Análisis Experimental de Tensiones 64-16 Ing. Diego Luis Persico ANÁLISIS EXPERIMENTAL DE TENSIONES Clase Nº 2 TEORIA DE LA ELASTICIDAD Precursores

Galileo Galilei Isaac Newton Robert Hooke 1564 – 1642 1643 - 1727 1635 - 1703

Augustin Louis Cauchy Simeon Denis Poisson Thomas Young 1789 - 1857 1781 – 1840 1773 – 1829

Claude Louis Navier 1785 - 1836

Análisis Experimental de Tensiones 64-16 Ing. Diego Luis Persico Precursores Si tomamos a la Teoría de la Resistencia de Materiales como el más conocido y antiguo recurso teórico experimental creado por el hombre para predecir el comportamiento de las estructuras, entonces puede considerarse a Galileo Galilei como el precursor de la Mecánica Estructural, con sus reflexiones sobre el comportamiento de partes elementales de estructuras. Por otra parte es sabido que fue Isaac Newton quien creó la noción de que a toda variación de cantidad de movimiento se la puede asociar con una fuerza imaginaria, ocurriendo todo como si esta produjera dicha variación. La noción está contenida en su célebre Segunda Ley. Sin embargo no hay evidencias históricas de que Isaac Newton se hubiera interesado mayormente en las estructuras resistentes. Sabemos que Newton no se interesaba por las estructuras resistentes, que Galileo es anterior a Newton y que la mecánica de las estructuras trata sólo con sistemas en equilibrio. Entonces, a quien se debe que en mecánica estructural se use como recurso principal a la noción Newtoniana de fuerza, que es una noción dinámica? No hay una respuesta concreta a esta pregunta. A veces se considera que quien introdujo la noción Newtoniana de fuerza para el análisis matemático de las estructuras fue Augustin Cauchy, a comienzos del siglo XIX. Sin embargo existen desarrollos del siglo XVIII que ya incluyen dicha noción. Por otro lado resulta interesante saber que Cauchy fue un Ingeniero Civil que en su época tuvo también que tratar con estructuras civiles de importancia, al igual que Navier. También a Cauchy se le atribuye el haber generalizado a tres dimensiones la llamada Ley de Hooke. Se deja acá planteado este marco de discusión para el tema histórico relacionado con el análisis estructural, para ser debatido en clase y eventualmente mejorado o corregido con el aporte de datos confiables. Como ejemplo, seguidamente se reproduce una reseña histórica sobre la Teoría Matemática de la Elasticidad tomada del libro “Teoría de la Elasticidad de Filonenko – Borodich”. Moscú 1959.

Análisis Experimental de Tensiones 64-16 Ing. Diego Luis Persico ANÁLISIS EXPERIMENTAL DE TENSIONES Breve historia de la teoría de la elasticidad Tomado de: Teoría de la Elasticidad de Filonenko – Borodich. Moscú 1959 La teoría de la elasticidad se ha formado como una rama importante de la física matemática en la primera mitad del siglo XIX. Hasta ese entonces los científicos de los siglos XVII y XVIII, Galileo, Mariotte, Hooke, Bernoulli, Euler, Coulomb y otros habían elaborado con bastante detalle la teoría de la flexión de las barras elásticas delgadas. A principios del siglo XIX Lagrange y Sophie Germain dieron una solución al problema de la flexión y de las oscilaciones de las placas elásticas delgadas. Algunas particularidades de los cuerpos elásticos delgados permitieron simplificar conside-rablemente el planteo y la resolución misma de los problemas de la deformación producida por la acción de las fuerzas exteriores, sin ahondar demasiado en la esencia de los fenómenos que se desarrollan en el material. El comienzo del siglo XIX fue señalado por grandes progresos del análisis matemático, debidos, en parte, a los numerosos e importantes problemas que se plantearon en la física y que exigieron la aplicación de un complejo aparato matemático y su ulterior desarrollo, lo cual sirvió como punto de partida para la formación de una orientación particular en la física, denominada física - matemática. Entre los muchos problemas planteados ante esa joven disciplina, debemos señalar la necesidad de una investigación profunda de las propiedades de los materiales elásticos y de la estructuración de una teoría matemática que permitiera estudiar, lo más exhaustivamente posible, las fuerzas internas que se originan en un cuerpo elástico bajo la acción de las fuerzas exteriores, como, asimismo, la deformación de los cuerpos, es decir, la modificación de su forma. Investigaciones de este tipo también resultaron imprescindibles para satisfacer las exigencias de la técnica, que evolucionaba rápidamente en relación con la construcción de los ferrocarriles y de las máquinas; estas exigencias respondían a la necesidad de crear métodos teóricos para el cálculo de resistencia de los elementos de estructuras y de máquinas. En 1825 el destacado ingeniero y científico francés Navier publicó el Curso de conferencias sobre resistencia de materiales, basado sobre datos experimentales y teorías aproximadas, existentes en aquel entonces y que ya hemos mencionado. En Rusia un curso análogo de N. F. Iastrzhembski apareció en 1837. La prioridad en la creación de los principios de la teoría de la elasticidad corresponde a los matemáticos y mecánicos franceses Cauchy, Navier, y Poisson, que hallaron las ecuaciones diferenciales fundamentales de esa teoría.

Análisis Experimental de Tensiones 64-16 Ing. Diego Luis Persico No podemos dejar de señalar que en su elaboración surgió una gran dificultad de fondo y era que el análisis matemático de aquella época estaba estructurado sobre el concepto del espacio geométrico continuo, en el cual se pueden considerar segmentos infinitamente pequeños y, sobre esta base, introducir los procesos de diferenciación e integración; sin embargo, la teoría molecular newtoniana de la estructura de los cuerpos, comúnmente admitida, los presentaba como medios discretos, que constaban de partículas separadas, ligadas entre sí por fuerzas de atracción y repulsión mutua; resultó sumamente difícil fundamentar la aplicabilidad a estos medios del aparato de análisis matemático, vinculado esencialmente con el concepto de funciones continuas, capaces de recibir incrementos tan pequeños como se quiera (es decir infinitamente pequeños), y con la posibilidad de pasar al límite al efectuar su suma, o sea, al integrarlos. Debido a esto, los primeros trabajos que versaban sobre la Teoría Matemática de la Elasticidad suscitaron grandes discusiones y su argumentación fue puesta en duda. No obstante, el hecho de que hasta en un volumen muy pequeño, separado imaginariamente de un cuerpo, existe una enorme cantidad de moléculas, indujo a los investigadores a recurrir a la ley de los números grandes y aplicar el método que posteriormente se denominó estadístico; esto permitió tender un puente entre el espacio continuo del análisis matemático y el cuerpo sólido como medio discreto; fue posible aplicar el poderoso aparato matemático a la creación de una nueva rama de la física. La importancia de las aplicaciones de la Teoría de la Elasticidad en la física y en la técnica y la gran dificultad de resolver los problemas planteados, desde el punto de vista del análisis matemático, atrajo a este nuevo campo de la ciencia la atención de los grandes investigadores de los siglos XIX y XX. Además de los fundadores de la Teoría de la Elasticidad ya mencionados, Cauchy, Navier y Poisson, se puede nombrar a científicos tan destacados como M. y. Ostrogradski, Lamé, que publicó en 1852 el primer curso de conferencias sobre la Teoría de la Elasticidad, Clapeyron, Saint-Venant, Green, Maxwell, W. Thompson (Lord Kelvin), Rayleigh, Michell, Mathieu, F. S. Jasinski, S. P. Timoshenko, G. V. Kolosov, N. I. Musjelishvili y muchos otros. Remitimos a los lectores que deseen conocer la historia del surgimiento y desarrollo de la teoría de la elasticidad, a la reseña circunstanciada que figura en la introducción al libro de A. Love Teoría matemática de la elasticidad (ONTI, Moscú, 1935) y asimismo al libro de S. P. Timoshenko Historia de la ciencia de la resistencia de los materiales (Gostejisdat, 1957). En el capítulo de estática de la mecánica teórica, se menciona que las fuerzas interiores no intervienen en las condiciones de equilibrio de un cuerpo o sistema de cuerpos, puesto que ellas se equilibran mutuamente de a dos, en virtud de la tercera ley de Newton sobre igualdad de la acción y de la reacción. La Teoría de la Elasticidad se propone como objetivo determinar las fuerzas interiores en un cuerpo sólido. Estas fuerzas expresan la interacción de las moléculas entre sí, garantizan la existencia del sólido como tal, su resistencia. Ellas actúan aun cuando no hay fuerza exterior

Análisis Experimental de Tensiones 64-16 Ing. Diego Luis Persico alguna aplicada al cuerpo, pero no constituyen por sí mismas un objeto de estudio de la Teoría de la Elasticidad. Por la acción de las fuerzas exteriores, el cuerpo se deforma, se modifica la disposición relativa de las moléculas, varían las distancias entre ellas; surgen, en consecuencia, fuerzas interiores complementarias como resultado de la acción de las fuerzas exteriores que han originado la deformación. La estática opera con fuerzas exteriores; por lo tanto, se plantea, ante todo, el problema de transferir las fuerzas interiores que nos interesan a la categoría de fuerzas exteriores. Esto se efectúa por el método del corte, que consiste en lo siguiente: Dividamos imaginariamente un cuerpo en dos partes mediante un plano. A veces, en lugar de un plano se suele tomar una superficie curva. Este plano interesa las líneas de fuerzas de interacción de las moléculas que se encuentran a los lados opuestos de aquél. Si suprimimos mentalmente una de las partes del cuerpo, la B por ejemplo, el sistema de fuerzas de interacción, aplicadas a las moléculas de la parte A que se encuentra en la proximidad del plano secante, quedará desequilibrado. Sin embargo, la parte A se halla en equilibrio; quiere decir que el sistema de fuerzas interiores, puesto en evidencia al practicar el corte y que pasa ahora a la categoría de exterior con respecto a la parte A, debe ser equilibrado por el sistema de las otras fuerzas exteriores P1, P2,..., que actúan sobre esta parte del cuerpo. Separemos ahora, en el plano de la sección, un área elemental AF, muy pequeña en comparación con las dimensiones de la sección, pero muy grande con respecto a las distancias entre las distintas moléculas del cuerpo; este elemento de superficie es intersecado por un gran número de líneas de acción de las fuerzas interiores, aplicadas a las moléculas de la parte A y que expresan la acción de la parte suprimida B. Designemos con AP el vector principal de esas fuerzas; la razón AP / AF se denomina tensión media de las fuerzas interiores en el área elemental AF. Para poder aplicar en lo sucesivo el aparato del análisis matemático, haremos contraer el contorno del elemento AF alrededor de algún punto M; entonces el área AF y el vector principal de las fuerzas disminuirán indefinidamente; el límite de la relación AP / AF cuando AF tiende a 0 se denomina tensión de las fuerzas internas o también tensión en el punto M del cuerpo, sobre el elemento de superficie situado en el plano de la sección practicada. El concepto de tensión en la Teoría de la Elasticidad es la medida fundamental de la intensidad de las fuerzas interiores, que se ponen en evidencia por el método del corte. La tensión está definida por su magnitud que tiene dimensión (fuerza / longitud), orientación y posición, es decir tiene carácter vectorial; por lo tanto se representa en forma de un vector p, aplicado en el punto M al cual esa tensión corresponde. Al vector p se le asigna la denominación de tensión total para distinguirlo de las componentes en las cuales puede ser descompuesto. El paso de la tensión media en el área elemental a la tensión en el punto está vinculado con el proceso imaginario de la disminución de las dimensiones del elemento AF hasta llegar a cero, proceso necesario para poder aplicar el análisis de los infinitésimos. Como ya se mencionó anteriormente la legitimidad de las argumentaciones de ese proceso formal, durante largo tiempo suscitaron dudas y fueron objeto de discusiones entre los científicos; sin embargo, la

Análisis Experimental de Tensiones 64-16 Ing. Diego Luis Persico aplicación de las ecuaciones fundamentales de la Teoría de la Elasticidad a la resolución de los problemas de física demostró muy pronto la eficacia de los métodos elaborados y dio una serie de resultados notables, confirmados por la experiencia; esto se refiere ante todo al estudio de las oscilaciones y de la propagación de las ondas (sonoras, por ejemplo) en los medios elásticos. A mediados del siglo XIX cobró un gran impulso el desarrollo de la Teoría de la Elasticidad y se resolvieron muchos problemas de gran importancia para la física y la técnica; han desempeñado en esto el rol principal los trabajos del gran investigador francés Saint-Venant y de sus discípulos. En esas condiciones desaparecieron paulatinamente las dudas en lo que se refiere a la fundamentación física del método de la Teoría de la Elasticidad que operaba con un medio aparentemente continuo o lleno; desde ese punto de vista se suele decir que la Teoría de la Elasticidad se basa en la hipótesis de una estructura continua de los sólidos. No se debe olvidar, por supuesto, que tal hipótesis es meramente una hipótesis de trabajo; está dictada por el método matemático de investigación adoptado y no invade aquellos dominios de la física que se ocupan directamente de los problemas de estructura de los cuerpos.

Análisis Experimental de Tensiones 64-16 Ing. Diego Luis Persico NOCIONES DE ELASTICIDAD Robert Hooke: Físico Inglés. Nació en 1635, murió en 1703. Quien introdujo en el pensamiento científico la noción de elasticidad fue Robert Hooke al enunciar su célebre ley. En latín: "Ut tensio sic vis". En forma de anagrama: "ceiiinosssttuv". (orden alfabético) En castellano: "así como se solicita así se deforma". Causas Deformantes: En numerosos fenómenos físicos que involucran cuerpos sólidos se observa que en ellos ocurre un cambio de forma. Quien da origen a este cambio de forma se lo denomina Causa Deformante Las Causas Deformantes son: Campos gravitatorios. (Fuerzas gravitatorias) Campos de aceleraciones: (Fuerzas Inerciales) Campos electromagnéticos: (Fuerzas Electromagnéticas) Desplazamientos Impuestos. Presión de líquidos y gases. Variaciones de temperatura. Comportamiento Elástico y Elasticidad: Si al retirar la causa que deforma a un cuerpo este recupera su forma y dimensiones originales, se dice que el cuerpo tiene comportamiento elástico. Se dice que el cuerpo goza de la propiedad de Elasticidad. Elasticidad Proporcional: Si a iguales incrementos de la causa deformante el cuerpo experimenta iguales variaciones de forma y dimensiones se dice que la elasticidad es proporcional o que obedece a la Ley de Hooke o Elasticidad Hookeana. Elasticidad No Proporcional. Si el cuerpo posee la propiedad de elasticidad pero a igualdad de incrementos de la causa deformante no experimenta iguales variaciones de forma y dimensiones, se dice que la propiedad de elasticidad es no proporcional. Teoría Lineal de la Elasticidad: Véase “Breve Historia de la Teoría Matemática de la Elasticidad” Los problemas de la Elasticidad: Los estados simples, dobles y triples. Su solución matemática. Los problemas de la Elasticidad y la Fotoeleasticidad: Véase “Fotoelasticidad”

Universidad de Buenos Aires Facultad de Ingeniería

Departamento de Estabilidad

Estabilidad III-B 64-13

TEORIA LINEAL DE LA ELASTICIDAD

Resúmenes del dictado de clases Prof. Ing. Diego Luis Persico

Año 2008

Referencia Bibliográfica: Fundamentos de la Teoría Lineal de la Elasticidad

Ing. Horacio Rezk CEI – 1985