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2.2. FUNCIONES CUADRTICAS

No siempre, una coleccin de datos admite un modelo lineal.

A veces, como es posible advertir en el grfico siguiente, la nube de puntos que representa la coleccin de datos responde a otro modelo.

Figura 11

Fuente: Larson Roland E. Clculo y Geometra analtica Edit. MC Graw Hill.

En esta seccin estudiars las particularidades que caracterizan a las FUNCIONES CUADRTICAS, que es el tipo de funcin que mejor representa la coleccin de datos que origina el grfico de la figura precedente.

Una funcin cuadrtica es una funcin cuya regla o frmula est dada por un polinomio de segundo grado, del tipo:

2.2.1. DEFINICIN Y ELEMENTOS

Estas funciones tienen muchas aplicaciones en las ciencias econmicas, por lo que profundizaremos su estudio reconociendo la informacin que nos brindan los coeficientes a, b, y c que aparecen en su frmula, as como los rasgos ms relevantes de sus comportamientos grficos.

Observa el comportamiento grfico y las ecuaciones correspondientes a las funciones cuadrticas que se muestran en el siguiente grfico

Figura 12

Fuente: Haeussler, Ernest E. Matemticas para Adm., Economa, Cs Sociales y de la Vida.

Edit.Prentice Hall.

Los grficos se obtuvieron a partir de la obtencin de un conjunto de puntos que luego se trasladaron a un grfico cartesiano.

A medida que avances en su estudio aprenders a aproximar sus comportamientos evaluando la informacin que proporciona la regla.

Las curvas que representan a toda funcin cuadrtica se denominan PARBOLAS y todas tienen la misma forma bsica cncava, aunque la concavidad puede ser ancha o estrecha.

Las parbolas son simtricas con respecto a una recta vertical, denominada eje de simetra de la parbola.

El eje no forma parte de la parbola, pero es un auxiliar til para trazar su grfico

Figura 13

Fuente: Haeussler, Ernest E. Matemticas para Adm., Economa, Cs. Sociales y de la Vida.

Edit. Prentice Hall.

Cuando una parbola se abre hacia arriba, su punto ms bajo se llama vrtice. Cuando una parbola se abre hacia abajo, su vrtice es el punto ms alto.

Vers, analizando cuatro casos particulares, cmo los valores de los coeficientes a, b y c determinan el comportamiento grfico de la funcin cuadrtica.

2.2.2. ANLISIS DE SUS COEFICIENTES-COMPORTAMIENTOS GRFICOS

1 CASO: a ( 0 ( b = c = 0

Un ejemplo de una funcin cuadrtica que es muy conocida por todos ustedes y que corresponda a este caso es la funcin:

, donde a ( 0 = 1 , b = c = 0

Utilizando los conceptos de interseccin y de simetra, es posible aproximar rpidamente su comportamiento grfico:

Se trata de una funcin par, por lo que ser simtrica con respecto al eje de ordenadas, es decir que el eje de simetra de la parbola coincide con el eje y.

La interseccin-y es f(0) = 0 = 0 ( punto de coordenadas (0,0)

La interseccin-x es 0 = x ( x = 0 ( punto de coordenadas (0, 0).

Figura 14

Fuente: Hoffmann Laurense Clculo aplicado para Adm., Economa, Contadura y Cs. Sociales.

Mc Graw Hill.

En este caso el vrtice es el origen del sistema cartesiano.

Tanto para valores de x positivos como para x negativos la ordenada y es positiva, por lo tanto, excepto el vrtice, la curva est en el semiplano superior con respecto al eje x (1 y 2 cuadrante).

Si dentro de este mismo caso, analizas los cambios que se producen cuando el coeficiente a es mayor o menor (siempre con signo positivo), podrs apreciar que en un caso la curva es ms cerrada denotando un crecimiento ms rpido y en el otro la curva es ms abierta de crecimiento ms lento:

Figura15

Fuente: Larson Roland E. Clculo y Geometra analtica

Edit. MC Graw Hill.

Seguidamente se analizar el cambio que se produce en la parbola si, aparte del coeficiente a, existe algn otro coeficiente distinto de cero.

Dentro de este caso estudiaremos las funciones cuadrticas que responden a las frmulas:

(1)

Si recordamos el concepto de DESPLAZAMIENTO y lo aplicamos a este caso, concluimos que la funcin que aparece en (1) se puede obtener luego de sumar una constante c a la funcin .

La suma de la constante c desplazar verticalmente a la parbola, tantas unidades como lo indique el valor de c.

Recordemos que al sumar una constante c a la variable independiente, se produce un desplazamiento horizontal en la grfica de la funcin:

Por ejemplo la funcin: se obtiene desplazando una unidad a la derecha.

Resolviendo el cuadrado, podemos expresar a la funcin .Donde es posible reconocer el caso de funciones cuadrticas que estamos estudiando.

Veamos su comportamiento grfico:

Figura 16

Del comportamiento grfico es posible deducir:

Las ramas estn orientadas hacia arriba.

El vrtice se desplaz una unidad horizontalmente.

El eje de la parbola ya no es el eje de ordenadas, sino que es una recta vertical que pasa por el vrtice.

En general se puede aproximar su comportamiento grfico buscando sus puntos notables como son sus intersecciones con los ejes:

INTERSECCIN Y:

f(0) = 0 - 2. 0 + 1 ( punto de coordenadas (0 , 1)

INTERSECCIN - X:

0 = x2 - 2 x + 1

De lo anterior se deduce que la parbola corta al eje x en un solo punto de coordenadas (1, 0), que coincide con el vrtice de la parbola.

Para hallar las intersecciones con los ejes primero resuelve el cuadrado de manera de expresar la frmula de la forma

:

Para hallar algebraicamente el valor exacto del vrtice, es posible obtener sus coordenadas a travs de las siguientes frmulas:

Abscisa del vrtice : -b/2

Ordenada del vrtice: f(-b/2) .Se reemplaza la abscisa del vrtice en la ecuacin cuadrtica, obteniendo as su valor de ordenada.

El eje de la parbola ser la recta de ecuacin: x = - b/2a

Como ltimo caso se analizar la situacin que se presenta cuando el coeficiente a es negativo

Cuando en el mdulo anterior, dentro del concepto de desplazamiento se evalu la reflexin, pudo apreciarse que si a partir de una funcin y = f(x), se obtiene:

y = - f(x) ocasiona, no un desplazamiento vertical u horizontal, sino una reflexin sobre el eje x.

En el caso de las parbolas, si con el coeficiente a > 0 las ramas estaban orientadas hacia arriba, cuando a < 0 las ramas estarn abiertas hacia abajo.

Figura 17

Fuente: Larson Roland E. Clculo y Geometra analtica

Edit. MC Graw Hill.

Despus de haber analizado los cuatro casos que te presentamos, ests en condiciones de deducir la informacin que cada coeficiente constante: a, b y c brindan acerca del comportamiento de la funcin cuadrtica:

Coeficiente a: orientacin de las ramas

a > 0 : ramas abiertas hacia arriba

a < 0 : ramas abiertas hacia abajo

a = 0 : nunca puede asumir este valor, ya que anulara el trmino cuadrtico, obtenindose una funcin polinmica de 1 grado (funcin lineal)

Coeficiente b: desplazamiento horizontal

b = 0 : eje de la parbola coincide con el eje de ordenadas

b ( 0 : traslada horizontalmente a la parbola, por lo que su eje no coincide con el eje Y, sino con una recta vertical de ecuacin x = - b/ 2

Coeficiente c: corte al eje de ordenadas = INTERSECCIN Y

f(0) = a . 0 + b . 0 + c

INTERSECCIN X

La parbola cortar al eje x en dos puntos , en uno (que coincide con el vrtice) o en ninguno, segn el resultado de aplicar la frmula:

En general evaluando solo el signo del discriminante, es posible adelantar si la parbola cortar o no al eje x, y en su caso en cuntos puntos.

Se llama discriminante al radicando (expresin que aparece debajo del signo radical) :.

Se lo simboliza con la letra griega delta: ( , y si resulta:

( > 0 se obtendrn dos valores al resolver

Analiza la frmula y entenders que al sumar y luego restar el resultado de la raz al valor de b, para luego dividirlo por 2 a, obtendrs dos valores reales distintos, que indicaran dos puntos de corte al eje x

( = 0 se obtendr un solo valor al resolver

Al sumar o al restar 0 al valor de b se obtendrn dos valores reales iguales, indicando que grficamente la parbola corta en un solo punto al eje x, que es donde coincidentemente se ubica su vrtice.

( < 0 . La raz de ndice par de un nmero negativo, no tiene solucin dentro del conjunto de los nmeros reales, por lo que nos estara indicando que ningn valor real de x es solucin de esta ecuacin de 2 grado y grficamente la parbola no tiene punto de corte al eje x.

Tambin con los valores de sus coeficientes, es posible determinar las coordenadas de su vrtice (valor mximo de la parbola si tiene las ramas orientadas hacia abajo, o valor mnimo si sus ramas estn orientadas hacia arriba):

Veamos ahora a travs de algunos ejemplos, algunas de las muchas aplicaciones que tienen las funciones cuadrticas en las ciencias econmicas.

2.2.3. APLICACIONES ECONMICAS DE LAS FUNCIONES CUADRTICAS

Dado a que el vrtice de la parbola es el punto ms alto o el ms bajo sobre la grfica, es posible utilizar este concepto en la bsqueda de una valor mximo o un valor mnimo de una funcin cuadrtica:

EJEMPLO: El dueo de un comercio de artculos elctricos que sabe que si semanalmente vende (x) artculos, sus ganancias son :

, desea determinar el nmero de unidades que deber vender para que la ganancia sea mxima.

a) Qu clculo le aconsejaras hacer al comerciante?

b) A partir de qu nmero de artculos comenzaran a decrecer sus ganancias?

En general, todas las funciones econmicas que analizamos con un comportamiento lineal como las grficas rectilneas de oferta, demanda, costo, ingreso, pueden presentar datos que se ajusten mejor al comportamiento de una funcin cuadrtica.

2.3. FUNCIN EXPONENCIAL

Las funciones exponenciales juegan un papel importante tanto en Administracin, como en Economa y otras reas. Se usan para estudiar el crecimiento de dinero, organizaciones, curvas de aprendizaje, crecimiento de poblacin, etc.

Implica una constante elevada a un exponente variable, tal como

2.3.1. DEFINICIN

A la funcin f, definida por en donde b ( 0 , b(1 , y el exponente x es cualquier nmero real, se la denomina funcin exponencial con base b .

( ACLARACIN: Se excluye b = 1, ya que = 1 no responde a los comportamientos bsicos que caracterizan a las funciones exponenciales.

Veremos seguidamente dos ejemplos, que permitirn comenzar con el anlisis de este tipo de funciones:

INTERS COMPUESTO: Un capital C que se deposita en un banco al 10 % anual, se convierte al cabo de un ao en:

C + C . 10 % = C + C . 10/100 = C(1+1/100) = C . 1,1

Al cabo de t aos ser:

La funcin que describe cmo evoluciona el valor de cada peso inicial al cabo de x aos es .DEVALUACIN: A la prdida del valor adquisitivo del dinero se le llama devaluacin.

Si con el mismo dinero que un ao atrs se adquiran 100 artculos, hoy slo pueden adquirirse 90, se dice que el dinero se ha devaluado en un 10 %, es decir que vale 90/100 = 0,9 de lo que vala.

Si cada ao la devaluacin es del 10 %, la evolucin del valor adquisitivo del dinero al cabo de x aos, estara dado por la funcin .Tambin son ejemplos de funciones exponenciales:

describe la evolucin de un capital colocado al 5 % anual.

describe una devaluacin del 20 % anual.

Las graficas correspondiente a estos ejemplos, se ubican en el primer cuadrante, ya que sus variables no asumen valores negativos.

Figura 18

Fuente: Guzmn Miguel de Matemticas" Bachillerato 2

Edit. Anaya.

Algunas funciones que parecen no tener la forma exponencial , pueden ponerse en esa forma aplicando las reglas de los exponentes:

Por ejemplo:

;

Seguidamente, analizando dos funciones exponenciales sencillas, vamos a identificar sus comportamientos, segn sea su base b>1, 0