Análisis M

atemático 2

UN

A C

UID

AD

OSA

SELE

CC

IÓN

DE

EJE

RC

ICIO

S RE

SUE

LTOS

MA

RTÍN

MA

ULH

AR

DT

CA

PÍTULO

1

Geom

etría del Plano.

El plano y el espacio constituyen el lugar geom

étrico sobre el cual vamos a trabajar

en casi todo este libro y donde se aplican los

teoremas

integrales en

los cuales

culmina esta m

ateria. La descripción del plano en coordenadas polares constituye una

herramienta

fundamental

para resolver m

uchos problemas.

CO

NTE

NID

OS

1.Conjuntos de puntos en R

2.

2.Inecuaciones.

3.R

epresentación geométrica.

SE

CC

IÓN

I

Coordenadas Cartesianas.

Esta sección es extremadam

ente sencilla y no debería representar m

ayor dificultad para el lector. Trabajarem

os sólo aquellos problemas en los cuales el

lector pueda

tener alguna

dificultad. Si

el lector

considera

obvio su

conten

ido puede

pasar directam

ente a la siguiente sección.

2

Problemas.

1. Describir m

ediante un gráfico las regiones planas descriptas por :

(a) A

={(x,y)∈

R2:x 2−

2x+y 24

−y≤

16}

(b) B

={(x,y)∈

R2:5sinh(x)<

y<3cosh(x)}

(c) C

={(x,y)∈

R2:sen(x)<

12 }

Solución.

(a) Un sim

ple completam

iento de cuadrados permite

identificar claramente de que se trata. En efecto

x 2−

2x+y 24

−y

=(x−

1) 2+( y2

−1) 2−

2

Luego el conjunto A se describe por la inecuación

(x−1) 2+

( y2−

1) 2≤18

Para poder realizar el gráfico aproxim

ado conviene escribirla en la form

a

(x−1) 2

18+

(y−2) 2

72≤

1

lo cual se representa geométricam

ente por el interior y el borde de una elipse con centro en el punto P

=(1,2) y

semiejes

18 y 72.

-20-15

-10-5

05

1015

20

-10 -5 5 10

3

(b) Este ejercicio es muy sencillo una vez que uno

recuerda las definiciones de las funciones hiperbólicas. R

ecordamos que

sinh(x)=

ex−

e −x

2 cosh(x)=

ex+

e −x

2

D

e esta definición observamos que la ordenada de

la función sinh(x) está siempre debajo de la ordenada

de la función cosh(x) para cada abscisa. Pero a nosotros nos interesa averiguar, ¿para que abscisas

5sinh(x)<3cosh(x)?

Esto

es, luego

de sim

plificar los

“2 ” de

los denom

inadores,

5ex−

5e −x<3e

x+3e −x

e 2x<

4

x<ln(2) .

El gráfico del conjunto B resulta entonces :

-5-4

-3-2

-10

12

34

5

-10 -5 5 10

El área comprend

ida entre estas

dos funciones hasta x =

ln(2) es

el gráfico d

el conjunto B

(c) Este ítem es un poco m

ás interesante que los dos anteriores. Es preciso hallar los (x,y)∈

R2 tales que

sen(x)<

12 .

Supongam

os prim

ero que x∈

[0,2π]. Entonces,

salvo q

ue

π6≤

x≤

56 π se

verificará n

uestra

desigualdad. Es decir nuestra desigualdad se verifica

en [0, π6 )∪( 56 π,2π] y entonces puede parecer errónea-

mente que nuestra solución es una unión de intervalos. 4

Nuestra solución es el conjunto de los (x,y) que la

satisfacen, no los x que la satisfacen. Por lo cual nuestra solución será un subconjunto del plano, no de la recta. D

icho conjunto se describe analíticamente así :

C=

{(x,y):x∈...( −76

π, π6 )∪( 56 π, 136

π)∪( 176

π, 256π)∪

...}.

Su gráfico es el siguiente.

-5-2.5

02.5

57.5

1012.5

-3 -2 -1 1 2 3

5

CO

NTE

NID

OS

1.Curvas en coordenadas polares.

2.D

escripción de conjuntos en coordenadas polares.

SEC

CIÓ

N 2

Coordenadas Polares

Esta sección es la primera del libro que no debe

subestimarse.

El m

otivo de

la dificultad

es que

debemos pensar el plano de otra m

anera a como

estamos acostum

brados. Debem

os identificar un punto del plano no por sus proyecciones sobre los ejes, sino por su distancia al origen, lo cual nos sitúa en una circunferencia, y luego por el ángulo que se form

a entre el eje x y el rayo que sale desde el origen hacia el punto. Los ejercicios seleccionados tienen por objetivo fam

iliarizarnos con estas ideas.

6

Problemas.

1. Trazar aproximadam

ente las curvas en coordenadas polares dadas por :

(a) r=2 0

<θ

<π

(b) θ=

π6

(c) r=2

cos(θ),0

≤θ

≤π2 .

Solución.

(a)Recordam

os que las coordenadas cartesianas se obtienen de las polares por las fórm

ulas

x

=r

cos(θ)

y

=r

sen(θ)

de lo cual se obtiene elevando al cuadrado ambos

miem

bros de cada ecuación y sumando m

iembro a

miem

bro que

x 2+

y 2=r 2.

En

nuestro caso

r=2 ,

así que

se obtiene

la ecuación de una circunferencia de radio 2 .

x 2+

y 2=4 .

La

solución anterior

no es

la m

ejor para

desarrollar el pensamiento en coordenadas polares.

Incidentalmente hay una pérdida de la variación de θ

que no se está teniendo en cuenta. Lo que hicimos fue

pasar la ecuación que nos dieron en coordenadas polares a las coordenadas cartesianas. Veam

os como

llegar al mism

o resultado pensando en coordenadas polares.

U

na ecuación de la forma r=

f(θ) define al radio en función del ángulo de la m

isma m

anera que una ecuación de la form

a y=

f(x) define la ordenada para cada abscisa. Entonces r=

2 nos dice que el radio es 2 para cada 0

<θ

<π. El gráfico resulta el siguiente, don-

de el lector debe dirigir su atención a que el plano está siendo

pensado en

coorden

adas

polares

y no

cartesianas.

A lo largo del curso utilizarem

os el color amarillo

en los gráficos cuando el plano tenga las coordenadas 7

polares y conservaremos el clásico blanco para las

coordenadas cartesianas.

-3.2-2.4

-1.6-0.8

00.8

1.62.4

3.2

-1.6

-0.8

0.8

1.60.5π

π

1.5π

(b)D

e las ecuaciones

x=

rcos(θ)

y=

rsen(θ)

deducimos que, excepto que algún denom

inador se anule

tg(θ)=yx .

Luego introduciendo el valor de θ que nos han dado obtenem

os

tg( π6 )=13

=yx

o lo que es lo mism

o

y

=x3

.

Pero

si procedem

os así

estamos

nuevamente

pensando el

plano el

coordenadas cartesianas

y podríam

os nuevamente agregar puntos que en la curva

polar (en coordenadas polares) no estaban. Volviendo a m

editar en coordenadas polares θ=

π6 representa el

ángulo igual a una constante. Es decir, representa una sem

irrecta. Dicha sem

irrecta la vemos en el siguiente

gráfico.

8

-4.8-4

-3.2-2.4

-1.6-0.8

00.8

1.62.4

3.24

4.8

-2.4

-1.6

-0.8

0.8

1.6

2.40.5π

π

1.5π

(c)Este ítem

es el más interesante del ejercicio, porque

verdaderamente el radio depende del ángulo com

o indica la fórm

ula r=2

cos(θ) . Si pasamos de esta

ecuación a

la correspondiente

en cartesianas

teniendo en cuenta que x=

rcos(θ)

encontramos

x 2+y 2=

2x

x 2+y 2

o lo que es lo mism

o

x 2+

y 2=2x

que luego de un completam

iento de cuadrados

(x−

1) 2+y 2=

1.

Esto representa una circunferencia de radio 1 con centro en el punto P

=(1,0).

Pero ya discutim

os los inconvenientes del paso a la ligera de las coordenadas cartesianas a las polares sin tener en cuenta el dom

inio de variación de las variables en cuestión. Si calculam

os para distintos valores de θ el valor

de r

obtendremos,

por ejem

plo, que

si θ

=0,

r=2 . Si θ

=π6 ,

r=3 . Si θ

=π4 ,

r=2 .

E

l gráfico

qu

e resu

lta es

enton

ces la

semicircunferencia

siguiente donde

volvemos

a graficar en am

arillo puesto que el plano está siendo pensado en coordenadas polares.

Podés ver una solución on-line clickeando en el

siguiente aquí.

9

-2.4-2

-1.6-1.2

-0.8-0.4

00.4

0.81.2

1.62

2.4

-1.2

-0.8

-0.4

0.4

0.8

1.2

0.25π

0.5π

0.75π

π

1.25π

1.5π

1.75π

2. Describir m

ediante inecuaciones en coordenadas cartesianas

las regiones

planas descriptas,

en coordenadas polares, por

(a) 1

<r≤

2,π6

≤θ

<π3

(b) r≤

4sen(θ),

θ∈

[0,π] .

Solución.

(a)En

los casos

en que

haya que

pasar de

las coordenadas polares a las cartesianas realizar el gráfico

previamente

puede resultar

muy

útil

porque ya se tendrá una idea de como describirlo

en coordenadas cartesianas.

Si r varía entre 1 y 2 es evidente que se trata de un

anillo y si simultáneam

ente el ángulo varía entre π6 y π3el anillo se reduce a un sector circular.

-3-2.5

-2-1.5

-1-0.5

00.5

11.5

22.5

3

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5 1 1.5 20.5π

π

1.5π

La descripción en coordenadas cartesianas es m

uy

sencilla ahora pues al ser r=x 2+

y 2 obtenemos

1

<x 2+

y 2≤4

10

y al ser tg(θ)=yx obtenem

os

tg( π6 )≤tg(θ)<

tg( π3 )

o sea

13

≤yx

<3

donde hem

os usado

que la

función tangente

es creciente en el intervalo considerado por lo cual se conserva la desigualdad. La respuesta es entonces el sistem

a de inecuaciones

1<

x 2+y 2≤

4x3

≤y<

3x

(b)Ya conocem

os esta idea del ejercicio 1 (c). De

r≤

4sen(θ)

obtenemos

x 2+y 2≤

4y

x 2+y 2

es decir

x 2+

(y−2) 2≤

4.

-6-5

-4-3

-2-1

01

23

45

6

-2.5

2.5

0.25π

0.5π

0.75π

π

1.25π

1.5π

1.75π

(3)D

escribir mediante inecuaciones en coordenadas

polares la región plana descripta por

R=

{(x,y)∈R

2:x 2+y 2−

2y≤0,

y>∣x∣}.

11

Solución.

El gráfico resulta sencillamente

-3.2-2.4

-1.6-0.8

00.8

1.62.4

3.2

-1.6

-0.8

0.8

1.6

La prim

era inecuación re-escrita

x 2+y 2≤

2y

se describe en coordenadas polares

r 2≤2

rsen(θ)

o simplificando

r≤2

sen(θ) .

Y la segunda define trivialm

ente la variación del ángulo

π4<

θ<

3π4.

La

respuesta final

es entonces

el sistem

a de

inecuaciones

{0

<r≤

2sen(θ)π4

<θ

<3π4

O

bsérvese que el punto (0,0)∉R por eso hem

os escrito en la prim

era inecuación 0<

r .

12