Análisis de Fourier para señales continuas II
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Análisis de Fourier para señales continuas II Francisco Carlos Calderón PUJ 2009
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Análisis de Fourier para señales continuas II. Francisco Carlos Calderón PUJ 2009. Objetivos. Representar señales continuas como suma de exponenciales complejas. Definir la transformada de fourier de tiempo continuo y estudiar algunas de sus propiedades. - PowerPoint PPT Presentation
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Análisis de Fourier para señales continuas II
Francisco Carlos Calderón
PUJ 2009
Objetivos
Representar señales continuas como suma de exponenciales complejas.
Definir la transformada de fourier de tiempo continuo y estudiar algunas de sus propiedades.
Analizar señales y SLIT continuos utilizando la transformada de Fourier.
La transformada continua de fourier• La serie de fourier es de utilidad cuando la señal a ser
representada es periódica.
• Cuando la señal no lo es, se debe recurrir a una generalización de esta serie de fourier.
Señal no periódica
Señal periódica
La transformada continua de fourier
n
n
tjnwn
n
n
T
ntj
n ecectx 0
2
)(~ ,...)1,0,1(...,,)(~1 2/
2/
0
ndtetxT
cT
T
tjnwn
Partiendo del desarrollo en series de fourier de señales periódicas de :
Se toma el limite cuando
Como entonces puede verse como
Por lo que
De igual manera nw0 será una variable continua w
Señal no periódica
Señal periódica
T
)(~ tx
Tw
20 0w dw
2
1 dw
T
n
n
tjnwn
n
n
T
ntj
n ecectx 0
2
)(~ ,...)1,0,1(...,,)(~1 2/
2/
0
ndtetxT
cT
T
tjnwn
http://www.socr.ucla.edu/htmls/SOCR_Games.html
La transformada continua de fourier• Aplicando lo anterior en:
• Se llega a:
t
jwtn dtetxdw
c )(~2
n
n
tjnwnectx 0)(~,...)1,0,1(...,,)(~1 2/
2/
0
ndtetxT
cT
T
tjnwn
2)()(
dwedtetxtx jwt
w t
jwt
t
jwtn dtetxdw
c )(~2 2
)()(dw
edtetxtx jwt
w t
jwt
La transformada continua de fourierPuede escribirse la anterior ecuación así:
Que forman la pareja transformada de fourier
t
jwtdtetxwX )()(
dwewXtx jwt
w
)(2
1)(
La transformada continua de fourier
• Una señal no periódica tendrá un espectro continuo en lugar de uno discreto
t
jwtdtetxwX )()(
,...)1,0,1(...,,)(1
0
2
ndtetxT
cT
T
ntj
n
La transformada continua de fourier
• Del inicio del capítulo 4 en el programa se encontró que para “cualquier” señal periódica existía un correspondiente grupo de coeficientes cn para el caso continuo no periódico, puede encontrarse una correspondencia así:
)()( wXtx
La transformada continua de fourier• Para cada señal que posea una X(w), esta será
única y representa una transformación de x(t).
• Por notación:
)()( wXtx
)()( wXtx
Convergencia de la Transformada Continua de Fourier
dttx
Condición 1.x(t) debe ser absolutamente integrable.
Condición 2.x(t) debe tener un número finito de máximos y mínimos
durante cualquier intervalo finito
10,2
tt
sentx
No cumple 2, pero cumple 1
Ejemplo
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Ejercicio: Una señal periódica es absolutamente integrable? PE sen(x)
Las condiciones de Dirichlet son suficientes, pero no necesarias
Convergencia de la Transformada Continua de Fourier
...
)5.175.1(75.175.1,8
1
75.15.1,4
1
5.11,2
1
10,1
etc
t
t
t
t
tx
Las condiciones de Dirichlet son suficientes, pero no necesarias
Condición 3.x(t) debe tener un número finito de discontinuidades finitas cualquier intervalo finito de tiempo. Además cada una de estas debe ser finitaEjemplo
Propiedades de la transformada continua de fourier• Usando la notación:
• Y sean
)()(1
wXtx
wXtx wYty
Propiedades de la transformada continua de fourier• Linealidad:
• Desplazamiento de tiempo:
• Conjugación
)()()( wBYwAXwZtBytAxtz
)(00 wXettx tj
)(** wXtx
Propiedades de la transformada continua de fourier• Escalamiento en tiempo:
• Multiplicación “modulación”:
a
wX
atx
1
)(*)(2
1wYwXtytx
* Es el operador convolución
Propiedades de la transformada continua de fourier• Diferenciación e integración:
• Dualidad
wXjwdt
txd n
n
n
wXjw
dxt 1
)(
wxtX 2
Propiedades de la transformada continua de fourier• Convolución:
• Relación de Parseval
dwwXdttx22
2
1
wXwHwYtxthty
Referencias
Señales y sistemas continuos y discretos, Soliman. S y Srinath. M. 2ª edición cap 4
Señales y sistemas ,Oppenheim, alan cap 4 Apuntes de clase Prof. Jairo Hurtado PUJ Apuntes de clase Prof. Julián Quiroga PUJ Apuntes de clase Prof. Andrés Salguero PUJ
