Análisis gráfico interpretación

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ANÁLISIS GRÁFICO interpretación

PROGRAMACIÓN LINEAL (VOLUMEN 3)

Extraído de Investigación de operaciones Eppen MSc. Carlos J. Molestina Malta


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ANÁLISIS GRÁFICO

• Si bien es cierto, en la vida Empresarial es muy raro trabajar con dos variables, no es menos cierto que el hecho de estudiar la geometría bidimensional, nos permite entender de una manera didáctica la interpretación de los resultados obtenidos en optimizaciones de programación lineal.

• Es pues, por lo tanto imperativo que entendamos la resolución gráfica mediante la Geometría de dos dimensiones, para comprender los conceptos de “acotamiento”, “Degenaración”, “precio sombra”, etc.


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GRAFICACIÓN DE DESIGUALDADES Y CONTORNOS

• Supongamos que tenemos la siguiente desigualdad:

• Paso 1: Gráfico de la igualdad: Convertimos la desigualdad en una igualdad y trazamos la recta que representa esta ecuación.

De donde:


4


X1 X2

-4 -3

-2 -2

2 0

4 1

6 2

8 3


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• Paso 2: Escogemos un punto de prueba: Elegimos cualquier punto de prueba que no esté sobre la línea. Si el punto X1=0, X2=0 no está sobre la recta, puede ser un punto conveniente.

Paso 3: resuelva la expresión del lado izquierdo: Sustituimos el punto de prueba en lada izquierdo de la desigualdad. En nuestro caso es (0,0) y obtenemos el valor de cero.Paso 4: determine si el punto de prueba satisface la desigualdad: a) Si el punto de prueba satisface la

desigualdad, entonces todos los puntos que están del lado del punto de prueba son correctos.

b) Si el punto de prueba no satisface la desigualdad original, entonces la recta y todos los puntos que no están del mismo lado que el punto de prueba satisfacen la desigualdad.

PuntoDe

prueba


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LÍNEAS DE CONTORNO

• Los contornos, también llamados isocuantas tienen un papel importante en la representación geométrica de modelos en PL. Un contorno de una función f de dos variables es el conjunto de todos los pares (X1, X2) para los cuales f(X1,X2 )adopta cierto valor constante específico. Cuando f es una función de las ganancias, los contornos se denominan rectas de isoganancias, y cuando f es una función de los costos, los contornos representan rectas de isocostos.


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LÍNEAS DE CONTORNO (Ejemplo)

• SUPONGA QUE ESTAMOS VENDIENDO DOS PRODUCTOS. La ganancia por cada unidad del producto 1 es $2, y la ganancia por unidad del producto2 es $4. La ganancia total procedente de la venta de X1 unidades del producto 1 y X2 unidades del producto 2, se expresa por medio de una función f de dos variables, definida por:

La graficación de contornos se reduce a la graficación de igualdades. Los contornos de una Función lineal forman una familia de rectas paralelas. La graficación de desigualdades se reduce a la graficación de contornos, y después a la identificación del lado correcto.


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MÉTODO DE RESOLUCIÓN GRÁFICA (EJEMPLO)

MAX 5000E + 4000F Máxima contribución a las gananciass.a. E + F >= 5 Requisito de producción mínimaE – 3F <= 0 Balance dela posición en el mercado10E + 15F <= 150 Capacidad en el departamento A20E + 10F <= 160 Capacidad en el departamento B30E + 10F>= 135 Horas de trabajoempleadas en las pruebasE,F >=0 Condición de no negatividad.

MAX 5000E + 4000F Máxima contribución a las gananciass.a. E + F >= 5 Requisito de producción mínimaE – 3F <= 0 Balance dela posición en el mercado10E + 15F <= 150 Capacidad en el departamento A20E + 10F <= 160 Capacidad en el departamento B30E + 10F>= 135 Horas de trabajoempleadas en las pruebasE,F >=0 Condición de no negatividad.


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USO DE EXCEL EN LA SOLUCIÓN GRÁFICA

• Una vez resuelto en Excel el gráfico, concluimos que las variables de decisión optimas son E=4,5 y F=7, estas son la función objetivo y su Valor objetivo VO= $50500. Esta es una función objetivo único ya que la Isoganancia toca el vértice que une las ecuaciones

• 10E+15F<=150 y • 20E+10F<=160


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Resultado POM (software)


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RESTRICCIONES ACTIVAS E INACTIVAS

• Recuerde Usted que cuando estudiamos el modelo de la “caja negra”, las variables endógenas o de salida, eran la VARIABLE DE DESEMPEÑO (función objetivo) y las variables de consecuencia.

• Estas variables de consecuencia vamos revisar ahora, haciéndonos las preguntas siguientes:

1. Cuantas horas de uso del Departamento A requiere la solución óptima?2. Cuantas horas de uso del Departamento B requiere la solución óptima?3. Cuantas horas de trabajo se dedicaran a realizar pruebas en la solución

optima?.


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1. Cuantas horas de uso del Departamento A requiere la solución óptima? 10E + 15F <= 150Recuerde que las horas del Departamento A están expresadas en el lado izquierdo de la desigualdad, entonces:Horas usadas en el Departamento A = 10E+15FSi remplazamos las variables E y F de la solución optima, tenemos que: 10*4,5+15*7 = 45+105=150Vemos, entonces que “en el caso optimo se usan 150 horas en el departamento A”(LI)150 = 150(LD)Como vemos, se usaron todas las horas disponibles del departamento A. En este caso es una restricción activa u obligatoria, ya que no queda holgura o excedente.


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2. Cuantas horas de uso del Departamento B requiere la solución óptima?20E + 10F <= 160

Recuerde que las horas del Departamento B están expresadas en el lado izquierdo de la desigualdad, entonces:Horas usadas en el Departamento B = 20E+10FSi remplazamos las variables E y F de la solución optima, tenemos que

20*4,5+10*7 = 90+70=160Vemos, entonces que “en el caso optimo se usan 160 horas en el departamento B”

(LI)160 = 160(LD)Como vemos, se usaron todas las horas disponibles del departamento B. En este caso es una restricción activa u obligatoria, ya que no queda holgura o excedente.


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3. Cuantas horas de trabajo se dedicaran a realizar pruebas en la solución optima?.

30E + 10F>= 135Siguiendo los mismos pasos observamos que:

30*4,5+10*7= 135+70= 205Por lo tanto:

(LI)205>135(LD)Vemos, en este caso que se requirieron más horas de las programadas, por lo que hay un “excedente de horas que permite la restricción. Entonces cuando en una restricción hay excedente u holgura se interpreta como una restricción inactiva


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RESTRICCIONES ACTIVAS E INACTIVAS (Conclusiones)

A. Si en condiciones de optimalidad, el lado izquierdo de la restricción es igual al lado derecho, entonces dicha restricción es activa u obligatoria. Así, una restricción de igualdad siempre es activa.

B. Si una restricción no es activa, se dice que es inactiva. En una restricción del tipo ≥, la diferencia entre el lado izquierdo y el lado derecho (cantidad sobrante) suele llamarse excedente. En una restricción del tipo ≤, la diferencia entre el lado derecho y el lado izquierdo (cantidad no usada) se llama holgura.

C. En condiciones de optimalidad, todas las restricciones de desigualdad incluidas en un modelo tienen una holgura o un valor excedente, y para lo referente a las decisiones factibles dicho valor siempre es no negativo. Con una restricción dada, el valor de holgura o excedente es cero si y solo si dicha restricción es activa.


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RESTRICCIONES ACTIVAS E INACTIVAS (Conclusiones geométricas)De acuerdo al análisis anterior, podemos concluir que:a) Geométricamente, una restricción activa es la que

pasa por la solución optima.b) Geométricamente, una restricción inactiva es la

que no pasa por la solución optima.


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Análisis de minimización

• Consideremos la siguiente PL


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Utilización de POM e interpretación


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Restricciones redundantesEn el caso estudiado vemos que la desigualdad

E + F >= 5Se encuentra fuera de la solución factible, ya que solo se requiere de las otras cuatro para definir la región factible. Esto es así por que cualquier combinación de E y F que satisfacen las cuatro restricciones, automáticamente satisface esta restricción. A este tipo de restricciones se las conoce como redundantes.• UNA RESTRICCIÓN REDUNDANTE ES AQUELLA CUYA

SUPRESIÓN NO PROVOVA CAMBIOS EN LA REGIÓN FACTIBLE.


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Modelos no acotados

Cuando en un modelo no se han considerado todas las restricciones que limiten el área factible, y limiten la función objetivo, entonces nos enfrentamos a un modelo no acotado.Esto permite que siempre para cualquier conjunto de valores permisibles de las variables de decisión podemos encontrar otros valores permisibles que mejoren el valor objetivo, este tipo de modelos no acotados son “patológicos” y por lo general se presentan por no haber considerado una o varias restricciones importantes.


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Modelos no acotados (demostración)

• Si cogemos el ejemplo anterior y, no consideramos las horas del departamento A y B. Nuestro modelo quedaría como sigue:

• Si desarrollamos gráficamente el modelo obtenemos lo siguiente


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Modelos no acotados(Demostración)

30𝐸+10𝐹 ≥135𝐸+𝐹 ≥5

Si cogemos (2, 2)Como punto deprueba, vemos queno se cierra el vérticede la función objetivoY, por lo tanto esta función puede prolongarse hasta elinfinito 𝐸−3𝐹 ≤0(2,2)


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Modelos no acotados(interpretación)

• Como vemos en el gráfico, el conjunto restringido se extiende hacia el infinito y es posible deslizar arbitrariamente la recta de ganancias en esa dirección.

• En otras palabras podríamos obtener ganancias que se aproximen al infinito y eso simplemente no es real. Esto indica claramente que el modelo no tiene solución por que la función objetivo no está acotada. Los modelos de este tipo se llaman modelos no acotados. Estos son “patológicos”. Pueden surgir cuando no se incluyen en el modelo una o más restricciones importantes, o se ingresaron mal los datos.


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Modelos no factibles

MAX5000E + 4000F Máxima contribución a las gananciass.a. E + F >= 5 Requisito de producción mínimaE – 3F <= 0 Balance dela posición en el mercado10E + 15F <= 150 Capacidad en el departamento A20E + 10F <= 160 Capacidad en el departamento B30E + 10F>= 135 Horas de trabajoempleadas en las pruebasE,F >=0 Condición de no negatividad.

MAX 5000E + 4000Fs. a. E + F ≤ 5E – 3F ≤ 010E + 15F ≤ 15020E + 10F ≤ 16030E + 10F ≥ 135E,F ≥ 0


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Modelo no factible

1

2

345

Como podemos ver en el gráfico, no existe un par de variables que satisfagan a todas las restricciones.(No satisfacen la restricción 1). Por lo tanto carece de solución.

Podemos concluir que la no factibilidad depende solo de las restricciones y no tiene nada que ver con la función objetivo


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ConclusionesTodo programa lineal corresponde a alguna de las tres siguientes categorías, en las que no puede haber suposiciones:1. El modelo tiene una solución óptima2. No existe solución óptima porque el modelo no está

acotado3. No existe solución óptima porque el modelo no es factible4. Cuando hay una solución óptima, por lo menos un vértice

es el óptimo


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Análisis de sensibilidad gráfico

• La optimización obtenida en un modelo restringido puede parecer que se ha encontrado una solución. Esto simplemente no es cierto. En este punto recién comienza la búsqueda de la solución final.

• Hay que tener muy en cuenta que un modelo es una abstracción de la realidad y que, por lo tanto no se han considerado todas las variables existentes, esto puede llevar a inexactitudes e incertidumbre. En este punto nacen preguntas que obligan a analizar el modelo. A este análisis se lo conoce como “Análisis de sensibilidad” o “Análisis de postoptimalidad”.


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Análisis de sensibilidad

• Su nombre tiene que ver con los cambios (fuertes o débiles) en la respuesta del modelo, ya sea en el valor objetivo, en la función objetivo, en el lado derecho de las restricciones, etc. Si cambian en el futuro los coeficientes de la función objetivo o si varía el lado izquierdo de alguna o varias restricciones, etc.

• La idea es, entonces determinar que tan sensible es el modelo al cambio futuro, para poder hacer las correcciones necesarias.

Carlos

Entender esto bien


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Cambios en los coeficientes de la función objetivo

• Sabemos que los coeficientes de la función objetivo son o; las utilidades, márgenes de contribución o costos, todos ellos unitarios. Estos se ubican al lado izquierdo de la función objetivo; en su lado derecho está el valor objetivo que se intenta optimizar.

Cuando se presentan posibles cambios a futuro en uno o varios de estos coeficientes, es importante verificar este efecto en la función objetivo. Cuando esto pasa veremos que el modelo solo cambia en la pendiente del contorno de la función objetivo. Veamos:


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Comportamiento en el cambio de coeficientes

5000𝐸+4000𝐹=𝑚𝑎𝑥𝑍

4000𝐸+5000𝐹=𝑚𝑎𝑥𝑍

5000𝐸+10000𝐹=𝑚𝑎𝑥𝑍

Al cambiar los coeficientes de la función objetivo, se modifican las pendientes de los contornos de la función objetivo. Esto puede afectar o no la solución óptima.


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Cambios en el lado derecho• Si dejamos de lado la función objetivo y sometemos a cambios una o más restricciones se

presenta lo siguiente:Suponga que cambiamos la restricción 30E+10F>=135 por 30E+10F>=210El cambio de un valor del lado

derecho tiene como resultado una traslación paralela de la restricción modificada. Esto puede afectar tanto la solución óptima como el VO. El efecto en cada caso dependerá de los valores precisos del lado derecho que sean modificados y de la magnitud de dichos cambios.


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Estrechamiento y relajación de una restricción de desigualdad

• Estrechar una restricción de desigualdad significa hacerla más dificil de satisfacer. Para una restricción ≥ esto significa aumentar el LD. Para una restricción ≤ esto significa disminuir el LD.

• Relajar una restricción de desigualdad significa hacerla más fácil de satisfacer. En el caso de una restricción ≥ esto significa disminuir el LD. Para una restricción ≤ esto significa aumentar el LD.

• El estrechamiento de una restricción de desigualdad contrae el conjunto restringido (Área factible), o bien, no lo afecta en absoluto. La relajación de una restricción de desigualdad expande el conjunto restringido, o bien no lo afecta en absoluto.


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Restricciones importantes y no importantes

• Ya vimos anteriormente que una variable redundante puede suprimirse sin que afecte el conjunto restringido y por lo tanto la solución óptima, por lo que se convierte en una restricción no importante para el modelo.

• Ahora, usando POM en el ejemplo de análisis veamos que pasa si suprimimos las restricciones inactivas.


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Análisis en POM de las restricciones importantes y no importantes

Modelo original Eliminamos las restricciones inactivas

En cualquier modelo de PL, para un conjunto de datos fijo, las restricciones inactivas pueden ser suprimidas sin afectar la solución óptima. La solución óptima está determinada íntegramente por las restricciones activas


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Adición o supresión de restricciones

• La supresión de restricciones hace que la región factible se expanda o no sufra cambio alguno.

• La adición de restricciones hace que la región factible se vuelva más pequeña o no sufra cambio alguno.

• Veamos un ejemplo: añadamos una restricción nueva y analicemos el nuevo modelo:


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Adición o supresión de restricciones


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Conclusiones de adición o supresión de restricciones

• La adición de restricciones a un modelo empeora el VO o no lo cambia en absoluto. La supresión de restricciones mejora el VO o no produce cambio alguno en él.

De manera análoga podemos concluir:• La adición de variables mejora el VO o no lo cambia

en absoluto, mientras que la supresión de variables empeora el VO o no produce cambios en él.


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Gracias

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