Universidad Central del Ecuador I ngeniera Qumica Anlisis Numrico I ntegrantes: Canacun Benalczar Crdenas Rodrigo Usia Karina

Semestre: Quinto Semestre Fecha de entrega: 16/07/2014 Abril2014 - Agosto2014 1.REGLA DEL TRAPECIO Laregladeltrapeciooreglatrapezoidaleslaprimeradelasfrmulascerradasde Newton-Cotes. 1.1. Regla del trapecio simple.Considreselafuncinf(x),cuyagrficaestentrelosextremosx=ayx=bcomose muestraenlafigura.SiutilizamosunpolinomioP(x)deprimergradocomouna aproximacin de f(x) tenemos: ()()

()

Ec. 1.1-1 ()() ()()

( ) Ec. 1.1-2 Elreabajoestalnearectaserunaaproximacindelreabajolacurvaentrelos lmites a y b Fig.1.1-1Integrando este polinomio: ()

(() ()()

( ))

Ec. 1.1-3 () ()()

()

|

Ec. 1.1-4 ()( ) ()()

()

Ec. 1.1-5 ()( ) (() ())()

Ec. 1.1-6 ( ) (() (()()

) Ec. 1.1-7 ( )()()

Ec. 1.1-8 Que es la conocida Regla del Trapecio Simple. Geomtricamente, la Regla del trapecio aproxima el rea bajo una curva mediante el rea del trapecio bajo la lnea recta que une f(a) y f(b) Fig.1.1-2

Ec. 1.1-9

()()

( ) Ec. 1.1-10 Ejemplo:Utilizar la regla del trapecio simple para aproximar la integral ()

Solucin

Fig.1.1-3 () (

)()(

)

Ec. 1.1-11

Ec. 1.1-12 La solucin exacta de esta integral es:

Elerrorrelativoporcentualquesecometialaplicarlaregladeltrapeciosimpleesta dado por: |

| |

|Ec. 1.1-13 El error de la estimacin es muy alto. 1.2. Regla de trapecio compuesta Una aproximacin suficiente al rea bajo la curva se obtiene dividindola segmentos de ancho h=(b-a)/n y aproximando el rea de cada segmento mediante un trapecio como se indica en la figura siguiente: Fig.1.2-1 Sea{

}laparticinqueseformaalhacerdichasubdivisin.Usando propiedades de la integral tenemos que: () () ()

Ec. 1.2-1 ()

Aplicando la regla del trapecio en cada una de las integrales, obtenemos: (

)(

)

(

)(

)

Ec. 1.2-2

(

)(

)

Agrupando trminos: ()

((

)+2 (

)+2 (

)+.+ (

))=

((

) (

)

(

)) Ec. 1.2-3 () ( )(

) (

)(

)

Ec. 1.2.4 Que es la conocida como la Regla del Trapecio mltiple o compuesta. Ejemplo:Utilizarlaregladeltrapeciocompuestaconn=5subintervalosparaaproximarla integral ()

Solucin:

Ec. 1.2-5 { } Ec. 1.2-6 ()

(() () () () () ()

Ec. 1.2-7 La solucin exacta de esta integral es:

Ec. 1.2-8 El error relativo porcentual que se cometi al aplicar la regla del trapeciocompuesta esta dado por:|

||

| Ec. 1.2-9 Vemosqueefectivamentesehaobtenidounamejoraproximacinconestemtodo, reduciendo el error relativo verdadero de un 18.2% hasta un 1.884% Si aumentamos el valor de n obtendremos los siguientes resultados: NSnmericaEr% 100.44601964200.688 500.44325593830.0642 1000.44307307720.0229 2000.44300768380.00816 2500.44299744650.00585 10000.44297479680.000736 Se ha obtenido una mejor aproximacin al aumentar el nmero de subdivisiones. 1.3. Codificacin Regla del Trapecio 1.4.Programa corrido Regla del trapecio 1.5.Algoritmo Regla del Trapecio InicioLeerf(X), a, b, n h = (a+b) / n S = f(a) - f(b)i = 1, n-1, 1Xi = a +i*hS = S +2*f(Xi)AREA = S*h/2EscribirAREAFIN 2. REGLA DE SIMPSON Una forma de obtener una aproximacin adecuada de una integral es usar polinomios de grado superior para unir los puntos y aproximar la funcin real. ElmtododeSimpson,adiferenciadelaReglatrapezoidal,intentanoincurrirenun mayor nmero de subdivisiones; se trata de ajustar una curva de orden superior en lugar de una lnea recta como en la Regla Trapezoidal. Seaunafuncinf(x),si entref(a)yf(b)existeuntercerpunto,entoncesserposible ajustar por ellos una parbola, en la misma forma, si existe dos puntos entre f (a) yf( b),entoncesporesoscuatropuntossepodrajustarunacurvadegradotres,yas sucesivamente. 2.1. El mtodo de Simpson En este procedimiento, se toma el intervalo de anchura 2h, comprendido entre xi y xi+2, ysesustituyelafuncinf(x)porlaparbolaquepasaportrespuntos(xi,yi),(xi+1, yi+1),y(xi+2,yi+2).Elvalordelreaaproximada,sombreadaenlafigura,secalcula con un poco ms de trabajo y el resultado es

( ( ) ( )) Ec: 2.1-1 Fig2.1-1: Grafica explicativa REGLA DE SIMPSON El rea aproximada en el intervalo [a, b] es: ()

(

)

(

)

(

) Ec: 2.1-2 EJEMPLO: Usando la regla de Simpson con n=2 y n=4 aproximamos:

() Correctoalnmerodecifrasmostradas.Paran=2tenemosqueh=(2-1)/2=0.5,x0=1, x1=1.5, x2=2. Ahora ()

((1/1)+4(1/1.5)+(1/2))=0.69444 Con n=4 tenemos h=(2-1)/4=0.25, x0=1, x1=1.25, x2=1.5, x3=1.75, x2=2, de modo que()

(1/1+4(1/1.25)+2(1/1.5)+4(1/1.75))=0.693254 Obtuvimos los siguientes resultados:n Sn(f) en=I(f)- Sn(f) en/ e2n2 0.694444 -0.00129726 -----4 0.693254 -0.000106788 12.14818 0.693155 -7.35009e-006 14.528816 0.693148 -7.35009e-006 14.528832 0.693147 -2.97299e-008 15.88564 0.693147 -1.86151e-009 15.9708128 0.693147 -1.16398e-010 15.9927256 0.693147 -7.27562e-012 15.9983 512 0.693147 -4.54747e-013 15.99931024 0.693147 -2.84217e-014 16.0000 2.2. Codificacin en MATLAB: 2.3. Funcionamiento del programa 2.4. Algoritmo Inicio Li,Ls,n,f(x) A= (ls-li)/2n S=0 i=1 i:n X1=li+(2*i-1)*a X2=li+2*i*a s= s+2*fun(x1)+fun(x2) i=i+1 AT=

(() () AT FIN 3. MTODO DE LA REGLA DE ROMBERG 3.1. Regla de Romberg La integracin de Romberg es un mtodo para obtener una estimacin del valor de una integraldefinidaconbaseendosomsaplicacionesdeunafrmulacomoladelos Trapecios ( o Simpson) empleando diferentes tamaos de paso, pero que es mejorada al combinarse con el proceso de extrapolacin de Richardson. LaregladeRombergsebasaenlaReglaCompuestadetrapeciosparaaproximarla integraldeunafuncinfenunintervalopormediodesubintervalosjuntoconsu trmino error. Generaunamatrizdetriangularcuyoselementossonestimacionesnumricasdela integral definida como: ()

Usandola extrapolacindeRichardson deformareiteradaenla regladeltrapecio.El mtododeRombergevalaelintegrandoenpuntosequiespaciadosdelintervalode integracinestudiado.Paraqueestemtodofuncione,elintegrandodebeser suficientemente derivable en el intervalo, aunque se obtienen resultados bastante buenos inclusoparaintegrandospocoderivables.Aunqueesposibleevaluarelintegrandoen puntos no equi espaciados, en ese caso otros mtodos como la cuadratura gaussiana o la cuadratura de ClenshawCurtis son ms adecuados. El mtodo se define de forma recursiva as: ()

( )(() () ( )

( )

(() ()

( )( )

( ( ) () ( )

(

( ) () Donde nm

La cota superior asinttica del error R(n,m) es: O (

) LaextrapolacinaordenceroR(n,0)esequivalentealaRegladeltrapecioconn+2 puntos a orden uno R (n,1) es equivalente a la Regla de Simpson con n+2 puntos Ec.3.1-1 Ec.3.1-4 Ec.3.1-3 Ec.3.1-3 Ec.3.1-2 Ec.3.1-5 3.2. ALGORITMO 3.3. Codificacin 3.3. Resultados