Instituto Tecnológico de Celaya

“Los choloescuincles”

Carlos Eli Martínez Pérez

Adriana Masetto Tejeda

Jesús Alejandro Serrano Campa

Víctor Felipe Martínez Pérez

Cutberto Serrano Gonzalez

Mecanismos de eslabones articulados

Los mecanismos más sencillos y utilizados son los de cuatro barras articuladas. En ingeniería mecánica un mecanismo de cuatro barras o cuadrilátero articulado es un mecanismo formado por tres barras móviles y una cuarta barra fija (por ejemplo, el suelo), unidas mediante nudos articulados (unión de revoluta o pivotes). Las barras móviles están unidas a la fija mediante pivotes. Usualmente las barras se numeran de la siguiente manera:

Barra 2. Barra que proporciona movimiento al mecanismo.Barra 3. Barra superior.Barra 4. Barra que recibe el movimiento.Barra 1. Barra imaginaria que vincula la unión de revoluta de la barra 2 con la unión de revoluta de la barra 4 con el suelo.

Análisis de posición de mecanismos de cuatro barras

La finalidad será determinar si los eslabones sujetos a rotación alrededor de un eje fijo son capaces de rotar 360°, de no ser así, definir sus ángulos de rotación. Para hacer más claro de lo que se está hablando usaremos como referencia el siguiente mecanismo de cuatro barras:

En el mecanismo anterior:

a1 es el marco o base (eslabón fijo).a2 es el eslabón de entrada o motriz (donde está el motor) puede girar completamente u oscilar.a3 es el eslabón acoplador.a4 es el eslabón de salida (seguidor) en cualquiera de los casos oscila.

Por último: Los ángulos θ2 y θ4 se definen de acuerdo a un círculo trigonométrico a partir de la línea que une a las revolutas fijas.Un eslabón de entrada o de salida podrá rotar si puede asumir la posición de 0° y 180°.

Clasificación de los mecanismos de cuatro barras en base a su rotación. Posiciones críticas.

Doble rotatorio: Es cuando el eslabón de entrada y de salida pueden ocupar la posición de 0° y 180°. Quiere decir que pueden rotar ángulos de 360°.

Rotatorio oscilatorio: Si uno de los eslabones de entrada o de salida pueden rotar 360° y el otro solo oscila.

Doble oscilatorio: Si ninguno de los eslabones de entrada y de salida pueden rotar 360°.

La rotabilidad de los eslabones de entrada y salida de un mecanismo, está íntimamente ligada a la aparición de ciertas posiciones conocidas como posiciones críticas.

Posición límite. Una posición límite para el eslabón de salida, en un mecanismo de cuatro barras, ocurre cuando el ángulo interior entre el eslabón acoplador y el de entrada es de 180◦ o 360◦; es decir, las revolutas M, A y B están en línea.

Posición de puntos muertos. Una posición de puntos muertos para el eslabón de salida, en un mecanismo de cuatro barras, ocurre cuando el ángulo interior entre el eslabón acoplador y el de salida es de 180◦ o 360◦las revolutas A, B y N están en línea.

Análisis de rotabilidad de un mecanismo de cuatro barras.

El objetivo de este análisis consiste en determinar las relaciones que deben satisfacer las longitudes de los eslabones de un mecanismo plano de cuatro barras a fin de que el mecanismo sea doble rotatorio; como un subproducto se mostraran las posiciones críticas que se producen cuando los eslabones de entrada o salida solo oscilan.

Condición para formar un ciclo

El eslabón más largo debe ser menor a la suma de los eslabones restantes:

AL<Ai.

Criterio de Grashof

Las condiciones de rotabilidad, deducidas en la sección anterior, son posteriores, cronológicamente hablando, al criterio de Grashof que igualmente permite clasificar a los mecanismos de cuatro barras, aun cuando no especifica en su caso, el número u clase de posiciones críticas. De acuerdo con el criterio de Grashof, los mecanismos de cuatro barras se dividen en dos clases:

Mecanismos de la Clase I.Pertenecen a esta clase, todos los mecanismos de cuatro barras que satisfacen la condición:

L + s ≤ p + q.Donde, L es la longitud del eslabón más largo, s es la longitud del eslabón más corto, p, q son las longitudes de los eslabones intermedios.Dentro de esta clase, I, los mecanismos se clasifican en:

Si el eslabón más corto, s, es el conductor o el conducido el mecanismo es rotatorio oscilatorio, donde es eslabón capaz de rotar es el más corto.Si el eslabón más corto es el fijo, el mecanismo es doble rotatorio.En cualquier otra situación el mecanismo es doble-oscilatorio, pero el eslabón acoplador puede rotar 360° respecto a ambos, el eslabón de entrada y el eslabón de salida.

Mecanismos de la clase II.

Pertenecen a esta clase, todos los mecanismos de cuatro barras que satisfacen la condición:

L +s > p + q.Todos los mecanismos de la clase II son doble oscilatorios, ninguno de los eslabones puede rotar 360°.

Condiciones de rotabilidad

En el caso de que se trate de un mecanismo de la clase 1 (L + s ≤ p + q) se aplican las condiciones de rotabilidad con el fin de obtener los ángulos de oscilación de los eslabones de entrada o de salida. Estas condiciones están descritas mediante las siguientes formulas:

1. Para que se cumpla que θ2=180 º tenemos que:

a3+a4≥a2+a1

Si no se cumple esta condición, el ángulo se obtiene mediante la relación:

θ2=arc cos [ a22+a12−(a3+a4 )2

2a2a1 ]

Triangulo para la determinación del punto muerto exterior.2. Para que se cumpla θ4=0 º la condición establece que:

a2+a3≥a1+a4

Si no se cumple esta condición, el ángulo se obtiene mediante la relación (ver figura 2):

θ4=arc cos[ (a2+a3 )2−a12−a4

2

2a4a1 ]

Determinación de la posición limite exterior.

3. Ahora para que θ2=0º tenemos que:

|a1−a2|≥ ¿a4−a3∨¿

Si no se cumple esta condición, el ángulo se obtiene mediante la relación:

θ2M=arc cos [ a22+a12−(a4−a3 )2

2a2a1 ]

Triangulo para la determinación del punto muerto interior.

4. Por último para que θ4=180 º la condición a cumplir es se da mediante:

|a1−a4|≥ ¿a3−a2∨¿

En caso de no cumplirse esta condición, el ángulo se obtiene mediante la relación:

θ4=arc cos[ (a2−a3 )2−a12−a4

2

2a4a1 ]

Determinación de la posición limite interior.

Cuando el mecanismo que estemos analizando resulte ser un doble oscilatorio o un rotatorio-oscilatorio, es conveniente determinar los ángulos de su posición espejo haciendo la resta de los 360° menos el ángulo resultante de las formulas que vimos anteriormente.

PROGRAMA

Para la obtención de manera más rápida, se mostrara un código en lenguaje C++, el cual tiene las siguientes características:

1. Pide las dimensiones de cada eslabón2. Dependiendo de los datos el programa dirá si es un mecanismo de 4

barras o si es una estructura.3. Una vez definido, obtendremos las siguientes características:

a) La clasificación del mecanismo según Grashof.b) La clasificación del mecanismo de acuerdo a sus condiciones de

rotabilidad, es decir si es Doble rotatorio, Rotatorio-Oscilatorio o Doble oscilatorio.

c) Mostrara los ángulos obtenidos de acuerdo a las condiciones de rotabilidad incluyendo la posición espejo

d) Resto_Grasof = (E1+E2+E3+E4)-(L+S);e) if((L+S)<=Resto_Grasof) f) {g) cout<<"\n\n *** MECANISMO DE CLASE I ***"; h) //

*******************************************************************************************************************************

i) if(S==E2&&E2<E4) j) { cout<<"\n\n *** ROTATORIO - OSCILATORIO ***\n";k) cout<<"\n\n ROTATORIO -------> ESLABON DE ENTRADA.";l) cout<<"\n OSCILATORIO -------> ESLABON DE SALIDA.\n";m) cout<<"\n\n TETA 2 = 0 - 360";n) if((E2+E3)>=(E1+E4)) Teta_Sal1 = 0;o) else Teta_Sal1 = acos(((pow((E2+E3),2))-((pow(E1,2))+(pow(E4,2))))/(2*E1*E4));p) if((pow((pow((E4-E1),2)),0.5))>=(pow((pow((E2-E3),2)),0.5))) Teta_Sal2 =

3.14159265359;q) else Teta_Sal2 = acos(((pow((E2-E3),2))-((pow(E1,2))+(pow(E4,2))))/(2*E1*E4)); r) Teta4_1 = (Teta_Sal1*180)/3.14159265359; s) Teta4_2 = (Teta_Sal2*180)/3.14159265359;

t) cout<<"\n TETA 4 = "<<Teta4_1<<" - "<<Teta4_2<<"\n";u) cout<<"\n\n *** POSICION ESPEJO ***\n";v) cout<<"\n\n TETA 2 = 0 - 360";w) cout<<"\n TETA 4 = "<<(360 - Teta4_2)<<" - "<<(360 - Teta4_1)<<"\n\n\n\n"; }x) //

*******************************************************************************************************************************

y) if(S==E4&&E4<E2)z) { cout<<"\n\n *** OSCILATORIO - ROTATORIO ***\n";aa) cout<<"\n\n OSCILATORIO -------> ESLABON DE ENTRADA.";bb) cout<<"\n ROTATORIO -------> ESLABON DE SALIDA.\n";cc) if((pow((pow((E1-E2),2)),0.5))>=(pow((pow((E3-E4),2)),0.5))) Teta_Ent1 = 0;dd) else Teta_Ent1 = acos(((pow(E1,2))+(pow(E2,2))-(pow((E4-E3),2)))/(2*E1*E2));ee) if((E4+E3)>=(E1+E2)) Teta_Ent2 = 3.14159265359;ff) else Teta_Ent2 = acos(((pow(E1,2))+(pow(E2,2))-(pow((E4+E3),2)))/(2*E1*E2)); gg) Teta2_1 = (Teta_Ent1*180)/3.14159265359; hh) Teta2_2 = (Teta_Ent2*180)/3.14159265359; ii) cout<<"\n\n TETA 2 = "<<Teta2_1<<" - "<<Teta2_2;jj) cout<<"\n TETA 4 = 0 - 360\n";kk) cout<<"\n\n *** POSICION ESPEJO ***\n";ll) cout<<"\n TETA 2 = "<<(360 - Teta2_2)<<" - "<<(360 - Teta2_1);mm) cout<<"\n TETA 4 = 0 - 360\n\n\n\n"; } nn) //

*******************************************************************************************************************************

oo) if(S==E1) pp) { cout<<"\n\n *** DOBLE ROTATORIO ***\n";qq) cout<<"\n\n ROTATORIO -------> ESLABON DE ENTRADA.";rr) cout<<"\n ROTATORIO -------> ESLABON DE SALIDA.\n";ss) cout<<"\n\n TETA 2 = 0 - 360";tt) cout<<"\n TETA 4 = 0 - 360\n";uu) cout<<"\n\n *** POSICION ESPEJO ***\n";vv) cout<<"\n\n TETA 2 = 0 - 360";ww) cout<<"\n TETA 4 = 0 - 360\n\n\n\n"; } xx) //

*******************************************************************************************************************************

yy) if(S==E3)zz) { cout<<"\n\n *** DOBLE OSCILATORIO ***\n";aaa) cout<<"\n\n OSCILATORIO -------> ESLABON DE ENTRADA.";bbb) cout<<"\n OSCILATORIO -------> ESLABON DE SALIDA.\n"; ccc) if((pow((pow((E1-E2),2)),0.5))>=(pow((pow((E3-E4),2)),0.5))) Teta_Ent1 = 0;ddd) else Teta_Ent1 = acos(((pow(E1,2))+(pow(E2,2))-(pow((E4-E3),2)))/(2*E1*E2));eee) if((E4+E3)>=(E1+E2)) Teta_Ent2 = 3.14159265359;fff) else Teta_Ent2 = acos(((pow(E1,2))+(pow(E2,2))-(pow((E4+E3),2)))/(2*E1*E2)); ggg) Teta2_1 = (Teta_Ent1*180)/3.14159265359; hhh) Teta2_2 = (Teta_Ent2*180)/3.14159265359; iii) cout<<"\n\n TETA 2 = "<<Teta2_1<<" - "<<Teta2_2; jjj) if((E2+E3)>=(E1+E4)) Teta_Sal1 = 0;kkk) else Teta_Sal1 = acos(((pow((E2+E3),2))-((pow(E1,2))+(pow(E4,2))))/(2*E1*E4));lll) if((pow((pow((E4-E1),2)),0.5))>=(pow((pow((E2-E3),2)),0.5))) Teta_Sal2 =

3.14159265359;mmm) else Teta_Sal2 = acos(((pow((E2-E3),2))-((pow(E1,2))+(pow(E4,2))))/(2*E1*E4)); nnn) Teta4_1 = (Teta_Sal1*180)/3.14159265359; ooo) Teta4_2 = (Teta_Sal2*180)/3.14159265359; ppp) cout<<"\n TETA 4 = "<<Teta4_1<<" - "<<Teta4_2<<"\n";qqq) cout<<"\n\n *** POSICION ESPEJO ***\n";rrr) cout<<"\n\n TETA 2 = "<<(360 - Teta2_2)<<" - "<<(360 - Teta2_1);sss) cout<<"\n TETA 4 = "<<(360 - Teta4_2)<<" - "<<(360 - Teta4_1)<<"\n\n\n\n"; } }

ttt) // *******************************************************************************************************************************

uuu) if((L+S)>Resto_Grasof) vvv) {www) cout<<"\n\n *** MECANISMO DE CLASE II ***";xxx) cout<<"\n\n *** DOBLE OSCILATORIO ***\n";yyy) cout<<"\n\n OSCILATORIO -------> ESLABON DE ENTRADA.";zzz) cout<<"\n OSCILATORIO -------> ESLABON DE SALIDA.\n"; aaaa) if((pow((pow((E1-E2),2)),0.5))>=(pow((pow((E3-E4),2)),0.5))) Teta_Ent1 = 0;bbbb) else Teta_Ent1 = acos(((pow(E1,2))+(pow(E2,2))-(pow((E4-E3),2)))/(2*E1*E2));cccc) if((E4+E3)>=(E1+E2)) Teta_Ent2 = 3.14159265359;dddd) else Teta_Ent2 = acos(((pow(E1,2))+(pow(E2,2))-(pow((E4+E3),2)))/(2*E1*E2)); eeee) Teta2_1 = (Teta_Ent1*180)/3.14159265359; ffff) Teta2_2 = (Teta_Ent2*180)/3.14159265359; gggg) cout<<"\n\n TETA 2 = "<<Teta2_1<<" - "<<Teta2_2; hhhh) if((E2+E3)>=(E1+E4)) Teta_Sal1 = 0;iiii) else Teta_Sal1 = acos(((pow((E2+E3),2))-((pow(E1,2))+(pow(E4,2))))/(2*E1*E4));jjjj) if((pow((pow((E4-E1),2)),0.5))>=(pow((pow((E2-E3),2)),0.5))) Teta_Sal2 =

3.14159265359;kkkk) else Teta_Sal2 = acos(((pow((E2-E3),2))-((pow(E1,2))+(pow(E4,2))))/(2*E1*E4)); llll) Teta4_1 = (Teta_Sal1*180)/3.14159265359; mmmm) Teta4_2 = (Teta_Sal2*180)/3.14159265359; nnnn) cout<<"\n TETA 4 = "<<Teta4_1<<" - "<<Teta4_2<<"\n";oooo) cout<<"\n\n *** POSICION ESPEJO ***\n";pppp) cout<<"\n\n TETA 2 = "<<(360 - Teta2_2)<<" - "<<(360 - Teta2_1);qqqq) cout<<"\n TETA 4 = "<<(360 - Teta4_2)<<" - "<<(360 - Teta4_1)<<"\n\n\n\n"; rrrr) }ssss) system("pause");tttt) system("cls"); break;

Ejemplos

Ejemplo 1: Mecanismo doble rotatorio.Considere el mecanismo plano de cuatro barras cuyas longitudes son: a1 = 22.5 cm; a2 = 47.5 cm; a3 = 41 cm; a4 = 55.5 cm.

Primero se determinará la clase del mecanismo empleando la condición de Grashof, esto es:

L + s <= p + qPara este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está dada por:

a4 = 55.5 = L; a1 = 22.5 = s; a3 = 41 = p; a2 = 47.5 = q.Por lo que, sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene

55.5 + 22.5<= 41 + 47.5 o 78 <=88.5Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase I, más aún, puesto que s = a1, se concluye que el mecanismo es doble rotatorio, el eslabón 2 y el eslabón 4 pueden realizar rotaciones completas.En una segunda etapa, se confirmará este resultado empleando las condiciones de rotabilidad y, adicionalmente, se determinarán las, posibles, posiciones críticas de los eslabones de entrada y de salida.

1.-Eslabón 2.Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exterior θ2M=180

o.a1 + a2 ≤ a3 + a4

Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene:22.5 + 47.5 ≤ 41 + 55.5

El eslabón 2 satisface esta primera condición de rotabilidad.

Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior θ2M=0

o.|a2 - a1| ≥ |a4 - a3|

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene|47.5 – 22.5 | ≥ |55.5 – 41|

El eslabón 2 satisface esta segunda condición de rotabilidad.

Por lo tanto, se verifica que este eslabón 2 puede girar 360°.

2. Eslabón 4.Tercera condición de rotabilidad. Posición limite exterior θ4L=0

o.

a4 + a1 ≤ a3 + a2Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene:

55.5 + 22.5 ≤ 41 + 47.5El eslabón 4 satisface esta primera condición de rotabilidad.

Cuarta condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior θ4L=180

o.|a1 – a4| ≥ |a3 – a2|

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene|22.5 – 55.5 | ≥ |41 – 47.5|

El eslabón 4 satisface esta segunda condición de rotabilidad.

Por lo tanto, se verifica que este eslabón 2 puede girar 360°.

Ejemplo 2: Mecanismo rotatorio-oscilatorio.Considere el mecanismo plano de cuatro barras cuyas longitudes son: a1 = 10; a2 = 2; a3 = 8; a4 = 6.

Primero se determinará la clase del mecanismo empleando la condición de Grashof, esto es:

L + s <= p + qPara este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios esta dada por:

a1 = 10 = L; a2 = 2 = s; a3 = 8 = p; a4 = 6 = q.Por lo que, sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene

10 + 2<= 8 + 6 o 12 <=14Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase I, más aún, puesto que s = a2, se concluye que el mecanismo es rotatorio-oscilatorio y el eslabón 2 puede realizar rotaciones completas.En una segunda etapa, se confirmará este resultado empleando las condiciones de rotabilidad y, adicionalmente, se determinarán las, posibles, posiciones criticas de los eslabones de entrada y de salida.

1.-Eslabón 2.Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exterior θ2M=180

o.a1 + a2 ≤ a3 + a4

Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene:10 + 2≤ 8 + 6

El eslabón 2 satisface esta primera condición de rotabilidad.

Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior θ2M=0

o.|a2 - a1| ≥ |a4 - a3|

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene|2 – 10| ≥ |6 – 8|

El eslabón 2 satisface esta segunda condición de rotabilidad.

Por lo tanto, se verifica que este eslabón 2 puede girar 360°.

2. Eslabón 4.Tercera condición de rotabilidad. Posición limite exterior θ4L=0

o.

a4 + a1 ≤ a3 + a2Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene:

6 + 10 ≤ 8 + 2El eslabón 4 no satisface esta primera condición de rotabilidad.

Por lo que obtendremos los ángulos de oscilación mediante la siguiente ecuación;

θ4=arc cos[ (a2+a3 )2−a12−a4

2

2a4a1 ]θ4=arc cos[ (2+8 )2−10❑

2−62

2 (6 ) (10 ) ]θ4=arc cos [ −0.3 ]θ4=107.458

o

θ4,=3600−107.458o

θ4,=252.520

Cuarta condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior θ4L=180

o.|a1 – a4| ≥ |a3 – a2|

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene|10 – 6| ≥ |8 – 2|

El eslabón 4 no satisface esta segunda condición de rotabilidad.

Por lo que obtendremos los ángulos de oscilación mediante la siguiente ecuación;

θ4=arc cos[ (a2−a3 )2−a12−a4

2

2a4a1 ]θ4=arc cos[ (2−8 )2−10❑

2−62

2 (6 ) (10 ) ]θ4=arc cos [ −0.8333 ]

θ4=146.443o

θ4,=3600−146.443o

θ4,=213.550

Por lo tanto, se verifica que este eslabón 2 no puede girar 360°.

Ejemplo 3: Mecanismo doble oscilatorio.Considere el mecanismo plano de cuatro barras cuyas longitudes son: a1 = 10 cm; a2 = 7 cm; a3 = 5 cm; a4 = 6 cm.

Primero se determinará la clase del mecanismo empleando la condición de Grashof:

L + s > p + q

Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está dada por:

a1 = 10 = L; a3 = 5 = s; a2 = 7 = p; a4 = 6 = q.

Por lo que, sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene10 + 5<= 7 + 6 o 15 > q3

Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase II, más aún, puesto que el eslabón de fijo no es el más corto, tampoco el de entrada ni el de salida, concluimos que será un mecanismo del tipo doble oscilatorio.

En una segunda etapa, se confirmará este resultado empleando las condiciones de rotabilidad y, adicionalmente, se determinarán las, posibles, posiciones críticas de los eslabones de entrada y de salida.

1.-Eslabón 2.Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exterior θ2M=180

o.a1 + a2 ≤ a3 + a4

Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene:10 + 7 ≤ 5 + 6

El eslabón 2 no satisface esta primera condición de rotabilidad.

Por lo que obtendremos los ángulos de oscilación mediante la siguiente ecuación;

θ2=arc cos [ a22+a12−(a3+a4 )2

2a2a1 ]θ2=arc cos [ 72+102−(5+6 )2

2 (10 ) (7 ) ]θ2=arc cos [ 0.2 ]θ2=78.463

o

θ2,=3600−78.463o

θ2,=281.5370

Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior θ2M=0

o.|a2 - a1| ≥ |a4 - a3|

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene|7 – 10 | ≥ |6 – 5|

El eslabón 2 satisface esta segunda condición de rotabilidad.

2. Eslabón 4.Tercera condición de rotabilidad. Posición limite exterior θ4L=0

o.

a4 + a1 ≤ a3 + a2

Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene:6 + 10 ≤ 5 + 7

El eslabón 4 no satisface esta primera condición de rotabilidad.

Por lo que obtendremos los ángulos de oscilación mediante la siguiente ecuación;

θ4=arc cos[ (a2+a3 )2−a12−a4

2

2a4a1 ]θ4=arc cos[ (7+5 )2−10❑

2−62

2 (6 ) (10 ) ]θ4=arc cos [ 0.066667 ]

θ4=86.174o

θ4,=3600−86.174o

θ4,=273.8230

Cuarta condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior θ4L=180

o.|a1 – a4| ≥ |a3 – a2|

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene|10 – 6| ≥ |5 – 7|

El eslabón 4 satisface esta segunda condición de rotabilidad.

Por lo tanto, se verifica que este eslabón 2 puede girar 360°.