Análisis de La Respuesta Sísmica No Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

UNIDAD PROFESIONAL ADOLFO LÓPEZ MATEOS

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

ANÁLISIS DE LA RESPUESTA SÍSMICA

NO LINEAL DE PUENTES URBANOS

TIPO PÉNDULO INVERTIDO

T E S I S PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN INGENIERÍA CIVIL

P R E S E N T A:

ALBERT RICHARD MIRANDA SIVILA

DIRECTORES:

DR. HÉCTOR AURELIANO SÁNCHEZ SÁNCHEZ

DR. ESTEBAN FLORES MÉNDEZ

MÉXICO D.F. 2014

“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”

v

AGRADECIMIENTOS

Agradezco principalmente a Dios, por guiarme en un camino de rectitud e integridad

en todas las áreas de mi vida, siendo una de ellas la vida académica. Dios me cuidó

y me guardó hasta hoy y estoy seguro que lo hará por siempre; y reconozco

enfáticamente que por su amor y su bendición, ahora soy lo que soy.

Agradezco al Instituto Politécnico Nacional por recibirme y permitirme ser parte de

esta prestigiosa institución.

Agradezco al CONACyT por aceptarme como becario y brindarme un gran apoyo

durante mi estancia como estudiante.

Agradezco a todos mis profesores de Maestría de la SEPI ESIA U.Z., por todos los

valiosos conocimientos recibidos durante estos años de estudio y en especial por su

generosa amistad.

Agradezco al Dr. Héctor Sánchez y al Dr. Esteban Flores por su dirección en la

elaboración de la presente tesis, y por el invaluable legado de conocimientos que me

dejaron a lo largo de estos años.

Agradezco al Dr. Jorge L. Alamilla por transmitirme un enfoque diferente de la

percepción de la ingeniería estructural, por su tiempo y por sus constantes aportes

incondicionales a este trabajo.

Agradezco a mi fiel esposa y compañera Lithz. Su amor, compañía y apoyo en las

etapas más duras de mi vida, fueron el aliento para seguir hasta el final.

Agradezco a mis padres y toda mi familia, que aunque estuvieron lejos de mí, su

enorme amor atravesó fronteras para llegar aquí.


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RESUMEN

El presente trabajo de tesis se enfoca al estudio de la respuesta sísmica de

estructuras de puente actuales tipo péndulo invertido, tomando en cuenta los efectos

de inercia rotacional de la superestructura.

Trabajos realizados en el pasado muestran que la respuesta estructural, en términos

de desplazamientos y elementos mecánicos, aumenta al considerar los efectos de

inercia rotacional, sin embargo, los análisis fueron realizados para determinado

número de sismos, que no reflejan necesariamente todos los escenarios a los que

puede estar sujeta una estructura.

Por otro lado, actualmente se ha buscado reducir la masa traslacional y sobre todo la

rotacional de la superestructura, utilizando elementos prefabricados y presforzados,

con enormes volados de tabletas esbeltas y con concretos de altas resistencias a

compresión. Todas estas características deben tomarse en cuenta para poder

concluir algo sobre el efecto de la inercia rotacional en puentes urbanos actuales tipo

péndulo invertido.

En la primera parte de este trabajo se muestran dos casos completos de análisis de

una estructura existente ante el sismo de México del 19 de septiembre de 1985

registrado en Ciudad Universitaria, donde se observa que considerar el efecto de la

inercia rotacional no siempre incrementa la respuesta estructural, sino que está en

función de las características dinámicas propias de la estructura y del contenido

frecuencial de la señal sísmica a la que está sometida. En la segunda parte se

realiza un análisis de tasas de excedencia de la estructura en estudio, con la

finalidad de obtener resultados generales probabilistas de la respuesta estructural en

términos de distorsiones de entrepiso, que contemplen la naturaleza aleatoria de las

solicitaciones sísmicas.

Dado el nivel de carga al que estará sometida la estructura en estudio, se propone un

modelo no lineal de material en base a rótulas o articulaciones plásticas localizadas

en las secciones donde se espera que se dañe la estructura.


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ABSTRACT

This thesis focuses on the study of the seismic response of modern bridge structures

type inverted pendulum, taking into account the effects of rotary inertia of the

superstructure.

Works done in the past show that the structural response in terms of displacement

and mechanical elements increases when considering the effects of rotary inertia,

however, analyzes were conducted for number of earthquakes, which are not

necessarily all scenarios to which may be subject the structure .

On the other hand, currently has sought to reduce the translational mass and

especially the curl of the superstructure, using precast prestressed elements with

huge ruffles slim tablets and concrete of high compressive strengths. All these

features should be taken into account in order to conclude anything about the effect

of rotational inertia in modern urban bridges type inverted pendulum.

The first part of this work, shows two complete analysis of an existing structure

subjected to the Mexico’s earthquake of September 19 in 1985, recorded at Ciudad

Universitaria in México. These results show that considering the effect of the rotary

inertia not always increase the structural response, it is in accordance with the

specific dynamic characteristics of the structure and the frequency content of the

seismic signal to which it is subjected. The second part of this work proposes and

performs an analysis of exceedance rates of the structure under study, in order to

obtain general results of the probabilistic structural response in terms of drifts that

consider the random nature of the seismic action.

Since the load level that is subject to the structure under study, a nonlinear model of

material is proposed, based on plastic hinges located at the sections, which are

expected to suffer damage.


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CONTENIDO GENERAL

CAPÍTULO 1............................................................................................................... 1

1 INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS DE PUENTES URBANOS ............... 1

1.1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................. 2

1.1.1 RESEÑA HISTÓRICA DE PUENTES EN EL MUNDO .............................. 3

1.1.2 LOS PUENTES URBANOS EN MÉXICO .................................................. 4

1.2 OBJETIVO ....................................................................................................... 4

1.3 METAS ............................................................................................................. 5

1.4 JUSTIFICACIÓN .............................................................................................. 5

1.5 ALCANCES ...................................................................................................... 6

CAPÍTULO 2............................................................................................................... 7

2 CARACTERÍSTICAS DE ESTRUCTURAS DE PUENTES .................................. 7

2.1 ANTECEDENTES ............................................................................................ 8

2.2 CONFIGURACIÓN ESTRUCTURAL .............................................................. 10

2.3 MODELACIÓN Y ANÁLISIS ESTRUCTURAL ................................................ 13

2.3.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................... 13

2.3.2 TÉCNICAS DE MODELACIÓN ESTRUCTURAL .................................... 14

2.3.3 TÉCNICAS DE ANÁLISIS ESTRUCTURAL ............................................ 16

2.4 COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PUENTES ........................................... 16

2.4.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................... 16

2.4.2 FORMULACIÓN DINÁMICA DEL PROBLEMA SÍSMICO ....................... 16


xii

2.4.3 RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DINÁMICO ......................................... 22

2.4.4 CARACTERÍSTICAS DE LA RESPUESTA DINÁMICA DE PUENTES ... 24

2.5 COMPORTAMIENTO NO LINEAL EN ESTRUCTURAS DE PUENTES ........ 25

2.5.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................... 25

2.5.2 REPRESENTACIÓN DEL COMPORTAMIENTO NO LINEAL ................ 26

2.5.3 REGLAS DE HISTÉRESIS ..................................................................... 28

2.6 CONCRETO PARCIALMENTE PRESFORZADO .......................................... 29

2.6.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................... 29

2.6.2 DEFINICIÓN ........................................................................................... 30

2.6.3 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL PRESFUERZO PARCIAL .............. 30

2.6.4 ÍNDICES DE PRESFUERZO PARCIAL .................................................. 31

2.6.5 COMPORTAMIENTO BAJO CARGAS ESTÁTICAS Y REVERSIBLES . 32

2.6.6 DUCTILIDAD Y DISIPACIÓN DE ENERGÍA .......................................... 34

2.6.7 CARACTERÍSTICAS A FLEXIÓN Y FLEXOCOMPRESIÓN .................. 38

2.7 CARACTERIZACIÓN SÍSMICA ..................................................................... 39

2.7.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................... 39

2.7.2 INTENSIDAD SÍSMICA .......................................................................... 40

2.7.3 TASAS DE EXCEDENCIA DE INTENSIDADES ..................................... 41

CAPÍTULO 3 ............................................................................................................ 43

3 MODELACIÓN Y ANÁLISIS DE PUENTE TIPO PÉNDULO INVERTIDO ........ 43

3.1 INTRODUCCIÓN ........................................................................................... 44

3.2 DESCRIPCIÓN DE LA ESTRUCTURA EN ESTUDIO ................................... 44

3.2.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................... 44

3.2.2 UBICACIÓN ........................................................................................... 45

3.2.3 ESTRUCTURACIÓN .............................................................................. 46

3.2.4 MATERIALES ......................................................................................... 47

3.3 MODELACIÓN NUMÉRICA ........................................................................... 51

3.3.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................... 51

3.3.2 GEOMETRÍA .......................................................................................... 51

3.3.3 NIVEL DE DISCRETIZACIÓN ................................................................ 54

3.4 TÉCNICA DE ANÁLISIS ................................................................................ 55


xiii

3.4.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................... 55

3.4.2 MÉTODO DE ANÁLISIS .......................................................................... 55

3.4.3 COMPORTAMIENTO NO LINEAL (MATERIAL) ..................................... 55

3.5 SIMULACIÓN DE SISMOS ............................................................................ 58

3.5.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................... 58

3.5.2 MÉTODO DE LA FUNCIÓN DE GREEN EMPÍRICA ............................... 58

3.5.3 METODOLOGÍA DE SIMULACIÓN UTILIZADA ...................................... 59

3.5.4 TASA DE EXCEDENCIA DE INTENSIDADES DE C.U. .......................... 60

3.5.5 SISMOS SEMILLA O FUNCIONES DE GREEN ..................................... 61

CAPÍTULO 4............................................................................................................. 63

4 ANÁLISIS DE LA RESPUESTA SÍSMICA ........................................................ 63

4.1 INTRODUCCIÓN ........................................................................................... 64

4.2 ANÁLISIS DE LA RESPUESTA MODELO DE FLUENCIA ............................. 64

4.2.1 PERIODOS DE VIBRACIÓN ................................................................... 64

4.2.2 HISTORIAS DE CORTANTE Y DE MOMENTOS .................................... 66

4.2.3 HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS ...................................................... 68

4.2.4 RELACIONES CORTANTE DESPLAZAMIENTO .................................... 69

4.3 ANÁLISIS DE LA RESPUESTA CON MODELO DE AGRIETAMIENTO ........ 70

4.3.1 PERIODOS DE VIBRACIÓN ................................................................... 71

4.3.2 HISTORIAS DE CORTANTE ................................................................... 72

4.3.3 HISTORIAS DE MOMENTOS ................................................................. 73

4.3.4 HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS ...................................................... 74

4.3.5 RELACIONES CORTANTE DESPLAZAMIENTO .................................... 75

4.4 TASA DE EXCEDENCIA DE DISTORCIONES DE ENTREPISO ................... 76

4.4.1 RELACIÓN CON LA TASA DE EXCEDENCIA DE INTENSIDADES ....... 77

4.4.2 METODOLOGÍA DE CÁLCULO .............................................................. 78

4.4.3 RESULTADOS SIN INERCIA ROTACIONAL .......................................... 79

4.4.4 RESULTADOS CON INERCIA ROTACIONAL ........................................ 80

4.4.5 COMPARATIVA DE RESULTADOS ....................................................... 81


xiv

CONCLUSIONES .................................................................................................... 83

RECOMENDACIONES ............................................................................................ 85

REFERENCIAS ....................................................................................................... 87

ANEXO 1 ................................................................................................................. 91

ANEXO 2 ................................................................................................................. 95

ANEXO 3 ................................................................................................................. 99


xv

LISTA DE FIGURAS

Figura 2-1 Columnas de puentes tipo péndulo invertido ............................................................ 8

Figura 2-2 Modelos analíticos con y sin base flexible (Sánchez, H., 1997)............................... 8

Figura 2-3 Marco típico viaducto San Antonio (Cruz, M., 2008) ................................................ 9

Figura 2-4 Modelación de un marco típico viaducto San Antonio (Cruz, M., 2008) ................ 10

Figura 2-5 Configuración estructural de un puente tipo péndulo invertido .............................. 11

Figura 2-6 Estructuración longitudinal ...................................................................................... 11

Figura 2-7 Marco formado por columnas y trabe TA ................................................................ 12

Figura 2-8 Estructura colapsada, sismo de Kobe en Japón 1995 ........................................... 12

Figura 2-9 Aplicaciones actuales del MEF (Método de los Elementos Finitos) ....................... 13

Figura 2-10 Servidor de alto desempeño y supercómputo ...................................................... 13

Figura 2-11 Diferentes niveles de modelación estructural ....................................................... 14

Figura 2-12 Niveles de discretización de secciones variables ................................................. 15

Figura 2-13 Esquema de formulación de masas concentradas ............................................... 18

Figura 2-14 Esquema de formulación de masas consistentes................................................. 18

Figura 2-15 Elemento típico viga-columna con extremos rígidos ............................................ 19

Figura 2-16 Energía de disipación para relación de amortiguamiento..................................... 20

Figura 2-17 Curva de amortiguamiento de Rayleigh ................................................................ 21

Figura 2-18 Articulación plástica ............................................................................................... 26

Figura 2-19 Modelo de un componente de Giberson ............................................................... 27

Figura 2-20 Planteamiento geométrico de la rotación plástica en una rótula .......................... 27

Figura 2-21 Modelo bi-lineal ...................................................................................................... 28

Figura 2-22 Modelo de Ramberg-Osgood ................................................................................ 28

Figura 2-23 Modelo de Takeda modificado .............................................................................. 29

Figura 2-24 Definiciones del punto de fluencia (Naaman, A. E.; Harajli, M. H.; and Wight, J.

K., 1986) .................................................................................................................................... 33

Figura 2-25 Ductilidad de curvatura en función del índice de refuerzo .................................... 34

Figura 2-26 Rotación plástica en función del índice de refuerzo ............................................. 35

Figura 2-27 Idealización de Relaciones Momento-Curvatura para elementos parcialmente

presforzados (ACI - ASCE Committee 423, 1999) ................................................................... 36

Figura 2-28 Comparación de Relaciones Momento-Curvatura idealizadas y experimentales

de secciones presforzadas ........................................................................................................ 37


xvi

Figura 2-29 Comparación de Relaciones Momento-Curvatura idealizadas y experimentales

de secciones parcialmente presforzadas ................................................................................. 37

Figura 2-30 Relaciones Momento-Curvatura de un elemento presforzado excéntricamente . 38

Figura 2-31 Comparativa de diagramas de interacción de secciones presforsadas y no

presforzadas .............................................................................................................................. 39

Figura 2-32 Sismo de Haití 2010 (MS=7.0) .............................................................................. 40

Figura 2-33 Tasa de excedencia de Magnitudes sísmicas ...................................................... 41

Figura 3-1 Trayecto de la Autopista Urbana Sur ...................................................................... 45

Figura 3-2 Ubicación del tramo en estudio ............................................................................... 45

Figura 3-3 Comparación de diferentes modelos de concreto .................................................. 48

Figura 3-4 Modelo de Bing et al. para concreto confinado y no confinado.............................. 49

Figura 3-5 Modelo de Kent y Park para el acero de refuerzo .................................................. 50

Figura 3-6 Modelo de Menegotto y Pinto para el acero de presfuerzo .................................... 50

Figura 3-7 Vista frontal y lateral de una columna tipo .............................................................. 51

Figura 3-8 Detalle del refuerzo de la columna en elevación .................................................... 52

Figura 3-9 Sección transversal de base y superior .................................................................. 52

Figura 3-10 Geometría de sección central de trabe presforzada ............................................ 53

Figura 3-11 Refuerzo de sección central de trabe presforzada ............................................... 53

Figura 3-12 Consideración de núcleo confinado y recubrimiento ............................................ 56

Figura 3-13 Relación Momento-Curvatura Bi-Lineal ................................................................ 57

Figura 3-14 Relación Momento-Curvatura Tri-Lineal ............................................................... 57

Figura 3-15 Fuentes sísmicas (Zúñiga, R.; Suárez, G.; Ordáz, M. and García, V., 1997) ...... 59

Figura 3-16 Localización de los sismos registrados en C.U. ................................................... 59

Figura 3-17 Función de tasas de excedencia de intensidades (Esc. Lineal) .......................... 60

Figura 3-18 Función de tasas de excedencia de intensidades (Esc. Log.) ............................. 61

Figura 3-19 Acelerograma y espectro de respuesta, semilla NAM (MS=6.0) ......................... 61

Figura 3-20 Acelerograma y espectro de respuesta, semilla SUB2 (MS=5.9) ........................ 62

Figura 3-21 Acelerograma y espectro de respuesta, semilla SUB3 (MS=6.6) ........................ 62

Figura 4-1 Historia de cortantes sin inercia rotacional ............................................................. 66

Figura 4-2 Historia de cortantes con inercia rotacional ............................................................ 66

Figura 4-3 Historia de momentos en la base y la cabeza, modelo de fluencia sin inercia

rotacional ................................................................................................................................... 67

Figura 4-4 Relación momento cabeza entre momento en la base modelo de fluencia sin

inercia rotacional ....................................................................................................................... 67


xvii

Figura 4-5 Historia de momentos en la base y la cabeza modelo de fluencia con inercia

rotacional ................................................................................................................................... 68

Figura 4-6 Relación momento cabeza entre momento en la base modelo de fluencia con


Figura 4-7 Historia de desplazamientos en la cabeza modelo de fluencia sin inercia rotacional

................................................................................................................................................... 69

Figura 4-8 Historia de desplazamientos en la cabeza modelo de fluencia con inercia

rotacional ................................................................................................................................... 69

Figura 4-9 Relación cortante vs desplazamiento modelo de fluencia sin inercia rotacional ... 70

Figura 4-10 Relación cortante vs desplazamiento modelo de fluencia con inercia rotacional 70

Figura 4-11Historia de cortantes modelo de agrietamiento sin inercia rotacional ................... 72

Figura 4-12Historia de cortantes modelo de agrietamiento con inercia rotacional .................. 72

Figura 4-13Historia de momentos en la base y la cabeza modelo de agrietamiento sin inercia

rotacional ................................................................................................................................... 73

Figura 4-14 Relación momento cabeza entre momento en la base modelo de agrietamiento

sin inercia rotacional .................................................................................................................. 73

Figura 4-15 Historia de momentos en la base y la cabeza modelo de agrietamiento con


Figura 4-16 Relación momento cabeza entre momento en la base modelo de agrietamiento

con inercia rotacional................................................................................................................. 74

Figura 4-17 Historia de desplazamientos en la cabeza modelo TL sin inercia rotacional ....... 75

Figura 4-18 Historia de desplazamientos en la cabeza modelo TL con inercia rotacional...... 75

Figura 4-19 Relación cortante vs desplazamiento modelo de agrietamiento sin inercia

rotacional ................................................................................................................................... 76

Figura 4-20 Relación cortante vs desplazamiento modelo de agrietamiento con inercia

rotacional ................................................................................................................................... 76

Figura 4-21 Tasa de excedencia de intensidades C.U. (Esc. Log.) ......................................... 77

Figura 4-22 Ajuste de sin cabeceo a una función Log-normal ................................. 79

Figura 4-23 Función de densidad de probabilidad y función de distribución

acumulada sin cabeceo ........................................................................................... 79

Figura 4-24 Tasa de excedencia de distorsiones de entrepiso sin cabeceo ........................... 80

Figura 4-25 Ajuste de con cabeceo a una función Log-normal ................................ 80

Figura 4-26 Función de densidad de probabilidad y función de distribución

acumulada con cabeceo .......................................................................................... 81


xviii

Figura 4-27 Tasa de excedencia de distorsiones de entrepiso con cabeceo .......................... 81

Figura 4-28 Comparación de tasas de excedencia de distorsiones de entrepiso con y sin

cabeceo ..................................................................................................................................... 82


xix

LISTA DE TABLAS

Tabla 3.1 Resumen de las características de los materiales .............................................. 47

Tabla 3.2 Resumen de masas en la superestructura .......................................................... 54

Tabla 3.3 Resumen de propiedades geométricas de los elementos .................................. 54

Tabla 4.1 Periodos de vibración, modelo de fluencia sin inercia rotacional ....................... 65

Tabla 4.2 Periodos de vibración, modelo de fluencia con inercia rotacional ...................... 65

Tabla 4.3 Periodos de vibración, modelo de agrietamiento sin inercia rotacional .............. 71

Tabla 4.4 Periodos de vibración modelo TL con inercia rotacional ..................................... 71


xx


1

CAPÍTULO 1

1 INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS DE

PUENTES URBANOS


2

1.1 INTRODUCCIÓN

El análisis estructural y su historia comienzan mucho antes de la época antigua de

los egipcios, romanos y griegos, y aunque no se tienen escritos acerca de los

principios del análisis estructural de ésta época, se sabe por ejemplo que,

Arquímedes (287-212 a.C.) introdujo el concepto de dentro de gravedad entre otros

aportes.

Con el paso de los años, el avance científico y tecnológico, los métodos y

herramientas de análisis y modelado de estructura han ido evolucionando de manera

importante, dando lugar al desarrollo de de la teoría clásica de estructuras en los

siglos XVI y XVII, el desarrollo de métodos aproximados para el cálculo de

estructuras más complejas y así hasta llegar al desarrollo del método de los

elementos finitos a mediados de los años 50.

Por otro lado los fenómenos naturales que golpean cada vez con mayor frecuencia

las estructuras, lleva a buscar métodos y técnicas de análisis que puedan considerar

de mejor manera la naturaleza de acciones complejas como los son el viento, los

sismos, el oleaje, etc. Por esto, en los años 70 son escritas importantes

contribuciones intelectuales en el campo de la dinámica de estructuras y la ingeniería

sísmica, por lo cual durante las últimas décadas se han comenzado a desarrollar

modelos más robustos y técnicas de análisis más sofisticadas y refinadas, como por

ejemplo el modelado a través de elementos finitos en el plano y en 3 dimensiones y

análisis dinámicos en el dominio del tiempo y en condiciones no lineales del material.

Todo este importante avance en el campo del análisis estructural se ha desarrollado

con la finalidad de:

Realizar modelos más robustos que tomen en cuenta las características

mecánicas de los materiales.

Ejecutar análisis que consideren de mejor manera la naturaleza de las

acciones a las que son expuestas las estructuras.

Tener mayor conocimiento y control sobre la respuesta real de las

estructuras.

Sin embargo, a pesar de estos avances, se observa que actualmente se continúan

utilizando modelos muy simplificados y análisis estáticos, con los que se han

proyectado y ejecutado varias estructuras. Asimismo, hay que mencionar que en

México las estructuras de puentes urbanos actuales se están proyectando con

configuraciones cada vez más intrépidas y que los sismos están golpeando con


3

mayor intensidad y frecuencia, por lo cual es necesario conocer más a fondo el

comportamiento de este tipo de estructuras ante tales acciones.

1.1.1 RESEÑA HISTÓRICA DE PUENTES EN EL MUNDO

A continuación se presentan algunas aportaciones importantes en el campo de los

puentes a nivel mundial.

En 1925 se presenta el sismo en Santa Bárbara, los ingenieros de California incluyen

previsiones sísmicas a los códigos de construcción.

En 1950 de añaden similares recomendaciones a los códigos de diseño de puentes.

En 1971, debido al sismo de San Fernando Valley, se solicita a la FHWA comenzar

con un programa de investigación para establecer criterios de diseño sísmico.

En 1973, Caltrans inicia el desarrollo de nuevos criterios, siendo una de las agencias

más importantes en el campo del diseño sísmico.

En 1975, la AASHTO adopta los criterios desarrollados por Caltrans.

En 1979, la FHWA completa el programa de investigación y en 1983 la AASHTO

adopta lo establecido por la FHWA para crear la guía de Especificaciones para el

diseño sísmico de puentes carreteros.

En 1989, ocurre el sismo de Loma Prieta CA, y es la causa de que los ingenieros se

enfoquen más de cerca al diseño sísmico de puentes.

En 1992 la guía de especificaciones de la AASHTO se convierte en una

estandarización nacional.

En 1994 ocurre el sismo de Northridge y un nuevo concepto comienza a tomar

importancia, el reforzamiento.

En 1995 se realiza el Manual de Diseño de Puentes AASHTO LRFD

En 2001, la FHWA introduce el manual de reforzamiento Sísmico “Seismicretrofitting

Manual”.

En 2007 se crea la Guía de Especificaciones para diseño sísmico de puentes

carreteros que crea una transición del diseño basado en fuerzas al diseño basado en

desplazamientos.


4

1.1.2 LOS PUENTES URBANOS EN MÉXICO

La zona Metropolitana del Valle de México (ZMVM) es una de las concentraciones

urbanas más grandes del mundo. Hace más de cinco décadas, se inició la ocupación

masiva de su territorio por una población en crecimiento constante y con actividades

muy diversas que excedió los límites administrativos y políticos de la ciudad, para

mezclarse con los municipios del vecino Estado de México y que hoy integra a las 16

delegaciones del Distrito Federal, 58 municipios del Estado de México y 1 Municipio

del Estado de Hidalgo. (CTS-México, 2011).

La población pasó de 2 millones 953 mil habitantes en 1950 a 18 millones 210 mil en

el año 2000 y la ocupación física del territorio pasó de 22 mil 960 hectáreas a más de

741,000 ha., que representa el 0.37% de la superficie total del país.

Durante las últimas décadas, el Distrito Federal ha vivido un proceso de

despoblamiento de las delegaciones centrales, esta situación ha sido acompañada

de un crecimiento expansivo hacia las delegaciones del poniente, oriente y sur; y en

mayor medida hacia los municipios del Estado de México, particularmente los

ubicados al oriente.

Este proceso de concentración de la población en las áreas externas de la Ciudad,

ha provocado cambios importantes en los patrones de viaje, mientras que en 1983

los viajes con origen - destino en las delegaciones del Distrito Federal representaban

casi el 62 por ciento, en 1994 su participación se redujo a menos del 57 por ciento y

siguiendo con este patrón, los viajes interdelegacionales eran más importantes (32%)

que los viajes al interior de cada delegación (24%). Por su parte, los viajes

metropolitanos (los que cruzan el límite del Distrito Federal y el Estado de México),

pasaron del 17 a casi el 22 por ciento; esto significa poco más de 4.2 millones de

viajes por día. (CTS-México, 2011).

Debido a esta situación, la población ve afectada su calidad de vida y su economía

al padecer el tráfico intenso en varias zonas del Valle de México, donde las

vialidades primarias se encuentran al límite de su capacidad.

Ante la falta de espacios para la ampliación de las vialidades, la construcción de

viaductos elevados se ha convertido en la solución más atractiva en los últimos años.

1.2 OBJETIVO

Estudiar el efecto de la inercia rotacional de la superestructura de puentes urbanos

tipo péndulo invertido en la respuesta sísmica no lineal de la estructura, en términos


5

de distorsiones de entrepiso, a partir de sismos reales y sintéticos representativos del

lugar de ubicación de la estructura.

1.3 METAS

Como metas del presente proyecto se tienen las siguientes:

Modelar un puente existente mediante elementos lineales viga-columna,

considerando todas las propiedades mecánicas no lineales asociadas a la

estructura.

Realizar análisis sísmicos no lineales de la estructura en el dominio del

tiempo aplicando sismos reales y simulados (sintéticos), considerando la no

linealidad del material.

Estudiar y analizar la respuesta sísmica no lineal de la estructura, a partir de

las historias de los elementos mecánicos y distorsiones de entrepiso.

Construir curvas de tasas de excedencia de distorsiones de entrepiso, sin

tomar en cuenta y tomando en cuenta el efecto de la inercia rotacional de la

superestructura.

1.4 JUSTIFICACIÓN

Debido al crecimiento demográfico y vehicular en la ciudad de México, se ha visto la

necesidad de implementar gran cantidad de puentes urbanos en por toda la ciudad,

con la finalidad de solucionar el problema del tránsito y disponibilidad de espacio.

Asimismo, tenemos pleno conocimiento de que los sismos que han castigado a la

Ciudad de México a lo largo de la historia, hay en día se han vuelto cada vez más

frecuentes y de mayor intensidad, lo cual nos debe motivar a considerarlos con

mucha importancia y analizar de manera más detallada y refinada la respuesta real

de las estructuras ante tales acciones.

Por otro lado, debido al incremento de las cargas y las nuevas configuraciones

estructurales; la tendencia moderna de diseño y construcción se ha inclinado a

utilizar concretos de mayores resistencias, campo en el que no se tiene mucha

investigación y conocimiento en el dominio no lineal.

Una particularidad de los puentes urbanos tipo péndulo invertido es que la inercia

rotacional de la superestructura altera notablemente su dinámica estructural y

estudios realizados muestran que existe una amplificación de elementos mecánicos


6

producto del cabeceo de la superestructura. Los estudios realizados, normalmente se

han concebido bajo acciones sísmicas deterministas (elección de unos cuantos

sismos) por lo cual no se podría garantizar completamente que esa sea la tendencia

general del efecto de cabeceo.

Finalmente se tiene que en la actualidad, México aún no cuenta con una normativa

específica para la construcción de puentes urbanos y lo que se busca es colaborar

en la generación de información útil que pueda servir de base para futuras

recomendaciones.

1.5 ALCANCES

Dentro de los alcances de esta investigación se tendrán los siguientes:

Se analizará un puente existente, con columnas de sección tronco-cónica y

de concreto de alta resistencia, tomando en cuenta todas sus

características geométricas y de material.

Se modelará la subestructura y la superestructura correspondiente a una

sola columna del puente.

El puente será modelado mediante elementos lineales viga-columna en un

entorno de 2 dimensiones. La superestructura se modelará como una masa

concentrada con inercia traslacional y rotacional.

No se considerará la interacción suelo-estructura, por lo que se supondrá

un empotre perfecto de la cimentación.

Se someterá a la estructura a la acción de diversas señales de sismos

reales y/o sintéticos, representativos del lugar de ubicación de la estructura.

Se utilizará un análisis dinámico no lineal en el dominio del tiempo (tiempo-

historia).

Se considerará la no linealidad del material de la estructura, pero no se

considerará la no linealidad geométrica por tratarse de una estructura

bastante rígida.


7

CAPÍTULO 2

2 CARACTERÍSTICAS DE ESTRUCTURAS DE

PUENTES


8

2.1 ANTECEDENTES

Los puentes urbanos y en especial los de tipo péndulo invertido son estructuras muy

particulares; su gran rigidez y al mismo tiempo su nula redundancia en la dirección

transversal hacen que este tipo de estructuras requieran una mayor atención a la

hora de analizarlas y diseñarlas.

Figura 2-1 Columnas de puentes tipo péndulo invertido

Varios trabajos han comenzado un largo camino en la investigación del

comportamiento sísmico no lineal de estructuras tipo péndulo invertido, encontrando

importantes resultados que ponen en manifiesto los problemas a los que pueden

estar sujetos este tipo de puentes.

Figura 2-2 Modelos analíticos con y sin base flexible (Sánchez, H., 1997)

El trabajo desarrollado por el Dr. Sánchez sobre demandas de ductilidad de

columnas de puentes (Sánchez, H., 1996), presenta una valoración dela inercia


9

rotacional que contribuyen los tableros de este tipo de puentes, y los efectos que

produce en el comportamiento dinámico en el rango no lineal. Los resultados

mostraron que el momento de cabeceo calculado fue de un 17-24% mayor en

comparación con el momento de base, lo cual es bastante significativo.

El mismo investigador presentó un trabajo sobre el comportamiento sísmico de

columnas aisladas (Sánchez, H., 1997), y reporta los resultados numéricos de la

respuesta sísmica de puentes tipo péndulo invertido ubicados en suelo compresible

de la Ciudad de México. Se observa que la interacción suelo-estructura ocasiona

importantes modificaciones en la respuesta dinámica, ya que el giro adicional que

permite la base reduce la rigidez efectiva de la estructura, ocasionando un

incremento del periodo, además de un aumento en el amortiguamiento del sistema.

Figura 2-3 Marco típico viaducto San Antonio (Cruz, M., 2008)

Similares investigaciones enfocadas al estudio del comportamiento y respuesta no

lineal de viaductos urbanos, pero en este caso estructuras tipo marco como la

mostrada en la Figura 2-3, muestran que cuando estas estructuras incursionan en el

intervalo no lineal, llegan a sufrir daños irreversibles para distorsiones de entrepiso

menores a las estipuladas en la normativa mexicana vigente para edificios (NTC-04),

con lo que se puede afirmar que las estructuras de puentes con periodos dominantes

del orden de 0.51 segundos son susceptibles a experimentar serios daños con

menores desplazamientos en el intervalo inelástico (Cruz, M., 2008), deducción que

fue presentada por Miranda en 1993 y que se corrobora con este estudio. La Figura

2-4 muestra el nivel de discretización en la modelación del marco estudiado por

(Cruz, M., 2008).


10

Figura 2-4 Modelación de un marco típico viaducto San Antonio (Cruz, M., 2008)

Asimismo los resultados obtenidos de viaductos tipo marco con base flexible reportan

cambios en el comportamiento dinámico de la estructura con base flexible,

traduciéndose en un incremento del periodo de vibración y el amortiguamiento, pero

en una reducción de las distorsiones de entrepiso, lo cual es muy lógico, tomando en

cuenta el movimiento de cuerpo rígido que desarrolla la estructura por la flexibilidad

del terreno.

En cuanto a los elementos mecánicos, se observa una clara reducción del orden del

15.6% en el sistema con base flexible y finalmente se concluye que en este tipo de

estructuras altamente rígidas pueden presentar severos daños para bajos niveles de

distorsión, lo cual debe ser tomado en cuenta (Lugo Espino, Edgar, 2012).

2.2 CONFIGURACIÓN ESTRUCTURAL

La configuración estructural de los puentes tipo péndulo invertido o árbol está

constituida por una subestructura a base de una columna aislada de concreto

reforzado o presforzado (actualmente), apoyada sobre una cimentación de pilas y

cabezal como se puede ver en la Figura 2-5.


11

Figura 2-5 Configuración estructural de un puente tipo péndulo invertido (Cruz, M., 2008)

Longitudinalmente en conjunto con la superestructura se forman marcos rígidos

mediante trabes presforzadas de apoyo TA, y a su vez, los marcos se articulan entre

ellos por medio de una trabe central presforzada TC para evitar la continuidad

hiperestática como se aprecia en la Figura 2-6.

Figura 2-6 Estructuración longitudinal (Cruz, M., 2008)

Las ventajas de esta configuración estructural son que permiten su emplazamiento

en espacios reducidos (caso particular de la Ciudad de México) y al tratarse de

elementos prefabricados pretensados, su proceso constructivo es rápido, la calidad

es buena y los tiempos de ejecución se reducen como se ve en la Figura 2-7.


12

Figura 2-7 Marco formado por columnas y trabe TA

Por otro lado, a diferencia de las estructuras de edificios, los puentes urbanos tipo

péndulo invertido son sistemas estructurales que tienen muy poca o ninguna

redundancia estructural, y la falla de alguno de sus elementos o conexiones puede

significar el colapso total, como muestra la Figura 2-8 en el caso de una autopista en

Japón que se desplomó completamente durante el sismo de Kobe en 1995.

Figura 2-8 Estructura colapsada, sismo de Kobe en Japón 1995


13

2.3 MODELACIÓN Y ANÁLISIS ESTRUCTURAL

2.3.1 INTRODUCCIÓN

La cuantificación de la respuesta sísmica de los puentes en términos de

desplazamientos globales de la estructura, fuerzas en los miembros y deformaciones

locales es ejecutada con la ayuda de modelos matemáticos y técnicas de análisis.

Los diferentes tipos de análisis estático y dinámico de puentes experimentaron

mayores avances a mediados de la década de los 50’s cuando el método de los

Elementos Finitos (Figura 2-9) fue desarrollado y en la década de los 70’s cuando

fueron escritos los primeros trabajos serios en el campo de la dinámica estructural y

la ingeniería sísmica. (Priestley, M.J.N., Seible, F., and Calvi, G.M., 1996).

Figura 2-9 Aplicaciones actuales del MEF (Método de los Elementos Finitos)

En poco tiempo, las limitaciones que existían con respecto al cálculo manual y los

procesos iterativos de solución fueron superadas por un constante desarrollo de

herramientas de hardware (Figura 2-10) y software, haciendo posible el modelado de

sistemas completos de puentes, y el análisis de la respuesta ante complejas señales

de aceleraciones sísmicas y considerando efectos de la no linealidad geométrica y

material.

Figura 2-10 Servidor de alto desempeño y supercómputo


14

Seleccionar la técnica de modelación y tipo de análisis más apropiados es un

verdadero arte, y requiere de amplio entendimiento del problema para seleccionar el

grado de precisión que se requiere y la disponibilidad de capacidad de cómputo.

2.3.2 TÉCNICAS DE MODELACIÓN ESTRUCTURAL

La modelación tiene como finalidad una formulación matemática de la geometría o

dominio real del puente, de tal manera que pueda determinarse con cierto grado de

aproximación la cuantificación de la verdadera respuesta estructural.

Figura 2-11 Diferentes niveles de modelación estructural (Priestley, M.J.N., Seible, F., and Calvi, G.M., 1996)

Existen varios niveles de discretización dentro de la modelación (Figura 2-11), desde

modelos de parámetros concentrados (SDOF), modelos de componentes

estructurales (vigas-columnas), hasta refinados modelos de elementos finitos

(Priestley, M.J.N., Seible, F., and Calvi, G.M., 1996).

Modelos de parámetros concentrados

Los modelos de parámetros concentrados son aquellos en los que las principales

características dinámicas estructurales tales como la masa, rigidez y

amortiguamiento se condensan en ciertos puntos de la estructura, su formulación

matemática y resolución es simple, pero requiere de mucha experiencia y dominio

del tema para formular el modelo de tal manera que represente adecuadamente el

comportamiento real de la estructura de puente.

Modelos de componentes estructurales

Los modelos de componentes estructurales son basados en la idealización de

subsistemas estructurales, tales como marcos, vigas o columnas, que se encuentran

interconectados para representar la geometría general del puente y de esa manera

su comportamiento. Las características mecánicas de relación fuerza-deformación se


15

obtienen para cada elemento o subsistema estructural y al ensamblarse crean el

modelo estructural global del puente.

Figura 2-12 Niveles de discretización de secciones variables

Para el caso de respuesta sísmica de un puente, se pueden considerar diferentes

niveles de discretización (Figura 2-12), dependiendo de la geometría de la columna y

de la respuesta sísmica esperada. Para el análisis de respuesta estrictamente

elástica y con una geometría de columna prismática, un elemento individual tipo viga-

columna es suficiente, mientras que cuando se espera una considerable acción

inelástica en forma de rótulas plásticas o en el caso de columnas con secciones

variables, la discretización debe realizarse con varios elementos tipo viga-columna,

de tal forma que puedan aproximar de la mejor manera el dominio geométrico y la

distribución de masas

Modelos de elementos finitos

Los modelos de elementos finitos, discretizan el dominio o geometría real del puente

mediante un gran número de pequeños elementos, donde las características

mecánicas son derivadas directamente de las leyes constitutivas del material.

(Priestley, M.J.N., Seible, F., and Calvi, G.M., 1996).

La mejor descripción del modelo analítico de un puente es sin dudas uno que detalle

al máximo el dominio de la estructura mediante elementos estructurales muy

pequeños que representen el comportamiento individual de cada uno y mantengan

una correcta posición y relación espacial con los demás elementos (Método de los

Elementos Finitos), pero no todos los tipos de análisis sofisticados son aplicables a

nivel práctico en este nivel de discretización.


16

2.3.3 TÉCNICAS DE ANÁLISIS ESTRUCTURAL

Los tipos de análisis estructural, son herramientas matemáticas que plantean la

relación entre las fuerzas aplicadas y la respuesta estructural. El análisis comprende

desde el planteamiento físico del problema hasta los métodos numéricos de solución

de las ecuaciones que gobiernan el fenómeno.

Entre los tipos de análisis estructural para estructuras de puentes sujetas a acciones

sísmicas se encuentran el análisis estático lineal, el análisis de espectro de

respuesta, el análisis dinámico lineal, el análisis estático no lineal, y el análisis

dinámico no lineal.

Únicamente un análisis dinámico no-lineal combina la característica inelástica propia

de los materiales que componen la estructura de puente y la naturaleza dinámica de

las excitaciones sísmicas para la determinación directa de la respuesta sísmica de

puentes. (Priestley, M.J.N., Seible, F., and Calvi, G.M., 1996).

Lamentablemente la combinación de poderosas herramientas de modelación, y

enormes esfuerzos computacionales de sofisticados análisis, son las principales

razones por la cuales los modelos más complejos son sujetos a técnicas simples de

análisis, mientras que modelos más simples son sometidos a complejos

procedimientos de análisis.

2.4 COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PUENTES

2.4.1 INTRODUCCIÓN

La aplicación apropiada de las herramientas de modelado y análisis de puentes bajo

acciones sísmicas requiere del conocimiento de algunos conceptos importantes de

dinámica estructural.

2.4.2 FORMULACIÓN DINÁMICA DEL PROBLEMA SÍSMICO

La formulación dinámica de estructuras de puentes formadas a través del ensamble

de elementos estructurales individuales y sometidos a acciones variables en el

tiempo, se expresa mediante una formulación matricial de la siguiente manera:

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { } Ecc. ( 2-1)


17

Donde [ ], [ ] y [ ] son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez

respectivamente, y { }, { }, { } y { } son los vectores de aceleración,

velocidad, desplazamiento y carga respectivamente.

El cálculo de los parámetros dinámicos propios de la estructura (frecuencias

circulares y formas modales) se convierte en un problema de valores y vectores

característicos como se muestra a continuación:

[ ]{ } [ ]{ } { } Ecc. ( 2-2)

[ ]{ } [ ]{ } { } Ecc. ( 2-3)

Los principales parámetros dinámicos de un sistema estructural de puente que

intervienen en la cuantificación de la respuesta sísmica son la masa, rigidez y

amortiguamiento.

Masa

Generalmente para sistemas de puentes, la mayor contribución de masa que

interviene en la respuesta dinámica es aportada por los elementos estructurales de la

superestructura, sin embargo en un análisis más refinado debe considerarse la masa

de la subestructura.

La masa es contribuida por el peso de los elementos estructurales y se asocia

directamente a los grados de libertad dinámicos que se tengan contemplados en el

análisis, por tal razón en el caso dinámico es muy importante el grado de

discretización de elementos, pues esto conlleva a un cálculo más aproximado de la

respuesta dinámica real. Existen dos tipos de masa, la traslacional y la rotacional,

cada una asociada a los grados de libertad de traslación y rotación respectivamente,

y definidos de acuerdo al espacio en que se realice el análisis, ya sea en 2D o 3D.

La formulación de la matriz de masa puede tomarse de varias maneras, entre ellas la

formulación de masas concentradas y la formulación de masas consistentes son las

más utilizadas en los análisis dinámicos no lineales. La elección entre una o la otra,

está en función del grado de aproximación requerido, la influencia de la inercia

rotacional en la dinámica general de la estructura y la capacidad computacional

disponible.


18

Figura 2-13 Esquema de formulación de masas concentradas (Chang, G.; Mander, J.; Cedeño, G.; and Domínguez, D., 1996)

La formulación de masas concentradas considera únicamente masas traslacionales

desacopladas entre si y concentradas en los extremos de cada elemento estructural

como se muestra en la Figura 2-13, esto genera una matriz de masa diagonal

desacoplada, sin contribución de grados de libertad rotacional como se muestra a

continuación.

[ ]

[

]

Ecc. ( 2-4)

Por otro lado la formulación de masas consistentes considera una matriz de masa

cinemáticamente equivalente, donde las fuerzas de inercia están asociadas con

todos los grados de libertad y el análisis de las contribuciones de masa a cada grado

de libertad se determina de manera similar al cálculo de la matriz de rigidez (Clough,

R. W.; and Penzien, J., 1995).

Figura 2-14 Esquema de formulación de masas consistentes (Clough, R. W.; and Penzien, J., 1995)


19

La formulación de masa consistente requiere un esfuerzo computacional mayor en

las operaciones de multiplicación paso a paso del análisis tiempo-historia, dado que

las masas correspondientes a los diferentes grados de libertad se encuentran

acoplados entre sí, pero aproxima de mejor manera el comportamiento de elementos

estructurales tipo viga-columna, ya que contempla la inercia al giro en cada elemento

por más pequeña que esta sea.

Rigidez:

La rigidez del puente depende del material y de la geometría de la estructura y se

formula a través de las matrices de rigidez. La matriz de rigidez global resulta del

ensamble de matrices de rigidez locales más pequeñas, que pueden ser formuladas

desde elementos estructurales como vigas o vigas-columna (Figura 2-15) o

elementos finitos.

Figura 2-15 Elemento típico viga-columna con extremos rígidos (Athol J.C., 2003)

Amortiguamiento:

El tercer término de la ecuación dinámica de movimiento supone una fuerza

amortiguadora viscosa, que es utilizada para simular o modelar numéricamente las

características de fuerzas amortiguadoras propias de las estructuras de puentes.

El amortiguamiento estructural es un tema bastante complejo, y supone un enorme

campo de investigación que aún sigue vigente. Actualmente se maneja la suposición

de un amortiguamiento viscoso, que físicamente es correcto si se tratase de un


20

objeto moviéndose en un medio viscoso como aceite por ejemplo, pero no es

físicamente representativo de la forma de amortiguamiento que presentan las

estructuras de puentes u otros sistemas estructurales similares.

Las formas o tipos de amortiguamiento más comunes en estructuras de puentes son:

(1) amortiguamiento por fricción, (2) amortiguamiento por radiación y (3)

amortiguamiento hiterético. (Priestley, M.J.N., Seible, F., and Calvi, G.M., 1996).

Sin embargo, para realizar una formulación matemática más simple de la ecuación

de movimiento, las formas de amortiguamiento presentadas en estructuras de

puentes son expresadas en forma equivalente a un coeficiente de amortiguamiento

viscoso , que comúnmente es expresado en función de una relación de

amortiguamiento y el coeficiente de amortiguamiento crítico de la siguiente

manera:

Ecc. ( 2-5)

Para el caso de la equivalencia entre el amortiguamiento histerético y el

amortiguamiento viscoso, varios investigadores proponen la siguiente expresión que

relaciona el comportamiento de los ciclos de histéresis de carga deformación con la

relación de amortiguamiento equivalente de la siguiente manera:

Ecc. ( 2-6)

Donde y representan el promedio de la fuerza y desplazamientos picos del

ciclo histerético y representa el la energía de deformación elástica en un sistema

lineal equivalente Figura 2-16.

Figura 2-16 Energía de disipación para relación de amortiguamiento (Priestley, M.J.N., Seible, F., and Calvi, G.M., 1996)


21

Se puede observar claramente que la determinación de un coeficiente de

amortiguamiento equivalente que conlleve las características de amortiguamiento

estructural es bastante complicado, por lo cual muchas veces los valores de

amortiguamiento asumidos en los análisis están en función de pruebas y

observaciones experimentales, y es muy común asumir valores de relaciones de

amortiguamiento entre 2 y 7% para estructuras de puentes de concreto reforzado,

por lo general lo más usual es asumir un 5% de amortiguamiento crítico.

Únicamente en casos: (1) donde la interacción suelo-estructura juega un papel

importante, (2) donde se emplean dispositivos adicionales de amortiguamiento y (3)

donde se espere grandes disipaciones histéreticas de energía, se deben aplicar

coeficientes de amortiguamiento mayores. (Priestley, M.J.N., Seible, F., and Calvi,

G.M., 1996).

Se debe notar que la mayoría de los modelos analíticos se basan en la rigidez

elástica inicial y el amortiguamiento adoptado debe representar la fase de respuesta

elástica, sin embargo cuando se utiliza un análisis inelástico tiempo-historia, la

disipación histerética de energía será directamente modelada por reglas de

comportamiento histerético. (Priestley, M.J.N., Seible, F., and Calvi, G.M., 1996).

Figura 2-17 Curva de amortiguamiento de Rayleigh (Athol J.C., 2003)

La formulación de la matriz de coeficiente de amortiguamiento más utilizada es la de

Rayleigh (Figura 2-17), que supone una matriz de amortiguamiento [ ] proporcional

a las matrices de masa [ ] y rigidez [ ].

[ ] [ ] [ ] Ecc. ( 2-7)


22

Los coeficientes y se calculan en base a dos frecuencias naturales de vibración,

que comúnmente pueden ser las 2 primeras.

( )

Ecc. ( 2-8)

( )

Ecc. ( 2-9)

(

) Ecc. ( 2-10)

Donde y son las frecuencias naturales de vibrar que se eligen para el modelo,

normalmente suelen ser la primera y la segunda, o la primera y la tercera.

Esta relación entre el amortiguamiento y las frecuencias naturales de vibración indica

que para frecuencias más altas, la cantidad de amortiguamiento aumenta casi

linealmente con la frecuencia (Figura 2-17).

Una consideración importante a tomar en cuenta en la matriz de amortiguamiento en

un análisis no lineal es el uso de la matriz de rigidez elástica o la matriz de rigidez

tangente. Una objeción muy fuerte con respecto al uso de la matriz de rigidez

tangente fue que si una estructura se daña y su matriz de rigidez se reduce, la matriz

de amortiguamiento también se reduce; lo cual no es nada razonable si sabemos que

una estructura dañada presenta mayor amortiguamiento.

La elección correcta de un modelo de amortiguamiento es un tema muy complejo, y

debe elegirse en base al problema que se esté abordando. En el caso de puentes, se

recomienda el amortiguamiento de Rayleigh, cuidando de tomar en cuenta las

frecuencias naturales de entrada y , de tal forma que los modos superiores de

vibrar permanezcan en el rango sub-crítico. Una recomendación basada en la

experiencia sugiere utilizar la primera y tercer frecuencia de vibrar.

2.4.3 RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DINÁMICO

El análisis de la respuesta dinámica de los puentes puede resolverse de varias

maneras: (1) usando un análisis en el dominio de la frecuencia, (2) aplicando

integración directa a las ecuaciones de equilibrio acopladas en el dominio del tiempo,

y (3) a través de un análisis modal aplicando el principio de ortogonalidad de modos .


23

De manera general, tanto el análisis en el dominio de la frecuencia como el análisis

modal espectral, dependen del principio de superposición, por lo cual estas técnicas

son únicamente aplicables a problemas de análisis lineal; sin embargo los métodos

de integración directa pueden ser empleados para análisis no-linelaes tiempo-

historia.

Uno de los principales métodos de integración directa, son los métodos Beta de

Newmark, ampliamente utilizados en software de análisis actuales. Los dos métodos

propuestos por Newmark son el de aceleración constante y el de aceleración lineal,

entre los cuales destaca el de aceleración constante por su gran aproximación y por

ser incondicionalmente estable.

Algunos han modificado el esquema de Newmark, pasando del método de equilibrio

incremental original a una aproximación de equilibrio para asegurarse de mantener el

equilibrio en cada paso de tiempo. Cualquier error de fuerza residual se traslada al

siguiente paso de tiempo en un proceso de autocorrección.

El método de aceleración constante asume que la aceleración es constante desde el

tiempo hasta el tiempo .

Ecc. ( 2-11)

Integrando con respecto del tiempo sobre el paso de tiempo , se puede obtener

tanto el incremento de la aceleración como de la velocidad.

Ecc. ( 2-12)

Ecc. ( 2-13)

Sustituyendo en la ecuación de equilibrio para el tiempo .

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { } Ecc. ( 2-14)

Señalando que el término de rigidez puede rescribirse como:

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { } [ ]{ } Ecc. ( 2-15)


24

De manera similar, el término de amortiguamiento puede reescribirse en términos de

las fuerzas de amortiguamiento nodal equivalente

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { } [ ]{ } Ecc. ( 2-16)

Esto significa que la ecuación de equilibrio puede ser reescrita en la forma

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { } { } Ecc. ( 2-17)

Sustituyendo los incrementos de aceleración y velocidad en términos de incrementos

de desplazamiento, la ecuación queda de la siguiente manera.

[ ]

[ ] [ ]{ } { } [ ] {

} [ ]{ } { } { } Ecc. ( 2-18)

Si la matriz de amortiguamiento es constante, no cambia con el tiempo y la ecuación

puede simplificarse en la siguiente

[ ]

[ ] [ ]{ } { } [ ] {

} { } { } Ecc. ( 2-19)

Como se mencionó anteriormente, este esquema es incondicionalmente estable,

pero no incondicionalmente preciso, por lo cual es responsabilidad de cada uno

asegurarse de que los pasos de tiempo utilizados sean lo suficientemente pequeños

en comparación a los periodos naturales de vibrar más pequeños que contribuyan

significantemente a la respuesta. Una recomendación realizada por varios

investigadores indica que el paso de tiempo sea de al menos 0.1 del periodo del

modo más alto. Sin embargo, los errores pueden ser reducidos utilizando pasos de

tiempo más pequeños o utilizando iteraciones Newton-Raphson dentro de cada

tiempo.

2.4.4 CARACTERÍSTICAS DE LA RESPUESTA DINÁMICA DE PUENTES

Independientemente de la información de entrada al sistema en forma de la señal

sísmica o dinámica, los sistemas estructurales de puentes se caracterizan por

parámetros dinámicos propios, que son las formas modales y sus

correspondientes periodos de vibrar . La cantidad de periodos y formas modales de

vibrar están en función del número de grados de libertad dinámicos definidos durante

la discretización del modelo analítico.


25

Para un sistema de un solo grado de libertad (SDOF), la frecuencia de vibración y

el periodo natural , se calculan y relacionan como se muestra a continuación:

√

Ecc. ( 2-20)

Ecc. ( 2-21)

√

Ecc. ( 2-22)

En un sistema de puente que considere el efecto de amortiguamiento expresado en

forma de un amortiguamiento viscoso equivalente con una relación de

amortiguamiento , la frecuencia circular se ve afectada de la siguiente manera:

√ Ecc. ( 2-23)

Donde es la frecuencia circular amortiguada y como es de suponerse es menor a

la frecuencia circular sin amortiguamiento . De esta misma manera, el periodo

fundamental de vibrar también se ve afectado y queda expresado de la siguiente

manera:

√

( )

Ecc. ( 2-24)

De las expresiones anteriores se puede deducir que la influencia del

amortiguamiento en las características dinámicas propias de la estructura de puente

no es determinante, por ejemplo una relación de amortiguamiento del 10%

únicamente alteraría los parámetros dinámicos de la estructura en un 0.5%, por lo

cual puede ser despreciado. (Priestley, M.J.N., Seible, F., and Calvi, G.M., 1996).

2.5 COMPORTAMIENTO NO LINEAL EN ESTRUCTURAS DE PUENTES

2.5.1 INTRODUCCIÓN

Existen 2 principales fuentes de no linealidad en el análisis estructural y son las no

linealidades material y geométrica. Las características de la respuesta no lineal


26

material asociada a las estructuras de puentes se basan en las características

plásticas o de daño del material y se representa fundamentalmente con el análisis

momento-curvatura de la sección crítica de la columna o elemento estructural,

llamada rótula o articulación plástica (Figura 2-18), teniendo en cuenta los efectos del

nivel de carga axial y el confinamiento.

Figura 2-18 Articulación plástica

Otra fuente de no linealidad, pero menos importante en este tipo de estructuras es la

geométrica. La respuesta de desplazamientos laterales de columnas de puentes

urbanos son muy pequeñas en comparación con las dimensiones transversales de la

columna, y en muchos casos se puede despreciar los efectos de no linealidad

geométrica. Sin embargo, existen algunos casos donde debe considerarse este

efecto, por ejemplo cuando las columnas son muy altas y esbeltas, donde la

combinación de cargas sísmicas laterales y cargas gravitacionales pueden ser muy

significantes. De cualquier manera puede omitirse un análisis completo de no

linealidad geométrica y solo incluir efectos p-delta ( ) o de segundo orden para

evaluar el equilibrio en la configuración deformada.

2.5.2 REPRESENTACIÓN DEL COMPORTAMIENTO NO LINEAL

El comportamiento no lineal de un elemento viga-columna se representa

normalmente mediante el concepto del modelo de un componente de Giberson, que

presenta una posible rótula plástica en uno o ambos extremos del elemento y una

parte central elástica como se muestra en la Figura 2-19.


27

Figura 2-19 Modelo de un componente de Giberson

La rigidez de la rótula plástica es controlada por la rigidez tangente del punto

correspondiente en la regla de histéresis utilizada en el análisis. La rigidez de la

rótula plástica es tal que la rotación de la propia rótula asociada a la rotación de la

curvatura elástica de la viga sobre la longitud de la rótula es igual a la rotación

asociada con la curvatura sobre la longitud de la rótula con las propiedades

inelásticas en la zona de rótula (Figura 2-20).

Figura 2-20 Planteamiento geométrico de la rotación plástica en una rótula

Si la rótula está en el intervalo elástico la rótula plástica tiene una rigidez infinita. La

rigidez del resorte de la articulación para una longitud de rótula igual a , curvatura

y la relación inelástica momento curvatura, donde es:

Ecc. ( 2-25)

(

) Ecc. ( 2-26)


28

2.5.3 REGLAS DE HISTÉRESIS

Existen diversas reglas de histéresis que representan el comportamiento inelástico

de elementos viga-columna. Estas reglas pueden ir desde reglas simples como la

elasto-plástica o bilineal (Figura 2-21), hasta formulaciones computacionales más

complejas como la regla de Ramberg-Osgood (Figura 2-22) y la de Wane Stewart

que requiere más de treinta parámetros.

Figura 2-21 Modelo bi-lineal

Muchas reglas de histéresis contienen modelos de degradación de rigidez y

resistencia, y la mayor parte de estas reglas han sido desarrolladas para representar

el comportamiento de elementos de concreto reforzado, puesto que ensayes de este

tipo de elementos muestran claramente que existe una degradación en cada ciclo de

carga y descarga. La regla de Takeda Modificada (Figura 2-23) es una de las reglas

histeréticas con degradación más conocidas y utilizadas por su buena representación

del comportamiento no lineal y simplicidad de cálculo.

Figura 2-22 Modelo de Ramberg-Osgood


29

Figura 2-23 Modelo de Takeda modificado

Algunas reglas de histéresis especiales pueden representar de mejor manera el

comportamiento de elementos presforzados, ya que en este tipo de estructuras se

tiene que el nivel de presfuerzo en el elemento es capaz de cerrar la grieta al menos

parcialmente. Este fenómeno histerético se conoce como “pinching” y existen reglas

como la de MehranKeshavarzian que lo representan de forma muy aproximada.

2.6 CONCRETO PARCIALMENTE PRESFORZADO

2.6.1 INTRODUCCIÓN

La aplicación de presfuerzo a elementos de concreto impone una fuerza de

compresión de tal magnitud, que puede contrarrestar los efectos de cargas de

servicio, modificando el comportamiento estructural de los elementos.

El concepto de presfuerzo no fue totalmente establecido hasta que Freyssinet

publicara su estudio clásico sobre este tema (Freyssinet, E., 1933). Freyssinet

reconocía que ante un definido límite de carga, comenzarían a aparecer grietas en

los elementos presforzados, pero que una vez que se retirasen las cargas

excedentes, las grietas en los elementos serían nuevamente cerradas. Desde

entonces, diferentes aproximaciones de diseño fueron propuestas por diversos

autores, entre ellos Abeles, quien determinó en sus estudios, que eliminar los

esfuerzos de tensión y el posible agrietamiento en el concreto es innecesario en la

mayoría de los casos (ACI - ASCE Committee 423, 1999).

El mismo Abeles sostuvo que el presfuerzo puede ser aplicado para contrarrestar

únicamente una parte de la carga de servicio y permitir cierto agrietamiento bajo la

carga total de servicio. Este agrietamiento y la resistencia adicional requerida podrían


30

ser cubiertas por acero de refuerzo no presforzado, denominando a esta nueva

aproximación de diseño “concreto parcialmente presforzado”.

2.6.2 DEFINICIÓN

A lo largo de la historia, diferentes definiciones pero con un mismo sentido se han

dado con respecto al concreto parcialmente presforzado. Por ejemplo, Lin y Burns

establecen que: “Cuando un miembro es diseñado de tal manera que bajo carga de

servicio no existen esfuerzos de tensión, entonces el concreto es totalmente

presforzado. Si en un elemento, algunos esfuerzos de tensión se presentan bajo

cargas de servicio, entonces se trata de un concreto parcialmente presforzado” (Lin,

T. Y.; and Burns, N. H., 1981).

Por otro lado Naaman establece que: “El concreto parcialmente presforzado implica

la combinación de acero pretensado y no pretensado, ambos contribuyendo a la

resistencia del elemento. El objetivo es permitir tensión y agrietamiento bajo cargas

de servicio, asegurando una adecuada resistencia” (Naaman, A. E., 1982).

2.6.3 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL PRESFUERZO PARCIAL

Entre las ventajas de utilizar elementos parcialmente presforzados se tiene las

siguientes:

En diseño, generalmente las cargas vivas se consideran ser mayores a las

que normalmente estará sometida una estructura, por lo tanto el uso de

presfuerzo parcial permite la aparición de ciertos esfuerzos de tensión en el

elemento ante cargas de servicio, lo cual nos lleva a un diseño más

económico con menores secciones transversales y menor cantidad de

refuerzo.

Cuando se tienen cargas vivas muy grandes, la contra flecha producida por

el presfuerzo total puede ser excedente y dado que las cargas vivas muy

grandes son excepcionales, probablemente jamás se pueda llegar al

balance de deflexión y los elementos queden permanentemente

deformados hacia arriba. Este se puede reducir con el presfuerzo parcial, ya

que los niveles de deflexión inicial no son tan altos.

El acero de refuerzo no pretensado ayuda mucho en el control de

deformaciones a largo plazo y mejora las propiedades geométricas de la

sección.


31

Los elementos parcialmente pretensados tienen un mejor comportamiento

dúctil que un elemento totalmente pretensado, por lo que es capaz de

absorber mayor cantidad de energía bajo cargas dinámicas extremas como

sismos y explosiones.

Se ha comprobado que el acero no presforzado tiene mejor comportamiento

ante temperaturas elevadas, dado que no pierde su resistencia tan

rápidamente como el acero pretensado. Esto le brinda al elemento una

mejor resistencia al fuego.

Entre las desventajas del presfuerzo parcial tenemos:

Bajo cargas repetidas, la resistencia a la fatiga puede ser una

preocupación. Pero es conocido también que el rango de variación de las

cargas repetidas normalmente está en un nivel inferior a la capacidad de la

sección, por lo cual es un tema que puede controlarse.

Debido al agrietamiento permitido, la durabilidad puede ser un problema

potencial. Sin embargo, este problema puede resolverse convenientemente

con un buen detallado del acero dulce y los recubrimientos de la sección.

2.6.4 ÍNDICES DE PRESFUERZO PARCIAL

Diferentes índices se han propuesto para definir el grado de presfuerzo de una

sección, entre los más comunes podemos citar el índice de grado de presfuerzo y

la relación de presfuerzo parcial Ecc. ( 2-27) y Ecc. ( 2-28).

Ecc. ( 2-27)

Ecc. ( 2-28)

Donde es el momento que produce un esfuerzo nulo en la fibra extrema más

cercana al acero de presfuerzo, y son los momentos por carga muerta y viva

respectivamente, es el momento nominal proporcionado por el acero de

presfuerzo únicamente y es el momento nominal total.

Caracterizar la cantidad total de refuerzo a flexión de un elemento es muy

importante, como se verá más adelante, este parámetro puede de alguna manera

definir el comportamiento no lineal del elemento. La cantidad de refuerzo de un

elemento parcialmente presforzado puede definirse por el índice de refuerzo :


32

Ecc. ( 2-29)

2.6.5 COMPORTAMIENTO BAJO CARGAS ESTÁTICAS Y REVERSIBLES

Existen numerosas investigaciones con respecto al comportamiento de elementos

parcialmente presforzados bajo cargas estáticas (Abeles 1986; Burns 1964; Cohn

and Barlett 1982; Harajli and Naaman 1985; Thompson and Park 1980; y

Watcharaumnuay 1984). De estas investigaciones experimentales realizadas en

elementos reforzados con diferentes cantidades de acero presforzado y no

presforzado, se obtuvieron los siguientes resultados (ACI - ASCE Committee 423,

1999).

Las vigas parcialmente presforzadas muestran deflexiones últimas más

grandes, mayores ductilidades y mayor absorción de energía que vigas

totalmente presforzadas.

Las vigas parcialmente presforzadas se agrietan para menores niveles de

carga, pero presentan mayor rigidez post-agrietamiento que las vigas

totalmente presforzadas.

Para índices de refuerzo dados, la relación momento curvatura es casi

independiente de la razón entre las áreas de refuerzo a tensión (pretensado

vs no pretensado).

El cambio del presfuerzo efectivo de los tendones no conduce a un cambio

significante en la curvatura y resistencia última de elementos a flexión.

Un decaimiento del presfuerzo efectivo produce un incremento de la

curvatura de de fluencia y por tanto un decaimiento de la ductilidad de

curvatura.

Las cargas cíclicas reversibles resultan de efectos dinámicos producidos

por sismos, viento o explosiones. La filosofía de diseño para cargas

sísmicas requiere la provisión de una seguridad de vida prudente y

razonable. Para lograr estos objetivos, las estructuras deben proporcionar

rigidez y resistencia necesarias para resistir las fuerzas de diseño con un

nivel de daño aceptable. Para tal efecto, las fuerzas de diseño son

determinadas utilizando un coeficiente de comportamiento sísmico que

toma en cuenta la reducción de demanda en base los efectos de disipación

de energía inelástica.


33

De acuerdo con la filosofía de diseño sísmico existen dos factores muy importantes

que se deben tomar en cuenta en los elementos parcialmente presforzados, la

ductilidad y la disipación de energía por histéresis (ACI - ASCE Committee 423,

1999).

La ductilidad permite la redistribución de fuerzas en sistemas indeterminados y

asegura una falla gradual precedida de grandes deformaciones antes delcolapso. La

ductilidad puede expresarse en términos de curvatura, rotación y desplazamiento y

es la relación de la deformación última a la deformación de fluencia. En el caso

particular de elementos parcialmente presforzados, la definición de deformación de

fluencia puede ser algo arbitraria, dado que el elemento contiene acero presforzado y

no presforzado con características diferentes de fluencia, tanto en el nivel de

esfuerzos como en la plataforma de fluencia.

Figura 2-24 Definiciones del punto de fluencia (Naaman, A. E.; Harajli, M. H.; and Wight, J. K., 1986)

Bajo esta situación, la deformación de fluencia puede ser definida de varias maneras,

y aunque se han realizado diferentes investigaciones al respecto, no hay una

definición consistente de la deformación de fluencia. Cohn y Bartlett consideran que

la curvatura de fluencia corresponde a la fluencia del refuerzo ordinario, esto conlleva

a un valor relativamente mayor de ductilidad debido a que el acero de presfuerzo

fluye para deformaciones más elevadas. Thompson y Park definen la primera

fluencia como la intersección de la tangente a la porción elástica de la curva carga-

deformación y una lineal horizontal que pasa por la carga última (Figura 2-24a).

Naaman define la deformación de fluencia como la intersección de la secante desde

cero al límite proporcional del acero de presfuerzo y la pendiente post-elástica

(Figura 2-24c).


34

2.6.6 DUCTILIDAD Y DISIPACIÓN DE ENERGÍA

Aunque las definiciones anteriores del punto de fluencia presentan resultados

diferentes, todas están basadas en la ductilidad de la sección del elemento, más que

la fluencia de un componente en particular.

A continuación se presentan los principales factores que afectan la ductilidad de una

sección parcialmente presforzada.

La ductilidad de la sección decrece con el incremento del índice de refuerzo

.

Cuando el presfuerzo efectivo disminuye, la ductilidad de fluencia aumenta,

por lo que la ductilidad disminuye. Este efecto es más marcado en

elementos totalmente presforzados.

Si la relación de presfuerzo parcial disminuye, incrementan tanto la

curvatura última como la de fluencia, pero en términos de ductilidad esta

permanece casi invariable.

Si el refuerzo transversal aumenta, se mejor el confinamiento del concreto y

por tal motivo, la ductilidad también aumenta.

Para altos valores de índice de refuerzo , la resistencia a

compresión del concreto no tiene gran efecto en la ductilidad, pero para

, el uso de concretos de altas resistencias reduce la ductilidad

tanto como un 30% para el caso de bajas relaciones de presfuerzo parcial.

Figura 2-25 Ductilidad de curvatura en función del índice de refuerzo


35

Figura 2-26 Rotación plástica en función del índice de refuerzo

El investigador A. Naaman encontró que el índice de refuerzo es una variable

independiente excelente para describir la ductilidad de una sección (ACI - ASCE

Committee 423, 1999). Asímismo, la relación entre la distancia de la fibra extrema a

compresión y la profundidad del acero a tensión puede servir de mucho en

este propósito. Basado en los resultados de experimentos, Naaman desarrolló

ecuaciones de predicción de la ductilidad de curvatura y rotación plástica en función

del índice de refuerzo (Naaman, A. E.; Harajli, M. H.; and Wight, J. K., 1986) las

mismas que se grafican en la Figura 2-25 y la Figura 2-26.

Ecc. ( 2-30)

(

)

Ecc. ( 2-31)

Ecc. ( 2-32)

La disipación de energía se puede atribuir físicamente a un amortiguamiento viscoso

e histerético de los elementos estructurales. La disipación de energía de elementos

de concreto presforzado es tan baja como un 15% de la disipación que puede

desarrollar un elemento convencional de concreto reforzado (ACI - ASCE Committee

423, 1999).


36

Figura 2-27 Idealización de Relaciones Momento-Curvatura para elementos parcialmente presforzados (ACI - ASCE Committee 423, 1999)

Ensayes realizados por Penzien indican que el presfuerzo y altas resistencias del

concreto disminuyen el agrietamiento de la sección y por tal reducen el

amortiguamiento (Penzien, J. , 1964).

La disipación de energía (área encerrada dentro de los ciclos histeréticos fuerza-

deformación) de un elemento de concreto presforzado es menor que la de un

elemento de concreto reforzado convencional que desarrolla similares resistencias.

Los elementos de concreto presforzado pueden recuperarse elásticamente aún para

deformaciones muy grandes, por lo cual estas secciones no alcanzan grandes

disipaciones de energía, a menos que el acero de presfuerzo fluya y la sección se

agriete altamente. Sin embargo, la adición de refuerzo no presforzado en elementos

de concreto parcialmente presforzado, proporciona una mejor capacidad de

disipación de energía, como se puede ver en la Figura 2-27c.

Thompson y Park desarrollaron relaciones momento-curvatura idealizadas para

secciones de concreto parciamente presforzado, combinando las relaciones

obtenidas por Blakeley y Park para concreto presforzado y por Raberg-Osgood para

concreto reforzado. Las idealizaciones se basan en unos coeficientes y que son

las relaciones de la resistencia aportada por el acero no presforzado y el acero

presforzado respectivamente con respecto a la resistencia total del elemento. Estas

curvas histeréticas concuerdan muy bien con las curvas experimentales obtenidas de

ensayes de elementos viga-columna (Thompson, K. J.; and Prak, R., 1980b) como se

aprecia en la Figura 2-28 y en la Figura 2-29.


37

Figura 2-28 Comparación de Relaciones Momento-Curvatura idealizadas y experimentales de secciones presforzadas

Figura 2-29 Comparación de Relaciones Momento-Curvatura idealizadas y experimentales de secciones parcialmente presforzadas

Después que se alcanzó la capacidad del elemento parcialmente presforzado y el

aplastamiento del concreto avanza, la capacidad de disipación de energía es

significantemente mayor que la de una sección totalmente presforzada y las

relaciones momento curvatura en las regiones de articulación plástica se comportan

establemente. La degradación de rigidez no es tan grande, dado que cuando el

concreto comienza a aplastarse, el acero no presforzado trabaja muy bien a

compresión y toma la parte que cede el concreto por desconchamiento del

recubrimiento (ACI - ASCE Committee 423, 1999).

Después de esta revisión de las características del concreto parcialmente

presforzado, se puede concluir que estos tipos de elementos conjuntan las ventajas


38

de dos sistemas importantes, por un lado la capacidad de recuperación elástica y

reducción de deformaciones del concreto totalmente presforzado y por otro lado la

capacidad de disipación de energía del concreto reforzado tradicional.

2.6.7 CARACTERÍSTICAS A FLEXIÓN Y FLEXOCOMPRESIÓN

Las relaciones momento curvatura son las que describen mejor el comportamiento

lineal y no lineal de elementos sometidos a flexión (Figura 2-30). En el ANEXO 2 se

puede observar el procedimiento para el cálculo de relaciones momento curvatura

para elementos parcialmente presforzados.

Se pueden observar varias particularidades de las relaciones momento-curvatura de

una sección de concreto presforzado con relación al caso de elementos reforzados

únicamente, entre ellas:

Si la fuerza de presfuerzo es excéntrica, la curva no empieza en cero, sino

en una curvatura negativa.

El punto del primer agrietamiento es para un momento mucho mayor que el

concreto reforzado, por lo cual se hace más necesario buscar un modelo

histerético que tome en cuenta el primer agrietamiento.

La primera rama ascendente no es tan lineal y además no hay un punto de

fluencia bien definido, lo cual complica la representación inelástica con un

simple modelo bilineal.

Figura 2-30 Relaciones Momento-Curvatura de un elemento presforzado excéntricamente


39

Se debe tener en cuenta el comportamiento a largo plazo debido a que el concreto y

fundamentalmente el concreto presforzado sufre ciertos fenómenos a lo largo de su

vida, como el flujo plástico, la contracción, y la relajación, que generan grandes

cambios en el comportamiento en función del tiempo. Estos fenómenos son más

evidentes ante elevadas y sostenidas cargas axiales, lo cual es común en elementos

presforzados.

Figura 2-31 Comparativa de diagramas de interacción de secciones presforsadas y no presforzadas

En el caso de elementos cargados axialmente, el comportamiento combinado de

flexocompresión se puede representar por medio de las mismas relaciones

momento-curvatura con el efecto de carga axial y con el diagrama de interacción

para columnas de concreto presforzado. El caso de secciones presforzadas presenta

un comportamiento diferente al de secciones reforzadas, ya que los diagramas de

interacción de columna presforzadas presentan una reducción de capacidad axial,

pero una ganancia considerable en la capacidad a momento como se puede ver en

la Figura 2-31(1).

2.7 CARACTERIZACIÓN SÍSMICA

2.7.1 INTRODUCCIÓN

La caracterización sísmica esta en base al peligro sísmico de un determinado lugar y

se cuantifica en términos de los periodos de retorno de intensidades o sus inversos,

denominados tasas de excedencia.

No siempre es posible determinar el peligro sísmico contando las veces que se han

excedido valores dados de intensidad en el sitio de interés, dado que no siempre se

dispone de catálogos y menos aún completos de las intensidades que se han

producido en un sitio en base a sismos pasados.


40

Por lo tanto se requiere cuantificar el peligro sísmico de manera indirecta, evaluando

la tasa de actividad sísmica en las fuentes generadoras de temblores, y después se

integran los efectos que producen en un sitio dado, y de esta manera generar tasas

de intensidades en un determinado lugar.

2.7.2 INTENSIDAD SÍSMICA

Es tema muy común la confusión entre los términos magnitud e intensidad sísmica, y

aunque están relacionadas entre sí, no tienen el mismo significado. La magnitud

sísmica es la cantidad de energía liberada en la fuente sísmica, producto del

deslizamiento entre las placas que originan la falla, mientras que la intensidad

sísmica es una medida de la sensación sísmica del movimiento en determinado

lugar. La intensidad puede medirse en función de la aceleración, velocidad o

desplazamiento máximo de la señal registrada, la pseudoaceleración del espectro de

respuesta para la misma señal, los efectos o daños causados en las estructuras

(escala de Mercalli), etc.

Bajo estos conceptos, se puede decir que existe una relación entre la magnitud de un

sismo y la intensidad percibida en determinado lugar, pero no es una relación lineal

directa, sino que está afectada por otros factores importantes como la distancia de un

lugar determinado a la fuente sísmica, la profundidad del sismo, la propagación de

ondas a través del terreno, y otros más.

Figura 2-32 Sismo de Haití 2010 (MS=7.0)

En la Ciudad de México son muy comunes los sismos de magnitud sísmica igual a

7.0 y sin consecuencias importantes, pero por otro lado tenemos el terrible sismo de

igual magnitud de Haití en el 2010 que destrozó todo a su paso como se ve en la

Figura 2-32.

En el análisis sísmico de estructuras, la medida más importante es la intensidad,

porque a través de ella se puede calcular la respuesta estructural asociada a

determinado evento sísmico.


41

2.7.3 TASAS DE EXCEDENCIA DE INTENSIDADES

Las tasas de excedencia de intensidades sísmicas se definen como el número de

veces, por unidad de tiempo, en que el valor de esa intensidad sísmica es excedido.

De esta manera se entiende que el inverso de la tasa de excedencia sería en periodo

de retorno asociado a dicha intensidad.

De la misma manera las tasas de excedencia de magnitudes se definen como el

número de veces, por unidad de tiempo, en que el valor de la magnitud sísmica es

excedido. Como complemento se debe tomar en cuenta que el periodo de retorno es

el inverso de la tasa de excedencia.

Figura 2-33 Tasa de excedencia de Magnitudes sísmicas

La Figura 2-33 muestra dos funciones de tasas de excedencia de magnitudes de dos

sitios diferentes y como se puede observar, para la misma tasa (0.01) se tienen dos

magnitudes diferentes. Esto quiere decir que el sitio correspondiente a la primer

curva tiene que un sismo de magnitud aproximadamente igual a 6.0 puede ocurrir en

100 años, mientras que en el sitio correspondiente a la segunda curva, en los

mismos 100 años podría ocurrir un sismo de magnitud sísmica superior a 7.0.


42


43

CAPÍTULO 3

3 MODELACIÓN Y ANÁLISIS DE PUENTE TIPO

PÉNDULO INVERTIDO


44

3.1 INTRODUCCIÓN

Los puentes urbanos tipo péndulo invertido son estructuras rígidas de altas

resistencias, por lo que se deben tratar como estructuras especiales, dado que su

comportamiento difiere en mucho de las estructuras tradicionales de edificios a las

que estamos acostumbrados en la práctica.

De manera particular, los puentes urbanos tipo péndulo invertido presentan un

comportamiento dinámico variable en función de la masa rotacional de la

superestructura. El modo fundamental de vibrar en la dirección traslacional puede

verse seriamente influenciado por los modos de cabeceo o rotación de la

superestructura. Esto puede generar incrementos en la respuesta estructural, y

comportamientos no lineales que inicialmente no se habían contemplado.

Por otro lado, la incertidumbre asociada al fenómeno sísmico no puede ser resuelta

mediante una condición determinista, por lo cual, los sismos deben tratarse como

una variable aleatoria y buscar que esta sea lo más representativa posible del

espacio muestral.

Finalmente, al contemplar una caracterización completa de las solicitaciones

sísmicas, se hace evidente la necesidad de plantear modelos no lineales que tomen

en cuenta el efecto del daño que se produce en los elementos estructurales.

El presente capítulo describe las características de la estructura en estudio, su

modelación, y demás consideraciones propias del análisis no lineal. Además

contempla el análisis de la simulación sísmica que caracteriza a la zona de

emplazamiento.

3.2 DESCRIPCIÓN DE LA ESTRUCTURA EN ESTUDIO

3.2.1 INTRODUCCIÓN

La estructura a estudiar es una columna típica de concreto presforzado que forma

parte del proyecto “Autopista Urbana Sur”, dentro del proyecto general “AUTOPISTA

URBANA” de la Ciudad de México.

El proyecto referido consiste en una vialidad elevada en zona urbana con 4 carriles

(2 por sentido), con una longitud aproximada de16km que va desde la parte final del

distribuidor San Jerónimo hasta Muyuguarda, además de un tramo, que parte desde

el crucero del Anillo Periférico Sur con Viaducto-Tlalpan hacia la salida a Cuernavaca

como se observa en la Figura 3-1.


45

Figura 3-1 Trayecto de la Autopista Urbana Sur

3.2.2 UBICACIÓN

La vialidad elevada “Autopista Urbana Sur” se localiza al sur de la Ciudad de México,

cubriendo en planta al Anillo Periférico Sur.

Esta autopista fue dividida en 5 inter-tramos, el primero San Jerónimo-Picacho, el

segundo Picacho-Insurgentes, el tercero Insurgentes-Viaducto Tlalpan, el cuarto

Viaducto Tlalpan-Muyuguarda y el quinto la salida a Cuernavaca. La estructura en

estudio es una columna tipo del tramo Picacho-Insurgentes (Figura 3-2).

Figura 3-2 Ubicación del tramo en estudio


46

3.2.3 ESTRUCTURACIÓN

La estructura de este sector en estudio consiste en una cimentación profunda

resuelta con pilas, la subestructura se conforma de zapatas aisladas apoyadas sobre

pilas y de estos elementos se desplantan columnas de concreto de alta resistencia

prefabricadas y presforzadas.

Como superestructura, se tienen trabes presforzadas que se clasifican en 2 grupos

principales, las trabes TA (trabes de apoyo) y las trabes TC (trabes centrales). Las

trabes TA forman un marco longitudinal al ensamblarse rígidamente a las columnas y

las trabes TC se sostienen simplemente apoyadas sobre las trabes TA, formando un

sistema tipo Gerber para romper la continuidad longitudinal.

Posteriormente se colocan unas tabletas prefabricadas y presforzadas sobre las

trabes para generar el tablero y se cuela sobre ellas un firme estructural o capa de

compresión para la resistencia a flexión y formar además un diafragma rígido que

sirva para distribuir de manera uniforme las cargas.

Finalmente en los aleros de las trabes se construyen guarniciones sobre las que se

coloca el parapeto metálico y otro parapeto central de concreto para dividir los

sentidos quedando completa la sección elevada.

La estructura consta de los siguientes sistemas estructurales:

Pilas: Son de concreto reforzado colado en sitio, f’c= 250 kg/cm². Su nivel

de desplante varía entre 32 y 15 metros, teniendo la mayor cantidad de

pilas una profundidad de 20 m.

Zapatas: Losas macizas de cimentación de concreto prefabricado, con f’c=

600 kg/cm². Su peralte total es de 1.7 m. Su sección en planta es

rectangular, el cual es de 3.60 x 4.60 m. El nivel de desplante de zapatas es

de 2.2 m bajo el nivel del terreno.

Columnas: Elementos de sección oblonga aligerada, de concreto

prefabricado, reforzado y pretensado con f’c= 600 kg/cm². Sus dimensiones

transversales varían con la altura de 220 x 260 cm en su sección más

esbelta hasta 220 x 335 cm en la sección más grande, con espesor de

pared de 60 cm; y sus alturas varían entre 3.7 y 11.5 metros.

Trabe TA: Trabe cajón de concreto presforzado, f’c= 600 kg/cm². Tiene un

peralte constante de 172 cm y un ancho a nivel de patines de 700 cm, su

longitud varia de 40 a 45 metros. Se divide en tres tramos principalmente,

un volado izquierdo de 5 m, un tramo central entre columnas que varía de


47

30 a 35 m y un volado derecho de 5 m. Los extremos de su tramo central se

conectan con las columnas.

Trabe TC: Trabe cajón de concreto presforzado, f’c= 600 kg/cm². Tiene un

peralte constante de 172 cm y un ancho a nivel de patines de 700 cm, su

longitud varia de 34 a 35 metros. Se apoya isostáticamente sobre las trabes

TA.

3.2.4 MATERIALES

A continuación se presenta la Tabla 3.1, que muestra el resumen de las propiedades

mecánicas de los materiales que componen la estructura.

Tabla 3.1 Resumen de las características de los materiales

Material Descripción Valor Unidad

CONCRETO

Resistencia Característica f'c 600 kg/cm2

Resistencia Media fcm 645 kg/cm2

Módulo de Elasticidad Ec 318207 kg/cm2

Módulo de Elasticidad Medio Ecm 325873 kg/cm2

Módulo de Cortante G 135781 kg/cm2

Relación de Poisson vc 0.20

ACERO de refuerzo

Resistencia de Fluencia fy 4200 kg/cm2

Resistencia Última fu 6300 kg/cm2

Módulo de Elasticidad Es 2100000 kg/cm2

Relación de Poisson vs 0.30

ACERO de presfuerzo

Resistencia de Fluencia fy 16200 kg/cm2

Resistencia Última fu 19000 kg/cm2

Módulo de Elasticidad Eps 1900000 kg/cm2

Área de Torón (3/8 in) Aps 0.548 cm2

Fuerza Inicial p/torón Fi 7315 kg

Fuerza Efectiva p/torón Fe 5852 kg

Número de torones N 472


48

Concreto

El comportamiento del concreto confinado y no confinado ha recibido la atención de

varios investigadores y ha sido ampliamente estudiado a bajas y altas velocidades de

deformación, estas últimas simulando de alguna manera el comportamiento del

concreto ante acciones dinámicas con elevadas aceleraciones como las que se

presentan durante un sismo.

Todos los investigadores han llegado a conclusiones comunes en cuanto al efecto

del aumento de velocidad de deformación: 1) la resistencia a compresión, el módulo

secante de elasticidad y la pendiente de la rama descendente de la curva esfuerzo

deformación incrementan; y 2) la deformación máxima a la falla decrece, mientras

que la deformación al esfuerzo máximo puede incrementar o decrecer dependiendo

de la velocidad de deformación. (Bing, L.; Park , R. and Tanaka, H., 2000).

Por otro lado, la mayor parte de los estudios han sido limitados a concretos de

resistencia normal con valores de entre 20 y 40 Mpa, por lo que no se tiene

suficiente investigación del comportamiento de concretos de alta resistencia.

Los modelos propuestos por Park et al. (modificado), y Mander et al., han sido

ampliamente utilizados para concretos de resistencias normales y representan muy

bien el comportamiento del concreto en la parte ascendente, pero no manejan muy

bien la parte descendente para concretos de alta resistencia; mientras el modelo de

Park et al. (modificado) es muy optimista, el modelo de Mander et al., se vuelve muy

conservador para concretos de alta resistencia.

Figura 3-3 Comparación de diferentes modelos de concreto

Bing et al., proponen un modelo para concreto de alta resistencia confinado por aros

y espirales, tanto para secciones rectangulares como circulares, la Figura 3-3


49

muestra una comparación de los modelos de Park et al. (modificado), Mander et al.,

y Bing et al., para un concreto de 600 Kg/cm2.

Para la presente investigación se utilizó el modelo de (Bing, L.; Park , R. and Tanaka,

H., 2000), dado que representa de mejor manera el comportamiento de concreto de

alta resistencia confinado y no confinado. La Figura 3-4 muestra los modelos de

concreto utilizados, el no confinado y los confinados por estribos transversales de 10

y 20 cm respectivamente.

Además, dado que el concreto presenta características mecánicas muy variables,

propias de su naturaleza y elaboración, se realizó en este trabajo un análisis

probabilista para determinar el valor medio de la resistencia a compresión, en base a

información de trabajos de investigación desarrollados por (Mendoza, C.; and

Moguel, C., 1999). Dado que las desviaciones estándar y particularmente los

coeficientes de variación de las resistencias de concreto son muy grandes, es

recomendable utilizar valores medios en el análisis, ya que los valores son muy

conservadores.

La deducción y cálculo completo se pueden ver en el ANEXO 1, de donde se obtuvo

que la resistencia media del concreto es de .

Figura 3-4 Modelo de Bing et al. para concreto confinado y no confinado

Acero de refuerzo

El acero de refuerzo tiene un comportamiento con menor variación, y los modelos

que se han propuesto para representarlo han dado buenos resultados. Dado su

amplio uso y gran aproximación, se ha propuesto para este estudio el modelo de

Kent y Park, que se puede apreciar en la Figura 3-5.


50

Figura 3-5 Modelo de Kent y Park para el acero de refuerzo

Acero de Presfuerzo

El acero de presfuerzo es muy similar al acero de refuerzo en el módulo de

elasticidad, pero tiene muchas diferencias importantes que hay que considerar. La

primer gran diferencia es su resistencia, creciendo hasta más de 4 veces con

respecto al acero de refuerzo, y la segunda gran diferencia es que no presenta un

punto marcado de fluencia, incluso, muchos investigadores han tratado de llegar a un

acuerdo con respecto a este tema y se propuso considerar como esfuerzo de

fluencia el correspondiente a una deformación unitaria de 0.01.

Figura 3-6 Modelo de Menegotto y Pinto para el acero de presfuerzo

El modelo que recomienda Naaman en su libro de análisis y diseño de concreto

presforzado es el de Menegotto y Pinto (Figura 3-6) y es el que se utilizó para el

presente estudio (Naaman, A. E., 1982).


51

3.3 MODELACIÓN NUMÉRICA

3.3.1 INTRODUCCIÓN

La modelación es la representación de las características geométricas y de

materiales de la estructura a estudiar. En el capítulo 2 se revisaron diferentes

técnicas y niveles de modelación estructural, y para el presente estudio, dada la

complejidad matemática del tipo de análisis, se utilizará una modelación con

elementos viga-columna.

3.3.2 GEOMETRÍA

A continuación se presenta la geometría y detalles de la estructura en estudio que

será modelada y analizada.

La columna en estudio es una columna tipo del viaducto elevado, y se tomará como

la más desfavorable, la columna de sección tipo que presente la máxima altura

posible, y esta corresponde a una columna de 11.50 m.

Figura 3-7 Vista frontal y lateral de una columna tipo

La Figura 3-7 muestra la elevación de la estructura, donde se puede apreciar la

variación de dimensiones en la dirección longitudinal en función de la altura de la

columna.


52

Tanto el refuerzo longitudinal como el refuerzo transversal es variable en altura

(Figura 3-8), lo cual debe tomarse en cuenta al omento de generar las curvas

momento-curvatura, ya que es función de estos dos aspectos.

Figura 3-8 Detalle del refuerzo de la columna en elevación

El acero de refuerzo de las columnas es variable en función de la altura, sin

embargo, el acero de presfuerzo es continuo desde la base hasta la parte superior

como se puede observar en la (Figura 3-8).

Figura 3-9 Sección transversal de base y superior


53

Las secciones de la columna son oblongas y variables en la dirección longitudinal en

función de la altura, con unas dimensiones de base de 2.20m por 3.35m y con

dimensiones en la parte superior de 2.20m por 2.60m, como muestra la Figura 3-9.

Como se puede apreciar las secciones son simétricas oblongas con varias

irregularidades, y se trata de secciones de concreto de alta resistencia parcialmente

presforzadas.

La superestructura consiste en trabes presforzadas con una geometría de sección

cajon (Figura 3-10). Dado que en un sismo, la superestructura normalmente no sufre

daño y tomando en cuenta que se realizará un análisis 2D, la superestructura será

modelada mediante una concentración de masa traslacional y rotacional

correspondiente a la longitud tributaria de la columna en estudio.

Figura 3-10 Geometría de sección central de trabe presforzada

Figura 3-11 Refuerzo de sección central de trabe presforzada

Dado que se utilizó un análisis 2D, la superestructura se modeló como una masa

concentrada por simplicidad, y se tomó en cuenta tanto el efecto traslacional, como el

efecto rotacional de la masa concentrada para tomar en cuenta el efecto de cabeceo

y su influencia en la dinámica estructural del puente.


54

El resumen de la cuantificación de la masa traslacional y rotacional de la

superestructura considerados en el análisis se muestra en la Tabla 3.2.

Tabla 3.2 Resumen de masas en la superestructura

DESCRIPCIÓN

PESO

TRASLACIONAL

(Ton)

PESO

ROTACIONAL

(Ton.m2)

TRABES Y LOSA 713 10507

PARAPETOS Y BARANDAS 126 4504

CARPETA ASFÁLTICA 91 1648

CARGA VIVA 35%HS20 53 961

TOTAL= 983 17620

3.3.3 NIVEL DE DISCRETIZACIÓN

La columna de estudio tiene una altura total de nivel superior de cimentación a nivel

inferior de trabe de 11.50 m. Como la sección es variable en función de la altura, se

propone una dicretización en sub-elementos de sección constante de 1 m de longitud

para considerar de manera muy aproximada la rigidez y distribución de masa real.

Únicamente el primer elemento es de 2 m de longitud para modelar correctamente la

longitud de rótula plástica supuesta que se considerará de 1m de acuerdo a

recomendaciones de la literatura. Este nivel de discretización da como resultado un

total de 11 nodos y 10 elementos.

Tabla 3.3 Resumen de propiedades geométricas de los elementos

N° ELEMENTO A I AS E G Peso

(m2) (m4) (m2) (Ton/m2) (Ton/m2) (Ton/m)

1 ELEMENTO 1 4.1085 1.8486 2.5210 3258732 1357805 9.8604

2 ELEMENTO 2 4.0188 1.7917 2.5047 3258732 1357805 9.6451

3 ELEMENTO 3 3.9291 1.7347 2.4877 3258732 1357805 9.4298

4 ELEMENTO 4 3.8394 1.6777 2.4699 3258732 1357805 9.2145

5 ELEMENTO 5 3.7497 1.6208 2.4513 3258732 1357805 8.9992

6 ELEMENTO 6 3.6600 1.5638 2.4318 3258732 1357805 8.7840

7 ELEMENTO 7 3.5703 1.5068 2.4113 3258732 1357805 8.5687

8 ELEMENTO 8 3.4626 1.4378 2.3846 3258732 1357805 8.3102

9 ELEMENTO 9 3.3997 1.3972 2.3683 3258732 1357805 8.1593

10 ELEMENTO 10 3.3997 1.3972 2.3683 3258732 1357805 8.1593


55

La Tabla 3.3, muestra el resumen con las propiedades geométricas y mecánicas de

los elementos. El memento de inercia indicado en la tabla es el correspondiente a la

sección bruta de concreto, mismo que será reemplazado por el momento agrietado

de acuerdo al modelo no lineal utilizado mediante el cálculo de relaciones momento-

curvatura.

3.4 TÉCNICA DE ANÁLISIS

3.4.1 INTRODUCCIÓN

La técnica de análisis consiste en el tipo de formulación matemática con el que será

resuelto el modelo planteado, de acuerdo a la física que representa el fenómeno

estudiado. Como se mencionó en el Capítulo 2 existen varios niveles de análisis,

unos más sofisticados que otros, dependiendo del planteamiento matemático

utilizado y de acuerdo a la consideración de los efectos no lineales y dinámicos.

Para el presente trabajo se empleó un análisis en el dominio del tiempo no-lineal

(material), que combina la naturaleza dinámica del fenómeno sísmico y el

comportamiento de la estructura cuando se rebasan sus capacidades elásticas

lineales.

3.4.2 MÉTODO DE ANÁLISIS

Para encarar el problema dinámico se deben utilizar métodos que no se basen en el

principio de superposición, dado que ese principio no aplica para el caso no lineal,

por lo tanto en este trabajo se utilizará el método integración directa correspondiente

al método Beta de Newmark de aceleración constante implementado en el software

Ruaumoko.

Este método destaca sobre su similar de aceleración lineal por su gran aproximación

y sobre todo por ser incondicionalmente estable, lo cual es muy importante cuando

se tienen estructuras con modos superiores que pueden tomar gran importancia en el

comportamiento dinámico.

3.4.3 COMPORTAMIENTO NO LINEAL (MATERIAL)

El comportamiento no lineal será representado por las relaciones Momento-

Curvatura de las secciones de concreto parcialmente presforzado.


56

Figura 3-12 Consideración de núcleo confinado y recubrimiento

Las curvas momento curvatura se generaron considerando un núcleo de concreto

confinado y un recubrimiento de concreto no confinado (Figura 3-12), de acuerdo al

modelo de (Bing, L.; Park , R. and Tanaka, H., 2000).

Las curvas momento-curvatura fueron simplificadas a un comportamiento bilineal con

endurecimiento y otro trilineal que tome en cuenta el primer agrietamiento. Las

simplificaciones se llevaron a cabo mediante la igualación de energías de

deformación, mismo que se logra al igualar las áreas bajo las curvas completa y

simplificada.

El comportamiento del concreto parcialmente presforzado genera un cambio

relativamente pequeño en las propiedades de rigidez y resistencia ante ciclos

repetitivos de carga por lo cual se eligió el modelo histerético de Takeda-Modificado,

pero utilizando el límite inferior de los factores de degradación de rigidez y sin

degradación de resistencia.

Las curvas Momento-Curvatura se obtuvieron del análisis para secciones

parcialmente presforzadas y bajo el efecto de carga axial adicional de acuerdo a la

metodología que se detalla en el ANEXO 2.

Dado que es una estructura de una sola columna, no se desarrollaran variaciones de

carga axial, por lo cual el efecto de la compresión de la sección se tomará en cuenta

en las relaciones momento-curvatura, con lo cual no se requerirán superficies de

fluencia.

La Figura 3-13 y la Figura 3-14 muestran las relaciones momento-curvatura

completas y una aproximación o simplificación matemática bi-lineal y tri-lineal

respectivamente de la sección base de la columna, que es donde se espera la

formación de una rótula o articulación plástica. Los demás elementos no se

consideran para el análisis de relaciones momento-curvatura, porque no se espera

que se sobrepasen los límites elásticos en ellos.


57

Figura 3-13 Relación Momento-Curvatura Bi-Lineal

Figura 3-14 Relación Momento-Curvatura Tri-Lineal

La carga axial utilizada en el análisis de las secciones contempla el peso propio de la

columna y la superestructura, y las sobrecargas utilizadas para el análisis sísmico,

que aproximadamente se calculan en 1050 ton.


58

3.5 SIMULACIÓN DE SISMOS

3.5.1 INTRODUCCIÓN

Existen diversas técnicas de simulación que se utilizan actualmente para la

simulación de sismos en el campo de la investigación. La simulación se hace

necesaria ante la falta de datos o que no se tenga el catálogo completo de los

mismos.

El problema de falta de datos es muy común en el tema sísmico, primeramente

debido a que es muy complicado y costoso contar con instrumentación sísmica

cubriendo toda la zona afectada por sismos y por otro lado, la información con la que

se cuenta es relativamente reciente y no representa lo que alguna vez pudo haber

ocurrido en épocas pasadas. Esto ha dado mucha importancia a los métodos de

simulación sísmica y sus desarrollos y resultados han sido realmente importantes en

la actualidad.

El método de simulación que se utilizará en el presente es el Método de la función de

Green Empírica.

3.5.2 MÉTODO DE LA FUNCIÓN DE GREEN EMPÍRICA

Esta técnica se basa en un sismo semilla registrado en el sitio de estudio, a partir del

cual se generan sismos sintéticos bajo el concepto de una integración de sismos

pequeños en función de los tiempos de ruptura caracterizados probabilísticamente.

Los sismos simulados con este método se basan en incrementos de magnitud

sísmica, que es similar a magnificar la cantidad de energía liberada en la falla

tectónica, pero esto no siempre se traduce en una mayor intensidad o sensación del

temblor. Esto se debe a la naturaleza aleatoria de los tiempos entre ruptura, por lo

que dos sismos simulados con la misma semilla y para una misma magnitud, no

necesariamente serán iguales en intensidad, ya que esto depende de procesos

aleatorios del tiempo de ruptura que también son simulados.

Los comienzos y desarrollo actual de este método pueden revisarse en los trabajos

realizados por (Joyner, W.; and Boore, D., 1986), (Wennerberg, L., 1990), (Ordaz, M.;

Arboleda, J.; and Singh, S. , 1995), y (Kohrs-Sansorny, C.; Courboulex, F.; Bour, M.;

and Deschamps, A., 2005).

El trabajo de tesis presentado por (Cruz, M., 2008), muestra en uno de sus

apéndices de manera compacta, la formulación matemática del método de la Función


59

de Green Empírica para simulación de grandes sismos, implementado por (Ordaz,

M.; Arboleda, J.; and Singh, S. , 1995).

3.5.3 METODOLOGÍA DE SIMULACIÓN UTILIZADA

Para generar los sismos se utilizaron como semillas diferentes sismos registrados en

Ciudad Universitaria C.U. (UNAM) del Distrito Federal de México, dado que la

estructura a estudiar está desplantada muy cerca de dicha estación.

Para obtener semillas representativas, se ubicaron todas las señales sísmicas de la

base de datos de sismos fuertes de la SMIS registradas en Ciudad Universitaria en

las diferentes fuentes sísmicas mexicanas de acuerdo a la caracterización de fuentes

sísmicas propuesta por (Zúñiga, R.; Suárez, G.; Ordáz, M. and García, V., 1997).

Figura 3-15 Fuentes sísmicas (Zúñiga, R.; Suárez, G.; Ordáz, M. and García, V., 1997)

La Figura 3-15 y la Figura 3-16 muestran las principales fuentes sísmicas de acuerdo

a Zúñiga et al. y la ubicación en planta de los epicentros de los sismos registrados en

C.U.

Figura 3-16 Localización de los sismos registrados en C.U.


60

De este análisis se escogieron 3 fuentes representativas (NAM, SUB2 y SUB3) y sus

semillas o funciones de Green correspondientes. Se simularon señales sísmicas

proporcionales a la sismicidad de las fuentes escogidas y se cubrió completamente el

dominio de intensidades correspondientes a la curva de tasas de excedencia

calculada para la estación de Ciudad Universitaria. De esta manera se asume haber

caracterizado de una manera adecuada la naturaleza aleatoria del fenómeno

sísmico.

3.5.4 TASA DE EXCEDENCIA DE INTENSIDADES DE C.U.

La ecuación de tasas de excedencia de intensidades de Ciudad Universitaria fue

proporcionada por el Dr. Jorge L. Alamilla, y se toma como intensidad la

pseudoaceleración del espectro de respuesta elástico para 1 segundo de periodo y

5% de amortiguamiento crítico. La ecuación que representa la función de tasa de

excedencia de intensidades es la siguiente:

[ (

) ] [ (

) ] Ecc. ( 3-1)

Donde , , , , , , son valores

constantes.

Figura 3-17 Función de tasas de excedencia de intensidades (Esc. Lineal)

La Figura 3-17 muestra gráficamente la función de tasas de excedencia de

intensidades para C.U. en una escala lineal, sin embargo, la manera más

convencional de representar este tipo de funciones es mediante una escala

logarítmica en ambos ejes, lo cual se puede ver en la Figura 3-18.


61

Figura 3-18 Función de tasas de excedencia de intensidades (Esc. Log.)

3.5.5 SISMOS SEMILLA O FUNCIONES DE GREEN

Los sismos semilla fueron escogidos de 3 de las fuentes que representan los bloques

de mayor actividad sísmica de México registrada en Ciudad Universitaria como se

puede ver en la Figura 3-16.

A continuación las Figura 3-19, Figura 3-20, y Figura 3-21 muestran los sismos

semilla o función de Green, que se utilizaron para la simulación sísmica con sus

respectivos espectros de respuesta lineales para un porcentaje de amortiguamiento

crítico del 5%.

Figura 3-19 Acelerograma y espectro de respuesta, semilla NAM (MS=6.0)


62

Figura 3-20 Acelerograma y espectro de respuesta, semilla SUB2 (MS=5.9)

Figura 3-21 Acelerograma y espectro de respuesta, semilla SUB3 (MS=6.6)

Como se puede apreciar en las figuras anteriores, los espectros de respuesta son

diferentes entre ellos y de esa manera representan mejor la gama de futuros eventos

sísmicos a los que pueda estar sometida la estructura.


63

CAPÍTULO 4

4 ANÁLISIS DE LA RESPUESTA SÍSMICA


64

4.1 INTRODUCCIÓN

En el presente capítulo se presenta el análisis de la respuesta sísmica de una

columna del viaducto urbano tipo péndulo invertido descrito en el Capítulo 3.

En una primera parte se presentan los resultados del análisis de la columna ante el

sismo de 1985 registrado en Ciudad Universitaria, dado que la estructura se

encuentra desplantada cerca de la zona; y en la segunda parte se presenta un

análisis de tasas de excedencia de distorsiones de entrepiso de la misma estructura

ante eventos sísmicos simulados que cubren el dominio de la tasa de excedencia de

intensidades sísmicas de Ciudad Universitaria.

El fin es cuantificar, analizar e inferir sobre el efecto de la inercia rotacional en este

tipo de estructuras ante la caracterización sísmica considerada.

4.2 ANÁLISIS DE LA RESPUESTA MODELO DE FLUENCIA

El análisis se realizó en 2D con el programa de análisis no lineal Ruaumoko,

utilizando para este análisis el modelo bi-lineal de Takeda-Modificado, considerando

un punto de fluencia en el modelo bi-lineal utilizado, mismo que se obtiene del

análisis de la relación momento-curvatura de la sección considerando el nivel de

carga axial en la columna y aproximando la relación a un modelo bi-lineal

simplificado mediante igualación de energías de deformación como se muestra en la

Figura 3-13.

El sismo utilizado en el análisis es el registrado en Ciudad Universitaria el 19 de

septiembre de 1985. A pesar de someter a la estructura a un sismo de magnitud

sísmica igual a 8.2, la estructura no incursiona en el rango no lineal, lo cual se vuelve

común para estructuras de puentes urbanos, que son bastante rígidas y resistentes.

4.2.1 PERIODOS DE VIBRACIÓN

Una forma de entender mejor el comportamiento dinámico de las estructuras es a

través del estudio de sus periodos de vibrar y formas modales, que representan las

características dinámicas propias de la estructura, indistintamente a la señal sísmica

que sean sometidas. Además comparar estas características dinámicas con

programas de cálculo más sencillos, sirve como validación del modelo resuelto con

programas más sofisticados.

El análisis de modos de vibrar y periodos fue validado con una estructura modelada

en el software comercial SAP2000.


65

Tabla 4.1 Periodos de vibración, modelo de fluencia sin inercia rotacional

Sin inercia rotacional de superestructura

Modo Periodo

SAP2000 (seg)

Periodo

Ruaumoko (seg) % variación

1 0.8723 0.8722 0.0154%

2 0.0622 0.0622 0.0145%

3 0.0341 0.0341 0.0734%

4 0.0118 0.0119 0.1435%

5 0.0065 0.0065 0.2473%

6 0.0063 0.0063 0.0160%

7 0.0043 0.0043 0.2550%

8 0.0032 0.0032 0.2168%

9 0.0032 0.0032 0.0000%

10 0.0026 0.0026 0.1533%

Tabla 4.2 Periodos de vibración, modelo de fluencia con inercia rotacional

Con inercia rotacional de superestructura

Modo Periodo

SAP2000 (seg)

Periodo

Ruaumoko (seg) % variación

1 0.9891 1.0060 1.7068%

2 0.2582 0.2596 0.5586%

3 0.0608 0.0622 2.2811%

4 0.0249 0.0249 0.0765%

5 0.0103 0.0103 0.1163%

6 0.0063 0.0063 0.0320%

7 0.0061 0.0061 0.1817%

8 0.0042 0.0042 0.1910%

9 0.0032 0.0032 0.0626%

10 0.0032 0.0032 0.1254%

Como se puede apreciar, la consideración de la inercia rotacional de la

superestructura cambia de manera importante las características dinámicas propias

de la estructura, y en este particular caso, sucede algo interesante, dado que al

considerar la masa rotacional, el periodo fundamental se reduce en lugar de

aumentar.


66

4.2.2 HISTORIAS DE CORTANTE Y DE MOMENTOS

La historia de cortantes y de momentos es consistente con la forma del acelerograma

y se mantiene lineal.

Figura 4-1 Historia de cortantes sin inercia rotacional

Figura 4-2 Historia de cortantes con inercia rotacional

Se puede observar que el considerar la inercia rotacional reduce los cortantes en la

base, pero esto se debe a las características dinámicas propias del sismo y de la

estructura, lo cual no parece tener mucho sentido, sin embargo, la respuesta a esta

situación viene acompañada de principios dinámicos importantes.

Al considerar la masa rotacional, el periodo fundamental de la estructura disminuye;

para este periodo reducido, el espectro de respuesta del sismo casualmente también

se reduce, y decimos casual, porque esto se da específicamente para este sismo,


67

pues cada sismo tiene su espectro de respuesta particular. Esto no siempre será así

como se verá más adelante.

Con los momentos pasa algo similar, pero como se explicó anteriormente, esta

disminución de los momentos considerando la inercia rotacional de la estructura es

función de las características dinámicas propias de la estructura y su relación con las

frecuencias contenidas en el sismo en cuestión.

Figura 4-3 Historia de momentos en la base y la cabeza, modelo de fluencia sin inercia rotacional

Figura 4-4 Relación momento cabeza entre momento en la base modelo de fluencia sin inercia rotacional

Además como se puede ver en la Figura 4-3, el momento en la parte superior de la

estructura es prácticamente nulo cuando no se consideran los efectos de inercia

rotacional de la superestructura, pero en la Figura 4-5, se puede ver claramente que

al considerar la masa rotacional, los momentos en la cabeza se vuelven

considerables, del orden de un 20-23% en promedio en comparación a los momentos

de base. Resultados similares fueron obtenidos por investigaciones pasadas.


68

Figura 4-5 Historia de momentos en la base y la cabeza modelo de fluencia con inercia rotacional

Figura 4-6 Relación momento cabeza entre momento en la base modelo de fluencia con inercia rotacional

La Figura 4-6 muestra la relación entre el valor absoluto del momento de cabeza y el

momento absoluto en la base. Los valores tan altos de relación entre ellos en función

del tiempo demuestran que las rotaciones en la cabeza y los desplazamientos

laterales no están totalmente en fase, sino que para tiempos en los que el momento

en la cabeza se hacen grandes, los de base son pequeños, generándose una

dinámica muy particular en la estructura.

4.2.3 HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS

Los desplazamientos toman una forma similar, como se puede apreciar en la Figura

4-7 y en la Figura 4-8, los desplazamientos en el nodo superior también se reducen

al considerar el efecto rotacional de la superestructura.

Otra cosa a destacar es que los desplazamientos absolutos en la cabeza son del

orden de los 2 cm, lo cual nos indica el grado de rigidez que presenta este tipo de

estructuras de puentes urbanos tipo péndulo invertido.


69

Figura 4-7 Historia de desplazamientos en la cabeza modelo de fluencia sin inercia rotacional

Figura 4-8 Historia de desplazamientos en la cabeza modelo de fluencia con inercia rotacional

4.2.4 RELACIONES CORTANTE DESPLAZAMIENTO

La relación cortante basal contra desplazamiento para el modelo sin inercia

rotacional muestra un comportamiento lineal como es de esperarse (Figura 4-9), sin

embargo y a pesar de que la estructura permanece en el rango lineal del material, la

relación presenta un comportamiento diferente, no necesariamente lineal cuando se

incluye la masa rotacional (Figura 4-10). A primera vista pareciera que la estructura

incurrió en el rango no lineal, pero en realidad el límite de fluencia nunca fue

rebasado, por lo cual se atribuye este comportamiento a la vibración de la estructura

en dos modos fuera de fase.


70

Figura 4-9 Relación cortante vs desplazamiento modelo de fluencia sin inercia rotacional

Figura 4-10 Relación cortante vs desplazamiento modelo de fluencia con inercia rotacional

4.3 ANÁLISIS DE LA RESPUESTA CON MODELO DE AGRIETAMIENTO

En realidad este modelo es un modelo bilineal adaptado al primer agrietamiento del

concreto, dado que es un punto claramente marcado en secciones presforzadas y

puede cambiar en mucho el análisis de la respuesta esperada, ya que la inercia de la

sección no agrietada es mayor y da como resultado una estructura inicial más rígida,

que puede interactuar de manera diferente con el mismo sismo.

Para este caso se utilizó también el modelo de Takeda-modificado pero con un punto

de agrietamiento, en lugar de uno de fluencia. La relación momento-curvatura

utilizada para este análisis se muestra en la Figura 3-14.


71

4.3.1 PERIODOS DE VIBRACIÓN

El análisis de modos de vibrar y periodos fue validado con una estructura modelada

en el software comercial SAP2000.

Tabla 4.3 Periodos de vibración, modelo de agrietamiento sin inercia rotacional

Sin inercia rotacional de superestructura

Modo Periodo

SAP2000 (seg)

Periodo

Ruaumoko (seg) % error

1 0.5762 0.5765 0.052%

2 0.0610 0.0622 1.951%

3 0.0248 0.0245 1.048%

4 0.0096 0.0094 1.948%

5 0.0061 0.0063 2.374%

6 0.0054 0.0055 1.241%

7 0.0037 0.0037 1.270%

8 0.0032 0.0032 0.185%

9 0.0028 0.0028 0.212%

10 0.0023 0.0023 0.043%

Tabla 4.4 Periodos de vibración, modelo de agrietamiento con inercia rotacional

Con inercia rotacional de superestructura

Modo Periodo

SAP2000 (seg)

Periodo

Ruaumoko (seg) % error

1 0.6627 0.6631 0.060%

2 0.1789 0.1800 0.615%

3 0.0625 0.0622 0.496%

4 0.0186 0.0188 1.129%

5 0.0084 0.0086 1.821%

6 0.0062 0.0063 1.532%

7 0.0051 0.0052 2.902%

8 0.0037 0.0037 0.272%

9 0.0032 0.0032 0.062%

10 0.0028 0.0028 0.035%


72

Como se puede apreciar, la consideración de la inercia rotacional de la

superestructura cambia de manera las características dinámicas propias de la

estructura, y a diferencia del caso anterior, al considerar la masa rotacional, el

periodo fundamental aumenta.

4.3.2 HISTORIAS DE CORTANTE

Los cortantes mantienen el patrón del acelerograma y aún permanecen

perfectamente elásticos, pero a diferencia del caso anterior, los elementos

mecánicos aumentan al considerar la inercia rotacional.

Figura 4-11Historia de cortantes modelo de agrietamiento sin inercia rotacional

Figura 4-12Historia de cortantes modelo de agrietamiento con inercia rotacional


73

4.3.3 HISTORIAS DE MOMENTOS

Los momentos permanecen lineales puesto que la estructura bajo el sismo no

alcanza ni siquiera el momento de agrietamiento.

Figura 4-13Historia de momentos en la base y la cabeza modelo de agrietamiento sin inercia rotacional

Figura 4-14 Relación momento cabeza entre momento en la base modelo de agrietamiento sin inercia rotacional

Se observa al igual que el caso anterior que los momentos en la cabeza de la

columna son prácticamente nulos cuando no se considera la inercia rotacional y

aumentan considerablemente cuando si se considera, alrededor de un 13-14%.

Esto muestra que el efecto de inercia rotacional puede resultar benéfico o contrario

en función de las características dinámicas propias de la estructura y del sino al que

se someta.


74

Figura 4-15 Historia de momentos en la base y la cabeza modelo de agrietamiento con inercia rotacional

Figura 4-16 Relación momento cabeza entre momento en la base modelo de agrietamiento con inercia rotacional

4.3.4 HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS

Los desplazamientos son consistentes con los correspondientes al anterior caso,

permanecen en el rango lineal y se observa que tomando en cuenta la inercia

rotacional, los desplazamientos aumentan, aunque no considerablemente (Figura

4-17 y Figura 4-18).

Por otro lado al utilizar un modelo no agrietado para la primer parte de la curva bi-

lineal, se tienen rigideces mayores, lo cual se traduce en menores desplazamientos

laterales de la estructura para el mismo sismo.

Lo que sí es rescatable es que la interacción dinámica entre la estructura y el sismo

es distinta al caso con el modelo de fluencia. En este caso si se podría afirmar que la

inercia rotacional de la superestructura es desfavorable para los desplazamientos y

elementos mecánicos de base, más no así en el caso de los momentos en la cabeza.


75

Figura 4-17 Historia de desplazamientos en la cabeza modelo TL sin inercia rotacional

Figura 4-18 Historia de desplazamientos en la cabeza modelo TL con inercia rotacional

4.3.5 RELACIONES CORTANTE DESPLAZAMIENTO

Las relaciones cortante desplazamiento muestran un comportamiento lineal cuando

no se considera la inercia rotacional (Figura 4-19), mientras que el comportamiento

se distorsiona un poco cuando se considera la inercia rotacional (Figura 4-20), a

pesar de que la estructura no ha sobrepasado ni siquiera el límite de agrietamiento.

Además, es evidente la amplificación de la respuesta tomando en cuenta la inercia

rotacional o cabeceo de la superestructura.


76

Figura 4-19 Relación cortante vs desplazamiento modelo de agrietamiento sin inercia rotacional

Figura 4-20 Relación cortante vs desplazamiento modelo de agrietamiento con inercia rotacional

4.4 TASA DE EXCEDENCIA DE DISTORCIONES DE ENTREPISO

Dado que la respuesta de la estructura depende de la interacción dinámica de la

estructura y la señal sísmica, se hace necesario un análisis que pueda tomar en

cuenta los diferentes parámetros variables del problema.

Para este trabajo se considerará una sola estructura con un solo modelo de

comportamiento, que será el modelo bi-lineal con agrietamiento, y se caracterizará el

ambiente sísmico mediante la simulación de señales sísmicas consistentes con la

función de tasa de excedencia de intensidades sísmicas del sitio de ubicación de la

estructura, misma que se describió en el capítulo 3 y que se resume a continuación.


77

La tasa de excedencia de distorsiones de entrepiso se define como el número de

veces que una determinada distorsión de entrepiso es excedida, y la función puede

describir el máximo valor de distorsión que puede esperarse. Por lo tanto se puede

describir de manera más completa el efecto de la inercia rotacional de la

superestructura, comparando ambas tasas de excedencia, una que tome en cuenta

el efecto de cabeceo y otra que no lo tome.

4.4.1 RELACIÓN CON LA TASA DE EXCEDENCIA DE INTENSIDADES

La tasa de excedencia de intensidades utilizada para la simulación se toma como

intensidad la pseudoaceleración del espectro de respuesta elástico para 1 segundo

de periodo y 5% de amortiguamiento crítico y está completamente definida por la

Ecc. ( 3-1):

La Figura 4-21 representa la tasa de excedencia de intensidades para C.U. y a partir

de esta función y una serie de cálculos y simulaciones.

Figura 4-21 Tasa de excedencia de intensidades C.U. (Esc. Log.)

La relación que existe entre la tasa de excedencia de intensidades con la tasa de

excedencia de distorsiones de entrepiso se obtiene a partir de la definición

probabilista del concepto de tasa de excedencia.

A continuación se presenta la relación matemática de la relación entre las tasas de

excedencia; si se desea revisar con más detalle la demostración de esta ecuación se

puede revisar el ANEXO 3.


78

∫ [ (

)]

(

) Ecc. ( 4-1)

Donde es la tasa de excedencia de las distorsiones de entrepiso, es la

función de distribución de la relación distorsión-intensidad y es la derivada

de la tasa de excedencia con respecto a la intensidad.

4.4.2 METODOLOGÍA DE CÁLCULO

A continuación se presenta la metodología que se utilizó en el presente trabajo para

la obtención de la tasa de excedencia de distorsiones de entrepiso:

Primeramente se simularon 100 sismos que cubrían el dominio de la tasa

de excedencia de intensidades del sitio donde se ubica la estructura

(Ciudad Universitaria). Los sismos son representativos de las principales

fuentes sísmicas registradas y se tomaron en proporción a la sismicidad de

cada fuente. Para cubrir el dominio completo se tuvieron que amplificar las

señales sísmicas simuladas mediante factores de amplificación, ya que el

programa de simulación de sismos utilizado, tiene ciertas limitaciones con la

simulación de sismos de intensidades muy grandes.

Se analizó la estructura mediante un análisis tiempo-historia no lineal para

cada uno de los sismos simulados y se obtuvieron las distorsiones de

entrepiso máximas absolutas. Estos análisis se hicieron sin considerar la

inercia y considerando la inercia rotacional de la superestructura.

Se calcularon las relaciones entre distorsión-intensidad para

cada análisis y se la consideró como una variable aleatoria . Los

valores obtenidos de se ajustaron a una función de densidad de

probabilidad . Teniendo se obtuvo que es la

función de distribución de probabilidad de la variable aleatoria .

Se derivó la tasa de excedencia de intensidades con respecto de y

se obtuvo .

Con las expresiones calculadas se reemplazó en la Ecc. ( 4-1). Se propuso

una distorsión de entrepiso inicial igual a cero y se integró la expresión

numéricamente entre los límites mínimo y máximo de la variable de

intensidades con lo que se obtuvo la primera tasa de excedencia

correspondiente a la distorsión dada. Luego, se incrementaron la distorsión

de entrepiso y de igual manera se calcularon las tasas de excedencia


79

correspondientes. Se realizó un análisis completo para el caso sin cabeceo

y otro tomando en cuenta el cabeceo.

4.4.3 RESULTADOS SIN INERCIA ROTACIONAL

La Figura 4-22 y la Figura 4-23 muestran la función de densidad de probabilidad

, obtenida de los resultados sin tomar en cuenta la inercia rotacional de la

superestructura. Se puede ver que se ajusta bastante bien a una función de densidad

de probabilidad Log-normal.

Figura 4-22 Ajuste de sin cabeceo a una función Log-normal

Figura 4-23 Función de densidad de probabilidad y función de distribución acumulada sin cabeceo

La gráfica de la tasa de excedencia de distorsiones de entrepiso calculada

numéricamente se muestra en la Figura 4-24.


80

Figura 4-24 Tasa de excedencia de distorsiones de entrepiso sin cabeceo

4.4.4 RESULTADOS CON INERCIA ROTACIONAL

De la misma manera se obtuvieron los resultados considerando el efecto de la inercia

rotacional. La Figura 4-25 y la Figura 4-26, muestran la función de densidad de

probabilidad y la función de distribución acumulada, ajustadas a una función Log-

normal.

Figura 4-25 Ajuste de con cabeceo a una función Log-normal


81

Figura 4-26 Función de densidad de probabilidad y función de distribución acumulada

con cabeceo

La gráfica de la tasa de excedencia de distorsiones de entrepiso calculada

numéricamente se muestra en la Figura 4-27.

Figura 4-27 Tasa de excedencia de distorsiones de entrepiso con cabeceo

4.4.5 COMPARATIVA DE RESULTADOS

La Figura 4-28 muestra en una sola gráfica superpuesta las dos funciones de tasas

de excedencia de distorsiones de entrepiso. Se puede observar que de manera

general se esperan mayores distorsiones de entrepiso cuando se considera el

cabeceo, sin embargo, para sismos con periodos de retorno muy grandes, la


82

situación más desfavorable se da sin considerar el cabeceo. Esto se cumple para el

caso del peligro sísmico de C.U., no se puede generalizar la conclusión para este

tipo de estructuras desplantadas en otro sitio.

Figura 4-28 Comparación de tasas de excedencia de distorsiones de entrepiso con y sin cabeceo


83

CONCLUSIONES

A la luz de los resultados obtenidos se exponen las siguientes conclusiones.

Los resultados fueron obtenidos de una estructura real, se desconocen las

consideraciones utilizadas en el diseño. La columna analizada es bastante

rígida y resistente. Difícilmente una estructura así puede incursionar en el

rango no lineal ante eventos sísmicos comunes propios del sitio.

El efecto de la inercia rotacional no puede considerarse directamente como

amplificador o reductor de los elementos mecánicos y desplazamientos.

Esto es función de las características dinámicas propias de la estructura y

de la señal sísmica considerada, y de la relación entre ellas.

Ante esta situación, un análisis de las distorsiones de entrepiso esperadas

para la estructura en estudio no puede basarse en al análisis dinámico ante

ciertos sismos, sino un análisis ante una gama representativa de sismos

simulados que cubran el dominio de eventos sísmicos que podrían

presentarse en la zona. Esto puede lograrse a través de la generación de

gráficas de tasas de excedencia de distorsiones en función de tasas de

excedencia de intensidades registradas en la zona.

Las gráficas de tasas de excedencia muestran que de manera general, el

efecto de inercia rotacional incrementa las distorsiones de entrepiso, pero la

inversión que se da para grandes periodos de retorno nos da un ejemplo de

que no siempre es más desfavorable considerarla.


84


85

RECOMENDACIONES

Tomando en cuenta los resultados obtenidos se recomienda lo siguiente:

El efecto de la inercia rotacional siempre será desfavorable en el cálculo del

momento en la sección de unión de la columna a la superestructura de

puentes tipo péndulo invertido, por lo cual siempre debe tomarse en cuenta

este efecto en la cuantificación de dicho momento.

Con respecto a los cortantes y momentos de base se deberían realizar dos

análisis, uno tomando en cuenta la inercia rotacional de la superestructura y

otro sin tomarla en cuenta. En alguna situación una podría ser más

desfavorable que la otra.

Analizar los periodos fundamentales de la estructura y el espectro de

respuesta al que estará sometida puede dar una idea de si el efecto de

inercia rotacional será desfavorable o no. Sin embargo otro se sugiere

realizar los dos análisis y tomar el más desfavorable, porque una de las

propiedades mecánicas más complicadas de tomar en cuenta y sobre todo

en estructuras de concreto reforzado es la rigidez.

Si se quiere emitir una recomendación general en cuanto al comportamiento

sísmico de este tipo de estructuras, se recomienda un análisis probabilista

completo, que integre las incertidumbres asociadas a los diferentes

elementos que componen el problema encarado, como la sismicidad,

incertidumbres en las características geométricas y mecánicas de los

elementos estructurales, los efectos a largo plazo, la variabilidad de la carga

viva vehicular, etc.


86


87

REFERENCIAS

Abeles, P.W. (1945). "Fully and Partially Prestressed Reinforced Concrete". ACI

Journal, Vol. 41, No. 3, January, USA.

ACI - ASCE Committee 423. (1999). "State-of-the-art Report on Partially Prestressed

Concrete". ACI Committee Reports, USA, December.

Bing, L.; Park , R. and Tanaka, H. (2000). "Constitutive Behavior of High-Strength

Concrete under Dynamic Loads". ACI Journal, Title N° 97-S64, Pág. 619-629,

July-August.

Chang, G.; Mander, J.; Cedeño, G.; and Domínguez, D. (1996). "Fiber-Element

Modeling of The Cyclic Biaxial Behavior of R/C Columns". Eleventh World

Conference on Earthquake Engineering, Paper No. 14, México.

Clough, R. W.; and Penzien, J. (1995). "Dynamics of Structures". Computers &

Structures Inc., Berkeley, USA, 730 p.

Collins, M.; and Mitchel, D. (1991). "Prestressed Concrete Structures". Prentice-Hall,

New Jersey, USA.

Cruz, M. (2008). "Comportamiento No-Lineal de Marcos Estructurales de Concreto de

Puentes Urbanos Ubicados en Zonas Sísmicas". Tesis de Maestría, Sección

de Estudios de Posgrado e Investigación ESIA-UZ, Instituto Politécnico

Nacional, México D.F., Junio.

CTS-México. (2011). "10 Estrategias de Movilidad para un Estado de México

Competitivo, Seguro y Sustentable". Hacia una Red Integrada de Transporte

en la Zona Metropolitana del Valle de México, México D.F., Junio.

Devore, J. (2005). "Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias". Editorial

Thomson, Sexta Edición, México.

Felippa, C. (2001). "A hitorical Outline of Matrix Structural Analysis: a Play in Three

Acts". Computers and Structures 79, USA.

Freyssinet, E. (1933). "New Ideas and Methods". Sciencie et Industrie, January.


88

Joyner, W.; and Boore, D. (1986). "On Simulating Large Earthquakes by Green's-

Function Addition of Smaller Earthquakes". American Geophysical Union,

California, USA.

Kohrs-Sansorny, C.; Courboulex, F.; Bour, M.; and Deschamps, A. (2005). "A Two-

Stage Method for Ground-Motion Simulation Using Stochastic Summation of

Small Earthquakes". Bulletin of the Seismological Society of America, Vol. 95 -

No 4, USA, August.

Lin, T. Y.; and Burns, N. H. (1981). "Design of Prestressed Concrete Structures". 3rd

Edition, John Wiley & Son, New York, USA.

Lugo, E. (2012). "Comportamiento Estructural de Puentes Urbanos y Viaductos de

Concreto Desplantados en Terreno Compresible". Tesis de Maestría, Sección


Nacional, México D.F., Julio.

Lugo, E. (2012). "Comportamiento Estructural de Puentes Urbanos y Viaductos de

Concreto Desplantados en Terreno Compresible". Tesis de Maestría, Sección


Nacional, México D.F., Julio.

Mander, J.B.; Priestley, M. J. N. and Park, R. (1988). "Observed Stress-Strain

Behavior of Confined Concrete". ASCE Journal, Vol. 114 - N° 8, Pág. 1827-

1849, August.

Mander, J.B.; Priestley, M. J. N. and Park, R. (1988). "Theoretical Stress-Strain Model

for Confined Concrete". ASCE Journal, Vol. 114 - N° 8, Pág. 1804-1826,

August.

Melchers, R. (2002). "Structural Reliability Analysis and Prediction". John Wiley &

Sons Ltd, Second Edition, England.

Mendoza, C. (1991). "Evaluación de la Resistencia del Concreto en la Estructura por

Medio del Ensaye de Corazones". Revista Construcción y Tecnología (IMCyT),

México, Marzo.

Mendoza, C.; and Moguel, C. (1999). "Deficiencias en la Calidad de los Materiales de

Construcción y su Efecto en la Resistencia de las Estructuras de Concreto

Reforzado" . Memoria del XIII Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica,

Michoacán, México .


89

Naaman, A. E. (1982). "Prestressed Concrete Analysis and Design". McGraw Hill,

Nex York, USA, 670 p.

Naaman, A. E.; Harajli, M. H.; and Wight, J. K. (1986). "Analysis of ductility in Partially

Prestressed Concrete Flexural Members". PCI Journal, Vol. 31, N° 3, May-

June.

Ordaz, M. (1997). "Sismicidad y Riesgo Sísmico". Memorias del XI Congreso

Nacional de Ingeniería Sísmica, Vol. 1, Veracrúz, México.

Ordaz, M.; Arboleda, J.; and Singh, S. . (1995). "A Scheme of Random Summation of

an Empirical Green's Function to Estimate Ground Motions from Future Large

Earthquakes". Bulletin of the Sismological Society of America, Vol. 85 - No 6,

USA, December.

Pardo, M.; and Suárez, G. (1995). "Shape of Subducted Rivera and Cocos Plates in

Southern México: Seismic and Tectonic Implications". Journal of Geophysical

Research, Vol. 100 - No. B7, USA, July.

Park, R., and Paulay, T. (1983). "Estructuras de Concreto Reforzado". Editorial

Limusa, México, 796 p.

Paulay, T. and Priestley, M.J.N. (1992). "Seismic Design of Reinforced Concrete and

Masonry Buildings". John Wiley & Sons, Inc., USA, 744 p.

Penzien, J. . (1964). "Damping Characteristics of Prestressed Concrete". ACI Journal,

Vol. 61, N° 9, September.

Piralla, M.; and Mendoza, C. (1991). "Reglas de Verificación de Calidad del

Concreto". Revista Ingeniería LXI, México.

Priestley, M.J.N., Seible, F., and Calvi, G.M. (1996). "Seismic Design and Retrofit of

Bridges". John Wiley & Sons, Inc., USA, 686 p.

Sánchez, H. (1996). "Ductility Demands of Isolated Reinforced Concrete Bridge Piers

Placed in México City". 11th World Conference on Earthquake Engineering,

Paper No. 753, Acapulco-Guerrero, México, June.

Sánchez, H. (1997). "Comportamiento Sísmico de Columnas Aisladas de Concreto

Reforzado de Puentes Vehiculares". XI Congreso Nacional de Ingeniería

Sísmica, Veracruz, México, Noviembre.


90

Scott, B. D.; Park, R. and Priestley, M. J. N. (1982). "Stress-Strain Behavior of

Concrete Confined by Overlapping Hoops at Low and High Strain Rates". ACI

Journal, Title N° 79-2, Pág. 13-27, January-February.

Thompson, K. J.; and Prak, R. (1980a). "Ductility of Prestressed and Partially

Prestressed Concrete Beam Sections". PCI Journal, Vol. 25, N°2, March-April.

Thompson, K. J.; and Prak, R. (1980b). "Seismic response of Partially Prestressed

Concrete". Journal of the Structural Division, ASCE, August.

Wennerberg, L. (1990). "Stochastic Summation of Empirical Green's Functions".

Bulletin of The Seismological Society of America, Vol. 80 - No 6, USA,

December.

Wolanski, Anthony J. (2004). "Flexural Behavior of reinforced and prestressed

concrete beams using finite element analysis". Msc. Thesis, Marquette

University, Milwaukee-Wisconsin USA, May.

Zúñiga, R.; Suárez, G.; Ordáz, M. and García, V. (1997). "Peligro Sísmico en

Latinoamérica y el Caribe". Proy. 89-0190, Cap. 2, Centro Internacional de

Investigaciones para el Desarrollo, Ottawa, Canada, Septiembre.


91

ANEXO 1

CÁLCULO DE LA RESISTENCIA MEDIA DEL CONCRETO

De manera general, la resistencia del concreto es una variable aleatoria que puede

caracterizarse mediante una función de densidad de probabilidad (fdp) normal de

media y desviación estándar .

La ecuación que describe la función de densidad de probabilidad normal y normal

estándar se muestra a continuación:

√

(

)

√

La función de probabilidad acumulada (fpa) normal y normal estándar se muestran a

continuación:

√ ∫

(

)

√ ∫

La resistencia característica del concreto se define como la resistencia que es

igualada o superada por un porcentaje elevado de probetas ensayadas a compresión

(normalmente 90%). Esto quiere decir que si obtenemos un muestreo de un concreto

con , el 90% de las muestras ensayadas deberá presentar una

resistencia a compresión igual o mayor a .

En el caso particular de México, el porcentaje de referencia para el normalmente

no llega al 90%, esto debido a la mano de obra, los controles de calidad y los

materiales pétreos propios de la región. (Mendoza, C.; and Moguel, C., 1999)

realizaron un estudio de las resistencias medias de concretos para la Ciudad de

México y pudo caracterizar el porcentaje de excedencia asociado a la resistencia

característica a compresión de concretos mexicanos, pero lamentablemente solo se

cuenta con resultados para concretos con resistencias entre 200 y 300 kg/cm2.

Tomando en cuenta que la resistencia del concreto de la estructura en estudio es

mucho mayor, se propuso tomar los parámetros del concreto con la resistencia más

alta y aunque podría resultar poco conservador en la concepción de la variación de la


92

resistencia a compresión, se debe tomar en cuenta que el estudio presentado por

(Mendoza, C.; and Moguel, C., 1999) recopila datos del año 1999 y dado los avances

actuales en el control de la fabricación de concretos de altas resistencias, podemos

considerar que ambas situaciones se compensan.

Lo que nos interesa de este análisis es obtener los valores medios de la resistencia a

compresión del concreto utilizado en este trabajo. Para esto se hará uso de la

definición de la función de distribución acumulada, que representa la probabilidad de

que cierto valor (en este caso ) no sea excedido.

El problema se plantea de la siguiente manera:

(

)

Donde es el porcentaje de muestras con resistencias a compresión por debajo de

. Tomando en cuenta que la incógnita buscada es la resistencia a compresión

media , se plantea la ecuación anterior de la siguiente manera:

Donde es la función inversa de distribución de probabilidad acumulada normal

estándar. Además la desviación estándar puede expresarse en función del

coeficiente de variación de la siguiente manera:

Entonces la ecuación se puede expresar como sigue:

Reemplazando los valores de , y , nos encontramos con la siguiente

expresión:

Esta expresión presenta como única incógnita el valor de la resistencia media a

compresión del concreto de la estructura en estudio. El valor de la función inversa

de distribución acumulada puede obtenerse de cualquier libro que contenga una


93

tabla de valores de probabilidad de distribución normal estándar o con la ayuda de

algún programa que tenga esta opción en sus librerías (Excel, Matlab, etc.). Es

oportuno recordar que esta función no tiene una integral exacta y por eso se opta por

el uso de análisis numérico para la solución o en su defecto el uso de tablas. A

continuación se muestra el último paso de cálculo y el resultado final de la resistencia

media a compresión calculada:

( )


94


95

ANEXO 2

PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO DE RELACIONES MOMENTO CURVATURA

PARA CONCRETO PARCIALMENTE PRESFORZADO

Las relaciones momento-curvatura son tema de vital importancia en el análisis no

lineal de estructuras de concreto reforzado modeladas mediante elementos

estructurales tipo viga-columna. Existen varios procedimientos para el cálculo de las

relaciones momento-curvatura, pero todas se basan en los mismos procedimientos.

A continuación se presenta el procedimiento adoptado para la presente tesis

adaptado de los métodos planteados por (Naaman, A. E., 1982) y (Collins, M.; and

Mitchel, D., 1991).

Como primer paso se deben definir ciertas hipótesis que permitan una formulación

matemática del problema, mismas que se indican a continuación:

Las secciones planas, permanecen planas antes y después de la flexión

(Principio de Bernoulli).

Se conocen las relaciones esfuerzo deformación de los materiales

(concreto, acero de refuerzo y acero de presfuerzo).

Se considera nula la resistencia a tensión del concreto.

La distribución y magnitud de los esfuerzos internos equilibra las fuerzas

externas en cada sección del elemento.

De estas hipótesis, quizá la primera es la más importante, debido a que asumir que

las secciones son planas y se mantienen así reduce la complejidad matemática del

problema. Esto es muy aceptable para la mayoría de los casos, pero en secciones

muy peraltadas y de elementos cortos, las distorsiones por cortante anulan esta

hipótesis fuerte.

Bajo el supuesto de las secciones planas, es posible identificar la deformación de

cualquier fibra del elemento con solamente conocer dos datos, ya sea la deformación

unitaria de la fibra superior y la fibra inferior, o en su caso la curvatura y la

deformación unitaria en el centroide como se ve en la Figura A - 1.

Por mayor facilidad y convergencia numérica más rápida al resultado, se recomienda

la opción de calcular las deformaciones unitarias a lo largo de la sección del

elemento en función de la curvatura y la deformación unitaria en el centroide.


96

Figura A - 1 Curvatura de una Sección

Las ecuaciónes que relaciona la deformación de las fibras de concreto , acero de

refuerzo y acero de presfuerzo en función de la distancia de la fibra, medida

desde el centroide de la sección son las siguientes:

Ecc. (A- 1)

Ecc. (A- 2)

Ecc. (A- 3)

La distancia se considera positiva por encima del centroide y negativa por debajo

del mismo. Las deformaciones en cualquier fibra se consideran a compresión cuando

son de signo negativo y a tensión cuando son de signo positivo. La curvatura es

positiva cuando produce un alargamiento de las fibras inferiores y un acortamiento de

las fibras superiores de la sección del elemento.

El valor es la deformación unitaria debido al presfuerzo efectivo después de las

pérdidas inmediatas. Cabe señalar que también se pueden calcular relaciones

momentos-curvatura a largo plazo que contemplen los efectos de creep o flujo

plástico del concreto y relajación del acero de presfuerzo pero no es alcance de este

Anexo.

Otro concepto que se debe tener en cuenta es el equilibrio de fuerzas internas

(fuerzas resultantes de los esfuerzos internos) con fuerzas externas. A continuación

se presentan las ecuaciones de equilibrio que deben satisfacerse.

∫

∫

∫

Ecc. (A- 4)


97

∫

∫

∫

Ecc. (A- 5)

Donde ,

y

son los esfuerzos en el concreto, acero de refuerzo y acero de presfuerzo

respectivamente, calculados a partir de las deformaciones obtenidas con las ecuaciones 1, 2

y 3, y con las relaciones esfuerzo-deformación de cada material.

Estos son los conceptos básicos que deben aplicarse al cálculo de cualquier sección de

concreto parcialmente presforzado. Ante la complejidad de la geometría de varias secciones

de concreto y en especial a las utilizadas en el presente trabajo, se debe realizar una

aproximación numérica discreta a las ecuaciones 4 y 5, ya para ello se plantea la utilización

del método de las fibras.

Figura A - 2 Curvatura de una Sección

La Figura A - 2 muestra el esquema de cálculo con el método de las fibras y a continuación

se describe el procedimiento o secuencia de cálculo para obtener las relaciones momento

curvatura por este método.

Primeramente se divide la sección en fibras, cada línea de acero de

refuerzo y presfuerzo se convierten en una fibra independiente y la sección

de concreto se subdivide en pequeñas franjas de espesor tan pequeño

como el grado de aproximación que se quiera.

Se plantea una curvatura inicial , comúnmente cero (0).

Luego se propone un valor para la deformación en el centroide . Con

ese valor de y utilizando las ecuaciones 1, 2 y 3 se calculan las

deformaciones unitarias en todas las fibras inicialmente planteadas.

Con el valor de cada deformación unitaria y las curvas esfuerzo-

deformación de cada material, se obtienen los esfuerzas en cada una de las

fibras. Multiplicando los esfuerzos de cada fibra por su respectiva área se

obtienen las fuerzas en cada fibra.


98

Se aplica la ecuación A-4 en su forma discreta de tal manera que la

resultante de las fuerzas axiales sea igual al nivel de carga axial externo

que solicita a la sección. Si el valor no es igual, entonces debe cambiarse el

valor de hasta que la solución converja mediante un proceso iterativo.

Una vez que la igualdad de fuerzas axiales se consigue o con un error de

aproximación muy pequeño, se calcula con la ecuación A-5, también en su

forma discreta, el valor del momento asociado a la curvatura propuesta.

Después se propone otra curvatura, ligeramente superior a la primera y se

realizan los mismos pasos hasta la obtención del momento

correspondiente. De esa manera se van generando una serie de puntos

curvatura y momento, con lo cual se puede graficar la relación momento-

curvatura de la sección.


99

ANEXO 3

RELACIÓN ENTRE LA TASA DE EXCEDENCIA DE INTENSIDADES Y LA TASA

DE EXCEDENCIA DE DISTORSIONES DE ENTREPISO

La relación que existe entre la tasa de excedencia de intensidades y la de

distorsiones de entrepiso se puede plantear desde la definición de lo que es una tasa

de excedencia. La tasa de excedencia de intensidades se define como el

número de veces que una determinada intensidad es excedida por unidad de tiempo

(año), y se formula matemáticamente en términos de probabilidad de la siguiente

manera.

[ ] Ecc. (A- 6)

De la misma manera se puede plantear la tasa de excedencia de distorsiones de

entrepiso , como se muestra a continuación:

[ ] Ecc. (A- 7)

Si realizamos múltiples análisis estructurales, a cada intensidad sísmica , le

corresponderá una respectiva distorsión de entrepiso . Si consideramos que tanto

las intensidades, como las distorsiones son variables aleatorias, la relación entre

ellas también es una variable aleatoria.

Ecc. (A- 8)

Reemplazando la ecuación 8 en la 7 se tiene:

[ ] Ecc. (A- 9)

Utilizando el concepto de probabilidad total, se puede expresar la ecuación A-9 de la

siguiente manera:

∫ [

]

Ecc. (A- 10)

Además, la probabilidad de excedencia puede expresarse en función de una función

de distribución acumulada y la función de densidad de probabilidad de intensidades


100

sísmicas puede escribirse en función de la tasa de excedencia de intensidades

sísmicas como se muestra a continuación:

[

] [ (

)] Ecc. (A- 11)

Ecc. (A- 12)

Reemplazando las ecuaciones A-11 y A-12 en la ecuación A-10, se tiene:

∫ [ (

)]

(

) Ecc. (A- 13)

La ecuación A-13, representa la relación matemática entre la tasa de excedencia de

intensidades y la tasa de excedencia de distorsiones de entrepiso.

La función que defina la tasa de excedencia de intensidades utilizada en este estudio

es la siguiente:

[ (

) ] [ (

) ] Ecc. (A- 14)

La derivada de es como sigue:

[

(

)

(

) ] Ecc. (A- 15)

[(

) (

) ] Ecc. (A- 16)

(

)

(

)

Ecc. (A- 17)

[ (

)

] (

)

Ecc. (A- 18)


101

“En un mundo dinámico, cambiante y aleatorio,

que aún no conseguimos comprender en su totalidad y que quizá nunca lo hagamos;

las probabilidades se convierten en nuestra mejor verdad.”

(A. Miranda)

Análisis de La Respuesta Sísmica No Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido

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