UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA, PROGRAMA DE INGENIERÍA FÍSICA

Análisis de Fourier aplicado a una señal deonda cuadrada

Juan Sebastián Blandón Luengas

05 de febrero de 2015

1. INTRODUCCIÓN

La intención de éste documento es presentar el análisis en series de Fourier aplicado a unaseñal de onda cuadrada. Para ello, se partirá de la definición de las series de Fourier y sepresentará el método ejecutado sobre la onda deseada.

2. DEFINICIÓN SERIE DE FOURIER

Una serie de Fourier puede definirse como el desarrollo de una función o representaciónde una función en una serie de senos y cosenos tal que:

f (x) = ao

2+

∞∑n=1

ancos (nx)+∞∑

n=1bn si n (nx) (1)

En la ecuación (1) se ve involucrada una función f (x), que debe cumplir ciertos criteriosconocidos como condiciones de Dirichlet. Estas proponen que f (x) tenga un número finitode discontinuidades y solamente un número finito de valores extremos, máximos y míni-mos; las condiciones son suficientes pero no necesarias.Si las funciones cumplen las condiciones de Dirichlet los coeficientes que definen la ex-pansión son:

a0 = 1

π

∫ 2π

0f (t )d t (2)

an = 1

π

∫ 2π

0f (t )cos (nt )d t (3)

bn = 1

π

∫ 2π

0f (t )si n (nt )d t (4)

1

Para cambiar el intervalo que se observa en el conjunto de ecuaciones (2),(3) y (4) se tieneen cuenta que si f (x) es periódica con período 2L, se pude indicar:

f (x) = ao

2+

∞∑n=1

ancos(nπx

L

)+

∞∑n=1

bn si n(nπx

L

)(5)

a0 = 1

L

∫ L

−Lf (t )d t (6)

an = 1

L

∫ L

−Lf (t )cos

(nπt

L

)d t (7)

bn = 1

L

∫ L

−Lf (t )si n

(nπt

L

)d t (8)

Con n = 1,2,3,4, ...

3. APLICACIÓN A UNA ONDA CUADRADA

Una onda cuadrada es una función periódica en el tiempo o espacio unidimensional quetoma dos valores alternativamente y de igual duración. En la Figura 1 se presenta la onda:

Figura 1. Onda cuadrada de periodo 2π.

Como se puede observar la onda está definida por un segmento dos segmentos de recta hque se comportan en el espacio de la siguiente manera:

f (x) = 0, −π< x < 0

f (x) = h, 0 < x <π

Se desea hallar la serie de Fourier que describa la onda cuadrada presentada en la Figura1. Por ello, se calculan los coeficientes de Fourier considerando que la onda cumple lascondiciones de Dirichlet. Se halla el coeficiente a0 primero:

a0 = 1

π

∫ π

0h ·d t = h

ππ= h (9)

Ahora se calculan los coeficientes an y bn :

2

an = 1

π

∫ π

0h · cos (nt )d t = 1

πh · si n (nt ) |π0 = 0 (10)

bn = 1

π

∫ π

0h · si n (nt )d t =− 1

nπh · cos (nt ) |π0 = h

nπ(1− cos(nπ)) (11)

Teniendo en cuenta que n = 1,2,3,4,5... se evaluarán los primeros cinco términos de laserie para el coeficiente bn :

b1 = h

π(1− cos(π)) = 2h

π

b2 = h

2π(1− cos(2π)) = 0

b3 = h

3π(1− cos(3π)) = 2h

3π

b4 = h

4π(1− cos(4π)) = 0

b5 = h

5π(1− cos(5π)) = 2h

5π

Se evidencia a partir de los resultados anteriores que el coeficiente bn = 0 cuando n es pary bn = 2h

nπ cuando n es impar. Según lo anterior, la serie de Fourier para la onda cuadradaestudiada es:

f (x) = h

2+ 2h

π

∞∑n=1

si n (nx)

n(12)

BIBLIOGRAFÍA

G. Arfkem, Métodos Matemáticos para la Física. México D.F., México. 1981

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