ANALISIS ESTRUCTURAL III APUNTE REDUCIDO DE USO …

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ANALISIS ESTRUCTURAL III

APUNTE REDUCIDO DE USO FRECUENTE

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL

Facultad Regional Avellaneda

CONTENIDOS DEL APUNTE:

PARTE I: ESTRUCTURAS DE ELEMENTOS LINALES CABLES ARCOS

PARTE II: ESTRUCTURAS DE SUPERFICIE MEMBRANAS CASCARAS SILOS ESTRUCTURAS PLEGADAS DOCENTES: Ing. Esteban Mario Rodríguez Ing. Diego Taus

Análisis Estructural III Año 2010

Profesor : Ing. Esteban M. Rodríguez Pagina: JTP : Ing. Diego Taus

2

CABLES

De las figuras anteriores surge que: 312312 HHHvezsuafff <<>> Luego, realizando el equilibrio de las fuerzas tendremos:



3

ECUACIONES

Ecuación de la elástica de la cuerda: 212

2

cxcHxqy ++

⋅⋅

−=

Desplazamiento: xl

fxl

fy ⋅⋅

+⋅⋅

−=44 2

2

Giro: l

fxl

fy ⋅+⋅

⋅−=

482

'

Esfuerzo axil máximo:

22

1618

max nflqS +

⋅⋅

= n = f / l

)81(881max 2

2

nHnnlqS +⋅≅

+⋅⋅=

Longitud real de la cuerda:

)66.21(38 2

2

nllflrealL

+⋅=⋅+≅

La siguiente tabla nos da los valores de Smax y Lreal, en función de n:

η 1/8 1/10 1/12 1/16 1/20 1/25 1/30 Condicion

S max 1.125 1.080 1.055 1.031 1.020 1.013 1.009 HS max 1.125 1.350 1.580 2.060 2.550 3.160 3.780 q . lL real 1.047 1.027 1.018 1.010 1.007 1.004 1.003 l

Cables poco tensos

Cables que cumplen la relación f > 0.5l. Expresión: 2''' 1 yqdxdsqyH +⋅−=⋅−=⋅

Flecha:

−

⋅⋅

⋅= 12

coshHlq

qHf

Tensión S en un punto genérico: xHqHS ⋅⋅= cosh

Tensión máxima: fqHS ⋅+=max

Longitud real: Hlqsenh

qHrealL

⋅⋅

⋅=2

2



4

Ejemplo típico 1 Calcular la flecha “f” y la longitud necesaria “l” de un cable (rienda de acero), que une 2 puntos separados a 1500m (los 2 a la misma altura), para que su tensión máxima sea σmax = 1000 kg/cm2 Recordando:

nnlqS

881max

2+⋅⋅= tendremos

nn

lqS

881max 2+

=⋅

Si AS ⋅= maxmax σ y lAalq ⋅⋅=⋅ γ Entonces:

nn

lAaA

881max 2+

=⋅⋅⋅

γσ donde

cmcmkgcmkg

nn

1500003/00785.02/1000

881 2

⋅=

+

Luego 849.0881 2

=+

nn Entonces 01794.68 2 =+− nn

=⋅⋅−±

16184794.6794.6 2

⋅==

=

)3.5/1(19.0

)(66.0

n

tomasenon

Es decir mmf 284150019.0 =⋅= )19.0667.21(1500 2⋅+⋅= mrealL mmrealL 1643095.11500 =⋅= Ejemplo típico 2 Calcular la flecha “f” y la tensión máxima σmax, para un cable de longitud l = 800m y una longitud real de 810m. Recordando:

lflrealL

2

38

⋅+≅ tendremos m

fmm8003

88008102

⋅+=

De donde )6.14/(77.54 lmf ==

Luego 22

1618

max nflqS +⋅

⋅⋅

= y AS ⋅= maxmax σ

Entonces 2/1189800

77.5416154778

)80000(3/00785.0max22

cmkgcm

cmcmkg=

+⋅

⋅⋅

=σ



5

ARCOS

Ecuación del arco: x

lhx

lhy ⋅

⋅+⋅

⋅−=

44 22

Reaccion horizontal en apoyo: hlqH

⋅⋅

=8

2

Esfuerzo axil maximo: HAC =⋅ θcosmax entonces Ah

lqCθcos8

max2

⋅⋅⋅

=⋅

Donde 2/

2tanl

hA ⋅=θ y

222 /1611

tan11cos

lhAA

+=

+=

θθ

2222

22 /1618cos8

/161max lhhlq

AhlqlhHC +⋅

⋅⋅

=⋅⋅⋅

=+⋅=⋅θ

Ley de variación de C: 2

2

2

21161)(

−⋅⋅+⋅=

lx

lhHxC

Arcos triarticulados hlqH

⋅⋅

=8

32

Arco dos articulaciones

−⋅=

⋅

−⋅⋅⋅

=MsaMcH

lqMc

hlqH 13

8/1

82 2

2

Arcos empotrados

−

−⋅=

⋅−

−⋅⋅⋅

=Msa

MaMch

Msalq

MaMchlqH 1

8/1

8 2

2

Los momentos estáticamente indeterminados Ma y Mc se obtienen tomando en consideración la elasticidad del arco.



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MEMBRANAS El espesor de la lámina, es tan pequeño (no despreciable), que se pueden despreciar las variaciones de tensiones experimentadas en su espesor, es decir que no habrá esfuerzos de flexión. Esto nos indica que los esfuerzos serán los que actúan en la superficie media.

Meridiano

Elemento diferencial

Eje de revolucion

Paralelo

(dA)

θr

φ

y

zx

ξ

Rθ

Rφ

NφNθ Eje de revolución

dθ

dφ

Ro

Rφ

Z=pz

X=pφ

z

Eje de revolución

φ

θ

Rθ . senφ . dφ

Rθ

φRθ . senφ

Rθ

Nφ = σφ . 1m . e Esfuerzo de membrana s/meridiano Donde σφ será la tensión de membrana s/meridiano Nθ = σθ . 1m . e Esfuerzo de membrana s/paralelo Donde σθ será la tensión de membrana s/paralelo e: Espesor de la membrana Rφ = Radio de curvatura de los meridianos en el entorno del elemento

Rθ = Distancia radial entre el centro de curvatura de los meridianos (perpendicular al punto del eje medio de la membrana) y el eje de revolución

Rφ y Rθ son los radios principales de curvatura de la lámina. Ro ó r = Radio de curvatura del paralelo = Rθ . senφ θ = Angulo entre r y la horizontal definida (ξ en este caso)

φ = Angulo entre el eje de la lámina y la recta que va desde la perpendicular al elemento hasta el centro de curvatura del meridiano

Z = Cargas exteriores X = Componente del peso propio



7

Ecuación fundamental del equilibrio membranal:

Nφ

r

Q

φ

Q

Nφ

Figura 6 Figura 7-a

NθZ

Ro = r

Rθ

Rφ

Ro.dθ

Rφ . dφ

Z

Nφ . rdφ + dφ

Nθ . Rφdφ + dθ

Figura 7-bNφ . rdφ

Nθφ . R

φdφ

z

Nφ . rdφ

Nθ . Rφdφ

Figura 8-aCorte s/meridiano

dφ/2

dφ/2

Figura 8-bCorte s/paralelo

dθ/2 dθ/2+z

+z

Z

Z

Nφ

. rdφ

Nθ . Rφdφ

Nφ . rdφ + dφNθ . Rφdφ + dθ

θθ

φφ

RN

RNz +=

Esfuerzos de membrana:

Deformación del meridiano ( )θµφεφ NNeE

−⋅

=1

Deformación del paralelo ( )φµθεθ NNeE

−⋅

=1

φφ cos⋅+⋅=∆ usenwr (desplazamiento horizontal) φφ senuwh ⋅−⋅= cos (desplazamiento vertical)

( )φµθφφµθεθδ NNeE

senRoNNhE

rr −⋅

⋅=−

⋅=⋅= )(

( )

−

⋅⋅−

⋅⋅

=⋅

= φµθφφφφ

φφφ

β NNeE

RodR

ddR

dugdR

dw cot

Figura 11

fe

Rφ

rφ

φ

u

w

h

∆r



8

Consideración para los distintos casos de cargas:

Zφ

CARGA UNIFORME

φ

p

q

XX = p . cosφ . senφ

Z = p . cos²φY = 0

Zφ

PESO PROPIO

φ

q

XX = q . senφ

Z = q . cosφY = 0

q

Zφ

PRESION EXTERIOR

X = 0

Z = pY = 0

p

R

ρ

p/ membranas colgadasZ = ρ [ f - R (1 - cosφ)]

Z

φ

PRESION HIDROSTÁTICAX = 0

Z = ρ [ f + R (1 - cosφ)]Y = 0

f

R(1-cosφ)

R . cosφ

p

CARGA SUPERIORX = 0

Z = 0Y = 0

con p [kg / m]



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TABLAS MEMBRANAS



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CASCARAS El espesor de la lámina, ya no es tan pequeño y como consecuencia deben tenerse en cuenta los esfuerzos de flexión y torsión (fundamentalmente) debidos a una variación de tensiones en el espesor de la misma En éstos casos deberá analizarse la estructura mediante la teoría membranal mas la consideración de los esfuerzos de flexión, es decir que el trabajo total de deformación, por unidad de superficie, se expresará mediante la siguiente ecuación

ESTRUCTURA SOLUCION PRIMARIA SOLUCION SECUNDARIA

SOLUCION S/TEORÍAMEMBRANAL SOLUCION CON FLEXIÓN

Mφ.rdθ

Mθ.Rφdφ

Eje de revolución

A

φ

Rθ . senφ

φ

A'

∆r r

Mφ.rdθ + ∂/∂φ (Mφ.rdθ)dφ

Qφ.rdθ

Qφ.rdθ + ∂/∂φ (Qφ.rdθ)dφ

Mθ.Rφdφ

φ

Rθ . tanφ

Rθ

dθ

r

Rθ . tanφ

r.dθ = Rθ.tanφ.dεNθφ.Rφdφ

Rθ .

tanφ

Nθφ.

Rφdφ

Nθφ.Rφdφde

Figura 20-a Figura 20-b

dε

dε

dε

Cor

te

para

lelo

C

orte

m

erid

iano



18

φθφφθφφφθφθφφ

senRRpxsenRQRNsenRNdd

⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅ cos)( = 0

φθφφθφφ

φφθφθφ senRRpzsenRQddsenRNsenRN ⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ )( = 0

φφθφφθφφθφφ

cos)( ⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅ RMsenRRQsenRMdd = 0

Observando el sistema de ecuaciones anterior, podemos apreciar el grado de indeterminación interna estática de las cáscaras, donde se tienen 3 ecuaciones con 5 incógnitas: θφφθφ MyMQNN ,,, Determinación de las deformaciones: Dados los siguientes términos: − εφ : Deformación en la dirección del meridiano de la superficie media de la cáscara (θ = cte.) − εφ : Deformación en la dirección del paralelo de la superficie media de la cáscara (φ = cte.) − z: Distancia entre la fibra analizada y la sup. media del elemento cáscara (z=0 en superficie media.) − εφz y εθz : Deformación del meridiano y el paralelo respectivamente, en la dirección z. − β : Rotación de la tangente del meridiano debido a las deformaciones. Dada la figura 21:

z

Figura 21

elementosin deformar

elementodeformado

φ + β

dφ

d (φ + β)

Rθ . senφ

(Rθ + ∆Rθ - z) sen(φ + β)

z

Se muestran los siguientes cambios debidos a la deformación: φφφ RRR ∆+→ θθθ RRR ∆+→ βφφ +→

( )µσθσφεφ −=E

z 1 Deformación del meridiano

( )µσφσθεθ −⋅

=E

z 1 Deformación del paralelo

Si expresáramos las tensiones en función de las deformaciones, tendríamos:

( )zzE µεθεφµ

σφ −−

= 21

( )zzE µεφεθµ

σθ −⋅−

= 21



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Luego, las ecuaciones de las tensiones en el plano medio del elemento, se pueden escribir de la siguiente forma:

−⋅−−

−= φβ

θµ

φβ

φµεθεφ

µσφ g

Rz

dd

RzE cot

1 2

−−−

⋅−=

θβ

φµφβ

θµεφεθ

µσθ

dd

Rzg

RzE cot

1 2

Determinación de los Esfuerzos:

Figura 23

r.dθ

σφ

σθ

ez

dz

Rφ - z

Rθ - z

r.dθ / Rθ

Si tenemos en cuenta que z << Rθ (con e = t = espesor), entonces tendremos:

∫−

⋅=2/

2/

t

t

dzN σφφ

∫−

⋅=2/

2/

t

t

dzN σθθ

∫−

⋅⋅=2/

2/

t

t

dzzM σφφ

∫−

⋅⋅−=2/

2/

t

t

dzzM σθθ

zeM

eNz

DM

BNE

⋅+=

⋅+

−=

12/1 32

φφφφµ

σφ

zeM

eNz

DM

BNE

⋅−=

⋅−

−=

12/1 32

θθθθµ

σθ



20

Losas Cilíndricas (Tubos) – s/Bibliografía Belluzzi:

Figura 25-a Figura 25-b

Nθ

Nθ

θ

θ/2

ρ

ρ

θ

p

ds

R Nθ

Nθ

wR

sEN ⋅⋅

=θ Esfuerzo

Iw−=ϕ Giro IIwBM ⋅= Momento IIIwBQ ⋅= Corte Para espesor constante (s = cte) se define α:

4

2

3

24

)1(1244

µ

βα

−⋅⋅

⋅

=⋅

=sE

RsE

B

sR ⋅

−=

4 2 )1(3 µα

Si reemplazo β / B = 4α4 en la ecuación 5, entonces para s constante tendré: BpwwIV /4 4 =⋅+ α Solución homogénea: De la ecuación 6 tendremos: 04 4 =⋅+ wwIV α Integrando ésta ecuación diferencial obtenemos w, que representa los efectos provocados por fuerzas y pares radiales, uniformemente distribuidos, que actúan a lo largo de los bordes del tubo. La solución de ésta ecuación estará dada por la solución general: xcsnoeCxseneCxcsnoeCxseneCw xxxx αααα αααα ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= −− 4321 xcsnoeCxseneCw xx αα αα ⋅⋅+⋅⋅= −− 43 ϕϕ senCCyCC ⋅=⋅= 4cos3 3/443 22 CCtgyCCC =+= ϕ )( ϕαα +⋅⋅= − xseneCw x



21

Tubos largos - Coeficientes elásticos de borde: Coeficientes elásticos: )( ϕαα +⋅⋅= − xseneCw x

)4/(2 πϕαα α −+⋅⋅⋅⋅−= − xseneCw xI )2/(2 2 πϕαα α −+⋅⋅⋅= − xseneCw xII M = B . wII

)4/3(22 3 πϕαα α −+⋅⋅⋅−= − xseneCw xIII Q = B . wIII

R

s

1 m

H

H = 1

Figura 27 )2/(2 2 πϕαα α −+⋅⋅⋅⋅= − xseneCBM x 0)2/(2 2 =−+⋅⋅⋅⋅ − πϕαα α xseneCB x 2/0)2/0(12 2 πϕπϕα ==−+⋅⋅⋅⋅ luegosenCB

)4/3(22 3 πϕαα α −+⋅⋅⋅⋅−= − xseneCBQ x

)2/()2

( 3 παα

α +⋅⋅⋅

= − xseneB

HW xH Desplazamiento debido a F

R

s

1 m

M

M* = 1

Figura 28 0)4/3(22 3 =−+⋅⋅⋅⋅−= − πϕαα α xseneCBQ x

0)4/3(122 3 =−⋅⋅⋅⋅− πϕα senCB luego πϕ 4/3= *)2/(2 2 MxseneCBM x =−+⋅⋅⋅⋅= − πϕαα α

*2/12 2 MCB =⋅⋅⋅ α

)4/3()2

*2( 2 παα

α +⋅⋅⋅

⋅= − xsene

BMW x

M Desplazamiento debido a M



22

Giros

)4/()2

2( 2 παα

ϕ α +⋅⋅⋅

⋅= − xsene

BH x

H

)2/()*( παα

ϕ α +⋅⋅⋅

= − xseneB

M xM

Luego en los bordes trndremos

B

WH ⋅= 32

1α

BH ⋅

= 221

αϕ

B

WM ⋅= 22

1α

BM ⋅

=α

ϕ 1

Dado que βα =− B44 entonces:

βα2

=HW βαϕ

22=H

βα 22

=MW βαϕ

34=M donde HMW ϕ=

Ejemplo genérico de aplicación Nº1: Dado un tubo cilíndrico vertical de la siguiente figura, el cual está lleno de agua hasta el borde superior abierto y libre. Estúdiese la parte superior del mismo.

x

λ

h > λs

R

γ

FIGURA 29 Se recuerda que la solución general será la suma de la particular mas la homogénea. Luego w = S particular + S homogénea

)(2

ϕαα +⋅⋅+⋅

⋅= − xseneCsE

Rpw x con p = γ . x

)()(2

ϕαγ α +⋅⋅+⋅

⋅⋅= − xseneCsE

Rxw x

Se plantean las condiciones de borde, donde x = 0, M = 0, Q = 0, y las derivadas 2º y 3º de w = 0: 0)2/(2 2 =−+⋅⋅⋅= − πϕαα α xseneCw xII 0)4/2( =−⋅ πϕsenC

0)4/3(22 3 =−+⋅⋅⋅−= − πϕαα α xseneCw xIII 0)4/3( =−⋅ πϕsenC De estas condiciones se deduce que C = 0, entonces:



23

xsE

Rw ⋅⋅

⋅=2

γ Es decir que la solución está dada solamente por la particular.

Esto es lógico ya que no hay influencia alguna de las acciones de borde y se asemeja a una solución de tipo membranal. Ejemplo genérico de aplicación Nº2: Dado el cilindro de la figura 29, se propone la resolución del mismo, pero esta vez el depósito tendrá una tapa en el borde, a la cual se le despreciará la rigidez flexional.

x

λ

h > λs

R

γ

FIGURA 30 Se recuerda que la solución general será la suma de la particular mas la homogénea. Luego w = S particular + S homogénea

)(2

ϕαα +⋅⋅+⋅

⋅= − xseneCsE

Rpw x

Se plantean las condiciones de borde, donde x = 0, M = 0, y w = 0: 0)2/(2 2 =−+⋅⋅⋅= − πϕαα α xseneCw xII 0)4/2( =−⋅ πϕsenC 2/πϕ =

0)4/3(22 3 =−+⋅⋅⋅−= − πϕαα α xseneCw xIII 02

=⋅

⋅+sE

RpC sE

RpC⋅

⋅−=2

[ ])2/(12

παα +⋅−+⋅

⋅= − xsenesE

Rpw x

Esta es la ecuación que abarca la solución particular más la homogénea. En el caso de tubos cortos es posible utilizar estas soluciones con una modificación contemplada por una corrección que en todo caso son menores que 1debido a que la acción del borde opuesto lo hace mucho mas rígido que un tubo de longitud ∞, solamente cuando αL = π ó L = λ/2



24

Losas NO Cilíndricas Metodo de losa esférica equivalente

Luego tendremos:

csenH ϕβαξ 22

⋅⋅

=

csenHm ϕβαϕξ ⋅

⋅==

22

βαϕ

34 ⋅=m

Ejemplos de utilización de losas equivalentes: 1- Dada la siguiente estructura de forma cónica, se aproximará a la misma con una losa esférica equivalente

rc = 12 m t = 15 cm Øc = 30º

Se tiene que R = rc / sen Ø = 12/0.5 = 24.00m E = 200000 kg/cm2 y µ = 0 Se donde s/Beluzzi α = 0.006936 β = 0.5208



25

Luego los coeficientes serán: %97.0006724.0006659.0 estimadoerrorexactovalorH =ξ %12.200009437.000009237.0 estimadoerrorexactovalormH == ξϕ %23.1000002595.0000002563.0 estimadoerrorexactovalorm =ϕ 2- Dada la siguiente estructura de forma troncocónica, típica de el fondo de un depósito tipo Intze, se aproximará a la misma con una losa esférica equivalente

re = 9.00 m ri = 6.00 m t = 40 cm Øc = 50º

En el borde superior Se tiene que Re = re / sen Ø = 9/0.766 = 11.75m E = 200000 kg/cm2 y µ = 0 Se donde s/Beluzzi α = 0.006070 β = 5.794 Luego los coeficientes elásticos serán: %33.0001226.0001230.0 estimadoerrorexactovalorH =ξ %30.2000009972.0000009743.0 estimadoerrorexactovalormH == ξϕ %65.20000001586.00000001544.0 estimadoerrorexactovalorm =ϕ En el borde inferior Se tiene que Ri = ri / sen Ø = 6/0.766 = 7.83m E = 200000 kg/cm2 y µ = 0 Se donde s/Beluzzi α = 0.007436 β = 13.05 Luego los coeficientes elásticos serán: %30.00006667.00006687.0 estimadoerrorexactovalorH =ξ %49.4000006213.0000006492.0 estimadoerrorexactovalormH == ξϕ %96.30000001212.00000001260.0 estimadoerrorexactovalorm =ϕ con



26

1001 ⋅

−=

cálculovalorexactovalorestimadoerror

Factores F y F(ξ) según Baker, Kovalevsky y Rish para tubos cortos La misma puede darse mediante las siguientes expresiones trigonométricas y funciones hiperbólicas: ξξ kLkL coscosh ⋅ ξξ kLkLsenh cos⋅ ξξ kLsenkL ⋅cosh ξξ kLsenkLsenh ⋅ Mediante las expresiones anteriores se pueden obtener numerosas combinaciones que involucran a los factores Fi y Fi(ξ) que figuran en las planillas para el cálculo de las deformaciones y solicitaciones de las cáscaras. Las mismas se detallan en la siguiente tabla:

i Fi(ξ) Fi

1 ξξ kLsenkLsenh 22 − kLsenkLsenh 22 −

2 ξξ kLsenkLsenh 22 + kLsenkLsenh 22 +

3 ξξξξ kLkLsenkLkLsenh coshcosh ⋅+⋅ kLkLsenkLkLsenh coscosh ⋅+⋅

4 ξξξξ kLkLsenkLkLsenh coshcosh ⋅−⋅ kLkLsenkLkLsenh coscosh ⋅−⋅

5 ξkLsen 2 kLsen 2

6 ξkLsenh2 kLsenh2

7 ξξ kLkL coscosh ⋅ kLkL coscosh ⋅

8 ξξ senkLkLsenh ⋅ senkLkLsenh ⋅

9 ξξξξ kLkLsenhsenkLkL coscosh ⋅−⋅ kLkLsenhsenkLkL coscosh ⋅−⋅

10 ξξξξ kLkLsenhsenkLkL coscosh ⋅+⋅ kLkLsenhsenkLkL coscosh ⋅+⋅

11 ξξ kLkLsen cos⋅ kLkLsen cos⋅

12 ξξ kLkLsenh cosh⋅ kLkLsenh cosh⋅

13 ξξξξ senkLkLsenhkLkL ⋅−⋅ coscosh senkLkLsenhkLkL ⋅−⋅ coscosh

14 ξξξξ senkLkLsenhkLkL ⋅+⋅ coscosh senkLkLsenhkLkL ⋅+⋅ coscosh

15 ξξ senkLkL ⋅cosh senkLkL ⋅cosh

16 ξξ kLkLsenh cos⋅ kLkLsenh cos⋅

17 )cosexp( ξξ kLkL ⋅− )cosexp( kLkL ⋅−

18 )exp( ξξ senkLkL ⋅− )exp( senkLkL ⋅−

19 [ ])(cosexp ξξξ senkLkLkL +⋅− [ ])(cosexp senkLkLkL +⋅−

20 [ ])(cosexp ξξξ senkLkLkL −⋅− [ ])(cosexp senkLkLkL −⋅−



27

Donde η = k.L ó η = k.Lξ

k = Rt

k4 2 )1(3 µ−

= (α para el Belluzzi) y Lx

=ξ

Comentarios importantes: Se destaca, que el valor de k establecido anteriormente, solamente será igual al α del Belluzzi, si se trata del estudio de cilindoros ó cúpula semiesférica, el valor de k, adopta la siguiente expresión:

( )4 22

13 µ−⋅⋅

=

tRk

Esta expresión sería la análoga a la utilizada por Belluzzi, identificada por la letra γ donde:

( ) RdecirestR

⋅=⋅−⋅= αγµγ 4 213

Esta particularidad, se describe perfectamente en el libro del ing. Belluzzi (pag 388 de la Ciencia de la Construcción – Tomo III). Se establece que cuando actúan fuerzas y pares en los cilindros, las franjas paralelas ejercen un efecto de zunchado sobre los meridianos impidiendo su deformación, originando lo que conocemos como perturbaciones. En los cilindros éste fenómeno es máximo, pero no así en el caso de las cúpulas, donde a medida que la cúpula es mas rebajada, el efecto de zunchado ejercisdo por los paralelos va desapareciendo. Por lo tanto las soluciones con la consideración de α (s/Belluzzi) = k (s/B-K-R), solo serán válidas cuando el angulo φ de la cúpula es 90º (semiesférica). Por lo tanto, desarrollando el sistema de ecuaciones de la solución de Geckeler. la integral general del esfuerzo cortante (T) para el caso de las cúpulas ó calotas será: Cupulas abiertas γθγθγθγθ γθγθγθγθ cos4sin3cos2sin1 ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= −− eCeCeCeCT Cupulas cerradas γθγθ γθγθ cos2sin1 ⋅⋅+⋅⋅= eCeCT Se tendrá además que las diversas solicitaciones, en el caso de las cúpulas, se amortiguarán de modo oscilatorio con una longitud de onda angular λ’ definida por γ.λ’ = 2.π, de donde:

( ) Rt

Rt

⋅≈⋅−⋅

⋅=

⋅= 83.4

1322'

4 2µπ

γπλ

Se aclara que el k, variará tambien según se trate de un cono o un troncocono (pagina 85 y pagina 89 respectivamente)



28

TABLAS CASCARAS



29

TABLAS PARA CALCULO DE eo



30



31



32



33



34



35



36



37



38



39



40

RECORDAR

i Fi(ξ) Fi

1 ξξ kLsenkLsenh 22 − kLsenkLsenh 22 −

2 ξξ kLsenkLsenh 22 + kLsenkLsenh 22 +

3 ξξξξ kLkLsenkLkLsenh coshcosh ⋅+⋅ kLkLsenkLkLsenh coscosh ⋅+⋅

4 ξξξξ kLkLsenkLkLsenh coshcosh ⋅−⋅ kLkLsenkLkLsenh coscosh ⋅−⋅

5 ξkLsen 2 kLsen 2

6 ξkLsenh2 kLsenh2

7 ξξ kLkL coscosh ⋅ kLkL coscosh ⋅

8 ξξ senkLkLsenh ⋅ senkLkLsenh ⋅

9 ξξξξ kLkLsenhsenkLkL coscosh ⋅−⋅ kLkLsenhsenkLkL coscosh ⋅−⋅

10 ξξξξ kLkLsenhsenkLkL coscosh ⋅+⋅ kLkLsenhsenkLkL coscosh ⋅+⋅

11 ξξ kLkLsen cos⋅ kLkLsen cos⋅

12 ξξ kLkLsenh cosh⋅ kLkLsenh cosh⋅

13 ξξξξ senkLkLsenhkLkL ⋅−⋅ coscosh senkLkLsenhkLkL ⋅−⋅ coscosh

14 ξξξξ senkLkLsenhkLkL ⋅+⋅ coscosh senkLkLsenhkLkL ⋅+⋅ coscosh

15 ξξ senkLkL ⋅cosh senkLkL ⋅cosh

16 ξξ kLkLsenh cos⋅ kLkLsenh cos⋅

17 )cosexp( ξξ kLkL ⋅− )cosexp( kLkL ⋅−

18 )exp( ξξ senkLkL ⋅− )exp( senkLkL ⋅−

19 [ ])(cosexp ξξξ senkLkLkL +⋅− [ ])(cosexp senkLkLkL +⋅−

20 [ ])(cosexp ξξξ senkLkLkL −⋅− [ ])(cosexp senkLkLkL −⋅−



41



42



43



44



45



46



47



48

TABLAS PARA CALCULO DE LAS FLEXIBILIDADES



49



50



51



52



53

SILOS Los silos son depósitos destinados a almacenar y conservar materiales:

De gran sección: En los que las dimensiones de la planta son grandes con respecto a su altura

Celulares: Formados por una serie de depósitos de pequeña sección. Presión del material: 1- La presión del grano sobre las paredes del silo y el fondo de una celda de un silo sigue una ley de presiones de un semifluido, que difiere de la ley de presiones de los líquidos de acuerdo a un factor. 2- La presión lateral de los granos sobre las paredes es de 0.3 a 0.6 de la presión vertical, y aumenta muy poco cuando la profundidad llega a valer 2.5 a 3.0 veces el lado ó diámetro de la celda. 3- La relación que existe entre la presión lateral y la presión vertical varían según el material ensilado y la forma de la celda. 4- La presión de los granos en reposo es algo menor que la de los granos en movimiento. El aumento máximo en condiciones corrientes es de un 10%. 5- Los orificios de salida deben ubicarse en el centro de las celdas ó próximos a éstas. 6- Si el orificio está situado en una pared de la celda, la presión lateral del grano en movimiento es menor cerca de éste y aumentará en la pared opuesta, pudiendo alcanzar valores de 2 a 4 veces más a la presión del grano en reposo. 7- Las estructuras de unión entre paredes opuestas de las celdas, disminuyen la velocidad de salida y alteran muy poco la presión. 8- La presión lateral alcanza su máximo durante el llenado, siendo mayor cuando la celda se llena rápidamente que cuando se llena lentamente. 9- Las presiones en el fondo son mayores cuando el llenado es lento, en forma de lluvia. La diferencia puede llegar a ser del 50% respecto a un llenado rápido, en forma de chorros. 10- Las presiones unitarias determinadas sobre pequeñas superficies, corresponden con bastante exactitud a las presiones unitarias sobre grandes superficies. 11- La cantidad de granos que sale por un orificio, es independiente de la presión. Es constante y sensiblemente proporcional el cubo del diámetro del orificio. SILOS DE GRAN SECCION γ = Densidad aparente del material ϕ = Angulo del talud natural del material ρ = Angulo de rozamiento del material con la pared del silo. Presión en las paredes del silo

Presión htghp ⋅=

−⋅⋅= αϕπγ

242

Empuje htghE ⋅⋅=

−⋅⋅⋅= αϕπγ

21

2421 22



54

Presión en el fondo inclinado

α

α

Luego la presión normal al fondo en dicho punto será: αα 22 cos⋅+⋅= vasenpaNB αα 22 cos⋅+⋅= vbsenpbNA SILOS CELULARES

−⋅⋅=

2411 2 ϕπγ tghph

Donde:

−⋅

=

24

1ϕπtg

ah ( 1 )

Con a = Lado de la celda (planta cuadrada) a = Lado menor de la celda (planta rectangular) a = Diámetro de la celda (planta circular) a = Diámetro inscripto de la celda (planta poligonal) Para valores mayores a h1 de profundidad, la presión varía de una manera distinta, la cual calcularemos a continuación.

En éste tipo de silos se tendrá entonces 3 presiones a las cuales llamaremos: q : Presión lateral que actúa en la superficie de la sección del silo p : Presión lateral que actúa en las paredes del silo t : Presión de rozamiento del material, contra las paredes del silo donde t = p . tgρ en la que tgρ = µ (con ρ = ángulo de rozamiento)



55

- La carga vertical es q.F, siendo q = γ . h - La carga vertical del elemento es γ . dh . F = dq . F - La reacción que se opone al descenso = (q + dq) . F - La reacción del rozamiento entre material y pared = p . dh . L . tgρ - La presión sobre las paredes en la superficie de la celda = p . dh . L Luego si planteamos el equilibrio, tendremos:

( ) FdhFqtgLdhpFdqq ⋅⋅+⋅=⋅⋅⋅+⋅+ γρ

−⋅=

242 ϕπtgqp

Reemplazando p, en la anterior tendremos:

⋅⋅

−⋅−⋅= ρϕπγ tg

FLtgqdhdq

242

Si llamamos ρϕπ tgFLtgz ⋅⋅

−=

242 [ ]qzdhdq −⋅= γ

Tendremos entonces: 0=−+ γqzdhdq Resolviendo la ecuación diferencial tendremos:

qz

dqdh−

=γ

en la que ( ) cqzz

h +−⋅−= γln1

( )

−⋅−=

−⋅−=⋅+−⋅−=

γγγγγ qz

zqz

zzqz

zh 1ln1ln1ln1ln1

Aplicando el antilogaritmo a la expresión anterior tendremos: γdqe hz −=− 1

( )

−=−= −

zhzh

eze

zq 111 γγ Ley de variación vertical de presiones

−

⋅⋅

= zhetgLFp 11ρ

γ Ley de variación horizontal de presiones

Claro está que tanto p como q aumentan con la profundad h. Luego para h ∞ tendremos:

z

q γ=max

ρ

γtgLFp

⋅⋅

=max

ρ



56

Ejemplo 1, dado los siguientes datos (considerando h1=lado célula): Lado 4 mArea celda 16 m2Perímetro de celda 16 mγ material 1600 kg/m3ρ (angulo de rozamiento) 35 ºϕ (angulo de friccion interna) 28 ºz (según ecuación 3) 0.25279837 tg ρ = 0.70ϕ / 2 = 14π / 2 = 45tg2 (π/2 - ϕ/2) = 0.36 h 1 = 2.40 m



57

Ejemplo 2, dado los siguientes datos, (ejemplo 1 con una disminución del el ángulo de rozamiento): Lado 4 mArea celda 16 m2Perímetro de celda 16 mγ material 1600 kg/m3ρ (angulo de rozamiento) 25 ºϕ (angulo de friccion interna) 28 ºz (según ecuación 3) 0.16835268 tg ρ = 0.47ϕ / 2 = 14π / 2 = 45tg2 (π/2 - ϕ/2) = 0.36 h 1 = 2.40 m



58

Ejemplo 3, dado los siguientes datos, (ejemplo 1 con una disminución del el ángulo de fricc. Int.): Lado 4 mArea celda 16 m2Perímetro de celda 16 mγ material 1600 kg/m3ρ (angulo de rozamiento) 35 ºϕ (angulo de friccion interna) 20 ºz (según ecuación 3) 0.34330517 tg ρ = 0.70ϕ / 2 = 10π / 2 = 45tg2 (π/2 - ϕ/2) = 0.49 h 1 = 2.80 m



59

Casos de cargas decisivos En general se presentan las máximas cargas para los casos indicados en la siguiente tabla, no obstante deben tenerse en cuenta aquellos fenómenos que aumenten ó disminuyan las mismas.

Carga Material granular Material pulverulentoPorfundidad finita Porfundidad infinita Porfundidad finita Porfundidad infinita

Carga Vertical Llenado Llenado Llenado LlenadoCarga Horizontal Vaciado Vaciado Vaciado Vaciado=LlenadoCarga de Rozamiento Vaciado Vaciado=Llenado Vaciado Vaciado=Llenado

Cargas a profundidad infinita: A profundidad infinita, las cargas alcanzan los valores máximos: Para llenado:

llL

Fpµ

γ⋅⋅

=max

kllllL

Fq⋅⋅

⋅=

µγmax

LFt ⋅

=γmax

Para vaciado:

vL

Fpµ

γ⋅⋅

=max

kvvL

Fq⋅⋅

⋅=

µγmax

LFt ⋅

=γmax

Cargas a profundidad finita: El aumento de la carga, con la profundidad z, sigue una variación en función de e, donde:

Φ⋅= max)( pzp donde

−=Φ

−zoz

e1

Donde para llenado:

kllllL

Fzo⋅⋅

=µ

Donde para vaciado:

kvvL

Fzo⋅⋅

=µ

La siguiente tabla da los valores de Φ en función de z/zo, que :

z/zo 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.0 0.00 0.10 0.18 0.26 0.33 0.39 0.45 0.50 0.55 0.591.0 0.63 0.67 0.70 0.73 0.75 0.78 0.80 0.82 0.83 0.852.0 0.86 0.88 0.89 0.90 0.91 0.92 0.93 0.93 0.94 0.943.0 0.95 0.96 0.96 0.96 0.97 0.97 0.97 0.98 0.98 0.98



60

Ejemplo práctico: Se desea dimensionar un silo para cereal (granos >0.2mm), de sección circular, cuyos datos son: Hormigón H-17 Acero ADN 420 h = 25m (altura del silo) d = 10m (diámetro del silo) γ = 0.85 t/m3 (peso específico del material) ϕ = 25º (ángulo de fricción interna del material) Recordando las presiones p, q, y t, podemos enunciar:

µ

γ⋅⋅

=L

Fp max s/DIN (tabla 1) ϕρϕρ

60.0:75.0:

==

vaciadoparallenadopara

kL

Fq⋅⋅

⋅=

µγmax se adopta

0.1:5.0:

==

kvaciadoparakllenadopara

LFt ⋅

=γmax

Sabiendo que : F/L = Radio hidráulico = 2.50 m tg (0.75 ϕ) = 0.339 tg (0.60 ϕ) = 0.267 Analizando las expresiones para el caso de llenado:

2/27.6339.0

5.285.0max mtp =⋅

=

2/54.12339.05.0

5.285.0max mtq =⋅

⋅=

2/13.25.285.0max mtt =⋅= Analizando las expresiones para el caso de vaciado:

2/96.7267.0

5.285.0max mtp =⋅

=

2/96.7267.01

5.285.0max mtq =⋅

⋅=

2/13.25.285.0max mtt =⋅=

Recordando que µ⋅⋅

=LkFzo tendremos:

Para llenado: Zoll= 14.7 m Para vaciado: Zov= 9.4 m



61

Z llenado vaciadoZi/Zoll Φll pll qll Zi/Zov Φv pv qv

1 0.07 0.07 0.41 0.82 0.11 0.10 0.80 0.802 0.14 0.13 0.80 1.60 0.21 0.19 1.53 1.533 0.20 0.18 1.16 2.31 0.32 0.27 2.17 2.174 0.27 0.24 1.49 2.99 0.43 0.35 2.76 2.765 0.34 0.29 1.81 3.62 0.53 0.41 3.28 3.286 0.41 0.34 2.10 4.20 0.64 0.47 3.76 3.767 0.48 0.38 2.38 4.75 0.74 0.53 4.18 4.188 0.54 0.42 2.63 5.26 0.85 0.57 4.56 4.569 0.61 0.46 2.87 5.74 0.96 0.62 4.90 4.90

10 0.68 0.49 3.09 6.19 1.06 0.65 5.21 5.2111 0.75 0.53 3.30 6.61 1.17 0.69 5.49 5.4912 0.82 0.56 3.50 7.00 1.28 0.72 5.74 5.7413 0.88 0.59 3.68 7.36 1.38 0.75 5.96 5.9614 0.95 0.61 3.85 7.70 1.49 0.77 6.16 6.1615 1.02 0.64 4.01 8.02 1.60 0.80 6.35 6.3516 1.09 0.66 4.16 8.32 1.70 0.82 6.51 6.5117 1.16 0.69 4.30 8.59 1.81 0.84 6.66 6.6618 1.22 0.71 4.43 8.85 1.91 0.85 6.79 6.7919 1.29 0.73 4.55 9.10 2.02 0.87 6.91 6.9120 1.36 0.74 4.66 9.32 2.13 0.88 7.01 7.0121 1.43 0.76 4.77 9.53 2.23 0.89 7.11 7.1122 1.50 0.78 4.87 9.73 2.34 0.90 7.19 7.1923 1.56 0.79 4.96 9.92 2.45 0.91 7.27 7.2724 1.63 0.80 5.04 10.09 2.55 0.92 7.34 7.3425 1.70 0.82 5.13 10.25 2.66 0.93 7.40 7.40



62

Dimensionado de la tolva Se dimensiona la tolva, considerando el peso propio y el material ensilado, manteniendo la misma ley de variación de presiones que viene desde el cilindro. Se despreciarán los pesos de las partes metálicas de la boquilla. Se considerará el mismo espesor que el utilizado en el cilindro. Teniendo en cuenta la ley de presiones obtenidas anteriormente (en el calculo del cilindro del silo) y recordando la expresión αα 22 cos⋅+⋅= qsenppn , podemos determinar las acciones sobre la tolva, punto a punto. Dividiremos la tolva en 4 partes:

φ φ

A su vez sabemos que pnRN

RNz =+=

φθ

θφ donde

φφθ

senrcRR

/=∞→

En este caso φ = α = 45º, Entonces φθ RpnN ⋅= .

Se tendrá además: φπ

φsenr

QN⋅

=2

donde

esnsiladomaterialdelPesotolvaladepropioPeso

Q

Según la planilla que se adjunta, se tuvieron en cuenta todas las consideraciones indicadas:

Z llenado vaciadoZi/Zoll Φll pll qll Zi/Zov Φv pv qv

25.8 1.75 0.83 5.18 10.36 2.74 0.94 7.45 7.4526.5 1.80 0.84 5.24 10.47 2.82 0.94 7.49 7.4927.3 1.85 0.84 5.29 10.58 2.90 0.94 7.52 7.5228.0 1.90 0.85 5.34 10.67 2.98 0.95 7.56 7.56

Consecuentemente, se toman los máximos de p y q, teniendo en cuenta además, el peso propio de la tolva en cada sector analizado



63

Calculo de los Nθ Masa ensilada Ppio espesor pared 0.20 m

Z pn Z Area Rm Perím Vol ppio ppn ppn pn tot rci Nθmax faja tn tn tn/m2 tn/m2 m tn/m

25.8 8.90 25.8 0.21 4.63 29.06 6.16 14.79 10.45 0.36 9.26 4.25 55.726.5 8.98 26.5 0.21 3.88 24.35 5.16 12.39 8.76 0.36 9.34 3.50 46.227.3 9.05 27.3 0.21 3.13 19.63 4.16 9.99 7.06 0.36 9.41 2.75 36.628.0 9.11 28.0 0.21 2.38 14.92 3.16 7.59 5.37 0.36 9.47 2.00 26.8

tot 44.76 tn Calculo de los Nφ Masa ensilada Ppio espesor pared 0.20 m

Z qll Z Area Rm Perím Vol ppio ppn ppn Q rci Nφmax faja tn tn tn/m2 tn m tn/m

25.8 10.36 25.8 0.21 4.63 29.06 6.16 14.79 10.45 0.36 86.84 4.25 4.626.5 10.47 26.5 0.21 3.88 24.35 5.16 12.39 8.76 0.36 61.69 3.50 4.027.3 10.58 27.3 0.21 3.13 19.63 4.16 9.99 7.06 0.36 38.83 2.75 3.228.0 10.67 28.0 0.21 2.38 14.92 3.16 7.59 5.37 0.36 18.27 2.00 2.1

tot 44.76 tn Armadura anular (s/ Nθ)

Se tiene que: AbTbk =σ Luego cmcm

cmkgcmkg

bkTAb /28.32

2/17/557

===σ

Si adopto un espesor de 20cm de pared, tendré:

bkcmkgcm

cmkgb σσ >== 2/8.2720

2/557

Como opción queda, adoptar un espesor mayor ó ejecutar la tolva con un hormigón de mejor calidad. Luego, asumiendo correcto los resultados obtenidos, se propone una distribución de armadura anular:

mcmcmkg

mkge

NAs /22.232/2400

/55700===

σ adoptando 2 Ø 16 / 8cm (1 en c/cara)



64

PLEGADAS

β

β

βα

Los momentos flectores transversales en los pliegues y en el centro del tramo entre pliegues para una faja unitaria de placa, estan dados por la siguiente expresión:

24)cos(2;

12)cos(1

22 awMawM ⋅⋅+=

⋅⋅−=

αα

Los esfuerzos correspondientes, en una placa homogénea con un módulo de sección S = 1 x t2/6, se convierte en:

2

2

2

2)cos(

)6/(12)cos(,1

⋅

⋅−=

⋅⋅−=

taw

tawyf αα

2

4)cos(,2

⋅

⋅+=

tawyf α

α

α

α

α



65

Cuando las losas no son iguales, como se muestra en la figura 63, todos los pliegues interiores se flexionan igualmente, pero también giran para conservar el ángulo β entre las losas de diferente ancho.

βα

βα

Por lo tanto, las losas se comportan transversalmente, como viga continua (figura 64):

α α α

Luego, si 1 / EJ es constante y recordando la ecuación de continuidad para el caso de vigas continuas, tendremos:

⋅+⋅⋅−=⋅⋅+⋅⋅ 2

212

2411

211)cos(

241 33 aMawaMaw α

De la cual:

)2/1(1cos)2/1(1

122 32

aaaaawM

+⋅+

⋅⋅

−=α

El momento flector transversal de las losas, transmite a los pliegues de la losa, las reacciones R debidas a la componente normal pn = w . a . cosα de la carga actuando sobre la losa, mientras que la componente tangencial pt, de la carga pt = w . a . senα se transmite a los pliegues por esfuerzo directo a lo largo de la losa (figura 65).

α

α

α



66

Por lo tanto, los pliegues soportan la carga total p = w . a por unidad de longitud. Esta carga total p se divide, en los pliegues, en dos componentes paralelos a la losa que se transmiten a los apoyos extremos mediante la acción de viga longitudinal de cada losa (figura 66).

α

α

α

Luego, cada losa actúa longitudinalmente como una viga de longitud l, peralte h = a . senα y ancho b = t / senα, con un momento de inercia de:

( ) ααα

2333

121

121

121 senatsena

senthbJ ⋅⋅⋅=⋅⋅

⋅=⋅⋅= ( 6 )

Modulo de sección: αα

α senatsena

senath

JS ⋅⋅⋅=⋅

⋅⋅⋅== 2

23

61

2/)(12/1

2/ ( 7 )

Bajo una carga uniforme p = w . a [kg / m] Por lo general las placas plegadas son apoyadas en sus extremos por medio de atiesadores, los cuales son rígidos verticalmente y flexibles en el sentido horizontal, por lo tanto, las losas actúan de manera longitudinal, como vigas simplemente apoyadas. Su momento máximo es de p . l2 / 8 = w.a.l2 / 8, y el esfuerzo máximo en una losa isotrópica, se convierte en:

αα senat

lwsenat

lawSlpfx

⋅⋅⋅

⋅=⋅⋅

⋅⋅=

⋅=

2

2

22

43

6/8/8/max,

wht

lfx ⋅⋅

⋅=2

43max, ( 8 )

Cuando las placas son continuas en la dirección longitudinal, sus momentos flectores longitudinales son los que corresponden a una viga continua sobre apoyos rígidos con un momento de inercia igual al de la sección transversal de la placa plegada. Ejemplo: Determinar el esfuerzo longitudinal máximo fx,max, debido a la carga muerta w en una placa plegada homogénea de sección transversal de la siguiente figura:

αα



67

La placa tiene 2 tramos de longitud l y está apoyada sobre 3 atiesadores que son flexibles horizontalmente. La carga por unidad de longitud de la placa es p = w (a1+a2). El momento máximo en la viga continua ocurre sobre el apoyo central y es igual a – p.l2 / 8. El momento de inercia de la viga y el modulo de sección, respectivamente, serán:

+⋅

⋅=⋅⋅+

⋅⋅

⋅⋅=

312

4121

22

212

23

2 aahthsen

thtaJα

+⋅

⋅==

312

22/aaht

hJS

El esfuerzo longitudinal máximo en una placa homogénea es, de este modo:

wht

laa

aaaaht

laawfx ⋅

⋅

⋅

++

⋅±=+⋅⋅

⋅+⋅±=

22

3/1212

41

2/)3/12(8/)21(max,

Análogamente, con 222 )1/(11/1cos ahaha −=−=α , el momento transversal máximo (ecuación 5), da el esfuerzo flexionante máximo:

6

/)2/1(1cos)2/1(1

122max,

232 taa

aaawfy+

⋅+⋅

⋅±=

α

wt

aaa

ahaafy ⋅

⋅

+⋅−⋅+

±=223 2

)2/11(2)1/(1)2/1(1

max,

Luego se tendrá que para ahaaaa ===⋅= ,º45,2,21 α , fx,max y fy,max dan:

wta

alw

atlw

atlfx ⋅

⋅

⋅±=⋅

⋅⋅±=⋅

⋅

⋅

++

⋅±=222

410.0410.03/21

2141max,

wtaw

tafy ⋅

⋅±=⋅

⋅

+⋅⋅+

±=223

622.0)22(2

2/2)2(1max,

Las losas exteriores próximas a los bordes longitudinales, se flexionan más que las losas interiores, y puede obtenerse en cálculo exacto de la carga transmitida a sus pliegues, considerando que las fajas unitarias transversales están apoyadas, sobre apoyos elásticos que sobre apoyos rígidos. Para igualar las deflexiones y, por lo tanto, la carga soportada por las losas, a menudo las exteriores, se rigidizan mediante vigas verticales o losas, según se esquematiza en las siguientes figuras:



68

La acción flexionante transversal en un sentido, en las losas, esta basada en el hecho de que l / a>>1. Por otro lado las losas, generalmente, se empotran en los atiesadores extremos, de modo que en una pequeña área próxima a los mismos, la losa desarrolla también momentos flectores locales, en ángulos rectos a sus lados cortos. El valor máximo de este momento es el valor del momento negativo en la mitad del lado corto a de una placa rectangular de lados l y a, con l >>, empotrada en todos los bordes, y soporta una carga uniforme w . cosα . Según tabla, este valor es: 2)cos(057.0 awMy ⋅⋅−= α Y el esfuerzo correspondiente en una placa homogénea es:

2

)cos(343.0)(

⋅⋅±=

tawflexionfy α

Tablas: Deflexiones y momentos máximos para distintas configuraciones de placas

rectangulares cargadas uniformemente

PLACA SIMPLEMENTE APOYADA EN SUS 4 BORDESb/a δmax Mx,max My,max Vx,max Vy,max Rx,max Ry,max

=d.w.a4/E.h3 =mx.w.a2 =my.w.a2 =vx.w.a =vy.w.a =rx.w.a =ry.w.a1.0 0.0490 0.0479 0.0479 0.3380 0.3380 0.4200 0.42001.1 0.0580 0.0554 0.0493 0.3600 0.3470 0.4400 0.44001.2 0.0680 0.0627 0.0501 0.3800 0.3530 0.4550 0.45301.3 0.0770 0.0694 0.0503 0.3970 0.3570 0.4680 0.46401.4 0.0850 0.0755 0.0502 0.4110 0.3610 0.4780 0.47101.5 0.0930 0.0812 0.0498 0.4240 0.3630 0.4860 0.48002.0 0.1220 0.1017 0.0464 0.4650 0.3700 0.5030 0.49603.0 0.1470 0.1189 0.0406 0.4930 0.3720 0.5050 0.4980∞ 0.1560 0.1250 0.0375 0.5000 0.3720 0.5000 0.5000

PLACA EMPOTRADA EN SUS 4 BORDESb/a δmax +Mx,max +My,max -Mx,max -My,max

=d.w.a4/E.h3 =mx.w.a2 =my.w.a2 =mx.w.a2 =my.w.a2

1.0 0.00138 0.0231 0.0231 -0.0513 -0.05131.1 0.00165 0.0264 0.0231 -0.0581 -0.05381.2 0.00189 0.0299 0.0228 -0.0639 -0.05541.3 0.00210 0.0327 0.0222 -0.0687 -0.05631.4 0.00228 0.0349 0.0212 -0.0726 -0.05861.5 0.00242 0.0368 0.0203 -0.0757 -0.05702.0 0.00279 0.0412 0.0158 -0.0829 -0.0571∞ 0.00286 0.0417 0.0125 -0.0833 -0.0571

PLACA 2 LADOS LARGOS (b) SIMPLEMENTE APOYADOS Y 2 LADOS CORTOS (a) EMPOTRADOSb/a δmax +Mx,max +My,max -My,max

=d.w.a4/E.h3 =mx.w.a2 =my.w.a2 =my.w.a2

1.0 0.0210 0.0244 0.0332 -0.06971.1 0.0275 0.0307 0.0371 -0.07871.2 0.0350 0.0376 0.0400 -0.08681.3 0.0426 0.0446 0.0426 -0.09381.4 0.0505 0.0514 0.0448 -0.09981.5 0.0583 0.0585 0.0460 -0.10492.0 0.0925 0.0869 0.0474 -0.1191∞ 0.1430 0.0125 0.0375 -0.1250

PLACA 2 LADOS ADYACENTES SIMPLEMENTE APOYADOS Y LOS OPUESTOS EMPOTRADOSb/a +Mx,max -Mx,max +My,max -My,max

=mx.w.a2 =mx.w.a2 =my.w.a2 =my.w.a2

1.0 0.0281 -0.0678 0.0281 -0.06781.1 0.0330 -0.0766 0.0283 -0.07091.2 0.0376 -0.0845 0.0279 -0.07361.3 0.0416 -0.0915 0.0270 -0.07541.4 0.0451 -0.0975 0.0260 -0.07651.5 0.0481 -0.1028 0.0248 -0.07722.0 0.0574 -0.1180 0.0191 -0.0787∞ 0.0703 -0.1250 -- --

ANALISIS ESTRUCTURAL III APUNTE REDUCIDO DE USO …

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