Análisis de datos experimentales

Tarea 1: Resumen

Media, varianza desv. Estándar, factorial de n, técnicas de conteo, y probabilidad

Media: representa la suma de los números en la muestra, dividido entre la

cantidad total de números que hay

Sea X1,…, Xn una muestra. La media muestral es:

n

i

iXn

X1

1

Para la media muestral se representa con la letra X y una barra encima de esta.

Desviación estándar: cantidad que mide el grado de dispersión en una muestra

sea X1,…, Xn una muestra la idea básica detrás de la desviación estándar es que

cuando la dispersión es grande los valores de la muestra tenderán a alejarse de

su media, pero si la dispersión es pequeña los valores tenderán a acercarse a su

media.

El primer pasó en el cálculo de la desv. Estándar es calcular las distancias de

cada valor de la muestra a la media de la muestra las desviaciones (X1-X),…, (Xn-

X) algunas de las desviaciones son positivas y otras negativas.

Las desviaciones grandes son indicadores de la dispersión para poder hacer todas

las desviaciones positivas se elevaran al cuadrado, con lo que se obtienen las

desviaciones al cuadrado.

(X1-X2),..., (Xn-X2) a partir de las desviaciones al cuadrado se puede obtener una

medida e la dispersión llamada varianza muestral, esta constituye el promedio de

las desviaciones al cuadrado, excepto que lo dividimos entre n-1 en lugar de n se

denota a la varianza muestras con S2.

Sea X1,…., Xn una muestras. La varianza muestral es la cantidad:

n

i

XXn

S1

2

1

2 )(1

1

Aunque la varianza muestral es importante tiene una seria desventaja como una

medida de dispersión siendo así que sus cantidades NO, son las mismas que las

unidades de los valores de la muestra: estas tienen sus unidades al cuadrado,

pero para obtener las medidas de dispersión cuyas unidades sean las mismas que

las de los valores de la muestra de la varianza llamándose desviación estándar

muestral representados con la letra S.

n

i

XXn

S1

2

1 )(1

1

El principio fundamental del conteo se puede usar para determinar el número e

permutaciones de cualquier conjunto de elementos, por ejemplo se puede

determinar el número de permutaciones de un conjunto de la siguiente manera,

hay tres elecciones para colocar el primer elemento. Después de que se hace la

elección, hay dos elecciones restantes para el elemento del segundo lugar

Entonces que una elección para el elemento del segundo lugar. Entonces queda

una elección para el elemento del último lugar. Por tanto. El número total de

maneras de ordenar tres objetos es (3) (2) (1)=6. Este razonamiento se puede

generalizar. El número de permutaciones de un conjunto de n elementos es:

n(n-1) (n-2).....(3) (2) (1)

El número de permutaciones de k objetos elegidos de un grupo de n elementos es:

)!(

!

kn

n

Éste es el producto e los enteros del 1 la n. y se escribe como n! leyéndose “n

factorial”:

Aunque es diferente, cuando se elige un conjunto de elementos de un conjunto

más grande, y no se tiene en cuenta el orden de los elementos elegidos; solo se

consideran los que se eligen, a cada grupo distinto de elementos que se pueden

seleccionar, sin importar el orden, se llama combinación.

)!(!

!

knk

n

k

n

En un espacio muestras se tienen todos los resultados posibles de un

experimento, también obteniendo se algo de información adicional sobre el

experimento que ayudan a indicar que los resultados provienen de cierta parte del

espacio muestral. En este caso, la probabilidad que se da de un evento está

basada en los resultados de esta parte el espacio muestral. Una probabilidad que

se basa solamente en una parte de un espacio muestral se llama probabilidad

condicional.

Aunque también existe la probabilidad incondicional es la cual se basa en todo el

espacio muestral y no solo en una parte de ella.

Ejemplos:

1) Una muestra aleatoria simple de cinco hombres se elige de entre una gran

población de hombres y se mide su estatura. Las cinco cifras de estatura

(en pulgadas) son 65.51, 72.30, 68.31, 67.05 y 70.68. Encuentre la media

muestral.

Solución:

Usamos la ecuación

n

i

iXn

X1

1 La media muestral es:

X =1/5(65.51+72.30+68.31+67.05+70.68) = 68.77 pulgadas.

2) Encuentra la mediana muestral para los datos del ejercicio anterior.

Solución:

Las cifras de los cinco casos de estatura, en orden creciente, son 65.51, 67.05,

68.31, 70.68, 72.30. La mediana muestral es el número de en medio, que es

68.31.

Ejemplos Probabilidad:

3) Se lanza un dado 20 veces. En virtud de que en tres de las tiradas salió el

número 1, en cinco el 2. En cuatro el 3, en dos el 4 y en tres el 6, ¿cuántos

arreglos diferentes de resultados hay?

Solución:

Hay 20 resultados. Están divididos en seis grupos; a saber, el grupo de tres

resultados en los que salió 1, el de cinco en los que salió 2 y así

sucesivamente. El número de maneras de dividir los 20 resultaos en seis

grupos de tamaños específicos es:

1210955.1!3!3!2!4!5!3

!20x

4) Cierto tipo de automóvil se encuentra disponible en tres colores: rojo, azul o

verde, y puede tener un motor grande o pequeño. ¿De cuantas maneras

puede un comprador elegir un automóvil?

Solución:

Hay tres opciones de color y dos opciones de motor. Una lista completa de las

opciones se muestra en la siguiente tabla de 3x2. El número total de opciones

es (3)(2)=6.

Rojo Azul Verde

Grande Rojo, Grande Azul, Grande Verde, Grande

Pequeño Rojo, Pequeño Azul, Pequeño Verde, Pequeño