Curvas de declinaciónpara pozos de gas

Argenis González Gómez

Las curvas de declinación...

Asumiendo que la producción futura sigue con la tendencia pasada, se pueden usar modelos para estimar el gas

original en sitio y para predecir las reservas de gas en un futuro, lo cuál tiene ventaja sobre los métodos

volumétricos de cálculos de reservas, pues solo toma en cuenta el gas que se encuentra comunicado mediante

presión.

Se puede estimar la vida productiva remanente de un pozo o de todo un campo.

También se pueden identificar propiedades de pozos individuales, como la permeabilidad o el factor de daño,

con análisis de curvas tipo.

Se basan en el ajustar la historia de producción o su tendencia con

un “modelo”

¿Cuando se ocupan análisis de curvas de declinación?

Técnicas de análisis convencional.La mayoría de los análisis de curvas de declinación, se basan en la ecuación de declinación empírica de Arps,

bi

i

t)bD(

qq(t) 11

Donde:

)(

)(

tqdttdqDi Tasa de declinación inicial, dias-1

q(t)= gasto inicial de gas a t=0, Mscf, ó Lt3/t.b= Constante de curvas de declinación de Arpst= tiempo, díasDependiendo del valor del exponente de declinación b, la ecuación presenta tres diferentes

formas. Estas tres formas de declinación – exponencial, armónica e hiperbólica – tienen una diferente geometría en gráficas lineales o semilogarítmicas de gasto de gas contra tiempo, y gasto de gas contra producción acumulada. Se puede determinar que tipo de declinación tiene cada pozo y si la tendencia es lineal, se puede extrapolar grafica o matemáticamente a un cierto punto.

Ejemplos de la forma de las curvas de declinación en sus tres tipos, en dos diferentes tipos de gráficas.

La ecuación de Arps se basa en cuatro importantes pero ampliamente violadas premisas:

1. La ecuación asume que el pozo analizado produce a presión de fondo constante. Si ésta cambia, el índole de la declinación del pozo cambia.

2.La ecuación asume que el pozo analizado produce desde un área de drene sin cambios, con fronteras sin flujo. Si el tamaño del área de drene cambia, la curva de declinación cambia.

3.La ecuación asume que el pozo analizado tiene permeabilidad y factor de daño constante.

4.La ecuación asume que está siendo aplicada solamente con datos de flujo dominados por fronteras (flujo estacionario). Solamente hasta que todas las fronteras del área de drene (o yacimiento) hayan influenciado en la declinación del pozo, las predicciones son incorrectas.

Tipos de declinación

Declinación exponencial. A veces llamada declinación de porcentaje constante,

se caracteriza por un decremento constante en el gasto de producción por unidad de

tiempo, que es proporcional al gasto de producción.

La ecuación para la declinación exponencial puede ser derivada de la ecuación anteriormente

revisada. Cuando b=0, la ecuación de Arps toma ésta forma especial (la cuál debe ser derivada

con un proceso limitante cuando b tienda a cero)

)2.9..(..................................................tDitD

i i

ieq

eqq(t)

Usando logaritmo natural (In) en ambos lados de la ecuación, tenemos

)3.9.......(....................).........()()]([ tDi

ieInqIntqIn

El cuál, después de hacer aritmética, tenemos

)4.9.....(........................................)()]([ tDqIntqIn ii

Debido a que el logaritmo natural se relaciona con el logaritmo base 10 mediante In=2.303

log(x), podemos reescribir la ecuacion 9.4 en términos de función logarítmica, así

)5.9........(..............................303.2

)log()](log[ tDqtq ii

La forma de ésta ultima ecuación sugiere que una gráfica del logaritmo del gasto de gas, q(t),

contra t será una línea recta con pendiente –Di/2.303 y un intercepto log(qi).

Si los datos de producción exhiben un comportamiento

lineal en el gráfico semilog, podemos usar la ecuacion

9.5 para calcular Di de la recta y qi de intercepto.

Posteriormente, podemos usar la ecuacion 9.2 para

extrapolar la tendencia de producción en el futuro

hacia un límite económico. Con esto, podemos

estimar la reserva de gas en el momento donde

se alcance el límite económico.

La curva de gasto contra producción acumulada (q vs Gp) para una declinación

exponencial será lineal en un gráfico cartesiano, como la siguiente derivación indica. Si

integramos la ecuación 9.2 desde el tiempo inicial al tiempo t, obtenemos

t t tD

itD

itDi dteqdttqtQeq

eqq(t) ii

i 0 0)6.9.......(..........)()(

La producción acumulada de gas será

)7.9.(..................................................)()(0

ttD

i

ip

ieDqtG

Reacomodando, tenemos

)8.9.........(..............................)(1)(i

itDi

ip D

qeqD

tG i

Combinando las ecuaciones 9.8 y 9.2, podemos escribir la producción acumulada en términos de gasto

)9.9.(..................................................)(1)(i

i

ip D

qtqD

tG

Reacomodando y solucionando para la tasa de producción, q(t), obtenemos

)10.9........(........................................)()( ipi qtGDtq

La ecuación 9.10 sugiere que una gráfica de q(t) vs Gp(t) dejara ver una pendiente

recta –Di , y un intercepto qi , como en la siguiente figura.

Declinación armónica. Cuando b = 1, la declinación será armónica,

y la ecuación general de declinación dada por la formula 9.1, se reduce a

)11.9.....(..................................................)1(

)(tD

qtqi

i

Usando logaritmos base 10 en ambos lados de la ecuación nos resulta

)12.9......(....................).........1log()log()(log tDqtq ii

La forma de la ecuación 9.12 sugiere que q(t) es una función lineal de (1+Dit) en un gráfico

log-log y exhibirá una línea recta con una pendiente -1 y un intercepto de log(qi).

Para predecir el comportamiento futuro a pozos que muestren un comportamiento armónico,

debemos asumir valores de Di, hasta que la curva en una gráfica log[q(t)] contra log(1+Dit)

sea una línea recta con pendiente -1.

Para usar una gráfica para declinación armónica del gasto/producción acumulada, debemos

integrar la ecuación 9.11 con respecto al tiempo para obtener una relación para la producción

acumulada (Gp)

)13.9.(..............................1

)()(0 0

t t

i

ip dt

tDqdttqtG

)14.9..(..........).........1log(303.2)1ln()( tDDqtD

DqtG i

i

ii

i

ip

O:

Sustituyendo el gasto de la ecuacion 9.12 en la ecuación 9.14, obtenemos la relación de

gasto/producción acumulada para la declinación armónica

)15.9....(....................)],.......(log[log303.2)( tqqDqtG ii

ip

)16.9...(....................),........()303.2

(log)(log tGq

Dqtq pi

ii

O, en términos de

gasto

La forma de la ecuación 9.16 sugiere que una gráfica del log q(t) contra Gp(t) será lineal con

una pendiente igual a –(Di/2.303qi) y con un intercepto de log(qi). Éste es un método mas

simple para calcular la tasa de declinación para la declinación armónica que el de la gráfica

gasto/tiempo porque podemos hacer un gráfico directo sin conocer previamente Di

Declinación hiperbólica. Cuando 0 < b < 1 , la declinación es

hiperbólica, y el comportamiento de gasto se expresa con la ecuación 9.1, vista en las primeras diapositivas.

Si aplicamos logaritmo natural en ambos lados de la ecuación 9.1 y reacomodamos, obtenemos esto

)17.9(....................).........1log(1)log()](log[ tbDb

qtq ii

La forma de la ecuación 9.17 sugiere que, si los datos de gasto/tiempo pueden ser

modelados con la ecuación hiperbólica, entonces un gráfico log-log de q(t) contra

(1+bDit) exhibirá una línea recta con una pendiente de 1/b y un intercepto log(qi). Para

analizar los datos de declinación hiperbólica,, sin embargo, se requieren estimaciones

previas de b o Di , o que utilicemos un proceso iterativo para estimarlos para que resulten

en una línea recta.

)1.9.....(........................................1

1b

i

i

t)bD(

qq(t)

)18.9.(..............................,1

)(0 10

t

bi

it

p dtt)bD(

qdttq(t)G

La relación de la producción acumulada/tiempo se obtiene integrando la ecuación 9.1

O, reacomodando después de haber integrado

)19.9....(..........].........1)1[()1(

)/()1(

bbi

i

ip tbD

bDq(t)G

Si sustituimos en la ecuación 9.19 y reacomodamos, escribimosb

ibii qqq 1

)20.9...(}.........])1({[)1(

11/1 bi

bbii

i

bi

p qtbDqbDq(t)G

Sustituimos la ecuación 9.1 en la 9.20 y tenemos una expresión para la producción

acumulada de gas en términos de gasto durante la declinación hiperbólica

)21.9........(..........].........)([)1(

11 bi

b

i

bi

p qtqbDq(t)G

Como las figuras 9.1 a la 9.4 muestra, la declinación hiperbólica nunca tiene una relación

lineal para las gráficas gasto/tiempo o gasto/producción acumulada en los sistema de

coordenadas. Por consecuencia, la manera mas conveniente para obtener una línea recta

es usar gráficas especiales desarrolladas para diferentes valores de b. Arps, uso q/(dq/dt)

contra t para estimar los coeficientes b y Di. Aunque ésta técnica de graficado debería de

dar resultados aceptables, los datos de campo generalmente muestran derivadas muy

pobres, lo cuál hace este método difícil de aplicar en los análisis prácticos de información

de producción.

EjemploDados datos de producción de gasto y producción acumulada, predecir el comportamiento de

flujo en dentro de 15 años en el futuro. Asuma que el límite económico es de 30,000 ft3/d, y

estime la reserva recuperable y la vida productiva del pozo usando las técnicas de

análisis convencional

1 .- De los datos

entregados, elaboramos

gráficas cartesianas y

semilogarítmicas tanto de Q

vs T, como de Q vs Gp:Notar que solo tres gráficas se comportan

linealmente; la semilog de Q vs T y la

cartesiana de Q vs Gp (lo cuál es un

indicador de declinación exponencial), y

también la semilog de Q vs Gp (indicador

de declinación armónica), pero en este

ejemplo, solamente se desarrollara el

análisis de declinación exponencial.

Análisis de declinación exponencial

2 .- Utilizando la gráfica semilogarítmica de Q vs T, computamos la ecuación de la recta

(por método de mínimos cuadrados o automáticamente con Excel), y obtenemos:

Donde, escrito mas

claramente:tetq 0003.008.370)(

Intercepto b,

(o gasto inicial)

Pendiente, m. (O tasa

de declinación, D)Coordenada Y

Coordenada X

tDi

ieqq(t) Notar que la ecuación de la recta tiene la misma forma que la ecuación 9.2 para calcular la declinación exponencial:

La ecuación tiene la tasa de declinación en días, pero puede ser expresada en años también,

solo multiplicándola por 365. Tendríamos:tetq 107.008.370)( tetq 0003.008.370)(

“D” en días “D “en años

Para calcular la vida productiva del pozo hasta que se alcance el límite económico (30

Mft3/día) utilizamos la última ecuación y ponemos el límite económico como el q(t), y

despejamos t, para obtener tiempo en años:

te 0003.008.37030 te 0003.0ln]08.370

30ln[ t0003.0]08.370

30ln[

t 0003.0

]08.370

30ln[añosdiast 9.228375

Despejamos y aplicamos In en ambos lados para eliminar e

Despejamos para t

Esto significa que en casi 23 años aproximadamente llegaremos al límite

económico de 30,000 pies cúbicos por día, y el pozo deja de pagarse. Esto si no se

modifica la pendiente de declinación en la gráfica, como por ejemplo, con cambios

de estrangulador, sistemas artificiales, u otras operaciones adicionales a el pozo.

3 .-Ahora, para calcular la reserva recuperable hasta el límite económico usamos la

ecuación exponencial derivada del Q vs Gp (ecuación 9.10):

ipi qtGDtq )()(

Sabiendo que qi= 370.08, y que Di= 0.0003, y q(t) es el gasto en el límite económico,

entonces: 08.370)(0003.030 tGp 0003.008.37030)(

tGp

1,133,300 Mscf = 1,133 MMscfEsto es, una recuperación de gas obtenida de 1,133 millones de pies cúbicos hasta que se

alcance el límite económico.

ReferenciaJohn Lee & Robert Wattenbarger (1996) “Gas reservoir engineering” Richardson, TX. SPE