ANÁLISIS, DISEÑO Y PROTOTIPADO DE UNA LENTE...

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DETELECOMUNICACIÓN

PROYECTO FIN DE CARRERA

ANÁLISIS, DISEÑO YPROTOTIPADO DE UNA LENTE

PLANA BASADA ENESTRUCTURAS

METAMATERIALES PARAANTENAS

Andrés García Aguilar

Madrid, octubre de 2008


Título del proyecto: ANÁLISIS, DISEÑO Y PROTOTIPADO DE UNA LENTE PLANA BASADA ENESTRUCTURAS METAMATERIALES PARA ANTENAS.

Autor: D. Andrés García Aguilar.

Tutor: D. José Manuel Fernández González.

Ponente: D. Manuel Sierra Castañer.

Universidad: Universidad Politécnica de Madrid.

Departamento: Señales, Sistemas y Radiocomunicaciones.

Grupo: Grupo de Radiación.

Nombre de los miembros del tribunal:

Presidente:

Vocal:

Secretario:

Fecha de lectura y defensa:

Cali�cación:

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DETELECOMUNICACIÓN


ANÁLISIS, DISEÑO YPROTOTIPADO DE UNA LENTE

PLANA BASADA ENESTRUCTURAS

METAMATERIALES PARAANTENAS

Andrés García Aguilar

Madrid, octubre de 2008

a mis padres y a mi hermana,

porque soy lo que soy gracias ellos.

Resumen

Las antenas de array de ranuras sobre guía de placas paralelas son ampliamente utilizadas y propor-cionan una alta ganancia y e�ciencia. Además, su fabricación es sencilla y altamente repetible. La propiaguía de placas paralelas distribuye el campo en amplitud y en fase excitando las ranuras.

Para excitar una onda plana en una guía de placas paralelas existen varios métodos: usando una bocinao un re�ector parabólico convencional, cuya fabricación es complicada; mediante una guía rectangular ala que se aplican una serie de ranuras o con una red de alimentación construida con tecnología microstrip,que no generan un modo TEM del todo uniforme.

Se ha propuesto recientemente una nueva forma de excitación para guías de placas paralelas basada enuna lente construida con metamateriales. En particular los metamateriales zurdos presentan simultánea-mente una permitividad y una permeabilidad negativas, que derivan en un índice de refracción negativo.Los medios zurdos presentan propiedades opuestas a las de un medio convencional como, a parte deun índice de refracción negativo, la inversión del desplazamiento Doppler, cambios en las ecuaciones deFresnel o en el principio de Fermat.

En este proyecto se propone una lente plana construida con metamateriales zurdos como una nuevaforma de alimentación para antenas planas de ranuras. La lente zurda interseca con un medio convencionala través de una interfaz parabólica, lo que permite excitar una onda cilíndrica en el foco de la lente quese transforma en una onda plana por efecto de la refracción negativa en la interfaz entre el medio zurdoy el convencional. Ambos medios deben cumplir la condición de tener densidades electromagnéticasequivalentes. Para la construcción de la lente plana con un medio zurdo se ha utilizado la conocidaestructura en forma de seta. Las principales ventajas de la estructura en forma de seta son su bajo costey la facilidad de fabricación mediante tecnología planar. El diagrama de dispersión de la estructura enforma de seta muestra las bandas de frecuencias y los modos que se propagan por la estructura.

De modo que se ha diseñado una lente zurda, conformada por la estructura en forma de seta, utilizandola información contenida en los diagramas de dispersión de la celda unidad, que puede fabricarse con latecnología habitual de circuitos impresos y que funciona como un medio zurdo a una frecuencia de 12GHz.Sin embargo, como se comprobará, construir dicha lente con la tecnología de fabricación de que se disponees muy complicado. De forma que paralelamente se ha diseñado otra lente zurda que se comporta como unmedio zurdo a 7.5GHz, que sí puede fabricarse. Así, se va ha construir la citada lente y ha medir el campoeléctrico en el interior de una guía de placas paralelas. Si añadimos a estas medidas la correspondienteen cámara anecoica del diagrama de radiación de la antena de array de ranuras alimentada por la lentezurda, es posible demostrar que se puede excitar una antena de ranuras con una distribución de campomucho más uniforme en el interior de una guía de placas paralelas, mejorando la apertura de iluminaciónde las ranuras y aumentando la e�ciencia de este tipo de antenas. Por cuestiones de tiempo no se hanincluido en este proyecto ninguna de las medidas ni de la guía ni de la antena alimentadas por la lentezurda, aunque la intención es la de realizarlas a posteriori.

Este proyecto se ha realizado en colaboración con el Grupo de Radiación (GR), que pertenece aldepartamento de Señales, Sistemas y Radiocomunicaciones (SSR), que posee una amplia experiencia enel diseño y medida de antenas, de circuitos de alta frecuencia y, en concreto, en el desarrollo de antenasen guía radial.

1

Lista de palabras clave

alimentación uniformeantena de array de ranuras en guía de placas paralelasestructura en forma de seta o mushroominterfaz parabólicalente zurda o left-handedmedio zurdometamaterialesrefracción negativa

3

Agradecimientos

Se hace difícil condensar en pocas palabras todo lo que mientras escribo estas líneas viene a mi mente.Tengo tanto que agradecer y a tanta gente que simples palabras en pocas líneas no son su�cientes, perotrataré de resumirlo lo mejor posible.

Primero de todo agradecer a mis padres por darme la oportunidad de llegar hasta aquí, por su esfuerzodiario y su sacri�cio desinteresado siempre en favor de sus hijos. Quiero tener un recuerdo muy especialpara mis cuatro abuelos, que siempre me han tratado con cariño y han dado lo mejor de sí mismos porsus familias. Y gracias a mi hermana Inma, por ser tan especial, por su interés y por ayudarme a sermejor persona.

Sería injusto olvidarme de mis tíos, mis primos y de la comunidad cristiana que me vio crecer y meformó en el compromiso, el compartir y el amor a los demás. Gracias por todo, porque sin lugar a dudasestos años de mi vida han marcado y van a marcar el resto. Como no, gracias a mi hermano Javi, aCristina y a Laura (o a Laura y a Cristina), simplemente por estar ahí siempre.

Gracias a Santi, esté donde esté, por tantos años de amistad sincera e incondicional.

Agradecer a mis compañeros durante todos estos años de carrera, sin ellos esto se habría hecho másduro: a Noelia, Henar, Zapata, José Luis, Elisa, Dani... y muy especialmente, a Ana y a Antonio, quizássin ellos habría sido imposible. Y como no, a Bea.

A mis amigos Dani, Peique, Marcos y Kasko, por todas las cosas que hemos compartido estos añosy por las que nos quedan. A Reina por enseñarme a amar la montaña y por querer compartirla siempreconmigo. Y a todos los monitores (antiguos y actuales) y niños de Montañeros, por enseñarme y seguirmeenseñando las cosas importantes de la vida, y, en especial, a Emilia por ser mi guía y mi apoyo en mo-mentos difíciles.

Agradecer muy especialmente a todo el Grupo de Radiación su buena acogida, su compañerismo y suayuda constante: Alfonso, Nacho, Lara, Silvia, Jesús, Alex, Alberto, Francisco, Sara, Jony, Carlos, Luis,Pablo, Miguel, Yasar, Edi... A Manuel Sierra Castañer (Manolillo) por escucharnos, comprendernos ytratar de ayudarnos. Y en especial a mi tutor José Manuel (Suizo), con quien he trabajado muy agustotodo este tiempo y sin el que este proyecto no habría salido adelante: gracias por haber con�ado en mi.Sin olvidarme de los profesores que siempre prestan su apoyo a los que somos novatos en casi todo: Belén,Ramón, Leandro, José Luis Besada, Jambrina y Manuel Sierra Pérez. Y como no, agradecer el trabajo deArmando en el taller, de Jesús con los circuitos impresos, de Cristian y Pablo en las cámaras y de Maríaen la secretaría del grupo, sin su trabajo y experiencia nada saldría adelante.

5

Índice general

Índice de �guras 9

Índice de tablas 13

Nomenclatura 14

1. Introducción 171.1. Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2. Objetivos del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3. Organización del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2. Fundamentos teóricos 212.1. Metamateriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1. Medios zurdos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2. Estructura en forma de seta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.1. Teoría de líneas de transmisión aplicada a una estructura en forma de seta . . . . 262.2.2. Extracción del diagrama de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3. Interfaz parabólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4. Condición de densidades electromagnéticas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3. Análisis y diseño de la celda unidad de la estructura de seta 373.1. Validación del software de simulación electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2. Estudio paramétrico a partir de la celda para validar el software . . . . . . . . . . . . . . 413.3. Dimensionamiento de una celda unidad a 12GHz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.4. Estudio paramétrico a partir de la celda unidad a 12GHz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.5. Dimensionamiento de una celda con un índice de refracción n = −1,5 a 12GHz . . . . . . 573.6. Dimensionamiento de una celda unidad a 7.5GHz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4. Análisis y diseño de la lente plana simple 614.1. Lente simple ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2. Lente simple real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.3. Resultado de las simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3.1. Lente simple a 7.5GHz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.3.2. Lente simple a 12GHz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5. Prototipado y medidas en una guía de placas paralelas 79

6. Aplicación a la antena de ranuras de placas paralelas 856.1. Antena de ranuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.2. Sección radiante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.2.1. Elemento radiante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.2.2. Array de ranuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.3. Lente zurda alimentando la antena de array de ranuras de placas paralelas . . . . . . . . . 88

7. Conclusiones y líneas futuras 91

7

8 ÍNDICE GENERAL

A. Anexos 93A.1. Operaciones y propiedades de mallado de las simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

A.1.1. Extracción del diagrama de dispersión de la celda unidad . . . . . . . . . . . . . . 93A.1.2. Simulación de la lente simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

A.2. Estudio paramétrico a partir de la celda para validar el software en HFSS . . . . . . . . . 95A.3. Planos acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

A.3.1. Planos lentes simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101A.3.2. Planos guía de placas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

A.4. Procesamiento de los datos obtenidos con los simuladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110A.4.1. Procesamiento en Matlab a partir de CST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

A.4.1.1. Extracción de los datos: datoscst.m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110A.4.1.2. Diagrama de dispersión: dd_uc.m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111A.4.1.3. Índices de refracción: ir_uc.m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114A.4.1.4. Interpolación de los datos del diagrama de dispersión: interpolcst.m. . . . 119A.4.1.5. Dibujo de la potencia en el interior de la guía de placas paralelas: linea-

campo.m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Bibliografía 131

Índice alfabético 133

Índice de �guras

1.1. Esquemas de excitación mediante: (a) stripline y (b) ranuras excitadas por una guía deonda rectangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2. (Arriba-izquierda) Celda unidad de la estructura en forma de seta, (arriba-derecha) variasceldas juntas y (abajo) antena de array de ranuras con la lente zurda . . . . . . . . . . . . 19

2.1. Esquema de diferentes tipos de metamateriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2. Esquema de aplicaciones de los metamateriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3. (a) Características de un medio convencional o diestro y (b) de un medio zurdo. . . . . . . 232.4. Velocidad de fase y velocidad de grupo antiparalelas en un medio zurdo. . . . . . . . . . . 232.5. Condiciones de contorno en la interfaz entre un medio convencional (RH) y un medio zurdo

(LH). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6. Interfaz entre un medio convencional (RH) y un medio zurdo (LH) con un ángulo de

transmisión negativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.7. Clasi�cación de los medios dependiendo de su ε y de su µ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.8. (a) Estructura en forma de seta y (b) su celda unidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.9. Esquema teórico circuital de la estructura en forma de seta comportándose (a) como medio

zurdo puro y (b) como medio convencional puro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.10. Esquema teórico de la estructura en forma de seta comportándose como un medio dies-

tro/zurdo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.11. Modelos equivalentes de parámetros concentrados. (a) Línea de transmisión de un medio

zurdo. (b) Línea de transmisión de un medio diestro puro. (c) Línea de transmisión de unmedio diestro/zurdo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.12. Diagramas de dispersión de las líneas de transmisión de las �guras 2.11. (a) Medio zurdo.(b) Medio diestro. (c) Medio diestro/zurdo (no balanceado). Fuente: [9]. . . . . . . . . . . 29

2.13. Caso balanceado de la �gura 2.11(c). (a) Equivalente circuital. (b) Diagrama de dispersión.Fuente: [9]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.14. Regiones del diagrama de dispersión en función del tipo de onda que se pueda propagarpor el medio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.15. Índice de refracción típico de un medio diestro/zurdo para el caso balanceado (verde) y nobalanceado (rojo). Fuente: [9]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.16. La irreducible zona de Brillouin de la celda unidad de una estructura en forma de seta(vista en planta). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.17. Diagrama de dispersión de la celda unidad de la estructura en forma de seta, modo funda-mental y dos primeros modos superiores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.18. Concepto de conversión de onda cilíndrica a onda plana de un medio zurdo a un medioconvencional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.19. Comparación entre un re�ector parabólico y una interfaz parabólica zurda. . . . . . . . . 342.20. Intersección entre el modo LH de una estructura en forma de seta y la línea de dieléctrico

de un medio convencional adyacente, a cuya longitud eléctrica y frecuencia se cumple lacondición de densidades electromagnéticas equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1. CST: (a) celda unidad con caja de aire, (b) detalle de la vía metalizada y (c) condicionesde contorno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2. HFSS: (a) condiciones de contorno PEC y (b) maestro/esclavo. . . . . . . . . . . . . . . . 39

9

10 ÍNDICE DE FIGURAS

3.3. Diagrama de dispersión de la celda unidad a 5GHz simulada para validar el software, (a)con CST y (b) con HFSS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4. Índice de refracción en función de la longitud eléctrica de la celda unidad a 5GHz simuladapara validar el software, (a) con CST y (b) con HFSS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5. CST: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción delmodo fundamental (b) en la dirección Γ−X y (c) en la direcciónM−Γ de la celda unidad,variando el periodo p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.6. CST: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción delmodo fundamental (b) en la dirección Γ−X y (c) en la direcciónM−Γ de la celda unidad,variando la separación entre parches g. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.7. CST: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción delmodo fundamental (b) en la dirección Γ−X y (c) en la direcciónM−Γ de la celda unidad,variando el espesor del sustrato h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.8. CST: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción delmodo fundamental (b) en la dirección Γ−X y (c) en la direcciónM−Γ de la celda unidad,variando el espesor de los parches t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.9. CST: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción delmodo fundamental (b) en la dirección Γ−X y (c) en la direcciónM−Γ de la celda unidad,variando el diámetro de la vía dvia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.10. CST: (a) Diagrama de dispersión e (b) índices de refracción de la celda unidad escalada a12GHz a partir de la celda a 5GHz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.11. Diagramas de dispersión de la celda unidad con comportamiento de medio zurdo a 12GHz,(a) con CST y (b) con HFSS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.12. Índices de refracción de la celda unidad con comportamiento de medio zurdo a 12GHz, (a)con CST y (b) con HFSS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.13. CST: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción delmodo fundamental (b) en la dirección Γ−X y (c) en la direcciónM−Γ de la celda unidad,variando el periodo p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.14. CST: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción delmodo fundamental (b) en la dirección Γ−X y (c) en la direcciónM−Γ de la celda unidad,variando la separación entre parches g. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.15. CST: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción delmodo fundamental (b) en la dirección Γ−X y (c) en la direcciónM−Γ de la celda unidad,variando el espesor del sustrato h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.16. CST: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción delmodo fundamental (b) en la dirección Γ−X y (c) en la direcciónM−Γ de la celda unidad,variando el espesor de los parches t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.17. CST: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción delmodo fundamental (b) en la dirección Γ−X y (c) en la direcciónM−Γ de la celda unidad,variando el diámetro de la vía dvia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.18. CST: Diagramas de dispersión (a) e índices de refracción (b) de la celda unidad con com-portamiento de medio zurdo a 12GHz y un índice de refracción n = −1,56. . . . . . . . . 58

3.19. Condición de densidades electromagnéticas equivalentes entre los medios zurdo y diestro,con la celda unidad con comportamiento de medio zurdo a 12GHz y un índice de refracciónn = −1,56. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.20. CST: Diagramas de dispersión (a) e índices de refracción (b) de la celda unidad con com-portamiento de medio zurdo a 7.5GHz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.21. Condición de densidades electromagnéticas equivalentes de entre los medios zurdo y diestro,con la celda unidad con comportamiento de medio zurdo a 7.5GHz. . . . . . . . . . . . . . 60

4.1. Modelo ideal de lente zurda en el interior de una guía de placas paralelas. . . . . . . . . . 624.2. Sonda coaxial en el interior de la estructura en forma de seta (vista en planta). . . . . . . 624.3. Modelo real de lente zurda en el interior de una guía de placas paralelas (a). Detalle de la

lente (b) y detalle de la estructura en forma de seta que conforma la lente real (c). . . . . 634.4. Condiciones de contorno de la lente ideal/real en el interior de una guía de placas paralelas. 64

ÍNDICE DE FIGURAS 11

4.5. Amplitud del campo eléctrico en el interior de la guía de placas paralelas a 7.5GHz cuandoεr,LH = −2,25 y εr,RH = 2,25, para los casos: (a) ideal-open y (b) ideal-PMC. . . . . . . . 66

4.6. Potencia transmitida por el campo eléctrico, normalizada respecto del máximo, sobre tressuper�cies lineales (medidas a una distancia desde el punto de alimentación) en el interiorde la guía de placas paralelas a 7.5GHz cuando εr,LH = −2,25 y εr,RH = 2,25, para loscasos: (a) ideal-open y (b) ideal-PMC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.7. Amplitud del campo eléctrico en el interior de la guía de placas paralelas a 7.5GHz cuandoεr,LH = −2,43 y εr,RH = 2,25, para los casos: (a) ideal-open, (b) real-open, (c) ideal-PMCy (d) real-PMC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.8. Potencia transmitida por el campo eléctrico, normalizada respecto del máximo, sobre tressuper�cies lineales (medidas a una distancia desde el punto de alimentación) en el interiorde la guía de placas paralelas a 7.5GHz cuando εr,LH = −2,43 y εr,RH = 2,25, para loscasos: (a) ideal-open, (b) real-open, (c) ideal-PMC y (d) real-PMC. . . . . . . . . . . . . . 69

4.9. Módulo del coe�ciente de re�exión (|S11|) de la sonda coaxial que alimenta la lente zurdaa 7.5GHz en los casos: (a) ideal-open, (b) ideal-PMC, (c) real-open y (d) real-PMC. . . . 70

4.10. Amplitud del campo eléctrico en el interior de la guía de placas paralelas a 12GHz cuandoεr,LH = −2,43 y εr,RH = 2,25, para los casos: (a) ideal-open, (b) real-open, (c) ideal-PMCy (d) real-PMC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.11. Potencia transmitida por el campo eléctrico, normalizada respecto del máximo, sobre tressuper�cies lineales (medidas a una distancia desde el punto de alimentación) en el interiorde la guía de placas paralelas a 12GHz cuando εr,LH = −2,43 y εr,RH = 2,25, para loscasos: (a) ideal-open, (b) real-open, (c) ideal-PMC y (d) real-PMC. . . . . . . . . . . . . . 73

4.12. Módulo del coe�ciente de re�exión (|S11|) de la sonda coaxial que alimenta la lente zurdaa 12GHz en los casos: (a) ideal-open y (b) ideal-PMC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.13. Amplitud del campo eléctrico en el interior de la guía de placas paralelas a 12GHz cuandoεr,LH = −10,24 y εr,RH = 4,5, para los casos: (a) ideal-open, (b) real-open y (c) real-opena diferente escala para observar en detalle la anisotropía de la lente zurda. . . . . . . . . . 76

4.14. Potencia transmitida por el campo eléctrico, normalizada respecto del máximo, sobre tressuper�cies lineales (medidas a una distancia desde el punto de alimentación) en el interiorde la guía de placas paralelas a 12GHz cuando εr,LH = −10,24 y εr,RH = 4,5, para loscasos: (a) ideal-open y (b) real-open. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.1. (a) Foto de los remaches de 0.8 mm de diámetro exterior. (b) Remachadora empleada. (c)Foto del conjunto remachadora, remache y recipiente con los remaches. . . . . . . . . . . . 80

5.2. Foto de (arriba) la máscara y de (abajo) la lente fabricada mediante ataque químico. . . 815.3. Método de medida en transmisión del campo eléctrico en el interior de una guía de placas

paralelas alimentada por la lente zurda mediante sondas coaxiales. (a) Vista lateral. (b)Vista en planta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.4. Foto del prototipo de guía de placas paralelas rellena de polietileno construido: (a) Vistaen perspectiva. (b) Vista en planta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.5. Módulo del parámetro S21, normalizado respecto del máximo, de la simulación y la medidadel campo eléctrico en el interior de la guía de placas paralelas cuando se alimenta medianteranuras excitadas por una guía de onda rectangular en la cara posterior de la antena(apartado 1.1), con condiciones de contorno laterales de: (a) conductor eléctrico perfecto(PEC) y (b) de conductor magnético perfecto (PMC). Fuente: [26]. . . . . . . . . . . . . . 84

6.1. Principio de equivalencia para una apertura en un plano conductor eléctrico perfecto. . . 866.2. Estructura de la antena de ranuras para una inclinación del lóbulo principal de θ. . . . . . 876.3. Elemento radiante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.4. Diseño del array de ranuras: fase del coe�ciente de transmisión y fase de los campos en la

apertura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.5. Antena de array de ranuras alimentada por la lente zurda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

A.1. HFSS: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refraccióndel modo fundamental (b) en la dirección Γ −X y (c) en la dirección M − Γ de la celdaunidad, variando el periodo p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

12 ÍNDICE DE FIGURAS

A.2. HFSS: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refraccióndel modo fundamental (b) en la dirección Γ −X y (c) en la dirección M − Γ de la celdaunidad, variando la separación entre parches g. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

A.3. HFSS: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refraccióndel modo fundamental (b) en la dirección Γ −X y (c) en la dirección M − Γ de la celdaunidad, variando el espesor del sustrato h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

A.4. HFSS: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refraccióndel modo fundamental (b) en la dirección Γ −X y (c) en la dirección M − Γ de la celdaunidad, variando el espesor de los parches t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

A.5. HFSS: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refraccióndel modo fundamental (b) en la dirección Γ −X y (c) en la dirección M − Γ de la celdaunidad, variando el diámetro de la vía dvia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

A.6. Plano de la lente simple a 7.5GHz construida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101A.7. Detalle de la alimentación y de la estructura en forma de seta del plano de la lente simple

a 7.5GHz construida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102A.8. Plano de la lente simple a 12GHz, anisotrópica y no homogénea. . . . . . . . . . . . . . . 103A.9. Detalle de la alimentación y de la estructura en forma de seta del plano de la lente simple

a 12GHz, anisotrópica y no homogénea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104A.10.Plano de la lente simple a 12GHz, con un índice de refracción n = −1,56. . . . . . . . . . 105A.11.Detalle de la alimentación y de la estructura en forma de seta del plano de la lente simple

a 12GHz, con un índice de refracción n = −1,56. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106A.12.Plano de masa inferior de la guía de placas paralelas acotado. . . . . . . . . . . . . . . . . 107A.13.Plano de masa superior de la guía de placas paralelas acotado. . . . . . . . . . . . . . . . 108A.14.Plano acotado del polietileno del interior de la guía de placas paralelas. . . . . . . . . . . 109

Índice de tablas

1.1. Pérdidas típicas de distintas líneas de transmisión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1. Parámetros de la celda unidad a 5GHz simulada para validar el software. . . . . . . . . . 373.2. Parámetros de la celda unidad escalada a 12GHz a partir de la celda a 5GHz. . . . . . . 483.3. Parámetros de la celda unidad con comportamiento de medio zurdo a 12GHz. . . . . . . . 493.4. Parámetros de la celda unidad con comportamiento de medio zurdo a 12GHz y un índice

de refracción n = −1,56. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.5. Parámetros de la celda unidad con comportamiento de medio zurdo a 7.5GHz. . . . . . . 59

13

14 ÍNDICE DE TABLAS

Nomenclatura

AMC Arti�cial Magnetic Conductor

BZ Brillouin Zone

CRLH Composite Right/Left-Handed

CST Computer Simulation Technology software

DBS Digital Broadcasting System

EBG Electromagnetic Bandgap

FEM Finite-Element Method

FITD Finite-Integral Time Domain

FSS Frequency Selective Surface

GSM Global System for Mobile

HFSS High Frequency Structure Simulator software

LH Left-Handed

LHM Left Handed Medium

MM Metamaterial

NRI Negative Refractive Index

PBC Periodic Boundary Condition

PBG Photonic Bandgap

PCS Personal Communications System

PEC Perfect Electric Conductor

PMC Perfect Magnetic Conductor

PPWG Parallel Plate Waveguide

RH Right Handed

RH Right Handed

RHM Right-Handed Medium

TE Transverse Electric

TEM Transverse Electric-Magnetic

TM Transverse Magnetic

15

16 ÍNDICE DE TABLAS

UMTS Universal Mobile Telecommunications System

UPM Universidad Politécnica de Madrid

VSWR Voltage Standing Wave Ratio

WLAN Wireless Local Area Network

Capítulo 1

Introducción

El presente proyecto tiene como principal objetivo el análisis, diseño y prototipado de una lente planabasada en estructuras metamateriales para alimentar una antena de array de ranuras de placas paralelas,en la terminología inglesa parallel-plate slot antennas. En lo sucesivo se presentará el estado del arte, des-cribiendo las ventajas y desventajas de estas antenas, así como los diferentes tipos de alimentaciones quese vienen utilizando; los objetivos concretos que se pretenden alcanzar en este proyecto; y la organizacióndel mismo.

1.1. Estado del arte

Las antenas planas son estructuras muy atractivas dentro de las microondas y de las ondas milimétricasdebido a su robustez, a su facilidad de construcción y a su notable repetibilidad en su fabricación. Estose debe a que una gran parte de los elementos que la constituyen son elementos impresos que se realizanpor grabado fotolitográ�co. Así mismo, otra de las grandes ventajas de las antenas planas en guía deplacas paralelas en particular, es que para agrupaciones su�cientemente grandes en las que se pretendeconseguir altas ganancias, presentan una gran e�ciencia, ya que el sistema de alimentación que formala guía biplaca de este tipo de antenas planas tiene unas pérdidas muy bajas en comparación con otrossistemas de alimentación. Por ello, son apropiadas para un gran número de aplicaciones en las bandas de10 a 80 GHz, donde normalmente se requieren una alta ganancia y una alta e�ciencia.

Sin embargo, la principal desventaja de las antenas planas es que su ancho de banda de trabajo no esmuy grande. Si bien los parches pueden presentar un ancho de banda elevado (hasta el 30% de�nido conun VSWR<2), cuando se utilizan redes de alimentación serie se limita el ancho de banda. Las redes dealimentación paralelo suponen un aumento considerable de las pérdidas.

La parte fundamental que tienen todas las antenas planas de este tipo en común es la guía de placasparalelas, en inglés parallel plate waveguide (PPWG), que, como su nombre indica, está formada pordos placas metálicas dispuestas paralelamente formando una guía de onda multiconductora. Entre ambosconductores se genera un frente de onda plano o modo TEM que distribuye a los elementos radiantes laamplitud y la fase deseada en función del diagrama de radiación a sintetizar [1]. El espacio intermedioentre los dos conductores se rellena con aire o con otro material dieléctrico. Los elementos radiantes quese suelen utilizar en este tipo de antenas son: ranuras, parches microstrip o hélices. La alimentación seha venido haciendo de varias formas: mediante sondas coaxiales desde el plano de masa [2], mediante lautilización de una red de distribución stripline conectada a un conjunto de parches excitadores colocadosen el interior de la guía (�gura 1.1 (a)) [3] o mediante ranuras excitadas por una guía de onda rectangularen la cara posterior de la antena (�gura 1.1 (b)) [4]. Todas estas formas de alimentación consiguen uncampo eléctrico con un rizado superior a 10 dB. La tabla 1.1 muestra una comparación de las pérdidaspara las distintas formas de alimentación [5].

Las primeras aplicaciones de estas antenas planas pueden encontrarse en la recepción de TV víasatélite mediante Digital Broadcasting System (DBS), que en España comenzó a lanzarse a principiosde los años noventa. Desde entonces se han desarrollado diferentes aplicaciones como los sistemas decomunicación personal (PCS), las comunicaciones mediante teléfono móvil (GSM, UMTS...), redes de árealocal inalámbricas (WLAN), enlaces de microondas entre estaciones bases de telefonía móvil o radaresanticolisión en vehículos.

17

18 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

(a) (b)

Figura 1.1: Esquemas de excitación mediante: (a) stripline y (b) ranuras excitadas por una guía de ondarectangular.

Tipo de alimentación Pérdidas (dB/m)

Guía de onda 0.2Línea suspendida 1.8 - 3Línea triplaca 2.7 - 5.6

Línea microstrip 4 - 6

Tabla 1.1: Pérdidas típicas de distintas líneas de transmisión.

1.2. Objetivos del proyecto

Recientemente, se ha propuesto una nueva forma de excitación de guías de placas paralelas basada enuna lente plana parabólica construida con metamateriales [6]. En particular los llamados metamaterialeszurdos, presentan simultáneamente una permitividad (ε) y una permeabilidad (µ) negativas, que derivanen un índice de refracción negativo. Como se verá en el apartado 2.1.1, los medios zurdos presentanpropiedades opuestas a las de un medio convencional o diestro.

La lente plana construida con metamateriales zurdos se ha propuesto como una nueva forma dealimentación para antenas de array de ranuras de placas paralelas [7]. La lente zurda interseca con unmedio convencional a través de una interfaz parabólica, lo que permite excitar una onda cilíndrica enel foco de la lente, mediante una sonda coaxial, que se transforma en una onda plana por efecto dela refracción negativa en la interfaz entre el medio zurdo y el convencional. De esta forma se reduceel rizado y se consigue una distribución de campo más uniforme en el interior de la guía de placasparalelas, mejorando la apertura de iluminación y aumentando la e�ciencia de este tipo de antenas. Parala construcción de la lente plana con un medio zurdo ha sido propuesta por Caloz la conocida estructuraen forma de seta [8], de bajo coste y fácil de fabricar mediante tecnología planar. En la �gura 1.2 semuestra la estructura en forma de seta descrita, su celda unidad y un esquema de la antena plana deranuras alimentada por la lente zurda.

El diagrama de dispersión de la estructura en forma de seta, basado en el análisis mediante teoría delíneas de transmisión [9], muestra información sobre las bandas de frecuencias y los modos que se propaganpor la estructura. De forma que el objetivo fundamental del presente proyecto es analizar y diseñar unacelda unidad de la estructura en forma de seta, utilizando la información contenida en los diagramas dedispersión, que pueda fabricarse con la tecnología habitual de circuitos impresos y que conforme una lenteplana que funcione como un medio zurdo a una frecuencia de 12GHz, de forma que sea posible excitar laantena de ranuras con una distribución de campo mucho más uniforme en el interior de la guía de placas

1.2. OBJETIVOS DEL PROYECTO 19

Figura 1.2: (Arriba-izquierda) Celda unidad de la estructura en forma de seta, (arriba-derecha) variasceldas juntas y (abajo) antena de array de ranuras con la lente zurda .

20 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

paralelas. Sin embargo, como se verá a lo largo de este proyecto, debido a las limitaciones de los mediostecnológicos de que se disponen para la fabricación de dicha lente zurda a 12GHz, se hace necesarioreducir la frecuencia de trabajo a 7.5GHz. Por tanto, dos lentes zurdas se analizan y diseñan a 12GHzy a 7.5GHz, aunque sólo la segunda se fabrica, se monta alimentando una guía de placas paralelas y semide el campo eléctrico en el interior de la guía.

Además, este proyecto puede ser considerado como un paso más en el conocimiento sobre las estruc-turas metamateriales y su empleo en la mejora de los sistemas de microondas y de ondas milimétricas,que no puede ser conseguido mediante las técnicas convencionales.

1.3. Organización del proyecto

El proyecto se organiza según la secuencia de trabajo seguida durante el desarrollo del mismo. Enprimer lugar se establecen las bases teóricas del proyecto (capítulo 2), profundizando en qué son losmetamateriales, los medios zurdos, la estructura en forma de seta, como extraer su diagrama de dispersióny, por último, como se conforma la lente parabólica. En segundo término, se muestra el proceso de diseñode la celda unidad de la estructura en forma de seta a una frecuencia de 12GHz y a 7.5GHz (capítulo3). Para lo cual se ha utilizado la información contenida en el diagrama de dispersión extraído mediantesimuladores electromagnéticos de onda completa. En el diseño se incluye el proceso de validación delsoftware de simulación y diversos estudios paramétricos que van a permitir diseñar una celda unidad acualquier frecuencia. En este punto es donde se demuestran las di�cultades tecnológicas que presentala lente zurda a 12GHz y es donde se decide diseñarla a otra frecuencia inferior para poder fabricarlay medirla alimentando la guía de placas paralelas y la antena de ranuras. A continuación, se diseña lalente plana completa y se muestran simulaciones de la distribución de campo en el interior de la guíade placas paralelas alimentada mediante la lente plana en dos casos (capítulo 4): el ideal, con una lentehomogénea pero con un índice de refracción negativo, y el caso real, donde la lente ya está conformadapor la estructura en forma de seta. Dichas simulaciones realizan tanto para la lente a 12GHz como a7.5GHz, de manera que se demuestra que es posible conseguir mayor uniformidad del campo eléctricoen el interior de la guía de placas paralelas. Tras ello, se decide fabricar la lente a 7.5GHz, mediantecircuitos impresos, y se utiliza para alimentar una guía de placas paralelas, de forma que podamos medirel campo eléctrico en el interior (capítulo 5). Aunque por problemas de tiempo dichos resultados no semuestran en este proyecto, pero se van a realizar a posteriori. Seguidamente se muestra como se diseñala antena de array de ranuras de placas paralelas y como se aplica a la red de alimentación la lente zurda(capítulo 6). Se hace necesario la medida en cámara anecoica del diagrama de radiación de la antena a7.5GHz cuando se alimenta con la lente zurda construida, pero estos resultados se realizarán igualmentetras la �nalización de este proyecto. Finalmente pueden verse las conclusiones y las líneas futuras deinvestigación (capítulo 7).

Capítulo 2

Fundamentos teóricos

2.1. Metamateriales

Los llamados metamateriales (MM) son estructuras arti�ciales que pueden ser diseñados para cumpliralgunas propiedades electromagnéticas singulares dentro de un rango de frecuencias determinado: propa-gación de ondas de retroceso, refracción negativa, presencia de bandas prohibidas. . . El pre�jo �meta�signi�ca después, más allá y también de una clase más alta. Por ello, estas estructuras son consideradascomo un tipo de materiales con propiedades superiores a las que se pueden encontrar en la naturaleza.

Este tipo de estructuras son materiales arti�ciales electromagnéticos y funcionales basados en es-tructuras periódicas y creados para cumplir determinados requisitos. Como ejemplos de metamaterialesexisten un amplio número de conceptos modernos, como las estructuras de super�cie selectiva en fre-cuencia (FSS), los materiales electromagnetic/photonic bandgap (EBG/PBG), las estructuras plasma, losmedios zurdos llamados en inglés left-handed medium (LHM) cuyas propiedades eléctricas y magnéti-cas (su permitividad y su permeabilidad, respectivamente) son negativas, los conductores magnéticosarti�ciales (AMC) o los elementos fractales. En la �gura 2.1 se puede ver un resumen de los diferentesmetamateriales que existen [10].

Figura 2.1: Esquema de diferentes tipos de metamateriales.

Las novedosas y ventajosas propiedades que presentan este tipo de estructuras arti�ciales han dadolugar a numerosos componentes y sistemas fundamentalmente en el campo de las antenas, �ltros y circuitosde microondas. Se puede ver en la �gura 2.2 un esquema de las aplicaciones potenciales que permiten losmetamateriales en diferentes áreas [11].

21

22 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS

Figura 2.2: Esquema de aplicaciones de los metamateriales.

2.1.1. Medios zurdos

Los metamateriales zurdos, en la literatura inglesa left-handed (LH), presentan simultáneamente unapermitividad (ε) y una permeabilidad (µ) negativas, y han recibido mucha atención de cientí�cos eingenieros en los últimos años.

Fue inicialmente el físico ruso Veselago, en 1968, quien investigó algunas de las propiedades electro-dinámicas de los medios zurdos, como la inversión de la ley de Snell, la desviación Doppler o el efectoCerenkov1[12]. Sin embargo esta idea se abandonó debido a la imposibilidad de construir este tipo demateriales, quedando simplemente como una curiosidad cientí�ca. Recientemente, Pendry descubrió unaestructura llamada microwave-plasma thin-wire que mostraba una permitividad negativa por debajo dela frecuencia electrónica del plasma y un resonador magnet-free split-ring con una permeabilidad negati-va por debajo de la frecuencia magnética del plasma [13, 14]. Poco después Shelby realizó las primerasdemostraciones experimentales del comportamiento de un medio zurdo combinando ambas estructuras[15].

Un medio zurdo presenta propiedades opuestas a las de un medio convencional, llamado tambiénmedio diestro o en inglés right-handed medium (RHM). El vector de campo eléctrico

−→E , el vector de

campo magnético−→H y el número de onda

−→k forman una triada zurda, lo cual supone que la luz se

propague en sentido contrario al �ujo de energía, representado por el vector de Poynting−→S .

Como muestra la �gura 2.3(b), en un medio zurdo el vector de Poynting−→S y el número de onda

−→k

tienen sentidos opuestos, mientras que en un medio convencional tienen el mismo sentido (�gura 2.3(a)).Consecuentemente, en medios convencionales y en medios zurdos la energía se propaga alejándose de lafuente, pero en un medio zurdo los frentes de onda se desplazan hacia la fuente. Por ello, en dichos medios,las ondas se denominan ondas de retroceso, donde la velocidad de fase −→v ϕ y la velocidad de grupo −→v grtienen sentidos opuestos (�gura 2.4).

Todo lo anterior se traduce en que un medio zurdo presenta una permitividad (ε) y una permeabilidad(µ) negativas, que derivan en un índice de refracción también negativo. Esto supone cambios en algunasleyes de la física, como la inversión del desplazamiento Doppler, cambios en las ecuaciones de Fresnely en el principio de Fermat. Además, uno de los principios más básicos de la óptica como es la ley deSnell también sufre cambios en la interfaz entre un medio zurdo y uno convencional, ya que las ondaselectromagnéticas que atraviesen dicha interfaz sufrirán una refracción negativa.

Se puede demostrar que cuando ε < 0 y µ < 0 el índice de refracción también es negativo [16].Partiendo de las ecuaciones de Maxwell:

∇×−→E = −jω

−→B, (2.1)

∇×−→H = jω

−→D. (2.2)

1Radiación electromagnética producida por el paso de una partícula que se mueve a velocidades superiores a la de la luza través de un determinado medio.

2.1. METAMATERIALES 23

(a) (b)

Figura 2.3: (a) Características de un medio convencional o diestro y (b) de un medio zurdo.

Figura 2.4: Velocidad de fase y velocidad de grupo antiparalelas en un medio zurdo.

Es necesario adaptarlas a un medio zurdo, así aplicando las soluciones homogéneas a las ecuaciones 2.1y 2.2 se obtiene

−→k ×−→E = ω

−→B =

{+ω|µ|

−→H paraµ > 0 (convencional o diestro),

−ω|µ|−→H paraµ < 0 (zurdo);

(2.3)

−→k ×−→H = −ω

−→D =

{−ω|ε|

−→E para ε > 0 (convencional o diestro),

+ω|ε|−→E para ε < 0 (zurdo).

(2.4)

Siendo en las ecuaciones 2.3 y 2.4 µ = µ0µr y ε = ε0εr. Esto da lugar a las triadas (−→E ,−→H,−→k ) en un

medio convencional y en uno zurdo de la �gura 2.3.Para ser coherente con las ecuaciones de Maxwell y cumplir con la condición en un medio zurdo, a

partir del número de onda−→k se tiene que

−→k ·−→k = |

−→k |2 = µεω2, (2.5)

y por lo tantok2

ω2= µε, (2.6)

k

ω= ±√µε. (2.7)

Tiene sentido escoger la raíz cuadrada negativa cuando ε y µ son valores negativos simultáneamente. Porlo que de la ecuación 2.7 se obtiene que

k

ω= −√µε. (2.8)


Y, sabiendo que el índice de refracción se de�ne como

n =kc

ω, (2.9)

siendo c = 1√εrε0µ0

la velocidad de la luz en el medio, �nalmente se obtiene la expresión que re�eja uníndice de refracción negativo en un medio zurdo:

n = −√µrεr. (2.10)

Con estas características es posible reconsiderar todos los fenómenos asociados a la propagación deondas electromagnéticas.

Se pueden examinar cuales son las condiciones de contorno en la interfaz entre un medio convencionaly un medio zurdo [17]. Como se observa en la �gura 2.5 las componentes tangenciales Et, Ht y kt no�ven� la discontinuidad por lo que no se ven afectadas. Por el contrario, las componentes normales a ladiscontinuidad En, Hn y kn sufren un cambio de signo al cambiar de un medio a otro. El cambio de signoen las componentes En y Hn viene directamente de las condiciones de contorno:

ε1En1 = ε2En2, con ε2 < 0, (2.11)

µ1Hn1 = µ2Hn2, con µ2 < 0. (2.12)

El cambio de signo de la componente normal kn es consecuencia de la ecuación 2.10.

Figura 2.5: Condiciones de contorno en la interfaz entre un medio convencional (RH) y un medio zurdo(LH).

Se puede determinar también el signo de la impedancia intrínseca en un medio zurdo ηLH . Para ello seconsidera una onda incidente en la interfaz entre un medio convencional y un medio zurdo, como muestrala �gura 2.6, donde las densidades electromagnéticas sean iguales en ambos medios, esto es

(εr,LH , µr,LH) = −(εr,RH , µr,RH), (2.13)

para que la energía sea la misma en cada medio. Entonces el coe�ciente de re�exión en la interfaz debeser cero, es decir, para incidencia normal al plano (θi = 0)

ρv =ηLH − ηRHηLH + ηRH

= 0. (2.14)

Por lo tantoηLH = ηRH > 0. (2.15)

Luego la impedancia intrínseca en un medio zurdo sigue siendo positiva:

ηLH = +√µLHεLH

> 0. (2.16)

Finalmente, se puede comprobar la inversión de la ley de Snell:

nRH sin θi = nLH sin θt. (2.17)

2.1. METAMATERIALES 25

Ya que si el índice de refracción en un medio zurdo es nLH < 0, entonces el ángulo de transmisión es

θt = arcsin(nRHnLH

sin θi

)< 0. (2.18)

Luego la energía es refractada hacia el mismo lado de la normal en que incide la onda incidente, comose muestra en la �gura 2.6. En la �gura 2.7 se puede ver una clasi�cación de los diferentes medios queexisten y como se comportan en la interfaz con un medio convencional como el aire, dependiendo de supermitividad ε y de su permeabilidad µ.

Figura 2.6: Interfaz entre un medio convencional (RH) y un medio zurdo (LH) con un ángulo de trans-misión negativo.

Figura 2.7: Clasi�cación de los medios dependiendo de su ε y de su µ.

Los medios zurdos suelen ser estructuras periódicas simples que presentan unas propiedades físicas enconjunto que di�eren de las propiedades de los elementos individuales con que se fabrican. A pesar de queson los átomos, y sus interacciones, los que determinan las propiedades de un material, desde el puntode vista electromagnético sólo son relevantes los parámetros macroscópicos (como la permitividad y lapermeabilidad), puesto que una onda electromagnética atraviesa los materiales de una forma u otra enfunción de su longitud de onda. Así que las propiedades del átomo pierden su importancia en este caso.El contenido de una celda unidad de la estructura periódica dimensionada de�nirá la repuesta efectiva


del sistema completo. Aun así hay algunas restricciones en las dimensiones de la celda unidad, ya que laestructura es fuertemente dependiente de la frecuencia.

2.2. Estructura en forma de seta

Una vez demostrada la existencia de medios zurdos y sus propiedades se hace necesaria la búsquedade estructuras prácticas que presenten este comportamiento. Una de ellas es la estructura en forma deseta, también conocida como mushroom en la terminología anglosajona. Inicialmente fue utilizada porSievenpiper [18] como super�cie de alta impedancia, ya que presentaba una banda prohibida que impedíala propagación de ondas en determinadas bandas de frecuencias, útil por ejemplo para la supresión deondas espurias de super�cie en antenas planas.

La estructura en forma de seta ha sido propuesta recientemente para la realización de lentes planas porCaloz [8]. Se ha demostrado apropiada para diseñar lentes con un índice de refracción positivo/negativoen su banda de paso con un diseño de parámetros adecuado. Las principales ventajas de la estructura enforma de seta son su bajo coste, la facilidad de fabricación mediante tecnología de circuitos impresos y la�exibilidad para escalarla a cualquier frecuencia. En la �gura 2.8(a) se presenta dicha estructura, formadapor un array de parches microstrip, conectados al plano de masa a través de un sustrato mediante víasmetalizadas situadas en el centro de cada parche. La �gura 2.8(b) muestra en detalle la celda unidad,rodeada de una caja de aire con condición de contorno de conductor eléctrico perfecto (PEC) en lacara superior (como si la celda unidad estuviera en el interior de una guía de placas paralelas), y lanomenclatura de sus parámetros.

(a) (b)

Figura 2.8: (a) Estructura en forma de seta y (b) su celda unidad.

Se denota como p al periodo de la estructura en forma de seta, g se llama a la separación entreparches, h es el espesor del sustrato, t es el espesor del parche metalizado, dvia es el diámetro de las víasmetalizadas, hmasa es el espesor del plano de masa inferior y hppwg es el espesor de la guía de placasparalelas donde irá la lente plana.

2.2.1. Teoría de líneas de transmisión aplicada a una estructura en forma de

seta

El comportamiento de la estructura en forma de seta puede analizarse mediante teoría de líneas detransmisión [9] y extraer así su equivalente circuital con elementos concentrados. Este análisis es extensiblea cualquier medio zurdo no resonante, con bajas pérdidas y un ancho de banda grande. Se parte de la basede que cualquier medio zurdo presenta de forma natural propiedades de medio convencional o diestro queno pueden ser suprimidas, por lo que se considera como un medio diestro/zurdo, o en inglés compositeright/left-handed (CRLH).

2.2. ESTRUCTURA EN FORMA DE SETA 27

Una tensión aplicada en la estructura en forma de seta provoca los siguientes efectos cuando secomporta como un medio zurdo puro:

Cargas eléctricas se almacenan entre parches adyacentes, como se muestra en la �gura 2.9(a), en sucomportamiento como medio zurdo. Ello da lugar a una capacidad CLH en serie, como se observaen el circuito equivalente de la �gura 2.11(a).

El �ujo de cargas eléctricas a través de la vía metálica y el plano de masa, mostrado en la �gura2.9(a), produce una inductancia LLH paralela que genera un campo magnético, re�ejado tambiénen la �gura 2.11(a).

(a) (b)

Figura 2.9: Esquema teórico circuital de la estructura en forma de seta comportándose (a) como mediozurdo puro y (b) como medio convencional puro.

Cuando la estructura en forma de seta se comporta como un medio diestro puro:

El �ujo de corriente en la cara superior de los parches genera una inductancia LRH en serie, como semuestra en la �gura 2.9(b), que se ve re�ejada en el circuito equivalente de un medio convencionalen la �gura 2.11(b).

Las cargas eléctricas que se almacenan entre los parches y el plano de masa generan una capacidadCRH en paralelo, como se observa en la �gura 2.9(b), que se re�eja en el circuito equivalente de la�gura 2.11(b).

El comportamiento de la estructura cuando se comporta como un medio diestro/zurdo puede describirsecomo la superposición de ambos efectos, como muestra la �gura 2.10.

Figura 2.10: Esquema teórico de la estructura en forma de seta comportándose como un medio dies-tro/zurdo.

Así, los modelos circuitales de líneas de transmisión equivalentes para un medio zurdo puro, para unmedio diestro puro y para un medio diestro/zurdo sin pérdidas son los que se muestran en las �guras2.11 (a), (b) y (c), respectivamente.


(a) (b)

(c)

Figura 2.11: Modelos equivalentes de parámetros concentrados. (a) Línea de transmisión de un mediozurdo. (b) Línea de transmisión de un medio diestro puro. (c) Línea de transmisión de un medio dies-tro/zurdo.

En realidad, una estructura que se comporte como un medio zurdo puro no puede existir, puessiempre habrá una inductancia serie y una capacidad paralelo parásitas. Por lo que el modelo de mediodiestro/zurdo es el más general para estructuras con atributos de medio zurdo, como es la estructura enforma de seta.

La constante de propagación de una línea de transmisión es

γ = α+ jβ =√Z ′Y ′ . (2.19)

Donde Z′e Y

′son, respectivamente, la impedancia y la admitancia por unidad longitud. En el caso

particular de un medio diestro/zurdo se de�nen como

Z′(ω) = j

(ωL

′

RH −1

ωC′LH

), (2.20)

Y′(ω) = j

(ωC

′

RH −1

ωL′LH

). (2.21)

Donde C′

RH,LH y L′

RH,LH son las capacidades e inductancias por unidad de longitud.La dispersión, β en función de ω, para una línea de transmisión de un medio diestro/zurdo es

β (ω) = s (ω)

√ω2L

′RHC

′RH +

1ω2L

′LHC

′LH

−(L

′RH

L′LH

+C

′RH

C′LH

), (2.22)

donde

s (ω) =

−1 if ω < ωΓ1 = min

(1√

L′RHC

′LH

, 1√L

′LHC

′RH

),

+1 if ω > ωΓ2 = max

(1√

L′RHC

′LH

, 1√L

′LHC

′RH

).

(2.23)


La constante de fase β en la ecuación 2.22 puede ser real o imaginaria pura, según si el radicandoes positivo o negativo, respectivamente. En el rango de frecuencias donde β es real, se encuentra unabanda de paso y se tiene que γ = jβ. Por el contrario, si β es imaginaria pura existe una banda prohibidaen ese rango de frecuencias donde γ = α. Esta banda prohibida es una característica única en mediosdiestros/zurdos, que no se encuentra presente en medios diestros puros o zurdos puros. La �gura 2.12(a), (b) y (c) muestran los diagramas de dispersión ω − β para las líneas de transmisión de un mediozurdo, un medio diestro y un medio diestro/puro, respectivamente. Estos diagramas muestran como enun medio diestro la velocidad de grupo (vgr = ∂ω

∂β ) y la velocidad de fase (vϕ = ωβ ) son paralelas, es

decir, vgrvϕ > 0. Mientras que en un medio zurdo son antiparalelas, esto es vgrvϕ < 0. El diagrama dedispersión de un medio diestro/zurdo muestra que existe una región de medio zurdo (vgrvϕ < 0), con uníndice de refracción negativo ya que β lo es en esta región, y otra región de medio diestro (vgrvϕ > 0);además se observa que hay una banda prohibida justo donde la constante de propagación γ es real. Endichas �guras +βc y −βc corresponden con la dispersión en el espacio libre relleno de dieléctrico, siendoc la velocidad de la luz en el medio.

(a) (b)

(c)

Figura 2.12: Diagramas de dispersión de las líneas de transmisión de las �guras 2.11. (a) Medio zurdo.(b) Medio diestro. (c) Medio diestro/zurdo (no balanceado). Fuente: [9].

En el caso más general, las resonancias serie y las paralelo son diferentes, es decir, los valores de lascapacidades y de las inductancias no coinciden. A este caso se le denomina no balanceado. Cuando lasresonancias serie y paralelo son iguales, es decir,

L′

RHC′

LH = L′

LHC′

RH , (2.24)

entonces las contribuciones del medio diestro y zurdo se compensan la una con la otra a una determinadafrecuencia. Éste es el caso balanceado y da lugar a una simpli�cación del modelo circuital de la estructura,que se muestra en la �gura 2.13.

Bajo la condición impuesta por la ecuación 2.24, la ecuación 2.22 de la constante de fase se simpli�ca

β (ω) = βRH (ω) + βLH (ω) = ω√L

′RHC

′RH −

1

ω√L

′LHC

′LH

, (2.25)

donde podemos descomponer la constante de fase β en dos términos: una constante de fase para mediodiestro βRH y una constante de fase para medio zurdo βLH .

De estas expresiones podemos concluir que conforme aumenta la frecuencia un medio diestro/zurdose hace más dispersivo. Además, a altas frecuencias el comportamiento como medio diestro se hacedominante frente al medio zurdo, mientras que a bajas frecuencias el medio dominante es el zurdo.


(a) (b)

Figura 2.13: Caso balanceado de la �gura 2.11(c). (a) Equivalente circuital. (b) Diagrama de dispersión.Fuente: [9].

La �gura 2.13(b) muestra que la transición de medio zurdo a diestro ocurre a una frecuencia

ω0no balanceado=

14

√L

′RHC

′RHL

′LHC

′LH

balanceado=1√L′C ′

. (2.26)

No se observa en el caso balanceado una banda prohibida. Además, a pesar de que cuando ω = ω0 laconstante de fase β es cero la propagación de la onda se mantiene ya que la velocidad de grupo vgr noes cero a ω0. La fase de una onda propagándose por una línea de transmisión de un medio diestro/zurdode longitud d a ω0 es cero (φ = −β(ω0)d = 0). La fase se adelantará (φ > 0) en el rango de frecuenciasdel medio zurdo (ω < ω0) y se retrasará (φ < 0) en el rango de frecuencias del medio diestro (ω > ω0).

El diagrama de dispersión nos ofrece, además, información sobre si un medio, sea zurdo o diestro,soporta una onda guiada o una onda radiada [23], tal y como muestra la �gura 2.14.

Figura 2.14: Regiones del diagrama de dispersión en función del tipo de onda que se pueda propagar porel medio.

La impedancia característica de una línea de transmisión cualquiera es

Z0 =

√Z ′

Y ′ . (2.27)

Y para un medio diestro/zurdo es

Z0no balanceado= ZLH

√L

′RHC

′LHω

2 − 1L

′LHC

′RHω

2 − 1balanceado= ZLH = ZRH . (2.28)

Donde ZLH y ZRH son las impedancias característica de un medio zurdo y un medio diestro, respectiva-mente:


ZLH =

√L

′LH

C′LH

, (2.29)

ZRH =

√L

′RH

C′RH

. (2.30)

De las ecuaciones 2.28 a 2.30 se concluye que mientras la impedancia característica del caso nobalanceado es dependiente de la frecuencia, para el caso balanceado es independiente de la frecuencia,por lo que es posible hacer que las densidades electromagnéticas en una interfaz entre un medio zurdo yuno diestro sean equivalentes en un ancho de banda amplio sólo en el caso balanceado.

Utilizando todo lo anterior es posible conocer los parámetros primarios de una línea de transmisiónde un medio diestro/zurdo. La constante de propagación γ = jβ =

√Z ′Y ′ , donde

−ω2µε = Z′Y

′. (2.31)

Y la impedancia característica de la línea Z0 =√

Z′

Y ′ , que se relaciona con la impedancia intrínseca del

medio η =√

µε por

Z0 = η, (2.32)

o lo que es lo mismoZ

′

Y ′ =µ

ε. (2.33)

De las ecuaciones 2.31 y 2.33 puede deducirse la permitividad y la permeabilidad de un medio dies-tro/zurdo:

µ =Z

′

jω= L

′

RH −1

ω2C′LH

, (2.34)

ε =Y

′

jω= C

′

RH −1

ω2L′LH

. (2.35)

El índice de refracción (n = cβω ) para el caso balanceado y no balanceado de un medio diestro/zurdo

se muestra en la �gura 2.15. Se observa un índice negativo para la región de medio zurdo (ω < ωΓ1) ypositivo para la región de medio diestro (ω > ωΓ2).

Figura 2.15: Índice de refracción típico de un medio diestro/zurdo para el caso balanceado (verde) y nobalanceado (rojo). Fuente: [9].

Todo este desarrollo del equivalente en líneas de transmisión de un medio diestro, un medio zurdo yun medio diestro/zurdo es válido para estructuras homogéneas. No existe en la naturaleza un medio dies-tro/zurdo homogéneo, sin embargo, desde el punto de vista electromagnético, un medio es efectivamentehomogéneo, es decir, la onda electromagnética no �ve� las discontinuidades de las estructura, siempre que


su longitud de onda sea mucho mayor que la dimensión de las discontinuidades. Esto se traduce en elcaso de una estructura en forma de seta en que debe cumplirse que el periodo p de la estructura sea [21]:

p� λ. (2.36)

Al menos debe darse que

p <λg4⇒ |β|p < π

2rad. (2.37)

En este caso la estructura es considerada completamente homogénea e isotrópica, se permiten los efectosde la refracción negativa y la propagación se puede describir mediante teoría de rayos.

La teoría de líneas de transmisión permite conocer las características de un medio zurdo. Sin embargo,nada se dice sobre como dimensionar la estructura en forma de seta para obtener un índice de refracciónnegativo a cierta frecuencia. De modo que el único método para encontrar las dimensiones de la celdaunidad es mediante simulación y mediante construcción y medida.

Aquí se usará software de simulación electromagnético para conseguir el diagrama de dispersión deuna celda unidad de la estructura en forma de seta, que servirá para conocer el rango de frecuencias enque presenta un índice de refracción negativo. Y de esta forma se dimensionará una celda que funcionecomo medio zurdo a la frecuencia deseada.

2.2.2. Extracción del diagrama de dispersión

Como ya se ha indicado, conseguir el diagrama de dispersión de la celda unidad de la estructura enforma de seta, como elemento de una estructura in�nitamente periódica, sirve para conocer el rango defrecuencias en el que tiene un comportamiento de medio zurdo. Para ello se hace uso de algún tipo desoftware de simulación electromagnético de onda completa.

El diagrama de dispersión muestra la relación entre la frecuencia (f) y la fase de la onda (o lalongitud eléctrica βp), f − βp. Presenta los modos que se propagan por la estructura y las bandas defrecuencia en que pueden existir esos modos. En una estructura periódica existirán varios modos endiferentes direcciones. Brillouin, en su teoría sobre la propagación de ondas sobre estructuras periódicas[19], estableció que para cualquier estructura periódica existen ciertos vectores, es decir, direcciones, enla celda unidad de la estructura que forman una región de contorno de propagación llamada la irreduciblezona de Brillouin (BZ). Por lo que, según esta teoría, conocer los modos que se propagan en la direcciónde estos vectores es su�ciente para cubrir todas las direcciones posibles de propagación en el entramado[20]. Así, el problema de calcular los modos de propagación a una cierta frecuencia en la celda unidad sereduce a encontrar estos modos únicamente en las direcciones de�nidas por los vectores de la irreduciblezona de Brillouin. Para el caso de la celda unidad de la estructura en forma de seta la irreducible zona deBrillouin, también llamada triángulo de Brillouin, se muestra en la �gura 2.16, y consiste en las direccionesde propagación indicadas por los puntos: de Γ a X, de X a M y de M a Γ.

Figura 2.16: La irreducible zona de Brillouin de la celda unidad de una estructura en forma de seta (vistaen planta).

Por consiguiente, el diagrama de dispersión de la celda unidad de la estructura en forma de setaconsistirá en tres regiones, una por cada dirección del triángulo de Brillouin. En cada región, la fase βp setraduce como la diferencia de fase entre los lados de la celda unidad, llamados fase 1 y fase 2 en la �gura2.16. Esta traslación permite obtener el diagrama de dispersión para cada lado del triángulo de Brillouincon simuladores electromagnéticos de onda completa. El simulador calcula las frecuencias en que existepropagación de ondas que generan el desplazamiento de fase indicado entre ambos lados de la celda.


Para una onda propagándose en la dirección Γ−X, se hace variar la fase 1 entre 0o y 180o dejando lafase 2 �ja a 0o. La dirección X −M corresponde a dejar la fase 1 constante a 180o y variar fase 2 entre0o y 180o. Esta dirección representa la segunda región en el diagrama de dispersión. En la tercera región,dirección M − Γ, ambas fases varían al mismo tiempo desde 180o a 0o. Para el caso en el que la ondase propague por el espacio libre relleno únicamente con dieléctrico, donde no hay dispersión, el diagramaconstituirá una línea recta en cada región que se denomina línea de dieléctrico. La ecuación 2.38 de�neel diagrama de dispersión f − βp para una onda propagándose por el espacio libre relleno de dieléctrico[20]:

f(βp) =

c

2πp (βp) , Γ−X,c

2πp

√π2 + (βp)2

, X −M,c√

22πp (βp) , M − Γ.

(2.38)

Donde p es el periodo de la estructura, como ya se ha indicado, y c = c0√εr

es la velocidad de la luzen el medio dieléctrico. Aunque se de�ne la línea de dieléctrico para las tres direcciones del triángulo deBrillouin habitualmente se representan únicamente la primera y la tercera región.

El diagrama de dispersión esperado de una celda unidad de la estructura en forma de seta puede verseen la �gura 2.17, obtenido mediante un simulador de onda completa. En este caso no interesa conocerlas dimensiones de la celda unidad, sino identi�car los modos que se propagan por la estructura [24]. Elprimer modo o modo fundamental que se observa presenta la esperada pendiente negativa, correspondienteal modo LH o modo zurdo, a partir de una determinada longitud eléctrica en las direcciones Γ − X yM −Γ e incluyendo toda la dirección X −M , acoplándose al modo TM del aire en las inmediaciones delpunto Γ. Consecuentemente, un modo zurdo puro no es posible, ya que el modo dominante presenta unamezcla entre un modo zurdo y un modo diestro. Si se excita una frecuencia que esté en el rango de mediozurdo (como por ejemplo, 4GHz ), la pendiente positiva correspondiente a un medio diestro también esinterceptada y, por consiguiente, efectos de un medio diestro pueden ser inducidos en la estructura si seexcita fuertemente. Sin embargo, es posible que haya una concordancia de densidades espectrales entreel medio zurdo y el medio diestro adyacente, cuyo diagrama de dispersión corresponde con la llamadalínea de dieléctrico, en el punto donde intersectan el modo LH y dicha línea de dieléctrico, reduciendo asílas contribuciones de medio diestro en la estructura en forma de seta. Además, el primer modo superiorcorresponde con un modo TE, que presenta comportamiento de medio zurdo en la zona cercana a Γ, y elsegundo modo superior se trata de un modo RH o modo diestro.

Figura 2.17: Diagrama de dispersión de la celda unidad de la estructura en forma de seta, modo funda-mental y dos primeros modos superiores.


2.3. Interfaz parabólica

La excitación que se propone para la antena plana de ranuras consiste en una lente plana formadapor un medio zurdo con una interfaz parabólica frente a un medio convencional.

La parábola es muy utilizada en re�ectores, donde un rayo paralelo al eje e incidiendo en el ladocóncavo del re�ector es re�ejado hacia el foco de la parábola situado en el mismo lado. Por el principiode reciprocidad, un frente de ondas cilíndrico que emana del foco de la parábola es re�ejado como unaonda plana por el re�ector. La excitación se sitúa en el lado cóncavo de la parábola y el frente de ondaplano es re�ejado hacia el mismo lado.

Sin embargo, lo que se propone como lente construida con un medio zurdo convierte una onda cilín-drica, excitada desde el foco de la parábola, y se transmite, en lugar de re�ejarse, una onda plana al otrolado de la interfaz entre el medio zurdo y el medio convencional. La �gura 2.18 muestra un esquema delconcepto.

Figura 2.18: Concepto de conversión de onda cilíndrica a onda plana de un medio zurdo a un medioconvencional.

Este nuevo concepto se entiende fácilmente si se observa la �gura 2.19, donde la re�exión O − P −R conseguida con un re�ector parabólico convencional es reemplazada por la refracción O − P − R

′

consiguiendo el efecto de la �gura 2.18.

Figura 2.19: Comparación entre un re�ector parabólico y una interfaz parabólica zurda.

La forma parabólica se diseña siguiendo el principio de Fermat [22], que debe ser rede�nido paraun medio zurdo. Para conseguir la transformación de onda cilíndrica a onda plana, por el principio deFermat, debe cumplirse la condición de distancia eléctrica (según la nomenclatura de la �gura 2.19):

OP + PP′

= OQ. (2.39)

2.4. CONDICIÓN DE DENSIDADES ELECTROMAGNÉTICAS EQUIVALENTES 35

Como la distancia OP es igual al camino r, PP′es igual a (f − r cos θ), donde f es la distancia focal de

la parábola, y OQ′es igual a r cos θ, la ecuación 2.39 puede expresarse como

nLH · r + nRH · (f − r cos θ) = nLH · f, (2.40)

donde nLH y nRH son los índices de refracción del medio zurdo y del convencional, respectivamente. Deforma que podemos saber cual es la distancia r de la forma parabólica en función de f :

r =f (nLH − nRH)nLH − nRH cos θ

. (2.41)

O la distancia focal f en función de r:

f =r (nLH − nRH cos θ)

nLH − nRH. (2.42)

Así, según la �gura 2.19, es posible excitar mediante un coaxial una onda cilíndrica en el punto focalO, que se transformará en una onda plana, al otro lado de la interfaz entre el medio zurdo y el medioconvencional, propagándose perpendicular a los ejes de la antena de array de ranuras de placas paralelas.

Este tipo de lentes zurdas tienen dos ventajas distinas respecto a las lentes convencionales. La primeraes que una lente con un índice de refracción negativo (NRI) tiene una radio de curvatura mayor comparadocon una lente convencional de la misma magnitud de índice de refracción y la misma distancia focal, estose puede comprobar a partir de la ecuación 2.41, lo que se traslada en una reducción de la aberración.La segunda ventaja es que es posible igualar las densidades electromagnéticas entre un medio zurdo y unmedio diestro, de forma que la lente parabólica no tenga re�exiones en la interfaz entre ambos medios ytodas las ondas incidentes pasen a través de la interfaz. Esta última ventaja será discutida en el siguienteapartado.

2.4. Condición de densidades electromagnéticas equivalentes

Para que la transformación de una onda cilíndrica a una onda plana se realice correctamente esnecesario satisfacer la condición de que los dos medios, zurdo y convencional, tengan densidades electro-magnéticas equivalentes, es decir

nLH = −nRH . (2.43)

Lo cual implica, según 2.10, que

εr,LH · µr,LH = εr,RH · µr,RH . (2.44)

De manera que cumpliendo esta condición se consigue una adaptación perfecta entre los dos mediosy sus impedancias características deben ser las mismas:

ZLH = ZRH . (2.45)

Lo cual implica queµr,LHεr,LH

=µr,RHεr,RH

. (2.46)

Esta condición de adaptación entre un medio zurdo y el medio diestro adyacente puede verse en eldiagrama de dispersión como el punto en el que intersectan el modo zurdo de la celda unidad de laestructura en forma de seta y la línea de dieléctrico del medio convencional. Idealmente la interseccióndebería producirse en el mismo punto de fase en todas las direcciones del triángulo de Brillouin. Porejemplo, si se observa la �gura 2.20, aunque la línea de dieléctrico no coincide en el mismo punto con lasdirecciones Γ −X y M − Γ, la condición de densidades electromagnéticas equivalentes se cumple a unafrecuencia en torno a los 5GHz y a una longitud eléctrica de 0,38π rad. Cuanto más cercanas estén estasdos curvas mejor será la adaptación entre los dos medios, ya que la dispersión será la misma en el mediozurdo y en el diestro y para todas las direcciones de propagación.


Figura 2.20: Intersección entre el modo LH de una estructura en forma de seta y la línea de dieléctricode un medio convencional adyacente, a cuya longitud eléctrica y frecuencia se cumple la condición dedensidades electromagnéticas equivalentes.

De modo que la permitividad y la permeabilidad del medio zurdo han de diseñarse con la precisión su-�ciente para evitar re�exiones indeseadas en la interfaz de la lente y teniendo en cuenta las propiedades delmedio convencional. Dichas re�exiones pueden cuanti�carse según el coe�ciente de re�exión en potenciaen la discontinuidad entre un medio zurdo y uno diestro, que es

ρpot =PrefPinc

=(ηRH − ηLHηRH + ηLH

)2

, (2.47)

donde, teniendo en cuenta la ecuación 2.16, las impedancias intrínsecas de cada medio son

ηLH = +√µr,LHεr,LH

, (2.48)

ηRH = +√µr,RHεr,RH

. (2.49)

Y �nalmente si, como es habitual, µr,LH = −1 y µr,RH = 1 y sustituyendo en las ecuaciones 2.48 y 2.49,se tiene que

ρpot =(nLH + nRHnLH − nRH

)2

. (2.50)

Capítulo 3

Análisis y diseño de la celda unidad dela estructura de seta

En este capítulo se va a caracterizar la celda unidad de la estructura en forma de seta, utilizando paraello su diagrama de dispersión, y se va a desarrollar un método de diseño basado en dichos diagramasque permita dimensionar una celda a la frecuencia deseada, siempre bajo ciertas restricciones que másadelante se concretarán.

3.1. Validación del software de simulación electromagnético

Para la obtención del diagrama de dispersión de la celda unidad de la estructura en forma de seta secuenta con dos simuladores electromagnéticos de onda completa: Ansoft HFSS 10.1, que usa el Método delos Elementos Finitos (FEM), y CST Microwave Studio 2006, basado en el Método de las Integrales Finitasen el Dominio del Tiempo (FITD) para estructuras electromagnéticas en 3D. Además ambos simuladoresmallan las estructuras de forma distinta, lo que los hace más o menos aptos según la estructura geométricaque se quiera analizar. En nuestro caso los dos simuladores son válidos para analizar la celda unidad,ya que ésta tiene una geometría muy rectilínea, es decir, no presenta formas curvas, por lo que ambosmallados son óptimos.

Con el objetivo de validar ambos simuladores y comprobar que se pueden utilizar para extraer eldiagrama de dispersión de la celda unidad correctamente, simulamos una celda de la que conocemos sudiagrama de dispersión. Ésta es la celda utilizada en [8], donde se demuestra que a una frecuencia de5GHz esta celda tiene un índice de refracción negativo. Las dimensiones y demás parámetros de esta celdaunidad, según la nomenclatura utilizada en la �gura 2.8(b), son los indicados en la tabla 3.1. El espesordel plano de masa hmasa y la altura de la guía de placas paralelas hppwg no in�uyen en el comportamientode la celda unidad, pero se indican las magnitudes con las que se han simulado con carácter meramenteinformativo.

Para simular la celda y obtener su diagrama de dispersión es necesario de�nir unas condiciones simi-lares a las que tendrá cuando se integre dentro de la lente plana completa y en la guía de placas paralelas.

Parámetro Magnitud (mm)

p 5g 0.2h 1.57t 0.5

dvia 0.2hmasa 1hppwg 6εr 2.17

Tabla 3.1: Parámetros de la celda unidad a 5GHz simulada para validar el software.

37

38CAPÍTULO 3. ANÁLISIS Y DISEÑO DE LA CELDA UNIDAD DE LA ESTRUCTURA DE SETA

Para ello, en CST, se rodea la celda con una caja rellena de aire cuya altura, desde el plano de masa,es de hppwg = λg

10 = 6mm1, y se �jan las condiciones de contorno del plano superior e inferior comode conductor eléctrico perfecto (PEC), lo cual se acerca a las condiciones en el interior de la guía deplacas paralelas. Además, se establecen condiciones de contorno periódicas (PBC) en todos los lados dela celda, ya que la mayoría de las celdas estarán rodeadas de otras celdas por sus cuatro lados cuandose integren dentro de la lente plana. Esta condición no es válida para las celdas que se encuentren en losextremos de la lente, pero supondremos que la aproximación es correcta asumiendo que en los extremos elcomportamiento no va a ser el esperado pero que se le acercará bastante. Con las condiciones de contornoperiódicas es posible �jar las diferencias de fase entre los lados de la celda, lo que va a permitir hacer losbarridos de fase sobre cada lado para calcular las frecuencias a las que se propagan ondas electromag-néticas en el interior de la estructura. Puede verse en la �gura 3.1 el dibujo en CST de la celda unidad ylas condiciones de contorno �jadas.

(a) (b)

(c)

Figura 3.1: CST: (a) celda unidad con caja de aire, (b) detalle de la vía metalizada y (c) condiciones decontorno.

Ahora puede hacerse un barrido de parámetros con el Eigenmode solver del CST, que calcula losmodos que se propagan por una estructura, variando fase 1 y fase 2, según se indica en al apartado 2.2.2,para cada lado del triángulo de Brillouin.

En HFSS el proceso es similar [23]. Se rodea la celda por una caja rellena de aire, de altura hppwgigual a la �jada en CST, y se establecen condiciones de contorno de conductor eléctrico perfecto en lascaras superior e inferior. HFSS no tiene condiciones de contorno periódicas como tal, sino lo que se llamancondiciones de contornomaestro/esclavo. Este tipo de condiciones de contorno modelan planos con algunaperiodicidad, donde el campo eléctrico en cada punto de la super�cie esclava se fuerza para que coincidacon el campo eléctrico en la super�cie maestra con una cierta diferencia de fase. De modo que se �jandos de los lados de la celda no enfrentados entre sí como maestros y los otros dos como esclavos y se hace

1En este caso λg se re�ere a la longitud de onda de la guía de placas paralelas que, en principio, estará rellena de foam,es decir, εr ' 1. Más adelante se verá que no será foam el sustrato que se empleará, pero aquí se utiliza para partir dealguna base.

3.1. VALIDACIÓN DEL SOFTWARE DE SIMULACIÓN ELECTROMAGNÉTICO 39

un barrido con las diferencias de fase entre ambos lados (fase 1 y fase 2 ) para determinar el diagramade dispersión. En la �gura 3.2 se pueden ver las condiciones de contorno impuestas con HFSS.

(a)

(b)

Figura 3.2: HFSS: (a) condiciones de contorno PEC y (b) maestro/esclavo.

Los diagramas de dispersión f−βp obtenidos pueden verse en la �gura 3.3. Muestran los tres primerosmodos (el fundamental y los dos primeros modos superiores) que se propagan por la celda unidad en lastres direcciones del triángulo de Brillouin, además del modo de propagación en el espacio libre rellenode dieléctrico o línea de dieléctrico, que corresponde con el medio convencional. Únicamente se observacomportamiento de medio zurdo, es decir, una pendiente negativa en el diagrama de dispersión, en elmodo fundamental a partir de una determinada longitud eléctrica en las direcciones Γ − X y M − Γy en toda la dirección X −M , intersectando con la línea de dieléctrico del medio convencional en lasinmediaciones de Γ; y en el primer modo superior en la zona cercana a Γ. Los resultados son prácticamenteidénticos en CST y en HFSS2 a los obtenidos en [8], existiendo comportamiento de medio zurdo a unafrecuencia de 5GHz con una longitud eléctrica aproximada de βp ' 0,4π < π

2 rad.

2En el diagrama de dispersión calculado con HFSS se ha suprimido el valor de fase 0o, ya que no simula bien para estadiferencia de fase, como se señala en el anexo A.1.1. Sin embargo, para el modo fundamental, aunque no se ha simuladocon fase 0o, se sabe que corresponde con una frecuencia de 0GHz, por lo que se ha añadido posteriormente este punto parauna mejor visualización.


(a) (b)

Figura 3.3: Diagrama de dispersión de la celda unidad a 5GHz simulada para validar el software, (a) conCST y (b) con HFSS.

Se puede comprobar también la concordancia con la grá�ca de índices de refracción n− βp obtenidapor Caloz, sin más que aplicar la relación

|n| = c0β

2πf, (3.1)

siendo c0 la velocidad de la luz en el vacío. El signo de n es positivo para las zonas con comportamientode medio diestro (zonas de pendiente positiva del diagrama de dispersión) y negativo para las zonas concomportamiento de medio zurdo (pendiente negativa en el diagrama de dispersión). El resultado puedeverse en la �gura 3.4, donde únicamente se muestra el índice de refracción del modo fundamental paralas direcciones Γ −X y M − Γ. El índice de refracción a 5GHz es nLH ' −2,3, aproximadamente, queda lugar a un índice de refracción del medio zurdo de εr,LH ' −5,3.

(a) (b)

Figura 3.4: Índice de refracción en función de la longitud eléctrica de la celda unidad a 5GHz simuladapara validar el software, (a) con CST y (b) con HFSS.

3.2. ESTUDIO PARAMÉTRICO A PARTIR DE LA CELDA PARA VALIDAR EL SOFTWARE 41

De forma que, habiendo conseguido con este software de simulación electromagnético de onda com-pleta resultados coherentes quedan validados los softwares y el modelo de simulación. Ahora se sabe quepueden ser utilizados para diseñar una celda unidad que trabaje a cualquier frecuencia como medio zurdo,utilizando el diagrama de dispersión para ello.

3.2. Estudio paramétrico a partir de la celda para validar el soft-

ware

Antes de proceder a realizar un simple escalado en frecuencia a las dimensiones de la celda unidad,que se sabe tiene a 5GHz un comportamiento de medio zurdo (tabla 3.1), a 12GHz es necesario conocercomo se modi�ca el diagrama de dispersión y, por tanto, el índice de refracción, cuando se hace variaralguno de los parámetros geométricos de la celda unidad. Para ello se ha realizado un barrido de losparámetros característicos que afectan al diagrama de dispersión, utilizando CST (para ver el mismoestudio paramétrico con HFSS ver anexo A.2), como son el periodo de la estructura p, la separación entreparches g, el espesor del sustrato h, el espesor de los parches t y el diámetro de la vía dvia.

Las �guras 3.5-3.9 muestran los diagramas de dispersión y los índices de refracción de la celda unidadcuando varía, respectivamente:

El periodo: p={2, 3.5, 5, 6.5} (�gura 3.5)3.

La separación entre parches: g={0.1, 0.2, 0.4, 0.8} (�gura 3.6).

El espesor del sustrato: h={0.5, 0.785, 1.57, 3.14} (�gura 3.7).

El espesor de los parches: t={0.035, 0.1, 0.3, 0.5} (�gura 3.8).

El diámetro de la vía: dvia={0.1, 0.2, 0.6, 1} (�gura 3.9).

De este estudio paramétrico se pueden obtener diversas conclusiones. De los diagramas de dispersiónse deduce que la frecuencia a la que existe comportamiento de medio zurdo:

Disminuye al aumentar p.

Aumenta al aumentar g.

Disminuye al aumentar h.

Disminuye al aumentar t.

Aumenta al aumentar dvia.

El ancho de banda donde existe comportamiento de medio zurdo:

Se reduce al aumentar p.

Se reduce al aumentar g.

Se reduce al aumentar h.

Se mantiene aproximadamente invariable al cambiar t.

Se reduce al aumentar dvia.

De las grá�cas de los índices de refracción se observa que el índice de refracción de la estructura:

3La línea de aire depende de el periodo p por lo que habría que dibujar una línea de aire por cada valor de p. Por claridadno se ha dibujado ninguna línea de aire en estas grá�cas.


(a)

(b) (c)

Figura 3.5: CST: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción delmodo fundamental (b) en la dirección Γ−X y (c) en la dirección M − Γ de la celda unidad, variando elperiodo p.


(a)

(b) (c)

Figura 3.6: CST: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción delmodo fundamental (b) en la dirección Γ−X y (c) en la dirección M − Γ de la celda unidad, variando laseparación entre parches g.


(a)

(b) (c)

Figura 3.7: CST: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción delmodo fundamental (b) en la dirección Γ−X y (c) en la dirección M − Γ de la celda unidad, variando elespesor del sustrato h.


(a)

(b) (c)

Figura 3.8: CST: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción delmodo fundamental (b) en la dirección Γ−X y (c) en la dirección M − Γ de la celda unidad, variando elespesor de los parches t.


(a)

(b) (c)

Figura 3.9: CST: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción delmodo fundamental (b) en la dirección Γ−X y (c) en la dirección M − Γ de la celda unidad, variando eldiámetro de la vía dvia.

3.3. DIMENSIONAMIENTO DE UNA CELDA UNIDAD A 12GHZ 47

Aumenta al aumentar p.

Aumenta al aumentar g.

Disminuye al aumentar h.

Disminuye, aunque muy poco, al aumentar t.

Disminuye al aumentar dvia.

Entendiendo por disminuir que se hace más negativo y por aumentar que se acerca a cero.De manera que el comportamiento de medio zurdo tiende a desaparecer, haciéndose predominante el

comportamiento como medio diestro, conforme aumentamos p, g ó dvia y disminuimos h (la variacióncon respecto a t es muy pequeña, teniendo en cuenta sobretodo que este espesor siempre va a ser muypequeño), haciéndose la pendiente del diagrama de dispersión menos negativa. Lo cual marca los límitesgeométricos para que se dé el comportamiento como medio zurdo en la estructura en forma de seta. Estarestricción se añade a la limitación en frecuencia debida a los modos que se propagan por la estructuray a la ecuación 2.26.

Es posible utilizar este estudio paramétrico como grá�cas de diseño y dimensionar así una celda unidadque trabaje a una frecuencia determinada como medio zurdo.

3.3. Dimensionamiento de una celda unidad a 12GHz

Como ya se ha indicado, se pretende conseguir una la lente plana, formada por la estructura en formade seta, que se utilizará para alimentar de manera uniforme una antena plana de ranuras que funcionaa 12GHz. Por tanto, es necesario conseguir unas dimensiones de la estructura en forma de seta paraque se comporte como medio zurdo a esa frecuencia. Existen una serie de limitaciones tecnológicas deconstrucción que restringen geométricamente el dimensionamiento a 12GHz :

El valor mínimo de separación entre parches g es de 0.2 mm, que es el ancho de haz del láser deltaller donde se construirá la lente plana.

El valor mínimo del diámetro de las vías dvia es de 0.4 mm, que corresponde con el diámetro externomínimo de los remaches que se van a utilizar como vías metalizadas.

Los valores tanto del espesor del sustrato h como del espesor de los parches metalizados t vienen�jados por la disponibilidad comercial de los mismos por parte del fabricante.

El tamaño del periodo de la estructura p debe cumplir la condición de la ecuación 2.37.

Hay que tener en cuenta que si aplicamos un escalado en frecuencia a las dimensiones de la celda4 quese sabe funciona a 5GHz obtenemos valores difíciles de construir. Si, por ejemplo, escalamos la celda de5GHz de la tabla 3.1 a 12GHz basta con multiplicar todos los parámetros, exceptuando los que no songeométricos y corresponden con propiedades de los materiales, como la constante dieléctrica relativa εr,por el factor

S =512' 0,417, (3.2)

lo cual deja los parámetros de la celda unidad según la tabla 3.2.Debido a las limitaciones anteriormente indicadas no es posible construir esta celda, sin embargo,

se ha extraído su diagrama de dispersión con el objetivo de comprobar que el comportamiento comomedio zurdo se mantiene tras el escalado. Puede observarse el diagrama de dispersión y los índices derefracción, simulado con CST, en la �gura 3.10. Se observa a 12GHz que se obtiene una longitud eléctricaβp ' 0,46π < π

2 rad y un índice de refracción nLH ' −2,74, que, según la ecuación 2.10, si µr,LH = −1,desemboca en una constante dieléctrica para la lente de εr,LH ' −7,5.

4Una antena, que funciona a una frecuencia fs, en que sus dimensiones son un factor S mayor o menor (si S < 1) quelas dimensiones de una antena conocida, que funciona a una frecuencia f , mantiene las mismas características de radiación(diagrama de radiación, directividad, impedancia de radiación y coe�ciente de re�exión a la entrada) si se cumple quef = S · fs, manteniendo en los materiales con que se construyen los mismos parámetros característicos.



p 2.083g 0.083h 0.654t 0.208

dvia 0.084hmasa 0.417hppwg 2.5εr 2.17

Tabla 3.2: Parámetros de la celda unidad escalada a 12GHz a partir de la celda a 5GHz.

(a) (b)

Figura 3.10: CST: (a) Diagrama de dispersión e (b) índices de refracción de la celda unidad escalada a12GHz a partir de la celda a 5GHz.

De manera que se hace necesario hacer uso del conocimiento de como varía el diagrama de disper-sión en función de los parámetros geométricos de la celda unidad para poder obtener unas dimensionesconstruibles. Así, simplemente mediante el método de �prueba y error�, se ha conseguido llegar a unasdimensiones de la celda unidad que posee un comportamiento de medio zurdo a 12GHz y que es posibleconstruirla con la tecnología de que se dispone. Los parámetros se indican en la tabla 3.3, el diagrama dedispersión y los índices de refracción simulados en CST y HFSS se presentan en las �guras 3.11 y 3.12,respectivamente.

3.3. DIMENSIONAMIENTO DE UNA CELDA UNIDAD A 12GHZ 49


p 3.2g 0.22h 0.762t 0.5


Tabla 3.3: Parámetros de la celda unidad con comportamiento de medio zurdo a 12GHz.

(a) (b)

Figura 3.11: Diagramas de dispersión de la celda unidad con comportamiento de medio zurdo a 12GHz,(a) con CST y (b) con HFSS.


(a) (b)

Figura 3.12: Índices de refracción de la celda unidad con comportamiento de medio zurdo a 12GHz, (a)con CST y (b) con HFSS.

Se observa en las �guras 3.11 y 3.12 que a 12GHz se obtiene una longitud eléctrica βp ' 0,8π rad yun índice de refracción nLH ' −3,2 que corresponde con una permitividad εr,LH ' −10,24.

A la vista de estos resultados se plantean dos problemas. El primero de ellos es que no se cumple queβp < π

2 rad, lo cual hace que el medio de la lente zurda sea anisotrópico y no homogéneo. El segundo esque, normalmente, en el interior de la guía de placas paralelas se utiliza un sustrato de baja permitividad.Si por ejemplo, se usase foam como sustrato se tendría una discontinuidad en la interfase entre el mediozurdo de εr,LH ' −10,24 (nLH ' −3,2) y el convencional de εr,RH ' 1,05 (nRH ' 1,02) que generaríauna re�exión muy alta no tolerable. En concreto, según la ecuación 2.50, que expresa el coe�ciente dere�exión en potencia en función de los índices de refracción de los medios zurdo y convencional como

ρpot =(nLH + nRHnLH − nRH

)2

, (3.3)

se obtienen en la interfaz -5.7 dB aproximadamente de re�exión. Demasiado alto si lo que se pretende esconseguir mejorar la e�ciencia de la antena de array de ranuras de placas paralelas.

Obtener una celda unidad con una longitud eléctrica βp < π2 rad y con un índice de refracción bajo

en módulo a 12GHz es posible, y puede verse su dimensionamiento en el apartado 3.5, pero sin embargono se puede construir con la tecnología de que se dispone. De modo que se plantea una solución: aceptarla anisotropía y la no homogeneidad de la lente zurda conformada con la celda unidad de la tabla 3.3 yutilizar un sustrato de constante dieléctrica εr,RH = 10,24 o cercana a ella, para que las re�exiones seanlas mínimas posibles en la interfaz entre el medio zurdo y el diestro.

Aun así, esta lente zurda que podría ser válida para alimentar una guía de placas paralelas no loes para una antena de array de ranuras de placas paralelas, ya que con un sustrato del medio diestrode constante dieléctrica tan grande se excitarían modos superiores que distorsionarían el diagrama deradiación. Por tanto, para poder continuar con la idea de demostrar que es posible utilizar una lentezurda parabólica para mejorar la e�ciencia de este tipo de antenas se decide diseñar una celda unidada una frecuencia inferior, que supone dimensiones mayores de la celda y, por tanto, más �exibilidadpara modi�car cualquier parámetro geométrico de la estructura y conseguir así cumplir la condiciónde βp < π

2 rad y reducir la constante dieléctrica εr,RH del sustrato de la guía de placas paralelas. Lafrecuencia elegida es 7.5GHz y el dimensionamiento de dicha celda unidad puede verse en el apartado3.6.

3.4. ESTUDIO PARAMÉTRICO A PARTIR DE LA CELDA UNIDAD A 12GHZ 51

3.4. Estudio paramétrico a partir de la celda unidad a 12GHz

Tras obtener una celda unidad con comportamiento de medio zurdo a 12GHz (tabla 3.3), es interesantehacer un estudio paramétrico similar el realizado en el apartado 3.2, de forma que se indague aun más enel comportamiento de dicha celda unidad y en las limitaciones que presenta a esta frecuencia tan alta.

Así, las �guras 3.13-3.17 muestran los diagramas de dispersión y los índices de refracción de la celdaunidad cuando varía, respectivamente:

El periodo: p={3.2, 5, 6.5, 7.8} (�gura 3.13)5.

La separación entre parches: g={0.1, 0.22, 0.4, 0.8} (�gura 3.14).

El espesor del sustrato: h={0.5, 0.672, 1.57, 2.07} (�gura 3.15).

El espesor de los parches: t={0.035, 0.1, 0.3, 0.5} (�gura 3.16).

El diámetro de la vía: dvia={0.1, 0.4, 0.8, 1} (�gura 3.17).

Concluimos de este estudio paramétrico que las tendencias descritas en el apartado 3.2 se mantienena frecuencias más altas, y además, observamos que para ciertos parámetros el comportamiento de mediozurdo desaparece quedando únicamente un comportamiento como medio convencional, esto es para:

h & 2,07 (3.4)

g & 0,4 (3.5)

dvia > 1 (3.6)

Además, si observamos la �gura 3.13(b) comprobamos que cuando aumentamos el valor del periodop a partir de un cierto valor se puede dejar de cumplir la condición de la ecuación 2.37 y, por tanto, quela celda unidad conforme un medio zurdo no homogéneo.

De modo que, como ya intuíamos en el anterior estudio paramétrico, a frecuencias mayores las limi-taciones geométricas se hacen más exigentes, por lo que no es posible cualquier dimensión si queremosque la celda unidad se comporte como un medio zurdo isotrópico y homogéneo.

5Al igual que en el estudio paramétrico a 5GHz, la línea de aire depende de el periodo p, por lo que habría que dibujaruna línea de aire por cada valor de p, y por claridad no se ha dibujado ninguna línea de aire en estas grá�cas.


(a)

(b)

(c)

Figura 3.13: CST: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción delmodo fundamental (b) en la dirección Γ−X y (c) en la dirección M − Γ de la celda unidad, variando elperiodo p.


(a)

(b) (c)

Figura 3.14: CST: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción delmodo fundamental (b) en la dirección Γ−X y (c) en la dirección M − Γ de la celda unidad, variando laseparación entre parches g.


(a)

(b) (c)

Figura 3.15: CST: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción delmodo fundamental (b) en la dirección Γ−X y (c) en la dirección M − Γ de la celda unidad, variando elespesor del sustrato h.


(a)

(b) (c)

Figura 3.16: CST: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción delmodo fundamental (b) en la dirección Γ−X y (c) en la dirección M − Γ de la celda unidad, variando elespesor de los parches t.


(a)

(b) (c)

Figura 3.17: CST: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción delmodo fundamental (b) en la dirección Γ−X y (c) en la dirección M − Γ de la celda unidad, variando eldiámetro de la vía dvia.

3.5. DIMENSIONAMIENTODE UNA CELDA CONUN ÍNDICE DE REFRACCIÓNN = −1,5A 12GHZ57

3.5. Dimensionamiento de una celda con un índice de refracción

n = −1,5 a 12GHz

Obtener las dimensiones de una celda unidad con un índice de refracción bajo en módulo a 12GHz seplantea muy interesante, por el hecho de poder utilizar un sustrato de baja permitividad como dieléctricoentre los dos conductores de la guía de placas paralelas y que las re�exiones sean bajas en la interfaseentre la lente zurda y el medio diestro. En este caso pretendemos hallar una celda unidad con un índice derefracción nLH = −1,5, o al menos cercano, para poder utilizar polietileno como dieléctrico en el interiorde la guía, cuya permitivad es εr,RH = 2,25 que genera un índice de refracción nRH = 1,5.

Para conseguir la celda con un índice de refracción nLH = −1,5 partimos de una ya conocida quetenga un índice de refracción muy bajo en módulo. Utilizamos en este caso una de las celdas del estudioparamétrico del apartado 3.2, en concreto la de la �gura 3.7, donde se hizo variar el espesor del sustratoh, con h = 0,5mm remarcada en rojo. Esta celda presenta un índice de refracción nLH = −1,3 a unafrecuencia aproximada de 7.7GHz, de modo que si aplicamos un escalado en frecuencia a las dimensionesde esta celda hasta los 12GHz deseados, es decir, multiplicamos a todos los parámetros geométricos dela celda por

S =7,712' 0,642, (3.7)

y hacemos uso de los estudios paramétricos de los apartados 3.2 y 3.4, se obtienen las dimensiones dela tabla 3.4 y un diagrama de dispersión y una grá�ca de índices de refracción, �gura 3.18 (a) y (b)respectivamente, que demuestran que dicha celda tiene un índice de refracción nLH = −1,56 a 12GHz,que desemboca en una permitividad εr,LH ' −2,43, para una longitud eléctrica de βp ' 0,46π rad.

En la discontinuidad entre un medio zurdo con un índice de refracción nLH = −1,56 y un medioconvencional relleno de polietileno con nRH = 1,5 se consigue una re�exión, según la ecuación 2.50, de-34.1 dB, que es su�cientemente bajo como para que las re�exiones en la interfase parabólica de la lentezurda no afecten a la e�ciencia de radiación de la antena de array de ranuras de placas paralelas.

Se puede ver en la �gura 3.19 como se cumple aproximadamente la condición de densidades elec-tromagnéticas equivalentes a 12GHz, al menos de forma exacta para la dirección Γ − X y de formaaproximada para la dirección X −M y Γ−X.

Las limitaciones tecnológicas en la construcción de la lente, enumeradas en el apartado 3.3, impidenla utilización de esta celda en el prototipo que se pretende construir. Sin embargo, queda demostradoque es posible conseguir una lente zurda con un índice de refracción nLH = −1,5 o muy cercano a él que,con una tecnología más precisa que la que se empleará más adelante en la fabricación del prototipo, esposible construir.


p 3.638g 0.291h 0.301t 0.364


Tabla 3.4: Parámetros de la celda unidad con comportamiento de medio zurdo a 12GHz y un índice derefracción n = −1,56.


(a) (b)

Figura 3.18: CST: Diagramas de dispersión (a) e índices de refracción (b) de la celda unidad con com-portamiento de medio zurdo a 12GHz y un índice de refracción n = −1,56.

(a)

Figura 3.19: Condición de densidades electromagnéticas equivalentes entre los medios zurdo y diestro,con la celda unidad con comportamiento de medio zurdo a 12GHz y un índice de refracción n = −1,56.

3.6. DIMENSIONAMIENTO DE UNA CELDA UNIDAD A 7.5GHZ 59

3.6. Dimensionamiento de una celda unidad a 7.5GHz

Como ya se ha comentado se hace necesario diseñar una celda unidad que conforme una lente zurdaa 7.5GHz, con el objetivo de que se pueda construir con los medios de que se disponen, que cumpla queβp < π

2 rad para que la lente sea homogénea e isotrópica a esa frecuencia, y cuya permitividad εr,LH enmódulo sea lo más baja posible para evitar la propagación de modos superiores en el interior de la guíade placas paralelas.

Utilizando una metodología similar a los diseños anteriores se ha conseguido dicha celda. En este casose ha partido de la celda unidad que funcionaba como medio zurdo a 12GHz de la tabla 3.3, ya que susdimensiones son construibles, y variando el periodo de la estructura p se ha conseguido una celda quefunciona a 7.5GHz que cumple todos los requisitos. Sus dimensiones pueden contemplarse en la tabla3.5. Su diagrama de dispersión y la grá�ca de índices de refracción pueden verse en la �gura 3.20 (a) y(b), respectivamente, y se observa que dicha celda tiene un índice de refracción nLH ' −1,56 a 7.5GHz,que desemboca en una permitividad εr,LH ' −2,43, para una longitud eléctrica de βp ' 0,45π < π

2 rad.Esto nos permite construir una lente homogénea e isotrópica y utilizar polietileno como sustrato en elinterior de la guía de placas paralelas, cuya permitividad es de εr,RH = 2,25 (nRH = 1,5), con el cual seasegura que no se propagarán modos superiores en la guía de placas paralelas. Esto da una re�exión enla interfaz parabólica, según al ecuación 2.50, de -34.1 dB aproximadamente, su�cientemente baja.


p 5.77g 0.22h 0.762t 0.5

dvia 0.8hmasa 0.6hppwg 8εr 2.17

Tabla 3.5: Parámetros de la celda unidad con comportamiento de medio zurdo a 7.5GHz.

(a) (b)

Figura 3.20: CST: Diagramas de dispersión (a) e índices de refracción (b) de la celda unidad con com-portamiento de medio zurdo a 7.5GHz.

Puede además comprobarse mediante la �gura 3.21 como se cumple aproximadamente la condiciónde densidades electromagnéticas equivalentes a 7.5GHz. Al menos se cumple de forma exacta para la


dirección Γ−X y de forma aproximada para la dirección X −M y Γ−X, de modo que aceptamos dichaaproximación como válida.

(a)

Figura 3.21: Condición de densidades electromagnéticas equivalentes de entre los medios zurdo y diestro,con la celda unidad con comportamiento de medio zurdo a 7.5GHz. .

Será entonces esta lente zurda la que se construirá utilizando tecnología de circuitos impresos y apartir de la cual se tratará de demostrar que es capaz de mejorar la uniformidad del campo en el interiorde la guía de placas paralelas y, por tanto, la e�ciencia de la antena de array de ranuras. Para lasvías metalizadas, en lugar de los via-holes habituales, se practicarán agujeros a la placa y se utilizaránremaches de 0.8 mm de diámetro que conectarán los parches al plano de masa.

Capítulo 4

Análisis y diseño de la lente planasimple

Como ya se sabe, se va a diseñar una lente plana con comportamiento de medio zurdo a 12 y 7.5GHzde manera que se alimente más uniformemente una antena plana de array de ranuras de placas paralelas,aunque sólo la segunda se construirá y medirá. Así, una vez se dispone de las celdas unidad que funcionancomo medio zurdo a dichas frecuencias, se van a diseñar las lentes completas y a estudiar el campoque se propaga en el interior de la guía de placas paralelas en ambos casos con diferentes simuladoreselectromagnéticos de onda completa, comenzando con una lente con propiedades ideales para despuéspasar a la lente real formada por la estructura en forma de seta.

4.1. Lente simple ideal

En primer lugar se presenta una lente con propiedades electromagnéticas ideales, que muestra unainterfaz parabólica, y que es creada para estudiar de manera ideal la conversión de ondas con un frentede fase cilíndrico a ondas con un frente de fase plano. De esta forma es posible analizar las dimensionesde la estructura, las condiciones de contorno del problema y la excitación mediante sonda coaxial. Lassimulaciones se realizan utilizando el simulador de onda completa HFSS, que permite �jar permitividadesy permeabilidades negativas, lo cual no es posible con otros simuladores como CST.

Como se observa en la �gura 4.1 el modelo consta de dos medios bien diferenciados y separados poruna interfaz parabólica cuya distancia focal es de 76 mm, que es mucho mayor que la longitud de ondade la guía λg en todos los casos. La lente zurda representa el modelo ideal de lente con su permitividadεr,LH correspondiente, según se indica en los apartados 3.5 y 3.6: εr,LH = −2,43 y µr,LH = −1 paraambas lentes a 12 y 7.5GHz. El dieléctrico o medio diestro corresponde con el propio sustrato del interiorde la guía de placas paralelas y que, por cuestiones de disponibilidad del fabricante, tendrá una constantedieléctrica lo más cercana posible a −εr,LH , es decir una permitividad de εr,RH según se indica en losapartados 3.5 y 3.6, de modo que se minimicen las re�exiones en la discontinuidad entre los dos medios:polietileno de εr,RH = 2,25 y µr,RH = 1 para ambas lentes a 12 y 7.5GHz.

Las dimensiones de la guía de placas paralelas para estas simulaciones son de 380 mm de largo y 305mm de ancho, con una altura de hppwg según indica en las tablas 3.4 y 3.5 para las celdas a 12 y a 7.5GHz,respectivamente. La sonda coaxial se sitúa en el foco de la parábola y excita una onda cilíndrica en elinterior de la guía que, por efecto de la refracción negativa, en la discontinuidad parabólica se transformaen una onda plana. Condiciones de contorno de conductor eléctrico perfecto son necesarias por encima ypor debajo de la estructura para simular la guía de placas paralelas. Las condiciones de contorno lateralesserán discutidas en el apartado 4.3 donde se exponen diversos resultados de las simulaciones en funciónde dichas condiciones de contorno.

4.2. Lente simple real

El segundo paso es construir la lente zurda real conformada por la estructura en forma de seta descritaen el apartado 2.2, con las dimensiones de la celda unidad de las tablas 3.4 y 3.5 que se sabe funcionan a 12

61

62 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y DISEÑO DE LA LENTE PLANA SIMPLE

Figura 4.1: Modelo ideal de lente zurda en el interior de una guía de placas paralelas.

y a 7.5GHz, respectivamente. Una lente construida así presenta una permitividad y una permeabilidadnegativas, de manera que se puede estudiar su comportamiento en el interior de una guía de placasparalelas utilizando un simulador electromagnético de onda completa. En este caso se ha hecho uso deCST, ya que el tiempo de simulación que requiere y los recursos que consume son menores que HFSS,debido fundamentalmente a que HFSS realiza un mallado mucho más exhaustivo que CST. Y puestoque en este caso, al ser la estructura de la lente muy compleja, el tiempo de simulación es un parámetrocrítico, es más conveniente utilizar CST para la simulación.

En la �gura 4.3 puede verse el modelo de lente real construido en CST para la simulación. Lasdimensiones son las mismas que en el caso ideal: distancia focal de 76 mm, guía de placas paralelas de380 mm de largo y 305 mm de ancho, y espesor del sustrato de la guía de hppwg según las tablas 3.4 y 3.5para las celdas a 12 y 7.5GHz, respectivamente. La diferencia entre este modelo real y el ideal radica en laconstrucción de la lente, aquí formada por la estructura en forma de seta y colocando foam, o simplementedejando aire, por encima de los parches para emular la caja de aire que rodea a la celda unidad. En elcaso ideal la lente es completamente homogénea. Son necesarios 1300 parches y 1242 vías metalizadaspara cubrir toda la super�cie de la lente parabólica1 en el caso de la lente a 12GHz, y 550 parches y510 vías para la lente a 7.5GHz, lo cual da una idea de la complejidad de la estructura, sobretodo a lahora de ser simulada. Alrededor de la sonda coaxial, que alimenta la estructura, se deja libre de celdas,como muestra la �gura 4.2, de manera que el modo TEM que se excita, con forma de onda cilíndrica,llegue a las primeras celdas con los modos al corte ya atenuados. La condición de contorno de conductoreléctrico perfecto es establecida por encima de la estructura, como si estuviera en el interior de una guíade placas paralelas. Por debajo se construye un plano de masa físico, por lo que no es necesario establecertal condición de contorno.

Figura 4.2: Sonda coaxial en el interior de la estructura en forma de seta (vista en planta).

1El hecho de que haya menos vías que parches radica en la forma de la parábola que recorta los parches del borde,dejando en muchos casos un trozo pequeño de celda sin vía o con la vía recortada. En este último caso la vía se suprimepuesto que sólo va a ser posible colocar vías enteras utilizando la remachadora.

4.3. RESULTADO DE LAS SIMULACIONES 63

(a)

(b) (c)

Figura 4.3: Modelo real de lente zurda en el interior de una guía de placas paralelas (a). Detalle de lalente (b) y detalle de la estructura en forma de seta que conforma la lente real (c).

4.3. Resultado de las simulaciones

El uso de simuladores electromagnéticos de onda completa, tanto para el caso de la lente ideal comopara el real, dan una visión mucho más clara, tanto desde el punto de vista visual como matemático, deque las hipótesis basadas en los desarrollos matemáticos y en los diagramas de dispersión extraídos soncorrectas, puesto que dichos simuladores resuelven las ecuaciones de Maxwell en el interior de la estructuraconstruida y nos dan información visual y matemática del campo que se propaga en dicha estructura,además de otro tipo de resultados igualmente valiosos, como los parámetros S o el campo excitado. Deahí la importancia que toma el uso de estos programas en el diseño de microondas. En este caso, además,servirá para estudiar las condiciones de contorno del problema, las dimensiones de la estructura y comoexcitar la antena mediante la sonda coaxial.

Sin embargo, la lente simple real que hay que construir a 7.5GHz, y, sobretodo, la lente simple reala 12GHz están formadas por componentes muy pequeños y en gran número (como son las vías o losparches), lo que hace que la estructura sea muy compleja y, por tanto, se necesite un mallado muy grandepara poder simularla correctamente. Cuantas más celdas tenga el mallado más recursos de procesamiento,más memoria y más tiempo se necesitan para simular la estructura.

Las simulaciones de la lente simple ideal se han realizado con dos tipos de condiciones de contornolaterales: primero con abierto, o Radiation en HFSS, en los cuatro laterales, donde la onda es absorvidacomo si se prolongase in�nitamente el espacio en los laterales desde la estructura; y en segundo lugarcon abierto en los laterales cortos de la guía y con condiciones de contorno conductor magnético perfecto(PMC), o Perfect-H en HFSS, en los laterales largos, donde el vector de campo eléctrico tangencial ala super�cie es continuo a ambos lados y, por tanto, no se anula el campo eléctrico tangencial en ladiscontinuidad. De manera que distinguiremos entre dos casos ideales: en abierto (al que se llamará�ideal-open�) y con condición de conductor magnético perfecto (al que se denominará �ideal-PMC�) enlos laterales largos de la guía.


Las simulaciones de la lente simple real se han hecho con condiciones de contorno laterales de abierto,o Open/Open (add space) en CST, en los cuatro laterales de la guía (aquí se llamará �real-open�), queañade espacio libre en los laterales de manera que las re�exiones sean mínimas. Además, al igual queen el caso ideal, se ha utilizado condición de abierto en los laterales cortos y de conductor magnéticoperfecto, o magnetic (Ht=0) en CST, en los laterales largos de la guía (que daremos en nombrar como�real-PMC�).

En la �gura 4.4 vemos un resumen de las condiciones de contorno para los casos ideal y real.

Figura 4.4: Condiciones de contorno de la lente ideal/real en el interior de una guía de placas paralelas.

4.3.1. Lente simple a 7.5GHz

Según el apartado 3.6, donde se dimensiona la celda unidad a 7.5GHz, la lente conformada por dichacelda tendrá una permitividad de εr,LH ' −2,43. El medio diestro utilizado es polietileno de permitividadεr,RH = 2,25, por lo que los medios no están perfectamente adaptados. Como ya se ha indicado, elcoe�ciente de re�exión en la interfaz parabólica es, según la ecuación 2.50, de -34.1 dB aproximadamente,valor que permite despreciar dichas re�exiones.

En las �guras 4.5 (a) y (b) puede verse la amplitud del campo eléctrico en el interior de la guíade placas paralelas en los casos ideal-open e ideal-PMC, respectivamente, cuando ambos medios estánperfectamente adaptados, es decir, cuando εr,LH = −2,25 y εr,RH = 2,25. Tanto en los casos ideales comoen los reales es posible extraer el campo eléctrico sobre una supercie lineal, que va de lado a lado de laguía, y obtener así la potencia transmitida sobre esa supercie, ofreciendo una información más detalladade lo que está ocurriendo. Así, se observa en la �gura 4.6 la potencia transmitida por el campo eléctricoen el interior de la guía de placas paralelas sobre tres super�cies lineales a unas distancias que son unnúmero entero de veces la longitud de onda de la guía medido desde el punto de alimentación de la lente,que en este caso es

λg =c0

7,5 · 109 ·√

2,25' 26,67mm. (4.1)

Donde c0 es la velocidad de la luz en el vacío.Se observa perfectamente en la �gura 4.5 como una onda cilíndrica se excita en el foco de la lente y se

transforma en una onda plana tras la interfaz parabólica, por efecto de la refracción negativa. La �gura4.6 lo corrobora, viendo que el rizado en las tres líneas de campo es inferior a 5 dB. Los picos que estánpor debajo de -5 dB se deben a que la parábola no es perfecta, tal y como está dibujada en el simulador,sino que presenta recortes en su contorno que pueden afectar a la onda. Cuanto más alta sea la frecuenciamás afectarán a las simulaciones. Pero estos picos no hay que tenerlos en cuenta, ya que a la hora deconstruirla la parábola no tendrá estos recortes.

En los laterales de la guía el campo eléctrico se atenúa en ambos casos. La única diferencia entre elcaso ideal-open e ideal-PMC radica en que en el segundo el campo en los laterales de la guía se atenúamenos, ya que el vector de campo eléctrico tangencial a una super�cie conductora magnética perfecta es


continuo en ambos lados y la condición de abierto parece que anula el campo en los laterales en lugar deabsorver la onda entera, tal y como se espera.

La �gura 4.7 muestra ahora el caso más próximo a lo que se va a construir. En la �gura 4.7 (a) y (c) seobserva la amplitud del campo eléctrico para los casos ideal-open e ideal-PMC, cuando los medios tienenuna permitividad εr,LH = −2,43 y εr,RH = 2,25. En la �gura 4.7 (b) y (d) puede verse la amplitud delcampo eléctrico para los casos real-open y real-PMC, cuando el medio zurdo está formado por las celdasunidad con las dimensiones de la tabla 3.5 y el medio diestro tiene una permitividad de εr,RH = 2,25.Para los casos ideales se observa la transformación de onda cilíndrica a onda plana, que queda rea�rmadapor la potencia transmitida sobre tres super�cies lineales de las �guras 4.8 (a) y (c), que demuestranque el rizado es inferior a 5 dB, al igual que el caso perfectamente adaptado, y que, por tanto, esta lentepuede mejorar la alimentación de las antenas de array de ranuras que hasta ahora, con los métodos dealimentación existentes, estaba por encima de los 10 dB de rizado. También se observan picos por debajode -5 dB que se deben, como ya se ha indicado, a los recortes del dibujo de la parábola, y que no debenser tenidos en cuenta. Para los casos reales no se observa dicha transformación y la potencia sobre lastres mismas super�cies lineales, �guras 4.8 (b) y (d), no muestran la uniformidad deseada. Aun así, lassimulaciones del caso real hay que tratarlas con precaución, puesto que la complejidad de la estructuray del mallado que realiza el CST pueden derivar en un resultado erróneo. Ya que si, como indica elanexo A.1.2, la aproximación de las áreas de mallado que están parcialmente cubiertas por material deconductor eléctrico perfecto no está bien hecha, la lente puede no comportarse como un medio zurdoo puede no �verse� la interfaz parabólica y, por tanto, puede no producirse la transformación de ondacilíndrica a plana.

La longitud de onda de la guía en este caso se aproxima como la misma que en el caso perfectamenteadaptado, como

λg =c0

7,5 · 109 ·√

2,25' 26,67mm (4.2)

En las �guras 4.9 (a) y (b) se pueden ver los módulos de los parámetros S11 para los casos ideal-opene ideal-pmc, respectivamente, que para 7.5GHz tienen un valor por debajo de -15 dB. En las �guras 4.9(c) y (d) se tiene el módulo del parámetro S11 para los casos real-open e real-pmc, respectivamente, dela sonda coaxial que alimenta la estructura, observando un valor aproximado de -13.5 dB a 7.5GHz.

A pesar de los resultados posiblemente erróneos de los casos reales, se tienen la con�rmación de losdiagramas de dispersión y las grá�cas de los índices de refracción, además, de los casos ideales de lalente, que con�rman que las hipótesis planteadas son ciertas. Por ello, se decide construir esta lentezurda que funciona a 7.5GHz esperando que sean las medidas, tanto del campo eléctrico en la guía deplacas paralelas como del diagrama de radiación de la antena de array de ranuras, las que terminen pordemostrar dichas hipótesis. Los planos de la lente zurda a 7.5GHz construida pueden verse en el anexoA.3.1.


(a)

(b)

Figura 4.5: Amplitud del campo eléctrico en el interior de la guía de placas paralelas a 7.5GHz cuandoεr,LH = −2,25 y εr,RH = 2,25, para los casos: (a) ideal-open y (b) ideal-PMC.


(a)

(b)

Figura 4.6: Potencia transmitida por el campo eléctrico, normalizada respecto del máximo, sobre tressuper�cies lineales (medidas a una distancia desde el punto de alimentación) en el interior de la guía deplacas paralelas a 7.5GHz cuando εr,LH = −2,25 y εr,RH = 2,25, para los casos: (a) ideal-open y (b)ideal-PMC.


(a) (b)

(c) (d)

Figura 4.7: Amplitud del campo eléctrico en el interior de la guía de placas paralelas a 7.5GHz cuandoεr,LH = −2,43 y εr,RH = 2,25, para los casos: (a) ideal-open, (b) real-open, (c) ideal-PMC y (d) real-PMC.


(a) (b)

(c) (d)

Figura 4.8: Potencia transmitida por el campo eléctrico, normalizada respecto del máximo, sobre tressuper�cies lineales (medidas a una distancia desde el punto de alimentación) en el interior de la guíade placas paralelas a 7.5GHz cuando εr,LH = −2,43 y εr,RH = 2,25, para los casos: (a) ideal-open, (b)real-open, (c) ideal-PMC y (d) real-PMC.


(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 4.9: Módulo del coe�ciente de re�exión (|S11|) de la sonda coaxial que alimenta la lente zurda a7.5GHz en los casos: (a) ideal-open, (b) ideal-PMC, (c) real-open y (d) real-PMC.


4.3.2. Lente simple a 12GHz

Según el apartado 3.5, donde se dimensiona la celda unidad que funciona como medio zurdo a 12GHz,que no se puede construir con la tecnología disponible en la UPM, la lente conformada por dicha celdatendrá una permitividad de εr,LH ' −2,43. El medio diestro utilizado es polietileno de permitividadεr,RH = 2,25, por lo que aunque los medios no están perfectamente adaptados se acepta como buena, yaque la re�exión en la interfase sería, según la ecuación 2.50, de -34.1 dB aproximadamente, por lo que sedesprecian dichas re�exiones.

En la �gura 4.10 (a) y (c) puede verse la amplitud del campo eléctrico en el interior de la guía deplacas paralelas en los casos ideal-open e ideal-PMC cuando εr,LH = −2,43 y εr,RH = 2,25. Se observa enla �gura 4.11 la potencia transmitida por el campo eléctrico en el interior de la guía de placas paralelassobre tres super�cies lineales a unas distancias que son un número entero de veces la longitud de ondade la guía, que en este caso es

λg =c0

12 · 109 ·√

2,25' 16,67mm. (4.3)

Análogamente a la lente ideal a 7.5GHz, se observa perfectamente en las �guras 4.10 (a) y (c) comouna onda cilíndrica se excita en el foco de la lente y se transforma en una onda plana tras la interfazparabólica, por efecto de la refracción negativa. La �gura 4.11 (a) y (c) lo corroboran, viendo que elrizado en las tres líneas de campo es inferior a 5 dB. Se observa, además, en la �gura 4.11(a) que los dosprimeros cortes del campo, a 6 y 12 veces λg, el campo se atenua fuertemente en el centro. Lo mismoocurre en la �gura 4.11(c). Esto puede deberse a la desadaptación que, aunque a la re�exión en la interfazparabólica no afecte, puede que sí afecte a la refocalización de la onda en el medio diestro, efecto que seexplica mucho mejor más adelante, en este mismo apartado, cuando la desadapación es más fuerte. Aunasí la uniformidad es buena en casi toda la longitud de las líneas.

Se observa en las �guras 4.10 (b) y (d) anisotropía en el medio zurdo de la lente, ya que la ondase destruye para ciertas direcciones de la misma. Además, tal y como ocurría en los casos reales de lalente a 7.5GHz, no se produce transformación de onda cilíndrica a onda plana. En las �guras 4.11 (b)y (d) puede verse la potencia sobre las mismas tres super�cies lineales que los casos ideales. Aun así, elresultado de los casos reales no tiene porqué ser correcto, por razones similares a las comentadas para lalente real a 7.5GHz.

En las �guras 4.12 (a) y (b) se pueden ver los módulos de los parámetros S11 para los casos ideal-opene ideal-PMC, respectivamente, que para la frecuencia de 12GHz tienen un valor inferior a -15 dB.


(a) (b)

(c) (d)

Figura 4.10: Amplitud del campo eléctrico en el interior de la guía de placas paralelas a 12GHz cuandoεr,LH = −2,43 y εr,RH = 2,25, para los casos: (a) ideal-open, (b) real-open, (c) ideal-PMC y (d) real-PMC.


(a) (b)

(c) (d)

Figura 4.11: Potencia transmitida por el campo eléctrico, normalizada respecto del máximo, sobre tressuper�cies lineales (medidas a una distancia desde el punto de alimentación) en el interior de la guíade placas paralelas a 12GHz cuando εr,LH = −2,43 y εr,RH = 2,25, para los casos: (a) ideal-open, (b)real-open, (c) ideal-PMC y (d) real-PMC.


(a)

(b)

Figura 4.12: Módulo del coe�ciente de re�exión (|S11|) de la sonda coaxial que alimenta la lente zurda a12GHz en los casos: (a) ideal-open y (b) ideal-PMC.


Como ya se dijo en el apartado 3.3, la lente formada por la celda unidad de la tabla 3.3, cuyapermitividad es εr,LH = −10,24, es:

anisotrópica, es decir, su permitividad no es la misma en todas las direcciones de la lente e inclusopuede anularse la onda si ésta cae en una banda prohibida del diagrama de dispersión;

no homogénea, por lo que pueden producirse re�exiones indeseadas si la onda �ve� las discon-tinuidades que presenta la lente.

Además, cuando el medio zurdo y el diestro están desadaptados se producen dos efectos:

re�exión en la interfaz parabólica;

refocalización de la onda en el medio diestro.

Estos efectos pueden comprobarse en conjunto si simulamos el caso ideal de la lente a 12GHz cuandoεr,LH = −10,24 y εr,RH = 4,5, es decir, cuando los dos medios están completamente desadaptados (�guras4.13(a) y 4.14(a)), y el caso real cuando εr,RH = 4,5 y utilizando la celda de la tabla 3.3, que conformauna lente zurda anisotrópica y no homogénea (�guras 4.13 (b) y (c) y 4.14 (b)).

En la �gura 4.13 (a) observamos en el caso ideal-open la refocalización de la onda en un punto en elinterior del medio diestro. En la �gura 4.13(b), caso real-open, se debería ver esta misma refocalizaciónsi no fuera porque la lente es anisotrópica y la forma de la onda cilíndrica se destruye en el interior de lalente zurda, efecto que se observa en la �gura 4.13(c) que es igual a 4.13(b) pero con una escala menorpara poder observar bien la anisotropía de la lente. El hecho de que haya que aumentar mucho la escalapara poder observar el campo eléctrico en el interior del medio diestro se debe a la re�exión tan alta enla interfaz parabólica, que contribuye aun más a la destrucción de la onda cilíndrica en el interior de lalente.

En la �gura 4.14 puede verse la potencia transmitida en los dos casos anteriores, ideal-open y real-open,para tres super�cies lineales. En este caso la longitud de onda de la guía es

λg =c0

12 · 109 ·√

4,5' 11,78mm. (4.4)


(a)

(b) (c)

Figura 4.13: Amplitud del campo eléctrico en el interior de la guía de placas paralelas a 12GHz cuandoεr,LH = −10,24 y εr,RH = 4,5, para los casos: (a) ideal-open, (b) real-open y (c) real-open a diferenteescala para observar en detalle la anisotropía de la lente zurda.


(a)

(b)

Figura 4.14: Potencia transmitida por el campo eléctrico, normalizada respecto del máximo, sobre tressuper�cies lineales (medidas a una distancia desde el punto de alimentación) en el interior de la guía deplacas paralelas a 12GHz cuando εr,LH = −10,24 y εr,RH = 4,5, para los casos: (a) ideal-open y (b)real-open.

Capítulo 5

Prototipado y medidas en una guía deplacas paralelas

Como ya se sabe se va a construir mediante tecnología de circuitos impresos una lente zurda quefunciona a 7.5GHz. Cabe destacar que como vías metalizadas van a utilizarse remaches cuyo diámetrointerior es de 0.6 mm y su diámetro exterior es de 0.8 mm, que es el que nos interesa. Esto nos aseguraque el plano de masa y los parches estén conectados a través de las vías. En la �gura 5.1 pueden verse lasfotos de los remaches empleados y de la remachadora que permite introducir los remaches en los agujerosde la lente.

Primeramente se pensó en fabricar los parches de la lente mediante ataque químico de la placa desustrato cubierta de una capa de cobre de 0.5 mm. Sin embargo, debido a que dicha capa de cobre esmuy gruesa este sistema no es el más indicado, ya que requiere mucho tiempo para que el ácido penetretoda la capa de cobre, y ese tiempo demasiado prolongado destruye los parches por los laterales y porlos agujeros de las vías. El resultado de la lente fabricada mediante este proceso puede verse en la �gura5.2, además de la foto de la máscara empleada. Por tanto, se van a probar otros métodos de fabricaciónde circuitos impresos, como utilizar una fresadora que recorte los contornos. La lente fabricada de estamanera no ha podido ser incluida en este proyecto, pero su procesado y medida se realizarán tras su�nalización.

Para probar su correcto funcionamiento se van a realizar una serie de medidas cuando se utilizapara alimentar una guía de placas paralelas. Usaremos para ello una guía con dos planos de masa cuyasdimensiones son de 380 mm de largo, 330 mm de ancho y 3 mm de espesor. La altura de la guía vienemarcada por el sustrato, que en este caso es polietileno de espesor hppwg = 8mm. Tanto a los planos demasa como al polietileno se le han realizado una serie de taladros, unos para la sujeción de la estructuracompleta y otros para introducir las sondas coaxiales que serán conectores tipo SMA. Dichos conectorestienen un sustrato que es te�ón, de constante dieléctrica εr = 2,08, cuyo diámetro exterior es de 4.1 mmy el interior es de 1.3 mm. Se utilizarán para alimentar la lente y como sondas de medida en transmisiónen los puntos xij , donde i={1, 2, 3} y j={1, 2, 3, 4, 5, 6 ,7}, tal y como muestra la �gura 5.3 (a) y (b).Las sondas de medida en transmisión se introducirán unos 2 mm en el interior del polietileno y se haránmedidas del campo eléctrico a las distancias 6.5, 9, 10 y 11 veces la longitud de onda de la guía, que eneste caso es

λg =c0

7,5 · 109 ·√

2,25' 26,67mm. (5.1)

Se puede medir por tanto:

el coe�ciente de re�exión del conector de entrada, S11, que da una idea de la potencia que se re�ejahacia la fuente de alimentación;

y los coe�cientes de transmisión del conector de entrada a cada una de las sondas de medida xi,j ,Sij21, que indica la buena uniformidad del campo eléctrico en el interior de la guía.

La �gura 5.4 pueden verse fotos del prototipo de guía de placas paralelas rellena de polietileno, con losagujeros para introducir las sondas de medida en trasmisión y el recorte del polietileno donde se introducela lente zurda construida.

79

80 CAPÍTULO 5. PROTOTIPADO Y MEDIDAS EN UNA GUÍA DE PLACAS PARALELAS

(a)

(b)

(c)

Figura 5.1: (a) Foto de los remaches de 0.8 mm de diámetro exterior. (b) Remachadora empleada. (c)Foto del conjunto remachadora, remache y recipiente con los remaches.

81

Figura 5.2: Foto de (arriba) la máscara y de (abajo) la lente fabricada mediante ataque químico.


En el anexo A.3.2 pueden verse los planos del polietileno y de los planos de masa utilizados en lasmedidas.

(a) (b)

Figura 5.3: Método de medida en transmisión del campo eléctrico en el interior de una guía de placasparalelas alimentada por la lente zurda mediante sondas coaxiales. (a) Vista lateral. (b) Vista en planta.

Por cuestiones de tiempo las medidas que se prentenden realizar del campo eléctrico en el interior dela guía de placas paralelas no se incluyen en este proyecto, aunque se realizarán a posteriori. Aun así,pueden compararse los resultados de las simulaciones de los casos ideales con las medidas del campo deuna guía de placas paralelas alimentada mediante ranuras excitadas por una guía de onda rectangular,�gura 5.5. Se observa que mientras con este tipo de alimentación la amplitud del campo tiene un rizadosuperior a los 10 dB, cuando allimentamos con una lente zurda es posible reducir este rizado por debajode los 5 dB.

83

(a)

(b)

Figura 5.4: Foto del prototipo de guía de placas paralelas rellena de polietileno construido: (a) Vista enperspectiva. (b) Vista en planta.


(a)

(b)

Figura 5.5: Módulo del parámetro S21, normalizado respecto del máximo, de la simulación y la medida delcampo eléctrico en el interior de la guía de placas paralelas cuando se alimenta mediante ranuras excitadaspor una guía de onda rectangular en la cara posterior de la antena (apartado 1.1), con condiciones decontorno laterales de: (a) conductor eléctrico perfecto (PEC) y (b) de conductor magnético perfecto(PMC). Fuente: [26].

Capítulo 6

Aplicación a la antena de ranuras deplacas paralelas

6.1. Antena de ranuras

En la antena de array de ranuras de placas paralelas, tras la interfaz parabólica, se genera un modoTEM que se propaga en el interior de la guía de placas paralelas sobredimensionada. La onda excita loselementos radiantes de la antena, que consisten en ranuras realizadas sobre el conductor superior. Ladistribución de campo eléctrico uniforme da lugar a una buena apertura de iluminación de las ranuras,aumentando la e�ciencia de radiación de la antena. Como la excitación crea un campo uniforme sinninguna inclinación y la red de alimentación es perpendicular al array de ranuras, el diseño de la estructuraradiante es independiente de la alimentación. Por la particular colocación de las ranuras se puede conseguiruna alta e�ciencia a pesar de la polarización lineal, ya que esta arquitectura produce muchas re�exionesen el interior de la guía de placas paralelas. De forma, que con el objetivo de prevenir excesivas re�exionesManuel Sierra Castañer utiliza un concepto especial en el diseño de las ranuras [1]. El estudio muestra unposicionamiento de tres ranuras que forman un único elemento radiante, en el que el elemento central tienela función de radiar y las ranuras laterales suprimen las re�exiones causadas por el elemento principal.

Las ranuras de manera individual son aperturas en la placa metálica, o plano de masa, superior cuyalongitud l está cercana de la de resonancia (λg/2) y cuya anchura w es pequeña en comparación a sulongitud de onda guiada. La colocación de las ranuras en la placa superior se plani�ca de forma especialy se excitan mediante el acoplo del campo eléctrico que incide sobre la guía. M. Sierra analiza una ranuraaislada en un plano metálico in�nito como si estuviera alimentada por dos cables que emulan el campoeléctrico incidente en el centro de la ranura con una tensión máxima Vm. Él compara la apertura con unalínea de dos cables dado que w � λg. Estos dos cables presentan un cortocircuito Z = ±1 donde unaonda de tensión estacionaria es construida en esta sección de manera que el campo eléctrico a lo largo delos ejes de la ranura puede aproximarse mediante Elliot [25]

−→E =

Vmwsen[kg(l − |y|) · x]. (6.1)

En el caso especial en que la longitud de la ranura sea la de resonancia (λg/2) el campo es

−→E = −Emcos(kgy) · x, (6.2)

donde Em es la relación entre la tensión máxima y la anchura del corte de la ranura. Aplicando elprincipio de equivalencia, la apertura en un plano conductor eléctrico perfecto puede ser sustituida poruna corriente magnética equivalente, tal y como muestra la �gura 6.1.

Usando entonces el principio de equivalencia, la corriente magnética equivalente como componenteparalela a los ejes de la ranura es

−→M = −Emcos(kgy) · y. (6.3)

En consecuencia, los campos eléctrico y magnético radiados por la ranura pueden ser descritos me-diante

85

86 CAPÍTULO 6. APLICACIÓN A LA ANTENA DE RANURAS DE PLACAS PARALELAS

Figura 6.1: Principio de equivalencia para una apertura en un plano conductor eléctrico perfecto.

−→H = j · l · Em

π · η· e−jkgr

r·cos(π2 · cosθ)

sen(θ)θ, (6.4)

−→E = −j · l · Em

π· e−jkgr

r·cos(π2 · cosθ)

sen(θ)φ. (6.5)

La impedancia de radiación de la ranura en comparación a la de un dipolo es

Zr =η2

4 · Zdip= 363− 211 · j (6.6)

6.2. Sección radiante

En la antena �nal, de array de ranuras de placas paralelas, la guía de onda consiste en un plano de masainferior y una placa superior que contiene las ranuras radiantes. El array de ranuras rectangulares formanla parte radiante de la antena en el lado superior de la guía de placas paralelas. La nueva excitación basadaen la lente zurda que se propone, cuyo diseño es independiente de los elementos radiantes de la antena,genera una onda con el menor rizado posible en amplitud y en fase. El principal problema de una antenacon lóbulos en la dirección broadside son los lóbulos emergentes, o grating lobes en la terminología inglesa.Para evitarlos, una plani�cación especial de las ranuras así como un material dieléctrico de permitividadsuperior a la unidad en el interior de la guía son utilizados. El espacio entre los dos conductores es menorque la mitad de la longitud de onda de la guía de forma que se propague únicamente el modo fundamentalTEM.

Las ranuras está situadas paralelamente y dan lugar a una antena con polarización lineal. Se agrupanen columnas de manera que cada columna pueda verse como un elemento radiante completo. Todas lasranuras son excitadas en fase para obtener una radiación en la dirección broadside. El campo en el interiorde la guía de placas paralelas y justo debajo de las ranuras se representa como

−−→Ein = zE0e

−jkgx, (6.7)

siendo E0 la amplitud del campo eléctrico en x = 0 y kg =√µε, con µ la permeabilidad y ε la permitividad

del dieléctrico entre los dos conductores de la guía. De acuerdo con lo establecido en [1], la distancia entresucesivas columnas es de una longitud de onda de la guía para conseguir alimentar las ranuras en fase.Sin embargo, esto da lugar a una suma en fase de todas las re�exiones de las ranuras si el lóbulo principalradia en la dirección de broadside. Para prevenir que las ondas re�ejadas se sumen en fase en la direcciónperpendicular a la antena, el lóbulo radiante se inclina en el plano θ, tal y como indica la �gura 6.2. Silos elementos radiantes en cada columna se separan una distancia algo menor que la longitud de onda dela guía los lóbulos emergentes pueden ser suprimidos.

Con el objetivo de prevenir los lóbulos emergentes se colocan columnas adicionales de ranuras. Así,un elemento radiante estará comprendido por tres ranuras. La polarización generada sigue siendo lineal,incluso cuando el diagrama de radiación no muestra un máximo en la dirección de broadside sino que seencuentra desplazado. Como el campo en el interior de la guía de placas paralelas no excita las ranurasadicionales con la misma fase, la radiación principal no es en la dirección de broadside. Para disminuirlos lóbulos emergentes en el diagrama de radiación del array, los elementos se posicionan lo más cercanoscomo sea posible los unos de los otros. En general, se colocan entre 0,7λ0 y 0,9λ0. La fase adecuada

6.2. SECCIÓN RADIANTE 87

Figura 6.2: Estructura de la antena de ranuras para una inclinación del lóbulo principal de θ.

entre cada ranura puede ser conseguida espaciando un poco por debajo de la longitud de onda según laecuación

d =λ0√

ε′g + senθ(6.8)

donde θ es el ángulo del lóbulo relativo a la dirección de broadside de la antena y ε′g es la constantedieléctrica efectiva, la cual cambia en fase debido a los efectos de las ranuras incluidas. La ε′g tiene queser mayor que la unidad, ε′g > 1, para evitar los lóbulos emergentes.

6.2.1. Elemento radiante

Un elemento radiante está compuesto por tres ranuras, una central y dos laterales. La ranura principaltiene la función de radiar, mientras las ranuras laterales disminuyen las re�exiones en el interior de laguía de placas paralelas generadas por la ranura principal. Un esquema de la idea puede observarse enla �gura 6.3. Los valores de la distancia, el espaciado entre las ranuras que suprimen las re�exiones y laranura central, y sus longitudes son calculadas minimizando su función de coste.

6.2.2. Array de ranuras

La antena se diseña con el objetivo de lograr una buena apertura de iluminación que se consiguemediante un compromiso entre la uniformidad de la amplitud del campo eléctrico y la mínima potenciaresidual. Hay dos variables a optimizar: la longitud de las ranuras, que determinan la amplitud; y laposición de las tres ranuras de cada elemento radiante, que dirigen la fase del campo de la ranura central.Considerando el array de ranuras �nal, primero se calcula la potencia con que cada elemento se suponeque radia para obtener después la amplitud deseada. Debe tenerse en cuenta que siempre habrá unapotencia residual cuyo valor depende del número de elementos radiantes.

La localización de los elementos radiantes se calcula con el objetivo de obtener la fase de radiación decada una. Por consiguiente, la fase requerida tiene que ser considerada de dos formas (�gura 6.4): como


Figura 6.3: Elemento radiante.

la variación en fase en la transmisión de la onda y como la variación en fase en el campo radiado.

Figura 6.4: Diseño del array de ranuras: fase del coe�ciente de transmisión y fase de los campos en laapertura.

6.3. Lente zurda alimentando la antena de array de ranuras de

placas paralelas

El último paso del proyecto debería ser medir en cámara anecoica todos los parámetros característicosde la antena de array de ranuras alimentada por la lente zurda a 7.5GHz para corroborar que se cumplela teoría en el prototipo construido. Pero por cuestiones de tiempo, sobretodo debidas al hecho de queuna antena de array de ranuras a 12GHz ya existía cuando este proyecto se inició pero no a 7.5GHz, conlo que hay que diseñarla por completo y construirla, no se han podido incluir dichos resultados, aunquela intención es la de realizarlos al �nalizar este proyecto.

En la �gura 6.5 puede verse un esquema de la antena de array ranuras y de la lente zurda en el interiorde la guía de placas paralelas.

6.3. LENTE ZURDAALIMENTANDO LA ANTENADE ARRAYDE RANURAS DE PLACAS PARALELAS89

Figura 6.5: Antena de array de ranuras alimentada por la lente zurda.

Capítulo 7

Conclusiones y líneas futuras

Con este proyecto se ha demostrado que es posible utilizar una lente zurda parabólica para alimentarantenas de ranuras de placas paralelas, mejorando la uniformidad del campo, hasta obtener un rizadoinferior a los 5 dB, cuando con otros tipos de alimentaciones existentes el rizado está por encima de los10 dB. De forma que se consigue mejorar así la e�ciencia de radiación de la antena.

Se ha utilizado para conformar la lente zurda la conocida estructura en forma de seta, y se ha desarro-llado un método de diseño de su celda unidad basádo en su diagrama de dispersión y en el conocimientode como afecta al mismo cada uno de sus parámetros geométricos. Para ello, tras validar que es posibleextraer el diagrama de dispersión de la celda unidad utilizando simuladores de onda completa, se hanrealizado diversos estudios paramétricos que van a permitir diseñar una celda unidad que funcione comomedio zurdo a la frecuencia deseada. Además, se han establecido las limitaciones en frecuencia de este tipode estructuras. A frecuencias altas se necesita tecnología de mucha precisión para poder construir la lentezurda, a bajas frecuencias existe una mayor �exibilidad en el diseño para poder ajustar los parámetrosgeométricos a las necesidades. Así, se han llegado a diseñar dos celdas unidad que funcionan, según sudiagrama de dispersión y sus grá�cas de índices de refracción, como medio zurdo a 12 y 7.5GHz.

Las ventajas de una lente plana construida con la estructura en forma de seta son su bajo coste y lafacilidad de fabricación mediante tecnología planar. Además, este tipo de lentes tienen unas dimensionesmenores comparadas con lentes convencionales y es posible igualar las densidades electromagnéticas entreun medio zurdo y un medio diestro, de forma que la lente parabólica no tenga re�exiones en la interfazentre ambos medios.

Para validar que las celdas a 12 y 7.5GHz pueden conformar una lente zurda que transforme una ondacilíndrica, excitada desde el foco de la parábola, en una onda plana, por efecto de la refracción negativa,en el interior de una guía de placas paralelas, se han utilizado simuladores de onda completa y se hadividido el problema en dos casos. El primero, el caso ideal, donde la lente zurda es una lente homogéneacon un índice de refracción negativo que se enfrenta a un medio convencional cuya permitividad aseguraque se cumple la condición de densidades electromagnéticas equivalentes. Así, ambos medios estaránadaptados y la onda pasará del medio zurdo al diestro sin re�exión alguna. En el segundo caso, el casoreal, la lente está conformada por la estructura en forma de seta y se enfrenta a un medio convencionalque igualmente cumple la condición de densidades electromagnéticas equivalentes. De esta forma se hansimulado diferentes casos de las lentes a 12 y 7.5GHz. En ambos casos las simulaciones de los casos idealesdemuestran que es posible mejorar la uniformidad del campo respecto a otras formas de alimentación deeste tipo de antenas, sin embargo en los casos reales se obtienen resultados erróneos. Y lo son, porque elsimulador utilizado para los casos reales no es capaz de mallar correctamente una estructura tan complejacomo es la lente formada por las setas, por lo que se considera que no son válidos estos resultados.

Para con�rmar que las hipótesis planteadas son ciertas, se ha construido la lente zurda a 7.5GHz y sevan a relizar dos tipos de medidas. La primera es medir el campo eléctrico en el interior de una guía deplacas paralelas alimentada por dicha lente. La segunda se trata de medir los parámetros característicosde la antena de array de ranuras, que es necesario diseñar y construir, en cámara anecoica, como el

91

92 CAPÍTULO 7. CONCLUSIONES Y LÍNEAS FUTURAS

diagrama de dispersión y su e�ciencia. Los resultados de las medidas permitirán validar las simulacionesrealizadas.

Como líneas fututras, principalmente lo primero que hay que pensar es en diseñar la antena de ranurasa 7.5GHz, lo cual tiene una cierta complejidad, y medir sus parámetros característicos en cámara anecóica,para demostrar de manera inequívoca que mejora la e�ciencia de radiación de la antena si ésta se alimentautilizando la lente zurda que sabemos funciona a esa frecuencia. Además, de forma paralela, se realizaránlas medidas del campo eléctrico en el interior de la guía de placas paralelas alimentada por la lente zurda.

Como segunda propuesta, se puede mejorar el método de caracterización y diseño de la celda unidad dela estructura en forma de seta, de manera que se desarrolle un modelo matemático basado en su equivalentede parámetros concentrados y en la relación que estos tienen con las características geométricas de lacelda y con su diagrama de dispersión.

Y como tercera vía de investigación, se proponer utilizar una doble capa de parches para la lentezurda, de forma que se pudiera conseguir una lente a 12GHz cuyas dimensiones fuese posible construirlasmediante la tecnología habitual de circuitos impresos y que diese mayor �exibilidad al diseño de la celdaunidad de la estructura en forma de seta, consiguiendo además aumentar el ancho de banda donde lalente se comporta como medio zurdo.

Apéndice A

Anexos

A.1. Operaciones y propiedades de mallado de las simulaciones

A.1.1. Extracción del diagrama de dispersión de la celda unidad

Para que el HFSS 10.1 simule correctamente la celda unidad y se extraiga correctamente el diagramade dispersión, es necesario realizar una serie de operaciones de mallado [23]. Estas operaciones se aplicana todo el volumen del sustrato y a la cara superior del sustrato para acelerar el proceso de adaptación delmallado, ya que es en estas zonas donde hay una mayor concentración de campo. Las operaciones sobreel mallado con HFSS requieren seguir los siguientes pasos:.

1. Se selecciona el objeto del sustrato.

2. Se hace click en HFSS > Mesh Operations > Assign > On Selection > Length Based.

3. Se restringe la longitud de los elementos del mallado en el sustrato a λg

25 . Siendo en este caso λg lalongitud de onda de la celda unidad.

4. Se selecciona la cara superior del objeto del sustrato.

5. Se hace click en HFSS > Mesh Operations > Assign > Surface Approximation.

6. Se sitúa el Maximum Aspect Ratio a 5.

Las propiedades de mallado son las que siguen:

Minimum Frequency = 1GHz.

Maximum Number of Passes = 15.

Maximum Delta Frequency per Pass = 1.

Se hace tick sobre Converge on Real Frequency only.

Intial Mesh Options: Target = 0.25.

Adaptative Options:

� Maximum Re�nement per Pass = 20%.

� Minimum Number of Passes = 1.

� Minimum Converged Passes = 3.

93

94 APÉNDICE A. ANEXOS

Además se observa que HFSS no simula bien para diferencias de fase de 0o, por lo que se suprime estepunto en el barrido de fase de cada lado del triángulo de Brillouin.

La simulación en CST 2006 de la celda unidad para conseguir su diagrama de dispersión se ha hechocon las siguientes propiedades de mallado, llamadas Global mesh properties en CST:

Lines per wavelength = 25.

Lower mesh limit = 25.

Mesh line ratio limit = 10.

Automatic mesh generation.

A.1.2. Simulación de la lente simple

A continuación se exponen las propiedades del mallado que nos han permitido simular la estructurade la lente simple, tanto ideal como real, con HFSS 10.1 y CST 2006.

Para todas las estructuras ideales, tanto recortadas como completas, las propiedades de mallado parasu correcta simulación son:

Solution Frequency = 12/7.5GHz.

Maximum Number of Passes = 10.

Convergence per Pass: Maximum Delta S = 0.5.

Intial Mesh Options: Target = 0.3333.

Adaptative Options:

� Maximum Re�nement per Pass = 20%.

� Minimum Number of Passes = 1.

� Minimum Converged Passes = 1.

Para los casos reales cada simulación a requerido unas propiedades de mallado diferentes. Además, hasido necesario modi�car el parámetro denominado PBA �ll limit para acelerar el tiempo de simulación.Este parámetro se re�ere a las áreas de mallado que están parcialmente cubiertas por material de conduc-tor eléctrico perfecto (PEC), de manera que cada área de mallado que esté recubierta por más del tantopor ciento indicado en este parámetro será tratada como si estuviera totalmente recubierta de conductoreléctrico perfecto. Cuanto más pequeño sea este valor más inexacta será la aproximación del mallado ala estructura, pero permite estabilizar las simulaciones en el dominio del tiempo que en un principio seaninestables.

Así, para la lente real en todos los casos sus propiedades de mallado son:

Lines per wavelength = 25.

Lower mesh limit = 25.

Mesh line ratio limit = 50.

Automatic mesh generation.

Specials >Advanced >PBA �ll limit = 60%.

A.2. ESTUDIO PARAMÉTRICO A PARTIR DE LA CELDA PARAVALIDAR EL SOFTWARE EN HFSS95

A.2. Estudio paramétrico a partir de la celda para validar el soft-

ware en HFSS

El mismo estudio paramétrico que se ha realizado en el apartado 3.2 es posible realizarlo tambiénutilizando HFSS como simulador electromagnético de onda completa, de forma que se valide, una vezmás, que tanto HFSS como CST son idénticos para la extracción del diagrama de dispersión de la celdaunidad de una estructura en forma de seta.

Las �guras A.1-A.5 muestran los diagramas de dispersión y los índices de refracción de la celda unidadcuando varía, respectivamente:

El periodo: p={2, 3.5, 5, 6.5} (�gura A.1)1.

La separación entre parches: g={0.1, 0.2, 0.4, 0.8} (�gura A.2).

El espesor del sustrato: h={0.5, 0.785, 1.57, 3.14} (�gura A.3).

El espesor de los parches: t={0.035, 0.1, 0.3, 0.5} (�gura A.4).

El diámetro de la vía: dvia={0.1, 0.2, 0.6, 1} (�gura A.5).

1La línea de aire depende de el periodo p por lo que habría que dibujar una línea de aire por cada valor de p. Por claridadno se ha dibujado ninguna línea de aire en estas grá�cas.


(a)

(b) (c)

Figura A.1: HFSS: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción delmodo fundamental (b) en la dirección Γ−X y (c) en la dirección M − Γ de la celda unidad, variando elperiodo p.


(a)

(b) (c)

Figura A.2: HFSS: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción delmodo fundamental (b) en la dirección Γ−X y (c) en la dirección M − Γ de la celda unidad, variando laseparación entre parches g.


(a)

(b) (c)

Figura A.3: HFSS: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción delmodo fundamental (b) en la dirección Γ−X y (c) en la dirección M − Γ de la celda unidad, variando elespesor del sustrato h.


(a)

(b) (c)

Figura A.4: HFSS: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción delmodo fundamental (b) en la dirección Γ−X y (c) en la dirección M − Γ de la celda unidad, variando elespesor de los parches t.


(a)

(b) (c)

Figura A.5: HFSS: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción delmodo fundamental (b) en la dirección Γ−X y (c) en la dirección M − Γ de la celda unidad, variando eldiámetro de la vía dvia.

A.3. PLANOS ACOTADOS 101

A.3. Planos acotados

A.3.1. Planos lentes simples

A continuación se muestran los planos acotados de la lente simple a 7.5GHz construida, �guras A.6y A.7, cuya celda unidad tiene las dimensiones de la tabla 3.5.

En las �guras A.8 yA.9 se observan los planos acotados de la lente a 12GHz, anisotrópica y nohomogénea, cuyos parámetros geométricos son los de la tabla 3.3.

Y, por último, en las �guras A.10 y A.11 pueden verse los planos acotados de la lente zurda a 12GHzque, como ya se sabe, no se puede construir con los medios de que se disponen y cuya celda unidad tienelas dimensiones de la tabla 3.4.

Figura A.6: Plano de la lente simple a 7.5GHz construida.


Figura A.7: Detalle de la alimentación y de la estructura en forma de seta del plano de la lente simple a7.5GHz construida.


Figura A.8: Plano de la lente simple a 12GHz, anisotrópica y no homogénea.


Figura A.9: Detalle de la alimentación y de la estructura en forma de seta del plano de la lente simple a12GHz, anisotrópica y no homogénea.


Figura A.10: Plano de la lente simple a 12GHz, con un índice de refracción n = −1,56.


Figura A.11: Detalle de la alimentación y de la estructura en forma de seta del plano de la lente simplea 12GHz, con un índice de refracción n = −1,56.


A.3.2. Planos guía de placas paralelas

Se puede ver en la �gura A.12 el plano acotado del plano de masa inferior de la guía de placas paralelas,donde se observa el taladro para la alimentación de la lente simple mediante sonda coaxial. También seobserva un segundo taladro en el centro del plano de masa que corresponde con la alimentación de unalente doble que no se ha diseñado para este proyecto.

En la �gura A.13 se ve el plano acotado del plano de masa superior de la guía de placas paralelas,donde se pueden encontrar los taladros que se han realizado sobre la placa para poder medir el campoeléctrico en esos puntos, utilizando una sonda coaxial y un analizador vectorial de redes.

Y la �gura A.14 muestra el acotamiento para el sustrato que hace de medio diestro en el interior de laguía de placas paralelas: polietileno. Es necesario realizarle taladros para sujetarlo a los planos de masa yprensarlo lo mejor posible, y realizar taladros, de una profundidad determinada, para poder introducir lassondas de medida en los puntos correspondientes. Además, hay que recortar del polietileno la parábolade la lente zurda.

Figura A.12: Plano de masa inferior de la guía de placas paralelas acotado.


Figura A.13: Plano de masa superior de la guía de placas paralelas acotado.


Figura A.14: Plano acotado del polietileno del interior de la guía de placas paralelas.


A.4. Procesamiento de los datos obtenidos con los simuladores

Al obtener los diagramas de dispersión de la celda unidad de la estructura en forma de seta conlos simuladores de onda completa es necesario procesar los datos para dibujarlos y que su visualizaciónsea la correcta. Además, hay que extraer la grá�ca de índices de refracción mediante la ecuación 3.1.Igualmente, hay que dibujar la potencia del campo en el interior de la guía de placas paralelas a partirde la información de dichos simuladores. A continuación se muestra el código en Matlab de los programasque permiten obtener los diagramas de dispersión, las grá�cas de índices de refracción de la celda unidady la potencia en el interior de la guía de placas paralelas cuando se simula con CST. El procesamientocon HFSS es totalmente análogo al de CST, la única diferencia radica en la forma de presentar los datosde cada programa.

A.4.1. Procesamiento en Matlab a partir de CST

A.4.1.1. Extracción de los datos: datoscst.m.

function [frec, fase] = datoscst(nomfich, n_datos)

%

% datoscst saca los datos exportados desde el CST en archivos .txt

% y los introduce en dos vectores, frec y fase.

%

% 'nomfich' es un string con el nombre del fichero con los datos

% exportados de CST en formato *.txt.

% 'n_datos' es un entero con el número de datos de la frecuencia

% y de la fase, que corresponde con el número de saltos del barrido de fase.

%

% 'fase' vector con los valores de las fases del barrido realizado.

% 'frec' vector con los valores de las frecuencias para cada fase barrida.

%

close all

% abrimos el fichero generado con CST en modo lectura

[fi, merr] = fopen (nomfich, 'r');

frec = zeros(n_datos, 1); % vector con las frecuencias

fase = zeros(n_datos, 1); % vector con las fases

% saltamos la cabecera de los archivos

line1=fgetl(fi);

line2=fgetl(fi);

for i=1:n_datos

fase(i) = fscanf(fi,' %lf', 1); % leo una fase

frec(i) = fscanf(fi,' %lf', 1); % leo una frecuencia

end

st = fclose('all');

% % % % % % % % % % % datoscst.m % % % % % % % % % % %

A.4. PROCESAMIENTO DE LOS DATOS OBTENIDOS CON LOS SIMULADORES 111

A.4.1.2. Diagrama de dispersión: dd_uc.m.

function dd_uc (p, g, h, t, dvia, hmasa, er, erRH, hppwg, dir, n_datos, frecmax, yf)

%

% dd_uc (p, g, h, t, dvia, hmasa, er, erRH, hppwg, dir, n_datos, frecmax)

%

% dd_uc dibuja del diagrama de dispersión de los resultados obtenidos

% en CST de la celda unidad en función del lado de la celda, la

% constante dieléctrica del sustrato, la altura de la box (placas

% paralelas), la dirección donde se encuentran los archivos con los datos

% y el número de datos disponibles.

%

% 'p' lado de la celda en milímetros.

% 'g' distancia entre parches de celdas contiguas.

% 'h' espesor del sustrato.

% 't' espesor del parche.

% 'dvia' diámetro de la vía.

% 'hmasa' altura del plano de masa.

% 'er' constante dieléctrica del medio (air box).

% 'erRH' constante dieléctrica del medio diestro.

% 'hppwg' altura de la guía de placas paralelas (PPWG) en milímetros.

% 'dir' string con el nombre del directorio donde se encuentran los datos.

% 'n_datos' número de datos de la frecuencia y de la fase, que corresponde

% con el número de saltos del barrido de fase.

% 'frecmax' frecuencia máxima del diagrama de dispersión para ajustar la

% gráfica.

% 'yf' entero con la frecuencia de trabajo.

%

% Los archivos deben tener la siguiente denominación: ModoX_YZ.txt

% donde X es el número del modo e YZ corresponde al lado del triángulo de

% Brillouin (GX, XM y MG).

%

close all

% Datos de la celda unidad

p=p*10^-3; % conversión a metros de p

c=(3*10^8)/sqrt(erRH); % velocidad de la luz en el medio diestro, en m/s

bp_l=0:0.001:pi; % constante de fase por el periodo de la estructura para la linea de dielectrico,

en rad

% Ecuación del diagrama de dispersión de una onda propagándose

% en el espacio libre relleno del dieléctrico erRH -->línea de dieléctrico

f_gx=(c/(2*pi*p))* bp_l; % entre Gamma-X

f_xm=(c/(2*pi*p))*sqrt((pi^2)*(bp_l.^2)); % entre X-M

f_mg=(c*sqrt(2)/(2*pi*p))* bp_l; % entre M-Gamma

%

% Resultados de la simulación del diagrama de dispersión

% de la celda unidad en CST

%

bp_gx=0:(180/(n_datos-1))*pi/180:pi; % pasos de 180/n_datos-1 grados, entre 0-pi (rad)

bp_xm=pi:(180/(n_datos-1))*pi/180:2*pi; % pasos de 180/n_datos-1 grados, entre pi-2*pi (rad)

bp_mg=2*pi:(180/(n_datos-1))*pi/180:3*pi; % pasos de 180/n_datos-1 grados, entre 2*pi-3*pi

(rad)


[frec1_gx, fase_gx] = datoscst([dir, '\Modo1_GX.txt'], n_datos);

[frec1_xm, fase_xm] = datoscst([dir, '\Modo1_XM.txt'], n_datos);

[frec1_mg, fase_mg] = datoscst([dir, '\Modo1_MG.txt'], n_datos);







% parámetros para sacar la gráfica del índice de refracción

frec = [frec1_gx frec1_xm frec1_mg; frec2_gx frec2_xm frec2_mg; frec3_gx frec3_xm frec3_mg];

fase = fase_gx;

% los datos obtenidos de M-Gamma hay que invertirlos para dibujarlos

% correctamente en el diagrama de dispersión

aux1 = zeros(n_datos,1);



for i=1:n_datos

aux1(n_datos+1-i) = frec1_mg (i);



end

frec1_mg = aux1;

frec2_mg = aux2;

frec3_mg = aux3;

%

% Dibujo del diagrama de dispersión

%

figure(1)

hold on

leg = zeros(4, 1); % vector con los handles para la leyenda

% dibujo de línea de dieléctrico, azul discontinuo

leg(1) = plot(bp_l/pi, f_gx/10^9, 'b--');

plot(-(bp_l/pi)+3, f_mg/10^9, 'b--');

% dibujo del MODO 1, rojo

leg(2) = plot(bp_gx/pi, frec1_gx, 'r-','LineWidth',2);

plot(bp_xm/pi, frec1_xm, 'r-','LineWidth',2);

plot(bp_mg/pi, frec1_mg, 'r-','LineWidth',2);

% dibujo del MODO 2, verde

leg(3) = plot(bp_gx/pi, frec2_gx, 'g-*','LineWidth',2);

plot(bp_xm/pi, frec2_xm, 'g-*','LineWidth',2);

plot(bp_mg/pi, frec2_mg, 'g-*','LineWidth',2);

% dibujo del MODO 3, magenta

leg(4) = plot(bp_gx/pi, frec3_gx, 'm-x','LineWidth',2);


plot(bp_xm/pi, frec3_xm, 'm-x','LineWidth',2);

plot(bp_mg/pi, frec3_mg, 'm-x','LineWidth',2);

plot(1, 0:0.3:frecmax, 'k:') % línea de X, negro

plot(2, 0:0.3:frecmax, 'k:') % línea de M, negro

xlabel(' \betap x \pi (rad)')

ylabel('frecuencia (GHz)')

axis([0 3 0 frecmax]);

legend(leg, ['Línea dieléctrico, \epsilonr=',num2str(erRH)], 'Modo1', 'Modo2', 'Modo3',

'Location', 'Best');

text(-0.02,-frecmax/10,'\Gamma')

text(0.98,-frecmax/10,'X')

text(1.98,-frecmax/10,'M')

text(2.98,-frecmax/10,'\Gamma')

disp(dir)

xbp=interp1(frec1_gx,bp_gx/pi,yf) % fase calculada por interpolacion del modo1

xbp2=interp1(f_gx/10^9,bp_l/pi,yf) % fase calculada por interpolacion de la linea de dielectrico

plot(0:0.015:xbp,yf, 'k--')

plot(xbp,0:0.35:yf, 'k--')

hold off

%

% Dibujo del índice de refracción

%

figure (2)

ir_uc(frec, fase, p*10^3, g, h, t, dvia, hmasa, er, erRH, hppwg, dir, n_datos, xbp, yf);

% % % % % % % % % end dd_uc.m % % % % % % % % % % % % %


A.4.1.3. Índices de refracción: ir_uc.m.

function ir_uc(frec, fase, p, g, h, t, dvia, hmasa, er, erRH, hppwg, dir, n_datos, xbp,

yf)

%

% ir_uc(frec, fase, p, g, h, t, dvia, hmasa, er, erRH, hppwg, dir, n_datos)

%

% ic_uc pinta el índice de refracción a partir del diagrama de dispersión

% obtenido de la función dd_uc

%

% 'frec' matriz de 3x3 que contiene en cada fila las frecuencias de los

% modos 1, 2 y 3, y en cada columna las frecuencias de cada barrido del

% triangulo de Brillouin.

% 'fase' matriz de 1x3 con las fases para dibujar la gráfica del índice de

% refracción.

% 'p' lado de la celda en milímetros.

% 'g' distancia entre parches de celdas contiguas.

% 'h' espesor del sustrato.

% 't' espesor del parche.

% 'dvia' diámetro de la vía.

% 'hmasa' altura del plano de masa.

% 'er' constante dieléctrica del medio (air box).

% 'erRH' constante dieléctrica del medio diestro.

% 'hppwg' altura de la guía de placas paralelas (PPWG) en milímetros .

% 'dir' string con el nombre del directorio donde se encuentran los datos.

% 'n_datos' número de datos de la frecuencia y de la fase, que corresponde

% con el número de saltos del barrido de fase.

% 'xbp' es el valor de la fase para una frecuencia de 12GHz, beta x p x pi (rad)

% 'yf' entero con la frecuencia de trabajo.

%

% Datos de la celda unidad

p=p*10^-3; % conversión a metros

c=(3*10^8)/sqrt(er); % velocidad de la luz en el medio de la air box, en m/s

%

% Calculamos los índices de refracción: |n|=c*beta/2*pi*frecuencia;

% el signo del índice de refracción es positivo para la zona RH

% (pendiente positiva) y negativo para la zona LH (pendiente negativa)

%

% índice de refracción del modo 1

% Gamma-X

n1_gx = (c.*(fase.*(pi/180)./p))./(2*pi.*(frec(1:n_datos,1).*10^9));

n1_gx_p=[]; % índice de refracción del modo 1, para GX, en zona RH

n1_gx_n=[]; % índice de refracción del modo 1, para GX, en zona LH

f1_gx_p=[]; % fase del modo 1, para GX, en zona RH

f1_gx_n=[]; % fase del modo 1, para GX, en zona LH

m=0; % índice para la matriz de índices de refracción positivos

n=0; % índice para la matriz de índices de refracción negativos

left = false; % booleano para indicar que la zona LH ya ha empezado y que si en mitad de

zona LH aparece un punto RH no se tiene en cuenta.

right = false; % booleano para indicar que la zona RH ya ha empezado y que si empieza la


zona LH hay que coger la anterior muestra, para tener una gráfica contínua.

for i=1:n_datos

if i==1 % la primera muestra

if frec(i+1,1) >frec(i,1) % zona RH para la primera muestra

right = true;

m=m+1;

n1_gx_p(m)=n1_gx(i);

f1_gx_p(m)=fase(i);

else % zona LH para la primera muestra

left = true;

n=n+1;

n1_gx_n(n)=-n1_gx(i);

f1_gx_n(n)=fase(i);

end

elseif frec(i-1,1) >frec(i,1) % zona LH

left = true;

if right % cuando pasamos de RH a LH introducimos la anterior muestra

para hacer la gráfica "contínua"

n=n+1;

n1_gx_n(n)=-n1_gx(i-1);

f1_gx_n(n)=fase(i-1);

end

right = false;

n=n+1;

n1_gx_n(n)=-n1_gx(i);

f1_gx_n(n)=fase(i);

else % zona RH

if left % si ya ha habido algún punto LH no tenemos en cuenta nigún

punto RH

continue

end


m=m+1;

n1_gx_p(m)=n1_gx(i);

f1_gx_p(m)=fase(i);

end

end

% M-Gamma

n1_mg = (c.*(fase.*(pi/180)./p))./((2*pi).*(frec(1:n_datos,3).*10^9));

n1_mg_p=[]; % índice de refracción del modo 1, para MG, en zona RH

n1_mg_n=[]; % índice de refracción del modo 1, para MG, en zona LH

f1_mg_p=[]; % fase del modo 1, para MG, en zona RH

f1_mg_n=[]; % fase del modo 1, para MG, en zona LH

m=0; % índice para la matriz de índices de refracción positivos

n=0; % índice para la matriz de índices de refracción negativos

left = false; % booleano para indicar que la zona LH ya ha empezado

% y que si en mitad de zona LH aparece un punto RH no

% se tiene en cuenta.

right = false; % booleano para indicar que la zona RH ya ha empezado

% y que si empieza la zona LH hay que coger la anterior

% muestra, para tener una gráfica contínua.

for i=1:n_datos

if i==1 % la primera muestra

if frec(i+1,3) > frec(i,3) % zona RH para la primera muestra

right = true;

m=m+1;

n1_mg_p(m)=n1_mg(i);

f1_mg_p(m)=fase(i);

else % zona LH para la primera muestra

left = true;

n=n+1;

n1_mg_n(n)=-n1_mg(i);

f1_mg_n(n)=fase(i);

end

elseif frec(i-1,3) > frec(i,3) % zona LH


left = true;

if right % cuando pasamos de RH a LH introducimos la anterior muestra

para hacer la gráfica "contínua"

n=n+1;

n1_mg_n(n)=-n1_mg(i-1);

f1_mg_n(n)=fase(i-1);

end

right = false;

n=n+1;

n1_mg_n(n)=-n1_mg(i);

f1_mg_n(n)=fase(i);

else % zona RH

if left % si ya ha habido algún punto LH no tenemos en cuenta nigún punto

RH

continue

end

m=m+1;

n1_mg_p(m)=n1_mg(i);

f1_mg_p(m)=fase(i);

end

end

%

% Dibujo de la gráfica de los índices de refracción

%

hold on

leg2 = zeros(2, 1); % vector con los handles para la legenda

% dibujo del MODO 1, rojo

% GX, línea sólida

leg2(1) = plot(f1_gx_p/180, n1_gx_p, 'r-','LineWidth',2);

plot(f1_gx_n/180, n1_gx_n, 'r-','LineWidth',2);

% MG, linea discontínua

leg2(2) = plot(f1_mg_p/180, n1_mg_p, 'r--','LineWidth',2);

plot(f1_mg_n/180, n1_mg_n, 'r--','LineWidth',2);

xlabel(' \betap x \pi (rad)')

ylabel('n (índice de refracción)')


legend(leg2, 'Modo 1: \Gamma-X','Modo 1: M-\Gamma', 'Location','Best');

yn=interp1(f1_gx_n/180,n1_gx_n,xbp) % índice de refracción de la lente

plot(0:0.005:xbp,yn, 'k--')

plot(xbp,-10:0.1:yn, 'k--')

erlente=-yn^2 % constante dielectrica de la lente

hold off

% % % % % % % % % % end ir_uc.m % % % % % % % % % % % %


A.4.1.4. Interpolación de los datos del diagrama de dispersión: interpolcst.m.

function interpolcst (x, fileread, filewrite, n_datos)

%

% interpolcst (x, fileread, filewrite, n_datos)

%

% interpolcst hace una interpolación lineal de los datos del CST que

% le indiques.

%

% 'x' matriz con los valores de las fases que queremos interpolar.

% 'fileread' ruta del archivo del que queremos leer con los valores sin interpolar.

% 'filewrite' ruta del archivo en el que queremos escribir con los valores interpolados.

% 'n_datos' número de datos total de cada archivo.

%

% Leemos todas las fases y frecuencias del archivo sin interpolar

close all

% abrimos el fichero generado con CST en modo lectura

[fi, merr] = fopen (fileread, 'r');

% Leemos del archivo sin interpolar

Y = zeros(n_datos, 1); % vector con las frecuencias

X = zeros(n_datos, 1); % vector con las fases

st1 = fseek (fi, 137, 'bof'); % saltamos la cabecera de los archivos txt generados con CST

for i=1:n_datos

fase(i,1) = fscanf(fi,' %lf', 1); % leo una fase

frec(i,1) = fscanf(fi,' %lf', 1); % leo una frecuencia

end

X=fase;

Y=frec;

% Eliminamos los valores de las frecuencias de 'x' de X e Y

índices=zeros(1,length(x));

for j=1:length(x)

for i=1:n_datos

if fase(i)==x(j)

índices(j)=i;

auxX(1:i-1-(j-1),1)=X(1:i-1-(j-1));

auxX(i-(j-1):n_datos-j,1)=X(i+1-(j-1):n_datos-(j-1));

auxY(1:i-1-(j-1),1)=Y(1:i-1-(j-1));

auxY(i-(j-1):n_datos-j,1)=Y(i+1-(j-1):n_datos-(j-1));

X=auxX; Y=auxY;

auxX=zeros(1,1);

auxY=zeros(1,1);

break

end

end


end

% Interpolamos linealmente con los valores de las fases 'x' para obtener las frecuencias

interpoladas y = interp1(X,Y,x);

% Introducimos el nuevo valor interpolado en el archivo con los valores

% interpolados y los guardamos en una carpeta con la misma ruta que la

% carpeta donde hemos leido los archivos sin interpolar pero seguido

% de 'interpolados'

for j=1:length(x)

for i=1:n_datos

if fase(i)==x(j)

frec(i)=y(j);

break

end

end

end

% abrimos el fichero con los valores interpolados

[fii, merr2] = fopen (filewrite, 'w');

% copiamos cabecera, que tiene 2 líneas

frewind(fi)

line=fgetl(fi);

fwrite(fii,sprintf(' %s\n',line),'uchar');

line=fgetl(fi);

fwrite(fii,sprintf(' %s\n',line),'uchar');

% escribimos los nuevos datos interpolados

for i=1:n_datos

XY=sprintf(' %3.0f %1.9f\n', fase(i), frec(i));

fwrite(fii,XY,'uchar');

end

st = fclose('all');

% % % % % % % end interpolcst.m % % % % % % % %


A.4.1.5. Dibujo de la potencia en el interior de la guía de placas paralelas: lineacampo.m.

function lineacampo (dir)

%

% lineacampo obtiene la gráfica del campo a partir de los datos del CST

%

% 'dir' string con el archivo del que se quiera sacar la gráfica de campo.

%

close all

% abrimos los ficheros generados con CST en modo lectura

if strcmp(dir,'lente simple_12GHz_n=-3.2_erRH=4.5')

[fi1, merr1] = fopen

('lente simple_12GHz_n=-3.2_erRH=4.5

\lente simple_12GHz_er=-10,24_erRH=4,5_realopenadd_1de4.txt', 'r');







zo=2.432; % valor de z del que se extraen los valores del campo, para open.

yo=156.598; % valor de y hasta donde hay puntor del campo para un solo valor de z, para

open.



\lente simple_12GHz_er=-10,24_erRH=4,5_realpmc_1de4.txt', 'r');







zp=1.437; % valor de z del que se extraen los valores del campo, para pmc.

yp=152.431; % valor de y hasta donde hay puntor del campo para un solo valor de z, para

pmc.

elseif strcmp(dir,'lente simple_12GHz_n=-1')


('lente simple_12GHz_n=-1\lente simple_12GHz_n=-1_realopenadd_1de4.txt', 'r');







open.


('lente simple_12GHz_n=-1\lente simple_12GHz_n=-1_realpmc_1de4.txt', 'r');








pmc.

elseif strcmp(dir,'lente simple_12GHz_n=-3.2')


('lente simple_12GHz_n=-3.2\lente simple_12GHz_n=-3.2_realopenadd_1de4.txt', 'r');







open.


('lente simple_12GHz_n=-3.2\lente simple_12GHz_n=-3.2_realpmc_1de4.txt', 'r');







pmc.

elseif strcmp(dir,'lente simple_7.5GHz_n=-1.56')


('lente simple_7.5GHz_n=-1.562\lente simple_7.5GHz_n=-1.56_realopenadd_1de4.txt', 'r');







open.


('lente simple_7.5GHz_n=-1.56\lente simple_7.5GHz_n=-1.56_realpmc_1de4.txt', 'r');







pmc.

end

% saltamos la cabecera de los archivos

line1=fgetl(fi1);

line2=fgetl(fi1);


line1=fgetl(fi2);

line2=fgetl(fi2);

line1=fgetl(fi3);

line2=fgetl(fi3);

line1=fgetl(fi4);

line2=fgetl(fi4);

line1=fgetl(fi5);

line2=fgetl(fi5);

line1=fgetl(fi6);

line2=fgetl(fi6);

% para OPEN 1º

fscanf(fi1,' %lf', 1);


v=fscanf(fi1,' %lf', 1);

while v~=zo










end

ExRe=fscanf(fi1,' %lf', 1);

EyRe=fscanf(fi1,' %lf', 1);

EzRe=fscanf(fi1,' %lf', 1);

ExIm=fscanf(fi1,' %lf', 1);

EyIm=fscanf(fi1,' %lf', 1);

EzIm=fscanf(fi1,' %lf', 1);

Exabs=sqrt(ExRe^2+ExIm^2);

Eyabs=sqrt(EyRe^2+EyIm^2);

Ezabs=sqrt(EzRe^2+EzIm^2);

Eabs=sqrt(Exabs^2+Eyabs^2+Ezabs^2);


while fscanf(fi1,' %lf', 1)~=yo











Eabs=[Eabs sqrt(Exabs^2+Eyabs^2+Ezabs^2)];


end













Eabs1=Eabs;

% para OPEN 2º




while v~=zo fscanf(fi2,' %lf', 1);









end

























end













Eabs2=Eabs;

% para OPEN 3º




while v~=zo fscanf(fi3,' %lf', 1);









end

























end













Eabs3=Eabs;

figure (1)

hold on

leg1=zeros(3,1);

leg1(1)=plot(linspace(0,1,length(Eabs1)),20*log10(Eabs1/max(Eabs1)), 'k', 'LineWidth', 2);

leg1(2)=plot(linspace(0,1,length(Eabs2)),20*log10(Eabs2/max(Eabs2)), 'b', 'LineWidth', 2);

leg1(3)=plot(linspace(0,1,length(Eabs3)),20*log10(Eabs3/max(Eabs3)), 'r', 'LineWidth', 2);

xlabel('Distancia normalizada')

ylabel('Potencia normalizada respecto del máximo (dB)')

grid on


legend(leg1,'REAL-PMC: 8\lambdag','REAL-PMC: 16\lambdag','REAL-PMC: 24\lambdag','Location',

'Best')



'Best')

elseif strcmp(dir,'lente simple_12GHz_n=-1') || strcmp(dir,'lente simple_7.5GHz_n=-1.56')


'Best')

end

axis([0 1 -55 0])

hold off

% para PMC 1º




while v~=zp










end













while fscanf(fi4,' %lf', 1)~=yp













end












Eabs4=Eabs;

% para PMC 2º




while v~=zp fscanf(fi5,' %lf', 1);









end


























end












Eabs5=Eabs;

% para PMC 3º




while v~=zp fscanf(fi6,' %lf', 1);









end


























end












Eabs6=Eabs;

figure(2)

hold on

leg2=zeros(3,1);

leg2(1)=plot(linspace(0,1,length(Eabs4)),20*log10(Eabs4/max(Eabs4)), 'k', 'LineWidth', 2);

leg2(2)=plot(linspace(0,1,length(Eabs5)),20*log10(Eabs5/max(Eabs5)), 'b', 'LineWidth', 2);

leg2(3)=plot(linspace(0,1,length(Eabs6)),20*log10(Eabs6/max(Eabs6)), 'r', 'LineWidth', 2);

xlabel('Distancia normalizada')

ylabel('Potencia normalizada respecto del máximo (dB)')

grid on



'Best')



'Best')

elseif strcmp(dir,'lente simple_12GHz_n=-1') || strcmp(dir,'lente simple_7.5GHz_n=-1.56')


'Best')

end

axis([0 1 -55 0])

hold off

Bibliografía

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131

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Índice alfabético

aberración, 35abierto, 63adaptación del mallado, 93alimentación, 17, 18amplitud del campo eléctrico, 64�66, 68, 71, 76analizador vectorial de redes, 107ancho de banda, 17, 41ancho de haz del laser, 47anisotrópica, 101, 103, 104anisotropía, 50, 75, 76antena de array de ranuras de placas paralelas, 17,

18, 35, 61, 85antenas planas, 17, 26apertura de iluminación, 18, 85, 87apertura en un plano conductor eléctrico perfecto,

85, 86aplicaciones, 21

balanceado, 29banda de paso, 29banda prohibida, 26, 29, 30, 75barrido de parámetros, 38broadside, 86

cámara anecoica, 88caja de aire, 26, 62campo eléctrico radiado, 85campo magnético radiado, 85capacidad, 27, 28celda unidad, 18, 26, 32, 33, 35, 37, 61, 64, 71, 75,

93circuitos impresos, 18, 79coe�ciente de re�exión, 24, 36, 47, 50, 64, 70, 74, 79coe�ciente de transmisión, 79composite right/left-handed, 26condición de densidades electromagnéticas equiva-

lentes, 35condiciones de contorno, 24, 38, 61�64condiciones de contorno conductor magnético per-

fecto, 63condiciones de contorno de conductor eléctrico per-

fecto, 38, 61, 62condiciones de contorno laterales, 61, 63condiciones de contorno maestro/esclavo, 38condiciones de contorno periódicas, 38conductor eléctrico perfecto, 26, 38, 94conductor magnético perfecto, 63

conductores magnéticos arti�ciales, 21conectores tipo SMA, 79constante de fase, 29constante de propagación, 28, 31corriente magnética equivalente, 85CST, 37, 61, 62, 65, 94, 110

densidades electromagnéticas equivalentes, 31desviación Doppler, 22diagrama de dispersión, 18, 29, 32, 37, 39, 41, 47,

51, 63, 65, 75, 93diagrama de radiación, 17, 20, 47, 50, 65, 86dimensiones, 61�63dipolo, 86directividad, 47dispersión, 28distancia focal, 35, 61distribución de campo, 18

ecuaciones de Maxwell, 22, 63efecto Cerenkov, 22e�ciencia, 17, 18, 50, 60, 85e�ciencia de radiación, 57, 85Eigenmode solver, 38electromagnetic/photonic bandgap, 21elemento radiante, 85, 87elementos concentrados, 26elementos fractales, 21elementos radiantes, 86escalado en frecuencia, 41, 47espesor de la guía de placas paralelas, 26espesor del parche, 26espesor del plano de masa, 26espesor del substrato, 26estructura en forma de seta, 18, 35estructuras plasma, 21estudio paramétrico, 41, 51, 95excitación, 61

fase, 30, 32, 38, 86, 87, 94foam, 62foco, 18, 34, 61, 64, 71frecuencia, 41frente de fase cilíndrico, 61frente de fase plano, 61

ganancia, 17guía de onda rectangular, 17, 18, 84

133

134 ÍNDICE ALFABÉTICO

guía de placas paralelas, 17, 18, 26, 37, 61, 62, 64,71, 79, 86

HFSS, 37, 61, 62, 93�95homogénea, 20, 32, 59, 62

ideal-open, 63�74, 76, 77ideal-PMC, 63�74impedancia característica, 30, 31impedancia de radiación, 47, 86impedancia intrínseca, 24, 31indice de refracción, 24�26, 31, 40, 41, 47, 50, 51,

57, 65indice de refracción negativo, 18, 24, 29, 32, 35, 37inductancia, 27, 28interfaz parabólica, 18, 34, 61, 64, 65, 75, 85ireducible zona de Brillouin, 32isotrópica, 32, 59

lóbulos emergentes, 86límites geómetricos, 47línea de dieléctrico, 33, 35, 39líneas de transmisión, 18, 26left-handed, 22left-handed medium, 21lente doble, 107lente plana, 17, 18, 26, 34, 37, 38, 61lente simple ideal, 61, 63lente simple real, 61, 63, 64lente zurda, 18, 61, 65, 75, 86, 88ley de Snell, 22, 24limitación en frecuencia, 47limitaciones tecnológicas, 47longitud de onda de la guía, 64, 65, 71, 75, 79longitud eléctrica, 32, 33, 35, 36, 39, 40, 47, 50, 57,

59

Método de las Integrales Finitas en el Dominio delTiempo, 37

Método de los Elementos Finitos, 37magnetic (Ht=0), 64mallado, 62, 63, 65Matlab, 110medio convencional, 18, 22, 26, 35medio diestro, 22, 35, 40, 61medio diestro/zurdo, 26, 27, 31medio zurdo, 18, 22, 24�26, 32, 35, 39�41, 47, 61,

71metamateriales, 17, 18, 20, 21microstrip, 26modo, 32modo diestro, 33modo dominante, 33modo fundamental, 33, 39, 40, 42�46, 52�56, 96�100modo LH, 33modo RH, 33modo TE, 33

modo TEM, 17, 62, 85, 86modo TM, 33modo zurdo, 33, 35modos superiores, 50, 59mushroom, 26

no balanceado, 29no homogénea, 103, 104no homogéneo, 50, 51, 75, 101

onda cilíndrica, 18, 61, 62, 64, 65, 71onda plana, 18, 61, 64, 65, 71ondas de retroceso, 22ondas espurias de super�cie, 26Open, 64Open (add space), 64operaciones de mallado, 93

pérdidas, 17parámetros, 26parámetros primarios, 31parche, 26, 27, 62, 79parches, 60PBA, 94Perfect-H, 63periodo, 26, 32permeabilidad, 18, 21, 22, 25, 31, 36, 61, 62permitividad, 18, 21, 22, 25, 31, 36, 61, 62, 64, 65,

71, 75plano de masa, 62polarización lineal, 85, 86polietileno, 57, 59, 64, 71, 79, 107potencia residual, 87potencia transmitida, 64, 65, 67, 69, 71, 75, 77primer modo superior, 33, 39principio de equivalencia, 85, 86principio de Fermat, 22, 34propiedades de mallado, 93, 94prototipo, 57, 79, 83, 88

Radiation, 63ranura, 85�87ranuras radiantes, 86real-open, 64, 65, 68�70, 72, 73, 76, 77real-PMC, 64, 65, 68�70, 72, 73redes de alimentación paralelo, 17redes de alimentación serie, 17re�exión, 50, 71, 75refocalización, 75refracción negativa, 18, 21, 22, 32, 61, 64, 71remachadora, 80remaches, 47, 60, 79, 80resonancia, 29right-handed medium, 22rizado, 17, 18, 64, 65, 71, 86

segundo modo superior, 33

ÍNDICE ALFABÉTICO 135

separación entre parches, 26seta, 18, 26, 32, 33, 61simulador electromagnético de onda completa, 37,

61�63, 95sonda coaxial, 17, 18, 61�63, 65, 70, 74, 79, 107stripline, 17, 18super�cie de alta impedancia, 26super�cie selectiva en frecuencia, 21

teoría de rayos, 32tiempo de simulación, 62, 94triángulo de Brillouin, 32, 35, 38, 39, 94

vías metalizadas, 26, 62, 79velocidad de fase, 22, 29velocidad de grupo, 22, 29via-holes, 60

ANÁLISIS, DISEÑO Y PROTOTIPADO DE UNA LENTE...

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