Análisis Cinemático Computacional de Mecanismos...

TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS

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Análisis Cinemático Análisis Cinemático Computacional de Computacional de

Mecanismos PlanosMecanismos Planos

ObjetivosObjetivos: mostrar programas de análisis cinemático de mecanismos que muestren posiciones singulares (puntos de bifurcación y situaciones de bloqueo) y permitan realizar la

simulación de mecanismos con ecuaciones de restricción redundantes.PrácticaPráctica:

- simulación de un cuadrilátero articulado en el que se presenten situaciones de posición singular

- simulación de un cuadrilátero articulado cuyas ecuaciones de restricción incluyan ecuaciones redundantes

TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS - 2.- 2.22.C -.C -

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MecanismosMecanismos

Objetivo de la Objetivo de la prácticapráctica

Objetivos básicosIdentificación de posiciones singulares

Puntos de bifurcación Posiciones de bloqueo

Simulación cinemática de mecanismos con ecuaciones de restricción redundantes

Comprensión de la implementación de los programas de simulación

Estudio de un ejemplo concreto: cuadrilátero articulado Selección del conjunto de coordenadas Definición de las ecuaciones de restricción


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Coordenadas dependientes

Restricciones

Grados de libertad

Modelo del Modelo del cuadriláterocuadrilátero

{ }2211 ,,, yxyxT =q

( ) ( )( )

0=

−+−−−+−

−−

=

24

22

232

23

221

221

21

21

sencos

LyLxLyyxx

LyLx

θθ

Φ

( )tf=θ

A (0,0)

θ

L1B (L1,0)

L2

L3

L41 (x1,y1)

2 (x2,y2)


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Arquitectura del Arquitectura del programa (I)programa (I)

singular.m

simula.m

detJ.m fin.minc.m dec.m

posicion.m posicion.m

repres.m repres.m


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Descripción de las funcionessingular.m: introducción de datos y ejecución del programasimula.m: abre la ventana principal del programa, dando acceso a

los botones >> y << , que activan las funciones inc.m y dec.m inc.m y dec.m: resuelven el problema de desplazamientos finitos,

incrementando o decrementando el valor del gdl, respectivamenteposicion.m: resuelve el problema de posición repres.m: actualiza la representación gráfica del cuadriláterodetJ.m: calcula el valor de det(J) en la posición actual fin.m: termina la ejecución y cierra la ventana del programa

Arquitectura del Arquitectura del programa (II)programa (II)


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Función Función posicion.mposicion.m (I)(I)

Ecuaciones de restricción

Programación del cálculo de las ecs. de restricción

( ) ( )( )

0=

−+−−−+−

−−

=

24

22

232

23

221

221

21

21

sencos

LyLxLyyxx

LyLx

θθ

Φ

phi= [q(1)- L(2)*cos(theta); q(2)- L(2)*sin(theta); (q(3)-q(1))^2+ (q(4)-q(2))^2- L(3)^2; (q(3)-L(1))^2+ q(4)^2- L(4)^2 ];


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Función Función posicion.mposicion.m (II)(II)

Matriz jacobiana

Programación del cálculo de la matriz jacobiana

( ) ( ) ( ) ( )( )

−−−−−−−

=

212

12121212

22002222

00100001

yLxyyxxyyxxqΦ

J= [ 1 0 0 0; 0 1 0 0; -2*(q(3)-q(1)) -2*(q(4)-q(2)) 2*(q(3)-q(1)) 2*(q(4)-q(2)); 0 0 2*(q(3)-L(1)) 2*q(4) ];


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Función Función posicion.mposicion.m (III)(III)

Chequeo de la posición singular

Programación del chequeo( ) 0det =qΦ

if abs(detJ) < 1.e-03; qnueva= qini; senal=-1; % Matriz singular return; end;


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MecanismosMecanismos Caso 1 (I)Caso 1 (I)

Datos del mecanismoLos datos iniciales del

mecanismo se pueden ver en la imagen

Al girar la barra hacia la derecha, el valor del gdl disminuye hasta 0º.

El mecanismo llega a una posición singular

El programa produce el mensaje de la figura.


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MecanismosMecanismos Caso 1 (II)Caso 1 (II)

Imagen en la posición singular


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MecanismosMecanismos Caso 2 (I)Caso 2 (I) Datos del mecanismo

Los datos iniciales son los mismos que en el caso anterior

Al girar la barra hacia la izquierda, el valor del gdl aumenta hasta 180º.

El mecanismo llega a una posición singular

El programa reacciona siguiendo otra solución factible


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Al pulsar el botón det(J) se obtiene el valor del determinante en el punto de bifurcación


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MecanismosMecanismos Caso 3 (I)Caso 3 (I)

Datos del mecanismoLos datos iniciales del

mecanismo se pueden ver en la imagen

Al girar la barra hacia la izquierda, el valor del gdl aumenta hasta 60º.

El mecanismo llega a una posición de bloqueo

El programa envía el mensaje de la figura


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Imagen en la posición de bloqueo alcanzada por el cuadrilátero


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MecanismosMecanismos Otros casosOtros casos

Los datos iniciales de la imagen definen otro cuadrilátero articulado que presenta diversas posiciones singulares

Este programa puede emplearse para verificar las leyes de Grashof


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Coordenadas dependientes

Restricciones

Grados de libertad

Ecs. Redundantes Ecs. Redundantes (I)(I)

{ }2211 ,,, yxyxT =q

( ) ( )( )

0=

−+−−−+−

−+−−

=

24

22

232

23

221

221

22

21

21

21

21

sencos

LyLxLyyxx

LyxLyLx

θθ

Φ

( )tf=θ

A (0,0)

θ

L1B (L1,0)

L2

L3

L41 (x1,y1)

2 (x2,y2)


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Arquitectura del Arquitectura del programa (I)programa (I)

redun.m

simula.m

detJ.m fin.minc.m dec.m

posicion.m posicion.m

repres.m repres.m


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Bas

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s



Descripción de las funciones redun.m: introducción de datos y ejecución del programasimula.m: abre la ventana principal del programa, dando acceso

a los botones >> y << , que activan las funciones inc.m y dec.m inc.m y dec.m: resuelven el problema de desplazamientos finitos,

incrementando o decrementando el valor del gdl, respectivamente

posicion.m: resuelve el problema de posición repres.m: actualiza la representación gráfica del cuadriláterodetJ.m: calcula el valor de det(J) en la posición actual fin.m: termina la ejecución y cierra la ventana del programa

Arquitectura del Arquitectura del programa (II)programa (II)


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Función Función posicion.mposicion.m (I)(I)

Ecuaciones de restricción

Programación del cálculo de las ecs. de restricción

( ) ( )( )

0=

−+−−−+−

−+−−

=

24

22

232

23

221

221

22

21

21

21

21

sencos

LyLxLyyxx

LyxLyLx

θθ

Φ

phi= [q(1)- L(2)*cos(theta); q(2)- L(2)*sin(theta); q(1)^2+ q(2)^2- L(2)^2; (q(3)-q(1))^2+ (q(4)-q(2))^2- L(3)^2; (q(3)-L(1))^2+ q(4)^2- L(4)^2 ];


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Función Función posicion.mposicion.m (II)(II)

Matriz jacobiana

Programación del cálculo de la matriz jacobiana

( ) ( ) ( ) ( )( )

−−−−−−−

=

212

12121212

11

22002222

002200100001

yLxyyxxyyxx

yxqΦ

J= [ 1 0 0 0; 0 1 0 0; 2*q(1) 2*q(2) 0 0; -2*(q(3)-q(1)) -2*(q(4)-q(2)) 2*(q(3)-q(1)) 2*(q(4)-q(2)); 0 0 2*(q(3)-L(1)) 2*q(4) ];


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Función Función posicion.mposicion.m (III)(III)

Chequeo de la posición singular

Programación del chequeo( ) 0det =qΦ

detJ= det(J'*J); if abs(detJ) < 1.e-03; qnueva= qini; senal=-1; % Matriz singular return; end;


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Posiciones Posiciones singularessingulares

Con este modelo del cuadrilátero articulado se pueden reproducir exactamente las mismas situaciones estudiadas con el programa anterior

Dado que las ecuaciones de restricción son distintas, la respuesta del programa puede ser distinta y, de hecho, lo es

Con el programa redun.m deben estudiarse la mismas situaciones estudiadas anteriormente con el programa singular.m

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