www.civilgeeks.com ANLISIS ESTTICO DE ESTRUCTURAS, PRIMERA EDICIN Copyright 2005. El autor Editan: Centro de Actualizacin de Conocimientos Colegio de Ingenieros Civiles de Pichincha Quito - Ecuador Centro de Investigaciones Cientficas Escuela Politcnica del Ejrcito. Av. El Progreso s/n Valle de los Chillos, Ecuador Registro de Autor: 018400 ISBN-9978-310-01-1 ISBN-978-9978-310-01-2 Imprime: FRONTIER PUBLICIDAD IMPRESO EN ECUADOR ANLISIS ESTTICO DE ESTRUCTURAS 1EDICION ROBERTO AGUIAR FALCONI Centro de Investigaciones Cientficas Escuela Politcnica del Ejrcito Quito Ecuador ANLISIS ESTTICO DE ESTRUCTURAS A mi Madre PRESENTACIN La Escuela Politcnica del Ejrcito y el Colegio de Ingenieros Civiles de Pichincha cumpliendo conunadesusfunciones,cualeseldeelevarelniveltcnicodelosprofesionales,hanapoyadoa uno de los investigadores ms notables del pas en el rea de la Ingeniera Sismo Resistente, como es el Dr. Roberto Aguiar Falcon, en la publicacin del libro: Anlisis Esttico de Estructuras, que sin lugar a dudas ser para los estudiantes una fuente de consulta y para los profesionales un verdadero manual que les servir para el anlisis y diseo de estructuras. La mayor parte de proyectistas estructurales emplean el SAP2000, unos en forma eficiente y otros no. Para los ltimos est orientado el libro que se presenta, ya que pueden analizar la solucin de estructuras pequeas, desde la obtencin de la matriz de rigidez de un elemento en coordenadas globales hasta la determinacin cada cuarto de la luz de las ordenadas de la elstica y de las cargas actuantes, utilizando para el efecto los programas que el autor ha desarrollado. El proyectista que no domina elSAP200, una vez que resolvila estructura pequea puede verificarlosresultadosutilizandoelmencionadoprogramaysisalenigualespasaraldiseodela estructura que le han encomendado. Unaspecto,dignoderesaltardellibro,eslamaneracomoelautorpresentalosproblemas estructuralesdesdeunpuntodevistamatemticoylasolturacomoresuelvelasecuaciones diferencialesenformaanalticaoenformaaproximada,empleandomtodosnumricos.Detal maneraqueelestudiantedeIngenieratomarconcienciadelaimportanciadeloscursosde matemticas que recibi en los primeros aos de su carrera. Porotraparte,elautorrindehomenajealIng.AlejandroSegoviaGallegos,alpresentarla teoradevigasdecimentacinsobresueloelstico,porquenohaperdidovigenciayesmuy importante que las actuales generaciones conozcan el trabajo que desarroll este gran hombre en la dcada de los aos setenta del siglo pasado. Escribirunlibro,comolohahechoelDr.RobertoAguiarFalcon,noestareafcilyaque demandagrantiempopresentarlateora,resolverlasecuacionesdiferenciales,elaborarprogramas decomputacineilustrarelusodelosmismosmedianteeldesarrollodeunagrancantidadde ejemplos, es por eso que a nombre de los profesionales a quienes represento, dejo constancia de mi agradecimiento y felicitacin a nuestro estimado colega y socio activo. PorltimomifelicitacinsehaceextensivaalCentrodeInvestigacionesCientficasdela EscuelaPolitcnicadelEjrcito,porelaportequeestnbrindandoaldesarrollodelaIngeniera Estructural en el Ecuador. Ing. Jorge Merlo Paredes Presidente del Colegio de Ingenieros Civiles de Pichincha PRLOGO Ellibroiniciaconunrepasodealgebramatricialorientadoaqueellectorpuedaresolver completamente una estructura utilizando el programa CAL, Computer Assisted Learning of Structural Anlisis,desarrolladoporelProf.EdgardL.WilsondelaUniversidaddeBerkeley.Esteesun programa muy didcticoque sirve para consolidar lo estudiado en Anlisis Matricial de Estructuras oenDinmicadeEstructuras.Ellectorparausaresteprogramadebeconocercomoseresuelve paso a paso una estructura ante cargas esttica o cargas dinmicas. Enelanlisisestticoesbsicolasolucindeecuacioneslinealesporestemotivoenel captulo uno se resuelve un ejemplo por el mtodo de eliminacin de Gauss habida cuenta que a ms deservirparalasolucindeecuaciones,elmtodopermiteenlaetapadetriangularizacindel sistemaencontrarlamatrizderigidezlateral,portodoestoesbsicoqueseconozcaestemtodo que es clsico dentro de los Mtodos Numricos. Resolver ecuaciones lineales con CAL se convierte al uso de un solo comando, es muy sencillo pero lo que interesa es que se conozca el algoritmo. Enelprimercaptulotambinseabordaelclculodelosvaloresyvectorespropios empleando el mtodo de Jacobi, que tambin es un clsico en el campo de los Mtodos Numricos. El clculo de los valores y vectores propios sirve para determinar las propiedades dinmicas de una estructura y para calcular los modos de vibracin, de ah la importancia del estudio de este tema, con detalle, como se lo presenta en el captulo uno. Enelcaptulodosseresuelven:prticosplanos,prticosespaciales,armadurasplanasy armaduras espaciales, paso a paso por medio del programa CAL. Al final del captulo se presenta el ensamblajedirectodelamatrizderigidezenunprticoplanoperoallectordesdeelcomienzodel captuloselehaceverquelasolucindecualquierestructuraantecargasestticas,medianteel MtododelosDesplazamientosesgeneralporestemotivosisabecomoserealizaelensamblaje directodelamatrizderigidezenprticosplanos,tambinconocecomoserealizaencualquier estructura.CALestorientadoaresolverloscuatrotiposdeestructurasindicadosalcomienzode este prrafo. Elobjetivodeestelibroesenseararesolverlasestructurasbsicascomoson: prticosplanos,prticosespaciales,armadurasplanas,armadurasespaciales,mallas espacialesenelaire,vigasdecimentacin,mallasdecimentacinyprticosplanos incluyendolasvigasdecimentacin.Porstoesqueseestudialosgradosdelibertaddelas estructuras,losvectoresdecolocacin,lasmatricesderigidezdeloselementosencoordenadas localesyglobales,elensamblajedelamatrizderigidezdelaestructura,elvectordecargas generalizadas,lasolucindelsistemadeecuacioneslinealesparaencontrarlosdesplazamientosy girosdelosnudos,ladeterminacindelasaccionesfinalesenlosextremosdeloselementosen coordenadasglobalesyencoordenadaslocales.Todoestodelaformacomoresuelvenlos programasdeordenador.Enelcaptulodossedetallatodoesteprocedimientodeclculoenlas estructuras que puede resolver el programa CAL. En el captulo tres se presenta la solucin de prticos planos de seccin constante con carga uniformedistribuida,cargatriangularocargatrapezoidalempleandoDiferenciasFinitasyaque se desea encontrar la respuesta en puntos interiores a los elementos, concretamente se desea hallar los desplazamientos, giros, momentos, cortantes y fuerza axial, cada cuarto de la luz y la mejor forma Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPE iv deresolverestoesconMtodosNumricosydentrodeelloslasDiferenciasFinitasesuna alternativa muy buena. Otrodelosobjetivosdeestelibroesproporcionarallectorprogramasdeordenador paralasolucindeprticosplanosconlostiposdecargaindicadosenelprrafoanterior, mallas espaciales en el aire, vigas de cimentacin sobre suelo elstico, mallas de cimentacin y prticos planos incluyendo vigas de cimentacin para el efecto el autorha desarrollado los siguientes programas: PLANO, MALLA, CIMEVIGA, CIMMALLA, CIMPLANO. El SAP2000 es un programa que resuelve todos los tipos de estructura hasta aqu indicados y otrosms;adicionalmentelaentradaysalidadedatosesimpresionante,tantoquevislumbraal usuarioylehacepensarquehaintroducidocorrectamentelosdatos,silohahechoasenbuena horaysinohasuministradolosdatosenformaadecuadavaacometererror.Porestemotivose recomiendaalosproyectistasestructuralesqueantesderesolver,porejemplo,unamallade cimentacindeunedificiobastantegrande,seimpongaunapequeadecuatroelementosyla resuelvautilizandoelprogramaCIMMALLAyelSAP2000,sillegaatenerlosmismosresultados, significaquesabeutilizarelSAP2000ypuedeprocederaresolverlacimentacindeledificioreal, casocontrarioconvienequeestudieconmsdetenimientoelmanualdelSAP2000oensudefecto utilice el programa CIMMALLA. Todoslosprogramasdesarrolladosreportanalcomienzounaseriedeinformacin sobre lo que est ejecutando el programa, sto con el propsito de que se vaya realizando un seguimientodelclculoperoalfinalreportanresultadosquesonmuyprcticoscomolas ordenadas de la elstica cada cuarto de la luz y las fuerzas o momentos, tambin cada cuarto de la luz. Retomandoconladescripcinrpidadeloscaptulosdellibrosedebeindicarqueenel captulocuatroseresuelvenmallasespacialestambinconocidasconelnombredeparrillas,se obtiene la solucin analtica exacta para la ecuacin diferencial que gobierna la flexin y para la ecuacindiferencialquegobiernalatorsin.Comoaplicacionessepresentanlasolucinde balconesenvoladizo,delosasalivianadasconbordesempotrados,apoyadosolibres,la solucin de losas con aberturas de tal manera que el libro tambin es prctico. Enelcaptulocincoseresuelvevigasdecimentacinsobresueloelstico,utilizandolos formulariosdesarrolladosporelqueridoyrecordadomaestroIng.AlejandroSegoviaGallegospero orientados a la solucin matricial, de esta manera no se deja en el olvido la gran labor que realiz tan destacadoinvestigador,paraquienesfueronsusalumnosvaasermuygratorecordarlaformatan particular que tena elIng. Alejandro Segovia Gallegos en presentar las ecuaciones en tablas y dicho de paso es muy til ya que ahorra espacio en la formulacin. El captulo seis est dedicado a la solucin de mallas espaciales de cimentacin sobre suelo elsticosepresentalasolucinanalticaexactaquefuedesarrolladaporelIng.AlejandroSegovia Gallegos, adaptada al Anlisis Matricial de Estructuras y finalmente en el captulo siete se resuelven prticosplanosincorporandovigasdecimentacin,estemodelodeclculoesadecuadocuandoel suelo en que se va a construir es blando o de dureza intermedia. Loquemstieneellibroesunagrancantidaddeejerciciosresueltosyaquelos ejemplosayudanaconsolidarlateoraaprendidaysonunafuentedeverificacindelos programas que se entregan con el libro. Quito, 13 de marzo de 2006 Dr. Ing. Roberto Aguiar Falcon Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPE 163 REFERENCIAS 1.AguiarR.,(1987)DiferenciasFinitasenelAnlisisEstticodeEstructuras,Colegiode Ingenieros Civiles del Guayas, 129 p, Guayaquil. 2.AguiarR.,(1989)Parrillasdecimentacindeseccinconstante,UnCaptulodelas Memorias del I Curso de Cimentaciones. Escuela Politcnica del Ejrcito, 31 p, Quito. 3.AguiarR.,(1991)AnlisisSsmicodeEstructurasenformadepnduloinvertido,Escuela Politcnica del Ejrcito, 325 p, Quito. 4.AguiarR.,(2004)AnlisisMatricialdeEstructuras,CentrodeInvestigacionesCientficas. Escuela Politcnica del Ejrcito, Tercera Edicin, 540 p, Quito. 5.CAL-91, (1991) Computer Assited Learning of Structural Analysis, Manual del Programa. 6.GereJ.,WaverW.,(1972)AnlisisdeEstructurasReticulares,CompaaEditorial Continental, S.A., Tercera Edicin, 535 p, Mxico. 7.Hidalgo W., (1989), Vigas de Cimentacin sobre suelo elstico, Un Captulo de las Memorias del I Curso de Cimentaciones. Escuela Politcnica del Ejrcito, 49 p, Quito. 8.SAP2000,(1996)IntegratedFiniteElementAnalysisandDesignofStructures,Computers and Structures, Inc. Berkeley California, USA. 9.SegoviaA.,(1976)VigasdeCimentacinsobresueloelstico,ApuntesdelCursode Estructuras. Facultad de Ingeniera Civil de la Escuela Politcnica Nacional, Quito. 10.WilsonE.,(1997)ThreeDimensionalDynamicAnalysisofStructures,Computersand Structures, Inc. Berkeley California, USA. CAPTULO 1 OPERACIONES MATRICIALES RESUMEN Seiniciaelcaptulopresentandolaformacomosesuma,resta,multiplicamatricesconel programaCAL,deigualmaneraseveelclculodelainversadeunamatriz.Posteriormentese presentala solucinde un sistema de ecuaciones lineales simtricoy se ve como se transforma un sistema de ecuaciones asimtrico en un simtrico. La solucin de ecuaciones lineales es fundamental para el anlisis esttico y el clculo de los valoresy vectores propios es bsico para el anlisis dinmico, por este motivo estos dos temas son tratados con bastante detenimiento en el presente captulo y es as que ha ms del uso del programa sepresentaelMtododeGauss,paralasolucindeecuacionesyelMtododeJacobi,parael clculo de valores propios ya que son dos mtodos clsicos que utiliza el programa CAL. Finalmente se ven otros comandos que se utilizarn encaptulos posteriores, especialmente en el dos y tres, los mismos que permiten trabajar con submatrices. 1.1 INTRODUCCIN El programa CAL permite realizaroperaciones matriciales como suma, restay multiplicacin dematrices.Tambinesfactibleobtenerlamatrizinversa,latranspuesta,resolverunsistemade ecuacioneslinealessimtricas,obtenerlosvaloresyvectorespropiosdeunamatrizytrabajarcon submatrices. El anlisis esttico y el anlisis dinmico de estructuras, en la poca actual, est orientado al usodelordenadorylaformamsfcildeprogramaresresolviendoenformamatricialelanlisis esttico y dinmico de las estructuras. Por este motivo es que el programa CAL maneja con bastante soltura las operaciones matriciales. En el desarrollo de los otros captulos se utilizan todos los comandos que aqu se presentan, razn por la cual se indica en forma muy rpida el uso de los mismos. CEINCI-ESPE Roberto Aguiar Falcon 2 1.2 OPERACIONES ELEMENTALES -EJEMPLO 1 Dadas las matrices: ((

=((

=((

=6 22 31 21 13 14 2C B A Por facilidad se han escrito matrices de 2 filas y 2 columnas; se aprecia que las matricesA y B sonasimtricasyaqueeltrmino ) 2 , 1 (A esdiferentedeltrmino ) 1 , 2 (A ,lopropiosepuededecir conlamatrizB .EncambiolamatrizC essimtricaconrespectoaladiagonalprincipalyse aprecia que ) 1 , 2 ( ) 2 , 1 (C C = . El primer subndice representa la fila y el segundo subndice la columna.Se desea encontrar: i. tA D = . La transpuesta de la matrizA. ii.B A E = . El producto de la matrizA por la matrizB . iii. 1 = C F . La matriz inversa deC . iv.B A G + = . La suma de la matrizA con la matrizB . v.C A H = . La diferencia de las matricesA con laC . SOLUCIN Para encontrar la transpuesta de una matriz se intercambian los elementos de las filas por los elementos de las columnas. Los elementos de la diagonal quedan igual. Para el ejemplo se tiene: ((

=3 41 2D Para multiplicar dos matrices se multiplican los elementos de las filas por los elementos de las columnas.Porestemotivoparaquesepuedarealizarelproductomatricialesnecesarioqueel nmero de filas de la una matriz sea igual al nmero de columnas de la otra matriz. ((

=((

- + - - + -- + - - + -=((

((

= =2 72 101 3 ) 1 ( 1 2 3 1 11 4 ) 1 ( 2 2 4 1 21 21 13 14 2B A E Para obtener la inversa de una matriz, se debe hallar primero el valor del determinante que se va a denominarA . Luego los cofactores y finalmente se dividen los cofactores paraA . Para hallar loscofactoresseeliminalafilaycolumnadelcofactorquesebuscayseencuentraelvalordel determinante de la submatriz resultante. Se destaca que tienen signo en forma alternada +, -. 14 2 2 6 3 = - - = A Alserlamatrizde2X2elclculodeloscofactoresesdirectoparaelelemento6) 1 , 1 (= C , paraelelemento2) 1 , 2 ( ) 2 , 1 (= = C C ypara3) 2 , 2 (= C .Secambiandesignoempezandoporel elemento ) 1 , 1 (Cque se queda con el mismo signo, el trmino2) 1 , 2 ( ) 2 , 1 ( = = C C , etc.Luego: CEINCI-ESPE Roberto Aguiar Falcon 3 ( 1.1 ) ((

=(((((

= =21429 . 0 14286 . 014286 . 0 42857 . 01431421421461C F Se puede comprobar que: I C C C C = = 1 1 dondeIes la matriz identidad. Para el ejemplo que es de 2X2. La matrizIes: ((

=1 00 1I Para sumar dos matrices se suma el elemento de la fila i y columna j de la una matriz con el respectivo elemento de la fila i y columna j de la otra matriz. = + = B A G((

=((

+ + +=((

+((

4 33 31 3 2 11 4 1 21 21 13 14 2 Para restar dos matrices se resta elemento con elemento, igual que en la suma: ((

=((

=((

((

= =3 12 16 3 2 12 4 3 26 22 33 14 2C A H Cuando se tienen matrices de mayor orden, es muycomplicado resolver a mano porlo que se debe recurrir al uso de un programa de computacin. En este caso de CAL. 1.3 COMANDOS PARA OPERACIONES MATRICIALES SepresentanloscomandodeCALquesenecesitanpararesolverelejemplo1,seindica desde la forma como se carga una matriz hasta como se ejecuta el programa CAL. LOAD AR=? C=? ElcomandoLOADcreaunamatrizAdeRfilasyCcolumnas.Acontinuacindela definicindeLOADdebeindicarseloselementosdelamatrizAporfilas,los mismosquepueden estar separados por comas o por un espacio en blanco o por varios espacios en blanco. MULT ABC ElcomandoMULTcrealamatrizC conelproductodelasmatricesAyB ,siemprey cuando sea posible realizar el producto matricialB A C = TRAN AB ElcomandoTRANobtienelamatrizB conelcontenidodelatranspuestadeA.Detal manera que tA B =CEINCI-ESPE Roberto Aguiar Falcon 4 TMULTAB C ElcomandoTMULTobtienelamatriztranspuestadeAymultiplicaporlamatrizB .El resultado lo almacena en la matrizC . En consecuencia se tieneB A Ct= . PRINTA El comando PRINT imprime la matrizA por pantalla y tambin en el ARCHIVO.OUT donde sealmacenantodaslasoperacionesqueserealizanconCAL.Enlugardeescribirtodalapalabra PRINT puede escribirse nicamente la letra P, en la primera columna. TodaslasinstruccionesquesedeseenrealizarselasgrabaenunARCHIVOconcualquier nombre,convienequestenombretengapocasletras.Posteriormentecuandoseejecutael programa CAL en la versin que se disponga el programa pregunta el nombre del archivo de datos y una vez que el usuario da el nombre el programa le indica que el archivo de resultados tiene el mismo nombre con la extensin OUT. Es en ste archivo en que se va almacenando toda la secuencia de clculo. PRINTALABEL=3 Es otra opcin para imprimir la matrizA pero en este caso se desea escribir un ttulo antes de la matriz. En el archivo de datos despus de escribir PRINTA LABEL=3 se dejar una lnea en blanco luego de lo cual se escribe el ttulo y despus se dejar otra lnea en blanco. ADDA B El comando ADD realiza la suma de las matricesA yBel resultado lo almacena enA. Se destaca que el contenido de la matrizA, que tena antes de aplicar el comando ADD cambia, de tal manera que si a futuro va a realizar otra operacin con la matrizA debe guardar su contenido con el comando DUP. SUBA B El comando SUB realiza la operacinB Ay el resultado lo almacena enA. Tambin se pierde el contenido que tenaA antes de efectuar la resta de matrices. DUPA A1 Este comandocrea una matriz que se ha denominado A1 con el contenido de la matrizA. INVERTA El comando INVERT obtiene la matriz inversa de la matrizAy el resultado lo almacena en A.CEINCI-ESPE Roberto Aguiar Falcon 5 QUIT Sirveparaterminarlaterminacindeungrupodecomandos.FinalizalaejecucindeCAL cuando se llega al comando QUIT se sale automticamente del programa. RETURN El comandoRETURNes similaral comandoQUIT con la diferencia de que conel comando RETURNno se abandonael programa CAL sino que nicamente termina la ejecucin de un bloque de trabajo que fue identificado con la sentencia SUBMIT cuando se ejecuta el programa CAL. Por lo tanto se contina dentro del programa y se puede ejecutar otro bloque de trabajo. En el archivo de datos la primera instruccin es la identificacin de un bloque de trabajo esto se lohace con la letraB o con la letraA, seguido de un nmero. PorejemploB1 a continuacin se indicatodalasecuenciadeclculodeesebloqueypuedeterminarconelcomandoRETURN. Despus en el archivo de datos se puede tener otro bloque de trabajo, por ejemplo B2 y su secuencia detrabajoquefinalizaconRETURN,etc.CuandoseejecutaCALconlasentenciaSUBMITse especifica el bloque de trabajo que se desee calcular. SUBMIT NAME ElcomandoSUBMITvaacompaadodelnombredebloquedetrabajoquesedesea ejecutar.EnconsecuenciaNAMEeselbloquequepuedeserB1oB2oelbloquequesedesea ejecutar. Se recuerda que cada bloque finaliza con el comando RETURN o QUIT. C LaletraCenlaprimeracolumnaindicaalprogramaqueloquevieneacontinuacinson comentarios. -EJEMPLO 2 Presentar el archivo de datos para resolver el ejemplo 1 con programa CAL. ARCHIVO DE DATOS B1 LOADAR=2C=2 2 4 1 3 LOADBR=2C=2 1-1 2 1 LOADCR=2C=2 3 2 2 6 TRANAD PRINTD LAVEL=3 TRANSPUESTA MULTAB E CEINCI-ESPE Roberto Aguiar Falcon 6 ( 1.2 ) PRINT ELAVEL=3 MULTIPLICACION DE MATRICES DUP CC1 INVERT C PRINT CLAVEL=3 MATRIZ INVERSA DUP A A1 ADD A B PRINT A LAVEL=3 SUMA DE MATRICES SUB A1 C1 PRINT A1 LAVEL=3 RESTA DE MATRICES QUIT Los resultados son los indicados en el ejemplo 1. 1.4 SOLUCIN DE ECUACIONES ElprogramaCALresuelveecuacioneslinealesaplicandoelMtododeGausspero considerando que la matriz es simtrica. A continuacin se presenta dichomtodo con la realizacin de un ejemplo. -EJEMPLO 3 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales, paso a paso, por el Mtodo de Gauss. 40 5 350 10 242 3 2 83 2 13 2 13 2 1= + += + += + +X X XX X XX X X -SOLUCIN Se denominaA, a la matriz de los coeficientes de las incgnitas;Bel vector que contiene altrminoindependienteyX alvectordelasincgnitas.Detalmaneraqueelsistemade ecuaciones se representa de la forma B X A = Al escribir en forma matricial el sistema de ecuaciones se tiene: Ec ( 1) Ec (2) Ec (3) CEINCI-ESPE Roberto Aguiar Falcon 7 ((((

=((((

((((

4050425 1 31 10 23 2 8321XXX AlemplearelMtododeGaussenunaprimeraetapasedebetriangularizarelsistemaes decirformarunamatriztriangularsuperioromatriztriangularinferiordeloscoeficientesdelas incgnitas, esto se logra de la siguiente forma: i)Obtenercerosenlaprimeracolumna.Paraelefectolaprimeraecuacinsecopiatalcomo sta y luego se hace la Ec (2) - 82 de Ec (1). 5 . 39 25 . 0 5 . 9 0____ __________ __________5 . 10 75 . 0 5 . 0 250 10 23 2 13 2 13 2 1= + + = = + +X X XX X XX X X Siendo sta ltima la nueva ecuacin (2). Ahora se realiza: Ec (3) - 83 Ec (1). 25 . 24 875 . 3 25 . 0 0______ _ __________ __________75 . 15 125 . 1 75 . 0 30 . 40 5 33 2 13 2 13 2 1= + + = = + +X X XX X XX X X ii)Enunasegundasubetapaseobtienencerosenlasegundacolumnadelnuevosistemade ecuaciones que despus de la primera subetapa ha quedado de la siguiente forma: ((((

=((((

((((

25 . 245 . 3942875 . 3 25 . 0 025 . 0 5 . 9 03 2 8321XXX

A partir del trmino5 . 9 ) 2 , 2 ( = Ase obtendr un cero en la segunda columna para lo cual se realiza Ec (3) - 5 . 925 . 0 Ec (2). 211 . 23 868 . 3 0______ _______ __________039 . 1 007 . 0 25 . 025 . 24 875 . 3 25 . 03 23 23 2= + = = +X XX XX X Para el ejemplo se ha terminado la etapa de triangularizacin, el resultado obtenido es: CEINCI-ESPE Roberto Aguiar Falcon 8 ((((

=((((

((((

211 . 235 . 3942868 . 3 0 . 0 025 . 0 5 . 9 03 2 8321XXX Lasegundaetapacorrespondealasolucindelsistemaparalocualsecalculanlas incgnitas desde abajo hacia arriba, es decir usando la ltima ecuacin se halla 3X 6868 . 3211 . 233= = XEl valor de 3Xse sustituye en la ecuacin (2) y se obtiene 2X 0 . 45 . 95 . 39 6 25 . 02=+ - = XFinalmente se reemplaza 2Xy 3Xen la ecuacin (1) para calcular 1X 0 . 2842 6 3 4 21=+ - - = X Por lo tanto la solucin del sistema de ecuaciones reporta: ((((

=00 . 600 . 400 . 2X SOLVE A B ElcomandoSOLVEresuelveecuacioneslinealessimtricas.EnAseindicalamatrizde coeficientesyenB eltrminoindependiente.Lasolucindelsistemadeecuacionesvieneenla matriz B. LOOPEND N=? ElcomandoLOOPrealizaelnmeroespecificadoenN=?,lassentenciascomprendidas entre LOOP en que se inicia el lazo y END en que finaliza el lazo. IFM1M2 ElcomandoIFsirveparasalirdeunLOOP.EnefectosiM1es menorqueM2sesaledel LOOP. -EJEMPLO 4 Resolverlossiguientessistemasdeecuacioneslineales,cuyamatrizdecoeficientesAes comn para los dos casos. CEINCI-ESPE Roberto Aguiar Falcon 9 ((((

=((((

((((

4050425 1 31 10 23 2 8321XXX ((((

=((((

((((

913135 1 31 10 23 2 8321XXX ARCHIVO DE DATOS B1 LOADAR=3C=3 823 2 101 315 LOADBR=3C=1 42 50 40 DUP A A1 LOOP ENDN=2 SOLVEAB PRINT B LOAD BR=3C=1 13 13 9 DUPA1 A END QUIT RESULTADOS Primer sistema de ecuaciones0 . 60 . 40 . 2321===XXX Segundo sistema de ecuaciones 0 . 10 . 10 . 1321===XXX Cuandosetieneunsistemadeecuacionesasimtrico,estedebeconvertirseenunsistema de ecuaciones simtrico multiplicando por la matriz transpuesta. -EJEMPLO 5 ResolverelsiguientesistemadeecuacionesasimtricasconprogramaCAL.Previamente convertirlo en simtrico. CEINCI-ESPE Roberto Aguiar Falcon 10 ((

=((

((

351 43 221XX Si se multiplica la ecuacin ( 1.2 ) por la matriz tAse tiene: B A X A At t= SeaA A Ct= yseaB A Dt= .Detalmaneraqueelsistemadeecuaciones(1.2) queda: D X C = que es simtrico. Para el ejemplo se tiene: ((

=((

((

=10 22 201 43 21 34 2C((

=((

((

=1222351 34 2D Luego el sistema de ecuaciones se ha transformado en: ((

=((

((

122210 22 2021XX ARCHIVO DE DATOS B1 LOAD A R=2 C=2 2 3 4-1 LOAD B R=2C=1 5 3 TRAN A AT MULTAT A C MULTAT B D SOLVEC D PRINTD QUIT RESULTADOS 1121==XX 1.5 VALORES Y VECTORES PROPIOS Un mtodo clsico para encontrar los valores y vectores propios de una matriz simtrica es el Mtodo de Jacobi. Los teoremas fundamentales en que se basa el mtodo son: CEINCI-ESPE Roberto Aguiar Falcon 11 ( 1.3 ) ( 1.4 ) Teorema1.DosmatricesAyBsedicenquesonsemejantessiexisteunamatriz que admite inversa P, tal que: P A P B1 = Teorema2.SiAyBsondosmatricessemejantes,entoncestienenlosmismos valores propios. Teorema3.Siunamatrizesdiagonal.Entonceslosvalorespropiossonlos elementos de la diagonal. Teorema 4. Toda matriz simtrica es diagonalizable en una base de vectores propios. Definicin de Matriz Ortogonal. Una matriz H se dice que es ortogonal, si: t tH H I H H = =1 La idea bsica del Mtodo de Jacobi es construir una serie de matrices que son semejantes a la original, paralo cual seemplea una matriz de pasoPque es ortogonal.Lasmatrices semejantes que se van obteniendo tienden a ser diagonales. El procedimiento es iterativo y termina estrictamente cuando se llega a una matriz diagonal. Elprocedimientoterminacuandoenlaltimamatrizencontrada,lasumadeloselementos fueradeladiagonalenvalorabsolutoesmenoraunatoleranciaprefijada.Lamatrizfinales semejantealamatrizoriginalyademsseconsideradiagonal.Porlotantolosvalorespropiosson las cantidades de la diagonal. Existelassiguientesposibilidadesparahacerceroaloselementosfueradeladiagonal:i)Hacercerosporfilas,ii)Hacercerosporcolumnas,iii)Hacerceroalmayorelementofueradela diagonal en valor absoluto, iv) Una combinacin de los casos anotados. 1.5.1Desarrollo del Mtodo Sea q pa,elelementodelafilapycolumnaq,deunamatrizA,quesedeseahacercero, q p = , el elemento se encuentra en la matriz triangular inferior en el ciclo k. La matrizP, con la cual seconstruirlamatrizsemejanteyconlacualselograrelobjetivopropuestotienelasiguiente forma: (((((((

=(((((((

= (((((((

=+11101,u uu uCos SenSen CosPA PaAkq pK ( 1.5 ) CEINCI-ESPE Roberto Aguiar Falcon 12 En la ecuacin ( 1.5 ) se han indicado los elementos no nulos de la matrizP. En general sta matriz se determina de la siguiente manera. i.En la diagonal principal todos los elementos son 1 a excepcin de dos trminos que valen Cosu . Estos trminos corresponden a los ubicados en la fila p y columna p; y al ubicado en la fila q y columna q. ii.El elemento q pa, de la matriz triangular inferior tiene por valoru Sen , su simtrico valeu Sen La matriz P, indicada en la ecuacin ( 1.5 ) es ortogonal. En consecuencia se cumple que la inversadelamatrizPnoesmsquelatranspuesta.Aestamatrizselaconocetambinconel nombre de matriz de rotacin. Labasedelmtodoconsisteenevaluaru detalmaneraqueelelemento q pa, correspondiente a la matriz 1 + kAsea nulo. El valor deuse obtiene a partir de la siguiente ecuacin: q q p pq pa aatg, ,,22= u 1.5.2 Procedimiento de clculo ElprocedimientodeclculoparaencontrarlosvaloresyvectorespropiosdeunamatrizA simtrica es como sigue: i.Se construye la matriz 1Asemejante a la matrizA pero tP P111=. Luego: ii.Se obtiene la matriz 2Asemejante a 1A , etc. 1 1 14 3 4 43 2 3 32 1 2 2.... .......... ..........+ + + ====k ktk ktttP A P AP A P AP A P AP A P A Se puede decir que 1 1 1 + + ++ =k k kE D A . Donde 1 + kDes una matriz diagonal y 1 + kElo que est fuera de la diagonal. Entonces. ( 1.6 ) 1 1 1P A P At=111 1P A P A=CEINCI-ESPE Roberto Aguiar Falcon 13 0 lim....... lim1211=(((((((

=+ + k knk kED Por el teorema 2, los valores propiosde A son los valores propios de 1 + kA . Por otra parte el test de parada deber verificar quec