ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de ...

ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 1

Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva

4.- ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO

4.1.- Efecto de los polos en el comportamiento del sistema.4.2.- Estabilidad.

4.3.- Análisis de la respuesta de un sistema de 1er orden.4.5.- Análisis de la respuesta de un sistema de 2º orden.4.6.- Respuesta en frecuencia.4.7.- Análisis de Comportamientos.



4.1.- EFECTO DE LOS POLOS EN EL COMPORTAMIENTODEL SISTEMA

Polos reales

Polos imaginarios conjugados

1s p–( )

---------------- {p>0 (Ej: p=3)

1s s 3–( )------------------

p>0 (Ej: p=-3)1

s s 3+( )------------------- 1

3--- 1 e

3t––( )

13--- 1 e

3t+( )

Entrada escalón

circulo virtuoso

realim. negativa

1s jω–( ) s jω+( )

--------------------------------------- (Ej: ω = )1

s s2

9+( )----------------------Entrada escalón { j3+−

19--- 1 3t( )cos–( )

comportamiento oscilario



Polos complejos conjugados

1s p– jω–( ) s p– jω+( )

---------------------------------------------------------

(Ej : )1

s s2

2s– 10+( )------------------------------------

Entrada escalón{1 j3+−p > 0

(Ej: )1

s s2

2s 10+ +( )-------------------------------------1– j3+−p < 0

110------ 1 e

t–3t ϕ+ )( )sin+( )

circulo virtuoso

realim. negativa

110------ 1 e

t3t ϕ+ )( )sin+( )



4.2.- ESTABILIDAD

4.2.1.- Estabilidad Entrada-Salida (Descripción Externa)

Definición: Un sistema, inicialmente en reposo, se dice estable si:

Señal entrada acotada ==> señal salida acotada ESTABILIDAD BIBO

Teorema de estabilidad:

Si G(s) es la función de transferencia de un sistema, ésta seráestable si todos los polos de G(s) están en el semiplano izquierdodel plano complejo



4.2.2.- Estabilidad Descripción Interna

Definición de Estado de Equilibrio:

Sea la ecuación de estado se denomina estado de equilibrioa la configuración que cumple:

En un sistema L.T.I hay un solo estado de equilibrio si la matriz [A] no es singular

Concepto de equilibrio estable

Se dice que un estado de equilibrio xe es global y asintóticamenteestable, si para un valor de la entrada constante o cero, toda soluciónconverge asintóticamente hacia xe al incrementar indefinidamente la

variable tiempo ( t ).

x· g x f t( ),( )=

x· g xe f t( ),( ) 0 t∀= =



Autovalores de la matriz A:

Raíces de la ecuación: det (I·s-A) = 0

Condición de estabilidad sistema lineal

Un estado de equilibrio de un sistema L.T.I es asintóticamenteestable si los autovalores de la matriz A tienen parte realnegativa. (salvo cancelación interna de polos).

Autovalores de la matriz A = Polos del sistema



4.2.3.- Tipos de respuesta y clasificación de comportamientos.-El comportamiento de un sistema viene dado por las trayectorias de susvariables de estado.

-Las trayectorias seguidas por las salidas de un sistema reciben elnombre de respuesta temporal.

-En algunos casos, es posible dividir la respuesta temporal en dos partes:

-Respuesta estacionaria: Se corresponde con la respuesta del sistemacuando tiende el tiempo tiende a infinito, para sistemas estables:

Representación externa.-Teorema del valor finalRepresentación interna.-Punto de Equilibrio

-Respuesta transitoria: Se corresponde con la respuesta del sistemadesde que se aplica una señal hasta que alcanza un valor próximo a larespuesta estacionaria.



Los comportamientos suelen clasificarse en:

Oscilatorio: La evolución de las variables de estado y la respuestatemporal consisten en oscilaciones que no decrecen con el tiempo,Ejemplo: el movimiento de un muelle sin fricción.

Subamortiguado: La evolución de las magnitudes fundamentales delsistema realizan una serie de oscilaciones de amplitud decrecienteantes de alcanzar el estado estacionario. Ejemplo: muelle conamortiguación.

Sobreamortiguado: Se alcanza el régimen estacionario sinoscilaciones.



4.2.4.- Esquema general de actuación- Diagrama causal ==> Identificación de estructuras.

-Ecuaciones diferenciales:* Función de transferencia.* Modelo de estado.

- Tipos de polos ==>¿estable inestable?

- Respuesta transitoria, Respuesta estacionaria ==>tipos de polos

- Simulación ==> respuesta temporal para la entrada deseada.

-¿Coinciden las predicciones con lo obtenido?



4.3.- Análisis de la respuesta de un sistema de 1er orden.

L Pu0 t( )[ ]Ps---=

Si a < 0 (polo real positivo, equilibrio inestable):

dxdt------ ax+ f t( )= P

Ecuación diferencial f t( ) Pu0 t( )=X s( )F s( )----------- 1

s a+( )----------------=

dxdt------ a– x f t( )+=

{Función de Transferencia

Modelo de estado

Respuesta a la señal escalón

xe

Pa---=

dxdt------ x– 1–=Ej.- xe 1= (Si x(0) > xe círculo virtuoso; si x(0) < xe círculo vicioso)

x(0)= 1.1

x(0)= 0.9

x(0)= 1



x t( ) L1– P

s s a+( )------------------- P

a--- 1 e

at––( ) 1 e

t––( )====

Si a>0 (polo real negativo, equilibrio estable): xe

Pa--- τ P⋅= =

Teorema valor final: x ∞( ) s Ps s a+( )-------------------

s 0→lim P

a--- xe===

Respuesta forzada:

x t( ) L1– x 0( )

s a+( )---------------- x 0( )e

t–==Respuesta Libre:

Ej.- dxdt------ x+ 1= xe 1= (Cualquiera que se el valor de x(0) la salida tiende a xe)

x τ( ) Xe 1 e1–

–[ ] Xe 0 63,⋅ 23---Xe≅

==

Si x(0)

τ 1a---=

Constante de tiempo

x τ 2

3---xe=

x τ( )23---=



Puntos de Equilibrio en sistemas de 1er Orden

Condiciones Iniciales: x(0)

Punto de equilibrio

tddx

A x⋅ B f⋅+=

xe

B f⋅A

---------–=f cte=

tddx

x

Punto de equilibrio

x(0)x(0)

tddx

x

Punto de equilibrio

x(0)

x(0)

Equilibrio Estable A < 0 Equilibrio Inestable A > 0



4.4.- Análisis de la respuesta de un sistema de 2o orden.

Ecuación diferencial

{Función de Transferencia

Modelo de estado

a 2ξωn=

d2x

dt-------- adx

dt------ bx bf t( )=+ +

b ωn2

=

d2x

dt-------- 2ξωn

dxdt------ ωn

2x ωn

2xf t( )=+ +

ωn2

s2

2ξωns ωn2

+ +-----------------------------------------

x·1

x·2

0 1

ω– n2

2– ξωn

x1

x2

0

ωn2

f t( )+=

Ecuación característica

s2

2ξωns ωn2

0=+ + x1E

f ωn2⋅

ωn2

------------- f= =x2E 0=

Punto de Equilibrio



Típicos sistemas de 2º orden

ViV0------

1LC-------

s2 R

L---s

1LC-------+ +

--------------------------------=ωn2 1

LC-------=2ξωn

RL---=

vi(t)V. Entrada V. SalidaR L

C

v0(t)

L Cd

2v0

dt-----------⋅ R C

dv0dt

--------⋅ ⋅ v0 vi=+ +

d2v0

dt----------- R

L---

dv0

dt--------⋅ 1

LC------- v0⋅ 1

LC------- v⋅

i=+ +

mf(t) x(t)

kµ

V. Entrada V. Salida

md2y

dt-------- µ

m----dy

dt------ ky f t( )=+ +

d2y

dt-------- µ

m----dy

dt------ k

m----x

fm----=+ +

f f2 k⋅=

f2fk--=

d2y

dt-------- µ

m----dy

dt------ k

m----y k

m----f2=+ +

ωn2 K

m----= 2ξωn

µm----=

X s( )F s( )-----------

km----

s2 µ

m----s

km----+ +

-----------------------------=



Respuesta a la señal escalón

x t( ) L1– ωn

2

s2

2ζωns ωn2

+ +( )s-----------------------------------------------=

t

2

dd x

2ζωt∂

∂x ωn2

+ + ωn2

u t( )•=

x t( ) L1– ωn

2

s a+( ) s b+( )s------------------------------------

ωn2

ab------- 1 1

a b–------------ be

at–ae

bt––( )+= =

s2

2ξωns ωn2

0=+ +

Ecuación característica

a) Dos polos reales: Sobreamortiguado

b) Un polo real doble: Críticamente amortiguado ζ 1=

x t( ) L1– ωn

2

s ωn+( )2

s------------------------- 1 e

ωnt–– ωte

ωnt––= =

ζ 1>

x t( ) 1 eζωnt–

1 ζ2

–

------------------- ωn 1 ζ2

– t ϕ+sin– ;= ϕ 1 ζ

2–ζ

-------------------atan=

ζ 1<c) Dos polos complejos conjugados: Subamortiguado



x t( ) L1– ωn

2

s s2 ωn

2+( )

------------------------- 1 t ω⋅ n( )cos–= =

El sistema oscila con una frecuencia ωn

ωn Frecuencia natural de oscilación⇒

ζ 0=c) Dos polos imaginario conjugados: Oscilatorio

La pate real de los polos es igual a cero, se dice que el sistema es Marginalmente Estable



ESPECIFICAIONES TEMPORALES SISTEMA SUBAMORTIGUADO

Ts π φ–ωd

------------ φ; 1 ζ2

–ζ

-------------------… ωd;atan ωn 1 ζ2

–= = =

M e

πφtan

-------------–=

Tp

πωd-------=

Tiempo de subida

Sobreimpulso máximo

Tiempo de pico

te53

ζωn----------≅

te24

ζωn----------≅

Tiempo de establecimiento: al 5% al 2%

Tiempo de establecimiento Critic. Amortiguado: al 5% al 2%te54 74,ωn

------------≅ te2

5 83,ωn

------------≅



Puntos de Equilibrio en sistemas lineales de 2º Orden

Condiciones Iniciales:

x· A x⋅ B U⋅+=

x 0( ) x· 0( ),

x·

x

Condiciones Iniciales

x(0)

x· 0( )

Trayectoriaen el Espacio de Estados

x

t

x 0( )

x·

t

x· 0( )

Respuesta Temporal



Puntos de Equilibrio Estable en sistemas lineales de 2º Orden

jw

σ

Dos Polos Reales

jw

σ

Polos Complejos Conjugados

jw

σ

Polos Imaginarios Conjugados

Punto de Equilibrio: Configurción de Centro

Negativos



Puntos de Equilibrio Inestable en sistemas de 2º Orden

jw

σ

Polo Real Positivo

jw

σ

Polos Complejos Conjugados

Dos Polos RealesPositivosPolo Real Negativo

inestable

jw

σ



Teorema del valor final

En el caso de estudiar sistemas estables, el valor de la salida en estado deequilibrio debe coincidir con el valor estacionario obtenido medianteun modelo externo.Para obtener el valor estacionario se aplica el Teorema del Valor Final:

Ejemplo: Valor estacionario cuando se aplica la entrada escalón unitaria al sistema:

f t( )t ∞→

lim s F s( )⋅s 0→lim=

7

s2

2s 3+ +---------------------------

x·1

x·2

0 1

3– 2–

x1

x2

0

7f t( )+= x1e

f 7⋅3

--------- 73---= = x2e 0=

x ∞( ) s 7

s s2

2s 3+ +

---------------------------------⋅s 0→lim 7

3---= =



4.5.- Respuesta en frecuencia

X s( ) G s( ) F s( )⋅=

G s( )F s( ) X s( )

Se puede demostrar que si f(t) se de la forma:

x(t) es de la forma:

f t( ) P ω t⋅( )sin⋅=

x t( ) xt t( ) xe t( )+=

con xe(t) en la forma: xe t( ) P G j ω⋅( ) ω t ϕ+⋅( )sin⋅ ⋅=

Respuesta transitoria

Respuesta estacionaria

ϕ Imag G j ω⋅( )( )Real G j ω⋅( )( )--------------------------------------------atan=Con

G j ω⋅( ) Sustitución de s por jω en G(s)



Representación de la respuesta en Frecuencia: Diagrama de Bode, Diagrama Polar

arg(G(jw))

|G(jw)|

w=0w=inf

G jw( )1

jw( )2

2 jw( ) 2+⋅+------------------------------------------------=

Se representa en el plano complejo el valor de G(jw) para cada frecuencia w

Se representa: - El valor del módulo de G(jw), expresado en db, frente al valor de la frecuencia - El valor de la fase de G(jw) frente al valor de la frecuencia

G jw( )3

jw( )2

jw( ) 9.5+( )+--------------------------------------------------=



4.6.- ANÁLISIS DE COMPORTAMIENTOS

Sistemas LinealesComportamiento Estable 8Punto de Equilibrio estable 8Estructura de relimentación negativa

Comportamiento Oscilatorio8Equilibrio Configuración de centro8Relimentación negativa: *Polos imaginarios puros

Comportamiento Inestable 8Punto de Equilibrio Inestable 8Estructura de relimentación positiva: *Círculos Viciosos*Círculos Virtuosos

D

T

+

_+

TR

P+

D

X

++

F+ D

X

_

_

F_

C_



Sistemas No LinealesComportamientos más complejos:

*Más de un punto de equilibrio*Alternancia de bucles de realimentación positiva y negativa

Ecuación Logística:

Otros Modelos: Despensación Críticatd

dx N M0 x0+–( ) x⋅– x2–=

Nacimientos

+

+Muertes+

_Población

Contagios

+

+Población Sana

+

_

Población Enferma



Puntos de Equilibrio en sistemas de 1er Orden No Lineales

Condiciones Iniciales: x(0)Pueden existir más de un punto de equilibrio

tddx

f x( )=

tddx

x

Punto de equilibrio estable

Punto de equilibrio inestable

Ejemplo:

tddx

B A+ x x2

–⋅=

x

tddx

Linealización en torno al equilibrio

ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de ...

Documents

Transcript of ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de ...