Análisis de las relaciones porosidad y permeabilidad en sedimentos ...

UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR

DECANATO DE ESTUDIOS PROFESIONALES COORDINACIÓN DE INGENIERÍA GEOFÍSICA

ANÁLISIS DE LAS RELACIONES POROSIDAD Y PERMEABILIDA D EN

SEDIMENTOS NO CONSOLIDADOS

Por:

Melia Rebeca Da Silva Rodríguez

PROYECTO DE GRADO Presentado ante la Ilustre Universidad Simón Bolívar

como requisito parcial para optar al título de Ingeniero Geofísico

Sartenejas, Noviembre de 2011

UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR

DECANATO DE ESTUDIOS PROFESIONALES COORDINACIÓN DE INGENIERÍA GEOFÍSICA

ANÁLISIS DE LAS RELACIONES POROSIDAD Y PERMEABILIDA D EN

SEDIMENTOS NO CONSOLIDADOS

Por:


Realizado con la asesoría de:

Ms.C. Carlos Santos

PROYECTO DE GRADO Presentado ante la Ilustre Universidad Simón Bolívar

como requisito parcial para optar al título de Ingeniero Geofísico

Sartenejas, Noviembre de 2011

iv ANÁLISIS DE LAS RELACIONES POROSIDAD Y PERMEABILIDAD EN SEDIMENTOS NO

CONSOLIDADOS POR


RESUMEN

Pocas propiedades naturales de las rocas han recibido mayor atención que la porosidad y la

permeabilidad. La porosidad es una medida del volumen de poros disponible en una roca y la

permeabilidad indica la facilidad con la que un fluido puede atravesar el espacio poroso (Guéguen y

Palciauskas, 1994). La variación de esta propiedad dinámica de flujo está asociada a factores como:

la distribución de la porosidad, los parámetros texturales, las características de las gargantas de

poros y la presión capilar. En este sentido, dado que tanto la porosidad como la permeabilidad están

controladas por el tamaño y el arreglo de los poros de una roca, el estudio de la distribución de los

radios de garganta es útil en la caracterización de yacimientos, a partir de las ecuaciones de Winland

y Pittman, por ejemplo. El presente trabajo se enfocó en determinar la utilidad de estas ecuaciones al

estimar la permeabilidad de diferentes medios granulares, a través del análisis de distribuciones de

tamaños de garganta en imágenes 2D. En el estudio se analizaron 16 muestras granulares

compuestas por esferas de diferentes diámetros, siendo 5 de ellas distribuciones monodispersas. La

permeabilidad fue calculada utilizando un permeámetro de caída libre y la porosidad fue estimada

con el método de embebido en el laboratorio. Los valores de permeabilidad se encontraron en el

orden de 103 darcies y la porosidad varió entre 30,8% y 38,9%, de acuerdo al tamaño de grano y al

escogimiento de las esferas. Las relaciones encontradas entre ambas propiedades resultaron válidas

sólo para los medios estudiados. Adicionalmente, la porosidad de las muestras monodispersas se

calculó con un programa de análisis de imágenes, con las que, posteriormente, se caracterizó la

distribución de los tamaños de garganta de las distintas granulometrías y se calculó la permeabilidad

por medio de las ecuaciones de Winland y de Pittman. Para tres de las muestras estudiadas se

obtuvieron permeabilidades representativas del medio poroso, al utilizar la ecuación de Pittman para

el r70. La permeabilidad de las esferas restantes pudo ser estimada generando dos nuevas ecuaciones,

correspondientes a r80 y r85. Por ende, en base a los resultados experimentales, se encontró que, para

saturaciones significativamente superiores a las propuestas por Winland (r35) y Pittman (r25), la

metodología sugerida resulta útil en estimación de la permeabilidad de medios granulares

monodispersos, con radios entre 0,75mm y 3,75mm, a partir de imágenes 2D de los mismos.

v

A perrito, a Melita y a Eli.

Por ayudarme a ser la persona que soy hoy en día.

vi

ÍNDICE GENERAL

Acta de Evaluación del Proyecto de Grado……………………………………………..…………...iii

Resumen………………………………………………………………………………………….…..iv

Dedicatoria…………………………………………………………………………………………....v

ÍNDICE GENERAL ………………………………………………………………………………...vi

ÍNDICE DE TABLAS ………………………………………………………………………….…...ix

ÍNDICE DE FIGURAS ……………………………………………………………………….…….xi

INTRODUCCIÓN ………………………………………………………………………….……….1

CAPÍTULO 1: MARCO TEÓRICO

1.1. Materia granular………………………………………………………………………….………6

1.1.1. Tipos de empaquetamientos granulares monodispersos……………………………………….9

1.1.2. Análisis estadístico de empaques granulares monodispersos …………………………….…..10

1.1.2. Convección y separación de partículas en medios granulares………………………………..12

1.2. Porosidad.………………………………………………………………………………….……13

1.2.1. Clasificación de la porosidad…………………………………………………………………14

1.2.2. Factores que afectan la porosidad ……………………………………………………………17

1.2.2.1. Tipo de empaque……………………………………………………………………….…...17

1.2.2.2. Efectos de borde…………………………………………………………………………….19

1.2.2.3. Tamaño, forma y distribución de los granos…………………………………………….….19

1.2.2.4. Compactación y cementación………………………………………………………….……24

1.2.3. Determinación experimental de la porosidad.………………………………………….……..25

1.3. Permeabilidad…………………………………………………………………………….……..25

1.3.1. Ley de Darcy…………………………………………………………………………….……29

1.3.2. Validez de la ecuación de Darcy………………………………………………………….…..32

1.3.3. Determinación de la permeabilidad…………………………………………………….……..35

1.3.4. Unidades de la permeabilidad………………………………………………………………...38

vii 1.3.5. Métodos directos para medir la permeabilidad……………………………………………….39

1.3.5.1. Permeámetro de carga constante……………………………………………………….…...39

1.3.5.2. Permeámetro de carga variable……………………………………………………………..40

1.4. Relaciones entre porosidad y permeabilidad …………………………………………….……..43

1.4.1. Modelo capilar………………………………………………………………………….……..44

1.4.2. Métodos para calificar un reservorio usando las curvas de presión capilar ...…………….….46

1.4.2.1. Ecuación de Winland………………………………………………………………….…….47

1.4.2.2. Ecuaciones de Pittman……………………………………………………………...….…....47

1.4.3. Ecuación de Kozeny-Carman (1961)…………………………………………………….…...49

1.4.4. Ecuación de Brinkman modificada (Itoh, 1985,2011)…………………………………….….49

1.4.5. Ecuación propuesta por Chaveteau et. al (1996)……………………………………………...49

CAPÍTULO 2: METODOLOGÍA

2.1. Simulación de medios granulares…………………………………………………………….…50

2.2. Experimento 1: medición de la permeabilidad con un permeámetro de carga variable………...52

2.2.1. Montaje experimental ………………………………………………………………………...52

2.2.2. Determinación experimental de la permeabilidad………………………………………….…55

2.3. Experimento 2. Determinación de la porosidad con el método de embebido…………………..60

2.4. Experimento 3. Estimación óptica de la porosidad……………………………………………..62

2.4.1. Montaje experimental ………………………………………………………………………...62

2.4.2. Almacenamiento de datos…………………………………………………………………….63

2.4.3. Edición de imágenes…………………………………………………………………………..63

2.4.4. Generación del código para el cálculo óptico de la porosidad …………………………….…64

2.5. Experimento 4: Estudio de la distribución de los tamaños de garganta en muestras

monodispersas y cálculo de la permeabilidad………………………………...………………….….66

2.5.1. Determinación de los tamaños de garganta……………………………………………….….66

2.5.2. Cálculo de la permeabilidad a través de la ecuación de Winland……………………….……68

2.5.3. Cálculo de la permeabilidad a partir de las ecuaciones de Pittman…………………….……69

2.5.3.1. Búsqueda del radio de garganta que domina el flujo……………………………….………69

2.5.3.2. Generación de nuevas ecuaciones para saturaciones de mercurio de 80% y 85%.................70

2.5.3.3. Cálculo de la permeabilidad………………………………………………………………...72

2.5.4. Esquema metodológico…………………………………………………………………….…72

viii CAPÍTULO 3: RESULTADOS EXPERIMENTALES Y DISCUSIÓN

3.1. Caracterización de la porosidad y la permeabilidad en medios granulares monodispersos….....74

3.2. Caracterización de la porosidad y la permeabilidad en medios bidispersos……………………81

3.3. Caracterización de la porosidad y la permeabilidad en medios polidispersos……………….…91

3.4. Obtención de la permeabilidad de un paquete granular a partir de secciones en dos

dimensiones…………………………………………………………………………………….……96

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ……………………………………………...…113

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ……………………………………………………….…118

Apéndice A: Tiempos medidos en el experimento 1……………………………………………....120

Apéndice B: Valores de permeabilidad obtenidos a partir del experimento 1………………….…126

Apéndice C: Valores de porosidad obtenidos a partir del experimento 2………………………....133

Apéndice D: Programa utilizado en la determinación de la porosidad óptica…………………….157

Apéndice E: Valores de porosidad óptica obtenidos a partir del experimento 3………………….159

ix

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 1.1. Escala de tamaño de grano de Udden-Wentworth………………………………….……..9

Tabla 1.2. Números de coordinación corregidos para diferentes empaquetamientos granulares…...11

Tabla 1.3. Calidad de la roca yacimiento en función de su porosidad…………………...………….14

Tabla 1.4. Valores de porosidad característicos para diferentes tipos de empaques………………...18

Tabla 1.5. Calidad de una roca en función de su permeabilidad……………………………….……26

Tabla 1.6. Valores típicos de permeabilidad intrínseca y conductividad hidráulica en sedimentos no

consolidados………………………………………………………………………………………....37

Tabla 1.7. Ecuaciones empíricas de Pittman para determinar los radios de garganta (µm)

correspondientes a diferentes porcentajes de saturación de mercurio…………………………….…48

Tabla 2.1. Diámetros y longitudes de las muestras unimodales utilizadas para simular diferentes

medios granulares en las mediciones experimentales………………………...……………………..50

Tabla 2.2. Muestras generadas a partir de la mixtura de esferas de diferentes tamaños para simular

medios heterogéneos, con la respectiva distribución porcentual de tamaños de grano……………..51

Tabla 2.3. Datos de las columnas de agua utilizadas para calibrar el

permeámetro………………………………………………………………………………………....58

Tabla 3.1. Valores de permeabilidad y desviación estándar para muestras monodispersas, obtenidos

a partir de la utilización del permeámetro de caída libre………………………….………………...76

Tabla 3.2. Valores de porosidad embebida para muestras monodispersas.…………………………79

Tabla 3.3. Valores de permeabilidad y desviación estándar para muestras bidispersas, obtenidos a

partir de la utilización del permeámetro de caída libre……………………………………………...83

Tabla 3.4. Valores de porosidad para muestras bidispersas determinados a partir del método de

embebido………………………………………………………………………………………….…86

Tabla 3.5. Valores de permeabilidad y desviación estándar para muestras polidispersas, obtenidos a

partir de la utilización del permeámetro de caída libre…………………………………………...…92

Tabla 3.6. Valores de porosidad para muestras polidispersas determinados a partir del método de

embebido………………………………………………………………………………………...…..94

Tabla 3.7. Valores de porosidad para muestras monodispersas determinados a partir del método

óptico…………………………………………………………………………………………….…..97

x Tabla 3.8. Porosidades ópticas y desviaciones estándar para distintas zonas de las imágenes

correspondientes a muestras monodispersas…………………………………………………….…..99

Tabla 3.9. Valores de permeabilidad determinados en secciones bidimensionales a partir de las

ecuación de Pittman para r70 y de las nuevas ecuaciones generadas para r80 y r85……………........109

xi

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1.1. Vista superior de los arreglos regulares básicos, caracterizados por el mínimo número de

esferas posibles para representar el empaque…………………………………………………….…...9

Figura 1.2. Ilustración de la formación de puentes en dos dimensiones. Las esferas sombreadas han

formado un puente al intentar caer en el mismo espacio al mismo tiempo………………………….10

Figura 1.3. Tipos de porosidad………………………………………………………………….…...15

Figura 1.4. Distribución del espacio poroso………………………………………………………....16

Figura 1.5. Influencia de la altura del empaque sobre la porosidad………………………………....19

Figura 1.6. Disminución de la porosidad en función del tamaño de grano para dos conjuntos de

partículas de tamaño uniforme……………………………………………...…………………….…20

Figura 1.7. Clasificación visual del escogimiento de los granos y valores de desviación estándar en

unidades phi, según Folk…………………………………………………………………………….21

Figura 1.8. Disminución de la porosidad asociada al escogimiento de los granos………………….21

(a) Sección que muestra buen escogimiento de los granos

(b) Sección que muestra mal escogimiento

Figura 1.9. Porosidad vs. Escogimiento de las simulaciones “Rampage” y el conjunto de datos

experimentales de Beard y Weil (1973)……………………………………………………………..22

Figura 1.10. Estimación visual de esfericidad y redondez…………………………………………..23

Figura 1.11. Disminución de la porosidad debida a la presencia de granos de baja esfericidad…….24

(a) Sección con granos perfectamente esféricos y redondeados

(b) Sección con granos alargados y redondeados

Figura 1.12. Decremento exponencial de la porosidad en función del tiempo geológico luego del

inicio de la precipitación de cemento en los poros de una arenisca ………...….…………………...24

Figura 1.13. Tubo circular de sección transversal A, por cual circula un fluido……………………27

Figura 1.14. Diferencia en desplazamiento entre un fluido Newtoniano y un fluido ideal, debida a la

viscosidad…………………………………………………………………………………………....28

Figura 1.15. Experimento de Darcy…………………………………………………………………30

Figura 1.16. Montaje experimental de Darcy variando el ángulo de inclinación del tubo………….31

Figura 1.17. Flujo turbulento y flujo laminar…………………………...…………………………...33

Figura 1.18. Valores límites del número de Reynolds para la ecuación de Darcy………………….34

xii Figura 1.19. Permeabilidad horizontal (Kh) y permeabilidad vertical (Kv) asociadas a núcleos

rocosos………………………………………………………………………………………………36

Figura 1.20. Permeámetro de carga constante…………………………………………………….…39

Figura 1.21. Permeámetro de carga variable………………………………………………………...41

Figura 1.22. Distribución de velocidades en un flujo viscoso dentro de un tubo capilar…………...43

Figura 1.23. Gráfico de saturación de mercurio/Presión capilar vs. Saturación de mercurio como

método para determinar el ápice de la hipérbola………………………………………....................48

Figura 2.1. Medida del diámetro de la muestra 5 haciendo uso del vernier digital…………………51

Figura 2.2. Permeámetro de carga variable construido……………………………………………...52

Figura 2.3. Dimensiones de los cortes de la lámina de acrílico de 3mm de espesor………………...53

Figura 2.4. Partes y diseño del cilindro y los soportes del permeámetro de carga variable……........54

Figura 2.5. (a) Esquema del permeámetro construido…………………………………………...55

(b) alturas entre las cuales se midió el tiempo de tránsito de la columna de agua en el

permeámetro de carga variable

Figura 2.6. Dimensiones de las columnas de agua utilizadas para calibrar el permeámetro………..58

(a) Primera columna

(b) Segunda columna

(c) Tercera columna

(d) Cuarta columna

Figura 2.7. (a) Volumen de la muestra 1 (1,5mm de diámetro) en cm3…..…………………….61

(b) Volumen final de agua en la muestra 1 (1,5mm de diámetro) en cm3

(c) Volumen de la muestra 1 (1,5mm de diámetro) y volumen final ampliados

Figura 2.8. Fotografías de las diferentes muestras dispuestas en la cápsula de Petri………………..62

Figura 2.9. Zonas de las imágenes de las muestra monodispersas sobre las cuales se llevó a cabo el

análisis de la distribución de los tamaños de garganta………………………………………............67

(a) Fotografía 19

(b) Fotografía 38

(c) Fotografía 64

(d) Fotografía 88

(e) Fotografía 130

(f) Fotografía 134

(g) Fotografía 156

xiii

(h) Fotografía 200

(i) Fotografía 202

(j) Fotografía 206

Figura 2.10. Procedimiento de relleno de poros en las imágenes seleccionadas……………………68

(a) Colocación de los círculos de mayor radio

(b) Colocación de los círculos sucesivamente más pequeños

(c) Cobertura del espacio poroso con los círculos de menor diámetro posible

Figura 2.11a. Ajuste polinomial de los coeficientes A de las ecuaciones de Pittman en función al

porcentaje de saturación……………………………………………………………………………..70

Figura 2.11b. Ajuste polinomial de los coeficientes B de las ecuaciones de Pittman en función al


Figura 2.11c. Ajuste polinomial de los coeficientes C de las ecuaciones de Pittman en función al


Figura 2.12. Esquema metodológico………………………………………………………………...73

Figura 3.1. Histogramas de permeabilidad para las muestras monodispersas……………………....75

Figura 3.2. Relación entre la permeabilidad y el radio de las esferas……………………………….76

Figura 3.3. Histogramas de porosidad para las muestras monodispersas …………………………..78

Figura 3.4. Relación entre porosidad embebida y radio de las esferas para cada una de las muestras

estudiadas……………………………………………………………………………………………79

Figura 3.5. Relación entre la porosidad y la permeabilidad para las muestras monodispersas

estudiadas……………………………………………………………………………………………80

Figura 3.6a. Histogramas de permeabilidad para la muestra bidispersa No.6………………………81

Figura 3.6b. Histogramas de permeabilidad para la muestra bidispersa No.7...………………….…82

Figura 3.7a. Relación de la permeabilidad con la proporción de las esferas mezcladas en la muestra

6…………………………………………………………………………………………………..….84

Figura 3.7b. Relación de la permeabilidad con la proporción de las esferas mezcladas en la muestra

7……………………………………………………………………………………………………...84

Figura 3.8a. Histogramas de porosidad para las muestra bidispersa No.6…………………………..85

Figura 3.8b. Histogramas de porosidad para las muestra bidispersa No.7…………………………..85

Figura 3.9a. Relación entre la porosidad y la proporción de las esferas en la mezcla 6…………….87

Figura 3.9b. Relación entre la porosidad y la proporción de las esferas en la mezcla 7…………….88

Figura 3.10a. Relación entre la porosidad y la permeabilidad para la muestra bidispersa No.6…….90

xiv Figura 3.10b. Relación entre la porosidad y la permeabilidad para la muestra bidispersa No.7……90

Figura 3.11. Histogramas de permeabilidad para las muestras polidispersas……………………….91

Figura 3.12. Histogramas de porosidad para muestras polidispersas………………………….…….93

Figura 3.13. Porosidad en función de la permeabilidad para muestras polidispersas………….……95

Figura 3.14. Histogramas de porosidades ópticas……………………………………………….…. 96

Figura 3.15. Relación entre la porosidad óptica y la porosidad embebida……………………….….98

Figura 3.16. Relación entre porosidades ópticas y porosidades embebidas para secciones de 10

fotografías seleccionadas…………………………………………………………………………...100

Figura 3.17a. Histograma de frecuencia acumulativa de los radios de garganta de la muestra 1 en la

fotografía No. 19…………………………………………………………………………………...101

Figura 3.17b. Histograma de frecuencia acumulativa de los radios de garganta de la muestra 1 en la

fotografía No. 38. El radio que domina el flujo corresponde a r85=50,70µm……………………...102


fotografía No. 64. El radio que domina el flujo corresponde a r870=142,9µm……………………..102


fotografía No. 88. El radio que domina el flujo corresponde a r70=129,4µm……………………...103


fotografía No. 130. El radio que domina el flujo corresponde a r80=191,1µm…………………….103


fotografía No. 134. El radio que domina el flujo corresponde a r80=183µm………………………104








fotografía No. 200. El radio que domina el flujo corresponde a r70=228,0µm……………….……106

Figura 3.22. Permeabilidad bidimensional en función de la permeabilidad en tres

dimensiones…………………………………………………………………………………….…..110

Figura 3.23. Relación entre porosidad óptica y permeabilidad 2D para muestras

monodispersas………………………..………………………………………………………….…111

1

INTRODUCCIÓN

La corteza continental está parcialmente compuesta por rocas sedimentarias clásticas, las cuales

han sido formadas por granos individuales de diversos tamaños, transportados y depositados

mecánicamente para formar una red porosa tridimensional. Por lo tanto, estas rocas sedimentarias

son materiales granulares, es decir, son agregados discretos de partículas macroscópicas que

interactúan de forma inelástica, incuso cuando no están cementadas. De esta forma, la mayoría de

los recursos económicos rentables de la corteza terrestre, como agua, petróleo y gas, se localizan en

medios granulares. Así mismo, los granos de café, las gravas, las píldoras, el azúcar y algunos

fertilizantes, entre otros, son un ejemplo de agregados granulares cotidianos que resultan de gran

relevancia en procesos industriales. De hecho, los granulares son, luego del agua, los materiales más

utilizados en el mundo.

La materia granular es de gran importancia para la geología y la geofísica, pues en los procesos

geológicos donde los deslizamientos, la erosión y, a gran escala, la tectónica de placas, determinan

parte de la morfología terrestre, los agregados granulares influyen significativamente. De aquí que el

entendimiento de este particular estado de la materia sea fundamental en el estudio de la

geodinámica terrestre y, por ende, pueda conllevar al mejoramiento de las técnicas de prospección y

recobro en yacimientos de hidrocarburos. No obstante, aunque ha sido ampliamente estudiada

durante la última década, la materia granular aún no es comprendida en su totalidad y su

comportamiento característico, en algunos casos similar al de los líquidos y en otros, parecido al de

los gases o los sólidos, no ha podido ser completamente explicado. Existen dos aspectos importantes

que contribuyen a la particularidad de las propiedades de los materiales granulares: primero, la

carencia de importancia de la temperatura y, luego, las interacciones disipativas entre granos,

debidas a la fricción estática y a la inelasticidad de las colisiones.

La ciencia de los medios granulares tiene una larga historia. Mucha de la literatura ingenieril se

ha dedicado a explicar el comportamiento de estos materiales. A través de la historia, notables

científicos han aportado ideas y descubrimientos al tema de los medios granulares: Coulomb (1773)

propuso las ideas de fricción estática, Faraday (1831) descubrió la inestabilidad convectiva en un

contenedor vibratorio lleno de granos y Victor Hugo (Siglo XVIII) relacionó la formación del

universo con el movimiento de partículas de arena.

2

Desde 1995, el Grupo de Física Granular de la Universidad de Chicago ha llevado a cabo

numerosos estudios relacionados al flujo de medios granulares, a los efectos de la compactación de

los mismos y a la influencia de la convección en la separación de partículas de diferentes tamaños de

grano en un mismo agregado granular. En estas investigaciones se trabaja en un área de la física

completamente nueva, puesto que se analiza un sistema estadístico de muchas partículas en el que la

temperatura es totalmente irrelevante. Por ejemplo, diversos estudios han mostrado que vibraciones

o rotaciones de un material granular, inducen a la separación de partículas de diferentes tamaños en

un mismo contenedor (Knight, Jaeger, y Nagel, 1993), lo que se conoce con el nombre de “efecto de

la nuez de Brasil”.

Así mismo, muchos investigadores han estudiado los empaquetamientos de esferas y sus

propiedades. Avances importantes relacionados a tipos de empaquetamientos y a su respectivo

análisis fueron llevados a cabo por Scott (1960, 1962), Bernal y Mason (1960), Scott y Kilgour

(1969) y Finney (1970). Alberts (2005) generó empaques desordenados de granos y analizó la

porosidad de los mismos, comparando sus resultados con otros de empaques experimentales

disponibles en la universidad de Oslo, con análisis de empaquetamientos desordenados hechos por

Finney (1970) y con análisis de paquetes regulares (arreglos cristalinos), todo ello aplicando

diferentes métodos estadísticos para evaluar los efectos de los bordes del empaque y la influencia de

la gravedad sobre la porosidad inicial.

Prácticamente todas las propiedades macroscópicas de las rocas y de los medios granulares están

influenciadas por la microestructura de sus poros, es decir, por la geometría y la topología del

espacio poroso interconectado. De esta forma, la distribución del mismo contiene parte importante

de la información acerca de la estructura del medio. Sin embargo, frecuentemente esta información

microscópica no puede ser medida y, por tanto, es necesario determinar ciertos parámetros

macroscópicos estrechamente relacionados a la estructura de los poros (Guéguen y Palciauskas,

1994). Estos son, principalmente, la porosidad y las propiedades de transporte. Dichas propiedades

de transporte incluyen la conductividad-termal y eléctrica- y la permeabilidad de varios tipos de

fluidos, desde los Newtonianos (como agua, petróleo y gas), hasta los coloidales más complejos,

entre los que se tienen polímeros, emulsiones y microemulsiones (Chauveteau et. al, 1996). De aquí

que, la permeabilidad esté controlada por el tamaño de los poros, la forma de las partículas, la

3 heterogeneidad del material y el número de gargantas de poros con respecto al volumen total del

medio.

Dada la importancia de las propiedades dinámicas de flujo en los campos de la ingeniería

química, petrolera y ambiental, durante décadas se han llevado a cabo extensas investigaciones con

técnicas sofisticadas que puedan proveer información útil respecto a la permeabilidad, como factor

clave en el diseño de las estrategias de recobro en yacimientos de hidrocarburos. No obstante, estas

técnicas suelen ser costosas y requerir de tiempo, por lo que su aplicación se limita a estudios

investigativos específicos. Por ello, la correlación de las propiedades dinámicas de flujo con

propiedades de almacenamiento, como la porosidad, las cuales pueden medirse eficientemente en

pozos y núcleos, provee de una herramienta de estimación de suma relevancia para la

caracterización de yacimientos. Así, la estimación precisa de la permeabilidad a partir de datos de

porosidad, ha sido un desafío por muchos años.

Medidas petrofísicas como la presión capilar son comúnmente usadas para evaluar la calidad de

los reservorios. De aquí que resulten fundamentales las ecuaciones de Windland y Pittman para

describir el medio poroso en función de la relación existente entre la porosidad, la permeabilidad y

los parámetros obtenidos a partir de las curvas de presión capilar generadas por el método de

inyección de mercurio (Hartmann & Beaumont, 1999). El tamaño del radio de garganta es un

parámetro que puede ser calculado a partir de la curva de presión capilar, por lo que el reto consiste

en determinar la saturación de la “fase que no humedece” que mejor defina la calidad del yacimiento

(Lafage, 2008). Por este motivo diversos investigadores han intentado relacionar la presión capilar

con la permeabilidad. Washburn (1921) expresó la relación entre las presiones capilares del

mercurio y el radio de garganta al que se inyectaba el mencionado fluido. Posteriormente, Winland

desarrolló una ecuación empírica entre la porosidad, la permeabilidad y el radio de garganta

correspondiente a una saturación de mercurio del 35%. Pittman (1992) extendió el trabajo de

Winland al generar una serie de ecuaciones a partir de un análisis multi-regresivo de los datos de

porosidad, permeabilidad e inyección de mercurio de 202 muestras de areniscas. En su trabajo,

Pittman concluyó que la mejor correlación se presenta para una saturación de mercurio del 25%.

Rezaee, Jafari y Kazemzadeh (2006) generaron una red neuronal entrenada para establecer

relaciones entre permeabilidad, porosidad y tamaño de garganta que pudieran ser aplicadas en un

sentido predictivo. En su estudio concluyeron que la utilización de redes neuronales en la predicción

4 de la permeabilidad resulta más eficiente que el análisis de regresión e indicaron que el radio de

garganta correspondiente a una saturación de mercurio del 50% es el mejor indicador de

permeabilidad en carbonatos con estructuras porosas complejas.

Otros experimentos han permitido determinar la porosidad y la permeabilidad de materiales

granulares siguiendo diferentes metodologías (Wang et. al, 2004; Boutin y Geindreau, 2010).

Chaveteau et. al (2005) relacionaron la microestructura de los poros con las propiedades

hidrodinámicas de areniscas y empaquetamientos granulares, utilizando el modelo de “grano y

tamaño de garganta de poro” (GPT). En este modelo el tamaño de grano determina el espaciamiento

entre gargantas de poro y, con ello, la densidad de granos. De esta forma el medio poroso es descrito

en base a tres parámetros geométricos asociados a la variación de la permeabilidad: el diámetro

hidrodinámico de gargantas de poro, la longitud de las mismas y el espaciamiento entre ellas.

Nabovati y Sousa (2008) predijeron la permeabilidad en esferas de diferente diámetro simulando el

flujo de fluidos en un medio poroso artificial, cuya estructura fue generada computacionalmente sin

ninguna correlación espacial entre las esferas. En el estudio se observó que para porosidades

intermedias los valores predichos de permeabilidad son similares a los obtenidos a partir de la

ecuación de Kozeny. Así mismo los investigadores encontraron que al aumentar el diámetro de las

esferas, la permeabilidad calculada para una porosidad constante incrementa y que los datos de

permeabilidad, normalizados por el diámetro de las esferas al cuadrado, generan una curva como

función de la porosidad media. Por otro lado, Kameda (2004) investigó la factibilidad de reconstruir

un espacio poroso en tres dimensiones a partir de imágenes de la roca en dos dimensiones, con la

finalidad de calcular la permeabilidad de los volúmenes generados virtualmente a partir de secciones

finas. Los valores de permeabilidad obtenidos no corresponden a los de las muestras físicas, sin

embargo, muestran una clara tendencia al graficar la permeabilidad en función de la porosidad,

cuando la primera es normalizada por el diámetro del grano al cuadrado. Itoh (1985, 2011) encontró

una relación entre la fracción del volumen sólido de medios granulares esféricos (c) y la

permeabilidad, modificando la ecuación de Brinkman. En este sentido c aumenta a medida que el

tamaño de grano se reduce, lo que conlleva la disminución de la permeabilidad a medida que la

fracción de volumen sólido se hace mayor. De aquí que, al utilizar la ecuación original de Brinkman,

la permeabilidad resultaba cero para c=2/3. Al modificar la ecuación, la permeabilidad del arreglo

de esferas de Itoh (1985, 2011) resultó ser consistente con los datos experimentales para el valor de

c=2/3.

5

No obstante, uno de los métodos más sencillos al estimar la permeabilidad, consiste en utilizar

un permeámetro para medir el tiempo que tarda una columna de líquido de densidad conocida en

recorrer una distancia vertical dentro de un tubo cilíndrico en cuyo fondo se encuentra un material

granular. Ferreira (2007) midió la permeabilidad de gravas no consolidadas haciendo uso de un

permeámetro de 0,1m de diámetro y 2,91m de longitud, y reportó valores del orden de 103-105

darcies para los sedimentos estudiados.

De esta forma, el objetivo del presente trabajo es estudiar las relaciones empíricas y su

aplicación en las propiedades dinámicas y estáticas de yacimientos de fluidos (permeabilidad y

porosidad), a partir de la caracterización de materiales simples, como los empaques granulares. Esto

permite una descripción más precisa de los micro-parámetros estructurales y de fábrica de los

mismos para proponer relaciones causales o analíticas para los resultados obtenidos durante el

desarrollo experimental de este proyecto.

Con la finalidad de determinar la permeabilidad de distintos empaques granulares, tanto

homogéneos como heterogéneos, compuestos por perdigones esféricos de plomo de diversos

tamaños, se elaboró un permeámetro de carga variable en el que se midió el tiempo de caída de una

columna de agua a través de un tubo cilíndrico de acrílico que contenía, en el fondo, la muestra de

material granular. La porosidad de los diferentes empaques se determinó tanto con el método de

embebido como ópticamente, utilizando, en este último caso, algoritmos numéricos para estimar el

área porosa y el área total de las distintas granulometrías arregladas bidimensionalmente dentro de

una cápsula de Pietri; esto, siguiendo la metodología propuesta por Oropeza (2006), quien dispuso

esferas de plomo bidimensionalmente en una celda de Hele Shaw y calculó su porosidad utilizando

algoritmos computacionales generados en un intérprete de alto nivel (MatLab). Finalmente, se

estudió la distribución de los tamaños de garganta en los arreglos bidimensionales, que simulaban

secciones finas, con el objetivo de calcular la permeabilidad de las muestras utilizando, tanto las

ecuaciones de Pittman, como otras generadas a partir de las mismas. Para validar los resultados y

determinar la efectividad de la metodología aplicada, se compararon los valores de permeabilidad

obtenidos con ambos métodos. Así, se obtuvieron relaciones entre porosidad, permeabilidad y

distribuciones de tamaños de gargantas para diversos medios granulares, en las cuales se estableció

que, para arreglos esféricos, no consolidados y monodispersos, los mejores predictores de la

permeabilidad corresponden a r70, r80 y r85.

CAPÍTULO 1

MARCO TEÓRICO

A continuación se presentan los conceptos fundamentales relacionados al presente trabajo, así

como las ecuaciones utilizadas en el desarrollo del mismo.

1.1. Materia granular.

Los medios granulares son conglomerados discretos de partículas macroscópicas de diferentes

tamaños y formas, los cuales interactúan, principalmente, mediante dos fuerzas: la repulsión elástica

y la fricción. Debido a la acción de dichas fuerzas estos materiales exhiben una amplia variedad de

propiedades que conllevan a un comportamiento físico, tanto estático como dinámico, particular,

diferente de aquel que caracteriza a sólidos y líquidos (Pennsylvania State University Magnetic

Materials and Granular Media Group, Prof. Peter Schiffer, 2010).

Por un lado, el comportamiento de los medios granulares es similar al de los líquidos, ya que

estos adquieren la forma de su contenedor y son capaces de fluir dada una cierta inclinación; por el

otro, es similar al de los sólidos cuando son sometidos a deformación. Es decir, unidades granulares

estáticas se asemejan a los sólidos en cuanto a su habilidad para resistir esfuerzos compresivos y de

cizalla. Sin embargo, incluso los casos más simples de capas esféricas contenidas en una celda de

compresión muestran patrones de esfuerzos muy complejos (Jaeger, Nagel y Behringer, 1996). De

aquí que el comportamiento de la materia granular pueda definirse como elastoplástico

(Revuzhenko, 2006). Por estas singularidades muchos autores han sugerido que los materiales

granulares sean considerados como un estado de materia adicional, caracterizado por tres aspectos

destacables:

• La existencia de fricción estática entre los granos.

• El hecho de que la temperatura es irrelevante.

• La naturaleza inelástica de las colisiones para granos en movimiento.

7

En este sentido, si se tiene un cuerpo arenoso estático, para ángulos menores al ángulo de

reposo la fricción es responsable de un comportamiento similar al de los sólidos: el material

permanece inamovible incluso cuando la fuerza gravitacional produce esfuerzos macroscópicos

en la superficie del mismo. En contraposición, si la pila de arena se inclina sobre el ángulo de

reposo los granos comienzan a fluir, pero este flujo no es similar al de otros fluidos, pues sólo

existe en el borde de la capa en la superficie del material. El flujo de gases densos, compuestos

por partículas discretas cuyas fuerzas cohesivas entre ellas son despreciables, podría ser

comparable al de los granulares.

No obstante, a diferencia de en los gases, en la materia granular kT -donde k es la constante

de proporcionalidad y T la temperatura- no es relevante, por lo que las leyes de termodinámica

no son válidas. Esto es consecuencia de que la energía potencial, mgd -donde m es la masa, d el

diámetro del grano y g la fuerza de gravedad- es por lo menos 1012 veces kT en un medio

granular a temperatura ambiente (The University of Chicago Granular Physics Group, Prof.

Heinrich Jaeger, 2011). Es decir, la energía potencial es muchísimo mayor que la energía termal

(Ep>>Ecim).

Al menos que las configuraciones metaestables del material sean modificadas por alguna

perturbación externa éstas durarán indefinidamente, sin que ocurra combinación de temperaturas

entre configuraciones cercanas. La temperatura provee una escala de velocidad microscópica

para gases y fluidos. Sin embargo, al ser la temperatura efectivamente cero en materiales

granulares, este rol queda suprimido. Es decir, para unidades granulares la única escala de

velocidad es la impuesta por cualquier flujo macroscópico en sí mismo. (The University of

Chicago Granular Physics Group, Prof. Heinrich Jaeger, 2011).

Si las partículas que conforman la materia granular no son cohesivas, entonces las fuerzas

entre ellas son únicamente repulsivas y la forma de las mismas queda subordinada a los bordes

externos y a la gravedad. De hecho, uno de los modelos que existen para explicar el

comportamiento de la materia granular estipula que esta se compone de un conjunto de esferas

sólidas inelásticas, entre las cuales no existen fuerzas de atracción y cuyas interacciones son

inelásticas, habiendo pérdida de energía mecánica en cada colisión de las partículas (The

University of Chicago Granular Physics Group, Prof. Heinrich Jaeger, 2011).

8

Más aún, si los granos están secos, cualquier fluido intersticial -como el aire- puede ser

despreciado en la determinación de la mayoría de las propiedades estáticas y de flujo del sistema.

No obstante, la presencia de una pequeña capa de líquido entre los granos añade una tercera

fuerza, la de atracción, que, en magnitud, es comparable con las fuerzas de fricción y de

repulsión (Tegzes et. al, 1999).

El estudio de las propiedades de los medios granulares es de suma importancia en diversas

industrias, es por este motivo que en los últimos años el entendimiento de su comportamiento ha

sido un tema de investigación de gran relevancia. En materia geológica juegan un papel

importante en el desarrollo de la morfología terrestre a partir de erosión, deslizamientos y, a

mayor escala, de tectónica de placas.

En este sentido las rocas sedimentarias son materiales granulares, pues, aunque en promedio

su composición puede considerarse homogénea, están formadas por agregados de partículas cuyo

tamaño y forma dependen de: la calidad de la roca madre donde se originaron, del grado de

meteorización y del desgaste que los granos hayan sufrido durante el transporte; esto es,

dependen de procesos de erosión, sedimentación y depositación de minerales provenientes de

otras rocas. Así, algunos granos no encajan perfectamente entre sí dentro del material, dejando

espacios vacíos que pueden contener agua, gas o hidrocarburos.

Más aún, las rocas sedimentarias pueden localizarse en diversos lugares en la superficie

terrestre: depósitos glaciares, acumulaciones volcánicas, brechas de fallas, fondos de valles y

lechos de ríos, lagos o mares. La importancia de su estudio radica entonces en determinar la

cantidad de fluido que puedan contener para estimar reservas en determinados lugares de la

corteza terrestre (Mendoza, 1998).

La clasificación primordial de las rocas sedimentarias se basa en los tamaños de las partículas

que las conforman, registrados en la Tabla 1.1. No obstante, para obtener una descripción

completa de las mismas es necesario contar con información referente a origen geológico,

composición mineralógica, grado de alteración, resistencia y existencia de planos de fracturas,

así como la forma de la o las partículas.

9

Tabla 1.1. Escala de tamaño de grano de Udden-Wentworth, modificado de Adams et. al, 1984

1.1.1. Tipos de empaquetamientos granulares monodispersos (Alberts, 2005).

Empaques regulares: los arreglos regulares consisten de filas y columnas ordenadas en

patrones cristalográficos. Con filas ordenadas a 60° o a 90° pueden ser construidos cinco tipos

básicos de empaques: cúbico, ortorrómbico, tretagonal-esfenoidal y romboédrico piramidal y

romboédrico hexagonal. Muchas propiedades pueden ser fácilmente calculadas para arreglos

regulares. La Figura 1.1 muestra los diferentes tipos de empaquetamientos regulares:

Cúbico Ortorrómbico Tetragonal- Romboédrico- Romboédrico-

Esfenoidal Piramidal Hexagonal

Figura 1.1. Vista superior de los arreglos regulares básicos, caracterizados por el mínimo número

de esferas posibles para representar el empaque. (Modificado de Alberts, 2005).

10

Empaques de esferas de metal: el empaque de Finney es un empaque desordenado que

consiste de 7994 esferas de metal sólidas cuyo diámetro de ¼ de pulgada ha sido medido de

forma precisa. Este es probablemente uno de los empaquetamientos irregulares construidos con

mayor precisión y de más utilización experimental, dado que no conlleva efectos de borde

notables. Este arreglo, así como otros similares, se construye de la siguiente forma: las esferas

metálicas son dispuestas en un contenedor y agitadas rápidamente de forma vertical para reducir

su volumen al mínimo posible.

Empaques “Rampage”: son paquetes desordenados de granos del mismo tamaño que pueden

ser fácilmente simulados computacionalmente. Los granos monodispersos desordenados pueden

existir en diferentes estados de empaquetamiento, los cuales difieren básicamente en el grado de

compactación y en la presencia de “puentes”. Estos puentes se forman cuando dos o más esferas

intentan llenar, simultáneamente, el mismo espacio vacío, quedando cada una, suspendida y

sostenida por la otra esfera (Figura 1.2). La presencia de puentes conlleva una disminución

significativa del número de contactos promedio por esfera. Así, los estados de empaquetamiento

han sido definidos como: suelto con puentes (bridged loose), denso con puentes (bridged dense)

y denso sin puentes (bridged-free dense).

Figura 1.2. Ilustración de la formación de puentes en dos dimensiones. Las esferas sombreadas

han formado un puente al intentar caer en el mismo espacio al mismo tiempo. (Tomado de

Alberts, 2005).

1.1.2. Análisis estadístico de empaques granulares monodispersos.

Además de la porosidad, propiedad que será detalladamente descrita más adelante en este

capítulo, hay dos parámetros que resultan útiles en la caracterización de arreglos de granos.

11

Función de distribución radial: Es una herramienta para estudiar la estructura del empaque.

Esta función muestra un histograma de la distribución de distancias entre los centros de las

esferas (en todas las direcciones), normalizadas por el volumen total. La función de distribución

radial se define como:

�� =��,��

�� (1.1)

Donde r es la distancia radial (en diámetros), dr es el incremento en la distancia, N(r,r+dr) es el

número promedio de centros entre la distancia radial r y r+dr y es la densidad promedio.

Contactos (Número de coordinación y ángulos de contacto): una característica importante de

los empaques es la distribución del número de contactos entre las partículas. El número de

contactos promedio por esfera (o número de coordinación) da una idea de la conexión de los

granos que conforman el empaque, su proximidad y la ocurrencia de puentes. La distribución de

los números de coordinación también contiene información del grado de desorden del arreglo,

pues señala la presencia de grandes espacios vacíos o de granos agrupados densamente.

Teóricamente una esfera puede tener sólo tres contactos para permanecer en una posición

estable. Por otro lado, la distribución de los ángulos de contacto es indicativa de la topología del

empaque y de la dirección de las fuerzas en el arreglo. En la Tabla 1.2 se muestran los números

de coordinación promedio para los tipos de empaques ya descritos.

Tabla 1.2. Números de coordinación corregidos para diferentes empaquetamientos granulares.

(Tomado de Alberts, 2005).

Empaque Número de coordinación promedio

Empaques regulares:

Cúbico 5,72

Ortorrómbico 7,79

Tetragonal-esfenoidal 10,04

Romboédrico-piramidal 11,91

Romboédrico-hexagonal 12,11

Empaques de esferas metálicas:

Finney (1970) 7,05

Empaque “Rampage”: 5,16

12

1.1.3. Convección y separación de partículas en medios granulares.

Cuando se tienen granos de diferentes tamaños en un mismo medio granular la agitación es

considerada como el principal mecanismo de homogenización de mezclas o transporte de

materiales que no pueden ser sometidos a otro tipo de esfuerzos. No obstante, esta técnica

presenta también grandes problemas prácticos debido, entre otras cosas, a la tendencia que tienen

los granos a segregarse en función de sus diferentes propiedades o a compactarse dando lugar a

estructuras cuasicristalinas difíciles de manejar. (Garcimartín et. al, 2002).

La convección y la separación de partículas en base a su tamaño de grano ocurre cuando el

material granular es sometido a vibraciones en dirección vertical. El flujo convectivo transporta

los granos hacia arriba y hacia abajo, siguiendo patrones circulares. De aquí que en muestras con

diversos tamaños de grano, confinadas a envases de paredes verticales, ocurra el denominado

“Efecto de la nuez de Brasil”. De acuerdo a dicho fenómeno los granos de mayor tamaño suben,

invariablemente, al tope de la mezcla si la misma vibra verticalmente (The University of Chicago

Granular Physics Group, Prof. Heinrich Jaeger, 2011).

La pregunta fundamental en este caso pareciera ser ¿por qué las componentes más pesadas

en un material granular suben al tope de la mezcla y no se hunden, como ocurre en cualquier

fluido? La respuesta es que este sistema está lejos del equilibrio y que, por tanto, los efectos

dinámicos superan cualquier consideración termodinámica. Los estudios del Grupo de Física

Granular de la Universidad de Chicago, llevados a cabo por Knight, J.B., Jaeger, H.M. y Nagel,

S. (1996), muestran que existe relación entre el fenómeno de la nuez de Brasil y la convección

granular, ya que las partículas más grandes son transportadas a partir de los movimiento de

convección de los granos más pequeños.

En envases cilíndricos o rectangulares el flujo de partículas en dirección superior tiene lugar

en el área central del material granular, mientras que el flujo hacia abajo se lleva a cabo en una

zona estrecha a lo largo de las paredes de la muestra, en la cual existe cierta corriente. De esta

forma, una vez en el tope, las partículas más grandes quedan atrapadas y no pueden penetrar la

estrecha región a lo largo de las paredes del recipiente.

13

1.2. Porosidad.

Debido al proceso de formación de las rocas y a la distribución de esfuerzos locales en las

mismas, los granos no están en contacto continuo unos con otros, dejando espacios vacíos dentro

de ellas. El conjunto de espacios vacíos en las rocas recibe el nombre de poros. Si los poros y

fisuras de un material granular se deformaran hasta que desaparecieran, al ser este sometido a

una gran presión hidrostática, se obtendría un sólido ideal denominado matriz rocosa. Por lo

tanto, el volumen total de la roca está compuesto por la suma entre el volumen de poros y el

volumen de la matriz, tal como se muestra en la siguiente expresión:

porosmatriztotal VVV += (1.2)

La porosidad de un material es una medida de la capacidad de almacenamiento de fluidos que

posee el mismo y está definida como la relación entre el volumen total ocupado por los poros y

el volumen total del sólido, lo que se ilustra por medio de la relación:

total

poros

V

V=φ (1.3)

El volumen de espacio disponible para almacenar fluido siempre será menor al volumen total

de la roca, por ende la porosidad es una fracción, generalmente expresada en tanto por uno. No

obstante, es muy útil ilustrar la porosidad como un porcentaje del volumen total de la roca, lo

que resulta de multiplicar la ecuación 1.3 por 100. No obstante, esta definición no brinda

información acerca de la distribución, interconexión y tamaño del espacio poroso en una roca, lo

que implica que diferentes tipos de rocas –o medios granulares- pueden tener porosidades iguales

y, aún así, presentar propiedades físicas diferentes, como la permeabilidad (Mendoza, 1998).

Dado que la porosidad es una medida de la capacidad de almacenamiento de fluidos de un

sistema, uno de los parámetros más utilizados para determinar la calidad de la roca yacimiento

es, precisamente, la porosidad de la misma. En la Tabla 1.3 se muestra la variación de la calidad

de la roca yacimiento en función de sus valores de porosidad.

14

Tabla 1.3. Calidad de la roca yacimiento en función de su porosidad. (Modificado del Curso de

Propiedades de la Roca Yacimiento, Universidad Central de Venezuela, Ángel Da Silva, 2011).

Calidad Φ (%)

Muy buena >20

Buena 15-20

Moderada 10-15

Pobre 5-10

Muy pobre <5

1.2.1. Clasificación de la porosidad.

La porosidad puede ser clasificada en base a dos aspectos generales:

• El origen de la roca

• La comunicación entre los poros

De acuerdo al origen de la roca, la porosidad puede ser dividida en primaria, la cual se

origina durante el proceso de depositación de los materiales que dan origen a la roca, y

secundaria (inducida), que es el resultado de procesos, tanto naturales como artificiales,

posteriores a la formación de la roca. Cuando se encuentran partículas suspendidas en un fluido

puede decirse que su porosidad es cercana a uno. Sin embargo, esta disminuye hasta alcanzar un

valor estable a medida que los sedimentos se asientan y aumentan las fuerzas de contacto entre

las partículas (Mendoza, 1998). En este sentido, los parámetros microestructurales que afectan la

porosidad primaria de un sedimento no consolidado son: el tamaño, la forma (geometría) y el

escogimiento de los granos.

En general, las rocas con porosidad primaria presentan características más uniformes que

aquellas con porosidad secundaria puesto que, después de producirse la deposición de

sedimentos, la roca puede ser sometida a procesos físicos, químicos y biológicos que generan

modificaciones del volumen poroso del sistema y/o a procesos geológicos de deformación que

generan fisuras o desplazamiento de los granos que conforman la matriz rocosa. De aquí que

algunos de los procesos que dan origen a la porosidad inducida son: la compactación mecánica,

la precipitación de minerales, al disolución, el fracturamiento y la recristalización (Curso de

Propiedades de la Roca Yacimiento, Universidad Central de Venezuela, Ángel Da Silva, 2011)

15

Es de hacer notar que existen diferentes tipos de porosidad asociados a los procesos

mencionados, los cuales coexisten a menudo. Entre estos tipos de porosidad se tiene: la

porosidad intergranular, formada en el momento de depositación de las partículas; la porosidad

intragranular, debida a la disolución parcial de los granos de la roca; la porosidad

intercristalina, relacionada a los intersticios entre los cristales; la porosidad móldica, asociada a

la disolución de los materiales que rellenan los moldes de los organismos presentes en la roca; la

porosidad por fractura, debida a esfuerzos tectónicos; y la porosidad por canal, vacuola o

caverna, relacionada a la disolución de carbonatos. (García 2000). En la Figura 1.3 se ilustran los

diferentes tipos de porosidad mencionados.

Tipos de porosidad según Choquette y Pray (1970)

No dependiente de la fábrica

Intergranular

Intragranular

Intercristalina

Móldica

Dependiente de la fábrica

Fractura

Canal

Vacuola

Caverna

Figura 1.3. Tipos de porosidad (Tomado de Choquette y Pray, 1970).

16

La presencia de material cementante puede sellar el espacio para almacenar fluidos, por lo

tanto los poros de la roca pueden encontrarse conectados entre sí o aislados, como se observa en

la Figura 1.4.

Figura 1.4. Distribución del espacio poroso. (Tomado del Curso de Propiedades de la Roca

Yacimiento, Universidad Central de Venezuela, Prof. Ángel Da Silva, 2011).

En base al tipo de comunicación entre los poros de la roca la porosidad puede denominarse:

1. Total o absoluta, que se refiere a la fracción del volumen rocoso que no está ocupado por

la matriz.

2. Interconectada o efectiva, la cual se define como el volumen total espacios que pueden

contener fluidos y se encuentran comunicados entre sí.

3. No interconectada o no efectiva, que representa la fracción del volumen total de la roca

que está conformada por los poros que se encuentran aislados.

El volumen total de los poros de la roca viene dado por la sumatoria entre el volumen de

poros interconectados y el de los no interconectados. De esta forma, la porosidad absoluta del

sistema es la suma de la porosidad efectiva más la porosidad no efectiva:

noefectivaefectivatotal φφφ += (1.4)

17

1.2.2. Factores que afectan la porosidad.

Existen diversos parámetros microestructurales que afectan la porosidad. Para fines de esta

investigación es necesario mencionar cuatro de ellos:

• Tipo de empaque

• Efectos de borde

• Tamaño, forma y distribución de los granos

• Compactación y cementación

1.2.2.1. Tipo de empaque.

La densidad de empaquetamiento es la relación existente entre el volumen de sólido y el

volumen total de un medio:

�� =��

�� (1.5)

Donde Vs es el volumen ocupado por los granos y Vt es el volumen total.

De aquí que la porosidad (ϕ) y la densidad de empaquetamiento (ρp) se relacionen mediante

la siguiente ecuación:

� = 1 − �� (1.6)

Tanto la porosidad como la densidad de empaquetamiento constituyen, tradicionalmente, el

primer indicador del estado de un medio granular. Aún y cuando existen muchas variables que

afectan la porosidad, tales como la forma de las partículas o el escogimiento de los granos, esta

propiedad está estrechamente relacionada con la estructura del empaque y con el grado de

compactación que este haya sufrido (Alberts, 2005). El límite de densidad se ha determinado

empíricamente como: 0,6366+/-0,0008 para empaquetamientos cerrados y desordenados

compuestos por esferas del mismo radio (Scott & Kilgour, 1969), lo que corresponde a una

porosidad del 36,34%. Por otro lado, para empaques sueltos y desordenados este límite es de

0,60 representado un 40% de porosidad (Scott, 1960). En empaquetamientos artificiales de

areniscas no consolidadas, los valores representativos de porosidad se encuentran entre 39% y

42%, variando desde areniscas bien escogidas hasta aquellas extremadamente bien escogidas.

18

En medios porosos compuestos por esferas de igual tamaño dispuestas en un arreglo cúbico

la porosidad es 47,64%, lo que representa el mayor valor teórico que se puede obtener. No

obstante, si la disposición espacial de las esferas es modificada, manteniéndose el tamaño de las

mismas, se pueden generar diversos tipos de arreglos en los cuales se registrarán porosidades

diferentes e inferiores a las del arreglo cúbico. La disminución en la porosidad puede traducirse

como el resultado de la reducción del volumen del espacio para almacenar fluidos, pues en los

distintos empaquetamientos las esferas ocupan un volumen que previamente se encontraba vacío.

En la Tabla 1.4 se muestra los valores de porosidad característicos para diferentes tipos de

empaquetamientos:

Tabla 1.4. Valores de porosidad característicos para diferentes tipos de empaques. (Modificado

de Alberts, 2005).

Tipo de empaque Porosidad (%)

Empaques regulares:

Cúbico 47,64 +/- 2,56

Ortorrómbico 39,54 +/- 1,24

Tetragonal-esfenoidal 30,19 +/- 0,89

Romboédrico-piramidal 25,95 +/- 0,27

Romboédrico-hexagonal 25,95 +/- 0,60

Paquetes de esferas metálicas:

Finney (1970) 36,34 +/- 0,03*

Scott (1960): denso 39-41*

Scott (1960): suelto 42-46

Paquetes “Rampage”:

Suelto con puentes 44,6 +/- 0,14

Denso con puentes 38,5 +/- 0,21

Denso 34,3 +/- 0,18

*Se hará referencia a estos valores en el análisis de resultados del presente proyecto.

1.2.2.2. Efectos de borde.

En general, la porosidad promedio de un empaque granular disminuye al aumentar el número

de esferas (Alberts, 2005).

limitado de esferas a un número infinito de las mismas

En base a este análisis ha sido posible determinar cómo influye la altura de la celda que

contienen las esferas en la porosidad. En este caso,

porosidad es sobreestimado, por lo tanto, el

radiales, como mínimo (Alberts, 2005).

efectos sobre el valor de la po

Figura 1.5. Influencia de la altura del empaque sobre la porosidad. (Tomado de Alberts, 2005).

1.2.2.3. Tamaño, forma y distribución de los granos

Considerando el concepto de área superficial para un conjunto de granos del mismo tamaño

y de forma esférica, puede observarse que la porosidad inicial de un sedimento depende

directamente del área expuesta de los granos, la cual se incrementa a medida que las partícu

son más finas (Mendoza, 1998).

En este sentido, el área superficial específica se define como:

Por

osid

ad

1.2.2.2. Efectos de borde.

la porosidad promedio de un empaque granular disminuye al aumentar el número

de esferas (Alberts, 2005). Por ende, extrapolando todos los valores medido

limitado de esferas a un número infinito de las mismas, pueden corregirse los efectos de borde.

ha sido posible determinar cómo influye la altura de la celda que

contienen las esferas en la porosidad. En este caso, si la altura es muy pequeña, el valor de la

porosidad es sobreestimado, por lo tanto, el alto del empaque debe ser igual a

, como mínimo (Alberts, 2005). Para alturas mayores a esta medida no se observan

alor de la porosidad (Figura 1.5).

. Influencia de la altura del empaque sobre la porosidad. (Tomado de Alberts, 2005).

Tamaño, forma y distribución de los granos.

el concepto de área superficial para un conjunto de granos del mismo tamaño


directamente del área expuesta de los granos, la cual se incrementa a medida que las partícu

son más finas (Mendoza, 1998).

En este sentido, el área superficial específica se define como:

parV

Aexp=ϕ

1/altura (Unidades de radio)

19

la porosidad promedio de un empaque granular disminuye al aumentar el número

extrapolando todos los valores medidos para un número

corregirse los efectos de borde.

ha sido posible determinar cómo influye la altura de la celda que

si la altura es muy pequeña, el valor de la

alto del empaque debe ser igual a 17 unidades

Para alturas mayores a esta medida no se observan

. Influencia de la altura del empaque sobre la porosidad. (Tomado de Alberts, 2005).

el concepto de área superficial para un conjunto de granos del mismo tamaño


directamente del área expuesta de los granos, la cual se incrementa a medida que las partículas

(1.7)

20

Donde Aexp representa la superficie expuesta del grano y Vpar el volumen del mismo.

Para granos de forma esférica el área superficial es:

RR

R 3

3

44

3

2

==π

πϕ (1.8)

De esta forma puede escribirse que la porosidad depende directamente del área expuesta, tal

como se ilustra a continuación:

R

1∝φ (1.9)

De aquí que la porosidad inicial de un sedimento tenderá a ser mayor a medida que los

granos son más finos. En la Figura 1.6 se muestra cómo disminuye la porosidad en función del

diámetro de los granos para dos conglomerados de partículas de formas diferentes.

Figura 1.6. Disminución de la porosidad en función del tamaño de grano para dos conjuntos de

partículas de tamaño uniforme. (Tomado de Mendoza, 1998).

A la variación en el tamaño de los granos, producto de las condiciones depositacionales a las

que estuvo expuesta la roca durante su formación, se le conoce como escogimiento y es un factor

que afecta significativamente la porosidad. Matemáticamente el escogimiento puede ser

calculado como la desviación estándar del tamaño de grano promedio de una distribución de

21

partículas (Albert, 2005). En la Figura 1.7 se muestra un conjunto de gráficos visuales utilizados

para estimar el escogimiento de los granos en una roca.

Figura 1.7. Clasificación visual del escogimiento de los granos y valores de desviación estándar

en unidades phi, según Folk. (Modificada de Simpson, 1995).

Distribuciones homogéneas del tamaño de los granos se asocian a buen escogimiento y a

porosidades altas. Sin embargo, la porosidad disminuye a medida que la roca está peor escogida,

como se observa en la Figura 1.8.

(a) (b)

Figura 1.8. Disminución de la porosidad asociada al escogimiento de los granos. (a) Sección que

muestra buen escogimiento de los granos. (b) Sección que muestra mal escogimiento. (Curso de

Propiedades de la Roca Yacimiento, Universidad Central de Venezuela, Prof. Ángel Da Silva,

2011).

Muy bien escogido

<0.35φ

Bien escogido

0.35-0.71φ

Moderadamente escogido

0.71-1.00φ

Mal escogido

1.00-2.00φ

Muy mal escogido

2.00-4.00φ

22

En la Figura 1.9 se muestra cómo varía la porosidad en función del escogimiento para dos

conjuntos de datos de porosidad diferentes: uno obtenido a partir de una simulación de un

empaque “Rampage” y otro tomado de Beard & Weil (1973).

Figura 1.9. Porosidad vs. Escogimiento de las simulaciones “Rampage” y el conjunto de datos

experimentales de Beard y Weil (1973). (Tomado de Alberts, 2005).

Por otro lado, la oblicuidad caracteriza el grado de asimetría de una muestra.

Matemáticamente la oblicuidad es la desviación de tercer orden del tamaño medio de grano.

Mientras más negativa es la oblicuidad, indica la presencia de un mayor número de esferas

pequeñas en la muestra. De esta forma, porosidades más altas estarían asociadas a una oblicuidad

positiva, sin embargo no se ha observado una tendencia clara entre ambas propiedades (Alberts,

2005).

La morfología de los granos también afecta la porosidad de la roca. Los parámetros más

utilizados para definirla son la redondez y la forma. La redondez se refiere a la curvatura de la

Escogimiento (Desviación estándar en phi)

Por

osid

ad (

Fra

cció

n de

l vol

umen

)

Rampage

Bard & Weil

Modelo de regresión lineal

superficie de los granos y a la suavidad de los contornos de los mismos, mientra

está definida por la geometría de las partículas

Para evitar la utilización de términos cualitativos al estudiar la forma de los granos, se usan

parámetros capaces de ser medidos, tales como el alargamiento, la esfericidad

La esfericidad, que asocia la forma del grano a una esfera de igual volumen, es uno de los

términos más utilizados para definir la forma (Oropeza, 2006). La determinación más sencilla del

grado de esfericidad se lleva a cabo visualmente

elaboradas, las cuales suelen incluir la redondez.

La redondez suele ser estudiada por medio de observación directa utilizando tablas

comparativas, lo que conlleva cierto rango de error en la caracterización

describir este parámetro se utilizan términos cualitativos como “anguloso”, que indica la

presencia de aristas y caras rectas en los granos; “sub anguloso”, que indica poco desgaste en las

aristas; “sub redondeado”, que presenta ca

“redondeado”, que presenta aristas redondeadas y carece de caras planas (Oropeza, 2006).

Figura 1.10 se muestra una gráfica para la estimación visual de la redondez y la esfericidad

según Powers (1953).

Figura 1.10. Estimación visual de esfericidad y redondez.

En este sentido, un sistema compuesto por granos perfectamente esféricos y redondeados

presentará una porosidad mayor que un sistema formado por granos alargad

superficie de los granos y a la suavidad de los contornos de los mismos, mientra

está definida por la geometría de las partículas (Oropeza, 2006).


parámetros capaces de ser medidos, tales como el alargamiento, la esfericidad



grado de esfericidad se lleva a cabo visualmente, comparando el grano con gráficas previamente

elaboradas, las cuales suelen incluir la redondez.


comparativas, lo que conlleva cierto rango de error en la caracterización



aristas; “sub redondeado”, que presenta caras poco desarrolladas y aristas redondeadas; y

“redondeado”, que presenta aristas redondeadas y carece de caras planas (Oropeza, 2006).

se muestra una gráfica para la estimación visual de la redondez y la esfericidad

. Estimación visual de esfericidad y redondez. (Basado en Powers, 1953


presentará una porosidad mayor que un sistema formado por granos alargad

23

superficie de los granos y a la suavidad de los contornos de los mismos, mientras que la forma


parámetros capaces de ser medidos, tales como el alargamiento, la esfericidad y el aplanamiento.



, comparando el grano con gráficas previamente


comparativas, lo que conlleva cierto rango de error en la caracterización de las partículas. Para



ras poco desarrolladas y aristas redondeadas; y

“redondeado”, que presenta aristas redondeadas y carece de caras planas (Oropeza, 2006). En la

se muestra una gráfica para la estimación visual de la redondez y la esfericidad

(Basado en Powers, 1953).


presentará una porosidad mayor que un sistema formado por granos alargados y angulares. Una

24 comparación visual entre dos sistemas con granos esféricos y alargados, respectivamente, se muestra

en la Figura 1.11.

(a) (b)

Figura 1.11. Disminución de la porosidad debida a la presencia de granos de baja esfericidad. (a)

Sección con granos perfectamente esféricos y redondeados. (b) Sección con granos alargados y

redondeados. (Curso de Propiedades de la Roca Yacimiento, Universidad Central de Venezuela,

Prof. Ángel Da Silva, 2011).

1.2.2.4. Compactación y cementación.

La presencia de material cementante afecta la compactación y firmeza de la roca y, por ende, su

porosidad. A medida que los granos que conforman la matriz rocosa se unen entre sí por medio de

material cementante como sílice, carbonato de calcio o arcilla, la porosidad del sistema disminuye.

Debido a esto, la porosidad de materiales no consolidados es mucho mayor que la de sistemas

consolidados. En la Figura 1.12 se ilustra la disminución de la porosidad en función del tiempo,

luego de precipitar cemento en los poros de una arenisca.

Figura 1.12. Decremento exponencial de la porosidad en función del tiempo geológico luego del

inicio de la precipitación de cemento en los poros de una arenisca. (Modificado del curso de

Estratigrafía y Sedimentología, Universidad Simón Bolívar, Prof. Andrés Pilloud, 2009).

Tiempo

Por

osid

ad p

orce

ntua

l

Inicio de la

precipitación

25 1.2.3. Determinación experimental de la porosidad.

La porosidad de una roca puede ser determinada mediante técnicas de medición en el laboratorio

o través de perfiles de pozos. En el presente estudio se utilizaron dos métodos de laboratorio

diferentes para estimar la porosidad de distintos medios granulares, los cuales son ampliamente

descritos en el Capítulo 2 del presente trabajo:

• Medición de la porosidad con el método de embebido: es el método más sencillo de

determinación de la porosidad y consiste en saturar el medio, cuyo volumen es conocido, con un

fluido de densidad también conocida, y medir, tanto el volumen ocupado por el líquido, como el

volumen final obtenido al saturar la muestra con el fluido. De esta forma, la diferencia del

volumen de la muestra más el volumen de agua con respecto al volumen total permite

determinar el volumen de poros (Oropeza, 2006).

• Medición óptica de la porosidad: implica el análisis microscópico de una sección fina de la

muestra y se aplica cuando la estructura de micro-porosidad de la misma es isótropa. En este

método se miden las áreas de los poros (no sus volúmenes), por lo que la porosidad es el

cociente entre el área de dichos poros y el área total de la sección (Mendoza, 1998).

1.3. Permeabilidad.

En el estudio de la física de rocas resulta de gran importancia el contenido de fluidos y el

movimiento de los mismos en el interior de ellas. Las rocas porosas tienen la capacidad de absorber

fluidos como gas, hidrocarburos o agua, siempre que sus espacios vacíos estén interconectados. Así

mismo, en muchos casos el fluido dentro de una masa rocosa actúa como debilitador del sistema,

induciendo rupturas o fracturamientos (Mendoza, 1998).

Al estudiar el movimiento de fluidos en materiales porosos desde una perspectiva experimental y

macroscópica es necesario hablar de la permeabilidad. La permeabilidad se define como la

capacidad que tiene una roca de permitir el flujo de fluidos a través de sus poros interconectados

(Guéguen y Palciasukas, 1994). Si los poros de la roca no se encuentran interconectados no hay

permeabilidad. Por lo tanto, la permeabilidad depende de la porosidad efectiva y, con ello, depende

26 más específicamente del escogimiento de los granos, el grado compactación, el grado de

cementación y la presencia de minerales de arcilla en una roca (Concepción, 2005). Generalmente la

permeabilidad aumenta con la porosidad, lo que implica que para un mismo tipo de roca la relación

entre estas dos propiedades petrofísicas se aproxima a una línea recta cuando la permeabilidad es

graficada en escala logarítmica, sin embargo, cada tipo de roca exhibirá una relación particular

(Chauveteau et. al, 1996).

Al igual que la porosidad, la permeabilidad puede clasificarse en primaria y secundaria. La

permeabilidad primaria, o permeabilidad de la matriz, es aquella que se origina en el momento de

depositación de la roca; mientras que la permeabilidad secundaria es el resultado de la alteración de

la roca, debido a procesos de cementación, compactación, disolución y fracturamiento, entre otros

(Concepción, 2005). En cuanto a la influencia del tamaño y la forma de los granos sobre la

permeabilidad primaria cabe mencionar que si una roca está formada por granos grandes y esféricos,

la permeabilidad será alta en todas las direcciones, pero si la roca está formada por granos pequeños

y angulares, la permeabilidad será baja, debido a que las gargantas de los poros son más pequeñas y

el camino seguido por el fluido es más tortuoso. De aquí que el espectro de variación de la

permeabilidad de las rocas sedimentarias resulte amplio y represente la calidad de los diferentes

reservorios. En la tabla 1.5 se presenta la calidad de los yacimientos de hidrocarburos en función de

la permeabilidad.

Tabla 1.5. Calidad de una roca en función de su permeabilidad (Tomado de Concepción 2005,

citando a Djebbar y Donaldson, 1996).

Calidad de la roca Permeabilidad (mD)

Pobre k <1

Regular 1< k <10

Moderada 10< k <50

Buena 50< k <250

Muy buena k >250

27

Para entender la definición de permeabilidad es necesario comprender la relación fundamental

que mide el flujo de líquido dentro de un material granular. Para ello se definirán los conceptos de

tasa de flujo y viscosidad.

Tasa de flujo: la tasa de flujo se define como el volumen de fluido que pasa por una sección

transversal por unidad de tiempo. Por lo tanto, sus unidades son de longitud3/tiempo. En forma

general la tasa de flujo puede expresarse como:

tVqx ∆∆= (1.10)

Supóngase que se tiene un tubo circular a través del cual circula un fluido. La presión de empuje

es la que facilita el flujo, brindando a las partículas cierta velocidad constante y paralela a las

paredes del tubo. Al ser la velocidad paralela a las paredes del tubo, el fluido pasará por la sección

transversal del mismo en cada instante (Mendoza, 1998). En la Figura 1.13 se ilustra un tubo con

sección transversal A, en el cual las partículas fluyen con una velocidad vx y donde el flujo se ha

desplazado una distancia L=vx∆t, luego de transcurrir un intervalo de tiempo ∆t.

Figura 1.13. Tubo circular de sección transversal A, por cual circula un fluido. (Tomado de

Mendoza, 1998).

En este caso, el volumen de fluido que ha pasado por la sección transversal del tubo en un

intervalo ∆t será igual a:

tAvV x∆=∆ (1.11 a)

28

Al sustituir la expresión anterior en la ecuación 1.10 se obtiene una nueva ecuación para la tasa

de flujo, que viene dada por:

Avq xx = (1.11 b)

Esta expresión puede ser generalizada para el caso de tres componentes en la velocidad,

definiéndose una tasa de flujo para cada componente, siempre que se tome la componente de la

velocidad perpendicular a la sección transversal del tubo (Mendoza, 1998).

Viscosidad: la viscosidad es la medida de la resistencia que presenta el flujo a fluir. En los

fluidos ideales no se originan esfuerzos de cizalla que tienden a oponerse al movimiento cuando

dicho fluido comienza a desplazarse bajo la acción de alguna fuerza. Por lo tanto, en los fluidos

ideales la viscosidad, que mide las fuerzas internas de roca del fluido, es cero. Por otra parte los

fluidos Newtonianos como el gas, el agua o los hidrocarburos presentan viscosidad y esta es función

de la temperatura del fluido. De forma general la viscosidad disminuye a medida que la temperatura

aumenta (Mendoza, 1998).

Según Mendoza (1998): “Físicamente, podemos entender el fenómeno de viscosidad como una

fuerza paralela al flujo pero de dirección contraria, que es creada por el roce de las moléculas del

fluido”. En la Figura 1.14 se observa una masa cúbica de fluido que se ha desplazado una cierta

longitud en dirección del flujo luego de un instante ∆t=t’-t, así como los efectos de las fuerzas de

roce en un fluido newtoniano, las cuales son responsables de la diferencia de desplazamiento dx

entre éste y un fluido ideal.

Figura 1.14. Diferencia en desplazamiento entre un fluido Newtoniano y un fluido ideal, debida a la

viscosidad. (Tomado de Mendoza, 1998).

29

La deformación del fluido Newtoniano puede definirse como:

xdxe = (1.12)

Donde x es la arista del cubo.

Si la deformación se produce en un instante de tiempo ∆t, la viscosidad puede definirse como

una constante particular del fluido que está dada por el cociente entre el esfuerzo de cizalla y la tasa

de cambio de la deformación, como se observa en la siguiente ecuación:

t

e

∆

= τµ (1.13)

Por ende, las unidades de viscosidad vienen dadas en (fuerza x tiempo)/área, es decir en (N

s)/m2. No obstante, el poise es la unidad más utilizada en física de rocas y en mecánica. Un poise

equivale a:

21 /.101 msNPoise −= (1.14)

1.3.1. Ley de Darcy.

En la segunda mitad del siglo XIX el ingeniero hidráulico francés Henry Darcy desarrolló el

primer estudio sistemático del movimiento del agua a través de un medio poroso. En 1856 Darcy

publicó su trabajo, describiendo estudios experimentales de flujo de agua a través de filtros de arena

no consolidada, los cuales eran utilizados en el procesamiento de diario de agua potable del pueblo

de Dijon (Francia). En dichos estudios el ingeniero encontró experimentalmente una relación que

permitía calcular la tasa de flujo de un fluido al atravesar un material permeable. En este sentido,

Darcy determinó que la tasa a la cual el agua fluía a través del medio poroso y permeable era

directamente proporcional a la diferencia de altura entre los dos extremos del filtro de arena, e

inversamente proporcional a la longitud de dicho filtro (Espinoza, 2004).

30

Haciendo uso de un cilindro sostenido entre dos pantallas de gasa permeable, el cual contenía un

paquete de arena no consolidada de un metro de longitud y tenía un manómetro conectado a cada

uno de sus extremos, Darcy midió la presión, tanto en la entrada como en la salida del filtro de

arena, cuando fluía agua a través del medio arenoso (Curso de Propiedades de la Roca Yacimiento,

Universidad Central de Venezuela, Prof. Ángel Da Silva, 2011).

En el cilindro utilizado por Darcy, se inyectaba agua a cierta presión en el extremo A, esta agua

fluía a través de la longitud, L, del cilindro, y era descargada en el extremo B. La presión registrada

en los extremos del tubo-o en algún punto intermedio-se medía con un tubo vertical estrecho

llamado piezómetro. En la Figura 1.15 se ilustra el aparato experimental utilizado por Darcy.

Figura 1.15. Experimento de Darcy (Tomado de Espinoza, 2004).

En este caso la tasa de flujo qx resulta directamente proporcional a la diferencia de altura del

agua en los piezómetros A y B (ecuación 1.15a), e inversamente proporcional a la longitud L del

cilindro (ecuación 1.15b).

bax hhq −∝ (1.15 a)

Lqx 1∝ (1.15 b)

Donde ha y hb representan la altura del agua medida en los piezómetros A y B, respectivamente. Y

L es la longitud del tubo. Es necesario recordar que la tasa de flujo también es proporcional al área

transversal del tubo, A, (véase ecuación 1.11 b), por lo tanto, combinando estos elementos puede

escribirse:

31

KAL

hhq ba

x .

−=

(1.16)

Donde K es una constante de proporcionalidad que tiene unidades de longitud/tiempo y es

denominada conductividad hidráulica o coeficiente de permeabilidad (Espinoza, 2004).

La ecuación 1.16 puede ser escrita, en términos generales, como:

−=dl

dhAKqx .. (1.17)

Donde dh/dl es conocido como gradiente hidráulico. La cantidad dh representa el cambio en la

medida piezométrica entre dos puntos muy cercanos, y dl constituye una distancia muy pequeña.

(Espinoza, 2004). El signo negativo se debe a que la dirección de flujo se define como positiva en la

dirección positiva de L, es decir, si la distancia se toma positiva en la dirección de flujo, entonces el

gradiente hidráulico debe ser negativo en esa misma dirección, dado que los fluidos se mueven

desde niveles de alto potencial a niveles de bajo potencial.

Lo único que Darcy varió durante la realización del experimento fue el tipo de empaque de

arena, lo que resultó en variaciones de la permeabilidad. Los efectos de la densidad del fluido y la

viscosidad no fueron investigados por Darcy, ya que todos los estudios fueron realizados con agua.

Más aún, el cilindro se mantuvo siempre en dirección vertical. Investigaciones posteriores han

repetido el experimento, siendo menos restrictivas con el ángulo de inclinación (Figura1.16).

Figura 1.16. Montaje experimental de Darcy variando el ángulo de inclinación del tubo. (Tomado

del Curso de Propiedades de la Roca Yacimiento, Universidad Central de Venezuela, Ángel Da

Silva, 2011).

32

Estos experimentos han encontrado que la diferencia dh es siempre la misma para una tasa de

flujo particular, independientemente de la orientación del paquete de arena. Hubbert (1956)

demostró que la constante de proporcionalidad K es una función de las propiedades del medio

poroso y del fluido que pasa a través de él, por lo tanto, ésta depende solamente de la naturaleza de

la roca. De hecho, es intuitivo pensar que un fluido muy viscoso se moverá con una velocidad más

pequeña que uno de menor viscosidad en un mismo medio. De aquí que la tasa de flujo sea

inversamente proporcional a la viscosidad dinámica del fluido, µ y proporcional al peso específico

del fluido. A partir de dicha información puede escribirse que:

µρg

kK ∝ (1.18)

Donde ρ es la densidad del fluido, g es la fuerza de gravedad y k es una constante denominada

permeabilidad intrínseca. Dicha constante es propia de cada material y se relaciona con el tamaño, la

forma y el grado de interconexión de los poros dentro de la roca (Mendoza, 1998).

1.3.2. Validez de la ecuación de Darcy.

Existen ciertas condiciones específicas que deben ser tomadas en cuenta para considerar válida

la determinación experimental de la ecuación de Darcy (Curso de Propiedades de la Roca

Yacimiento, Universidad Central de Venezuela, Prof. Ángel Da Silva, 2011). Entre ellas se tienen:

Flujo en estado estable: en pruebas de laboratorio los flujos transitorios duran pocos minutos,

sin embargo, hay que destacar que en dimensiones de yacimiento se pueden generar condiciones de

flujo transitorio durante largos períodos de tiempo, debido a la naturaleza de los fluidos.

Flujo laminar: para aplicaciones prácticas el flujo es, generalmente, laminar. Sin embargo, en el

subsuelo, cuando se tienen velocidades altas en las adyacencias de los pozos, pueden ocurrir flujos

turbulentos. En el flujo laminar las partículas se mueven de forma paralela y en dirección de la

corriente; más aún, en caso de existir fluidos heterogéneos, no ocurre mezcla entre ellos. En el flujo

turbulento, por el contrario, las moléculas se mueven en cualquier dirección-en un punto dado del

flujo-resultado en la mezcla de fluidos heterogéneos (Curso de Estratigrafía y Sedimentología,

33 Universidad Simón Bolívar). Para altas tasas de flujo, la ecuación de Darcy es inapropiada en cuanto

a la descripción de la relación entre la tasa de flujo y la caída de presión. En la Figura 1.17 se

muestra un flujo laminar y uno turbulento, así como el movimiento de los granos dentro de los

mismos.

Figura 1.17. Flujo turbulento y flujo laminar (Tomado del curso de Estratigrafía y Sedimentología,

Universidad Simón Bolívar, Prof. Andrés Pilloud, 2009).

El número de Reynolds es un parámetro adimensional que está definido por la relación entre la

velocidad del flujo (u) y una longitud característica (l), que corresponde al diámetro del tubo a través

del cual fluye el fluido, respecto a la viscosidad cinemática de fluido (v). Esto se ilustra en la

siguiente expresión:

v

lu.Re= (1.19)

El número de Reynolds puede ser utilizado para determinar si un flujo es laminar, mixto o

turbulento. En base al número de Reynolds (Re) el flujo puede dividirse en (Curso de Estratigrafía y

Sedimentología, Universidad Simón Bolívar, Prof. Andrés Pilloud, 2009):

• Laminar cuando Re<500

• Mixto cuando 500>Re<2000

• Turbulento cuando Re>2000

34

De esta forma, los flujos de agua son laminares únicamente a velocidades bajas, mientras que los

fluidos con viscosidades cinemáticas muy pequeñas siempre son turbulentos. , incluso a velocidades

muy bajas. Cabe mencionar que la ecuación de Darcy es inválida para números de Reynolds

mayores a 1, tal como se muestra en la Figura 1.18.

Figura 1.18. Valores límites del número de Reynolds para la ecuación de Darcy. (U.S. Engineers

Corps, 1986).

Un único fluido satura la roca: la ecuación de Darcy no es válida para medios donde hay más de

un fluido presente. No obstante, dicha expresión puede ser modificada de manera tal que sea

aplicable a flujos multifásicos.

El fluido no reacciona con las partículas de la roca: en ciertas ocasiones los fluidos pueden

reaccionar químicamente con los minerales de la roca, reduciendo la permeabilidad de la misma. Un

ejemplo de esto son las arcillas expandibles en agua. Para casos donde el fluido reacciona con el

medio permeable no es válida la aplicación de la ecuación de Darcy.

La roca es homógenea e isótropa: es decir, las propiedades del medio, así como su estructura

porosa, deben ser iguales en todas las direcciones. En la naturaleza, los procesos responsables del

35 origen de las rocas pueden ocasionar variaciones en la permeabilidad de las mimas en direcciones

diferentes.

De aquí se puede deducir que existen muchos factores que deben ser considerados como posibles

fuentes de error en la determinación experimental de la permeabilidad de un yacimiento, por lo

tanto, durante la medición de esta propiedad dinámica de flujo, se deben cumplir las siguientes

condiciones:

• Que la tasa de flujo sea baja, es decir, que el flujo sea laminar (viscoso).

• Que no exista reacción entre el fluido y la roca.

• Que esté presente una única fase saturando la totalidad del espacio poroso.

1.3.3. Determinación de la permeabilidad.

En el laboratorio, los análisis de núcleos rocosos conllevan a la estimación de la permeabilidad

haciendo pasar un fluido de viscosidad µ conocida a través del núcleo, cuyas dimensiones A y L

también son conocidas. Luego se determina la tasa de flujo y el gradiente de presión ∆P.

Experimentos realizados con una gran variedad de líquidos diferentes indican que la “Ley de Darcy”

puede ser generalizada como se muestra a continuación:

AdL

dPkqx

=µ

(1.20)

Donde k es la permeabilidad intrínseca, dP/dL representa el gradiente de presión que permite el

movimiento del fluido y µ es la viscosidad del mismo.

Cuando la roca está completamente saturada con un solo fluido, se habla de permeabilidad

absoluta del sistema, la cual tendrá el mismo valor, independientemente de la naturaleza del fluido.

Más aún, para dos muestras rocosas de dimensiones iguales que contengan el mismo tipo de fluido y

se encuentren bajo la misma temperatura y el mismo gradiente de presión, la tasa de flujo depende

únicamente de la permeabilidad, haciéndose mayor al aumentar esta última. Por ende, según

Mendoza (1998): “La permeabilidad es el factor clave e indicativo de la conductividad de fluido en

las rocas”.

36

La permeabilidad es también una propiedad anisótropa del medio poroso, por lo tanto puede

variar en función a la dirección a la cual es medida. La permeabilidad horizontal del yacimiento

(Kh) se obtiene a partir de núcleos tomados en dirección paralela al flujo de fluidos dentro de dicho

yacimiento, mientras que la permeabilidad vertical (Kv) se mide en núcleos tomados

perpendicularmente respecto a la dirección del flujo (Curso de Propiedades de la Roca Yacimiento,

Universidad Central de Venezuela, Prof. Ángel Da Silva, 2011). La Figura 1.19 ilustra los conceptos

de permeabilidad horizontal (Kh) y permeabilidad vertical (Kv) asociadas a núcleos rocosos

tomados en un yacimiento homogéneo.

Figura 1.19. Permeabilidad horizontal (Kh) y permeabilidad vertical (Kv) asociadas a núcleos

rocosos. (Modificado del Curso de Propiedades de la Roca Yacimiento, Universidad Central de

Venezuela, Prof. Ángel Da Silva, 2011).

La permeabilidad intrínseca es función del tamaño de los poros en el sedimento no consolidado.

De acuerdo a Espinoza (2004):

Mientras más pequeño es el tamaño de los sedimentos, más grande es el área superficial en contacto

con el agua contenida en los poros. Este aumento en el área superficial provoca un incremento en la

resistencia friccional al flujo, lo que disminuye la permeabilidad intrínseca. En sedimentos bien

distribuidos (es decir no homogéneos) la permeabilidad intrínseca es proporcional al tamaño

representativo del sedimento.

25

Existen algunos factores que relacionan la permeabilidad intrínseca con el tamaño de los granos

que componen un sedimento (Espinoza, 2004). Estos factores se enuncian a continuación:

1. La permeabilidad aumenta a medida que aumenta el tamaño medio de grano.

2. Para un tamaño fijo del diámetro de las partículas, la permeabilidad es inversamente

proporcional a la desviación estándar del tamaño de los sedimentos. Es decir, la permeabilidad,

al igual que la porosidad, depende del escogimiento de los granos del sedimento. Para altas

desviaciones estándar (muestras que presentan mal escogimiento) la permeabilidad disminuye,

puesto que los granos de menor tamaño ocupan espacio en los poros del sistema, reduciendo la

capacidad de transporte de fluido a través del mismo.

3. Muestras unimodales, las cuales presentan un solo tamaño de grano dominante, tienen

permeabilidades más grandes que aquellas que presentan dos o más tamaños de grano en su

composición.

Los rangos de valores típicos de permeabilidad intrínseca y conductividad hidráulica para

distintos medios granulares con diferentes tamaños de grano se presentan en la Tabla 1.6.

Tabla 1.6. Valores típicos de permeabilidad intrínseca y conductividad hidráulica en sedimentos no

consolidados. (Tomado de Espinoza, 2004).

Material Permeabilidad Intrínseca, k

(darcies)

Conductividad hidráulica, K

(cm/s)

Arcilla 10-6-10-3 10-9-10-6

Limo, limo arenoso, arena

arcillosa

10-3-10-1 10-6-10-4

Arena limosa, arena fina 10-2-1 10-5-10-3

Arena bien escogida 1-102 10-3-10-1

Grava bien escogida 10-103 10-2-1

1.3.4. Unidades de la permeabilidad.

La unidad de permeabilidad es el darcy, en honor a Henry Darcy. Teóricamente, según las

normas del Instituto Anericano del Petróleo (API), el darcy se define como: el régimen de flujo en

38 mililitros por segundo de un fluido de un centipoise de viscosidad que pasa a través de una sección

de un centímetro cuadrado de roca, bajo un gradiente de presión de una atmósfera (760 milímetros

de mercurio), en condiciones de flujo viscoso.

El darcy es una unidad de gran magnitud para la mayoría de las rocas, por este motivo los buenos

acuíferos presentan permeabilidades del orden de 1 darcy, mientras que los buenos yacimientos

petroleros tienen permeabilidades iguales o mayores a los 100 milidarcies (Mendoza, 1998).

Despejando la permeabilidad, k, de la ecuación 1.20, y llevando a cabo un análisis dimensional

de la misma se observa que presenta unidades de longitud al cuadrado:

[ ]

[ ][ ]2

22

3

l

lt

ml

llt

m

t

l

PA

LqK x =

=∆∆

=µ

(1.21)

Donde l, t y m simbolizan, respectivamente, las unidades de longitud, tiempo y masa.

Para relacionar estas unidades con el darcy puede escribirse que:

cm

atmcm

scmcP

darcy

1

11

/1.1

12

3

= (1.22)

La expresión puede convertirse a centímetros cuadrados utilizando las ecuaciones 1.23 y 1.24:

2/.01,01 cmsdinacP = (1.23)

1 atm = 1,0132.106 dina / cm2 (1.24)

Sustituyendo las expresiones anteriores en la ecuación (1.22) queda que:

2910.86,91 cmdarcy −= (1.25)

39 1.3.5. Métodos directos para medir la permeabilidad.

La permeabilidad o la conductividad hidráulica pueden medirse en el laboratorio, de forma

relativamente sencilla, a través de instrumentos llamados permeámetros. Los permeámetros cuentan

con una cámara en la cual se ubica la muestra, sea ésta un sedimento no consolidado o una roca. Al

trabajar con muestras no consolidadas existen dos posibilidades (Espinoza, 2004): trabajar con

muestras que se remoldean en la cámara del permeámetro o usar muestras inalteradas. Sin embargo,

si los sedimentos son reconstruidos en la cámara del permeámetro, los valores de conductividad

hidráulica obtenidos serán sólo una aproximación del valor real de la misma.

1.3.5.1. Permeámetro de carga constante.

Este permeámetro se utiliza con sedimentos no cohesivos, como arena y rocas. En este caso hay

una cámara que provee alimentación de agua constante, con lo que el fluido se mueve a través de la

muestra hasta alcanzar un régimen de equilibrio estacionario. Luego de generar el flujo a través de la

muestra y posterior a que se alcanza el estado de equilibrio, se miden: el caudal de salida del

permeámetro y la diferencia de carga entre la cámara de nivel constante y el nivel de agua en la

salida. En la Figura 1.20 se muestra un permeámetro de carga constante.

Figura 1.20. Permeámetro de carga constante. (Modificado de Espinoza, 2004).

24,8cm

Muestra

Pan

talla

s

poro

sas

Nivel de agua

Salida de agua

40

Para determinar la permeabilidad a partir de este tipo de permeámetro puede utilizarse la

ecuación (1.16):

KAL

hhq ba

x .

−=

Si se multiplican ambos lados de la expresión por el tiempo t durante el que se realiza el experimento, se obtiene que (Espinoza, 2004):

tKAL

hhtq ba

x ....

−= (1.26)

Teniendo en cuenta que el producto qx.t es el volumen de agua descargado en un tiempo t (V) y

que la diferencia de alturas ha y hb es la pérdida de carga en el permeámetro (∆h), se puede observar

que la conductividad hidráulica viene dada por (Espinoza, 2004):

htA

LVK

∆=

..

. (1.27)

Para que los resultados sean interpretados correctamente se debe utilizar un gradiente hidráulico

(dh/dL) similar a los encontrados en el terreno y la pérdida total de carga en el permeámtro no debe

exceder el 50% de la longitud de la muestra. Esto último con el objeto de asegurar que el número de

Reynolds no exceda los límites de validez de la ley de Darcy (Espinoza, 2004).

1.3.5.2. Permeámetro de carga variable.

Para sedimentos cohesivos de baja permeabilidad se suele utilizar el permeámetro de carga

variable, en el cual se tiene un tubo a través del cual desciende el agua a medida que atraviesa la

muestra. Para poder llevar a cabo las mediciones asociadas a la conductividad hidráulica y a la

permeabilidad deben conocerse: el diámetro del tubo (dt), la longitud de la muestra (L) y el diámetro

de la misma (dc). En la figura 1.22 se presenta un permeámetro de carga variable.

41

El procedimiento para determinar la conductividad hidráulica consiste en medir la posición

inicial de agua en el tubo, h0, y, luego que haya transcurrido un período de tiempo t, medir

nuevamente la posición vertical del fluido, h, una vez que el agua ha atravesado la muestra a través

de su espacio poroso. El nivel de agua se mantiene constante, dado que cualquier excedente se

derrama, tal como lo indica la Figura 1.21.

Figura 1.21. Permeámetro de carga variable. (Modificado de Espinoza, 2004).

Aplicando la ley de Darcy a este sistema, la tasa de flujo a través del tubo será:

adt

dhq .−= (1.28)

Donde (-dh/dt) es la velocidad a la cual desciende el agua a través del tubo y a es el área del mismo.

Por otra parte, la tasa de descarga del permeámetro en un tiempo dado es (Espinoza, 2004):

x

PAkq

∆∆=

µ. (1.29)

Donde A es el área transversal de la muestra, µ la viscosidad del fluido, ∆P/∆x es el gradiente de

presión y k la permeabilidad.

Pan

talla

s

poro

sas

Muestra

Tub

o p

or e

l que

de

scie

nde

el f

luid

o

Nivel de agua

42

Si el gradiente de presión (∆P/∆x) se reemplaza por Patm-(ρgh+Patm)=-ρgh, es decir, por la

presión que siente el fluido al derramarse, la cual produce el flujo del mismo, y si se considera que,

en virtud de la conservación de la masa, el volumen de agua que atraviesa la muestra en un tiempo t

es equivalente a al volumen de líquido que ha tardado el mismo tiempo en bajar por el tubo, puede

escribirse que (Mendoza, 1998):

L

ghAk

dt

dha

)( ρµ

−= (1.30)

Donde g es la fuerza de gravedad, ρ es la densidad del fluido, h es la altura a la que se encuentra el

mismo en el tiempo t y L representa la longitud de la muestra.

Si la expresión (1.30) es reordenada e integrada entre las alturas h0 y h y durante el intervalo de tiempo ∆t=t, se tiene (Mendoza, 1998):

∫ ∫=−0

0

h

h

t

dtL

g

a

Ak

h

dh ρµ

(1.31 a)

tL

g

a

Ak

h

h ∆= ρµ0

ln (1.31 b)

Finalmente, despejando la permeabilidad queda:

∆=

0

lnh

h

tgA

Lak

ρµ

(1.32)

Sin embargo, según Mendoza (1998), este método no permite conocer la variación de la

permeabilidad de la muestra bajo los efectos de una presión externa. Es de hacer notar que, al

utilizar este instrumento, debe verificarse que la muestra esté totalmente saturada, pues de existir

burbujas de aire dentro de la misma, la conductividad hidráulica medida disminuiría como producto

de la reducción en el área disponible para el escurrimiento de agua. Así mismo, la muestra debe

estar bien fijada a las paredes del recipiente, pues si los flujos preferenciales a través de la zona de

contacto entre la muestra y las paredes no son evitados, se generan valores de conductividad

hidráulica y, por ende de permeabilidad, mucho mayores a los valores reales del sistema (Espinoza,

2004).

43

1.4. Relaciones entre porosidad y permeabilidad.

La permeabilidad es la propiedad macroscópica que caracteriza los fenómenos de transporte. Por

muchos años se ha intentado encontrar la correlación entre la permeabilidad y parámetros del medio

poroso tales como: la fracción de espacio poroso (la porosidad) o el volumen de sólidos en un medio

(densidad de empaquetamiento), la distribución del tamaño de grano, el tipo de empaque y la

orientación de los granos constituyentes. Sin embargo, de todas esas correlaciones, la más estudiada

ha sido la relación entre la permeabilidad y la porosidad (Itoh, 2011), pues estas son las dos

características principales de todo yacimiento. En este sentido, la primera no puede existir sin esta

última, por lo tanto, debe existir una relación entre ambas propiedades. La permeabilidad es más

variable que la porosidad y más difícil de medir, pues en la práctica los yacimientos son

heterogéneos. Por este motivo, la determinación de la relación entre porosidad y permeabilidad, ya

sea experimental o empírica, resulta complicada y no es universal. Conocer la adecuada distribución

de la permeabilidad a partir de propiedades fácilmente medibles, como la porosidad, es un factor

crítico para poder aplicar técnicas de recobro a cualquier yacimiento.

Para lograr establecer una correlación teórica entre la porosidad y la permeabilidad es necesario

representar el medio poroso a partir de modelos teóricos que puedan ser tratados matemáticamente.

El modelo capilar es la manera más simple de encontrar la correlación entre ambas propiedades

(Itoh, 2011).

1.4.1. Modelo capilar.

Si un fluido se mueve en un tubo capilar bajo un régimen de flujo laminar, la distribución de

velocidades del fluido es parabólica, estando la máxima velocidad en el eje del tubo y la mínima en

las paredes del mismo (Espinoza, 2004). Este efecto se muestra en la Figura 1.22.

Figura 1.22. Distribución de velocidades en un flujo viscoso dentro de un tubo capilar. (Tomado del

curso de Propiedades de la Roca Yacimiento, Universidad Central de Venezuela, Prof. Ángel Da

Silva, 2011)

44

Si se considera un medio poroso con n capilares rectos de diámetro promedio d, los cuales

atraviesan todo el medio poroso, entrando en una de sus caras y emergiendo en la cara opuesta, el

flujo a través de los mismos puede ser descrito por la ley de Hagen-Poiseuille (Itoh, 2011):

dx

dpdnq

µπ

128

4

−= (1.33)

Donde µ es la viscosidad y dp/dx es el gradiente de presión en el capilar.

Al utilizar la ley de Darcy para describir el flujo a través de estos capilares se obtiene que:

L

PkAq

µ∆= (1.34)

Por otra parte el volumen de poros viene dado por la suma del volumen de cada capilar (ecuación

1.41) y el volumen total está representado por el producto entre el área y la longitud de la muestra

(Curso de Propiedades de la Roca Yacimiento, Universidad Central de Venezuela, Prof. Ángel Da

Silva, 2011). De esta forma, la porosidad se puede escribir de acuerdo a la expresión (1.36):

LrnVp 2π= (1.35)

A

rn

AL

Lrn

Vt

Vp 22 ππφ === (1.36)

Al igualar las ecuaciones (1.33) y (1.34) y sustituir el resultado en la expresión (1.36) queda que

la permeabilidad y la porosidad se relacionan mediante el radio de los capilares del sistema, tal

como se muestra a continuación:

φk

r8= (1.37)

45

Sin embargo, está claro que un modelo de capilares paralelos da la permeabilidad en una sola

dirección, lo que no representa adecuadamente la conexión entre la permeabilidad y la porosidad.

Más aún, en este caso cada capilar atraviesa la capa granular sin presentar variaciones en el

diámetro, lo que está muy lejos de la realidad. Un modelo más realista introduce la tortuosidad, pero

la inclusión de un parámetro desconocido en el modelo no resulta satisfactoria (Itoh, 2011).

Por este motivo es necesario considerar otros conceptos, relacionados a la estructura capilar de

un medio poroso, que podrían servir para calificar la calidad de un yacimiento, así como para

relacionar la permeabilidad y la porosidad.

Presión capilar: la presión capilar depende de la microestructura porosa y capilar y se define

como la diferencia en presión a través de la interfaz entre dos fluidos inmiscibles cuando éstos se

encuentran en el interior de un capilar (Lafage, 2008). La presión capilar viene dada por:

(1.38)

Un fluido que humedece puede desplazar a un fluido que no humedece sin la necesidad de

aplicar presión externa, lo que se conoce como imbibición capilar. En sistemas de agua y petróleo, el

agua es, típicamente, la fase que humedece. Por otra parte, el fluido que no humedece puede

desplazar al fluido que humedece si se aplica presión externa. En el método de inyección de

mercurio éste representa la fase que no humedece, y la saturación de la misma está determinada por

el volumen de mercurio que se inyecta a un medio poroso y permeable, a diferentes presiones. Para

construir la curva de drenaje o inyección el mercurio es inyectado hasta que se alcanza un máximo

de saturación de poros. Este volumen corresponde a la fracción de agua irreductible. Para generar

una curva de imbibición la presión es disminuida hasta condiciones ambientales. Esta curva

representa la saturación residual de mercurio.

Radio de garganta de poros: el diámetro de poros puede ser calculado usando la ecuación de

Washburn, la cual indica que la diferencia de presión entre dos fluidos inmiscibles (Pc) es

proporcional a la tensión superficial (γ), inversamente proporcional al radio del capilar (r) y también

depende del ángulo de contacto entre las fases (θ), tal como se ilustra en la siguiente expresión:

(1.39)

46 1.4.2. Métodos para calificar un reservorio usando las curvas de presión capilar.

Muchos autores han reconocido la importancia de la presión capilar en la estimación de la

permeabilidad al utilizar la ecuación de Winland o ecuaciones similares en las que la porosidad, la

permeabilidad y la presión capilar están relacionadas (Lafage, 2008). Las curvas de presión capilar

indican el radio de garganta, el cual está relacionado con la permeabilidad.

El método más común usado para determinar la calidad de un reservorio en base al tamaño del

radio de garganta es la ecuación de Winland.

1.4.2.1. Ecuación de Winland.

A mediados de los años 70, H.D. Winland usó el método de inyección de mercurio y las curvas

de presión capilar de rocas del campo “Spindle” (Colorado) para desarrollar una relación empírica

entre porosidad, permeabilidad y radio de garganta de poros. Los datos incluyeron 240 muestras no

corregidas y 82 muestras de baja permeabilidad, ya corregidas.

Los experimentos de Winland demostraron que el flujo óptimo a través de los poros de la roca

ocurre para una saturación de mercurio de 35%. Después de esta saturación, el espacio poroso

restante que está lleno con la fase que no humedece, no contribuye al flujo, sino al almacenaje

(Hartmann & Beaumont, 1999). El radio correspondiente al percentil 35 ha sido descrito por

Hartmann y Beaumont como: el radio de garganta igual o menor que la garganta de poro llenada

cuando la roca es saturada en un 35% con un fluido que no humedece.

La relación empírica de Winland se muestra a continuación:

(1.40)

Donde r35 es el radio de garganta (µm), k es la permeabilidad no corregida (mD) y φ es la porosidad

(%).

47 1.4.2.2. Ecuaciones de Pittman.

Edward D. Pittman estudió algunas de las mismas rocas que Winland y, en 1992, logró ampliar

su trabajo al desarrollar un conjunto de ecuaciones empíricas a través de un análisis estadístico de

regresión múltiple, con los datos de porosidad, permeabilidad y varios parámetros derivados de las

curvas de presión capilar generadas a partir del método de inyección de mercurio para un grupo de

202 areniscas de composición variada (Frisneda, 2005). Las porosidades de las muestras estudiadas

por Pittman variaban entre 3,3% y 28%, y sus permeabilidades entre 0,05mD y 998mD,

respectivamente.

En este sentido Pittman mejoró el método de Winland al desarrollar una técnica más precisa para

definir la apertura del poro, la cual está basada en el siguiente análisis de la curva de inyección de

mercurio: La presión de entrada en un gráfico de inyección de mercurio es el punto de la curva

donde el fluido comienza a llenar los poros de la roca. Este punto es indicativo del mayor tamaño de

poro. No obstante, este parámetro es a menudo difícil de determinar debido al que tamaño de la

muestra y las irregularidades en la superficie de la roca relativas a la geometría de los poros crean

una condición de borde que afecta la parte de la curva con baja saturación de mercurio (Lafage,

2008).

Pittman generó gráficos de la relación entre la saturación de mercurio en función de saturación

de mercurio y la presión capilar, para poder definir con mayor precisión el punto de inflexión de las

hipérbolas en dichos gráficos, tal como se observa en la Figura 1.23. Con este método descubrió que

el sistema de poros efectivo que domina el flujo a través de los poros de la roca corresponde al

tamaño de garganta para una saturación de mercurio de 25%.

48

Figura 1.23. Gráfico de saturación de mercurio/Presión capilar vs. Saturación de mercurio como

método para determinar el ápice de la hipérbola. (Tomado de Lafage, 2008).

Las ecuaciones de Pittman permiten calcular los radios de garganta para saturaciones de

mercurio entre el 10% y el 75% (Tabla 1.6), con los cuales se pueden construir las curvas de presión

capilar a partir de los datos de porosidad y permeabilidad al aire no corregida.

Tabla 1.6. Ecuaciones empíricas de Pittman para determinar los radios de garganta (µm)

correspondientes a diferentes porcentajes de saturación de mercurio. Φ: porosidad (%) y k:

permeabilidad (mD).

Ecuación Coeficiente de correlación

0,901

0,919

0,926

0,926

0,923

0,918

0,918

0,913

0,908

0,900

0,893

0,876

0,862

0,820

Saturación de mercurio (%)

Sat

urac

ión

de m

ercu

rio/ P

resi

ón

capi

lar

Ápice

49

Cabe mencionar que las ecuaciones empíricas para radios de garganta correspondientes a

saturaciones de mercurio entre 10% y 55% tienen coeficientes de correlación sobre 0,900, con los

coeficientes de correlación más altos entre r20 y r25, por lo que Pittman propuso el r25 como el mejor

estimador de la permeabilidad para areniscas.

1.4.3. Expresión de Kozeny-Carman (1961).

Es una expresión ampliamente utilizada para calcular la permeabilidad en función de la

porosidad. En 1997 fue modificada por Mavko y Nur para incluir el efecto de la percolación a bajas

porosidades, por lo que viene dada de la siguiente forma:

22

3)(

2

1

τφφ

Sk p−

= (1.41)

Donde φ es la porosidad y φp es la porosidad de percolación, τ es la tortuosidad y S es el área

superficial específica, relacionada con el diámetro del grano (d) por S=6(1-φ)/d.

1.4.4. Expresión de Brinkman modificada (Itoh, 1982, 2011).

Relaciona la fracción de volumen sólido con la permeabilidad, cuando se incluye una capa

intermedia entre la “esfera de prueba” y el resto del medio. Difiere de la ecuación de Brinkman en

un factor de (c-1), lo que hace posible que los valores de permeabilidad, arrojen resultados

consistentes cuando c=2/3 (Itoh, 1985, 2011).

( )( )c

acccck

18

383431 22−−+−= (1.42)

Con c=4πa3n/3, siendo n el número de esferas y a el radio de las mismas.

1.4.5. Ecuación propuesta por Chaveteau et. al (1996).

Relaciona la permeabilidad (k), la porosidad (φ), la porosidad inicial anterior a la cementación

(φ0), la porosidad residual (φ1) y una constante de forma (c).

[ ]4101

2 )/()( φφφφ −−= gocdk (1.43)

CAPÍTULO 2

METODOLOGÍA

Con el fin de estudiar las relaciones entre las propiedades dinámicas y estáticas de flujo,

permeabilidad y porosidad, respectivamente,se llevaron a cabo cuatro experimentos en los que se

presentó un sistema ideal compuesto de partículas esféricas del mismo material, pero de diferentes

radios. En el primero de los experimentos se midió la permeabilidad para distintos empaques

granulares de arreglos monodispersos, bidispersos, y polidispersos. En el segundo, se midió la

porosidad de los sistemas antes mencionados con el método de embebido y, en el tercer

experimento, se estimó la misma propiedad haciendo uso del método óptico. Finalmente, se llevó a

cabo el análisis bidimensional de la distribución de los radios de garganta en muestras

monodispersas, para evaluar la factibilidad de utilizar las ecuaciones de Winland y Pittman en el

cálculo de la permeabilidad, a partir de imágenes en dos dimensiones.

2.1. Simulación de medios granulares.

Para llevar a cabo las mediciones de permeabilidad se simularon medios granulares con esferas

de plomo, lisas y de cinco tamaños diferentes. Sus diámetros y longitudes fueron medidos con un

vernier digital (Figura 2.1) y se muestran en la siguiente tabla (Tabla 2.1).

Tabla 2.1. Diámetros y longitudes de las muestras monodispersas utilizadas para simular diferentes

medios granulares en las mediciones experimentales

Número de muestra Diámetro (mm) Longitud (mm)

Muestra 1 1,5 80,0

Muestra 2 3,5 90,0

Muestra 3 4,0 74,0

Muestra 4 6,0 80,0

Muestra 5 7,5 80,0

Figura 2.1. Medida del diámetro de la muestra 5 haciendo uso del vernier digital.

Posteriormente, los medios mostrado

distintas con la finalidad de simular empaques granulares heterogéneos y medir las propiedades

dinámicas y estáticas de flujo en los mismos.

polidispersas generadas a partir de la mixtura de esferas de diferente diámetro, así como la

distribución porcentual de los diferentes tamaños de grano en dichas muestras.

Tabla 2.2. Muestras generadas a partir de la mixtura de esferas de dife

medios heterogéneos, con

Núm. de

muestra

Longitud

(mm)

Muestra 6a 80

Muestra 6b 80

Muestra 6c 80

Muestra 7a 80

Muestra 7b 80

Muestra 7c 80

Muestra 8 75

Muestra 9 75

Muestra 10 80

Muestra 11 80

Muestra 12 75


los medios mostrados en la Tabla 2.1 fueron mezclado

con la finalidad de simular empaques granulares heterogéneos y medir las propiedades

dinámicas y estáticas de flujo en los mismos. En la Tabla 2.2 se presentan las muestras bid



Tabla 2.2. Muestras generadas a partir de la mixtura de esferas de diferentes tamaños para simular

medios heterogéneos, con la respectiva distribución porcentual de tamaños de grano

Muestras

combinadas

Tipo de

distribución

Distribución porcentual de los tamaños de

1 y 5 Bidispersa 50% de 1,50mm





2 y 4 Bidispersa 30% de 3,50 x 10

1, 3 y 5 Polidispersa 33,3% de 1,50mm, 33,3% de 4,00

2, 3 y 4 Polidispersa 33,3% de 3,50mm, 33,3% de 4,00

1, 3, 4 y 5 Polidispersa 25% de 1,50mm, 25% de 4,00

6,00mm

1, 2, 4 y 5 Polidispersa 25% de 1,50mm, 25% de 3,

6,00mm

1, 2, 3, 4 y 5 Polidispersa 20% de 1,50mm, 20% de 3,50

4,00mm, 20% de 6,00

51


fueron mezclados en proporciones

con la finalidad de simular empaques granulares heterogéneos y medir las propiedades

ntan las muestras bidispersas y



rentes tamaños para simular

respectiva distribución porcentual de tamaños de grano

Distribución porcentual de los tamaños de

grano

mm y 50% de 7,50mm

mm y 30% de 7,50mm

mm y 70% de 7,50mm

mm y 50% de 6,00mm

0mm y 30% de 6,00mm

30% de 3,50 x 10-3 y 70% de 6,00 x 10-3

, 33,3% de 4,00mm y 33,3% de

7,50mm

33,3% de 4,00mm y 33,3% de

6,00mm

, 25% de 4,00mm, 25% de

mm y 25% de 7,50mm

, 25% de 3,50mm , 25% de

mm y 25% de 7,50mm

, 20% de 3,50mm, 20% de

, 20% de 6,00mmy 20% de 7,50mm

Para realizar el proceso de mezclado se llevaron a cabo los siguientes pasos: primero

determinaron las muestras a ser mezcladas y

precisión y exactitud en las

el que se midió el volumen de las muestras seleccionadas para la mixtura.

distribución porcentual del tamaño de grano fue efectuada en base al volumen ocupado por

esferas y no en base a la cantidad

las respectivas muestras en un envase de vidrio de 500ml, mezclándolas

durante 2 minutos, por m

tamaños de grano en las nuevas muestras, se llevaron a cabo las mediciones de porosidad y

permeabilidad.

2.2. Experimento 1: medición de la

A continuación se presenta el procedimiento que se siguió para obtener la permeabilidad de

muestras granulares utilizando un permeámetro de caída libre

2.2.1. Montaje experimental

Ya se ha mencionado que uno de los métodos más sencillos para determinar la permeabilidad

experimentalmente cosiste en dejar caer una columna de fluido sobre una muestra y medir su tiempo

de tránsito. En este sentido, se construyó el permeámetro mostrado en la Figura 2.2.

Figura 2.2. Permeámetro de carga variable construido

Para realizar el proceso de mezclado se llevaron a cabo los siguientes pasos: primero

las muestras a ser mezcladas y sus proporciones. Con la finalidad de

las proporciones deseadas se dispuso de un cilindro graduado de 300ml

el volumen de las muestras seleccionadas para la mixtura.

del tamaño de grano fue efectuada en base al volumen ocupado por

a la cantidad de las mismas en la mezcla. Posteriormente

en un envase de vidrio de 500ml, mezclándolas

por medio de movimientos envolventes. Una vez


2.2. Experimento 1: medición de la permeabilidad con un permeámetro de carga variable


utilizando un permeámetro de caída libre.

Montaje experimental.

do que uno de los métodos más sencillos para determinar la permeabilidad




52

Para realizar el proceso de mezclado se llevaron a cabo los siguientes pasos: primero, se

Con la finalidad de garantizar la

se dispuso de un cilindro graduado de 300ml, en

el volumen de las muestras seleccionadas para la mixtura. Esto quiere decir que la

del tamaño de grano fue efectuada en base al volumen ocupado por las

en la mezcla. Posteriormente, se procedió a colocar

en un envase de vidrio de 500ml, mezclándolas con una espátula plástica

. Una vez combinados los diferentes


con un permeámetro de carga variable.


do que uno de los métodos más sencillos para determinar la permeabilidad




53

Los materiales utilizados en la construcción del instrumento se enuncian a continuación:

• Tubo de acrílico de 1,80m de largo, 7cm de diámetro y 3mm de espesor

• Una lámina de acrílico de 60cm x 120cm y 3mm de espesor

• Una lámina de acrílico de 60cm x 40cm y 5mm de espesor

• Rejilla de metal con aberturas cuadradas de 1mm de lado

• Cloroformo

• Inyectadora de 3cm3

El primer paso en la elaboración del permeámetro fue cortar la lámina de acrílico de 3mm de

espesor con la finalidad de construir dos bandejas: la primera para mantener el nivel de agua

constante en la parte inferior del permeámetro y la segunda para recoger el excedente de líquido

luego de cada medición. Para ello se cortaron las siguientes piezas: una placa de 24,8cm x 24,8cm,

cuatro láminas de 24,8cm x 10,0cm, una placa de 34,6cm x 34,6cm y cuatro láminas de 34,6cm x

10,0cm. En la Figura 2.3 se denotan las piezas mencionadas con las letras A, B, C y D,

respectivamente.

Figura 2.3. Dimensiones de los cortes de la lámina de acrílico de 3mm de espesor.

24

,8cm

34,6cm

34,6

cm

34,6cm

10cm

10

cm

10cm

10

cm

24,8cm

10cm

10

cm

10cm

10

cm

A

B

D

C

54

La placa “A” fue pegada a cada una de las láminas denotadas con la letra “B”, las cuales

servirían como los laterales de la primera bandeja. Esto se consiguió añadiendo, con la inyectadora,

pocas gotas de cloroformo en las superficies de contacto. Como este pegamento actúa con gran

rapidez (derritiendo el acrílico) fue necesario tener todas las piezas colocadas en su lugar respectivo

antes de comenzar el proceso de pegado. Una vez que se hubo vertido el cloroformo, se hizo presión

sobre cada una de las láminas durante pocos segundos, para garantizar que las mismas quedaran

firmemente adheridas, sellando todos los lados del recipiente construido. Análogamente, se pegaron

las partes “C” y “D” para terminar la segunda bandeja.

Posteriormente se cortó el tubo de acrílico a 60,5cm de uno de sus lados y se adhirió la rejilla

metálica en la parte inferior del mismo, utilizando cloroformo. Así mismo, de la lámina de acrílico

de 5mm de espesor se cortaron tres piezas diferentes, de 10cm de largo, que sirvieron de soporte al

tubo cilíndrico. Dichas piezas fueron pegadas con cloroformo, siguiendo la técnica ya explicada, a

7cm sobre la base del cilindro, de forma tal que éste quedó elevado 3cm respecto al suelo. En la

Figura 2.4 se muestra un diagrama que incluye las dimensiones del tubo (A) y de las piezas de

soporte (B), la rejilla (C) y el montaje experimental resultante (D).

Figura 2.4. Partes y diseño del cilindro y los soportes del permeámetro de carga variable.

B

60,5

cm

7,0cm

10,0

cm

10,0

cm

10,0

cm

7,0c

m

3,0c

m

C

A D

2.2.2. Determinación experimental

En el proceso seguido para determinar la permeabilidad de las muestras se utilizaron:

• Un vernier con apreciación de 1mm

• Una docena de globos de látex

• Dos ligas N°18

• Un palillo de madera de 30

• Un cronómetro con apreciación de 0,01s

• Un marcador de acetato negro con punta 0,5

• Agua destilada

Una vez elaboradas las bandejas (Figura 2.3) y el cilindro (Figura 2.4) se dispusieron todos los

componentes del permeámetro con el objetivo de iniciar las mediciones de permeabili

distintos medios. Cabe mencionar que el tiempo de tránsito de la columna de agua a través del

cilindro fue medido con un cronómetro, entre las alturas h

distancia entre el nivel de agua constante y el nivel hasta el cua

altura h2 corresponde a la distancia entre el nivel de agua constante y una determinada altura en el

cilindro, menor a h1 (Figura 2.5).

Figura 2.5. (a) Esquema del permeámetro construido. (b) alturas entre las cuales se midió el tiempo

de tránsito de la columna de agua en el permeámetro de carga variable.

(a)

experimental de la permeabilidad.


Un vernier con apreciación de 1mm

Una docena de globos de látex

e madera de 30cm de largo y 2mm de diámetro

Un cronómetro con apreciación de 0,01s

Un marcador de acetato negro con punta 0,5


permeámetro con el objetivo de iniciar las mediciones de permeabili

. Cabe mencionar que el tiempo de tránsito de la columna de agua a través del

cilindro fue medido con un cronómetro, entre las alturas h1 y h2. La altura h

distancia entre el nivel de agua constante y el nivel hasta el cual se llena el cilindro con fluido; y

corresponde a la distancia entre el nivel de agua constante y una determinada altura en el

(Figura 2.5).



(a)

55



permeámetro con el objetivo de iniciar las mediciones de permeabilidad para los

. Cabe mencionar que el tiempo de tránsito de la columna de agua a través del

. La altura h1 corresponde a la

l se llena el cilindro con fluido; y la

corresponde a la distancia entre el nivel de agua constante y una determinada altura en el



(b)

56

Para evitar que, antes de activar el cronómetro, la columna de agua fluyera a través de los

espacios de la rejilla metálica, se colocaron dos globos de látex, uno sobre el otro, en la parte

inferior del cilindro. De esta forma, el procedimiento realizado antes de cada medición consistió en

inclinar el cilindro y apoyar su parte inferior sobre el borde de alguna de las bandejas (10cm sobre el

suelo), para colocar ambos globos, de manera que cubrieran toda la rejilla y bordearan parte del

tubo. La utilización de dos globos fue necesaria ya que, al colocar uno solo, éste cedía ante el peso

de la columna de agua, impidiendo la realización de las mediciones del tiempo de tránsito. Así

mismo, dado que el cuello del globo resultaba muy estrecho para abarcar todo el diámetro del

cilindro, se precisó de una tijera para cortarlo 2cm bajo su abertura, lo que permitió que el mismo se

expandiera, cubriendo todo el espacio deseado.

Para comenzar las mediciones de permeabilidad se llenó hasta el tope, con agua, la bandeja más

pequeña, cuyas medidas finales fueron: 24,8 cm x 24,8 cm x 10 cm. Esto con la finalidad de

establecer el nivel de agua constante a 10cm sobre el suelo.

Posteriormente se arrojaron las esferas correspondientes a cada muestra desde el tope del

cilindro, manteniéndolo en posición vertical. Para generar el empaquetamiento más compacto

posible se hizo vibrar el tubo verticalmente 5 veces antes de cada medición. Acto seguido, se

introdujo el cilindro, con los globos y la muestra previamente colocados, dentro de la bandeja llena

de agua.

A continuación, era preciso calibrar el permeámetro para garantizar que los valores de

permeabilidad arrojados fueran independientes de la altura del nivel de agua y, por lo tanto, de la

diferencia entre las alturas h1 y h2. Por este motivo, las primeras mediciones del tiempo de tránsito

se realizaron para cuatro columnas de agua diferentes que cayeron sobre la muestra 3 (granos de

4,00mm de diámetro). En este proceso se variaron las alturas h1 y h2 y se mantuvo constante la

longitud del medio granular. Para modificar la altura h1 se midieron cinco veces, con el vernier, tres

distancias diferentes desde el tope del cilindro y se marcó su ubicación con el marcador de acetato.

Para variar la altura h2, se repitió el procedimiento, pero esta vez se midieron dos distancias

diferentes desde la base del tubo. Para determinar el valor de h1 y h2, se les restaron 7cm a las

medidas tomadas desde la base del cilindro. Estos 7cm corresponden a la diferencia de altura entre

el nivel de agua constante (10cm) y la elevación del tubo respecto al suelo (3cm).

57

El procedimiento llevado a cabo para medir el tiempo de tránsito fue el siguiente: se marcó, con

una liga, la altura del cilindro, a partir de la cual se activaría el cronómetro (h1) y la altura en la cual

se detendría el mismo (h2). Seguidamente se vertió agua en el tubo hasta sobrepasar la marca

superior (h1). Se despegaron los globos de la superficie del cilindro, ejerciendo presión con el palillo

de madera entre las paredes del tubo y la superficie de los globos, y se activó el cronómetro cuando

el agua alcanzó la altura h1. En este caso fue necesario verificar que, en todas las oportunidades, el

globo no quedara parcialmente adherido al cilindro, restringiendo el paso del agua. El conteo se

detuvo cuando la columna de agua pasó a través la marca inferior (h2). Se anotó el tiempo registrado

(Apéndice A) y se incluyó en la ecuación (1.34), deducida a partir de la ley de Darcy:

∆=

1

2lnh

h

tgA

Lak

ρµ

(2.1)

Donde ∆t es el intervalo de tiempo medido con el cronómetro.

Como en el permeámetro elaborado el área del tubo es siempre igual a lo largo de toda la

superficie, puede decirse que a=A. De esta forma, la expresión anterior puede reescribirse como:

∆=

1

2lnh

h

tg

Lk

ρµ

(2.2)

Así mismo, como el fluido de saturación es agua, pueden sustituirse los valores de viscosidad y

densidad por: µ=0,01 Poise y ρ=1000kg/m3. Cabe mencionar que la constante de gravedad utilizada

durante el desarrollo experimental fue: g=9,8 m/s2. Los valores de permeabilidad fueron obtenidos

en cm2 y luego transformados a darcies, haciendo uso de la ecuación (1.27).

Para calibrar el instrumento se realizaron 5 mediciones del tiempo de tránsito para cada una de

las cuatro columnas de agua y se procedió a calcular la permeabilidad de la muestra, utilizando la

ecuación (2.2). Los datos referentes a las distintas columnas de agua: h1, h2, largo de la columna

(∆h) y volumen de fluido desplazado, se registraron en la Tabla 2.3. Así mismo¸ en las figuras 2.6a,

2.6b, 2.6c y 2.6d se pueden observar y comparar las dimensiones de las cuatro columnas de agua,

dentro del permeámetro construido.

Tabla 2.3. Datos de las columnas de agua utilizadas para calibrar el permeámetro de carga variable

Primera

columna

h1 (m) 3,90 x 10

h2 (m) 1,00 x 10

∆h (m) 3,80 x 10

Volumen de

fluido (m3) 1,46 x 10

(a)

Figura 2.6. Dimensiones de las columnas de agua utilizadas para calibrar el permeámetro. (a)

Primera columna (38cm). (b) Segunda columna (36cm). (c) Tercera columna (39cm).

Para calcular el volumen de fluido desplazado durante cada medición, se tomó en cuenta el radio

del tubo (3,5cm) y la altura de cada una de las columnas de agua. Ambos valores fueron sustituidos

en la ecuación general para calc

38cm

abla 2.3. Datos de las columnas de agua utilizadas para calibrar el permeámetro de carga variable

Primera

columna

Segunda

columna

Tercera

columna

3,90 x 10-1 3,90 x 10-1 4,20 x 10-1

1,00 x 10-2 3,00 x 10-2 3,00 x 10-1

3,80 x 10-1 3,60 x 10-1 3,90 x 10-1

1,46 x 10-3 1,39 x 10-3 1,50 x 10-3

(b) (c)


Primera columna (38cm). (b) Segunda columna (36cm). (c) Tercera columna (39cm).

columna (33cm).



en la ecuación general para calcular el volumen de un cuerpo cilíndrico:

hrV 2π=

36cm 39cm

58

abla 2.3. Datos de las columnas de agua utilizadas para calibrar el permeámetro de carga variable

Cuarta

columna

3,60 x 10-1

3,00 x 10-1

3,30 x 10-1

1,27 x 10-1

(d)


Primera columna (38cm). (b) Segunda columna (36cm). (c) Tercera columna (39cm). (d) Cuarta



ular el volumen de un cuerpo cilíndrico:

(2.3)

33cm

59

Donde V es el volumen de fluido, r es el radio del cilindro y h la altura de la columna de agua.

Luego de haber calibrado el instrumento se procedió a realizar las mediciones del tiempo de

tránsito de la columna de agua para cada uno de los diferentes medios granulares mencionados al

inicio del este capítulo. Por motivos prácticos, y para comparar los resultados obtenidos de forma

objetiva, se trabajó siempre con una misma columna de agua. La columna seleccionada fue la

primera (figura 2.5a), dado que los globos cedían con mayor facilidad al aumentar el volumen de

agua, lo que ocurría en la tercera columna, y que la medición del tiempo se hacía menos fiable en

columnas de un largo menor, como la segunda y la cuarta.

Para cada una de las muestras monodispersas y para las muestras bidispersas con distribución

porcentual del tamaño de grano 50-50, se llevaron a cabo 75 mediciones efectivas del tiempo de

tránsito, siguiendo el procedimiento ya descrito (Apéndice A). En el caso particular de la muestra 3,

la cual había sido previamente utilizada para calibrar el permeámetro, se tomaron 90 medidas en

total, 15 de ellas correspondientes a la segunda, tercera y cuarta columna de agua, y 75

correspondientes a la primera. Todas estas fueron consideradas en la determinación de la

permeabilidad (Apéndice B). Para cada muestra restante se tomaron 50 mediciones de tiempo

efectivas. Las mediciones en las cuales: los globos cedían, no se activaba el cronómetro a tiempo, la

muestra se desplazaba, la cinta plástica no se encontraba en la posición adecuada, etc. no fueron

tomadas en cuenta debido a que incluían un error experimental en la determinación de la

permeabilidad.

Luego de cada medición se esperaba que el agua fuera completamente drenada del cilindro,

derramándose de la primera bandeja, y siendo recogida en la segunda. Además, se extraía la muestra

del cilindro, se secaba manualmente y se repetían los procesos de: colocación de los globos,

ubicación de las esferas dentro del instrumento y posicionamiento de las ligas, para comenzar una

nueva medición. Es de hacer notar que, dada la capacidad de almacenamiento de la segunda bandeja

colocada en la parte inferior del permeámetro, era necesario vaciarla manualmente cada tres

mediciones para evitar que el exceso de agua se derramara.

60

2.3. Experimento 2. Determinación de la porosidad con el método de embebido.

En la determinación volumétrica de la porosidad se utilizaron:

• Dos cilindros graduados:

o Uno con capacidad de 300 cm3 y apreciación de 5cm3

o Uno con capacidad de 100cm3 y apreciación de 20cm3

• Agua destilada

• Pipeta

Para medir la porosidad de cada una de las muestras, el primer paso a realizar fue llenar el

cilindro graduado de 100cm3 con un volumen conocido de agua destilada, haciendo uso de la

pipeta. Seguidamente se llenó el cilindro graduado de 300cm3 con un volumen de muestra conocido,

dejando caer la misma desde una altura de 7cm y ejerciendo, manualmente, 5 vibraciones verticales

sobre el cilindro. Una vez compactada la muestra se midió su volumen. Luego, el agua se agregó

lentamente al medio granular, cuidando que el fluido ocupara todos los poros de la muestra.

Finalmente, se midió el volumen total ocupado por el agua y por la muestra.

No obstante, como parte del agua ocupó los poros de la muestra, el volumen total no será la

suma del volumen de agua más el del material granular, sino que puede escribirse como:

porosaguamuestrafinal VVVV −+= (2.4)

De aquí que se pueda calcular el volumen de poros de acuerdo a la expresión:

finalaguamuestraporos VVVV −+= (2.5)

Donde Vfinal es el volumen final de agua y muestra, Vmuestra es el volumen de la muestra, Vagua es el

volumen de agua inicialmente medido y Vporos es el volumen de poros del medio granular. Así,

conociendo el volumen inicial del medio poroso y del agua, y el volumen de agua en dicho medio se

puede estimar el volumen

volumen de poros y el volumen total de esferas se puede calcular la porosidad haciendo uso de la

ecuación (1.3).

En la figura 2.7a se muestra el volumen

el volumen total de agua en la muestra 1 (1,5mm de diámetro) y en la 2.7c se presentan ambos

volúmenes en detalle.

(a)

Figura 2.7. (a) Volumen de la muestra 1 (1,5mm de

la muestra 1 (1,5mm de diámetro), medido en cm

Para cada una de las muestras a disposición se repitió 50 veces el procedimiento

anteriormente, obteniéndose un número de datos de porosidad que sirvió en la determinación de un

promedio preciso del valor de esta propiedad para cada empaque granular en cuestión.


de poros de la muestra (Oropeza, 2006). Por otro lado, c


En la figura 2.7a se muestra el volumen del medio 1 (1,5mm de diámetro)


(b)

Figura 2.7. (a) Volumen de la muestra 1 (1,5mm de diámetro) en cm3. (b) Volumen final de agua en

la muestra 1 (1,5mm de diámetro), medido en cm3. (c) Volumen de la muestra 1 (1,5mm de

diámetro) y volumen final ampliados.

Para cada una de las muestras a disposición se repitió 50 veces el procedimiento



61


Por otro lado, conociendo el


1 (1,5mm de diámetro) , en la 2.7b se observa


(c)

. (b) Volumen final de agua en

. (c) Volumen de la muestra 1 (1,5mm de

Para cada una de las muestras a disposición se repitió 50 veces el procedimiento descrito



62

2.4. Experimento 3. Estimación óptica de la porosidad.

Consistió en generar cinco arreglos bidimensionales monodispersos con las esferas de plomo

colocadas desordenadamente en una cápsula de Petri. El reordenamiento de los granos se logró

ejerciendo vibraciones verticales sobre el arreglo. Todo ello con la finalidad de obtener la porosidad

de los distintos empaquetamientos granulares.

2.4.1. Montaje experimental.

Esferas de plomo del mismo tamaño se dispusieron en una cápsula de Petri de 20cm de diámetro

y 4cm de alto, de forma tal que las partículas formaran un arreglo bidimensional. La cápsula se

colocó sobre una mesa de vidrio de 0,8m de alto. Las fotografías de los arreglos bidimensionales se

tomaron utilizando una cámara SONY Cyber-shot de 12,1 mega pixeles, dispuesta en un trípode a

60cm del arreglo. Todas las fotografías fueron adquiridas con una resolución de 300 pixeles, vertical

y horizontalmente, y en color verdadero, pero no fue posible que el marco de la foto abarcara

exactamente el borde de la cápsula, por exhibir ésta una geometría circular. Las imágenes fueron

grabadas en el computador en formato JPEG (Joint Photographic Experts Group). Con el objetivo de

evitar los efectos negativos de la luz externa sobre la imagen se generó una “mesa de luz”, pegando

papel bond blanco en el extremo posterior de la cápsula de Petri, para producir un fondo uniforme

que contrastara con las esferas en la fotografía (Figura 2.8). Detrás de la lámina de papel, y bajo la

mesa, se dispuso una lámpara de luz blanca de 110 watts para mejorar aún más el contraste entre las

esferas de plomo y el fondo.

(a) (b) (c)

Figura 2.8. Fotografías de las diferentes muestras dispuestas en la cápsula de Petri. (a) Muestra 1

(1,5mm). (b) Muestra 2 (3,5mm). (c) Muestra 3 (4,0mm). (d) Muestra 4 (6,0mm). (e) Muestra 5

(7,5mm).

(d) (e)

63

Se tomaron un total de 250 fotografías, 50 para cada una de las muestras esféricas

monodispersas. Esto con la finalidad de manejar una densidad de datos similar a la que fue obtenida

a partir del experimento de medición de la permeabilidad. Así mismo, para permitir el

reordenamiento de los granos y para crear condiciones similares a las de los arreglos estudiados en

el experimento 1, se sometió la cápsula a cinco vibraciones verticales antes de tomar cada fotografía,

cuidando que no se formaran cristales que pudieran afectar la medición. Posterior a la obtención de

la imagen, se vaciaba la cápsula y se volvía a llenar con la misma cantidad de esferas de plomo,

arrojadas a 3cm del tope del envase.

2.4.2. Almacenamiento de datos.

Todas las fotografías tomadas se guardaron en formato JPEG y el nombre original de las

mismas, asignado por la cámara a cada imagen, fue cambiado por una numeración del 1 al 250, en la

que grupos de 50 fotos estaban asociados a una muestra específica. De esta forma, las primeras 50

fotos correspondieron a la muestra de menor tamaño de grano (1,5mm), las imágenes numeradas

entre 51 y 100, a la muestra con el tamaño de grano inmediatamente superior y así

consecutivamente, hasta las últimas 50 fotografías, que correspondieron a la muestra con el mayor

diámetro de grano (7,5mm). Todas las imágenes sin editar fueron guardadas en una carpeta titulada

con el nombre del experimento.

2.4.3. Edición de imágenes.

Debido a que la geometría del empaquetamiento era circular, fue necesario editar las imágenes

de manera tal que los bordes de la fotografía coincidieran con el diámetro del arreglo, tanto

horizontal como verticalmente. De esta forma se evitaría la inclusión de elementos externos al

arreglo, que pudieran agregar colores o figuras que se confundirían con los granos y los poros,

alterando así el posterior cálculo de la porosidad a partir de un algoritmo computacional. La edición

de las imágenes se llevó a cabo utilizando Microsoft Picture Manager 2007. En este programa se

recortaron los bordes de cada fotografía y, posteriormente, se aumentó el brillo y el contraste de

cada imagen con la finalidad de eliminar los bordes de la cápsula de Petri que aún eran visibles en la

misma.

64

2.4.4. Generación del código para el cálculo óptico de la porosidad.

Siguiendo la metodología propuesta por Oropeza (2006) se generó un código en la plataforma

MatLab 9.0 para calcular la porosidad de cada fotografía tomada. Dicho código, llamado:

CÁLCULO_POROSIDAD.m fue diseñado para leer cada imagen de la cápsula de Petri y calcular,

tanto el área total del arreglo, como el área ocupada por los poros de la muestra, haciendo posible la

estimación de la porosidad. A continuación se explica detalladamente el algoritmo generado, el cual

se encuentra en el Apéndice D.

Todas las imágenes fueron cargadas como archivos JPEG en la carpeta MATLAB, luego de

haber sido editadas y clasificadas en una secuencia ininterrumpida de números desde 1 hasta 250. La

cantidad de fotografías a analizar definió el número de iteraciones que realizaría el programa, en

este caso 250. Por lo tanto, en cada ciclo el algoritmo analizó la imagen identificada con el mismo

número de la iteración. De aquí que a la constante NUM_FOTOS se le asignara un valor de 250.

El primer paso del programa es leer las imágenes de la carpeta MATLAB. Para proceder a la

lectura de imágenes se utilizó el comando para procesamiento de imágenes: imread. En este sentido

cada imagen fue leída en formato JPEG, de acuerdo al número con el que fue designada. Así, tal

como se mencionó anteriormente, la foto leída en cada iteración correspondía a la designada con el

mismo número de la iteración.

Dado que la paleta de colores de la imagen es de tipo RGB (red, green, blue) en el formato

JPEG, y que MatLab asigna una matriz a cada color, cada fotografía cargada se convirtió en un

arreglo tridimensional. Realizar el análisis de una sola matriz resultaría incorrecto, dado que cada

una contiene información de un solo color, por lo que las imágenes RGB se convirtieron al formato

blanco y negro, utilizando el comando im2bw, que también es una herramienta de procesamiento de

imágenes de MatLab (Oropeza, 2006). De esta forma cada imagen fue transformada a una matriz de

unos (1) y ceros (0), donde los píxeles blancos son representados con el número uno y los negros,

con el cero. Esto que hizo posible la diferenciación numérica de los poros (blancos) y los granos

(negros).

65

No obstante, aún no era posible calcular la porosidad adecuadamente, puesto que la geometría

del arreglo era circular y la de la foto era rectangular. Si el arreglo tuviera la misma geometría de la

fotografía sería posible calcular el área total del mismo con la siguiente fórmula:

� = � ∗ ℎ (2.6)

Donde b corresponde al número de píxeles de la base y h al número de píxeles de la altura.

Sin embargo, al aplicar la ecuación 2.6 se incluiría un área de la fotografía que no forma parte

del medio a estudiar. Para solucionar el problema se añadió al programa un contador que recorre

cada columna de arriba hacia abajo, leyendo el valor de la matriz en cada posición. Si el valor leído

es un uno, es decir, un píxel blanco, el código suma una unidad al contador llamado “corrección”,

este proceso se detiene una vez que el programa lee el primer cero (píxel negro) en la columna. Así

el contador almacena el número de píxeles blancos sobre el borde superior del arreglo. Al recorrer

toda la imagen el contador habrá sumado todos los píxeles blancos localizados sobre la interfaz.

Posteriormente, la corrección se multiplica por dos, con la finalidad de almacenar los píxeles

blancos ubicados bajo la interfaz, lo que representa el área de esta zona de la foto. Finalmente, el

programa calcula el área total de la imagen utilizando la ecuación 2.6 y, al valor obtenido, le resta la

“corrección”, que corresponde al número de píxeles blancos ubicados sobre y bajo el arreglo. Esto

resulta en el valor del área real ocupada por las esferas.

Cabe mencionar que las esferas utilizadas eran de plomo, por lo que generaban polvo que podía

adherirse al fondo y a las paredes de la cápsula de Petri, añadiendo píxeles negros al espacio poroso

de la muestra o al área localizada sobre o bajo la interfaz del arreglo, lo que se traduciría en el

cálculo erróneo de la porosidad. Para solucionar esto se agregó al código el comando bwareaopen,

el cual remueve todos los componentes que sean menores a un cierto número de píxeles. Sin

embargo, como este comando funciona sobre las imágenes blancas, se debió crear un negativo de la

fotografía antes de aplicar el comando y luego, se devolvió la imagen ya filtrada a su original. Para

eliminar todas las posibles manchas, el tamaño de píxeles a remover puede ser bastante grande, más

no igual o superior al tamaño del grano más pequeño. Con este procedimiento se garantiza que el

área porosa de la imagen sea calculada correctamente.

66

Para calcular el área real de poros de la muestra el programa cuenta el número total de píxeles

blancos y les resta la “corrección” calculada previamente. Una vez calculada el área porosa real y el

área real ocupada por los granos, se procedió a calcular la porosidad utilizando la ecuación:

� = á� � � � ��á� �� (2.7)

Finalmente, luego de obtener la porosidad de la primera imagen, el programa pasa a analizar la

imagen siguiente, repitiendo 250 veces el proceso descrito anteriormente. Como resultado, el

algoritmo genera un vector denominado “porosidad” en el que se encuentran, de forma ordenada, las

porosidades correspondientes a cada una de las muestras estudiadas.

2.5. Experimento 4: Estudio de la distribución de los tamaños de garganta en muestras

monodispersas y cálculo de la permeabilidad.

Para poder calcular la permeabilidad haciendo uso de las ecuaciones de Winland y Pittman

era necesario conocer los valores de los radios de garganta correspondientes a distintos porcentajes

de saturación. La metodología seguida para lograr el objetivo de este experimento se dividió en tres

etapas (determinación del tamaño de los radios de garganta, cálculo de la permeabilidad a través de

la ecuación de Winland y cálculo de la permeabilidad a partir de las ecuaciones de Pittman) y es

descrita a continuación.

2.5.1. Determinación de los tamaños de garganta.

De las 250 fotografías tomadas se seleccionaron 10, dos correspondientes a cada una de las

muestras monodispersas. Las imágenes seleccionadas fueron aquellas identificadas con los números:

19, 38, 64, 88, 130, 134, 156, 200, 202 y 206. De cada imagen se tomó un cuadrado de 5,17cm x

5,17cm (Figura 2.9) sobre el cual se procedió a realizar el análisis de la distribución de los radios de

garganta haciendo uso del programa Power Point 2003.

Muestra 1 Muestra 2

(1,5mm) (3,5mm)

(a)

(b) (d)


análisis de la distribución de los tamaño

Fotografía 64. (d) Fotografía 88. (e) Fotografía 130. (f) Fotografía 134. (g) Fotografía 156. (h)

Fotografía 200. (i) Fotografía 202. (j) Fotografía 206.

Se rellenaron todos los espacios en blanco

muestra, con círculos de distintos tamaños. Para ello, cada garganta de poro comenzó rellenándose

con el círculo de mayor diámetro posible que se ajustara al tamaño del espacio en blanco y se

continuó llenando con círculos sucesivamente más pequeños, hasta cubrir todo el poro, tal como se

ilustra en la Figura 2.10. El procedimiento se repitió en todos los poros de la imagen y,

posteriormente se contaron tres veces los círculos dibujados, agrupándolos de acue

Muestra 2 Muestra 3 Muestra 4

(3,5mm) (4,0mm) (6,0mm)

(c) (e) (g)

(d) (f) (h)


análisis de la distribución de los tamaños de garganta. (a) Fotografía 19. (b) Fotografía 38. (c)



Se rellenaron todos los espacios en blanco de la imagen, correspondientes a los poros de la



ndo con círculos sucesivamente más pequeños, hasta cubrir todo el poro, tal como se


posteriormente se contaron tres veces los círculos dibujados, agrupándolos de acue

67

Muestra5

(7,5mm)

(i)

(j)


s de garganta. (a) Fotografía 19. (b) Fotografía 38. (c)



de la imagen, correspondientes a los poros de la



ndo con círculos sucesivamente más pequeños, hasta cubrir todo el poro, tal como se


posteriormente se contaron tres veces los círculos dibujados, agrupándolos de acuerdo a su tamaño.

68

(a) (b) (c)

Figura 2.10. Procedimiento de relleno de poros en las imágenes seleccionadas. (a) Colocación de los

círculos de mayor radio. (b) Colocación de los círculos sucesivamente más pequeños. (c) Cobertura

del espacio poroso con los círculos de menor diámetro posible.

A continuación, se estimó el diámetro del círculo que correspondía al tamaño de las esferas de

plomo en la imagen de Power Point y, conociendo el tamaño real de las mismas en micrométros, se

determinó proporcionalmente el radio real de todos los otros círculos de la fotografía, también en

micrómetros.

Por otro lado, se procedió a calcular la porosidad del recuadro seleccionado, utilizando el código

generado en MatLab 2009. Este valor de porosidad fue llevado al 100% y, teniendo en cuenta el

número total de círculos en la imagen, se calculó la contribución porcentual de cada uno de ellos al

área porosa. Con estos datos se construyó la curva de frecuencia acumulativa para cada una de las

imágenes, generándose así dos gráficas diferentes para la misma muestra.

2.5.2. Cálculo de la permeabilidad a través de la ecuación de Winland.

Tal como se presentó en el capítulo anterior, la ecuación de Winland viene dada por:

�� = 0,732 + 0,588��#$% − 0,864��#�% (2.8)

En la cual r35 corresponde al radio de garganta (µm) para una saturación de mercurio de 35%, k

es la permeabilidad del aire no corregida (mD) y ϕ es la porosidad (%).

69

Por ende, la permeabilidad puede ser obtenida fácilmente despejándola de la ecuación anterior:

$ = 10*+,-./012,345+,-#6%72,8/92,033 :

(2.9)

En este caso, tanto la porosidad como el radio de garganta para una saturación de mercurio del

35% eran valores conocidos, dado que este último parámetro se determinó a partir de las curvas de

frecuencia acumulativa construidas según el procedimiento descrito anteriormente. En este sentido,

para estimar el tamaño del radio haciendo uso de la gráfica se proyectó el percentil de 35 desde el

eje de las variables dependientes (y) hasta la curva. Una vez encontrado dicho punto se colocó el

cursor de MatLab 2009 sobre el mismo y se obtuvo el valor correspondiente en el eje de las

variables independientes (x), el cual representaba el tamaño del radio de garganta para la saturación

deseada.

2.5.3. Cálculo de la permeabilidad a partir de las ecuaciones de Pittman.

Para calcular la permeabilidad a partir de las ecuaciones de Pittman, descritas en la sección 1.4,

se llevaron a cabo los siguientes pasos:

2.5.3.1. Búsqueda del radio de garganta que domina el flujo.

Análogamente a cómo se estimaron previamente los radios de garganta para ser incluidos en la

ecuación de Winland, se determinaron los correspondientes a los percentiles localizados entre 10 y

75, a partir de las curvas de frecuencia acumulativa generadas. En este caso, dichos valores fueron

introducidos en las ecuaciones de Pittman.

Conociendo la porosidad de las muestras fue posible despejar la permeabilidad de cada una de

las ecuaciones, con la finalidad de comparar los resultados con los obtenidos a partir del

experimento 1.

70

y = 4E-08x4 - 1E-05x3 + 0,002x2 - 0,0772x + 1,0562R² = 0,9967

0

0.5

1

1.5

2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80

Coe

ficie

nte

A

Percentil de saturación

2.5.3.2. Generación de nuevas ecuaciones para saturaciones de mercurio de 80% y 85%.

Para poder obtener valores de permeabilidad similares a los registrados con el permeámetro de

caída libre, fue necesario construir dos ecuaciones adicionales a las de Pittman. Las 14 ecuaciones

de Pittman varían cada 5% entre los percentiles 10 y 75 de la siguiente forma:

��#�;% = � + <��#$% − =��#�% (2.10)

Donde rx es el radio de garganta correspondiente a una saturación x de mercurio (µm), k es la

permeabilidad (mD), ϕ es la porosidad (%) y los coeficientes A, B y C son los parámetros a ajustar,

siguiendo la metodología propuesta por Frisneda (2005).

Para generar las ecuaciones correspondientes a saturaciones de mercurio de 80% y 85% los

coeficientes A, B y C, obtenidos de las ecuaciones de Pittman, fueron graficados en función del

porcentaje de saturación y las curvas resultantes se ajustaron a polinomios de cuarto orden, tal como

se observa en las figuras 2.11a, 2.11b y 2.11c.

Figura 2.11a. Ajuste polinomial de los coeficientes A de las ecuaciones de Pittman en función al

porcentaje de saturación.

71

y = -2E-08x4 + 9E-06x3 - 0.0016x2 + 0.0527x - 0.7736R² = 0.9989

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80

Coe

ficie

nte

C


y = -2E-08x4 + 8E-07x3 + 6E-05x2 - 0,0006x + 0,5002R² = 0,9971

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80

Coe

ficie

nte

B


Figura 2.11b. Ajuste polinomial de los coeficientes B de las ecuaciones de Pittman en función al


Figura 2.11c. Ajuste polinomial de los coeficientes C de las ecuaciones de Pittman en función al


Para obtener las ecuaciones correspondientes a las saturaciones de 80% y 85%, la variable

independiente (x) fue sustituida por el valor de 80 y 85, respectivamente, en las ecuaciones

polinómicas. De esta forma se obtuvieron las variables dependientes: A, B y C, con las cuales se

generaron las dos nuevas ecuaciones. Cabe resaltar que las igualdades generadas siguen el formato

de la ecuación 2.10.

72

2.5.3.3. Cálculo de la permeabilidad.

Una vez obtenidos los radios de garganta que dominan el flujo para cada muestra, se

introdujeron sus valores en las ecuaciones de Pittman y en las nuevas ecuaciones generadas y, para

cada una de las muestras monodispersas, se calculó la permeabilidad despejándola de la ecuación

respectiva, tal como se despejó de la ecuación de Winland.

El error de la permeabilidad fue estimado a partir de la diferencia entre el valor obtenido en este

experimento y las medidas registradas para la permeabilidad macroscópica en tres dimensiones:

∆?@A = B/CDB9CB/C

(2.11)

Donde K2D es la permeabilidad estimada a partir de las fotografías de las diferentes muestras y

K3D es la permeabilidad determinada con el permeámetro de frente de caída.

Con todos los resultados obtenidos se elaboraron histogramas para determinar las

permeabilidades y las porosidades medias y, a partir de dichos valores, se evaluaron las relaciones

empíricas obtenidas para ambas propiedades, tanto para los medios macroscópicos en tres

dimensiones, como para las imágenes bidimensionales de los mismos.

2.5.4. Esquema metodológico.

Con la finalidad de ilustrar fácilmente la metodología desarrollada, se presenta a continuación un

esquema que resume todos los pasos llevados a cabo durante el desarrollo experimental del presente

proyecto, previamente descritos a lo largo de este capítulo.

73

Figura 2.12. Esquema metodológico.

Construcción Permeámetro

Calibración

¿Bien? NO SI

Mediciones de permeabilidad

Mediciones de porosidad con el método de embebido

¿Bien? NO SI SI

Mediciones de porosidad óptica

¿Bien? NO SI

Código en MatLab 2009

Cálculo de la permeabilidad 2D

Búsqueda del radio que domina el flujo

¿Bien? NO SI

Comparar resultados

CAPÍTULO 3

RESULTADOS EXPERIMENTALES Y DISCUSIÓN

A continuación se presentan los resultados obtenidos a partir del desarrollo experimental del

presente proyecto, descrito en el Capítulo 2, así como la comparación de todos ellos dentro del

marco de la búsqueda de relaciones causales o analíticas entre las propiedades de porosidad y

permeabilidad para diferentes medios granulares.

3.1. Caracterización de la porosidad y la permeabilidad en medios granulares

monodispersos.

A partir de las mediciones realizadas con el permeómetro de caída libre, y utilizando la ley de

Darcy, se obtuvieron 75 valores de permeabilidad diferentes para cada una de las muestras

estudiadas. Para garantizar la validez de la ecuación de Darcy se utilizó un sólo fluido de

saturación que no reaccionara químicamente con las esferas de plomo (agua) y se proporcionaron

las condiciones para que el flujo fuese laminar: baja tasa de flujo en granos esféricos y

redondeados. Es de hacer notar que, de acuerdo a la escala de tamaño de grano de Udden-

Wentworth (Figura 1.1), las muestras estudiadas corresponden a las siguientes clases de tamaño:

arena muy gruesa (muestra 1- diámetro=1,5mm-) y grava, específicamente, gránulo (muestra 2 -

diámetro=3,5mm- y muestra 3-diámetro=4mm-) y gujarro (muestra 4-diámetro=6mm- y muestra

5-diámetro=7,5mm-).

Con los resultados obtenidos se construyeron los histogramas presentados en la Figura 3.1.

75

Figura 3.1. Histogramas de permeabilidad para las muestras monodispersas. Nótese que las

permeabilidades aumentan a medida que se hace mayor el radio de las esferas que componen la

muestra.

En los histogramas puede observarse que las permeabilidades registradas para empaques

granulares de esferas monodisersas no consolidadas se encuentran en el orden de 103 darcies, lo

que es consistente con los valores obtenidos por Ferreira (2007) y por Kleineidam (1998) y con

los valores reportados por Espinoza (2004) para gravas bien escogidas y no consolidadas. Más

aún, los valores de permeabilidad calculados para los diferentes medios aumentan a medida que

el radio de las esferas es mayor.

Así mismo, los datos se distribuyen en forma de campana, con una media bien definida

localizada, aproximadamente, en el centro de la dispersión de los valores de permeabilidad, por

lo que todos los datos pueden ser considerados estadísticamente como unimodales. En este

sentido, la desviación estándar aumenta conjuntamente con el tamaño de grano, al igual que la

permeabilidad. Esto se debe a que el tiempo de caída de la columna de agua en el permeámetro

era menor para los medios de mayor radio (aproximadamente 3s) que para los medios con

esferas de menor tamaño (aproximadamente 8s), lo que conlleva un mayor error en las

mediciones de tiempo de tránsito para las partículas más grandes.

76

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

0 1000 2000 3000 4000

Per

mea

bilid

ad (

Dar

cies

)

Radios de las esferas (µm)

Permeabilidad vs. Radio de las esferas para muestras granulares monodispersas

Muestra 1 (R=0,75mm)


Muestra 3 (R=2,0mm)

Muestra 4 (R=3,0mm)


A partir de los histogramas elaborados se calcularon los valores de permeabilidad media, así

como la desviación estándar asociada a cada medio monodisperso. Estos valores se presentan en

la Tabla 3.1.

Tabla 3.1. Valores de permeabilidad y desviación estándar para muestras monodispersas,

obtenidos a partir de la utilización del permeámetro de caída libre.

Número de

muestra

Radio las

esferas (µm)

Permeabilidad media

(Darcies)

Desviación estándar

(Darcies)

Muestra 1 750 2619,0 28,1

Muestra 2 1750 3780,0 40,8

Muestra 3 2000 4124,2 66,4

Muestra 4 3000 5311,0 108,0

Muestra 5 3750 6431,6 157,2

En la tabla 3.1 se observa que los valores de permeabilidad varían entre 2619 y 6432 darcies

aproximadamente, lo que implica que para una diferencia de 6000µm (6mm) en el tamaño de

grano, se obtiene una diferencia ligeramente superior a 3800 darcies en los valores de

permeabilidad. En ninguno de los casos la desviación estándar supera el 3%, por lo que se puede

afirmar que los resultados de permeabilidad media obtenidos son precisos. La relación entre

permeabilidad y radio de las esferas estudiadas se muestra en la figura 3.2.

Figura 3.2. Relación entre la permeabilidad y el radio de las muestras monodispersas.

y=1,1626x+1614,6

R2=0,9976

77

La permeabilidad calculada aumenta linealmente con el tamaño de grano, presentando un

coeficiente de correlación de 0,9926. Diversos autores (Chaveteau et. al, 1996) han establecido

que la relación entre permeabilidad (µm2) y el diámetro de grano (µm) para paquetes granulares

con poca dispersión respecto al tamaño de grano es lineal cuando ambas propiedades son

graficadas en escala logarítmica y la porosidad se mantiene constante. Por lo tanto, la correlación

entre permeabilidad y tamaño de grano es cuadrática. Esto se debe a que, para variaciones muy

pequeñas en el tamaño de grano, los valores de permeabilidad cambian en varios órdenes de

magnitud. Por lo tanto, hay que tener en cuenta que en la escala logarítmica se manejan

volúmenes de datos de varios órdenes de magnitud y que, para efectos de la presente

investigación, se trabajó con permeabilidades y tamaños de grano de un solo orden de magnitud,

por lo que, a partir de los resultados obtenidos, no se puede determinar cómo sería la relación

entre permeabilidad y tamaño de grano si se incluyeran datos de diferentes órdenes de magnitud.

Así mismo es necesario mencionar que, si bien las porosidades de las muestras consideradas eran

similares (39≥Φ≥36), no se mantuvo constante el valor de esta propiedad al graficar la

permeabilidad en función del radio de las esferas.

La relación empírica resultante entre la permeabilidad y el tamaño de grano, encontrada a

partir del desarrollo experimental llevado a cabo, puede ser escrita genéricamente como:

BcRk += (3.1)

Donde k es la permeabilidad, R es el radio de la esfera y c y b son constantes de

proporcionalidad.

El aumento lineal de la permeabilidad en función del tamaño de grano se debe a que la tasa

de flujo es directamente proporcional al área transversal del “tubo” que transporta el fluido. En

este caso, esta área corresponde al diámetro de los capilares que conectan los poros del medio.

Así, para partículas de mayor diámetro los tamaños de garganta son significativamente más

grandes que los de empaques granulares compuestos por esferas de menor radio, lo que facilita el

flujo de fluido a través de los capilares. Para granos más finos los capilares son más pequeños y

la tortuosidad es mayor, limitando el flujo de fluido. Así mismo, el aumento del área superficial

del grano conlleva un incremento en la resistencia friccional del flujo y, por ende, resulta en la

disminución de la permeabilidad (Espinoza, 2004). Los resultados obtenidos resultan coherentes

con la tesis de Pittman (1989), puesto que en su estudió el concluyó que radios de gargantas

78

mayores a 0,5µm estaban asociados a buenos pozos productores en areniscas del Ordovícico y

Terciario, mientras que los radios menores a dicha medida se relacionaban con zonas limitantes

de hidrocarburos. Es decir, en las rocas de grano más fino, como las arcillas, la capacidad de

flujo se restringe, dado que la atracción capilar es mayor en las gargantas más pequeñas, por lo

que el fluido tiende a “adherirse” a la superficie de los granos. En este sentido, la porosidad útil

de las rocas de grano fino es menor a la de las rocas de grano más grueso, lo que influye

negativamente en la capacidad de transporte de fluido.

Análogamente, con las mediciones de porosidad embebida llevadas a cabo, se elaboraron los

histogramas para cada una de las muestras monodispersas, presentados en la Figura 3.3.

Figura 3.3. Histogramas de porosidad para las muestras monodispersas.

A partir de los histogramas obtenidos para los diferentes valores de porosidad embebida no

se puede determinar con claridad cómo varía esta propiedad en función del tamaño de las esferas

que componen las distintas muestras. Sin embargo, puede observarse que la media de cada grupo

de datos disminuye al aumentar el diámetro de las partículas (Tabla 3.2). Por otra parte, en este

caso, las muestras pueden clasificarse como unimodales, pero, a diferencia de la permeabilidad,

la desviación estándar no guarda relación con el radio de las esferas (Tabla 3.2).

79

Tabla 3.2. Valores de porosidad embebida para muestras monodispersas.

Número de muestra Radio de las

esferas (µm)

Porosidad media

(%)


(%)

Muestra 1 750 38,89 0,83

Muestra 2 1750 38,16 1,20

Muestra 3 2000 37,97 0,66

Muestra 4 3000 37,76 1,24

Muestra 5 3750 37,61 1,22

Cabe mencionar que para evitar sobreestimaciones en los resultados de porosidad, la altura

de todos los empaques generados fue mayor a 17 unidades radiales (Alberts, 2005). Tal como se

presenta en la Tabla 3.2 la porosidad varía entre 39% y 37,6%, disminuyendo conforme el radio

de las esferas aumenta, al contrario que la permeabilidad. La diferencia porcentual entre los

valores mayores y menores de porosidad embebida es de 1,28%, mientras que la variación del

radio de las esferas estudiadas alcanza los 3000µm, por lo que los cambios de porosidad no

resultan significativos respecto al tamaño de grano, para la escala de valores considerada en el

estudio. Los resultados de porosidad corresponden a los valores presentados por Alberts (2005)

en empaques de esferas metálicas tipo: Finney y Scott denso (Tabla 1.4), y son menores a los

reportados por el mismo autor para areniscas artificiales no consolidadas (39≤ Φ ≤42). Para

evaluar la relación entre porosidad y radio se generó el gráfico de la Figura 3.4.

Figura 3.4. Relación entre porosidad embebida y radio de las esferas para cada una de las

muestras monodispersas estudiadas.

37.4

37.6

37.8

38

38.2

38.4

38.6

38.8

39

700 1700 2700 3700

Por

osid

ad (%

)

Radio de las esferas (µm)

Porosidad embebida vs. Radio de las esferas para muestras monodispersas



Muestra 3 (R=2,0mm)

Muestra 4 (R=3,0mm)


y=44,148(x)-0,02

R2=0,995

80

37.4

37.6

37.8

38

38.2

38.4

38.6

38.8

39

1000 10000

Por

osid

ad (

%)

Permeabilidad (Darcies)

Porosidad vs. Permeabilidad en muestras granulares monodispersas



Muestra 3 (R=2,0mm)

Muestra 4 (R=3,0mm)


La porosidad de medios esféricos monodispersos disminuye al aumentar el tamaño de grano,

relación que es consistente con los resultados presentados por Mendoza (1998). El aumento de

porosidad a medida que los granos son más finos se debe a que el área superficial de los mismos

es mayor al disminuir el diámetro de las partículas, por lo que la porosidad guarda una relación

de proporcionalidad inversa con el radio de las esferas (Φ α 1/R), tal como afirma Mendoza

(1998). En este caso la ecuación del gráfico presenta un factor de 1/50 como potencia del radio

de las esferas, es decir, la relación empírica generalizada resulta:

50/1

1

R∝φ (3.2)

Finalmente se determinó la relación entre porosidad y permeabilidad para las muestras

esféricas monodispersas. La curva resultante se muestra en la Figura 3.5.

Figura 3.5. Relación entre la porosidad y la permeabilidad para las muestras monodispersas

estudiadas.

Tal como lo han predicho García (2000) y Nabovati y Sousa (2008), la relación entre

porosidad y permeabilidad para diferentes empaquetamientos de esferas no consolidadas es

lineal cuando esta última propiedad se grafica en escala logarítmica. No obstante, en el caso

particular de medios granulares monodispersos, se encuentra que las permeabilidades mayores se

asocian a las muestras de mayor radio; mientras que la porosidad disminuye a medida que el

radio de las esferas aumenta. Por lo tanto, la relación entre la porosidad y la permeabilidad es

y = -0,0003 (x) + 39,503

R² = 0,9647

81

una recta de pendiente negativa. Es de hacer notar que los datos no se ajustan a los predichos por

la ecuación de Kozeny-Carman, pero también es importante resaltar que esta ecuación, si bien es

ampliamente utilizada, no debe ser considerada como modelo, sino como una relación empírica

que se ajusta a la data en ciertos casos específicos (Chaveteau et. al, 1996). Por otro lado, los

datos se aproximan a la ecuación de Brinkman modificada, propuesta por Itoh (2011), siempre y

cuando se añada un factor de 10 para aumentar los valores de permeabilidad en un orden de

magnitud (Ecuación 1.42). De acuerdo a la ecuación arrojada por el gráfico elaborado se tiene

que:

Bkc += )ln(φ (3.3)

Donde c y B son constantes de proporcionalidad.

3.2. Caracterización de la porosidad y la permeabilidad en medios bidispersos.

Análogamente a como se describió en la sección anterior, se construyeron los histogramas de

permeabilidad para cada muestra bidispersa estudiada, incluyendo, en cada caso, las tres

diferentes proporciones en las que los dos tamaños de grano fueron mezclados: 50%-50%, 70%-

30% y 30%-70%. Los gráficos elaborados se muestran en las Figuras 3.6a y 3.6b.

Figura 3.6a. Histogramas de permeabilidad para la muestra bidispersa No.6.

82

Teniendo en cuenta que los tamaños de grano mezclados en la muestra 6 corresponden a

R=0,75mm y R=3,75mm, en los histogramas se observa que la permeabilidad obtenida para la

proporción de 50%-50% no varía linealmente respecto a las distribuciones 70%-30% (mayoría

de R=0,75mm) y 30%-70% (mayoría de R=3,75mm), lo que indica que el volumen de partículas

de menor tamaño influye más significativamente en la estimación de la permeabilidad que el

volumen de las esferas de mayor radio. Es decir, la presencia de granos más pequeños en un

medio bidisperso afecta negativamente la permeabilidad, arrastrándola hacia valores inferiores,

incluso cuando el volumen de partículas pequeñas es igual o ligeramente menor que el de los

granos más grandes. En este sentido, en la figura 3.6a se puede observar cómo las medias de las

permeabilidades correspondientes a distribuciones granulares de 50%-50% y 70%-30% (mayoría

de R=0,75mm) se acercan mucho más a la media obtenida para el volumen conformado por el

100% de granos de menor radio (2619,0 darcies), que lo que se acerca la media de la

permeabilidad para una distribución de 30%-70% (mayoría de R=3,75mm) a la correspondiente

al 100% de granos con R=3,75mm (6431,6 darcies).

Figura 3.6b. Histogramas de permeabilidad para la muestra bidispersa No.7.

Los tamaños de grano mezclados en la muestra 7 corresponden a R=1,75mm y R=3,0mm.

Análogamente a lo que ocurría en la muestra 6, se observa cómo la presencia de un volumen

relativamente pequeño de granos con R=1,75mm afecta negativamente la permeabilidad

arrastrándola a valores menores. En esta muestra se observa que la dispersión de los datos de

83

permeabilidad de las distribuciones de 50%-50% y 70%-30% (mayoría de R=1,75mm) se

superponen y se acercan significativamente a la media registrada para un volumen

monodisperso de esferas con R=1,75mm (3780,0 Darcies), lo que acentúa el fenómeno ya

observado para la muestra bidispersa compuesta por R=0,75mm y R=3,75mm.

Los valores de permeabilidad media y desviación estándar obtenidos a partir de los

histogramas presentados en las figuras 3.6a y 3.6b se muestran en la Tabla 3.3.

Tabla 3.3. Valores de permeabilidad y desviación estándar para muestras bidispersas, obtenidos a

partir de la utilización del permeámetro de caída libre.

Número de

muestra

Radio y proporción de

los granos (µm)

Permeabilidad media

(Darcies)


(Darcies)

Muestra6a 50% 750 y 50% 3750 3262,7 67,0356

Muestra6b 70% 750 y 30% 3750 2986,7 37,4016

Muestra6c 30% 750 y 70% 3750 3979,5 67,7650

Muestra 7a 50% 1750 y 50% 3000 4070,2 82,3459

Muestra 7b 70% 1750 y 30% 3000 3908,1 38,5590

Muestra 7c 30% 1750 y 7% 3000 4586,8 90,0954

Con los valores de la Tabla 3.3 se construyeron los gráficos de permeabilidad en función de

la proporción de las esferas de mayor tamaño, para ambas muestras (Figuras 3.7a y 3.7b). En

ambas figuras se observa que las muestras bidispersas 6 (R=0,75mm y R=3,75mm) y 7

(R=1,75mm y R=3,00mm) guardan la misma relación polinomial de permeabilidad respecto a la

proporción de las esferas de mayor tamaño presentes en la mezcla. Estas relaciones empíricas

tienen coeficientes de correlación de 0,987 y 0,994 para las muestras 6 y 7, respectivamente, por

lo que se ajustan coherentemente a la data obtenida. De aquí se concluye que, cuando el volumen

de las esferas más pequeñas en una muestra con dos tamaños de grano es menor a 50%, la

permeabilidad aumenta abruptamente a medida que el volumen de estas mismas esferas

disminuye. Por tanto, la relación entre permeabilidad y proporción de los granos no resulta lineal

sino parabólica. Si se comparan estas curvas con las obtenidas para medios monodispersos,

donde la relación obtenida era lineal, es de hacer notar que la mixtura de los granos conlleva a

que la curva de permeabilidad se vuelva menos lineal, lo que nuevamente evidencia que el efecto

de los granos de menor tamaño es significativo, influyendo negativamente en la permeabilidad.

Este fenómeno se observa al comparar arenas texturalmente maduras

texturalmente menos maduras

Figura

Relación de la permeabilidad con la proporción de las esf

Figura 3.7b. Relación de la permeabilidad con la proporción de las esferas en la muestra 7.

Los círculos más grandes en las figuras 3.7a y 3.7b indican los puntos de monodispersión.

Este fenómeno se observa al comparar arenas texturalmente maduras

texturalmente menos maduras y con bajo volumen de arcilla.

Relación de la permeabilidad con la proporción de las esferas en la



84

Este fenómeno se observa al comparar arenas texturalmente maduras y limpias con arenas

3.7a.

eras en la muestra 6.



85

Los histogramas de porosidad para las muestras bidispersas se muestran en las Figuras 3.8a y

3.8b.

Figura 3.8a. Histogramas de porosidad para las muestra bidispersa No.6.

Figura 3.8b. Histogramas de porosidad para las muestra bidispersa No.7.

86

En los histogramas presentados se observa que, al estar presentes dos tamaños de grano en la

misma muestra, la media de los valores de porosidad aumenta a medida que el volumen de los

granos de mayor tamaño incrementa. Esto se debe a que mientras hay más cantidad de partículas

de menor radio éstas penetran en los espacios vacíos entre los granos más grandes, disminuyendo

la porosidad del sistema y empeorando el escogimiento de la muestra. Cuando estas partículas

penetran en el espacio poroso original, el espacio para almacenar fluido queda reducido dado que

el tamaño de las gargantas de poro primarias también se reduce. Así mismo, es de hacer notar

que la mayor tensión superficial en las gargantas de poro más pequeñas conlleva la disminución

de la porosidad efectiva, dado que una mayor fracción irreductible de fluido permanece en el

medio. Nótese que al aumentar el volumen de esferas de menor radio aumenta la desviación

estándar, disminuyendo la porosidad. Al comparar los resultados con el gráfico de la Figura 1.9

se encuentra que los valores menores de escogimiento se asocian a porosidades más altas (Beard

& Weil, 1973). Este gráfico sirve para ilustrar cómo la inclusión de granos de menor radio, que

conlleva la generación de gargantas de poro más pequeñas y el aumento de la desviación

estándar en la distribución del tamaño de grano de las partículas, se relaciona con la disminución

del espacio para almacenar fluidos en un medio granular.

A partir de los histogramas se calcularon los valores de porosidad media y desviación

estándar para las muestras bidispersas, los cuales se muestran a continuación en la Tabla 3.4.

Tabla 3.4. Valores de porosidad para muestras bidispersas determinados a partir del método

de embebido.

Número de

muestra

Radio y proporción de los

granos (µm)

Porosidad media

(%)


(%)

Muestra6a 50% 750 y 50% 3750 34,66 0,89

Muestra6b 70% 750 y 30% 3750 34,28 0,87

Muestra6c 30% 750 y 70% 3750 35,16 0,16

Muestra 7a 50% 1750 y 50% 3000 35,58 0,66

Muestra 7b 70% 1750 y 30% 3000 34,78 0,70

Muestra 7c 30% 1750 y 70% 3000 37,49 0,29

Cabe mencionar que la muestra 7, conformada por R=1,75mm y R=3,00mm, tiene

porosidades mayores que las de la muestra 6, compuesta por R=0,75mm y R=3,75mm, lo que se

debe a que la primera está mejor escogida que la segunda, dado que los radios de los granos que

componen la muestra 7 guardan u

conforman la muestra 6. Más aún, en ningún caso las porosidades registradas en la tab

superan a las obtenidas para medios monodispersos. Esto se debe a que el poro para un arreglo

tetragonal de tres esferas grandes y una de menor radio es siempre más pequeño que el poro para

un arreglo tetragonal de cuatro esferas del mismo tamaño (A

Con los datos de la tabla anterior se construyeron los gráficos de porosidad en función de la

proporción de las esferas de mayor tamaño (Figuras 3.9a y 3.9b).

Figura 3.9a. Relación entre la porosidad y la proporción de las

la porosidad alcanza su menor valor cuando la proporción de R=0,75mm y R=3,75mm es de



primera está mejor escogida que la segunda, dado que los radios de los granos que

componen la muestra 7 guardan una diferencia menor entre ellos, en comparación a los que

conforman la muestra 6. Más aún, en ningún caso las porosidades registradas en la tab



un arreglo tetragonal de cuatro esferas del mismo tamaño (Alberts, 2005).


proporción de las esferas de mayor tamaño (Figuras 3.9a y 3.9b).

Figura 3.9a. Relación entre la porosidad y la proporción de las esferas en la mezcla 6. Nótese que


70%-30%, respectivamente.

87



primera está mejor escogida que la segunda, dado que los radios de los granos que

na diferencia menor entre ellos, en comparación a los que

conforman la muestra 6. Más aún, en ningún caso las porosidades registradas en la tabla 3.4



lberts, 2005).


esferas en la mezcla 6. Nótese que


Figura 3.9b. Relación entre la porosidad y la proporción de las esferas en la mezcla 7. Nótese

que la porosidad alcanza su menor valor cuando la proporción de R=1,75mm y R=3,0mm es de

Los gráficos mostrados en las figuras 3.9a y 3.9b presentan dos tendencias notables: un

decremento de la porosidad debida al empobrecimiento

de dos tamaños de grano distintos en una misma muestra, seguida por un incremento de

porosidad relacionado a la disminución del volumen de los granos de menor tamaño

presentes en ambas muestras bidispersas (R

encontradas por Furnas (1929) han sido presentadas por Alberts (2005), para describir el

comportamiento de la porosidad en mezclas binarias. De aquí que se haya establecido que,

cuando una esfera de mayor tamaño

más pequeñas (R1), la porosidad se ve afectada de dos formas: primero, la esfera de mayor

tamaño ocupa completamente el volumen vacío que, de otra forma, estaría ocupado por las

esferas más pequeñas y sus respectivos poros, lo que disminuye la porosidad del empaque, tal

como se observa en las curvas presentadas al incluir 30% de partículas de mayor radio en una

muestra monodispersa compuesta por esferas de menor tamaño

círculos azules-100% R1-

segundo, la esfera de mayor tamaño

pequeñas, en las áreas circundantes a ella (Alberts, 2005).


e la porosidad alcanza su menor valor cuando la proporción de R=1,75mm y R=3,0mm es de

70%-30%, respectivamente.


decremento de la porosidad debida al empobrecimiento del escogimiento, asociada a la presencia


porosidad relacionado a la disminución del volumen de los granos de menor tamaño

presentes en ambas muestras bidispersas (R1=0,75mm y R1=1,75mm). Relaciones similares,



cuando una esfera de mayor tamaño (R2) es introducida en un paquete compuesto por esferas

, la porosidad se ve afectada de dos formas: primero, la esfera de mayor


y sus respectivos poros, lo que disminuye la porosidad del empaque, tal


muestra monodispersa compuesta por esferas de menor tamaño (comparar la porosidad de los

- y diamantes rojos-70% R1 y 30% R2- en las figuras 3.9a y 3.9b)

segundo, la esfera de mayor tamaño (R2) perturba el empaquetamiento de las esferas más

pequeñas, en las áreas circundantes a ella (Alberts, 2005).

88


e la porosidad alcanza su menor valor cuando la proporción de R=1,75mm y R=3,0mm es de


del escogimiento, asociada a la presencia


porosidad relacionado a la disminución del volumen de los granos de menor tamaño (R1)

=1,75mm). Relaciones similares,



es introducida en un paquete compuesto por esferas

, la porosidad se ve afectada de dos formas: primero, la esfera de mayor


y sus respectivos poros, lo que disminuye la porosidad del empaque, tal


(comparar la porosidad de los

en las figuras 3.9a y 3.9b) ;

perturba el empaquetamiento de las esferas más

89

El efecto negativo en la porosidad incrementa si la diferencia entre los radios de ambas

esferas es mayor, lo que se puede verificar al comparar cómo disminuyen los valores de

porosidad de 38,9% a 34,3% en la muestra 6 (formada por R=0,75mm y R=3,75mm) en relación

a los de la muestra 7 (formada por R=1,75mm y R=3,00mm), que decaen de 38,2% a 34,8%. No

obstante, el efecto positivo de la segunda consecuencia decrece a medida que los dos tamaños de

grano se hacen más diferentes. Análogamente al análisis anterior se observa que en la figura 3.9a

la porosidad tiene un incremento de 0,4% (34,3% a 34,7%) al aumentar la proporción de esferas

de mayor tamaño en la mezcla de 30% a 50%, mientras que en la figura 3.9b, donde la muestra

presenta mejor escogimiento de los granos, este incremento en la porosidad es de 0,8% (34,8% a

35,6%), al aumentar las esferas de mayor tamaño en la misma proporción.

Por otra parte, cuando aumenta la proporción de esferas de mayor radio, la porosidad tiende a

decaer mientras que la proporción de esferas pequeñas sea suficiente para mantener separadas a

las esferas más grandes, como sucede en los paquetes soportados por matriz. Si la proporción se

vuelve demasiado grande hay dos alternativas posibles, que dependen de la diferencia de los

radios de los granos que conforman la mezcla bidispersa: que las esferas más pequeñas llenen los

poros localizados entre las esferas más grandes o que las esferas pequeñas no ocupen los poros.

En este último caso, la porosidad incrementará debido a que cada volumen de esferas interfiere

en el empaquetamiento del otro. Si el diámetro de las esferas más pequeñas es menor que el

tamaño de poro promedio para las esferas grandes, éstas últimas controlarán cada vez más la

estructura del arreglo. Teóricamente, cuando las esferas de mayor radio son capaces de

soportarse a sí mismas, las más pequeñas sólo ocuparán el espacio poroso, por lo que el grado de

relleno disminuirá al aumentar el volumen de las partículas mayores, resultando en un

incremento de la porosidad del medio. De los gráficos elaborados puede determinarse que la

porosidad comienza a aumentar cuando el volumen de esferas de mayor tamaño alcanza el 50%,

lo que sugiere que, a partir de ese punto, las mismas son capaces de soportarse a sí mismas, sin

necesidad de que las partículas más pequeñas actúen como la matriz del sistema.

A continuación se muestran las relaciones de porosidad-permeabilidad obtenidas para cada

muestra bidispersa (Figuras 3.10a y 3.10b).

100% R=0,75mm

34

35

36

37

38

39

40

0 1000

Por

osid

ad (%

)

Porosidad vs. Permeabilidad para la muestra bidispersa No. 6

34.5

35

35.5

36

36.5

37

37.5

38

38.5

3000 3500

Por

osid

ad (%

)


Figura 3.10a. Relación entre la porosidad y la permeabilidad para la muestra bidispersa No.6.

Figura 3.10b. Relación entre la porosidad y la permeabilidad p

100% R=0,75mm

50% R=0,75mm, 50% R=3,75mm

70% R=0,75mm,30%R=3,75mm

30% R=0,75mm,70% R=3,75mm

100% R=3,75mm

2000 3000 4000 5000



100% R=1,75mm

50% R=1,75mm, 50% R=3,00mm

70% R=1,75mm,30%R=3,00mm

30% R=1,75mm,70% R=3,00mm

3500 4000 4500 5000




Figura 3.10b. Relación entre la porosidad y la permeabilidad para la muestra bidispersa No.7.

90

30% R=0,75mm,70% R=3,75mm

100% R=3,75mm

6000 7000


30% R=1,75mm,70% R=3,00mm

100% R=3,00mm

5500



ara la muestra bidispersa No.7.

91

Pareciera existir una relación creciente entre ambas propiedades (porosidad y permeabilidad)

a medida que aumenta el porcentaje de esferas de mayor tamaño en ambas mezclas. Sin

embargo, la alta porosidad de las muestras monodispersas conformadas por partículas más

pequeñas (R1) es responsable de una tendencia decreciente al inicio de cada curva, lo que da

como resultado un comportamiento de los datos similar al descrito en las gráficas de porosidad

en función de la proporción de las esferas de mayor radio (figuras 3.9a y 3.9b). En este sentido,

la bidispersión de cada muestra, asociada a la inclusión de granos de menor tamaño, influye en el

valor de la permeabilidad a través de la porosidad, ya que, si bien la permeabilidad aumenta al

incrementar el volumen de las partículas más grandes en la muestra, la relación de esta propiedad

con la porosidad no resulta lineal (como en el caso de medios monodispersos), dado que esta

última presenta dos tendencias opuestas de acuerdo a la proporción de las esferas de mayor radio

en la muestra estudiada..

3.3. Caracterización de la porosidad y la permeabilidad en medios polidispersos.

Con los datos de permeabilidad obtenidos a partir de la utilización del permeámetro se

elaboraron los histogramas de permeabilidad para los diferentes medios granulares polidispersos

estudiados (Figura 3.11).

Figura 3.11. Histogramas de permeabilidad para las muestras polidispersas.

92

Nótese que la menor permeabilidad media corresponde a la muestra peor escogida (muestra

12). El aumento de permeabilidad de la muestra 11 con respecto a la 10 pareciera deberse a que

esta última presenta el R=1,75mm, mientras que la anterior presenta el R=2,0mm en su

composición. La diferencia en el tamaño de las partículas podría ser la responsable del bajo valor

de permeabilidad que se reporta en la muestra 8 (R=0,75mm, R=2,00mm y R=3,75mm). La

muestra con el valor más alto de permeabilidad es la mejor escogida de todas (muestra 9). Tal

como se observa en los histogramas, los medios granulares estudiados presentan distribuciones

con tendencias Gaussianas, al igual que muchos sistemas de partículas reales, donde las más

anchas equivalen a peor escogimiento y, por ende a porosidades más bajas. Alberts (2005)

afirma que muchos sedimentos compuestos de diferentes tamaños de grano mezclados, presentan

distribuciones unimodales, relativamente simples.

Los valores de permeabilidad media y desviación estándar para cada medio polidisperso se

muestran a continuación (Tabla 3.5).

Tabla 3.5. Valores de permeabilidad y desviación estándar para muestras polidispersas,

obtenidos a partir de la utilización del permeámetro de caída libre.

Número de

muestra

Radio y proporción de

los granos (µm)

Permeabilidad media

(Darcies)


(Darcies)

Muestra 8 33,3% 750, 33,3% 2000

y 33,3% 3750 3727,8 93,1

Muestra 9 33,3% 1750, 33,3% 2000

y 33,3% 3000 4033,2 57,1

Muestra 10 25% 750, 25% 2000,

25% 3000 y 25% 3750 3828,4 72,6

Muestra 11 25% 750, 25% 1750,

25% 3000 y 25% 3750 3898,4 60,8

Muestra 12

20% 750, 20% 1750

20% 2000, 20% 3000

y 20% 3750

3548,1 48,5

93

Los histogramas de porosidad para cada muestra son presentados en la Figura 3.12.

Figura 3.12. Histogramas de porosidad para muestras polidispersas.

Los valores de porosidad siguen la misma tendencia de los valores de permeabilidad

registrados anteriormente.

Es decir, las porosidades mayores se presentan para las muestras con permeabilidades más

altas, al contrario de lo que ocurría en medios con un único tamaño de grano. Las porosidades

medias obtenidas de los histogramas generados, así como sus desviaciones estándar se muestran

en la Tabla 3.6.

Los valores de desviación estándar de las muestras en cuestión resultan menores cuando el

escogimiento del medio es mejor (muestra 9) y aumentan a medida que este parámetro empeora,

presentándose los valores más altos para las muestras 8 (33,3% 750, 33,3% 2000 y 33,3% 3750)

y 12 (20% 750, 20% 1750, 20% 2000, 20% 3000 y 20% 3750) respectivamente.

Si bien la distribución de la muestra 12 (20% 750, 20% 1750, 20% 2000, 20% 3000 y 20%

3750) es unimodal, ésta presenta asimetría positiva (Ver Figura 3.12). Así mismo, la muestra 9

presenta asimetría negativa. El comportamiento de estos dos histogramas como distribuciones de

Poisson se debe probablemente a que, al mezclar las muestras se indujo anisotropía en los

medios mencionados.

94

Tabla 3.6. Valores de porosidad para muestras polidispersas determinados a partir del método

de embebido.

Número de

muestra

Radio y proporción de los

granos (µm)

Porosidad media

(%)


(%)

Muestra 8 33,3% 750, 33,3% 2000

y 33,3% 3750 33,31 1,01

Muestra 9 33,3% 1750, 33,3% 2000

y 33,3% 3000 37,81 0,31

Muestra 10 25% 750, 25% 2000,

25% 3000 y 25% 3750 34,45 1,55

Muestra 11 25% 750, 25% 1750,

25% 3000 y 25% 3750 35,21 0,95

Muestra 12

20% 750, 20% 1750

20% 2000, 20% 3000

y 20% 3750

30,82 2,22

De las tablas 3.5 y 3.6 se puede observar cómo la adición de un tercer tamaño de grano

intermedio tiende a causar un decremento en el rango de porosidades y permeabilidades, con

respecto a los obtenidos para muestras binarias, tal como afirma Alberts (2005). En este sentido,

es lógico pensar en la existencia de paquetes ternarios en donde las esferas de mediano tamaño

entran en los poros de las componentes más grandes y las más pequeñas ocupan los poros y las

gargantas restantes, disminuyendo la porosidad y la permeabilidad, pero esto representaría un

arreglo ideal (Alberts, 2005). Se ha mostrado que al incluir esferas en una mezcla binaria, de

tamaño muy parecido a los de los granos que componen la misma, la porosidad incrementa

significativamente, debido a que la inclusión de una tercera partícula afecta el empaquetamiento

de los otros dos tamaños de grano presentes en la mixtura, sin embargo, los valores de

permeabilidad permanecen similares a los que se registran para muestras binarias con iguales

proporciones de ambos tamaños de grano. Para casos de mezclas más complejas se ha concluido

que las porosidades presentan poca variación al incluir esferas de diferentes radios (Alberts,

2005) y que la permeabilidad disminuye en función del escogimiento de las muestras, lo que es

consistente con los resultados de porosidad obtenidos para todas las muestras polidispersas.

95

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

3500 3600 3700 3800 3900 4000 4100

Por

osid

ad (%

)


Porosidad vs. Permeabilidad para muestras polidispersas

Muestra 8 (33,3% R=0,75mm; 33,35 R=2,0mm; 33,3% R=3,75mm)

Muestra 9 (33,3% R=1,75mm; 33,3% R=2,0mm; 33,3% R=3,0mm)

Muestra 10 (25% R=0,75mm; 25% R=2,0mm; 25% R=3,0mm; 25% R=3,75mm)

Muestra 11 (25% R=0,75mm; 25% R=1,75mm; 25% R=3,0mm; 25% R=3,75mm)

Muestra 12 (20% R=0,75mm; 2=% R=2,0mm; 20% R=3,0mm; 20% R=3,75mm)

La relación entre porosidad y permeabilidad para medios polidispersos se muestra en la

Figura 3.13.

Figura 3.13. Porosidad en función de la permeabilidad para muestras polidispersas. Nótese que la

porosidad y la permeabilidad aumentan conjuntamente respecto al escogimiento de las muestras.

En la figura se puede observar que tanto la porosidad como la permeabilidad aumentan

consistentemente de acuerdo al escogimiento de la muestra. Las muestras peor escogidas

(muestra 12) y con mayor diferencia entre los radios de las esferas que las componen (muestra 8)

son las que presentan permeabilidades y porosidades menores. Al incrementar el grado de

escogimiento y hacerse los radios más similares ambas propiedades aumentan de forma lineal.

Cabe mencionar que en el caso de muestras polidispersas no se han considerado las ecuaciones

de Kozeny-Carman o la de Brinkman modificada propuesta por Itoh (2011), ya que ambas

dependen directamente del tamaño de grano que compone la mezcla y que, para el rango de

permeabilidades estudiado, los resultados arrojados por las mismas no se adaptan a los obtenidos

en la presente investigación.

y = 0,014x – 18,803

R² = 0,9882

96

3.4. Obtención de la permeabilidad de un paquete granular a partir de secciones en dos

dimensiones.

Para determinar la permeabilidad de un paquete granular a partir de imágenes

bidimensionales de la muestra, primero se estimó la porosidad ópticamente, tal como se

describió en el capítulo anterior. Los histogramas correspondientes a las mediciones de

porosidad óptica se muestran a continuación (Figura 3.14).

Figura 3.14. Histogramas de porosidades ópticas. Nótese que el rango de valores resulta mayor al

rango de las porosidades estimadas con el método de embebido, por lo que las desviaciones

estándar son mayores.

De acuerdo a los histogramas graficados la porosidad varía entre 32% y 46% por lo que el

rango de error (desviación estándar) resulta mayor en la determinación de la porosidad óptica

que en la de la porosidad embebida. Además en este caso no parece existir una media bien

definida para la muestra 5, pero de los resultados anteriores podría predecirse que es unimodal.

Al igual que para la porosidad embebida, aquí tampoco se puede determinar con exactitud la

relación entre porosidad y tamaño de grano.

97

Las porosidades medias con sus respectivas desviaciones estándar se registraron en la Tabla

3.7.

Tabla 3.7. Valores de porosidad para muestras monodispersas determinados a partir del método

óptico.

Número de muestra Radio las esferas

(µm)

Porosidad media

(%)


(%)

Muestra1 750 38,84 3,21

Muestra2 1750 38,15 2,55

Muestra 3 2000 37,96 2,89

Muestra 4 3000 37,69 2,37

Muestra 5 3750 37,54 2,59

En la Tabla 3.7 se observa que los resultados de porosidad óptica son similares a los

obtenidos a través del método de embebido. Más aún, todos los valores estimados ópticamente

resultan ligeramente menores y entran dentro del margen de error de aquellos determinados en el

laboratorio, puesto que el rango de diferencia registrada entre ambos valores para una misma

muestra es de 0,01%-0,07% (ver Tabla 3.2).

A partir de los datos de la Tabla 3.7 y los datos de la Tabla 3.2 se elaboró el gráfico de

porosidad óptica en función de la porosidad embebida, con la finalidad de validar los resultados

de porosidad obtenidos al utilizar el procesador de imágenes de MatLab. La curva resultante se

muestra en la Figura 3.15.

98

37.4

37.6

37.8

38

38.2

38.4

38.6

38.8

39

37.5 38 38.5 39

Por

osid

ad ó

ptic

a (%

)

Porosidad embebida (%)

Porosidad óptica vs. Porosidad embebida para muestras monodispersas



Muestra 3 (R=2,0mm)

Muestra 4 (R=3,0mm)


Figura 3.15. Relación entre la porosidad óptica y la porosidad embebida.

En la Figura 3.15 se observa que la relación entre las porosidades determinadas a partir de

ambos experimentos es una recta de pendiente aproximadamente igual a 1. Esto valida la

metodología llevada a cabo para determinar la porosidad de un medio tridimensional a partir de

una sección en dos dimensiones, puesto que los resultados son prácticamente idénticos para los

dos casos.

Ahora bien, una vez validada la metodología, se procedió a seleccionar 10 fotografías, dos

correspondientes a cada muestra estudiada, y a recortar, en cada una de ellas, un recuadro sobre

el cual se llevaría a cabo el análisis de la distribución de los radios de garganta de las muestras

monodispersas. Sobre estos recuadros se calculó, de igual forma, la porosidad óptica y se graficó

con respecto a los valores obtenidos para la porosidad embebida (Figura 3.16). Es decir, se

elaboró un gráfico similar al mostrado en la Figura 3.15, pero con los valores de porosidad óptica

correspondientes a 10 secciones específicas seleccionadas sobre 10 de las 250 fotografías

consideradas en el estudio. Los resultados obtenidos se registraron en la Tabla 3.8.


Muestra 4 (R=3,0mm)

Muestra 3 (R=2,0mm)



y= 0,9989x

R2=0,9964

99

Tabla 3.8. Porosidades ópticas y desviaciones estándar para distintas zonas de las imágenes

correspondientes a muestras monodispersas.

Muestra Radio de las

esferas (µm)

N° de

Fotografía

Porosidad Desviación

estándar

Muestra1 750

19 38,10 0,020

38 38,15 0,019

Muestra2 1750

64 37,43 0,019

88 37,90 0,007

Muestra 3 2000

130 37,55 0,011

134 37,83 0,004

Muestra 4 3000

156 37,11 0,017

200 37,49 0,007

Muestra 5 3750

202 36,44 0,031

206 37,07 0,016

Aquí se puede observar que las porosidades de cada uno de los medios estudiados

disminuyen con respecto a las registradas anteriormente. Sin embargo, todas ellas se encuentran

dentro del error calculado para las porosidades embebidas. Más aún, se observa que en este caso,

al no tener una media de los valores de porosidad óptica para cada muestra, sino al trabajar con

la porosidad correspondiente a la fotografía seleccionada, ésta es subestimada en un rango entre

0,07% y 1,17%, el cual es ligeramente mayor al rango de subestimación obtenido para las

porosidades ópticas medias. Sin embargo, el aumento de la diferencia entre los datos de

porosidad embebida y óptica no parece estar relacionado al tamaño de grano de cada muestra,

esto probablemente se debe a que los recuadros de las fotografías fueron escogidos visualmente,

intentando que representaran, de la mejor manera posible, la estructura porosa del medio en tres

dimensiones.

100

Es de hacer notar que todos los errores fueron calculados a partir de la relación existente

entre la diferencia de porosidad embebida y porosidad óptica, dividida por la porosidad

embebida.

Los valores de porosidad presentados en la Tabla 3.8 se graficaron en función de la porosidad

embebida para evaluar la relación existente entre ambas propiedades (Figura 3.16).

Figura 3.16. Relación entre porosidades ópticas y porosidades embebidas para secciones de 10

fotografías seleccionadas.

En este caso, la relación lineal entre la porosidad en dos dimensiones y la porosidad

tridimensional presenta un coeficiente de correlación muy pequeño (0,659) lo que se debe a la

disminución de los valores de porosidad óptica respecto a la porosidad embebida, especialmente

en las muestras con mayor tamaño de grano (r=3,00mm y r=3,75). Esto causa una desviación de

la curva cerca de las porosidades menores.

Al comparar los gráficos presentados en las figuras 3.15 y 3.16 se observa que hay una

disminución significativa en el coeficiente de correlación entre los datos de porosidad óptica y

porosidad embebida presentados en el último gráfico (Figura 3.16) con respecto al primero

35

35.5

36

36.5

37

37.5

38

38.5

39

39.5

37.5 38 38.5 39

Por

osid

ad ó

ptic

a 2D

(%

)

Porosidad embebida 3D (%)

Porosidad óptica de 10 secciones bidimensionales vs. Porosidad embebida para muestras monodispersas

Fotografía 19:muestra 1 (R=0,75mm)Fotografía 38: muestra 1 (R=0,75mm)Fotografía 64: muestra 2 (R=1,75mm)Fotografía 88: muestra 2 (R=1,75mm)Fotografía 130: muestra 3 (R=2,00mm)Fotografía 134: muestra 3 (R=2,00mm)Fotografía 156: muestra 4 (R=3,00mm)Fotografía 200: muestra 4 (R=3,00mm)Fotografía 202: muestra 5 (R=3,75mm)Fotografía 206: muestra 5 (R=3,75mm)

y=0,985x

R2=0,659

101

(Figura 3.15). Esta diferencia en la tendencia de ambas curvas puede deberse al hecho de que,

para elaborar el gráfico 3.16 se tomaron en cuenta sólo 10 valores de porosidad óptica,

correspondientes a recuadros específicos de 10 fotografías seleccionadas; mientras que el

conjunto de datos de porosidad óptica presentado en el gráfico 3.15 constituye un valor medio

para cada muestra monodispersa, determinado a partir de las 250 imágenes analizadas por el

algoritmo generado. En este sentido, los datos de porosidad óptica correspondientes a la totalidad

de las imágenes consideradas en el estudio pueden representar más fiablemente la porosidad

“real” del sistema en tres dimensiones que los datos de porosidad óptica obtenidos para

secciones específicas de 10 fotografías analizadas. En este último caso la porosidad “real” no

puede ser reproducida adecuadamente a partir de imágenes bidimensionales pequeñas y poco

representativas estadísticamente (Kameda, 2004).

A partir de las secciones en dos dimensiones para cada medio estudiado se construyeron los

histogramas de frecuencia acumulativa de los radios de garganta de cada muestra, en los cuales

se presenta el valor del radio de garganta que domina el flujo para cada medio (Figuras 3.17a,

3.17b, 3.18a, 3.18b, 3.19a, 3.19b, 3.20a, 3.20b, 3.21a, 3.21b).

Figura 3.17a. Histograma de frecuencia acumulativa de los radios de garganta de la muestra 1 en

la fotografía No. 19. El radio que domina el flujo corresponde a r85=47,81µm.

102

Figura 3.17b. Histograma de frecuencia acumulativa de los radios de garganta de la muestra 1 en




103





104





105





106



Es de hacer notar que los radios que dominan el flujo son aquellos que representan los

tamaños de garganta iguales o menores a aquellos para los cuales la saturación de fluido

contribuye al flujo y no al almacenamiento. Los radios de garganta considerados en el presente

trabajo como los que dominan el flujo son los radios que satisfacen matemáticamente las

condiciones necesarias para identificar una distribución de radios de garganta dada, coherente

con respecto a los valores de permeabilidad esperados para gravas no consolidadas (Lafage

2008). De los gráficos anteriores se observa que los radios que dominan el flujo aumentan

conforme el tamaño de las esferas incrementa, lo que está en concordancia con el hecho de que

el tamaño de las gargantas de poro es proporcional al tamaño de los granos que conforman el

medio.

Por otra parte, las diferentes pendientes en los gráficos de frecuencia acumulativa representan

distintas poblaciones de radios de garganta con distribuciones normales. Los percentiles

107

seleccionados son los que se aproximan a la clase de tamaño de garganta donde la red porosa

comienza a estar interconectada (Lafage 2008).

Es importante mencionar que el percentil de saturación de los radios que se ajustan

matemáticamente a los valores de permeabilidad varía entre 70 y 85 para cada muestra y no

parecen tener relación con el tamaño de las esferas. Esto se debe a que cada tamaño de poro

tiende a estar asociado a un rango limitado de tamaños de gargantas de poro, por lo que

diferentes tamaños y tipos de poros forman circuitos de flujo casi independientes, presentando un

tamaño de garganta característico, el cual se asocia a un percentil específico. Esto quiere decir

que no hay una única clase modal de tamaño de garganta de poro que sirva como predictor de los

valores de porosidad y permeabilidad. Estas observaciones se verifican a partir de los estudios

realizados por Winland (r35), Pittman (r25) y Rezaee, Jafary y Kazemzadeh (r50), quienes

proponen diferentes percentiles de saturación como los mejores indicadores de la permeabilidad

para areniscas y carbonatos.

A partir de los gráficos de frecuencia acumulativa se determinó que los radios de garganta

que dominan el flujo para muestras esféricas, monodispersas, no consolidadas y con

permeabilidades del orden de los 103 darcies se encuentran entre los percentiles 70 y 85. En este

sentido, los radios asociados a los percentiles 35 y 25, sugeridos por Windland y Pittman,

respectivamente, como mejores indicadores de la permeabilidad, arrojan resultados de, al menos,

un orden de magnitud menor al de los valores de permeabilidad obtenidos al medir el tiempo de

tránsito en el permeámetro de caída libre. Por lo tanto, como los radios de garganta para

saturaciones mayores a 75% no son considerados en las ecuaciones de Pittman, fue necesario

generar dos nuevas ecuaciones, correspondientes a r80 y r85, respectivamente, las cuales se

muestran a continuación:

)(0088,3)(4266,01986,4)( 85 φLogkLogrLog −+= (3.3)

)(3710,3)(3300,08910,4)( 80 φLogkLogrLog −+= (3.4)

Adicionalmente se muestra la ecuación para r70, también utilizada en la determinación de la

permeabilidad:

)(314,2)(627,0664,1)( 70 φLogkLogrLog −+= (3.5)

108

El hecho de que los radios que dominan el flujo en las muestras estudiadas correspondan a

saturaciones mucho mayores a las propuestas por Winland y Pittman para indicar la

permeabilidad de areniscas, puede estar relacionado a que los tamaños de grano de los medios

granulares considerados en el presente trabajo corresponden a arenas muy gruesas y a gravas, lo

que implica un aumento significativo en los tamaños de garganta que conectan los poros del

sistema y, por tanto, un incremento de varios órdenes de magnitud en la permeabilidad. En este

sentido, los radios de garganta más grandes son del orden de varios milímetros para las muestras

con granos más gruesos (r=3,00mm y r=3,75mm). Así mismo, es hacer notar que, al llenar los

poros entre las esferas con circunferencias cada vez más pequeñas, el área de círculos pequeños

que pueden ocupar el espacio poroso está restringida por la porosidad del empaque granular,

pero siempre será mayor que el área ocupada por los círculos más grandes, tal como se ve en los

histogramas de frecuencia acumulativa. Por lo tanto, los radios con mayor frecuencia tenderán a

ser aquellos de menor tamaño. Es decir, si bien los tamaños de garganta considerados son

grandes por diámetro de las esferas estudiadas, el método llevado a cabo para analizar la

distribución de radios de garganta resulta en la presencia de un mayor número de radios de

menor tamaño, lo cuales contribuyen significativamente al área porosa de cada muestra.

Por otra parte, para obtener permeabilidades del orden de 103 darcies, es necesario que, al

despejar esta propiedad de las ecuaciones de Pittman se tenga un factor de 106 milidarcies. Lo

que sólo se obtiene con bajos valores en los coeficientes A y B y valores altos en los coeficientes

C, puesto que, recordando la forma genérica de las ecuaciones de Pittman, la permeabilidad

quedaría cómo:

(3.6)

El hecho de que se han simulado medios monodispersos y homogéneos con esferas

metálicas, es responsable de que los capilares de cada sistema sean poco tortuosos y

prácticamente rectos, lo que simplifica la red porosa del medio, conllevando a que los radios que

dominan el flujo sean los más frecuentes en las gargantas de poro.

Los resultados de permeabilidad obtenidos al utilizar las ecuaciones 3.3, 3.4 y 3.5, así como

el respectivo error en la medida determinado a partir de la ecuación (2.11) se muestran en la

Tabla 3.9, donde se observa que para las muestras con r=750µm, r=3000µm y r=3750µm las

permeabilidades de las secciones bidimensionales resultan sobreestimadas con respecto a las

−+

= B

ACLogrLog x

k)()(

10φ

109

determinadas con el permeámetro. Para las dos muestras restantes, los valores de permeabilidad

son menores a los medidos tridimensionalmente.

Tabla 3.9. Valores de permeabilidad determinados en secciones bidimensionales a partir de las ecuación de Pittman para r70 y de las nuevas ecuaciones generadas para r80 y r85.

Muestra

Radio de

las esferas

(µm)

Radio que

domina el

flujo

N° de

Fotografía k (Darcies) ∆k (Darcies)

Muestra 1 750

r85

19 3019,9 2,1

38 2652,8 2,0

Muestra 2 1750 r70 64 3763,8 2,0

88 3471,5 1,9

Muestra 3 2000

r80

130 4085,3 2,0

134 3889,4 1,9

Muestra 4 3000 r70 156 5690,2 2,1

200 5944,7 2,1

Muestra 5 3750 r70 202 6353,3 2,0

206 7396,1 2,1

Con los datos de permeabilidad bidimensional (Permeabilidad 2D) y tridimensional

(Permeabilidad 3D) se construyó el gráfico 3.18 para evaluar la relación entre ambas.

Figura 3.22. Permeabilidad bidimensional en

Tal como se ilustra en la figura, la relación entre los valores de permeabilidad es lineal,

tendiendo la pendiente a 1, con un coeficiente de correlación de 0,9485.Esto quiere decir que las

permeabilidades bidimensionales se corresponden casi idénticamente con las d

tres dimensiones. Por lo tanto, las permeabilidades de las muestras monodispersas y esféricas

estudiadas, estimadas a partir de un modelo bidimensional compuesto por capilares suave

circulares y rectos, en los que no se ha considerado la tortuosidad ni el factor de forma, son

representativas de la permeabilidad real del medio en tres dimensiones.

mayoría de los casos los valores parecen ser sobr

y=1,0505x

R2=0,9485



. Permeabilidad bidimensional en función de la permeabilidad en tres dimensiones.



bidimensionales se corresponden casi idénticamente con las d

Por lo tanto, las permeabilidades de las muestras monodispersas y esféricas

s a partir de un modelo bidimensional compuesto por capilares suave


representativas de la permeabilidad real del medio en tres dimensiones.

s los valores parecen ser sobrestimados en un rango de 200

y=1,0505x

=0,9485

110



función de la permeabilidad en tres dimensiones.



bidimensionales se corresponden casi idénticamente con las determinadas en

Por lo tanto, las permeabilidades de las muestras monodispersas y esféricas

s a partir de un modelo bidimensional compuesto por capilares suaves,


representativas de la permeabilidad real del medio en tres dimensiones. No obstante, en la

ango de 200-500 darcies.

111

36.6

36.8

37

37.2

37.4

37.6

37.8

38

38.2

1000 10000

Por

osid

ad ó

ptic

a pr

omed

io (

%)

Permeabilidad 2D promedio (Darcies)

Porosidad óptica promedio vs. Permebailidad 2D promedio






Finalmente, se tomaron los valores de porosidad óptica promedio y de permeabilidad 2D

promedio y se graficaron para evaluar la relación entre porosidad y permeabilidad, tal como se

muestra en la Figura 3.23.

Figura 3.23. Relación entre porosidad óptica y permeabilidad 2D para muestras monodispersas.

Se observa que la relación obtenida es similar a la registrada para la porosidad embebida y la

permeabilidad tridimensional en las muestras monodispersas. Ambas relaciones están descritas

por una recta de pendiente negativa, en la que altos valores de porosidad se asocian a valores

menores de permeabilidad, en función del tamaño de grano de las muestras consideradas. Más

aún, las constantes de proporcionalidad de las relaciones obtenidas entre porosidad embebida y

permeabilidad para el volumen en tres dimensiones (c=-0,0003 y b=39,503) y entre la porosidad

óptica y la permeabilidad para las secciones bidimensionales (c=-0,0003 y b=38,89) son muy

similares. Sin embargo, en este caso el coeficiente de correlación es ligeramente menor,

alcanzando el 0,9465. Por otro lado, de acuerdo a los radios de garganta obtenidos en los

histogramas de frecuencia acumulativa, el espectro de permeabilidades que pueden ser

y = -0,0003 (x) + 38,89

R² = 0,9465

112

calculadas se ubica en el orden de 102 y 103 darcies, lo que comprueba la utilidad de la

metodología aplicada en el presente trabajo con respecto a la estimación de permeabilidades de

medios granulares monodispersos tridimensionales a partir de la determinación de esta propiedad

en dos dimensiones, por ejemplo, a través de la utilización de secciones finas.

Finalmente, tal como afirma Kameda (2004), puede establecerse una tendencia definida en

gravas no consolidadas y bien escogidas, la cual permita determinar una relación entre porosidad

y permeabilidad a partir de pequeños fragmentos granulares, cuyas propiedades pueden ser

medidas en el laboratorio. Esta relación puede ser además utilizada para estimar la permeabilidad

a partir de la porosidad, propiedad puede determinarse directamente de registros de pozo.

113

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

La permeabilidad aumenta linealmente con el tamaño de grano en muestras granulares

esféricas monodisperas y varía significativamente para pequeños cambios en el diámetro de las

esferas que componen las diferentes mezclas. En resultados presentados por otros autores (e.g.

Chauveteau et. al, 1996) se ha demostrado que, en rocas sedimentarias, la relación entre la

permeabilidad y el tamaño de grano es lineal, siempre y cuando este último parámetro sea

graficado logarítmicamente, sin embargo los datos del presente estudio no abarcan varios

órdenes de magnitud, ni en diámetro del grano ni en permeabilidad, por lo que no se puede

predecir si el comportamiento de la recta obtenida sería logarítmico si se consideraran diferentes

escalas para los parámetros estudiados. Por otro lado, la porosidad depende del tamaño de grano

y del escogimiento del medio. Las porosidades más altas en las granulometrías estudiadas

alcanzan el 39% para las partículas esféricas de menor radio y disminuyen al aumentar el tamaño

de grano, presentándose una relación lineal decreciente entre ambos parámetros cuando el radio

de las esferas es graficado logarítmicamente.

En muestras con dos tamaños de grano mezclados en diferentes proporciones se puede

observar que el volumen de las partículas de menor tamaño influye significativamente en el valor

de la permeabilidad. Más aún, al mezclar los mismos tamaños de grano en tres proporciones

diferentes (50-50, 70-30 y 30-70) el aumento de la permeabilidad que se produce al disminuir el

volumen de las esferas de menor diámetro en la muestra no es lineal. Es decir, agregar un poco

de complejidad y heterogeneidad al medio implica relaciones altamente no lineales. Esto indica

que incluso un pequeño aumento en la presencia de granos más pequeños empobrece la

capacidad del medio para transportar fluidos. La relación general entre la permeabilidad y el

tamaño de grano es de potencia, lo que da una línea recta si se mapea en ejes log-log. Las

porosidades en medios bidispersos presentan dos tendencias principales: primero un decremento

asociado a la inclusión de granos de mayor tamaño dentro de un grupo de esferas de menor radio

y, posteriormente, un aumento a medida que incrementa el volumen de las partículas más

grandes. Todo ello debido a las perturbaciones producidas en el arreglo del empaque al modificar

el volumen de las esferas que lo componen. Las muestras con mayor escogimiento, es decir, con

menos dispersión de los radios, presentan porosidades y permeabilidades más altas que aquellas

peor escogidas.

114

En base a estas conclusiones podría encontrarse una relación cualitativa para describir cómo

el volumen de arcilla afecta la capacidad de las arenas para transportar fluidos. Si consideramos

que k0 es la permeabilidad de la arena texturalmente madura y limpia y que k es la

permeabilidad de la misma cuando se ha agregado un determinado volumen de arcilla, entonces

debe existir una relación, al menos cualitativa, que relacione la permeabilidad inicial de la arena

limpia y el volumen de arcilla (Vshale). Es decir, podría escribirse que:

k=k0 cuando Vshale=0

k=x. k0 cuando Vshale≠0

Si la relación encontrada entre la permeabilidad y la proporción de las esferas de mayor (o

menor) radio en la muestra fuese lineal, el coeficiente x sería fácil de determinar. En este caso la

relación no es lineal, sino polinomial, sin embargo, si consideramos volúmenes de granos de

radios pequeños (Vrmin) entre 30% y 70%, porcentajes que representan los límites para los cuales

las curvas de Permeabilidad vs. Proporción de las partículas de mayor radio se comportan de

manera lineal, puede decirse que, al aumentar el volumen de esferas más pequeñas (Vrmin) en un

10% el factor por el cual se debe multiplicar k0 disminuye en 0,05 unidades. En este sentido, se

encontró que la permeabilidad inicial (k0) debe ser multiplicada por 0,65; 0,55; y 0,45 cuando el

porcentaje de granos más pequeños en la muestra peor escogida (muestra 6) es de 30%, 50% y

70% respectivamente. Estos coeficientes aumentan a 0,9; 0,8; y 0,7 en las muestras mejor

escogidas, para las mismas proporciones de radios de menor tamaño antes mencionadas. Es

decir, el factor multiplicador (x) resulta ser 25% mayor para rocas mejor escogidas (muestra 7)

en comparación con rocas peor escogidas (muestra 6). Ahora bien, se observa que los

coeficientes aumentan en 0,1 (10%) cuando el volumen de esferas más pequeñas incrementa en

20%. De aquí se tiene que, para las muestras estudiadas es posible establecer una relación

empírica entre la permeabilidad final (k), la permeabilidad inicial (k0) y el volumen de partículas

de menor radio (Vrmin), siempre que este se encuentre entre 30% y 70%. Las relaciones

encontradas corresponden a:

−=2

8,0 min0

rVkk Para las muestras peor escogidas.

115

−=2

05,1 min0

rVkk Para las muestras mejo escogidas.

Donde los valores de Vrmin son introducidos en tanto por uno. Nótese cómo la diferencia entre los

coeficientes 0,8 y 1,05 resulta 0,25 (25%).

Es de hacer notar que estas relaciones se ajustan a los resultados presentados en este proyecto

y no necesariamente representan universalmente la variación de la permeabilidad en base al

volumen de partículas pequeñas. Sin embargo, sería interesante probar cómo se comportan

dichas relaciones para arenas con cierto porcentaje de arcilla (Vshale) en su composición.

En el caso de medios polidispersos la tendencia sugiere que, tanto la permeabilidad como la

porosidad disminuyen al incluir un tercer tamaño de grano en una muestra bidispersa, a

excepción que el radio de la esfera agregada sea similar al de los otros dos radios presentes

previamente en la mixtura, tal como sucede en la muestra 9 (R1=1,75mm, R2=3,00mm y

R3=3,00mm). Por otra parte, la relación entre porosidad y permeabilidad es lineal y creciente al

graficar esta última propiedad en escala logarítmica, lo que se ajusta a las correlaciones

encontradas por Nabovati y Sousa (2008), Chaveteau et. al (1996), etc. En este sentido es

importante destacar que el escogimiento de la muestra juega un papel fundamental, puesto que,

dos muestras con el mismo tamaño medio de grano, como las muestras 9 y 12 (Rmedio=2,25mm),

pueden arrojar resultados de porosidad y permeabilidad completamente diferentes debido al

escogimiento de las partículas que las componen.

Para todos los medios: monodispersos, bidispersos y polidispersos, las relaciones obtenidas

entre porosidad y permeabilidad no se ajustan a las ecuaciones empíricas o teóricas presentadas

por diversos autores (Kozeny-Carman, 1961; Chauveteau. et al., 1996; Itoh, 2011, Nabovati and

Sousa, 2008, etc.), por lo que éstas son sólo representativas para los medios porosos estudiados

en el presente trabajo y no pueden ser expandidas a rocas sedimentarias u otros agregados

granulares. Es probable que los datos presentados en esta investigación no se ajusten a las

relaciones antes mencionadas debido a la escala de tamaño de grano analizada en el estudio,

puesto que dichas relaciones consideran arenas naturales o medios esféricos sintéticos con

permeabilidades del orden de 10-1-10-2 darcies y en este caso se trabajó con gravas simuladas,

cuyos valores de permeabilidad se encuentran en el orden de 103 darcies. Esto implica que los

análisis de esta propiedad dinámica de flujo están asociados a un rango limitado de tamaños de

116

grano y, por ende de gargantas de poro, por lo que diferentes tamaños y tipos de poros forman

circuitos de flujo casi independientes, presentando distribuciones específicas, que se asocian a

permeabilidades características. Esto quiere decir que el estudio de las relaciones entre

permeabilidad y porosidad sobre una granulometría específica no puede ser extrapolado a otras

distribuciones granulares y que las relaciones encontradas en este trabajo son solo válidas para

los medios granulares aquí considerados.

La permeabilidad macroscópica de un medio poroso a partir de imágenes del mismo en dos

dimensiones, conociendo la distribución de los tamaños de garganta, no resulta representativa al

considerar los radios propuestos por Winland (r35) y Pittman (r25) como los mejores indicadores

de la permeabilidad. Pero, si se consideran radios mayores al 70% en una curva de frecuencia

acumulativa, se pueden obtener valores representativos de la permeabilidad macroscópica del

medio a partir de un análisis bidimensional. Sin embargo, sería de esperarse que, dada la

simplicidad de los medios estudiados, los radios de garganta que dominan el flujo fueran

menores a los propuestos por Winland y Pittman, ya que autores como Lafage (2005) y Rezaee,

Jafari y Kazemzadeh (2006) han encontrado que para redes porosas más complejas, los radios de

garganta que dominan el flujo corresponden a mayores saturaciones de mercurio. No obstante,

hay que tener en cuenta que dichos autores han trabajado con litologías complejas (arenas y

carbonatos) y no con medios granulares, por lo que la relación entre el radio de garganta que

domina el flujo y la permeabilidad, para valores del orden de 103 darcies, no ha sido

contemplada por ellos.

Las recomendaciones para mejorar la calidad del presente trabajo se enuncian a continuación:

Mejorar la precisión del permeámetro de caída libre mediante la colocación de contadores

electrónicos en las alturas correspondientes a h1 y h2, para medir el tiempo de tránsito de la

columna de fluido.

Construir modelos de flujo de fluidos en los medios granulares estudiados para estimar la

permeabilidad y compararla con los resultados obtenidos en este trabajo.

Generar un algoritmo computacional en MatLab para llevar a cabo el análisis de la

distribución de los radios de garganta de una manera más rápida y eficiente, permitiendo, incluso

117

realizar un número considerable de simulaciones con la finalidad de disminuir el error estadístico

en los resultados obtenidos.

Trabajar con medios granulares polidispersos y con secciones finas reales correspondientes a

diferentes litologías, especialmente arenas y carbonatos, para evaluar la utilidad de la

metodología propuesta en el presente trabajo para la estimación de permeabilidades de

reservorios reales.

118

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120

APÉNDICE A

Tiempos medidos en el experimento 1

Medidas de tiempo en muestras con un único tamaño de grano

Tiempos para

muestra 1

1,5 x 10-3m

(s)

Tiempos para

muestra 2

3,5 x 10-3m

(s)

Tiempos para

muestra 3

4,0 x 10-3m

(s)

Tiempos para

muestra 4

6,0 x 10-3m

(s)

Tiempos para

muestra 5

7,5 x 10-3m

(s)

7,72 6,19 6,58 3,87 3,25

7,66 6,16 6,75 3,81 3,22

7,9 6,06 6,57 3,72 3,15

7,69 6,09 6,59 3,94 3,03

7,75 6,06 6,75 3,81 3,13

7,83 6,03 4,87 3,88 3,13

7,78 6,16 4,75 3,84 3,06

7,97 6,13 4,94 3,97 3,2

7,82 6,03 5 3,87 3,19

7,74 6,18 4,89 4 3,12

7,97 6,13 4,84 3,84 3,19

7,78 6,16 4,82 3,9 3,2

7,72 6,03 4,81 3,78 3,24

7,76 6,19 4,75 3,81 3,28

7,97 6,06 4,76 3,76 3,07

7,79 6,12 4,62 3,84 3,19

7,81 6,06 4,59 3,97 3,09

7,97 6,25 4,6 3,84 3,34

7,84 6,21 4,59 3,88 3,25

7,72 6,15 4,69 3,97 3,25

7,97 6,06 4,69 3,87 3,19

7,72 6,06 4,72 3,75 3,25

7,81 6,22 4,66 3,75 3,22

7,88 6,1 4,78 3,91 3,28

7,91 6,12 4,6 3,88 3,24

7,75 6,06 4,72 3,88 3,34

7,75 6,06 4,69 3,96 3,09

7,84 6,1 4,72 3,75 3,25

7,75 6,03 4,72 3,78 3,16

7,94 6,19 4,6 3,84 3,06

121

7,77 6,18 4,79 3,97 3,28

7,94 6,16 4,53 3,72 3,28

7,87 6,19 4,66 3,94 3,22

7,75 6,18 4,63 3,81 3,06

7,88 6,09 4,5 3,75 3,34

7,84 6,12 4,66 4 3,22

8,03 6,22 4,63 3,84 3,19

7,85 6,16 4,72 3,97 3,16

7,94 6,12 4,69 3,85 3,27

7,97 6,03 4,53 3,81 3,27

7,97 6,18 4,69 3,69 3,07

7,88 6,13 4,53 3,84 3,25

7,87 6,03 4,59 3,93 3,22

7,88 6,22 4,62 3,94 3,06

7,7 6,06 4,5 3,93 3,25

7,72 6,16 4,62 3,9 3,22

7,89 6,03 4,66 3,8 3,22

7,84 6,16 4,69 3,87 3,21

7,82 6,12 4,53 3,75 3,15

7,91 6,25 4,6 3,92 3,22

7,91 6,1 4,65 3,95 3,03

7,86 6 4,5 3,87 3,1

7,79 6,16 4,57 3,91 3,19

7,84 6,1 4,69 3,94 3,31

7,82 6,13 4,63 3,9 3,22

7,91 6,14 4,5 3,9 3,12

7,86 6,09 4,59 4 3,19

7,85 6,14 4,62 3,84 3,27

7,91 6,16 4,63 3,88 3,09

7,86 6 4,72 3,97 3,28

7,93 6,19 4,53 3,88 3,16

7,86 6,12 4,63 3,88 3,12

7,9 6,09 4,71 3,79 3,25

7,87 6,12 4,53 3,78 3,16

7,85 6 4,6 3,81 3,16

7,85 6,12 4,78 3,88 3,19

7,88 6,07 4,56 3,88 3,3

8,02 6,09 4,57 3,9 3,24

7,81 5,97 4,53 3,94 3,28

7,82 6,16 4,63 3,88 3,17

122

7,85 6,12 4,56 3,94 3,25

8,02 6,19 4,5 4,06 3,25

7,85 6,12 4,62 4 3,22

7,87 6 4,59 3,81 3,31

7,85 6,22 4,62 3,88 3,14

Tiempos de calibración de la muestra 3 para las tres columnas de agua adicionales

Tiempos de la muestra 3 para la

segunda columna de agua

(s)

Tiempos de la muestra 3 para

la tercera columna de agua

(s)

Tiempos de la muestra 3 para

la cuarta columna de agua

(s)

6,38 4,97 4,84

6,40 5,06 4,82

6,57 5,03 4,81

6,59 5,00 4,75

6,75 5,03 4,75

Tiempos para muestras con dos tamaños de grano

Tiempos para muestra 6

Granos de 1,5x10-3m y 7,5x10-3m de diámetro

(s)

Tiempos para muestra7

Granos de 3,5x10-3m y 6,0x10-3m de diámetro

(s) Proporción 50-50 Proporción

70-30

Proporción

30-70

Proporción 50-50 Proporción

70-30

Proporción

30-70

6,16 6,53 6,72 5,25 5,03 5,19 5,25 4,38

6,25 6,38 6,78 5,06 5,06 4,93 5,34 4,5

6,56 6,48 6,78 5,16 5 5,22 5,25 4,44

6,4 6,38 6,72 5,06 4,88 5,13 5,25 4,53

6,07 6,37 6,78 5,1 4,88 5 5,34 4,47

6,25 6,35 7,03 5,09 5,16 5,25 5,37 4,56

6,28 6,28 6,87 5 5,03 5,13 5,32 4,5

6,06 6,28 6,91 5 4,97 4,87 5,25 4,66

6,18 6,35 6,9 5,31 4,93 5,19 5,22 4,47

6,38 6,56 6,77 5,19 5,22 5,21 5,22 4,59

6,19 6,35 6,88 5,28 4,84 5,16 5,31 4,53

6,34 6,35 6,84 5,25 4,97 5 5,19 4,6

6,28 6,19 6,88 5,25 4,97 4,88 5,35 4,54

6,43 6,28 6,9 5,07 5 4,94 5,22 4,52

123

6,46 6,22 7 5,15 5,1 5 5,25 4,63

6,15 6,28 6,91 5,16 5,09 5 5,25 4,59

6,27 6,25 6,91 5,32 4,88 5,13 5,28 4,63

6,28 6,25 6,88 5,03 5,18 5,12 5,32 4,38

6,16 6,34 6,84 5,07 5,03 5,19 5,19 4,5

6,5 6,25 6,81 5,22 5,03 5,06 5,3 4,37

6,41 6,26 6,88 5,25 5,09 5,16 5,22 4,34

6,38 6,35 6,87 5,25 5,03 4,87 5,3 4,31

6,36 6,35 7,03 5,06 5,09 5,06 5,25 4,41

6,5 6,44 7,07 5,06 5 4,91 5,19 4,35

6,31 6,35 6,84 5,06 5,04 5,16 5,16 4,35

6,12 6,35 6,94 5,32 5,04 5,03 5,19 4,34

6,25 6,3 6,87 5,09 5,1 5,16 5,38 4,45

6,06 6,25 6,83 5,09 5,19 5,19 5,28 4,47

6,07 6,43 6,87 5,22 5,04 4,97 5,22 4,35

6,28 6,26 6,92 5,16 5,09 4,96 5,25 4,5

6,25 6,47 6,83 5,18 5,04 5,16 5,26 4,47

6,1 6,25 6,82 5,18 5,03 5,19 5,31 4,53

6,12 6,36 7 5,19 5,1 4,97 5,33 4,38

6,12 6,18 6,75 5,18 5,03 5,03 5,32 4,44

6,06 6,28 6,82 5,12 4,97 4,94 5,22 4,54

6,47 6,28 6,84 5,18 5,09 5,06 5,28 4,5

6,56 6,16 6,88 5,12 4,97 5,06 5,24 4,56

6,56 6,3 6,88 5,15 5,04 5,22 5,24 4,47

7,08 5,16 5,22 4,48

6,95 5,15 5,24 4,4

7,03 5,31 5,28 4,62

6,84 5,22 5,24 4,44

6,96 5,13 5,24 4,48

6,96 5,15 5,25 4,48

6,94 5,22 5,28 4,55

6,9 5,35 5,28 4,5

6,81 5,13 5,24 4,58

7 5,12 5,26 4,47

6,81 5,22 5,19 4,4

6,81 5,28 5,16 4,59

124

Tiempos para las muestras con tres, cuatro y cinco tamaños de grano

Tiempos para

muestra 8

33,3% 1,5x10-3m;

33,3% 4,0x10-3m;

33,3% 7,5x10-3m

(s)

Tiempos para

muestra 9

33,3% 3,5x10-3m;

33,3% 4,0x10-3m;

33,3% 6,0x10-3m

(s)

Tiempos para

muestra 10

25% 1,5x10-3m;

25% 3,5x10-3m;

25% 6,0x10-3m;

25% 7,5x10-3m

(s)

Tiempos para

muestra 11

25% 1,5x10-3m;

25% 4,0x10-3m;

25% 6,0x10-3m;

25% 7,5x10-3m

(s)

Tiempos para

muestra 12

20% 1,5x10-3m;

20% 3,5x10-3m;

20% 4,0x10-3m;

20% 6,0x10-3m;

20% 7,5 x 10-3m

(s)

4,96 4,9 5,5 5,13 5,41

5,03 4,84 5,32 5,13 5,57

5,19 4,66 5,33 5,41 5,56

5,06 4,75 5,45 5,38 5,43

5 4,82 5,31 5,19 5,63

5,09 4,72 5,47 5,35 5,4

5,25 4,68 5,38 5,31 5,37

5,03 4,81 5,19 5,38 5,38

5,18 4,78 5,38 5,35 5,38

5,19 4,78 5,18 5,43 5,44

5,15 4,78 5,47 5,21 5,59

5,16 4,85 5,36 5,28 5,41

4,93 4,94 5,57 5,22 5,34

5,22 4,79 5,31 5,28 5,35

5,31 4,65 5,4 5,22 5,46

5,25 4,81 5,19 5,4 5,43

5,41 4,75 5,35 5,18 5,47

5,28 4,81 5,34 5,37 5,34

5,07 4,91 5,38 5,44 5,5

5,37 4,65 5,46 5,38 5,37

5,32 4,84 5,44 5,25 5,35

5,12 4,75 5,22 5,4 5,35

5,31 4,75 5,19 5,33 5,4

5,13 4,72 5,34 5,33 5,47

5,34 4,78 5,28 5,13 5,52

5,28 4,72 5,32 5,33 5,42

5,28 4,81 5,46 5,25 5,48

5,03 4,75 5,28 5,31 5,57

5,06 4,75 5,53 5,25 5,41

125

5 4,82 5,57 5,2 5,5

5,09 4,72 5,42 5,25 5,52

5,13 4,68 5,23 5,33 5,48

5,19 4,8 5,41 5,23 5,37

5,22 4,78 5,25 5,15 5,39

5,19 4,78 5,21 5,29 5,34

5,15 4,75 5,37 5,18 5,4

5,16 4,81 5,43 5,25 5,41

4,93 4,86 5,5 5,3 5,41

4,96 4,79 5,38 5,22 5,32

5,03 4,9 5,29 5,25 5,44

5,25 4,84 5,39 5,19 5,35

5,41 4,75 5,43 5,22 5,4

5,18 4,81 5,44 5,31 5,38

5,07 4,81 5,38 5,18 5,53

5,37 4,78 5,29 5,29 5,46

5,29 4,66 5,5 5,22 5,43

5,12 4,85 5,5 5,32 5,35

5,31 4,78 5,41 5,19 5,53

5,31 4,72 5,41 5,24 5,4

5,25 4,69 5,32 5,25 5,38

126

APÉNDICE B

Valores de permeabilidad obtenidos a partir del experimento 1

Permeabilidad para muestras con un único tamaño de grano

k1 k2 k3 k4 k5

1,5 x 10-3m de

diámetro

(Darcies)

3,5x 10-3m de

diámetro

(Darcies)

4,0 x 10-3m de

diámetro

(Darcies)

6,0 x 10-3m de

diámetro

(Darcies)

7,5 x 10-3m de

diámetro

(Darcies)

2662,399982 3735,532123 4259,904535 5311,040791 6324,22396

2683,25429 3753,72465 4152,61805 5394,679228 6383,1453

2601,737704 3815,667301 4266,388408 5525,195661 6524,99297

2672,786458 3796,87091 4253,44034 5216,682198 6783,40853

2652,093917 3815,667301 4152,61805 5394,679228 6566,68622

2624,997172 3834,65072 4146,122409 5297,352541 6566,68622

2641,867334 3753,72465 4250,866554 5352,533297 6716,90453

2578,886808 3772,095244 4087,371687 5177,261426 6423,03996

2628,353946 3834,65072 4038,323227 5311,040791 6443,17488

2655,520395 3741,576674 4129,164853 5138,431965 6587,73329

2578,886808 3772,095244 4054,671641 5352,533297 6443,17488

2641,867334 3753,72465 4071,496005 5270,186631 6423,03996

2662,399982 3834,65072 4079,960654 5437,494143 6343,74317

2648,676271 3735,532123 4131,496999 5394,679228 6266,38045

2578,886808 3815,667301 4122,817383 5466,416984 6695,02536

2638,475977 3778,258798 4115,194431 5352,533297 6443,17488

2631,719316 3815,667301 4142,091127 5177,261426 6651,69186

2578,886808 3699,671015 4133,086581 5352,533297 6153,81074

2621,648962 3723,501424 4142,091127 5297,352541 6324,22396

2662,399982 3759,828267 4053,773619 5177,261426 6324,22396

2578,886808 3815,667301 4053,773619 5311,040791 6443,17488

2662,399982 3815,667301 4028,008108 5480,994096 6324,22396

2631,719316 3717,515087 4079,870874 5480,994096 6383,1453

2608,341099 3790,646532 3977,447337 5256,707893 6266,38045

2598,448528 3778,258798 4133,086581 5297,352541 6343,74317

2652,093917 3815,667301 4028,008108 5297,352541 6153,81074

2652,093917 3815,667301 4053,773619 5190,335318 6651,69186

2621,648962 3790,646532 4028,008108 5480,994096 6324,22396

2652,093917 3834,65072 4028,008108 5437,494143 6504,34426

2588,630713 3735,532123 4133,086581 5352,533297 6716,90453

127

2645,267421 3741,576674 3969,143689 5177,261426 6266,38045

2588,630713 3753,72465 4196,953261 5525,195661 6266,38045

2611,655383 3735,532123 4079,870874 5216,682198 6383,1453

2652,093917 3741,576674 4106,306322 5394,679228 6716,90453

2608,341099 3796,87091 4224,932949 5480,994096 6153,81074

2621,648962 3778,258798 4079,870874 5138,431965 6383,1453

2559,617417 3717,515087 4106,306322 5352,533297 6443,17488

2618,309282 3753,72465 4028,008108 5177,261426 6504,34426

2588,630713 3778,258798 4053,773619 5338,630613 6285,54369

2578,886808 3834,65072 4196,953261 5394,679228 6285,54369

2578,886808 3741,576674 4053,773619 5570,115951 6695,02536

2608,341099 3772,095244 4196,953261 5352,533297 6324,22396

2611,655383 3834,65072 4142,091127 5229,956199 6383,1453

2608,341099 3717,515087 4115,194431 5216,682198 6716,90453

2669,315307 3815,667301 4224,932949 5229,956199 6324,22396

2662,399982 3753,72465 4115,194431 5270,186631 6383,1453

2605,035217 3834,65072 4079,870874 5408,875753 6383,1453

2621,648962 3753,72465 4053,773619 5311,040791 6403,03049

2628,353946 3778,258798 4196,953261 5480,994096 6524,99297

2598,448528 3699,671015 4133,086581 5243,297924 6383,1453

2598,448528 3790,646532 4088,644789 5203,475408 6783,40853

2614,978099 3853,823974 4224,932949 5311,040791 6630,23479

2638,475977 3753,72465 4160,21844 5256,707893 6443,17488

2621,648962 3790,646532 4053,773619 5216,682198 6209,58546

2628,353946 3772,095244 4106,306322 5270,186631 6383,1453

2598,448528 3765,951766 4224,932949 5270,186631 6587,73329

2614,978099 3796,87091 4142,091127 5138,431965 6443,17488

2618,309282 3765,951766 4115,194431 5352,533297 6285,54369

2598,448528 3753,72465 4106,306322 5297,352541 6651,69186

2614,978099 3853,823974 4028,008108 5177,261426 6266,38045

2591,895064 3735,532123 4196,953261 5297,352541 6504,34426

2614,978099 3778,258798 4106,306322 5297,352541 6587,73329

2601,737704 3796,87091 4036,560142 5423,147193 6324,22396

2611,655383 3778,258798 4196,953261 5437,494143 6504,34426

2618,309282 3853,823974 4133,086581 5394,679228 6504,34426

2618,309282 3778,258798 3977,447337 5297,352541 6443,17488

2608,341099 3809,381193 4169,341726 5297,352541 6228,40238

2562,80896 3796,87091 4160,21844 5270,186631 6343,74317

2631,719316 3873,189923 4196,953261 5216,682198 6266,38045

128

2628,353946 3753,72465 4106,306322 5297,352541 6483,82582

2618,309282 3778,258798 4169,341726 5216,682198 6324,22396

2562,80896 3735,532123 4224,932949 5062,494547 6324,22396

2618,309282 3778,258798 4115,194431 5138,431965 6383,1453

2611,655383 3853,823974 4142,091127 5394,679228 6209,58546

2618,309282 3717,515087 4115,194431 5297,352541 6545,7732

Permeabilidad para muestras con dos tamaños de grano

k6

Granos de 1,5 x 10-3m de diámetro y 7,5 x 10-3m de diámetro

(Darcies)

Proporción 50-50 Proporción 70-30 Proporción 30-70

3336,64413 3391,70427 3058,59046 3914,99578

3288,59646 3176,77401 3031,52328 4062,00155

3133,19022 3133,19022 3031,52328 3983,28059

3211,51998 3133,19022 3058,59046 4062,00155

3386,11662 3147,58466 3031,52328 4030,14272

3288,59646 3221,58744 2923,71662 4038,06048

3272,8866 3171,87158 2991,809 4110,74557

3391,70427 3221,58744 2974,49028 4110,74557

3325,84593 3226,64488 2978,80114 3870,75854

3221,58744 3236,80754 3036,00116 3960,25585

3320,473 3272,8866 2987,46044 3892,75149

3241,91291 3272,8866 3004,93097 3914,99578

3272,8866 3236,80754 2987,46044 3914,99578

3196,53621 3133,19022 2978,80114 4053,98972

3181,69162 3236,80754 2936,24684 3991,01512

3342,06957 3236,80754 2974,49028 3983,28059

3278,10652 3320,473 2974,49028 3863,48268

3272,8866 3272,8866 2987,46044 4086,2282

3336,64413 3304,45786 3004,93097 4053,98972

3162,11198 3272,8866 3018,16856 3937,49576

3206,50981 3288,59646 2987,46044 3914,99578

3221,58744 3288,59646 2991,809 3914,99578

3231,71822 3241,91291 2923,71662 4062,00155

3162,11198 3288,59646 2907,17509 4062,00155

3257,32613 3283,34311 3004,93097 4062,00155

3358,45226 3236,80754 2961,63226 3863,48268

129

3288,59646 3236,80754 2991,809 4038,06048

3391,70427 3191,57265 3009,33058 4038,06048

3386,11662 3236,80754 2991,809 3937,49576

3272,8866 3236,80754 2970,19189 3983,28059

3288,59646 3262,49649 3009,33058 3967,90113

3369,46358 3288,59646 3013,74309 3967,90113

3358,45226 3196,53621 2936,24684 3960,25585

3358,45226 3283,34311 3044,99672 3967,90113

3272,8866 3176,77401 3013,74309 4014,39997

3272,8866 3288,59646 3004,93097 3967,90113

3336,64413 3231,71822 2987,46044 4014,39997

3262,49649 3325,84593 2987,46044 3991,01512

2903,06891 3983,28059

2957,37092 3991,01512

2923,71662 3870,75854

3004,93097 3937,49576

2953,12182 4006,57463

2953,12182 3991,01512

2961,63226 3937,49576

2978,80114 3841,81829

3018,16856 4006,57463

2936,24684 4014,39997

3018,16856 3937,49576

3018,16856 3892,75149

k7

Granos de 3,5 x 10-3m de diámetro y 6,0 x 10-3m de diámetro

(Darcies)

Proporción 50-50 Proporción 70-30 Proporción 30-70

3960,25585 4086,2282 3914,99578 4692,63193

4169,11316 4062,00155 3849,01271 4567,49508

3937,49576 4110,74557 3914,99578 4629,21799

4006,57463 4211,82948 3914,99578 4537,24677

4110,74557 4211,82948 3849,01271 4598,14941

3914,99578 3983,28059 3827,50984 4507,39646

4006,57463 4086,2282 3863,48268 4567,49508

4220,478 4135,55893 3914,99578 4410,67121

3960,25585 4169,11316 3937,49576 4598,14941

3945,05333 3937,49576 3937,49576 4477,93635

130

3983,28059 4246,63799 3870,75854 4537,24677

4110,74557 4135,55893 3960,25585 4468,20171

4211,82948 4135,55893 3841,81829 4527,25283

4160,67366 4110,74557 3937,49576 4547,28492

4110,74557 4030,14272 3914,99578 4439,25008

4110,74557 4038,06048 3914,99578 4477,93635

4006,57463 4211,82948 3892,75149 4439,25008

4014,39997 3967,90113 3863,48268 4692,63193

3960,25585 4086,2282 3960,25585 4567,49508

4062,00155 4086,2282 3878,06186 4703,37022

3983,28059 4038,06048 3937,49576 4735,882

4220,478 4086,2282 3878,06186 4768,84637

4062,00155 4038,06048 3914,99578 4660,70927

4186,09529 4110,74557 3960,25585 4724,99491

3983,28059 4078,12061 3983,28059 4724,99491

4086,2282 4078,12061 3960,25585 4735,882

3983,28059 4030,14272 3820,39551 4618,81525

3960,25585 3960,25585 3892,75149 4598,14941

4135,55893 4078,12061 3937,49576 4724,99491

4143,89675 4038,06048 3914,99578 4567,49508

3983,28059 4078,12061 3907,55283 4598,14941

3960,25585 4086,2282 3870,75854 4537,24677

4135,55893 4030,14272 3856,23412 4692,63193

4086,2282 4086,2282 3863,48268 4629,21799

4160,67366 4135,55893 3937,49576 4527,25283

4062,00155 4038,06048 3892,75149 4567,49508

4062,00155 4135,55893 3922,46715 4507,39646

3937,49576 4078,12061 3922,46715 4598,14941

3937,49576 4587,88568

3922,46715 4671,30179

3892,75149 4448,85884

3922,46715 4629,21799

3922,46715 4587,88568

3914,99578 4587,88568

3892,75149 4517,30283

3892,75149 4567,49508

3922,46715 4487,71351

3907,55283 4598,14941

3960,25585 4671,30179

3983,28059 4477,93635

131

Permeabilidad para muestras con tres, cuatro y cinco tamaños de grano

k8

33,3% 1,5x10-3m;

33,3% 4,0x10-3m;

33,3% 7,5x10-3m

(Darcies)

k9

33,3% 3,5x10-3m;

33,3% 4,0x10-3m;

33,3% 6,0x10-3m

(Darcies)

k10

25% 1,5x10-3m;

25% 3,5x10-3m;

25% 6,0x10-3m

25% 7,5x10-3m

(Darcies)

k11

25% 1,5x10-3m;

25% 4,0x10-3m;

25% 6,0x10-3m

25% 7,5x10-3m

(Darcies)

k12

20% 1,5x10-3m;

20% 3,5x10-3m;

20% 4,0x10-3m;

20% 6,0x10-3m;

20% 7,5 x 10-3m

(Darcies)

3884,9032 3932,47344 3737,04143 4006,57463 3561,75968

3830,83894 3981,22311 3863,48268 4006,57463 3459,44701

3712,73986 4135,00426 3856,23412 3799,21033 3465,66904

3808,12646 4056,65681 3771,32621 3820,39551 3548,64086

3853,82397 3997,74271 3870,75854 3960,25585 3422,57902

3785,6817 4082,44065 3757,53709 3841,81829 3568,35553

3670,30855 4117,33331 3820,39551 3870,75854 3588,29048

3830,83894 4006,05403 3960,25585 3820,39551 3581,62079

3719,90731 4031,19663 3820,39551 3841,81829 3581,62079

3712,73986 4031,19663 3967,90113 3785,21692 3542,11762

3741,57667 4031,19663 3757,53709 3945,05333 3447,06974

3734,32556 3973,01441 3834,65072 3892,75149 3561,75968

3908,54358 3900,63155 3690,07682 3937,49576 3608,44941

3691,40227 4022,78077 3870,75854 3892,75149 3601,70465

3628,83613 4143,89675 3806,2459 3937,49576 3529,14283

3670,30855 4006,05403 3960,25585 3806,2459 3548,64086

3561,75968 4056,65681 3841,81829 3967,90113 3522,69102

3649,45452 4006,05403 3849,01271 3827,50984 3608,44941

3800,61536 3924,46433 3820,39551 3778,2588 3503,47634

3588,29048 4143,89675 3764,41902 3820,39551 3588,29048

3622,01501 3981,22311 3778,2588 3914,99578 3601,70465

3763,49997 4056,65681 3937,49576 3806,2459 3601,70465

3628,83613 4056,65681 3960,25585 3856,23412 3568,35553

3756,16372 4082,44065 3849,01271 3856,23412 3522,69102

3608,44941 4031,19663 3892,75149 4006,57463 3490,78258

3719,90731 4135,00426 3863,48268 3856,23412 3555,18817

3712,73986 4031,19663 3764,41902 3914,99578 3516,26275

3628,83613 3973,01441 3892,75149 3870,75854 3459,44701

3808,12646 3964,83948 3716,76815 3914,99578 3561,75968

3853,82397 3997,74271 3690,07682 3952,63997 3503,47634

132

3561,75968 4006,05403 3792,20071 3914,99578 3490,78258

3649,45452 3981,22311 3929,96709 3856,23412 3516,26275

3830,83894 4006,05403 3799,21033 3929,96709 3588,29048

3884,9032 4031,19663 3914,99578 3991,01512 3574,97586

3830,83894 4031,19663 3945,05333 3885,39279 3608,44941

3741,57667 4031,19663 3827,50984 3967,90113 3568,35553

3734,32556 4082,44065 3785,21692 3914,99578 3561,75968

3908,54358 4117,33331 3737,04143 3878,06186 3561,75968

3691,40227 3932,47344 3820,39551 3937,49576 3622,01501

3756,16372 4108,55434 3885,39279 3914,99578 3542,11762

3670,30855 4082,44065 3813,30758 3960,25585 3601,70465

3642,55574 4056,65681 3785,21692 3937,49576 3568,35553

3763,49997 4056,65681 3778,2588 3870,75854 3581,62079

3800,61536 4022,78077 3820,39551 3967,90113 3484,47014

3588,29048 4006,05403 3885,39279 3885,39279 3529,14283

3670,30855 4014,39997 3737,04143 3937,49576 3548,64086

3712,73986 4056,65681 3737,04143 3863,48268 3601,70465

3628,83613 4082,44065 3799,21033 3960,25585 3484,47014

3649,45452 4006,05403 3799,21033 3922,46715 3568,35553

3785,6817 4056,65681 3863,48268 3914,99578 3581,62079

133

APÉNDICE C

Valores de porosidad obtenidos a partir del experimento 2

Muestra 1

1,5 x 10-3m de diámetro

Vmuestra (ml) Vagua (ml) Vfinal (ml) Vporos φ

200 150 275 75 0,375

205 150 275 80 0,3902439

205 150 273 82 0,4

205 150 275 80 0,3902439

205 150 275 80 0,3902439

200 150 275 75 0,375

200 150 275 75 0,375

205 150 275 80 0,3902439

205 150 273 82 0,4

205 150 275 80 0,3902439

205 150 273 82 0,4

200 150 275 75 0,375

205 150 275 80 0,3902439

205 150 275 80 0,3902439

205 150 275 80 0,3902439

200 150 275 75 0,375

205 150 273 82 0,4

205 150 273 82 0,4

205 150 275 80 0,3902439

205 150 275 80 0,3902439

205 150 275 80 0,3902439

205 150 275 80 0,3902439

205 150 275 80 0,3902439

205 150 275 80 0,3902439

205 150 275 80 0,3902439

200 150 274 76 0,38

205 150 275 80 0,3902439

205 150 275 80 0,3902439

201 150 274 77 0,38308458

205 150 275 80 0,3902439

200 150 275 75 0,375

200 150 275 75 0,375

205 150 275 80 0,3902439

134

201 150 274 77 0,38308458

205 150 275 80 0,3902439

205 150 272 83 0,40487805

200 150 274 76 0,38

205 150 275 80 0,3902439

205 150 272 83 0,40487805

206 150 276 80 0,38834951

200 150 275 75 0,375

203 150 275 78 0,38423645

205 150 273 82 0,4

205 150 275 80 0,3902439

205 150 274 81 0,39512195

205 150 273 82 0,4

203 150 275 78 0,38423645

205 150 275 80 0,3902439

205 150 276 79 0,38536585

206 150 274 82 0,39805825

Muestra 2



230 150 290 90 0,39130435

230 150 295 85 0,36956522

225 150 285 90 0,4

230 150 295 85 0,36956522

225 150 289 86 0,38222222

230 150 295 85 0,36956522

225 150 289 86 0,38222222

225 150 285 90 0,4

230 150 290 90 0,39130435

225 150 285 90 0,4

230 150 295 85 0,36956522

230 150 295 85 0,36956522

230 150 290 90 0,39130435

225 150 289 86 0,38222222

230 150 295 85 0,36956522

225 150 285 90 0,4

225 150 289 86 0,38222222

230 150 295 85 0,36956522

135

230 150 290 90 0,39130435

226 150 285 91 0,40265487

230 150 290 90 0,39130435

225 150 289 86 0,38222222

230 150 295 85 0,36956522

230 150 292 88 0,3826087

220 150 290 80 0,36363636

230 150 290 90 0,39130435

232 150 296 86 0,37068966

220 150 290 80 0,36363636

230 150 295 85 0,36956522

225 150 289 86 0,38222222

220 150 290 80 0,36363636

223 150 289 84 0,37668161

225 150 285 90 0,4

230 150 290 90 0,39130435

225 150 285 90 0,4

230 150 295 85 0,36956522

230 150 295 85 0,36956522

230 150 290 90 0,39130435

225 150 289 86 0,38222222

230 150 295 85 0,36956522

225 150 285 90 0,4

225 150 289 86 0,38222222

230 150 295 85 0,36956522

230 150 290 90 0,39130435

230 150 295 85 0,36956522

230 150 290 90 0,39130435

225 150 289 86 0,38222222

225 150 289 86 0,38222222

222 150 289 83 0,37387387

222 150 289 83 0,37387387

Muestra 3



200 150 275 75 0,375

200 150 273 77 0,385

136

200 150 275 75 0,375

205 150 275 80 0,3902439

200 150 273 77 0,385

200 150 275 75 0,375

200 150 275 75 0,375

205 150 275 80 0,3902439

200 150 273 77 0,385

200 150 275 75 0,375

205 150 275 80 0,3902439

200 150 273 77 0,385

205 150 275 80 0,3902439

200 150 273 77 0,385

200 150 275 75 0,375

200 150 275 75 0,375

200 150 273 77 0,385

205 150 275 80 0.,3902439

200 150 275 75 0,375

200 150 276 74 0,37

205 150 275 80 0,3902439

200 150 275 75 0,375

200 150 275 75 0,375

200 150 275 75 0,375

200 150 275 75 0,375

200 150 275 75 0,375

200 150 274 76 0,38

200 150 275 75 0,375

205 150 275 80 0,3902439

200 150 273 77 0,385

200 150 275 75 0,375

200 150 275 75 0,375

204 150 276 78 0,38235294

200 150 274 76 0,38

200 150 275 75 0,375

205 150 275 80 0,3902439

195 150 272 73 0,37435897

205 150 275 80 0,3902439

198 150 274 74 0,37373737

195 150 272 73 0,37435897

200 150 274 76 0,38

137

198 150 274 74 0,37373737

200 150 276 74 0,37

200 150 275 75 0,375

200 150 276 74 0,37

195 150 271 74 0,37948718

200 150 275 75 0,375

195 150 270 75 0,38461538

200 150 273 77 0,385

200 150 275 75 0,375

Muestra 4



210 150 283 77 0,36666667

220 150 290 80 0,36363636

215 150 285 80 0,37209302

215 150 280 85 0,39534884

210 150 280 80 0,38095238

210 150 280 80 0,38095238

210 150 282 78 0,37142857

215 150 280 85 0,39534884

220 150 290 80 0,36363636

215 150 280 85 0,39534884

215 150 285 80 0,37209302

210 150 280 80 0,38095238

220 150 290 80 0,36363636

210 150 283 77 0,36666667

215 150 280 85 0,39534884

215 150 285 80 0,37209302

210 150 280 80 0,38095238

215 150 285 80 0,37209302

220 150 280 90 0,40909091

210 150 283 77 0,36666667

215 150 285 80 0,37209302

220 150 290 80 0,36363636

210 150 282 78 0,37142857

210 150 280 80 0,38095238

213 150 283 80 0,37558685

138

215 150 281 84 0,39069767

224 150 290 84 0,375

215 150 285 80 0,37209302

215 150 280 85 0,39534884

212 150 280 82 0,38679245

213 150 283 80 0,37558685

210 150 282 78 0,37142857

215 150 283 82 0,38139535

224 150 290 84 0,375

210 150 279 81 0,38571429

215 150 285 80 0,37209302

210 150 279 81 0,38571429

224 150 290 84 0,375

210 150 279 81 0,38571429

215 150 284 81 0,37674419

215 150 285 80 0,37209302

213 150 283 80 0,37558685

215 150 285 80 0,37209302

220 150 285 85 0,38636364

210 150 283 77 0,36666667

215 150 285 80 0,37209302

224 150 290 84 0,375

210 150 282 78 0,37142857

210 150 280 80 0,38095238

213 150 283 80 0,37558685

Muestra 5



225 150 290 85 0,37777778

229 150 295 84 0,36681223

228 150 291 87 0,38157895

225 150 285 90 0,4

225 150 290 85 0,37777778

225 150 290 85 0,37777778

225 150 295 80 0,35555556

229 150 295 84 0,36681223

228 150 291 87 0,38157895

139

225 150 290 85 0,37777778

229 150 290 89 0,38864629

225 150 290 85 0,37777778

230 150 290 90 0,39130435

225 150 285 90 0,4

230 150 297 83 0,36086957

225 150 285 90 0,4

227 150 290 87 0,38325991

230 150 297 83 0,36086957

225 150 290 85 0,37777778

225 150 290 85 0,37777778

225 150 290 85 0,37777778

227 150 290 87 0,38325991

229 150 296 83 0,36244541

225 150 295 80 0,35555556

230 150 295 85 0,36956522

225 150 290 85 0,37777778

226 150 295 81 0,35840708

230 150 295 85 0,36956522

225 150 285 90 0,4

225 150 290 85 0,37777778

225 150 290 85 0,37777778

225 150 290 85 0,37777778

230 150 295 85 0,36956522

230 150 295 85 0,36956522

225 150 290 85 0,37777778

230 150 295 85 0,36956522

225 150 290 85 0,37777778

230 150 295 85 0,36956522

225 150 285 90 0,4

230 150 295 85 0,36956522

225 150 285 90 0,4

225 150 295 80 0,35555556

230 150 295 85 0,36956522

225 150 290 85 0,37777778

225 150 290 85 0,37777778

225 150 290 85 0,37777778

225 150 290 85 0,37777778

230 150 295 85 0,36956522

140

225 150 295 80 0,35555556

230 150 295 85 0,36956522

Muestra 6a

50% 1,5 x 10-3m de diámetro y 50% 7,5 x 10-3m de diámetro

Vmuestra (ml) Vagua (ml) Vfinal (ml) Vporos Φ

205 150 285 70 0,34146341

200 150 277 73 0,365

200 150 279 71 0,355

195 150 278 67 0,34358974

195 150 280 65 0,33333333

200 150 277 73 0,365

195 150 280 65 0,33333333

205 150 283 72 0,35121951

195 150 278 67 0,34358974

195 150 278 67 0,34358974

205 150 285 70 0,34146341

200 150 277 73 0,365

195 150 278 67 0,34358974

200 150 277 73 0,365

195 150 277 68 0,34871795

205 150 283 72 0,35121951

195 150 280 65 0,33333333

200 150 278 72 0,36

195 150 278 67 0,34358974

195 150 278 67 0,34358974

205 150 283 72 0,35121951

195 150 278 67 0,34358974

195 150 280 65 0,33333333

205 150 283 72 0,35121951

195 150 280 65 0,33333333

205 150 285 70 0,34146341

200 150 279 71 0,355

193 150 276 67 0,34715026

195 150 278 67 0,34358974

195 150 280 65 0,33333333

141

193 150 276 67 0,34715026

195 150 280 65 0,33333333

205 150 283 72 0,35121951

195 150 278 67 0,34358974

195 150 278 67 0,34358974

205 150 285 70 0,34146341

195 150 277 68 0,34871795

195 150 278 67 0,34358974

201 150 279 72 0,35820896

201 150 279 72 0,35820896

205 150 284 71 0,34634146

196 150 280 66 0,33673469

200 150 278 72 0,36

195 150 278 67 0,34358974

196 150 278 68 0,34693878

205 150 283 72 0,35121951

195 150 278 67 0,34358974

195 150 278 67 0,34358974

205 150 284 71 0,34634146

196 150 280 66 0,33673469

Muestra 6b



200 150 285 65 0,325

200 150 280 70 0,35

200 150 278 72 0,36

203 150 283 70 0,34482759

200 150 282 68 0,34

203 150 283 70 0,34482759

203 150 285 68 0,33497537

200 150 282 68 0,34

200 150 278 72 0,36

200 150 280 70 0,35

200 150 285 65 0,325

200 150 278 72 0,36

142

200 150 278 72 0,36

200 150 282 68 0,34

198 150 281 67 0,33838384

200 150 282 68 0,34

203 150 285 68 0,33497537

200 150 280 70 0,35

200 150 280 70 0,35

200 150 284 66 0,33

203 150 283 70 0,34482759

198 150 279 69 0,34848485

198 150 281 67 0,33838384

200 150 282 68 0,34

200 150 284 66 0,33

200 150 284 66 0,33

202 150 284 68 0,33663366

200 150 279 71 0,355

203 150 283 70 0,34482759

200 150 282 68 0,34

203 150 283 70 0,34482759

203 150 285 68 0,33497537

200 150 282 68 0,34

200 150 279 71 0,355

200 150 281 69 0,345

198 150 281 67 0,33838384

198 150 279 69 0,34848485

198 150 279 69 0,34848485

200 150 282 68 0,34

200 150 283 67 0,335

200 150 282 68 0,34

203 150 285 68 0,33497537

200 150 279 71 0,355

198 150 279 69 0,34848485

202 150 284 68 0,33663366

203 150 283 70 0,34482759

198 150 279 69 0,34848485

198 150 281 67 0,33838384

200 150 282 68 0,34

143

202 150 284 68 0,33663366

Muestra 6c



200 150 280 70 0,35

200 150 280 70 0,35

200 150 280 70 0,35

205 150 283 72 0,35121951

200 150 280 70 0,35

205 150 283 72 0,35121951

198 150 278 70 0,35353535

200 150 279 71 0,355

200 150 279 71 0,355

207 150 284 73 0,352657

195 150 276 69 0,35384615

205 150 283 72 0,35121951

195 150 276 69 0,35384615

195 150 276 69 0,35384615

205 150 283 72 0,35121951

205 150 283 72 0,35121951

200 150 280 70 0,35

205 150 283 72 0,35121951

205 150 283 72 0,35121951

200 150 279 71 0,355

200 150 279 71 0,355

200 150 280 70 0,35

205 150 283 72 0,35121951

200 150 280 70 0,35

203 150 282 71 0,34975369

203 150 282 71 0,34975369

207 150 284 73 0,352657

207 150 284 73 0,352657

207 150 284 73 0,352657

200 150 280 70 0,35

205 150 283 72 0,35121951

144

207 150 284 73 0,352657

199 150 279 70 0,35175879

199 150 279 70 0,35175879

200 150 280 70 0,35

200 150 280 70 0,35

199 150 279 70 0,35175879

207 150 284 73 0,352657

200 150 280 70 0,35

205 150 283 72 0,35121951

200 150 280 70 0,35

200 150 280 70 0,35

198 150 278 70 0,35353535

205 150 283 72 0,35121951

199 150 279 70 0,35175879

199 150 279 70 0,35175879

199 150 279 70 0,35175879

199 150 279 70 0,35175879

200 150 280 70 0,35

199 150 279 70 0,35175879

Muestra 7a



205 150 280 75 0,36585366

200 150 278 72 0,36

205 150 283 72 0,35121951

205 150 285 70 0,34146341

200 150 278 72 0,36

205 150 283 72 0,35121951

205 150 285 70 0,34146341

200 150 278 72 0,36

200 150 278 72 0,36

205 150 280 75 0,36585366

200 150 278 72 0,36

200 150 278 72 0,36

205 150 285 70 0,34146341

145

205 150 280 75 0,36585366

205 150 283 72 0,35121951

205 150 283 72 0,35121951

200 150 278 72 0,36

200 150 278 72 0,36

205 150 280 75 0,36585366

205 150 285 70 0,34146341

200 150 278 72 0,36

205 150 280 75 0,36585366

200 150 278 72 0,36

205 150 283 72 0,35121951

205 150 285 70 0,34146341

205 150 284 71 0,34634146

200 150 278 72 0,36

205 150 282 73 0,35609756

205 150 282 73 0,35609756

200 150 278 72 0,36

205 150 282 73 0,35609756

205 150 282 73 0,35609756

200 150 278 72 0,36

200 150 278 72 0,36

205 150 284 71 0,34634146

200 150 278 72 0,36

200 150 278 72 0,36

205 150 282 73 0,35609756

198 150 278 70 0,35353535

205 150 282 73 0,35609756

205 150 282 73 0,35609756

200 150 278 72 0,36

198 150 278 70 0,35353535

205 150 282 73 0,35609756

198 150 278 70 0,35353535

198 150 278 70 0,35353535

198 150 278 70 0,35353535

205 150 282 73 0,35609756

205 150 282 73 0,35609756

198 150 278 70 0,35353535

146

Muestra 7b



200 150 280 70 0,35

200 150 278 72 0,36

202 150 280 72 0,35643564

200 150 280 70 0,35

200 150 278 72 0,36

200 150 283 67 0,335

200 150 283 67 0,335

200 150 280 70 0,35

200 150 280 70 0,35

200 150 280 70 0,35

198 150 280 68 0,34343434

200 150 278 72 0,36

200 150 283 67 0,335

200 150 280 70 0,35

202 150 281 71 0,35148515

200 150 280 70 0,35

198 150 280 68 0,34343434

200 150 278 72 0,36

200 150 283 67 0,335

202 150 281 71 0,35148515

200 150 278 72 0,36

200 150 280 70 0,35

200 150 280 70 0,35

200 150 283 67 0,335

200 150 280 70 0,35

199 150 280 69 0,34673367

199 150 280 69 0,34673367

202 150 281 71 0,35148515

199 150 280 69 0,34673367

199 150 280 69 0,34673367

200 150 282 68 0,34

200 150 282 68 0,34

199 150 280 69 0,34673367

147

200 150 280 70 0,35

202 150 281 71 0,35148515

198 150 280 68 0,34343434

198 150 280 68 0,34343434

202 150 283 69 0,34158416

199 150 280 69 0,34673367

198 150 278 70 0,35353535

198 150 278 70 0,35353535

202 150 283 69 0,34158416

198 150 280 68 0,34343434

202 150 283 69 0,34158416

198 150 278 70 0,35353535

199 150 278 71 0,35678392

202 150 281 71 0,35148515

202 150 281 71 0,35148515

200 150 282 68 0,34

202 150 283 69 0,34158416

Muestra 7c



200 150 275 75 0,375

205 150 278 77 0,37560976

205 150 277 78 0,3804878

200 150 275 75 0,375

200 150 276 74 0,37

205 150 278 77 0,37560976

205 150 277 78 0,3804878

200 150 275 75 0,375

200 150 276 74 0,37

200 150 275 75 0,375

200 150 275 75 0,375

200 150 275 75 0,375

205 150 277 78 0,3804878

200 150 276 74 0,37

205 150 278 77 0,37560976

148

205 150 278 77 0,37560976

200 150 275 75 0,375

200 150 275 75 0,375

205 150 277 78 0,3804878

200 150 276 74 0,37

200 150 276 74 0,37

198 150 274 74 0,37373737

200 150 275 75 0,375

205 150 278 77 0,37560976

200 150 275 75 0,375

196 150 273 73 0,37244898

198 150 274 74 0,37373737

206 150 278 78 0,37864078

199 150 274 75 0,37688442

196 150 273 73 0,37244898

198 150 274 74 0,37373737

206 150 278 78 0,37864078

199 150 275 74 0,3718593

206 150 278 78 0,37864078

199 150 274 75 0,37688442

198 150 274 74 0,37373737

198 150 274 74 0,37373737

206 150 278 78 0,37864078

206 150 278 78 0,37864078

199 150 274 75 0,37688442

205 150 278 77 0,37560976

199 150 275 74 0,3718593

198 150 274 74 0,37373737

196 150 272 74 0,37755102

199 150 275 74 0,3718593

199 150 275 74 0,3718593

196 150 273 73 0,37244898

199 150 275 74 0,3718593

196 150 272 74 0,37755102

199 150 275 74 0,3718593

149

Muestra 8

33,3% 1,5 x 10-3m de diámetro; 33,3% 4,0 x 10-3m de diámetro y 33,3% 7,5 x 10-3m de diámetro


305 250 450 105 0,3442623

300 250 450 100 0,33333333

300 250 445 105 0,35

305 250 450 105 0,3442623

305 250 450 105 0,3442623

310 250 460 100 0,32258065

310 250 460 100 0,32258065

310 250 460 100 0,32258065

305 250 445 110 0,36065574

300 250 450 100 0,33333333

305 250 450 105 0,3442623

300 250 450 100 0,33333333

310 250 460 100 0,32258065

305 250 450 105 0,3442623

310 250 460 100 0,32258065

300 250 450 100 0,33333333

305 250 450 105 0,3442623

310 250 460 100 0,32258065

300 250 450 100 0,33333333

300 250 450 100 0,33333333

310 250 460 100 0,32258065

310 250 460 100 0,32258065

305 250 451 104 0,34098361

305 250 451 104 0,34098361

312 250 460 102 0,32692308

305 250 451 104 0,34098361

301 250 450 101 0,33554817

300 250 445 105 0,35

312 250 460 102 0,32692308

305 250 451 104 0,34098361

310 250 460 100 0,32258065

298 250 450 98 0,32885906

308 250 460 98 0,31818182

305 250 447 108 0,35409836

150

301 250 450 101 0,33554817

305 250 451 104 0,34098361

298 250 450 98 0,32885906

312 250 460 102 0,32692308

301 250 450 101 0,33554817

312 250 460 102 0,32692308

312 250 460 102 0,32692308

301 250 450 101 0,33554817

312 250 460 102 0,32692308

301 250 450 101 0,33554817

301 250 450 101 0,33554817

308 250 460 98 0,31818182

308 250 460 98 0,31818182

Muestra 9

33,3% 3,5 x 10-3m de diámetro; 33,3% 4,0 x 10-3m de diámetro y 33,3% 6,0 x 10-3m de diámetro


210 150 280 80 0,38095238

210 150 281 79 0,37619048

210 150 280 80 0,38095238

215 150 285 80 0,37209302

215 150 283 82 0,38139535

210 150 280 80 0,38095238

215 150 285 80 0,37209302

210 150 280 80 0,38095238

215 150 283 82 0,38139535

210 150 281 79 0,37619048

210 150 281 79 0,37619048

209 150 281 78 0,37320574

215 150 283 82 0,38139535

215 150 285 80 0,37209302

210 150 280 80 0,38095238

215 150 283 82 0,38139535

210 150 280 80 0,38095238

209 150 280 79 0,37799043

215 150 285 80 0,37209302

210 150 280 80 0,38095238

151

209 150 280 79 0,37799043

210 150 280 80 0,38095238

215 150 285 80 0,37209302

210 150 281 79 0,37619048

215 150 283 82 0,38139535

211 150 281 80 0,37914692

211 150 281 80 0,37914692

211 150 281 80 0,37914692

211 150 281 80 0,37914692

211 150 281 80 0,37914692

214 150 283 81 0,37850467

211 150 281 80 0,37914692

208 150 280 78 0,375

213 150 282 81 0,38028169

208 150 280 78 0,375

209 150 281 78 0,37320574

208 150 280 78 0,375

213 150 282 81 0,38028169

213 150 282 81 0,38028169

213 150 282 81 0,38028169

213 150 282 81 0,38028169

210 150 280 80 0,38095238

213 150 282 81 0,38028169

209 150 280 79 0,37799043

209 150 281 78 0,37320574

217 150 285 82 0,37788018

213 150 282 81 0,38028169

209 150 280 79 0,37799043

209 150 280 79 0,37799043

213 150 282 81 0,38028169

Muestra 10

25% 1,5 x 10-3m de diámetro; 25% 3,5 x 10-3m de diámetro; 25% 6,0 x 10-3m de diámetro y 25% 7,5 x 10-

3m de diámetro


295 250 450 95 0,3220339

152

300 250 450 100 0,33333333

290 250 450 90 0,31034483

295 250 435 110 0,37288136

295 250 440 105 0,3559322

295 250 440 105 0,3559322

295 250 445 100 0,33898305

290 250 435 105 0,36206897

290 250 445 95 0,32758621

295 250 445 100 0,33898305

300 250 450 100 0,33333333

290 250 435 105 0,36206897

295 250 440 105 0,3559322

295 250 435 110 0,37288136

290 250 450 90 0,31034483

295 250 440 105 0,3559322

290 250 445 95 0,32758621

295 250 435 110 0,37288136

295 250 450 95 0,3220339

295 250 445 100 0,33898305

300 250 450 100 0,33333333

290 250 445 95 0,32758621

295 250 440 105 0,3559322

295 250 440 105 0,3559322

295 250 445 100 0,33898305

295 250 450 95 0,3220339

300 250 450 100 0,33333333

294 250 440 104 0,3537415

294 250 440 104 0,3537415

295 250 440 105 0,3559322

295 250 440 105 0,3559322

297 250 445 102 0,34343434

290 250 435 105 0,36206897

290 250 445 95 0,32758621

295 250 445 100 0,33898305

300 250 450 100 0,33333333

290 250 435 105 0,36206897

295 250 440 105 0,3559322

153

297 250 445 102 0,34343434

294 250 440 104 0,3537415

294 250 440 104 0,3537415

294 250 440 104 0,3537415

297 250 445 102 0,34343434

295 250 450 95 0,3220339

295 250 445 100 0,33898305

297 250 445 102 0,34343434

297 250 445 102 0,34343434

294 250 440 104 0,3537415

294 250 440 104 0,3537415

297 250 445 102 0,34343434

Muestra 11

25% 1,5 x 10-3m de diámetro; 25% 4,0 x 10-3m de diámetro; 25% 6,0 x 10-3m de diámetro y 25% 7,5 x 10-

3m de diámetro


295 250 440 105 0,3559322

290 250 435 105 0,36206897

295 250 445 100 0,33898305

290 250 440 100 0,34482759

290 250 440 100 0,34482759

290 250 440 100 0,34482759

295 250 435 110 0,37288136

295 250 440 105 0,3559322

290 250 440 100 0,34482759

295 250 445 100 0,33898305

295 250 445 100 0,33898305

295 250 435 110 0,37288136

295 250 445 100 0,33898305

290 250 440 100 0,34482759

295 250 440 105 0,3559322

290 250 440 100 0,34482759

290 250 435 105 0,36206897

295 250 440 105 0,3559322

290 250 440 100 0,34482759

290 250 440 100 0,34482759

154

295 250 445 100 0,33898305

295 250 440 105 0,3559322

290 250 440 100 0,34482759

295 250 435 110 0,37288136

290 250 440 100 0,34482759

295 250 442 103 0,34915254

290 250 436 104 0,35862069

295 250 442 103 0,34915254

295 250 442 103 0,34915254

293 250 440 103 0,35153584

293 250 440 103 0,35153584

296 250 438 108 0,36486486

293 250 440 103 0,35153584

295 250 442 103 0,34915254

295 250 442 103 0,34915254

296 250 438 108 0,36486486

295 250 436 109 0,36949153

295 250 442 103 0,34915254

295 250 442 103 0,34915254

295 250 442 103 0,34915254

293 250 440 103 0,35153584

290 250 435 105 0,36206897

293 250 440 103 0,35153584

290 250 436 104 0,35862069

290 250 440 100 0,34482759

295 250 445 100 0,33898305

293 250 440 103 0,35153584

290 250 436 104 0,35862069

295 250 436 109 0,36949153

290 250 440 100 0,34482759

Muestra 12

20% 1,5 x 10-3m de diámetro; 20% 3,5 x 10-3m de diámetro ; 20% 4,0 x 10-3m de diámetro; 20% 6,0 x 10-

3m de diámetro y 20% 7,5 x 10-3m de diámetro


300 250 451 99 0,33

295 250 460 85 0,28813559

155

305 250 470 85 0,27868852

295 250 460 85 0,28813559

300 250 460 90 0,3

300 250 460 90 0,3

300 250 455 95 0,31666667

305 250 465 90 0,29508197

300 250 460 90 0,3

295 250 450 95 0,3220339

300 250 451 99 0,33

295 250 455 90 0,30508475

295 250 460 85 0,28813559

295 250 455 90 0,30508475

295 250 455 90 0,30508475

295 250 455 90 0,30508475

305 250 465 90 0,29508197

300 250 455 95 0,31666667

295 250 455 90 0,30508475

305 250 470 85 0,27868852

300 250 450 100 0,33333333

295 250 455 90 0,30508475

295 250 443 102 0,34576271

295 250 440 105 0,3559322

295 250 455 90 0,30508475

300 250 451 99 0,33

295 250 443 102 0,34576271

305 250 470 85 0,27868852

295 250 460 85 0,28813559

300 250 460 90 0,3

300 250 460 90 0,3

300 250 455 95 0,31666667

305 250 465 90 0,29508197

300 250 460 90 0,3

295 250 450 95 0,3220339

300 250 450 100 0,33333333

295 250 460 85 0,28813559

295 250 460 85 0,28813559

295 250 460 85 0,28813559

156

300 250 460 90 0,3

300 250 460 90 0,3

305 250 465 90 0,29508197

300 250 455 95 0,31666667

300 250 460 90 0,3

305 250 470 85 0,27868852

300 250 450 100 0,33333333

305 250 465 90 0,29508197

300 250 440 110 0,36666667

300 250 440 110 0,36666667

295 250 460 85 0,28813559

157

APÉNDICE D

Programa utilizado en la determinación de la porosidad óptica

%Programa:Calculo_porosidad %Numero de imagenes a analizar. NUM_FOTOS=250; porosidad=[]; for i=101:NUM_FOTOS; %Lectura de imagenes. disp(i); foto1=imread(num2str(i), 'jpg' ); %Los nombres de las imagenes

corresponden a numeros del 1 a NUM_FOTOS.

level=graythresh(foto1); %Calcula el nivel entre blancos y

negros, que no siempre sera de 50% fotobw=im2bw(foto1,level); %Conversion de la imagen de RGB a

blanco y negro usando el nivel calculado anteriormente

clear foto1 ; x=length(fotobw(:,1)); y=length(fotobw(1,:)); %Dimensiones de la imagen matriz_unos=ones(x,y); %Creacion de una matriz de unos del

mismo tamaño que la matriz original negativo=matriz_unos-fotobw; % El comando bwareaopen elimina los

pixeles blancos, no los negros. % Se crea un negativo de la imagen

para borrar las imperfecciones sobre las esferas

fotobw=bwareaopen(negativo,60000); % Elimina los puntos negros que

quedan sobre las esferas para que la topografía del arreglo se lea correctamente

foto=matriz_unos-fotobw; % Devuelve el negativo, editando la

imagen en blanco y negro vol_poro=0; correccion=0; for m=1:y;

158

cond=1; for n=1:x; pixel=foto(n,m); if pixel==1; vol_poro=vol_poro+1; %Conteo del numero de pixeles

blancos en la imagen end if (pixel==0) %Recorrido de la matriz para contar

los pixeles blancos sobre las esferas

cond=0; else if (cond~=0) contcorr=1; correccion=correccion+contcorr;

correccion=corrección*2; %Correccion=Numero de pixeles blancos sobre y bajo las esferas

end end end end vol_total=x*y; % Calculo del volumen total en

funcion del numero de pixeles de la imagen.

vol_poro_corr=vol_poro-correccion; % Calculo del area ocupada por los

poros, sin la parte superior del arreglo.

vol_real=vol_total-correccion; % Calculo del area real del arreglo

sin la parte superior. porosidad(i,1)=vol_poro_corr/vol_real; %Calculo de la porosidad end

159

APÉNDICE E

Valores de porosidad óptica obtenidos a partir del experimento 3

Porosidad óptica

muestra 1

(1,5mm)

(%)

Porosidad óptica

muestra 2

(3,5mm)

(%)

Porosidad óptica

muestra 3

(4,0mm)

(%)

Porosidad óptica

muestra 4

(6,0mm)

(%)

Porosidad óptica

muestra 5

(7,5mm)

(%)

36,64 37,81 36,75 41,92 38,14

39,26 35.,89 37,53 41,29 39,33

35,90 39,48 3425 39,66 33,93

37,08 33,09 36,74 38,48 33,51

35,23 41,83 42,12 38,23 39,66

35,99 40,84 41,82 36,21 38,73

35,65 40,04 39,77 35,35 37,53

3,33 36,94 36,18 35,27 36,80

35,26 38,78 39,82 39,70 32,42

36,31 36,15 41,63 35,23 36,02

39,39 43,62 42,84 42,66 38,58

39,32 37,93 37,63 34,29 39,07

36,60 36,41 43,88 36,98 40,38

37,67 40,09 36,91 35,44 39,45

37,59 41,64 44,91 38,86 36,96

33,65 43,60 34,79 36,96 42,20

33,57 37,85 39,65 37,16 40,087

35,89 38,98 35,88 38,51 39,67

41,21 39,87 41,17 39,70 39,63

41,29 38,02 40,76 36,91 35,69

40,32 40,99 35,77 36,78 38,38

33,71 37,23 39,99 37,06 40,72

36,61 38,21 39,93 39,04 40,92

35,14 37,80 42,08 36,47 39,48

40,90 39,78 37,09 33,12 35,15

38,71 38,43 41,83 35,13 33,08

40,73 36,98 37,63 33,38 34,73

46,11 40,96 37,24 35,64 39,95

39,89 35,79 36,08 37,75 34,83

34,78 37,30 40,06 38,22 39,11

160

40,72 35,64 37,06 39,95 33,80

41,89 37,21 35,84 39,54 34,75

35,00 38,84 37,46 38,74 38,49

38,50 40,18 37,14 38,71 37,68

44,70 34,10 34,75 41,82 36,75

37,24 39,41 39,70 35,62 34,90

39,59 39,45 34,68 37,34 33,44

41,68 35,39 37,25 35,22 34,04

45,80 40,75 32,26 36,56 36,55

37,39 35,68 35,18 39,50 38,95

42,60 37,43 33,26 39,01 38,61

37,67 35,59 33,54 34,82 37,03

37,86 38,41 34,20 35,99 39,02

44,25 33,18 36,25 37,55 37,17

41,30 39,32 37,30 38,12 35,99

44,49 34,43 35,64 34,56 40,35

39,89 34,86 38,51 36,80 44,58

39,04 34,02 38,27 42,73 37,05

40,52 42,14 39,57 42,01 35,87

43,05 36,19 37,31 38,23 37,56

Análisis de las relaciones porosidad y permeabilidad en sedimentos ...

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