Universidad Nacional ExperimentalDe Los Llanos Occidentales

Ezequiel Zamora“UNELLEZ”

Programa Santa Bárbara Edo-Barinas

Subproyecto: Análisis matemático

Facilitador:Lcdo. José Vera

Bachilleres:

Felyor Jaimes

Santa Bárbara de Barinas, 2010

TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCIÓN

TEORÍA DE CONJUNTOS

Definición

Determinación de conjuntos

Por extension ó Forma Tabular

Por comprension ó Forma Constructiva

Conjunto finito

Igualdad de conjuntos

Conjunto vacío

Conjunto unitario

Conjunto universal

Conjuntos disjuntos

Diagrama de venn

Unión de conjuntos

Intersección de conjunto

Diferencia de conjuntos

FUNCIONES

Variables dependientes.

Variable independiente.

Variable constante.

Ejemplos de funciones  y de ecuaciones :

CUERPO ORDENADO

LOS NÚMEROS NATURALES

Propiedades de la adición de Números Naturales

Propiedades de la Multiplicación de Números Naturales

Propiedades de la Sustracción de Números Naturales

 Propiedades de la División de Números Naturales

EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA.

Demostración.

LOS NÚMEROS ENTEROS

Suma de Números Enteros

Multiplicación de Números Enteros

Resta de Números Enteros

LOS NÚMEROS RACIONALES

Equivalencia

Simplificación

Fracción Irreducible

Reducción a común denominador

Suma de Fracciones

Producto de Fracciones

Inversa de una Fracción

Cociente de Fracción

LOS NÚMEROS REALES

CONSTRUCCIÓN POR CORTADURAS DE DEDEKIND

COMPLETITUD, SUPREMO E INFIMO

DESIGUALDAD DEL TRIANGULO

DESIGUALDAD DE BERNOULLI

CONCLUSIONES

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

INTRODUCCIÓN

La matemática es una ciencia que ya ha cumplido 2000 años de edad,

y aunque actualmente está estructurada y organizada, esta operación llevó

muchísimo tiempo. La matemática es como un juego, y para entender un

juego hay que conocer las reglas del mismo. Como es muy antigua, por lo

tanto, se ha tenido muchísimo tiempo para armar "las instrucciones de cómo

jugarla". Si existen reglas, es lógico pensar que existen elementos, cosas,

que obedecen esos mandatos. Dichos elementos se conocen con el nombre

de conceptos primitivos, conceptos que no podemos decir qué son, sino qué

se hace con ellos.

La matemática puede describirse como una construcción edilicia

cuyos cimientos están representados por axiomas, afirmaciones que

aceptamos sin discusión. Por ejemplo, el punto y la recta son conceptos

primitivos, indicando que "por un punto pasan infinitas rectas" estamos

enunciando un axioma. En base a los axiomas se pueden "construir"

propiedades, a las que denominamos teoremas, afirmaciones cuya validez

puede probarse, deducirse lógicamente. De estas propiedades se deducen

otras, y así sucesivamente hasta quedar armada una intrincada red. De la

misma manera que no se puede entender una película a la que empezamos

a ver por la mitad, no podemos entender (apreciar ni disfrutar) del poder de

las matemáticas. Así que comencemos por lo básico.

TEORÍA DE CONJUNTOS

Definición

El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en

matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede

encontrar implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas

puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de los

conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y

precisas y para explicar conceptos abstractos como el infinito. Sabemos que

la palabra conjunto implica la idea de una colección de objetos que se

caracterizan en algo común.

En matemática tiene el mismo significado, sólo que a estos objetos se

les llama elementos o miembros del conjunto. La noción simple de

una colección o conjunto de objetos es fundamental en la estructura básica

de las matemáticas y fue Georg Cantor, en los años 1870 quien primero

llamó la atención de los matemáticos a este respecto.

No puede darse una definición satisfactoria de un conjunto en

términos de conceptos simples, por lo tanto la palabra "CONJUNTO" debe

aceptarse lógicamente como un término no definido. Un conjunto es una

colección bien definida de objetos de cualquier clase.

Determinación de conjuntos

Hay dos formas de determinar conjuntos:

Por extension ó Forma Tabular

Se dice que un conjunto es determinado por extensión (o

enumeración), cuando se da una lista que comprende a todos los elementos

del conjunto y sólo a ellos.

Ejemplos

A = { a, e, i, o, u }

B = { 0, 2, 4, 6, 8 }

C = { c, o, n, j, u, t, s } En un conjunto determinado por extensión no se repite

un mismo elemento.

Por comprension ó Forma Constructiva

Se dice que un conjunto es determinado por comprensión, cuando se

da una propiedad que la cumpla en todos los elementos del conjunto y sólo a

ellos.

Ejemplos

A = { x/x es una vocal }

B = { x/x es un número par menor que 10 }

C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos }

  Cuadro comparativo de determinación de conjuntos

Por extension   Por comprension

A = { a, e, i, o, u }   A = { x/x es una vocal }

B = { 0, 2, 4, 6, 8 }   B = { x/x es un número par menor que 10 }

C = { c,  ,  , j, u, t, s }   C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos }

D = { 1, 3, 5, 7, 9 }   D = { x/x es un número impar menor que 10 }

E = { b, c, d, f, g, h, j, . . . }   E = { x/x es una consonante }

Conjunto finito

Un conjunto es finito si consta de un cierto número de elementos

distintos, es decir si al contar los diferentes elementos del conjunto el

proceso de contar puede acabar. En caso contrario, el conjunto es infinito.

Ejemplos

M = { x / x es un río de la tierra } Conjunto finito

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... } Conjunto infinito

P = { x / x es un país de la tierra } Conjunto finito

V = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... } Conjunto infinito

Igualdad de conjuntos

Se dice que 2 conjuntos A y B son iguales cuando ambos tienen los

mismos elementos, es decir si cada elemento de A pertenece a B y si cada

elemento que pertenece a B pertenece también a A. La igualdad se denota A

= B.  En la igualdad, el orden de los elementos de cada conjunto no importa.

Ejemplos

A = {1, 2, 3,

4}                   

C = {1, 2, 3, 3,

4, 1}                 

E = {vocal de la palabra

mundo}

B = {3, 4, 1,

2}                   

D = {1, 2, 2, 3,

4, 4,}                  F = {u, o}

                                           

A = B                     C = D                   E = F

Conjunto vacío

Es un conjunto que carece de elementos. Se suele llamarle conjunto

nulo, y se le denota por el símbolo ø o { }.

Ejemplos

A = { Los perros que vuelan }     A = { }   A = Ø

B = { x / x es un mes que tiene 53 días}     B = { }   B = Ø

C = { x / x3 = 8 y x es impar }     C = { }   C = Ø

D = { x / x es un día de 90 horas }     D = { }   D = Ø

Conjunto unitario

Es todo conjunto que está formado por un sólo y único elemento.

Ejemplo

A = { 5 }

B = {números pares entre 6 y 10} = { 8 }

C = {la capital del Perú } = { Lima }

D = {x / 2x = 6} = {3}

Conjunto universal

Es el conjunto que contiene a todos los elementos del discurso. Es un

término relativo. Se le denota por la letra U.

Ejemplo

Sean los conjuntos:

A = { aves }     B = { peces }     C = { conejos }     D = { monos }

  Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D. Es

U = { animales }

 Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a

continuación.

Sean los conjuntos:

E = { mujeres }     F = { hombres }

  Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos E y F. Es

U = { seres humanos }

  Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a

continuación.

Conjuntos disjuntos

Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común entonces A y

B son disjuntos.

Ejemplos

Conjuntos disjuntos       Conjuntos no disjuntos         A = { 2, 4, 6 }       M = { o, p, q, r, s }B = { 1, 3, 5 }       N = { s, t, v, u }A y B son disjuntos.       M y N no son disjuntos.         C = { x/x es una letra del alfabeto }

     P = { x/x es una letra de la palabra aritmética }

D = { x/x es un número }      Q = { x/x es una letra de la palabra algebra }

C y D son disjuntos       P y Q no son disjuntos

Diagrama de venn

A cada conjunto se le considera encerrado dentro de una curva

(plana) cerrada. Los elementos del conjunto considerado pueden ser

específicamente dibujados o pueden quedar (implícitamente)

sobreentendidos. Los diagramas son empleados, para representar tanto a los

conjuntos como a sus operaciones, y constituyen una poderosa herramienta

geométrica, desprovista de validez lógica.

A continuación representaremos algunos conjuntos y verificaremos

algunas igualdades (las intersecciones de dos o más conjuntos quedan

caracterizados por el rayado múltiple).

El gráfico es la representación de la unión

     

El gráfico es la representación de la intersección

     

El gráfico es la representación de la diferencia

Unión de conjuntos

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los

elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión

de conjuntos se define como: A U B = {x / x   A o x   B}

En forma gráfica:

     

Cuando no tienen    Cuando tienen

algunos Cuando todos los elementos de

un

elementos

comunes    elementos comunes  

conjunto pertenecen a otro

conjunto

Ejemplos

1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6,

8}, efectuar y construir los diagramas respectivos:

a) A U C           b) B U C           c) A U B

Tenemos:

a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 5, 6, 8 }

            A U C = { 0, 1, 2, 3, 4,  , 6, 8 }

         

            Representación gráfica de la unión de conjuntos A y C

b) B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }

            B U C = { 0, 2, 4, 5, 6, 8 }

         

           Representación gráfica de la unión de

conjuntos B y C

c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 0, 2, 4 }

        A U B = {  , 1,  , 3,  , 5 }

     

       Representación gráfica de la unión de

conjuntos A y B

Intersección de conjunto

Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de

elementos que son comunes a A y B. Se denota por A   B, que se lee: A

intersección B. La intersección de A y B también se puede definir:

A   B = { x / x   A y x   B } y mediante un diagrama de Venn-Euler:

           

Cuando tienen       Cuando no tienen      Cuando todos los elementos

de un

elementos

comunes     

elementos

comunes     

conjunto pertenecen a otro

conjunto

Ejemplos

1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2,

4}, efectuar y construir los diagramas respectivos:

a) A   C           b) B   C           c) A   B

Tenemos:

a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 2, 4 }

        A   C = {  ,   }

     

       Representación gráfica de la intersección

de conjuntos A y C

b) B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }

        B   C = { }

     

       Representación gráfica de la intersección de

conjuntos B y C

c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 3, 5, 7 }

        A   B = {  ,   }

     

       Representación gráfica de la intersección

de conjuntos A y B

Diferencia de conjuntos

Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado

por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B. La diferencia se

denota por: A - B que se lee: A diferencia B o A menos B. Se define la

diferencia de dos conjuntos también como:

A - B = {x / x   A y x   B}

Mediante un diagrama de Venn - Euler:

   

Cuando no tienen   Cuando tienen  Cuando todos los elementos de

un

elementos comunes   elementos comunes  conjunto pertenecen a otro

conjunto

Ejemplos

1. Dados los conjuntos: A = { a, b, c, d, e }, B = { a, e } y C = { d, f, g}, efectuar

y construir los diagramas respectivos:

a) A - C           b) B - C           c) A - B

Tenemos:

a) A = { a, b, c, d, e } y C = { d, f, g }

        A - C = { a, b, c, e }

     

       Representación gráfica de la diferencia de

conjuntos A y C

b) B = { a, e } y C = { d, f, g }

        B - C = { a, e }

     

       Representación gráfica de la diferencia de

conjuntos B y C

c) A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e }

        A - B = { b, c, d }

     

       Representación gráfica de la diferencia de

conjuntos A y B

FUNCIONES

Existen diferentes tipos de expresiones algebraicas, sin embargo

algunas de las expresiones que mas nos interesa dentro del cálculo son las

funciones. Una función es una regla de asociación que relaciona dos o mas

conjuntos entre si; generalmente cuando tenemos la asociación dos

conjuntos las función se define como una regla de asociación entre un

conjunto llamadodominio con uno llamado codominio, también dominio e

imagen respectivamente o dominio y rango. Esta regla de asociación no

permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del

codominio.

            

Figura Definición de función que se ampara bajo una regla

de asociación de elementos del dominio con elementos del

codominio, imponiendo la restricción de relacionar un

elemento del dominio con uno del codominio, sin importar  si

los  elementos del codominio puedan estar relacionados con

dos o mas del codominio.

  Donde se dice que f : A  ® B  (f es una función de A en B, o f es una

función que toma elementos del dominio A y los aplica sobre otro llamado

codominio B). Se dice que el dominio de una función son todos los valores

que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia

en el conjunto llamado codominio, generalmente cuando se habla del plano,

el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X´s y que

nos generan una asociación en el eje de las Y´s.

  El otro conjunto que interviene en la definición es el conjunto

llamado codominio o rango de la función, en ocasiones llamado imagen, este

conjunto es la gama de valores que puede tomar la función; en el caso del

plano son todos los valores que puede tomar la función  o valores en el eje

de las Y´s. También, cuando se grafica en el plano cartesiano se tiene una

relación de dos variables, considerando como variable aquella literal que esta

sujeta a los valores que puede tomar la otra.

 Variables dependientes.

Son aquellas variables que como su nombre lo indica, dependen del

valor que toma las otras variables Por ejemplo: f(x)= x, y o f(x) es la variable

dependiente ya que esta sujeta a los valores que se le subministre a x.

Variable independiente.

Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable, en el

ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que

depende de los valores de x.

Variable constante.

Es aquella que no esta en función de ninguna variable y siempre tiene

el mismo valor ejemplo:

Y=2, la constante gravitacional, entre otras.

Ejemplos de funciones  y de ecuaciones :

La siguiente gráfica define una función, línea recta con pendiente (m =

1) que pasa por el origen, la cual es función debido a no existe un elemento

del dominio que relaciones dos elementos del codominio. El dominio es (-

¥, ¥) o lo que equivale a decir que el dominio toma todos los valores sobre la

línea recta. El rango de la función o codominio es también el mismo,  ya que

toma todos los valores en el eje de las Y´s (-¥, ¥).

 

 La expresión mediante la cual puede representarse esta ecuación es la

siguiente:

 Y(x)= x   (otra forma de expresar este resultado también es la expresión

f(x)=x)

Esta ecuación no tiene asociado dos elementos del codominio con uno

del dominio, sin embargo la definición de función no impone ninguna

restricción al respecto. Podemos analizar que en este caso el domino es (-

¥, ¥). Sin embargo, sabemos que el hecho de que la función sea

f(x)=x2  conduce a  que solo el recorrido de la función mande a valores

positivos, y por tanto el rango de la función es [0, ¥)

 

La siguiente ecuación no es función y2 = x  

Su gráfico es el siguiente:

                              

  Como es fácil identificar los elementos del dominio (x>0) tienen

asociados dos elementos del codominio y por tanto no es función.

CUERPO ORDENADO

Un cuerpo es una estructura algebraica, es decir, un conjunto con una

serie de operaciones asociadas. Comúnmente lo denotaremos así (K,+,·), ya

que las operaciones serán la suma y el producto. Si además es ordenado,

como es el caso, pues se añade al final el signo (≤).Para entender lo que es

un cuerpo deberiamos conocer qué es un grupo o un anillo, pero esto

compete a la asignatura de álgebra, y por tanto no explicaré, pero sí las

caracteristicas del cuerpo. Todo cuerpo cumple las siguientes propiedades:

Asociativa

Simétrica respecto de la primera operación.

Elemento neutro

Conmutativa

Distributiva del producto respecto de la suma, es decir: a · (b+c) = ab

+ ac

Todo elemento distinto del neutro de la primera operacion tiene

simétrico respecto de la segunda.

Algunos ejemplos de esta estructura son (ℚ,+,·),(ℝ,+,·),(ℂ,+,·) ó

(ℤ/m,+,·)(congruencias módulo m, siempre que m sea primo).

Comprobaré, para el caso de (ℝ,+,·)las propiedades:

Asociativa: a+b+c = a+(b+c)=(a+b)+c; a·b·c=a·(b·c)=(a·b)·c)

Simétrica: a+(-a)=0

Elemento neutro: a+0=a; a·1=a

Conmutativa: a+b=b+a; a·b=b·a

Distributiva del producto respecto de la suma: a·(b+c)=ab+ac

Simétrico respecto de la segunda operación: a · (1/a) = 1, pero 0 ·

(1/0) no tiene sentido, por tanto lo excluimos.

Como hemos dicho que está ordenado, podremos usar el valor

absoluto para definir una nueva distancia. En el caso de ℝ la distancia valor

absoluto sería la distancia euclídea. Denotaremos la distancia valor absoluto

como d||.

LOS NÚMEROS NATURALES

Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos

que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto. Los

números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:

N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}

El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales. Además

de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven

para ordenar los elementos de un conjunto:

1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…

Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas

civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más

elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.

Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y

multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números

naturales es también un número natural, por lo que se dice que son

operaciones internas.

La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues

la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no

lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el

conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de

otro, cualesquiera que sean éstos.

La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente

de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando

el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los

números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro

(salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los

números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto

Propiedades de la adición de Números Naturales

La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa,

conmutativa y elemento neutro.

1.- Asociativa:

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a + b) + c = a + (b + c)

Por ejemplo:

(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16

7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16

Los resultados coinciden, es decir,

(7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5)

2.-Conmutativa

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

a + b = b + a

En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:

7 + 4 = 4 + 7

Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se

pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y

sin tener en cuenta el orden.

3.- Elemento neutro

El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera

que sea el número natural a, se cumple que:

a + 0 = a

Propiedades de la Multiplicación de Números Naturales

La multiplicación de números naturales cumple las propiedades

asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto

de la suma.

1.-Asociativa

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a · b) · c = a · (b · c)

Por ejemplo:

(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30

3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30

Los resultados coinciden, es decir,

(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)

2.- Conmutativa

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

a · b = b · a

Por ejemplo:

5 · 8 = 8 · 5 = 40

3.-Elemento neutro

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el

número natural a, se cumple que:

a · 1 = a

4.- Distributiva del producto respecto de la suma

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

a · (b + c) = a · b + a · c

Por ejemplo:

5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55

5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55

Los resultados coinciden, es decir,

5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8

Propiedades de la Sustracción de Números Naturales

Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la

operación de contar. Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas

¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas

las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso,

recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que

6 - 2 = 4. Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que

tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).

Propiedades de la resta:

La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)

 Propiedades de la División de Números Naturales

La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un

numero de cosas entre un número de personas. Los términos de la división

se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas),

cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que

sobra). Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario

inexacta.

Propiedades de la división

La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.

EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA.

El principio de inducción matemática consiste en lo siguiente:

Una proposición es válida para todo número natural n si:

1. Es válida para n = 1

2. De su validez para un número natural cualquiera n = k se desprende

su validez para n = k + 1

El principio de inducción matemática se puede expresar simbólicamente

de la siguiente manera:

p(1) ^  k[p(k) --> p(k + 1)] -->  np(n)

En esa misma sección se estudió la demostración por contradicción.

Demostrar una proposición de la forma p --> q, es equivalente a demostrar

esta proposición de la forma [((p ^ ~q) --> (r ^ ~r)]. Es decir, la negación de la

proposición p --> q, vimos que es equivalente a p ^ ~q, que es exactamente

lo que consiste la demostración por contradicción, esta nos lleva a una

expresión de la forma r ^ ~r, que es una falsedad, en virtud de esto, se

concluye que la negación de la proposición p --> q es falsa.

Demostración.

Supongamos lo contrario, es decir, que la proposición no es válida

para cualquier número natural n. Entonces existe un número natural,

digamos m tal que:

1) Para n = m la proposición es falsa y:

2) Para todo n menor a m la proposición es verdadera.

En otras palabras, m es el primer número natural para el cual resulta

falsa la proposición. Es evidente que m > 1 pues para n = 1 la proposición es

verdadera (por la condición 1 primera parte del antecedente del teorema).

Además m - 1 es un número natural, ya que m es natural. Pero entonces la

proposición es válida para el número natural m - 1 y no lo es para el número

natural siguiente m. Esto contradice la condición 2 (segunda parte del

antecedente del teorema). Así se ha llegado a una contradicción r ^ ~r. Dicha

contradicción resultó al afirmar que la proposición es falsa para cualquier

número natural. Por tanto si se cumplen las condiciones iniciales: la

proposición es válida para n = 1 y si es válida para el número n = k entonces

es válida para el siguiente número n = k + 1, entonces, la proposición es

válida para todo número natural n.

Toda demostración que se basa en el principio de inducción

matemática se denomina demostración por inducción (por el método de

inducción matemática). Tal demostración consta de dos partes, es decir,

verificar que se cumplan las dos condiciones:

La proposición es válida para n = 1

La proposición es válida para n = k + 1 si lo es para n = k, donde k es

un número arbitrario.

Si estas condiciones se cumplen, podemos afirmar, en virtud del

principio de inducción matemática, que la proposición es válida para todo

número natural.

Antes de pasar a la demostración de identidades de problemas

aritméticos, lo mejor es ver un ejemplo de como se utiliza el principio de

inducción matemática en algunos ejemplos, así como de hacer varias

observaciones del mismo principio.

Consideremos de nueva cuenta la suma:

Sabemos ya que de la sección anterior que: 

Ahora bien, no repetiremos el mismo error cometido en la sección

anterior de "afirmar" de inmediato que para todo número natural n es

Ahora seamos prudentes y digamos que el análisis de las sumas S1,

S2, S3 y S4sugiere la fórmula:

para todo número natural n. Ahora sabemos que antes de afirmar hay que

¡demostrarlo! Sabemos que la hipótesis se cumple para n = 1, 2, 3 y 4. Para

comprobar que se cumple para toda n, recurriremos al método de inducción

matemática. Recordemos que se tienen que verificar las dos condiciones del

principio de inducción.

1) Para n = 1 la fórmula se cumple pues:

2) Supongamos que la fórmula es válida para n = k, es decir:

donde k es un número natural. Demostremos que entonces, la hipótesis es

válida también para n = k + 1, es decir:

En efecto,

Por consiguiente, según la hipótesis de el teorema,

Hemos demostrado las dos partes del principio de inducción. Ahora sí

podemos afirmar, basándonos en este principio que:

para todo número natural.

LOS NÚMEROS ENTEROS

Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los

números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se

designa por Z:

Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}

Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades

(como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto

elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados,

los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…).

Se llama valor absoluto de un número entero a, a un número natural que se

designa |a| y que es igual al propio a si es positivo o cero, y a -a si es

negativo. Es decir:

• si a > 0, |a| = a ; por ejemplo, |5| = 5; 

• si a < 0, |a| = -a ; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5. 

El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo. Las operaciones

suma, resta y multiplicación de números enteros son operaciones internas

porque su resultado es también un número entero. Sin embargo, dos

números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor.

Suma de Números Enteros

Para sumar dos números enteros se procede del siguiente modo:

• Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos, y al resultado se

le pone el signo que tenían los sumandos: 

• 7 + 11 = 18 

• -7 - 11 = -18 

• Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro

negativo, se restan sus valores absolutos y se le pone el signo del mayor: 

• 7 + (-5) = 7 - 5 = 2 

• -7 + 5 = - (7 - 5) = -2 

• 14 + (-14) = 0

La suma de números enteros tiene las propiedades siguientes:

Asociativa: 

(a + b) + c = a + (b + c) 

Conmutativa: 

a + b = b + a 

Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma, 

a + 0 = a 

Elemento opuesto: todo número entero a, tiene un opuesto –a, 

a + (-a) = 0

Multiplicación de Números Enteros

Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores

absolutos y el resultado se deja con signo positivo si ambos factores son del

mismo signo o se le pone el signo menos si los factores son de signos

distintos. Este procedimiento para obtener el signo de un producto a partir del

signo de los factores se denomina regla de los signos y se sintetiza del

siguiente modo:

+ · + = + 

+ · - = - 

- · + = - 

- · - = + 

La multiplicación de números enteros tiene las propiedades siguientes:

Asociativa: 

(a · b) · c = a · (b · c) 

Conmutativa: 

a · b = b · a 

Elemento neutro: el 1 es el elemento neutro de la multiplicación, 

a · 1 = a 

Distributiva de la multiplicación respecto de la suma: 

a · (b + c) = a · b + a · c

Resta de Números Enteros

Para restar dos números enteros se le suma al minuendo el opuesto del

sustraendo:

a - b = a + (-b) 

Por ejemplo:

5 - (-3) = 5 + 3 = 8 

-2 - 5 = (-2) + (-5) = -7

LOS NÚMEROS RACIONALES

Los Números racionales, son el cociente indicado a/b de dos números

enteros que se llaman numerador, a, y denominador, b. Ha de ser b ≠ 0.

Por ejemplo, en la fracción 3/5 el denominador, 5, indica que son

“quintas partes”, es decir, denomina el tipo de parte de la unidad de que se

trata; el numerador, 3, indica cuántas de estas partes hay que tomar: “tres

quintas partes”. Si el numerador es múltiplo del denominador, la fracción

representa a un número entero:

14/2=7; -15/3=-5; 352/11= 32

Equivalencia

Dos fracciones a/b y a'/b' son equivalentes, y se expresa

a/b = a'/b' 

si a · b′ = b · a′.

Así,

21/28= 9/12 

porque 21 · 12 = 9 · 28 = 252.

Simplificación

Si el numerador y el denominador de una fracción son divisibles por un

mismo número, d, distinto de 1 o -1, al dividirlos por d se obtiene otra fracción

equivalente a ella. Se dice que la fracción se ha simplificado o se ha

reducido: 

a/b=a.d'/b.d'=a'/b'

Por ejemplo: 

120/90= 12/9

La fracción 12/9 es el resultado de simplificar 120/90 dividiendo sus

términos por 10

Fracción Irreducible

Se dice que una fracción es irreducible si su numerador y su

denominador son números primos entre sí. La fracción 3/5 es irreducible. La

fracción 12/9 no es irreducible porque se puede simplificar: 

12/= 4/3

Reducción a común denominador

Reducir dos o más fracciones a común denominador es obtener otras

fracciones respectivamente equivalentes a ellas y que todas tengan el mismo

denominador. Si las fracciones de las que se parte son irreducibles, el

denominador común ha de ser un múltiplo común de sus denominadores. Si

es el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de ellos, entonces se dice que se ha

reducido a mínimo común denominador. Por ejemplo, para reducira común

denominador las fracciones

2/3, 4/9 y 3/5

se puede tomar 90 como denominador común, con lo que se obtiene: 

2/3=60/90, 4/9=40/90, 3/5=54/90

Es decir,  es el resultado de reducir las tres fracciones anteriores a un

común denominador: 90. Pero si en vez de 90 se toma como denominador

común 45, que es el m.c.m. de 3, 9 y 5, entonces se obtiene

30/45, 20/45, 27/445

que es el resultado de reducir las tres fracciones a su mínimo común

denominador.

Suma de Fracciones

Para sumar dos o más fracciones se reducen a común denominador,

se suman los numeradores de éstas y se mantiene su denominador. Por

ejemplo: 

2/3+ 4/9 y+3/5 = 30/45+ 20/45+27/45 =30+20+27/45=77/45

Producto de Fracciones

El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el

producto de sus numeradores y cuyo denominador es el producto de sus

denominadores: 

a/b * c/d = a*c/b*d

Inversa de una Fracción

La inversa de una fracción a/b es otra fracción, b/a , que se obtiene

permutando el numerador y el denominador. El producto de una fracción por

su inversa es igual a 1:

a/b * b/a=a*b/b*a=1/1=1

Cociente de Fracción

El cociente de dos fracciones es el producto de la primera por la

inversa de la segunda: 

a/b : p/q , a/b*q/p, a*q/b*p

LOS NÚMEROS REALES

Los números reales se definen de manera axiomática como el

conjunto de números que se encuentran en correspondencia biunívoca con

los puntos de una recta infinita (continuum): la recta numérica. El conjunto de

los números reales se le simboliza con la letra . El nombre de número real

se propuso como antónimo de número imaginario. El concepto de número

real se originó cuando se constató la existencia de los números irracionales.

Así, el conjunto de los números reales se define como la unión del conjunto

de los números racionales y el conjunto de los irracionales.

Debido a que el conjunto de números reales contiene al conjunto de

números racionales, y éste a su vez contiene a los enteros que a su vez

contiene los números naturales, se sugiere que el conjunto de los números

reales contiene también a los números enteros y a los números naturales.

Asimismo, el conjunto de números reales contiene al de los números

irracionales. Por tanto, los números reales pueden ser racionales o

irracionales, algebraicos o trascendentes; y positivos, negativos, o cero.

Puede definirse un número real, en estos términos, como un número

positivo o negativo que puede o no tener cifras de decimal finito o infinito y

puede representarse mediante un punto en la recta de números reales. En

este sentido, el teorema fundamental de la geometría analítica establece que

a cada número real le corresponde un punto en la recta de los números

reales y viceversa. Con números reales pueden realizarse todo tipo de

operaciones básicas con dos excepciones importantes:

1.- No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc) de

números negativos en números reales, razón por la que existe el conjunto de

los números complejos donde estas operaciones sí están definidas.

N Naturales Mas el Cero

N 。 Naturales

Enteros Negativos

Z Enteros

Fraccionarios

Q Racionales

Irracionales

R Reales

Imaginarios

C Complejos

2.- No existe la división entre cero, pues carece de sentido dividir entre nada

o entre nadie, es decir, no existe la operación de dividir entre nada.

CONSTRUCCIÓN POR CORTADURAS DE DEDEKIND

Hay valores que no se pueden expresar como números racionales, tal

es el caso de . Sin embargo es claro que se puede aproximar con números

racionales tanto como se desee. Podemos entonces partir al conjunto de los

números racionales en dos subconjuntos A y B de manera que en el conjunto

A se encuentran todos los números racionales y en B todos los

números racionales tales que .

Una cortadura de dedekind es un par ordenado (A,B) que hace

precisamente esto. Conceptualmente, la cortadura es el "espacio" que hay

entre A y B. De esta manera es posible definir a como (A,B) tal que

y .

Es posible demostrar que B queda unívocamente definido por A, de

esta manera la cortadura (A,B) se reduce simplemente a A. También es

demostrable que el conjunto de todas las cortaduras cumple con los axiomas

de los números reales, de esta manera es el conjunto de todas las

cortaduras de Dedekind. Esta es la primera construcción formal de los

números reales bajo la teoría de conjuntos.

COMPLETITUD, SUPREMO E INFIMO

La propiedad de completitud de IR dice que los números reales

``rellenan la recta numérica'', o que no ``dejan huecos en la recta''. Es decir,

a cada punto de la recta le corresponde un número real. Pero ¿qué significa

esto matemáticamente?. En otras palabras, cómo escribir esto con el

lenguaje propio de la teoría de números reales, sin hacer alusión a la

interpretación geométrica de éstos como puntos de una recta. 

Para tratar de precisar esto, tomemos un punto P en la recta, y

consideremos el conjunto A formado por todos los números reales

``ubicados'' a la izquierda de ese punto. Consideremos también el

conjunto B formado por todos los números reales ``ubicados'' a la derecha

del mismo punto. Tenemos entonces que para x   A yy   B se cumple x   

y. La completitud dice que hay un número real   que corresponde al

punto P, y por lo tanto x       y, para todo x   A y todo y   B.

Interpretación geométrica de la completitud

  Esto nos sugiere la siguiente forma de axiomatizar la completitud: 

Axioma de completitud (versión 1) Sean A y B subconjuntos no vacíos de IR,

tales que x   y para todo x   A y todo y   B. Entonces existe al menos un

número real   tal que x       y, para todo x   A y todo y   B. Para

aclarar mejor este concepto veamos algunos ejemplos:

Ejemplo

Si A =  x   IQ+ : x2 < 2  y B =  x   IQ+ : x2 > 2 , entonces   =   

es el único número real que satisface la condición del axioma de completitud.

Ejemplo

Si A =] -  , 0[ y B = [1, 2], entonces cualquier     [0, 1] satisface la

condición del axioma. 

Ahora consideremos un conjunto A   IR no vacío, y definamos

B = {b   IR :  x   A, b   x}.

Este conjunto B podría ser vacío, veamos algunos ejemplos:

Ejemplo

Si A = [0, 4[, entonces B = [4, +  [. El mismo B se obtiene si A =] - 

, 4].

Ejemplo

Si A = [1, [, entonces B =  . En efecto, si existiera b   B, se tendría

en particular b   1, así que b + 1 sería elemento de A, y

consecuentemente b   b + 1, lo cual es imposible. Cuando B     decimos

que A es acotado superiormente, y a cada elemento de B se le llama cota

superior de A. Más precisamente:

Un conjunto A   R se llama acotado superiormente si existe b   

IR tal que x   b para todo x   A. En tal caso, se dice también que b es una

cota superior de A.

Ejemplo

Retomando los ejemplos anteriores, tenemos que los intervalos [0,

4[ y ] -  , 4] son acotados superiormente, mientras que el intervalo [1, + 

[ no lo es. En el caso A = [0, 4[, la menor cota superior es b = 4. Lo mismo

ocurre en el caso A =] -  , 4].

Cuando A es acotado, el conjunto B, entonces, el conjunto de cotas

superiores de A. En tal caso, el axioma de completitud establece la

existencia de un número real   tal que x       y, para todo x   A y

todo y   B. En particular se tiene x     para cada x   A, así que     B.

Como además     y, para todo y   B, tenemos que   es el menor

elemento de B. Es decir,   es la menor cota superior de A, y en particular es

único. A este número se le llama el extremo superior de A, o supremo de A, y

se denota   = sup A. Esto muestra la versión común del axioma de

completitud, que llamaremos axioma del extremo superior. Primero

definamos en detalle el concepto de extremo superior:

Sea A   IR acotado superiormente y no vacío. Un elemento     

IR se llama el extremo superior (o supremo) de A si es la menor de sus cotas

superiores. Dicho de otra forma,   es el extremo superior de A si satisface:

(1)  es cota superior de A.

(2) Si b   IR es cota superior de A, entonces     b .

Sea A un subconjunto no vacío de IR, el cual es acotado

superiormente. Entonces existe el extremo superior de A. Similarmente

podemos hablar de acotación inferior, y se demuestra, usando el axioma del

extremo superior, que todo conjunto B no vacío y acotado inferiormente,

tiene una cota inferior máxima. Tal cota se llama en extremo inferior (o

ínfimo) del conjunto B, y se denota por inf B.

Ejemplo

Para A = [1, 3]   {7} tenemos que   = 7 es cota superior. Además,

si b es cota superior de A, como 7   A debemos tener 7   b. Esto

demuestra que sup A = 7.

Ejemplo

Para A = [0, 1[, tenemos que   = 1 es cota superior de A. Además,

si b es cota superior de A, debemos tener b   1. En efecto, primero

observemos que b    , pues     A. Luego, si se tuviera b < 1,

entonces x = (b + 1)/2 sería un elemento de A, y además x > b,

contradiciendo el hecho que b es cota superior de A. Esto demuestra que

sup A = 1.

La siguiente caracterización del supremo suele ser útil: Sea A   IR,

acotado superiormente y no vacío, y sea     IR. Entonces   = sup A si y

solo si satisface:

(a) x    , para todo x   A.

(b) Para todo   > 0, existe x   A tal que   -   < x.

Supongamos primero que   = sup A. Entonces   es cota superior, lo

que significa que satisface (a). Luego, dado   > 0 tenemos   -   <  , así

que  -   no es cota superior de A, y consecuentemente debe existir x   

A tal que x >   -  . Esto demuestra la propiedad (b). Recíprocamente,

supongamos que las propiedades (a) y (b) se cumplen y probemos que   =

sup A. Primero   es cota superior por la propiedad (a). Ahora sea b una cota

superior de A. Si b <  , entonces tomando   =   - b > 0 tenemos por

hipótesis que existe x   A tal que x >   -   = b, lo cual contradice el hecho

que b es cota superior de A. Consecuentemente b    , demostrando así

que   es la menor cota superior.

DESIGUALDAD DEL TRIANGULO

En las matemáticas, la desigualdad del triángulo del es el teorema que

indica que para cualquier triángulo, la medida de un lado dado debe estar

inferior o igual la suma de los otros dos lados pero mayor o igual la diferencia

entre los dos lados. (En el inferior o igual y el mayor o igual las declaraciones

de, la igualdad ocurre solamente en el caso de un triángulo que tenga un

ángulo 180° y dos ángulos 0°, según las indicaciones del ejemplo inferior en

la imagen a la derecha.) La desigualdad se puede ver intuitivo en el R 2 o el

R 3.

La desigualdad del triángulo es un teorema en espacios tales como los

números verdaderos todos los espacios euclidianos, y cualquier espacio del

producto interno. También aparece como axioma en la definición de muchas

estructuras en el análisis matemático y el análisis funcional, tal como

espacios de vector de Normal y espacios métricos.

DESIGUALDAD DE BERNOULLI

Una desigualdad es una relación que existe entre dos cantidades en

las cuales hay un diferente valor. O sea que sería lo contrario a lo que ocurre

en una igualdad. En la desigualdad, los términos se relacionan por un

símbolo de “mayor que” (>) o “menor que” (<). También existen algunos

términos que derivan de los dos anteriores. Si alguno de estos dos símbolos

está acompañado por una línea horizontal por debajo, significa "mayor o

igual que" o "menor o igual que". Un ejemplo de una desigualdad podría ser:

2x + 7 < 19

Esta desigualdad se lee como “2 x más 7 es menor que 19″ y

representa al conjunto de números para el que esta expresión es verdadera.

Algunos problemas matemáticos se plantean como desigualdades en lugar

de plantearse como ecuaciones. Dichas desigualdades se resuelven de

manera semejante a una ecuación. Algunas de ellas se usan con tanta

frecuencia que se les ha puesto nombre, como por ejemplo la Desigualdad

de Bernoulli. Se denomina de esta forma en honor a la familia Bernoulli ya

que fue utilizada por primera vez por los miembros de dicha familia, de la

cual eran parte importantes matemáticos y físicos suizos procedentes de la

ciudad de Basilea. Irrumpieron en el mundo científico a finales del siglo XVII.

La desigualdad de Bernoulli es una desigualdad que se aproxima a la

exponenciación de 1 + x. Indica que para cada número entero r ≥ 0 y cada

número verdadero x > −1 si el exponente r es uniforme, entonces la

desigualdad es válida para todos los números reales x. Podemos decir

entonces que para cada número entero r ≥ 2 y cada número verdadero x ≥

−1 con x ≠ 0. Esta desigualdad se utiliza frecuentemente como el paso

crucial en prueba de otras desigualdades y es utilizada en la resolución de

problemas.

CONCLUSIONES

El análisis matemático es una materia de importancia capital en la

comprensión de los procesos reales de los que se ocupa cualquier ciencia

aplicada, como pueden ser la Economía, el marketing y la Empresa. En este

sentido el citado análisis matemático constituye una herramienta sumamente

útil para ayudarnos a controlar los procesos mercantiles en el mundo cada

vez más interrelacionado y globalizado, donde los grandes volúmenes de

cifras complican enormemente el control de operaciones internacionales.

Este trabajo es una recopilación didáctica de los temas de análisis

matemático, es un trabajo secuencial, es decir que conviene no avanzar

excesivamente si no se tienen bien cimentados los conocimientos anteriores.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

es.wikipedia.org/wiki/Análisis_matemático

http://apuntes.rincondelvago.com/analisis-matematico_4.html