ANALISIS DE CIRCUITOS AC

PABLO ANDRES GUERRA GONZALEZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNADESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIAS E INGENIERÍAS

PROGRAMA DE INGENIERÍA ELECTRONICAVALLEDUPAR

2007

ANALISIS DE CIRCUITOS AC

UNIDADES DIDÁCTICAS:

INTRODUCCION

PRIMERA UNIDAD: ANÁLISIS DE CIRCUITOS DE CORRIENTEALTERNA

1. FUNCIÓN DE EXCITACION SENOIDAL

1.1. Características de las funciones senoidales1.2. Respuesta forzada a funciones senoidales o respuesta de

estado permanente senoidal1.3. Función forzada compleja

2. FASORES

2.1. concepto de fasor2.2. Relaciones fasoriales para R, L y C2.3. Impedancia y Admitancia

3. TECNICAS DE ANALISIS DE CIRCUITOS

3.1. Leyes de Kirchhoff usando fasores3.2. Análisis de corriente de malla y voltaje de nodo3.3. Superposición, transformación de fuentes y teorema de

Thévenin3.4. Diagramas fasoriales

4. POTENCIA AC

4.1. Potencia instantánea4.2. Potencia media RMS4.3. Valores eficaces de corriente y tensión4.4. Potencia aparente y factor de potencia

4.5. Potencia compleja4.6. superposición de potencia4.7. Máxima transferencia de potencia4.8. Inductores acoplados4.9. Transformador ideal

5. CIRCUITOS TRIFASICOS

5.1. Sistemas monofásicos de tres conductores5.2. Conexión trifásica Y-Y5.3. Conexión delta ∆5.4. Medidas de potencia en sistemas trifásicos

SEGUNDA UNIDAD: ANÁLISIS EN FRECUENCIA

6. FRECUENCIA COMPLEJA

6.1. Frecuencia compleja6.2. Función forzada senoidal amortiguada6.3. Impedancia y admitancia en el dominio s6.4. Funciones de transferencia, polos y ceros6.5. Plano de frecuencia compleja6.6. Respuesta natural y el plano S

7. RESPUESTA EN FRECUENCIA

7.1. Resonancia en paralelo7.2. Resonancia en serie7.3. Otras formas resonantes7.4. Escalamiento

BIBLIOGRAFIA

SALAZAR, R. Roberto. EL MATERIAL DIDÁCTICO, UNAD, 2004

BOYLESTAD, ROBERT L.Análisis introductorio de circuitos, 10 ed.PRENTICE HALL, 2004

HAYT WILLIAM H. KEMMERLY JACK E. DURBAN STEVEN M.Análisis de circuitos en ingenieria, Sexta ediciónMcGraw Hill, 2003

DORF, RICHARD C. SVOBODA JAMES A.Circuitos eléctricos, Quinta ediciónAlfaomega, 2003

ROADSTRUM WILLIAM H. WOLAVER DAN H.Ingenieria eléctrica para todos los ingenieros, Segunda ediciónAlfaomega 1999

IRWIN DAVIS J.Análisis básico de circuitos en ingenieria, quinta ediciónPrentice Hall hispanoamericana s.a, 1997

MARTÍNEZ GARCÍA, SALVADORProntuario para el diseño eléctrico y electrónicoMarcombo

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/

INTRODUCCIÓN

La energía eléctrica de pequeña elevada potencia puede manejarse encorriente continua CC y en corriente alterna AC. La primera espropiciada porque muchos generadores electrofísicos y electroquímicos,como celdas solares fotovoltaicas, pilas, acumuladores, generadores deplasma, etc., producen CC. Además, el sistema más barato y simple deconservación de la energía eléctrica son los acumuladores (de Pb-Sn, Ni-Cd, etc.) que reciben y devuelven CC.

La AC, sin embargo, es más fácil de generar por medioselectromecánicos que la CC. Quizás la ventaja mayor de AC estriba enque puede adaptarse a la tensión más idónea para cada paso delproceso generación –transporte- uso, mediante un dispositivo deconversión extremadamente sencillo: el transformador. Asi, AC es laforma mas extendida de empleo de la energía eléctrica y adopta laforma de ondas senoidales de tensión entre conductores y de intensidada través de los mismos.

Por otra parte, las comunicaciones por cable y por radio también sebasan en muchos casos en el empleo de ondas senoidales, aunque demayor frecuencia que las industriales. Los equipos de transmisión yrecepción son sistemas donde se generan, amplifican, mezclan yseparan ondas senoidales de diferentes frecuencias y amplitudes.

Las ondas senoidales presentan la interesante propiedad de quecualquier circuito eléctrico lineal sometido a una excitación senoidal deltiempo, de frecuencia constante, responde, en régimen permanente ensus diferentes componentes, con magnitudes de variación senoidal de lamisma frecuencia. Esto tiene la ventaja de que pueden analizarsematemáticamente tales circuitos haciendo abstracción de los valoresinstantáneos de las variables, para trabajar solamente con la amplitudesy fases de las senoides. El conocimiento ulterior de valor instantáneo decualquier variable es inmediato, puesto que su frecuencia de oscilaciónes conocida.

El curso de análisis de circuitos AC, es de tipo metodológico ycorresponde al campo de formación profesional específica de losprogramas de tecnología electrónica e ingeniería electrónica, sumetodología es educación a distancia y corresponde a dos (2) créditosacadémicos.

Unidad 1. Análisis de circuitos de corriente alterna

En esta unidad comenzaremos estudiando las características de unafunción senoidal como introducción a su uso como función de entradapara un circuito. Relacionaremos matemáticamente esta función deentrada senoidal con una función de entrada compleja, que nosconducirá a definir un fasor. Empleando fasores transformamosefectivamente un conjunto de ecuaciones diferenciales con funciones deentrada senoidales en el dominio del tiempo en un conjunto deecuaciones algebraicas que contienen números complejos en el dominiode las frecuencias. Mostraremos que, en este dominio de frecuencia, lasleyes de Kirchhoff son validas y, por tanto, todas las técnicas de análisisde DC se aplican en el análisis AC de estado estable. Exploraremos lasdiferentes ramificaciones de la potencia en circuitos de corriente alterna.Examinaremos la potencia instantánea, la potencia promedio, el factorde potencia, la potencia compleja y la medición de potencia.

Unidad 2. Análisis en frecuencia

En esta unidad examinaremos el análisis de circuitos asociados con elconcepto de frecuencia compleja y la respuesta en frecuencia desistemas eléctricos: se introduce el concepto de resonancia conreferencia a la selectividad en frecuencia y sintonía. Se definen ydiscuten los diferentes parámetros utilizados para definir la selectividad,tales como el ancho de banda, la frecuencia de corte y el factor decalidad. También se presenta el escalamiento de la red para magnitud yfase.

PRIMERA UNIDAD: ANÁLISIS DE CIRCUITOS DE CORRIENTEALTERNA

1. FUNCIÓN DE EXCITACION SENOIDAL

1.1. Características de las funciones senoidales1.2. Respuesta forzada a funciones senoidales o respuesta de

estado permanente senoidal1.3. Función forzada compleja

ActividadRealizar un escrito sobre la realidad del sistema generación –distribución de energía eléctrica en Colombia con gráficos/glosario

1.1CARACTERISTICAS DE LAS FUNCIONES SENOIDALES

Considere la función de excitación tsenVv m de la figura 1, o en el casode una fuente de corriente, tsenIi m ,

mV

mV

)(radt

)(tv

Figura 1el valor máximo es mV y su frecuencia en radianes es (rad/s). Lafunción senoidal es periódica definida por la propiedad )()( txTtx , paratodo t, donde T es el periodo de oscilación.

El recíproco de T define la frecuencia o número de ciclo por segundo yse representa por Tf 1 , La frecuencia f está en ciclos por segundos,

más comúnmente llamados hertz (Hz). Por tanto la frecuencia angular(en radianes) de la función senoidal es

)/(2

2 sradT

f

Si la función senoidal tiene asociado un desfasamiento, o ángulo , enradianes la función senoidal es )( tsenVv m ,

TmV

Figura 2el ángulo se expresará en grados y encontraran la notación

)304( tsenVv m , o de forma alterna

64

tsenVv m

Si el elemento de un circuito tiene un voltaje tsenVv m y por el

elemento fluye una corriente )( tsenIi m , se tienen el v y la i queaparece en la figura 3. Se dice que la corriente se adelanta radianes alvoltaje. Examinando esta figura se observa que la corriente alcanza suvalor pico antes que el voltaje, por lo que se dice que se adelanta alvoltaje. Así, un punto de i se alcanza antes, en el tiempo, que el puntocorrespondiente de v .

tsenVm

)( tsenI m

mI

mV

Figura 3

Otra forma sería establecer que el voltaje se atrasa radianes respectoa la corriente. Considere una onda senoidal con )203(2 tsenv y laonda de corriente asociada )103(4 tseni el voltaje v se adelanta a la

corriente i por 30°, o6

radianes.

EjemploEl voltaje a través de un elemento es tv 3cos3 v y la corriente asociadaa través del elemento es )103(2 tseni A. Determinar la relación deángulo entre voltaje y corriente, esto es, determinar el ángulo de fase.

SoluciónPrimero se necesita convertir la corriente a una forma cosenoidal conmagnitud positiva para poder compararla con el voltaje. Paradeterminar una relación de fase es necesario expresar ambas ondas enforma consistente.Puesto que )( tsentsen , se tiene

)101803(2 tseni

Además se observa que)90cos( sen

Por tanto, )1003cos(2)90101803cos(2 tti

Recuerde que tv 3cos3 . Por lo tanto, la corriente adelanta 100° alvoltaje.

Actividad

Un voltaje es )304cos(3 tv . a) determine el periodo de oscilación. b)Establezca la relación de fase con la corriente asociada )704cos(2 ti .

1.2RESPUESTA FORZADA A FUNCIONES SENOIDALES ORESPUESTA DE ESTADO PERMANENTE SENOIDAL

Para tVv m cos , la ecuación diferencial que corresponde al circuitoRL (figura 4) es

L

Rfv

Figura 4

tVRidt

diL m cos

y la respuesta forzada tiene la formatsenItIti 21 cos)(

Reemplazando y agrupando los términos coseno y seno se tiene:0cos)()( 1221 tVRILItsenRILI m

De esta expresión se obtienen dos ecuaciones021 RILI

mVRILI 12que permiten encontrar los coeficientes 1I e 2I de la respuesta forzada:

con esto se obtiene la respuesta forzada completa:

o )cos( tZ

Vi m

donde 222 LRZ

YR

L 1tan

Entonces la respuesta forzada (en estado estable) tiene la forma

)cos( wtIi m

dondeZ

VI m

m

y

En este caso, sólo se ha determinado la respuesta de estado estable deun circuito con un elemento de almacenamiento de energía. Es obvioque el método puede ser bastante complicado si el circuito tienediversos de esos elementos.

ActividadDetermine la respuesta forzada )(ti en el circuito RL de la figura 4cuando 2R , HL 1 y tv f 3cos10 V.

1.3FUNCIÓN FORZADA COMPLEJA

La aplicación de una función forzada compleja a una red eléctricapropicia una respuesta compleja; la parte real de la función forzadaproduce la parte real de la respuesta, y la parte imaginaria de la funciónforzada, la parte imaginaria de la respuesta.

Para tVtv mf cos)( , la función de excitación compleja es:tj

meV

la respuesta a la entrada exponencial del circuito RL tiene la

forma:)( tj

meI donde la amplitud mI y el ángulo de fase sondesconocidos.

Lfv

R

i

Figura 5La ecuación diferencial para este circuito RL es:

fvRidt

diL

Remplazando las expresiones complejas de fv e i en la ecuación

diferencial y derivando se obtiene:tj

mtj

mtj

m eVeLIjeRI )()(

Para determinar el valor de mI y , se divide toda la expresión entretje :

mj

mj

m VeLIjeRI

mj

m VLjReI )(

Reordenando:

LjR

VeI mj

m

si se expresa el lado derecho de la ecuación en forma polar oexponencial se tiene:

))(tan(

222

1R

Ljmjm e

LjR

VeI

Por tanto:

222 LjR

VI m

m

yR

L 1tan

En notación polar:

mI ,

RL

LRVm

1

222tan

se obtiene la respuesta real de la corriente en función del tiempo:

)()( tsenIti m )tancos( 1

222 RLt

LRVm

Ejemplo

Determinar la respuesta en estado estable para el circuito RLC de lafigura 6

t3cos

1

H121 F1

i

Figura 6

Este circuito está representado por la ecuación diferencial

tidt

di

dt

id3cos1212

2

2

Primero se reemplaza la excitación real por la exponencialcompleja tj

e ev 312

Y tenemos:

tjeidt

di

dt

id 32

2

1212

Es obvio que la corriente tiene la forma:tj

e Aei 3La primera y la segunda derivadas de i son

tje Aejdt

di 33

tje Aedt

id 32

2

9

Sustituyendo en tjeidt

di

dt

id 32

2

1212 , se tiene

tjAej 31239 Despejando A, se obtiene

452218

)33(12

)33)(33(

)33(12

33

12

j

jj

j

jA

Por tanto, )43(343 2222

tjtjjtje eeeAei

Recuerde que la identidad de Euler es jsene j cos . Entonces, larespuesta que se espera de la corriente de estado estable es

)453cos(2222ReRe)43(

teii

tj

ee

Note que se ha cambiado de 4 radianes a 45º, que son equivalentes.

La notación en grados y la notación en radianes son aceptables eintercambiables.

Ejemplo

Determinar la respuesta i en el circuito RL cuando 2R , HL 1 ytsenv f 310 V.

SoluciónPrimero, se expresa:

)903cos(10310 ttsenv f

Empleado la excitación compleja, se tiene)903(10

tjevSe introduce la excitación compleja en la ecuación diferencial delcircuito, que es

eee vRi

dt

diL

Obteniendo )903(102 tj

ee ei

dt

di

Se supone que la respuesta es )903( tje Aei

Donde A es una cantidad compleja a determinar. Sustituyendo lasolución supuesta en la ecuación diferencial y derivado, se tiene

)903()903()903( 1023 tjtjtj eAeAej

Por tanto,1023 AAj

oje

jA

49

10

23

10

donde3.56

2

3tan 1

Entonces la solución es)3.1463()903(3.56)903(

13

10

13

10 tjtjjtje eeeAei

En consecuencia, la respuesta real es )3.1463cos(

13

10Re)( titi e A

ActividadCalcular a y b cuando

4536.210 je

jba

ActividadCalcular A y cuando

3283 jjA

2. FASORES

2.1 concepto de fasor2.2 Relaciones fasoriales para R, L y C2.2 Impedancia y Admitancia

2.1 CONCEPTO DE FASOR

Una corriente o un voltaje senoidal a una frecuencia dada se caracterizapor su amplitud y su ángulo de fase. Por ejemplo, la respuesta de lacorriente en el circuito RL

tjmeIti Re)(

)cos( wtI m

La magnitud mI y el ángulo de fase , junto al conocimiento de ,especifican por completo la respuesta. Así, se puede expresar )(ti comosigue:

tjjm eeItI )(Re)(

Sin embargo, se observa que el factor complejo tje se mantuvo sincambios a través de todos los cálculos previos. Por tanto la informaciónque se busca esta presentada por

m

jm IeII )(

Donde I es lo que se llama fasor: Un fasor es un número complejo querepresenta la magnitud y la fase de una senoide. Se usa en terminofasor en lugar de vector por que el ángulo se basa en el tiempo más queen el espacio. Un fasor se puede expresar en forma exponencial, polar orectangular.

El concepto de fasor se puede emplear cuando el circuito es lineal, sebusca la respuesta en estado estable y todas las fuentes independientesson senoidales y tienen la misma frecuencia.

Una corriente senoidal real, donde , se expresa como)cos()( tIti m

Puede presentarse por )(Re)( tj

meIti

Se opta por eliminar la notación Re y el redundante tje para obtener larepresentación fasorial

mj

m IeII

Esta representación abreviada es la notación fasorial.

Aunque se ha eliminado o suprimido la frecuencia compleja tje , seadvierta que esta en la forma de la frecuencia compleja y efectuandocálculos en el dominio de la frecuencia. El problema se ha transformadodel dominio del tiempo al dominio de la frecuencia cuando se uso lanotación fasorial. Una transformación es un medio de codificaciónmatemática es la logarítmica.

Una transformación es un cambio de la descripción matemática de unavariable física para facilitar el cálculo.

EjemploDeterminar la notación fasorial de

)120100(5 tseni

Se han elegido funciones coseno como norma para la notación fasorial.Así, la corriente se expresa como una onda cosenoidal:

)30100cos(5 ti

En este punto, es fácil ver la información que se requiere es la amplitudy la fase. Entonces el fasor es

305IPor supuesto, el proceso inverso de la notación fasorial a notación en eltiempo es exactamente inverso de los pasos requeridos pasar de lanotación en el tiempo a la fasorial. Entonces, si se tiene un voltaje ennotación fasorial:

12524VLa notación en el dominio del tiempo es

)125cos(24)( ttv donde la frecuencia se estableció en la formación original del circuito.

Un fasor es una versión transformada de una onda senoidal de voltaje ode corriente que consiste en la información de la magnitud y ángulo dela fase de la senoide.

El método fasorial emplea la transformación del dominio del tiempo alde la frecuencia para obtener más fácilmente la solución senoidal deestado estable de la ecuación diferencial. Considérese el circuito RL. Sedesea determinar la solución para la corriente de estado estable icuando la fuente de voltaje es tVtv mf cos)( V y = 100 rad/s

También para este circuito sea R = 200Ω y L = 2H. Entonces se puededescribir la ecuación diferencial como sigue:

fvRidt

diL

puesto que )(Re)cos( tj

mmf eVtVv

Se usará la solución supuesta )(Re)cos( tj

mm eItIi

Para obtener )()()( tj

mtj

mm eVeRILIj

Se suprime tje y se obtiene j

mj

m eVeIRLj )(

Ahora se identifica los fasoresj

meII y

jmeVV

Por tanto, en notación fasorial se tieneVIRLj )(

Despejando I se tiene

200200

j

V

RLj

VI

para = 100 rad/s, L = 2 y R = 200. Entonces puesto que 0mVV

se obtiene

4528345283

mm VVI

Se puede transformar este resultado de nuevo al dominio del tiempopara obtener la siguiente solución de estado estable:

AtV

ti m )45100cos(283

)(

Es obvio que puede usarse directamente fasores para obtener unaecuación algebraica lineal expresada en términos de fasores y númeroscomplejos, despejando después de la variable fasorial de interés. Trasobtener el fasor deseado, simplemente se transforma de nuevo aldominio del tiempo para obtener la solución en estado estable.

EjemploDeterminar el voltaje en estado estable v en el circuito RC cuando

ti cos10 A, R= 1Ω, C= 10mF y = 100 rad/s.

ti cos10 R C v

Figura 1SoluciónPrimero se determina la representación fasorial de la corriente de lafuente, que es,

0100mII

Se quiere determinar el voltaje v obteniendo primero el fasor V.Se plantea la ecuación diferencial del voltaje de nodo del circuito y seobtiene

idt

dvC

R

v

puesto que tjei Re10

y )(Re tjm eVv

Se sustituye en la ecuación idt

dvC

R

v y se suprime la noción Re. Así se

llega atjtj

mtjm eeCVje

R

V 10)()(

Ahora se suprime tje y se obtiene

010

1 jjm eeVCj

R

Recordando la representación fasorial, se tiene

11

VCj

R

Dado que R= 1, C= 10-2 y = 100 rad/s, se tiene IVj )11(

o11 j

IV

Por tanto,

452

10

452

10V

Al pasar de la notación fasorial a la solución en estado en estable en eltiempo, se tiene

)45100cos(2

10 tv V

ActividadExprese la corriente i como fasor.

a) )80cos(4 ti b) )20cos(10 ti c) )20(8 tseni

ActividadDetermine el voltaje de estado estable v representado por el fasor

a) 14010Vb) 7580 jV

ActividadDetermine la respuesta v para el circuito que se muestra en la figura 2cuando ti f 100cos10 A

fi 1 F1001v

Figura 2

2.2 RELACIONES FASORIALES PARA R, L Y C

En la sección anterior se determino que la presentación fasorial es enrealidad una trasformación del dominio del tiempo al dominio defrecuencia. Con esta transformación, la solución de una ecuacióndiferencial se ha convertido en la solución de una ecuación algebraica.

En esta sección se determinan las relaciones entre el voltaje fasorial y lacorriente fasorial de los elementos R, L y C. Se hace la transformacióndel dominio del tiempo al de la frecuencia y después se resuelve larelación fasorial para un elemento específico.

Se comenzará con el resistor que se muestra en la figura 3.

Rv

i

RV

I

a) b)

Figura 3La relación voltaje-corriente en el dominio del tiempo es

Riv Considere ahora el voltaje de estado estable )cos( tVv m

Entonces, )(Re tjmeVv

Supóngase que la señal de corriente tiene la forma )(Re tj

meIi

Ahora se sustituyen las ecuaciones )(Re tjmeVv y )(Re tj

meIi enRiv y se suprime la noción Re para obtener

)()( tjm

tjm eRIeV

Se suprime tje para obtener j

mj

m eRIeV

Por tanto, se observa que y RIV

Puesto que , las ondas de corrientes y de voltaje están en la fase.Esta relación fasorial aparece en el figura 3b

Por ejemplo, si el voltaje a través del revisor es tv 10cos10 se sabe quela corriente será

tR

i 10cos10

En el dominio del tiempo.En el dominio de la frecuencia, primero se observa que el voltaje es

010V

Usando la relación fasorial del resistor, ecuación RIV se tiene

RR

VI

010

Entonces, al obtener la relación de i en el dominio del tiempo, se tiene

tR

i 10cos10

Considérese ahora el inductor mostrando en la figura 4a.

Ldt

diLv

i

LjLIjV

I

Figura 4La relación voltaje corriente en el dominio del tiempo es

dt

diLv

De nuevo, se utiliza el voltaje complejo )(Re tj

meVv

Y se supone que la corriente es )(Re tj

meIi

Sustituyendo las ecuaciones )(Re tjmeVv y )(Re tj

meIi endt

diLv y

suprimiendo la notación Re, se tiene

jtjm

tjjm eeI

dt

dLeeV

Derivando, se tiene jtj

mtjj

m eeLIjeeV

Suprimiendo ahora tje . Se tiene j

mj

m eLIjeV

o LIjV

Esta relación fasorial se muestra en la figura 4b. Dado que 90jej , laecuación j

mj

m eLIjeV también puede escribirse como jj

mj

m eeLIeV 90

En consecuencia, 90

o sea, el voltaje se adelanta a la corriente 90º exactamente.

Ejemplose tiene un circuito con un inductor de 2 H con = 100 rad/s y unvoltaje )50cos(10 tv V. el voltaje fasorial será

5010Vy la corriente fasorial es

Lj

VI

Puesto que L= 200 H rad/s, se tiene

Aj

VI

4005.090200

5010

200

Entonces, la corriente expresada en el dominio del tiempo esAti )40100cos(05.0

Por tanto, la corriente se atrasa al voltaje por 90º.

Por ultimo considere el caso del capacitor que se muestra en la figura5a.

v

dt

dvCi

Cj1

V

CVjI

Figura 5La relación entre corriente y voltaje es

dt

dvCi

Se supone que el voltaje es)cos( tVv m tj

meV (Re

y que la corriente tiene la forma tj

meIi (Re

Se suprime la notación de la Re en las ecuaciones tjmeV (Re y

tjmeI (Re y se sustituyen en la

dt

dvCi para obtener

)( )()( tjm

wtjm eV

dt

dCeI

La derivada de esta ecuación es jtj

mjtj

m eeCVjeeI

Suprimiendo tje , se obtiene j

mj

m eCVjeI

o seaCVjI

Esta relación fasorial aparece en la figura 5b. Dado que 90jej lacorriente adelanta 90° al voltaje.

EjemploConsidere un voltaje tv cos100 V y determine la corriente cuando =1000 rad/s y C = 1 mF. Dado que

0100V

Se tiene CVjI 90100100)1(100)( 90090 jjj eeCe

Por tanto, transformando este fasor al dominio del tiempo, se tieneAti )90cos(100

La ecuación CVjI puede escribirse como sigue:

IjwC

V1

ActividadLa corriente en un elemento es ti 100cos5 A. determine el voltaje deestado estable, )(tv , a través del elemento para a) un resistor de 10 Ω,b) un inductor L = 10 mH y © un capacitor C = mF.

ActividadA través de un capacitor C = 10 F hay un voltaje de estado estable

)30500cos(100 tv V. Determine la corriente de estado estable en elcapacitor.

ActividadEn la figura 6 aparecen el voltaje )(tv para un elemento. Indique si elelemento es un inductor o capacitor.

)(ti

)(tv

mI

mV

mI

mV

2

2

2

32

Figura 6

2.3 IMPEDANCIA Y ADMITANCIA

La impedancia Z de un elemento es la razón del voltaje fasorial a lacorriente fasorial. Por tanto,

I

VZ

Dado que mVV e mII , entonces

m

m

m

m

I

V

I

VZ

Entonces, se dice que la impedancia tiene magnitud Z y ángulo de fase

, por tanto,

m

m

I

VZ

Y

La impedancia desempeña un papel similar al de la resistencia en loscircuitos resistivos. Además como es un cociente del volts entreamperes, tiene unidades de ohms. La impedancia es la razón de dosfasores; no obstante, no es un fasor en sí misma.

Puesto que la impedancia es un número complejo, se puede expresar endiversas formas como sigue:

ZZ forma polar

jeZ forma exponencial jXRZ forma rectangular

donde R es la parte real y X la imaginaria del número complejo Z . La R= Re Z suele llamarse parte resistiva de la impedancia y X = Im Z partereactiva. Tanto R como X se mide en ohms.

La magnitud de la impedancia es

22 XRZ

Y el ángulo de fase es

R

X1tan

Estas relaciones se ilustran gráficamente en un plano complejo

Z

X

R

Figura 7La impedancia para un resistor es

Z = RPara el inductor

LjZ Para el capacitor se tiene

CjZ

1

El recíproco de la impedancia se llama admitancia y se representa porY :

ZY

1

La admitancia es análoga a la conductancia en los circuitos resistivos.Sus unidades son siemens, que se abrevia S.

se tiene

YZ

Y1

También se puede escribir la relación de magnitudes en la forma Y =1/Z.Utilizando la forma jXRZ

Se obtienejBGY

Note que G no es simplemente el recíproco de R, ni B recíproco de X. Laparte real de la admitancia, G, se llama conductancia y la parteimaginaria, B, susceptancia. Las unidades de G y B son siemens.

La impedancia de un elemento es jXRZ . El elemento es inductivo sila parte reactiva X es positiva y capacitivo si X es negativa. Puesto que

Y es le recíproco de Z y jBGY , se puede afirmar también que si b espositiva el elemento es capacitivo y que una B negativa indica unelemento inductivo.

Ejemplo

Considere un capacitor con C=1mF y calcules su impedancia yadmitancia. La impedancia de un capacitor es

CjZ

1

Entonces, además del valor de C= 1mF se necesita la frecuencia . Si setoma en caso de = 100 rad/s, se obtiene

90101010

1.0

1j

jjZ

Para determinar la admitancia, se advierte que

SjCjZ

Y 901.01.01

3. TECNICAS DE ANALISIS DE CIRCUITOS

3.1 Leyes de Kirchhoff usando fasores3.2 Análisis de corriente de malla y voltaje de nodo3.3 Superposición, transformación de fuentes y teorema de

Thévenin3.4 Diagramas fasoriales

3.1 LEYES DE KIRCHHOFF USANDO FASORES

Las leyes de corriente y voltajes de Kirchhoff se examinaron antes en eldominio del tiempo. La LVK siguiendo una trayectoria cerrada estableceque

0321 nvvvv

Para voltajes senoidales de estado estable, la ecuación puede escribirseen términos de ondas cosenoidales en la forma

0)cos()cos()cos( 21 21 nmmm tVtVtV

n

Toda la información concerniente a cada voltaje nv se incorpora en la

magnitud y la fase, nmV y n (suponiendo que es la misma para cada

término).Usando la identidad ded Euler::

0ReRe 1

1 tjj

mtjj

m eeVeeV n

n

o 0Re 1

1 tjj

mtjj

m eeVeeV n

n

Sacando tje como factor común, se obtiene

0)(Re 1

1 tjj

mj

m eeVeV n

n

0)Re( 21 tjn eVVV

Dado que tje no puede ser cero,

021 nVVV

Por tanto, se llega al importante resultado de que la suma de losvoltajes fasoriales en una trayectoria cerrada es cero. Entonces, la leydel voltaje de Kirchhoff se cumple en el dominio de la frecuencia convoltajes fasoriales. Utilizando un proceso similar, puede demostrarseque la ley de corriente de Kirchhoff rige para los factores en el dominiode la frecuencia por lo que en un nodo se tiene.

021 nIII

Puesto que la LVK y la LCK se cumplen en el dominio de la frecuencia,es fácil concluir que todas las técnicas de análisis que se desarrollaronpara circuitos resistivos son válidas para corriente y voltajes fasoriales.Por ejemplo, puede usarse el principio de superposición, lastransformaciones de fuentes, los circuitos equivalentes de Thévenin yNorton y el análisis de voltaje de nodo y corriente de malla. Todos estosmétodos son aplicables en tanto el circuito sea lineal.

Primero se examinarán impedancias conectadas en serie, como se ve enla figura 1. La corriente fasorial I fluye por cada impedancia. Aplicandola LVK puede escribirse

V

1Z 2Z

nZI

Figura 1VVVV n 21

Puesto que JJJ IZV , se tieneVIZZZ n )( 21

Por tanto, la impedancia equivalente vista desde las terminales deentrada es

neq ZZZZ 21

Por tanto, la impedancia equivalente de una impedancia en seria es lasuma de las impedancias individuales.

Observe el conjunto de admitancias en paralelo mostradas en la figura2.

V

I

nY2Y1Y

Figura 2Se puede demostrar fácilmente que la admitancia equivalente Yeq es

neq YYYY ...21

En el caso de dos admitancias en paralelo, se tiene21 YYYeq

y la impedancia equivalente correspondiente es

21

21

21

11

ZZ

ZZ

YYYZ

eqeq

De manera similar, las reglas del divisor de corriente y el divisor devoltaje se cumplen para corrientes y voltajes fasoriales.

EjemploConsiderar el circuito RLC que se muestra en la figura 3 cuando R = 9Ω,L= 10 mH y C = 1 mF. Determinar i, la corriente de estado estable,utilizando fasores.

L

tv f 100cos100i I

R

C fV

2Z

3Z

R

Figura 3SoluciónPrimero, se vuelve a dibujar el circuito en forma fasorial, como apareceen la figura 3b. Después, se plantea la LVK en torno en la malla paraobtener

fVIZIZRI 32

donde LjZ 2

YCj

Z1

3

Puesto que = 100 rad/s, L= 10 mH y c = 1mF, se tiene12 jZ

Y 103 jZ

Por tanto, la ecuación fVIZIZRI 32 se transforma en

fVIjj )1019(

o99 j

VI f

Puesto que 0100fV , se obtiene la corriente fasorial como sigue:

4586.7

4529

0100I

Entonces, la corriente de estado estable en el dominio del tiempo esAti )45100cos(86.7

EjemploDeterminar el voltaje en estado estable v en el circuito de la figura 4a.

1010

F100

mH10tA1000cos10

1010

10j

10j

A10

v V

Figura 4SoluciónPrimero se representa el circuito en el dominio de la frecuencia, usandoimpedancias favores. La impedancia del inductor es

10)1010(1000 3 jjLj

La impedancia del capacitor es

1010

)10100(1000

116

jjxjCj

La representación fasorial de la corriente de entrada esA10010 0

La figura 4b muestra la representación en el dominio de la frecuenciadel circuito. El fasor de voltaje V se puede obtener al aplicar la ley decorriente de Kirchhoff al nodo de la parte superior del circulo en la figura4b

1010101010

j

V

j

VV

o bien

101.0)05.005.0(1.0101010

1010

101010

VjVjVj

V

j

j

j

VV

despejando V , se tieneo

oV 4.183.63

4.18158.0

10

Por tanto se tiene que el voltaje en estado estable es

)4.181000cos(3.63 tV VActividadDetermine el voltaje )(tv para el circuito de la figura 5.

8

F21

H2

)(tv

H4

tVsen55

Figura 5Sugerencia: Analice el circuito en el dominio de la frecuencia, usandoimpedancias y fasores. Use la división de voltaje, dos veces. Sume losresultados.ActividadDetermine el voltaje )(tv para el circuito de la figura 6

8

F21

H2

)(tv

H4

At )153cos(4

Figura 6Sugerencia: Analice el circuito en el dominio de la frecuencia, usandoimpedancia y fasores. Reemplace las impedancias en paralelo con unimpedancia equivalente, dos veces, aplique la LVK

3.2 ANÁLISIS DE CORRIENTE DE MALLA Y VOLTAJE DE NODO

El análisis de circuitos en el dominio de la frecuencia sigue el mismoprocedimiento que se utiliza en los circuitos resistivos; sin embargo, seemplean impedancias y fasores en lugar de resistencias y funciones enel tiempo. Como la ley de Ohm puede usarse en el dominio de lafrecuencia, se emplea la relación ZIV para los elementos pasivos y seprocede con las técnicas del voltaje de nodo y la corriente de malla.

Como ejemplo del uso de fasores en el método del voltaje de nodo,examine el circuito de la figura 1

Lfi C

10av bv

5

Figura 1cuando tii mf cos . Para valores específicos de , L y C, se puede

obtener la impedancia de los elementos L y C. Cuando = 1 000 rad/sy C = 100 F , se obtiene

101

1 jCj

Z

cuando L = 5 mH para el inductor, se tiene la impedancia5jLjZ L

El circuito de la figura 1 puede volverse a dibujar usando el formatofasorial como se muestra en la figura 2.

1Z 2Z

3Zav bv

fI

Figura 2

es obvio que Z3 = 10 y Z2 se obtiene de la combinación en paralelodel resistor de 5 y la impedancia del inductor ZL. en vez de obtenerZ2, se determinará Y2 con mucha facilidad sumando las dos admitanciasen paralelo, como sigue:

)1(5

1

5

1

5

11

5

12 j

jZY

L

Usando la LCK en el nodo a, se tiene

fbaa I

Z

VV

Z

V

31

En el nodo b, se tiene

032

Z

VV

Z

V abb

Reordenando, se obtiene

fba IVYVYY )()( 331

0)()( 323 ba VYYVY

Se procede a obtener aV cuando 10mI A.

Sustituyendo se tiene

1010

1

10

1

10

1

ba VVj

010

1)1(

5

1

10

1

ba VjV

Entonces se usa la regla de Cramer para despejar aV , obteniendo

7.475.87)1110(17

100

17

)4)(23(100

4

)23(100

jjj

j

jVa

Por tanto, se tiene el voltaje en estado estable av

)7.471000cos(5.87 tva VEjemploEn la figura 3 aparece un circuito con =10rad/s, L=0.5 H y C = 10mF.Determinar el voltaje de nodo v en su forma senoidal estable cuando elvoltaje de la fuente es

Vtv f )cos(10 .

LC

i10

10

5

v

i

101R

2R

fv 3R

Figura 3SoluciónEl circuito tiene una fuente dependiente entre dos nodos, por lo que seidentifica un supernodo como se muestra en la figura 4, donde tambiénaparece la impedancia de cada elemento en forma fasorial.

V

5jZ L 10jZ c

10

5I

101R

2R

3RI10fV

Figura 4Así, la impedancia del inductor es 5jLjZ L . De igual forma, laimpedancia del capacitor es

10101

jjCj

Z c

Primero, se nota que 10/1/1 11 RY . Ahora se desea conjuntar las dosadmitancias en paralelo para que R2 y C den una admitancia Y2 como semuestra en la figura 5.

V

I10fV

I

3Y2Y

1Y

Figura 5

entonces se obtiene )1(10

1

1010

111

22 j

j

ZRY

c

Y3 puede obtenerse de la resistencia y la inductancia en serie como

33

1

ZY

donde 5533 jZRZ L . Por tanto, se tiene

)55(50

1

55

13 j

jY

Aplicando la LCK en el supernodo de la figura 5,0)10()( 321 IVYVYVVY f

Además, se nota que)(1 VVYI f

Sustituyendo la ecuación )(1 VVYI f en la 0)10()( 321 IVYVYVVY f ,

se obtiene 010)( 1321 VVYVYVYVVY ff

Reordenando,fVYYYVYYYYY )10()10( 31131321

En consecuencia,

31321

311

10

)10(

YYYYY

VYYYV f

Dado que Vf = 1000, se obtiene

j

j

j

j

j

j

V

2

10

)2(10

1)1(1

)1(10

1

10

1

10)55(50

1

10

1

Por tanto, se tiene

Vtv )4.6310cos(5

10 0

EjemploDeterminar la corriente senoidal de estado estable 1i en el circuito de la

figura 6 cuando )45cos(210 tv f V y = 100 rad/s. Además, L= 30

mH y C = 5 mF.

Figura 6SoluciónPrimero, se transforma el voltaje de la fuente a su forma fasorial

ofv 45210 = 10 + 10j

Ahora se definen las dos corrientes de malla como 1i e 2i , como semuestra en la figura 7.

3j

13I

2j2IfV

1I

Figura 7

Puesto que la frecuencia de la fuente es = 100 rad/s, se determinaque la inductancia tiene una impedancia de

3jLjZ L El capacitor tiene una impedancia de

2

2

111

j

jCj

Z c

Entonces se pueden resumir las corrientes fasoriales del circuito y laimpedancia de cada elemento dibujando el circuito en términos defasores, como en la figura 7. Ahora pueden escribirse las ecuaciones dela LVK para cada malla, obteniendo

malla 1: fVIjIj 21 333

malla 2: 02333 21 IjjIj

Despejando 1I con la regla de Cramer, se tiene

jj

I)1010(

1

donde el determinante esjjjjj 126)33(3))(33(

En consecuencia,

j

jI

126

10101

Prosiguiendo, se obtiene

o

o

o

j

jI 6.7105.1

4.6356

1352(10

)21(6

)1(101

Entonces, la respuesta de estado estable en el tiempo es

6.71100cos05.11 ti AEjemploDeterminar la corriente en estado estable 1i , cuando la fuente de

voltaje es )45cos(210 tv f V y la fuente de corriente es ti f cos3 A

en el circuito de la figura 8. En esta figura aparece la impedancia enohms para cada elemento a la especificada.

fI

2IfV

1I

21 jZ 22 Z

23 jZ

Figura 8SoluciónPrimero se transforman las fuentes independientes a la forma fasorial.La fuente de voltaje es

jv f 11045210

Y la fuente de corriente eso

fI 03

se observa que la fuente de corriente conecta las dos mallas y produceuna ecuación restrictiva

fIII 12

Creando una supermalla alrededor de la periferia de las dos mallas, seescribe una ecuación de la LVK, obteniendo

fVZZIZI )( 32211

ff VZZIIZI ))(( 32111

Reordenando, ff IZZVIZZZ 321321

Por tanto,

321

321

)(

ZZZ

IZZVI ff

Sustituyendo las impedancias y las Fuentes,

1Ioj

jj7625.882

2

3)22()1010(

En consecuencia, el resultado es 76cos25.81 ti A

ActividadUn circuito tiene la forma que se muestra en la figura 9 cuando

ti f 100cos11 A e 90100cos5.02 ti f A. Determine el voltaje av en el

dominio del tiempo.

mF1

1fi

mH40

4

av bv

2

2fi

mF5

Figura 9ActividadAplique el análisis de corriente de malla al circuito de la figura 10 paradeterminar el voltaje de estado estable a través del inductor, Lv cuando

tv f cos201 V, )90cos(302 tv f V, y = 1 000 rad/s.

F200

1fv

mH15

10

Lv

2fv

Figura10ActividadDetermine los voltajes fasoriales de nodo en las terminales a y b para elcircuito de la figura 11, cuando 50jv f V y 301 jv V

1fv 10

30

10j

fV

20j

50j

Figura 113.3 SUPERPOSICIÓN, TRANSFORMACIÓN DE FUENTES YTEOREMA DE THÉVENINEl principio de superposición es particularmente útil si un circuitocontiene dos o más fuentes actuando a diferentes frecuencias.Obviamente, el circuito tendrá un conjunto de valores de impedancia auna frecuencia y un conjunto diferente valores a otra frecuencia. Sepuede determinar la respuesta fasorial en cada frecuencia. Después seestablece la respuesta en el tiempo que corresponde a cada respuestafasorial, y se suman. Note que la superposición, en el caso de fuentesque operan a 2 o más frecuencias se aplica sólo a respuestas en eltiempo. No se pueden superponer las respuestas fasoriales.

EjemploUsando el principio de superposición, determinar la corriente de estadoestable i en el circuito mostrado en la figura 1. Cuando tv f 10cos101 V,

fi = 3 A, L = 1.5 H y C = 10 mF.

i

5

C

L

10 fifv

Figura 1SoluciónEl principio de superposición establece que la respuesta a las fuentes devoltaje y corriente que actúan en conjunto es igual a la suma de lasrespuestas de la fuente de voltaje actuando en forma individual máslas respuestas de la fuente de corriente que actúan individualmente.Sea 1i la que denota la respuesta a la fuente de voltaje que actúa enforma individual. La figura 2a muestra el circuito que se usa paracalcular 1i . En la figura 2b, este circuito se ha representado en eldominio de la frecuencia usando impedancias y fasores. De manerasimilar, sea 2i la que denote la respuesta a la fuente de corriente queactúa en forma individual. La figura a muestra el circuito que se usapara calcular 2i . En la figura 2b este circuito se ha representado en eldominio de la frecuencia.

1i

5

C

L

10fv 10j

15j

1I

5

10

b)

fv

Figura 2El primer paso es convertir las fuentes independientes a la formafasorial, advirtiendo que operan a frecuencias diferentes. Para la fuentede voltaje que opera a = 10 rad/s, se tiene

010fv

Se observa que la fuente es de corriente directa, por lo que puedeestablecerse que, para ella, = 0 rad/s. La forma fasorial de la fuentede corriente es

03fi

El segundo paso es convertir el circuito a la forma fasorial indicando laimpedancia de cada elemento como en la figura 2b

Ahora se determinará la corriente fasorial 1I , que es la componente dela corriente I que se debe a la fuente de voltaje. Se elimina a la fuentede corriente, reemplazándola por un circuito abierto a través del resistorde 10 . Entonces se puede determinar la corriente 1I que se debe a laprimera fuente como

1I =p

f

ZjwL

V

5

Donde pZ es la impedancia del capacitor y la resistencia de 10 en

paralelo. Recuérdese que = 10 rad/s y C = 10 mF. Por tanto, dadoque 10jZ c

)1(51010

10)10(j

j

j

ZR

RZZ

c

cp

Sustituyendo pZ y 15L en la ecuaciónp

f

ZjwL

V

5

00

1 45200

10

1010

10

)55(155

010

jjj

I

por tanto, la corriente en el dominio del tiempo resultante de la fuentede voltaje es

4510cos71.01 ti A

Ahora se examinará la situación de la fuente de corriente con la fuentede voltaje desactivada. Poner en cero la fuente de voltaje equivale aun corto circuito. Puesto que para la fuente de cd = 0 rad/s, laimpedancia del capacitor se convierte en un circuito abierto porque

CjZ 1 . La impedancia del inductor se convierte en corto

circuito porque 0 LjZ . Así, se obtiene el circuito mostrado en lafigura 3b. Se observa que se ha regresado al conocido circuito resistivopara una fuente de cd. Entonces, la respuesta que se debe a al fuentede corriente es

2i

5

C

L

10 fi

2I

5

10 fi

Figura 3

AI 2315

102

Por tanto, usando el principio de superposición, la corriente total deestado estable es 21 iii o sea

24510cos71.0 ti AAhora se considerarán las transformaciones de Fuentes para circuitosen el dominio de la frecuencia (fasoriales). Las técnicas para circuitosresistivos pueden aplicarse fácilmente. La transformación de fuentesse refiere a transformar una fuente de voltaje y su correspondienteimpedancia en serie en una fuente de corriente con su impedanciaasociada en paralelo, o viceversa, como aparece en la figura 4.

fIfV

fZ

fZ

Figura 4El método para transformar una fuente en otra se resume en la figura5

fIfV

fZ

fZ

f

ff Z

VI

fI

fZ

fZ

fff ZIV

fZ

fV

fZ

Figura 5

EjemploUn circuito tiene una fuente de voltaje fv en serie con dos elementos,

como se muestra en la figura 6. Determinar la fuente de corrienteequivalente en forma fasorial, cuando )45cos(10 tv f V y = 100

rad/s.

mH100

fv

10

Figura 6SoluciónPrimero, se determina la fuente de corriente equivalente como sigue:

f

ff Z

VI

Puesto que 1010 jZ f y 4510fV , se obtiene

AI f

0200

10

45200

4510

El circuito con la fuente de corriente equivalente se muestra en la figura7.

fIfZ

Figura 7Los teoremas de Thévenin y Norton se aplican a corrientes o voltajesfasoriales e impedancias igual que se aplican a los circuitos resistivos.El teorema de Thévenin se utiliza para obtener un circuito equivalente,como se analizó en el capítulo 5. El circuito equivalente de Théveninaparece en la figura 8.

THV

THZ

Figura 8Un procedimiento para determinar el circuito equivalente de Thévenines el siguiente:

1. Identificar una parte separada del circuito total2. determinar el voltaje de Thévenin cabTH VV ; el voltaje de circuito

abierto en las terminales.3. a) Determinar THZ desactivando todas las fuentes independientes

y reduciendo el circuito a una impedancia equivalente; b) si elcircuito tiene una o más fuentes dependientes, entonces secortocircuitan las terminales y se determinan cocI , la corriente de

corto circuito para la cualcoc

cabTH I

VZ , o bien c) se desactivan

las fuentes independientes, se conecta una fuente de voltaje o decorriente en las terminales y se determinan tanto V como I en lasterminales, de donde I

VZTH

EjemploDeterminar el equivalente de Thévenin del circuito mostrando en lafigura 9. Cuando Z1 = 1 + j y Z2 = - j1

02fI

2Z

1Z

Figura 9SoluciónEl voltaje de circuito abierto es 4522)1)(02(1 jZIV fcab

La impedancia THZ se determina al desactivar la fuente de corriente yreemplazarla por un circuito abierto. Entonces se tiene 1Z en serie con

2Z , de forma que 1)1(21 jjZZZTH

EjemploDeterminar el equivalente de Thévenin del circuito que se muestra en lafigura 10. En forma fasorial.

02ficabV10

10j

V

V3

Figura 10SoluciónEl voltaje de Thévenin es cabTH VV , así que primero se determina cabV

note que con el circuito abierto,2010 fIV

Entonces, usando la LVK en la malla de la derecha, se tienecabV = 3V + V = 4V = 80 0°

Examinando el circuito de la figura 10, se transforman la fuente decorriente y la resistencia de 10 en la fuente de voltaje y la resistenciaen serie de 10 , como aparece en la siguiente figura 11a.

02ficabV

1010j

V

V3

I

10 10jV

V3

oV

a)

b)

Figura 11

Cuando se desactiva la fuente de voltaje y se conecta una fuente decorriente a las terminales, como se muestra en la siguiente figura 11b,la LVK da

IjVIjVcab )4010(410

Por tanto,THZ = 40 + J10

Ahora se verá el procedimiento para determinar el circuito equivalentede Norton. Los pasos son similares a los usados en el equivalente deThévenin, puesto que THZ en serie con el voltaje de Thévenin es igual ala impedancia de Norton en paralelo con la fuente de corriente deNorton. El circuito equivalente de Norton aparece en la siguientefigura.

NITHZ

Figura 12Para determinar el circuito de Norton, se adopta el procedimientosiguiente:

4 Identificar una parte separada del circuito total.5 la corriente de Norton NI es la corriente por un corto circuito en las

terminales, así que cocN II .

6 determinar THZ a) desactivando todas las fuentes independientes yreduciendo el circuito a una impedancia equivalente, o bien b) si elcircuito tiene una o más fuentes dependientes, determinar el voltajedel circuito abierto en las terminales, cabV , de forma que

coc

cabTH I

VZ

Ejemplo

Determinar el equivalente de Norton del circuito mostrado en la figura13 en forma de fasores e impedancias. Suponga que Vf = 100 0o

V

fV

551 jZ 213 jZ

42 jZ

Figura 13SoluciónPrimero se determinará la impedancia equivalente, desactivado lafuente de voltaje y reemplazándola por un corto circuito. Puesto que

1Z aparece en paralelo con 2Z , se tiene

)4()55(

)4)(55()21(

21

213 jj

jjj

ZZ

ZZZZTH

)3493(53

1

53

34

53

93)72(

53

20)21( jjjj

Ahora se procede a determinar la fuente de corriente equivalente deNorton, calculando la corriente que fluye por un corto circuito conectadoen las terminales a-b, como se muestra en la siguiente figura.

fV

1Z 3Z

2ZI cocI

cocI

Figura 14Para determinar cocI se usarán corrientes de malla como se muestra en

la figura 14. Las dos ecuaciones de la LVK en las mallas son

malla 1: fcoc vIZIZZ )()( 221

malla 2: 0)()( 322 cocIZZIZ

Usando la regla de Cramer, se determina que cocN II como sigue

Ajj

j

jj

j

ZZZZZ

VZI f

coc

)319(370

400

193

400

)16()21)(95(

100)4(

))(( 223221

2

ActividadDetermine los valores de VTH y THZ de modo que el circuito que semuestra en la figura 15a sea el equivalente de Thévenin del circuito quese muestra en la figura 15b

a

b

8

4.2j

10j

20j

5j

a)

THV

THZ

b)

a

b

Figura 15ActividadDetermine el voltaje )(tv para el circuito de la figura 16.

8

F21

H2

)(tv

H4

tVsen55 At )153cos(4

Figura 16Sugerencia: use superposición

ActividadUsando el principio de superposición, determine )(ti en el circuito de lafigura 17 cuando tv 10cos101 V.

1v)(ti

A310mF10

H5.15

Figura 17

3.4 DIAGRAMAS FASORIALES

La relación entre fasores en un plano complejo se denomina diagramafasorial.

Considere un circuito RLC en serie que aparece en la figura 1.

I

ljR

cj1

CVfv

LVRV

Figura 1

En el diagrama también se identifica la impedancia de cada elemento.Puesto que la corriente fluye por todos los elementos y es común atodos, se toma como referencia el fasor I .

0 IIEntonces, los voltajes fasoriales son

0 RIRIVR

90 LILIjVL

90

wC

I

wC

jIVC

Estos fasores aparecen en el diagrama fasorial de la figura 2.

I

fV

RV

CV

LV

Figura 2Note que la LVK de este circuito requiere que

cLRf VVVV

La corriente I y el voltaje a través del resistor están en fase. El voltajedel inductor se adelanta 90º a la corriente y el voltaje del capacitor seatrasa 90º a la corriente. Para L y C dados, habrá una frecuencia tal que

CL VV

Con referencia a las ecuaciones, esta igualdad en la magnitud de losvoltajes ocurre cuando.

CLI

1

o bien

LC

12

CuandoLC

12 , las magnitudes de los voltajes del inductor y el

capacitor son iguales. Puesto que están desfasados 180°, se anulan y lacondición resultante es.

Rf VV

Y tanto fV como RV están en fase con I . Esta condición se denomina

resonancia.

ActividadConsidere el circuito RLC en serie de la figura 1 en donde se tiene L = 1mH C = 1 mF. Determine la frecuencia cuando la corriente, la fuentede voltaje y RV están en fase.

ActividadTrace el diagrama fasorial del circuito de la figura 3 cuando 0VVmuestre cada corriente en el diagrama.

RfIV

RICL

LI CI

Figura 3

4. POTENCIA AC

4.1 Potencia instantánea4.2 Potencia promedio4.3 Valores eficaces de corriente y tensión4.4 Potencia aparente y factor de potencia4.5 Potencia compleja4.6 superposición de potencia4.7 Máxima transferencia de potencia4.8 Inductores acoplados4.9 Transformador ideal

4.1 POTENCIA INSTANTANEA

Nos interesa determinar la potencia generada y absorbida en un circuitoo en un elemento de un circuito, por ejemplo, potencia instantánea,potencia promedio y potencia compleja.

La potencia instantánea entregada a cualquier dispositivo esta dada por:

)()()( titvtp

La unidad de potencia es el watt (W).

Si el elemento es un resistor R, la potencia se puede expresar como:

R

tvRtititvtp

)()()()()(

22

Si es un elemento completamente inductivo:

tdtvtvLdt

tditLitp

t )()(

1)()()(

donde se ha supuesto arbitrariamente que el valor es cero en t .

En el caso de un capacitor:

tdtitiCdt

tdvtCvtp

t )()(

1)()()(

La potencia instantánea que se entrega a todo el circuito en el estadosenoidal permanente es:

cos2cos2

coscos tIV

ttIVp mmmm

)]2[cos(2

cos2

tIVIV

p mmmm

EjemploUna fuente de tensión, 40 + 60 )(tu V, un capacitor de 5 F y un resistorde 200 están en serie. Determine la potencia que absorben elcapacitor y el resistor en t=1.2msAntes de t=0, una tensión de cd de 40V está aplicada a los extremos dela combinación en serie de un capacitor y un resistor. Puesto que nofluye corriente, Vvc 40)0( . En t=0+, la tensión a través de lacombinación se incrementa hasta 100V. La tensión en el capacitor nopuede cambiar de manera instantánea, por lo que la tensión en elresistor en t=0+ debe corresponder a 60V. La corriente que circula porel resistor y de ahí en ambos elementos, en t=0+ es por tanto de60/200=300mA.

La corriente para t 0 está dada por:mAeti t /300)(

Donde msRC 1 . De tal modo, la corriente que fluye en t=1.2ms es90.36 mA y la potencia que absorbe el resistor en ese instantecorresponde simplemente a WRti 633.1)(2 .

La potencia instantánea que absorbe el capacitor es )()( tvti c , así que haymás de una, manera de obtener una expresión para la tensión en elcapacitor. Al reconocer que la tensión total en ambos elementos ent 0 siempre será 100V y que la tensión está dada por /60 te ,

/60100)( tc etv

de modo que encontramos Vemsvc 93.8160100)2.1( 2.1 . Así la potenciaque está absorbiendo el capacitor en t=1.2ms es (90.36mA)(81.93V) =7.403W.______________Es probable que la potencia instantánea sea una función complicada deltiempo. Esto nos lleva a buscar una medida más sencilla de la potenciagenerada y absorbida en el elemento de un circuito, tal como la potenciapromedio.

4.2 POTENCIA PROMEDIO

Cuando se habla del valor promedio de la potencia instantánea, debeespecificarse el intervalo sobre el que se toma el promedio. Así:

dttptt

Pt

t)(

1 2

112

El valor promedio se denota con la letra mayúscula P ya que no es unafunción del tiempo.

Si )(tp es función periódica, la potencia promedio (o activa) se calculaintegrando la potencia instantánea durante cualquier intervalo que seade un periodo de longitud, y luego se divide entre el periodo:

dttpT

PTt

t

x

x

)(1

,

Para estado senoidal permanente, )cos()( tVtv m / )cos()( tIti m ,la potencia instantánea es:

tIVIV

ttIVtp mmmmmm 2cos*

2cos*

2coscos

Se observa que el primer término es una constante, independiente del

tiempo y el segundo término es una función coseno (periódica) y superiodo es ½ T.

Por tanto la potencia promedio es: cos2

1mm IVP

La diferencia de ángulo de fase entre la corriente y la tensión en unresistor puro es cero, por tanto:

mmmm IVIVP2

10cos

2

1

RIP mR2

2

1

R

VP m

R 2

2

La potencia promedio entregada a cualquier circuito compuesto deelementos puramente reactivos ideales es cero. Este es un resultadodirecto de la diferencia de fase de 90°, que existe entre la corriente ytensión. La potencia fluye hacia la red en una parte del ciclo, y fueradurante otra parte del ciclo, sin perdida de potencia.

EjemploDada la tensión en el dominio del tiempo ,)6/cos(4 Vtv determine lapotencia promedio y una expresión para la potencia instantánea que seproduce cuando la tensión fasorial correspondiente a VV 04 se aplicaa través de una impedancia 602Z .

La corriente fasorial es AZV 602/ , y la potencia promedio (activa)corresponde a:

WP 260cos)2)(4(21

la tensión en el dominio del tiempo es:

Vt

tv6

cos4)(

la corriente en el dominio del tiempo:

At

ti )606

cos(2)(

y la potencia instantánea:

Wtt

tp )603

cos(42)606

cos(6

tcos8)(

EjemploEncuentre la potencia promedio (activa) que está entregando a unaimpedanciaZL=8 - j11Ω atravesada por la corriente AI 205 .

Se podría encontrar la solución bastante rápido al utilizar la ecuación

RIP mR2

2

1 . Sólo la resistencia de 8 entra en el cálculo de la potencia

promedio, ya que la componente 11j no absorberá ninguna potenciapromedio (activa). En consecuencia:

WP 10080)5(21 2

Observe también que si la corriente se da en forma rectangular, esto esAjI 52 , entonces la magnitud al cuadrado es 22 + 52, y la potencia

promedio (activa) entregada a 118 jZ L sería:

WP 1168)52(21 22

EjemploDetermine la potencia promedio que absorbe cada uno de los treselementos pasivos de la figura, así como la potencia promedio quesuministra cada fuente.

2

2j 2j

V010 1I 2I V020

Los valores de 1I e 2I se calculan mediante cualquiera de los diversosmétodos como el análisis de malla, el análisis nodal o la superposición:

AjI

AjI

45071.755

43.6318.11105

2

1

La corriente hacia abajo que pasa por el resistor de 2 se obtienemediante:

AjII 905521

por lo que ,5AI m y la potencia promedio (activa) que absorbe elresistor se calcula de manera más fácil mediante la ecuación (12):

WRIP mR 252)5(21

21 22

Este resultado se verifica utilizando la ecuación (11) o la (13). Lapotencia promedio (activa) que absorbe cada elemento reactivo es cero.A continuación nos concentramos en la fuente izquierda. La tensión

020 V y la corriente asociada AI 43.6318.111 satisface la convenciónde signos activa y por ello la potencia que entrega esta fuente sedetermina por:

WPizquierda 50)43.63(0cos)18.11)(20(21

De manera similar, encontramos la potencia absorbida por la fuentederecha, utilizando la convención de signos pasiva:

WPderecha 25)450cos()071.7)(10(21

Puesto que 50=25+25, se confirman las relaciones de potencia.

4.3 VALORES EFECTIVOS DE CORRIENTE Y VOLTAJE

Si dejamos que una corriente periódica dada fluya a través de unresistor, para obtener la potencia instantánea Ri 2 , y luego calculamos elvalor promedio de Ri 2 en un periodo; esta es la potencia promedio;luego si hacemos que una corriente directa circule por ese mismoresistor y ajustamos el valor de la corriente directa hasta obtener elmismo valor de la potencia promedio, la magnitud de la corriente directaes igual al valor efectivo de la corriente periódica dada.Matemáticamente:

T T

dtiT

RRdti

TP

0 0

221, donde T es el periodo de i(t).

La potencia entregada por la corriente directa es:

RIP ef2

Igualando, obtenemos la corriente efectiva:

T

ef dtiT

I0

21

De igual forma para el voltaje efectivo:

T

ef dtvT

V0

21

Observamos que el valor efectivo se obtiene calculando la raíz cuadradade la media del cuadrado; por esto también toma el nombre de raízmedia cuadrática o rms (root-mean-square).

Para una onda senoidal:

tIti m cos

La corriente efectiva es:

2)(cos

1

0

22 mT

mef

IdttI

TI

donde:

2

T

Así podemos reescribir las formulas de potencia promedio como:

RIP ef2

R

VP ef

2

cosefef IVP

4.4 POTENCIA APARENTE Y FACTOR DE POTENCIA

Si suponemos que el voltaje senoidal:

tVv m cos

se aplica a un circuito y la corriente resultante es:

tIi m cos

el ángulo de fase por el que el voltaje adelanta a la corriente es:)(

y la potencia promedio entregada al circuito es:

cos)cos(2

1efefmm IVIVP

La potencia absorbida que está dada por el producto, efef IV , se define

como la potencia aparente, dimensionalmente debe tener las mismasunidades que la potencia real, ya que cos es adimensional, peropara evitar confusiones se utiliza el termino voltamperes, o VA; comocos no puede ser mayor que uno 1, la magnitud de la potencia realno es mayor que la magnitud de la potencia aparente.

El factor de potencia se define como la razón de la potencia promedio oreal a la potencia aparente, se simboliza como F.P:

efef IV

p

arentePotenciaAp

omedioPotenciaPF

Pr.

En el caso senoidal, el PF. es:

cos

donde es el ángulo por el que el voltaje adelanta a la corriente; porello se dice con frecuencia que el ángulo es el ángulo del factor depotencia.

En una carga puramente resistiva, el voltaje y la corriente están enfase:

=0 y F.P.=1 Potencia Aparente = Potencia Promedio.

Una carga puramente reactiva (sin resistencias) tendrá un F.P.=0, una

diferencia de fase de .

Una carga inductiva tendrá un F.P. atrasado y una carga capacitiva unF.P. adelantado, donde los términos adelantado o retrasado se refiere ala fase de la corriente con respecto al voltaje.

EjemploCalcule valores para la potencia promedio (activa) suministrada a cadauna de las cargas que se indican en la figura, así como la potenciaaparente que proporciona la fuente y el factor de potencia de las cargascombinadas.

Vrms060

sI 12 j

51 j

Identifique el objetivo del problema.La potencia promedio (activa) se refiere a la que consumen loscomponentes resistivos de los elementos de carga; la potenciaaparente es el producto de la tensión eficaz y de la corriente eficazde la combinación de carga.

Recopile la información conocida.La tensión eficaz es de 60V rms, que aparece en los extremos de unacarga combinada de 43512 jjj .

Decida la técnica disponible que se ajusta mejor al problema.El cálculo de los dos niveles de potencia es directo, aunquenecesitamos tener cuidado, a fin de mantener las definiciones claras.

Construya un conjunto apropiado de ecuaciones.La potencia promedio (activa) está dada por:

)cos( angIangVIVP efef

La potencia aparente es simplemente efef IV

El factor de potencia se calcula como la proporción entre estas doscantidades:

efef IV

P

arentepotenciaap

omediopotenciaprFP

Determine si se requiere información adicional.Requerimos :efI

Aj

I s

13.5312

43

060 rms

por lo que AI ef 12 rms y ang 13.53sI

Busque la solución.Encontramos que la fuente suministra una potencia promedio (activa)de:

WPs 432)1.53(0cos)12)(60( y una potencia aparente de 60 (12)= 720VA

Por último, el factor de potencia de las cargas combinadas se obtieneal considerar la tensión y la corriente asociadas con esas mismascargas. Este factor de potencia es, desde luego, idéntico al de lafuente. Por ello:

6.0)12(60

432

efef IV

PFP

Verifique la solución ¿Es razonable o la esperada?La carga superior recibe una potencia promedio (activa):

WP erior 288)2(122sup

Para la carga de la derecha, determinamos una potencia promedio(activa) de:

WPderecha 144)1(122

Así, la fuente proporciona 432W, de los cuales 288W se disipan en lacarga superior y 144W en la carga de la derecha. El balance depotencia es correcto.

Hubiera podido describirse también la impedancia de carga combinadacomo 1.535 , identificar 53.1° como el ángulo del FP y de ese modotener un FP de cos 53.1° = 0.6. Además, observamos que la cargacombinada es inductiva y que el FP es, por tanto, igual a 0.6 retrasado.

4.5 POTENCIA COMPLEJA

La potencia compleja se define en relación a un voltaje senoidal general efef VV entre dos terminales y una corriente senoidal general

efef II que entra a una de las terminales. Entonces la potencia

promedio P absorbida por la red de dos terminales es:

)cos( efef IVP

Expresamos P en notación compleja:

)( jefef eREIVP o

jef

jef eIeVREP

La corriente fasorial es:

jefef eII

Se debe usar la notación conjugada:j

efef eII

Por tanto:

efef IVREP

Definimos la potencia compleja S como:

)( jefefefef eIVIVS

La magnitud de S es la potencia aparente, el ángulo de S es el ángulodel factor de potencia.

En forma rectangular:

jQPS

Donde P = Potencia promedio real, como antes, y la parte imaginaria sesimboliza por Q y recibe el nombre de Potencia Reactiva, susdimensiones son las mismas que las de la potencia real, para evitarconfundirla la unidad de Q se define como el VAR (volt-amperes-reactivos).

se observa que:Q = )( senIV efef

La representación grafica para la potencia compleja se conoce como eltriangulo de potencia:

S Q

P

En el triangulo de potencia si 0 , el factor de potencia estaretrasado (carga inductiva), y si 0 , el factor de potencia estaadelantando (carga capacitiva).

Con un varmetro se obtiene potencia reactiva Q consumida por la carga,y con un wattimetro se obtiene la potencia promedio real consumida poruna carga.

EjemploUn consumidor industrial opera un motor de inducción de 50 kW (67.1hp) a un FP retrasado de 0.8. la tensión de la fuente corresponde a 230V rms. Para obtener tarifas eléctricas inferiores, el consumidor deseaelevar el FP retrasado. Especifique una solución pausible.

Aunque se podría elevar el FP incrementando la potencia real ymanteniendo constante la potencia reactiva, esto no redundaría en unrecibo más bajo y no es un remedio que interese al consumidor. Esnecesario agregar al sistema una carga puramente reactiva, y resultaclaro que debe hacerse en paralelo, pues la tensión del suministro parael motor de inducción no debe cambiar. El circuito de la figura 11.8(repetido aquí como la figura 11.20) se aplica si interpretamos S1 comola potencia compleja del motor de inducción y a S2 como la potenciacompleja extraída por el dispositivo de corrección del FP.

La potencia compleja que se suministra al motor de inducción debetener una parte real de 50 kW y un ángulo de cos-1(0.8) o 36.9°. Porconsiguiente:

kVAjS 5.37508.0

9.36501

Para alcanzar un FP de 0.95, la potencia compleja total debe convertirseen:

kVAjS 43.1650)95.0(cos95.0

50 1

Por lo tanto, la potencia compleja consumida por la carga correctiva seobtiene mediante:

kVAjS 07.212

La impedancia de carga necesaria Z2 se determinaría con varios pasossencillos. Elegimos el ángulo de fase de 0° para la fuente de tensión, ypor lo tanto la corriente que atraviesa Z2 es:

Ajj

V

SI 6.91

230

2107022

o

AjI 6.912

En consecuencia:

51.26.91

230

2

22 j

jI

VZ

Si la frecuencia de operación es de 60 Hz, a esta carga se le puedeproveer de un capacitor de 1056 F conectado en paralelo con el motor.Sin embargo, su costo inicial, mantenimiento y depreciación debensolventarse mediante la reducción en el recibo de pago de consumoeléctrico.

4.6 SUPERPOSICIÓN DE POTENCIA

El principio de superposición establece que la respuesta a fuentes queactúan juntas es igual a la suma de las respuestas de cada fuente devoltaje que actúa en forma independiente. La aplicación del principio desuperposición se ilustra en la figura.

R

)(2 tv)(1 tv

)(ti

R

)(1 tv

)(1 ti

R

)(2 tv

)(2 ti

donde 1i es la respuesta a la fuente 1 que actúa sola, e 2i es larespuesta a la fuente 2 que actúa sola. La respuesta total es

21 iii

La potencia instantánea es

)2()( 2122

21

221

2 iiiiRiiRRip

donde R es la resistencia del circuito. Entonces la potencia promedio es

T T

dtiiiiT

Rpdt

TP

0 0

2122

21 )2(

1

T T T T

dtiiT

RPPdtii

T

Rdti

T

Rdti

T

R

0 0 0 0

21212122

21

22

donde P1 es la potencia promedio debida a v1 y P2 es la potenciapromedio debida a v2. se verá que cuando v1 y v2 son senoides quetienen frecuencias diferentes, entonces

02

0

21 T

dtiiT

R

Cuando la ecuación 02

0

21 T

dtiiT

R se satisface,

la ecuación T

dtiiT

RPP

0

2121

2se reduce a

21 PPP

Éste es el principio de superposición de potencia. Obsérvese que elprincipio de superposición de potencia únicamente es válido cuando se

satisface la ecuación 02

0

21 T

dtiiT

R

Determinemos ahora bajo qué condiciones se cumple la ecuación

02

0

21 T

dtiiT

R. Sea m la frecuencia en radianes de la primera fuente y

sea n la frecuencia en radianes de la segunda fuente. Las corrientespueden representarse con la forma general

)cos(11 mwtIi

y

)cos(22 nwtIi

Sea que P12 represente la potencia promedio debida al producto de lasdos corrientes. Es decir,

TT

dtnwtmwtIIT

Rdtii

T

RP

0

21

0

2112 )cos()cos(22

Cuando m y n son enteros, se realiza esta integración para obtener

T

dtnwtmwtIIT

RP

0

2112 )cos()cos(2

= T

dtwtnmwtnmT

IRI

0

21 )))()cos(()()(cos(

2

)cos(

,0

21 IRI ,nm

nm

Se observa que la integral es igual a cero cuando nm y que es igual auna cantidad distinta de cero cuando m=n, donde m y n son enteros.

Por lo tanto, puede establecerse que la potencia promedio totalentregada a una carga es igual a la suma de la potencia promedioentregada por cada fuente cuando la frecuencia en radianes de cadafuente es un múltiplo entero de las otras fuentes. Sin embargo, cuandodos o más fuentes tienen la misma frecuencia en radianes, la potenciapromedio total no es la suma de la potencia promedio debida a cada unade las fuentes.

Consideremos la ecuación

TT

dtnwtmwtIIT

Rdtii

T

RP

0

21

0

2112 )cos()cos(22

cuando m y n no son

enteros.

Por conveniencia, sea m =1, n = 1.5, y 0 . Además, puesto quequiere determinarse la potencia promedio cuando una de las funcionescoseno tiene un periodo que no es múltiplo entero del periodo T, esnecesario volver a la definición de potencia promedio en la totalidad deltiempo como

2/

2/

12

1 t

tt

pdtT

límP

2/

2/

21 )5.1cos(cos21 t

tt

dtwtwtIRIT

lím

2/

2/

21 )5.2cos5.0(cos1 t

tt

dtwtwtIRIT

lím

= 0

ya que la integral de todas las ondas coseno incluidas en la forma finalde la integral es cero.

Por lo tanto, en resumen, la superposición de la potencia promedioestablece que la potencia promedio entregada a un circuito por variasfuentes senoidales, las cuales actúan conjuntamente, es igual a la sumade la potencia promedio entregada al circuito por cada fuente que actúa

en forma independiente, si y sólo si ningún par de las fuentes tiene lamisma frecuencia. Un razonamiento similar indica que la superposiciónpuede usarse para calcular la potencia reactiva o la potencia complejaentregada a un circuito por varias fuentes senoidales, siempre y cuando,de nueva cuenta, ninguna de las dos fuentes tenga la misma frecuencia.

Si dos o más de las fuentes operan en la misma frecuencia, el principiode superposición de potencia no es válido, pero el principio desuperposición sigue siendo válido. En este caso, se usa el principio desuperposición para encontrar la corriente de cada fasor y después sesuman las corrientes para obtener la corriente total de los fasores.

NIIII ...21

para N fuentes. Se tiene entonces la potencia promedio

2

2 RIP m

donde mII

EjemploEl circuito de la figura contiene dos fuentes senoidales. Para ilustrar lasuperposición de potencia, considérense dos casos:

1) vA(t) = 12 cos 3tV e iB(t) = 2 cos 4t A

2) vA(t) = 12 cos 4tV e iB(t) = 2 cos 4t A

Determinar la potencia promedio que absorbe el resistor.

6R

HL 2

)(ti

tAtiB 2cos2)( tVtvA 1cos12)(

6R

HL 2

)(1 ti

tVtvA 1cos12)(

6R

HL 2

)(2 ti

tAtiB 2cos2)(

12

6

22j

)(2 I

212j

)(1 I

SoluciónLa corriente del resistor causada por las dos fuentes que actúan enconjunto es igual a la suma de la corriente del resistor causada por lafuente de corriente que actúa sola y la corriente del resistor causada porla fuente de corriente que actúa sola. La aplicación del principio desuperposición se ilustra en la figura b donde i1 es la respuesta a lafuente de voltaje que actúa sola, e i2 es la respuesta a la fuente decorriente que actúa sola. La respuesta total es i = i1 + i2. En la figura cse representan los circuitos de la figura b en el dominio de la frecuenciautilizando impedancias y fasores.

Se consideran ahora los dos casos.

Caso 1: Por el análisis de los circuitos de la figura… se obtiene

45414.1)(1 wI e 1436.1)(2 wI

Estos fasores corresponden a frecuencias diferentes y no se puedensumar. Las corrientes correspondientes en el dominio del tiempo son

Atti )453cos(414.1)(1 e AttI )1434cos(6.1)(2

Al aplicar el principio de superposición se encuentra que la corrientetotal en el resistor es

Attti )1434cos(6.1)453cos(414.1)(1

La potencia promedio podría calcularse como

T T

dtTtT

Rdti

T

RP

0 0

22 ))1434cos(6.1)453cos(414.1(

Puesto que las dos fuentes senoidales tienen frecuencias diferentes, esmás sencillo calcular la potencia promedio utilizando la superposición depotencia

WPPP 7.1362

6.16

2

414.1 22

21

Obsérvese que en este caso se utilizaron tanto la superposición como lasuperposición de potencia. Primero, se usó la superposición paracalcular I1(w) e I2(w). Después, se calculó P1 utilizando I1(w), y secalculó P2 utilizando I2(w). Por último, se utilizó la superposición depotencia para calcular P a partir de P1 y P2.

Caso 2: Por el análisis de los circuitos de la figura c se obtiene

1.532.1)(1 wI e 1436.1)(2 wI

Ambos fasores corresponden a la misma frecuencia, w = 4 rad/s. Por lotanto, estos fasores pueden sumarse para obtener el fasorcorrespondiente a i(t).

)()()( 21 wIwIwI 3.1060.2)1436.1()1.532.1(

La corriente senoidal correspondiente a este fasor es

Atti )3.1064cos(0.2)(

La potencia promedio absorbida por el resistor es

WP 1266

0.2 2

De manera alternativa, las corrientes en el dominio del tiempocorrespondientes a I1(w) e I2(w) son

Atti )1.534cos(2.1)(1 e Atti )1434cos(6.1)(2

Aplicando la superposición, se encuentra que la corriente total en elresistor es

Atttti )3.1064cos(0.2)1434cos(6.1)1.534cos(2.1)(

Por lo que P = 12W, como antes.

La superposición de potencia no puede usarse en este caso porque lasdos fuentes senoidales tienen la misma frecuencia.

EjercicioDeterminar la potencia promedio absorbida por el resistor de la figura a.para los dos casos siguientes:

1) vA(t) = 12 cos 3tV e iB(t) = 2 cos 3t A

2) vA(t) = 12 cos 4tV e iB(t) = 2 cos 3t A

4.7 MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA

Para una red resistiva, la potencia máxima se transfiere de una fuente auna carga cuando la resistencia de la carga se hace igual a la resistenciade Thévenin de la fuente equivalente de Thévenin. Se considera ahoraun circuito representado por el circuito equivalente de Thévenin parauna fuente senoidal estable, como se muestra en la figura, cuando lacarga es ZC.

CZTHV

THZI

Se tiene entonces

THTHTH jXRZ

y

CCC jXRZ

La potencia promedio entregada a la carga es

Cm R

IP

2

2

La corriente fasorial I está dada por

)()( CCTHTH

TH

CTH

TH

jXRjXR

V

ZZ

VI

donde pueden seleccionarse los valores de RC y XC. La potenciapromedio entregada a la carga es

22

2

)()(

2/||

2 CTHCTH

CTHC

XXRR

RVRIP

y quiere maximixarse P. El término (XTH + XC)2 puede eliminarsehaciendo XC - XTH. Se tiene

2

2

)(2 CTH

CTH

RR

RVP

El máximo se determina tomando la derivada dP/dRC e igualándola acero. Se encuentra entonces que dp/dRC = 0 cuando RC =RTH.

Por consiguiente, se tiene

ZC = RTH - jXTH

Por tanto, la transferencia máxima de potencia de un circuito con uncircuito equivalente de Thévenin con una impedancia ZTH se obtienecuando ZC se hace igual a ZTH, el conjugado complejo de ZTH.

Ejemplo

Determinar la impedancia de carga que transfiere la potencia máxima ala carga y determinar la cantidad máxima de potencia obtenida por elcircuito que se muestra en la figura.

CZV010

65 j

I

Solución

La carga se selecciona para que sea el conjugado complejo de ZTH de talmodo que

ZC = ZTH = 5 + j6

Entonces la potencia máxima transferida puede obtenerse al observarque

0155

010I

Por tanto, la potencia promedio transferida a la carga es

WRI

P Cm 5.25

2

)1(

2

22

Actividad

Para el circuito de la figura, determinar ZC para obtener la potenciamáxima transferida cuando el circuito equivalente de Thévenin tiene VTH

= 100 0 V y ZTH = 10 + j14 Ω. Determinar también la potenciamáxima que se transfiere a la carga.

CZTHV

THZI

ActividadUn receptor de televisión utiliza un cable para conectar la antena altelevisor, como se muestra en la figura, con vf = 4 cos wt mV. La señalde la estación de televisión se recibe en 52 Mhz. Determinar la potenciapromedio entregada a cada televisor si a) La impedancia de carga es Z= 300 Ω; b) Dos televisores idénticos se conectan en paralelo con Z =300 Ω para cada uno de ellos; c) Dos televisores idénticos se conectanen paralelo y Z debe seleccionarse para que se entregue la potenciamáxima en cada uno.

Zfv

200

4.8 INDUCTORES ACOPLADOS

Es común usar el término inductancia como sinónimo deautoinductancia, y estamos familiarizados con los circuitos que tieneninductores. En esta sección se consideran los inductores acoplados, loscuales son útiles en circuitos con voltajes y corrientes senoidales (de ca)de estado estable y también son de uso generalizado en los circuitoselectrónicos.

Los inductores acoplados o bobinas acopladas son un dispositivomagnético que consta de dos o más bobinas de vueltas múltiplesdevanadas en un núcleo común. Se dice que estas bobinas estánacopladas magnéticamente. Un voltaje aplicado en una de las bobinas,como produce un voltaje a través de la segunda bobina. He aquí el

porqué. El voltaje de entrada, )(1 tv , genera una corriente )(1 ti en labobina 1. La relación entre la corriente y el voltaje es

dt

diLv 1

11

donde L1 es la autoinductancia de la bobina 1. La corriente )(1 ti produceun flujo en el núcleo magnético. Este flujo se relaciona con la corrientepor

111 iNcdonde 1c es una constante que depende de las propiedades magnéticasy de la geometría del núcleo y 1N es el número de vueltas de la bobina1. La cantidad de vueltas de una bobina indica el número de veces queel alambre se enrolla alrededor del núcleo. El flujo está contenidodentro del núcleo magnético. El núcleo tiene una sección transversal A.El voltaje a través de la bobina 1 se relaciona con el flujo por

dt

diNciNc

dt

dN

dt

dNv 12

11111111 )(

Al comparar las ecuacionesdt

diLv 1

11 ydt

diNcv 12

111 se demuestra que

2111 NcL

En las terminales de la segunda bobina se induce un voltaje 2v debido aque fluye por la segunda bobina. Este voltaje se relaciona con el flujopor

dt

diM

dt

diNNc

dt

dNv M

112122

Donde |Mc es una constante que depende de las propiedades magnéticas

y de la geometría del núcleo, N2 es un número positivo llamado lainductancia mutua. La unidad de inductancia mutua es el Henry, H.

La polaridad del voltaje 2v , en comparación con la polaridad de 1v ,depende de la forma en que se devanan las bobinas alrededor delnúcleo. Se emplea una convención de punto para indicar la manera enque se ha hecho el devanado de las bobinas en el núcleo. uno de losextremos de cada bobina está marcado con un punto. Los puntos en elextremo de las bobinas indican que los extremos con punto tienen unvoltaje positivo al mismo tiempo.

En la figura 1 se presenta el símbolo del circuito que se usa pararepresentar los inductores acoplados, con los puntos marcados y la

inductancia mutua identificada como M. En la figura se muestran doscasos. En la figura 1a las corrientes de ambas bobinas entran en losextremos con punto de las mismas. En la figura 1b, una corriente, 1i ,entra en el extremo con punto de una de las bobinas, pero la otracorriente, 2i , entra en el extremo sin punto de la bobina. En amboscasos, las direcciones de referencia del voltaje y la corriente de ambasbobinas se ajustan a la convención pasiva.

tv1 tv2

M

1L 2L

tv1 tv2

M

1L 2L

a

b

ti1 ti2

ti1 ti2

Figura 1Suponer que las corrientes de ambas bobinas entran en los extremoscon punto de las mismas, como en la figura 1a, o que las corrientes deambas bobinas entran en los extremos sin punto de las mismas. Elvoltaje a través de la primera bobina, 1v , se relaciona con las corrientesde las bobinas por

dt

diM

dt

diLv 21

11

De manera similar, el voltaje a través de la segunda bobina se relacionacon las corrientes de las bobinas por

dt

diM

dt

diLv 12

22

En contraste, suponer que la corriente de una bobina entra en elextremo con punto mientras que la corriente de la otra bobina entra enel extremo sin punto, como en la figura 1b. El voltaje a través de laprimera bobina, 1v , se relaciona con las corrientes de las bobinas por

dt

diM

dt

diLv 21

11

De manera similar, el voltaje a través de la segunda bobina se relacionacon las corrientes de las bobinas por

dt

diM

dt

diLv 12

22

Por tanto, puede verse que la inductancia mutua induce un voltaje enuna bobina debido a la corriente que circula en la otra bobina. Losinductores acoplados pueden modelarse utilizando inductores (sinacoplamiento) y fuentes dependientes. En la figura 2 se muestra elcircuito equivalente de los inductores acoplados.

tv1

M

1L 2L

ti1 ti2

tv1

1L 2L ti1 ti2

tv2 tv2

dt

diM 2

dt

diM 1

Figura 2El uso de inductores acoplados suele limitarse a aplicaciones que noincluyen corriente directa, ya que las bobinas se comportan como cortoscircuitos para una corriente estable.

Suponer que inductores acoplados son parte de un circuito lineal conuna entrada senoidal y que el circuito está en estado estable. Estecircuito puede analizarse en el dominio de la frecuencia utilizandofasores. Los inductores acoplados de la figura 1a se representan por lasecuaciones fasoriales

2111 jwMIIjwLV Y

1222 jwMIIjwLV

En contraste, los inductores acoplados que se muestran en la figura 1bse representan por las ecuaciones fasoriales

2111 jwMIIjwLV

y

1222 jwMIIjwLV

Las inductancias, L1 y L2, y la inductancia mutua, M, dependen de laspropiedades magnéticas y de la geometría del núcleo y del número devueltas de las bobinas. Con referencia a las ecuaciones 2

111 NcL y

dt

diMv 1

2 , puede escribirse

2

22

2122121

222

21121 )())((

k

M

k

NNcNNccNcNcLL M

donde a la constante 21/ ccck M se conoce como coeficiente deacoplamiento. Puesto que el coeficiente de acoplamiento depende de c1,c2 y cM, depende de las propiedades magnéticas y de la geometría delnúcleo.

Al despejar el coeficiente de acoplamiento en la ecuación2

2

21 k

MLL , se

obtiene

21LL

Mk

La potencia instantánea absorbida por los inductores acoplados es

)()()()()( 2211 titvtitvtp

)()()()()()( 21221211 titidt

dMti

dt

dLtiti

dt

dMti

dt

dL

)()()())(()()( 22221111 tidt

dtiLtiti

dt

dMti

dt

dtiL

donde se usa –M si una de las corrientes entra en el extremo sin puntode una de las bobinas, mientras que la otra corriente entra en elextremo cono punto; en caso contrario, se usa +M . La energíaalmacenada en los inductores acoplados se calcula integrando lapotencia que absorben los inductores acoplados. La energía almacenadaen los inductores acoplados es

21222

211 2

1

2

1)()( iMiiLiLdtw

t

donde nuevamente se usa –M si una de las corrientes entra en elextremo sin punto de una de las bobinas, mientras que la otra corrienteentra en el extremo con punto; en caso contrario, se usa +M. Estaecuación puede utilizarse para encontrar que tan grande puede llegar aser un valor M en términos de L 1 y L2. Puesto que el transformador esun elemento pasivo, la energía almacenada debe ser mayor o igual quecero.

La cantidad limite para M se obtiene cuando 0w en la ecuación

21222

211 2

1

2

1)()( iMiiLiLdtw

t

.

Se tiene entonces

21222

211 2

1

2

1iMiiLiL = 0

como la condición limite para el caso en que una corriente entra en laterminal con punto y la otra corriente sale en la terminal con punto. Sesuma y se resta el término 2121 LLii en la ecuación para generar untérmino que sea un cuadrado perfecto como sigue:

022 2121

2

22

11

MLLiii

Li

L

El término cuadrado perfecto puede ser positivo o cero. Por lo tanto,para tener 0w , se requiere que

MLL 21

En consecuencia, el valor máximo de M es 21LL

Por lo tanto, el coeficiente de acoplamiento de los inductores acopladospasivos no puede ser mayor que 1. Además, el coeficiente deacoplamiento no puede ser negativo, ya que L1, L2 y M son no negativos.Cuando k = 0, no existe acoplamiento. Por lo tanto, es necesario que elcoeficiente de acoplamiento satisfaga

10 kLa mayor parte de los transformadores de potencia tienen una k quetiende a uno, mientras que k es baja en los circuitos de radio.

En la figura 3a se muestran los inductores acoplados que se usan comoun transformador para conectar una fuente a una carga. A la bobinaconectada a la fuente se le llama la bobina primaria y a la bobinaconectada a la carga se le llama la bobina secundaria. El circuito 2 seconecta al circuito 1 a través del acoplamiento magnético deltransformador, pero no existe ninguna conexión eléctrica entre amboscircuitos. Por ejemplo, no hay ninguna trayectoria para que fluyacorriente del circuito 1 al circuito 2. Además, en el circuito no hayningún elemento que llegue a un nodo del circuito 1 y a otro nodo delcircuito 2.

tv1 tv2

M

1L 2L

ti1 ti2

Mj

2Lj2I

1V 2V2Z1Lj1I

Figura 3

En la figura 3b se muestra un ejemplo específico de la situaciónilustrada en la figura 3a. La fuente es una sola fuente de voltajesenoidal, y la carga es una sola impedancia. El circuito se harepresentado en el dominio de la frecuencia utilizando fasores eimpedancias. El circuito de la figura 3b puede analizarse escribiendoecuaciones de malla. Las dos ecuaciones de malla son

1211 VjwMIIjwL

0)( 2221 IZjwLjwMI

Al despejar I2 en términos de V1 se tiene

121

221

22 ))()()((V

ZjwLMLLjw

jwMI

Cuando el coeficiente de acoplamiento de los inductores acoplados es launidad, entonces M = 21LL y la ecuación

121

221

22 ))()()((V

ZjwLMLLjw

jwMI

se reduce a

1

12

21

21

211

212 V

LZ

LV

ZjwL

LLjwV

ZjwL

jwMI

El voltaje de la impedancia está dado por

11

2222 V

L

LIZV

El cociente de las inductancias está relacionado con las propiedadesmagnéticas y la geometría del núcleo y con el número de vueltas de lasbobinas. Con referencia a la ecuación 2

111 NcL , puede escribirse

211

222

1

2

Nc

Nc

L

L

Cuando las dos bobinas se arrollan simétricamente en el mismo núcleo,entoncesc1 = c2. En este caso,

22

1

22

1

2 nN

N

L

L

donde a n se le llama la relación de vueltas del transformador. Al

combinar las ecuaciones 11

2222 V

L

LIZV y 2

21

22

1

2 nN

N

L

L se obtiene

12 nVV

donde V1 es el voltaje a través de la bobina primaria, V2 es el voltaje através de la bobina secundaria y n es la razón de vueltas. Un cálculosimilar indica que

21 nII Donde I1 es la corriente en la bobina primaria e I2 es la corriente en labobinasecundaria. Las ecuaciones 12 nVV y 21 nII representan el

transformador ideal. Se concluye que un transformador es ideal cuandoel coeficiente de acoplamiento de los devanados del transformador es launidad, y ambos devanados están embobinados en forma simétrica enel mismo núcleo de tal modo que 21 cc .

EjemploDeterminar el voltaje )(2 tv en el circuito que se muestra en la figura 4a.¿Se trata de un transformador ideal?

tv1 tv2

H2

H4 H3

ti1 ti2

Vt 454cos5 12

8

1V 2V

8j

6j 12j

1I 2I

455 12

8

Figura 4

Solución

Primero, se representa el circuito en el dominio de la frecuenciautilizando fasores e impedancias, como se muestra en la figura 4b.Obsérvese que las corrientes de ambos devanados, I1 e I2, entran en elextremo con punto de los mismos. Los voltajes de los devanados seexpresan como funciones de las corrientes de los mismos utilizando lasecuaciones que describen los inductores acoplados, las ecuaciones

2

2

21 k

MLL y

21LL

Mk .

211 816 IjIjV

212 128 IjIjV

Después, se escriben dos ecuaciones de malla

118455 VI

y

22 12IV

Al sustituir las ecuaciones de los voltajes de los devanados en lasecuaciones de malla se obtiene

21211 8)168()816(8455 IjIjIjIjI

y

221 12128 IIjIj

Al despejar I2 se obtiene

141138.02I

Después, V2 está dado por

VIV 39656.112 22

Al volver al dominio del tiempo,

Vttv )394cos(656.1)(2

El transformador no es ideal, ya que L1L2 = 4 3>22 = M2.

4.9 EL TRANSFORMADOR IDEAL

Un uso importante de los transformadores es en la distribución depotencia de ca. Los transformadores poseen la capacidad de “elevar” o“bajar” voltajes y corrientes de ca. Las compañías de electricidadutilizan transformadores para elevar (subir) el voltaje de 10 kV en laplanta generadora a 200 kV o más para la transmisión en grandesdistancias. Después, en la planta de recepción, se usantransformadores para reducir (bajar) el voltaje a 220 o 110 V para usodel consumidor.

Además de su uso en los sistemas de energía eléctrica, lostransformadores son comunes en circuitos electrónicos y decomunicaciones. Proporcionan la capacidad de elevar o reducir voltajesy de aislar un circuito de otro.

Una de las bobinas, dibujada generalmente a la izquierda en eldiagrama de un transformador, está diseñada como la bobina primaria,y la otra se denomina la bobina secundaria o devanado secundario. Labobina primaria se conecta a la fuente de energía, y la bobinasecundaria se conecta a la carga.

Un transformador ideal es el modelo de un transformador con uncoeficiente de acoplamiento igual a la unidad. Estas característicasestán presentes generalmente en transformadores con núcleo de hierroy diseño especial. Se aproximan al transformador ideal en un intervalode frecuencias.

tv1 tv2

1L 2L

a

b

ti1 ti2

Ideal

21 NN

Ideal

21 NN

1V 2V

1I 2I

Figura 1En la figura 1 se muestra el símbolo del transformador ideal. Laoperación del transformador ideal es la misma en el dominio del tiempoque en el dominio de la frecuencia. En la figura 1a se muestra larepresentación del transformador en el dominio del tiempo. En eldominio del tiempo, las dos ecuaciones que definen un transformadorideal son

)()( 12 tnvtv

)()( 21 tniti

donde 12 / NNn se denomina la relación de vueltas del transformador.

El uso de los transformadores suelen limitarse a las aplicaciones que noincluyen corriente directa, ya que los devanados primario y secundariose comportan como cortocircuitos para una corriente estable.

En la figura 1b se muestra la representación del transformador en eldominio de la frecuencia. En el dominio de la frecuencia, las dosecuaciones que definen un transformador ideal son

12 nVV

21 nII

Las barras verticales de la figura 1 indican el núcleo de hierro, y seagrega la palabra “ideal” en el transformador para asegurar laidentificación del caso ideal. Un transformador ideal puede modelarseusando fuentes dependientes, como se muestra en la figura 2.

tv1 tv2

ti1 ti2

21 NN

tv1

ti2

tv2 tiN

N2

1

2 tvN

N1

1

2

Figura 2Obsérvese que el voltaje y la corriente de ambas bobinas deltransformador de lafigura 1 se ajustan a la convención pasiva. La potencia instantáneaabsorbida por el transformador ideal es

0)()(())()(()()()()()( 21212211 titnvtnitvtitvtitvtp

Se dice que el transformador ideal no tiene pérdidas, ya que la potenciainstantánea que absorbe es cero. Un razonamiento similar indica que eltransformador ideal absorbe cero potencia compleja, cero potenciapromedio y cero potencia reactiva.

En la figura 3 se muestra un transformador ideal que se usa paraconectar una fuente a una carga. A la bobina que se conecta a la fuentese llama bobina primaria, y a la bobina que se conecta a la carga sedenomina bobina secundaria. El circuito 2 se conecta al circuito 1mediante el acoplamiento magnético del transformador, pero no hayninguna conexión eléctrica entre estos dos circuitos. Como eltransformador ideal no tiene pérdidas, toda la potencia entregada altransformador ideal por el circuito 1 es entregada a su vez al circuito 2por el transformador ideal.

tv1 tv2

ti1 ti2

2I1V 2V2Z1I

21 NN 21 NN

Figura 3 figura 4

Consideremos el circuito de la figura 4 que tiene una impedancia decarga Z2 acoplada magnéticamente a una fuente de voltaje usando untransformador ideal.

La impedancia de entrada del circuito conectado a la fuente de voltajees

1

11 I

VZ

Z1 se denomina la impedancia vista en el primario del transformador ola impedancia vista por la fuente de voltaje.

El transformador se representa por las ecuaciones

nVV /21

21 nII

donde 12 / NNn es la relación de vueltas del transformador.

la corriente y el voltaje de la impedancia, I2 y V2, no se ajustan a laconvención pasiva, por lo que

222 IZV

Por tanto, para Z1 se tiene

222

22

2

21

11/Z

nI

V

nnI

nVZ

La fuente experimenta la impedancia Z1, que es igual a Z2 escalada porel factor 1/n2. En ocasiones se dice que Z1 es la impedancia Z2 reflejadaal primario del transformador.

Supóngase que va a conectarse una impedancia de carga a una fuente.Si la impedancia de carga se conecta directamente a la fuente, entoncesla fuente ve la impedancia de carga Z2. En contraste, si la impedanciade carga se conecta a la fuente utilizando un transformador ideal, lafuente ve la impedancia Z1. En este contexto, se dice que eltransformador ha cambiado la impedancia vista por la fuente de Z2 a Z1.

EjemploCon frecuencia puede usarse un transformador ideal para representar untransformador que conecta la salida de un amplificador estéreo, V1, a unaltavoz, como se muestra en la figura 5. Determinar la razón de vueltasnecesarias n cuando Rc = 8 Ω y Rf = 48 Ω si quiere conseguirse latransferencia máxima de potencia a la carga.

1V cR

fR n1

Figura 5Solución: La impedancia vista en el primario debida a Rc es

221

8

nn

RZ c

Para alcanzar la transferencia máxima de potencia, se requiere que

fRZ 1

Puesto que Rf = 48 Ω, se requiere que Z1 = 48 Ω,, de donde

6

1

48

82 n

y por tanto,

6

12

1

2

N

N

21 6NN

EjercicioDeterminar V1 e I1 en el circuito de la figura cuando n = 5.

1V 2V

1I 2I

010 75100 j

31 j n1

ActividadDeterminar v2 e i2 en el circuito de la figura cuando n = 2. Obsérveseque i2 no entra en la terminal con punto.

t10cos5

25n

1

mH20

5. CIRCUITOS TRIFÁSICOS

5.1 Sistemas monofásicos de tres conductores5.2 Conexión trifásica Y-Y5.3 Conexión delta5.4 Medidas de potencia en sistemas trifásicos

5.1 Sistemas monofásicos de tres conductores

1V

1V

Figura 1

Una fuente monofásica de tres hilos se define como la que tiene tresterminales de salida (a, n y b en la figura 1a), en las que las tensionesde fasor anV y nbV son iguales. Por tanto, se podría representar la fuentemediante la combinación de dos fuentes de tensión idénticas; en lafigura 1b, 1VVV nban . Es patente que nbanab VVV 22 y en consecuenciatenemos una fuente a la cual se conectarían las cargas que operan concualquiera de las dos tensiones. El sistema doméstico normal esmonofásico de tres hilos, lo que permite la operación de aparatos tantode 110v como de 220v. Los aparatos de tensión superior son por logeneral aquellos que demandan cantidades superiores de potencia; laoperación a mayor tensión origina una demanda de corriente máspequeña para la misma potencia. En consecuencia puede emplearsecon seguridad un alambre de diámetro menor en el aparato, en elsistema de distribución doméstico y en el sistema de distribución de lacompañía eléctrica, ya que resulta necesario emplear alambre dediámetro mayor con corrientes más altas para reducir el calor que seproduce debido a la resistencia del alambre.

El nombre monofásico se origina porque las tensiones anV y nbV , al ser

iguales, deben tener el mismo ángulo de fase. Sin embargo, desde otropunto de vista, las tensiones entre los hilos exteriores y el alambrecentral, que suele denominarse el neutro, está exactamente a 180°fuera de fase. Es decir, bnan VV y bnan VV = 0. Más adelante, veremos

que los sistemas polifásicos balanceados se caracterizan por un sistemade tensiones de igual amplitud cuya suma (fasorial) es cero. Desde estaperspectiva, el sistema monofásico de tres hilos es en realidad unsistema bifásico balanceado. No obstante, bifásico es un término quepor lo común se reserva a un sistema desbalanceado relativamenteintrascendente que utiliza dos fuentes de tensión 90° fuera de fase,entre sí.

Consideremos ahora un sistema monofásico de tres hilos que contienecargas idénticas pZ entre cada alambre exterior y el neutro (figura 2).

Supondremos primero que los hilos que conectan a la fuente con lacarga son conductores perfectos. Puesto que:

nban VV

1V

1V

pZ

pZ

Figura 2entonces:

p

nbBb

p

anaA Z

VI

Z

VI

y por lo tanto:0 aABbAaBbnN IIIII

En consecuencia, no hay corriente en el hilo neutro por lo que podríaeliminarse sin alterar ninguna corriente o tensión del sistema, resultadoque se consigue mediante la igualdad de las dos cargas y de las dosfuentes.

Pensemos a continuación en el efecto de una impedancia finita en cadauno de loshilos. Si las líneas aA y bB tienen cada una la misma impedancia, éstapuede sumarse a Zp, lo que origina también en este caso dos cargasiguales y una corriente neutracero. Dejemos ahora que el hilo neutro posea una impedancia Zn. Sinefectuar ningún análisis detallado, la superposición debe mostrarnos quela simetría del circuito seguirá dando lugar a una corriente del neutroigual a cero. Además, la adición de cualquier impedancia conectada demanera directa desde una de las líneas exteriores a la otra línea exteriorproducirá también un circuito simétrico y una corriente de neutro igual acero. Por lo tanto, la corriente de neutro cero es consecuencia de unacarga balanceada, o simétrica; la impedancia distinta de cero en el hiloneutro no destruye la simetría.

El sistema más general monofásico de tres hilos contendrá cargasdesiguales entre cada línea exterior y el neutro, así como otra carga demanera directa entre las dos líneas exteriores fueran casi iguales,

aunque la impedancia del neutro es a menudo un poco mayor.Pensemos en un ejemplo de un sistema de este tipo, con interésparticular en la corriente que fluiría ahora en la corriente del hilo neutro,así como en la eficiencia total con la que nuestro sistema transmitepotencia a una carga desbalanceada.

Ejemplo

Analice el sistema de la figura 3 y determine la potencia entregada acada una de las tres cargas, así como la potencia perdida en el hiloneutro y en cada una de las dos líneas.

rmsV0115

rmsV0115

1

3

100 10j

2050

1

Figura 3

Identifique el objetivo del problema.Las tres cargas en el circuito son: el resistor de 50Ω, el resistor de100Ω y una impedancia de 20 + j10 Ω. Cada una de las dos líneaspresenta una resistencia de 1Ω, y la resistencia del hilo neutrocorresponde a 3Ω. Necesitamos la corriente que circula por cada unade éstas a fin de determinar la potencia.

Recopile la información conocida.Tenemos un sistema monofásico de tres hilos; el diagrama de circuitode la figura 3 está por completo marcado. Las corrientes calculadasestarán en unidades rms.

Decida la técnica disponible que se ajusta mejor al problema.El circuito nos lleva al análisis de malla, al tener tres mallas definidasde maneraclara. El resultado del análisis será un conjunto de corrientes demalla, que en este caso se utiliza para calcular la potencia absorbida.

Construya un conjunto apropiado de ecuaciones.Las tres ecuaciones de malla son:

0)(3)(500115 31211 IIIII

0)(50)(100)1020( 12322 IIIIIj

0)(100)(30115 32313 IIIII

que puede reordenarse para obtener las tres siguientes ecuaciones:

154I 250I 33I 011511

150I 2)10170( Ij 3100I 0

13I 2100I 3104I 0115

Determine si se requiere información adicional.Tenemos un conjunto de tres ecuaciones con tres incógnitas, por loque se puede tratar de resolver el problema en este punto.

Busque la solución.Resolviendo para las corrientes fasoriales 21 , II e 3I mediante una

calculadora científica, obtenemos:

AI

AI

AI

80.2137.10

47.24389.9

83.1924.11

3

2

1

Las corrientes en las líneas exteriores son, por tanto:

AII aA 83.1924.111

y

AIIbB 20.15837.103

y la corriente del neutro más pequeña es:

AIII nN 7.1779459.013

En consecuencia, se determinaría la potencia demandada por cadacarga:

WIP

WIIP

WIIP

j 1763)20(

117)100(

206)50(

2

21020

2

23100

2

2150

La potencia activa de la carga total es igual a 2086W. A continuación secalcula la pérdida en cada uno de los hilos:

WIP

WIP

WIP

nNnN

bB

aA

3)3(

108)1(

126)1(

2

2

3

2

1

lo que da una pérdida de línea total de 237W. los hilos son, de maneraevidente, bastante largos; en otro caso, la pérdida de potencia más omenos elevada en las dos líneas exteriores provocaría un peligrosoaumento de temperatura.

Verifique la solución. ¿Es razonable o la esperada?La potencia activa total absorbida corresponde a206+117+1763+237 o 2323W, valor que puede confirmarseobteniendo la potencia activa que entrega cada fuente de tensión:

WP

WP

bn

an

110780.21cos)37.10(115

121683.19cos)24.11(115

o un total de 2323W. La eficiencia de transmisión para el sistema es:

= potencia total entregada a l acarga/potencia total

generada=2086/2086+237=89.8%

El valor no sería creíble para una máquina de vapor o un motor decombustión interna, aunque es demasiado bajo para un sistema dedistribución bien

diseñado. Se debe utilizar hilos de diámetro mayor si no se puedencolocar la fuente y la carga de manera cercana entre sí.

El diagrama de fasores que muestra las dos tensiones de fuente, lascorrientes en las líneas exteriores y la corriente en el neutro seilustra en la figura 4El hecho de que 0 nNbBaA III se indica en el diagrama.

bnV anV

anI

bBI

bBaA II

nNI

Figura 45.2 Conexión Y-Y trifásicaLas fuentes trifásicas tienen tres terminales, denominadas terminales delínea; además, quizás cuenten o no con una cuarta Terminal, laconexión neutra. Empezaremos analizando una fuente trifásica quetiene una conexión neutra, la cual se representaría mediante tresfuentes de tensión ideales conectadas en Y, como se indica en la figura5; las terminales a, b, c y n están disponibles.

anV

cnV

bnV

Figura 5

Sólo examinaremos fuentes trifásicas balanceadas, que se definirían demodo que:

cnbnan VVV

y0 cnbnan VVV

Estas tres tensiones, localizadas cada una entre una línea y el neutro, sellaman tensiones de fase. Si elegimos de manera arbitraria Van como lareferencia, o definimos:

0pan VV

donde emplearemos de manera constante pV para representar la

amplitud rms de cualquiera de estas tensiones de fase, entonces ladefinición de la fuente trifásica indica que:

120pbn VV y 240pcn VV

o

120pbn VV y 240pcn VV

La primera recibe el nombre de secuencia de fase positiva o secuenciade fase abc y se ilustra en la figura 6a; la segunda se conoce comosecuencia de fase negativa o secuencia de fase cba y se indica medianteel diagrama fasorial de la figura 6b. La secuencia de fase real de unafuente trifásica física depende de la elección arbitraria de las tresterminales que se denominarán a, b y c, mismas que siempre se podríaelegir para proporcionar una secuencia de fase positiva; supondremosque se hizo lo anterior en la mayoría de los sistemas que analizaremos.

0pan VV

240pcn VV

120pbn VV

0pan VV

120pbn VV

240pcn VV

Figura 6A continuación determinaremos las tensiones de línea a línea(denominadas muchas veces como tensiones de línea) que se presentancuando las tensiones de fase son las de la figura 6a. Resulta más fácilrealizar lo anterior con la ayuda de un diagrama de fasores, puesto quetodos los ángulos son múltiplos de 30°. La construcción necesaria seilustra en la figura 7. y los resultados son:

303 pab VV

903 pbc VV

2103 pca VV

30

abVcaV

bcV

bnV

cnV

anV

Figura 7

La ley de tensión de Kirchhoff requiere que la suma de las tres tensionessea cero; se sugiere al lector que efectúe un ejercicio para verificardicha afirmación.

Si la amplitud rms de cualquiera de las tensiones de línea se denota porLV , entonces una de las características importantes de la fuente trifásica

conectada en Y puede expresarse como:

pL VV 3

Observe que con una secuencia positiva anV adelanta a bnV , y bnV adelanta

a cnV , en cada caso de 120°; asimismo, abV adelanta a bcV y bcV adelantaa caV , de nuevo de 120°. La afirmación es cierta en el caso de secuencia

de fase negativa si la palabra “retrasa” se sustituye por la de “adelanta”.

A continuación conectaremos a nuestra fuente una carga trifásicabalanceada conectada en Y, utilizando tres líneas y un neutro, como sedibuja en la figura 8. La carga se representa por una impedancia Zp

entre cada línea y el neutro. Las tres corrientes de línea se calculan conmucha facilidad puesto que en realidad tenemos tres circuitosmonofásicos que poseen un hilo de conexión común.

p

anaA Z

VI

120120

aAp

an

p

bnbB I

Z

V

Z

VI =

240aAcC II

y, por lo tanto:

0 cCbBaANn IIII

De tal modo, el neutro no conduce corriente si la fuente y la carga estánbalanceadas, y si los cuatro hilos tienen impedancia cero. ¿Cómocambiará lo anterior si se insertan una impedancia LZ en serie con cadauna de las tres líneas y una impedancia nZ en el neutro? Se combinaríanlas impedancias de línea con las impedancias de carga. Esta cargaeficaz seguirá estando balanceada y podría eliminarse un hilo neutroperfectamente conductor. En consecuencia, si no se produce cambio enel sistema con un cortocircuito, o un circuito abierto entre n y N, seinsertaría cualquier impedancia en el neutro y la corriente de estemismo permanecerá igual a cero.

a

n

b

c

AB

N

C

pZpZ

pZ

Figura 8Se concluye que, si tenemos fuentes balanceadas, cargas balanceadas eimpedancias de línea balanceadas, se podría reemplazar un hilo neutrode cualquier impedancia por cualquier otra impedancia, incluso por uncortocircuito o un circuito abierto; la sustitución no afectará lastensiones o las corrientes del sistema. Muchas veces resulta útilvisualizar un cortocircuito entre los dos puntos neutros, ya sea que estépresente o ausente un hilo neutro; el problema se reduce en ese caso atres problemas monofásicos, todos idénticos salvo por la diferencia en elángulo de

fase. Afirmamos en tal situación que resolveremos el problema “porfase”.

EjemploEn el circuito de la figura 9, encuentre las corrientes y las tensionesindicadas por todo el circuito y calcule la potencia total que se disipa enla carga.

60100

rmsV0200

Figura 9Puesto que se indica una de las tensiones de fase de fuente y se nosdice que utilicemos la secuencia de fase positiva, las tres tensiones defase son:

VVan 0200 120200bnV VVcn 240200

La tensión de línea es igual a V3463200 ; el ángulo de fase de cadatensión de línea se determina construyendo un diagrama de fasores,como se hizo en la figura 7(en realidad, se aplica el diagrama de fasoresde la figura 7), restando las tensiones de fase mediante una calculadoracientífica o apelando a las ecuaciones (1), (2), y(3). Encontramos que abV es 346 30 V la tensión VVbc 90346 y

VVca 210346 .

Vamos a trabajar con la fase A. La corriente de línea es:

AZ

VI

p

anaA

60260100

0200

Puesto que sabemos que es un sistema trifásico balanceado, quizá seafácil escribir las restantes corrientes de línea con base en aAI :

AI

AI

cC

bB

3002)24060(2

1802)12060(2

La potencia absorbida por la fase A es:

WPAN 200)600cos()2(200

De tal modo, la potencia promedio total extraída por la carga trifásica esigual a 600w.

El diagrama de fasores se presenta en la figura 10. Una vez queconocimos cualquiera de las magnitudes de las tensiones de línea yalguna de las magnitudes de la corriente de línea, los ángulos para lastres tensiones y las tres corrientes se habrían obtenido sin dificultad alleer el diagrama.

30

abVcaV

bcV

bnV

cnV

anV60

cCI

aAI

Figura 10

EjemploUn sistema trifásico balanceado con una tensión de línea de 300V sesuministra a una carga balanceada conectada en Y con 1200W a un FPadelantado de 0.8. Determine la corriente de línea y la impedancia decarga por fase.La tensión de fase es 3/300 V y la potencia por fase corresponde a1200/3=400W. De tal manera, se determinaría la corriente de línea apartir de la relación de potencia:

)8.0)((3

300400 LI

así que la corriente de línea es entonces 2.89A. la impedancia de faseestá dada por:

6089.2

3/300

L

pp I

VZ

Puesto que el FP 0.8 adelantado, el ángulo de fase de la impedanciaequivale a -36.9°; de tal modo 9.3660pZ .

Se manejan con facilidad cargas más complicadas, puesto que losproblemas se reducen a problemas monofásicos más simples.

Ejemplo

Una carga de iluminación balanceada de 600W se añade (en paralelo) alsistema del ejemplo anterior. Determine la nueva corriente de línea.

Dibujamos primero un circuito por fase adecuado, como se muestra enla figura11. Se supone que la carga de 600W es una carga balanceadadistribuida de manera uniforme entre las tres fases, lo que da lugar a200W adicionales consumidos por cada fase.

w200 w

retrasado

FP

w

4008.0

400

rmsV

3

300

Figura 11

La amplitud de la corriente de iluminación está determinada por:

0cos3

300200 1I

por lo que:AI 155.11

De forma similar, se descubre que la amplitud de la corriente de cargacapacitiva queda invariable en su valor previo, pues su tensión hapermanecido igual.

AI 89.22

Se supone que la fase con la que trabajamos tiene una tensión de fasecon un ángulo de 0°, entonces:

AI 0155.11 AI 9.3689.22

de modo que la corriente de línea es:AIII L 6.2687.321

Además, la potencia generada por esta fase de la fuente es:

WPp 600)6.26cos(87.33

300

lo cual concuerda con el hecho de que se sabe que la fase individualestá suministrando 200W a la nueva carga de iluminación, así como400W a la carga original.

Si una carga desbalanceada conectada en Y está presente en un sistematrifásico, que en otro caso estaría balanceado, el circuito tal vez seseguirá analizando en un esquema por fase si está presente el hiloneutro y si tiene impedancia cero. De no cumplirse ninguna de estascondiciones, se debe utilizar otros métodos, como el análisis de malla oelnodal. Sin embargo, los ingenieros que dedican la mayor parte de sutiempo a los sistemas trifásicos desbalanceados encontrarán que el usode componentes simétricos ahorrará mucho tiempo. no explicaremoseste método aquí.

5.3 Conexión delta ( )

Una configuración alternativa a la carga conectada en Y es la cargaconectada en , como se muestra en la figura 12. Este tipo deconfiguración es muy común y no posee una conexión neutra.

Consideremos una carga balanceada conectada en que estácompuesta por una impedancia pZ insertada entre cada par de líneas.

Observemos la figura 12 y supongamos que se conocen las tensiones delínea:

cabcabL VVVV

o que se sabe cuáles son las tensiones de fase:

cnbnanp VVVV

donde:

pL VV 3 y 303 pab VV

pZ

pZpZ

Figura 12

como calculamos antes. Debido a que se conoce la tensión en cadarama de la , las corrientes de fase se obtienen sin dificultad:

p

abAB Z

VI

p

bcBC Z

VI

p

caCA Z

VI

y sus diferencias nos dan las corrientes de línea, en la forma:CAABaA III

Puesto que estamos trabajando con un sistema balanceado, las trescorrientes de fase son de igual amplitud:

CABCABp IIII

Las corrientes de línea también tienen la misma amplitud; la simetría semanifiesta a partir del diagrama de fasores de la figura 13.

ABVCAV

BCV

bnV

cnV

anV

cCI

ABI

aAI

bBIBCI

CAI

Figura 13

De tal modo, tenemos:

cCbBaAL IIII

e

pL II 3

Descartaremos por el momento la fuente y examinaremos sólo la cargabalanceada. Si la carga está conectada en , entonces resultanindistinguibles la tensión de fase y la de línea, aunque la corriente delínea es mayor que la de fase por un factor de .3 Sin embargo, conuna carga conectada en Y la corriente de fase y la de línea se refieren ala misma corriente, además la tensión de línea es mayor que la de fasede un factor de 3 .

EjemploDetermine la amplitud de la corriente de línea en un sistema trifásicocon una tensión de línea de 300V que suministra 1200W a una cargaconectada en a un FP de 0.8 retrasado.

Pensemos otra vez en una sola fase que demanda 400W con un FP de0.8 retrasado bajo una tensión de línea de 300V. De tal manera:

)8.0)((300400 pI

e

AI p 667.1

así que la relación entre las corrientes de fase y las de línea produce:AI L 89.2)667.1(3

Además, el ángulo de fase de la carga es 9.36)8.0(cos 1 , por lo tanto, laimpedancia en cada fase debe ser:

9.361809.36667.1

300pZ

Ejemplo

Determine la amplitud de la corriente de línea en un sistema trifásicocon una tensión de línea de 300 V que suministra 1200 W a una cargaconectada en Y y un FP de 0.8 retrasado.En nuestro esquema por fase, tenemos ahora una tensión de fase de300/ 3 V, una potencia de 400W y un FP retrasado de 0.8. Enconsecuencia:

)8.0)((3

300400 pI

y

89.2pI o AI L 89.2 rms

El ángulo de fase de la carga es otra vez 36.9°, por ello la impedanciaen cada fase de la Y corresponde a:

9.36609.3689.2

3/300pZ

El factor 3 no sólo relaciona las cantidades de fase y de línea, sino queaparece también en una expresión útil para la potencia total consumidapor cualquier carga trifásica balanceada. Si suponemos una cargaconectada en Y, con un ángulo del factor de potencia , la potenciatomada por cualquier fase está dada por:

cos3

coscos LL

Lpppp IV

IVIVP

y la potencia total es igual a:cos33 LLp IVPP

De manera similar, la potencia que se entrega a cada fase de la cargaconectada en se calcula mediante:

cos3

coscos LLpLpPp

IVIVIVP

lo que da una potencia total de:

pPP 3

cos3 LL IVP

Así, la ecuación cos3 LL IVP nos permite calcular la potencia total quese entrega a una carga balanceada, a partir del conocimiento de lamagnitud de la tensión de línea, de la corriente de línea y del ángulo defase de la impedancia (o admitancia) de carga, sin que importe que lacarga se conecte en Y o en . La corriente de línea puede obtenerseahora en dos pasos simples:

)8.0)()(300(31200 LI

Por lo tanto:

AI L 89.23

5

Fuentes conectadas en También se podría conectar la configuración de una fuente en lo cual,sin embargo, no es común pues un ligero desbalance en las fases de lafuente puede ocasionar una circulación de corrientes elevadas en el lazo . Por ejemplo, denominaremos a las tres fuentes monofásicas como

baV , , bcV y cdV . Antes de cerrar la al conectar d con a, determinaremos

el desbalance midiendo la suma cabcab VVV . Suponga que la amplitud

del resultado es sólo 1% de la tensión de línea. La corriente que circulaes por tanto casi 1/3 de la tensión de línea dividida entre la impedanciainterna de cualquier fuente. ¿Qué magnitud tendría esta impedancia?Depende de la corriente que se espera que la fuente entregue, con unacaída despreciable en la tensión a nivel de las terminales. Si suponemosque la corriente máxima ocasiona una caída de tensión de 1% en lasterminales, entonces ¡la corriente circulante es un tercio de la corriente

máxima! Lo anterior reduce la capacidad de la corriente útil de la fuentee incrementa también las pérdidas en el sistema.

También debemos advertir que las fuentes trifásicas balanceadas setransformarían de Y a o viceversa, sin afectar las corrientes otensiones de la carga. Las relaciones necesarias entre las tensiones delínea y de fase se presentan en la figura 7 para el caso en que anV tieneun ángulo de referencia de 0°. Esta transformación nos permite utilizarcualquier conexión de fuente que prefiramos, así que todas lasrelaciones de carga serán correctas. Desde luego, no se puedeespecificar alguna corriente o tensión dentro de la fuente, hasta quesepamos cómo está conectada en realidad. Las cargas trifásicasbalanceadas quizás se transformen entre las configuraciones conectadasen Y y en , mediante la relación:

3

ZZ y

5.4 Medición de potencia en sistemas trifásicos

Uso del vatímetroAntes de iniciar la explicación de las técnicas especializadas que seutilizan para medir la potencia en sistemas trifásicos, nos convieneconsiderar de manera breve la forma en que se usa un vatímetro en uncircuito monofásico.

La medición de potencia se consigue casi siempre a frecuenciasinferiores de unos cuantos cientos de Hz mediante el uso de unvatímetro que contiene dos bobinas independientes. Una de ellas seelabora con alambre grueso, que tiene una resistencia muy baja, y sedenomina bobina de corriente. La segunda está compuesta por unnúmero mucho mayor de vueltas de alambre delgado, con resistenciarelativamente alta, a la que se llama bobina de potencial o bobina detensión. Se podría insertar de manera interna o externa una resistenciaadicional en serie con la bobina de potencial. El momento de torsiónque se aplica al sistema móvil y a la aguja indicadora resultaproporcional al producto instantáneo de las corrientes que fluyen enambasbobinas. Sin embargo, la inercia mecánica del sistema móvil provocauna desviación, proporcional al valor promedio de este momento detorsión.

El vatímetro se emplea conectándolo en una red de manera que lacorriente que fluye en la bobina de corriente sea la que circula dentro dela red, y la tensión en la bobina de potencial corresponda a la tensiónentre las dos terminales de la red. Por ello la corriente en la bobina depotencial es la tensión de entrada dividida entre la resistencia de labobina de potencial.

Resulta claro que el vatímetro tiene cuatro terminales disponibles, asíque es necesario efectuar las conexiones correctas a estas terminalespara obtener una lectura de escala ascendente en el medidor. De modoespecífico, supongamos que medimos la potencia que absorbe una redpasiva. La bobina de corriente se inserta en serie con uno de los dosconductores conectados a la carga, y la bobina de potencial se instalaentre los dos conductores, por lo general en el “lado de la carga” de labobina de corriente. Las terminales de la bobina de potencial se indicana menudo mediante flechas, como en la figura 14a. Cada bobina tienedos terminales y se requiere observar la relación adecuada entre elsentido de la corriente y la tensión. Casi siempre se marca con (+) unextremo de cada bobina, por lo que se obtiene una lectura de escalaascendente si fluye una corriente positiva hacia el extremo (+) de labobina de corriente, mientras la terminal (+) de la bobina de potencialsea positiva con respecto al extremo sin marca. El vatímetro que semuestra en la red de la figura 14a proporciona, en consecuencia, unadesviación de escala ascendente cuando la red a la derecha estáabsorbiendo potencia. Una inversión de cualquiera de las bobinas, perono de ambas, provocará que el medidor trate de desviarse hacia lasescalas inferiores; la inversión de ambas bobinas no afectará nunca lalectura.

Red pasivaBobina depotencial

Bobina decorriente

a)

b)

VV 901001 5j

10

VV 01002

10

I

Figura 14

Como un ejemplo del empleo de un vatímetro de este tipo en lamedición de potencia promedio, consideremos el circuito de la figura14b. La conexión del vatímetro es tal, que una lectura ascendente de laescala corresponde a una potencia positiva absorbida por la red que estáa la derecha del medidor, es decir, la fuente derecha. La potencia queabsorbe dicha fuente está dada por:

)cos( 22 angIangVIVP

Utilizando la superposición o el análisis de malla, encontraremos que lacorriente es:

AI 4.15318.11

y, por ello la potencia que se absorbe corresponde a:WP 1000)4.1530cos()18.11)(100(

Por lo tanto, la aguja indicadora descansa contra el tope de la escaladescendente. En la práctica, la bobina de potencial se invierte con

mayor rapidez que la bobina de corriente y dicha inversión proporcionauna lectura en la escala ascendente de 1000W.

El vatímetro en el sistema trifásicoA primera vista, la medición de la potencia consumida por una cargatrifásica parece ser un problema simple. Sólo necesitamos poner unvatímetro en cada una de las fases y sumar los resultados. Por ejemplo,las conexiones apropiadas para una carga en Y se muestran en la figura15a. Cada vatímetro tiene su bobina de corriente insertada en una fasede la carga y su bobina de potencial conectada entre el lado de la líneade esa carga y el neutro. De manera similar, se conectarían tresvatímetros en la forma que se indica en la figura 15b a fin de medir lapotencia total tomada por una carga que se conecta en . Los métodosson teóricamente correctos, aunque quizá sean inútiles en la practicadebido a que el neutro de la Y no siempre es accesible y no se cuentacon las fases de la . Por ejemplo, una máquina rotatoria trifásica sólotiene tres terminales accesibles, aquellas que denominamos A, B, y C.

B

C

A

b)

Figura 15

Resulta claro que necesitamos un método de medición de la potenciatotal consumida por una carga trifásica con sólo tres terminalesaccesibles; se podrían efectuar mediciones en el lado de “línea”, pero noen el de la “carga”.

Se dispone de un método de este tipo que puede medir la potenciaconsumida por una carga desbalanceada, a partir de una fuentedesbalanceada. Conectemos tres vatímetros de manera que cada unotenga su bobina de corriente y su bobina de tensión entre esa línea yalgún punto común x, como se indica en la figura 16. Aunque se ilustra un sistema con una carga conectada en Y, losargumentos que presentamos son también válidos para una cargaconectada en . El punto x quizás sea alguno no especificado en elsistema trifásico, o sólo un punto en el espacio en donde las tresbobinas de potencial tengan un nodo en común. La potencia promedio(activa) indicada por el vatímetro debe ser:

T

aAAxA dtivT

P0

1

N

A

C

B

x

c

b

a

A

B

C

AZ

CZ

BZ

Figura 16

donde T es el periodo de todas las tensiones de fuente. Las lecturas delos otros dos vatímetros se indican mediante expresiones similares, asíque la potencia promedio (activa) total consumida por la carga resulta:

dtivivivT

PPPP cCCxbBBx

T

aAAxcBA )(1

0

Cada una de las tres tensiones en la expresión anterior se escribe entérminos de una tensión de fase y de la tensión entre el punto x y elneutro:

NxCNCx

NxBNBx

NxANAx

vvv

vvv

vvv

y, por tanto:

P= dtiiivT

dtivivivT cCbB

T

aANxcCCNbBBN

T

aAAN )((1

)(1

00

Sin embargo, se podría pensar que la carga trifásica completa es unsupernodo, de modo que la ley de Kirchhoff de corriente requiere:

0 cCbBaA iii

De tal modo:

P= dtivivivT cCCNbBBN

T

aAAN )(1

0

Al consultar el diagrama de circuito se observa que esta suma es enrealidad la suma de las potencias promedio (activas) tomadas por cada

fase de la carga, ¡y la suma de las lecturas de los tres vatímetrosrepresenta, por los tanto, la potencia promedio (activa) total consumidapor la carga completa!

Ilustraremos este procedimiento mediante un ejemplo numérico, antesde descubrir que uno de estos tres vatímetros en realidad resultasuperfluo.Supondremos una fuente balanceada.

VVab 0100

VVbc 120100

VVca 240100

O

VVan 303

100

VVbn 1503

100

VVcn 2703

100

y una carga desbalanceada:

10

10

10

c

B

A

Z

jZ

jZ

Supongamos que hay vatímetros ideales, como los de la figura, con elpunto x ubicado sobre el neutro de la fuente n. Las tres corrientes delínea se podrían obtener mediante un análisis de malla:

AI

AI

AI

cC

bB

aA

9010

16532.19

1532.19

La tensión entre los neutros es: 907.157)10( jIVVVV bBnbBNnbnN

La potencia promedio indicada por cada vatímetro se calcularíamediante:

)cos( aAanaApA angIangVIVP

W7.788)1530cos(32.193

100

WPB 7.788)165150cos(32.193

100

4.577)90270cos(103

100CP

o una potencia total de 1kW. Puesto que una corriente rms de 10 Afluye por la carga resistiva, la potencia total que demanda la carga es:

kWP 1)10(102

Así que los dos métodos concuerdan.

Método de los dos vatímetrosConfirmamos que el punto x, la conexión común de las tres bobinas depotencial, se podría ubicar en cualquier lugar que deseemos sin afectarla suma algebraica de las tres lecturas de vatímetro. Pensemos ahoraen el efecto de poner el punto x, esta conexión común de los tresvatímetros, de manera directa sobre una de las líneas. Por ejemplo, siun extremo de cada bobina de potencial regresa a B, entonces no haytensión en la bobina de potencial del vatímetro B, así que la lectura deeste medidor debe ser cero.

En consecuencia, se podría eliminar y la suma algebraica de las doslecturas de los wattímetros restantes sigue siendo la potencia totalconsumida por la carga. Cuando la ubicación de x se elige de estamanera, describimos el método de medición de potencia como el de losdos wattímetros. La suma de las lecturas indica la potencia total,independientemente de: 1)el desbalance de la carga 2)el desbalancede la fuente 3)la diferencia entre los dos wattímetros y 4)la forma deonda de la fuente periódica. La única suposición hecha es que lascorrecciones del wattímetro son suficientemente pequeñas como paraque se puedan ignorar. Por ejemplo, en la figura 12.26, por la bobinade corriente de cada medidor pasó la corriente de línea consumida por lacarga más la corriente que toma la bobina de potencial. Puesto que laúltima corriente suele ser bastante pequeña, su efecto se estima a partirdel conocimiento de la resistencia de la bobina de potencial y de latensión en sus extremos. Estas dos cantidades permiten realizar unaestimación precisa de la potencia que se disipa en la bobina depotencial.

En el ejemplo numérico que acaba de describirse, supongamos ahoraque se usan dos wattímetros, uno con bobina de corriente en la línea Ay con bobina de potencial entre las líneas A y B; el otro con la bobina

de corriente en la línea c y la bobina de potencial entre C y B. Lalectura del primer medidor es:

|)cos(1 aAABaAAB angIangVIVP

)150cos()32.19(100

=1866Wy la del segundo:

)cos(2 cCCBcCCB angIangVIVP )9060cos()10(100

=-866W

por lo tanto:WPPP 1000866186621

como esperábamos a partir de la experiencia reciente con el circuito.

En el caso de una carga balanceada, el método de los dos vatímetrosnos permite determinar el ángulo del FP, así como la potencia totalconsumida por lacarga. Supongamos una impedancia de carga con un ángulo de fase ,se podría utilizar una conexión en Y o en , pero supondremos laconexión en que se presenta en la figura 17. la construcción de undiagrama fasorial normal, como el de la figura 13, nos permitedeterminar el ángulo de fase apropiado entre las diversas tensiones ycorrientes de línea. Por lo tanto, determinamos las lecturas:

)cos(1 aAABaAAB angIangVIVP

)30cos( LL IV

y)cos(2 cCCBcCCB angIangVIVP

)30cos( LL IV

La proporción entre ellas se calcula mediante:

)30cos(

)30cos(

2

1

P

P (5)

Si desarrollamos los términos coseno, la ecuación se resuelve confacilidad para .

12

123tanPP

PP

(6)

pZ

pZ pZ

Figura 17

De tal modo, las lecturas iguales del vatímetro indican una carga de FPunitario; las lecturas iguales y opuestas señalan una carga puramentereactiva; una lectura de P2, que es (algebraicamente) mayor que P1,indica una impedancia inductiva; y una lectura de P2 menor que P1

significa una carga capacitiva. ¿Cómo podemos indicar cuál vatímetrolee P1 y cual lee P2? Es cierto que P1 está en la línea A y que P2 seencuentra en la línea C; además, nuestro sistema de secuencia de fasepositiva obliga a que Van esté retrasada respecto a cnV . Esta información

basta para diferenciar entre dos vatímetros, pero resulta confusoaplicarla en la práctica. Incluso si fuéramos incapaces de distinguirentre los dos, conocemos la magnitud del ángulo de fase pero no susigno, lo cual muchas veces es información suficiente. Si la carga es unmotor de inducción, el ángulo debe ser positivo y no necesitamosrealizar ninguna prueba para determinar cuál lectura escuál. Si se supone que no hay conocimiento previo de la carga,entonces existen varios métodos para resolver la ambigüedad. Quizásel más simple sea el que implica agregar una carga reactiva de altaimpedancia, digamos un capacitor trifásico, a través de la cargadesconocida. La carga debe volverse más capacitiva. Por lo tanto, sidisminuye la magnitud de tan (o la magnitud de ) entonces la cargaera inductiva; en tanto que un aumento en la magnitud de tan significauna impedancia capacitiva original.

EjemploLa carga balanceada en la figura 18 se alimenta mediante un sistematrifásico balanceado que tiene oVab 230 V rms y una secuencia de fasepositiva. Determine la lectura de cada wattímetro y la potencia totalconsumida por la carga.

La bobina de potencial del wattímetro #1 se conecta para medir latensión acV y su bobina de corriente mide la corriente de fase aAI .

Puesto que sabemos utilizar la secuencia de fase positiva, las tensionesde línea son:

0230abV V

120230bcV V 120230caV V

Figura 18

Observe que 60230caac VV V

La corriente de fase aAI está dada por la tensión de fase anV divididaentre la impedancia de fase 4 + j15 Ω:

Ajj

VI an

aA 154

30)3/230(

154

A 1.105554.8

Podríamos calcular ahora la potencia que mide el vatímetro #1 como:

)cos(1 aAacaAac angIangVIVP W)1.10560cos()554.8)(230(

=1389W

De un modo similar determinamos que:

)cos(2 bBbcbBbc angIangVIVP

9.134120cos()554.8)(230( W=-512.5W

En consecuencia, la potencia total que absorbe la carga es:WPPP 5.87621

SEGUNDA UNIDAD: ANÁLISIS EN FRECUENCIA

6. FRECUENCIA COMPLEJA

6.1 Frecuencia compleja6.2 Función forzada senoidal amortiguada6.3 Impedancia y admitancia en el dominio s6.4 Funciones de transferencia, polos y ceros6.5 El plano de frecuencia compleja6.6 Respuesta natural y el plano S

6.1 FRECUENCIA COMPLEJA

Consideremos una tensión senoidal amortiguada exponencialmente:

)cos()( teVtv tm

donde (sigma) es una cantidad real y casi siempre negativa.

si 0 , tenemos una tensión constante:

0cos)( VVtv m Si 0 , tenemos una tensión senoidal:

)cos()( tVtv m

y si 0 , tenemos la tensión exponencial:tt

m eVeVtv 0cos)( ,Por lo tanto, la senoide amortiguada incluye como casos especiales lafunción de cd, la senoidal y la exponencial.

Además, tiene mucho en común la función exponencial con larepresentación compleja de la función senoidal con un ángulo de fase decero grado tjeVtv

0)( .

Así, la respuesta forzada de una red a una función forzada general)cos()( teVtv t

m se obtiene utilizando un método similar al utilizado

en el análisis basado en fasores. Por tanto, si determinamos larespuesta forzada a )cos()( teVtv t

m , también podemos obtener larespuesta forzada ante una tensión cd, una tensión exponencial y unatensión senoidal.

Cualquier función que se escriba en la formastKetf )( donde K y s

son constantes complejas se caracteriza por la frecuencia compleja s,

que es el factor que multiplica a t en esta representación exponencialcompleja.

Aplicando esta definición a una tensión constante, 0)( Vtv , se puede

escribir de la forma: teVtv )0(

0)( La frecuencia compleja s = 0

Para la función exponencial teVtv 0)( la frecuencia compleja es

( 0js )

Ahora una tensión senoidal)cos()( tVtv m

Usando la identidad de Euler:

)(2

1)cos( )()( titi eet

Así obtenemos:

tsts

tjjm

tjjm

eKeKtv

eeVeeVtv

2121)(

)2

1()

2

1()(

Observamos en esta última ecuación que hay dos frecuencias complejas,una para cada término; donde js 1 y js 2 (son conjugados

)( 12 ss al igual que los valores de K

jmeVK

2

11 y j

meVKK 2

112

Para la función senoidal amortiguada exponencialmente:

)(2

1)cos()( )()( tjtjt

mt

m eeeVteVtv

y por tanto:

tjjjm

tjjjm eeVeeVtv )()(

2

1

2

1)(

donde. js 1 y jss 12

En general la frecuencia compleja s, describe una senoide que varia demanera exponencial. La parte real de s se asocia con la variaciónexponencial; si es negativa, la función disminuye conforme t aumenta;si es positiva, la función crece; y si es cero, la amplitud senoidal esconstante. Cuanto mayor sea la magnitud de la parte real de s, mayorresulta la tasa de incremento o reducción exponencial. La parteimaginaria de s describe la variación senoidal y corresponde de maneraespecífica a la frecuencia en radianes. Una magnitud grande para laparte imaginaria de s indica una función del tiempo que cambia conmayor rapidez.

se acostumbra denotar por a la parte real de s, y por (no j ) a laparte imaginaria

js Donde: es la frecuencia de amortiguamiento (se mide en Nepers/s) es la frecuencia angular (se mide en rad/s)s se mide en Nepers/s o rad/s

6.2 FUNCION FORZADA SENOIDAL AMORTIGUADA

La senoide de variación exponencial )cos()( teVtv tm se expresa en

términos de la frecuencia compleja s como:

Re)( )( tjtm eeVtv

sustituyendo js obtenemos

Re)( stjm eeVtV

Que es muy similar con la representación de la senoide noamortiguada:

Re tjjm eeV

Aplicando la senoide amortiguada exponencialmente a un circuitoeléctrico podemos suponer la respuesta forzada:

)Re()cos()( stjm

tm eeIteIti

Donde la frecuencia compleja de la fuente y la respuesta deben seriguales.

La solución final de este tipo de problemas consiste en encontrar laamplitud de la respuesta mI y el ángulo de fase

EjemploAplique la función forzada )104cos(60)( 2 tetv t V al circuito RLC en seriede la figura1 y especifique la respuesta forzada determinando losvalores para Im y en la expresión )4cos()( 2 teIti t

m en el dominio deltiempo.

H3

2

F1.0)(tv

)(ti

Figura 1Expresamos primero la función forzada en la notación Re :

)104(22 60Re)104cos(60)( tjtt eetetv

= tjj ee )42(1060Re

o stVetv Re)(

donde: 1060V y 42 js

Luego de eliminar Re , nos quedamos con la función forzada compleja:ste1060

De modo similar, representamos la respuesta reconocida mediante lacantidad compleja stIe , donde mII .

Nuestro siguiente paso debe ser la ecuación integró diferencial para elcircuito. a partir de la ley de Kirchhoff de tensión, obtenemos:

idtdt

diiidt

Cd

dLRtv

t

ii 1032

1)(

así que sustituimos la función forzada compleja dada y la respuestaforzada compleja supuesta en esta ecuación:

stststst Ies

sIeIee10

321060

A continuación se suprime el factor común est:

Is

sII10

321060

y por tanto:

ssI

/1032

1060

Sea ahora s= - 2 + J 4 y resolvemos para la corriente compleja I:

)42/(10)42(32

1060

jjI

Después de manipular los números complejos, tenemos: 6.10637.5I

Por lo tanto, Im es 5.37A, corresponde a -106.6° y la respuestaforzada es igual a:

)6.1064cos(37.5)( 2 teti t A

De este modo hemos resuelto el problema reduciendo una expresiónbasada en el cálculo, a una expresión algebraica.

6.3 IMPEDANCIA Y ADMITANCIA EN EL DOMINIO s

En el dominio de la frecuencia compleja, la corriente )(sI y el voltaje)(sV se relacionan por medio de la expresión

)()()( sIsZsV donde )(sZ es la impedancia.

La impedancia en el dominio s en un RESISTOR es

RsI

sVsZ

)(

)()(

y la admitancia:

RsY

1)(

La impedancia en el dominio s en un INDUCTOR es

sLsI

sVsZ

)(

)()(

Si la corriente inicial es diferente de cero, entonces la impedancia debeponerse en serie con la fuente de tensión )0( Li , como se muestra enla figura 1, o en paralelo con una fuente de corriente si /)0( , como semuestra en la figura 2.

y su admitancia

sLsY

1)(

)0( Li

sLsZ )(

)(sV

)(sI

)(sVsL

sY1

)( s

i )0(

)(sI

Figura 1 Figura 2

La impedancia en el dominio s en un CAPACITOR es

sCsI

sVsZ

1

)(

)()(

ysCsY )(

Si la tensión inicial es distinta de cero, entonces la impedancia debeponerse en serie con la fuente de tensión sv /)0( , como se muestra enla figura 3, o en paralelo con una fuente de corriente )0( Cv , como semuestra en la figura 4.

s

v )0(

sCsZ

1)(

)(sV

)(sI

)(sVsCsY )( )0( Cv

)(sI

Figura 4 Figura 5

Así, la realización del análisis de nodal o de malla, la superposición, lastransformaciones de fuente y los teoremas de Thévenin y de Norton seaplican todos en el dominio s.

6.4 POLOS, CEROS Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIAConsidere el circuito simple de la figura 1a. El equivalente en el dominios se ilustra en la figura 1b, y el análisis nodal da como resultado:

)(tvsalC

3

a)

)(tvent

)(tvsalsC

1

3

b)

)(tvent

R

VV

sC

V entsalsal

/10

Al reordenar y despejar salV , encontramos:

sRC

VV ent

sal

1

o

sRCV

VsH

ent

sal

1

1)(

donde H(s) es la función de transferencia del circuito, definida comola proporción entre la salida y la entrada. Esta puede ser la relación deun voltaje a una corriente, la relación de un voltaje a un voltaje, larelación de una corriente a una corriente o la relación de una corriente aun voltaje.

El concepto de función de transferencia es muy importante, tanto parael análisis de circuito como para otras áreas de la ingeniería. Son doslas razones. Primera, una vez que conocemos la función detransferencia de un circuito particular, encontramos con facilidad lasalida que resulta de cualquier entrada, todo lo que necesitamos esmultiplicar H(s) por la cantidad de entrada y tomar la transformadainversa de la expresión que se produce. Segunda, la forma de lafunción de transferencia contiene una gran cantidad de informaciónacerca del comportamiento que podríamos esperar de un circuito (osistema) en particular.

Como veremos, para evaluar la estabilidad de un sistema se requieredeterminar los polos y ceros de la función de transferencia H(s).

La ecuaciónsRCV

VsH

ent

sal

1

1)( se escribiría como:

RCs

RCsH

/1

/1)(

La magnitud de esta función tiende a cero cuando s . De tal modo,afirmamos que H(s) tiene un cero en s . La función tiende a en s= -1/RC; por lo tanto, afirmamos que H(s) tiene un polo en s = -1/RC.Estas frecuencias se conocen como frecuencias críticas y suidentificación temprana simplifica la construcción de las curvas derespuesta.

El conocimiento en la localización de polos y ceros equivale a conocer lafunción de transferencia y suministra la información completa sobre larespuesta del circuito. Además, si se dibujan los polos y los ceros de lafunción de transferencia en el plano complejo, se puede visualizar larespuesta del circuito en una forma muy efectiva.

6.5 PLANO DE LA FRECUENCIA COMPLEJA o plano sPlaneamos ahora formular una presentación gráfica más general al

graficar cantidades como funciones de s; esto es, deseamos mostrar larespuesta de manera simultánea como funciones tanto de como de . Dicha representación gráfica de la respuesta forzada como unafunción de la frecuencia compleja s resulta útil; es una técnicaaclaratoria para el análisis de circuitos, así como para el diseño o lasíntesis de losmismos. Luego de formular el concepto de plano de frecuenciacompleja, o plano s, veremos cómo se tiene una idea de inmediatorespecto al comportamiento de un circuito a partir de la representacióngráfica de sus frecuencias críticas en dicho plano s.También es útil el procedimiento inverso: Si se nos indica una curva derespuesta deseada (la respuesta en frecuencia de un filtro, porejemplo), será posible decidir respecto a la ubicación necesaria de suspolos y ceros en el plano s y luego sintetizar el filtro. El plano s resultatambién una herramienta básica con la que se investiga la posiblepresencia de oscilaciones indeseables en amplificadores deretroalimentación y de sistemas de control automático.

Gráficas en el plano de la frecuencia complejaLa frecuencia compleja s requiere dos parámetros, y , para suespecificación completa. La respuesta es también una función complejay debemos, por tanto, hacer el dibujo tanto de la magnitud como delángulo de fase como funciones de s. Cualquiera de estas cantidades,por ejemplo la magnitud, es una función de los dos parámetros y ,de modo que se grafica en dos dimensiones sólo como una familia decurvas, tal como la magnitud en función de , con como elparámetro. De manera inversa, también sería posible presentar lamagnitud en función de , con como el parámetro. Sin embargo, unafamilia de curvas de estas características representa una enormecantidad de trabajo, y esto es lo que estamos tratando de evitar;también siempre estaría en duda si podría deducirse cualquierconclusión útil de la familia de curvas, incluso después de haberlasobtenido.

Un mejor método para representar gráficamente la magnitud de algunarespuesta compleja implica el uso de un modelo de tres dimensiones.Consideraremos a los ejes y j , perpendiculares entre sí, dispuestossobre una superficie horizontal semejante al piso. Lo anteriorrepresenta ahora un plano de frecuencia compleja, o plano s, como el dela figura 1. Para cada punto en este plano corresponde exactamente

un valor de s, y con cada valor de s se asociaría un solo punto en esteplano complejo.

j

Plano s

Figura 1Dado que ya estamos bastante familiarizados con este tipo de funciónen el dominio del tiempo asociada con un valor particular de lafrecuencia compleja s, en estas condiciones se puede asociar la formafuncional de una función forzada, o de una respuesta forzada, con unaregión específica en el plano s. El origen, por ejemplo, representa unacantidad de cd. Los puntos que se ubican sobre el eje representanfunciones exponenciales, que decaen para 0 y que crecen para 0 .Las senoides puras se asocian con puntos sobre el eje j positivo onegativo. La mitad derecha del plano s, a menudo conocida como MDP,contiene puntos que describen frecuencias con partes reales positivas, ypor ello le corresponden cantidades en el dominio del tiempo que sonsenoides exponencialmente crecientes, salvo sobre el eje . De maneracorrespondiente, los puntos en la mitad izquierda del plano s, (MIP),describen las frecuencias de senoides exponencialmente decrecientes,de nuevo con la excepción del eje . La figura 2 resume la relaciónentre el dominio del tiempo y las diversas regiones del plano s.

j

t

t

ttt

tt

t t

Figura 2Regresemos a nuestra investigación sobre un método apropiado acercade representar en forma gráfica una respuesta como una función de lafrecuencia compleja s. Se podría representar la magnitud de larespuesta construyendo un modelo cuya altura sobre el pisocorresponde en cada punto a la respuesta en ese valor de s. En otraspalabras, añadimos un tercer eje, perpendicular tanto al eje y al ejej , que pasa por el origen; estos ejes se simbolizan mediante

,,,1

2V

VYZ o con otras representaciones apropiadas. La magnitud de la

respuesta se determina para todo valor de s, y la gráfica resultante esuna superficie que se ubica sobre el plano s (o que apenas lo toque).

Constelaciones de polos cerosEste método resulta adecuado para funciones relativamente simples,aunque en general se requiere un método más práctico. Visualizaremosel plano s de nuevo como el piso y después imaginaremos una granlámina elástica dispuesta sobre él. Dirigimos ahora nuestra atenciónhacia todos los polos y los ceros de la respuesta. En cada cero, la

respuesta es cero, la altura de la lámina debe ser cero, por lo tantofijamos la lámina en el piso. En el valor de s, correspondiente a cadapolo, se podría sostener la lámina con una delgada barra vertical. Losceros y los polos en infinito deben analizarse mediante un anillo desujeción de gran radio o una elevada cerca circular, respectivamente. Siutilizaremos una lámina infinitamente grande, sin peso y perfectamenteelástica, clavada con tachuelas pequeñísimas y sostenida con barras dediámetro cero e infinitamente largas, entonces la lámina elástica tieneuna altura que es exactamente proporcional a la magnitud de larespuesta.

Se podrían ilustrar estos comentarios considerando la configuración depolos y ceros, que algunas veces se conoce como constelación depolos y ceros, que localiza todas las frecuencias críticas de unacantidad en el dominio de la frecuencia; por ejemplo, una impedanciaZ(s). Una constelación de polos y ceros para una impedancia semuestra en la figura 3. Si visualizamos un modelo de lámina elástica,clavada en 02 js y sostenida en 51 js y en 51 js , debemosver un terreno cuyas características distintivas son dos montañas y uncráter cónico o depresión.

51 j

j

51 j

2

Figura 3Construyamos ahora la expresión para )(sZ que conduce a estaconfiguración de polos y ceros. El cero requiere un factor de )2( s en elnumerador, y los dos polos necesitan los factores )51( js y )51( js en el denominador. Excepto por una constante de multiplicación ,conocemos la forma de Z(s):

)51)(51(

2)(

jsjs

ssZ

o

262

2)(

2

ss

ssZ

Seleccionemos a suponiendo un sencillo hecho adicional acerca de:)(sZ sea .1)0( Z por sustitución directa de la ecuación

262

2)(

2

ss

ssZ , encontramos que es 13 y, por lo tanto:

262

213)(

2

ss

ssZ

Las gráficas de )(Z en función de , y de )( jZ en función de , se

obtienen justo de la ecuación262

213)(

2

ss

ssZ , aunque la forma

general de la función es patente a partir de la configuración de polos yceros y de la analogía de la lámina elástica.

6.6 RESPUESTA NATURAL Y EL PLANO sExiste una cantidad enorme de información en la gráfica de polos yceros de una respuesta forzada en el plano s. exploraremos la forma enque una respuesta en corriente completa –natural más forzada-producida por una función forzada arbitraria puede escribirse sindificultades a partir de la configuración de polos y ceros de la respuestaen corriente forzada y de las condiciones iniciales; este método es eficazpara obtener la respuesta en tensión completa causada por una fuentearbitraria.

Presentemos el método considerando el ejemplo más simple, un circuitoRL en serie. Una fuente de tensión general )(tvs provoca que la corriente

)(ti fluya después del cierre del interruptor en .0t La respuestacompleta )(ti para t > 0 se compone de una respuesta natural y de unaforzada:

)()()( tititi fn

Se podría determinar la respuesta forzada trabajando en el dominio dela frecuencia, suponiendo, desde luego, que )(tvs tiene una forma

funcional que transforma al dominio de la frecuencia; si )1/(1)( 2ttvs ,

por ejemplo, debemos proceder lo mejor que sea posible a partir de laecuación diferencial básica del circuito. Para el circuito RL, tenemos:

sLR

VsI s

f )(

o

LRs

V

LsI s

f /

1)(

e )(ti f se obtiene sustituyendo Vs, L y R por sus valores y tomando la

transformada inversa de Laplace.

A continuación consideraremos la respuesta natural. De nuestraexperiencia anterior, sabemos que la forma será una exponencial quedecae con la constante de tiempo L/R, aunque supongamos queestamos determinándola por primera vez. La forma de la respuestanatural (sin fuente) es, por definición, independiente de la funciónforzada, la cual contribuye sólo a la magnitud de la respuesta natural.Para determinar la forma apropiada suprimiremos todas las fuentesindependientes; aquí, )(tvs se sustituye por un cortocircuito. Acontinuación, intentamos obtener la respuesta natural como un casolímite de la respuesta forzada. Volviendo a la expresión en el dominio

de la frecuencia de la ecuaciónLRs

V

LsI s

f /

1)(

, de manera fiel

establecemos 0sV . Sobre la superficie, resulta claro que I(s) debe ser

cero, pero no es necesariamente cierto si estamos trabajando con unafrecuencia compleja que es un polo simple de I(s). Esto es, eldenominador y el numerador pueden ser ambas cero, por lo que no serequiere que I(s) sea cero.

Inspeccionemos esta nueva idea de una situación de ventaja un pocodiferente. Fijemos nuestra atención en la proporción entre la respuestaforzada deseada y la función forzada. La designaremos como H(s) y ladefinimos como la función de transferencia del circuito. Entonces:

)/(

1)(

)(

LRsLsH

V

sI

s

f

En este ejemplo, la función de transferencia es la admitancia de entradaa la que se enfrenta Vs. Buscamos la respuesta natural (sin fuente) si

0sV . Sin embargo, )()( sHVsI sf y si sV = 0, un valor distinto de cero

para la corriente se obtiene sólo al operar en un polo de H(s). Por lotanto, los polos de la función de transferencia adquieren un significadoespecial.

Volviendo a nuestro circuito RL en serie, vemos que el polo de la funciónde transferencia ocurre en 0/ jLRs . Si elegimos operar en estafrecuencia compleja particular (es decir, si definimos )/ LRs , la únicacorriente finita que podría resultar debe ser una constante en el dominios. De este modo obtenemos la respuesta natural:

AsI )( en 0jL

Rs

donde A es una constante desconocida. A continuación deseamostransformar esa respuesta natural al dominio del tiempo. Nuestrareacción irreflexiva podría consistir en aplicar las técnicas de latransformada inversa de Laplace en esta situación. No obstante, yaespecificamos el valor de s, por lo que un procedimiento de este tipo noesválido. Mejor nos concentramos en la parte real de nuestra función

generalste , tal que:

LRtstn AeeAti /ReRe)(

En este caso, encontramos:LRt

n Aeti /)(

por lo que la respuesta natural es entonces:)()( / tiAeti f

LRt

y A puede determinarse luego de que se especifican las condicionesiniciales para este circuito.

Una perspectiva más general

)(1 sI

)(2 sV

fV

)(1 sI

)(2 sV

fI

Las figuras 4a y 4b ilustran fuentes individuales conectadas a redes queno contienen fuentes independientes. La respuesta deseada, que podríaser alguna corriente I(s) o alguna tensión V2(s), se expresaría medianteuna función de transferencia que exhiba todas las frecuencias críticas.Para ser específicos, elegimos la respuesta V2(s) en la figura 4a:

))((

))(()(

)(

42

312

ssss

sssssH

V

sV

s

Los polos de H(s) ocurren en ...,4,2 sss y por ello una tensión finita

V2(s) en cada una de estas frecuencias debe ser una forma funcionalposible para la respuesta natural. Así, consideramos una fuente de cerovolts (que es precisamente un cortocircuito) aplicada a las terminales deentrada; la respuesta natural que aparece cuando las terminales deentrada están en cortocircuito debe, en consecuencia, tener la forma:

...)( 42 422 tsts een AAtv

donde cada A debe evaluarse en términos de las condiciones iniciales (loque incluye el valor inicial de cualquier fuente de tensión aplicada en lasterminales de entrada)

Para determinar la forma de la respuesta natural )(1 ti n en la figura 4a,

debemos especificar los polos de la función de transferencia,

sVsIsH /)()( 1 . Las funciones de transferencia que se aplican en lassituaciones descritas en la figura 3b serían sIsI /)( y sIsV /)(2 , y sus polos

determinan entonces las respuestas naturales )(1 ti n y )(2 tv n ,respectivamente.

Si la respuesta natural se desea para una red que no contiene ningunafuente independiente, entonces se podría insertar una fuente Vs o Is encualquier punto conveniente, restringido sólo por la condición de que lared original se obtenga cuando se suprime la fuente. Por tanto, lafunción de transferencia correspondiente se determina y sus polosespecifican las frecuencias naturales. Observe que las mismasfrecuencias deben obtenerse para cualquiera de las muchaslocalizaciones de fuente posible. Si la red ya contiene una fuente, esamisma debe igualarse a cero e insertarse otra fuente en un punto másconveniente.

Un caso especialEsto ocurre cuando la red de la figura 4a o 4b contiene dos o más partesque están aisladas entre sí. Por ejemplo, podríamos tenerlacombinación en paralelo en tres redes: R1 en serie con C, R2 en seriecon L y un cortocircuito. Claramente, una fuente de tensión en serie conR1 y C no puede producir ninguna corriente en R2 y L; esa función detransferencia sería cero. Para encontrar la forma de la respuestanatural de la tensión en el inductor, por ejemplo, se requiere instalar lafuente de tensión en la red R2 L. Un caso de este tipo a menudo sereconoce inspeccionando la red antes de que se instale una fuente; perosi no es así, entonces se obtendrá una función de transferencia igual acero. Cuando 0)( sH , no obtenemos información acerca de lasfrecuencias que caracterizan la respuesta natural, y debe emplearse unalocalización de la fuente más adecuada.

7. RESPUESTA EN FRECUENCIA

7.1 Resonancia en paralelo7.2 Resonancia en serie7.3 Otras formas resonantes7.4 Escalas

El concepto de respuesta en frecuencia constituye la base paracomprender los factores que determinan la estabilidad o inestabilidad,de un sistema específico, sea eléctrico, mecánico, químico o biológico.

Encontraremos también que los conceptos de respuesta en frecuencia serequieren en muchas aplicaciones de la ingeniería eléctrica más allá deltema de la estabilidad. Por ejemplo, al trabajar con sistemas decomunicación nos enfrentamos a menudo con situaciones que exigen laseparación de frecuencias (cada una de las estaciones de radio, pormencionar un caso), una operación que se lleva a cabo una vez quetengamos una comprensión cabal de la respuesta en frecuencia de loscircuitos de filtrado

7.1 RESONANCIA EN PARALELO

¿Por qué debemos interesarnos en la respuesta a las funciones forzadassenoidales cuando rara vez se encuentran en la práctica? La industriade la energía eléctrica es una excepción, pues la forma de onda senoidalaparece por todas partes, aunque en ocasiones resulta necesarioconsiderar otras frecuencias que introducen la no linealidad de algunosdispositivos. Sin embargo, en casi todos los demás sistemas eléctricos,las funciones forzadas y las respuestas no son senoidales. En cualquiersistema en el que se va a transmitir información, la senoide por sí solaes casi siempre inútil; contiene información limitada debido a que susvalores futuros son exactamente predecibles, a partir de sus valorespasados. Además, una vez completado un período, cualquier forma deonda periódica no senoidal tampoco contiene ninguna informaciónadicional.

La resonancia se describiría de manera aproximada como la condiciónque existe en todo sistema físico cuando una función forzada senoidal deamplitud fija produce una respuesta de amplitud máxima. Sin embargo,a menudo hablamos de la resonancia como si ocurriera, aun cuando lafunción forzada no sea senoidal. El sistema resonante puede sereléctrico, mecánico, hidráulico, acústico o de otro tipo, aunquerestringiremos nuestra atención, en la mayor parte de los casos, a lossistemas eléctricos.

Veamos ahora la resonancia con mayor cuidado. En una red eléctrica dedos terminales que contienen al menos un inductor y un capacitor,definimos la resonancia como la condición que existe cuando laimpedancia en la entrada de la red puramente resistiva. Por lo tanto,

una red está en resonancia (o es resonante) cuando la tensión y lacorriente en las terminales de entrada de la red están en fase.

También describiremos que se produce una respuesta de amplitudmáxima en la red cuando se encuentra en la condición resonante.

R CLLCI CILI

VI

Figura 1Aplicaremos primero la definición de resonancia a una red RLC enparalelo accionada por una fuente de corriente senoidal, como se indicaen la figura 1. En muchas situaciones prácticas, el circuito es una muybuena aproximación al que podría construirse en el laboratorioconectando un inductor físico en paralelo con un capacitor físico, dondela combinación en paralelo se acciona mediante una fuente de energíaque tiene una impedancia de salida muy alta. La admitancia de estadopermanente ofrecida a la fuente de corriente ideal se determina por:

LCjRY

11

La resonancia ocurre cuando la tensión y la corriente en las terminalesde entrada están en fase, lo cual corresponde a una admitanciapuramente real, de modo que al condición necesaria está dada por:

01

wL

C

La condición resonante quizá se consiga ajustando L, C o ;analicemos el caso donde es la variable. Por consiguiente, lafrecuencia resonante 0 está dada por:

LC

10 rad/s

o

LCf

21

0 Hz

La configuración de polos –ceros de la función de admitancia también seusa para obtener una considerable ventaja en este caso. Dada Y(s):

sCsLR

sY 11

)(

o

s

LCRCssCsY

/1/)(

2

Podríamos exhibir los ceros de Y(s) factorizando el numerador:

s

jsjsCsY dd ))((

)(

Esto es, es el coeficiente de amortiguamiento exponencial:

RC2

1

Y d es la pulsación correspondiente a la frecuencia resonante natural(no la frecuencia resonante 0 ):

22 d

La constelación de polos-ceros de la figura 1a se deduce de maneradirecta de la forma factorizada.

dj

dj

dj

djoj

jj

Cero

Plano sY(s)

a) b)

o

Figura 2Viste la relación entre , d y 0 , resulta patente que la distancia desde

el origen del plano s a uno de los ceros de la admitancia esnuméricamente igual a 0 . Dada la configuración de polos-ceros, la

frecuencia resonante, por lo tanto, se obtendría por medio de métodopuramente gráficos. Sólo trazaremos un arco utilizando el origen delplano s como centro, a través de uno de los ceros. La intersección del

arco y el eje j positivo localiza el punto 0js . Evidentemente 0 esun poco mayor que la frecuencia resonante natural d , aunque su

proposición tiende a la unidad cuando aumenta la razón entre d y .

RESONANCIA Y RESPUESTA EN TENSIÓN, examinaremos acontinuación la magnitud de la respuesta, la tensión V(s), indicada en lafigura 1, conforme varía la frecuencia de la función forzada. Sisuponemos una fuente de corriente senoidal de amplitud constante, larespuesta en tensión es proporcional a la impedancia de entrada. Larespuesta se obtiene de la gráfica de los polos-ceros de la impedancia:

))((

/)(

dd jsjs

CssZ

mostrada en la figura 2b. La respuesta, desde luego, empieza en cero,alcanza un valor máximo en la cercanía de la frecuencia resonantenatural y luego disminuye de nuevo hasta cero, conforme se vuelveinfinita. La respuesta en frecuencia se dibuja en la figura 3. Su valormáximo se indica como R veces la amplitud de la corriente de la fuente,lo que implica que la magnitud máxima de la impedancia del circuito esigual a R; además, se demuestra que la máxima respuesta ocurreexactamente a la frecuencia resonante correspondiente a la pulsación

0 . También se identifican dos frecuencias adicionales,

correspondientes a 1 y 2 , que usaremos después como una medidadel ancho de la curva de respuesta. Mostraremos primero que la,magnitud de la impedancia máxima es R y que ocurre en la resonancia.

jV

RI

RI0707.0

0 21

Figura 3La admitancia, según especifica la ecuación 1, posee una conductanciaconstante y una susceptancia con una magnitud mínima (cero) en laresonancia. Por lo tanto, la magnitud de la admitancia mínima ocurreen resonancia, y ésta es 1/R. Por consiguiente, la magnitud de laimpedancia máxima es R, la cual ocurre en la resonancia.Por lo tanto, en la frecuencia resonante, la tensión en los extremos delcircuito resonante paralelo de la figura 1 es simplemente IR, y lacorriente de fuente total I fluye por el resistor. Sin embargo, lacorriente también está presente en L y C. En el inductor,

LjIRLjVI LL 000,0 // , y la corriente del capacitare en la resonancia

corresponde a CjVCjI cc 00,00, )( RI. Puesto que LC 0

0

1

en la

resonancia, encontraremos que:CRIjwII Lc 00,0,

y00,0, LCLc III

Por lo tanto, la corriente neta que fluye dentro de la combinación LC escero. El valor máximo 0 de la magnitud de la respuesta y de lafrecuencia a la que ésta ocurre no siempre se encuentra con facilidad.En circuitos resonantes menos comunes, tal vez sea necesario expresarla magnitud de la respuesta en forma analítica, casi siempre como laraíz cuadrada de la suma de la parte real al cuadrado y de la parteimaginaria al cuadrado; luego debemos diferenciar esta expresiónrespecto de la frecuencia, igualar la derivada a cero, resolver para lafrecuencia de la respuesta máxima y, por último sustituir esta frecuenciaen la expresión de la magnitud para obtener la respuesta de amplitudmáxima. Se podría efectuar el procedimiento para este caso simple,sólo como un ejercicio corroborativo; sin embargo, como hemos visto,no es necesario.

FACTOR DE CALIDAD, debe subrayarse que, a pesar de que la alturade la curva de la respuesta de la figura 3 depende sólo del valor de Rpara la excitación de amplitud constante, el ancho de la curva o lainclinación de los lados depende también de los otros dos valores de loselementos. Un poco más adelante relacionaremos el “ancho de la curvade respuesta” con una cantidad definida con mayor cuidado, el ancho debanda , aunque resulta útil expresar esta relación en términos de unparámetro muy importante, el factor de calidad Q.

Encontraremos que lo anguloso de la curva de respuesta de cualquiercircuito resonante está determinado por la calidad de energía máximaque se puede almacenar en el circuito, en comparación con la energíaque se pierde durante un periodo completo de la respuesta. DefinimosQ como:

factorQ de calidadenergia

energia2

total

imamax

perdida

almacenada

por periodo

La constante de proporcionalidad 2 se incluye en la definición parasimplificar las expresiones más útiles para Q que obtendremos ahora.Dado que la energía sólo se almacena en el inductor y en el capacitor, yse pierde únicamente en el resistor, se puede expresar en términos dela energía instantánea asociada con cada uno de los elementos reactivosy con la potencia promedio disipada en el resistor:

TP

ttQ

R

cL max)()(2

Donde T es el periodo de la frecuencia senoidal en el que se evalúa Q.

Apliquemos ahora esta definición en el circuito RLC en paralelo (figura1) y determinaremos el valor de Q a la frecuencia resonante. Este valorde Q se denota mediante Q0. Elegimos la función forzada de corriente:

tIti m 0cos)(

y obtenemos la respuesta en tensión correspondiente a la resonancia:

tRItRtv mi 0cos)()(

La energía almacenada en el capacitor corresponde entonces a:

22

1)(

222 CRI

Cvt mc t0

2cos

La energía instantánea almacenada en el inductor está dada por:

tsen

RI

Lvdt

LLLt m

LiL 00

22

2

11

2

1

2

1)(

por lo que:

2)(

22 CRIt m

L tsen 02

La energía total almacenada instantánea es, por lo tanto, constante:

2)()()(

22 CRIttt m

cL

y este valor constante también debe ser el valor máximo. Para obtenerla energía perdida en el resistor en un periodo, tomamos la potenciapromedio absorbida por el resistor:

RIP mR2

2

1

y al multiplicarla por un periodo, se obtiene:

RIf

TP mR2

02

1

De este modo encontramos el factor de calidad a la resonancia:

02

22

0 2/

2/2

fRI

CRIQ

m

o20 Q RCRCf 00

Esta ecuación se cumple sólo para el circuito simple RLC en paralelo. Seobtendrían expresiones equivalentes para 0Q , que en muchas ocasionesresultan bastantes útiles, mediante la sustitución simple:

L

CRQ 0

0,0, Lc X

R

X

R

OTRA INTERPRETACIÓN DE Q se obtiene cuando inspeccionamos lascorrientes en el inductor y el capacitor a la resonancia, según se expresaen la ecuación CRIjwII Lc 00,0, :

IjQCRIjwII Lc 000,0,

Observe que cada una es 0Q veces la corriente de la fuente en amplitud,

y que cada una está 1800 fuera de fase respecto de la otra. De talmanera, si aplicamos 2 mA a la frecuencia resonante a un circuitoresonante en paralelo, con una 0Q de 50, tenemos2 mA en el resistor y 100 mA tanto en el inductor como en el capacitor.Por lo tanto, un circuito resonante en paralelo, actúa como unamplificador de corriente, pero no, desde luego, como un amplificadorde potencia, dado que es una red pasiva.

Ahora relacionemos entre sí, los demás parámetros que asociamos conel circuito resonante en paralelo. Los tres parámetros , d y 0 se

presentaron mucho antes en conexión con la respuesta natural.

La resonancia por definición, se asocia sobre todo con la respuestaforzada, dado que se define en términos de una impedancia de entrada(puramente resistiva), un concepto del estado senoidal permanente.Los dos parámetros más importantes de un circuito resonante son quizála frecuencia resonante 0 y el factor de calidad 0Q . Tanto en el

coeficiente de amortiguamiento exponencial como la frecuenciaresonante natural se expresan en términos de 0 y 0Q .

CCQRC )/(2

1

2

1

00

o

0

0

2Q

y22

0 d

o2

00 2

11

Qd

FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO, como referencia futura quizáresulte útil advertir una relación adicional que involucra a 0 y a 0Q . El

factor cuadrático que aparece en el numerador de la ecuación

s

LCRCssCsY

/1/)(

2 :

sRCs

12 LC

1

se escribiría en términos de y 0 :

22 s s 20

En el campo de la teoría de sistemas o la teoría de control automático,se acostumbra escribir este factor en una forma un poco diferente, queutiliza el parámetro adimensional (dzeta) denominado factor deamortiguamiento:

02 2s s 2

0

La comparación de ambas expresiones nos permite relacionar conotros parámetros:

00 2

1

Q

Ejemplo

Calcule los valores numéricos de d ,,0 y R para un circuito resonante

en paralelo que tiene L= 2.5 mH, 0Q = 5 y C = 0.01 F.

De la ecuación 2 vemos que skradLC /200/10 , mientrasque kHzf 8.312/00 .

Se obtendrá rápidamente el valor de mediante la ecuación0

0

2Q

:

02Q

=

45

10252

102

Np/s

Ahora:22

0 d

para encontrar que:

skradd /0.1991021022425

Por último, necesitamos un valor para la resistencia en paralelo, y laecuación 0Q RC0 nos proporciona la respuesta:

RCQ 00 por lo que:

kC

QR 50.2

10102

585

0

0

A continuación interpretaremos 0Q en términos de las localizaciones de

polos-ceros de la admitancia Y(s) del circuito RLC en paralelo.Mantendremos 0 constante, lo cual se efectuaría cambiando R

m mientras L y C se mantienen constantes. Conforme 0Q seincrementa, las relaciones que vinculan , 0Q y 0 indican que los dos

ceros deben acercarse al eje j . Tales relaciones indican también quelos ceros deben alejarse de manera simultánea del eje . La naturalezaexacta del movimiento se aclara cuando recordamos que el punto en elcual s = 0j podría ubicarse sobre el eje j recorriendo un arco,

centrado en el origen, por uno de los ceros y arriba del eje positivo jpuesto que 0 debe ser constante, al igual que el radio, y los ceros, porlo tanto, deben moverse a lo largo de este arco hacia el eje j positivo,conforme aumenta 0Q .

dj

djoj

j

oj

o

o

o

C

LR

Q

2

1

2

10

R

Q0

Figura 4Los dos ceros se indican en la figura 4, y las dos flechas muestran latrayectoria que siguen conforme crece R. Cuando R es infinita, 0Q

también lo es, y los dos ceros se encuentran en s= 0/ j sobre el ejej . Conforme R se reduce, los ceros se mueven hacia el eje a lo

largo del lugar geométrico circular, uniéndose para formar un doble cerosobre el eje en s= 0 cuando R= CL /2/1 o 0Q = ½. Esta condición

puede recordarse como la del amortiguamiento crítico, por lo que 0dy 0 . Los valores inferiores de R y de 0Q ocasionan que los ceros se

separen y se muevan en direcciones opuestas sobre el eje negativo,si bien estos valores menores de 0Q no son en realidad característicos

de los circuitos resonantes, por lo que ya no es necesario buscarlos.Después usaremos el criterio 0Q 5 , para describir un circuito de lata Q.

Cuando 0Q =5, los ceros se ubican en s= - 0.1 0 +/- 0995.0 j , y por lotanto, 0 y d difieren sólo por la mitad de 1%.

Continuamos nuestro análisis de la RESONANCIA EN PARALELOdefiniendo las frecuencias de media potencia y el ancho de banda;después haremos un buen uso de estos nuevos conceptos al obtenerdatos de la respuesta aproximada para circuitos de alta Q . El “ancho”de la curva de la respuesta en resonancia, como la de la figura 3, quizáse defina ahora con mayor cuidado y se relacione con 0Q . Definamosprimero las dos frecuencias de media potencia correspondientes a laspulsaciones 1 y 2 como las frecuencias a las que la magnitud de laadmitancia de entrada de un circuito resonante en paralelo es mayorque la magnitud en resonancia por un factor de 2 . Puesto que lacurva de respuesta de la figura 3 presenta las tensiones producidas enel circuito en paralelo por una fuente de corriente senoidal, como unafunción de la frecuencia, las frecuencias de media potencia se localizantambién en aquellos puntos en los que la respuesta en tensión es 1/ 2o 0.707 veces su valor máximo. Se cumple una relación similar para lamagnitud de la impedancia. Designaremos 1 como la frecuenciasuperior de media potencia.

El ANCHO DE BANDA (de media potencia) de un circuito resonante sedefine como la diferencia de estas dos frecuencias de media potencia.

12 Tendemos a considerar el ancho de banda como el “ancho” de la curvade respuesta, aun cuando la curva se extiende desde 0 hasta .De manera mas exacta, el ancho de banda de media potencia se midepor esa porción de la curva de respuesta que es igual o mayor que70.7% del valor máximo.

Expresemos ahora el ancho de banda en términos de 0Q y de la

frecuenciaresonante. Para hacerlo, obtengamos primero la admitancia del circuitoRLC en paralelo:

Lcj

RY

11

En términos de 0Q :

L

RCR

Rj

RY

0

0

0

011

o

0

001

1jQ

RY

Observemos de nuevo que la magnitud de la admitancia en laresonancia es 1/R y aceptamos entonces que una magnitud de aladmitancia de R/2 puede ocurrir sólo cuando se elige una frecuenciatal que la parte imaginaria de la cantidad entre corchetes tiene unamagnitud unitaria. Por lo tanto:

12

0

0

20

Q y 11

0

0

10

Q

Al resolver, tenemos:

0

2

001 2

1

2

11

QQ

0

2

002 2

1

2

11

QQ

Si bien estas expresiones son difíciles de manejar, su diferenciaproporciona una fórmula muy simple para el ancho de banda:

0

012 Q

Las ecuaciones

0

2

001 2

1

2

11

QQ y

0

2

002 2

1

2

11

QQ se

multiplicarían entre sí para demostrar que 0 corresponde exactamente

a la media geométrica de las frecuencias de media potencia:

2120

o

210 Los circuitos que poseen una 0Q más alta presentan un ancho de bandamás estrecho, o una curva de respuesta más aguda; tienen unaselectividad de frecuencia mayor o una calidad (factor) superior.

APROXIMACIONES PARA CIRCUITOS DE ALTA Q, muchos circuitosresonantes se diseñan de manera deliberada para que tengan una 0Q

grande, a fin de aprovechar el ancho de banda y la selectividad de altafrecuencia que se asocia con tales circuitos. Cuando 0Q es mayor a

aproximadamente 5, se pueden efectuar algunas aproximaciones muyútiles en las expresiones para las frecuencias de media potencia superiore inferior, y en las expresiones generales para la respuesta en lavecindad de la resonancia. Nos referiremos de manera arbitraria a un“circuito de alta Q” como uno para el que 0Q es igual o mayor que 5. La

configuración de polos-ceros de Y(s) para un circuito RLC en paralelocon una 0Q de casi 5 se muestra en la figura 5. Dado que:

0

0

2Q

entonces:

2

1

1s0 jj d

)2

1( 01 jj

j

Plano sY(s)

B2

1

)2

1( 02 jj

B2

1

2s

Figura 5y las ubicaciones de los dos ceros s1 y s2 se podrían aproximar:

s1,2 = dj

02/1 j

Además, las ubicaciones de las dos frecuencias de media potencia(sobre el eje j positivo) también se determinarían en una formaaproximada y concisa:

00

0

2

002,1 2

11

2

1

2

11

QQQ

o 2

102,1

Por lo tanto, en un circuito de alta Q cada frecuencia de media potenciase ubica aproximadamente a la mitad del ancho de banda a partir de lafrecuencia resonante; esto se indica en la figura 5.

Las relaciones aproximadas para 1 y 2 en la ecuación 21

02,1

sumarían entre sí para demostrar que 0 es casi igual a la mediaaritmética de 1 y 2 en circuitos de alta Q:

)(21

210

Visualizaremos ahora un punto de prueba que está un poco arriba de0j sobre el eje j . Para determinar la admitancia que ofrece la red

RLC en paralelo a esta frecuencia, construiremos tres vectores a partirde las frecuencias críticas para el punto de prueba. Si éste es cercano a

0j , entonces el vector desde el polo es casi 0j y aquel desde el ceroinferior es casi 02j .

Por tanto, la admitancia está dada de manera aproximada por:

)(2))(2(

)( 10

10 ssCj

ssjCsY

donde C es la capacitancia. A fin de determinar una aproximación útilpara el vector (s – s1), consideremos una vista aumentada de esaporción del plano en cercanía del cero s1 (Figura 6).

1s

1ss

j

0j

B2

1

js

Figura 6En términos de sus componentes cartesianos, vemos que:

s – s1 )(21

0 j

donde esta expresión sería exacta si 0 se sustituyera por d .

Sustituimos ahora esta ecuación, en una aproximación de Y(s), ydejamos como factor 1/2 , teniendo así:

21

12

12)( 0

jCsY

o

21

11

)( 0j

RsY

La fracción )( 0 / 21 se interpretaría como el “número de mitades

del ancho de banda de resonancia” y se abreviaría por medio de N . porlo tanto:

)1(1)( jNRsY

donde:

21

0N

En la frecuencia superior de media potencia, 1,21

02 N , así que

estamos a medio ancho de banda sobre la resonancia. En el caso de lafrecuencia inferior de media potencia 2

101 , de manera

que 1N , lo que nos ubica a la mitad de un ancho de banda por debajode la resonancia.

La ecuación )1(1)( jNRsY es mucho más fácil de usar que las

relaciones exactas que conformamos hasta ahora. Demuestra que lamagnitud de la admitancia es:

211

)( NR

jwY

mientras que el ángulo de Y( )jw está dado por la tangente inversa de N:

ang Y Nj 1tan)(

Ejemplo

Determine el valor aproximado de la admitancia de una red RLC enparalelo para la que R= 40kΩ. L = 1 H y C = 1/64 F si la frecuencia deoperación es skrad /2.8 .

Identifique el objetivo del problema.

Se nos pide determinar el valor aproximado de Y(s) en = 8.2krad/s, para una red RLC, simple. Lo anterior implica que 0Q debe

ser al menos 5.

Recopile la información conocida.

Se proporcionan los valores de R, L y C, así como la frecuencia a lacual evaluarY(s). Lo anterior es suficiente para calcular la admitancia utilizandoexpresiones exactas o aproximadas.

Decida la técnica disponible que se ajusta mejor al problema.

Para emplear la expresión aproximada de la admitancia, debemosdeterminar primero 0Q , el factor de calidad en la resonancia, así

como el ancho de banda.

La frecuencia resonante 0 está dada por la ecuaciónLC

10 como

./81 skradLC

Por lo tanto, 0Q = ,50 RC y el ancho de banda es ./6.10

0 skradQ

el valor de 0Q para este circuito es suficiente para emplear

aproximaciones de “alta Q”.

Construya un conjunto de ecuaciones apropiado.

La ecuación )1(1)( jNRsY establece que:

Y(s) jNR

11

por lo que:

211

)( NR

jY y ang

Y( Nj 1tan)(

Determine si se requiere información adicional.

Todavía necesitamos a N , la cual nos indica el número de mitades deancho de banda que está respecto a la frecuencia resonante 0 :

N = (8.2 – 8)/ 0.8 = 0.25

Busque la solución.

Estamos listos para emplear nuestras relaciones aproximadas de lamagnitud y el ángulo de la admitancia de la red:

ang Y tan-1 0.25 = 14.04º

y

SY 77.2525.0125 2

Verifique la solución. ¿Es razonable o la esperada?

Un cálculo exacto de la admitancia mediante la ecuación

LCjRY

11 demuestra que:

Y Sj o 87.1375.25)8200(

Por lo tanto, el método aproximado origina valores de la magnitud yel ángulo de la admitancia que son razonablemente exactos (mejorque 2%) para esta frecuencia.

Nuestra intención es utilizar estas aproximaciones para circuitos de altaQ cerca de la resonancia. Hemos acordado que dejar una “alta Q ”implica 0Q 5 , pero ¿qué tan cerca es “cerca”? Se demuestra que unerror en magnitud o en fase es menor que 5%, si 0Q 5 y

0.9 00 1.1 . Aunque esta banda estrecha de frecuencias quizáparezca prohibitivamente pequeña, suele ser más que suficiente paracontener el intervalo de frecuencias que más nos interesa. Por ejemplo,el radio de AM contiene por lo general un circuito sintonizado a unafrecuencia resonante de 455 kHz, con un ancho de banda de mediapotencia de 10 kHz. Este circuito debe tener entonces un valor de 45.5para 0Q , de modo que las frecuencias de media potencia son más o

menos de 450 y 460 kHz. Nuestras aproximaciones, sin embargo, sonválidas desde 409.5 hasta 500.5 kHz (con errores menores que 5%), locual es un intervalo que cubre en esencia toda la porción máxima de lacurva de respuesta; sólo en las “colas” remotas de la curva de respuestalas aproximaciones provocan errores irrazonablemente grandes.

Cumplimos nuestra cobertura de circuito resonante paralelo revisandovarias conclusiones a las que hemos llegado. La frecuencia resonantecorrespondiente a la pulsación 0 es aquella a la cual la parte imaginariade la admitancia de la entrada se vuelve cero, o el ángulo de laadmitancia se hace cero. Entonces 0 = 1/ LC . La cifra de mérito

0Q del circuito se define como 2 veces la razón entre la energíamáxima almacenada en el circuito y la energía que se pierde en cadaperiodo en elcircuito. Según esta definición, encontramos que 0Q = RC0 . Las dos

frecuencias de media potencia 1 y 2 se definen como las frecuencias alas que la magnitud de la admitancia es √2 veces la magnitud de laadmitancia mínima. También son las frecuencias a las cuales larespuesta en tensión es 70.7% de la respuesta máxima. Lasexpresiones exacta y aproximada (para alta 0Q ) que corresponden aestas dos frecuencias son:

2

1

2

1

2

11 0

0

2

002,1

QQ

donde es la diferencia entre las frecuencias superior e inferior demedia potencia. El ancho de banda de media potencia está dado por:

0

012 Q

La admitancia de entrada también se expresaría en forma aproximadapara circuitos de alta Q:

NNR

jNR

Y 12 tan11

11

donde:

21

0N

La aproximación es válida para frecuencias que no difieren de lafrecuencia resonante por más de un décimo de dicha frecuencia.

7.2 RESONANCIA EN SERIE

Aunque quizás encontraremos un menor uso para el circuito RLC enserie (figura 7), del que ocurre para el RLC en paralelo, el primero siguemereciendo nuestra atención. Debe observarse que en este caso a losdiversos elementos de circuito se les asigna el subíndice s (de serie),para evitar confundirlos con los elementos en paralelo, cuando loscircuitos se comparen.

sR

sC

sLsI

fV

Figura 7Nuestro análisis de la resonancia en paralelo ocupó dos secciones deamplitud considerable. Podríamos darle ahora al circuito RLC en serie elmismo tipo de tratamiento, pero resulta mas inteligente omitir talrepetición innecesaria y utilizar el concepto de dualidad.

“Concluyamos nuestro estudio de circuito resonante en serie resumiendolas distintas conclusiones a las que llegamos. La frecuencia resonante

swo es aquella a la que la parte imaginaria de la impedancia de entrada

se vuelve cero, o en la que el ángulo de la impedancia se hace cero. Enese caso, sss CLo /1 . La cifra de mérito del circuito sQ0 se define

como 2 veces la proporción entre la energía máxima almacenada en elcircuito y la energía que se pierde en cada periodo en el circuito. Segúnesta definición, encontramos que ./0 ssss RLoQ las dos frecuencias de

media potencia s1 y s2 se definen como las frecuencias a las cuales la

magnitud de la impedancia es 2 veces la magnitud de la impedanciamínima. Éstas son también las frecuencias a las que la respuesta encorriente es 70.7% de la respuesta máxima. Las expresiones exacta yaproximada (para una alta sQ0 correspondientes a estas dos frecuencias

son:

ssss

sss QQ

2

1

2

1

2

11 0

0

2

002,1

donde s es la diferencia entre las frecuencias superior e inferior de

media potencia. El ancho de banda de media potencia está dado por:

s

ssss Q0

012

La impedancia de entrada también se expresaría en forma aproximadapara circuitos de alta Q0s:

ssssss NNRjNRZ 12 tan11

donde:

2/1

0N

La aproximación es válida para frecuencias que no difieren de lafrecuencia resonante por más de un décimo de dicha frecuencia.

A partir de este punto, ya no identificaremos los circuitos resonantes enserie mediante el uso del subíndice s, a menos que la claridad lorequiera.

Ejemplo

La tensión wtvs cos100 mV se aplica a un circuito resonante en serie

compuesto por una resistencia de 10 Ω, una capacitancia de 200nF yuna inductancia de 2 mH. Utilice los métodos tanto exacto comoaproximado para calcular la amplitud de corriente, si ./48 skrad

La frecuencia resonante de circuitos está dada por:

skrad

LC/50

10200102

11930

Dado que estamos operando a 48 krad/s, la cual está dentro del10% de la frecuencia resonante, resulta razonable aplicar nuestrasrelaciones aproximadas para estimar la impedancia equivalente de lared, siempre y cuando sepamos que estamos trabajando con circuito dealta Q.

NNRZ eq12 tan1

donde N se calcula una vez que determinamos 0Q . Es un circuito enserie, por lo que:

10

10

1021050 330

0

R

LQ

Lo cual hace que sea un circuito de alta Q . Por lo tanto:

skradQ

/510

1050 3

0

0

El número de anchos de banda medios fuera de la resonancia ( N ) es,por tanto:

8.05.2

5048

2/0

N

De tal modo:

012 66.3881.12tan1 NNRZ eq

La magnitud de la corriente aproximada está dada entonces por:

mAZ

V

eq

s 806.781.12

100

Utilizando las expresiones exactas, encontramos que I=7.746 mA024.39y por ello:

mAI 746.7

El circuito resonante en serie se caracteriza por una impedancia mínimaen la resonancia, en tanto que el circuito resonante en paralelo produceuna impedancia resonante máxima. El último circuito proporcionacorrientes de inductor y de capacitor en la resonancia que tienenamplitudes 0Q veces mayores que la corriente de la fuente; el circuito

resonante en serie proporciona tensiones en el inductor y en el capacitorque son mayores que la tensión en la fuente por el factor sQ0 . El circuito

en serie debe proporcionar entonces una amplificación de tensión en laresonancia.

7.3 OTRAS FORMAS RESONANTES

Los circuitos RLC en paralelo y en serie de las dos secciones anterioresrepresentan circuitos resonantes idealizados; no son más querepresentaciones útiles y aproximadas de un circuito físico que podríaconstruirse combinando una bobina de alambre, un resistor de carbón yun capacitor de tantalio en paralelo o en serie. El grado de exactitudque el modelo idealizado logre respecto al circuito real depende delintervalo de la frecuencia de operación, la Q del circuito, los materialespresentes en los elementos físicos, los tamaños de los elementos ymuchos otros factores. No estamos estudiando la técnica paradeterminar el modelo de un circuito físico particular, puesto que estorequiere cierto conocimiento de la teoría del campo electromagnético yde las propiedades de los materiales; sin embargo, nos interesa elproblema de reducir un modelo más complicado a uno de los dosmodelos más simples con los que estamos familiarizados.

La red de la figura 8a constituye un modelo razonablemente exacto parala combinación en paralelo de un inductor, un capacitor y un resistorfísicos. El resistor marcado como R1 es un resistor hipotético que seincluye para tomar en cuenta las pérdidas óhmicas del núcleo y laspérdidas por radiación de la bobina física. Las pérdidas en el dieléctricodentro del capacitor físico, así como la resistencia del resistor físico delcircuito RLC particular, se toman en cuenta mediante el resistordenominado R2. En este modelo, no hay forma de combinar elementosy reproducir un modelo más simple equivalente al modelo original paratodas las frecuencias. Demostraremos, sin embargo, que se podríaconstruir un equivalente más simple válido sobre una banda defrecuencias que suele ser lo suficientemente grande para incluir todaslas frecuencias de interés. El equivalente tomará la forma de la redmostrada en la figura 8b.

L

1R

CY2R

b)

eReCeL

a)

Figura 8Antes de que aprendamos cómo crear tal circuito equivalente,consideremos primero el circuito dado (Fig. 8a). la frecuencia resonanteen radianes para esta red no es 1/ L , aunque si R1 es losuficientemente pequeña podría aproximarse mucho a este valor. Ladefinición de resonancia permanece invariable, así que determinará lafrecuencia resonante igualando a cero la parte imaginaria de laadmitancia de entrada:

011

Im)(Im12

LjRCj

RjY

o

LjR

LjR

LjRCj

R

1

1

12

11Im

= 01

Im222

1

1

2

LR

LjRCj

R

De tal manera, tenemos la condición resonante de que:

2221 LR

LC

y por ello:

2

10

1

L

R

LC

Observamos que 0w es menor que LC/1 , si bien quizá los valores

suficientemente pequeños de la proporción R1/L produzcan unadiferencia despreciable entre 0 y LC/1 .

La magnitud máxima de la impedancia de entrada también merececonsiderarse. No es R2, y tampoco ocurre en 0 (o en LC/1 ). La

prueba de estas afirmaciones no se demostrará, debido a que lasexpresiones se vuelven de inmediato problemáticas desde la perspectivaalgebraica; la teoría, sin embargo, es directa. Nos contentaremos conun ejemplo numérico.

Ejemplo

Utilizando los valores mFCHLR 125,1,21 y 32R para la figura8a, determine la frecuencia resonante y la impedancia en la resonancia.

Sustituyendo los valores apropiados en la ecuación (21), encontramos:

srad /228 20

lo cual nos permite calcular la admitancia de entrada:

Sj

jY 583.04

1

3

1

)1)(2(2

1

8

12

3

1

y luego la impedancia de entrada en la resonancia:

714.1583.0/1)2( jZ

A la frecuencia que correspondería la frecuencia resonante, si R1 fueracero:

1/ LC = 2.83 rad/s

la impedancia de entrada sería:

026.13947.1)83.2( jZ

Como puede observarse en la figura 9, sin embargo, la frecuencia a laque ocurre la magnitud máxima de la impedancia, indicada por ,m sedetermina como

26.3m rad/s, y la magnitud máxima de la impedancia es:

04.21980.1)26.3( jZ

La magnitud de la impedancia a la resonancia y a la magnitud máximadifieren en casi 16%. Si bien es cierto que un error de este tipo puedeignorarse a veces en la práctica, resulta demasiado grande como paraignorarlo en un examen. En la última parte de esta secciónmostraremos que la Q de la combinación inductor-resistor a 2 rad/s esla unidad; este valor bajo explica la discrepancia de 16%.

COMBINACIONES EQUIVALENTES EN SERIE Y EN PARALELO, paratransformar el circuito dado en la figura 8a en uno equivalente en laforma que se indica en la figura 8b, debemos analizar la Q de unacombinación simple en serie o en paralelo de un resistor y un reactor(inductor o capacitor). Consideraremos primero el circuito en serie de lafigura 9a. La Q de la red se define de nuevo como 2 veces laproporción de la máxima energía almacenada y la energía que se pierdeen cada periodo, aunque la Q se podría evaluar a cualquier frecuenciaque elijamos.

sjXsY

pjXpY

sR

pR

a)

b)

Figura 9En otras palabras, Q es una función de . Es cierto, que elegiremosevaluarla a la frecuencia que tiene, o aparentemente tiene, la frecuenciaresonante de alguna red de la cual forma parte la rama en serie. Esta

frecuencia, sin embargo, no se conoce hasta que se dispone de uncircuito más completo. Se sugiere demostrar que la Q de esta rama enserie es ss RX / , en tanto que la Q de la red en paralelo de la figura 9b

corresponde a pp XR / .

Hagamos ahora los detalles necesarios para determinar los valores de Rp

y Xp, de modo que la red en paralelo de la figura 9b sea equivalente a lared en serie de la figura 10a a cierta frecuencia específica simple.Igualamos Ys e Yp:

22

1

ss

ss

sss XR

jXR

jXRY

=pp

p Xj

RY

11

y obtenemos:

s

ssp R

XRR

22

s

ssp X

XRX

22

Al dividir estas dos expresiones, obtenemos:

s

s

p

p

R

X

X

R

Se concluye que las Q de las redes en serie y en paralelo deben seriguales:

QQQ sp

Por lo tanto, se simplificaría las ecuaciones de transformación:

)1( 2QRR sp

2

11

QXX sp

Rs y Xs también se podrían determinar si Rp y Xp son los valores dados;se efectúa la transformación en cualquier dirección.

Si 5Q , se introduce un pequeño error al utilizar las relacionesaproximadas:

sp RQR 2

sp XX ( sp CC o sp LL )

Ejemplo

Determine el equivalente en paralelo de la combinación en serie de uninductor de 100 mH y un resistor de 5a una frecuencia de 1000 rad/s.No se cuenta con los detalles de la red a la cual se conecta estacombinación en serie.

En .10010100(1000,/1000 )3 sXsrad . La Q de esta combinación en

serie se determinará mediante:

205

100

s

s

R

XQ

Dado que Q es suficientemente alta (20 es mucho mayor que 5),usamos las ecuaciones (24) y (25) para obtener:

20002sp RQR y mHLL sp 100

Nuestra afirmación aquí consiste en que un inductor de 100 mH, enserie con un resistor de 5 Ω, proporciona esencialmente la mismaimpedancia de entrada que un inductor de 100 mH en paralelo con unresistor de 200 Ω a la frecuencia de 1000 rad/s.

Para verificar la exactitud de la equivalencia, evaluemos la impedanciade entrada para cada red a 1000 rad/s. Encontramos:

01.871.1001005)1000( jjZ s Ω

01.879.991002000

)100(2000)1000(

j

jjZ p Ω

Y concluimos que la exactitud de nuestra aproximación a la frecuenciade transformación es bastante impresionante. La exactitud a 900 srad /también resulta razonablemente buena,, debido a que:

08.861.90)900( jZ s Ω

04.879.89)900( jZ p Ω

Si este inductor y un resistor en serie se utilizaron como parte delcircuito RLC en serie para el cual la frecuencia resonante correspondió a100 rad/s, entonces el ancho de banda de media potencia habría sido:

sradQ

/5020

1000

0

0

y la frecuencia de 900 rad/s representaría una frecuencia que era 4anchos de banda media fuera de la resonancia. De tal modo, las redesequivalentes evaluadas en este ejemplo habrían resultado adecuadaspara reproducir en esencia toda porción máxima de la curva derespuesta.

7.4 AJUSTE (ESCALAMIENTO)

Algunos de los ejemplos que hemos estado resolviendo implicaroncircuitos con valores de elementos pasivos que varían alrededor de unoscuantos ohms, unos cuantos hertz y unos cuantos faradios. Lasfrecuencias aplicadas correspondieron a unos cuantos radianes porsegundo. Se usaron estos valores numéricos particulares, debido no aque con frecuencia se encuentran en la práctica, sino en virtud de quelas manipulaciones aritméticas resultan mucho más sencillas que en elcaso de que fuera necesario manipular diversas potencias de 10 a lolargo de los cálculos. Los procedimientos de ajuste (escalamiento) quese explicarán en esta sección nos permiten analizar redes compuestas

por elementos de tamaño práctico, al ajustar el valor de los elementospara permitir cálculos numéricos más convenientes. Consideraremostanto el ajuste (escalamiento) en magnitud como el ajuste(escalamiento) en frecuencia.

Elegimos el circuito resonante en paralelo de la figura 10a como nuestroejemplo. Los valores imprácticos de los elementos dan origen a la pocaprobable curva de respuesta que se dibuja en la figura10b; laimpedancia máxima es igual a 2.5 Ω, la frecuencia resonantecorresponde a 1 rad/s, Q0 es 5, y el ancho de banda equivale a 0.2rad/s. Estos valores numéricos son mucho más parecidos a los análogoseléctricos de algún sistema mecánico, que los correspondientes acualquier dispositivo básicamente eléctrico. Disponemos de númerosconvenientes con los cuales efectuar los cálculos, pero se tiene uncircuito impráctico en cuanto a su construcción.

1 1.5 20.50

1

1.5

2

0.5

2.5

)/( srad

)(Z

5.2 F2Z H2

1

a)

b)

Figura 10Supongamos que nuestra meta sea ajustar esta red, de manera queproporcione una impedancia máxima de 5000 Ω a una frecuenciaresonante de 5 x 106 rad/s o 796 kHz. En otras palabras, utilizaríamosla misma curva de respuesta de la figura 13b si todo número sobre laescala de las ordenadas se incrementa por un factor de 2000 y cadanúmero sobre la escala de las abscisas se aumenta por un factor de 5 x106. trataremos lo anterior como dos problemas: 1) Ajuste(escalamiento) en magnitud por un factor de 2000 y 2) Ajuste(escalamiento) en frecuencia por un factor de 5 x 106.

El ajuste (escalamiento) en magnitud se define como el procesomediante el cual la impedancia de una red de dos terminales seincrementa por un factor Km, pero permanece constante la frecuencia.El factor Km es real y positivo, y podría ser mayor o menor que launidad. Entenderemos que la afirmación más breve “la red se ajusta enmagnitud por un factor de dos” indica que la impedancia de la nueva redes el doble de la antigua, a cualquier frecuencia. Determinaremos ahoracómo debemos ajustar cada tipo de elemento pasivo. Para incrementarla impedancia de entrada de una red por un factor de Km, bastaaumentar la impedancia de cada elemento en la red por el mismo factor.Por lo tanto, una resistencia R debe sustituirse por una resistencia KmR.Cada inductancia debe exhibir también una impedancia que sea Km

veces mayor, a cualquier frecuencia. Para incrementar una impedanciasL por un factor de Km cuando s permanece constante, requiere sustituirla inductancia L por una inductancia KmL. De manera similar, cadacapacitancia C debe sustituirse por una capacitancia C/Km. En resumen,estos cambios producirán una red que se ajusta en magnitudmultiplicándose por un factor de Km.

m

m

m

KCC

LKL

RKR

escalamiento en magnitud

Cuando cada elemento en la red de la figura 10a se ajusta en magnitudpor un factor de 2000, se obtiene la red de la figura 11a. La curva derespuesta de la figura 11b indica que no es necesario efectuar ningúncambio en la curva de respuesta dibujada antes, aparte del cambio en laescala de ordenadas.

1 1.5 20.50

23

4

1

5

)/( srad

)( kZ

k5 F310Z H1000

a)

b)

Figura 11

Consideremos ahora esta nueva red y ajustémosla en frecuencia.Definimos el ajuste en frecuencia como el proceso mediante el cual lafrecuencia a la que ocurre cualquier impedancia se incrementa por unfactor de Kf.. También en este caso, haremos uso de la expresión masbreve “la red se ajusta en frecuencia por un factor de dos” para indicarque se obtiene ahora la misma impedancia a una frecuencia dos vecesmayor. El ajuste en frecuencia se lleva a cabo ajustando en frecuenciacada elemento pasivo, y queda claro que no se afecta ningún resistor.La impedancia de cualquier inductor es sL, y si esta misma impedanciase debe obtener a una frecuencia Kf veces más grande, entonces lainductancia L debe sustituirse por una inductancia de L/Kf. De manerasimilar, se debe sustituir una capacitancia C por una capacitancia C/Kf .Por lo tanto, si una red se va a ajustar en frecuencia por un factor de Kf,entonces los cambios necesarios en cada elemento pasivo son:

f

f

KCC

KLL

RR

escalamiento de frecuencia

Cuando cada elemento de la red ajustada en magnitud de la figura 11ase ajusta en frecuencia por un factor de 5 x 106, se obtiene la red de lafigura 12a. La curva de respuesta correspondiente se muestra en lafigura 12b.

)( kZ

5 7.5 102.50

23

4

1

5

)/( sMrad

k5 pF200Z H200

a)

b)

Figura 12Los elementos de circuito en esta última red tienen valores que seobtienen con facilidad en los circuitos físicos; la red en verdad seconstruye y se prueba. Se concluye que si la red original de la figura11a fuera en realidad un análogo de algún sistema resonante mecánico,podríamos ajustar esta red análoga tanto en magnitud como enfrecuencia para obtener una red que se podría construir en ellaboratorio; las pruebas cuya aplicación resulta costosa o inconvenienteen el sistema mecánico, podrían efectuarse entonces sobre el sistemaeléctrico ajustado, pero los resultados deben “desajustarse” luego yconvertirse en las unidades mecánicas para completar el análisis.

Una impedancia, que se indica como una función de s, también podríaajustarse en magnitud o frecuencia, y se podría efectuar lo anterior sinconocimiento de los elementos específicos, a partir de los cuales secompone la red de dos terminales. Para ajustar Z(s) en magnitud, ladefinición de ajuste de magnitud muestra que sólo se requieremultiplicar Z(s) por Km para obtener la impedancia ajustada enmagnitud. Así, la impedancia del circuito resonante en paralelo de lafigura 11a está dada por:

24.02)(

2

ss

ssZ

o

995.01.0995.01.0

5.0)(

jsjs

ssZ

La impedancia Z’(s) de la red ajustada en magnitud se determinamediante:

Z’(s) = KmZ(s)

Si elegimos de nuevo Km = 2000 tenemos:

995.01.0995.01.0)1000()('

jsjs

ssZ

Si Z’(s) se debe ajustar ahora en frecuencia por un factor de 5 x 106,entonces Z’’(s) y Z’(s) tienen que proporcionar valores idénticos deimpedancia, si Z’’(s) se evalúa a una frecuencia Kf veces igual a la quese evalúa Z’(s). Después de una cuidadosa actividad cerebral, estaconclusión se establecería de manera concisa en notación funcional:

Z’’(s) = Z’(s/ Kf)

Observe que obtenemos Z’’(s) sustituyendo toda s en Z’(s) por s/Kf. laexpresión analítica para la impedancia de la red mostrada en la figura15a debe ser por tanto:

995.01.0)105/(995.01.0)105/(

)105/()1000()(''

66

6

Jsjs

ssZ

o

6666

6

10975.4105.010975.4105.0

)105()1000()(''

Jsjs

ssZ

Aunque el ajuste es un proceso que se aplica por lo general aelementos pasivos, las fuentes dependientes también deben ajustarseen magnitud y en frecuencia. Suponemos que la salida de cualquierfuente está dada como yyxx iokvk , donde kx tiene las dimensiones de una

admitancia para una fuente de corriente dependiente y resultaadimensional para una fuente de tensión dependiente; en tanto que ky,tiene las dimensiones de ohms para una fuente de tensión dependientey es adimensional en el caso de una fuente de corriente dependiente. Sila red que contiene fuente dependiente se ajusta en magnitud por km,entonces sólo se requiere tratar a kx o ky como si fueran el tipo deelemento congruente con sus dimensiones. Esto es, si kx (o ky) esadimensional, se deja sin cambio; si es una admitancia, se divide entrekm, y si es una impedancia, se multiplica por km. El ajuste en frecuenciano afecta a las fuentes dependientes.

Ejemplo

Ajuste la red que se muestra en la figura 13 por km = 20 y kf = 50, ydespués determine Zent(s) para la red ajustada.

12.0 VH5.0

F05.0entZ

1V

entZ

1V

mH200101.0 V

F50

s20

12.0 Vs5.0

Figura 13El ajuste en magnitud del capacitor se consigue dividiendo 0.05 F entreel factor de ajuste km = 20, y el ajuste en frecuencia se lleva a cabo aldividir entre kf = 50. Al efectuar de manera simultánea ambasoperaciones:

FCajustada 50)50)(20(

05.0

El inductor también se ajusta:

mHLajustada 20050

5.0)20(

Al ajustar la fuente dependiente, sólo es necesario considerar el ajusteen magnitud, pues el de frecuencia no afecta a las fuentes

dependientes. Ya que ésta es una fuente de corriente controlada portensión, la constante de multiplicación 0.2 tiene unidades de A/V, o S.Puesto que el factor tiene unidades de admitancia, dividimos entre km,por lo que el nuevo término es de 0.01 V1. la red obtenida (yaajustada) se muestra en lafigura 16b.

Para determinar la impedancia de la nueva red, necesitamos aplicar unafuente de prueba de 1 A en las terminales de entrada. Se podríatrabajar con cualquier circuito; sin embargo, procederemos primerocalculando la impedancia de la red sin ajustar mostrada en la figura 16a,y luego ajustaremos el resultado.

Consultando la figura 13c:

)2.01(5.0 11 VsVVent Además:

)1(20

1 sV

Al hacer la sustitución indicada, seguida por un poco de manipulaciónalgebraica, se obtiene:

s

ssVZ ent

ent 2

404

1

2

Para ajustar esta cantidad, de manera que corresponda al circuito de lafigura 13b, multiplicamos por km= 20 y sustituimos s/ kf =s/50. De talmodo:

s

ssZ aentajustad

20000402.0 2 Ω

BIBLIOGRAFÍA

SALAZAR, R. Roberto. EL MATERIAL DIDÁCTICO, UNAD, 2004

BOYLESTAD, ROBERT L.Análisis introductorio de circuitos, 10 ed.PRENTICE HALL, 2004

HAYT WILLIAM H. KEMMERLY JACK E. DURBAN STEVEN M.Análisis de circuitos en ingenieria, Sexta ediciónMcGraw Hill, 2003

DORF, RICHARD C. SVOBODA JAMES A.Circuitos eléctricos, Quinta ediciónAlfaomega, 2003

ROADSTRUM WILLIAM H. WOLAVER DAN H.Ingenieria eléctrica para todos los ingenieros, Segunda ediciónAlfaomega 1999

IRWIN DAVIS J.Análisis básico de circuitos en ingenieria, quinta ediciónPrentice Hall hispanoamericana s.a, 1997

MARTÍNEZ GARCÍA, SALVADORProntuario para el diseño eléctrico y electrónicoMarcombo

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/

GLOSARIO

Acoplamiento débil. Término aplicado a dos bobinas que tienencoeficiente de acoplamiento bajo.Admitancia. Medida de qué tan fácilmente “admitirá” una red el pasode corriente a través de ese sistema. Se mide en siemens, se abreviacon S, y se representa mediante la letra mayúscula Y.Amplitud pico. Valor máximo de una forma de onda medido a partirde su valor promedio o medio, denotado por letras mayúsculas.Análisis de mallas. Método por el cual es posible determinar lascorrientes de lazo (o malla) de una red. Las corrientes de rama de lared pueden resolverse entonces directamente a partir de las corrientesde lazo.Análisis de nodos. Método por el cual se pueden determinar losvoltajes nodales de una red. Entonces, el voltaje en cada elementopuede resolverse mediante la aplicación de la ley de voltaje deKirchhoff.Ancho de banda (BW). Intervalo entre las frecuencias de banda,corte, o de media potencia.Autotransformador. Transformador con un devanado común a loscircuitos primario y secundario. Una pérdida en aislamiento esequilibrada mediante el aumento en su valor nominal de kilo-volt-ampere.Carga polifásica no balanceada. Carga que no tiene la mismaimpedancia en cada fase.Ciclo. Parte de la forma de onda contenida en un periodo.Circuitos de ca en paralelo. Conexión de elementos dentro de unared de ca en la que todos los elementos tienen dos puntos en común. Elvoltaje es el mismo en cada elemento.Circuitos equivalentes. Para cada red de ca en serie existe una redde ca en paralelo (y viceversa) que será “equivalente” en el sentido deque la corriente de entrada y la impedancia son las mismas.Coeficiente de acoplamiento (k). Medida del acoplamientomagnético de dos bobinas que va desde un mínimo de 0 hasta unmáximo de 1.Complejo conjugado. Número complejo definido por el simple cambiode signo del componente imaginario de un número complejo en la formarectangular.Conexión neutra. Conexión entre el generador y la carga que, bajocondiciones balanceadas, tendrá cero corriente asociada.Configuración de ca en serie. Conexión de elementos dentro de unared de ca en la que no existen dos impedancias que tengan más de una

terminal en común, y donde la corriente es la misma a través de cadaelemento.Configuración delta (). Configuración de red que tiene la aparienciade la letra mayúscula griega delta.Configuración ye (Y). Configuración de red que tiene la apariencia dela letra mayúscula Y.Contador de frecuencia. Instrumento que proporcionará unavisualización digital de la frecuencia o el periodo de una señal periódicaque varía en el tiempo.Conversión de fuente. Cambio de una fuente de voltaje a una fuentede corriente, o viceversa, que da por resultado el mismocomportamiento en las terminales de lafuente. En otras palabras, la red externa desconoce el cambio en lasfuentes.Convención del punto. Técnica para rotular el efecto de la inductanciamutua sobre una inductancia neta de una red o sistema.Corrección del factor de potencia. Adición de componentes reactivos(típicamente capacitivos) para establecer un factor de potencia delsistema cercano a la unidad.Corrientes de fuga. Pequeñas corrientes circulares dentro de unnúcleo paramagnético que ocasionan incrementos en las pérdidas depotencia y en la resistencia efectiva del material.Corriente de fase. Corriente que fluye a través de cada fase de unacarga de cualquier generador monofásico o polifásico.Corriente de línea. Corriente que fluye del generador a la carga de unsistema polifásico o monofásico.Datos nominales. Información de la clasificación por kilovolt-ampere,la razón de transformación de voltaje, y la frecuencia de aplicación quees de primordial importancia al elegir el transformador apropiado parauna aplicación en particular.Decibel. Unidad de medición utilizada para comparar niveles depotencia.Derivada. Razón de cambio instantánea de una función con respecto altiempo u otra variable.Diagrama fasorial. “Foto instantánea” de los factores que representaun número de formas de onda senoidales en t = 0.Diagrama de admitancia. Representación vectorial que muestraclaramente la magnitud de la admitancia de la conductancia, lasusceptancia capacitiva, la susceptancia inductiva, y la magnitud y elángulo de la admitancia total del sistema.Diagrama de Bode. Gráfica de la respuesta en frecuencia de unsistema que utiliza segmentos de recta llamados asíntotas.

Diagrama de impedancia. Representación vectorial que ilustraclaramente la magnitud de la impedancia de los componentes resistivos,reactivos y capacitivos de una red, y la magnitud y el ángulo de laimpedancia total del sistema.Diagrama fasorial. Representación vectorial que proporciona unavista general de la magnitud y las relaciones de fase entre diversosvoltajes y corrientes de una red.Efecto de superficie. En altas frecuencias, en el centro de unconductor se forma un voltaje contrario inducido, dando por resultadoun mayor flujo cerca de la superficie del conductor y una fuertereducción cerca del centro. En consecuencia, el área efectiva deconducción disminuye y la resistencia aumenta como lo define laecuación básica para la resistencia geométrica de un conductor.Factor de calidad (Q). Razón que proporciona una indicacióninmediata de la agudeza del pico de una curva resonante. A mayor Q,más agudo el pico y más rápidamente cae éste hacia la derecha o laizquierda de la frecuencia de resonancia.Factor de potencia (Fp). Indicador de qué tan reactivo o resistivo esun sistemaeléctrico. Mientras mayor sea el factor de potencia, mayor será elcomponente resistivo.Factores de potencia adelantado y atrasado. Indicación de si unared es principalmente de naturaleza capacitiva o inductiva. Los factoresde potencia adelantados están asociados con redes capacitivas, y losfactores de potencia atrasados con redes inductivas.Fasor. Vector radial que tiene magnitud constante en un ángulo fijodesde el eje real positivo y representa un voltaje o corriente senoidal enel dominio de vector.Filtro. Redes diseñadas ya sea para dejar pasar o para rechazar latransferencia de señales a ciertas frecuencias para una carga.Filtro activo. Filtro que emplea dispositivos activos tales comotransistores o amplificadores operacionales en combinación conelementos, R, L y C.Filtro rechaza-banda. Red diseñada para rechazar (bloquear) señalesdentro de un intervalo de frecuencias particular.Filtro de doble sintonización. Red que posee tanto una región debanda de paso como una rechaza-banda.Filtro pasa-altas. Filtro diseñado para dejar pasar frecuencias altas yrechazar frecuencias bajas.Filtro pasa-bajas. Filtro diseñado para dejar pasar frecuencias bajas yrechazar frecuencias altas.

Filtro pasa-banda (banda de paso). Red diseñada para dejar pasarseñales dentro de un intervalo de frecuencias partícular.Filtro pasivo. Filtro construido a partir de elementos R, L y C en serie,en paralelo o en serie-paralelo.Flujo de fuga. Flujo que enlaza la bobina pero no pasa a través de latrayectoria ferromagnética del circuito magnético.Forma de onda. Trayectoria trazada por una cantidad, graficada comofunción de alguna variable como posición, tiempo, grados, temperatura,radianes etc.Forma de onda alterna. Forma de onda que oscila por encima y pordebajo de un nivel de referencia definido.Forma de onda periódica. Forma de onda que se repitecontinuamente después de un intervalo de tiempo definido.Forma de onda senoidal de ca. Forma de onda alterna decaracterísticas únicas que oscila con igual amplitud por encima y pordebajo de un eje dado.Forma polar. Método para definir un punto en un plano complejo queincluye una sola magnitud para representar la distancia desde el origen,y un ángulo para reflejar la distancia en sentido contrario a lasmanecillas del reloj desde el eje real positivo.Forma rectangular. Método para definir un punto en un planocomplejo que incluye la magnitud del componente real y la magnitud delcomponente imaginario, estando definido este último componente poruna letra j asociada.Frecuencia (f). Número de ciclos de una forma de onda periódica queocurren en unFrecuencia de banda (de corte, de media potencia). Frecuenciasque definen los puntos sobre la curva de resonancia que son 0.707 de lacorriente pico o del valor delvoltaje. Además, definen las frecuencias en que la transferencia depotencia al circuito resonante será la mitad del nivel máximo depotencia.Fuente dependiente (controlada). Fuente cuya magnitud y/o ángulode fase están determinados (controlados) por una corriente o un voltajedel sistema donde aparecen.Fuente independiente. Fuente cuya magnitud es independiente de lared a la que se aplica. Presenta sus características terminales inclusocuando se encuentra completamente aislada.Fuente de voltaje controlada por voltaje (FVCV). Fuente de voltajecuyos parámetros están controlados por un voltaje desarrollado encualquier otro lugar del sistema.

Galvanómetro de electrodinamómetro. Instrumentos que puedenmedir cantidades tanto de ca como de cd sin un cambio en sus circuitosinternos.Generador de ca conectado en . Generador trifásico que tiene lastres fases conectadas en forma de la letra griega delta ( ) mayúscula.Generador de ca monofásico. Fuente electromecánica de potencia deca que genera un solo voltaje senoidal que tiene una frecuenciadeterminada por la velocidad de rotación y el número de polos del rotor.Generador polifásico de ca. Fuente electromecánica de potencia deca que genera más de un voltaje senoidal por rotación del rotor. Lafrecuencia generada se determina por la velocidad de rotación y elnúmero de polos del rotor.Generador trifásico conectado en Y. Fuente trifásica de potencia deca donde las tres fases están conectadas en forma de letra Y.Impedancia reflejada. Impedancia que aparece en el primario de untransformador debido a una carga conectada al secundario. Sumagnitud está controlada directamente por la razón de transformación.Inductancia mutua. Inductancia que existe entre bobinasmagnéticamente acopladas de la misma o de diferentes dimensiones.Método de los dos watímetros. Método para determinar la potenciatotal entregada a una carga trifásica conectada en o en Y usando sólodos watímetros y considerando el factor de potencia de la carga.Método de los tres watímetros. Método para determinar la potenciatotal entregada a una carga trifásica usando tres watímetros.Microbar ( bar ). Unidad de medición para los niveles de presión desonido que permite la comparación de niveles de audio en una escala dedB.Número complejo. Número que representa un punto en un planobidimensional localizado con referencia a dos ejes distintos. Define unvector trazado desde el origen hasta ese punto.Osciloscopio. Instrumento que desplegará, mediante el uso de untubo de rayos catódicos, las características de una señal que varía en eltiempo.Papel log-log (doble logarítmico). Papel milimétrico con escalaslogarítmicas vertical y horizontal.Papel semilogarítmico. Papel milimétrico con una escala logarítmicay una lineal.Pérdida por histéresis. Pérdidas en un material magnéticointroducidas por los cambios en la dirección del flujo magnético dentrodel material.

Pérdidas por radiación. Pérdida de energía en la forma de ondaselectromagnéticas durante la transferencia de energía de un elemento aotro.Periodo (T). Intervalo de tiempo entre repeticiones sucesivas de unaforma de onda periódica.Potencia promedio o real. Potencia entregada a, y disipada por, lacarga durante un ciclo completo.Potencia aparente. Potencia entregada a una carga sin considerar losefectos de un ángulo de factor de potencia de la carga. Estádeterminada únicamente por el producto del voltaje y la corrienteterminales de la carga.Potencia promedio (real). Potencia entregada disipada en forma decalor por una red o sistema.Potencia reactiva. Potencia asociada con elementos reactivos queproporciona una medida de la energía asociada con el establecimientode campos magnéticos y eléctricos de elementos inductivos ycapacitivos, respectivamente.Primario. Bobina o devanado donde normalmente se aplica la fuentede energía eléctrica.Radián (rad). Unidad de medición utilizada para definir un segmentoparticular de un círculo. Un radián es aproximadamente igual a 57.3°;2 rad equivalen a 360°.Razón de transformación (a). La razón de vueltas del primario alsecundario de un transformador.Relación de fase. Indicación de cuál de dos formas de onda seadelanta o retrasa con respecto a la otra, y por cuántos grados oradianes.Reactancia. Oposición de un inductor o un capacitor al flujo de cargaque se genera en el intercambio constante de energía entre el circuito yel campo magnético de un inductor o el campo eléctrico de un capacitor.Recíproco. Formato definido por 1 dividido entre el número complejo.Red de ca en serie-paralelo. Combinación de ramas en serie y enparalelo dentro de la misma configuración de red. Cada rama puedecontener cualquier número de elementos cuya impedancia esdependiente de la frecuencia aplicada.Red escalera. Combinación repetiva de ramas en serie y en paraleloque tiene la apariencia de una escalera.Red puente. Configuración de red que tiene la apariencia de undiamante y en la cual no existen dos ramas en serie o en paralelo.Regla del divisor de corriente. Método por el cual la corriente através de cualquiera de dos ramas en paralelo se puede determinar en

una red de ca sin tener que calcular primero el voltaje que pasa por lasramas paralelas.Regla del divisor de voltaje. Método por el cual el voltaje en unelemento de una serie de elementos dentro de una red de ca se puededeterminar sin tener que calcular primero la corriente que pasa por loselementos.Resistencia efectiva. Valor de resistencia que incluye los efectos depérdidas por radiación, efecto de superficie, corrientes de fuga ypérdidas por histéresis.Resonancia. Condición establecida por la aplicación de una frecuenciaen particular (la frecuencia de resonancia) a una red R-L-C en serie o enparalelo. La transferencia de potencia al sistema es un máximo, y, parafrecuencias por arriba y abajo, la transferencia de potencia cae a nivelesconsiderablemente menores.Secuencia de fase. El orden en que los voltajes senoidales generadosde un generador polifásico afectarán la carga a la que estén aplicados.Secundario. Bobina o devanado donde normalmente se aplica lacarga.Selectividad. Una característica de las redes resonantes relacionadasdirectamente con el ancho de banda del sistema resonante. Unaselectividad alta está asociada con un ancho de banda pequeño (factorQ alto), y una selectividad baja se asocia con anchos de banda grandes(Q bajo).Susceptancia. Medida de qué tan “susceptible” es un elemento al pasode corriente a través de él. Se mide en siemens, que se abrevia con S,y se presenta mediante la letra mayúscula B.Teorema de máxima transferencia de potencia. Teorema utilizadopara determinar la impedancia de carga necesaria que asegure unapotencia máxima hacia la carga.Teorema de Millman. Método que utiliza conversiones de fuente devoltaje a corriente que permitirán la determinación de variablesdesconocidas en una red multilazos.Teorema de Norton. Teorema que permite la reducción de cualquierred lineal de ca de dos terminales a una que tenga una sola fuente decorriente e impedancia enparalelo. La configuración resultante podrá ser utilizada entonces paradeterminar una corriente o un voltaje particulares en la red original, opara examinar los efectos de una parte específica de la red sobre unavariable en particular.Teorema de reciprocidad. Este teorema establece que para redes deuna sola fuente, la magnitud de la corriente en cualquier rama de la red–debida a una sola fuente de voltaje en cualquier otro lugar de la red-

será igual a la magnitud de la corriente a través de la rama en la que lafuente en un principio se localizaba si la fuente está colocada en la ramadonde la corriente fue originalmente medida.Transformador con derivación central. Transformador que tieneuna conexión adicional entre las terminales de los devanados primario osecundario.Transformadores de carga múltiple. Transformadores que tienenmás de una carga conectada al devanado o devanados secundarios.Transformador de elevación. Transformador cuyo voltaje en elsecundario es mayor que su voltaje en el primario. La magnitud de larazón de transformación a es menor que 1.Transformador de disminución. Transformador cuyo voltaje en elsecundario es menor que su voltaje en el primario. La razón detransformación a es mayor que 1.Valor efectivo. Valor de cd equivalente de cualquier voltaje o corrientealternante.Valor instantáneo. Magnitud de una forma de onda en cualquierinstante, denotada por letras minúsculas.Valor pico. Valor máximo de una forma de onda, denotado por letrasmayúsculas.Valor pico a pico. Magnitud de la excursión total de una señal desdeel pico negativo hasta el positivo. Suma de los valores absolutos de losvalores pico positivo y negativo.Valor promedio. Nivel de una forma de onda definido mediante lacondición de que el área incluida por la curva situada encima de estenivel sea exactamente igual al área incluida por la curva debajo de estenivel.Valor (rms) (raíz cuadrático medio). Valor efectivo o la raízcuadrada del valor cuadrático medio de una forma de onda.Velocidad angular. Velocidad con la que un vector radial que proyectauna función senoidal rota sobre su eje.Voltaje de fase. Voltaje que aparece entre la línea y el punto neutrode un generador conectado en Y y de línea a línea en un generadorconectado en .Voltaje de línea. Diferencia de potencial que existe entre las líneas decualquier sistema monofásico o polifásico.VOM. Multímetro con la capacidad de medir resistencia y niveles decorriente y voltaje de ca y cd.