Análisis de Algoritmo

Cecilia Laborde GonzálezCecilia.laborde.g@gmail.com

Objetivos de la Clase

Conocer y comprender el

funcionamiento de los grafos.

¿ Que es un Grafo?

Un GRAFO es un conjunto de nodos o vértices (V)

y un conjunto de aristas (E), donde cada arista

relaciona a un par de nodos pertenecientes a V.

La estructura algebraica para los grafos es

G=(V,E). Existen dos tipos de Grafos:

Grafo dirigido

Grafo no dirigido

GRAFO DIRIGIDO

Un GRAFO DIRIGIDO G consiste de un conjunto V de

vértices y un conjunto E al conjunto de aristas del

grafo. a b

c d

V={a, b, c, d}

E={(a,c), (a,b), (b,c), (b,d), (c,d)}

GRAFO DIRIGIDO

Los vértices de un grafo dirigido pueden usarse para

representar objetos y los enlaces relaciones entre los

objetos, ejemplo de ello que los vértices pueden

representar ciudades y los enlaces vuelos aéreos

entre ciudades.

GRAFO DIRIGIDO

Un enlace es un par ordenado de vértices (v, w),

donde v es la cola y w corresponde a la cabeza del

enlace.

v w

GRAFO NO DIRIGIDO

Sea G un Grafo no Dirigido, donde G=(V,E), V corresponde al

conjunto de vértices y E al conjunto de aristas del grafo.

Un Grafo no Dirigido se diferencia de un Grafo Dirigido debido a

que cada arista en E es un par no ordenado de vértices. Si

(v,w) es una arista no dirigida (v,w) = (w,v).

a b

c d

V={a, b, c, d}

E={(a,c),(c,a),(a,b),(b,a) (b,c),(c,b),(b,d),(d,b), (c,d),(d,c)}

COSTOS

Los enlaces tanto para los grafos Dirigidos como No Dirigidos

tienen un costo (valor), por lo tanto son grafos etiquetados

a b

c d

a b

c d

20

3025

15

40 40

a b

c d

a b

c d

20

3025

15Grafo Dirigido

Etiquetado Grafo No Dirigido Etiquetado

REPRESENTACION LOS GRAFOS

Un grafo Dirigido o No-Dirigido se puede representar mediante: Matriz de Adyacencia Lista de Adyacencia Arreglos para la Lista de Adyacencia.

Sea el siguiente Grafo Dirigido:

Donde:

V={1,2,3,4}

E={(1,2),(2,3), (,3,1), ((4,2),(3,4)}

2

1

3

4

MATRIZ ADYACENTE

La Matriz Adyacente A de un Grafo G=(V,E) tiene V*V

elementos y se define como:

2

1

3

4

casootroen

Ejisijia

0

),( 1],[

Sea: E={( 1 , 2 ), ( 2 , 3), (3 , 1 ), ( 4 ,2),( 3 , 4 )}

0010

1001

0100

0010

a

Fila Columna

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA MATRIZ DE ADYACENCIA

VENTAJAS:Se puede determinar en un tiempo fijo y constante si un enlace(arco) pertenece o no al grafo.

Es fácil determinar si existe o no un arco o enlace, solo se debe posicionar en la matriz.

Es fácil determinar si existe un ciclo en el grafo, basta multiplicar la matriz por ella misma n veces hasta obtener la matriz nula(no hay ciclos) o bien una sucesión periódica de matrices(hay ciclo)

DESVENTAJAS:

Se requiere un almacenamiento |v|

*|v|. Es decir O(n2).

Solo al leer o examinar la matriz

puede llevar un tiempo de O(n2).

LISTA ADYACENTE

La lista de adyacencia para un vértice V es una lista enlazada de

todos los vértices W adyacentes a V. Un grafo puede ser

representado por |V| listas de adyacencias, una para cada vértice.

21

3 4

Lista de

AdyacenciaGrafos

Vértices

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LAS LISTAS DE ADYACENCIA

VENTAJAS:

La lista de adyacencia requiere

un espacio proporcional a la

suma del número de vértices

más el número de

enlaces(arcos). Hace buen uso

de la memoria.

Se utiliza bastante cuando el

número de enlaces es mucho

menor que O(n2)

DESVENTAJAS:

La representación con lista de

adyacencia es que puede llevar

un tiempo O(n) determinar si

existe un arco del vértice i al

vértice j, ya que pueden haber

O(n) vértices en la lista de

adyacencia. Para el vértice i.

UTILIZACION DE ARREGLOS PARA LA LISTA DE ADYACENCIA

VENTAJAS:

Se utilizan los arreglos para implementar la Lista de Adyacencia:

21

3 4

Grafos

1

2

4

3

Vertices

230

4

0

2

0

3

0

Arreglo deLista

Adyacente