ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS´ -...

ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

Ing. HUGO MERCADO C.1

Facultad Nacional de Ingenierıa - UTOOruro-Bolivia

25 de Marzo del 2001

1Telf. 05253522

Indice

1 GENERALIDADES 11.1 Conceptos Relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Notacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Concepto de Flexibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3 Concepto de Rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.4 Desplazamiento - Deformacion . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.5 Resultantes de Esfuerzos - Desplazamientos . . . . . . . . 51.1.6 Nudo - Barra - Apoyo - Vınculo . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Introduccion al Metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1 Incognitas a determinar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2 Matriz de Rigidez de una Barra en el Espacio . . . . . . . 12

1.2.2.1 Barra Biempotrada . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.3 Matriz de Rigidez de una Barra en el Plano . . . . . . . . 19

1.2.3.1 Barra Biempotrada . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.3.2 Barra Articulada-Empotrada . . . . . . . . . . . 201.2.3.3 Barra Empotrada-Articulada . . . . . . . . . . . 201.2.3.4 Barra Empotrada-Empotrada/guiada . . . . . . 211.2.3.5 Barra Articulada-Articulada . . . . . . . . . . . 21

1.3 Acciones sobre una barra en Ejes Locales . . . . . . . . . . . . . 21

2 PLANTEAMIENTO GENERAL DEL METODO 232.1 Sistema de Referencia Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.1 Rotacion de Ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.2 Matriz de Rotacion de la Barra . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Acciones sobre una barra en Ejes Globales . . . . . . . . . . . . . 262.3 Ecuacion General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4 Metodo Matricial de Rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.1 Compatibilidad de Desplazamientos . . . . . . . . . . . . 282.4.2 Condiciones de Equilibrio Estatico . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.2.1 Estructura con Nudos Indesplazables . . . . . . 292.4.2.2 Estructura con Nudos Desplazables . . . . . . . 32

2.5 Resultados Finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5.1 Reacciones de Apoyo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5.2 Acciones de Nudo a Barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

ii

INDICE iii

2.6 Determinacion del Vector ΦFij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.6.1 Cargas distribuidas y/o puntuales sobre la barra: ΦIij . . 35

2.6.2 Cargas de N/B por Efecto de Temperatura: ΦTij . . . . . 36

2.6.2.1 Deformacion de la Barra por Temperatura . . . 382.6.2.2 Accion N/B por Temperatura: ΦT

ij . . . . . . . . 402.6.3 Cargas debidas a Desplazamientos: Φ∆

ij . . . . . . . . . . 402.6.3.1 Accion N/B por mala fabricacion . . . . . . . . 402.6.3.2 Accion N/B por desplazamiento de nudos . . . . 41

iv INDICE

Capıtulo 1

GENERALIDADES

1.1 Conceptos Relativos

1.1.1 Notacion

Para la comprension mas facil del metodo es necesario sujetarse a una nomen-clatura clara, por tanto se pide analizar con cuidado la Fig.1.1, como ejemplo.En la Fig.1.1(a) se muestra una viga isostatica sometida a la accion de un mo-mento en el extremo A (P1) y a una fuerza puntual en el punto central C (P2),tambien se puede ver la deformacion que estas ocasionan: el desplazamientorotacional de la viga en el extremo A (D1)y su desplazamiento lineal en C (D2).Observese lo siguiente:

La letra P indica carga, indistintamente fuerza o momento.

La letra D indica desplazamiento, lineal o rotacional.

Los subındices 1 y 2 definen las rectas de accion de las cargas y las defor-maciones asociadas. Es decir, el numero 1 indica el punto A y una rectaperpendicular al papel que pasa por el. Esta recta es la direccion del vectormomento y del vector desplazamiento, que es una rotacion. Igualmente elnumero 2 representa la recta vertical que pasa por C y que es la direccionde la fuerza y su deformacion asociada.

Entre las cargas y los desplazamientos existe correspondencia, se dice que(P1) esta asociado con (D1) porque ambos vectores tienen la misma di-reccion, lo mismo sucede entre (P2) y (D2)

1.1.2 Concepto de Flexibilidad

Para analizar la deformacion de la viga mencionada se han separado las cargascomo se ve en las Figs.1.1(a),(b)y (c), para aceptar esta superposicion de efectosse asume que el comportamiento de la viga es linealmente elastico. Al trabajar

1

2 CAPITULO 1. GENERALIDADES

Figura 1.1: Nomenclatura

ahora con dos estados de carga, se hace necesario utilizar un segundo subındicepara las deformaciones, ası por ejemplo, D1,2 significa el desplazamiento endireccion de la recta 1, debido a la accion de la carga P2 Fig.1.1(c), generalizandoDi,j define el desplazamiento en direccion de la recta i, debido a la accion de lacarga Pj . Con esta aclaracion las deformaciones son:

D1 = D1,1 + D1,2

D2 = D2,1 + D2,2 (1.1)

Por cualquier metodo conocido, el de la Carga Unitaria por ejemplo, se hancalculado las deformaciones antes mencionadas, ası:

D1,1 = (L

3EI)P1 = f1,1 P1

D2,1 = (L2

16EI)P1 = f2,1 P1

D1,2 = (L2

16EI)P2 = f1,2 P2

D2,2 = (L3

48EI)P2 = f2,2 P2

Como se ve, se ha reemplazado en cada caso el valor entre parentesis por el factorfi,j , llamado flexibilidad, entonces se esta planteando una primera definicion:

fi,j =Di,j

Pj(1.2)

1.1. CONCEPTOS RELATIVOS 3

fi,j =Desplazamiento en dir. de i, debido a Pj

Carga Pj

Si en la relacion que define la flexibilidad hacemos la carga Pj = 1 se tiene unasegunda definicion:

Flexibilidad fi,j es la deformacion en la direccion i producida por una cargaunitaria Pj = 1

Reemplazando los valores de la flexibilidad Ec. (1.2), en la Ec. 1.1, se tiene:

D1 = f1,1 P1 + f1,2 P2

D2 = f2,1 P1 + f2,2 P2 (1.3)

Generalizando las anteriores igualdades al caso en el que hubieran n cargasactuantes se puede escribir:

D1 = f1,1 P1 + f1,2 P2 + · · ·+ f1,n Pn

D2 = f2,1 P1 + f2,2 P2 + · · ·+ f2,n Pn

· · · · · ·Dn = fn,1 P1 + fn,2 P2 + · · ·+ fn,n Pn (1.4)

Es conveniente escribir las anteriores igualdades con la notacion matricial, asi:

D1

D2

· · ·Dn

=

f1,1 f1,2 · · · f1,n

f2,1 f2,2 · · · f2,n

· · · · · · · · · · · ·fn,1 fn,2 · · · fn,n

P1

P2

· · ·Pn

(1.5)

O abreviadamente:

{∆} = [F ] {Φ}Cuya lectura indica que: el vector desplazamiento {∆} es igual a la matriz deflexibilidad [F ] por el vector de cargas {Φ}.

1.1.3 Concepto de Rigidez

Si en las ecuaciones (1.4) anteriores se suponen conocidos los desplazamientosDi y desconocidas las fuerzas Pi, resolviendo el sistema de ecuaciones que ahorarepresentan las igualdades mencionadas, se obtiene los siguientes valores paralas incognitas Pi:

P1 = k1,1 D1 + k1,2 D2 + · · ·+ k1,n Dn

P2 = k2,1 D1 + k2,2 D2 + · · ·+ k2,n Dn

· · · · · ·Pn = kn,1 D1 + kn,2 D2 + · · ·+ kn,n Dn (1.6)


Si se analizan los segundos miembros, es facil establecer que cada uno de susterminos corresponden a una porcion de la fuerza total, ası por ejemplo, elprimer termino del segundo miembro de la primera ecuacion:

P1,1 = k1,1 D1

corresponde a la carga en la direccion 1 que ocasiona una deformacion D1 (enla direccion 1), generalizando este concepto, la componente:

Pi,j = ki,j Dj

no es otra que la carga en la direccion i, que ocasiona una deformacion Dj (enla direccion de j).Ahora bien, despejando ki,j se tiene un valor constante, invariante de la estruc-tura que se llama RIGIDEZ :

ki,j =Pi,j

Dj(1.7)

que es el concepto inverso de flexibilidad, es decir:

ki,j =Carga en la dir. de i que ocasiona Dj

DesplazamientoDj

Como se hizo en el caso de la flexibilidad, si Dj tuviera el valor de uno, entoncespudiera entenderse la segunda definicion de rigidez:

La Rigidez ki,j es la carga en la direccion i que produce una deformacionunitaria Dj = 1

Hasta aquı se han considerado a las cargas como la causa de los desplazamien-tos, ”la carga que produce el desplazamiento”, pero es necesario extender esteconcepto y admitir que un desplazamiento podrıa producir una carga en el el-emento, por ejemplo, considerese una viga biempotrada sin carga externa, siuno de los empotramientos sufre un desplazamiento por el que la viga sufre undesnivelamiento, se sabe que en los apoyos se desarrollaran momentos de em-potramiento que no son otra cosa sino cargas producidas por desplazamientos,este criterio sera ampliado posteriormente.

1.1.4 Desplazamiento - Deformacion

En lo que sigue del texto, siempre que de otro modo no haya posibilidad deconfusion, se respetaran las siguientes definiciones casi arbitrarias:

Desplazamiento es el cambio de posicion de una parte de la estructura, de unpunto de la misma, de una seccion transversal, etc., que pudiera estar ono acompanado por una deformacion (movimiento como cuerpo rıgido).

Deformacion es el cambio de forma de la estructura o de una parte de ella,por ejemplo la elongacion de sus fibras, etc.Casi siempre las deformaciones van acompanadas por esfuerzos, salvo elcaso de las deformaciones que produce un cambio de temperatura sobreuna estructura isostatica.


1.1.5 Resultantes de Esfuerzos - Desplazamientos

Cuando imaginamos un corte, perpendicularmente al eje de un elemento cualquierade una estructura, sometida a un conjunto de cargas externas en equilibrio,los dos cuerpos resultantes de este corte, llamados cuerpos libres, quedan endesequilibrio porque los esfuerzos que interactuaban entre sus fibras han sidoanulados por el corte. Para restituir el equilibrio, es necesario entonces imponersobre las secciones transversales, resultantes del corte, las llamadas Resultantesde Esfuerzos o Cargas Internas. Estas resultantes son agrupadas en un vectorfuerza y otro vector momento.Si el estudio se lo realiza en el espacio, naturalmente se tendran tres componentesde fuerza y otros tres de momentos. En cambio, si el analisis esta restringidoa estructuras planas, ya se ha visto que las resultantes de esfuerzo pueden de-scomponerse en los vectores fuerza Normal y Cortante y un vector Momentoflector.Debe comprenderse que, cuando el corte se lo realiza en las cercanıas de un bordedel elemento (que puede ser por ejemplo un apoyo), estas cargas internas soniguales a las cargas actuantes sobre el elemento (reacciones de apoyo en el ejem-plo). Al decir ”cercanıas” hacemos mencion del principio de Saint Venant, porel cual las soluciones halladas son valederas en regiones alejadas de los apoyoso puntos de discontinuidad, pero que, si las aproximaciones son estaticamenteequivalentes, las soluciones difieren sustancialmente solo en la vecindad de talessecciones.Por otra parte, la Resistencia de Materiales se encarga de establecer la relacionexistente entre las cargas internas que se estudian y los desplazamientos dela misma seccion transversal, es decir, a cada resultante de esfuerzo le corre-sponde un desplazamiento de la seccion transversal, cuya direccion es la mismaque la del vector, ver Fig. 1.2. Para cada una de las resultantes de esfuerzo setiene:

A las Fuerzas Normales N Fig. 1.2(a), le corresponden corrimientos de lassecciones transversales en direccion del mismo vector (eje z), del graficose tiene:

∆dz = dζi + dζd

por tanto, despreciando las deformaciones de segundo orden ocasionadaspor el diferencial de fuerza, asumiendo un comportamiento elastico de laestructura:

∆dz =N

E Adz

Al Momento Flector M vector en la direccion perpendicular al papel, del lamisma forma que en el caso anterior puede demostrarse que le correspondeun cambio de pendiente del eje del elemento (giro en la misma direccion):

dθ =M

E Idz


Figura 1.2: Deformaciones de la tajada diferencial

A la Fuerza Cortante V cuya direccion es una lınea vertical, le estan aso-ciados corrimientos tambien verticales de las secciones transversales cuyasuma es:

dλ =αs V

G Adz

Al Momento Torsor T actuando en la direccion del eje ”z” le corresponden,finalmente, giros de las secciones transversales en la misma direccion ”z”,cuya suma puede hallarse como antes y vale:

dϕ =T

G Itdz

Con este breve repaso de la Resistencia de Materiales ha quedado en claro que acada resultante de esfuerzo (seis vectores en el espacio) le corresponden tambienseis vectores de desplazamiento que tienen las mismas direcciones de sus cargasasociadas. A la cantidad de desplazamientos y cargas asociadas que se plantean


en un problema determinado se llama GRADO DE LIBERTAD.Tambien debe quedar claro que para hallar los desplazamientos acumulados,se deben integrar los anteriores diferenciales, de modo que en una seccioncualquiera se podra manifestar un desplazamiento acumulado, pudiendo o nodesarrollarse en esa seccion, la resultante de esfuerzos asociada, por ejemplodonde exista un cambio de pendiente acumulado del eje del elemento, el mo-mento flector ”asociado” puede o no estar presente.

1.1.6 Nudo - Barra - Apoyo - Vınculo

Para fines consiguientes, a continuacion se definen y describen los conceptosarriba mencionados:

Nudo.- Si se representan los elementos unidimensionales de la estructura comolıneas, entonces un nudo puede ser cualquier punto de esas lıneas. Sin em-bargo, suele escogerse como nudos aquellos puntos donde se desean conocerlos desplazamientos, o donde exista cambio de seccion transversal, en lospuntos de discontinuidad en el eje del elemento, donde se cruzan los ejes dedos o mas elementos, etc. Se deberıa crear la menor cantidad de nudos quepermita rapidez y facilidad en la solucion, por cuanto cada nudo planteaun numero de incognitas igual al grado de libertad del nudo.Un nudo creado por cualquiera de los motivos ya mencionados, fısicamentees un volumen con dimensiones reales, sin embargo, para fines de calculo,estas dimensiones quedan definidas de distinto modo segun el grado de ex-actitud de la solucion deseada. En general en lo que continua se consideranlos nudos como paralelepıpedos de dimensiones muy pequenas. Concibi-endo al nudo como un cuerpo, es entendible la posibilidad de que puedadesarrollar desplazamientos lineales y rotacionales como cuerpo rıgido.Este volumen limita y esta vinculado por lo menos a una barra, en algunoscasos lo estara tambien a un apoyo externo, en cuyo caso se lo denominaNudo Externo.

Barra.- Como se ha adelantado, es un elemento unidimensional (que tienedos de sus dimensiones mucho menores que la tercera), componente dela estructura. Esta representada por una lınea llamada eje del elementoque es el lugar geometrico de los puntos de la seccion transversal donde seacumulan las cargas internas o resultantes de esfuerzos.Cada barra debe estar limitada por un nudo en cada extremo y debevincularse con estos nudos por medio de conexiones que aıslen o transmitanlos desplazamientos del nudo a la barra y viceversa.

Apoyo.- Se asume que toda estructura debe descansar, por medio de nudos, enla Tierra, la cual puede restringir teoricamente cualquier desplazamiento.Entonces, todo nudo que este unido a un apoyo externo tendra todas suslibertades restringidas, a menos que intencionalmente se disponganvınculos entre nudo y apoyo que aıslen estos desplazamientos, de modoque al nudo no le pueda llegar la infinita restriccion que significa un apoyo


externo. Tal es el caso de los conocidos apoyos articulados, guiados, ar-ticulado movil, etc.

Vınculo.- Como ya se ha mencionado es la forma en que estan unidos losnudos con las barras o con los apoyos. Solamente existen dos tipos devınculo, el vınculo que trasmite el desplazamiento entre el nudo y la barra ocontrariamente impide la transmision de tales desplazamientos, del mismomodo podra, el vınculo, transmitir o aislar uno o varios desplazamientosentre un nudo y el apoyo externo que esta unido al mismo. Notese queal aislar un desplazamiento tambien se aısla la carga asociada con el, esdecir que si no transmite giro por ejemplo, tampoco podra transmitir lacarga asociada, en este caso un momento. La representacion grafica de losvınculos aisladores es casi universal,

• Un pequeno cırculo (articulacion) significa que las rotaciones puedeno no desarrollarse, independientemente, entre los elementos ası vin-culados, como no pueden transmitirse giros, tampoco los momentosde interaccion pueden existir.

• Dos pequenas lıneas representan la posibilidad que tienen los itemsunidos de desplazarse independientemente entre sı sobre un planoparalelo al de las lıneas. Obviamente, al no poder desarrollarse larestriccion, tampoco se desarrolla ninguna carga (fuerza en este caso)entre elementos, en esa direccion.

• Para mostrar la comunicacion en giro y el aislamiento en desplaza-miento lineal, el vınculo se muestra como un pequeno embolo/cilindro,los elementos vinculados se mueven independientemente sobre la di-reccion del embolo, pero, de haber rotacion, deben rotar al mismotiempo embolo y cilindro.

Estos conceptos pueden ser mejor interpretados observando la Fig.1.3 En lafigura 1.3 (a) puede verse una estructura plana corriente en la que los nudosy las barras han sido numerados, el indicador de nudos esta encerrado en uncırculo y el de barras en un triangulo. A objeto de clarificar el concepto devınculo entre barras y nudos o entre nudos y apoyos, en la Fig. 1.3(b) los nudoshan sido graficados como pequenos cuadrados que pueden rotar y desplazarselinealmente. Como se dijo, cada barra esta limitada por nudos en sus extremos,los movimientos de los nudos pueden o no ser transmitidos a las barras enfuncion al tipo de vınculo que lige nudo/barra, como se explica a continuacion.

Entre los nudos 4, 6 y 7 y las barras adyacentes el vınculo es de continuidad,por tanto no se coloca ningun sımbolo entre los nudos y las barras, cualquierdesplazamiento de tales nudos debe tambien presentarse en la secciontransversal extrema de las barras unidas a tales nudos.

En cuanto al nudo 5 solo tiene vınculos de continuidad con las barras 2, 4 y6 (no aparece ningun sımbolo aislante), el mismo giro y desplazamientolineal presente en el nudo lo estara tambien en dichas barras, en cambio,


Figura 1.3: Nudos, Barras, Apoyos y Vınculos


entre el mismo nudo 5 y la barra 7 esta interpuesto un aislador de giros(el pequeno cırculo insertado), por tanto el posible giro del nudo es inde-pendiente del que pudiera estar presente en la seccion transversal extremade la barra 7 mencionada, no puede haber tampoco transmision de mo-mentos, el momento entre el nudo 5 y la barra 7 vale cero. No ocurre lomismo con los desplazamientos lineales, si el nudo se mueve sobre cualquierrecta, el mismo movimiento se presenta en la barra, existe una fuerza queinteractua entre nudo y barra.

En lo que hace al nudo 8 puede verse que las barras 5 y 8 que concurren ael tienen rotaciones independientes, por tanto podrıa pensarse en vınculosaisladores entre este nudo y las dos barras mencionadas, en cuyo casotuvieramos un problema fısico: el nudo no estuviera ligado a ningun ele-mento de la estructura en lo referente a la rotacion, por tanto cualquiermomento externo actuando en el mismo producirıa rotacion permanentedel nudo, tambien se presentarıa un problema matematico por cuanto larigidez del nudo serıa nula, presentandose una igualdad imposible de sat-isfacer numericamente. Por tanto, es imprescindible dar continuidad alnudo por lo menos con una barra, de ahı que se eligio darle continuidadcon la barra 5 en la Fig. 1.3(b), alternativamente tambien se pudo conec-tarlo con la barra 8, pero no con ambas a la vez.

En lo que hace a los nudos 1, 2 y 3 estos estan vinculados a apoyos exter-nos, son nudos externos.

El nudo 3 tiene un vınculo de continuidad tanto con la barra como con elapoyo, esta claro que el apoyo restringe todo desplazamiento del nudo yal ser este contınuo tambien con la barra, esta tampoco puede desarrollarningun desplazamiento. El apoyo genera la fuerza y el momento necesariospara controlar todo desplazamiento.

Analizando el nudo 1 en la Fig. 1.3(b) se observa que el apoyo esta impi-diendo todo desplazamiento del nudo, este no se desplaza, en cambio, alestar el nudo vinculado mediante un aislador de giro con la barra (verel pequeno cırculo interpuesto), la barra rotara independientemente de larestriccion impuesta al nudo: no se genera momento de interaccion en-tre nudo y barra y por equilibrio de momentos en el nudo, tampoco esnecesario desarrollar ningun momento entre el nudo y el apoyo: no haymomento en el nudo. El mismo efecto serıa alcanzado en caso de quedispusieramos el aislador entre el nudo y el apoyo, ver Fig. 1.3(c), en lacual el cırculo pequeno se interpone entre nudo y apoyo, en este caso elconjunto barra/nudo es contınuo y por tanto puede rotar al mismo tiempoy con el mismo valor, es mas, al estar el nudo aislado del apoyo, esteno puede impedir que el nudo gire libremente, no se generan momentosde interaccion apoyo/nudo, otra vez por equilibrio, no habiendo este mo-mento, tampoco existe el momento nudo/barra: no hay momento en elnudo. Como se ha demostrado, en ambos casos se ha llegado al mismo

1.2. INTRODUCCION AL METODO 11

resultado de momento en nudo igual a cero, pero por caminos distintos,en el primer caso el nudo no rota y la barra rota libremente, en el segundocaso el nudo y la barra rotan libremente el mismo angulo.

Para el nudo 2 un analisis semejante se realiza en este caso, pero esta vez sondos las libertades de movimiento a considerar: el desplazamiento linealhorizontal y el giro. En la Fig. 1.3(b) los aisladores (un pequeno cırculoy dos lıneas paralelas) se han interpuesto entre el nudo y la barra, peroexiste un vınculo de continuidad entre el nudo y el apoyo, entonces, elnudo no puede desplazarse porque el apoyo restringe completamente susmovimientos, en cambio estas restricciones no pueden transmitirse a labarra por cuanto la misma esta aislada del nudo, la barra rota y se muevehorizontalmente con libertad. No se genera momento ni fuerza horizontalentre el nudo y la barra y por tanto tampoco entre nudo y el apoyo. Enlas Figs. 1.3(d) y (e) se aprecian otras alternativas de vinculacion, enla Fig. (d) el nudo no rota pero desplaza horizontalmente con libertaden tanto que la barra rota y desplaza libremente, en la Fig. (e) el nudoy la barra (que son contınuos) rotan y desplazan libremente porque elnudo esta aislado del apoyo y este no puede transmitir sus restricciones alnudo. En los tres casos se llega al mismo resultado: no se genera fuerzahorizontal ni momento en el nudo.

1.2 Introduccion al Metodo

1.2.1 Incognitas a determinar

En la Ec. (1.6) se ha mostrado la interdependencia entre cargas y desplaza-mientos, misma que se vuelve a copiar:

P1 = k1,1 D1 + k1,2 D2 + · · ·+ k1,n Dn

P2 = k2,1 D1 + k2,2 D2 + · · ·+ k2,n Dn

· · · · · ·Pn = kn,1 D1 + kn,2 D2 + · · ·+ kn,n Dn (1.8)

esta es la ecuacion que utiliza el metodo de la rigidez, es decir, si se conocela matriz de rigidez de la estructura (que es una invariante), se pueden cono-cer los desplazamientos si las cargas correspondientes estan dadas, del mismomodo, de ser conocidos los desplazamientos, tambien se pueden resolver las car-gas existentes en esos puntos. En el primer caso, el numero de valores conocidos(cargas) debe ser igual al de incognitas (desplazamientos), por tanto se deberesolver un sistema determinado de ecuaciones simultaneas.Por otra parte, cuando se comenzaba el estudio de las estructuras se demostroque una barra esta definida estaticamente a condicion de conocer las resultantesde esfuerzos en sus secciones extremas, a partir de las cuales se podrıan calcularlas cargas internas: momentos, cortantes y normales, en otras secciones interi-


ores a lo largo del elemento. Entonces es posible afirmar que una barra en elespacio esta perfectamente defina a condicion de conocer:

La matriz de rigidez para lo cual deben conocerse las caracterısticas de labarra, mecanicas y geometricas.

Las cargas en secciones extremas con las que se podran determinar las re-sultantes de esfuerzos en cualquier seccion transversal interior. Por otraparte, tambien se podrıan hallar los desplazamientos de sus seccionestransversales extremas, resolviendo el sistema de ecuaciones que repre-senta la ecuacion de rigidez. Alternativamente, tambien estarıa resueltoun elemento a condicion de conocer:

Los desplazamientos en las secciones extremas con los cuales se puedenhallar, por simple sustitucion, las cargas en los extremos y con ellas lascargas internas.

Por lo dicho antes, queda demostrado que son doce (seis en cada extremo) losvectores carga/desplazamiento que resuelven una barra en el espacio. Se debeaclarar que los valores conocidos podrıan ser cargas, desplazamientos o unacombinacion de ambos. Posteriormente estos conceptos seran objeto de mayoraclaracion.

1.2.2 Matriz de Rigidez de una Barra en el Espacio

Como se acaba de indicar, para analizar una barra en el espacio es necesarioplantear la ecuacion de rigidez de la barra, la misma que contiene un vectordesplazamiento con doce componentes, a saber, seis vectores en cada extremo,tres componentes del vector desplazamiento lineal y tres del desplazamientorotacional. Del mismo modo, el vector de cargas en los extremos tiene docecomponentes, seis en cada extremo, tres vectores fuerza y tres de momento,asociadas a las anteriores componentes del vector desplazamiento. Por lo an-terior, la matriz de rigidez que relaciona cargas con desplazamientos sera de12x12. Entonces, volviendo a copiar la Ec. (1.8), esta vez para los doce vectoresrecien descritos:

P1 = k1,1 D1 + k1,2 D2 + · · ·+ k1,i Di + · · ·+ k1,12 D12

P2 = k2,1 D1 + k2,2 D2 + · · ·+ k2,i Di + · · ·+ k2,12 D12

· · · · · ·Pi = ki,1 D1 + ki,2 D2 + · · ·+ ki,i Di + · · ·+ ki,12 D12

· · · · · ·P12 = k12,1 D1 + k12,2 D2 + · · ·+ k12,i Di + · · ·+ k12,12 D12(1.9)


Esta misma ecuacion se escribe en notacion matricial de la siguiente manera:

P1

P2

· · ·Pi

· · ·P12

=

k1,1 k1,2 · · · k1,i · · · k1,12

k2,1 k2,2 · · · k2,i · · · k2,12

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·ki,1 ki,2 · · · ki,i · · · ki,12

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·k12,1 k12,2 · · · k12,i · · · k12,12

D1

D2

· · ·Di

· · ·D12

(1.10)

Para un planteamiento mas facil y comprensible, en este texto se adopta elcriterio de que todas las componentes estan referidas a un sistema de referenciaunico para cargas y desplazamientos, el mismo tambien para ambos extremos,este es el llamado Sistema Local de referencia, que es un sistema cartesianoortogonal con el eje u ubicado sobre el eje del elemento, de sentido positivodirigido desde el nudo origen hacia el nudo extremo. Los otros ejes v y w se losubica en el plano perpendicular al eje u en una posicion y sentido definidos porconvencion. Tambien por convencion, generalmente, al eje principal de menorinercia de la seccion transversal se ubica sobre eje v, quedando automaticamenteel eje w sobre el eje principal de mayor inercia. Resumiendo, los ejes u, v y wson unicos para cada barra y definen la direccion y sentido de las componentesde carga y desplazamiento en ambos extremos de la barra. Ver la Fig.1.4En la mencionada Fig. 1.4 se muestran todos los vectores a los que se hace

Figura 1.4: Notacion de Ejes y Vectores

referencia, con sus sentidos positivos:

Los vectores P1 a P3 y D1 a D3 son respectivamente las fuerzas y los de-splazamientos lineales en el nudo origen.

Los vectores P4 a P6 y D4 a D6 son respectivamente los momentos y los de-splazamientos rotacionales el nudo origen.


Los vectores P7 a P9 y D7 a D9 son respectivamente las fuerzas y los de-splazamientos lineales en el nudo extremo.

Los vectores P10 a P12 y D10 a D12 son respectivamente los momentos y losdesplazamientos rotacionales el nudo extremo.

Con relacion a los vectores arriba mencionados hay dos comentarios importantesque realizar:

Los vectores P1 A P12 son cargas de interaccion entre nudo y barra, de modoque, cuando analizamos la barra (en el grafico) estamos visualizando lascargas que el nudo impone sobre la barra, son acciones de Nudo a Barra(N/B). Si se aislarıa el nudo, los vectores actuarıan sobre este con el sentidocontrario pero el mismo valor, se estuviera considerando entonces la accionde la barra sobre el nudo (B/N).

Los vectores P1 A P12 segun ha sido explicado, algunos de ellos pueden tenervalor cero, en caso de que el vınculo nudo/barra sea un aislador de de-splazamientos y cargas en dicha direccion, por tanto, haciendo referencia ala ecuacion (1.10), habran tantas matrices de rigidez como tipos de barrasexistan, y existen tantos tipos de barras como combinaciones de vınculospuedan presentarse. Si son doce los grados de libertad, hay doce vınculosque puede ser cada uno aislador o dar continuidad, entonces la cantidad detipos de barra o de matrices de rigidez es de 212 = 4096, por tanto, parafines practicos se hace impensable la idea de calcular esa cantidad de ma-trices de rigidez, debiendo buscar otro camino alternativo. No obstante,muchos de los tipos de barras, de los 4096 mencionados, no son de usocorriente en la ingenierıa civil y otros tantos producen barras no estaticas(mecanismos), por estas causas y especialmente para fines de aprendizajese calcularan las matrices de rigidez en algunos casos especiales de usocomun.

Para calcular la matriz de rigidez se describe a continuacion uno de los variosmetodos que existen. En la Ec. 1.9 se da el valor de uno al desplazamiento Di,mientras que todos los demas son anulados:

Di = 1, Dj = 0 para j → 1 a 12 j 6= i

Calculando luego los efectos que produce sobre la barra ese desplazamiento, esdecir Pi para i → 1 a 12, se habra determinado la columna ”i” de la matrizde rigidez. En otras palabras, reemplazando los valores de los desplazamientosasumidos, en la Ec. 1.9 se tendra:

P1 = k1,i Di︸︷︷︸1

P2 = k2,i

· · · · · ·Pi = ki,i


· · · · · ·P12 = k12,i (1.11)

1.2.2.1 Barra Biempotrada

A continuacion se determinaran algunas columnas de la matriz de rigidez de unabarra biempotrada en el espacio, siguiendo el metodo propuesto lıneas arriba.Sea:

D1 = 1, Dj = 0 para j → 2 a 12

En cuyo caso se debe resolver una viga hiperestatica en la que el apoyo ”O” hasufrido un corrimiento de longitud unitaria hacia la derecha, ver Fig. 1.5. Es

Figura 1.5: Desplazamiento D1 = 1

inmediato deducir que, habiendose acortado las fibras de la barra una distanciaD1 = 1, la misma debe estar sometida solamente a compresion axial, luego, porla Ley de Hooke:

∆ =N L

AE⇒ N =

AE

L∆

Donde ∆ = D1 = 1, entonces:

P1 = k1,1 = N =A E

L

P7 = k7,1 = −N = −AE

L(Sentido contrario a eje x)

Pi = ki,1 = 0 para i → 2 a 6 y 8 a 12

Habiendo definido por tanto la primera columna de la matriz de rigidez.

Un analisis semejante se realiza cuando se considera el desplazamiento del ex-tremo de la barra, D7 = 1:

D7 = 1, Dj = 0 para j → 1 a 6 y 8 a 12

Siendo por tanto:

P1 = k1,7 = −N = −AE

L(Sentido contrario a eje x)

P7 = k7,7 = N =A E

LPi = ki,7 = 0 para i → 2 a 6 y 8 a 12


Valores que corresponden a la septima columna de la matriz.

Como otro ejemplo se analizara el caso del desplazamiento D2 = 1:

D2 = 1, Dj = 0 para j = 1 y j → 3 a 12

Observando la Fig. 1.6 se puede ver que la barra deformada pertenece al planouv, ademas, ante la ausencia de cargas externas, es posible concluir que elanalisis se limita al plano mencionado. En otras palabras:

P3 = P4 = P5 = P9 = P10 = P11 = 0

Figura 1.6: Desplazamiento D2 = 1, Metodo de la Flexibilidad

En consecuencia, para resolver la viga hiperestatica en el plano uv, se apelaraal Metodo de la Flexibilidad. Las Fig. 1.6 (a) y (b) muestran dicha viga con elunico desplazamiento a que es sometido, ∆ = D2 = 1, que produce la curvaturamostrada y por tanto requiere la generacion de las cargas de N/B para satisfacerlas condiciones de borde ya mencionadas. Siendo la viga biempotrada en elplano, tiene un Grado de Hiperestaticidad de 3, de ahı que en la Fig. 1.6 (c)se la haya isostatizado creando las redundantes X1, X2 Y X3 mostradas. En laFig. 1.6 (d) se ven los estados de carga requeridos por el metodo.Para estos estados de carga, la ecuacion de la flexibilidad es:

δ1 = δ1,0 + f1,1X1 + f1,2X2 + f1,3X3

δ2 = δ2,0 + f2,1X1 + f2,2X2 + f2,3X3

δ3 = δ3,0 + f3,1X1 + f3,2X2 + f3,3X3 (1.12)

Donde:

δ1 = δ2 = δ3 = 0 Por condicion de borde en O y E


X1 = P6 (En la Fig. 1.4)

X2 = P12 (En la Fig. 1.4)

X1 = P7 (En la Fig. 1.4)

Tambien:

δ1,0 = −∆L

= Desplazamiento en la direccion de X1 en el Estado 0

δ2,0 = −∆L

= Desplazamiento en la direccion de X2 en el Estado 0

δ3,0 = 0 = Desplazamiento en la direccion de X3 en el Estado 0

Por otra parte, despreciando el efecto de la Normal y el Cortante, la flexibilidades:

fi,j =∫

Mi Mj

E Izdx

Como puede verse en la Fig. 1.6 (d), los momentos correspondientes al EST 3son nulos, por tanto:

f1,3 = f2,3 = 0

Y recordando el Teorema de Reciprocidad, la matriz de flexibilidad es simetrica,por tanto:

f3,1 = f3,2 = 0

Tomando en cuenta esto ultimo y que δ3 = 0, de la ultima ecuacion 1.12 seobtiene, como ya se sabıa, que en ausencia de cargas externas colineales con labarra no se generan reacciones en tal direccion:

X3 = 0

Por tanto, las Ec. 1.12 quedan reducidas a la siguiente expresion:

δ1 = δ1,0 + f1,1X1 + f1,2X2

δ2 = δ2,0 + f2,1X1 + f2,2X2 (1.13)

Calculando los restantes coeficientes de flexibilidad, usando la ecuacion antesanotada,

f1,1 =L

3 E Iw

f2,2 =L

3 E Iw

f1,2 = − L

6 E Iw

f2,1 = − L

6 E Iw


Reemplazando estos valores en la Ec. 1.13 y resolviendo el sistema se hallan lossiguientes valores para las redundantes:

X1 = X2 =6 E Iw

L2

Una vez halladas las redundantes hiperestaticas, se procede a determinar lasrestantes acciones N/B como son las reacciones de la viga isostatica (Fig. 1.6(c),calculando las reacciones verticales, estas valen:

VO = −VE =12 E Iw

L3

Con lo cual ha sido resuelta completamente la viga del problema, resumiendo,se habra determinado la segunda columna (para el desplazamiento D2 = 1) dela matriz de rigidez, ası:

P2 = k2,2 =12 E Iw

L3

P6 = k6,2 =6 E Iw

L2

P8 = k8,2 = −12 E Iw

L3

P12 = k12,2 =6 E Iw

L2

Pi = ki,2 = 0 para i → 1, 3, 4, 5, 7, 9, 10y11

Estos resultados pueden ser usados para analizar el desplazamiento D8 = 1,siendo el desnivel de la barra contrario al que se acaba de considerar, lo unicoque deberıa cambiar entre la columna 2 y 8 seran los signos de las rigideces.Un razonamiento algo mas exigente habra de realizarse cuando se pretenda ade-cuar los resultados hallados al caso de los desplazamientos D3 = 1 y D9 = 1,en cuyo caso, ademas de los signos cambiaran tambien: el eje de referencia delmomento de inercia y la direccion de las cargas encontradas (su posicion sobrela columna correspondiente). Se deja al lector este trabajo y el analisis de losdesplazamientos unitarios restantes. No obstante, a continuacion se resume lamatriz de rigidez completa, bajo la siguiente nomenclatura.

[K] =[

K ′EOO K ′

OE

K ′EO K ′O

EE

]=

k1,1 . . . k1,6

... K ′EOO

...k6,1 . . . k6,6

k1,7 . . . k1,12

... K ′OE

...k6,7 . . . k6,12

k7,1 . . . k7,6

... K ′EO

...k12,1 . . . k12,6

k7,7 . . . k7,12

... K ′OEE

...k12,7 . . . k12,12

(1.14)


Donde, para la barra biempotrada espacial analizada se tiene:

[K ′E

OO

]=

AEL

12EIw

L36EIw

L2

12EIv

L3 − 6EIv

L2

GIt

L4EIv

L

SIM 4EIw

L

(1.15)

[K ′OE ] =

−AEL

− 12EIw

L36EIw

L2

− 12EIv

L3 − 6EIv

L2

−GIt

L6EIv

L22EIv

L

− 6EIw

L22EIw

L

=[K ′T

EO

](1.16)

[K ′O

EE

]=

AEL

12EIw

L3 − 6EIw

L2

12EIv

L36EIv

L2

GIt

L4EIv

L

SIM 4EIw

L

(1.17)

Acerca de las anteriores matrices cabe indicar que los elementos enmarcados,correspondientes a las direcciones 3, 4 y 5, deberıan ser eliminados en caso deque el analisis se redujera al plano uv, por cuanto no estarıan habilitadas (fuerade consideracion) esas direcciones de cargas y desplazamientos, Ec. 1.18, 1.19 y1.20.Como quiera que para fines didacticos se analizaran en su momento las es-tructuras aporticadas en el plano, a continuacion se resumen las matrices paraalgunos tipos de barras en el plano.

1.2.3 Matriz de Rigidez de una Barra en el Plano

1.2.3.1 Barra Biempotrada

De acuerdo a lo dicho en la seccion anterior 1.2.2.1:

[K ′E

OO

]=

AEL 0 0

12EIw

L36EIw

L2

SIM 4EIw

L

(1.18)


[K ′OE ] =

−AE

L 0 0

0 − 12EIw

L36EIw

L2

0 − 6EIw

L22EIw

L

=

[K ′T

EO

](1.19)

[K ′O

EE

]=

AEL 0 0

12EIw

L3 − 6EIw

L2

SIM 4EIw

L

(1.20)

1.2.3.2 Barra Articulada-Empotrada

Realizando los calculos apropiados, como en la Sec. 1.2.2.1:

[K ′E

OO

]=

AEL 0 0

3EIw

L3 0

SIM 0

(1.21)

[K ′OE ] =

−AE

L 0 0

0 − 3EIw

L33EIw

L2

0 0 0

=

[K ′T

EO

](1.22)

[K ′O

EE

]=

AEL 0 0

3EIw

L3 − 3EIw

L2

SIM 3EIw

L

(1.23)

1.2.3.3 Barra Empotrada-Articulada

[K ′E

OO

]=

AEL 0 0

3EIw

L33EIw

L2

SIM 3EIw

L

(1.24)

[K ′OE ] =

−AE

L 0 0

0 − 3EIw

L3 0

0 − 3EIw

L2 0

=

[K ′T

EO

](1.25)

[K ′O

EE

]=

AEL 0 0

3EIw

L3 0

SIM 0

(1.26)

1.3. ACCIONES SOBRE UNA BARRA EN EJES LOCALES 21

1.2.3.4 Barra Empotrada-Empotrada/guiada

Como se puede demostrar, en este caso y en el de una barra Empotrada/guiada-Empotrada, las matrices de rigidez tienen la siguiente forma:

[K ′E

OO

]=

AEL 0 0

0 0

SIM EIw

L

=

[K ′O

EE

]= − [K ′

OE ] = − [K ′EO](1.27)

1.2.3.5 Barra Articulada-Articulada

Tambien para este tipo de vınculos barra-nudo, sera facil determinar que lasmatrices de rigidez valen:

[K ′E

OO

]=

AEL 0 0

0 0

SIM 0

=

[K ′O

EE

]= − [K ′

OE ] = − [K ′EO](1.28)

1.3 Acciones sobre una barra en Ejes Locales

En la Sec. 1.2.2 se ha planteado la ecuacion matricial (Ec. 1.10) que definelas cargas impuestas por los nudos sobre una barra, debido a losdesplazamientos que sufren estos; en la Sec. 1.2.2.1 se ha descrito la matrizde rigidez partiendola en cuatro submatrices, ver Ec. 1.14, reuniendo amboscriterios se puede reescribir la Ec. 1.10 utilizando la nomenclatura abreviada, asaber:

{Φ′OE

Φ′EO

}=

[K ′E

OO K ′OE

K ′EO K ′O

EE

]=

{∆′

O

∆′E

}(1.29)

Donde el primado de los elementos (′) denota que la referencia sobre la cualestan descompuestos los vectores es la de los Ejes Locales. Ademas:

El vector Φ′OE reune a las cargas producidas en el nudo O (de la barra OE).

El vector Φ′EO reune a las cargas producidas en el nudo E (de la barra OE).Estas y las anteriores son las mencionadas CARGAS DE NUDO A BARRAN/B. Segun se conoce, cada una tiene tres componentes de fuerza y tresde momento.

Los vectores ∆′O y ∆′

E son los desplazamientos en los nudos O y E respectiva-mente. En correspondencia a las cargas, cada uno tiene tres componentesde desplazamiento lineal y tres de rotacion.

Las matrices K ′ij relacionan las cargas en el nudo ”i” con los desplazamientos

del nudo ”j”.


Desarrollando la ecuacion 1.29 se puede escribir:

Φ′OE = K ′EOO ∆′

O + K ′OE ∆′

E

Φ′EO = K ′EO ∆′

O + K ′OEE ∆′

E (1.30)

Que constituye la ecuacion basica de las acciones sobre una barra, en EjesLocales, a la que continuamente se hara mencion en el futuro.

Capıtulo 2

PLANTEAMIENTOGENERAL DEL METODO

2.1 Sistema de Referencia Global

En la seccion anterior se ha definido la interrelacion que existe entre los de-splazamientos de los nudos y las acciones que estos imponen sobre una barra,las llamadas cargas de Nudo a Barra N/B, mediante la ecuacion que es copiadanuevamente:


O + K ′OE ∆′

E


O + K ′OEE ∆′

E (2.1)

como quedo dicho, los vectores estan referidos a los ejes locales, distintos paracada barra.Con objeto de interrelacionar vectores pertenecientes a distintas barras, es nece-sario que estos esten referidos a un mismo sistema, por tanto se crea el llamadoSistema de Referencia Global o Ejes Globales, el mismo sera elegido comocartesiano dextrogiro y ortogonal, ejes X, Y y Z, ver Fig. 2.1.

2.1.1 Rotacion de Ejes

En la Fig. 2.1(a) se muestran las componentes del vector ~P referidas a EjesLocales:

~P = ~Pu + ~Pv + ~Pw

A continuacion se plantea la obtencion de las componentes ~Pu, ~Pv y ~Pwa partirde las componentes del mismo mismo vector ~P pero referidas al sistema de EjesGlobales ~Px, ~Py y ~Pz no mostrados en el grafico por claridad:

~P = ~Px + ~Py + ~Pz

23

24 CAPITULO 2. PLANTEAMIENTO GENERAL DEL METODO

Figura 2.1: Ejes Globales X Y Z - Ejes Locales u v w

Notese que ~P puede ser indistintamente carga (fuerza o momento) como De-splazamiento (lineal o rotacional).Como se recordara, para proyectar un vector sobre una direccion cualquiera essuficiente multiplicar el modulo del mismo por el coseno del angulo que hayentre ambas rectas, la direccion del vector y la recta de proyeccion.En consecuencia, si se desea hallar la proyeccion de ~Px sobre la direccion ”u”(P x

u ) se tiene:

P xu = Px cos(Aux)

donde Aux, ver Fig. 2.1(b), es el angulo entre los ejes u y x. Del mismo modopara hallar las proyecciones de las otras componentes sobre el mismo eje ”u”,se tiene:

P yu = Py cos(Auy) proyeccion de Py sobre ”u”

P zu = Pz cos(Auz) proyeccion de Pz sobre ”u”

Como es convencional se reemplazan los cosenos indicados por los llamados”cosenos directores” (lu mu nu) que corresponden al eje ”u” con los ejes X, Y yZ respectivamente, es decir:

P xu = Px lu

P yu = Py mu

P zu = Pz nu

Por lo tanto, para hallar el modulo del vector ~Pu, por ejemplo, solo es necesariosumar las proyecciones (en tal direccion) de las componentes ~Px, ~Py y ~Pz, val-ores que acaban de ser calculados. Este mismo procedimiento se sigue con lascomponentes en direccion de ”v” y ”z” reuniendose los resultados en la siguienteecuacion:

Pu = Px lu + Py mu + Pz nu

Pv = Px lv + Py mv + Pz nv

Pw = Px lw + Py mw + Pz nw (2.2)

2.1. SISTEMA DE REFERENCIA GLOBAL 25

Esta ultima puede ser escrita en forma matricial como sigue.

Pu

Pv

Pw

=

lu mu nu

lv mv nv

lw mw nw

Px

Py

Pz

(2.3)

O abreviadamente:

{P ′} = [rGL] {P} (2.4)

Que dice: Un vector proyectado en Ejes Locales P ′, es igual al producto de laMatriz de Rotacion rGL por el vector proyectado en Ejes Globales P .Es muy importante anotar que la matriz rGL es ortogonal, vale decir:

[rGL][rTGL

]= [I]

Lo que puede ser demostrado de la siguiente manera, se plantea el problemainverso, hallar el vector en ejes globales a partir del vector en ejes locales de dosmaneras distintas y luego compararan los resultados.La primera forma de resolver el problema es realizar un analisis analogo al quedetermino la ecuacion 2.3, lo cual lleva al siguiente resultado:

Px

Py

Pz

=

lu lv lwmu mv mw

nu nv nw

Pu

Pv

Pw

(2.5)

Que como antes se puede escribir abreviadamente:

{P} =[rTGL

] {P ′} (2.6)

De otro modo, premultiplicando la ecuacion 2.4 se obtiene:

rTGL {P ′} = rT

GL [rGL] {P} (2.7)

Comparando las ultimas dos ecuaciones queda demostrada la propuesta.

2.1.2 Matriz de Rotacion de la Barra

Habiendo definido la matriz de rotacion de cualquier vector, ahora se analizala rotacion del vector Φ′ij el cual esta formado por tres componentes de fuerzay tres de momento, el mismo caso del vector ∆k, con tres componentes de de-splazamiento lineal y tres de rotacion.Toda vez que las componentes en ejes globales del vector fuerza, cuando hayansido proyectadas a ejes locales, no afectaran en absoluto a los vectores momento,y viceversa, los vectores momento son independientes de los vectores fuerza,se puede plantear la rotacion de la barra (cuyos vectores son compuestos) in-cluyendo el cero como matriz de rotacion entre momentos y fuerzas, es decir:

P ′uP ′vP ′wM ′

u

M ′v

M ′w

=

lu mu nu

lv mv nv

lw mw nw

0

0lu mu nu

lv mv nv

lw mw nw

Px

Py

Pz

Mx

My

Mz

(2.8)


O abreviadamente:{Φ′ij

}= [RGL] {Φij} (2.9)

donde:

[RGL] =[

rGL 00 rGL

](2.10)

donde, como antes se establecio:

[rGL] =

lu mu nu

lv mv nv

lw mw nw

(2.11)

2.2 Acciones sobre una barra en Ejes Globales

Habiendo determinado la forma en que un vector puede ser ser llevado de un sis-tema de referencia a otro, es posible establecer las acciones sobre una barra conreferencia a los Ejes Globales de la estructura, para lo cual se copia nuevamentela ecuacion 2.1 de la Sec. 2.1:


O + K ′OE ∆′

E


O + K ′OEE ∆′

E (2.12)

en la cual se reemplazaran los vectores en ejes locales por los referidos a ejesglobales, usando la matriz de rotacion recien definida, es decir, ver Ec. 2.9:

Φ′ij = RGL Φij ∆′i = RGL ∆i

Por tanto, la primera de las ecuaciones puede ser escrita:

RGL ΦOE = K ′EOO RGL ∆O + K ′

OE RGL ∆E

Para eliminar RGL del primer miembro pre-multiplicaremos por su transpuestaambos miembros, quedando:

ΦOE = RTGL K ′E

OO RGL ∆O + RTGL K ′

OE RGL ∆E

Ecuacion que puede ser escrita:

ΦOE = KEOO ∆O + KOE ∆E

Realizando las mismas operaciones con el segundo vector se tiene:

ΦOE = KEOO ∆O + KOE ∆E

ΦEO = KEO ∆O + KOEE ∆E (2.13)

donde:

Kij = RTGL K ′

ij RGL (2.14)

Cabe destacar la diferencia entre las ecuaciones (2.12) y la ultima recien hallada(2.13), la primera es el vector de cargas de nudo a barra (N/B) referido a EjesLocales de la barra(Φ′ij), en cambio la segunda corresponde al mismo vector peroreferido a los Ejes Globales de la estructura(Φij). Observese que el primadoen general hace referencia a los Ejes Locales.

2.3. ECUACION GENERAL 27

2.3 Ecuacion General

Una vez definidos los vectores de nudo a barra (N/B) en ejes globales, es posibleestablecer las condiciones de equilibrio que se deben satisfacer en cada uno de losnudos de la estructura. Sobre cualquier nudo actuan las dos grupos de cargas,a saber:

Las acciones de Barra a Nudo opuestas a las de nudo a barra, es decir−Φij , seran las acciones que la barra ij ejerce sobre el nudo i. Si asumimosque al nudo i estan unidos, mediante barras, varios nudos j, numeradosde j a m, entonces la suma de todas estas acciones sera −∑m

j=j Φij , portanto, empleando la nomenclatura generica en la ecuacion (2.13), aplicadaa cada una de estas barras:

m∑

j=j

Φij = Kjii ∆i + Kij ∆j +

+Kkii ∆i + Kik ∆k +

+Klii ∆i + Kil ∆l +

· · ·+Km

ii ∆i + Kim ∆m

m∑

j=j

Φij =m∑

j=j

Kjii∆i + Kij ∆j + Kik ∆k +

+ Kil ∆l + · · ·+ Kim ∆m (2.15)

Sustituyendo:

m∑

j=j

Kjii∆i = Kii

m∑

j=j

Φij = Kii∆i + Kij ∆j + Kik ∆k +

+ Kil ∆l + · · ·+ Kim ∆m (2.16)

Sera la suma de las acciones que todas las barras concurrentes sobre elnudo i ejercen sobre el mismo.

El vector de acciones externas Φei reune a las cargas que por distintos con-

ceptos actuan sobre el nudo i. Una explicacion amplia acerca del origen ysignificado de estos vectores sera dada en la siguiente seccion.


En consecuencia, el equilibrio de fuerzas sobre el nudo i requiere que ambosgrupos de cargas esten en equilibrio, o sea:

Φei −

m∑

j=j

Φij = 0

Φei =

m∑

j=j

Φij

Φei = Kii∆i + Kij ∆j + Kik ∆k +

+ Kil ∆l + · · ·+ Kim ∆m (2.17)

Es la ecuacion matricial correspondiente al nudo i, expresiones semejantes puedenser escritas para todos los nudos de la estructura.Si los nudos estan numerados del 1 al n, las ecuaciones correspondientes son:

Φe1 = K11∆1 + K12 ∆2 + · · ·+ K1i ∆i + · · ·+ K1n ∆n

Φe2 = K21∆1 + K22 ∆2 + · · ·+ K2i ∆i + · · ·+ K2n ∆n

· · · · · ·Φe

i = Ki1∆1 + Ki2 ∆2 + · · ·+ Kii ∆i + · · ·+ Kin ∆n

· · · · · ·Φe

n = Kn1∆1 + Kn2 ∆2 + · · ·+ Kni ∆i + · · ·+ Knn ∆n (2.18)

Esta ecuacion sera llamada la Ecuacion General, que escrita en la notacionmatricial queda:

Φe1

Φe2

· · ·Φe

i

· · ·Φe

n

=

K11 K12 · · · K1i · · · K1n

K21 K22 · · · K2i · · · K2n

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·Ki1 Ki2 · · · Kii · · · Kin

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·Kn1 Kn2 · · · Kni · · · Knn

∆1

∆2

· · ·∆i

· · ·∆n

(2.19)

Se entiende que si los nudos i, j no estan unidos mediante una barra, la corre-spondiente matriz Kij vale cero.

2.4 Metodo Matricial de Rigidez

Una vez definido el efecto de los desplazamientos de los nudos sobre la barra,tanto para el sistema de referencia local como general, es posible analizar losfundamentos teoricos que sustentan el metodo.

2.4.1 Compatibilidad de Desplazamientos

Esta condicion queda satisfecha cuando se considera un unico vector de de-splazamientos en cada nudo, ademas de tomar este mismo desplazamiento para

2.4. METODO MATRICIAL DE RIGIDEZ 29

todas las barras que se unen a el, respetando, sin embargo, el tipo de vınculoque liga al nudo con cada barra, si es de aislamiento o continuidad.

Figura 2.2: Estados de Solicitacion de Una Estructura

2.4.2 Condiciones de Equilibrio Estatico

Para analizar el comportamiento de cualquier estructura por el metodo derigidez, por ejemplo la mostrada en la Fig. 2.2(a), se superponen los efec-tos de dos estados, a saber, en la Fig. 2.2(b) se ve la estructura sometida alas cargas externas actuantes, en los nudos y las barras, bajo la condicion deNudos Indesplazables, lo cual se ha conseguido vinculandolos rıgidamentecon apoyos ficticios. En la Fig. 2.2(c), se analiza la misma estructura perosometida solamente a la accion de las reacciones en los apoyos ficticios del es-tado anterior, cambiando su sentido, de modo que sea el desplazamiento de losnudos que genere cargas encargadas de equilibrar las mencionadas reacciones,como sera explicado. La Estructura es un portico plano, sin embargo, todaslas consideraciones serıan aplicables del mismo modo si se tratara de un marcoespacial.

2.4.2.1 Estructura con Nudos Indesplazables

Como se ha adelantado, para que todos los nudos satisfagan esta condicion seles ha vinculado con apoyos ficticios que les quitan todas las libertades, exceptoa los nudos unidos a apoyos reales los cuales obviamente no lo necesitan. Quedaclaro entonces que solo se crean estos apoyos ficticios en las direcciones dedesplazamientos no restringidos.


Figura 2.3: Solicitaciones en Nudos y Barras

En la Fig. 2.3(a) se muestra la parte izquierda de la estructura con nudosindesplazables, desmembrandola en nudos y barras.

Los vectores ΦFij representan las fuerzas y momentos que el nudo i debe im-

poner sobre la barra ij para impedir los desplazamientos que las cargasexternas Pi tienden a ocasionar en los mismos. Son cargas de nudo abarra N/B. En otras palabras, son reacciones de apoyo que pueden cal-cularse para cada barra hiperestatica, individualmente, por metodos con-vencionales.Si se analiza un portico plano, este vector esta compuesto por dos fuerzasy un momento, en cambio, seran tres fuerzas y momentos en el caso del


analisis en el espacio. Debe quedar claro que se puede imponer estas car-gas en las direcciones en que el nudo tiene vınculo de continuidad con labarra, si este vınculo fuera un aislador, aun cuando esta fijado por el apoyoficticio, el nudo no puede imponer ninguna restriccion sobre la barra.Notese que estos mismos vectores, con el sentido contrario, deben actuarsobre los nudos, como se ve en la figura, siendo por tanto −ΦF

ij las llamadascargas de barra a nudo B/N.

Los vectores ΦDi son las acciones externas (fuerzas y momentos) que actuan

directamente sobre los nudos.

Las cargas Pi representan genericamente la accion de las siguientes solicita-ciones externas:

• Cargas distribuidas y/o puntuales sobre la barra.

• El efecto de cambios de temperatura en la barra.

• El efecto de los errores de fabricacion a ser corregidos en el momentodel montaje de las estructuras.

• Las solicitaciones ocasionadas a las barras unidas a apoyos que sufrendesplazamientos despues de la fabricacion de la estructura.

Los vectores φAi (no dibujados) constituyen la suma de las acciones sobre los

nudos.

ΦAi = ΦD

i − ΦFij

Los vectores ΦRFi (en el grafico ΦRF

5 ) son las reacciones en los apoyos ficticiosque generan el equilibrio de los nudos, siendo estos apoyos inexistentes,las mencionadas reacciones son en realidad cargas desequilibradas en losnudos. Como puede verse en la figura:

ΦRFi + ΦA

i = 0

de donde:

ΦRFi = −ΦA

i = −(ΦDi − ΦF

ij)

Los vectores ΦRRi (en el grafico ΦRR

1 ) son las reacciones en los apoyos realesque le dan equilibrio al nudo, siendo esta vez los apoyos reales, las reac-ciones generadas tambien lo son y por tanto no existen cargas desequili-bradas en los nudos restringidos mediante apoyos externos reales.Como antes, estas reacciones son tambien iguales a las cargas actuantessobre el nudo, con el sentido contrario, es decir:

ΦRRi = −ΦA


ij)


En casos en los que el apoyo restrinja solo algunos desplazamientos (ver porejemplo el nudo 2 de la figura, donde el desplazamiento horizontal no esta re-stringido y solo lo estan el giro y el desplazamiento vertical), en estas direccionesel apoyo real habra satisfecho el equilibrio como se indica lıneas arriba, en cam-bio, en las direcciones de desplazamiento libre se crea un apoyo ficticio que haceal nudo indesplazable, por tanto las reacciones generadas en estos apoyos (in-existentes en realidad) son, como se dijo, cargas desequilibradas sobre el nudoy forman parte del conjunto de vectores ΦRF

i . En el caso del nudo 2 usadocomo ejemplo, el vector ΦA

2 se habra descompuesto y sus componentes mo-mento y fuerza vertical formaran parte del conjunto de reacciones en apoyosreales (ΦRR

2 ), en tanto que la fuerza horizontal (si hubiera) estara en el grupode reacciones ficticias (ΦRF

2 ).

2.4.2.2 Estructura con Nudos Desplazables

En este estado la estructura sera analizada empleando la Ecuacion Generalplanteada en la Sec. 2.3, es aquı donde se define el vector φe

i que ahı se men-ciona. Segun se anticipo en la introduccion, Sec. 2.4.2, en este estado se carganlos nudos, en las direcciones de desplazamiento libre, con las reacciones de losapoyos ficticios pero cambiando su sentido. Entonces, estas cargas deberan serequilibradas por las acciones de barra a nudo (B/N) debidas al desplazamiento,que son contrarias a las acciones de nudo a barra (N/B) (Φij) calculadas comose explico en la seccion 2.2, es decir Φ = K ∆.Con referencia a la Fig. 2.3(b):

En las direcciones de desplazamiento libre, la condicion de equilibrio delnudo se cumple cuando:

−ΦRFi −

∑

j

Φij = 0

Es decir:

−ΦRFi =

∑

j

Φij

Donde j representa a todos los nudos que estan unidos mediante barrasal nudo i.Como se definio:

ΦRFi = −ΦA


ij)

Por tanto:

ΦAi = ΦD

i − ΦFij =

∑

j

Φij


Remarcando que se toman solo las componentes de ΦAi en direccion de los

desplazamientos libres. Para un uso posterior, todas estas componentes,de todos los nudos i, se reunen en un vector unico llamado Φl, donde ”l”significa precisamente direccion de desplazamiento libre.

En las direcciones de desplazamiento restringido, no habiendo cargas de-sequilibradas resultantes del estado de nudos indesplazables, las accionesde barra a nudo (B/N) debidas al desplazamiento deben ser equilibradaspor las reacciones de apoyo (ΦRδ

i ), o sea:

ΦRδi =

∑

j

Φij

Donde j tiene el mismo significado que antes. Cabe hacer notar que estasreacciones tendran que ser sumadas a las del estado indesplazable parahallar las reacciones totales.

Como antes, a todos los vectores ΦRδi , de todos los nudos, se los agrupa en

un solo vector llamado Φr, donde el subındice r significa ”desplazamientorestringido”.

De este modo, la Ecuacion general (2.19), Sec. 2.3,

{Φe} = [K]{∆}ha sido particularizada en funcion de las condiciones de borde, especıficas encada estructura, el vector φe ha sido descompuesto en dos grupos, a saber:

{Φe} ={

Φl

Φr

}

Del mismo modo que el vector ∆:

{∆} ={

∆l

∆r

}

Reordenando en correspondencia la matriz K, finalmente se puede escribir:{

Φl

Φr

}=

[Kll Klr

Krl Krr

]{∆l

∆r

}(2.20)

Recordando que ∆r = 0, el desarrollo de esta ecuacion produce la que se llamaraECUACION PARTICULAR DE LA ESTRUCTURA:

{Φl} = [Kll] {∆l}{Φr} = [Krl] {∆l} (2.21)

La primera ecuacion permite hallar los desplazamientos ∆l toda vez que elvector Φl es conocido, son las cargas actuantes en los nudos.

La segunda ecuacion sirve para hallar el vector de reacciones de apoyo Φr,producidos por los desplazamientos libres ∆l, una vez conocido este vectoren el paso anterior.


2.5 Resultados Finales

Resumiendo todo lo visto hasta ahora, y recordando que:

ΦAi = ΦD

i − ΦFij

los resultados finales pueden ser hallados superponiendo los estados analizadosanteriormente, el estado de nudos indesplazables Sec. 2.4.2.1 y el estado denudos desplazables Sec. 2.4.2.2.

2.5.1 Reacciones de Apoyo

Entonces, para un nudo i con algunos (o todos) sus desplazamientos restringidos,se tiene:En el Estado Indesplazable:

ΦRRi = −ΦA

i

En el Estado Desplazable:

ΦRδi =

∑

j

Φij

Acumulando:

ΦRi = ΦRR

i + ΦRδi

reemplazando:

ΦRi = −ΦA

i +∑

j

Φij (2.22)

Obviamente, se deben tomar solo las componentes de ΦAi y de Φij en las di-

recciones de desplazamiento restringido.

2.5.2 Acciones de Nudo a Barra

Como en el caso anterior, para una barra cualquiera ij, en el nudo i, las accionesN/B han sido definidas como:En el Estado Indesplazable :

ΦFij

En el Estado Desplazable:

Φij

Luego, sumando:

ΦRij = ΦF

ij + Φij (2.23)

Generalmente se desea expresar estos vectores en coordenadas locales de cadaelemento, por tanto deben realizarse las transformaciones apropiadas.Tambien es necesario recalcar que en las ecuaciones (2.22) y (2.23) los vectoresΦij se calculan de acuerdo a la ecuacion matricial Φ = K ∆.

2.6. DETERMINACION DEL VECTOR ΦFIJ 35

2.6 Determinacion del Vector ΦFij

Como se ha mencionado en el acapite 2.4.2.1, Pag. 29, para analizar la es-tructura con nudos indesplazables, es necesario calcular los vectores ΦF

ij que losnudos inmobilizados (por apoyos ficticios o reales) deben imponer sobre las bar-ras para evitar los desplazamientos que la carga generica Pi tiende a produciren los nudos. Por lo tanto, a continuacion se analiza separadamente el efecto decada uno de los tipos de carga Pi para luego acumularlos en el llamado vectorΦF

ij , es decir:

ΦFij = ΦI

ij + ΦTij + Φ∆

ij (2.24)

Donde:

El vector ΦIij representa la accion de las cargas (fuerzas y momentos) actu-

antes sobre la barra.

El vector ΦTij es el efecto que un incremento de temperatura ejerce sobre los

nudos (y estos a su vez sobre la barra) como resultado de la deformacionrestringida de las fibras.

El vector Φ∆ij representa la interaccion Nudo/Barra producto de dos condi-

ciones:

• Los errores en la elaboracion de los elementos componentes de laestructura prefabricada.

• El desplazamiento de los nudos, forzado por cambios de posicion delos apoyos y/o errores de montaje.

2.6.1 Cargas distribuidas y/o puntuales sobre la barra: ΦIij

Como ejemplo ilustrativo del tratamiento de la accion de estas cargas se analizala barra 5/6 de la Fig. 2.2, Pag. 29, solo a tıtulo de ejemplo la carga Pi es ahorauna fuerza puntual actuando en el centro del claro, como se ve en la Fig. 2.4

Figura 2.4: Carga sobre tramo

En la figura se observan los siguientes detalles:


1. El nudo 5 de la Fig. 2.2 es contınuo con la barra, y toda vez que elmismo tiene un apoyo ficticio que lo inmoviliza en todas las direcciones,estas restricciones se comunican a la barra, por lo tanto, la barra (en elplano) tiene los tres desplazamientos restringidos en el nudo 5, lo queconvencionalmente corresponde a un empotramiento perfecto, tal comose considera en la Fig. 2.4. En consecuencia se tiene tres incognitasa determinar en este nudo, P1, P2 y P6, las acciones que el nudo debeimponer sobre la barra para impedir los desplazamientos de esta.

2. El nudo 6 de la Fig. 2.2 esta aislado de la barra, los desplazamientosrotacionales (en la direccion 6) de ambos elementos son independientes, demodo que cuando se impone un apoyo ficticio al nudo (se esta considerandola estructura indesplazable), la restriccion a rotacion del apoyo no puedeser transferida a la barra en dicha direccion por el aislamiento mencionado.Por lo anterior, si solo se tiene restriccion al desplazamiento lineal (en susdos componentes), la representacion de estas restricciones corresponde aun apoyo articulado fijo tal como aparece en la Fig. 2.4, generandose enconsecuencia dos incognitas, las componentes P7 y P8, se anula el momentoP12 = 0.

3. Toda vez que se tienen cinco incognitas a resolver, se debera utilizarcualquier metodo conocido para resolver la hiperestaticidad, con lo quese habra hallado el vector ΦI

ij . En el caso del ejemplo se puede demostrarque:

P1 = P3 = P4 = P5 = P7 = P9 = P10 = P11 = P12 = 0

P2 =1116

F

P8 =516

F

P6 =316

F L

2.6.2 Cargas de N/B por Efecto de Temperatura: ΦTij

Se pretende analizar a continuacion la accion que ejercen los nudos inmovilizadospor apoyos ficticios, cuando en la barra se produce un incremento de temperaturaque va cambiando contınuamente de valor en la seccion transversal sobre el EjeLocal v, siendo la temperatura constante a lo largo de las fibras longitudinales,en la direccion u.

El cambio de temperatura mencionado se analiza en la Fig. 2.5, donde seha asumido que el incremento tiene el valor t1 en las fibras 1 correspon-dientes al sentido positivo del Eje v y en la cara antagonica (fibras 2) se


Figura 2.5: Efecto del cambio de Temperatura

tiene un incremento t2. Toda vez que la variacion se ha asumido constante,sobre las fibras correspondientes al centroide (en las fibras del eje w) elincremento de temperatura t0 es:

t0 = t2 +t1 − t2

hh2

En el grafico se han asumido incrementos positivos, sin embargo, la relacionanterior prevalece aun cuando se presente disminucion de temperatura enuna o ambas caras, en cuyo caso se empleara el signo negativo en lasecuaciones.

La solucion grafica se plantea asumiendo que el incremento t1 > 0 al mismotiempo que t1 > t2, lo cual no le quita generalidad a la solucion. Enconsecuencia, las fibras ”superiores” sufriran un incremento de longitudmayor a las ”inferiores” y la elongacion sera paulatina a lo alto del eje v,en correspondencia al cambio de temperatura.

Las acciones de Nudo a Barra se calcularan mediante el siguiente proced-imiento:


• Se calcularan las deformaciones del eje de la barra considerandolacompletamente libre en sus extremos. Sin embargo, para fines subse-cuentes se definen las deformaciones con referencia al sistema de ejeslocal de la barra.

• Tomando en cuenta que los nudos estan completamente inmovilizadospor los apoyos ficticios, primero se llevara la seccion izquierda de labarra deformada hasta conectarla con el plano en que debe unirse alNudo Origen.

• Hecho lo anterior, el extremo derecho libre de la barra quedara en unaposicion que no corresponde a la del Nudo Extremo. La discrepanciaen posicionamiento entre la seccion transversal extrema de la barray la del nudo extremo al que deberıa estar unido tiene componentesde desplazamiento lineal y rotacional. Este vector en Ejes Locales debarra (∆t) ha sido calculado en el primer paso.

• Conocido ∆t se obligara al extremo derecho de la barra, que haquedado momentaneamente libre, a unirse con el Nudo Extremo,mediante la generacion de cargas de N/B necesarias para producir eldesplazamiento, empleando las ecuaciones matriciales que relacionancargas y deformaciones, ver la Ec. 2.1. Naturalmente, las matrices derigidez correspondientes respetaran los vınculos que pudieran existirentre los nudos y la barra.

2.6.2.1 Deformacion de la Barra por Temperatura

Si se toma una tajada diferencial de longitud inicial ds = du, debido al cambiode temperatura sus distintas fibras creceran obteniendo las siguientes longitudes:

dS1 = dS(1 + α t1)dS0 = dS(1 + α t0) (2.25)dS2 = dS(1 + α t2)

Donde α es el coeficiente de dilatacion termica; por la continuidad entre fibrastales elongamientos se dan a condicion de que las secciones transversales cor-tadas giren definiendo el angulo dθ. Relacionando el angulo, el radio y el arcose conoce que:

dθ =dS

ρ⇒ dθ =

dS1

R1=

dS2

R2=

dS0

R0

De la primera proporcionalidad se obtiene:

dS1 − dS2

dS2=

R1 −R2

R2

Por otra parte:

dS1 − dS2 = dS α (t1 − t2) y R1 −R2 = h


Entonces:

dS2

R2=

dS α (t1 − t2)h

Llamando:

T =α (t1 − t2)

h(Constante)

Finalmente se tiene:

dS2

R2= dθ = T dS

Se puede concluir entonces que ρ = 1T = Constante, lo cual in-

dica que las fibras se curvan formando circunferencias de distintosradios, constantes.

Entonces, el cambio de pendiente θ en la longitud L del elemento sera:

θ =∫ l

0

dθ =∫ l

0

T du = T L (2.26)

Para calcular el corrimiento del extremo del elemento, proyectado en la direcciondel eje u (∆u), primero se determinara la longitud final del arco correspondienteal eje deformado S0

S0 =∫ l

0

dS0 =∫ l

0

dS(1 + α t0) = (1 + α t0)L

Si se toma en cuenta que el angulo θ es pequeno, entonces θ ∼= sin θ, por tanto:

S0

R0

∼= Lu

R0⇒ Lu

∼= S0

Entonces, como puede verse en la Fig. 2.5, la distancia buscada es:

∆u = Lu − L = α t0 L (2.27)

A continuacion se determina la deflexion (v) del extremo, proyectada en di-reccion del eje vertical. De la mencionada figura:

v = R0(1− cos θ) = 2 R0 sin2 θ

2= R0

θ2

2

Reemplazando R0 θ = S0 y θ = T L, se tiene:

v = (1 + α t0)T L2

2

Considerando que α to ¿ 1:

v =T L2

2(2.28)


Finalmente se puede reunir los resultados obtenidos hasta aquı en un solo vector∆t que es la suma de los corrimientos lineales ∆u, v y el cambio de pendiente θ.Notese que este vector viene expresado por seis componentes de deformacion,tres lineales y tres rotacionales, por comodidad se expresa la transpuesta delmismo:

{∆t} = {∆u, −v, 0, 0, 0, −θ}T

Reemplazando los valores hallados:

{∆t} ={

α t0 L, −T L2

2, 0, 0, 0, −T L

}T

(2.29)

2.6.2.2 Accion N/B por Temperatura: ΦTij

Siguiendo el procedimiento antes indicado, una vez que la barra deformada estaubicada con su extremo izquierdo unido al Nudo Origen, se debe obligar alborde derecho de la barra a unirse con el Nudo Extremo, para lo cual seemplea la ecuacion 2.1, que una vez mas copiamos:


O + K ′OE ∆′

E


O + K ′OEE ∆′

E (2.30)

Donde:

∆′O = 0 y ∆′

E = −∆t

Notese el signo negativo que antecede a ∆t, se explica por que el borde derechode la barra debe retornar a su posicion inicial unida al nudo fijo extremo, entanto que el borde izquierdo no debe sufrir ningun desplazamiento.

2.6.3 Cargas debidas a Desplazamientos: Φ∆ij

Como se dijo, estas cargas nacen de dos condiciones cuyo tratamiento es seme-jante:

• Los errores en la elaboracion de los elementos componentes de la estructuraprefabricada.

• El desplazamiento de los nudos, forzado por cambios de posicion de losapoyos y/o errores de montaje.

2.6.3.1 Accion N/B por mala fabricacion

Si por cualquier causa un elemento prefabricado no respeta las dimensionesapropiadas, en el momento del montaje sus extremos no encajaran con lasuniones previstas, debiendo en consecuencia (cuando sea posible) forzar los ex-tremos del elemento a la ubicacion real en obra. Como se puede notar, estecaso es semejante al tratado lıneas arriba, con la diferencia que el vector de-splazamiento del extremo derecho que ahı fue calculado, en el caso presente se


determina por medicion directa. Corresponde en consecuencia realizar el mismotratamiento con el vector desplazamiento apropiado. Obviamente, lo que antesconstituıa una carga accidental, variable con la temperatura, aquı se trata deuna carga permanente actuando sobre la estructura.

2.6.3.2 Accion N/B por desplazamiento de nudos

Si por un error de montaje previo, las uniones en espera no estan en su ubicacioncorrecta, cualquier elemento a ser montado posteriormente, que supuestamentetiene las dimensiones apropiadas, debera ser forzado a que sus dimensionessatisfagan las condiciones reales equivocadas (cuando sea posible). Debe estarclaro que estamos hablando de un caso semejante al anterior, donde uno delos extremos debe acomodarse a una posicion imprevista que no correspondea sus dimensiones reales, cargandola con las acciones N/B que produciran lasdeformaciones necesarias para el montaje.

El mismo problema sera enfrentado cuando, despues de la construccion y porcualquier circunstancia, un apoyo sufre corrimientos imprevistos que obligan adesplazarse tambien al nudo extremo con el que esta unido, produciendo defor-maciones en las barras que concurren al nudo. Este caso podrıa asemejarse alanterior si se piensa que el proceso del desplazamiento del nudo se produce ini-cialmente cuando todavıa no estan unidas las barras, y que las mismas deberanposteriormente ser acomodadas forzadamente a la nueva situacion.

En consecuencia, estas solicitaciones sobre la estructura se tratan exacta-mente como las debidas a temperatura, respetando cuidadosamente el sentidoen que el extremo derecho debe desplazarse para satisfacer la posicion que noes la esperada, no importa la causa de este desalineamiento.

Lista de Figuras

1.1 Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Deformaciones de la tajada diferencial . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Nudos, Barras, Apoyos y Vınculos . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Notacion de Ejes y Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Desplazamiento D1 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Desplazamiento D2 = 1, Metodo de la Flexibilidad . . . . . . . . 16

2.1 Ejes Globales X Y Z - Ejes Locales u v w . . . . . . . . . . . . . 242.2 Estados de Solicitacion de Una Estructura . . . . . . . . . . . . . 292.3 Solicitaciones en Nudos y Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4 Carga sobre tramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.5 Efecto del cambio de Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

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Bibliography

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