96% de las personas consume lomo saltado a pesar de que su precio se incrementó en $5.00.

- El promedio de consumo personal en estos establecimientos fue de $82.00.

De acuerdo a los datos anteriores, determine la población, la muestra y las variables con

sus respectivos tipos y además indique el tipo de estimación utilizada.

3. Aceros Arequipa ha estado buscando los factores que influyen en las ventas de varas de

acero (en millones de toneladas) que realiza en la ciudad de Lima. Tomó una muestra de

300 establecimientos en diferentes partes de Lima y Callao y después de realizar un

estudio de mercado, la administración de la empresa obtuvo los siguientes resultados:

- Del total de encuestados el 27% dejó de comprar dicho producto.

- El 90% de encuestados afirman que el producto mantiene su calidad.

- El 32% no consume solamente el producto.

- El 56% afirma que el producto se encuentra escaso en el mercado, y de los que

afirman esto el 84% compran otro producto.

- El 95% de los consumidores paga por las varillas de ½ pulgadas entre $ 6.20 y $ 7.05

dólares.


26



- Además, se encontró que el precio fijado en la ciudad de Lima de $ 6.10 no se respeta,

y por esta razón, existe un desabastecimiento del 90% en la ciudad del Callao.

De acuerdo a los datos anteriores, determine la población, la muestra y las variables con

sus respectivos tipos y además indique el tipo de estimación utilizada.

4. Una empresa dedicada a la fabricación de conservas de pescado tiene planeado introducir

al mercado conservas de trucha. Para ello, le encargó a una empresa investigadora de

mercado la realización de un estudio mediante el que le interesaba averiguar, entre otras

cosas, la aceptación del nuevo producto y el precio que las personas estarían dispuestas a

pagar. La encuesta fue realizada en Lima y se entrevistaron a 250 personas. De los

encuestados, el 67% estarían dispuestos a consumir el nuevo producto. Además, se

concluyó que el precio del producto debería oscilar entre S/. 3,50 y S/. 5,50. Determine lo

siguiente:

1.1. La población y la muestra del estudio.

1.2. Las variables y sus respectivos tipos

5. Un empresario tiene la idea de implementar la venta de chicha morada en envase no

retornable. Piensa, en un principio, que debe analizar la posibilidad de lanzar su producto

en lugares que sean cálidos durante gran parte del año. Para ello, realiza un estudio de

factibilidad en Piura e Iquitos. En Piura, el 90% de los 250 encuestados está dispuesto a

consumir el nuevo producto. En cambio, en Iquitos, el 85% de los 300 encuestados

muestra esta disposición. También, obtuvo información acerca de la utilidad que

conseguiría. En Piura, lograría un promedio de S/. 1,5 de utilidad por producto y, en Iquitos,

un promedio de S/. 2. Determine lo siguiente:

a) La población y la muestra del estudio.

b) Las variables y sus respectivos tipos.

c) Si tuviese que elegir entre una de las dos ciudades para llevar a cabo su proyecto,

¿Cuál debería elegir? Justifique.

6. La empresa OILGASA, empresa que produce aceites para consumo humano, tiene en el

mercado tres tipos de aceites: aceite compuesto, aceite vegetal Premium y aceite de olivo.

Este laboratorio, preocupado por los incrementos de la competencia, encarga a una

empresa de estudios de mercado realizar un estudio sobre las preferencias de las

personas de clase media de la ciudad de Lima acerca de dichos productos. Para el estudio,

se tomó una muestra aleatoria de 600 personas, obteniéndose lo siguiente:

El 55% de los encuestados prefieren el aceite vegetal.

El 13% de los encuestados no supo diferenciar entre el aceite compuesto y el vegetal

Premium.

El 26% de los encuestados confunden la marca por el envase.

El 70% está de acuerdo con el precio de dichos productos.

Por el precio del aceite de oliva, solamente el 5% lo consume.

El 85% de las personas paga por un litro de aceite vegetal entre 4.00 y 5.50 nuevos

soles

La utilidad que se encontraría es de 1.20 nuevos soles en el aceite Premium y en el

aceite Compuesto 1.30 nuevos soles.

De acuerdo al enunciado, identifique: Población, muestra, tipos de variables.



7. Se realiza un estudio en una ciudad sobre la capacidad hotelera y se obtienen los

siguientes resultados:

Plazas Nº de hoteles

[0 - 10> 25

[10 – 30> 50

[30 – 60> 55

[60 – 100> 20

a) Represente gráficamente esta distribución de frecuencias mediante un histograma.

b) Determine ¿cuál es la proporción de hoteles que disponen de entre 11 y 60 plazas?

c) Determine ¿cuántos hoteles tienen treinta o menos plazas?

d) Calcule las marcas de clase de cada intervalo.

8. Una entidad bancaria dispone de 50 sucursales en el territorio nacional y ha observado

el número de empleados que hay en cada una de ellas para un estudio posterior. Las

observaciones obtenidas han sido:

12, 10, 9, 11, 15, 16, 9, 10, 10, 11, 1 2, 13,14,15, 11, 11, 12, 16, 17, 17,1 6,16, 15,

14, 12, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 15, 13, 14, 16, 15, 18, 19, 18 , 10, 11, 12, 12, 11, 13,

13, 15, 13, 11, 12.

a) Calcule la distribución de frecuencias de la variable obteniendo las frecuencias

absolutas, relativas y sus correspondientes acumuladas.

b) Determine la proporción de sucursales tiene más de 15 empleados

c) Dibuje el diagrama de barras y el diagrama acumulativo de frecuencias

correspondientes.

d) Agrupe en intervalos de amplitud 3 los valores de la variable, calcule su distribución

de frecuencias y represente su histograma y su polígono de frecuencias

acumuladas.

9. Luis Vargas, asistente del Departamento de Finanzas de PC y Accesorios S.A., ha

elaborado el siguiente cuadro sobre la distribución de los montos pagados, en soles, en

impuestos de 5ª. Categoría por los trabajadores de la empresa:

Montos pagados mi fi Fi [ 150 – > 4

[ 250 – > 24

[ > 30

[ > 72

[ ] 8 80

TOTAL

a) Complete el cuadro anterior

b) Determine el porcentaje de trabajadores cuyos pagos mínimos son de 500 soles

28



10. Los valores relativos al número de empresas y trabajadores en una determinada región

son los siguientes:

a) Construye la distribución de frecuencias adecuada a los datos.

b) Determine el número de empresas con más de 300 trabajadores.

c) Determine el porcentaje de empresas con más de 100 trabajadores y menos de 400

Trabajadores Nº de

Empresas

00 - 100 25

100 - 200 37

200 - 300 12

400 - 500 22

500 - 600 21

600 - 700 13

700 - 800 5

800 - 900 3

900 - 1000 2

11. Se ha aplicado un test a los empleados de una fábrica, obteniéndose la siguiente tabla:

Puntaje [38, 44) [44, 50) [50, 56) [56, 62) [62, 68) [68, 74) [74, 80]

Nº Trabajadores 7 8 15 25 18 9 6

Construye al menos dos gráficos apropiados a la información anterior.

12. En una compañía, el sueldo mínimo de 200 empleados es de $ 150. Si se sabe que 20

empleados ganan al menos $150, pero menos de $180, 60 ganan menos de $210, 110

gana menos de $240, 180 ganan menos de $270 y el 10% restante de empleados gana

a lo más $300; Construye la distribución y grafique su polígono de frecuencias.

13. El gerente de control de calidad de una fábrica que produce asientos especiales de fibra

de vidrio, quiere identificar los problemas más importantes que se presentan en la

elaboración de estos, y poder planear soluciones a dichos problemas de acuerdo a una

estrategia basada en la prioridad del problema. Se extrae una muestra aleatoria de los

problemas de calidad obteniendo los siguientes resultados:

Problema detectado Número de

ocurrencias (fi)

Color inadecuado 28

Forma no simétrica 16

Medidas fuera de norma 50

Superficie rugosa 71

Bordes afilados 9

Desprendimiento de capa

protectora

12

Otros 14

Elabore el diagrama circular



14. En un colegio de un pequeño pueblo de la comunidad valenciana se han recogido

los siguientes datos sobre la cantidad de estudiantes matriculados por año,

según género:

Año Niños Niñas

1995 32 43

1996 27 24

1997 29 32

1998 29 31

1999 31 31

Calcule la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa para los datos

correspondientes a los niños y a las niñas y, disponer los datos mediante un

diagrama de sectores o de pastel en cada caso.

15. La siguiente tabla corresponde a la distribución de frecuencias de los salarios

del último mes de los empleados de una empresa. Complete la tabla.

Clase Marca de clase

Frecuencia Absoluta

(fi)

Frecuencia Acumulada

(Fi)

Frecuencia Relativa (hi)

Frecuencia Relativa

Acumulada (Hi)

[450 - > 8 750 10 33 0,3 12

16. La empresa de investigación de mercado “Eléctrico” lleva a cabo un estudio para obtener

indicadores que le permitan inferir respecto al consumo de energía eléctrica mensual

(medido en kilovatios, redondeado al entero más próximo) de las familias en los

departamentos de Arequipa y Tacna. Dicho estudio, sustentado en el análisis de muestras

aleatorias tomadas en ambos departamentos, arrojó los siguientes resultados:

Arequipa 227 231 261 270 291 351 359 369 371 382 387 392 393 395 396 413 420 422 424 436

453 461 463 471 495 498 510 512 533 534 541 542 584 589 591 628 630 630 657 666

Tacna 217 219 263 287 294 340 346 347 348 377 390 392 395 396 397 408 418 424 426 429

438 438 442 446 447 450 456 481 496 508 511 533 549 583 609 636

Usando la regla de Sturges, calcule intervalos comunes y marcas de clase de una tabla

de distribución de frecuencias que permita comparar los datos.

17. Un jefe de recursos humanos está interesado en analizar el impacto en los empleados al

suprimir las horas extras de trabajo pagadas que anteriormente se aplicaba. Con este fin,

se extraen dos muestras aleatorias. La primera de 80 empleados tomando de los datos

históricos de un día al azar con el sistema anterior y la segunda de 60 empleados

tomando los datos de un día al azar con el sistema vigente. Se muestran las horas de

trabajo por día por empleado.

30



Determine las clases para agrupar y comparar los datos de ambas muestras

18. Los datos que se muestran a continuación corresponden a las edades de 50 beneficiarios de un

programa de asistencia social del gobierno:

81 53 67 60 80 64 56 54 91 61

66 88 67 65 97 72 74 65 73 69

43 54 76 70 86 68 82 75 79 60

41 87 76 97 70 45 60 45 65 56

92 72 82 80 52 65 50 58 70 76

Construye una tabla de distribución de frecuencias.



Logro: Al finalizar la sesión el alumno será capaz de elaborar tablas de distribución de

frecuencias de casos de la vida cotidiana.


32



Resumen

Una manera de averiguar cuál es la variable de un estudio estadístico es preguntarnos lo

siguiente: ¿Qué es lo que estoy estudiando? Una misma variable estadística puede tener distintas clasificaciones: puede ser cualitativa

o cuantitativa. Los estadígrafos o parámetros provenientes de variables cualitativas se representan

mediante proporciones (porcentajes); en cambio, los que provienen de variables cuantitativas se representan, por lo general, mediante promedios.

Mostrar la información a través de una Tabla de Distribución de Frecuencias permite, a

simple vista, sacar algunas conclusiones respecto al conjunto de datos que estamos estudiando.

Las Tablas de Distribución de Frecuencias tienen como principal función facilitar el cálculo

de los estadísticos o parámetros adecuados. Las Tablas de Distribución de Frecuencias se pueden elaborar para datos discretos y para

datos continuos.

Pueden revisar los siguientes enlaces para ampliar los conceptos vistos en esta unidad:

o http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_1.html o http://www.uv.es/webgid/Descriptiva/12_conceptos_estadsticos.html o http://colposfesz.galeon.com/est501/suma/sumahtml/conceptos/estadistica.htm

http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_1.html

http://www.uv.es/webgid/Descriptiva/12_conceptos_estadsticos.html

http://colposfesz.galeon.com/est501/suma/sumahtml/conceptos/estadistica.htm



1.2 TEMA 2: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Los valores determinados como medidas de tendencia central son aquellos valores que se

toman como referencia para señalar y/o analizar el comportamiento de un conjunto de

datos. Estos valores tienen por objetivo reemplazar a todo un conjunto de datos dentro de

los análisis y cálculos estadísticos. Los más utilizados son la Media Aritmética, la Mediana

y la Moda.

1.2.1 Tipos y Aplicaciones de las medidas de tendencia central

a) Media Aritmética

Es la medida de tendencia central más usada y la más conocida. Se define como la suma

de todas las observaciones (datos) dividida entre el número de observaciones. Constituye

el valor representativo de los datos si es que entre ellas no hay valores extremos que

influyen negativamente, sucediendo lo mismo si los datos son muy dispersos. En

algunos casos, la Media Aritmética o Promedio se suele interpretar como aquel valor que

se atribuiría a cada término, si la suma de todos los valores de las observaciones estuviera

dividida en partes iguales entre todos los elementos de la muestra.

El cálculo de la Media Aritmética se muestra en el siguiente cuadro:

Para datos no agrupados (sin tabla)

Para datos agrupados (en tablas)

Discretos Continuos

ixx

n

.ix fix

n

.im fix

n

∑ ∑

Donde: xi : Valor observado mi : Marca de clase

fi :Frecuencia absoluta hi : Frecuencia relativa

b) Mediana

Es el valor que divide a un conjunto de datos ordenados en dos partes iguales.

Para datos no agrupados, el cálculo de la mediana se realiza mediante la siguiente regla:

Si el número de datos es impar, la mediana es el valor central del conjunto de

datos.

Si el número de datos es par, la mediana es el promedio aritmético de los datos

centrales.

Para datos agrupados, el cálculo de la Mediana se realiza de la siguiente manera:

12

i i

A nMe L F

fi

34



Donde: Lj : Límite inferior del intervalo que contiene a la mediana

Fj : Frecuencia absoluta del intervalo que contiene a la mediana

Fj-1 : Frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior al que contiene a la mediana Aj : Amplitud del intervalo que contiene a la mediana

c) Moda

Es el valor que más se repite (más frecuente) dentro de un conjunto de datos. La desventaja

de la moda radica en que en un conjunto de datos puede existir más de un valor que indique

la moda.

Para datos no agrupados, el cálculo de la moda se realiza con un conteo de los datos y

analizando cuál de ellos es el que más se repite (presenta una fi más alta)

Para datos agrupados, el cálculo de la Moda se realiza de la siguiente manera:

Donde: Lj : Límite inferior del intervalo modal

fj : Frecuencia absoluta del intervalo modal

fj – 1 :

fj + 1 :

Frecuencia absoluta del intervalo anterior al intervalo modal

Frecuencia absoluta del intervalo siguiente al intervalo modal

1

1 1( ) ( )

ii

i i

fi fMo L A

fi f fi f



1.2.2 Cálculo e Interpretación de medidas de tendencia central

Los datos que a continuación se muestran son las edades de las personas que han acudido a un policlínico solicitando exámenes de despistaje de cáncer.

63 89 36 49 56 64 59 35 78

43 53 70 57 62 43 68 62 26

64 72 52 51 62 60 71 61 55

59 60 67 57 67 61 67 51 81

53 64 76 44 73 56 62 63 60

Construye la tabla de distribución de frecuencias y calcula las medidas de tendencia central.

Solución:

Los datos requieren ser agrupados en una Tabla de Distribución de Frecuencias. Escogemos una agrupación en 8 intervalos iguales. Entonces, la siguiente tabla resultante es la siguiente:

Intervalos mi fi Fi hi Hi

[ 26 – 34 > 30 1 1 0,022 0,022

[ 34 – 42 > 38 2 3 0,044 0,066

[ 42 – 50 > 46 4 7 0,089 0,154

[ 50 – 58 > 54 10 17 0,222 0,376

[ 58 – 66 > 62 16 33 0,356 0,732

[ 66 – 74 > 70 8 41 0,178 0,910

[ 74 – 82 > 78 3 44 0,067 0,977

[ 82 – 90 ] 86 1 45 0,022 1

Total 45 1

Luego, calculamos las medidas de tendencia central.

a) Para el cálculo de la Media Aritmética, se tiene lo siguiente:

Este resultado indica que hay 60 personas en promedio que acuden a un policlínico solicitando exámenes de despistaje de cáncer.

b) Para la Mediana, observamos que esta se encuentra en el quinto intervalo, por lo que

el cálculo es el siguiente:

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

(30 1) (38 2) (46 4) (54 10) (62 16) (70 8) (86 1)

45

x x x x x x xx

60,044x

4517

258 8 60,75016

Me

36



Este resultado indica que el 50% de las personas acuden a solicitar exámenes de despistaje de cáncer es de 60,7 a menos.

c) Para la Moda, observamos que esta se encuentra en el quinto intervalo, por lo que el cálculo es el siguiente:

Este resultado indica que la frecuencia con que más solicitan exámenes de despistaje de cáncer es 61 personas.

1. Una muestra de 20 empleados de cierto centro comercial obtuvo como salario quincenal,

los siguientes datos:

340, 240, 330, 240, 325, 240, 240, 305, 240, 300, 240, 290, 240, 280, 240, 280, 255, 265,

255, 265,

Calcule a) Media, b) Mediana, c) Moda

2. Una muestra de 50 negociantes de antigüedades en el sudeste de Estados Unidos reveló

las siguientes ventas ( en dólares) en el año pasado:

Ventas (miles de

dólares)

Puntos

medios xi Frecuencia Fi fi*xi

$. 100 a $. 120 110000 5 5 550000

$. 120 a $. 140 130000 7 12 910000

$. 140 a $. 160 150000 9 21 1350000

$. 160 a $. 180 170000 16 37 2720000

$. 180 a $. 200 190000 10 47 1900000

$. 200 a $. 220 210000 3 50 630000

50

a) Calcule la media de las ventas

b) Determine la mediana de las ventas

c) Determine cuál es la venta más común

16 1058 8 61,429

(16 10) (16 8)Mo




3. Para lanzar un nuevo producto al mercado, una empresa estudia el tiempo de publicidad,

en segundos, empleando en los medios audiovisuales por otra empresa que produce un

producto similar.

Duración Nº Anuncios

0-20 3

20-25 17

25-30 13

30-40 9

40-60 8

Determine la duración media aproximada de los anuncios

¿Es representativa? ¿Cuál es la duración más frecuente?

¿A partir de qué valor un anuncio es de los veinte más largos?

4. La empresa A tiene 100 empleados, con un sueldo promedio mensual por empleado de

$300, la empresa B tiene 400 empleados, con un sueldo medio mensual de $250, la

empresa C tiene 250 empleados y un sueldo promedio mensual de $280, ¿ Determine cuál

es el sueldo medio mensual por empleado para las 3 empresas en conjunto?

5. Un inversionista compró 30 acciones de la empresa Star S.A. a S/. 15 cada acción, 40

acciones de la empresa Full Clean S.A. a S/.18 cada acción y 50 acciones de la empresa

Cosmos S.A. a S/. 21 cada acción. ¿Determine cuál es el costo promedio de una acción?

6. El servicio de estudios de una importante entidad bancaria está llevando a cabo un análisis

de las exportaciones realizadas por las empresas del sector industrial en España.

Concretamente los datos recabados han sido los siguientes:

Exportaciones (miles €)

Número de empresas (cientos)

0 – 10 4

10 – 20 20

20 – 40 16

40 – 50 10

A partir de dicha información:

Calcule la media y la mediana de las exportaciones realizadas. ¿Qué conclusiones obtiene

de la comparación de ambos indicadores?

38



7. En una empresa el sueldo promedio de 60 trabajadores administrativos es 1200 soles. Por

incremento del costo de vida se presentan dos alternativas de aumento. La primera

propuesta es un aumento de 180 soles a cada trabajador y la segunda es un aumento de

10% de sus sueldos más 12 soles. ¿Determine cuál de las dos propuestas conviene más

a los trabajadores a fin de mejorar su ingreso promedio? Justifique su respuesta.

8. La distribución del importe de las facturas por reparación de carrocería de una muestra de

80 vehículos en un taller, viene dada por la tabla siguiente:

Importe (€) Nº facturas

40-60 10

60-80 20

80-100 40

100-120 10

Se pide:

a) Determine el importe medio. ¿El valor hallado es representativo de la distribución de

facturas?

b) Determine el importe mediano y el importe más frecuente.

c) Calcular el importe mínimo pagado por el tercio de vehículos con facturas de mayor

importe.

d) ¿Determine el importe máximo pagado por las 60 reparaciones más baratas?

e) Calcular el grado de asimetría que presenta la distribución con la mayor precisión

posible e interprete el resultado.

9. El 40% de los sueldos de los empleados de una empresa es mayor o igual a 50 soles, pero

menor de 60 soles; el 30% mayor o iguales a 60 soles, pero menor de 70 soles; el 15% de

los empleados tienen como mínimo sueldos de 70 soles, pero menores de 80 soles; y los

sueldos del 15% restante son mayores o iguales a 80 soles, pero como máximo 100 soles.

Determine la media aritmética de los sueldos de los empleados.

10. En un aparcamiento cobran por cada minuto que está estacionado el vehículo 1,5 céntimos

de €. La ocupación del aparcamiento durante la semana pasada fue la siguiente:

Tiempo de estacionamiento

(min.) Nº de vehículos

0 - 60 1240

60 - 120 3575

120 - 180 746

180 - 240 327

240 - 360 218

360 - 1440 44



Se pide:

a) Determine el tiempo medio de estacionamiento, el más frecuente y el mediano.

b) ¿A partir de qué cantidad de tiempo un vehículo está estacionado más que el 85%

de los vehículos?

c) Calcule los ingresos totales, el ingreso medio y el más frecuente.

11. Gonzalo Muñoz, encargado de compras de un gran centro comercial, ha obtenido

muestras de lámparas eléctricas de dos empresas proveedoras. Probó ambas muestras

con respecto de la duración de su vida útil con los resultados siguientes:

Duración (horas) Punto

medio

Empresa

A B

700 --- 900 8 10

900 --- 1100 14 22

1100 --- 1300 26 18

1300 --- 1500 6 4

¿Determine cuál de las dos empresas proveedoras se quedaría Gonzalo si su decisión la

toma basándose en el promedio de la duración del producto?

12. Las facturaciones sin IGV (en decenas de mil) obtenidas en el último trimestre en 300

restaurantes de una localidad española han sido:

Facturación sin IGV

Nº Restaurantes (decenas de mil

(dólares)

2-4 40

4-6 85

6-10 115

10-12 60

Con esta información:

a) ¿Determine, en dólares, la facturación media por restaurante? ¿Considera la facturación

media obtenida una medida representativa de la distribución de frecuencias observada?

Emplee un indicador adecuado y justifique su respuesta.

b) Determine cuál ha sido la facturación mediana y la facturación más frecuente. ¿Qué se

puede concluir sobre la asimetría de la distribución?

c) Uno de los restaurantes afirma que la facturación que ha realizado en el último trimestre

solo ha sido superada por un 20% de los restaurantes encuestados. ¿Determine la

facturación de este restaurante?

40



13. Las ganancias diarias de los establecimientos de un Centro Comercial se presentan en una

tabla de frecuencias con 6 intervalos de amplitudes iguales a 36. La ganancia mínima es

de $6, el 50% de los establecimientos ganan más de $25.58 diarios. Calcule las medidas

de tendencia central. Interprete sus resultados.

Ganancias (en miles de

Soles)

mi

fi

hi

Fi

Hi

[ 6 - > a

[ - > 2a 120 0.15

[ - > 0.25

[ - > 304

[ - > 0.93

[ - ]

14. En el restaurante 5 tenedores “LA OLIVA”, Ud. se encuentra haciendo un análisis

estadístico para determinar cuánto dinero están dispuestos a gastar los clientes en una

Cena Navideña familiar para 4 personas con el fin de realizar sus proyecciones para las

próximas fiestas de fin de año. La Tabla de Distribución de Frecuencias que se ha

construido es una tabla de 6 intervalos de igual amplitud, como se muestra a continuación:

Gastos (en soles) mi fi hi Fi Hi

[ - > 20 a

[ - > 0.3

[ - > 97.5 0.6

[ - > a+0.15

[ - > 127.5

[ - ] 200

Totales

Determine el valor de la mediana y la moda.

15. Las bonificaciones semanales (en dólares) obtenidas por un grupo de vendedores de una

empresa de seguros se tabularon en una Tabla de Distribución de Frecuencias Simétrica

de 5 intervalos de la cual se tiene la siguiente información: F5 = 200; h3 = 0.35 y f1 = 35.

Si la menor bonificación es de 20 dólares y la mayor es de 60 dólares, construya la Tabla

de Distribución de Frecuencias adecuada con todos sus indicadores, y calcule e interprete

la mediana y la moda de la distribución de frecuencias.



16. El siguiente gráfico muestra las ventas de un producto durante un período de seis semanas:

a) ¿Determine cuál fue el porcentaje de productos vendidos durante la tercera semana

con respecto al total de productos vendidos (de las 6 semanas)?

b) ¿Determine la variación porcentual de los productos vendidos de la sexta semana con

respecto a la cuarta semana?

c) ¿Determine el promedio de ventas durante las 6 semanas? El precio de venta de cada

artículo es de 40 soles.

15

20

24

18

21

25

0

5

10

15

20

25

30

Semana 1 Semana 2 Semana 3 semana 4 semana 5 Semana 6

N° Productos

N° Productos

42



Logro: Al finalizar la sesión, el alumno será capaz de aplicar las medidas de tendencia central resolviendo

casos de la vida cotidiana.




Resumen

El promedio es, por lo general, la medida que mejor representa los datos.

Si los datos son muy dispersos o encontramos valores extremos, es posible que el

promedio no sea representativo de los mismos. En este caso es mejor utilizar la mediana. Cuando el cálculo de las medidas de tendencia central se hace sobre la base de cuadros

de distribución de frecuencias, los resultados son aproximados. Cuando la variable de estudio es ordinal, las medidas de tendencia central que se utilizan

son la MEDIANA y la MODA. Cuando la variable de estudio es escalar, las medidas de tendencia central que se utilizan

son la MEDIA, la MEDIANA y la MODA. Cuando en una distribución de frecuencias la MEDIA, MEDIANA y MODA tienen el mismo

valor, se dice que es una DISTRIBUCIÓN SIMÉTRICA.


o http://www.uv.es/webgid/Descriptiva/21_introduccin.html

o http://www.uv.es/webgid/Descriptiva/22_moda.html

o http://www.uv.es/webgid/Descriptiva/23_mediana.html

o http://www.uv.es/webgid/Descriptiva/24_media_aritmtica.html

o http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_8.html



http://www.uv.es/webgid/Descriptiva/21_introduccin.html

http://www.uv.es/webgid/Descriptiva/22_moda.html

http://www.uv.es/webgid/Descriptiva/23_mediana.html

http://www.uv.es/webgid/Descriptiva/24_media_aritmtica.html




44





1.3 TEMA 3: MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Son aquellas medidas que se utilizan para analizar el grado de heterogeneidad de un conjunto de datos. El grado de variabilidad de la información disponible es muy importante en todo análisis estadístico, pues de esto depende el grado de confiabilidad de las estimaciones que se puedan establecer.

Las medidas de variabilidad que estudiaremos son la varianza o variancia, la desviación estándar y el coeficiente de variación.

Cabe mencionar que para comparar la dispersión de dos conjuntos de datos es preferible utilizar el coeficiente de variación.

1.3.1 Tipos y Aplicaciones de las Medidas de dispersión: Varianza, Desviación Estándar y Coeficiente de Variación

1.3.1.1. Varianza o Variancia

Es una medida de dispersión que se define como la desviación al cuadrado de dicha variable respecto a su media. La varianza se calcula de acuerdo con la siguiente tabla:

Para datos no agrupados (sin tablas)

Para datos agrupados (en tablas)

Discretos Continuos

2

*

( )x xV

n

2

*

( )fi x xV

n

2

*

( )fi mi xV

n

Donde: n* = n – 1 si se trata de una muestra (n: tamaño de la muestra)

n* = n si se trata de una población (n: tamaño de la población)

1.3.1.2. Desviación Estándar

Es la medida de dispersión más utilizada en Estadística Descriptiva, ya que para

conocer con detalle un conjunto de datos, no basta con conocer las medidas de

tendencia central, sino que necesitamos conocer también la desviación que

representan los datos en su distribución respecto de la media aritmética de dicha

distribución.

La Desviación Estándar es una medida de dispersión que nos indica cuánto tienden

a alejarse los valores concretos del promedio de una distribución, es decir, la

Desviación Estándar de un conjunto de datos es una medida de cuánto se desvían

los datos con respecto a su media.

La Desviación Estándar se calcula como la raíz cuadrada de la varianza.

46



1.3.1.2. Coeficiente de Variación

Es una medida de dispersión útil para comparar dispersiones que se encuentran en

distintas distribuciones, pues es una medida invariante ante cambios de escala.

El Coeficiente de Variación siempre es menor que 1, pero mayor que 0 y se suele

expresarse como porcentaje.

Para calcular el Coeficiente de Variación, se emplea la siguiente fórmula:

1.3.2. Cálculo e interpretación de medidas de dispersión

Si en una empresa A de 100 trabajadores el sueldo promedio es 500 soles, con una

varianza de 900 soles, y en la empresa B el coeficiente de variación de los sueldos es del

5.6%, ¿qué podría afirmar acerca de la dispersión de los sueldos de las empresas A y B?

SOLUCIÓN:

Como se trata de dos poblaciones diferentes, entonces requerimos el coeficiente de

variación para poder compararlas.

Para la empresa A: X 500 V 900 S 30

Entonces

Para la empresa B:

CV 5,6%

Por lo tanto, podemos afirmar que, en la empresa A, los sueldos son más dispersos que en

la empresa B. Igualmente, podemos afirmar que en la empresa B los sueldos son más

homogéneos que en la empresa A.

S V

*100S

CVx

30*100 6%

500CV



1. El sueldo promedio de 200 empleados de una empresa es S/1200. Se proponen dos

alternativas de aumento: a) S/. 75 a cada uno, b) 15% de su sueldo más 10 soles a cada

uno. Si la empresa dispone a lo más de S/. 94 000 para pagar sueldos, ¿determine la

alternativa es más conveniente?

2. La siguiente información muestra la producción por hora de 10 trabajadores

Producción por hora 7 8 9 10 11

Nº de trabajadores 1 2 4 2 1

Determine la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación

3. Un encargado de compras ha obtenido muestras de lámparas incandescentes de dos

proveedores. En su propio laboratorio ha probado ambas muestras con respecto a la

duración de su vida útil, obteniendo los siguientes resultados:

Vida útil en horas Muestra

Empresa A Empresa B

[ 700 900 > 10 3

[ 900 1100 > 16 36

[ 1100 1300 > 26 12

[ 1300 1500 ] 8 3

a) Determine cuál de las empresas proveen mejores lámparas.

b) ¿Determine cuál de las empresas se presenta una mayor homogeneidad en su

duración?

4. Una empresa de fabricación de productos cerámicos dispone de tres centros de

producción. En el centro A, el más grande y moderno, se hace un estudio de los m² de

azulejo producidos al mes durante el año pasado, obteniéndose una media de producción

Mensual x A 250.000 m², con una desviación típica SA = 15.000 m². Se sabe que el centro

B, por tener maquinaria más anticuada que A, produce cada mes un tercio de la producción de A, y que el centro C, por tener un horno menos que B, produce cada mes 25.000 m² menos que B ¿Determine la media y la varianza de la producción mensual de

C?

5. Luego de aumentar 50 soles a cada trabajador, el resultado promedio es de 2500 nuevos

soles y el coeficiente de variación es 13%. Determine el coeficiente de variación de los

sueldos antes del aumento.

6. En una tienda, la desviación estándar de los precios de los jeans es de 7.2 nuevos soles.

Si se realiza un aumento del 12% de todos los precios, calcule la nueva desviación

estándar de los precios de los jeans.


48



7. En una tienda, la desviación estándar de los precios de los jeans es de 7.2 nuevos soles.

Si se hace una oferta y se rebaja 8 nuevos soles a todos los precios, calcule la

nueva desviación estándar de los precios de los jeans.

8. El gerente de ventas de una empresa desea conocer la distribución de los volúmenes de

venta en el último mes. Para obtener los datos necesarios, se calculan los montos de

ventas mensuales (marzo de 2010) de cada vendedor. A continuación, se muestra los

siguientes datos:

Ventas, en miles de

dólares Marca de

clase Número de vendedores fi

5,0 - 7,8 3

7,8 - 10,6 10

10,6 - 13,4 28

13,4 - 16,2 9

Calcule la desviación estándar muestral.

9. El Ministerio de Trabajo ha recibido muchas quejas referidas al trato que las empresas mineras

están realizando con su personal. Uno de los grandes problemas son los sueldos, que a pesar

que los trabajos son los mismos en diferentes unidades de la misma empresa minera, los

sueldos varían de una unidad a otra. El Ministerio de Trabajo ordena una investigación a dicha

empresa minera, y después de recoger toda la información tabula en la siguiente tabla los

sueldos de las dos unidades de trabajo de la empresa:

SUELDOS($)

UNIDAD (A) UNIDAD (B)

Nº empleados Nº empleados

400 – 500 20 20

500 – 600 25 10

600 – 700 10 15

700 – 800 18 25

800 – 900 12 20

a) ¿En qué unidad de la empresa los sueldos son más homogéneos?

b) En la unidad A, por debajo de qué valor se concentra el 77% de los sueldos



10. Los sueldos en soles de los ejecutivos de dos empresas A y B se dan en la siguiente tabla

de frecuencias.

Sueldos (en miles de Soles) Empresa A Empresa B

1 – 3 6 8

3 – 5 7 10

5 – 7 9 12

7 – 9 4 6

9 – 11 2 1

a) Determine el porcentaje de los empleados gana por encima de la media en la

empresa A

b) ¿Determine en qué empresa los sueldos son más homogéneos?

c) Si todos los trabajadores de la empresa A reciben un aumento del 25% de sus

sueldos, ¿determine cuál será el nuevo sueldo promedio?

11. La distribución de los sueldos (en dólares) de los empleados de dos empresas A y B se

tabuló en 3 intervalos de igual amplitud en cada caso, siendo las frecuencias absolutas del

primero al tercero de 10, 30, 30 y de 30, 50, 20 respectivamente en A y B. Si los sueldos

mínimo y máximo son de 50 y 200 en A y de 60 y 240 en B.

a) ¿Determine en qué empresa los sueldos son más homogéneos?

b) Si un empleado de A y otro de B ganan cada uno $130, ¿determine cuál de ellos está

mejor considerado en su centro de trabajo?

12. La siguiente tabla muestra los resultados de una encuesta de sondeo realizada por un

operador de telefonía celular a los adolescentes de los distritos de Los Olivos y San Miguel

referente al uso del sistema prepago de telefonía celular. El estudio se refirió al tiempo de

uso del sistema telefónico y al gasto de los adolescentes en tarjetas prepago.

Tiempo de Uso

(en minutos)

Los Olivos San Miguel

Adolescentes Gastos en

tarjetas (S/.)

Adolescentes Gastos en

tarjetas (S/.)

[0 – 40> 30 10 25 12

[40 – 80> 50 15 20 20

[80 – 120> 85 20 40 25

[120 – 60> 25 30 55 30

[160 – 200> 10 50 15 55

[200 – 240] 10 60 5 80

Total 210 160

a) ¿Determine en cuál de los distritos el gasto de los adolescentes en tarjetas prepago es

mayor?

b) ¿Determine en qué distrito el tiempo que los adolescentes hacen uso del sistema de

telefonía celular es menor?

50



13. Una ONG dedicada a la investigación de problemas sociales tiene 4 áreas de trabajo:

Contabilidad, Relaciones Internacionales, Proyectos y Proyección Social. Las

remuneraciones mensuales (en nuevos soles) en cada área son las siguientes:

Contabilidad Relaciones

Internacionales

Proyectos Proyección

Social

Remuneración Media 1250 1500 1750 1300

Desviación estándar 150 250 100 200

N° empleados 8 5 12 25

a) Calcule el promedio de remuneraciones de toda la empresa.

b) ¿Determine cuál de los departamentos las remuneraciones son más homogéneas?

14. Los sueldos de 150 trabajadores de una empresa tienen un coeficiente de variación del 5%

en el mes de agosto. Para el mes de septiembre, hay un aumento a cada trabajador del

20% de su sueldo más una bonificación de $60 y el coeficiente de variación baja a 4%.

Halle la media y la desviación estándar de los sueldos del mes de agosto. ¿Determine qué

dinero adicional necesita la empresa para pagar todos los sueldos del mes de septiembre?

15. La distribución de los sueldos (en dólares) de los empleados de dos empresas A y B se

tabuló en 3 intervalos de igual amplitud en cada caso, siendo las frecuencias absolutas del

primero al tercero de 10, 30, 30 y de 30, 50, 20 respectivamente en A y B. Si los sueldos

mínimo y máximo son de 50 y 200 en A y de 60 y 240 en B.

a) ¿Determine en qué empresa los sueldos son más homogéneos?

b) Si un empleado de A y otro de B ganan cada uno $130. ¿Determine cuál de ellos está

mejor considerado en su centro de trabajo?

16. El siguiente cuadro muestra la distribución de salario mensual de los empleados de dos

empresas.

Sueldos (en nuevos soles)

Marca de clase

Empleados de la empresa A

Empleados de la empresa B

[1500 – 2500> 0 1

[2500 – 3500> 2 4

[3500 – 4500> 6 15

[4500 – 5500> 8 13

[5500 – 6500] 12 12

¿Determine cuál de los grupos presenta mayor variabilidad de salarios?



17. Una empresa de estudios de mercado ha realizado un trabajo, para estudiar, entre otras

variables el pago mensual por alquiler de departamentos (con características similares) en

los distritos A y B. La información recogida fue la siguiente:

Con esta información, se calcularon los siguientes valores para el Distrito A:

Medida Estadística Valor (en soles)

Media Aritmética 500

Moda 476,92

Variancia 4773,87

Primer Cuartil 457,14

Segundo Cuartil 489,29

a) Realice un análisis comparativo de las distribuciones de montos mensuales por alquileres de departamentos de los dos distritos.

b) Se considera que un distrito es más residencial cuando el pago mensual por alquiler

es más del 40% de los datos observados. ¿Cuál de los dos distritos se podría considerar más residencial?

18. El siguiente cuadro distribuye a 30 Fábricas de Harina de Pescado del Perú según su

producción mensual en toneladas métricas en el año 2011

Producción mensual

Toneladas métricas > fi

[50 - 58 > 4

[58 - 66 > 8

[66 - 74 > 2

[74 - 82 > 6

[82 - 90 > 5

[90 – 98] 5

n =30

Pago mensual por

alquiler (en $)

Número de

Departamentos (Dist. A)

Número de

Departamentos (Dist. B)

[350 , 400[ 10 9

[400 , 450[ 35 36

[450 , 500[ 70 60

[500 , 550[ 40 75

[550 , 600[ 25 90

[600 , 650[ 15 24

[650 , 700] 5 6

52



Tomando como base los datos del cuadro anterior, calcule e interprete:

a. La media o promedio.

b. La desviación estándar

c. El coeficiente de variación

19. Desde hace dos años, las compañías gastan en protección de la información. Estos gastos

incluyen los costos de personal, hardware, software, servicios externos y seguridad física.

Se eligieron dos empresas transnacionales y se registraron sus gastos mensuales, en

miles de dólares, correspondientes a la protección de la información de los últimos 6

meses. Luego de procesar los datos en Excel se obtuvieron los siguientes resultados:

Empresa 1: 6

116,8

ixi

6 2

158,99ii

x

Empresa 2:

6

113,2ii

x

6 2

158,99ii

x

Haciendo uso de las fórmulas correspondientes, complete el siguiente cuadro:

Empresa

Promedio Desviación Estándar

Coeficiente de variación

1

2

¿Determine cuál de las dos empresas ha tenido gastos mensuales más homogéneos

en los últimos seis meses? Muestre sus resultados.



Logro: Al finalizar la sesión, el alumno será capaz de aplicar las medidas de dispersión resolviendo casos de

la vida cotidiana.


54



Resumen

Una mayor dispersión de datos implica una menor concentración de los mismos y

viceversa. Una mayor homogeneidad en los datos equivale a una menor dispersión de los mismos y

viceversa. A mayor coeficiente de variación, mayor dispersión y, por lo tanto, menos homogeneidad

de los datos. El Coeficiente de Variación nos permite determinar la representatividad del promedio de un

conjunto de datos, pues si es menor del 50% podemos considerar al promedio como representativo de los datos. En caso contrario, se considera que los datos son muy dispersos y, por lo tanto, no es recomendable utilizarlos en un estudio estadístico.


o http://www.vitutor.net/2/11/medidas_dispersion.html

o http://colposfesz.galeon.com/est501/distfrec/meddisp/meddisp.htm

o http://www.ecured.cu/index.php/Medidas_de_dispersi%C3%B3n

o http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/53-1-u-punt152.html#seccion6

http://www.vitutor.net/2/11/medidas_dispersion.html

http://colposfesz.galeon.com/est501/distfrec/meddisp/meddisp.htm

http://www.ecured.cu/index.php/Medidas_de_dispersi%C3%B3n

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/53-1-u-punt152.html#seccion6



PROBABILIDADES

UNIDAD

2

LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE

Al término de la unidad, el alumno, trabajando de manera individual, calcula e interpreta probabilidades simples y condicionales, sobre la base de un conteo de posibilidades o sobre la base de un modelo de distribución de probabilidad que va de acuerdo con determinadas condiciones de dependencia o independencia estadística.

TEMARIO

2.1 Tema 4 : Probabilidad clásica

2.1.1 : Técnicas de conteo

2.1.2 : Principio de adición y multiplicación

2.1.3 : Definición de Probabilidad Clásica

2.2 Tema 5 : Probabilidad Condicional


Los alumnos, trabajando de manera individual, calculan e interpretan casos de

análisis combinatorio y probabilidades clásicas, condicionales y distribuciones de probabilidad.

56





2.1 TEMA 4: PROBABILIDAD CLÁSICA

2.1.1. Técnicas de Conteo: Permutaciones y Combinaciones

Para poder empezar el estudio de las probabilidades es necesario conocer en primera

instancia las diferentes formas de poder combinar los diferentes elementos que tiene un

conjunto de datos.

Así, el Análisis Combinatorio, es el conjunto de procedimientos que permiten determinar el

número de resultados de un experimento sin necesidad de conocer todos los resultados

que de él se originan. El análisis combinatorio se basa en los dos principios básicos: el

principio de la adición y el principio de la multiplicación.

2.1.1.1. Permutaciones

Una permutación de un conjunto de elementos es un arreglo de los mismos siguiendo un

orden establecido, es decir, el cambio en el orden establecido SÍ genera casos diferentes.

El número de permutaciones posibles de “n” elementos, todos distintos, agrupados en sub

grupos de “r” elementos diferentes es:

Algunos ejemplos en los que se aplican las permutaciones son los números que se pueden

formar con 3 cifras; la combinación de colores para hacer una camiseta; las formas en que

se pueden ordenar personas en una fila, etc.

2.1.1.2. Combinaciones

Una combinación de un conjunto de elementos es una selección de tales elementos sin

tener en cuenta el orden, es decir, el cambio en el orden de los elementos NO genera un

caso diferente.

El número de combinaciones de “n” elementos tomados de “r” en “r” (sub grupos de “r”

elementos) es:

Algunos ejemplos en los que se aplican las combinaciones son el número de apretones de

mano en una reunión; seleccionar a los invitados de una fiesta; seleccionar preguntas para

un examen a partir de un banco de preguntas, seleccionar subgrupos de personas a partir

de un grupo más grande, etc.

!

( )!

n

r

nP

n r

!

!( )!

n

r

nC

r n r

58



2.1.2. Principio de adición y multiplicación

2.1.2.1. Principio de la adición

Dados dos experimentos A y B, el número de maneras posibles que puede ocurrir el experimento A o B está dado por lo siguiente:

n(A o B) = n(A) + n (B)

Donde: n(A) : Nro. de formas distintas que puede ocurrir el experimento A n (B) : Nro. de formas distintas que puede ocurrir el experimento B

2.1.2.2. Principio de la multiplicación

Dados dos experimentos A y B, el número de maneras posibles que puede ocurrir el experimento A y B está dado por lo siguiente:

n(A y B) = n(A) x n(B)

2.1.3. Definición de Probabilidad Clásica

La probabilidad es un número real que expresa la confianza o incertidumbre en la ocurrencia de un evento cuyo resultado no se puede predecir con certeza.

2.1.3.1. Definición clásica de probabilidad

Si un experimento aleatorio se puede realizar de “n” maneras posibles y mutuamente excluyentes; y nA de ellos tiene una característica A, entonces la probabilidad que se obtenga un resultado con característica A es:

Donde: P(A) = Probabilidad de ocurrencia del Evento A nA = Número de posibilidades que poseen la características A

nT = Número de posibilidades que se puede dar el Experimento A

Para calcular los valores nA y nT, es necesario utilizar las técnicas de conteo

estudiadas (combinaciones y permutaciones), así como el principio de la adición y el principio de la multiplicación.

( ) a

T

nP A

n



2.1.3.2. Definición axiomática de probabilidad

Sea un experimento aleatorio E con espacio muestral Ω y A un evento cualquiera de Ω. El número real P(A) es llamado probabilidad de ocurrencia del evento A si satisface las siguientes condiciones:

0 ≤ P(A) ≤ 1

P(Ω) = 1

Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces: P(A U B) = P(A) + P(B)

2.1.3.3. Propiedades y teoremas básicos de probabilidades

Dados tres eventos A, B y C contenidos en el espacio muestral Ω, se cumple:

P() = 0

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

P(A’) = 1 – P(A)

P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)–P(A∩B)–P(A∩C)– P(B∩C)+P(A∩B∩C)

60



Resumen

En el análisis combinatorio, una conjunción (y) implica una multiplicación; en cambio, una

disyunción (o) implica una suma. Debemos utilizar permutaciones si queremos cambiar, ordenar, arreglar, colocar, situar,

ubicar, etc. un conjunto de datos. Debemos utilizar combinaciones si debemos combinar, escoger, seleccionar, elegir, etc.

Para el análisis estadístico, por lo general, no es necesario saber “cuáles” son los

elementos de un experimento, sino “cuántos” elementos son. Una probabilidad se puede interpretar como el porcentaje de veces que va a ocurrir un

determinado evento. La probabilidad NUNCA puede ser mayor que uno.

Los eventos tienen un comportamiento similar al de los conjuntos. Por ello, los diagramas

de Venn-Euler son bastante útiles en el cálculo de probabilidades.


o http://www.vitutor.com/pro/2/a_1.html



http://www.vitutor.com/pro/2/a_1.html





2.2. TEMA 5: PROBABILIDAD CONDICIONAL

Si A y B son dos eventos de un espacio muestral Ω, entonces la probabilidad condicional que ocurra el evento A dado que (si se sabe que) ocurrió el evento B es:

Para la fórmula planteada, la probabilidad condicional se da cuando la ocurrencia de un evento A depende de la ocurrencia de otro evento B. Es decir, es la probabilidad que ocurra el evento A dado que ocurrió el evento B.

Para resolver las probabilidades condicionales, se pueden usar Tablas Cruzadas (para variables excluyentes) o Diagramas de Venn-Euler (para variables no excluyentes).

Cuando se aplica la Probabilidad Condicional, hay que tener en cuenta el teorema de la multiplicación de probabilidades. Por este teorema, si dados tres eventos A, B y C contenidos en el espacio muestral Ω se cumple:

P(A ∩ B) = P(A).P(B / A) = P(B).P(A / B)

P(A ∩ B ∩ C) = P(A).P(B / A) .P(C / A ∩ B)

( ) ( )( / )

( ) ( )

P A B n A BP A B

P B n B

62



1. ¿Determine cuántos comités de negocios diferentes de 3 hombres y 4 mujeres pueden

formarse con 8 hombres y 6 mujeres?

2. En un estudio de mercado, se realiza un cuestionario para determinar las preferencias del

consumidor de cierto refresco de marca. El encuestado debe seleccionar de seis rubros,

cuatro razones por las que le interesa consumir el refresco; además que debe ordenar de

mayor a menor, anotando con el número 1 el de mayor interés y con el 4 el de menor

interés. ¿Determine cuántas maneras puede responder un ciudadano el cuestionario?

3. En el departamento de una empresa, hay 20 trabajadores, quienes deben cubrir una

guardia el fin de semana por lo que se formará un grupo de guardia el día sábado

conformado por cuatro trabajadores. ¿Determine c u á n t o s grupos diferentes de 4

miembros son posibles?

4. Una dirección gubernamental cuenta con 102 empleados ¿Determine cuántas maneras

pueden ser asignados los cargos de director general, director general adjunto, director de

área, subdirector, jefe de departamento, si ningún miembro puede tener más de un cargo? y

¿Determine cuántas maneras pueden ser asignados los cinco cargos si cada uno debe ser

ocupado por miembros diferentes?

5. Una empresa se dedica a realizar visitas guiadas a zonas arqueológicas, tiene tres

camionetas y cada una tiene capacidad de 20 pasajeros, pero llegan 33 personas para la

excursión. ¿Determine cuántas maneras se pueden asignar las personas a las camionetas?

6. Una persona desea comprar una lavadora de ropa , para lo cual ha pensado que puede

seleccionar de entre las marcas LG , Samsung , Mabe , cuando acude a hacer la compra

se encuentra que la lavadora de la marca LG se presenta en dos tipos de cargas ( 8 y 11

kg) , en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que

la lavadora de la marca Samsung , se presentan en tres tipos de cargas ( 8 , 11 o 15 Kg) ,

en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la

marca Mabe , se presenta en un solo tipo de carga , que es de 11 kg , dos colores

diferentes y solo hay semiautomática. ¿Determine cuántas maneras tienes esta persona

de comprar una lavadora?

7. En la empresa de comercialización de electrodomésticos “POWER HOUSE” se cuenta con

un staff de 12 vendedores. Ud. es el responsable de la conformación de los equipos de

vendedores, los cuales deben de formarse con criterios de empatía y trabajo en equipo.

a) ¿Determine cuántas maneras se pueden formar 3 equipos de vendedores de tal manera

que los tres vendedores más antiguos lideren cada uno los equipos formados?

b) ¿Determine cuántas maneras se pueden formar 4 equipos de vendedores en los que se

asegure que dos vendedores nunca estén en el mismo equipo de trabajo, para evitar

problemas de empatía?




8. Un vendedor de automóviles acaba de recibir un embarque de 15 unidades último modelo,

de los cuales 10 son del modelo “TITAN” y 5 son del modelo “SPACE”. ¿Determine

cuántas maneras se pueden vender 4 de estos automóviles, si al menos uno debe ser del

modelo “SPACE”?

9. En una compañía se quiere establecer un código de colores para identificar cada una de

las 42 partes de un producto .Se quiere marcar con tres colores de un total de 7 colores

cada una de las partes, de tal suerte que cada una tenga una combinación de 3 colores

diferentes ¿Será adecuado este código de colores para identificar las 42 partes del

producto?

10. En la organización vecinal “MI BARRIO”, los 20 miembros de la institución se dividirán en

tres comités de trabajo: Reglamento, Presupuesto y Actividades. Los comités de

Reglamento y de Presupuesto tendrán 8 miembros cada uno y el comité de Actividades

tendrá 4 miembros. ¿Determine cuántas maneras se pueden asignar los miembros a esos

comités?.

11. La probabilidad de que un vendedor a domicilio consiga una venta en un solo intento es

1/6. ¿Determine la probabilidad de que consiga al menos una venta en los cinco intentos

siguientes?. ¿Determine la probabilidad de que consiga, en esos cinco intentos, cuatro o

más ventas?.

12. Una empresa que ofrece servicios de soporte informático cuenta con 5 profesionales que

sólo manejan Visual Basic, 4 manejan sólo Unix y 3 que manejan Windows NT. Una

compañía le solicitó que envíen un equipo de tres personas. Calcule la probabilidad que el

equipo esté formado por las siguientes personas:

Una persona que maneje sólo VB, otra Unix y la otra Windows NT.

Personas que solo manejan una sola especialidad.

Personas que solo manejen Windows NT.

13. Ocho ejecutivos de una empresa llegan diariamente a su oficina en un automóvil y lo

aparcan en una de las tres playas de estacionamiento con que cuentan. Si los

estacionamientos son escogidos al azar, ¿Determine la probabilidad de que en un día

determinado se tenga 5 automóviles en un estacionamiento, dos en otro y el restante en el

otro?.

14. En un negocio donde se ensamblan computadoras, en una mesa hay 20 chips de los

cuales 6 están malogrados. Primero, llega el Sr. Gates y recoge 8 chips y más tarde llega el

Sr. Apple y se lleva los restantes. Determine la probabilidad de que solamente uno de ellos

se haya llevado todos los chips defectuosos.

15. En un almacén, se tiene que despachar 60 pedidos y se sabe que 5 de ellos son de una

cierta mercancía A. Si se cumplimentan los 60 pedidos al azar, ¿Determine la probabilidad

de que el primero y el cuarto pedido sean de la mercancía A y de que simultáneamente no

lo sean el segundo y el tercero?. ¿Determine la probabilidad de que en los cuatro primeros

pedidos a cumplimentar haya al menos dos pedidos de la mercancía A?

64



16. El 70% de empresas tiene errores en sus activos financieros, el 60% tiene errores en sus

pasivos financieros y el 40% tiene errores en sus activos y en sus pasivos financieros.

Obtén razonadamente el porcentaje de empresas sin errores en sus activos, en sus

pasivos o en ambos. De una muestra de 500 empresas, ¿determine cuántas se espera

que no tengan errores ni en sus activos ni en sus pasivos financieros?

17. Una empresa dedicada a la producción de perfumes lanza la presentación de su nuevo

perfume por televisión. La empresa cree que el anuncio será visto por 32% de televidentes

y 2% de aquellos que vieron el anuncio comprarán el perfume. Determine la probabilidad

de que el televidente vea el anuncio y compre el perfume

18. Una fábrica tiene 3 sucursales las cuales producen 12, 45 y 43 por ciento del total de

producción y manejan los siguientes porcentajes de no defectuosidad 91, 92 y 93,

respectivamente. En caso de elaborar un producto defectuoso, ¿de qué sucursal es más

probable que provenga?

19. Una compañía fabrica zapatos. De las unidades producidas, 8% proviene de la máquina A,

48% de la máquina B y el resto de la máquina C, y de acuerdo con la experiencia del

productor, se intuye que 15% de los zapatos mal acabados provienen de A, 27% de B y el

resto de C. ¿Determine la probabilidad de que en el último pedido el producto mal acabado

provenga de A?

20. El departamento de créditos de una tienda comercial sabe que sus ventas se pagan con

dinero en efectivo, con cheque o al crédito, con probabilidades respectivas de 0,3; 0,3 y

0,4. La probabilidad de que una venta sea por más de $50 es igual a 0,2 si esta es en

efectivo; es igual a 0,9 si esta es con cheque; y es igual a 0,6 si esta es al crédito.

a) ¿Determine la probabilidad de que una persona compre por más de $50?

b) Si compra por más de $50, ¿qué es más probable que haya pagado en efectivo, con

cheque o al crédito?

21. El representante sindical B, Lou Khollar, tiene como anteproyecto un conjunto de

demandas salariales y de prestaciones que debe presentar a la dirección. Para tener una

idea del apoyo de los trabajadores al paquete, hizo un sondeo aleatorio en los dos grupos

más grandes de trabajadores de la planta: los maquinistas (M) y los inspectores (I).

Entrevistó a 30 de cada grupo con los siguientes resultados:

Opinión del paquete M I

Apoyo fuerte 9 10

Apoyo moderado 11 3

Indecisión 2 2

Oposición moderada 4 8

Oposición fuerte 4 7

30 30



a) ¿Determine la probabilidad de que un maquinista seleccionado al azar del grupo sondeado

dé un apoyo moderado al paquete?

b) ¿Determine la probabilidad de que un inspector seleccionado al azar del grupo sondeado

esté indeciso respecto al paquete?

c) ¿Determine la probabilidad de que un trabajador (maquinista o inspector) seleccionado al

azar del grupo sondeado dé un apoyo fuerte o moderado al paquete?

22. Un vendedor tiene 10 autos nuevos de diferentes modelos: 3 del modelo CENIT, 3 del

modelo AZOR y 4 del modelo WAX.

¿Determine la probabilidad de vender dos autos del mismo modelo?

¿Determine la probabilidad de vender un auto de cada modelo?

23. Un comerciante tiene 15 artículos, de los cuales 5 tienen algún tipo de defecto. Un cliente

pide 3 artículos que no tengan defectos. Si el comerciante escoge al azar y de una sola

vez 5 artículos, ¿Determine la probabilidad de que con las 5 unidades escogidas satisfaga

el pedido del cliente?

24. El gerente administrativo de una compañía de seguros tiene los datos siguientes acerca

del funcionamiento de las fotocopiadoras de la compañía:

Copiadora Días en

funcionamiento Días fuera de

servicio

1 209 51

2 217 43

3 258 2

4 229 31

5 247 13

Según los datos, ¿Determine la probabilidad de que una copiadora esté fuera de servicio?

25. Una compañía de seguros sabe por su propia experiencia que los clientes que tienen

fondos suficientes en sus cuentas corrientes ponen, por error, fecha adelantada en los

cheques una vez cada 1000, mientras que los clientes que firman cheques sin fondos

ponen siempre fecha adelantada. El último grupo constituye el 1 % del total. Un cajero

recibe un cheque de un cliente con fecha adelantada. ¿Determine la probabilidad de que

ese cliente tenga fondos insuficientes?.

26. El 35% de los créditos de un banco son para vivienda, el 50% son para industria y el 15%

para consumo diverso. Resultan fallidos el 20% de los créditos para vivienda, el 15% de

los créditos para industrias y el 70% de los créditos para consumo. Determine la

probabilidad de que se pague un crédito elegido al azar.

66



27. En la multinacional “NETWORLD”, Ud. es uno de los nuevos operadores seleccionados

para trabajar en el NOC (Network Operation Center). Si Ud. sabe que en el NOC existen

80 computadoras, de las cuales 50 tienen SO Windows Vista y 30 tienen SO Linux. La

mitad de las computadoras tiene acceso a Internet y la otra mitad no tiene acceso a

Internet. Además, se sabe que el 60% de las computadoras con SO Windows Vista no

tiene acceso a Internet. Si Ud. tiene la posibilidad de escoger una de las computadoras al

azar:

¿Determine la probabilidad que tenga SO Windows Vista y además tenga acceso a

Internet?

¿Determine la probabilidad que tenga SO Linux y no tenga acceso a Internet?

28. Un comerciante tiene 15 artículos, de los cuales 5 tienen algún tipo de defecto. Un cliente

pide 3 artículos que no tengan defectos. Si el comerciante escoge al azar y de una sola vez

5 artículos, ¿Determine la probabilidad de que con las 5 unidades escogidas satisfaga el

pedido del cliente?

29. Un lote de 20 artículos tiene 4 defectuosos y 16 no defectuosos.

a) Si se divide en 4 sub lotes de 5 artículos cada uno, determine la probabilidad de que

en cada sub lote exista un artículo defectuoso.

b) Si se desea formar un sub lote de 5 artículos, determine la probabilidad que en el sub

lote existan 4 artículos defectuosos.

30. Una persona se presenta a dos puestos de trabajo A y B. La probabilidad de que lo llamen

de ambos trabajos es de 10%. La probabilidad de que no lo llamen de ningún trabajo es

de 50%. La probabilidad de que lo llamen del trabajo B es de 30%.

a. Calcule la probabilidad de que lo llamen solo del trabajo A.

b. Calcule la probabilidad de que lo llamen de A, dado que no lo llamaron de B.

31. Cierta empresa se presenta a dos licitaciones X y Y con las siguientes opciones de ganar:

la probabilidad de que pierda en las dos licitaciones es de 30%; mientras que la

probabilidad de ganar solamente una licitación es de 60%. Además, la probabilidad de

ganar solamente en X es de 40%.

a. Calcule la probabilidad de ganar ambas licitaciones.

b. Calcule la probabilidad de que gane la licitación Y si se sabe que no ganó X.

32. Una empresa tiene la siguiente información acerca de la preferencia del distrito X sobre

tres de sus productos A, B y C.

- El 50% prefiere el producto A. - El 37% prefiere el producto B.

- El 30% prefiere el producto C. - El 12% prefiere A y B.

- El 8% prefieren solo A y C. - El 5% solo prefiere B y C.

- El 15% prefiere solamente C.

Si se escoge al azar a una persona del distrito X, determinar la probabilidad:

a. Que no prefiera a ninguno de sus productos.

b. Que prefiera el producto Asi se sabe que también prefiere al producto



.

33. En el mercado laboral, últimamente tienen gran demanda aquellos profesionales con

conocimientos avanzados. Se sabe que el 15% de los que solicitan empleo solo tienen

conocimientos de Visual Basic, el 10% sólo conoce Lenguaje C y el 5% solo conoce

Pascal. El 30% no tiene conocimiento de estas tres herramientas de programación.

También, se sabe que el 35% tiene experiencia solamente en dos de los tres lenguajes de

programación.

a. Determine la probabilidad de que al entrevistar a un postulante a un puesto de

programador, este conozca Visual Basic, Lenguaje C y Pascal.

b. Determine la probabilidad de que un postulante conozca los 3 lenguajes si se sabe

que conoce al menos uno.

34. Una tienda de abarrotes revisó sus políticas de reabastecimiento y analizó el número de

botellas de medio galón de jugo de naranja vendido diariamente durante el último mes. Los

datos son los siguientes:

Número vendido Mañana Tarde Noche

0 - 19 3 8 2 20 - 39 3 4 3 40 - 59 12 6 4 60 - 79 4 9 9 80 - 99 5 3 6

100 o más 3 0 6

30 30 30

a. ¿Determine la probabilidad de que en un día seleccionado al azar el número de

botellas de medio galón vendido durante la tarde esté entre 80 y 99?

b. ¿Determine la probabilidad de que se hayan vendido 39 botellas o menos

durante una tarde elegida aleatoriamente?

c. ¿Determine la probabilidad de que se hayan vendido entre 0 y 19, o bien, 100 o

más botellas durante una mañana elegida al azar

35. Entre los 200 empleados de una empresa hay 150 graduados, 60 del total consagran parte

de su tiempo por lo menos a trabajos técnicos, 40 de los cuales son graduados. Sí se toma

al azar uno de estos empleados, cuál es la probabilidad de que:

a) Determine la probabilidad de que sea graduado dado que se sabe no consagra

su tiempo al trabajo técnico?

b) Determine la probabilidad de que no sea graduado dado que se sabe no consagra su

tiempo al trabajo técnico?.

36. Una fábrica produce tres tipos diferentes de bolígrafos, A, B y C. El número total de

unidades producidas de cada uno de ellos es el mismo (un tercio del total). Salen

defectuosos, sin embargo, un 15 por mil de todos los del tipo A, un 3 por mil de todos los

del tipo B y un 7 por mil de todos los del tipo C. En un control de calidad se detectan el

70% de todos los bolígrafos defectuosos del tipo A, el 80% de los del tipo B y el 90% de

68



los del tipo C. Los bolígrafos defectuosos en dicho control se tiran. Si se saca al azar uno

de estos bolígrafos defectuosos que se han tirado, calcule la probabilidad de que sea del

tipo A.

37. El 35% de los créditos de un banco son para vivienda, el 50% son para industria y el 15%

para consumo diverso. Resultan fallidos el 20% de los créditos para vivienda, el 15% de

los créditos para industrias y el 70% de los créditos para consumo. Calcule la probabilidad

de que se pague un crédito elegido al azar.

38. De los créditos concedidos por un banco, un 42% lo son para clientes nacionales, un 33%

para clientes de la Unión Europea y un 25% para individuos del resto del mundo. De esos

créditos, son destinados a vivienda un 30%, un 24% y un 14% según sean nacionales, de

la UE o del resto del mundo. Elegido un cliente al azar, ¿qué probabilidad hay de que el

crédito concedido no sea para vivienda?



Logro: El alumno, al terminar la sesión, deberá poder aplicar las definiciones de probabilidades en el

programa Excel desarrollado casos de la vida laboral.


70



Resumen

En probabilidad condicional, uno de los eventos actúa como condicionante y es un evento

que se expresa como que ya ocurrió. Si dos eventos no pueden ocurrir simultáneamente (eventos mutuamente excluyentes),

entonces su probabilidad condicional es cero. Si queremos calcular la probabilidad de ocurrencia simultánea o sucesiva de una serie de

eventos, debemos utilizar el teorema de multiplicación de probabilidades. En una distribución Binomial y una distribución de Poisson, se debe tener en cuenta que la

variable por estudiar debe ser discreta.



o http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/un2/cont_216_58.html

o http://www.hrc.es/bioest/Probabilidad_15.html

o http://www.aulafacil.com/cursos/l11234/ciencia/estadisticas/estadisticas/probabilida

d-condicionada


http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/un2/cont_216_58.html

http://www.hrc.es/bioest/Probabilidad_15.html

http://www.aulafacil.com/cursos/l11234/ciencia/estadisticas/estadisticas/probabilidad-condicionada

http://www.aulafacil.com/cursos/l11234/ciencia/estadisticas/estadisticas/probabilidad-condicionada



Bibliografía

MOYA CALDERON, RUFINO

2007 Probabilidad e inferencia estadística. Editorial San Marcos. (519.5 MOYA 2007)

ANDERSON, DAVID R.

2008 Estadística para administración y economía. Editorial Thomson (519.5 ANDE 2008)

DEVORE, JAY L.

2005 Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Editorial Thomson (519.5 DEVO 2005)

WEIERS, RONALD

2007 Introducción a la estadística para negocios. México, D.F.: Thomson (519.5 WEIE)

MITACC MEZA, MÁXIMO

1996 Tópicos de estadística descriptiva y probabilidad. Ed. San Marcos. (519.5 MITA 1996)

CÓRDOVA ZAMORA, MANUEL

2003 Estadística descriptiva e Inferencial. Ed. Moshera. (519.5 CORD 2003)

ANDERSON, DAVID R. 2008 Estadística para administración y economía. Editorial Thomson

(519.5 ANDE 2008) WEIERS, RONALD

2006 Introducción a la estadística para negocios. México, D.F.: Thomson (519.5 WEIE)

MOYA CALDERON, RUFINO

2005 Estadística descriptiva. Conceptos y aplicaciones. Ed. San Marcos. (MOYA/E)

Análisis Probabilístico

Documents

Transcript of Análisis Probabilístico