LA EXPOSICION DEL TEOREMA FUNDAMENTALDE LA RECTA PROYECTIVA EN LA OBRA

FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRIA PROYECTIVASUPERIOR DE JULIO REY PASTOR*

Ana Milán GascaUniversidad de Zaragoza

Los primeros trabajos de investigación matemática de Julio Rey Pastor, esdecir, su Tesis Doctoral y algunas publicaciones derivadas de ella l , tratanproblemas de Geometría proyectiva en la línea de las obras de Eduardo Torroja

El tema de este trabajo fue planteado por el profesor Luis Español en uno de suscursos de doctorado, impartido en la Universidad de Zaragoza en el curso 198 6-87 .

1. Sobre algunas cuárticas de segunda especie y aplicación a la cuestión 10,• Anales de la Facultad de Ciencias de Zaragoza, 3 (1909), 62-67 [firmado con

fecha 2-II-1909]. Correspondencia de figuras elementales, con aplicación alestudio de las figuras que engendran, Tesis Doctoral, Universidad de Madrid, 96p., 1910 [leída el 5-VI-1909]. La involución cíclica en las figuras de 1', 2' y 34categoría, comunicación al II Congreso de la Asociación Española para elProgreso de las Ciencias (Valencia, 1910), tomo II, 1910, 33-46. Cuárticas de1 y 24 especie sobre cuádricas alabeadas, comunicación al II Congreso de laAsociación Española para el Progreso de las Ciencias (Valencia, 1910), tomoII, 1910, 47-68.

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(1847-1918)2. Torroja, catedrático de enorme influencia en torno al cambio de sigloen la Universidad Central, profesor de Rey Pastor en la asignatura de doctoradoEstudios Superiores de Geometría y presidente del tribunal calificador de su Tesis,se ocupó en sus dos tratados principales de temas de Geometría proyectiva según el/atamiento de Karl G. C. von Staudt (1798-1867)3.

En el curso 1911-1912 Rey Pastor viajó por vez primera a Alemania,pensionado por la Junta para Ampliación de Estudios e Investigaciones Científicas.La estancia de Rey Pastor en el extranjero hizo posible su acceso a numerosasteorías matemáticas, algunas ya clásicas aunque no introducidas todavía en Espatia4.En febrero de 1912 envió a la Junta desde Berlín un informe sobre sus actividadesdurante el semestre de invierno; había asistido entre otros a un curso sobreSinthetische Geometrie (Geometría sintética), impartido por el profesor HermannA. Schwarz (1843-1921), sobre cuyo contenido escribía5:

2. Tratado de la geometría de la posición y sus aplicaciones a la geometría de lamedida, Madrid, G. Juste, 1899 y Teoría geométrica de las líneas alabeadas ylas superficies desarrollables, Madrid, Fortanet, 1904. Ver ALVAREZ UDE, J.G.(1919) Don Eduardo Torroja, Revista Matemática Hispano-Americana, I, 1-13.

3. Sobre el ambiente científico en la pequeña comunidad matemática española entomo al cambio de siglo y, en particular, el núcleo de la Universidad Central,ver HORMIGON, M. (1983) García de Galdeano y la modernización de lageometría en España. Dynamis, 3, 199-229, especialmente el párrafo titulado"La geometría oficial". Alvarez Ude, en su comentario al Programa y resumende las lecciones de Geometría descriptiva, explicadas en la Universidad Centralpor D. Eduardo Torroja (Madrid, litografiado, xxxviii + 328 p. y 10 láminas,1888), señala que Torroja extendió en nuestro país la obra de Staudt,contribuyendo a que, dentro de nuestra penuria científica, sea en Geometríadonde menos alejados hayamos estado del movimiento científico de otrasnaciones (op. cit., p. 8). Discípulos de Torroja fueron Cecilio Jiménez Rueda(1858-1950), Miguel Vegas (1865-1943), José Gabriel Alvarez Ude (1876-1958) y el propio Rey Pastor, quien, en el Preliminar de su tesis, llama aTorroja mi querido maestro.

4. Rey Pastor se preocupó con un interés digno de encomio de la difusión de estasteorías en España, ocupándose de una labor de alta divulgación que le fuesiempre característica. En este trabajo se estudia su aproximación a losfundamentos de la Geometría; otro ejemplo importante es la Teoría de larepresentación conforme, que fue objeto de unas célebres conferencias en elInstitut d'Estudis Catalans.

5. Informe adjunto a la carta de 29 de febrero de 1912, documentos conservados enel archivo de la Junta para Ampliación de Estudios e InvestigacionesCientíficas depositado en el CSIC (Madrid). Los subrayados son del original.

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"El procedimiento deductivo de la Geometría Proyectiva empleado por el Prof.Schwarz, modificación del fundado por Dandelin, difiere radicalmente del métodode Staudt, generalmente seguido en España; y evita algunos de losinconvenientes que éste ofrece para la enseñanza. He aquí un brevísimo resumendel mismo, que creemos desconocido en España:

Comienza por estudiar ligeramente el hiperboloide de revolución, demostrandosu doble genereción rectilínea. Del sistema de tres rayos de cada sistema deduce,por proyección sobre el plano, las propiedades del Netzsechskanten, así comodel Netzachtkanten. De estos resultan sencillísimamente las configuraciones delexágono y de Pascal. Esta última sirve para fundamentar toda la geometría de laposición eludiendo el teorema fundamental de Staudt, así como los procesosinfinitos que éste utiliza. Despues, la marcha del curso es casi exactamente laseñalada por Steiner."

Podemos constatar el interés de Rey Pastor por la existencia de métodos paraedificar la Geometría proyectiva distintos del introducido por Staudt, que era el queél había manejado en España. El geómetra alemán, que pretendía liberar estadisciplina de cualquier consideración de tipo métrico, reconstruyó en su Geometrieder Lage (1847) todo el edificio geométrico desde sus primeras premisas. Paradefinir la proyectividad, utiliza el concepto de cuaterna armónica (la construccióndel cuadrilátero completo permite, dados tres puntos, construir el cuarto armónicosólo mediante uniones de puntos e intersecciones de rectas). Así, dos rectas se dicenproyectivas si entre ellas hay definida una correspondencia que conserva cuaternasarmónicas. Para seguir adelante en su estudio, Staudt demuestra lo que se hallamado Teorema fundamental de la Geometría proyectiva o Teorema de Staudt: unaproyectividad de la recta en sí misma que tiene tres puntos dobles es la identidad,esto es, la transformación proyectiva está completamente determinada conociendolas imágenes de tres puntos. Como señala Rey Pastor, Staudt utiliza en lademostración procesos infinitos, es decir, en nuestro lenguaje, está involucrado elproblema de la continuidad de la recta real; la utilización de esta propiedad de formaintuitiva y sin una formulación conceptualmente nítida de su significado había dadolugar a diversas cuestiones de fundamentación puestas de manifiesto también, en elcampo del Análisis, en los estudios sobre axiomatización de los números reales(Cantor, Dedekind). Las investigaciones consecuentes a la obra de Staudt aclararonprogresivamente el significado de otros teoremas, cuya importancia había sidoseñalada desde los primeros estudios de Geometría proyeetiva y que se revelaroncomo piezas de la fundamentación de las teorías geométricas, particularmente elteorema de Desargues y el teorema de Pappus, caso particular del teorema de Pascalal que hace referencia Rey Pastor6 . A partir de los trabajos de Felix Klein (1849-

6. El teorema de Desargues, publicado en 1648, se refiere a la configuración dedos triángulos perspectivos y afirma que los puntos de corte de pares de lados

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1925), Moritz Pasch (1843-1930) y otros matemáticos, y durante las dos últimasdécadas del siglo XIX, se llevó a cabo un detallado análisis sobre los axiomas yprincipios fundantes de la Geometría, que hizo posible introducir en esta disciplinael mismo rigor que había alcanzado el Análisis y clarificó las interrelaciones entrelos diversos tipos de geometrías -incluyendo las espectaculares geometrías deLobachevsky, Bolyai y Riemann- que habían surgido a lo largo del siglo. En estetrabajo examinaremos cómo Rey Pastor asimiló estas teorías y cómo las dio aconocer en España a través de un ejemplo significativo: la demostración delteorema fundamental de Staudt -que había ocupado extensamente a la literaturamatemática en el proceso de rigorización de la Geometría proyectiva- tal y como lapresenta en su obra Fundamentos de la Geometría proyectiva superior (FGPS).

Los Fundamentos de la Geometría proyectiva superior

Rey Pastor conservaba un gran interés, coherente con su formación, por losestudios de Geometría algebraica con métodos de tipo sintético, y en esta mismaépoca elaboró uno de sus trabajos principales, dedicado a la teoría de la polaridad7.Había trabajado también, en colaboración con uno de sus antiguos profesores en laUniversidad de Zaragoza, José Gabriel Alvarez Ude, en una traducción del libro dePasch,Vorlesungen über neuere Geometrie (1882), donde se presenta por vezprimera un sistema axiomático para la Geometría proyectiva, aunque todavía confuertes apoyaturas en la intuición. Probablemente esta traducción estaba yaterminada en octubre de 1911, lo cual le pudo resultar un- punto de partida

opuestos están alineados. Este teorema es consecuencia directa de los axiomasde incidencia en tres o más dimensiones, pero existen planos nodesarguesianos. De hecho, un plano proyectivo es desarguesiano si y sólo si sepueden introducir coordenadas mediante un cuerpo no conmutativo. El teoremade Pascal, publicado por este autor en su Essay sur les coniques (1640), serefiere a la configuración del hexágono inscrito en una cónica y afirma que lostres pares de lados opuestos se cortan en puntos que están alineados. Un casoparticular de este teorema, cuando la cónica degenera en un par de rectas, es elconocido como teorema de Pappus (proposición 139 del libro VII de laColección). Un espacio proyectivo desarguesiano es pappianno si puede sercoordinatizado mediante un cuerpo conmutativo. Cuando se admite lacontinuidad se está trabajando implícitamente sobre el cuerpo de los númerosreales.

7. REY PASTOR, J. (1929) Teoría geométrica de la polaridad en las figuras deprimera y segunda categoría, Madrid, Real Academia de Ciencias, 294 p. Estetrabajo fue premiado por la Real Academia de Ciencias de Madrid en el concursoordinario de 1912.

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importante para asimilar las ideas de autores alemanes sobre axiomatización de lageometría8.

Durante su estancia en Gotinga, desde julio de 1913, gracias a una segundapensión, Rey Pastor se centró en los estudios de fundamentos de la Geometríaproyectiva, como señala él mismo en la petición de prórroga enviada a la Juntadesde Alemania en marzo de 1914, donde informa además de que piensa presentaruna comunicación sobre Geometría proyectiva superior a un congreso dematemáticos alemanes a celebrar en Hannover en septiembre9. Las investigacionesde Rey Pastor en este periodo condujeron a la publicación en 1916 de los FGPS.

En la petición citada explicaba también que emprendía con esta fecha un viajea Italia para aprovechar este mes y medio asistiendo a las clases de los profesores

_Enriques y Pincherele en Bolonia, Bertini en Turín y Pascal en Nápoles. Asímismo pensaba visitar al profesor Schur en Estrasburgo, para hacerle unaobservación sobre un teorema de su libro. Quizá la consulta de la correspondenciaparticular de Rey Pastor podría aclarar sus actividades durante la prórroga de cuatromeses y medio de la pensión (que le fue finalmente condédida por R. O. de 20-V-1914, con informe favorable de Cecilio Jiménez Rueda) hasta su regreso a España.Por una carta a Ignacio Bolívar una vez en Madrid, sabemos que al comenzar laguerra decidió quedarse en Gotinga (aprovechando la ocasión, pues los profesores,desocupados, podían atenderle mejor) hasta mitad de septiembre, regresandoentonces por Italia -para agotar así la prórroga concedida- de donde salió en barco el

8. PASCH, M. (1913) Lecciones de Geometría moderna, Madrid, Junta paraAmpliación de Estudios, 288 p. Para introducir la continuidad, Pasch maneja elaxioma de Arquímedes, cuya independencia había sido demostrada por Stoli en1882. Ver TOEPELL, M. (1986) On the origins of David Hilbert's "Grundlagender Geometrie", Archive for the History of Exact Sciences, 35, 333.

9. Instancia de 15 de marzo de 1914 conservada en el Archivo JAE, acompañadade un informe de Trabajos realizados por el pensionado D. Julio Rey Pastor enel plazo de 8 meses transcurridos desde 15 de julio a 15 de marzo. El congresoal que hace mención Rey Pastor debe ser una reunión de médicos y científicosalemanes a cuya sección de Matemáticas invitaba a participar la asociación dematemáticos alemanes ("Einladung zur 86. Ver'sammlung DeutscherNaturforscher und Árzte. Hannover, vom 20. bis 26. September 1914",Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung,23 (1914), 69-71); ReyPastor figura como miembro de esta sociedad científica desde 1913. En elinforme de trabajos realizados menciona una investigación "Sobre construcciónaxiomática de la geometría, sin axiomas del movimiento" (no publicadotodavía), que quizá corresponda a la comunicación citada.

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30 de septiembre m. Es especialmente importante la influencia en los FGPS de dosde los matemáticos citados y sus obras respectivas dedicadas a fundamentos degeometría: Federigo Enriques (1871-1946), autor de las Lezioni di Geometriaproiettiva y Friedrich H. Schur (1856-1932), autor de la obra Grundlagen derGeometrie 11 . Su relación con Enriques continuó más adelante, en parte por mediode su discípulo Olegario Fernández Baños, quien desarrolló en su tesis algunostemas presentes en los FGPS.

Una referencia a los FGPS figura ya en la memoria de la Junta paraAmpliación de Estudios correspondiente a 1912 y 1913, donde se incluye entre lostrabajos presentados por Rey Pastor durante su segunda pensión y se señala quehabía sido premiado por la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturalesde Madrid 12 . En 1915 Rey Pastor dirigió una carta a José Castillejo en relación conla publicación de la obra13:

"Hace varios años vengo trabajando en una obra que aspira a reflejar el estadoactual de la Geometría proyectiva superior, la cual contendrá sistematizados enun plano original los resultados obtenidos por los geómetras hasta el momentoactual, con la bibliografía completa de su literatura. Una pequeña parte de losresultados nuevos en ella obtenidos, presenté en forma de memoria a laAcademia de Ciencias, el año pasado, obteniendo el premio Duque de Alba.

Durante mi última estancia en Alemania e Italia di gran impulso a esta obra, conla ayuda de varios geómetras, y a mi regreso he continuado esta labor en elCentro que la Junta creó en Marzo; este verano ultimaré el primero de los dostomos (de unas 400 pg. en 44) de que constará el libro. En este primer tomofigurarán entre otras cuestiones el contenido más esencial de la memoria antes

10. Se conservan dos cartas de Rey Pastor en las que explica las peripecias de suregreso a España y el final de la pensión, una a Ignacio Bolívar (sin fecha) yotra a Castillejo de 1 4 de noviembre.

11. En los FGPS Rey Pastor cita la tercera edición de la primera obra, aparecida en1909. Ver notas 27 y 31. Sobre el teorema citado de Schur publicó másadelante un trabajo en Argentina: REY PASTOR, J. (1918) Un teorema erróneoen la Geometría no euclidiana del triángulo, Contribución al estudio de lasCiencias Físicas y Matemáticas (Serie matemático-física), 2, entrega 4, 251-259.

12. MEMORIA correspondiente a los años 1912 y 1913, Madrid, Junta paraAmpliación de Estudios, 1914, p. 133.

13. La carta (sin fecha), conservada en el Archivo de la JAE, comienza: "pasadomañana salgo para Barcelona, invitado por el Institut de Ciencias para dar uncursillo" (subrayado en el original). Rey Pastor escribe después: "En mipróxima excursión pensaba buscar en Barcelona editor para mi obra; pero antesde hacerlo creo un deber ofrecerla a la Junta (...)".

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citada (cuya publicación independiente estoy comenzando ahora) modificados yexpuestos con arreglo a este plan mucho más vasto".

Se trata por lo tanto de una obra que conjuga al mismo tiempo el carácterdidáctico (y de hecho fue utilizada abundantemente como libro de texto) y de trabajóinvestigador, presentando sistematizadamente los resultados clásicos peroincluyendo algunos originales de Rey Pastor. En la introducción de los FGPSexpone sus intenciones -rompiendo con la tradicional limitación de los profesoresuniversitarios españoles a la enseñanza de sus propios manuales- en estos términos(p. XXI):

"No siendo éste un libro de texto, no se busquen en él detalles que el lectorpuede completar; en muchas cuestiones ponemos solamente los jalonesnecesarios para que alguien emprenda la construcción completa; por esotitulamos Fundamentos y no Tratado"

Este carácter produce algunos desajustes que no dejan de detectarse en elfragmento estudiado en este trabajo. Rey Pastor expone también en la introducciónsu visión histórica del desarrollo de la geometría, y pone de relieve el papeldesempeñado por Klein, de quien, en su opinión, es obra el impulso másformidable que ha recibido la geometría después de Staudt. Señala Rey Pastor" :

"Klein inicia en geometría obra análoga a la de los analistas de la segunda mitaddel siglo, que terminan la obra comenzada por Abel y Cauchy. En su Memoriafundamental sobre la Geometría no euclidiana, descubre el error de los quejuzgaban terminada la revisión de Euclides, cuando no habían hecho más quefijarse en una sola de sus proposiciones fundamentales. 'Investigacionesanálogas - proclama Klein- pueden y deben emprenderse respecto de las restanteshipótesis que sirven de base a la geometría. La rama no euclidiana no es sino unprimer paso en una dirección mucho más general...'. Insistiendo en esta ideaseñala a los geómetras multitud de proposiciones análogas a la V de Euclides,antes admitida sin demostración; y ahondando en los cimientos de la Geometríaproyectiva, descubre que el edificio de Staudt está construido en el aire, pues dejasin demostrar el teorema fundamental".

14. FGPS, pp. XVII-XVIII. La Memoria fundamental sobre la Geometría noeuclidiana citada por Rey Pastor corresponde a los trabajos publicados porKlein en los Mathematische Annalen. Ver nota 19. Rey Pastor destaca dosaspectos de la obra de Klein: la fundación axiomática de la geometría, de uno decuyos problemas se ocupa este trabajo, y la sistematización de la geometría pormedio del programa de Erlangen (FGPS, p. XVI). La difusión de la obra deKlein, tanto en España como en Argentina, ocupó intensamente a Rey Pastoren los años 1915-1920.

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Este problema fue abordado por Rey Pastor en sus FGPS, donde expone susreflexiones históricas sobre el tema y propone al mismo tiempo su propiademostración15.

El Teorema fundamental de la recta proyectiva

En su exposición histórica comienza Rey Pastor por señalar las definicionesde proyectividad empleadas por Jean-Victor Poncelet (1788-1867) y por Staudt.Para Poncelet, dos figuras son homólogas (proyectivas) cuando se deducen una deotra mediante un número finito de proyecciones (centrales) y secciones. Esta ideaestaba ya contenida en los trabajos de G. Desargues y está muy conectada, desde susorígenes, con el espacio físico. En la geometría "ordinaria" de Poncelet, se tieneque una tal correspondencia de la recta viene completamente determinada si seconocen las imágenes de tres puntos, esto es, un sistema de referencia proyectivo16.Rey Pastor llama a este teorema, análogo al teorema de Staudt con una definiciónmás débil de proyectividad, teorema fundamental en forma restringida. Lademostración de este resultado utiliza los teoremas de Desargues y de Pascal, pero

15. FGPS, pp. 196-205. Los comentarios históricos figuran en pp. 196-203 y lademostración en pp. 203-205.

16. Field muestra la fuerte relación de las ideas de Desargues con- los estudios deperspectiva que arrancan de la pintura renacentista en su trabajo FIELD, J. V.(1987) Linear perspective and the projective geometry of Girard Desargues,Nuncius, 2, 3-40. En p. 21 señala:"We have already noted the similarity of subject matter in Desargues' treatiseon perspective and in the first part of his treatise on conics. In fact, this partof the Rough Draft on Conics contains a detailed investigation of themathematical properties of a scheme which is formally equivalent to that foundin perspective, since what it discusses is the relation between properties ofranges of points defmed by intersections of the fines of a pencil with varioustransverse lines".

Poncelet describe así en la introducción del Traité des proprietés projectivesdes figures el ámbito geométrico de su trabajo:"Au reste, ayant principalement pour objet l'examen des propriétés des figuresdécrites sur un plan, et notamment de celles oü n'entrent que des systames delignes droites et de sections coniques, qui offrent par elles-mames un assezvaste sujet de recherches, et sont d'ailleurs les seules employées dans les artsfondés sur le dessin linéaire, nous ferons toujours en sorte de ne jamais perdrede vue ce but veritable de notre travail, el de ne recueillir sur notre route que desvérités qui s'y rattachent de la manilre plus intime". PONCELET, V. (1866)Traité des proprietés projectives des figures, 2` ed., Paris, Gauthiers-Villars,p.2. Ver a este respecto el trabajo de M. Otero, Algunas observaciones sobre eldebilitamiento de la geometría física, Diánoia (1980), 57-67.

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una tal concepción del espacio ambiente (figuras descritas sobre un plano inmersoen un espacio y, en definitiva, una geometría implícitamente construída sobre elcuerpo real) oculta este hecho porque los teoremas citados son en este caso ciertos.

La proyeetividad así definida conserva las cuaternas armónicas y, en general, larazón doble. Este último invariante proyectivo fue estudiado por Michel Chasles(1793-1880), quien consideró la transformación general, extensible a másdimensiones, entre dos planos,_que lleva puntos a puntos y rectas a rectas. Estatransformación, que llamó homografía, corresponde a la transformación linealgeneral, que incluye a la proyección central y la homología estudiadas porPoncelet1 f.

El primer matemático que intentó separar las propiedades proyectivas de lasmétricas, y por ello, como le gustaba señalar a Rey Pastor, quien pone losprimeros pasos hacia la fundamentación de la Geometría proyectiva, es Staudt. Esteautor utiliza sólo lo que hoy denominamos axiomas de orden o de posición derectas y puntos; renuncia a la razón doble en favor de la cuaterna armónica, para laque existe una construcción geométrica, la dada por el cuadrilátero completo (queaparece ya en el libro 7 de la Colección de Pappus); para probar que estaconstrucción determina unívocamente el cuarto armónico se utiliza el teorema deDesargues. Prueba que es invariante por proyección y define a continuación laproyectividad entre dos figuras de primera categoría (alineaciones de puntos, hacesde rectas, haces de planos): una biyección que conserva cuaternas armónicas.Demuestra entonces que una proyectividad así definida viene determinada tambiénpor tres puntos.

Arthur M. Schoenflies (1853-1928), en el artículo sobre Geometríaproyectiva de la Encyklopddie der matematischen Wissenschaften, señalaba que lasolución dada por Staudt podía ser considerada irreprochable en su época antes deuna discusión en profundidad de los principios fundamentales de la geometría 18. Sinembargo, este teorema iba a producir una gran cantidad de literatura matemática, a

17. Chasles añade la condición de conservar la razón doble, que sin embargo sepuede probar.

18. El artículo Geometrie projektive, terminado en enero de 1909, publicado en eltercer volumen de la Encykloptidie der matematischen Wissenschaften, fuetraducido por A. Tresse para la versión francesa, Encyclopédie des sciencesmathématiques pures et appliquées (ESM), tomo Ill, volumen 2. Esta es laversión del artículo que citaremos en adelante, particularmente los párrafos 17,"La géométrie projective établie, avec Staudt, sur des bases^indépendantes de lagéométrie metrique" (pp. 87-94) y 18, "L'importance fondarnentale desthéorames de disposition" (pp. 94-98) del artículo. Ver ESM, p. 87.

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la que se refiere detenidamente Rey Pastor, recogida en su mayor parte en losMathematische Annalen de Leipzig. En esta revista publicó Klein en los añossetenta una serie de artículos en tomo a geometrías no euclídeas, donde se contienenlas observaciones sobre el teorema de Staudt. El primero de ellos apareció en 1871bajo el título "Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie"; una segundaparte apareció dos años más tarde 19 . En 1874 publicó Klein una adición a estesegundo artículo en la que reproduce algunos comentarios que le habían dirigido porcarta los matemáticos Hieronymus G. Zeuthen (1839-1920) y Jacob Lüroth (1845-1910)20. Finalmente, al cierre de esta década publicó la demostración del teoremafundamental de Gaston Darboux (1842-1917), incluida en una carta que le dirigió elmatemático francés21.

Mario Pieri (1860-1904), en su traducción de la obra de Staudt publicada enTurín en 1889, añade una serie de notas en tomo al teorema fundamental -queaparece como uno más en una lista de teoremas numerados- para completar la partemás oscura de la demostración de Staudt, aunque señalando que, con excepción deeste tema, la obra es de un rigor absoluto22:

"Per eccellenza d'ordine e di metodo e scrupulositá nelle dimostrazioni, glielementi di cui offriamo la traduzioni non sono stati superati da alcun'altra operaconsimile. (...) In un sol luogo del testo, e ciol nella dimostrazione del teoremafondamentale sulla projettivitá (n. 106 della G. d. L.), rendevasi necessario unragionamento piú completo, per rimuovere una giusta objezione sollevata dalKlein; e questo si 1 ottenuto mediante tre diverse note (...), e recanti in sostanzale modificazioni suggerite dallo stesso Klein e dal Darboux, e giá introdotte dalReye nella terza edizione della sua 'Geometria di posizioné".

La exposición en detalle tal y como ha quedado fijada históricamente puedeverse en el citado artículo de la Encykloptaclie. S taudt demuestra un teorema válidopara una recta racional, pues la demostración se apoya en una construcción de los

19. Mathematische Annalen, 4 (1871), 573-625 y 6 (1873), 112-145. Staudtincluía el axioma euclídeo de las paralelas en su construcción de la Geometríaproyectiva. Utilizando algunas ideas de Cayley, Klein demostró que éste eralógicamente independiente de la geometría proyectiva, mostrando que éstaincluye a las geometrías euclídeas y no euclídeas.

20. Mathematische Annalen, 7 (1874), 531-537.21. KLEIN, F. (1880) Ueber die geometrische Definition der Projektivitát auf der

Grundgebildung erster Stufe, Mathematische Annalen, 17, 52-54 y DARBOUX,G. (1880) Sur le théoréme fondamental de la géométrie projective,Mathematische Annalen, 17, 55-61.

22. STAUDT, G. C. C. (1889) Geometria di Posizione, Torino, Fratelli BoccaEditori, p. xxiv. (Esta traducción incluye un estudio introductorio de C. Segre).

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puntos por medio de cuaternas armónicas. Klein señaló la necesidad de introducir unaxioma de continuidad. Zeuthen y Lüroth demostraron entonces que, admitiéndolo,la construcción del cuarto armónico da una sucesión de puntos que penetra en todosegmento de recta (es densa en la recta, todo irracional se puede construir comolimite de esta sucesión). Klein creyó necesario tambien postular la continuidad de latransformación proyectiva, reduciéndola a una hipótesis de orden (la proyectividadconserva el orden). Darboux reformula el problema de Klein23:

"Mais ensuite G. Darboux est alié plus loin et a fait faire á cette discussion unprogrés capital en montrant que cene seconde hypothése, mame sous sa secondeforme, est mutile si on se limite essentiellement á la démonstration de laproposition fondamentale de K. G. Chr. von Staudt, c'est á dire si l'on envisagea priori une relation projective entre deux séries linéaires d'éléments, toutélément de l'une de séries ayant, par hypothése, un élément homologue et unseul dans l'autre série, et si l'on ne se préoccupe pas, avec F. Klein, de la fagondont on peut construire cet élément homologue. En d'autres termes, la secondehypothése de F. Klein, celle de l'ordre, est elle-mame une conséquence d'unerelation projective".

Schoenflies incluye varias demostraciones alternativas del teorema y terminaseñalando une conception nouvellle qui consiste á regarder simplement laproposition fondamentale comme un des postulats de la géométrie 24. En definitiva,estas investigaciones pusieron de manifiesto la existencia de suposiciones previasimplícitas en la demostración de muchos resultados clásicos, no sólo el teorema deStaudt sino también el de Desargues y el de Pascal, puesto que se manejaba unageometría "física"; como señala Schoenflies25:

"Cette question de la possibilité de la démonstration des deux théorames deDesargues et de Pascal regoit naturellement une autre réponse des que l'on admetl'axiome de la congruence, empruntant ainsi á la géométrie métrique une notionétranglre au domaine de la géométrie projective. La démonstration du théorémede Desargues devient alors irunédiate en choisissant par axe d'homologie ladroite de l'infini. Quant au théoréme de Pascal, sa démonstration devientpossible; et on en posséde deux, l'une de F. Schur, l'autre de D. Hilbert".

Además, Hermann Wiener observó que estos teoremas se pueden usar comobase de la geometría, sin introducir axioma de continuidad. Estas ideas fueronaclaradas y elaboradas magistralmente por David Hilbert (1862-1943) en sus

23. ESM, pp. 90-91.24. ESM, p. 94. Esta es la posibilidad utilizada por Veblen y Young en su

exposición de la Geometría proyectiva, como veremos más adelante.25. ESM, p. 97.

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Grundlagen der Geometrie (1899), quien eligió presentarlos construyendo no ya lageometría proyectiva sino la geometría euclídea. Hilbert señala el carácter deaxiomas de los teoremas de Desargues y Pascal. En 1911-12, Rey Pastor estudió enBerlín con Schwarz una presentación actualizada de la geometría proyectivaincorporando las investigaciones sobre los fundamentos que hemos descrito; segúnse puede deducir de sus comentarios, dicha exposición se apoyaba en el teorema dePascal, demostrado a partir de axiomas de congruencia según un método de Schur(mencionado en la cita anterior por Schoenflies ).

La demostración de Rey Pastor

Rey Pastor sigue aproximadamente la exposición histórica de la Encyklopadie,aunque señala explícitamente que las ideas de Klein sobre la falta de rigor delteorema ya aparecían en los cursos de Weierstrass27. Sin embargo, afirma él queZeuthen y Lüroth creyeron haber llegado a una demostración del teorema de Staudt,sin necesidad de postular la continuidad de la recta (FGPS, p. 200) y que el lema deDarboux se apoya en afirmaciones fundadas en la intuición, que pueden no serciertas si no se formula previamente la continuidad (FGPS, p. 201).

En consecuencia, Rey Pastor rehace la demostración geométrica de Darboux,pretendiendo dotarla del rigor que en su opinión no tiene. Su demostración se basa,como la de Darboux, en los dos resultados siguientes:

PROPOSICION 1.- (Llamada Teorema de Zeuthen por Rey Pastor)

"Dado un segmento cualquiera, en él existen puntos de la red de Móbius deducidade la terna ABC" (FGPS, p. 200).

26. La ESM explica brevemente en nota (p. 97) el método de Schur, publicado enlos Mathematische Annalen en 1899:"F. Schur a recours á un hyperbolokle de révolution dont l'existence est uneconséquence de raxiome de congruence, et ji applique le théorame de Pascal áun hexagone dont les cótés pairs sont placés sur les génératrices d'un mamesystame de cette surface, les calés impairs sur les génératrices de l'autresystame, théorame déjá démontré, dans ce cas particulier, par G.P. Dandelin(—)"

27. Schur se refiere también a la demostración métrica dada por Weierstrass,SCHUR, F. (1909) Grundlagen der Geometrie, Leipzig und Berlin, Teubner, p.50.

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Darboux escribe:

"11 resulte des belles recherches de MM. Lüroth et Zeuthen (...) que, dans toutintervalle, il y aura des points qui coIncideront avec leurs homologues (ce sontles points qui, dans notre premiare démonstration, ont leurs abscissesrationelles)".

PROPOSICION 2.- (Llamada Lema de Darboux por Rey Pastor)

"Si dos pares de puntos están separados, no tienen ningún par armónico común;si no están separados, hay al menos un par armónicamente separado porambos." (FGPS, p. 201).

Darboux escribe:

"Je commencerai par établir un lemme préliminaire. Considérons deux segmentsPQ, P'Q', divisant harmoniquement un autre segment AB. On sait que ces deuxsegments PQ, P'Q' sont compris l'un dans l'autre ou n'ont aucune partiecommune. Donc si deux segments empiétent ¡'un dans l' autre, il n'existe pos desegment les divisan: toas les deux harmoniquement.

Je vais démontrer au contraire que si deux segments PQ, PQ' n'empiétent pas¡'un dans l'autre, il existe toujours un segment les divisan: harmoniquement.".

Probados estos resultados, el razonamiento para terminar la demostración dadopor Rey Pastor es el mismo de Darboux. La importancia que el propio Rey Pastorasigna a su trabajo reside en proponer demostraciones rigurosas y estrictamenteproyectivas de las proposiciones 1 y 2; y señala además la sencillez de suprocedimiento (FGPS, p. 203):

"Después de haber estudiado con todo detenimiento en el capítulo anterior elproblema de la continuidad del espacio proyectivo, nada más fácil que demostrarrigurosamente el teorema de Staudt".

En esta demostración se encuentra de esta manera comprometida toda laconstrucción del espacio proyectivo real elaborada en los dos capítulos anteriores.Debemos por tanto referirnos aquí brevemente a ella. Rey Pastor, siguiendo aPasch, construye un espacio elemental E3 por medio de diez axiomas gráficos, estoes, de incidencia o enlace y de ordenación, y, a partir de él, añadiendo puntosimpropios, obtiene el espacio proyectivo elementa1 28 . Estudia la separación depuntos y en particular la separación armónica; siguiendo a Staudt, construye

28. Posteriormente da un sistema axiomático para el espacio proyectivo n-dimensional, del que el primero sería un modelo.

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cuaternas armónicas usando el cuadrilátero completo y menciona que laconstrucción es posible gracias al teorema de Desargues. A continuación detalla lademostración de la propiedad, ya señalada por el propio Staudt, de que la condiciónnecesaria para que dos pares de puntos tengan un par armónico común es que no seseparen (FGPS, p. 116). Esta es la primera parte de la proposición 2.

En el siguiente capítulo se hace un estudio de la continuidad, comenzando porla construcción de la red de Móbius y justificando detalladamente la necesidad deañadir un nuevo postulado para obtener una geometría que corresponda a nuestrapercepción intuitiva, esto es, una espacio proyectivo real. Introduce un axioma decontinuidad que, como él mismo anota, es una reformulación de un teorema deTeoría de funciones de Weierstrass, y es puramente proyectivo (FGPS, p. 163):

"AXIOMA XI.- En el artículo anterior hemos demostrado la necesidad de nuevosaxiomas para poder fundar la Geometría proyectiva, y hecho una breve reseñacrítica de los diversos procedimientos seguidos para lograrlo. De este examenresultaba la necesidad de establecer axiomas de continuidad que, teniendo carácterproyectivo, expresen propiedades sencilllas de los elementos primitivos puntoy segmento; únicos en que se apoya toda la Geometría. Creemos resolvercompletamente este problema con el siguiente único axioma, que completa losdiez establecidos en el capítulo III, y reune la condiciones impuestas.

Dados los infinitos segmentos AA ] , AA2 , AA3 , tales que cada unocontiene al anterior, y todos ellos están contenidos en AB, hay un segmento ALinterior a AB, o coincidente con él, que los comprende a todos y tal que ningúnotro segmento AL' interior a AL cumple igual condición. Enunciado con laterminología de la Teoría de conjuntos: la sucesión (A) tiene un punto límite Linterior a AB, o coincidente con B".

Entre los resultados obtenidos como consecuencia de la introducción de esteaxioma figura precisamente el teorema de Zeuthen (FGPS, pp. 169-170).Finalmente, empalmando con la reformulación -en la última línea- del axioma XI,desarrolla Rey Pastor en cierto detalle una teoría de conjuntos proyectivos, hastallegar a demostrar que la conjugación armónica respecto de dos puntos fijos seconserva por paso al límite (FGPS, p. 183). Este resultado, en otras palabras, lacontinuidad de la relación proyectiva es la clave en el lema de Darboux, que esdemostrado a partir de aquí fácilmente por Rey Pastor (FGPS, p. 204).

La exposición de la Encyklopüdie no concuerda con la visión de Rey Pastorsobre el tratamiento de la continuidad en sus ilustres antecesores. Más claro resultala inexactitud de su apreciación al leer el trabajo de Darboux. Obtenida lademostración analítica, Darboux propone una puramente geométrica. Considera la

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recta como una curva cerrada para evitar toda referencia al infinito. Como ya hemosindicado, demuestra previamente el lema: si dos segmentos PQ, P'Q' no se separan,existe al menos un segmento que les divide armónicamente. Después de lademostración afirma29 :

"Nous admettons, on le voit, que si deux mobiles se meuvent sur une droite demaniére continue, c'est-á-dire de maniére á ocuper toutes les positions, et quel'un, aprés étre demeuré en arriare, finisse par depasser l'autre, il y aura au moinsune position dans laquelle jis coincideront. Mais vous verrez qu'il ny a pas lade desavantage pour la démonstration nouvelle. La proposition précédente oudes propositions auxquelles il est aisé de la ramener doivent étre admises quandon a á représenter par un nombre une grandeur incommensurable et en particulierá définir la racine carrée, qui est employée dans l'équation (6) de la premiéredémonstration".

Hay que tener en cuenta que este trabajo se publica veinticinco años antes delos Grundlagen der Geometrie de Hilbert, lo cual se advierte en una ciertaimprecisión, pero no es posible en absoluto pensar que rechaza un postulado decontinuidad.

En la Encyklopádie se remite a las Lezioni di Geometria proiettiva de Enriquespara una exposición completa de la demostración del teorema fundamentalestablecida por Klein, Lüroth, Zeuthen y Darboux, citando la l' (1898) y la 35(1909) ediciones. Rey Pastor menciona en una nota que esta demostración esrigurosa (refiriéndose a la 3" edición), lo cual resulta sorprendente si se tiene encuenta la argumentación que utiliza para resaltar la importancia de su propiademostración.

Respecto a los estudios posteriores sobre el papel de estos teoremas en lafundamentación de la geometría, en la bibliografía del capítulo que nos ocupa citaun trabajo de Wiener, con la observación de que anuncia la posibilidad de demostrarel teorema de Staudt por medio del de Pascal (FGPS, p. 236). En páginas anterioresdel libro se incluye un estudio sobre el teorema de Desargues (FGPS, pp. 103-106); sobre el teorema fundamental de Staudt indica que Hilbert ha probado que elteorema sólo se puede demostrar con axiomas de congruencia o con axiomas'decontinuidad. Anota además (p. 203): •

"Ni siquiera el teorema fundamental en su forma restringida (teorema de Pascal)es posible demostrarlo sin axiomas de congruencia o de continuidad (Grundlagender Geometrie, p. 97- Hilbert). El geómetra que más ha avanzado en estosproblemas es Schur. El teorema de Pascal lo demuestra de dos modos: 1 º , con

29. DARBOUX, G., op. cit., p. 59.

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axiomas de ordenación y enlace, más los de congruencia; 2º, con aquellos, másel de Arquímedes, en forma proyectiva. Pero el teorema de Staudt, mucho másdifícil que el de Pascal, lo demuestra solamente con axiomas de ordenación yenlace, más el postulado métrico de Arquímedes (Grundlagen der Geometrie, p.188). Pasch lo demuestra así mismo con axiomas de congruencia. Enriques seapoya en el postulado de Dedekind. Hilbert no demuestra el teorema de Saudt".

De acuerdo con el enfoque general del libro, su demostración del teorema deStaudt no recurre a axiomas de congruencia y sí a la continuidad, utilizando unpostulado "puro" -"puramente geométrico"-, aunque no deje de referir otro tipo dedemostraciones, incluso una de tipo analítico del italiano De Paolis".

El teorema fundamental en otros textos

El tono de la exposición de Rey Pastor, la detallada introducción histórica, lasnumerosas notas e indicaciones bibliográficas. y las referencias a los trabajos de lacomunidad matemática nacional que detallaremos más adelante, al tiempo queenmarcan su propia demostración, confieren a este fragmento de los FGPS elpeculiar carácter que posee toda la obra. En este sentido es interesante comparar lapresentación de Rey Pastor con la que figura en otros libros de texto de la época; sehan escogido dos obras que comparten el afán didáctico renovador de los FGPS, laprimera de ellas publicada en Italia, un país con el que España mantuvo estrechasrelaciones en el campo de las Matemáticas (relaciones en las que Rey Pastordesempeñó un importante papel) y la segunda en los Estados Unidos, país quetomaba ya en esa época el relevo de Alemania en la dirección de las investigacionesen Matemáticas.

En primer lugar nos referiremos a las mencionadas Lezioni di Geometriaproiettiva de Federigo Enriques, cuya primera edición es de 1898 y que fuesucesivamente reeditada hasta 1920. En el prefacio de la primera edición se observaque Enriques, pese a compartir con Rey Pastor el enfoque "sintético", plantea losobjetivos de su obra de manera harto distinta31:

"Fin da guando, quattro anni sonno, fui chiamato ad insegnare Geometxiaproiettiva all' Universitá di Bologna, io mi proposi di svolgere gli elementi detale scienza, secondo l'indirizzo di Staudt, sulla base di un sistema di postulati

30. PAOLIS (1880) Sui fondamenti della Geometria proiettiva, Mem. Accad. Line.(s. HI), 9.

31. ENRIQUES, F. (1920) Lezioni di Geometria proiettiva, Bologna, Zanichelli, 49ed., p. VII. Las ediciones sucesivas fueron: 1' ed., Bologna, 1898; 2" ed.,1904; 3 9 ed., Bologna, 1909 (citada por Rey Pastor); 4' ed., Bologna, 1920.

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puramente grafici, esplicitamente enunciati; intendendo, non giá di bandire, madi tenere distinte le applicazioni metriche.

A rendere interamente possibile l'attuazione del detto fine, occorsero alcunericerche directte ad eliminare luso di nozioni metzeiche, che pur compariva inqualque punto fondamentale delle trattazioni di Klein, Pasch, De Paolis, ecc.;ricerche onde ebbe origine la mia nota "Sui fondamenti della Geometriaproiettiva" pubblicata nei Rendiconti dell'Istituto lombardo del 1894.

Ma, risoluto il problema sotto l'aspetto scientifico, occorreva ancora elaborarela forma della trattazione e svolgerla piú compiutamente nei suoi dettegli, inguisa da randerla accettabile nella scuola.

A questo scopo didattico mi sembra si sieno venute avvicinando, durante i treanni scorsi, le lezioni che ora pubblico per la stampa".

Enriques introduce el problema del teorema fundamental progresivamente. Enel capítulo 3 sobre grupos amónicos, aparece una consideración sobre cuestionesfundamentales, después de probar que toda transformación por medio deproyecciones y secciones conserva cuaternas armónicas. Señala Enriques cómo sepuede pensar en la idea general de correspondencia biunívoca entre dos formas,dando lugar a una teoría general de correspondencias, que da lugar a investigacionesde dos tipos:

1) Hallar las propiedades de una correspondencia construida por medio deciertas operaciones.

2) Admitiendo que una correspondencia posee ciertas propiedades, deducir otraspropiedades de la correspondencia y qué sistema de operaciones permite construirlas.

Como ejemplo sugiere la pregunta de si una correspondencia biunívoca entredos rectas, en general entre dos formas de primera especie, que conserva cuaternasamónicas, se puede considerar una correspondencia obtenida por proyecciones ysecciones32:

"Tale questione, che si presenta naturalmente nell'ordine di idee accennatoinnanzi, 1 fondamentale per la Geometria proiettiva.

Ma, a quanto pare, la sua risoluzione affermativa non pub dedursi dai postulati I,III, IV, V, innanzi introdotti".

32. Ibidem, p. 71 (I-V son axiomas gráficos).

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Así, en el capítulo siguiente introduce el postulado de continuidad, aunqueseñala que debe dar un rodeo para introducir, de acuerdo con su plan inicial, elnuevo postulado a partir de ideas intuitivas. Hace consideraciones de tipo semejantea las de Darboux y finalmente introduce el axioma de Dedekind. En el capítulosiguiente, El teorema fundamental de la proyectividad vuelve a la pregunta queestaba pendiente (en el lenguaje de Rey Pastor, se trata de demostrar que unaproyectividad en el sentido de Staudt es una proyectividad en el sentido dePoncelet)33:

"Vogliamo caratterizzare la proiettivitá partendo dalla proprietá che la definisce.Allora la questione essenziale che occorre risolvere quella di vedere 'qualicondizioni determinano una proiettivitá tra due forme di prima specie e comeessa possa construirsi.

Essa viene risoluta dal seguente:TEOREMA FONDAMENTALE. - Esiste una proiettivitá tra due forme di 1. g speciein cui a tre elernenti dell'una corrispondono tre elementi dell'altra.

Questa proiettivitá é unica e si puó porre mediante un numero finito diproiezioni e sezioni".

Divide la demostración en varias partes (reduce al caso de una proyectividad dela recta en sí misma), señalando la parte esencial a la cual se reserva el nombre deteorema de Staudt (Si en una proyectividad de una forma de primera especie en símisma hay tres elementos unidos, es la identidad). Enriques advierte que esfundamental para la demostración el postulado de continuidad34 . Este autor da pues,en 1898, una demostración del problema tal y como había sido formulado porDarboux, aunque con una cuidada presentación correspondiente a su afán deenseñanza

El segundo trabajo es la obra clásica de Oswald Veblen (1880-1960) y JohnW. Young (1879-1932), Projective Geometry, publicada en dos volúmenes (1910 y1918), posterior por tanto al trabajo de Hilbert. Su planteamiento es pedagógicopero claramente rompedor con la tradición de libros de texto, como se observaclaramente en el prefacio del primer volumen35:

"Geometry, which had been for centuries the most perfect example of adeductive science, during the creative period of the nineteenth century outgrew

33. Ibidem, p. 91.34. Ibidem, p. 95.35. VEBLEN, O. y YOUNG, J. W. (1938) Projective Geometry, vol. I , Boston

etc., Ginn and Company (1 4 ed., 1910), p. iii.

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its old logical forms. The most recent period has however brought a clearerunderstanding of the logical foundations of mathematics and thus has made itpossible for the exposition of geometry to resume the purely deductive form.But the treatement in the books which have hitherto appeared makes the workof laying the foundations seem so formidable as either to require for itself aseparated treatise, or to be pased over without attention to more than theoutlines. This is partly due Lo the fact that in giving the complete foundationfor ordinary real or complex geometry, it is necessary Lo make a study of linearorder and continuity, -a study which is not only extremely delicate, but whosemethods are those of the theory of functions of real variable rather than ofelementary geometry".

La solución propuesta por estos autores es la siguiente: en el primer volumende la obra, una vez introducidos los axiomas de alineación (incidencia) y extensióny definida la proyección (en sentido de Poncelet), se demuestra el teorema(fundamental) para redes racionales. El teorema fundamental se introduce como unaxioma provisional, posponiéndose la demostración al siguiente volumen pormotivos didácticos36:

"Later, by means of a discussion of order and continuity (terms as yetundefined), we shall prove this proposition. This discussion of order andcontinuity is, however, somewhat tedious and more difficult than the rest of oursubject; asid, besides, the theorem in question is true in spaces, [different, ofcourse, from ordinary spaces; rational spaces are examples in which continuitydoes not exist; finite spaces, of which examples are given in the introduction,are spaces in which neither order nor continuity exists] where order andcontinuity do not exist. It has therefore seemed desirable Lo give some of theresults of this theorem before giving its proof in terms of order andcontinuity".

Consideraciones finales

Hemos visto como Rey Pastor expone sus observaciones en un tono muycombativo, ya desde su afirmación inicial (FGPS, pp. 197-8) :

"Como el objeto que perseguimos con estos Fundamentos no es otro que el deatacar de frente las cuestiones en que la Geometría proyectiva opone al métodosintético su máxima resistencia, para así facilitar los desarrollos posteriores, nohemos de vacilar en preferir el sistema de Staudt al de Poncelet".

36. Ibidem, pp. 94-95. El fragmento entre corchetes es una nota a pie de página.Más adelante (p. 148) prueba que esta axioma es equivalente a laconmutatividad del cuerpo base (ver nota 6).

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Lo que esto significa es, cómo hemos observado, tomar como teoremafundamental el teorema de Staudt, alternativamente al teorema de Pascal, elegidopor el propio Hilbert y también por Veblen y Young.

Introduce su demostración como la auténtica en el sentido de respetar lacontinuidad -con excepción quizá de la de Enriques-, aspecto extremadamentediscutible según hemos señalado. Además, es en cierto sentido desproporcionado elrelieve dado a la exposición del teorema fundamental, que destaca sobre cualquierotro tópico. Como se señala en una nota final, de este teorema se deducen multitudde consecuencias, para las que remite sin más a otros trabajos (p. 205):

"Perspectividad de dos figuras proyectivas con el elemento común doble,propiedades de la involución cuadrática, proyectividad sobre las cónicas, hacesde cónicas, etc., propiedades que han sido tratadas en la Geometría elementalcon sobrado detalle para que debamos citarlas siquiera".

No hemos de olvidar que este trabajo fue inicialmente una memoria presentadaa un premio. En general podemos constatar la existencia de un desequilibrio en susobjetivos, que son a veces de tipo pedagógico, en otras ocasiones el lucimiento yfinalmente la exposición de resultados originales. Además, la comparación con lasobras anteriores nos remite a una diferenciación entre los niveles de desarrollo de lascomunidades científicas a las que están dirigidos. Rey Pastor presenta su libro enuna comunidad reducida e infradesarrollada, en la que ciertamente encontróoposición y problemas de reconocimiento. Una descripción de esta comunidad estaimplícita en los fines que en la introducción asigna a su obra (p. XXII):

"presentando a los jovenes matemáticos españoles un cuadro del estado actual deesta ciencia; señalándoles los campos que aún están por cultivar, y donde puedencosecharse frutos importantes, ahorrándoles las investigaciones bibliográficas,preliminar indispensable a todo trabajo matemático, y quizás la parte máspenosa de él; en una palabra, orientándolos, quizás llegue a operarse un cambioen la dirección de los estudios matemáticos en España".

No deja de hacer referencia Rey Pastor al grupo responsable de la dirección delos estudios matemáticos en España hasta aquel momento. Menciona lademostración que incluyó Torroja en su Tratado de Geometría de la Posición,señalando que es la dada por Theodor Reye, utilizando una idea de J. Thomae, en lasprimeras ediciones de su Geometrie der Lage, pero tampoco la considera rigurosa37.

37. Rey Pastor cita en la bibliografía el trabajo: THOMAE, J. (1872) Ebenegeometriche Gebilde I. und 2. Ordnung vom Standpunkte der Geometrie derLage, Halle e indica que en REYE, T. (1909) Vortrüge über Geometrie der Lage,

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Alvarez Ude concuerda con Rey Pastor, aunque parece reconocer un mayor nivel deinformación en Torroja38:

"La demostración adoptada por Torroja es la que dió Reye en su obra citada,partiendo de una idea expuesta por Thomae en su Geometrie der Lage (Halle,1873), y reproducida después en Die Kegelschnitte in rein projektiverBehandlung (Halle, 1894). Había preocupado a Torroja esta cuestión, cuyoproceso conocía bien, como se deduce de la lectura de su discurso de recepciónen la Real Academia de Ciencias, pág. 38; no hay que extrañar, sin embargo,que aceptase tal demostración, pues al publicar su libro era tenida por rigurosa;el propio Reye no la modificó hasta la quinta edición de su obra (ErsteAbteilung, Leipzig, 1909), en que utilizó el axioma de continuidad de Dedekind,y todavía así la demostración no es rigurosa. Veáse REY PASTOR: Fundamentosde la Geometría proyectiva superior, capítulo V; Madrid, 1916"

En otra sección de los FGPS Rey Pastor señala que Miguel Vegas, que habíaformado parte del tribunal que juzgó esta obra, introdujo partes del texto en suslecciones de Geometría superior, por primera vez en el curso 1914-15, y de nuevo

5º ed., la demostración se basa en el axioma de Dedekind, aunque todavía no esrigurosa.

38. ALVAREZ UDE, J.G., op. cit., p. 11. El fragmento del discurso mencionadopor Alvarez Ude es la nota siguiente:"Quien desee enterarse de esta interesante controversia, encontrará losprincipales documentos a ella relativos en la importante revista MathematischeAnnalen de Leipzig, tomos VI, VII, XVII y XVIHI.La objeción a la demostración de Staudt puede formularse brevemente diciendoque pudieran ser dobles todos los puntos de la serie derivados de una de lasredes de M6bius, es decir, todos los que con tres fijos dan razonesanharmónicas conmensurables, sin serlo ninguno de los demás; en cuyo caso,ni habría en la recta ningún segmento cuyos puntos fuesen todos dobles, nitampoco se podría encontrar en ella ningún segmento determinado que nocontuviese puntos dobles en su interior; y, por tanto, no sería aplicable lademostración de Staudt.La dificultad radica, pues, en la noción de continuidad, tan difícil de establecer,y que, donde quiera que interviene, suscita conflictos análogos. La manera desalvarla puede verse en la importante obra de Th. Reye, Geometrie der Lage, encuya primera edición consignó la demostración de Staudt sin variación, pero enlas sucesivas la modificó convenientemente: y también la traducción italianaque C. Segre ha hecho de la Geometrie der Lage de Staudt, en la que, por respetoal texto original, ha suplido con notas su deficiencia en este particular".TORROJA, E. (1893) De la índole y extensión, fecundidad y trascendencia de laGeometría pura o moderna, Discursos leídos ante la Real Academia de CienciasExactas, Físicas y Naturales en la recepción pública del Sr. D. Eduardo Torrojay Caballé, Madrid, Real Academia de Ciencias, pp. 38-39.

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en el 1915-1639 . La exposición del teorema fundamental se cierra con una nuevareferencia a Vegas':

"Nuestras demostraciones del lema de Darboux y del teorema de Staudt han sidoadoptadas en su curso (lección 8) por el Sr. Vegas, pero con pérdida total de surigor, por haber omitido la demostración de la continuidad de la correspondenciaarmónica (108) que constituye precisamente nuestro fundamento".

Se advierte aquí el enfrentamiento latente entre el joven catedrático y un sectorde la comunidad matemática española; su antecedente es el del propio Zoel Garcíade Galdeano, que conocemos en detalle gracias a los trabajos de M. Hormigón, y sudesenlace se refleja, según A. Dou, en el discurso de entrada de Rey Pastor en laReal Academia de Ciencias en 1920. Un aspecto importante de esteenfrentamientose libró en relación con la renovación de las enseñanzas degeometría, como cabía esperar y se demuestra en las propias palabras de ReyPastor -en el tono habitual en él-, publicadas en julio de ese mismo año en elperiódico El Sol 41:

"A mí me han clasificado en el Ministerio como a una especie botánica, y hanconvenido que soy un analista. Andando los arios, cuamdo se jubile uncompañero de la Facultad, podré explicar un curso superior de análisis, peronunca de Geometría. El catedrático, propietario actualmente de esas enseñanzas,me hace el honor de explicar el libro que me premió la Academia de Ciencias, yyo se lo agradezco vivamente, porque a mí me está prohibido explicarlo".

Para terminar, señalemos que la perspectiva de varias decenas de años haríacambiar notablemente la referencia al teorema fundamental que incluyó en su obraLa Matemática Superior. Métodos y Problemas del Siglo XIX, publicada en 1951,reedición de las conferencias de "Introducción a la matemática superior" impartidasen el Ateneo en 1915, y en la que menciona su propia demostración en el contextode una valoración histórica mucho más mesurada42:

39. Ver FGPS, p. 163, donde Rey Pastor refiere exactamente donde estánreproducidos sus párrafos; no dice si Vegas le citaba.

40. FGPS, p. 205.41. El Sol, 9-VII-1920.42. REY PASTOR, J. (1951) La Matemática Superior. Métodos y Problemas del

Siglo XIX, Buenos Aires-Madrid, Editorial Iberoamericana, pp. 56-57.

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"Por muy valioso que sea el ensayo orgánico de Poncelet y las ingeniosasaportaciones de Steiner, la Geometría proyectiva no alcanza fecunda madurezhasta que von Staudt elabora su clásica Geometrie der Lage (1847). (...) Eserigor perfecto tiene una sola mancha, inevitable en aquella época, en que losanalistas no habían elaborado una teoría satisfactoria del continuo. Puesto que lacorrespondencia proyectiva entre dos series conserva las cuaternas armónicas(tal es la definición de Staudt), si existen tres puntos coincidentes con sushomólogos, también tendrán la misma propiedad los cuartos armónicos de cadauno respecto de los otros dos y también los deducidos de cada nuevo puntocomo separado armónico por otros dos, etc. Así se engendra la red de Mabiusque llena densamente la recta, pero no la cubre totalmente. Sin embargo, Staudtda por supuesto que también los puntos restantes son dobles. Hasta Darboux(1880) no se llenó esta laguna y posteriormente se han dado otras muchasdemostraciones basadas en postulados diversos de continuidad. La nuestra adoptacomo tal la existencia de extremos; y postulada ésta, el teorema de Staudt sedemuestra con sorprendente sencillez".

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