ANALISIS DE GRAFICASRESUMEN

La práctica de análisis de gráficos se hace con el fin de que los estudiantes aprendan a realizar adecuadamente tres tipos de gráficos (lineal, potencial y exponencial), aplicando el método de mínimos cuadrados para determinar la relación entre dos variables y usar en forma adecuada el método de rectificación de la curva para obtener la relación funcional entre estas.

También se enseña a los estudiantes la realización de gráficos de forma manual en papel milimetrado, logarítmico y semilogaritmico; esto con el fin de que aprenda el manejo de tablas de datos, coordenadas en el plano, intervalos adecuados y hallar la pendiente (m) y el punto de corte en el eje ‘’Y’’.

INTRODUCCION

En el campo de las ciencias experimentales, cada ensayo nos suministra un grupo de datos que proporcionan una información dependiendo de qué es lo que se busca. El uso de gráficas para interpretar estos datos a modo de coordenadas sobre un plano, nos ayuda a la interpretación rápida de los resultados.

En general se busca una relación matemática entre los resultados, por ello se realiza las tablas de datos en donde se consignan los datos del experimento y que serán los puntos (x,y) para la realización de la gráfica, teniendo en cuenta que esta se hace usando un sistema de ejes cartesianos; donde el eje ‘’X’’ va a ser variable independiente y el eje ‘’Y’’ la variable independiente y se hace referencia a la gráfica como ‘’Y’’ en función de ‘’X’’.

El uso de graficas es muy importante a la hora de exponer de forma fácil y resumida los datos que arroja un experimento, ya que las gráficas facilitan la interpretación de la información relevante de la cual se puede proponer conclusiones.

PROCEDIMIENTO

Para que se dé una buena interpretación de la información que queremos mostrar por medio de un gráfico, se deben tener en cuenta lo siguiente:

Los intervalos de las variables deben ser de forma que los espacios sean proporcionados, para así aprovechar el espacio en el plano.

El número adecuado de puntos experimentales. La distribución de los puntos experimentales. La magnitud del error experimental.

La tendencia que siguen los puntos experimentales. Los posibles fenómenos o procesos involucrados en el experimento (los

cuales pudieron o no afectar los resultados del experimento)

RESULTADOS

1. Relación lineal entre dos variables.

1. (ANEXO 1).

2.

a) Según la grafica, para una aceleración de 4,5 m/s2 corresponde una fuerza de 4,65 N.

b) y para una aceleración de 3,45 m/s2 corresponde una fuerza de 3,95 N.

3.

Tabla No. 1. Valores necesarios para calcular m y b

Xi Yi XiYi Xi^20,31 2 0,62 0,09610,76 2,3 1,748 0,57761,16 2,5 2,9 1,3456

1,5 2,8 4,2 2,251,93 3 5,79 3,72492,35 3,3 7,755 5,52252,75 3,5 9,625 7,56253,35 3,8 12,73 11,22253,54 4 14,16 12,53163,95 4,3 16,985 15,6025

4,3 4,5 19,35 18,49∑Xi= 25,9 ∑Yi= 36 ∑XiYi= 95,9 ∑Xi^2=78,9

(∑Xi )2=670,8

Hallando la pendiente (m):

m=n∑i ( XiYi)−∑iXi ∑i Yin∑i Xi2−(∑i Xi )2

m=11 (95,9 )−(25,9 ) (36 )11 (78,9 )−(25,9 )2

=0,62

Hallando el punto de corte con el eje y (b):

b=∑iXi2∑i Yi−∑i Xi∑i (XiYi )n∑i Xi2−(∑iXi )2

m= (78,9 ) (36 )−(25,9 ) (95,9 )11 (78,9 )− (25,9 )2

=1,82

De manera la ecuación de la mejor recta que represente la relación entre las variables F y a es:

F=0,62(a)+1,82

4.

a) F=0,62 (4,5 )+1,82=4,61b) F=0,62 (3,45 )+1,82=3,96

Para un mejor análisis de los resultados se calcula el error porcentual:

Error Relativo (Er)=│Pᶜ−P│P

Donde Pᶜ es el valor de la medida y P es el valor tomado como exacto.

En este caso se toma el valor obtenido mediante la grafica como Pᶜ y el obtenido mediante la ecuación como el valor exacto P, y se procede como sigue:

Er₁=│4,65−4,61│4,61

=8,68x 10−3

Error Porcentual (Er% )=Er∗100

Er%₁=8,68 x10−3∗100=0,868%

Er₂=│3,95−3,96│3,96

=0,01

Er%₂=0,01∗100=1%

Los resultados de la fuerza que corresponde a las dos aceleraciones son similares a los determinados con la representación grafica hecha en papel

milimetrado, lo que quiere decir que la línea trazada manualmente y su ecuación de la recta son similares a la calculada mediante el método de mínimos cuadrados.

5.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.51

1.52

2.53

3.54

4.55

f(x) = 0.618587674757237 x + 1.81623447488978R² = 0.997691214981973

Grafica 1:Variación de la fuerza F(N), con respecto a la aceleración a(m/s2)de un móvil

Aceleracion (m/s2)

Fuer

za (

N)

Ya que el cuadrado del coeficiente de correlación lineal es bastante cercano a 1, se puede decir que la relación de los resultados de aceleración y fuerza obtenidos se acerca bastante a un comportamiento lineal.

6.

Ecuación determinada con el método de mínimos cuadrados:

F=0,62(a)+1,82

Ecuación calculada por Excel:

y=0,6186(x)+1,8162

Donde y corresponde a la fuerza (F) y x corresponde a la aceleración (a).

Las dos ecuaciones son bastante similares, y si se redondean las cifras de la ecuación calculada por Excel a dos decimales son exactamente iguales.

2. Relación de potencia entre dos variables.

1. (ANEXO 2).

2.

a) Según la grafica, el flujo de líquido Q a través de un orificio de4,5 cm de diámetro es de 342 cm3 /s.

b) Y el flujo de líquido a través de un orificio de 0,5 cm de diámetro es de 6 cm3 /s.

3. (ANEXO 3). Se obtiene una línea recta.

4.

Transformando la ecuación en una lineal:

Q=adb→ y=axb

log y= log(a xb)

log y= log a+log xb

log y= log a+b log x→ y=A+bx

Hallando b (pendiente):

m=b= y₂− y₁x₂−x₁

→ logQ₂−logQ₁log d₂−log d₁

b= log 261,1−log 65,2log 4,0−log2,0

b=2,00

Hallando Q:

Q ₁=ad ₁b

a=Q₁d₁b

a= 65,22,02,00

a=16,3

Ecuación que relaciona Q en función de d:

Q=16,3d2,00

5.

c) Según la ecuación, el flujo de líquido Q a través de un orificio de4,5 cm de diámetro es de 330,1 cm3 /s.

d) Y el flujo de líquido a través de un orificio de 0,5 cm de diámetro es de 4,1 cm3 /s.

Para un mejor análisis de los resultados se calcula el error porcentual:

Error Relativo (Er)=│Pᶜ−P│P

Donde Pᶜ es el valor de la medida y P es el valor tomado como exacto.

En este caso se toma el valor obtenido mediante la grafica como Pᶜ y el obtenido mediante la ecuación como el valor exacto P, y se procede como sigue:

Er₁=│342−330,1│330,1

=0,0360

Error Porcentual (Er% )=Er∗100

Er%₁=0,0360∗100=3,60 %

Er₂=│6−4,1│4,1

=0,463

Er%₂=0,463∗100=46,3%

Los resultados obtenidos mediante la ecuación con respecto al flujo de líquido que corresponde a los dos diámetros son significativamente diferentes a los determinados con la representación grafica hecha en papel milimetrado, y puesto que la ecuación determinada coincide con la hallada por Excel se deduce que se cometió un error al graficar la curva.

6.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

50

100

150

200

250

300

f(x) = 16.2707191619742 x^1.99854700033934R² = 0.999828267936347

Grafica 2: Flujo De Liquido Con Respecto Al Diametro De Los Orificios

Diametro (cm)

Flu

jo d

el li

quid

o (c

m3/

s)

Ya que el cuadrado del coeficiente de correlación lineal es bastante cercano a 1, se puede decir que la relación de los resultados de diámetro y flujo del líquido obtenidos se acerca bastante a un comportamiento potencial.

7.

Ecuación determinada manualmente:

Q=16,3d2,00

Ecuación calculada por Excel:

y=16,271 x1,9985

Donde y corresponde al flujo de liquido (Q) y x corresponde al diámetro del orificio (d).

Las dos ecuaciones son bastante similares, y si se redondean las cifras de la ecuación calculada por Excel a dos decimales en el caso b y a una decimal en el caso de a y son exactamente iguales.

3. Relación exponencial entre dos variables

1. Construya una tabla de datos que indique el número de bacterias N desde t: 0 hasta t: 10 horas

Tabla No. 2. Horas transcurridas Vs. Número de bacterias.

HORAS NUMERO DE BACTERIAS

0 200,01 220,02 242,03 266,24 292,85 322,16 354,37 389,78 428,79 471,6

10 518,7

2. Haga la gráfica en papel milimetrado del número de bacterias N en función del tiempo t

(ANEXO 4)

3. realizar la gráfica en papel semilogaritmico del número de bacterias en función del tiempo

(ANEXO 5)

4. Establecer la ecuación que relación el número de bacterias en función del tiempo

N: 200,2*e0, 095*t

5. ¿cuál será el número de bacterias N en un tiempo :

a) t = 24 horas

N: 200,2*e (0, 095*t)

N(24) = 200,2*e (0, 095*24) =1957,3

b) t = 72 horas

N: 200,2*e (0, 095*t)

N(72) = 200,2*e (0, 095*72) =186897,8

6. utilizando Excel haga una gráfica del número de bacterias N en función del tiempo t , calcule la ecuación que relaciona N en función de t , e indique el

cuadrado del coeficiente de correlación lineal (r2).¿que se puede decir a partir del valor obtenido de r2?

0 2 4 6 8 10 120.0

100.0

200.0

300.0

400.0

500.0

600.0

f(x) = 200 exp( 0.0953101798043248 x )R² = 1

Grafica 3: Crecimiento bacteriano en funcion del tiempo

Tiempo

Nª B

acte

rias

R2 = ∑ i xiP . yi−1

n(∑ i xi)(∑ i yi)

√∑ i xi2−1n (∑ i xi )

2.√∑ iy i2−1

n¿¿

= 95,863−[ 111 (25,9)(36,0)]

√78,9−¿¿¿

R2=0,99954971 R2= 1,0

7. compare la ecuación que relaciona N en función de t que usted determino y la calculada por Excel

B log e= y2− y1x2−x1

B log e= log y2−l ogy1x2−x 1

B log e= log 471− log220

9−1

B 1loge=

log 471− log2209−1 =0,095

ANALISIS DE RESULTADOS

Con respecto a la relación entre la fuerza F, medida en Newtons (N) y la aceleración a de un móvil, medida en m/s2, se obtuvo que su grafica se acercaba a una línea recta con un coeficiente de correlación linear (R2) de 0,9977, lo cual implica que la aceleración de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza que adquiere el mismo y tienen una relación lineal con una pendiente de 0,62. Por otra parte, al comparar los resultados de la fuerza correspondiente a dos aceleraciones distintas (3,45 y 4,5 m/s2), y tomar como valor real al obtenido mediante la ecuación y como valor de medida al obtenido mediante la grafica en papel milimetrado se obtuvieron errores porcentuales de 1% y 0,87% respectivamente, ambos menores a 5% por lo que se toman como no significativos y se atribuyen a errores mínimos en la graficación de los valores.

En cuanto a la relación entre el diámetro d del orificio de salida de un recipiente, medido en centímetros (cm) y el flujo del liquido Q, medido en (cm3/s), se obtuvo que su grafica se acercaba a una potencial con un coeficiente de correlación linear (R2) de 0,9998, lo cual implica que el orificio del recipiente es directamente proporcional a el flujo de liquido que sale del mismo y a medida que el orificio se va haciendo más grande, el flujo del liquido aumentará a razón de Q=16,3d2,00. Por otra parte, al comparar los resultados del flujo de liquido correspondiente a dos diámetros distintos (0,5 y 4,5 cm), y tomar como valor real al obtenido mediante la ecuación y como valor de medida al obtenido mediante la grafica en papel milimetrado se obtuvieron errores porcentuales de 3,60% y 46,3% respectivamente, uno de ellos bastante significativo, lo cual se atribuye a un grave error al graficar la curva que representaba los valores suministrados.

Un problema físico se puede partir de la teoría que predice una cierta ley física la cual se expresa con una ecuación cuya forma matemática nos guiará al analizar la forma del gráfico. Es decir, graficando los valores experimentales se tendrá una curva uniforme que muestra la tendencia de los puntos. Enseguida se compara la forma de la curva obtenida, con aquello predicho teóricamente. Si concuerdan, ello corresponde a una comprobación experimental de la ley física considerada.

Al realizarse los ajustes para hallar el coeficiente de correlación lineal se concluye que la gráfica exponencial tiene valor exacto a 1, lo que permitió determinar que tiene un mayor grado de exactitud la curva que pasa por los puntos de esta grafica comprobando los coeficientes de correlación de las otras graficas.

CONCLUSIONES

Se concluye que para representar una relación entre dos variables mediante una grafica de forma manual se debe ser muy cuidadoso, con el fin de evitar errores graves en el trazado de las curvas e incurrir en resultados erróneos cuando se quiera predecir el comportamiento de la variable dependiente con respecto a la independiente en un valor determinado, de manera que hallar la ecuación que describa dicha relación siempre va a ser una alternativa más confiable.

Entre más cercano a 1 sea el valor obtenido para el cuadrado del coeficiente de correlación linear, mayor es el ajuste de los datos a la línea de tendencia (modelo) que se les haya aplicado.

Las representaciones graficas son muy utilizadas en la fisica, ya que facilitan una mejor visualización e interpretación de los datos obtenidos en un experimento.

BIBLIOGRAFIA

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Guzmàn, A. M. (26 de Noviembre de 2009). Universidad Autonoma Metropolitana. Recuperado el 18 de Septiembre de 2015, de http://www.izt.uam.mx/newpage/contactos/anterior/n75ne/analisis-grafico1.pdf