Análisis de Markov

Cuál es el fundamento matemático de ese método?

El análisis de Markov es un procedimiento que se utilizar para describir el

comportamiento de un sistema en una situación donde confluyen varias variables,

prediciendo los movimientos del sistema entre diferentes posibles estados en un tiempo

determinado. El análisis Markoviano o proceso de Markov está formado por un conjunto

de objetos y un conjunto de estados. Si el número de estados es contable tal proceso de

Markov se denomina Cadena de Markov.

Una cadena de Markov es una secuencia de n experimentos en la que cada experimento

consta de m resultados o estados posibles E1, E2,… En y la probabilidad de que ocurra

un resultado particular depende únicamente de la probabilidad del resultado del

experimento anterior. La probabilidad de transición p ij es la probabilidad de que el

experimento pase del estado Ei al estado Ei . Así, p ij es una probabilidad condicional

que se puede expresar como pij= PEi /Ej ; 1i, jm.. Si los índices i, j de pij

representan el número de renglón y el número de columna, respectivamente, entonces

las probabilidades de transición se pueden colocar en una matriz P de probabilidades de

transición, cuyos elementos son no negativos y menores o iguales a 1.

Cualquier renglón suma 1, y representa la probabilidad de pasar de una estado a otro.

(1)

Cuáles son sus principales campos de uso

Las predicciones en base al análisis de Markov son de suma importancia para el manejo

de sistemas y procesos en todo tipo de organizaciones, pudiendo ser utilizada para

ayuda en la toma de decisiones con respecto al movimiento de personal, inventarios,

comportamiento de clientes, etc

c) Un ejemplo de aplicación

El fabricante de dentífrico Brillo controla actualmente 60% del mercado de una ciudad.

Datos del año anterior muestran que :el 88% de consumidores de Brillo continúan

utilizándola, mientras que el 12% de los usuarios de Brillo cambiaron a otras marcas. El

85% de los usuarios de la competencia permanecieron leales a estas otras marcas,

mientras que el 15% cambió a Brillo. Definir la matriz de transición y el vector inicial de

distribución.

Desarrollo

Se considera como estado 1 al consumo de dentífrico Brillo y al estado 2 como el

consumo de una marca de la competencia. Entonces,

p11 , probabilidad de que un consumidor de Brillo permanezca leal a Brillo, es

0.88.

p12 , la probabilidad de que un consumidor de brillo cambie a otra marca, es de

0.12

p21 , probabilidad de que el consumidor de otra marca cambie a brillo, es de 0.15

p22 , probabilidad de que un consumidor permanezca leal a la competencia, es de

0.85

La matriz de transición es: (■(0.88&0.12@0.15&0.85))

El vector inicial de distribución de probabilidad es X^((O)0.60,0.40 donde los

componentesp_1^((0)yp_2^((0)representan las proporciones de personas

inicialmente en los estados 1 y 2, respectivamente. (1)

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CURSOS EDGAR CARRERA

 

 

Procesos de MarkovMétodos Cuantitativos

                    PROCESOS DE MARKOV

Los modelos de procesos de Markov, también se llaman procesos markovianos

 

Usos de los procesos de Markov

Operativilidad de maquinaria

–     Una máquina que funcione en el siguiente periodo.

Fidelidad del consumidor

–    Que la clientela permanezca o cambie de proveedor

Análisis de cuentas por cobrar

Cambio de estados en los negocios.

buscar...

Markov y la Toma de Decisiones

En situaciones que impliquen una secuencia de ensayos con una cantidad finita de estados

posibles en cada ensayo.

Situaciones de competencia por adquisición de clientela o permanencia en el mercado.

Situaciones de estados absorbentes como en las cuentas por cobrar las cuentas incobrables.

En eventos donde la información se considera al azar o que pertenece a “estados de suerte”

Markov Proporciona

Información acerca de la probabilidad de cada estado después de una gran cantidad de

transiciones o periodos.

Probabilidades a lo largo del tiempo o el estado en el que terminarán los acontecimientos.

Idea del camino a tomar para alcanzar objetivos y metas.

 

DEFINICIONES IMPORTANTES

Estados del proceso, también llamados Ensayos, son eventos que desencadenan transiciones del

sistema de un estado a otro.

Estado del Sistema: Condición del sistema en cualquier ensayo o periodo particular

Probabilidad de Transición: Es la probabilidad de que el sistema pase al estado siguiente.

Probabilidad de Estado: Probabilidad de que el sistema se encuentre en un estado determinado.

Probabilidad de Estado Estable: La probabilidad de que el sistema termine en alguna estado en

particular después de un gran numero de transiciones.

Estado Absorbente: Cuando no hay posibilidad de salir de ese estado, si ha alcanzado ese estado

allí permanecerá.

•Matriz Fundamental: Tabla de probabilidades asociadas con los estados y sus transiciones en

un proceso de Markov.

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PROCESO DE MARKOV

escrito por Julio Humberto Guevara Fajardo, mayo 09, 2010

PROCESOS DE MARKOV: 

Se dice que los procesos de MARKOV, son útiles para estudiar la evolución de sistemas a lo largo

de ensayos repetidos, los que, a menudo son periodos sucesivos donde el estado del sistema en

cualquier periodo particular no pueden determinarse con certeza. Por ello, para describir la

manera en que el sistema cambia de un periodo al siguiente se emplean probabilidades de

transición. 

Los procesos de MARKOV, son también llamados Markovianos, que pueden usarse para describir

la probabilidad de que una maquina esta funcionando en un período continuará funcionando en

siguiente período (o se estropeará). También pueden usarse los modelos para describir la

probabilidad de que un consumidor que compra la marca A, en un período compre la marca B en

el siguiente periodo. 

Principio de Markov: 

Cuando una probabilidad condicional depende únicamente del suceso inmediatamente anterior,

cumple con el Principio de Markov de Primer Orden, es decir. 

Definiciones en los Procesos de Markov de Primer Orden: 

Estados: Las condiciones en las cuales se encuentra un ente ó sucesos posibles. 

Ensayos: Las ocurrencias repetidas de un evento que se estudia. 

Probabilidad de Transición: La probabilidad de pasar de un estado actual al siguiente en un

período ó tiempo, y se denota por p¬ij ( la probabilidad de pasar del estado i al estado j en una

transición ó período) 

Características de los Procesos de Markov de Primer Orden: 

Se pueden usar como modelo de un proceso físico ó económico que tenga las siguientes

propiedades: 

a)Que la probabilidad cumpla con el principio de Markov. 

b)Existencia de un número finito de estados. 

c)Las p¬ij son constante con respecto al tiempo ó período. 

d)Ensayos en períodos iguales. 

Si un suceso depende de otro además del inmediatamente anterior, este es un proceso de

Markov de mayor orden. Por ejemplo, Un proceso de segundo orden describe un proceso en el

cual el suceso depende de los dos sucesos anteriores. Los procesos de Markov también se les

llama Cadenas de Markov. 

Notaciones que utilizaremos: 

p¬ij = probabilidad de transición en un período. 

P = [p¬ij]nxn matriz de transición formada por los valores de p¬ij , donde cada fila representa el

estado inicial donde se parte y las columna el estado al que se ira en un período. 

Representa la probabilidad de ir del estado i al estado j en k períodos. 

P(k)=[ ]nxn la matriz de transición de k períodos. 

Si(t) = probabilidad de encontrarse en el estado i en el período t. 

S(t) =(S1(t) , S2(t) , . . . . , Sn(t)) vector de probabilidad de estado en el período t. Para n

estados. 

Los sucesos que cumplan con un proceso de Markov, se pueden representar por medio de un

esquema donde los nodos indique los estados y arcos dirigidos de nodo a nodo con un número

que representa la probabilidad de transición de ir de un estado a otro, ó por medio de una

matriz de transición. 

Ejemplo: 

Para calcular: 

= p11.p11+ p12.p21+ p13.p31 

= 0,2.0,2+0,3.0,3+0,5.0,2 = 0,23 

= p11.p12+ p12.p22+ p13.p32 

= 0,2.0,3+0,3.0,4+0,5.0,4 = 0,38 

= p11.p13+ p12.p23+ p13.p33 

= 0,2.0,5+0,3.0,3+0,5.0,4 = 0,39 

luego + + =1 

Otra forma es usando el vector de probabilidades y la matriz de transición, es decir: 

S(0) = (1, 0, 0) S(1) = S(0).P = (0,2; 0,3; 0,5) 

S(2) =S(1).P =(0,23; 0,38; 0,39) 

Análisis de cuentas por cobrar: 

Una aplicación de contabilidad en la que los procesos de Markov han producido resultados útiles

implica una estimación de la reserva para cuentas por cobrar de dudosa recuperación o,

simplemente, dudosas. Esta reserva es una estimación del a cantidad de cuentas por cobrar que

al final demostraran ser incobrables. 

Matriz fundamental y cálculos asociados: 

Siempre que un proceso de Markov tiene estados absorbentes no calculamos probabilidades de

estado estable debido que cada unidad final de cuentas termina en uno de los estados

absorbentes. 

El cálculo de las probabilidades de estado absorbente requiere la determinación y uso de lo que

se le llama matriz fundamental. La lógica matemática que subyace en la matriz fundamental

esta fuera del alcance de este texto. Sin embargo 

Probabilidad de estado estable: 

Es la probabilidad de que el sistema esté en cualquier estado particular. (Es decir, π! (n) es la

probabilidad de que es sistema esté en el estado j durante el siguiente período. 

-1

TOMA DE DECISIONES

escrito por Julio Humberto Guevara Fajardo, mayo 09, 2010

TOMA DE DECISIONES: 

El análisis de toma de decisiones puede usarse para desarrollar una estrategia óptima cuando el

tomador de decisiones se enfrenta con varias alternativas de decisión y una incertidumbre o

patrón de eventos futuros llenos de riesgos. 

La toma de decisiones se puede decir que es la selección de un curso de acción entre varias

alternativas por lo tanto constituye la base de la planeación. La administración es le ejercicio de

dar forma de manera, consciente y constante a las organizaciones y el arte de tomar decisiones

es medular para ello. Como anteriormente se menciono la toma de decisiones, identificación y

elección de un curso de acción para tratar un problema concreto o aprovechar una oportunidad. 

Esta constituye una parte importante en la labor de todo gerente, sobra decir que todos

tomamos decisiones, lo que diferencia el ejercicio de esta en la administración es la atención

sistemática y especializada que los gerentes o administradores prestan a la misma. 

La toma de decisiones esta relacionada a un problema, dificulta o conflicto. Por medio de la

decisión y ejecución se espera obtener respuestas a un problema o solución a un conflicto. 

Formulación del problema: 

Es el primer paso en el proceso de análisis de decisiones es la formulación del problema,

comenzando con una declaración verbal de éste. Luego se identifican las alternativas de

decisión, los eventos futuros inciertos, conocidos como eventos futuros fortuitos, y las

consecuencias o resultados asociados con cada alternativa de decisión y cada evento fortuito. 

Diagrama de influencia: 

El diagrama de influencia es una herramienta grafica que muestra las relaciones entre las

decisiones, los eventos al azar u las consecuencias para un problema de decisión. Los nodos en

un diagrama de influencia se usan para reparar las decisiones, los eventos fortuitos y las

consecuencias. Se emplean rectángulos para o cuadrados para describir los nodos de decisión,

círculos u óvalos para describir los nodos fortuitos y rombos para describir los nodos de

secuencia. 

Tablas de resultados: 

En el análisis de decisiones, nos referimos a la secuencia resultante de una combinación

específica de una alternativa de decisión y un estado de la naturaleza como un resultado o

consecuencia. La tabla que muestra los resultados para todas las combinaciones de las

alternativas de decisión y los estados de la naturaleza, es una tabla de resultados. 

Árbol de decisión: 

El árbol de decisión nos proporciona una representación grafica del proceso de toma de

decisiones. 

Los árboles de decisión proveen un método efectivo para la toma de decisiones debido a que: 

Claramente plantean el problema para que todas las opciones sean analizadas. 

Permiten analizar totalmente las posibles consecuencias de tomar una decisión. 

Proveen un esquema para cuantificar el costo de un resultado y la probabilidad de que suceda. 

Nos ayuda a realizar las mejores decisiones sobre la base de la información existente y de las

mejores suposiciones. 

CÓMO DIBUJAR UN ÁRBOL DE DECISIONES 

Para comenzar a dibujar un árbol de decisión debemos escribir cuál es la decisión que

necesitamos tomar. Dibujaremos un recuadro para representar esto en la parte izquierda de una

página grande de papel. 

Desde este recuadro se deben dibujar líneas hacia la derecha para cada posible solución, y

escribir cuál es la solución sobre cada línea. Se debe mantener las líneas lo más apartadas

posibles para poder expandir tanto como se pueda el esquema. 

Al final de cada línea se debe estimar cuál puede ser el resultado. Si este resultado es incierto,

se puede dibujar un pequeño círculo. Si el resultado es otra decisión que necesita ser tomada, se

debe dibujar otro recuadro. Los recuadros representan decisiones, y los círculos representan

resultados inciertos. Se debe escribir la decisión o el causante arriba de los cuadros o círculos. Si

se completa la solución al final de la línea, se puede dejar en blanco. 

Comenzando por los recuadros de una nueva decisión en el diagrama, dibujar líneas que salgan

representando las opciones que podemos seleccionar. Desde los círculos se deben dibujar líneas

que representen las posibles consecuencias. Nuevamente se debe hacer una pequeña

inscripción sobre las líneas que digan que significan. Seguir realizando esto hasta que tengamos

dibujado tantas consecuencias y decisiones como sea posible ver asociadas a la decisión

original. 

Un ejemplo de árbol de decisión se puede ver en la siguiente figura: 

+1

Definiciones de términos en los procesos de Markov

escrito por Maria de los Angeles Garzona Castañeda, mayo 10, 2010

Ensayos del proceso: Eventos que desencadenan las transiciones del sistema de un estado a

otro. En muchas aplicaciones, los períodos sucesivos representan los ensayos del proceso. 

Estado del sitema: Condición en cualquier ensayo o período particular. 

Probabilidad de estado: Probabilidad de que el sistema esté en cualquier estado en particular. 

Probabilidad de estado estable: Probabilidad de que el sistema esté en cualquier estado en

particular después de un número grande de transiciones. Una vez que se ha alcanzado el estado

estable, la probabilidades de estado no cambian de un período a otro. 

Estado absorbente: Se dice que un estado es absorbente si la probabilidad de hacer una

transición para salir de ese estado es cero. Por tanto, una vez que el sistema ha hecho una

transición a un estado absorbente, permanecerá ahí. 

Matriz fundamental: Matriz necesaria para el cálculo de probabilidades asociadas con los

estados absorbentes de unproceso de Markov.

+0

...

escrito por Marina Elizabeth España Rosales 00-8440, mayo 12, 2010

PROCESOS DE MARKOV 

Una cadena de Márkov, que recibe su nombre del matemático ruso Andrei Andreevitch Markov

(1856-1922), es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento

depende del evento inmediato anterior. 

Cuando una probabilidad condicional depende únicamente del suceso inmediatamente anterior,

cumple con el Principio de Markov de Primer Orden. 

Las cadenas de Markov son una herramienta para analizar el comportamiento y el gobierno de

determinados tipos de procesos estocásticos, esto es, procesos que evolucionan de forma no

determinada a lo largo del tiempo en torno a un conjunto de estados. 

Una cadena de Markov, por tanto, representa un sistema que varía su estado a lo largo del

tiempo, siendo cada cambio una transición del sistema. 

Definiciones en los Procesos de Markov de Primer Orden: 

Estados: Las condiciones en las cuales se encuentra un ente ó sucesos posibles. 

Ensayos: Las ocurrencias repetidas de un evento que se estudia. 

Probabilidad de Transición: La probabilidad de pasar de un estado actual al siguiente en un

período ó tiempo, y se denota por p¬ij (la probabilidad de pasar del estado i al estado j en una

transición ó período) 

Características de los Procesos de Markov de Primer Orden: 

Se pueden usar como modelo de un proceso físico ó económico que tenga las siguientes

propiedades: 

a)Que la probabilidad cumpla con el principio de Markov. 

b)Existencia de un número finito de estados. 

c)Las p¬ij son constante con respecto al tiempo ó período. 

d)Ensayos en períodos iguales. 

Matrices de Probabilidad de Transición: 

La forma más cómoda de expresar la ley de probabilidad condicional de una cadena de Markov

es mediante la llamada matriz de probabilidades de transición P, o más sencillamente, matriz de

la cadena. 

Dicha matriz es cuadrada con tantas filas y columnas como estados tiene el sistema, y los

elementos de la matriz representan la probabilidad de que el estado próximo sea el

correspondiente a la columna si el estado actual es el correspondiente a la fila. 

Como el sistema debe evolucionar de t a alguno de los n estados posibles, las probabilidades de

transición cumplirán con la propiedad siguiente: 

n 

∑ Pij = 1 

J= 1 

Además, por definición de probabilidad, cada una de ellas ha de ser no negativa: 

Pij ≥ 0 

Cuando las Pij cumplen las propiedades arriba indicadas, la matriz P es una matriz estocástica:

la suma de valores de las filas de la matriz será siempre igual a 1(la suma de los valores de la

columna no tienen ninguna propiedad especial) 

+0

PROCESOS DE MARKOV

escrito por Ana Marcela Ramos Fajardo 99-5399, mayo 12, 2010

ANALISIS DE CUENTAS POR COBRAR 

Una aplicación de contabilidad en la que los procesos de Markov han producido resultados útiles

implica la estimación de la reserva para cuentas por cobrar de dudosa recuperación o,

simplemente dudosas. Esta reserva es una estimación de la cantidad de cuentas por cobrar que

al final demostrarán ser incobrables. 

Veamos cómo podemos considerar la operación de cuentas por cobrar como un proceso de

Markov. Primero, concétrese en lo que le sucede en la actualidad a un dólar en las cuentas por

cobrar. Conforme la firma continúe operando en el futuro, podemos considerar cada semana

como un ensayo de un proceso de Markov con un dólar existente en uno de los siguientes

estados del sistema. 

Estado 1. Categoría pagado 

Estado 2. Categoría deuda incobrable 

Estado 3. Categoría 0-30 días 

Estado 4. Categoría 31-90 

Por tanto, podemos rastrear el estado semana a semana de un dólar usando un análisis de

Markov para identificar el estado del sistema en una semana o periodo particular. 

+4

Cadenas de Markov

escrito por Nancy Veraliz Cervantes Lemus, mayo 12, 2010

CADENAS DE MARKOV 

1.¿Qué es cadena de Markov? 

Es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento

inmediato anterior. 

2.En los negocios, ¿para que se han utilizado las cadenas de markov? 

Para analizar patrones de compra de los consumidores, para pronosticar las concesiones por

deudores morosos, para planear las necesidades de personal y para analizar el reemplazo de

equipo. 

3.¿Qué característica deben de tener los eventos para que puedan representarse a través de

una cadena de markov? 

Deben de tener memoria. 

4.¿Qué es necesario para describir completamente una cadena de markov? 

Es necesario saber el estado actual y todas las probabilidades de transición. 

5.¿Cómo se denomina la forma gráfica para describir una cadena de markov? 

Diagrama de estados. 

6.¿Con qué nombre se conoce a la probabilidad de estar en un estado y pasar a otro en una

cadena de markov? 

Probabilidad de transición. 

7.La probabilidad condicional o de transición de moverse de un estado ¿cómo se indica en un

diagrama de estados? 

A través de líneas con sentido que comunica a los estado entre ellos o si mismos. 

8.En un diagrama de estados, cuando no se marcan las flechas de transición, ¿qué significa? 

Que su probabilidad es cero. 

9.Además del método gráfico, ¿qué otro método se puede utilizar para exhibir las probabilidades

de transición? 

Usar una matriz de transición. 

10.¿Qué condición deben cumplir las filas o renglones de una matriz de transición? 

Sumar uno. 

11.¿Qué es análisis de transición? 

Es útil para pronosticar el estado del sistema después de 1, 2 o más periodos. 

12.¿Qué es estado estable? 

Las cadenas de Harkov poseen una propiedad notable en cuanto a que tienden a aproximarse a

lo que se llama estado estable. Generalmente después de unos cuantos ciclos, las

probabilidades de estado comienzan a asentarse o estabilizarse. Cuando una cadena de Harkov

ha llegado lo suficientemente lejos como para estar cerca de estos límites, se dice que ha

alcanzado un estado estable. Además, estos límites son los mismos, independientemente del

punto de partida del sistema. 

+1

Un modelo oculto de Márkov

escrito por Julio César Padilla Mejia, mayo 13, 2010

Un modelo oculto de Márkov 

o HMM (por sus siglas del inglés, Hidden Markov Model) es un modelo estadístico en el que se

asume que el sistema a modelar es un proceso de Márkov de parámetros desconocidos. El

objetivo es determinar los parámetros desconocidos (u ocultos, de ahí el nombre) de dicha

cadena a partir de los parámetros observables. Los parámetros extraídos se pueden emplear

para llevar a cabo sucesivos análisis, por ejemplo en aplicaciones de reconocimiento de

patrones. Un HMM se puede considerar como la red bayesiana dinámica más simple. 

Los modelos ocultos de Márkov son especialmente aplicados a reconocimiento de formas

temporales, como reconocimiento del habla, de escritura manual, de gestos, etiquetado

gramatical o en bioinformática. 

Los modelos ocultos de Márkov fueron descritos por primera vez en una serie de artículos

estadísticos por Leonard E. Baum y otros autores en la segunda mitad de la década de 1960.

Una de las primeras aplicaciones de HMMs fue reconocimiento del habla, comenzando en la

mitad de la década de 1970.1 

En la segunda mitad de la década de 1980, los HMMs comenzaron a ser aplicados al análisis de

secuencias biológicas, en particular de DNA. Desde entonces, se han hecho ubicuos en el campo

de la bioinformática.2 

Ejemplo de utilización [editar] 

Imagínese que tiene un amigo que vive lejos y con quien habla a diario por teléfono acerca de lo

que hizo durante el día. A su amigo le interesan tres actividades: caminar por la plaza, salir de

compras y limpiar su departamento. Lo que su amigo hace depende exclusivamente del estado

del tiempo en ese día. Usted no tiene información clara acerca del estado del tiempo donde su

amigo vive, pero conoce tendencias generales. Basándose en lo que su amigo le dice que hizo

en el día, usted intenta adivinar el estado del tiempo. 

Supóngase que el estado del tiempo se comporta como una cadena de Márkov discreta. Existen

dos estados, "Lluvioso" y "Soleado", pero usted no los puede observar directamente, es decir,

están ocultos. Existe también una cierta posibilidad de que su amigo haga una de sus

actividades cada día, dependiendo del estado del tiempo: "caminar", "comprar" o "limpiar".

Dado que su amigo le cuenta sus actividades del día, esas son las observaciones. El sistema

completo es un modelo oculto de Márkov. 

Usted conoce las tendencias generales del tiempo en el área y lo que a su amigo le gusta hacer.

En otras palabras, los parámetros del HMM son conocidos. Pueden escribirse usando el lenguaje

de programación Python: 

estados = ('Lluvioso', 'Soleado') 

observaciones = ('caminar', 'comprar', 'limpiar') 

probabilidad_inicial = {'Lluvioso': 0.6, 'Soleado': 0.4} 

probabilidad_transicion = { 

'Lluvioso' : {'Lluvioso': 0.7, 'Soleado': 0.3}, 

'Soleado' : {'Lluvioso': 0.4, 'Soleado': 0.6}, 

} 

probabilidad_emision = { 

'Lluvioso' : {'caminar': 0.1, 'comprar': 0.4, 'limpiar': 0.5}, 

'Soleado' : {'caminar': 0.6, 'comprar': 0.3, 'limpiar': 0.1}, 

} 

En esta porción de código se tiene: 

La probabilidad_inicial que representa el estado en el que usted cree que se encuentra el HMM

la primera vez que su amigo lo llama (es decir, sabe que es un poco más probable que esté

lluvioso). La distribución de probabilidades que se usó aquí no es la de equilibrio, que es (dadas

las probabilidades de transición) aproximadamente {'Lluvioso': 0.571, 'Soleado': 0.429}. 

La probabilidad_transicion representa el cambio del tiempo en la cadena de Márkov por detrás

del modelo. En este ejemplo, hay un 30% de probabilidad de que mañana esté soleado si hoy

llovió. 

La probabilidad_emision representa con cuanta probabilidad su amigo realiza una actividad

determinada cada día. Si llueve, hay un 50% de probabilidad de que esté limpiando su

departamento; si hay sol, hay un 60% de probabilidades de que haya salido a caminar. 

+0

EJEMPLO DE APLICACIÓN DE PROCESO MARKOV

escrito por Carlo Fernando Ortega Pinto, mayo 14, 2010

PROCESOS MARKOV 

Ejemplo de aplicación: 

Un experto en mercadeo está interesado en analizar la participación en el mercado y lealtad del

cliente para Comercial Córdova y Bazar Europa. Para el efecto se recopiló datos de 100

compradores de la ciudad de Chiquimula a lo largo de un periodo de 10 semanas. 

Se supone que estos datos muestran el patrón de viajes de compras semanales de cada cliente

en función de la secuencia de visitas a Comercial Córdova y Bazar Europa. Para el efecto se

toman en cuenta los datos del periodo anterior. Al revisar los datos, suponga que encontramos

que de todos los clientes que compraron en Comercial Córdova en una semana dada, 80%

compro en Comercial Córdova la siguiente semana, mientras 20% cambio a Bazar Europa.

Suponga que datos similares para los clientes que compraron en Bazar Europa en una semana

dada muestran que 70% compro en Bazar Europa la siguiente semana, mientras 30% cambio a

Comercial Córdova. 

A partir de lo anterior establecer las probabilidades de transición a través del método de

markov. 

Probabilidades de transición para las tiendas Comercial Córdova y Bazar Europa 

Periodo de Compra Siguiente periodo de compra semanal 

Semanal actual Comercial Córdova Bazar Europa 

Comercial Córdova 0.80 0.20 

Bazar Europa 0.30 0.70 

P =P11 P12 0.80 0.20 

P21 P22 0.30 0.70 

Con la matriz de probabilidades podemos determinar la probabilidad de que un cliente visite

Comercial Córdova o Bazar Europa en algún periodo del futuro. 

Suponiendo que tenemos un cliente cuyo último viaje de compras fue a Comercial Córdova.

¿Cuál es la probabilidad de que este cliente compre en Comercial Córdova en el siguiente viaje

semanal, periodo 1? 

Con un diagrama de árbol se puede describir dos viajes de compras semanales de un cliente que

compro la última vez en Comercial Córdova. A continuación se observa el recorrido: 

Semana 1 Semana 2 Probabilidad de cada patrón en 2 semanas 

Cliente que compro 0.80 0.80 Córdova (0.80) (0.80) = 0.64 

La última vez en 0.20 Bazar Europa (0.80) (0.20) = 0.16 

Comercial Córdova 

0.20 0.30 Córdova (0.20) (0.30) = 0.06 

0.70 Bazar Europa (0.20) (0.70) = 0.14 

{π1(1) π2(1)} = {π1(0) π2(0)} (P11 P12) 

(P21 P22) 

= (0.80 0.20) 

(0.30 0.70)(0.70 0.30) 

La probabilidad de comprar en Comercial Córdova durante la segunda semana es del 70%

(0.70), mientras la probabilidad de comprar en Bazar Europa durante la segunda semana es de

30% (0.30). 

+0

PROCESOS DE MARKOV

escrito por Zully Amarilis Morales Solís, mayo 14, 2010

ESTADOS Y PROBABILIDADES DE ESTADO 

Los estados se utilizan para identificar todas las condiciones posibles de un proceso o de un

sistema. Por ejemplo, una máquina puede encontrarse en uno de dos estados en un momento

dado. Puede funcionar correctamente o puede no funcionar correctamente. Se puede llamar a la

operación correcta de la máquina el primer estado, y al funcionamiento incorrecto el segundo

estado. En realidad es posible identificar estados específicos de muchos procesos y sistemas. Si

solo existen tres tiendas de abarrotes en un pueblo pequeño, en un momento dado un residente

puede ser cliente de cualquiera de las tres. Si los estudiantes pueden tomar una de tres

especializaciones dentro del área de administración (digamos ciencia administrativa, sistemas

de información administrativa o administración general), cada una de estas área puede ser

considerada un estado. 

En el análisis de Markov también se supone que los estados son tanto colectivamente

exhaustivos como mutuamente excluyentes. Colectivamente exhaustivo significa que puede

confeccionar una lista que contenga todos los estados posibles de un sistema o proceso. Nuestra

presentación del análisis de Markov supone que existe un número finito de estados de cualquier

sistema. Mutuamente excluyente significa que un sistema solo estar en un estado en un

momento dado. Un estudiante solo puede estar en una de tres áreas de especialización

administrativa y no en dos o más áreas al mismo tiempo. También significa que una persona

solo puede ser cliente de una de tres tiendas de abarrotes en un momento dado. 

Una vez que se han identificado los estados, el siguiente paso es determinar la probabilidad de

que el sistema se encuentre en un estado particular. Tal información se coloca entonces en un

vector de probabilidades de estado. 

π (i)= vector de probabilidades de estado del periodo i 

= (π1, π2, π3, . . . πn) 

Donde 

N= numero de estados. 

π1, π2, π3, . . . πn= Probabilidad de encontrarse en el estado 1, estado 2, … estado n 

En algunos casos, enlos que se maneja un solo artículo, como una sola máquina, es posible

saber con completa certeza en que estado se encuentra el articulo. Por ejemplo, si se esta

investigando sólo una máquina, se podría saber que en este momento del tiempo la máquina

funciona correctamente. En este caso, el vector de los estados puede representarse de la

siguiente forma: 

π(1)= (1,0) 

Donde 

π (1)= vector de estados de la máquina en el periodo 1 

π1= 1= probabilidad de encontrarse en el primer estado. 

π2=0= probabilidad de encontrarse en el segundo estado. 

Esto muestra que la probabilidad de que la maquina funcione correctamente (estado)1 es 1, y la

probabilidad de que la máquina funcione incorrectamente (estado 2) es de 0, en el primer

periodo. Sin embargo en la mayoría los casos, se maneja mas de un articulo. 

+1

...

escrito por Karen Celeste Sagastume Ramírez, mayo 14, 2010

PROCESOS DE MARKOV 

Principio de Markov: 

Cuando una probabilidad condicional depende únicamente del suceso inmediatamente anterior,

cumple con el Principio de Markov de Primer Orden, es decir. 

Definiciones en los Procesos de Markov de Primer Orden: 

Estados: Las condiciones en las cuales se encuentra un ente ó sucesos posibles. 

Ensayos: Las ocurrencias repetidas de un evento que se estudia. 

Probabilidad de Transición: La probabilidad de pasar de un estado actual al siguiente en un

período ó tiempo, y se denota por pij ( la probabilidad de pasar del estado i al estado j en una

transición ó período) 

Características de los Procesos de Markov de Primer Orden: 

Se pueden usar como modelo de un proceso físico ó económico que tenga las siguientes

propiedades: 

a)Que la probabilidad cumpla con el principio de Markov. 

b)Existencia de un número finito de estados. 

c)Las pij son constante con respecto al tiempo ó período. 

d)Ensayos en períodos iguales. 

Si un suceso depende de otro además del inmediatamente anterior, este es un proceso de

Markov de mayor orden. Por ejemplo, Un proceso de segundo orden describe un proceso en el

cual el suceso depende de los dos sucesos anteriores. 

Los procesos de Markov también se les llama Cadenas de Markov. 

Ejemplo: 

0.2 0.3 0.5 

0.3 0.4 0.3 

0.2 0.4 0.4 

Para calcular: 

P(11)2= P(X(2)= 1/X(0) = 1)= p11.p11+p12.p21+p13.p31 

= 0,2.0,2+0,3.0,3+0,5.0,2= 0,23 

P(12)2= P(X(2)= 2/X(0) = 1)= p11.p12+p12.p22+p13.p32 

= 0,2.0,3+0,3.0,4+0,5.0,4= 0,38 

P(13)2= P(X(2)= 3/X(0) = 1)= p11.p13+p12.p23+p13.p33 

= 0,2.0,5+0,3.0,3+0,5.0,4= 0,39 

0,23+0,38+0,39= 1 

Otra forma es usando el vector de probabilidades y la matriz de transición, es decir: 

S(0) = (1, 0, 0) 

S(1) = S(0).P = (0,2; 0,3; 0,5) 

S(2) =S(1).P =(0,23; 0,38; 0,39) 

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Procesos de Markov

escrito por Amilcar Villeda - 3228 00 1139, mayo 15, 2010

Una cadena de Márkov, que recibe su nombre del matemático ruso Andrei Andreevitch Markov

(1856-1922), es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento

depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria.

"Recuerdan" el último evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esta

dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Márkov de las series de eventos

independientes, como tirar una moneda al aire o un dado. 

Este tipo de proceso, introducido por Márkov en un artículo publicado en 1907,[1] presenta una

forma de dependencia simple, pero muy útil en muchos modelos, entre las variables aleatorias

que forman un proceso estocástico. En los negocios, las cadenas de Márkov se han utilizado

para analizar los patrones de compra de los deudores morosos, para planear las necesidades de

personal y para analizar el reemplazo de equipo.

+0

Cadenas de Markov

escrito por Ana Luisa Vargas Cabrera, mayo 16, 2010

Una cadena de Markov representa un sistema que varía su estado a lo largo del tiempo, siendo

cada cambio una transicion del sistema. Dichos cambios no estan predeterminados, aunque si lo

esta la probabilidad del próximo estado en función de los estados anteriores, probabilidad que

es constante a lo largo del tiempo. Eventualmente, en una transicion, el nuevo estado puede ser

el mismo que el anterior y es posible que exista la posibilidad de influir en las probabilidades de

transicion actuando adecuadamente sobre el sistema (decision). 

Los estados son una caracterizacion de la situacion en que se halla el sistema en un instante

dado, dicha caracterización puede ser tanto cuantitativa como cualitativa. Desde un punto de

vista práctico probablemente, la mejor definicion de que debe entenderse por estado es la

respuesta que se daría a la pregunta ¿como estan las cosas? 

Aplicaciones de las Cadenas de Markov 

Física 

Las cadenas de Markov son usadas en muchos problemas de la termodinámica y la física

estadística. Ejemplos importantes se pueden encontrar en la Cadena de Ehrenfest o el modelo

de difusión de Laplace. 

Meteorología 

Si consideramos el clima de una región a través de distintos días, es claro que el estado actual

solo depende del último estado y no de toda la historia en sí, de modo que se pueden usar

cadenas de Markov para formular modelos climatológicos básicos. 

Modelos epidemiológicos 

Una importante aplicación de las cadenas de Markov se encuentra en el proceso Galton-Watson.

Éste es un proceso de ramificación que se puede usar, entre otras cosas, para modelar el

desarrollo de una epidemia (véase modelaje matemático de epidemias). 

Internet 

El pagerank de una página web (usado por google en sus motores de búsqueda) se define a

través de una cadena de Markov, donde la posición que tendrá una página en el buscador será

determinada por su peso en la distribución estacionaria de la cadena. 

Juegos de azar 

Son muchos los juegos de azar que se pueden modelar a través de una cadena de Markov. El

modelo de la ruina del jugador, que establece la probabilidad de que una persona que apuesta

en un juego de azar eventualmente termine sin dinero, es una de las aplicaciones de las

cadenas de Markov en este rubro. 

Economía y Finanzas 

Las cadenas de Markov se pueden utilizar en modelos simples de valuación de opciones para

determinar cuándo existe oportunidad de arbitraje, así como en el modelo de colapsos de una

bolsa de valores o para determinar la volatilidad de precios. 

Música 

Diversos algoritmos de composición musical usan cadenas de Markov, por ejemplo el software

Csound o Max 

+0

...

escrito por Ana Luisa Vargas Cabrera, mayo 16, 2010

Analisis de decisiones: es un método análitico que provee herramientas para analizar

situaciones donde hay que tomar una decisión. 

Ambientes para la toma de decisiones 

1. TOMA DE DECISIONES BAJO CERTIDUMBRE: se conoce con certeza los resultados o

consecuencias de seleccionar cada alternativa. 

Ejemplo: Tenemos Q1,000 que queremos invertir por un año.Podemos ponerlos en una cuenta

de ahorros donde nos dan un 3.5% de interes anual, o podemos comprar un certificado de

deposito que nos da un 7% de interes anual. Asumiento que ambas alternativas son seguras y

estan garantizadas, el certificado de deposito nos da un retorno mayor. 

2. TOMA DE DECISIONES BAJO INCERTIDUMBRE: no se conocen las probabilidades asociadas con

los diferentes resultados de cada alternativa. 

Ejemplo: Una compañia estudia la posibilidad de añadir un nuevo producto a su línea de

produccion. Las alternativas que estudia son: hacer una ampliacion grande a sus facilidades,

hacer una ampliacion pequeña a sus facilidades, o no hacer ninguna ampliacion y no producir el

producto nuevo. Para cada una de estas alternativas los resultados pueden ser favorables o no

favorables. Si no conocemos las probabilidade asociadas con cada ujno de los resultados para

las distintas alternativas tenemos que tomar una decision bajo incertidumbre usando uno de

varios criterios disponibles. 

3. TOMA DE DECISIONES BAJO RIESGO: se conocen las probabilidades asociadas con los

diferentes resultados de cada alternativa. 

Ejemplo: Si en el ejemplo anterior conocemos las probabilidades asociadas con cada uno de los

resultados para las distintas alternativas, tenemos que tomar una decision bajo riesgo

escogiendo la alternativa con la ganancia promedio mayor.

+1

Procesos de Markov

escrito por Sandra Isabel Esquivel Vega, junio 13, 2010

Los modelos de proceso de Markov son utiles para estudiar la evolución de sistemas a lo largo

de ensayos repetidos los que, a menudo, son periodos sucesivos donde el estado del sistema en

cualquier periodo particular no puede determinarse con certeza. 

Consiste en analizar el comportamiento de los clientes mediante ensayos de proceso,

seleccionando lugares de visita continua a los cúal se le conoce como estado del sistema en ese

periodo y de acorde a las alternativas que el cliente posea así existirá una cantidad finita de

estados. 

Ensayos del Proceso: Frecuencia con la que se solicita el servicio por los clientes. 

Estado del sistema: Tienda particular seleccionada en un periodo de tiempo. 

Autores: Anderson D.; Sweeney D.; Williams T. 

Año 2004 

Métodos Cuantitativos para los negocios. 

Editorial Thompson, Mexico, Pag. 701 y 702

+0

TIPOS DE CADENAS DE MARKOV

escrito por Ronmy Medrano Barrera Maestria en Administración de RRHH - METODOS

CUANTITATIVOS- Jutiapa, junio 13, 2010

Tipos de cadenas de Markov 

Cadenas irreducibles 

Una cadena de Markov se dice irreducible si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones

(equivalentes entre sí): 

1. Desde cualquier estado de E se puede acceder a cualquier otro. 

2. Todos los estados se comunican entre sí. 

3. C(x)=E para algún x∈E. 

4. C(x)=E para todo x∈E. 

5. El único conjunto cerrado es el total. 

Cadenas positivo-recurrentes 

Una cadena de Markov se dice positivo-recurrente si todos sus estados son positivo-recurrentes.

Si la cadena es además irreducible es posible demostrar que existe un único vector de

probabilidad invariante. 

Cadenas regulares 

Una cadena de Markov se dice regular (también primitiva o ergódica) si existe alguna potencia

positiva de la matriz de transición cuyas entradas sean todas estrictamente mayores que cero. 

Cadenas absorbentes 

Una cadena de Markov con espacio de estados finito se dice absorbente si se cumplen las dos

condiciones siguientes: 

1. La cadena tiene al menos un estado absorbente. 

2. De cualquier estado no absorbente se accede a algún estado absorbente. 

Cadenas de Markov en tiempo continuo 

Si en lugar de considerar una secuencia discreta X1, X2,..., Xi,.. con i indexado en el conjunto de

números naturales, se consideran las variables aleatorias Xt con t que varía en un intervalo

continuo del conjunto de números reales, tendremos una cadena en tiempo continuo.

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PRECAUCION AL SUBIR SU APORTACIÓN

escrito por MSc. Edgar Carrera, junio 15, 2010

DEBE SER: 

1) EN EL ESPACIO QUE PERMITE ESTE SITIO 

2) REVISAR LOS APORTES ANTERIORES Y NO REPETIR ESOS APORTES, PERO SI PUEDEN

MEJORARSE 

3)MÍNIMO 15 LINEAS MAXMO 25 LINEAS 

PARA JUTIAPA FECHA MAXIMA DE ENTREGA DE MARKOV 18JUNIO2010

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Metodos Estadisticos Gregoria Mateos, y Aparicio Morales 1995

escrito por walter vinicio ortiz yanes, junio 15, 2010

Definen que Markov es una determinada entrevista estructurada dependiendo de como sean los

estados, que se clasifican de distinta forma de acuerdo cons u comportamiento, esto nos facilita

el conocer la probabilidad de pasar por primera vez por un estado, el numero medio de etapas

aue se tande en llegar a ese estado, y el nuemero medio de veces que la cadena pasa por ese

estado lo que a su vez no facilitara la clasificacion. 

Markov señala que para un alor fijo de los demas valores aleatorias no dependen d el, si no para

cualquier conjunto de tiempo definidos en el intervarlo de analisis condicionales del ultimo valor

para el conjunto. 

Cadena de markov, es un proceso discretoy homogeneo en el tiempo suponiendo que los

instantes en el tiempo cada uno de lo anterior, markov se llama discreto si los cambios de

estado o transiccion solo se producen en instantes dados no aleatorios y como maximo en

nuemero finito enumerable. 

por extencion se llamara proceso discreto aquel enque los instantes de cambio enumerables y

eventualmente aleatorios pero en los que no nos interesamos pro a abcisa exacta en el tiempo,

sino en su orden de sucesion. 

Walter Vinicio Ortiz Yanes. Maestria en admon. RR. HH. extencion jutiapa. 

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EJEMPLO DE CADENAS DE MARKOV

escrito por Ana Gabriela Rivas Vásquez Maestria en RRHH - Metodos Cuantitativos - Jutiapa, junio 15,

2010

Una tienda de renta de videos tiene 3 locales en la ciudad. Un video puede ser rentado en

cualquiera de los 3 locales y regresado o devuelto a cualquiera de ellos. Hay estudios que

muestran que los videos son rentados en un local y devueltos de acuerdo con las probabilidades

dadas por 

Rentado en Devuelto a 

1 2 3 

1 0.7 0.1 0.2 

2 0.2 0.8 0 

3 0.2 0.2 0.6 

Encontrar la probabilidad de que el video rentado sea rentado en el local 1 y devuelto en el 1, el

2 en el 2 y el 3 en el 3 para el siguiente año. 

SOLUCION 

DATOS Y NOMENCLATURA 

T = Matriz de Transición 

T2= Matriz de transición al cuadrado 

Rentado en Devuelto a 

1 2 3 

1 0.7 0.1 0.2 

T= 2 0.2 0.8 0 

3 0.2 0.2 0.6 

Nota: para poder sacar las probabilidades del siguiente año sacamos el cuadrado de T. 

1 2 3 1 2 3 

1 0.7 0.1 0.2 1 0.7 0.1 0.2 

T2= 2 0.2 0.8 0 X 2 0.2 0.8 0 

3 0.2 0.2 0.6 3 0.2 0.2 0.6 

El cuadrado de T significa multiplicar dos veces la matriz de transición (los datos que nos dan

para la elaboracion del problema) 

El proceso a seguir para la multiplicación de las matrices es el siguiente: 

Primera fila de la primer matriz por la primera columna de la segunda matriz y asi

sucesivamente tal como se muestra a continuación: 

(0.7)(0.7) + (0.1)(0.2) + (0.2)(0.2) = 0.55 

(0.7)(0.1) + (0.1)(0.  + (0.2)(0.2) = 0.19 

(0.7)(0.2) + (0.1)(0) + (0.2)(0.6) = 0.26 

(0.2)(0.7) + (0. (0.2) + (0)(0.2) = 0.30 

(0.2)(0.1) + (0. (0.  + (0)(0.2) = 0.66 

(0.2)(0.2) + (0. (0) + (0)(0.6) = 0.04 

(0.2)(0.7) + (0.2)(0.2) + (0.6)(0.2) = 0.30 

(0.2)(0.1) + (0.2)(0.  + (0.6)(0.2) = 0.30 

(0.2)(0.2) + (0.2)(0) + (0.6)(0.6) = 0.40 

Entonces: 

1 2 3 

1 0.55 0.19 0.26 

T2= 2 0.30 0.66 0.04 

3 0.30 0.30 0.40 

Respuesta: 

La probabilidad de que el video rentado en el local 1 sea devuelto en el mismo es: 0.55 x

100=55% 

La probabilidad de que el video rentado en el local 2 sea devuelto en el mismo es: 0.66 x

100=66% 

La probabilidad de que el video rentado en el local 3 sea devuelto en el mismo es: 0.40 x

100=40% 

+0

PROCESOS DE MARKOV

escrito por Maris Yessenia Peraza Ronquillo, junio 16, 2010

PROCESOS DE MARKOV: 

Markov permite analizar y conocer a los consumidores en un mercado actual y competitivo, ya

que, proporciona herramientas adecuadas para poder estudiar la realidad de la participación de

la demanda. Asimismo podemos analizar la situación de las cuentas por conbrar en un

organización. 

Al aplicar Markov en cuanto a los demandantes en un mercado consumidor nos podemos dar

cuenta de la exigencia del cliente para poder cubrir sus necesidades y así convertirlo en un

cliente fiel. A través de este análisis se puede llegar a conocer las posibles actitudes de los

clientes de un período a otro y así estar a la vanguardia y poder cubrir al máximo sus

expecgtativas para lograr su satisfacción y así mantenerse en el mercado comeptitivo. 

También se debe tomar en cuenta que Markov permite hacer un análisis en relación a lo

finacniero de la organización y debemos recordar que para que una empresa subsiste su

principal motor es el capital por lo que se debe reguardar siempre, lo que significa tomar

decisiones correctas en las inversiones. Esto implica que se debe conocer el mercado, las leyes

a las cuales esta sujeta la empresa, las tendencias tecnológicas, la competencia, la situación

financiera cambiaria y finalmente hacer un análsisi de los clientes con los que cuenta la emrpesa

para así poder otorgar créditos; ya que esto signfica tener que recuperar esa cuenta. Al habler

de proprocionar créditos significa que va existir una cuenta por cobrar la cual tiene que mostrar

una equilibrio adecuado para la toma de decisiones de los propietarios. 

Métodos cuantitativos para los Negocios 

Anderson D, Sweney, William T 

Editorial Thompson México 2004 

Maris Yessenia Peraza Ronquillo 

1328 02 8573 

+0

...

escrito por Jose Juan Monzon Matias, junio 16, 2010

Metodos Cuantitativos para los negocios 

Novena Edicion 

Anderson 

Sweeney 

Williams 

ANALISIS DE PARTICIPACION EN EL MERCADO 

Suponga que estamos interesados en analizar la participación en el mercado y lealtad del cliente

para Murphy´s y Foodliner y Ashley´s Supermarket, los dos únicos supermercados en un poblado

pequeño. Nos enfocamos en la secuencia de los viajes de compras de un cliente, y suponemos

que hace un viaje de compras cada semana, ya sea a Murphy´s Fooddliner o a Ashle´s

Supermarket, pero no a ambos. 

Usando la terminología de los proceso de Markov, nos referimos a los periodos semanales o

viajes de compras como los ensayos de proceso. Por tanto, en cada ensayo el cliente comprará

ya sea en Murphy´s Foodliner o en Ashley´s Supermarket. La tienda particular seleccionada en

una semana dada se conoce como el estado del sistema en ese periodo. Debido a que el cliente

tiene dos alternativas de compra en cada ensayo, decimos que el sistema tiene dos estados.

Con una cantidad finita de estados los identificamos como sigue: 

Estado 1. El cliente compra en Murphy´s Foodliner 

Estado 2. El cliente compra en Ashley´s Supermarket 

Si decimos que el sistema está en el estado 1 en el ensayo 3, sólo estamos diciendo que el

cliente en Murphy´s compra durante la tercera semana del periodo de compras. 

Usando un modelo de procesos markoviano seremos capaces de calcular la probabilidad de que

el cliente compre en cada tienda durante cualquier periodo. 

Para determinar las probabilidades de los diversos estados que ocurren en ensayos sucesivo del

proceso de Markov necesitamos información sobre la probabilidad de que un cliente permanezca

con la misma o cambie a la tienda competidora conforme continue el proceso de un ensayo a

otro o de una semana a otra. 

Jose Juan Monzón Matias 

Carné 1328-03-14332

+0

PROCESO DE DECISION DE MARKOV

escrito por Carlos Enrique Sandoval, junio 16, 2010

Proceso de decisión de Markov 

Procesos de decisión de Markov (MDPs) proporcione un marco matemático para modelar la toma

de decisión en situaciones donde están en parte al azar los resultados y en parte bajo control del

responsable. MDPs es útil para estudiar una amplia gama de problemas de la optimización

solucionado vía programación dinámica y el aprender del refuerzo. MDPs era conocido por lo

menos desde los años 50 (cf. Bellman 1957). Mucha investigación en el área era frezado debido

a Ronald A. Howard'libro de s, Procesos dinámicos de la programación y de Markov, en 1960. Se

utilizan hoy en una variedad de áreas, incluyendo la robótica, de control automatizado,

economía y en la fabricación. 

Un proceso de decisión de Markov es más exacto a tiempo discreto estocástico control proceso

caracterizado por un sistema de estados; en cada estado hay varias acciones de las cuales el

responsable debe elegir. Para un estado s y una acción a, una función de la transición del estado

Pa(s) determina las probabilidades de la transición al estado siguiente. El responsable gana una

recompensa por cada transición del estado. Las transiciones del estado de un MDP poseen

Característica de Markov: dado el estado del MDP en el tiempo t se sabe, las probabilidades de

la transición al estado en el tiempo t + 1 es la independiente de todos los estados anteriores o

las acciones. 

Los procesos de decisión de Markov son una extensión de Cadenas de Markov; la diferencia es la

adición de las acciones (que permiten la opción) y de las recompensas (que dan la motivación).

Si hubiera solamente una acción, o si la acción a tomar fuera fija para cada estado, un proceso

de decisión de Markov reduciría a a Cadena de Markov. 

Carlos Enrique Sandoval López 

1328-03-14359 

+0

EL EXAMEN RESUELTO DE MARKOV

escrito por MSc. Edgar Carrera, junio 16, 2010

ENVIARLO A \n '> exmarkov@sermelec.co.cc 

Gracias 

EC

+0

Aporte MARKOV

escrito por Jaqueline Michelle Monzón Zepeda, junio 16, 2010

Cadenas de Markov 

Después de mucho estudio sobre el clima, hemos visto que si un día está soleado, en el 70% de

los casos el día siguiente continua soleado y en el 30% se pone nublado. En términos de

probabilidad, lo que nos sirve entonces para predecir el clima, vemos que la probabilidad de que

continúe soleado el día siguiente es .7 y la probabilidad de que al día siguiente esté nublado

es .3. También nos fijamos en que si un día está nublado, la probabilidad de que esté soleado el

día siguiente es .6 y la probabilidad de que se ponga nublado es .4. 

Pregunta 

Hoy está nublado, ¿cuál es la probabilidad de que mañana continúe nublado? ¿cuál es la

probabilidad de que está nublado pasado mañana? 

Podemos ilustrar esta situación por medio de un diagrama de árbol: 

HOYMAÑANAPASADO MAÑANA 

0.7Soleado 

Soleado 

0.6Nublado 

0.3 

0.6 Soleado 

Nublado 0.4 

Nublado Nublado 

0.4 

Posibles estados del tiempo a partir de que hoy está nublado 

Con la ayuda de la Figura 1 podemos predecir qué ocurrirá mañana si sabemos que hoy está

nublado. 

Vemos que la probabilidad de que mañana continúe nublado es .4, es decir, si hiciéramos esta

predicción muchas veces estaríamos en lo correcto cerca del 40% de las veces. Para conocer la

probabilidad de esté nublado pasado mañana buscamos en las hojas del árbol correspondientes

al Tiempo pasado mañana los lugares donde dice nublado. Hay dos hojas donde esto ocurre.

Ahora lo que queda es determinar cómo desde el principio, desde la raíz del árbol, podemos

llegar allí. 

Si hoy está nublado, para que pasado mañana esté nublado, podríamos tener un día de mañana

soleado o nublado. Así tenemos las siguientes secuencias en orden de (hoy, mañana, pasado

mañana): (nublado, soleado, nublado) o (nublado, nublado, nublado) donde pasado mañana es

nublado. Estas secuencias son mutuamente excluyentes, corresponden a caminos distintos en el

árbol, así tenemos que: 

P(pasado mañana nublado | hoy nublado) 

= P((nublado, soleado, nublado) o (nublado, nublado, nublado)) 

= P(nublado, soleado, nublado) + P (nublado, nublado, nublado) = (.6 .3) + (.4 .4) = .34. 

Este resultado se obtuvo multiplicando las probabilidades condicionales a lo largo de los

caminos desde hoy nublado hasta pasado mañana nublado. No es necesario que seamos tan

específicos en términos de hoy, mañana o pasado mañana, podemos darnos cuenta que lo

realmente importante es el número de días que pasa entre una predicción y otra. 

Att. 

Jaqueline Michelle Monzón 

1328-03-14365

+0

PROCESOS DE MARKOV

escrito por Licda. Marilena Anahí Ramírez Méndez, junio 18, 2010

ANÁLISIS DE MARKOV 

Afin de ilustrar el proceso de Markov presentamos un problema en el que los estados de

resultados de actividades son marcas, y las probabilidades de transición expresan la

probabilidad de que los consumidores vayan de una marca a otra. Supongamos que la muestra

inicial de consumidores se compone de 1 000 participantes distribuidos entre cuatro marcas(A,

B, C, D). Una suposición adicional es que la muestra representa a todo el grupo. 

DATOS Y NOMENCLATURA 

MARCAS 

A, B, C, D 

SOLUCION 

En la siguiente tabla la mayor parte de los clientes que compraron inicialmente la marca A,

siguieron con ella en el segundo periodo. No obstante la marca A ganó 50 clientes y perdió 45

con otras marcas. 

MarcaPeriodo 1 

Numero de ClientesGanancias PerdidasPeriodo 2 

Numero de Clientes 

A2205045225 

B3006070290 

C2302525230 

D2504035255 

1 0001751751 000 

Esta tabla no muestra la historia completa, sino que necesita un análisis detallado con respecto

a la proporción de ganancias y perdidas netas entre las cuatro marcas. Es necesario calcular las

probabilidades de transición para las cuatro marcas. Las probabilidades de transición se definen

como la probabilidad de que determinada marca, conserve sus clientes. Para determinar lo

anterior dividimos se divide el numero de clientes retenidos entre en numero de clientes en el

periodo inicial, por ejemplo para la marca A (220- 45=175) se divide 175/220 lo que nos da

0.796, al igual para las otras marcas, obteniendo 0.767(B),0.891(C),0.860(D). 

Para aquellos clientes que cambiaron de marcas , es necesario mostrar las perdidas y ganancias

entre las marcas a fin de completar las matriz de probabilidades de transición. De acuerdo con

los datos desarrollados, el paso siguiente consiste en convertir el cambio de marcas de los

clientes de modo que todas las perdidas y ganancias tomen forma de probabilidades de

transición, obteniendo la matriz de probabilidad de transición. 

La siguiente tabla nos muestra la matriz de transición final. 

ABCD 

A175/220=0.79640/300=0.1330/230=010/250=0.040 

B20/220=0.091230/300=0.76725/230=0.10915/250=0.060 

C10/220=0.0465/300=0.017205/230=0.89110/250=0.040 

D15/220=0.06725/300=0.0830/230=0215/250=0.860 

RESPUESTA = La lectura de esta información sería la siguiente: 

La marca A retiene 0.796 de sus clientes, mientras que gana 0.133 de los clientes de B, 0.40 de

los clientes de D y 0 de los clientes de C. 

La administración de mercadotecnia puede tener un gran ventaja de toda esta información que

nos pueda arrojar el desarrollo de técnicas como estas, ayudando a la promoción de algunos

productos que los necesiten para tener una mejor aceptación entre los consumidores. 

www.investigacion-operaciones.com/contenido.htm. Mc Graw Hill. Aplicación y Ejemplos de la

Formulación de problemas ... Calculo de redes: método de la ruta critica. ... Introducción a las

Cadénas de Markov. ... (1.999) Análisis cuantitativo para los negocios. 9° cd. Bogota.

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Aporte Markov. Aplicaciones de MARKOV en la vida real

escrito por Ariel Fernando Castellanos, junio 18, 2010

Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del

evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria. "Recuerdan" el

último evento y esto condiciona las probabilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del

evento anterior distingue a las cadenas de markov de las series de eventos independientes,

como tirar una moneda al aire o un dado. 

APLICACIONES DE MARKOV: 

FISICA: las cadenas de markov son usadas en muchos problemas de la ternodinámica y la física

estadística. Ejemplos importantes se pueden encontrar en la cadena de Ehrenfest o el modelo

de difusión de Laplace. 

METEOROLOGIA: si consideramos el clima de una región a través de distintos días, es claro que

el estado actual solo depende del último estado y no de toda la historia entre sí. de modo ue se

pueden usar cadenas de markov para formular modelos climatológicos básicos. 

MODELOS EPIDEMIOLOGICOS: una i mportante aplicación de las cadenas de Markov sse

encuentra en el proceso Galton-Watson. Este es un proceso de ramificación que se pude usar,

entre otras cosas, para modelar el desarrollo de una epidemia. 

INTERNET: el pagerank de una página web (usado por google en sus motores de búsqueda) se

define a través de una cadena de markov, donde la posición que tendrá una página en el

buscador será determinada por su peso en la distribución estacionaria de la cadena. 

JUEGOS DE AZAR: son muchos los juegos de azar que se pueden modelar a través de una

cadena de Markov. El modelo de la ruina del jugador, que establece la probabilidad de que una

persona que apuesta en un juego de azar eventualmente termina sin dinero, es una de las

aplicaciones de las cadenas de markov en este rubro. 

ECONOMIA Y FINANZAS: las cadenas de markov se pueden utilizar en modelos simples de

evaluación de opciones para determinar cuándo existe oportunidad de arbitraje, así como en el

modelo de colapsos de una bolsa de valores o para determinar la volatidad de precios. 

MUSICA: diversos algoritmos de compsición musical usan cadenas de markov, por ejemplo el

software Csound o Max. 

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Cadena_de_Markov 

Ariel Fernando Castellanos Ciragua 

1328-01-12018 

Maestría RRHH, Jutiapa 

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Cadena de Markov Absorventes (Ampliación del Tema)

escrito por Mario Rodolfo Lucero Alvarado, junio 18, 2010

CADENAS DE MARKOV ABSORVENTES 

Los estados absorbentes describen procesos que terminan o finalizan después de alcanzar

determinadas condiciones y dan como resultado un caso especial de cadenas de Markov,

algunos ejemplos son: 

1.- En control de calidad, después de encontrar un número predeterminado de partes que

pueden ser aceptadas o rechazadas, se suspende la inspección secuencial. 

2.- Después de “x” horas de funcionamiento, una máquina se detiene para repararla o

reemplazarla. 

3.- Después de que una persona ha trabajado en una empresa, puede jubilarse o recontratarse. 

4.- Después del seguimiento que se hace a una cuenta bancaria esta se paga o se considera

perdida 

CARACTERÍSTICAS. 

a)Un estado absorbente es aquel que tiene una probabilidad de ser abandonado igual a cero, o

sea que una vez comenzado es imposible dejarlo y el proceso se detiene completamente o se

detiene para luego comenzar a partir de algún otro estado. 

b) Una cadena de Markov es absorbente si: 

1) Tiene por lo menos un estado absorbente. 

2) Es posible ir desde cada estado no absorbente hasta por lo menos un estado absorbente. No

es necesario efectuar esta transición en un paso; ni es necesario alcanzar cada estado

absorbente a partir de cualquier estado no absorbente. 

EJEMPLO. 1 

Los alumnos de una escuela técnica, cursan 4 años para terminar su carrera. De los que

ingresan a primer año, 80% aprueba, 10% reprueba y el resto deserta. De los que están en

segundo año, 85% aprueba, 10% reprueba y el resto deserta. De los de tercer año, 80%

aprueba, 15% reprueba y resto deserta. Los que están en el último grado, 85% se gradúa, 5%

deserta y el resto reprueba. 

a)¿ Cuántos años se espera que un alumno pase como estudiante? 

b)¿ Cual es la probabilidad de que un estudiante se gradúe? 

Solución: Encontrar cuántos y cuales son los estados y modelar la matriz de transición. 

S0=Ingreso S1 S2 S3 S4 S5 S6 

S1 =Primer año S10.10 0.80 0 0 0.10 0 

S2 =Segundo año S20 0.10 0.85 0 0.05 0 

S3 =Tercer año P = S30 0 0.15 0.80 0.05 0 

S4 =Cuarto año S40 0 0 0.10 0.05 0.85 

S5 =Deserta S50 0 0 0 1 0 

S6 =Se gradúa S60 0 0 0 0 1 

a=Estados absorventes 

n=Estados no absorventesm=a+n 

Una vez alcanzados los estados absorbentes S5 y S6, la probabilidad de que el proceso

permanezca en el respectivo estado es 1. Por lo tanto es imposible (probabilidad cero) ir desde

cualquiera de estos estados hasta cualquier otro. En realidad esto se debe a que el alumno tomó

la decisión de dejar la escuela voluntariamente o decidió graduarse. 

A partir del análisis de cadenas de Markov absorbentes, se obtiene la siguiente información: 

1.- El número de pasos antes de que el proceso sea absorbido, utilizando (I – N-1) Para el

ejemplo los pasos serían años. 

2.- El número esperado de veces que el proceso está en cualquier estado no absorbente. Para el

ejemplo, sería el número de años que el alumno permanece en cada grado. 

3.- La probabilidad de absorción por cualquier estado absorbente dado, por medio de la

siguiente expresión (I-N)-1*A. 

Para realizar los cálculos anteriores, la matriz de transición se subdivide en cuatro matrices y

son los estados absorbentes los quedan la pauta para dicha subdivisión. 

Donde N e I son opuestos por el vértice. 

Estas matrices más pequeñas contienen elementos de probabilidad que nos originan "a” estados

absorbentes y "n" no absorbentes que en total serían a + n = m estados. 

Matriz I: Es una matriz identidad de dimensiones a*a y representa las probabilidades de

permanecer dentro de un estado absorbente. 

Matriz O: Es una matriz cero de a*n y nos indica las probabilidades de ir desde un estado

absorbente hasta un estado absorbente. 

Matriz A: Es una matriz de n*a y contiene las probabilidades de ir desde un estado no

absorbente hasta un estado absorbente. 

Matriz N: Es una matriz de n*n que contiene las probabilidades de ir desde un estado no

absorbente hasta un estado no absorbente. 

Mario Rodolfo Lucero Alvarado 

1328-01-7455 

Contaduria Publica y Auditoria 

Maestria en Administracion de Recursos Humanos 

Metodos Cuantitativos 

Centro Regional de Estudios Jutiapa 

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markov

escrito por CARLOS HUMBERTO LEMUS RAMOS, junio 18, 2010

ANALISIS DE CUENTAS POR COBRAR 

UNA APLICACIÓN DE CONTABILIDAD EN LA QUE LOS PROCESOS DE MARKOV HAN PRODUCIDO

RESULTADOS UTILES IMPLICA LA ESTIMACION DE LA RESERVA PARA CUENTAS POR COBRAR DE

DUDOSA RECUPERACION O SIMPLEMENTE DUDOSAS. 

ESTA RESERVA ES UNA ESTIMACION DE LA CANTIDAD DE CUENTAS POR COBRAR QUE AL FINAL

DEMOSTRARA SER INCOBRABLE. 

SEGÚN RPOCESO DE MARKOV SONSIDERAREMOS LA SITUACION DE LAS CUENTAS POR COBRAR

PARA LA TIENDA DEPARTAMENTAL HEIDEMA^S LA CUAL EMPLEA DOS CATEGORIAS PARA SUS

CUENTAS POR COBRAR 

1-LAS CUENTAS QUE SE CLASIFICAN CON 0-30 DIAS DE ANTIGÜEDAD 

2-LAS CUENTAS QUE SE CLASIFICAN CON 31-90 DIAS DE ANTIGÜEDAD. 

SI CUALQUIER PORCION DE SALDO DE UNA CUENTA EXCEDE DE 90 DIAS , ESA PORCION ES

CLASIFICADA COMO DEUDA INCOBRABLE. 

POR EJEMPLO: 

SUPONGA QUE EL SALDO DE LA CUENTA DE UN CLIENTE AL 30 DE SEPTIEMBRE ES COMO

SIGUE: 

FECHA DE COMPRACANTIDAD CARGADA 

15 DE AGOSTO25 

18 DE SEPTIEMBRE10 

28 DE SEPTIEMBRE50 

___ 

TOTAL85 

LA CLASIFICACION DE ANTIGÜEDAD DE ESA CUENTA POR COBRAR AL 30 DE SEPTIEMBRE

ASIGNARA EL SALDO TOTAL DE 85 A LA CATEGORIA DE 31 -90 DIAS DEBIDO A QUE LA FACTURA

SIN PAGAR MAS ANTIGUA DEL 15 DE AGOSTO TIENE 46 DIAS DE ANTIGÜEDAD. 

SUPONGAMOS QUE UNA SEMANA DESPUES EL 7 DE OCTUBRE EL CLIENTE PAGA LA FACTURA DE

25 DEL 15 DE AGOSTO EL SALDO TOTAL DE 60 SE COLOCARIA AHORA EN LA CATEGORIA DE 0-

30 DIAS EN VISTA DE QUE LA CUENTA SIN PAGAR MAS ANTIGUA CORRESPONDEIENTE A LA

COMPRA DEL 18 DE SEPTIEMBRE , TIENE MENOS DE 31 DIAS DE ANTIGÜEDAD. 

markov metodos cuantittativos para los negocios 

novena edicion 

ANDERSON 

AWEENEY 

WILLIAMS 

THONSON EDITORA 

escrito por: 

Lic. carlos Humberto Lemus Ramos 

maestria de recursos humanos

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PROCESOS MARKOVIANOS

escrito por Juana Maria Godoy Contreras, junio 18, 2010

El análisis de un modelo de procesos Markoviano no pretende optimizar ningún aspecto

particular de un sistema. Mas bien, el análisis predice o describe el comportamiento futuro y de

estado estable del mismo. 

En el ejemplo siguiente nos podemos dar cuenta como podemos predecir el éxito o fracaso de

una estrategia de publicidad, haciendo uso de Markov. 

Se esta planeando una campaña publicitaria de Red Pop, que es una bebida gaseosa, para

aumentar la probabilidad de atraer clientes de Super Cola que es la competencia. La

administración cree que la nueva campaña aumentara a 0.15 la probabilidad de que un cliente

cambie de Super Cola a Red Pop. ¿Cuál es el efecto proyectado de la campaña publicitaria en las

participaciones del mercado? 

DATOS Y NOMENCLATURA 

0.85 S 

S 

0.15 R 

0.90 0.10 

π1 π2 = π1 π2 0.15 0.85 

π1 = π1 * 0.90 + π2 *0.15 

π2 = π1 * 0.10 + π2 *0.85 

π2 + π1 = 1 

π1 = 0.90 π1 + 0.15 (1- π1) 

π1 = 0.90 π1 + 0.15 - 0.15 π1 

0.25 π1 = 0.15 

π1 = 0.15/0.25 = 0.60 

π1 = 0.40 

R// el efecto proyectado de la campaña publicitaria en las participaciones del mercado es de 

π1 = 0.6, π2 = 0.4 

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...

escrito por Irma Alvarez Molina, junio 18, 2010

Cadenas de Markov 

Definición : Sea la secuencia x1,...,xn,...,xL; xi X; i {1,...,L}. Para que un proceso sea markoviano

de orden n, se tiene que cumplir que: 

P{xL+1 / xL,...,x1} = P{xL+1 / xL,...,xL-n+1} 

Aunque el caso que nos ocupa es con índice "i" y variable aleatoria discretos, también hay

procesos markovianos con índice y/o variable aleatoria continuos. 

Definición: Un proceso markoviano de orden 1 es un proceso estocástico de orden 1 en el cual

su pasado no tiene ninguna influencia en el futuro si su presente está especificado. Es decir: 

Si tn-1 < tn, entonces: 

P{ X(tn) Xn/X(t) , t tn-1 } = P{ X(tn) Xn/X(tn-1) } 

Luego, si t1 < t2 < ... < tn: 

P{ X(tn) Xn / X(tn-1),...,X(t1) } = P{ X(tn) Xn / X(tn-1) } 

En el objeto de estudio, que son las cadenas markovianas, en una cadena markoviana de primer

orden se cumplirá: 

P{xL+1 / xL,...,x1} = P{xL+1 / xL} 

Definimos un estado como: 

sL = {xL, xL-1, ... , xL-n+1} 

Por lo tanto: 

P{xL+1 / xL, xL-1, ... , xL-n+1} = P{xL+1 / sL} 

De la misma manera obtenemos: 

sL+1 = {xL+1, ... , xL+2-n} 

P{xL+1 / xL, xL-1, ... , xL-n+1} = P{sL+1 / sL} 

Por lo tanto, según se ha deducido, mediante los estados podemos pasar de una cadena de

orden n a otra de orden 1, ya que hemos formado con los estados la cadena 

p(s1,...,sn) = p(s1)•p(s2 / s1)•p(s3 / s2)•...•p(sn / sn-1), 

que es una cadena es de orden 1. 

Ejemplo: Cadena markoviana de 2º orden. 

p(x1,...,xn) = p(x1,x2)•p(x3/x1,x2)•p(x4/x2,x3)•...•p(xn/xn-2,xn-1) 

Si por ejemplo la secuencia es del tipo abaabbaaab..., tendremos: 

p(abaabbaaab...)=p(ab)•p(a/ab)•p(a/ba)•p(b/aa)•p(b/ab)•p(a/bb)•p(a/ba)•p(a/aa)•... 

Irma Alvarez Molina 

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CADENAS DE MARKOV

escrito por LESLY M. CASTAÑEDA MONTUFAR, junio 18, 2010

Una cadena de Márkov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un

evento depende del evento inmediato anterior, esta dependencia del evento anterior distingue a

las cadenas de Márkov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o

un dado. En el área de los negocios es muy importante, ya que nos permite analizar los patrones

de compra, de deudores morosos, de movimiento de productos, necesidades de personal y para

analizar el reemplazo de equipo, de esta manera poder tomar las decisiones oportunas

correspondientes. Las cadenas de markov pueden ser homogéneas y no homogéneas, se dice

que es homogénea si la probabilidad de ir del estado i al estado j en un paso no depende del

tiempo en el que se encuentra la cadena, y si para alguna pareja de estados y para algún

tiempo n la propiedad antes mencionada no se cumple diremos que la cadena de Markov es no

homogénea. 

Dentro de los tipos de cadenas de Markov podemos citar: 

Cadena irreducible 

Cadena Positvo-recurrente 

Cadenas Regulares 

Cadenas Absorbentes 

Cadenas en tiempo continuo 

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PROCESOS DE MARKOV

escrito por kelly Xuya, junio 19, 2010

PROCESOS DE MARKOV 

Los procesos de markov tienen la propiedad de no tener memoria por lo que se les puede llamar

procesos SIN MEMORIA, pues el estado actual del sistema junto con as probabilidades de

transicion contienen toda la informacion necesaria para predecir el comportamiento futuro del

sistema, 

Tale procesos se consideran procesos markovianos de primer orden, los procesos de markov de

orden superior son aquellos en que los estados futuros del sistema dependen de dos o mas

estados previos. 

El anàlisis de un modelo de procesos markovianos no pretenden optimizar ningun aspecto

particular de un sistema, mas bien el anàlisis predice o describe el comportamiento futuro y de

estado estable del mismo. 

En otras aplicaciones el analistas cuantitativos han extendido el estudio de procesos de markov

a los llamados PROCESOS MARKOVIANOS DE DECISIÒN , en estos modelos pueden tomarse

desiciones en cada perìodo, lo que afecta en las probabilidades de transicion y por consiguiente

en el comportamiento futuro del sistema. 

Los procesos marcovianos de desicion se han usado para analisar la descompostura de

maquinas y las operaciones de mantenimiento,la planificacion del movimiento de pacientes en

hospitales, la elavoracion de estrategias de inspecciòn, la determinacion de la duracion de

suscripciones a periòdicos y el analisis de reemplazo de equipo. 

METODOS CUANTITATIVOS`PAR LOS NEGOCIOS 

KELLY IRLANDA XUYA BARAHONA 

1328-03-134389 

MAESTRIA EN RRHH 

JUTIAPA 

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EL EXAMEN DE MARKOV SE ENVIA A exmarkov@sermelec.co.cc 

escrito por MSc. Edgar Carrera, junio 25, 2010

EL EXAMEN DE MARKOV SE ENVIA A \n '> exmarkov@sermelec.co.cc 

GRACIAS 

ATTE 

EC

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