Analisis Estructural - Godiño Poma

Indice

PROLOGO Capitulo I : ANLISIS ESTRUCTURAL - FUNDAMENTOS TERICOS

1.1 Conceptos bsicos 4

1.2 Exigencias bsicas de las Estructuras. 17

1.3 Clasificacin de Estructuras. 19

1.4 Cargas Estructurales 22

1.5 Equilibrio De Estructuras 26

1.6 Armaduras Espaciales Y Planas 30

Capitulo II: ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN ESTRUCTURAS

2.1 Flexin 35

2.2 Cortante. 42

Capitulo III: MTODO DE LA RIGIDEZ EN LA SOLUCIN DE ESTRUCTURAS.

3.1 Consideraciones Bsicas Del Mtodo. 47

3.2 Problemas Rigidez Lateral Mtodo Compatibilidad. 55

Capitulo IV: IV ARMADURAS PLANAS Y ESPACIALES 4.1 Ensamble de la matriz global para el calculo de esfuerzos 94 4.2 Anlisis de armaduras con incremento de esfuerzos por

efectos de temperatura 102 4.3 Anlisis De Armaduras Con Un Desplazamiento Especifico

Conocido 106

4.4 Anlisis De Armadura Bidimensional Por El Sap-2000 125

4.5 Anlisis De Armadura Tridimencional Por El Sap-2000. 146

Capitulo V: MARCOS Y PRTICOS PLANOS, O ELEMENTOS DE CONCRETO

5.1 Mtodo de la rigidez Para Prticos Planos. 160

5.2 Anlisis Bidimensional De Prtico Por Computadora. 176

5.3 Diseo De Prticos Por Computador. 188

Capitulo VI: LNEAS DE INFLUENCIA Y CONFIGURACIN DE ESTRUCTURAS

DCTILES.

Anlisis Estructural Ing. F. Godio Poma

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6.1 Consideraciones Generales 191

6.2 Lneas De Influencia Para Momentos En Vigas Simples 192 6.3 Usos De Lneas De Influencia Cargas Concentradas O Reaccin. 205

6.4 Diseo Conceptual del Sistema de Cargas Vivas Vehiculares 209

6.5 Configuracin De Estructuras Dctiles. 231

6.6 Vulnerabilidad Estructural 231

6.7 Vulnerabilidad Funcional. 246


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PROLOGO

El presente Texto muestra al estudiante de Ingeniera Civil los fundamentos necesarios para realizar un anlisis y diseo de Estructuras bidimensionales y tridimensionales por medio del mtodo matricial y computadora. El objetivo es desarrollar la capacidad de los Alumnos para analizar sistemas variados de estructuras y poder realizar su diseo de una forma sencilla y rpida acorde a las exigencias de las Normas de Diseo y del Mercado Profesional. Los conocimientos previos para el estudio del texto son la Esttica y Resistencia de Materiales. El libro desarrolla una preparacin terica en los dos primeros Captulos, que son necesarios para poder entender los problemas estructurales desarrollados en los dems captulos. En el texto se desarrolla sistemas en flexin y corte (Placas), as como sistemas de armaduras sometidos a cargas externas, incrementos de Temperatura y asentamientos en los apoyos, En sistemas de Prticos, se analizan prticos variados sometidos a cargas externas. Esta primera Publicacin se realiza tomando conciencia de que la enseanza del anlisis estructural a cambiado en los ltimos 20 aos en la mayora de las universidades del mundo, existiendo todava pases Sub Desarrollados como el Per, en el que se siguen dictando mtodos tradicionales (Cross, Kani, Bernadsky, Takabeya, Muto, etc) que lo nico que logran es formar profesionales no competitivos y mecanizados. El presente libro es una recopilacin apuntes de clase del curso de anlisis Estructural dictado por la PUCP y apuntes de varios textos con los que dicte el curso de Anlisis Estructural I los dos ciclos pasados en la UPLA. Los problemas resueltos en el texto son los problemas propuestos que formaron parte de los exmenes y practicas de evaluacin. Finalmente expreso mi gratitud a los alumnos de la Facultad de Ingeniera, pues gracias a sus exigencias y sus deseos por ser cada vez ms competitivos motivaron a la realizacin de este texto. As mismo agradezco a mis profesores de la Pontificia Universidad Catlica del Per, en el rea de Estructuras. .

Francisco Godio P.


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CAPITULO I

I.- ANLISIS ESTRUCTURAL - FUNDAMENTOS

TERICOS

1.1 CONCEPTOS BSICOS

1.1.1 Estructuras.

Es el conjunto de elementos resistentes, convenientemente vinculados entre s, que accionan y reaccionan bajo los efectos de las cargas. Su finalidad es resistir y transmitir las cargas a los apoyos (edificios, puentes, etc.) manteniendo el espacio arquitectnico, sin sufrir deformaciones incompatibles.

1.1.2 Propiedades Mecnicas de los Materiales

En ingeniera se necesita saber como responden los materiales slidos a fuerzas externas como la tensin, la compresin, la torsin, la flexin o la cizalladura. Los materiales slidos responden a dichas fuerzas con una deformacin elstica (en la que el material vuelve a su tamao y forma originales cuando se elimina la fuerza externa), una deformacin permanente o una fractura. Los efectos de una fuerza externa dependientes del tiempo son la plastodeformacin y la fatiga, que se definen ms adelante.

La tensin es una fuerza que tira; por ejemplo, la fuerza que acta sobre un cable que sostiene un peso. Bajo tensin, un material suele estirarse, y recupera su longitud original si la fuerza no supera el lmite elstico del material. Bajo tensiones mayores, el material no vuelve completamente a su situacin original, y cuando la fuerza es an mayor, se produce la ruptura del material.

La compresin es una presin que tiende a causar una reduccin de volumen. Cuando se somete un material a una fuerza de flexin, cizalladura o torsin, actan simultneamente fuerzas de tensin y de compresin. Por ejemplo, cuando se flexiona una varilla, uno de sus lados se estira y el otro se comprime.

La plastodeformacin es una deformacin permanente gradual causada por una fuerza continuada sobre un material. Los materiales sometidos a altas temperaturas son especialmente vulnerables a esta


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deformacin. La prdida de presin gradual de las tuercas, la combadura de cables tendidos sobre distancias largas o la deformacin de los componentes de mquinas y motores son ejemplos visibles de plastodeformacin. En muchos casos, esta deformacin lenta cesa porque la fuerza que la produce desaparece a causa de la propia deformacin. Cuando la plastodeformacin se prolonga durante mucho tiempo, el material acaba rompindose.

La fatiga puede definirse como una fractura progresiva. Se produce cuando una pieza mecnica est sometida a un esfuerzo repetido o cclico, por ejemplo una vibracin. Aunque el esfuerzo mximo nunca supere el lmite elstico, el material puede romperse incluso despus de poco tiempo. En algunos metales, como las aleaciones de titanio, puede evitarse la fatiga manteniendo la fuerza cclica por debajo de un nivel determinado. En la fatiga no se observa ninguna deformacin aparente, pero se desarrollan pequeas grietas localizadas que se propagan por el material hasta que la superficie eficaz que queda no puede aguantar el esfuerzo mximo de la fuerza cclica. El conocimiento del esfuerzo de tensin, los lmites elsticos y la resistencia de los materiales a la plastodeformacin y la fatiga son extremadamente importantes en ingeniera.

1.1.3 Clasificacin De Los Materiales

Toda la discusin de las estructuras se basan en la suposicin de que prevalecen en el material ciertas caractersticas:

Material homogneo:

(Fig 1)


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Que tiene las mismas propiedades elsticas (E, , u) en todos los puntos del cuerpo (modulo de elasticidad, deformacin unitaria y modulo de poisson, respectivamente). (Ver figura 1).

Material istropo o isotropico:

Que tiene las mismas propiedades elsticas en todas las direccines en cada punto del cuerpo (axial, lateral e intermedia). No todos los materiales son istropos. (Ver figura 2).

(Fig. 2)

Material Anistropo O Anisotropico

Si un material no tiene ninguna clase de simetra elstica se llama anistropo (sus propiedades difieren en varias direccines) o, a veces, aeolotropico. En lugar de tener dos constantes elsticas independientes (E, u) como un material istropo, este material tiene 21 constantes elsticas. (Ver figura 3).


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(Fig. 3)

Material ortotropico.

Si el material tiene tres planos de simetra elstica perpendiculares entre s dos a dos se dice que es ortotrpico, en cuyo caso el numero de constantes independientes es 9. (Ver figura 4).

(Fig. 4)


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Materiales dctiles y frgiles:

Los materiales usados en la Ingeniera Estructural (obras civiles) se clasifican generalmente en dctiles y frgiles. Un material dctil es el que tiene un alargamiento a traccin relativamente grande hasta llegar al punto de rotura (por ejemplo, el acero estructural o el aluminio), mientras que un material frgil tiene una deformacin relativamente pequea hasta el mismo punto. Frecuentemente se toma como lnea divisoria entre las dos clases de materiales un alargamiento arbitrario de 0.05 cm/cm. El concreto es un ejemplo de material frgil, con una deformacin ltima de 0.03cm/cm. (Ver figura 5).

(Fig.5)

1.1.4 Efectos Internos De Las Fuerzas

Barra cargada axialmente:

Probablemente, el caso ms sencillo que se puede considerar para empezar es el de una barra metlica inicialmente recta, de seccin constante, sometida en sus extremos a dos fuerzas colineales dirigidas en sentidos opuestos y que actan en el centro de las secciones. Para que haya equilibrio esttico, las magnitudes de las fuerzas deben ser iguales (Ver figura 6). Si estn dirigidas en sentido de alejarse de la barra, se dice que sta esta sometida a traccin, mientras que si actan hacia la barra,


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existe un estado de compresin. Bajo la accin de estas

dos fuerzas aplicadas se originan otras fuerzas internas dentro de la barra, que pueden estudiarse imaginando un plano que la corte en un punto cualquiera y sea perpendicular a su eje longitudinal.

P P

(Fig.6)

Distribucin de las fuerzas resistentes:

Llegados a este punto, es necesario hacer alguna hiptesis sobre el modo en que varan estas fuerzas repartidas, y como la fuerza aplica P acta en el centro. Se suele admitir que son uniformes en toda la seccin. Esta distribucin probablemente no se dar nunca exactamente, a consecuencia de la orientacin caprichosa de los granos cristalinos de que esta compuesta la barra. El valor exacto de la fuerza que acta en cada elemento de la seccin transversal es funcin de la naturaleza y la orientacin de la estructura cristalina en ese punto, pero para el conjunto de la seccin la hiptesis de una distribucin uniforme da una exactitud aceptable desde el punto de vista de la ingeniera (isotropia).

Tensin normal:

En lugar de hablar de la fuerza interna que acta sobre un elemento de superficie, probablemente es ms significativo y ms til para la comparacin considerar la fuerza normal que acta sobre una superficie unidad de la seccin transversal. La intensidad de la fuerza normal por unidad de superficie se llama tensin normal y se mide

en unidades de fuerza por unidad de superficie, kg/cm2. A

veces se usa la expresin tensin total para expresar la fuerza resultante axial total, en kilogramos. Si las fuerzas aplicadas a los extremos de la barra son tales que sta esta sometida a traccin, se establecen tensiones de traccin en la misma; si esta sometida a compresin, tenemos


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tensiones de compresin. Es esencial que la lnea de aplicacin de las fuerzas pase por el centro de cada seccin transversal de la barra.

Probetas de ensayo:

La carga axial es frecuente en los problemas de diseo de estructuras. Para simular esta carga en el laboratorio

se coloca una probeta entre las mordazas de una maquina de ensayos del tipo accionado elctricamente o de una hidrulica, maquinas usadas corrientemente en los laboratorios de ensayo de materiales para aplicar una traccin axial.

En un intento de tipificar los mtodos de ensayo, la Sociedad Americana de Ensayos de Materiales, comnmente conocida por A.S.T.M., ha redactado especificaciones que son de uso

comn en USA y numerosos pases de Amrica y Europa. Se prescriben varios tipos de probetas para materiales metlicos y no metlicos, tanto para ensayos de traccin como de compresin. En Ensayos de Traccin, los extremos de las probetas pueden tener cualquier forma que se adapte a las mordazas de la maquina de ensayo que aplique la carga axial. La parte central de la probeta es algo ms delgada que las extremas para que no se produzca el fallo en la parte de las mordazas (Ver figura 7). Los chaflanes redondeados que se observan tienen por objeto evitar que se produzcan las llamadas concentraciones de esfuerzos en la transicin entre las dos anchuras diferentes. De ordinario se marca una longitud standard patrn en la que se miden los alargamientos, perforando dos pequeos orificios en la superficie de la barra con una separacin de 2 o de 8 pulgadas, como puede verse.

(Fig.7)


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Deformacin normal:

Supongamos que se ha colocado una de estas probetas de traccin en una maquina de ensayos de traccin y compresin, y se aplican gradualmente en los extremos fuerzas de traccin. Se puede medir el alargamiento total en la longitud patrn para cualquier incremento predeterminado de la carga axial por medio de un aparato de medida mecnico y hallar, a partir de estos valores, el alargamiento por unidad de longitud llamado deformacin normal y representado por e, dividiendo el alargamiento total delta por la longitud patrn L, es decir: e = delta / L. (cm.); Generalmente se expresa la deformacin en centmetros por centmetros, por lo que es adimensional. A veces se usa la expresin deformacin total para indicar el alargamiento en centmetros.

Curva Tensin-Deformacin

Cuando se aumenta gradualmente la carga axial por incrementos de carga, se mide el alargamiento de la longitud patrn para cada incremento, continuando de este modo hasta que se produce la rotura de la probeta. Conociendo el rea original de la seccin transversal de la probeta puede obtenerse la tensin normal, representada

por sigma (), para cada valor de la carga axial,

simplemente utilizando la relacin: = P / A

.

F

(Fig. 8)


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Donde P representa la carga axial en kilogramos y A el

rea Inicial de la seccin transversal

Con varios pares de valores de la tensin normal y de la deformacin normal podemos representar grficamente de los datos experimentales tomando estas cantidades como ordenadas y abscisas, respectivamente (Ver figura 8). As se obtiene un diagrama tensin-deformacin del material para este tipo de carga. Este diagrama puede adoptar numerosas formas.

La curva tensin-deformacin se puede usar para determinar varias caractersticas de resistencia del material. Estas son:

Lmite de proporcionalidad:

A la ordenada del punto 1 se le conoce por lmite de

proporcionalidad, esto es, la mxima tensin que se puede producir durante un ensayo de traccin simple de modo que la tensin sea funcin lineal de la deformacin. Par un material que tenga la curva tensin-deformacin no existe lmite de proporcionalidad.

Lmite elstico:

La ordenada de un punto que casi coincide con EL PUNTO 2 se conoce por lmite elstico, esto es, la tensin mxima que puede producirse durante un ensayo de traccin simple de muchos materiales son casi idnticos los valores numricos del lmite elstico y del lmite de proporcionalidad, por lo que a veces se consideran sinnimos. En los casos en que es notoria la diferencia, el lmite elstico es casi siempre mayor que el de proporcionalidad.

Zona elstica:

La regin de la curva tensin-deformacin que va desde el origen hasta el lmite de proporcionalidad. PUNTO 1-2


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Zona plstica:

La regin de la curva tensin-deformacin que va desde el lmite de proporcionalidad hasta el punto de rotura. PUNTO 2-3

Lmite elstico aparente o de fluencia:

A la ordenada del punto Y en el que se produce un aumento de deformacin sin aumento de tensin se le conoce por lmite elstico aparente o lmite de fluencia del material. Cuando la carga ha aumentado hasta el punto Y, se dice que se produce fluencia. Algunos materiales presentan en la curva tensin - deformacin dos puntos en los que hay aumento de deformacin sin que aumente la tensin. Se les conoce por lmites de fluencia superior e inferior.

Modulo de resistencia:

El trabajo realizado en un volumen unidad de material, cuando se aumenta una fuerza de traccin simple gradualmente desde cero hasta un valor tal que se alcance el lmite de proporcionalidad del material, se define como modulo de resistencia. Puede calcularse por el rea bajo la curva tensin-deformacin desde el origen hasta el lmite de proporcionalidad, las unidades en que se mide son kg/cm2. As, pues, la resistencia de un material es su capacidad de absorber energa en la zona elstica.

Modulo de tenacidad:

El trabajo realizado en un volumen unidad de material cuando se aumenta una fuerza de traccin simple gradualmente desde cero hasta el valor que produce la rotura, se define como modulo de tenacidad. Puede calcularse por el rea total bajo la curva tensin-deformacin desde el origen hasta la rotura. La tenacidad de un material es su capacidad de absorber energa en la zona plstica del material.


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Estriccion:

La relacin entre la disminucin del rea de la seccin transversal respecto a la Inicial en la fractura, dividida por el rea Inicial y multiplicada por 100, se llama estriccin. Hay que observar que

cuando actan fuerzas de traccin en una barra disminuye el rea de la seccin transversal, pero generalmente se hacen los clculos de las tensiones en funcin del rea Inicial. Cuando las deformaciones se hacen cada vez mayores, es mas interesante considerar los valores instantneos del ares de la seccin transversal (que son decrecientes), con lo cual se obtiene la curva tensin-deformacin verdadera.

Alargamiento de rotura:

La relacin entre el aumento de longitud (de la longitud patrn) despus de la fractura y la longitud inicial, multiplicada por 100, es el alargamiento de rotura. Se considera que tanto la estriccin como el

alargamiento de rotura son medidas de la ductilidad del material.

Tensin de trabajo:

Se pueden usar las caractersticas de resistencia que se acaban de mencionar para elegir la llamada tensin de trabajo. Frecuentemente, esta tensin se determina simplemente dividiendo la tensin en la fluencia o rotura por un nmero llamado coeficiente de seguridad. La eleccin del coeficiente de seguridad se basa en el buen juicio y la experiencia del proyectista. A veces se especifican en los reglamentos de la construccin valores de determinados coeficientes de seguridad.

La curva tensin-deformacin no lineal de un material frgil, caracteriza otras varias medidas de la resistencia que no se pueden definir sin la mencionada curva tiene una zona lineal. Estas son:


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Lmite elstico convencional:

La ordenada de la curva tensin-deformacin para la cual el material tiene una deformacin permanente predeterminada cuando se suprime la carga se llama lmite elstico convencional del material. Se suele tomar como deformacin permanente 0.002 o 0.0035 cm. por cm; pero estos avalores son totalmente arbitrarios. La ordenada Y representa el lmite elstico convencional del material, llamado a veces tensin de prueba. (Ver figura 9)

(Fig.9)

Modulo tangente:

A la pendiente de la tangente a la curva tensin-deformacin en el origen se la conoce por modulo tangente del material.

Hay otras caractersticas de un material que son tiles para los proyectos, que son las siguientes:


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Coeficiente de dilatacin lineal:

Se define como la variacin por unidad de longitud de una barra recta sometida a un cambio de temperatura de un grado. El valor de este coeficiente es independiente de la unidad de longitud, pero depende de la escala de temperatura empleada. Consideraremos la escala centgrada, para la cual el coeficiente que se representa por alfa es para el acero, por ejemplo, 11 x 10-6 por grado C. Las variaciones de temperatura en una estructura dan origen a tensiones internas del mismo modo que las cargas aplicadas.

Relacin de poisson:

Cuando una barra esta sometida a una carga de traccin simple se produce en ella un aumento de longitud en la direccin de la carga, as como una disminucin de las dimensiones laterales perpendiculares a esta. La relacin entre la deformacin en la direccin lateral y la de la direccin axial se define como relacin de Poisson. La representaremos por la letra griega .Para la mayora de los metales esta entre 0.25 y 0.35.

Ley de hooke:

Para un material cuya curva tensin-deformacin, resulta evidente que la relacin entre tensin y deformacin es lineal para los valores relativamente bajos de la deformacin. Esta relacin lineal entre el alargamiento y la fuerza axial que lo produce (pues cada una de estas cantidades difiere solo en una constante de la deformacin y la tensin, respectivamente) fue observada por primera vez por sir Robert Hooke en 1678 y lleva el nombre de ley de Hooke. Por tanto, para describir esta zona inicial del comportamiento del material, podemos escribir

E =


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donde E representa la pendiente de la parte recta de la

curva tensin-deformacin, deformacin unitaria, esfuerzo.

Modulo de elasticidad:

La cantidad E, es decir, la relacin de la tensin unitaria a la deformacin unitaria se suele llamar modulo de elasticidad del material en traccin o, a veces, modulo de Young. En los manuales aparecen tabulados los valores de E para diversos materiales usados en la

ingeniera. Como la deformacin unitaria es un

numero abstracto (relacin entre dos longitudes) es evidente que E tiene las mismas unidades que la

tensin, por ejemplo, kg/cm2. Para muchos de los materiales usados en la ingeniera el modulo de elasticidad en compresin es casi igual al contrado en traccin. Hay que tener muy en cuenta que el comportamiento de los materiales bajo una carga, tal como de estudia en este tema, se limita (sin o se dice lo contrario) a esa regin lineal de la curva tensin-deformacin.

1.2 EXIGENCIAS BSICAS DE LAS ESTRUCTURAS.

Los requisitos o exigencias bsicas que una estructura debe cumplir son:

1.2.1 Equilibrio

Se identifica con la garanta de que el edificio no se mover. Tienen cierto grado de movimiento, pero comparado a las dimensiones del edificio los desplazamientos de este edificio son tan pequeos que a simple vista parece inmvil y sin deformacin alguna. Un cuerpo no se mueve en una sola direccin, si se aplican otras fuerzas de igual magnitud y direccin aplicada en sentido contrario lo anulan. Cuando esto sucede se dice que el cuerpo est en equilibrio.


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1.2.2 Estabilidad

Se relaciona con el peligro de movimiento inaceptable del edificio en su totalidad. Debe estar bien equilibrado. Cuando un viento huracanado acta sobre un edificio alto y ste no se halla adecuadamente arraigado en la tierra o equilibrado por su propio peso, puede volcarse sin desintegrarse. El edificio es inestable desde el punto de vista rotatorio, ste peligro existe tambin cuando un edificio no est bien equilibrado y apoya sobre un suelo de resistencia no uniforme. Un edificio construido sobre la ladera de una colina empinada puede mostrar una tendencia a deslizarse hacia abajo por accin de su propio peso. Todos estos casos de inestabilidad se relacionan con el suelo y con los cimientos del edificio.

1.2.3 Comportamiento Estructural.

Se define COMPORTAMIENTO ESTRUCTURAL como la propiedad de una estructura que tiene tendencia a deformarse, vibrar, pandearse o fluir dependiendo de las condiciones a que estn sometidas.

La ingeniera Estructural trata principalmente el Anlisis Estructural, el anlisis de esfuerzos y el diseo estructural. Estos temas estn interrelacionados, pero se estudian independientemente por ser distintos, Su secuencia es la siguiente.

CARGAS ESTRUCTURA MODIFICACION EXTERNAS

ANLISIS ANLISIS DISEO ESTRUCTURAL ESFUERZOS ESTRUCTURAL

(Fig. 10)

En la Figura 10. se observa que el objetivo es disear una estructura y el anlisis estructural es una de las herramientas para alcanzar el fin. La participacin de cada componente que integra la secuencia es mandatoria ya que el anlisis estructural se basa en los principios de la esttica, el anlisis de esfuerzos se basa en la resistencia de


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materiales y la mecnica de los materiales complementada con su teora de elasticidad. El diseo estructural es aquel que asegura que los esfuerzos no excedan los lmites permitidos (fluencia), para que no ocurra esto se modifica la estructura y se reinicia el ciclo de la figura 10 hasta lograr un diseo optimo es decir, verificando que los esfuerzos lmites permitidos sean mayores que los esfuerzos actuantes en la estructura.

1.3 CLASIFICACIN DE ESTRUCTURAS

Una estructura esta conectada por elementos interconectados, los cuales se consideran en una, dos o tres dimensiones. En forma local un elemento siempre tiene tres dimensiones que son: Largo, Ancho y Espesor, pero como el ancho y el espesor son pequeos en comparacin con su longitud como ocurre en estructuras reales, se puede considerar dichos elementos como unidimensionales. Las estructuras muy independientes de ser consideradas de una, dos o tres dimensiones se clasifican en: Estructuras de barras o tipo esqueleto (Reticulados).

Son llamadas tambin Estructuras RETCULADAS Son sistemas planos, bidimensionales y/o tridimensionales que estn sujetos a cargas en diferentes planos (la estructura y las cargas se encuentran en diferente plano) por lo que sus elementos estn sujetos a torsin como a flexin y cortante. La cargas a estas estructuras estn aplicadas en cualquier punto y en cualquier direccin y los elementos pueden estar unidos entre si en cualquier forma. Se dividen en las siguientes categoras: 1.3.1 Armaduras

Los elementos se unen entre si por articulaciones sin rozamiento y las cargas se aplican a los nudos (Armaduras 01 dimensin).

Cuya rea transversal es pequea comparada con su longitud y est sometido a cargas netamente axiales aplicadas en sus extremos. Por su geometra y tipo de cargas actuantes soporta solamente fuerzas de traccin y de compresin. Su comportamiento netamente axial exige que sus conexiones a otros elementos o soportes sean rotulas sin rozamiento. Sin embargo en la prctica se construyen uniones rgidas que obligan a mantener la geometra de la seccin y la posicin de los nudos. Esto hace que las pequeas deformaciones de alargamiento o


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acortamiento de los elementos por sus tensiones axiales, no se disipen en deformaciones de los nudos y producen entonces esfuerzos de flexin en los elementos. Estos esfuerzos de flexin son muy pequeos comparados con sus grandes fuerzas axiales y no se tienen en cuenta en su anlisis y diseo. (Ver figura 11).

(Fig. 11)

1.3.2 Armaduras planas y espaciales

En este sistema se combinan elementos tipo Armadura con elementos tipo viga o columna unidas por articulaciones. (Ver figura 12).

Uniones articuladas


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(Fig. 12)

1.3.3 Marcos o prticos

Este sistema conjuga elementos tipo viga y columna. Su estabilidad est determinada por la capacidad de soportar momentos en sus uniones. Pueden ser planos y espaciales (Ver figura 13). Uniones rgidas entre sus elementos, que determinan la estabilidad de todo

el conjunto


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Sistema unidireccional, solo apoyo en dos extremos

Sistema bidireccional, apoyo en sus cuatro extremos

(Fig. 13)

1.3.4 Sistemas de pisos

Consiste en una estructura plana conformada por la unin varios elementos (cscara, viga, Armadura) de tal manera que soporte cargas perpendiculares a su plano. Se clasifican por la forma en que transmiten la carga a los apoyos en by direccionales y unidireccionales. (Ver figura 14).

(Fig. 14 - a)

1.3.5 SISTEMAS COMBINADOS PARA EDIFICACIONES

Se aprovechan las cualidades estructurales de los elementos tipo muro con las cualidades arquitectnicas de los sistemas de prticos. Las caractersticas de rigidez lateral tambin se pueden lograr por medio de riostras que trabajan como elementos tipo Armadura. (Ver figura 15).

(Fig. 14 - b)


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(Fig. 15)

Prticos espaciales (edificio) La cargas a estas estructuras estn aplicadas en cualquier punto y en cualquier direccin y los elementos pueden estar unidos entre si en cualquier forma (Ver figura 16).

(Fig. 16)

1.3.6 Estructuras laminadas

Por lo general se consideran a todas las placas, bvedas, que tienen espesor y su anlisis es bidimensional. (Ver figura 17).

(Fig. 17)


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Placas Bvedas

1.3.7 Elementos tipo cascaron Pueden ser flexibles, en este caso se denominan membranas, o rgidos y se denominan placas. Membrana: no soporta esfuerzos de flexin, es como si fueran cables

pegados. Trabaja por traccin netamente (Ver figura 18).

(Fig. 18)

1.3.8 Cascaron o placa: tiene rigidez a flexin es decir trabaja

principalmente por compresin, pero se asocia con esfuerzos cortantes y flectores mnimos. (Ver figura 19).


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(Fig. 19)

1.3.9 Estructuras slidas Elementos tipo muro: Estos elementos se caracterizan por tener dos

de sus dimensiones mucho mas grandes que la tercera dimensin y porque las cargas actuantes son paralelas a las dimensiones grandes. Debido a estas condiciones de geometra y carga, el elemento trabaja principalmente a cortante por fuerzas en su propio plano. Adicionalmente a esta gran rigidez a corte los muros tambin son aptos para soportar cargas axiales siempre y cuando no se pandeen. (Ver figura 20).

(Fig. 20-a)

Estribo de Puente

Momentos mnimos en el

sentido transversal

Gran rigidez para

soportar momentos

longitudinales


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TRASLAPE

(Fig. 20 - b)

1.4 CARGAS ESTRUCTURALES

Clasificacin

1.4.1 Cargas estticas:

Muertas

Son aquellas que se mantienen en constante magnitud y con una posicin fija durante la vida til de la estructura; generalmente la mayor parte de las cargas muertas es el peso propio de la estructura. Es que puede calcularse con buena aproximacin a partir de la configuracin de diseo, de las dimensiones de la estructura y de la densidad del material. Para edificios, por lo general se toman como cargas muertas, rellenos, acabados de entrepisos y cielos rasos, y se deja un margen para tener en cuenta cargas suspendidas como conductos, aparatos y accesorios de iluminacin, etc. Consisten en los pesos de los diversos miembros estructurales y en los pesos de cualesquiera objetos que estn permanentemente unidos a la estructura, entre otros: Columnas, Vigas, Trabes, Losas, Muros, Ventanas y Instalaciones elctricas y sanitarias. Las cargas por peso propio, provocan esfuerzos y producen deformaciones en la estructura. (Ver figura 21).


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(Fig. 21) Vivas

Las cargas vivas son cargas no permanentes producidas por materiales o articulo, e inclusive gente en permanente movimiento. Cabinas, particiones y personas que entran y salen de una edificacin pueden ser consideradas como carga vivas. Las cargas vivas son producidas por el uso y ocupacin de la edificacin y no deben incluir cargas ambientales tales como viento, sismo, ni la carga muerta. Consta principalmente de cargas de ocupacin en edificios, estas pueden estar aplicadas total o parcialmente o no estar presentes y tambin es posible cambiarlas de ubicacin. Su magnitud y distribucin son inciertas en determinado momento, y adems sus mximas intensidades a lo largo de la vida til de la estructura no se conocen con precisin. Son cargas variables en magnitud y posicin debidas al funcionamiento propio de la estructura. Pueden ser causadas por los pesos de los objetos colocados temporalmente sobre una estructura. (Ver figura 22).

(Fig. 22)

1.4.2 Cargas dinmicas

Clasificacin:

Vibraciones


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Cuando las maquinarias vibratorias no han sido aisladas de la estructura principal, sus vibraciones pueden afectar tanto a la estructura que las soporta como a las estructuras vecinas. Ejemplo, maquinas de Imprenta, maquinas hospitalarias de panadera etc. (Ver figura 23).

(Fig. 23) Viento

Son cargas dinmicas pero son aproximadas usando cargas estticas equivalentes. La mayor parte de los edificios y puentes pueden utilizar este procedimiento cuasi-esttico y solo en casos especiales se requiere un anlisis modal o dinmico. La presin ocasionada por el viento es proporcional al cuadrado de la velocidad y debe ser calculada, principalmente, en las superficies expuestas de una estructura. Debido a la rugosidad de la tierra, la velocidad del viento es variable y presenta turbulencias. Sin embargo, se asume que la edificacin asume una posicin deformada debido a una velocidad constante y que vibra a partir de esta posicin debido a la turbulencia. El procedimiento analtico para evaluar los efectos producidos por la fuerza del viento involucra el anlisis simple, si los efectos producidos por la fuerza del viento no son fundamentales en el diseo, o el anlisis completo, si por el contrario, las fuerzas de viento en algn sentido resultan determinantes en el diseo. Estas cargas dependen de la ubicacin de la estructura, de su altura, del rea expuesta y de la posicin. Las cargas de viento se manifiestan como presiones y succiones. (Ver figura 24).


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(Fig. 24)

Sismos

Las cargas ssmicas son cargas inerciales causadas por movimientos ssmicos, estas pueden ser calculadas teniendo en cuenta las caractersticas dinmicas del terreno, de la estructura (amortiguamiento masa y rigidez), y las aceleraciones esperadas. Son cargas dinmicas que tambin pueden ser aproximadas a cargas estticas equivalentes. Los edificios pueden utilizar este procedimiento casi-esttico, pero tambin se puede utilizar un anlisis modal o dinmico. Los sismos producen cargas sobre una estructura por medio de la interaccin del movimiento del suelo y las caractersticas de respuesta de la estructura. Esas cargas resultan de la distorsin en la estructura causada por el movimiento del suelo y la resistencia lateral de sta. Sus magnitudes dependen de la velocidad y tipo de aceleraciones del suelo, as como de la masa y rigidez de la estructura. El anlisis y diseo sisico, se realiza siguiendo lo descrito en la Norma E-030. (Ver figura 25).

(Fig. 25) Espectro de diseo ssmico.


30

Impulsivas

Son aquellas que tienen corta duracin (dt), por ejemplo las explosiones, despus de esta solicitud culmina, se produce el movimiento en vibracin libre de la estructura. (Ver figura 26).

(Fig. 26) Explosin de Una edificacin. 1.5 EQUILIBRIO DE ESTRUCTURAS

Uno de los objetivos de cualquier anlisis estructural es determinar varias acciones pertenecientes a la estructura, tales como las reacciones en los apoyos y los esfuerzos internos resultantes (momento flexionante, fuerza cortante, etc.). Una solucin correcta para cualquier parte de ella tomada como un cuerpo libre.

1.5.1 Determinacin, indeterminacin esttica y cinemtica

Hay dos tipos de indeterminacin que deben ser considerados en el anlisis estructural dependiendo de si el inters recae en las acciones en o en los desplazamientos

1.5.1.1 Indeterminacin esttica

(Grados de indeterminacin o nmero de redundantes)


31

Se refiere al nmero de acciones (fuerza axial, cortante o momento) externo y/o internos que deben liberarse a fin de transformar la estructura original en una estructura estable y determinada. 1.5.1.2 Indeterminacin cinemtica

(Grados de libertad)

Se refiere al nmero de componentes de desplazamiento de nudo (traslacin, rotacin) que son necesarios para describir la respuesta del sistema. Define la configuracin deformada del sistema. (Ver figura 27).

Indeterminacin Indeterminacin

Esttica Esttica

6-3=3 3

(Fig. 27 -a)


32

(Fig. 27 - b)

1.5.2 Principios de superposicin de efectos.

La respuesta de una estructura debida a un numero de cargas aplicadas simultneamente es la suma de las respuestas de las cargas individuales, aplicando por separado cada una de ellas a la estructura; siempre y cuando para todas las cargas aplicadas y para la suma total de ellas los desplazamientos y esfuerzos sean proporcionales a ellas. Esto implica que para aplicar el principio de superposicin necesitamos trabajar con materiales elsticos, que cumplan la ley de Hooke (isotrpicos). Si la estructura a analizar cumple con estos requisitos

podemos usar la teora elstica en su estudio. (Ver figura 28).


33

1

2

de P1 + p2

F

P1

P2

P1+P2

Fig. 28) Grfica Fuerza vs. Deformacin para un elemento constituido con un material perfectamente elstico.

Qu otras teoras existen para analizar estructuras que no cumplan con una relacin lineal de esfuerzos desplazamientos?.

Existen otras teoras, que estudian a los materiales compuestos como la metalurgia, la tecnologa de los polmero etc., cuyos fundamentos se basan en la teora de la elasticidad anistropa, que estudia materiales de la naturaleza como los huesos, la madera etc. Cuando se habla de respuesta ESTRUCTURAL, se refiere a los desplazamientos y a las fuerzas internas.

Por el principio de superposicin podemos expresar los efectos totales como la suma de efectos de cargas parciales: (Ver figura 29).


34

Diagramas de momentos

M+

P

w

Diagramas de cortante

V

(Fig. 29 - a)

Para una estructura elstica-lineal (Ver figura).

(Fig. 29 - b) Se cumple la relacin lineal de Esfuerzo Deformacin.


35

1.6 ARMADURAS ESPACIALES Y PLANAS

1.6.1 Definicin de armadura Una estructura de barras unidas por sus extremos de manera que constituyan una unidad rgida recibe el nombre de armadura.

Algunos ejemplos son los puentes, los soportes de cubiertas etc. En este capitulo me limitare al estudio de Armaduras planas, es decir, aquellas en que todos los miembros que la forman se encuentran en un mismo plano. Las Armaduras espaciales se tocaran en clase utilizando

el programa SAP-2000, dado su versatilidad para analizar n nmeros de uniones o nudos en un corto tiempo; esto se lograra si conocen los principios bsicos del anlisis de Armaduras planas.

Entonces, consideramos que todas las fuerzas estn en el plano x y, y que los momentos de las fuerzas estn en la direccin z. Esto nos permite omitir el carcter vectorial en las ecuaciones del equilibrio, que

quedan reducidas a tres: la suma de las componentes x e y de las fuerzas, junto con la suma de los momentos de las fuerzas con respecto a algn punto de la armadura .Tambin suponemos que las Armaduras son estructuras estticamente determinadas o isostticas: que solamente tienen las ligaduras necesarias para mantener el equilibrio .El objetivo ser la determinacin de las fuerzas internas en la armadura, es decir, las fuerzas de accin y reaccin entre los elementos o barras que la forman .Nos basaremos en la hiptesis de que todos los miembros de una armadura son miembros de dos fuerzas, es decir, que cada uno se encuentra en equilibrio bajo la accin de dos nicas fuerzas, aplicadas en sus extremos, que

sern iguales ,opuestas y colineales. Para ello, tendremos en cuenta que todas las fuerzas externas deben aplicarse en las uniones entre las barras (en los nudos). Las fuerzas internas que deseamos obtener sern de tensin o compresin segn el sentido del resultado si son positivas se dir que se traccionan y son negativas se dirn que se contraen o estn en compresin. Para estos casos se consideran dos grados de libertad por nudo, se suprime el tercero de momento, dado que una barra estructural sometida a cargas en los nudos solo absorbe esfuerzos de traccin y compresin Existen diversos mtodos para analizar las fuerzas internas de las barras (Mtodo de los momentos, Mtodo de los nudos, Mtodo de las secciones etc.) que forman parte de la esttica y de la resistencia de materiales, mtodos que se usaban antes de que la


36

tecnologa como herramienta nos halla llevado a hacer uso del anlisis practico por computadora y no tedioso como del siglo pasado. En el capitulo VII se analizaran Armaduras mediante el Mtodo de la Rigidez aplicado a Armaduras (mtodo matricial), mtodo usado desde los aos 1980 para dar solucin a Armaduras y Prticos.

Existen muchos tipos de Armaduras de acuerdo con su uso, estos tipos tomaron el nombre de la primera persona que las analiz o construy, una de ellas es la Pratt para puentes y para techos: (Ver figura 30).

(Fig. 30)

En esta Armadura, las diagonales trabajan a tensin. Este anlisis lo podemos hacer comparando los esfuerzos internos en una viga simplemente apoyada, momento positivo y cortante positivo (Ver figura 31) :


37

(Fig. 31)

Podramos decir que para Armaduras simplemente apoyadas, de acuerdo con la orientacin de las diagonales ellas trabajaran a traccin o a compresin. (Ver figura 32):

(Fig. 32)

Note la orientacin de las diagonales y concluya sobre su forma de trabajo, traccin o compresin. (Se pueden ver los otros tipos en los libros de referencias).

1.6.2- Clasificacin De Las Armaduras Segn Su Conformacin:

Segn Hibbeler en su libro Anlisis estructural las Armaduras se clasifican, en: Armaduras simples, compuestas y complejas

Simples: aquellas construidas a base de la figura mnima estable (tringulo, Ver figura 33) y a partir de ah por cada dos barras agregadas se agrega un nudo, de tal manera que:


38

(Fig. 33)

Las Armaduras simples siempre se empiezan por un tringulo y se construyen agregando 2 barras unidas a un nudo comn pudiendo dar origen a figuras que no son tringulos, por su manera de construirse una Armadura simple siempre ser estable internamente. (Ver figura 34).

(Fig. 34)

Compuestas: Una armadura compuestas es una armadura formada al conectar dos o mas Armaduras simples pueden estar conectadas por tres eslabones no paralelos y no concurrentes, por un nudo y un eslabn, por una armadura de conexin, por dos o ms nudos, etc. puede formarse de esta manera un numero casi limitado de


39

Armaduras. Es decir son Aquellas construidas por la unin de dos Armaduras simples usando 1 barra de unin adicional y un nudo comn, o tres barras adicionales o sustituyendo elementos de una estructura principal por Armaduras secundarias. (Ver figura 35).

(Fig. 35)

Armaduras complejas: Hay unas cuantas Armaduras que son estticamente determinadas pero que no cumplen con los requisitos necesarios para ser clasificados como simples o compuestas. A esta armadura se les llama complejas. Las barras de las Armaduras simples y compuestas estn usualmente dispuestas de manera que pueden pasarse secciones a travs de tres barras simultneamente. Tomarse en la interseccin de dos de estas y encontrarse la fuerza en la tercera. (Ver figura 36).

(Fig. 36)


40

CAPITULO II

II. ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN ESTRUCTURAS

2.1 FLEXION

En ingeniera se denomina flexin al tipo de deformacin que presenta un elemento estructural alargado en una direccin perpendicular a su eje longitudinal. El trmino "alargado" se aplica cuando una dimensin es preponderante frente a las otras. Un caso tpico son las vigas, las que estn diseas para trabajar, preponderantemente, por flexin. Igualmente, el concepto de flexin se extiende a elementos estructurales superficiales como placas o lminas. (Ver figura 37).

(Fig. 37)

El rasgo ms destacado es que un objeto sometido a flexin presenta una superficie de puntos llamada fibra neutra tal que la distancia a lo largo de cualquier curva contenida en ella no vara con respecto al valor antes de la deformacin. Cualquier esfuerzo que provoca flexin se denomina momento flector.


41

Flexin en vigas

Las vigas o arcos son elementos estructurales pensados para que trabajar predominantemente en flexin. Geomtricamente son prismas mecnicos cuya rigidez depende, entre otras cosas, del momento de inercia de la seccin transversal de las vigas.

Para una viga de eje recto, y tomando las coordenadas habituales para prismas mecnicos (x, y, z) siendo x la distancia sobre el eje de la viga e (y, z) las coordenadas sobre la seccin transversal coincidentes con las direccines principales de inercia las tensiones normales de una viga sometida a flexin simple no-esviada segn el eje Z vienen dadas por (Ver figura 38).

:

(Fig. 38)

Por otro lado el campo de desplazamientos, en la hiptesis de Bernoulli,

viene dado por la ecuacin de la curva elstica:


42

Donde:

representa la flecha, o desplazamiento vertical, respecto de la posicin sin cargas.

la ordenada sobre la viga.

el momento flector sobre la ordenada .

el segundo momento de inercia de la seccin transversal.

el mdulo de elasticidad del material.

Flexin en placas y lminas

Una placa es un elemento estructural que puede presentar flexin en dos direccines perpendiculares. Existen dos hiptesis cinemticas comunes para representar la flexin de placas y lminas:

La hiptesis de Love-Kirchhoff

La hiptesis de Reisner-Mildin. (Ver figura 39)

(Fig. 39)

Siendo la primera el anlogo para placas de la hiptesis de Bernouilli y el segundo el anlogo de la hiptesis de Timoshenko.


43

Ensayos De Flexin

Comportamiento de los materiales sometidos a la flexin.

Si las fuerzas actan sobre una pieza de material de tal manera que tiendan a inducir esfuerzos compresivos sobre una parte de una seccin transversal de la pieza y los esfuerzos tensivos sobre la parte restante, se dice que la pieza est en flexin. La ilustracin comn de la accin flexionante es una viga afectada por cargas transversales; la flexin puede tambin causarse por momentos o pares tales como, por ejemplo, los que pueden resultar de cargas excntricas paralelas al eje longitudinal de una pieza.

Las estructuras y mquinas en servicio, la flexin puede ir acompaada

del esfuerzo directo, el corte transversal, o el corte por torsin. Por

conveniencia, sin embargo, los esfuerzos flexionantes pueden

considerarse separadamente y en los ensayos para determinar el

comportamiento de los materiales en flexin; la a tensin usualmente se

limita a las vigas. Se asume que las cargas se aplican de modo que

acten en un plano de simetra, de modo que no ocurra torsin alguna y

que las deflexiones sean paralelas al plano de las cargas. Se asume

tambin que ningunas fuerzas longitudinales son inducidas por las

cargas o los apoyos.

Fallas por flexin.

La falla puede ocurrir en la viga debido a una de varias causas, de las

cuales se ofrece una lista a continuacin. Aunque estos modos de falla

se exponen primariamente con referencia a las vigas de material dctil,

en sus aspectos generales son aplicables a cualquier material.

o La viga puede fallar por cedencia de las fibras extremas. Cuando el

punto de cedencia es alcanzado en las fibras extremas, la deflexin

de la viga aumenta ms rpidamente con respecto a un incremento

de carga; y si la viga tiene una seccin gruesa y fuerte o est

firmemente empotrada de tal modo que no pueda torcerce o

flambearse, la falla se verifica con un pandeo gradual que

finalmente se torna tan grande que la utilidad de la viga como

miembro sustentante queda destruida.


44

o En una viga de largo luz, las fibras en compresin actan de manera similar a aquellas en compresin de una columna, y la falla puede tener lugar por pandeo. El pandeo, el cual generalmente ocurre en direccin lateral, puede deberse ya sea a la causa primaria o secundaria de la falla. En una viga en la cual el esfuerzo flexionante excesivo sea la causa primaria de la falla y en la cual la viga no est firmemente sostenida contra el pandeo lateral, el sobreesfuerzo puede ser rpidamente seguido por el colapso de la viga debido al pandeo lateral, ya que la estabilidad lateral de la viga es considerablemente disminuida si sus fibras extremas son esforzadas hasta el punto de cedencia. El pandeo lateral puede ser una causa primaria de la falla de la viga, caso en el cual el esfuerzo en las fibras no alcanza la resistencia hasta el punto de cedencia del material antes de que el pandeo ocurra. El pandeo frecuentemente limita la resistencia de las vigas angostas.

o La falla de los miembros de alma delgada, como una vigueta,

puede ocurrir debido a los esfuerzos excesivos en el alma o por el pandeo del alma bajo los esfuerzos compresivos diagonales que siempre acompaan a los esfuerzos cortantes. Si el esfuerzo cortante en el alma alcanza un valor tan alto como en de la resistencia hasta el punto de cedencia del material en corte, la falla de la viga puede esperarse y la manera de la falla probablemente derivar de alguna accin de pandeo o torsin secundaria. El esfuerzo compresivo ordinario que siempre acompaa al cortante puede alcanzar un valor tan alto que el pandeo del alma de la viga constituya una causa primaria de la falla. El peligro de la falla en el alma como una causa primaria de la falla de la viga existente, en general, solamente para las vigas cortas con alma delgada.

o En aquellas partes de vigas adyacentes a los datos de apoyo que

transmiten las cargas concntricas o las reacciones las vigas, pueden establecer esfuerzos compresivos altos, y en las vigas I o canales el esfuerzo local en aquella parte del alma ms cercana a un lado de apoyo puede tornarse excesivo. Si este esfuerzo local excede la resistencia contra el punto de cedencia del material en la unin del alma y el ala, la viga puede fallar primariamente debido a la cedencia de la parte sobrefatigada.

o La falla de las vigas de material quebradizo como el hierro fundido y

el concreto simple siempre ocurre por ruptura sbita. Sin embargo

cuando simple siempre ocurre por ruptura sbita. Sin embargo

cuando se acerca al momento de la falla, el eje neutro se desplaza


45

hacia el canto en la compresin y tiende as a reforzar la viga, la

falla finalmente ocurre en las fibras tensadas porque la resistencia a

la tensin de estos materiales es nicamente una fraccin de la

resistencia y a la compresin es de aproximadamente 25% para el

hierro fundido y 10% para el concreto. Aunque algunos autores

asignan hasta un 5 % de resistencia al concreto.

Objetivos y aplicabilidad de los ensayos de flexin

La mayora de las estructuras y mquinas poseen miembros cuya

funcin primaria es resistir las cargas que causan la flexin. Son

ejemplos las vigas, los ganchos, las placas, los losas y las columnas

bajo cargas excntricas. El diseo de tales miembros estructurales

puede basarse en las propiedades de tensin, compresin y esfuerzo

cortante apropiadamente usadas en varias frmulas de flexin dan

resultados que solamente se aproximan a las condiciones reales.

Aunque frecuentemente pueden realizarse anlisis especiales de los

esfuerzos que surgen de condiciones inusitadas de carga y de

distorsiones y discontinuidades locales, no siempre es factible la

realizacin de tales anlisis, los cuales pueden ser muy complicados. El

ensayo de flexin puede servir entonces como un medio directo para

evaluar el comportamiento bajo cargas flexionantes, particularmente

para determinar los lmites de la estabilidad estructural de las vigas de

varios tamaos y formas.

Los ensayos flexionantes de vigas usualmente se hacen para

determinar la resistencia y la tiesura a la flexin; ocasionalmente se

hacen para obtener una imagen ms o menos completa de la

distribucin del esfuerzo en un miembro de flexin. Los ensayos de

vigas tambin ofrecen un medio para determinar la resistencia y la

tenacidad de los materiales en flexin.

Bajo la designacin general de resistencia se puede incluir el lmite

proporcional, la resistencia al sedimento, y el mdulo de ruptura. Estas

propiedades pueden ir determinndose con la mira de establecer con

factores de reduccin apropiados, esfuerzos flexionantes admisibles

para usarse en el diseo. El mdulo de ruptura puede tambin utilizar

simplemente como un criterio de calidad en los ensayos de control.

La tiesura de un material puede determinarse de un ensayo de flexin

en el cual la carga y la deflexin se observan. El mdulo de elasticidad


46

para el material en flexin se calcula mediante el uso de una frmula

de deflexin elstica.

Probetas para ensayos de flexin

Para determinar el mdulo de ruptura para un material dado, la viga bajo ensayo debe proporcionarse de tal manera que no falle por corte o deflexin lateral antes de alcanzar su ltima resistencia a la flexin. Para producir una falla por flexin, la probeta no debe ser demasiada corta con respecto al peralte de la viga, e inversamente, si se desea la falla por esfuerzo cortante, el luz no debe ser demasiado largo.

Aunque se usen vigas de una variedad de formas para labores de ensayo especiales e investigativas. Se utilizan probetas normales para el ensayo rutinario y de control de un nmero de materiales comunes tales como el hierro fundido, el concreto, el ladrillo y las maderas.

Realizacin de los ensayos de flexin de las vigas

La realizacin de ensayos rutinarios de flexin es usualmente simple. Ordinariamente slo el mdulo de ruptura se requiere; ste se determina de la carga al ocurrir la ruptura y de las dimensiones de la pieza (luz y seccin transversal crtica).

Los bloques de apoyo y carga se indican con un grado de exactitud razonable, digamos 0.2 % del largo del luz. El montaje de apoyos y probeta debe colocarse centralmente en la mquina de ensayo y debe revisarse para cerciorarse de que estn debidamente alineados y puedan funcionar segn se desee. Los deflectmetros y los deformmetros deben ubicarse cuidadosamente y revisarse para cerciorar de que operen satisfactoriamente y se les ajusta para funcionar sobre el rango requerido.

Efectos de las variables importantes en los ensayos de flexin

En los ensayos de flexin de materiales quebradizos, algunos de los factores ms importantes que afectan los resultados son tipo y la velocidad de carga, el largo del luz; y las dimensiones seccinales transversales de la viga.


47

El efecto del tipo de carga lo ilustran los resultados de nmeros ensayos de concreto, los cuales para tres tipos comunes de cargado son los siguientes:

o En una luz simple, el mximo valor del mdulo de ruptura se obtiene de carga central. Los valores computados sobre la base del momento al centro de la luz tienden a ser un poco mayores (aproximadamente 7%) que los valores computados sobre la base del momento en la seccin de ruptura.

o La carga en voladizo tiende a arrojar valores ligeramente ms altos

que la carga central sobre una luz simple, aunque prometidamente la diferencia no es grande.

o La carga en los tercios sobre un luz simple arroja resultados

invariablemente un poco menores que la carga central (en trminos generales entre 10 y 25%); parece razonable suponer que como la resistencia del material vara un tanto a todo el largo de la viga, en la carga en tercios, la seccin ms dbil (de aquellas sometidas a momento constante) se busca. Estas relaciones probablemente subsistiran cuando menos en principio, para otros materiales quebradizos. En general, el mtodo de carga en los tercios parece arrojar los resultados ms concordantes.

La rigidez en flexin

En los ensayos de doblado de algunos materiales, tales como el alambre y los plsticos la ASTM especifica que tanto el momento flexionante como el ngulo de flexin sern observados. Como el ngulo observado posee componentes tanto elsticos como plsticos, un verdadero mdulo elstico no puede calcularse de los datos de ensayo. Sin embargo, un valor aparente se obtiene, y se define para propsitos del ensayo, como la rigidez del material en flexin.

2.2 CORTANTE

La fuerza cortante viene a ser el resultado de la accin de fuerzas verticales que actan en una seccin determinada de una viga y tiende a cortar la viga, tal como muestra la figura 40.


48

(Fig.40)

La fuerza cortante resultante genera esfuerzos horizontales y verticales. Los esfuerzos horizontales generados se pueden demostrar si se toma una viga profunda de madera y se le corta en una serie de tablones horizontales como muestra la figura 41. Los tablones individuales se deslizan entre ellos, y su resistencia es mucho menor que la de la viga de la cual fueron cortados. Si ahora prensamos los tablones con mordazas grandes de manera que la accin de deslizamiento sea impedida, se restaurar la resistencia original de la viga. Los esfuerzos cortantes verticales y horizontales son iguales ya que los momentos generados por estos son iguales, impidiendo que la viga rote.

(Fig. 41) En este ejemplo se muestra el deslizamiento que tiende a ocurrir entre superficies de tablones adyacentes al ser


49

flexionados. La fuerza cortante genera esfuerzos horizontales y verticales

La combinacin de estos esfuerzos cortantes genera esfuerzos de compresin y esfuerzos de traccin diagonal, los cuales se ilustran en la figura 42.

a) Elementos de Esfuerzo.

b) Trayectorias de Esfuerzos.

c) Fisuras Inclinadas. Fig 42. Efectos de la tensin diagonal en vigas de concreto a), b) y c).


50

En la actualidad, aunque son muchos los problemas de ingeniera que han enfocado su atencin en la transferencia de cortante en vigas de concreto armado, son pocos an los trabajos donde se ha estudiado la aplicacin de lminas de FRP (Laminas de Fibra de Carbono), en el

refuerzo o reparacin a cortante, de vigas de concreto armado. Existen varios tipos de secciones transversales en vigas de concreto armado, pero, en general, el tipo de falla en vigas sin armadura a cortante es muy semejante entre ellas. A continuacin, en la figura 43 se dan ejemplos de ello.


51

Fig 43. Tipos de fallas por cortante a), b), c).

2.2.1.- Distribucin de las fuerzas en una viga fisurada

En la teora tradicional se aceptaba en forma general que la zona a compresin no fisurada (Vc) soportaba todo el cortante resistido por el concreto (Vh), pero investigaciones posteriores (ver Fig. 41) indican que parte del cortante se soporta por la accin de dovela del acero

longitudinal Vd (alrededor de 10 a 20% del cortante total) y parte la transmiten fuerzas ( aspereza superficial o transferencia de cortante en la superficie de interaccin Va) a lo largo de la fisura por tensin diagonal. De hecho parece que Va es alrededor de un 45 a 60% del corte total y que el cortante en la zona de compresin apenas es del 20 a 35% del total. Dichas referencias (Cornell Sructural Testing laboratory) suponen que conforme las fisuras a tensin diagonal se abren bajo carga creciente, Va decae y cuando la zona a compresin no puede absorber el cortante que crece rpidamente, adems de la compresin, ocurre la falla a cortante por aplastamiento del concreto en la zona a compresin. Tambin se presenta la contribucin de resistencia a cortante a lo largo del acero a tensin como se indica en Vd. En la figura 44 se observa como se presenta cada una de las contribuciones al esfuerzo cortante nominal por parte del concreto (Vh = Vc + Va + Vd). (Willems, Easley, Rolfe, 1981)


52

Fig 44. Resistencia al esfuerzo cortante.


53

CAPITULO III

III MTODO DE LA RIGIDEZ EN LA SOLUCIN DE

ESTRUCTURAS.

INTRODUCCIN

Este mtodo es aplicable generalmente a todos los tipos de estructura, incluyendo aquellos formados por vigas, columnas, placas, cascarones y otros elementos estructurales. En este libro solo se analizaran estructuras reticulares, ya que estos son los ms comunes en la prctica de la ingeniera y proporcionan buenos ejemplos con los que ilustrare este mtodo. Este mtodo involucra formulaciones matemticas que se hacen mediante el lgebra matricial, lo que permite una generalizacin inmediata a estructuras muy complicadas, siendo esta una ventaja en la notacin matricial. Tambin el uso de matrices plantea el problema en una forma ideal para programacin en calculadoras, HP, computadoras, etc., este hecho representa probablemente la primera motivacin para utilizar el mtodo de la rigidez. 3.1 CONSIDERACIONES BASICAS DEL METODO.

Rigidez.-Fuerza o par, que aparece ante un alargamiento o giro unitario

Flexibilidad.- Alargamiento o giro producido por una fuerza o par

unidad 3.1.1 Sistema de coordenadas; discretizacion

o Sistema de referencia

Es un sistema cartesiano que permite la definicin geomtrica de la estructura (coordenadas de los nudos, longitudes de los elementos, etc.).

o Discretizacion

Proceso de disociar la estructura en elementos (unidos en los nodos)

o Sistema local


54

En cada barra o elemento de la estructura definiremos un sistema local, al que referiremos los movimientos y fuerzas de cada barra.

o Sistema global

Puesto que en el proceso de discretizacion de la estructura se ha supuesto sta formada por un conjunto de elementos y nodos, ser preciso definir un sistema nico, global, que permita referir a l de forma nica y para toda la estructura los movimientos y fuerzas de los nodos.

o sistema nodal

A veces, para facilitar ciertas condiciones de contorno (caso de un patn,) ser conveniente definir un sistema nodal de coordenadas, distinto del global, operando conjuntamente con ambos.

o Cargas nodales equivalentes

Hasta ahora hemos supuesto que las cargas estaban aplicadas en los nudos, y por lo tanto existe una correspondencia biunvoca entre los puntos de aplicacin de las cargas y los desplazamientos que estn siendo calculados. Si esto no ocurriera, por ejemplo tuviramos cargas en el tramo de las barras, en forma distribuida o concentrada, debemos sustituir las cargas en las mismas por un sistema de cargas equivalentes aplicadas en los nodos que produzca en la estructura el mismo efecto que las cargas originales. Aplicando el principio de superposicin, que es vlido por haber supuesto que el sistema es lineal, podemos descomponer las cargas tal como se indica en la figura 45:

Fig 45: Barra de prtico con cargas en el tramo


55


56

Decimos entonces

En este mtodo las incgnitas son los desplazamientos de los nudos de la estructura, por lo que el nmero de las incgnitas que debe calcularse es igual al grado de indeterminacin cinemtica. Este mtodo involucra el uso extensivo de acciones y desplazamientos en miembros con extremos empotrados por lo que se har uso de la siguiente tabla 1.0


57

Donde: G = Modulo de Corte l = Constante de torsin

La tabla 1.0 enumera formulas para acciones de empotramiento producida por desplazamientos en uno de los extremos del miembro. Los casos 1 y 2 son para traslaciones axiales y laterales en el extremo b del miembro a travs de una pequea distancia A mientras que los casos 3 y 4 son para rotaciones. La rotacin a travs del ngulo , mostraba en el caso 3 produce flexin en el miembro mientras que la rotacin a travs del ngulo en el caso 4 produce torsin. Por lo


58

general el caso 1 se utiliza para el anlisis de armaduras el caso 3 para miembros sometidos a flexin, pero por lo general se requiere el uso de los cuatro casos para un anlisis completo del mtodo de la rigidez. Considerando el siguiente miembro prismtico con sus extremos i, J, con unos ejes ortogonales X, Y, Z, tal que X coincide con el eje centroidal del miembro y es positivo de i @ J.

Fig 46.

La figura 46 muestra un segmento de viga de un prtico espacial con sus doce coordenadas nodales numeradas consecutivamente. La convencin adoptada consiste en enumerar primero los tres desplazamientos lineales del primer nudo y luego los tres desplazamientos angulares del mismo nudo, para despus continuar con los tres desplazamientos lineales y los tres desplazamientos angulares del segundo nudo. Las dobles flechas de la figura 47 indican las coordenadas rotacionales, mientras que las coordenadas de desplazamiento (traslacin) se indican con una sola flecha.


59

Fig 47.

Fig 48.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

EA

L

12 EIz

l

12 EIYl

GJ

l

-6 EIY 4 EIYl l

6 EIz 4 EIz

l l

[K]= -EA E Al l

-12 EIz -6 EIz 12 EIz

l l l

-12 EIY 6 EIY 12 EIYl l l

- GJ GJ

l l

-6 EIY 2 EIY 6 EIY 4 EIYl l l l

6 EI Z 2 EIz -6 EIz 4 EIz

l l l l

0

0

0

0

0

0

0

0 0

0 0

0

0

0

0

0 0

0

0 0

0

0

0 0 0

0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

00

0 0


60

Anlogamente a los seis primeros grados de libertad descritos, se puede realizar para los otros seis, quedndonos una matriz de 12 * 12 (filas y columnas), lo que representa la matriz de rigidez para un elemento de un prtico tridimensional, en que Iy e Iz son respectivamente, lo momentos de inercia de la seccin transversal de la viga, con respecto a los ejes principales en las direccines Y , Z, l, A y J son respectivamente la longitud, el rea de la seccin transversal y la constante torcional del elemento. La matriz de rigidez mostrada (ver figura 48) es una matriz simtrica. El clculo de la matriz rigidez de un miembro depende de las solicitaciones a la que esta sometida, es por ello que esta se rige a un sistema de coordenadas local. Es por ello que para estructuras sometidas solo a deformaciones axiales (armaduras), se utiliza la siguiente matriz.

Pasos a seguir el la resolucin de problemas:

1.- aplicar un desplazamiento unitario, grado de libertad o

coordenada de inters 2.- verificar la transformacin o deformada que ocurre en el

elemento local tanto en el nudo ( i ) Y ( j ) 3.- ensamblar la matriz de compatibilidad

4.- para todo elemento sometido a flexin utilizarlas siguientes

expresiones

5.- finalmente se ensambla la matriz de rigidez utilizando la de las compatibilidades


61

eet

e akaastructuraK .. Donde:

ea Matriz equivalente de compatibilidad

eK Matriz de un elemento sometido a flexin

Sistema de referencia 1 2 i j

Figura 49.

+ i + j Figura 50.

Nota.- se llama matriz de compatibilidad a la relacin existente entre los desplazamientos globales de la estructura y las deformaciones locales de los elemento


62

3.2 PROBLEMAS RIGIDEZ LATERAL METODO COMPATIBILIDAD.

Problema 1

Calcula la matriz de rigidez para los grados de libertad mostrados.

Figura 51.

En el sistema global que se muestra los G. D. L. *Grados de libertad 5 y 6 pueden ocurrir libremente, pero los primeros cuatro G. D. L. Estn restringidos por los apoyos. Por lo tanto para este ejemplo se genera una matriz de 6 * 6, que contiene todos los desplazamientos (D) de nudo posible, incluyendo aquellos restringidos por los apoyos. La construccin de la matriz de rigidez toma en consideracin los seis desplazamientos unitarios y el eje de referencia local o sistema equivalente que se muestra. Para el problema se tiene la siguiente matriz de desplazamiento:


63

Pasos a seguir para la solucin:

- Aplicar el desplazamiento unitario al G. D. L.

Correspondiente, graficando sus desplazamientos

- Los efectos que ocurren en los elementos trasladarlos

a los nudos.

- Verificar el equilibrio en los nudos, correspondientes a

los G. D. L.

- Ensamblar la columna de rigidez correspondiente al G.

D. L.

* Primera columna de la Matriz de Rigidez [D] = (1, 0, 0, 0, 0, 0)

T (Desplazamiento transpuesta)

Los smbolos , mantienen el equilibrio el nudo y representan al G. D. L. De la matriz de rigidez.


64

* Segunda columna de la Matriz de Rigidez [D] = (0, 1, 0, 0, 0, 0)

T

1 2 6 EI 6 EI 6 EI 6 EI l l l l 12EI 12EI 12EI 12EI l l l l

K21 = 12 EI ; K22 = 12 EI +12 EI = 24 EI l l l l K23 = -12 EI ; K24 = 6 EI ; K25 = 0 ; K26 = 6 EI l l l

-12 EI / l 24 EI / l

[K]2 = -12 EI / l -6 EI / l 0 6 EI / l

* Tercera columna de la Matriz de Rigidez: [D] = (0, 0, 1, 0, 0, 0)

T

1 6 EI 6 EI 3 l l 12EI 12EI


65

l l

0 -12 EI / l 12 EI / l

[K]3 = 0 -6 EI / / l -6 EI / l

*Cuarta Columna de la Matriz de Rigidez [D] = (0, 0, 0, 1, 0, 0)

T

1 4 4 EI 2 EI l l 6EI 6EI l l

6 EI / l -6 EI / l

[K]4 = 0 4 EI / / l 2 EI / l 0

* Quinta Columna de la Matriz de Rigidez


66

[D] = (0, 0, 0, 0, 1, 0)T

5 2 EI 4 EI 4 EI 2 EI l l l l 6EI 6EI 6EI 6EI l l 0 l l

6 EI / l 0

[K]5 = -6 EI / l 2 EI / / l 8 EI / l 2 EI / l

* Sexta Columna de la Matriz de Rigidez [D] = (0, 0, 0, 0, 0, 1)

T

1 6 2 EI 4 EI l l 6EI 6EI l l

0 6 EI / l

[K]6 = -6 EI / l 0 2 EI / l 4 EI / l


67

Finalmente ensamblamos la Matriz de Rigidez

Problema 2

Calcular la matriz de rigidez para los grados de libertad mostrados. 2 3 1 + + L2 + L1 (Sistema Local) L1 (Sistema global) * 1ra Columna al 1er G. D. L. 1 1 12 EI 12 EI L1 L2 = 6 EI 6 EI L1 L2

1 2 3 4 5 6

12 EI -12 EI 6 EI 6 EI

l l l l

-12 EI 24 EI -12 EI -6 EI 6 EI

l l l l l

-12 EI 12 EI -6 EI -6 EI

[K]= l l l l

6 EI -6 EI 4 EI 2 EI

l l l l

6 EI -6 EI 2 EI 8 EI 2 EI

l l l l l

6 EI -6 EI 2 EI 4 EI

l l l l0

0

0 0

0

0

0

0

0

0


68

12 EI + 12 EI L1 L2 [K]1 = 6 EI L1 6 EI L1 * 2da Columna al 2da. G. D. L. 4 EI 2EI 2 L1 L1 4 EI = L1

6 EI L1 [K]2 = 8 EI L1 2 EI L1 * 3ra Columna al 3ra. G. D. L. 2 EI 4EI 3 L1 L1 6 EI 4 EI = L2 L2


69

6 EI L2 [K]3 = 2 EI L1 4 EI + 4 EI L1 L 2 Ensamblando La Matriz de Rigidez:

Problema 3

Calcular la matriz para los G. D. L. Mostrados: 2 3 4 l 1 l l + + + Sistema Local

12 EI + 12 EI 6 EI 6 EI

L1 L2 L1 L2

[K] = 6 EI 8 EI 2 EI

L1 L1 L1

6 EI 2 EI 4 EI + 4 EI

L2 L1 L1 L2 3 * 3


70


71

Solucin: 1ra Columna al primer grado de libertad: [D] = (1, 0, 0, 0)

T

6EI 3EI2 (l 2) l 2EI 1 4EI l2 1 l2 3 EI 2 l 45 45 3 EI 90 N l

4EI / l2 2 EI / l2

[ K ]1 = 0 3 EI 2 / l

2DA. Columna al Segundo grado de libertad [D] = (0, 1, 0, 0)

T

4 EI 2 EI 3EI2 2 l l l 4EI 3EI l 2 l 6 EI 6EI l 2EI (l2) l2 3 EI 2

N l

90 45 45 45 6 EI 45 3 EI 90 N l l


72

2EI / l2 4 EI / l2 + 4 EI / l

[ K ]2 = 2 EI / l 3 EI 2 / l - 6 EI / l

3ra. Columna al tercer grado de libertad [D] = (1, 0, 0, 0)

T

2EI 4EI l l 6EI l N 90 45 6 EI l

45

0 2 EI / l

[ K ]3 = 4 EI / l 6 EI / l

4ta. Columna al cuarto grado de libertad. [D] = (1, 0, 0, 0)

T

1 1 4 12EI2

12EI*2=6EI l (l2) l 6EI * 2 = 3 EI 2

(l2) l

6 EI 2/l 45 45 12 EI 6 EI N l l 90


73


74

3EI2 l 3 EI 2 - 6 EI l l

[ K ]1 = 6 EI l 6 EI 2 + 12 EI

l l Finalmente ensamblamos la matriz de rigidez

Problema 4

Calcular la matriz de rigidez para los G. D. L. mostradas: 1 2 3 l l l l + +

4 EI 2 EI 3 EI 2

l 2 l 2 l

2 EI 4 EI + 4 EI 2 EI 3 EI 2 - 6 EI

[K] = l 2 l 2 l l l l

2 EI 4 EI 6 EI

l l l

3 EI 2 3 EI 2 - 6 EI 6 EI 6 EI 2 -12EI

l l l l l l 4 * 4

0

0


75

e Sistema Local Equivalente * Primera Columna al primer G. D. L.

[D] = (1, 0, 0)T

1 1 12 EI (2) 12 EI (l1 2) l2 12 EI (2) = 6 EI (l1 2) l1 6 EI 2 12 EI l1 l2 12 EI 6 EI l2 l1 K11 = ( 6 EI 2 ) + 12 EI l1 l2 6 EI 6 EI l2 l2 3EI2 6 EI (2) = 3 EI 2 l1 (l1 2) l1


76

K12 = 3 EI 2 - 6 EI l1 l2 K13 = 3 EI 2 - 6 EI l1 l2

12 EI2 + 12 EI l1 l2

[ K ]1 = 3 EI 2 - 6 EI l1 l2 3 EI 2 - 6 EI

l1 l2 * Segunda Columna al segundo G. D. L.

[D] = (0, 1, 0)T

2 1 4 EI 4 EI

l2 l2 6 EI 4 EI l2 l1 2 6 EI = 3 EI (l1 2) l1 3 EI 2 6 EI l1 l2 6 EI 90 3 EI 90 l2 l1

3 EI2 - 6 EI l1 l2


77

[ K ]2 = 4 EI + 4 EI l12 l2 2 EI

l2 * Tercera Columna al tercer G. D. L.

[D] = (0, 0, 1)T

3 1 2 EI 4 EI

l2 l2 6 EI l2 6 EI = 3 EI (l1 2) l1 4 EI l1 2 6 EI l2 90 3 EI 4 EI l1 l1 2 3 EI 2 l1

3 EI2 - 6 EI l1 l2

[ K ]3 = 2 EI l2 2 EI 2 + 4 EI

l1 l2


78

1 2 3

12 EI 2 + 12 EI 3 EI 2 - 6 EI 3 EI 2 - 6 EI

l1 l2 l1 l2 l1 l2

[K] = 3 EI 2 - 6 EI 4 EI + 4 EI 2 EI

l1 l2 l1 2 l2 l2

3 EI 2 - 6 EI 2 EI 2 EI 2 + 4 EI

l1 l2 l2 l1 l2 3 * 3

1

2

3

Ensamblando la matriz de rigidez: Los problemas 3 y 4 representan las dificultades tpicas en elementos inclinados, para la solucin de estos problemas es necesario el conocimiento del lgebra vectorial. Cada columna de la matriz de rigidez representa los efectos actuantes debido al desplazamiento o giro unitario aplicado a la estructura. Al ensamblar la matriz de rigidez se debe verificar que sea transpuesta y que la diagonal mayor sea positiva en todas las celdas.

Problema N 5

Calcular la matriz de rigidez para los g. D. L. Mostrados. 5 6 2 L 1 3 4 + + L (Sistema Local) (Sistema Global)


79

* 1ra Columna al primer G. D. L. [D] = (1, 0, 0, 0, 0, 0)

T

48 EI L -24 EI L 0 1 = [ K]1 = 0 -6 EI L -6 EI L * 2da Columna al segundo G. D. L.

[D] = (0, 1, 0, 0, 0, 0)T

2 -24 EI L 24 EI L 6 EI L = [ K]2 = 6 EI L 6 EI L 6 EI L * 3ra Columna al tercer G. D. L.

[D] = (0, 0, 1, 0, 0, 0)T

0

Analisis Estructural - Godiño Poma

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