Análisis Del Fenómeno Del Golpe de Ariete - Concurso IIFIC

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA FACULTAD DE INGENIERA CIVIL Departamento Acadmico de Hidrulica e Hidrologa

EVALUACIN DE LOS MTODOS DE ANLISIS DEL FENMENO DE GOLPE DE

ARIETE APLICADO A CENTRALES HIDROELCTRICAS

Uribe Fernandez, Aldo Niker

Asesor: Ing. Romero Machuca Fernando M. Telf: (+511) 648-9369, Cell: (+511) 956812544

[email protected]

RESUMEN

Pese a que hoy en da se cuenta con muchas tecnologas, lo diseadores de centrales hidroelctricas an siguen empleando

mtodos muy simplificados, para evaluar la sobrepresin en las tuberas forzadas, a causa del fenmeno de golpe de ariete,

resultando ineficiente y poco adecuado econmicamente. As mismo muchos de los proyecto desarrollados en nuestro pas no

toman en cuenta las limitaciones de los mtodos que se emplean, no por desconocimiento, sino porque muchos mtodos

requieren operaciones laboriosas, debido a que no se realizan demasiadas simplificaciones en su planteamiento.

Habiendo la necesidad de mostrar a los diseadores herramientas bsicas para dar solucin ptima a la evaluacin de las

sobrepresiones, surge la propuesta de investigar a fondo los diversos mtodos que existen examinando sus limitaciones

matemticas y tericas, para finalmente desarrollar programas al alcance de los usuarios.

En este trabajo se investiga la influencia de la velocidad de cierre de la vlvula en el desarrollo del golpe de ariete en un sistema

simple chimenea de equilibrio tubera - vlvula.

El golpe de ariete se manifiesta como fluctuaciones de presin en conducciones. Estos transitorios pueden causar variaciones de

presin tan amplias que invalidan las suposiciones de homogeneidad y continuidad. Las propiedades mecnicas de la pared de la

conduccin influencian significativamente la intensidad y velocidad de propagacin de estas ondas de presin.

Se ha desarrollado un programa de simulacin del golpe de ariete utilizando el mtodo de las caractersticas, que permite predecir

las presiones y velocidades instantneas en la conduccin y su relacin con la velocidad de cierre de la vlvula.

Se ha resuelto el mismo sistema de ecuaciones aplicando la transformada de Laplace-Mellin, lo que ha permitido corroborar la

validez del programa de simulacin.

Otro de los mtodos importantes para el anlisis del fenmeno del golpe de ariete viene a ser la resolucin de las ecuaciones de

Saint Venant, mediante mtodos de volmenes finitos, lo que simula las condiciones en 3 dimensiones, resultando un estimacin

de la sobrepresin ms correcta y que resulta mucho ms certero para el diseo de los sistemas de obras hidrulicas en una central

hidroelctrica.

En la presente investigacin se detallan las codificaciones de los diversos mtodos en el software Matlab, para facilitar los

clculos previos al diseo.


I. INTRODUCIN

El golpe de ariete, como fenmeno transitorio, ha sido un tema de estudio de la hidrulica, por sus efectos

destructores en sistemas de alta presin como los conductos abastecedores de turbinas en centrales hidroelctricas.

La circulacin de fluidos en tuberas es intrnsecamente un proceso transitorio que presenta cambios en los flujos de

entrada y salida, ya sea por arranque y parada de bombas y compresores, cambios de las condiciones de trabajo, as

como tambin cambios en la composicin de los fluidos que recorren la lnea y la variacin de la temperatura con

las condiciones ambientales.

La desaceleracin rpida produce un incremento de presin aguas arriba de la obstruccin, as la energa cintica se

transforma en energa potencial que lleva a un aumento temporal de presin. Aguas abajo de la obstruccin, el

transiente pueden causar una cada de la presin en las tuberas lo suficientemente grande como para invalidar la

suposicin de homogeneidad y continuidad del fluido al generarse burbujas de gas o vapor en el seno del fluido. Las

propiedades mecnicas del material de la pared y la rigidez de los apoyos de la caera pueden influir

significativamente en la intensidad de las oscilaciones de presin. La amplitud de la primer depresin aguas abajo de

la obstruccin es prcticamente tan alta como la amplitud de la sobrepresin aguas arriba de la obstruccin

Estos hechos indican que un modelo til para describir el flujo en tuberas debe ser un modelo transiente, eso es,

debe resolver las ecuaciones de flujo dependientes del tiempo. Sin embargo, habitualmente se usa el modelo de flujo

estacionario para el diseo de tuberas

Las computadoras permiten ejecutar programas de simulacin, sin embargo el anlisis del fenmeno transiente de

presin mediante tcnicas numricas es relativamente nuevo. Independientemente del modelo numrico usado, un

programa de anlisis debe ser fiable, y eficaz.

En este trabajo se ha estudiado el transiente en un sistema simple formado por un tanque reservorio y una

conduccin que termina en una vlvula; generando el golpe de ariete mediante el cierre la vlvula. La modelizacin

computacional se ha realizado utilizando el Mtodo de las Caractersticas y se ha contrastado con la solucin

analtica obtenida mediante la Transformada de Laplace - Mellin. Asimismo se plantea el desarrollo del fenmeno

de golpe de ariete a travs de volmenes finitos, para su posterior comparacin y obtener el adecuado empleo de

cada uno de ellos segn sea las condiciones del proyecto, as como las limitaciones de las mismas.

II. OBJETIVOS:

Objetivo general:

Seleccin de un mtodo para el diseo eficiente y ptimo de una chimenea de equilibrio as como la tubera forzada

y dems accesorios.

Objetivos especficos:

Realizar el anlisis terico riguroso de los mtodos empleados para evaluar el golpe de ariete en una tubera

forzada.

Empleando los mtodos estudiados se evaluar algunos problemas para realizar un anlisis comparativo

estableciendo su grado de confiabilidad e indicando su respectiva limitacin, para luego seleccionar el ms

adecuado.

Programacin de los mtodos de anlisis en el programa Matlab.

Proponer un software para el anlisis del fenmeno del golpe de ariete por uno de los mtodos (El ms

confiable) y comparar con lo ya calculado para establecer sus alcances y limitaciones.


III. CONCEPTOS BASICOS:

Teora de la columna de rgida:

En la teora de la columna rgida se considera, como caso limite, el fluido incompresible, el tubo rgido y los

cambios de presin y velocidad se presentan en forma instantnea con la misma intensidad en el conducto.

Ecuaciones:

Para tuberas que satisfacen las condiciones y , el incremento, o decremento, mximo de

carga en el instante para una maniobra de cierre o abertura total o parcial es:

(

)

(

) (

) [1]

Dnde:

g: Aceleracin de la gravedad (m/s2).

: Carga de presin en el conducto cuando el flujo es permanente, medida a partir de un plano de referencia (m).

L: Longitud total del conducto (m).

V: Velocidad en el conducto (m/s).

: , Cambio de velocidad por efecto del cierre de la vlvula, (m/s).

: Incremento o decremento mximo de carga, medido desde la lnea de presiones de flujo permanente, (m).

: Tiempo de cierre de la vlvula (s).

En la ecuacin [1] el signo positivo del radical se usa para el cierre y el negativo para la abertura.

Teora de la columna elstica:

Se hace las mismas suposiciones que el concepto anterior, excepto que se considera la elasticidad de las paredes del

tubo, y la compresibilidad del fluido bajo la accin del cambio de presin se toman en consideracin.

Ecuaciones:

Las ecuaciones que se plantean con la consideracin de la elasticidad de las paredes del tubo y la compresibilidad

del flujo, se detallan en el siguiente tem, en el cual se plantean dos principios bsicos, tales como la segunda ley de

Newton y la ecuacin de continuidad.


IV. DESARROLLO DE LA INVESTIGACION:

El anlisis del golpe de ariete en sistemas presurizados, para el presente trabajo de investigacin se va a realizar bajo

las siguientes consideraciones:

a) Conduccin unidimensional donde el flujo transita con velocidad y presin uniforme en todas las secciones.

b) Las prdidas de carga por friccin transientes se aproximan mediante las ecuaciones correspondientes al

estado estacionario.

c) La conduccin es a tubo lleno, y permanece en esa condicin durante el trnsito el transitorio.

d) No se produce separacin de la columna de agua, durante el transitorio, es decir la presin es mayor que la

presin de vapor del fluido en todo momento.

e) La cantidad de gas libre en el fluido es pequea, por lo que la velocidad de propagacin de la onda puede

considerarse prcticamente constante.

f) Tanto el lquido como las paredes de la conduccin se comportan como linealmente elsticas.

g) La variacin de presin debido a la interaccin del fluido con las paredes de la tubera son pequeas en

comparacin con la onda de presin producida por el golpe de ariete.

Los principios bsicos que rigen el trnsito de flujo, con las consideraciones anteriores se basan en leyes de la

mecnica, tal como la ley de la conservacin de la masa y la ley de la conservacin de la cantidad de movimiento

que permiten definir el comportamiento del flujo mediante un sistema de dos ecuaciones diferenciales parciales

cuyas variables independientes son la posicin, x y el tiempo, t y las variables dependientes son la presin P y la

velocidad promedio V en una seccin determinada. Estas ecuaciones son conocidas tambin como ecuaciones de

Saint Venant.

Ecuaciones de movimiento:

Figura 1.-Diagrama del cuerpo libre para la deduccin de la ecuacin de movimiento.

Haciendo las simplificaciones de la figura 1, se puede obtener la siguiente ecuacin:

| |

[2]


Ecuaciones de continuidad:

Figura 2.- Volumen de control para la deduccin de la ecuacin de continuidad.

[3]

Donde es la presin expresada en altura de columna lquida y es la velocidad del lquido, es la densidad del

flujo y es la velocidad de la onda de presin.

Celeridad (a).

Se define como la velocidad de propagacin de la onda de presin en un medio elstico. La deduccin de la

ecuacin para su evaluacin, toma en cuenta dos principios bsicos, la primera considera a la tubera como elstica y

las paredes se deforman linealmente con la presin, la segunda tiene en cuanta la compresibilidad del agua.

La expresin resultante que lo define queda como la ecuacin [4]:

(

)

[

(

)]

[4]

a: Celeridad.

K: Modulo de elasticidad del fluido.

E: Modulo de elasticidad de la tubera.

D: Dimetro interno del tubo.

e: Espesor del tubo.

: Densidad del fluido.

: Parmetro adimensional que depende de las propiedades elsticas del conducto.

Las ecuaciones fundamentales [2] y [3] pueden combinarse linealmente como, , obtenindose as la

siguiente expresin.

(

) (

)

| |

[5]

I II


Donde el primer trmino I viene a ser la derivada total de dV/dt cuando . Del clculo.

De forma similar, el segundo trmino II es la derivada total de dP/dt si cuando, para que estas dos

ecuaciones sean verdaderas, debe tener el mismo valor.

Por lo tanto puede tomar dos valores diferentes:

o

y

Para estos valores, la ecuacin (4) queda reducida en el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

| |

[6] , para

| |

[7] , para

Estas dos ltimas expresiones son ecuaciones diferenciales ordinarias.

En la Figura 3 se muestran dos lneas, C+ y C-, a lo largo de las cuales son vlidas las ecuaciones [6] y [7]

respectivamente.

Estas ecuaciones contienen dos incgnitas para cualquier punto de las lneas caractersticas, pero en la interseccin

de las dos curvas, punto P, los valores de las incgnitas deben satisfacer simultneamente ambas ecuaciones. Por lo

tanto, pueden resolverse, obtenindose los valores de H y V.

Figura 3.- Lneas caractersticas en el plano x-t.


V. METODOS DE SOLUCION:

1.0 Mtodo de Michaud.

Si consideramos un tiempo crtico , siendo L la longitud total y c la celeridad de la onda, podemos dividir

los cierres de vlvula en las conducciones afectadas por un golpe de ariete en cierre lento o cierre rpido

con .

En el caso de que el cierre sea lento, no llegan a alcanzarse las sobrepresiones o depresiones de Allievi sino que el

valor mximo ser:

[8]

La simplificacin es la correspondiente a un cierre lineal de la superficie de obturacin que no es real en muchas

vlvulas, sin embargo nos dar una idea de los valores que puede alcanzar el golpe de ariete.

Figura 4.- Diagrama de sobrepresiones para un tiempo de parada superior a 2L/c, con lo cual la expresin reinante es la de

Michaud, inferior a la expresin de Allievi.

2.0 Mtodo de Allievi.

La expresin deducida por Lorenzo Allievi toma en cuenta las ecuaciones de Saint Venant de manera simplificada,

obteniendo una ecuacin sencilla que a la vez da un resultado de sobrepresin mxima.

Dnde: a es la celeridad, V la velocidad de funcionamiento normal y U la velocidad de paso por una obstruccin. Si

consideramos U = 0, es decir el cierre de la vlvula en el punto B segn la figura 4, es inmediato, obtenemos la

famosa frmula de Allievi o pulso de Joukowsky que nos indica la mxima sobrepresin posible en una conduccin.


Figura 4.- Cierre rpido de vlvula en B

Al cerrarse la vlvula en B aparece un , que actuando sobre la seccin transversal S del flujo va comprimiendo a

este con la fuerza:

El impulso de dicha fuerza durante el tiempo: que tarda el tramo de la tubera en detenerse, ser igual a

la variacin de la cantidad de movimiento que ha sufrido la masa m de dicho tramo, al detenerse o al pasar de una

velocidad V a otra velocidad U menor.

(Parcial)

Sustituyendo:

(Total)

En el caso de cierre total: , lgicamente el ms peligroso, se obtiene:

o

Esta ecuacin ltima viene a ser la expresin obtenida por Lorenzo Allievi para establecer la sobrepresin mxima

producto del fenmeno del golpe de ariete.

[9]


3.0 Mtodo de las Caractersticas.

Para resolver numricamente el conjunto de ecuaciones (Ecuaciones [6] y [7]) se utiliza habitualmente el mtodo de

las caractersticas. Para implementarlo se divide la lnea de conduccin en N segmentos de la misma longitud .

Los valores de y se conoce para el instante inicial del transitorio, pues son los que corresponden al estado

estacionario previamente alcanzado por el sistema (condiciones iniciales).

Para determinar el incremento temporal ( ), se tiene en cuenta que usualmente por lo tanto .

Entonces el paso temporal resulta ser . En consecuencia las pendientes de y son y

respectivamente. Por lo tanto, ambas curvas caractersticas son ahora rectas, con pendiente (ver figura 5).

Integrando las ecuaciones [6] y [7] a lo largo de las curvas caractersticas y , como se muestra en la figura 3.

| |

[10]

| |

[11]

Al resolver la tubera es conveniente trabajar con la lnea piezomtrica H y el caudal Q en lugar de P y V.

y

De la cual se deduce la siguiente expresin, considerando V=Q/A, para C+.

| |

[12]

Y para C-.

| |

[13]

La ecuacin de compatiilidad C- desde P hasta B se obtiene en forma similar a la ecuacin de compatibilidad C+,

para simplificar las ecuaciones sea.

y


Entonces para C+.

| | [14]

Para C-.

| | [15]

La tubera de la lnea de conduccin se divide en N tramos, cada una con una longitud de , por lo que

y .

Entonces las lneas caractersticas C+ y C- son las diagonales de la malla rectangular. Lo denotaremos con

subndices como se muestra en la figura 5. Al aplicar las ecuaciones para resolver una seccin interna, donde se

desean y se conocen las condiciones en el tiempo anterior, es decir, , , , . Reuniendo los

trminos conocidos de la ecuacin [14] en las constantes y , se obtienen.

y | | [16]

Mientras que para la ecuacin [15], las constates sern y .

y | | [17]

Figura 5.- Malla x-t para resolver problemas de tuberas simples.


Figura 6.- Condiciones de frontera. (a) Extremo de aguas arriba. (b) Extremo de aguas abajo.

Ahora para C+ las ecuaciones [14] y [15] se convierten en:

[18]

Y para C-.

[19]

Con , , , conocidos, la solucin de las ecuaciones [18] y [19] dan como resultado.

,

La solucin consiste en encontrar H y Q para los puntos en la malla en , para luego proceder a , y asi

sucesivamente hasta la duracin temporal deseada. Los puntos extremos de la tubera se introducen cada par de

pasos temporales despus de las condiciones iniciales. El trmino Condiciones de frontera se refiere a la condicin

en los extremos de la cada tubera.

Condiciones aguas arriba:

En un tanque presurizo con un espejo de agua bastante grande o en un embalse la elevacin de la lnea piezometrica

normalmente puede suponerse constante durante el transitorio de corta duracin. Esta condicin extremo esta

descrita por , en donde el es la elevacin de la superficie del embalse por encima del nivel de referencia.

Condiciones aguas abajo:

Para un flujo permanente a travs de la vlvula, se considera como un orificio con una seccin constate (antes del

cierre).

Donde es el caudal permanente, es la cada de cabeza a travs de la vlvula y es el rea de la abertura

multiplicada por el coeficiente de descarga.


4.0 Solucin Analtica.

Para obtener las soluciones analticas que describen el transitorio generado por el cierre de la vlvula se ha resuelto

la ecuacin de onda unidimensional.

[20]

Junto con la ecuacin de cantidad de movimiento.

[21]

Para las diferentes condiciones de contorno.

Para

Para (Presin esttica).

La resolucin de este sistema de ecuaciones se realiza mediante la transformada de Laplace-Mellin, resultando:

(

) (

) [22]

De forma similar para el cierre de la vlvula lineal se tiene:

i) Si

{

(

) (

)} [23]

ii) Si

{

(

) (

)

(

) (

)} [24]


5.0 Mtodo de Volmenes Finitos.

Algunas de las hiptesis ms importantes consideradas para la deduccin del modelo de Saint-Venant son:

i. Las fuerzas de masa que actan son la gravedad en la direccin vertical y la fuerza de Coriolis en el plano

horizontal.

ii. La curvatura de las lneas de corriente es pequea, por lo que la distribucin de la presin se considera

hidrosttica.

iii. El movimiento principal de las partculas ocurre en planos horizontales.

Con esto, el modelo de Saint-Venant es:

[25]

Donde h es la profundidadel flujo, y son las componentes de la velocidad en las direcciones x, y

respectivamente, en cada punto de , g la aceleracin de la gravedad, C refleja el efecto de la fuerza de coriolis.

La forma vectorial del modelo de Saint-Venant simplifica mucho la notacin para el tratamiento numrico, as como

se muestra a continuacin:

[26]

Dnde:

(

), (

), (

)

Y

(

( )

( ) )

Son necesarias condiciones iniciales y de contorno para la resolucin del sistema de Saint-Venant, aunque en

situaciones generales no existen soluciones analticas del problema. Ante esto, una opcin es recurrir a los mtodos

numricos. A continuacin se bosquejara la aplicacin de uno de ellos: volmenes finitos. Para el tratamiento con

volmenes nitos no se tendrn en cuenta los trminos de Coriolis y tensin del viento, ni el termino turbulento.


Existen varios tipos de volmenes finitos que pueden usarse, teniendo en cuenta cada una de sus ventajas y

desventajas. Para el presente trabajo de investigacin se va usar los de tipo vrtice por sus ventajas para tratar las

condiciones de frontera. Dado un dominio y una discretizacin por tringulos de este, se define una nueva

discretizacin espacial como se muestra en la figura 7, uniendo los baricentros de cada triangulo con los puntos

medios de sus aristas. Esto da un polgono asociado con uno de los nodos de la malla de tringulos.

A cada uno de estos polgonos se le llama volumen finito.

Figura 7.- Discretizacin de por volmenes finitos.

Con cada volumen finito se asocia una funcin base como la que se muestra en la Figura 8, es decir se supone que

las incgnitas del modelo son constantes en cada volumen finito.

Integracin y discretizacin temporal:

Definiendo:

[27]


Figura 8.- Funcin base.

El modelo de Saint-Venant puede escribirse como:

[28]

Como el dominio del sistema est dividido en un conjunto de volmenes finitos , se calcula la integral de

superficie en cada uno de ellos, y se obtiene:

De donde:

Discretizando con el mtodo de Euler hacia adelante, se tiene.

Con el rea de la celda , de donde se sigue tiene.

[29]

Discretizacin del Flujo:

El producto escalar de se denomina flujo en 2 dimensiones a travs de un segmento de longitud unitario y se

aproxima en el tiempo n como.


( ) ( )

| |

(

) [30]

Siendo Q la matriz Jacobiana del flujo.

Y la matriz | | se obtiene como | | | | , donde | | es la matriz diagonal de los valores absolutos de los

autovalores de Q y X es la matriz cuyas columnas son los autovectores correspondientes a cada autovalor, y

es el vector normal unitario en la frontera comn de y , dirigido hacia el exterior de la celda .En

el esquema de Van Leer, | | se evala en el estado intermedio:

Discretizacin de Termino Fuente:

La fuente discreta bidimensional G en cada subcelda en el tiempo n se define como:

| |

Donde, si H representa la distancia al fondo desde un nivel de referencia fijo, entonces.

(

)

Es decir, tambin se descentra este trmino. Aqu es la distancia del nodo al nodo como se aprecia en la figura

7. Aproxima la pendiente de friccin en el centro de cada celda.

(

)

Sustituyendo el flujo discreto y la fuente discreta en la ecuacin [28] se tiene para cada y en cada la

discretizacin del modelo inicial:

[31]


Donde es el rea del tringulo como se observa en la figura 7. Esta ecuacin da un algoritmo explicito para

encontrar el valor de las variables de inters en cada volumen finito en cada tiempo n, en donde solo falta tener en

cuenta si el volumen finito tiene especificada una condicin de contorno, y definir el tamao de paso temporal para

asegurar la estabilidad.

Paso Temporal y Algoritmo:

El paso temporal corresponde la condicin de estabilidad de Courant-Friedrich-Lewy tambin conocido como CFL

y est dado por la siguiente expresin:

(

( )

) ..[32]

Donde c es la celeridad. En casos de fuerte pendiente se producen inestabilidades, lo que ha obligado al uso de un

coeficiente corrector de 0.8.

VI. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES:

En muchos proyectos de diseo de tubera forzada no se tiene en consideracin el fenmeno del golpe de

ariete, y si lo hacen generalmente suele usarse las frmulas ms simplificadas como la teora de Allievi u

otra estimacin bsica, sin tener en cuenta que estos mtodos tienen muchas limitaciones por tanto pueden

incurrir en errores irremediables. Por otro lado puede darse el caso que se tenga un sobre dimensionamiento

de las obras hidrulicas, debido a que la teora de Allievi considera una sobrepresin mxima.

Uno de los mtodos de anlisis del fenmeno del golpe de ariete ms confiable es el mtodo de las

caractersticas, debido a que considera la teora de la columna elstica. A su vez tiene una fcil aplicacin

porque puede programarse, dando un ptimo diseo de la tubera forzada y otras estructuras hidrulicas.

La solucin analtica a diferencia del mtodo de las caractersticas, resuelve las ecuaciones de Saint Venant

mediante transformada de Laplace Mellin, incorporando series numricas para su solucin.

El mtodo de volmenes finitos resulta ser ms eficiente al momento de estimar sobrepresiones, debido a

que toma en consideracin el caso ms real de las condiciones, siendo su nica desventaja la dificultad en

su comprensin, por lo que muchos especialistas optan por otros mtodos ms simple.

La presente investigacin, har una programacin computacional de todos los mtodos antes descritos para

facilitar a los diseadores realizar un adecuado anlisis del fenmeno del golpe de ariete que a la vez

resulte ser sencilla en su comprensin.


VII. BIBLIOGRFIA:

Allievi L. (1929). The Theory of Water Hammer. (Transl. By E.E. Halmos). Am. Soc. Mech. Engrs.

Chaudhry M. Hanif (1979). Applied Hydraulic Transients, Edit. VNR, New York.

Daz Maldonado Salvador y Sosa Cordero Rodolfo (1982). Manual de Diseo de Obras Civiles, UNAM, Mxico.

Novak P. (1977). Water Hammer and Surge Tanks, Second Revised Edition.

Parmakian John (1963). Water Hammer Analysis, Edit. Dover Publications, New York, Denver, Colorado 1963 (Paperback).

Pastor Ruperez J. (1984). Rgimen Variable en Tuberas: Teora General del Golpe de Ariete, Edit. Nuevas Grficas S. A.,

Madrid.

Prez Farrs Luis E. y Guitelman Adolfo (2005). Estudio de transitorios: Golpe de Ariete, Universidad de Buenos Aires,

Buenos Aires.

Randall J. Leveque (2002). Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press, USA.

Streeter, V. L. and E. B. Wylie (1967). Hydraulic Transients, Edit. McGra Hill Book Co., New York.

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