11Prof.Marly Fernndez Teoria deControl

Respuesta TemporaldeSistemas deControl

1. ErrorenEstadoEstable

Sedefinecomolaincapacidadquetieneunsistemaaseguirciertotipodeentrada.

G(s) Y(s)E(s)

H(s)

R(s)_

+

)()()()( sYsHsRsE = )()()( sGsEsY =)()()()()( sEsGsHsRsE =

[ ] )()()(1)()()()()()(

sRsGsHsEsRsEsGsHsE

=+=+

)()(1)()(

sGsHsRsE +=

Estaexpresinpermiteelclculodelerrorenestadoestable aplicando el teoremadel valor finalpara latransformadadeLaplace

22Prof.Marly Fernndez Teoria deControl

1. ErrorenEstadoEstable

)()(1)()()(

00 sHsGssR

LimssELimteLimesst

SS +=== Funcindetransferenciadelazoabierto

Elerrordeestadoestabledependedelaentradaalsistema,R(s),ydelafuncindetransferenciadelazoabierto. Parasuestudioseutilizanlassealesdepruebaescaln,rampayparbola.

Clasificacindeloserroressegnlaentradasdepruebaalsistema1. Errordeestadoestableanteelescalnunitarioylaconstantedeerrordeposicin.

2. Errordeestadoestableantelarampaunitariaylaconstantedeerrordevelocidad.

3. Errordeestadoestableanteparbolaunitariaylaconstantedeerrordeaceleracin.

Respuesta TemporaldeSistemas deControl

33Prof.Marly Fernndez Teoria deControl

TipodeunSistema

=

=

= n

ll

j

m

ii

pss

zsKsHsG

1

1

)(

)()()(

Tipodelsistema:cantidaddepolosenelorigendelplanos

2.Coeficiente(Kp)yerrorestticodeposicinentradaescalnunitario.

ssR 1)( =

9 Sielsistemaesdetipo0,j=09 Sielsistemaesdetipo1omayor,j 1

[ ])()( 0

sHsGLimks

P =

PSS ke += 1

1

Pk 0=SSe

Respuesta TemporaldeSistemas deControl

44Prof.Marly Fernndez Teoria deControl

3.Coeficiente(Kv)yerrorestticodevelocidadentradarampaunitaria.

21)(s

sR = [ ][ ] [ ]

[ ])()( 1)()(

1)()(1

1)()(1

)()(

0

00

200

sHssGLimkke

sHssGLimssHsGLime

ssHsGs

LimssELimteLime

sV

VSS

ss

SS

sstSS

==

=+=+===

[ ])()( 0

sHssGLimks

V =

VSS ke 1=

Vk 0=SSe

9 Si el sistema es de tipo 0, j = 0

9 Si el sistema es de tipo 1, j = 1

9 Si el sistema es de tipo 2 o mayor, j 2

0 =Vk SSe

Respuesta TemporaldeSistemas deControl

55Prof.Marly Fernndez Teoria deControl

4.Coeficiente(Ka)yerrorestticodeaceleracinentradaparbolaunitaria.

31)(s

sR = [ ][ ] [ ]

[ ])()( 1)()(

1)()(1

1)()(1

)()(

2

0

2

0

20

300

sHsGsLimkke

sHsGsLimssHsGLime

ssHsGs

LimssELimteLime

sa

aSS

ss

SS

sstSS

==

=+=+===

[ ])()( 20

sHsGsLimks

a =

aSS ke 1=

9 Si el sistema es de tipo 1, j = 1

9 Si el sistema es de tipo 2, j = 2

9 Si el sistema es de tipo 0, j = 0 0 =ak SSe

9 Si el sistema es de tipo 3 o mayor, j 3 ak 0=SSe

0 =ak SSe

Respuesta TemporaldeSistemas deControl

66Prof.Marly Fernndez Teoria deControl

Tipodelsistema

Escaln Rampa Parbola

0

1 0

2 0 0

3 0 0 0

Pk+11

Vk1

ak1

Respuesta TemporaldeSistemas deControl

TablaResumen

77Prof.Marly Fernndez Teoria deControl

Anlisis deEstabilidad deSistemas Continuos

b. Surespuestaalimpulsotiendeaceroconeltiempo.

-0.5 0 0.5 1 1.50

0.5

1

1.5

Tiempo (sec)

A

m

p

l

i

t

u

d

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tiempo (sec)

A

m

p

l

i

t

u

d

0 2 4 6 8 10 12-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Tiempo (sec)

A

m

p

l

i

t

u

d

5. EstabilidadAbsoluta.

a. Anteunaentradaacotadarespondeconunasalidaacotada.Unsistemalinealinvarianteeneltiempoesestablesi:

c. Todoslospolosdesufuncindetransferenciatienenparterealnegativa.

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8Mapa Polos y Ceros

Eje RealE

j

e

I

m

a

g

i

n

a

r

i

o

x

x x x

x

x

88Prof.Marly Fernndez Teoria deControl

Anlisis deEstabilidad deSistemas Continuos

ClasificacinsegnlaEstabilidad.Ejemplos

99Prof.Marly Fernndez Teoria deControl

Anlisis deEstabilidad deSistemas Continuos

7. Ubicacin dePolos deLazo Cerrado delSistema

=

=

=+= n

jj

m

ii

ps

zsK

sHsGsG

sRsY

0

0

)(

)(

)()(1)(

)()(

0)()(1)( =+= sHsGsQ Ecuacin Caracterstica

Polos delazo cerrado

Laestabilidadsepuededeterminarapartirdelalocalizacindelospolosdelazocerradoenelplanos oporlasracesdelaecuacincaracterstica.

G(s) Y(s)E(s)

H(s)

R(s)_

+

1010Prof.Marly Fernndez Teoria deControl

Anlisis deEstabilidad deSistemas Continuos

Criterios:

11

ReginInestable

j

ReginEstable

9 El sistema es estable, si los polos de lazo cerrado o las races de la ecuacincaractersticaquedanlocalizadosenelsemiplanoizquierdodelplanos.

9 Si un par de polos complejos conjugados estn ubicados sobre el eje imaginario, elsistemaesmarginalmenteestable.

9 Cualquierpololocalizadosenelsemiplanoderechodelplanos, dacomoresultadounsistemainestable.

9 Loscerosdelazocerradonoafectanlaestabilidaddelsistema.

7. Ubicacin dePolos deLazo Cerrado delSistema

1111Prof.Marly Fernndez Teoria deControl

Anlisis deEstabilidad deSistemas Continuos

8. Criterio deEstabilidad deRouthHurwitz.

1. Todos loscoeficientes deQ(s)deben existir yserpositivos.

2. Sialgn coeficiente deQ(s)es negativo onoexiste (races imaginarias opartes realespositivas)elsistema es inestable.

3. Siexisten todos los coeficientes y sonpositivos seelabora la tabla y seobservan loscambios designo delaprimera columna:

Estepermitereconocersiunsistemaesabsolutamenteestableo inestable,yenestecaso, lacantidaddepolosconparterealpositivaqueposee.Sebasaenlaconstruccindeunarregloapartirdeloscoeficientesdelaecuacincaracterstica.

Criterio:

a. Siocurre un cambio de signo el sistema es inestable yelnmero de races conparterealpositiva corresponde alnmero decambios designo.

b. Sinohaycambios designo elsistema es estable.

Lospasos1y2sonconsideradoscondicionesnecesariasperonosuficientesparaelanlisisdeestabilidad.

1212Prof.Marly Fernndez Teoria deControl

Anlisis deEstabilidad deSistemas Continuos

sn a n a n-2 a n-4 ...sn1 a n-1 a n-3 a n-5 ...sn2 b 1 b 2 b 3sn3 c 1 c 2 c 3

s2 p 1 p 2s1 q 1s0 r 1

1

5412

1

3211

==

n

nnnn

n

nnnn

aaaaab

aaaaab )()()()(

1

31512

1

21311 b

baabcb

baabc nnnn )()()()( ==

Primera columna

Coeficientes delaecuacin caracterstica

Construccin delaTabla.8. Criterio deEstabilidad deRouthHurwitz.

1313Prof.Marly Fernndez Teoria deControl

Anlisis deEstabilidad deSistemas Continuos

8. Criterio deEstabilidad deRouthHurwitz.

Ejemplo1:DadalaEC,determinarlaestabilidad.

Ejemplo2:Propuesto

DosCambiosdesigno:Inestable