An¶alisis de los Procesos de Conformado de Chapa

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Ingenier´ ıa de los Procesos de Fabricaci´ on Escuela Superior de Ingenieros de Sevilla Ampliaci´ondeTecnolog´ ıa de Fabricaci´ on TEMA 4 An´ alisis de los Procesos de Conformado de Chapa ´ Indice 4.1 Introducci´on 4.2 Comportamiento pl´ astico de la chapa. 4.3 Anisotrop´ ıa. Efectos en el conformado. 4.4 Inestabilidad y fallo de la chapa. Diagrama L´ ımite de Conformado (DLC). 4.5 Aplicaciones: 4.5.1 Conformado por tracci´on. Estirado y estampaci´on. 4.5.2 Conformado por flexi´on. Plegado. 4.1. Introducci´on Una parte importante de la producci´on met´ alica industrial la compone la producci´on de l´ aminas y chapas met´ alicas obtenidas por laminaci´on, bien en fr´ ıo o bien en caliente. ´ Estas son conformadas posteriormente para fabricar multitud de productos de uso cotidiano, como son carrocer´ ıas de au- tom´oviles, fuselaje de aeronaves, revestimientos de electrodom´ esticos, elementos de construcci´on, latas de conservas y bebidas, etc. Una de las caracter´ ısticas principales que hacen atractivos los productos fabricados mediante conformado de chapa es que presentan una buena resistencia mec´ anica, as´ ı como una excelente relaci´on resistencia-peso. Existen en la industria un gran n´ umero de procesos para el conformado de componentes de cha- pa. Dichos procesos, aunque muy diferentes desde el punto de vista t´ ecnico, comparten fundamentos comunes, que una vez conocidos permiten analizarlos en su conjunto. En lo que sigue nos centraremos en el estudio de estas bases mec´ anicas y m´ etodos de an´ alisis, m´ as que en una detallada descripci´on de los diferentes procesos de conformado. No obstante, antes de con-

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Ingenierıa de los Procesos de FabricacionEscuela Superior de Ingenieros de Sevilla

Ampliacion de Tecnologıa de Fabricacion

TEMA 4

Analisis de los Procesos de Conformado de Chapa

Indice

4.1 Introduccion4.2 Comportamiento plastico de la chapa.4.3 Anisotropıa. Efectos en el conformado.4.4 Inestabilidad y fallo de la chapa. Diagrama Lımite de Conformado (DLC).4.5 Aplicaciones:

4.5.1 Conformado por traccion. Estirado y estampacion.4.5.2 Conformado por flexion. Plegado.

4.1. Introduccion

Una parte importante de la produccion metalica industrial la compone la produccion de laminasy chapas metalicas obtenidas por laminacion, bien en frıo o bien en caliente. Estas son conformadasposteriormente para fabricar multitud de productos de uso cotidiano, como son carrocerıas de au-tomoviles, fuselaje de aeronaves, revestimientos de electrodomesticos, elementos de construccion, latasde conservas y bebidas, etc. Una de las caracterısticas principales que hacen atractivos los productosfabricados mediante conformado de chapa es que presentan una buena resistencia mecanica, ası comouna excelente relacion resistencia-peso.

Existen en la industria un gran numero de procesos para el conformado de componentes de cha-pa. Dichos procesos, aunque muy diferentes desde el punto de vista tecnico, comparten fundamentoscomunes, que una vez conocidos permiten analizarlos en su conjunto.

En lo que sigue nos centraremos en el estudio de estas bases mecanicas y metodos de analisis, masque en una detallada descripcion de los diferentes procesos de conformado. No obstante, antes de con-

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tinuar parece apropiado recordar brevemente algunas de las tecnicas y procesos basicos de conformadode chapa, como son:

PlegadoEstiradoEstampacion

EmbuticionHidroconformadoOtros . . .

El plegado (bending) en su version mas simple consiste en doblar la chapa a lo largo de una lınearecta (vease Figura 4.1a). Como es caracterıstico en la mayorıa de los procesos de conformado de chapa,la deformacion plastica se localiza en una zona muy restringida, en este caso en la region a flexion,permaneciendo el resto del material indeformado. Dada la inhomogeneidad en la deformacion de lasfibras en la region de flexion, unas alargadas y otras comprimidas, la recuperacion elastica puede llegara ser apreciable, influyendo ası en la precision geometrica de la pieza final. Entre los procesos de plegadomas destacados estan el plegado con matriz en V, al aire, en voladizo, con rodillos, etc (Figura 4.1).

Figura 4.1: Distintos procesos de plegado con directriz recta (a). Plegado con matriz en V (b); Plegadoen voladizo (c); Plegado con rodillos (d).

El plegado puede tambien realizarse a lo largo de una directriz curva. En este caso, la deformacionplastica puede extenderse no solo a la zona de doblado, sino tambien a la region adyacente. Un ejemplomuy comun es el embridado curvo del extremo de una chapa (vease Figura 4.2). Segun sea la curvaturade esta, la zona de la brida quedara a compresion (Figura 4.2a), pudiendo ocasionar el arrugamientopor pandeo local de esta zona, o quedara a traccion (Figura 4.2b), favoreciendo ası la fractura en laparte de la brida. Un ejemplo mas complejo, donde quedan patentes los dos eventos comentados, es enel plegado de perfiles (Figura 4.2c).

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Figura 4.2: Plegado con directriz curva: (a) brida a compresion; (b) brida a traccion; (c) plegado deperfiles.

El conformado de chapa por estirado (stretching) es intensivamente usado en la industria aeronauti-ca para el conformado de la chapa del fuselaje de las aeronaves (vease Figura 4.3-izqda.). La chapase sujeta en sus extremos mediante mordazas, mientras que se enfrenta contra ella un punzon o utilde estirado, con la forma ‘aproximada’ que se quiere obtener en la chapa. En este proceso el materialse encuentra sometido a un estado fundamentalmente de traccion, haciendo que la chapa se conformeplasticamente estando todas las fibras del material alargadas. Este hecho hace que la recuperacionelastica sea bastante mas pequena que en el plegado y, por tanto, la precision de la pieza final sea mejory mas controlable.

Figura 4.3: Conformado de chapa por estirado (izqda.) y por estampacion (dcha.).

El proceso de estampacion (stamping) se muestra esquematicamente en la Figura 4.3-dcha.. Elprincipio es muy similar al estirado, es decir, se trata de conformar la chapa de manera que el materialeste sometido esencialmente a deformaciones de alargamiento. No obstante, se diferencia del estiradoen que se permite que el material sujeto por el prensa-chapa se introduzca, en cierto grado, en el huecode la matriz. Dicho proceso permite obtener piezas de mayor complejidad que con el estirado y tieneun uso muy extendido en la industrial del automovil y del electrodomestico.

La estampacion permite obtener en general piezas poco profundas. Para conformar piezas masprofundas, sin que se produzca el fallo de la chapa, es necesario permitir que el material fluya en elhueco de la matriz con mayor facilidad. Este es el caso de la embuticion (deep drawing) (Figura 4.4).En este proceso, la mayor parte de la deformacion se produce en las paredes de la pieza embutida. El

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prensa-chapa tiene la importante mision de regular el flujo de material dentro del hueco de la matriz,evitando el arrugamiento (pandeo local) de la chapa en la zona de la brida debido a los esfuerzoscircunferenciales de compresion que allı se generan. Para obtener piezas aun mas profundas se empleauna embuticion en varias etapas o proceso de re-embuticion (redrawing).

Figura 4.4: Embuticion (izqda.) e hidroconformado (dcha.).

Los procesos anteriores necesitan de herramientas rıgidas para dar forma a la chapa. No obstante,en ocasiones es posible dar forma a la chapa empleando la presion ejercida por un fluido (e.g. aceite)sobre una herramienta flexible. Este metodo de conformado recibe el nombre hidroconformado (hy-droforming). Este consiste en dar forma a la chapa a partir de la presion que sobre ella, y a traves deun diafragma de caucho, ejerce un fluido presurizado en un contenedor (vease Figura 4.4). Aunque laspresiones requeridas en el fluido son muy elevadas, la reduccion en el coste de las herramientas haceque en determinados casos este metodo sea viable, especialmente para piezas complejas. La Figura 4.5muestra algunos ejemplos de piezas fabricadas por este metodo.

Figura 4.5: Hidroconformado de tubos.

Ademas de los metodos revisados aquı, existe una larga serie de procesos de conformado de chapaque para no hacer excesivamente extensa esta introduccion no se van a comentar. Entre estos cabedestacar el conformado de tubos, conformado rotativo de chapa, curvado con rodillos, etc.

4.2. Comportamiento plastico de la chapa

En lo que sigue se expondran las relaciones basicas que permiten modelar el comportamiento plasticode una chapa. Esta primera aproximacion se restringe al caso de una chapa isotropa, postergando elestudio de la anisotropıa y sus efectos al siguiente apartado.

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En la mayorıa de los procesos de conformado de chapa, las tensiones que principalmente la deformanson las que actuan en el propio plano de la chapa (tensiones de membrana), mientras que la tensionen sentido del espesor suele ser cero o muy pequena en comparacion con estas. Incluso cuando sobreuna de las caras de la chapa actua una herramienta, e.g. punzon, la presion que este produce suele sermucho menor que el lımite elastico del material, mientras que las tensiones en el plano de la chapa sison del orden del lımite elastico. Es por ello, que una simplificacion bastante realista, desde el punto devista practico, es suponer que la chapa se deforma aproximadamente bajo un estado de tension plana(TP). Esto permite simplificar las expresiones que modelan el comportamiento plastico de la chapa. Noobstante, existen casos en los que dicha hipotesis no es aplicable, siendo, por tanto, necesario emplearla teorıa de la plasticidad en su version tridimensional.

Ası mismo, se considerara en adelante que el proceso de deformacion es un proceso monotono,i.e. no se consideraran descargas intermedias, y ademas proporcional, i.e. durante la deformacion novariaran las direcciones principales de tension y/o deformacion.

Por ultimo, como es habitual en los procesos de conformado plastico de metales, se supondra enprimera aproximacion que las deformaciones elasticas (dεe) son despreciables en comparacion con lasdeformaciones plasticas (dεp)

dε = dεe + dεp ≈ dεp (4.1)

Figura 4.6: Ejes de referencia en la chapa bajo condiciones de Tension Plana (TP).

4.2.1. Relaciones basicas de la plasticidad

Sean los ejes 1 y 2 las direcciones principales de tension y deformacion en el plano de la chapa, yel eje 3, la direccion principal segun el espesor de la misma (Figura 4.6). Suponiendo un estado de TP,las tensiones y los incrementos de deformacion existentes son:

σ1 : σ2 : σ3 = 0dε1 : dε2 : dε3 = −(dε1 + dε2)

(4.2)

Por convenio se escoge como direccion 1 aquella en la que la tension es mayor (σ1 > σ2). Notese que dε3

se ha calculado imponiendo constancia del volumen durante la deformacion, es decir, dε1+dε2+dε3 = 0.

Llamando α y β a las relaciones de las tensiones y deformaciones en el plano de la chapa, las

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expresiones anteriores quedan:

σ1 : σ2 = ασ1 : σ3 = 0dε1 : dε2 = βdε1 : dε3 = −(1 + β)dε1

(4.3)

donde dεi = dli/li, siendo li la longitud instantanea de material en direccion i. Dado que se ha supuestoun proceso monotono proporcional las deformaciones pueden ser integradas directamente, quedando ladeformacion total en un punto de la forma:

ε1 : ε2 = βε1 : ε3 = −(1 + β)ε1 (4.4)

donde εi =∫ lif

li0dli/li = ln(lif/li0), siendo li0 y lif la longitud inicial y final en direccion i

Para relacionar las tensiones y deformaciones se supone una regla de flujo plastico igual a la propuestapor Levy-Mises.

dεij =32

dεeq

σeqsij (4.5)

donde σeq y dεeq son respectivamente la tension y el incremento de deformacion plastica equivalenteo efectiva, y sij representa las componentes del tensor de tensiones desviador (sij = σij − 1

3 tr(σ)δij).Esta expresion de la regla de flujo se obtiene suponiendo una superficie de fluencia del tipo von Mises,que en TP toma la forma:

12

[(σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)2 + (σ1 − σ3)2

]=

[1− α + α2

]σ2

1 = σ2Y (4.6)

donde σY representa el lımite elastico o tension de fluencia del material en un instante determinado.

Particularizando la Ec. 4.5 para un estado de TP en la chapa, en ejes principales, se obtiene:

dε1 = dεeq

σeq

[σ1 − 1

2σ2

]

dε2 = dεeq

σeq

[σ2 − 1

2σ1

]

dε3 = dεeq

σeq

[− 12 (σ1 + σ2)

](4.7)

o lo que es lo mismodε1

σ1 − 12σ2

=dε2

σ2 − 12σ1

=dε3

− 12 (σ1 + σ2)

=dεeq

σeq(4.8)

donde las expresiones de σeq y dεeq son de la forma:

σeq = σ1

√1− α + α2

dεeq =√

23 [dε2

1 + dε22 + dε2

3] = 2√3

dε1

√1 + β + β2

(4.9)

A partir de las ecuaciones 4.3 y 4.8 es posible obtener una relacion entre los parametros α y β.

1σ1 − 1

2σ2

σ2 − 12σ1

=(1 + β)

12 (σ1 + σ2)

(4.10)

Despejando α y β de la expresion anterior se tiene:

β =2α− 12− α

; α =2β + 12 + β

(4.11)

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Por ultimo, los esfuerzo principales por unidad de longitud en un punto de la chapa se definen como:

T1 = σ1 t : T2 = σ2 t = α T1 (4.12)

siendo t el espesor de la chapa en el punto considerado, el cual se obtiene facilmente a partir de ladefinicion de la deformacion en el espesor ε3:

t = t0 eε3 = t0 e−(1+β)ε1 (4.13)

donde t0 es el espesor inicial de la chapa.

Figura 4.7: Rejilla de cırculos para medir la deformacion en la chapa.

4.2.2. Modos de deformacion de la chapa en tension plana

En el estudio de cualquier proceso de conformado de chapa lo primero que se realiza es la determina-cion del estado deformacional en el material. Una forma muy intuitiva para realizar experimentalmenteesto es marcar inicialmente la superficie de la chapa, por ejemplo mediante ataque electroquımico,con una rejilla de cırculos de diametro conocido (d0), como se muestra en la Figura 4.7. A medidaque la chapa se deforma, los cırculos se convertiran en elipses, mostrando ası las deformaciones y lasdirecciones principales. En efecto, si d1 y d2 son los diametros mayor y menor de las nuevas elipses,las direcciones principales seran coincidentes con las direcciones de dichos diametros, mientras que lasdeformaciones principales se obtendran a partir de las expresiones siguientes:

ε1 = ln (d1/d0) ; ε2 = ln (d2/d0) = βε1 ; ε3 = ln (t/t0) = −(1 + β)ε1 (4.14)

Figura 4.8: Evolucion de la deformacion en un proceso de embuticion.

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Una vez obtenida la deformacion para cada uno de los puntos representativos de la pieza en dife-rentes instantes se tiene la evolucion de la deformacion a lo largo del proceso. Dicha informacion sesuele representar en un diagrama de deformaciones principales para su posterior analisis. La Figura 4.8muestra esquematicamente la evolucion de la deformacion en dicho diagrama de una operacion deembuticion en dos instantes diferentes. Este diagrama permite obtener gran informacion sobre el modode deformarse de la chapa.

Figura 4.9: Diagrama de deformaciones principales con diferentes modos de deformacion.

En lo que sigue analizaremos los distintos modos de deformacion y sus peculiaridades. Para ello,tomaremos un diagrama ideal como el mostrado en la Figura 4.9. Este diagrama no representa la evolu-cion de un proceso real, pero permite discutir los diferentes caminos de deformacion. La elipse mostradacorresponde al lugar geometrico de todos los puntos que tienen la misma deformacion equivalente, εeq,y, por tanto, todos estos puntos estaran sujetos al mismo nivel de endurecimiento.

Atendiendo al convenio establecido, en el que la direccion principal 1 es aquella en la que la defor-macion y la tension son mayores, se tiene que todo punto en el diagrama de deformaciones debe caera la izquierda de la diagonal del primer cuadrante (OA en la Figura 4.9), o lo que es lo mismo en laregion de β ≤ 1. Un segundo lımite al area de trabajo en dicho diagrama se obtiene atendiendo al hechode que el conformado de una chapa, mediante un proceso real, solo es posible si existen en la chapatensiones de traccion, es decir, σ1 ≥ 0. En el caso extremo en el que σ1 = 0, siendo necesariamenteσ2 < 0, se tiene que α = −∞ y β = −2, lo que determina el segundo lımite del area de trabajo realen el diagrama de deformaciones principales. Por tanto, el rango donde se deben encontrar todos lospuntos en el diagrama de deformaciones principales sera aquel en el que −2 ≤ β ≤ 1.

Dentro el rango de trabajo anterior, los diferentes caminos de deformacion son los siguientes:

Alargamiento biaxial igual en ambas direcciones (β = 1 : α = 1).

El camino OA reproduce esta situacion. En este caso las deformaciones y tensiones en el plano dela chapa son iguales en todas direcciones, por tanto, un circulo de la rejilla inicial se expandira, peroseguira siendo un cırculo, como se indica en el esquema de la Figura 4.9. Las relaciones entre tensiones

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y deformaciones quedan:

σ2 = σ1 ; dε2 = dε1 ; σ1 = σeq ; dε1 =12dεeq (4.15)

Como se puede observar de las expresiones anteriores, el incremento de deformacion equivalente esdos veces la deformacion principal maxima, indicando que en este estado el material se endurece masrapidamente que lo que corresponderıa a un estado de traccion para la misma dε1. Ademas, la reduccionde espesor en la chapa es maxima tambien en este modo de deformacion, dε3 = −2dε1. El espesor dela chapa se reduce al doble de velocidad que a la que se alarga el material en direccion 1. Este tipode deformacion aparece en el centro de una chapa, sujeta en su contorno, y deformada por un punzonhemiesferico, e.g. en el ensayo Erichsen (Figura 4.10).

Figura 4.10: Ensayo Ericsen (izqda.). Estado de deformacion plana (dcha.).

Deformacion plana (β = 0 : α = 1/2)

Este proceso corresponde al camino OB de la Figura 4.9. En este caso, el material en el plano dela chapa se alarga en una unica direccion, mientras que la otra permanece indeformada. Las relacionesentre tensiones y deformaciones quedan:

σ2 =12σ1 ; dε2 = 0 ; σ1 =

2√3σeq ; dε1 =

√3

2dεeq (4.16)

Esta situacion aparece en la zona central de piezas largas (Figura 4.10). Ademas, como se vera masdelante, la chapa tiene una mayor tendencia al fallo bajo este tipo de estados.

Traccion uniaxial (β = −1/2 : α = 0)

Este modo de deformacion viene dado en la Figura 4.9 por el camino OC. En este caso, la defor-macion ocurre siendo nula la menor tension principal (σ2 = 0). Este estado aparece en cualquier bordelibre donde la chapa se encuentre traccionada, e.g. en el borde libre formado tras horadar una chapa(Figura 4.11). Las relaciones entre tensiones y deformaciones quedan:

σ2 = 0 ; dε2 = −12dε1 ; σ1 = σeq ; dε1 = dεeq (4.17)

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Figura 4.11: Estados de traccion uniaxial (izqda.), cortante puro (centro) y compresion uniaxial (dcha.).

Deformacion por cortante puro o con espesor constante (β = −1 : α = −1)

A lo largo del camino OD las tensiones y deformaciones principales son iguales y de signo contrarioy, por tanto, la chapa se deforma sin variar su espesor (Figura 4.9). Aparece comunmente en el procesosde embuticion axilsimetrica, en la zona de material que esta a punto de introducirse en el hueco dela matriz (Figura 4.11). Si el material es suficientemente ductil, este estado permite alcanzar elevadosniveles de deformacion. Las relaciones de tension y deformacion quedan:

σ2 = −σ1 ; dε2 = −dε1 ; σ1 =1√3σeq ; dε1 =

√3

2dεeq (4.18)

Compresion uniaxial (β = −2 : α = −∞)

Este modo de deformacion sigue el camino OE en la Figura 4.9. Es un caso extremo, que ocurrecuando la tension principal maxima es nula. Aparece, por ejemplo, en el borde libre de la brida de unapieza embutida (Figura 4.11). Las relaciones de tension y deformacion son:

σ2 ≤ 0 ; dε2 = −2dε1 ; σ2 = −σeq ; dε2 = −dεeq (4.19)

Durante la compresion unixial el espesor de la chapa aumenta, dε3 = dε1 ≥ 0, impidiendo el desgarrode esta. No obstante, al ser la tension principal σ2 negativa existe una fuerte tendencia al arrugamientode la chapa.

4.2.3. Leyes de comportamiento efectivas o equivalentes

Una vez conocido el estado de deformaciones en la chapa, empleando por ejemplo el metodo expe-rimental de la rejilla de cırculos, el siguiente paso es calcular el estado tensional en que se encuentracada punto. Para ello, es necesario conocer la ley de comportamiento del material, la cual puede serobtenida experimentalmente. Dicha curva tension-deformacion (equivalente o efectiva), puede emplear-se directamente como entrada en los programas de simulacion numerica. No obstante, para calculosanalıticos, como los que aquı se tratan, es necesario recurrir a modelos o leyes empıricas simplificadasque aproximan los datos reales. Se revisan aquı algunos de estos modelos, resaltando su campo deaplicacion.

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Figura 4.12: Leyes de comportamiento usadas para analizar procesos de conformado de chapa.

Ley parabolica

Esta ley tiene la forma

σeq = Kεneq (4.20)

donde n es el exponente de endurecimiento y K es el coeficiente de resistencia. Un modelo parabolicode este tipo reproduce adecuadamente el comportamiento de materiales recocidos o sin deformacionprevia.

Ley parabolica con deformacion previa

Es una ley del tipo

σeq = K(ε0 + εeq)n (4.21)

La constante ε0 se denomina constante de deformacion previa. Se emplea para reproducir el com-portamiento de materiales con un lımite elastico claramente definido, por ejemplo, en materiales quehan sido endurecidos por deformacion en un proceso o pasada anterior. La constante ε0 representa ladeformacion impuesta en el proceso previo.

Ley constante (modelo rıgido-plastico perfecto)

Esta ley tan simple se emplea en casos en los que el endurecimiento por deformacion puede ser despre-ciable,

σeq = σY (4.22)

donde σY representa la tension de fluencia promedio durante la realizacion de un determinado proceso.

4.3. Anisotropıa. Efectos en el conformado

Como se ha comentado en la introduccion, la chapa se obtiene generalmente por laminacion. Esteproceso provoca una deformacion en los granos del material, ası como una rotacion o reorientacion delos planos de deslizamiento dentro de dichos granos. La consecuencia de esto es la aparicion de ciertasorientaciones preferenciales o textura en la microestructura del material. Esta direccionalidad hace quedeterminadas propiedades mecanicas, fısicas y quımicas dependan de la direccion del ensayo. Se diceque el material presenta un comportamiento anisotropo. Dicha anisotropıa afecta al desarrollo de ladeformacion de la chapa en posteriores procesos de conformado, debiendo, por tanto, ser tenida encuenta.

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Figura 4.13: Determinacion del coeficiente de anisotropıa plastica r. Direcciones de ensayo.

La chapa obtenida por laminacion presenta una direccion preferencial clara que es la direccionde laminacion, la cual define inequıvocamente las otras dos direcciones, transversal y normal (segun elespesor). La anisotropıa de la chapa se cuantifica generalmente a traves de los denominados coeficientesde anisotropıa plastica, r, obtenidos a partir de ensayos de traccion realizados en diferentes direcciones,en particular, segun direcciones que forman 0o, 45o y 90o respecto a la direccion de laminacion.

El coeficiente r, en una determinada direccion, se define como la relacion entre la deformaciontransversal (εw) y la deformacion normal (εt) obtenidas al ensayar una probeta de material cortada endicha direccion (vease la Figura 4.13 para la notacion).

r =εw

εt(4.23)

En general, la deformacion normal (εt) puede medirse directamente sobre la probeta. No obstante,en ocasiones es mas facil calcularla a partir de las deformaciones longitudinal (εl) y transversal (εw),imponiendo conservacion del volumen.

εl + εw + εt = 0 → εt = ln(

h1

h0

)= ln

(l0w0

l1w1

)(4.24)

Tipos de anisotropıa

Dependiendo del como sean lo valores de r en diferentes direcciones aparecen distintos tipos de aniso-tropıa.

1. Isotropıa: Se tiene cuando al realizar ensayos de traccion en diferentes direcciones, e.g. las direc-ciones 0o, 45o y 90o, los valores de los distintos r son iguales a la unidad.

r0o = r45o = r90o = 1

2. Anisotropıa normal : Se da cuando los r en el plano son iguales entre si, pero distintos de launidad.

r0o = r45o = r90o 6= 1

3. Anisotropıa en el plano: Aparece cuando los r son diferentes en cada direccion dentro del planode la chapa.

r0o 6= r45o 6= r90o

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Es usual que en una chapa real coexistan tanto la anisotropıa normal como la anisotropıa en el plano.Para separar ambos tipos se definen dos parametros promedios. Por un lado, se define el coeficiente deanisotropıa plastica medio, denotado por r, rm o simplemente r, que cuantifica el grado de anisotropıanormal.

r =r0o + 2 r45o + r90o

4(4.25)

Por otra parte, se define el parametro ∆r como medida de la anisotropıa en el plano, el cual cuantificala diferencia entre el comportamiento medio a 0o y 90o y el comportamiento a 45o.

∆r =r0o − 2 r45o + r90o

2(4.26)

Efectos de la anisotropıa

La existencia de una anisotropıa en el plano (∆r 6= 0) provoca que la chapa se deforme de maneradiferente dependiendo de la direccion que se tome. Este hecho se puede observar claramente en laspiezas embutidas, en las cuales debido a esta anisotropıa aparecen unos bordes ondulados caracterısticos,denominados orejetas (vease Figura 4.14). Este fenomeno recibe el nombre de orejeteado.

Figura 4.14: Orejeteado debido a la anisotropıa en el plano (izqda.). Efecto de la anisotropıa normal(dcha.).

La anisotropıa normal (r 6= 1) tiene un notorio efecto en el comportamiento plastico del material,influyendo directamente en la capacidad de la chapa a conformarse y en la tendencia al fallo de lamisma. Un valor de r > 1 indica que la deformacion normal que sufre la chapa es menor que sudeformacion transversal. Este hecho puede verse tambien como que la chapa muestra cierta resistenciaal adelgazamiento mientras se deforma en su plano. Dado que el adelgazamiento localizado es una delas causas mas comunes de fallo en la chapa, como veremos en la siguiente seccion, un valor de r > 1tiene como efecto el retraso del fallo de la chapa, favoreciendo ası su conformacion.

Por otra parte, la anisotropıa normal modifica tambien la forma de la superficie de fluencia. Ası,un valor de r superior a la unidad alarga la elipse de fluencia en el diagrama σ1-σ2 segun su eje mayory la acorta ligeramente segun su eje menor (vease Figura 4.14-dcha.-b). Este efecto ocasiona que,dependiendo del estado tensional en que nos encontremos, la resistencia del material en dicho puntosea superior o inferior a la que se obtendrıa con un material isotropo. Ası, para estados de tensiones que

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caigan en el primer y tercer cuadrante en el diagrama σ1-σ2, i.e. estados traccion-traccion o compresion-compresion, un material con r > 1 se mostrara mas resistente que si fuese isotropo, retrasandose elfallo en este punto. Este efecto ocurre por ejemplo en la zona de la pared y la base de piezas embutidas,como se muestra en la Figura 4.14. De otra parte, para estados traccion-compresion y viceversa (2o y4o cuadrantes) y r > 1, el material se muestra ligeramente menos resistente que uno isotropo. Estecaso aparece en la zona de la brida de piezas embutidas (Figura 4.14).

Formulacion teniendo en cuenta la anisotropıa

Uno de los criterios de fluencia para materiales anisotropos mas empleados es el propuesto por Hill, elcual es una generalizacion del criterio de von Mises para materiales isotropos. La expresion general delcriterio de Hill en unos ejes genericos xyz es la siguiente:

F (σy − σz)2 + G(σz − σx)2 + H(σx − σy)2 + 2Lτ2yz + 2Mτ2

zx + 2Nτ2xy = 1 (4.27)

donde F ,G,H,L,M y N son constantes del material a determinar. Para el caso de una chapa bajo unestado de TP el criterio toma la forma siguiente:

(H + G)σ2x + (F + H)σ2

y − 2Hσxσy + 2Nτ2xy = 1 (4.28)

La tension equivalente se define como aquella tension que para un ensayo de traccion segun el eje xes igual al lımite elastico en dicha direccion (σx

Y ) al inicio de la plastificacion. Imponiendo esta condicionen la Ec. (4.28) se tiene,

σeq =√

σ2x + (f + h)σ2

y − 2hσxσy + 2nτ2xy (4.29)

donde f = F (σxY )2, g = G(σx

Y )2, h = H(σxY )2, n = N(σx

Y )2 y ademas se debe cumplir h + g = 1. Lasuperficie de fluencia queda por tanto como:

f(σij) = σeq − σxY = 0 (4.30)

donde f(σij) no es mas que el potencial plastico. Notese que para f = g = h = l = m = n (= 0,5),es decir, para un material isotropo, el criterio anterior coincide con el de von Mises.

Haciendo uso del potencial plastico y de la expresion general de la regla de flujo (dεij = dεeq

σeq

∂f(σij)∂σij

),

se obtiene la siguiente relacion entre los incrementos de deformaciones y las tensiones:

dεx = dεeq

σeq[(h + g)σx − hσy]

dεy = dεeq

σeq[(h + f)σy − hσx]

dεz = − (dεx + dεy) = −dεeq

σeq[gσx + fσy]

dγxy = dεeq

σeq[2nτxy]

(4.31)

El incremento de deformacion plastica equivalente (dεeq) se puede calcular facilmente a partir deltrabajo plastico, imponiendo dWP = σeqdεeq, llegandose a la relacion:

dεeq =

√(h + f)dε2

x + 2hdεxdεy + (h + g)dε2y

gh + fh + gf+

dγ2xy

2n(4.32)

Las expresiones anteriores completan las ecuaciones necesarias para abordar el analisis del conforma-do de chapas anisotropas. No obstante, para su uso es necesario obtener las 5 constantes del material

Page 15: An¶alisis de los Procesos de Conformado de Chapa

Ampliacion de Tecnologıa de Fabricacion 15

σxY , h, f , g y n. Ello se consigue realizando tres ensayos de traccion segun las direcciones 0o, 45o y 90o

de la chapa. De estos se obtiene σxY directamente y los coeficientes r0o , r45o y r90o , los cuales se pueden

expresar en funcion de las constantes anteriores, todo ello junto con la relacion h + g = 1 forman elconjunto de ecuaciones necesario.

Para obtener la relacion entre los r y los parametros h, f , g y n es conveniente obtener primero laexpresion del coeficiente de anisotropıa plastica, (rα), segun una direccion generica que forma α gradoscon la direccion x. Realizando un simple ejercicio de cambio de sistema de referencia de tensores esfacil obtener la expresion de rα,

rα =dε(α+ π

2 )

dεz=

h− (4h + g + f − 2n) sen2α cos2α

g cos2α + f sen2α(4.33)

Particularizando dicha expresion para las direcciones 0o, 45o y 90o se tiene:

r0o =h

g; r90o =

h

f; r45o =

n

g + f− 1

2(4.34)

Para finalizar, se presentan las expresiones hasta aquı obtenidas particularizadas para un caso degran interes practico como es el de una chapa con anisotropıa normal. Haciendo r0o = r0o = r45o = rse tiene que

h =r

r + 1; g = f =

1r + 1

; n =2r + 1r + 1

(4.35)

Suponiendo ademas que nos encontramos en los ejes principales de la chapa (1-2-3) (τxy = dγxy = 0),las expresiones anteriores quedan:

σeq =

√σ2

1 + σ22 −

2r

r + 1σxσy = σ1

√1 + α2 − 2r

r + 1α (4.36)

dεeq =r + 1√2r + 1

√dε2

1 + dε22 +

2r

r + 1dε1dε2 =

r + 1√2r + 1

dε1

√1 + β2 +

2r

r + 1β (4.37)

dε1 = dεeq

σeq

[σ1 − r

r+1σ2

]= dεeq

σeqσ1

[1− rα

r+1

]

dε2 = dεeq

σeq

[σ2 − r

r+1σ1

]= dεeq

σeqσ1

[α− r

r+1

]

dε3 = − (dε1 + dε2)

(4.38)

donde las relaciones α = σ2/σ1 y β = dε2/dε1 pueden obtenerse a partir de la regla de flujo, al igualque se hizo en el caso isotropo,

β =(r + 1)α− r

(r + 1)− rα; α =

(r + 1)β + r

(r + 1) + rβ(4.39)

4.4. Inestabilidad y fallo de la chapa. Diagrama lımite de conformado.

Todo proceso de conformado esta limitado por el “fallo” de la chapa, entendiendo por fallo no solola rotura del material sino tambien cualquier otro evento que inutilice la pieza. Entre los mas comunesestan los siguientes:

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16 Area de Ingenierıa de los Procesos de Fabricacion

Inestabilidad global : Ocurre cuando la pieza no es capaz de soportar una determinada fuerza. Elefecto que se observa es que la fuerza sobre la pieza alcanza un maximo a partir del cual la chapano es capaz de transmitir mas carga, deformandose globalmente hasta que se produce la roturadel material. Un ejemplo tıpico de esto es el fallo una probeta cilındrica a traccion. Al alcanzarla carga de rotura se produce una estriccion en la probeta, denominada estriccion difusa, y sedesencadena un proceso de deformacion inestable que conduce al fallo de la misma.

Inestabilidad localizada: Se produce por la aparicion de una estriccion localizada en una banda muyestrecha. Una vez que esta aparece, se concentra en dicha region toda la deformacion posteriordel material, provocando un adelgazamiento progresivo de la chapa hasta ocasionar el desgarrode la misma. Este modo de fallo es el mas comun en materiales ductiles. La Figura 4.15 muestraesquematicamente los fenomenos de estriccion difusa y localizada en el ensayo de traccion de unachapa.

Figura 4.15: Ensayo de traccion de una chapa diferenciando la estriccion difusa y localizada.

Fractura: Dependiendo de la ductilidad del material, tras una determinada deformacion estepuede romper bien de manera ductil, como consecuencia de un proceso de iniciacion, crecimientoy coalescencia de huecos en el material, o bien de forma fragil, como consecuencia del clivaje desu microestructura.

Arrugamiento: Es uno de lo principales fallos que aparecen bajo estados de compresion. Ocurrecuando las tensiones de compresion hacen que la chapa pandee localmente, provocando ası elarrugamiento de una determinada zona, y dejando, por tanto, inservible la pieza.

En lo que sigue nos centraremos en el fallo por inestabilidad localizada por ser el mas comun y, portanto, uno de los que mas limita los procesos de conformado de chapa.

Inestabilidad localizada

Durante los procesos de conformado de chapa se observa que, bajo determinadas circunstancias, llegaun momento en que la deformacion de la chapa se concentra a lo largo de una zona de ancho muyreducida. Dicha zona recibe el nombre de estriccion localizada, siendo su ancho del orden del espesorde la chapa. Una vez que esta aparece, toda la deformacion posterior de la chapa se produce en ella,mientras que el resto de la chapa no se deforma significativamente. Esto ocasiona un adelgazamientoprogresivo e inestable del material en la region de la estriccion, el cual conduce inevitablemente aldesgarro de la chapa.

Experimentalmente se observan dos hechos importantes. Por un lado, la inestabilidad localizadaaparece cuando la fuerza principal maxima alcanza un valor maximo. Por otro lado, se observa que, enla zona de la estriccion, la deformacion a lo largo de la misma es nula. Esto implica que, al aparecerla estriccion, las condiciones locales de deformacion en esta zona son de Deformacion Plana (DP),independientemente del estado global de deformacion en el resto de la pieza.

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Ampliacion de Tecnologıa de Fabricacion 17

Figura 4.16: Esfuerzos en la chapa (izqda.). Estriccion localizada y su orientacion (dcha.).

A tenor de lo anterior, suponiendo un proceso monotono proporcional, la condicion para que seproduzca la estriccion localizada se expresa de la siguiente forma (Figura 4.16):

dT1 = 0 → d(σ1t) = 0 → dσ1

σ1+

dt

t= 0 (4.40)

debiendose cumplir ademas la condicion de alargamiento nulo, es decir, dε2′ = 0, donde la direccion 2′

esta orientada a lo largo de la estriccion (vease Figura 4.16). Expresando la Ec. (4.40) en terminos dedeformaciones, se tiene

dσ1

σ1= −dt

t= −dε3 = (1 + β)dε1 → 1

σ1

dσ1

dε1= 1 + β (4.41)

Suponiendo una ley de comportamiento isotropa parabolica, σeq = Kεneq, y haciendo uso de las expre-

siones de σeq y dεeq dadas en la Ec. (4.9), la Ec. (4.41) indica que la estriccion localizada se producecuando ε1 alcanza un valor crıtico de:

ε∗1 =n

1 + β(4.42)

Teniendo en cuenta que β = ε2/ε1, se tiene que la condicion para la aparicion de inestabilidad localizadaqueda de la forma:

ε∗1 + ε∗2 = n (4.43)

A partir de las expresiones desarrolladas en la seccion anterior, se puede comprobar que esta condicionde inestabilidad es valida tambien para materiales anisotropos.

Nota: Se deja como ejercicio la obtencion de la condicion de inestabilidad localizada para un ley de comporta-

miento del tipo σeq = K(ε0 + εeq)n (Solucion: ε∗1 + ε∗2 = n−

√3

21+β√

1+β+β2ε0).

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18 Area de Ingenierıa de los Procesos de Fabricacion

Figura 4.17: Diagrama Lımite de Conformado (izqda.): (a) Condicion de esfuerzo principal maximo;(b) Evolucion experimental del DLC en el rango biaxial de traccion. Cırculo de Mohr en incrementodeformaciones para determinar la direccion de alargamiento nulo (dcha.).

Si la condicion de inestabilidad dada por la Ec. (4.43) se dibuja en el espacio de deformacionesprincipales, este queda dividido en dos partes (Figura 4.17-izqda.-a). Si un punto de la chapa se situapor debajo de la condicion de la Ec. (4.43), indica que la inestabilidad localizada no se producira y, portanto, la chapa no falla por esta causa en ese punto. En dicha region sera posible conformar la chapacon seguridad. Por el contrario, si el punto esta por encima de la condicion anterior, significa que endicho punto se habran alcanzado la condiciones necesarias para la aparicion de la inestabilidad plastica,produciendose por tanto el fallo de la chapa. Este grafico en su conjunto recibe el nombre de DiagramaLımite de Conformado (DLC), el cual sera tratado mas adelante.

La orientacion de la estriccion, respecto de la direccion de la deformacion maxima, puede obtenersefacilmente a partir de la condicion de alargamiento nulo (dε2′ = 0). Ası, empleando el cırculo de Mohren deformaciones (vease Figura 4.17), es inmediato comprobar que el plano de alargamiento nulo formaun angulo θ con la direccion principal 1 de valor, el cual viene dado por la expresion:

cos2θ =β + 1β − 1

(4.44)

Como ejemplo de esta expresion, es inmediato determinar que para un ensayo de traccion (β = −1/2)la estriccion localizada se orienta formando un angulo de 54,74o respecto de la direccion de traccion,mientras que bajo un estado de DP, la estriccion aparece perpendicular a la direccion de deformacionprincipal maxima.

Es interesante hacer notar que el modelo presentado hasta ahora recoge correctamente el hecho deque no es fısicamente posible el desarrollo de una estriccion localizada para valores de β < −1, dadoque en dicho rango la chapa sufre un aumento del espesor. Ello se pone de manifiesto en el hecho deque la curva del DLC, en el segundo cuadrante, discurre paralelo al camino β = −1. Sin embargo,este modelo presenta una clara limitacion. Este solo es valido para valores de β menores que cero. Enefecto, como se puede deducir analizando el circulo de Mohr, si β es mayor que cero, implica que ambasdeformaciones principales son positivas y, por tanto, no existe ninguna direccion con alargamiento nulo.

Segun el modelo anterior, en principio, no es posible que aparezca una inestabilidad localizada enel rango de deformaciones biaxiales de traccion. No obstante, la evidencia experimental muestra locontrario. Se observa que, en dicho rango (β > 0), el fallo de la chapa sigue produciendose por laaparicion de una inestabilidad plastica tras formacion de una estriccion localizada. Para tener en cuentaeste hecho es, por tanto, necesario desarrollar un nuevo modelo de prediccion de fallo para el caso deestados biaxiales de traccion. Se han propuesto numerosas teorıas para solventar este problema. Laque ha cobrado mas fuerza en los ultimos anos es la formulada por Marciniak y Kuczynski en 1967, lo

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Ampliacion de Tecnologıa de Fabricacion 19

cuales postulan que, en el rango β > 0, la estriccion localizada se inicia en defectos o imperfeccionespreexistentes en el material. Por imperfecciones los autores se refieren principalmente a reduccioneslocales del espesor de la chapa. No obstante, pueden considerarse tambien como imperfecciones lasreducciones locales de resistencia, las inclusiones y la propia rugosidad superficial de la chapa. Lahipotesis de Marciniak y Kuczynski reconcilia satisfactoriamente experimentacion y teorıa, permitiendoası obtener la evolucion de la condicion de inestabilidad localizada en el rango 0 < β ≤ 1. La deduccionde dicha condicion cae fuera del ambito de este curso. No obstante, la forma cualitativa de dichacondicion se muestra esquematicamente en la Figura 4.17-izqda.-b y de manera mas realista en laFigura 4.18.

Figura 4.18: Evolucion real del DLC para diferentes materiales en todo el rango de β.

Diagrama Lımite de Conformado (DLC)

El DLC se introdujo en sobre la decada de los 60, convirtiendose rapidamente en una de las herramien-tas mas importantes para diagnosticar el fallo en procesos de conformado de chapa. Para ello, solo senecesita evaluar las deformaciones sobre la pieza en concreto, lo cual se hace mediante el metodo dela rejilla de cırculo ya comentado, y dibujar el estado de deformacion de los puntos mas crıticos de lapieza en el DLC. Dependiendo de la region en que caigan dichos puntos se predice el fallo o no de lachapa, dando una idea clara de cuales son las zonas mas conflictivas de la piezas.

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20 Area de Ingenierıa de los Procesos de Fabricacion

Figura 4.19: Esquema del ensayo y probetas para la determinacion de los DLC.

Aunque hoy en dıa se tiende cada vez mas a estimar numerica o analıticamente la forma del DLC,por ejemplo, mediante los modelos expuestos anteriormente, sigue siendo bastante habitual obtenerlosexperimentalmente. Los ensayos a realizar son muy parecidos el ensayo Erichsen. Consisten en deformarla chapa, sujeta en sus extremos, con un punzon hemiesferico bien lubricado como se muestra en laFigura 4.19. Para conseguir los diferentes estados de deformacion en la chapa (diferentes valores β),de forma que se cubra el rango del DLC, se realiza el ensayo con probetas de ancho variable. Ası,una probeta cuadrada, como la de la derecha de la Figura 4.19, proporciona un estado biaxial dealargamiento β = 1, mientras que una probeta, como la de la parte izquierda, reproduce un estadouniaxial de tension (β = −1/2). Una vez obtenidos los valores crıticos de deformacion, que provocanla aparicion del fallo de la chapa para cada β, se confecciona el DLC.

Los DLC dependen obviamente del material y del espesor de la chapa que se esta usando. Veamosaquı algunos otros factores de influencia y sus efectos:

Endurecimiento por deformacion:Como se deduce de la Ec. (4.43), la curva del DLC corta al eje de deformacion principal maximaen un valor igual a n, hecho que ocurre tambien aproximadamente en la realidad. Esto implicaque, a medida que disminuye el exponente de endurecimiento, e.g. por efecto de un trabajo enfrıo previo, la curva del DLC disminuye proporcionalmente, reduciendo ası las posibilidades deun conformado seguro (Figura 4.20). Es interesante destacar que cuando n → 0, e.g. una chapamuy deformada en frıo, la capacidad de conformado en el rango β < 0 se agota completamente,sin embargo es posible todavıa conformarla bajo un estado de traccion biaxial β = 1.

Velocidad de deformacion:En el conformado de chapa (conformado en frıo) la velocidad de deformacion practicamente noafecta al comportamiento global del material. No obstante, si tiene influencia en el desarrollo dela estriccion localizada, retrasando o acelerando el proceso de adelgazamiento del espesor de lachapa. Un exponente de sensibilidad a la velocidad de deformacion (m) alto hace que se retraseel desarrollo de la estriccion, permitiendo que se alcance una mayor deformacion en la laminaantes de producirse el desgarro. Esto supone que, para m altos, el DLC se situa ligeramente masarriba que para m inferiores (Figura 4.20).

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Ampliacion de Tecnologıa de Fabricacion 21

Figura 4.20: Efecto del endurecimiento (n) y de la velocidad de deformacion (m) en el DLC.

Fractura ductil :La fractura ductil produce una intensa concentracion de la deformacion segun los planos de defor-macion principal maxima, hasta producir la rotura del material. Para materiales suficientementeductiles, esta forma de fractura aparece una vez iniciada la estriccion localizada y se ha desarro-llado ya el estado local de DP. En dichas circunstancias la fractura ductil no modifica el DLC,ya que ocurre con posterioridad a la iniciacion de la inestabilidad. No obstante, para materialescon baja ductilidad, e.g. aleaciones de aluminio, la fractura puede llegar a ocurrir en la zona de laestriccion antes que se inicie la inestabilidad, reduciendose ası la deformacion maxima admisibleque puede soportar la chapa y truncando, por tanto, el DLC (vease Figura 4.21). Esto ocurrecon mayor facilidad bajo estados deformacionales proximos a los biaxiales de traccion, es decir,β ≈ 1.

Figura 4.21: Efecto de la fractura ductil y de las imperfecciones en el DLC.

Imperfecciones:Dado que la estriccion localizada se inicia con mas facilidad en los defectos del material, es obvioestablecer que cuanto mayor sea el numero y/o tamano de estas imperfecciones o inhomogenei-dades de la chapa, mas baja se situara la curva del DLC (Figura 4.21). Como ya se ha comentado,el termino imperfecciones hace referencia no solo a reducciones locales del espesor en la chapa,sino tambien a inclusiones, reducciones locales de resistencia por efecto de la microestructura eincluso a la propia rugosidad superficial.

Page 22: An¶alisis de los Procesos de Conformado de Chapa

22 Area de Ingenierıa de los Procesos de Fabricacion

Finalmente, la Figura 4.22 muestra esquematicamente un diagrama de conformado completo, el cualincluye los diferentes tipos de fallo comentados al principio de este apartado. Disponer de un diagramade este tipo, bien experimental o estimado, es de gran interes para el analisis y optimizacion de losprocesos de conformado de chapa.

Figura 4.22: DLC completo incluyendo todos los posibles tipos de fallo.

4.5. Aplicaciones

4.5.1. Conformado por traccion. Estirado y estampacion

Como se ha comentado en la introduccion, la estampacion y el estirado son procesos que conformanla chapa sometiendola esencialmente a un estado de traccion. La chapa se sujeta a la matriz medianteun prensa-chapa o pisador. La diferencia fundamental entre la estampacion y el estirado es que, en laprimera, se permite que el material fluya dentro del hueco de la matriz, mientras que en el estirado nodebe ocurrir esto, la chapa debe quedar perfectamente sujeta por el pisador. Para controlar la fuerza desujecion se emplean generalmente rebordes de sujecion (draw-bead) (vease Figura 4.23). Estos restrin-gen el flujo de material mediante sucesivos plegados de la chapa en diferentes sentidos, aumentandoası la resistencia de esta a fluir dentro de la matriz, y disminuyendo con ello la fuerza necesaria en elprensa-chapa. Una de las principales ventajas de estos dos procesos es la escasa recuperacion elasticaque presentan las piezas en comparacion con las obtenidas por otros metodos. Como ya se apunto, ellose debe a la homogeneidad o uniformidad de la deformacion en el espesor de la chapa. En este caso,todas las fibras se encuentran sujetas a un alargamiento. La Figura 4.23 muestra el esquema del procesode estampacion de lo que podrıa ser una pieza de automocion empleando dos estampas opuestas.

Page 23: An¶alisis de los Procesos de Conformado de Chapa

Ampliacion de Tecnologıa de Fabricacion 23

Figura 4.23: Esquema de la estampacion de una pieza compleja. Detalle de los rebordes de sujecion.

Aunque grado de complejidad de las piezas obtenidas por estirado o estampacion puede llegar aser alto, para fijar los conceptos y hacer viable el estudio analıtico de estos procesos, nos centraremosen lo que sigue en una geometrıa 2D simple como la mostrada en la Figura 4.24. Por simplicidad sesupondra tambien que el material tiene un comportamiento isotropo.

Figura 4.24: Modelo 2D de estampacion en deformacion plana. Geometrıa y notacion.

Modelo 2D en deformacion plana

Imaginemos que la pieza que se va a conformar es suficientemente larga, tal que que hace posible su-poner que las sucesivas secciones rectas de la misma, suficientemente lejos de los extremos, se deformande igual forma. En otras palabras, supongamos que la chapa se deforma bajo un estado de Deforma-cion Plana (DP). Esta situacion se presenta en muchos casos reales. Ası, para analizar la deformacionde la pieza solo sera necesario estudiar la deformacion en 2D de una seccion, la cual estara sometidaconjuntamente a un estado de tension plana y de deformacion plana. Veamos, por tanto, cuales sonlas ecuaciones basicas necesarias para el analisis de este tipo de situaciones. La Figura 4.24 muestra losparametros geometricos necesarios y la notacion empleada.

• Deformaciones, tensiones y esfuerzos

Particularizando las ecuaciones basicas para una chapa isotropa en tension plana, obtenidas en la Seccion2, al caso de un estado de deformacion plana (β = 0 ; α = 1/2), se obtienen las siguientes relaciones

Page 24: An¶alisis de los Procesos de Conformado de Chapa

24 Area de Ingenierıa de los Procesos de Fabricacion

entre deformaciones y tensiones:

σ1 6= 0 : σ2 = 12σ1 : σ3 = 0 : σeq =

√3

2 σ1

dε1 6= 0 : dε2 = 0 : dε3 = −dε1 : dεeq = 2√3dε1

(ε1 6= 0 : ε2 = 0 : ε3 = −ε1 : εeq = 2√3ε1)

(4.45)

El espesor de la chapa en un punto determinado se obtiene mediante la siguiente expresion.

t = t0 eε3 = t0 e−ε1 (4.46)

Suponiendo una ley de comportamiento del tipo σeq = K(ε0 + εeq)n, los esfuerzos por unidad delongitud toman la forma:

T1 = σ1t =2K√

3

[ε0 +

2√3

ε1

]n

t0 e−ε1 : T2 =12

T1 (4.47)

• Ecuaciones de Equilibrio

Consideremos un trozo de chapa como la mostrada en la Figura 4.25. En general, dicho elemento seencontrara sometido a una presion p debida al punzon y a una tension de friccion µp si el elementoesta deslizando sobre el punzon, donde µ es el coeficiente de friccion. Veamos como se relacionan losesfuerzos en los extremos del este elemento con la presion y la tension de friccion.

Figura 4.25: Equilibrio de una porcion de chapa deslizando sobre el punzon.

Del equilibrio radial de un diferencial de elemento se tiene (vease Figura 4.25):

(T1 + dT1)dθ

2+ T1

2= p R dθ → p =

T1

R=

σ1t

R(4.48)

Realizando ahora el equilibrio a lo largo de la chapa obtenemos:

(T1 + dT1) cosdθ

2− T1 cos

2= µ p R dθ → dT1

T1= µ dθ (4.49)

Page 25: An¶alisis de los Procesos de Conformado de Chapa

Ampliacion de Tecnologıa de Fabricacion 25

p

Ι

θJ

T1JθIJ

1IT

µ p

J

Ι

θ

Figura 4.26: Equilibrio de una porcion de chapa deslizando sobre el punzon.

Integrando la expresion anterior entre un punto inicial I y otro final J (vease Figura 4.26) se llegaa que

T1J = T1I eµ (θJ−θI) = T1I eµθIJ (4.50)

Como se puede observar, la fuerza por unidad de longitud entre dos puntos depende del coeficiente defriccion (µ) y del angulo barrido al pasar de un punto al otro (θIJ = θJ − θI). Esta expresion debeaplicarse a tramos IJ en los que la friccion no cambia de signo y no existen puntos de inflexion.

• Fuerza en el prensa-chapa

En el caso de la estampacion, la fuerza por unidad de longitud aplicada por el prensa-chapa (B) debepermitir en deslizamiento de la chapa. Esta se obtiene, por tanto, imponiendo el equilibrio longitudinalde la chapa (Figuras 4.27-izqda.)

T1E = 2µB → B =T1E

2µ(4.51)

donde T1E es el esfuerzo por unidad de longitud en el punto E (punto inicial de contacto en el prensa-chapa), como se muestra en las Figuras 4.24 y 4.27). En el caso de un estirado, la fuerza debera sersuperior a la anterior, a fin de evitar el deslizamiento de la chapa en el pisador.

Si la zona de contacto del prensa-chapa abarca desde el punto E al punto F (ver detalle en laFigura 4.24), es usual suponer que la fuerza por unidad de longitud en la chapa varıa linealmente en ladistancia EF , siendo nula en el punto F (T1F = 0), como se indica en la Figura 4.27-izqda..

Figura 4.27: Fuerza en el prensa-chapa (izqda.). Fuerza en el punzon (dcha.).

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26 Area de Ingenierıa de los Procesos de Fabricacion

• Fuerza en el punzon

La fuerza F que actua en el punzon (vease Figura 4.27-dcha.) se obtiene poniendo en equilibriotoda la porcion de chapa en contacto con el punzon. Ası, siendo el punto B el ultimo punto de contactocon el punzon, como se muestra en la citada figura, y siendo θB el angulo que forma la chapa con lahorizontal en este punto, se tiene que

F = 2 T1B sen θB (4.52)

• Distribuciones de deformacion, espesor y esfuerzos

Llegados a este punto es posible obtener la evolucion a lo largo de la chapa de todas las variablesnecesarias para analizar el proceso en su conjunto, estas son, las deformaciones, los espesores y losesfuerzos. La metodologıa a seguir para ello es muy simple:

1. Conocida en un determinado instante la deformacion de un punto I de la chapa (ε1I), es posibleconocer en dicho punto la tension σ1I , el espesor tI y el esfuerzo por unidad de longitud T1I atraves de las Ec. (4.45), (4.46) y (4.47).

2. Mediante la Ec. (4.50) podemos calcular la fuerza por unidad de longitud en un otro puntocualquiera J (T1J).

3. Empleando ahora la Ec. (4.47), es posible obtener iterativamente el valor de la deformacion ε1J

en dicho punto y, con ello, se conocerıan nuevamente todas las variables en el punto J .

Repitiendo este proceso para cada uno de los puntos representativos de la pieza, es posible obtener laevolucion completa de cualquier variable a lo largo de la chapa en un instante determinado.

Figura 4.28: Evolucion esquematica de la deformacion, espesor y esfuerzo en la chapa.

La Figura 4.28 muestra la distribucion cualitativa de la deformacion, el espesor y la fuerza porunidad de longitud para la geometrıa propuesta en este apartado.

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Ampliacion de Tecnologıa de Fabricacion 27

Ejemplo:

Mediante conformado de chapa por estirado se pretende realizar un componente como el mostradode la Fig.4.24 pero con la pared BC vertical. La chapa es de acero de 0.8 mm de espesor. La curva decomportamiento tension-deformacion en un ensayo de traccion sigue la ley:

σeq = 628,39 ε0,23eq (MPa)

Las dimensiones del componente (ver Fig.4.24) son:

a = 330 mmc = 0 (pared BC vertical)RF = 2800 mmRP = RD = 10 mmBC = 28 mm

DE = 0 mmEF = 80 mmFG = 0 mmt0 = 0,8 mm

Se pide:

a. Sabiendo que la deformacion en el punto O (ε1(O)) es de 0.03 y el coeficiente de friccion esµ = 0,1, estimar la fuerza B del prensa-chapa.

b. Obtener los diagramas de fuerzas T1, presiones p, deformaciones ε1 y espesores tc. Estimar el ancho inicial de la chapa.d. Si en el instante indicado la chapa estuviese a punto de fallar, estimar la fuerza del punzon F y

la deformacion en el punto O (ε1(O)).

Solucion:

Apartado a.

La fuerza del prensa-chapa sera (Ec. 4.51):

Bmin =T1(D)

Conocido ε1(O) = 0,03 y aplicando la Ec. 4.47 se obtiene la fuerza en el punto O:

T1(O) = 260 KN/m

A partir de T1(O) y empleando la Ec. 4.50 podemos calcular la fuerza en los puntos representativos(A,B,C,E,D):

En A:

(RF −RP )senθOA = a−RP ⇒ θOA = 0,115 rad (6,6o)

T1(A) = T1(O)eµθOA = 263 KN/m

Page 28: An¶alisis de los Procesos de Conformado de Chapa

28 Area de Ingenierıa de los Procesos de Fabricacion

En B:

θOB = π/2 rad

T1(B) = T1(O)eµθOB = 304,2 KN/m

En C:

T1(C) = T1(B) = 304,2 KN/m

En D≡E:

θDC = −π/2 rad

T1(D) ≡ T1(E) = T1(C)e−µθDC = 260 KN/m

Ası se tiene que:

Bmin =T1(D)

2µ= 1300 KN/m

Apartado b.

En el apartado A se han obtenido las fuerzas T1 en los puntos representativos. La evolucion de lafuerza entre dichos puntos puede suponerse lineal.

Para calcular los diagramas de las demas variables se hara lo mismo, es decir, se calcularan dichasvariables en los puntos significativos y se supondra una variacion lineal entre ellos.

Ası, haciendo uso de la Ec. 4.50 se tiene:

p(O) = T1(O)/RF = 0,093 MPap(A)|OA = T1(A)/RF = 0,094 MPa (en el tramo OA)p(A)|AB = T1(A)/RP = 26,3 MPa (en el tramo AB)p(B)|AB = 30,42 MPap(B)|BC = 0 MPap(C)|BC = 0 MPap(C)|CD = 30,42 MPap(D) = 26 MPapF = 0

La deformacion en cada punto se obtiene resolviendo iterativamente la Ec. 4.47 en cada caso:

Page 29: An¶alisis de los Procesos de Conformado de Chapa

Ampliacion de Tecnologıa de Fabricacion 29

Punto A :

263 10−3 MN/m = 750 MN/m2 (0,8 10−3 mm) ε0,231(A) e−ε1(A) ⇒ ε1(A) ≈ 0,032

De la misma forma se tiene:

ε1(B) ≈ 0,071ε1(C) = ε1(B) ≈ 0,071ε1(E) = ε1(D) = ε1(O) ≈ 0,03ε1(F ) = 0

Apartado c.

El ancho inicial w0 de la chapa se obtendra imponiendo conservacion del volumen:

w0 t0 = 2∑

si ti

donde si es la longitud de cada tramo y ti el espesor medio en cada tramo (i = OA, AB, BC, . . .).El factor 2 aparece por simetrıa.

La longitud y espesor medio de cada tramo es:

sOA = RF θOA = 322 mm tOA = (tO + tA)/2 = 0,775 mmsAB = RP θAB = 14,56 mm tAB = 0,76 mmsBC = 28 mm tBC = 0,745 mmsCD = 15,71 mm tCD = 0,761 mmsDE = 0 ; sEF = 80 mm tEF = 0,788 mmsFG = 0

Finalmente se obtiene:

w0 (0,8 mm) = 2 × 356,632 mm2 ⇒ w0 = 891,6 mm

Apartado d.

Si la chapa estuviese a punto de fallar en el instante que estamos tratando, significarıa que ladeformacion, en el punto de maxima deformacion, debera ser igual a la deformacion crıtica de fallo(ε∗1 = n). Aplicando esto se tiene que:

ε1(B) = ε1(C) = n = 0,23

Por tanto,

T1(B) = 750 nn t0 e−n = 340 KN/m

Page 30: An¶alisis de los Procesos de Conformado de Chapa

30 Area de Ingenierıa de los Procesos de Fabricacion

Ası, la fuerza en el punzon F , obtenida por equilibrio del tramo OB, toma el valor:

F = 2 T1(B) = 680 KN/m

Para calcular la deformacion en O (ε1(O)) calculamos primero la fuerza:

T1(O) = T1(B) e−µπ/2 = 290,6 KN/m

y finalmente

290,6 10−3 MN/m = 750 MN/m2 (0,8 10−3 mm) ε0,231(O) e−ε1(O) ⇒ ε1(O) ≈ 0,054

4.5.2. Conformado por flexion. Plegado de chapa.

(. . . en construccion . . .)

——————————————Bibliografıa:

X Backofen, W. A. (1972), Deformation Processing, Addison-Wesley.X Dieter G. E. (1998), Mechanical Metallurgy (4th Ed.), McGraw-Hill.X Hosford, W. F. y Caddell, R. M. (1993), Metal Forming. Mechanics and Metallurgy (2nd Ed.),

PTR Prentice Hall.X Marciniak, Z., Duncan, J. L. y Hu, S.J. (2002), Mechanics of Sheet Metal Forming, 2nd Edition,

Butterworth-Heinemann, Oxford.X Schey, J. A. (2001), Procesos de Manufactura (3a Ed.), McGraw-Hill Interamericana.